LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR Parcours ...perso.univ-mlv.fr/calvet/ampi/docrdm/Cours 3_RDM.pdfCours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI

Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2015) p 1

LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR

Parcours Ingénierie des ORGANISATIONS

UE Optionnelle 1 – AMPI : Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques

COURS 3 : Résistance des matériaux (RDM)

SOMMAIRE

RESISTANCE DES MATERIAUX ........................................................................................................................ 2

I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES .......................................................................................................... 2

II. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION ........................................................................................... 5

III. EXTENSION - COMPRESSION ............................................................................................................... 8

IV. CISAILLEMENT ...................................................................................................................................... 14

V. MOMENTS QUADRATIQUES ............................................................................................................... 16

VI. TORSION .................................................................................................................................................. 18

VII. FLEXION .................................................................................................................................................. 20

VIII. SOLLICITATIONS COMPOSEES ...................................................................................................... 24

O. CALVET

Cours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI


RESISTANCE DES MATERIAUX

I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES

I.1. Buts de la résistance des matériaux La résistance des matériaux a trois objectifs principaux :

la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (comportement

sous l’effet d’une action mécanique)

l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance ou rupture)

l'étude de la déformation des pièces mécaniques.

Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en

fonction des conditions de déformation et de résistance requises.

I.2. Hypothèses

I.2.1. Le matériau

Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop

"fin" pour l'étude qui nous intéresse.

Homogénéité : on supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits

soient ils, sont identiques.(hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)

Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a

les mêmes propriétés mécaniques.(hypothèse non applicable pour le bois ou les

matériaux composites)

I.2.2. La disposition de la matière

La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont

désignées sous le terme de « poutres ».

Poutre : on appelle poutre (voir fig.1) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de

surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques de la poutre sont :

ligne moyenne droite ou à grand rayon

de courbure.

section droite (S) constante ou variant

progressivement.

grande longueur par rapport aux

dimensions transversales.

existence d'un plan de symétrie.

G

G

G

(C) Ligne moyenne

(S)

FIG.1



I.2.3. Les forces extérieures

Plan de symétrie : les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de

la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan.

Types d'actions mécaniques extérieures : deux types d'actions mécaniques

peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig. 2) :

Les déformations étant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerçant sur celle-ci

seront calculées à partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux

considérés comme constants.

II. PRINCIPE D’ETUDE D’UNE STRUCTURE EN RDM

II.1. Régles de schématisation

Poutre représentée par sa ligne moyenne (oiu fibre de référence)

Actions de liaison schématisasées par les composantes de réaction

Actions extérieures schématisées par les forces réparties ou ponctuelles ramenées à la

ligne moyenne.

Repère de référence à représenter et report des dimansions « utiles » au calcul.



II.2. Applications

Exemple 2 :

Situation réelle

Définir le modèle RDM et son schéma associé



III. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION

III.1. Contrainte En chaque point M d’un solide, il existe des efforts intérieures que l’on met en évidence en effectuant ne coupure

du solide, par une surface S, en deux parties A et B.

La partie A, par exemple, est en équilibre sous l’action des forces intérieures qui lui sont directement appliquées

et des forces intérieures réparties sur la coupure.

Considérons un point M de S. Soir dS un élément infinitésimal de la surface S, entourant M et n

le vecteur

unitaire, perpendiculaire en M à S et dirigé vers l’extérieur de la partie A.

On appelle contrainte en M, relativement à l’élément de surface dS orienté par sa normale extérieure n

, le

vecteur :

dSFd)n ,M(C

Le vecteur contrainte peut se décomposer en :

n.)n ,M(C

Où est la contrainte normale et le vecteur cisaillement.

III.2. Efforts de cohésion ou efforts internes

Soit une poutre (E) en équilibre sous l'action de n actions extérieures. On associe à cette poutre un

repère R (x, y, z) dont l'axe x coïncide avec la ligne moyenne de la poutre.

Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal à sa ligne moyenne, situé à l'abscisse x. On définit

ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2).

X

Y

Z

G

x

E1 E2 Fig 5

(E) étant en équilibre, on peut écrire : { E E} = {0}

(E1) étant en équilibre, on peut écrire : { E E1} +{E2 E1} = {0}

(E2) étant en équilibre, on peut écrire : { E E2} +{E1 E2} = {0}

On en déduit :

{E2 E1} = -{ E E1} = { E E2}

{E2 E1} est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1). Cette action est due aux

efforts de cohésion qui permettent à la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions

extérieures.

Fig 4



La RDM vise en particulier à vérifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohésion à

"transmettre" ne soient supérieurs aux capacités du matériau.

On note :

{Cohésion} = -{ E E1} = { E E2}

III.3. Composantes du torseur de cohésion Dans le torseur de cohésion, on peut faire apparaître la résultante et le moment qui dépendent de la

position de la section (x).

)x(M

)x(RCohésion

GG

III.3.1. la résultante

TzTyN

R

R

N : effort normal, projection de R sur la normale extérieure (x).

Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite.

III.3.2. Le moment résultant

De la même manière, on retrouve pour les moments, 3 composantes :

MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extérieure.

Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de section

droite.

soit : MfzMfyMt

M

R

G

Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dépendent de la position de la section droite (x).

On peut donc représenter leurs évolutions à l’aide de diagrammes.

III.3.3. Les sollicitations

Suivant les éléments de réduction non-nuls du torseur de cohésion (N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz ) on peut

alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, à savoir :

Composantes Sollicitation

N > 0 Extension (traction)

< 0 Compression

Ty Cisaillement

Tz

Mt Torsion

Mfy Flexion

Mfz

Lorsque l’on a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon on a un problème

de sollicitations composées.

G N

Ty

Tz

R



III.4. Relations entre contraintes et composantes du torseur de cohésion

III.5. Applications Exemple 1

Le bras [KI] est modélisé par une poutre rectiligne encastrée au point K et supportant l'action

du vérin comme l'indique le croquis suivant :

1- Déterminer le torseur de cohésion au point G, distant de x mm de l'origine I. 2- Déterminer la nature des sollicitations dans cette "poutre". 3 -Déterminer la position de la section la plus sollicitée à la flexion simple.

Exemple 2

1) Après avoir déterminé les actions de liaison, calculer le torseur de cohésion dans la zone où se

trouve le point G.

2) Cette expression est valable sur quel domaine ?

3) Déterminer la nature des sollicitation dans cette poutre.

4) Que signifie E ? Re ?

X U

V

K I G

90 mm

320 N

1120 N

I(1314)

F = 21 N

l = 600 mm

b= 20 mm

h = 4 mm

Matiere : S 340

E = 200 000 Mpa

Re = 340 Mpa

gR = 0.6 eR

s=2

1 2

3

x



PARTIE 2 : LES SOLLICITATIONS SIMPLES

IV. EXTENSION ou TRACTION - COMPRESSION

IV.1. Extension ou Traction

IV.1.1. Définition

Une poutre est sollicitée à l'extension simple

lorsqu'elle est soumise à deux forces

directement opposées, appliquées au centre de

surface des sections extrêmes et qui tendent à

l'allonger.

Les éléments de réduction en G du

torseur des efforts de cohésion s'expriment par

:

)z,y,x(G

00000N

Cohésion

avec N > 0

IV.1.2. Essai d'extension

Une éprouvette en acier est sollicitée à l'extension par une machine d'essai, qui permet de déterminer

l'allongement de l'éprouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqué.

A B

l

A' B 'l l

F F

0

0

On obtient alors la courbe d’essai ci-dessous

B B A

A

G

R A

A

(S)

x

y

z

R



Analyse de la courbe obtenue

Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à

une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.

Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à l'effort d'extension.

Des essais effectués avec des éprouvettes de dimensions différentes permettent de

constater que pour un même matériau, l'allongement unitaire( l / l0) est proportionnel à

l'effort unitaire (F / S0)

Les sections droites et planes de l'éprouvette restent droites et planes pendant l'essai.

Zone ABCD : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F

jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale. La partie CD

s’accompagne du phénomène de striction (rétrécissement local et permanent de la section).

On ne s'intéressera qu'à la zone des déformations élastiques.

IV.1.3. Déformations élastiques

La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la

relation :

llE

SN Unités : N en Newton

S en mm2

E en MPa (N/mm2)

l et l en mm.

E est une caractéristique du matériau appelée module d'élasticité longitudinal ou module de Young.

Lors de cet essai, on met aussi en évidence une autre caractéristique de l’élasticité ; il existe un

rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal

(l / l) hors phénomène de striction.

On peut écrire : ll

dd

Unités : sans unité

d et l en mm.

appelée coefficient de poisson est aussi une caractéristique du matériau il est de l'ordre de

0,3 pour les aciers



IV.1.4. Exemples comparatifs de déformation entre différents matériaux

kN

kN

mm mm

Exemples d’essai de traction



IV.1.5. Contraintes

Soit (E1) le tronçon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal à sa ligne moyenne .

F

E1

x

y

z

G

(S)

R

R=N.x

fig .8

Le tronçon (E1) est en équilibre sous l'action de F et des efforts de cohésion dans la section droite (S).

Soit S l'aire de la section droite (S). On définit la contrainte dans la section droite (S) par la

relation :

SN

avec : contrainte normale d'extension (> 0) en MPa.

N : effort normal d'extension en Newton.

S : aire de la section droite (S) en mm2.

La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par conséquent de comparer des éprouvettes de

sections différentes.



IV.1.6. Loi de HOOKE

Nous avons déjà vu que SN et que

llE

SF , on peut en déduire que :

.EllE loi de HOOKE

l

l est l'allongement élastique unitaire suivant x, il est généralement noté

Unités : en Mpa

E en Mpa

sans unité

IV.1.7. Caractéristiques mécaniques d'un matériau

Contrainte limite élastique en extension e

C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi

limite d'élasticité Re.

Contrainte limite de rupture en extension r

C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi

nommée résistance à la traction R.

Allongement A%

Al l

l% *

0

0

100

avec : l0 : longueur initiale de l'éprouvette.

l : longueur de l'éprouvette à sa rupture.

Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

IV.1.8. Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite appelée

contrainte pratique à l'extension pe.

On a : se

pe

s est un coefficient de sécurité qui varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le

seuil précédent, soit :

peréelleSN

IV.1.9. Influence des variations de section

Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent

plus. On dit qu'il y a concentration de contraintes. On doit alors pondérer nos résultats à l’aide d’un

coefficient k, en posant :

max = k. k est le coefficient de concentration de contraintes

Exemples de cas de concentration de

contrainte :



IV.2. Compression

IV.2.1. Définition

Une poutre est sollicitée à la compression simple

lorsqu'elle est soumise à deux forces directement

opposées, appliquées au centre de surface des sections

extrêmes et qui tendent à la raccourcir.

Les éléments de réduction en G du torseur des

efforts de cohésion s'expriment par :

)z,y,x(G

00000N

Cohésion

avec N < 0

3.2.2 Essai de compression

Une éprouvette semblable à celle utilisée pour l'essai d'extension

en acier est sollicitée à la compression par une machine d'essai.

Analyse de la courbe obtenue

Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si

l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle,

l'éprouvette retrouve sa longueur initiale.

Dans cette zone, l'allongement est proportionnel à

l'effort de compression.

Des essais effectués avec des éprouvettes de

dimensions différentes permettent de constater que pour un même matériau, l'allongement

unitaire( l/l0) est proportionnel à l'effort unitaire (F/S0).

Les sections droites et planes restent droites et planes pendant l'essai.

Zone AB : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à

une valeur nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

IV.2.2. Déformations élastiques

La propriété constatée ci-dessus a permis pour différents matériaux d'établir la relation :

llE

SF avec l < 0

Pour les aciers, le module d'élasticité longitudinal E est le même en compression qu'en extension.

IV.2.3. Contraintes

On définit la contrainte dans la section droite (S) par la relation :

N

S avec : < 0 car N < 0

IV.2.4. Loi de HOOKE

Nous avons déjà vu que N

S et que

F

SE

l

l

, on peut en déduire que :

.EllE

B B A

A

G

R A

A

(S)

x

y

z

R

F(N)

l

(mm)

O

A

B



l

l est le raccourcissement élastique unitaire suivant x, il généralement noté

IV.2.5. Condition de résistance


contrainte pratique à l'extension pe. On a :

se

pe




peréelle S

N

V. CISAILLEMENT

V.1. Définition Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux systèmes

d'action de liaison qui se réduisent dans un plan (P) perpendiculaire à la ligne moyenne à deux forces

directement opposées.

(E) (P)

F

F'

A

B

Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux tronçons E1 et E2 glissant l'un par

rapport à l'autre dans le plan de section droite (P).

F

F'

E1

E2

(P)

(E1)(S)

x

y

zG

T

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

)z,y,x(G

0Tz0Ty00

Cohésion

remarques :

on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une

unique composante T en réalisant un changement de repère.

Ty

Tz

T



le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...

V.1.1. Déformations élastiques

La modélisation ci-dessous d’une sollicitation de

cisaillement permet d'établir la relation :

xy

GSF

Unités : F en Newton

S en mm2

G en MPa

y et x en mm.

G est une caractéristique appelée module

d'élasticité transversal ou module de Coulomb.

Matériau Fontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas

G (MPa) 40000 80000 34000 32000 11000

V.2. Contraintes

On définit la contrainte dans une section droite (S) par la relation : ST

avec : : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne).

T : effort tranchant en Newton.

S : aire de la section droite (S) en mm2.

V.3. Relation entre contrainte et déformation

Nous avons déjà vu que T

S , que

F

SG

y

x

et nous savons que F=T. On en déduit que :

.Gxy

G .

y

x est appelé glissement relatif.

V.4. Caractéristiques mécaniques d'un matériau

Contrainte tangentielle limite élastique e

C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique. Pour l'acier, cette

valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.

Contrainte tangentielle de rupture r

C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette.

V.5. Condition de résistance


contrainte pratique de cisaillement p. On a :

se

p

(S0

)

(S

)

y x

F






préelle ST

VI. MOMENTS QUADRATIQUES

VI.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe de son plan

Définition

Soit (S) une surface plane et un repère

orthonormé (O, x, y) associé.

Le moment quadratique élémentaire de dS par

rapport à (O, x) , noté IOx est défini par

IOx = y2 . dS

et pour l'ensemble de la surface (S) : Iox = S

y2 .dS

Remarques :

L'unité de moment quadratique est le mm4 (ou le m

4)

Un moment quadratique est toujours positif.

Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donnés à la suite du cours.

VI.2. Moment quadratique d'une surface plane par rapport a un axe normal. Moment quadratique polaire.

Définition

Soit (S) une surface plane et un repère orthonormé

(O, x y z, , ) associé.

Le moment quadratique polaire élémentaire de dS

par rapport à (O, z) perpendiculaire en O au plan

de la figure et noté IO est défini par :

IO = 2 . dS

et pour l'ensemble de la surface (S) : Io = S

2 . dS

Propriété :

Considérons le moment quadratique polaire IO de la

surface (S) par rapport à (O,z) perpendiculaire en O à

son plan.

Notons : IO = ( )S

.S

Soient x et y les coordonnées du point M. On a :

= x

2 + y

2

On a donc : IO = ( )S

.S =

( )S

x2.S +

( )S

y2.S Soit : IO = IOx + IOy

O (S)

dS M

y

y

x

O (S)

dS M

y

x

z

O (S)

SM

y

x

z

yx



VI.3. Moments quadratiques utiles

b

hG x

y

a

aG x

y

G x

yd

G

y dD

x

IGX IGY IG IO=

bh

12

3 hb

12

3 bh

12

2( b + h )

2

a

12

4 a

12

4 a

6

4

d

64

4 d

64

4 d

32

4

d )64

4 (D

4- d )

64

4 (D

4- d )

32

4 (D

4-

VI.4. Théorème de Huygens

Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au

moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par

son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les

deux axes.

².dSII GyOy

OyI : moment quadratique de (S) par rapport à (O, y

) (mm4)

GyI : moment quadratique de (S) par rapport à (G, y

) (mm4)

S : aire de la section (S) (mm²)

d : distance entre les axes (O, y

)et (G, y

) (mm)

Exemple : calculer le moment quadratique de l’equerre / xG

: GxI

Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK

1210100 3

11xI xG ;



553

1111 101210²10).10.100(

1210.100². dSII xGGx

1250.10 3

22 xGI

443

2222 10.2012

10.125²20).10.50(1250.10². dSII xGGx 4421 10.2,41 mmIII GxGxGx

VII. TORSION

VII.1. Définition Une poutre est sollicitée en torsion simple

lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à des

liaisons dont les torseurs associés se réduisent à

deux torseurs couples opposés dont les moments

sont parallèles à l'axe du cylindre. (on suppose la

poutre comme cylindrique et de section circulaire

constante)

Les éléments de réduction en G du torseur des

efforts de cohésion s'expriment par )z,y,x(G

0000

Mt0Cohésion

VII.2. Déformations élastiques

MG2G2G1 G

x

(S1)

(S)

(S2)

M1 M M2

M'

M'2

G

M

M'

Constatation sur la déformation d’une poutre en torsion : L'angle croit de façon linéaire avec x,

l'abscisse de la section droite étudiée : = k.x

La propriété constatée ci-dessus a permis d'établir la relation : Mt x

G I

.

. 0

M

G

2

G

2 G

1

M

G

1

G

(S)

x

y

z

R

M

G

1

M

G G

1



Unités : Mt moment de torsion en N.mm

G module d'élasticité transversal en MPa

en radian

Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

En définissant l'angle unitaire de torsion par : = / x (exprimé en rad/mm), notre relation devient

alors :

OI..GMt

VII.3. Contraintes

G

(S)

x

y

z

R

MG1

MG

G1

(E1)

G

(S)

M a x

M

M

v

Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situé à une distance du centre G de la section

(voir ci-dessus). On définit la contrainte de torsion en M par la relation :

O

MIMt

avec : contrainte tangentielle en MPa.

Mt moment de torsion en N.mm

Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

Contrairement aux phénomènes étudiés jusqu'à maintenant, la contrainte varie en fonction du point

choisi dans une section droite. Plus ce point est éloigné du centre de la section, plus la contrainte y

sera importante.

La contrainte est maximale pour = maxi , soit :

imax

O

MIMt

VII.4. Conditions de résistance


contrainte pratique p (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). On a :

se

p

s est un coefficient de sécurité.



p

imax

O

réelleIMt

VII.5. Influence des variations de section Si le solide étudié présente de fortes variations de sections, les relations précédentes ne s'appliquent

plus. Il faut alors appliquer un coefficient de concentration de contraintes

Exemple : épaulement



r/D

D/d

0,1 0,05 0,02

1,09 1,3 1,5 1,7

1,2 1,5 1,7 2,5

1,5 1,7 2,2 2,7

VIII. FLEXION Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la

flexion plane simple.

VIII.1. Hypothèses En plus des hypothèses déjà énoncées au début du cours de RDM, la flexion plane simple nous amène

à supposer que :

la ligne moyenne de la poutre est rectiligne.

la section droite de la poutre est rectiligne.

la poutre admet un plan de symétrie longitudinal.

toutes les forces appliquées à la poutre sont disposées perpendiculairement à la ligne

moyenne et dans le plan de symétrie longitudinal (ou symétriquement par rapport à celui-

ci).

les forces appliquées sont soit concentrées en un point, soit réparties suivant une loi

déterminée.

ligne moyenne

Plan de symétrie longitudinal et plan des charges

VIII.2. Définition Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant

l’axe z

(voir ci-contre).si pour chacune des sections droites, le

torseur de cohésion se réduit, dans le repère ),,,( zyxGR

de

définition des sollicitations :

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de

cohésion s'expriment par :

)z,y,x(G

Mfz00Ty00

Cohésion

Remarque : si Ty est nul, alors la sollicitation est appelée flexion pure

Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant Tydx

dMfz

x

dD

r

z

y

T

Mf G

(S)



VIII.3. Contraintes Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes

normales . Les contraintes de cisaillement sont négligeables.

La contrainte normale s en un point M d'une

section droite (s) est proportionnelle à la distance y

entre ce point et le plan moyen passant par G.

y.Iz

Mf

VIII.4. Conditions de résistance


contrainte pratique à l'extension pe. On a :

se

pe

s est un coefficient de sécurité



pe

imax

Gz

imaxréelle

yI

Mf

VIII.5. Etude de la déformée Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est

principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :

yIEMf ..

Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce

aux conditions aux limites (appuis, encastrements...).

exemple de conditions aux limites :

Appui simple y = 0

Encastrement y = 0 y' = 0

VIII.6. Exemple

GZGZGZ

fz

IExF

IE

xF

IEM

xy..2.

.2.

.)(''

xFyIE GZ .''...2

première intégration

12².'...2 CxFyIE GZ

x

M

G

zone où les fibres sont tendues

y

zone où les fibres sontcomprimées

M



1².'...4 CxFyIE GZ

recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

4².

4².0 11

lFCClF

4².².'...4 lFxFyIE GZ

deuxième intégration :

23

23

23

12²...3..4

4²..

3..

4².

3....4 CxlFxFCxlFxFCxlFxFyIE GZ

recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe y

)

GZIExlFxFy

..48²...3..4 3 y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

GZGZGZGZ IE

lF

IE

llF

IE

llF

IE

llFlFy

..48

)2

2(

..48

)2

32

(

..48

)2

38

4(

..482

²...38..4 33333

3

GZIElFy..48

. 3

VIII.7. Flexion de poutres hyperstatiques Les seules équations de la statique ne suffisant pas pour résoudre le calcul des actions aux appuis. Il faut faire

intervenir en plus les équations de déformations.

Exemple 1

Une poutre AB en HEA 600 (IGZ/v = 4786 cm3 ; E =

2.105 MPa) de longueur l = 4m encastrée à ses deux

extrémités supporte en C une charge yF

.5000

Déterminer les actions en A et B

Equations de statique :

2/21 FBA SS (symétrie)

0.2

221 lBMFlM SSBSA :

022

21 FlMFlM SBSA

donc SBSA MM 11

le système est hyperstatique d’ordre 1

Equation de déformation :

Calcul du moment fléchissant quand 2

0 lx

xAMA

xAMATT

SSA

S

GSSA

S

G

Sextcoh

.0000

.0000

11

1

11

1 SASfz MxAM 11 .

Utilisation de l’expression de la déformée

SASGZ MxAyIE 11 .''..

B A C

F y

x

l

l/2 1

2

S

B A C

F y

x

SA1 SB 2

SAM 1

SBM 2



111 .2².'.. CxMxAyIE SASGZ

211

3

1 .2².

6... CxCxMx

AyIE SASGZ

00)0(' 1 Cy

00)0( 2 Cy donc 2².

6... 1

3

1xM

xAyIE SASGZ

Compte tenu de la symétrie de la déformée : 0)2

(' ly donc

4.

2

)²2

(2

2.)²

2(

22.

2

)²2

(.0 1

1

111

11lA

l

lA

MlMlAlM

l

A S

S

SASAS

SAS

21

FA S donc 8.

21lFMM SBSA

Torseur de cohésion pour 2

0 lx

)4

.(2

0

02

00

280

02

00

20

02

00

20

02/00

11 lxF

F

FxFl

F

FxM

F

FxM

FTTcoh

GG

SA

G

SA

G

Sext

zFxFlFxFlFxFl

Fx

FlAGAMM SSASG

.

2828

00

2

00

8

00

02

0

00

8

00

11

Torseur de cohésion pour lxl 2

))(4

.(2

0

02

00

2

)(

8.0

02

00

).(0

02

00

22 xllF

F

xlFlF

F

xlBM

FTTcoh

GG

SSBG

Sext

zxlFFl

xlFFlxlFFlFxl

FlBGBMM SSBSG

.

2

)(

8

2

)(

8

00

2

)(00

8

00

02

0

00

8

00

222

Effort tranchant

20 lx : NFTy 2500

2

lxl 2

: NFTy 25002

Moment fléchissant



0x : mNFlM fz .25008

4.50008

2lx : mNFlM fz .2500

84.5000

8

lx : mNFlM fz .25008

4.50008

Flèche maximale au point C

².16

.122

².6

... 31

3

1 xFlxFxMx

AyIE SASGZ

6.32)

21

31(

3264964.

168.

12..

333333 FlFlFlFllFllFyIE GZ

GZIE

lFy

..192

. 3

mmly 74,14786000.200000.192

4000.5000

2

3

IX. SOLLICITATIONS COMPOSEES

IX.1. Principe de superposition Dans la limite des déformations élastiques, le vecteur déformation en un point, du à un système de forces

extérieures est égal à la somme géométrique des vecteurs déformation dus à chacune des forces du système

agissant séparément.

Pour une poutre soumise à la traction flexion ou à la de la flexion torsion, on peut donc de manière

séparer faire l’étude de chaque sollicitation simple et faire ensuite la sommation des résultats

(déformation et contrainte).

IX.2. Critère de von misès

Dans le cas de poutres soumises à une flexion (générant une contrainte normale maximale

σmax) et à une torsion (générant une cission maximale τmax), le critère est (forme de Huber) :

B A C

F y

x

SA1 SB 2

SAM 1 SBM 2

y

B

A

C

x

8Fl

8Fl

B A

C

x 8Fl

8Fl

A

B C

D A

B

D A

C

D

= +

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LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR Parcours ...perso.univ-mlv.fr/calvet/ampi/docrdm/Cours 3_RDM.pdfCours 3 :Résistance des Matériaux O.CALVET L3 SPI options AMPI Licence SPI