Licence Creative Commons - Espace Ecole · Calvin 2015-2016 Licence Creative Commons Cours de mathématiques 3e – 4e année niveau 2 Jann WEISS

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Coursde

mathématiques3e – 4e année

niveau 2

Jann WEISS

S O M M A I R E

I Analyse : dérivation 101 Vers l’infini... 11

1.1 Quelques situations avec des processus infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 « Tendre vers » ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Un peu d’histoire et un brin de philosophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Les paradoxes de Zénon (né entre 495 et 480 av. J.-C.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.2 La méthode de l’exhaustion, embryon de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Y a-t-il plusieurs infinis ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Propriétés de base des nombres 24

2.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 La droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Propriétés des opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.4 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.1 Notion d’ordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Opérations et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.3 Théorèmes du rangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Distance, valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.5.1 Propriétés de la valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Le dernier axiome de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7 L’induction mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Rappels sur les fonctions et leur représentation graphique 393.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2 Quelques catégories de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Addition, produit, quotient et composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4 Définition ensembliste d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Graphiques de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 Graphes des fonctions f (x), f (x −h), f (x)+ v et k · f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.7 Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Le point sur les situations du type « tendre vers » 52

5 Suites et séries 56

5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.1 Modes de définition d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.2 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.3 Variations d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.2 Convergence ou divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.1 La série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.2 Suite géométrique de raison supérieure à 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.3 Quelques remarques sur le théorème d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.4 Suites qui tendent vers un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

4

5.3 Critères de convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.1 Limite d’une fonction d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3.2 Suites monotones bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.3 Point fixe et suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.4 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3.5 Comparaison de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.4 Le point final sur les suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.6 Annexe sur la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6.1 Illustration du théorème 5 - 4, page 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.6.2 Considérations autour du théorème 5 - 5, page 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.6.3 Rappel sur certaines suites en vue de faire des comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Variations d’une fonction 78

6.1 Taux d’accroissement et fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.1 Méthode élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.2 Méthodes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2 Extrema d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.2 Recherche des extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3 Le point sur les variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Limites 92

7.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.2 Propriétés et théorèmes sur la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.3 Recherche de δ en fonction d’un ǫ choisi, avec Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

8 Fonctions continues 99

8.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.2 Quatre théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.3 Limites de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

9 Extension de la notion de limite 106

9.1 Limites à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3 Opérations algébriques et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.3.1 Limite d’une somme de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.3.2 Limite d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099.3.3 Limite d’un quotient de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.4 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.4.1 Asymptotes verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.4.2 Asymptotes horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.4.3 Asymptotes « obliques » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.5 Asymptotes d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

10Un peu d’histoire 117

10.1 Les débuts de la dérivation : Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.1.1 Isaac Newton : une brève biographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2 Leibniz et sa notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.2.1 La dérivation : nouvelle notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.2.2 La règle du produit avec la notation de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.2.3 La règle de la composition avec la notation de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11La dérivation 123

11.1 Introduction et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.1.1 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.1.2 L’idée fondamentale du calcul différentiel : l’approximation locale des fonctions par des fonctions affines 12611.1.3 Quelques dérivées élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

11.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.3 Approximation de la racine carrée par la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

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11.4 Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13411.4.1 Recherche d’un extremum sur un intervalle fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

11.5 Exemples d’exercices d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.5.1 La boîte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13611.5.2 Le phare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

11.6 Exemples d’étude complète d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.6.1 f : x 7→ 3x5 −5x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

11.6.2 f : x 7→x3

x2 −4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11.6.3 f : x 7→

√x3

x −2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

12La notation différentielle 145

12.1 Variation d’une fonction et dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14612.2 Estimation de la variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.3 Notation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14712.4 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.5 Propriétés de la différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12.5.1 Différentielle d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.5.2 Différentielle d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.5.3 Différentielle d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14912.5.4 Différentielle d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

12.6 Intégrale d’une fonction entre deux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

12.7.1 Calcul de l’aire d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15012.7.2 Surface d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.7.3 Volume d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.7.4 Longueur d’un arc de courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.7.5 La chaînette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

13Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis 154

II Analyse : intégration 1601 L’intégrale définie 161

1.1 Problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1621.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1631.3 L’intégrale définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651.4 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1681.5 Activité autour du théorème de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711.6 Quel est le volume intérieur d’une sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711.7 Longueur d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721.8 Quadrature de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

2 L’intégrale indéfinie 174

2.1 Problème du train . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.3 Equations différentielles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1772.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3 Le théorème fondamental du calcul intégral 180

4 Méthodes d’intégration 183

4.1 Intégration par substitution ou changement de valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.3 Intégrales trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.4 Intégrales avec des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188


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4.5 Substitutions en utilisant les fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.6 Intégrales trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.7 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.8 Complément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4.8.1 Dérivée de la réciproque d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.8.2 Intégration par parties et formule de Taylor avec reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.9 Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5 Fonction logarithme et fonction exponentielle 199

5.1 Rappels sur les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.2 Rappels sur les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5.2.1 Rappel sur la représentation d’une fonction et de sa réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.2.2 Représentation graphique du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.3 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2035.4 Définition analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.4.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.5 Expression du nombre e comme limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.6 Étude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2085.7 Angle entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.7.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.7.2 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6 Solide de révolution(découpage en disques) 212

6.1 Rotation autour de l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.2 Rotation autour de l’axe des y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.2.1 Volume d’un solide de révolution par la méthode des « tubes » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2166.3 Exemple de calcul d’un volume d’un solide de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.4 Quelques solides de révolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.4.1 Reprise de l’exemple de la section précédente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.4.2 Exercice 5.54 tiré du Fundamentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

6.5 Autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7 Équations différentielles 221

7.1 Quelques situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2227.2 Modélisation de ces situations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2267.3 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.4 Équations différentielles du premier ordre : interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.6 Équations différentielles du premier ordre à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

7.6.1 Cas particulier : y ′′′ === g (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2327.6.2 Cas général : g (y) ··· y ′′′ === f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.7 Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2337.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2367.9 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2377.10 Général = Particulier + homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

III Géométrie vectorielle 2431 Espace vectoriel : vecteurs, points, droites et plans 244

1.1 Espace physique et espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2451.2 Notions de base et de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

1.2.1 Espace physique, espace vectoriel V3 et R3 : résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2501.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

1.3.1 Réponses partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2551.4 Quelques considérations remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2561.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


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1.5.1 Équations paramétriques et cartésiennes de la droite dans V3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2621.5.2 Équations paramétriques et cartésiennes de la droite dans V2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2651.7 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

1.7.1 Équation vectorielle du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2691.7.2 Équation cartésienne du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

1.8 Intersections plans/droites et systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2741.8.1 Trois plans donnés par leurs équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2741.8.2 Un plan donné par son équation cartésienne et une droite par son équation vectorielle . . . . . . . . . . 2741.8.3 Un plan donné par son équation vectorielle et une droite par son équation vectorielle . . . . . . . . . . . 2751.8.4 Un plan donné par son équation cartésienne et une droite par son équation cartésienne . . . . . . . . . 2751.8.5 Un plan donné par son équation cartésienne et un second plan par son équation vectorielle . . . . . . . 2751.8.6 Deux plans donnés par leurs équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2761.8.7 Deux plans donnés par leurs équations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

1.9 Section d’un cube par un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2791.10 Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

2 Produit scalaire 304

2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3052.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3052.1.2 Définition du produit scalaire dans un repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3062.1.3 Propriétés de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3072.1.4 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3072.1.5 Plan donné par un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3082.1.6 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3092.1.7 Distance entre un point et une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102.1.8 Distance entre un point et un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122.1.9 Projection orthogonale d’un point sur un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3132.1.10 Symétrique d’un point par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

2.2 Angle entre deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3142.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3142.4 Solutions aux exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3 Rappel sur quelques méthodes 324

3.1 Trouver un vecteur orthogonal à deux autres vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3253.2 Intersection de deux droites ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3253.3 Intersection d’un plan et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3263.4 Intersection de deux plans ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3263.5 Intersection de trois plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

4 Produit vectoriel, produit mixte 330

4.1 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314.1.1 Applications du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

4.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3344.2.1 Applications du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3374.4 Solutions de certains exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

IV Algèbre linéaire 3541 Systèmes linéaires et matrices 355

1.1 Approche géométrique des systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3561.1.1 Équations avec 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3571.1.2 Équations avec 3 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3581.1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

1.2 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3581.2.1 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361


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1.3 Notation matricielle pour les systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621.4 Général = particulier + homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

2 Espaces vectoriels 370

2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.2 Indépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3802.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3822.4 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

2.4.1 Espaces vectoriels et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

3 Applications entre espaces vectoriels 391

3.1 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3923.2 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3963.3 Image et noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3993.4 Applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

3.4.1 Représentation d’une application linéaire par une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4073.5 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

3.5.1 La somme et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4143.5.2 Multiplication matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4153.5.3 Matrices inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

3.6 Annexe 1 : parcours à travers quelques-unes des notions traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.6.1 Comment vérifier qu’une application est un automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.6.2 Une application linéaire est définie par les images des vecteurs de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4243.6.3 Les automorphismes ou transformations linéaires : aspects géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4273.6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

3.7 Annexe 2 : un exemple non géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4303.8 Annexe 3 : illustration du théorème du rang 3 - 3, page 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

V Probabilités 4341 Combinatoire 435

1.1 Quelques situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4361.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4371.3 Combinaisons, triangle de Pascal, binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

1.3.1 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4391.3.2 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

2 Théorie des probabilités 445

2.1 Notions de base : expérience aléatoire, événement ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4462.2 Définitions d’une probabilité simple, conditionnelle ou totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

2.2.1 Probabilité d’un événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4482.2.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4492.2.3 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4502.2.4 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

2.3 Les axiomes des probabilités et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4522.3.1 Les axiomes de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4522.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4542.5 Notions de variable aléatoire, d’espérance mathématique et de variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

2.5.1 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4622.5.2 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4632.5.3 Linéarité de l’espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4632.5.4 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

2.6 Loi ou distribution binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4652.7 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712.8 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472


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2.8.1 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.8.2 Passage d’une variable quelconque à sa forme centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4722.8.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

VI Les nombres complexes 474

Première partie

Analyse : dérivation

10

1Vers l’infini...C H A P I T R EZénon (-490 à -430)

Illustration tirée du livre La géométrie au fil de l’histoire de G. Wanner

12 1.1. QUELQUES SITUATIONS AVEC DES PROCESSUS INFINIS

Quelques situations avec des processus infinis1

Situation 1 (Mosaïque de cercles) Q est un carré de 1 m de côté et C en est le cercle inscrit.

Si on partage Q en carrés plus petits et que l’on y trace leurs cercles inscrits respectifs, on obtient la figuresuivante :

Augmentez, autant que vous l’imaginer, le nombre de subdivisions. L’aire de la partie hachurée (cellecouverte par les disques) croît-elle, décroît-elle, ou reste-t-elle toujours la même ?

Et qu’en est-il si on se pose le problème dans l’espace avec la somme des volumes des boules ? la sommedes aires des sphères ?

Situation 2 (Une étrange spirale) D’un point de départ, on parcourt un demi-cercle de rayon 1, puis on conti-nue par un demi-cercle de rayon 1/2, ainsi de suite, chaque demi-cercle a un rayon qui est la moitié duprécédent.

P

À quelle distance du départ se situera l’arrivée ? Quelle sera la longueur du chemin ?

(La technique utilisée pour calculer ces grandeurs est analogue à celle permettant de transformer unnombre à partie décimale périodique en fraction)

Situation 3 (Intérêt simple et intérêt composé) Est-il plus avantageux de placer un capital à intérêt simple autaux annuel de 10% ou à intérêt composé au taux annuel de 5% ? Faire un graphique de la progression ducapital dans chaque cas.

Situation 4 (Polygones emboîtés) On part d’un carré et on y inscrit un octogone régulier. Dans cet octogone,on construit un 16-gone régulier de manière analogue et ainsi de suite. Que deviennent, si on continue,les aires des polygones ainsi construits ?

etc.

D’abord, comment faut-il s’y prendre pour construire un octogone ?


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CHAPITRE 1. VERS L’INFINI... 13

Pour construire correctement un octogone inscrit dans ce carré, il convient de tracer les diagonales ducarré et d’y reporter les apothèmes de l’octogone, comme l’indique la figure ci-dessus. Le même procédépermet de construire les 16-gone, 32-gone, etc.

Il est facile de remarquer que tous ces polygonesont le même apothème, et donc qu’ils sont touscirconscrits au cercle inscrit dans le carré initial.Les aires de ces différents polygones vont doncen diminuant et se rapprochent de plus en plusde l’aire du disque.

Situation 5 (Encore des polygones emboîtés) Cette fois, on va construire des octogones qui s’emboîtent lesuns dans les autres. Le deuxième se construit en joignant les milieux des côtés du premier, puis le troi-sième en joignant les milieux des côtés du deuxième, et ainsi de suite.

Comment évoluent, si on continue, les aires des octogones successifs ?

Visiblement, les aires vont en diminuant. La question que l’on se pose est selon quelle loi elles dimi-nuent ? On peut d’abord remarquer que tous ces octogones sont semblables (tous les octogones réguliersle sont, en fait) et que le rapport de similitude de chacun au suivant est constant. Quel est ce rapport ?Pour cela, le plus simple est de comparer deux apothèmes successifs. Ils forment les côtés d’un trianglerectangle dont un angle vaut 22,5°. Donc ...

Une fois que ce rapport est trouvé, quel est le rapport entre deux aires successives ?


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14 1.2. « TENDRE VERS » ...

2 2 . 5 °

« Tendre vers » ...2

Les situations précédentes ont montré plusieurs processus infinis. Parfois les grandeurs en jeu augmententindéfiniment (le capital avec les intérêts), parfois elles diminuent jusqu’à frôler indéfiniment la valeur 0 (lesoctogones emboîtés), et parfois les grandeurs se stabilisent en s’approchant d’une valeur que l’on peut calculer(les polygones emboîtés, la spirale). Dans ce dernier cas, les écarts entre les valeurs successives deviennent«infiniment petits».

En particulier, une suite de valeurs strictement décroissantes ne tend pas forcément vers 0, comme le montrele cas des polygones emboîtés. De façon analogue, une suite de valeurs strictement croissantes ne devient pasnécessairement arbitrairement grande, ainsi que l’illustre la situation de la spirale où sa longueur se rapproched’aussi près que l’on veut d’une valeur finie.

Ses différentes situations peuvent aussi être présentées dans des graphiques qui montrent de manière tangiblecomment évoluent les grandeurs impliquées.

Par exemple, l’évolution du capital placé à intérêt simple ou à intérêt composé peut être visualisée par ungraphique. En faisant un seul graphique pour les deux types de placements, on peut trouver plus ou moinsexactement au bout de combien d’années les intérêts composés au taux de 5% deviennent plus intéressantsque les intérêts simples au taux de 10%. À faire en exercice.

Des similarités apparaissent aussi dans les suites de nombres impliquées apparaissant dans les différentessituations. Certaines sont engendrées par multiplications successives, d’autres par additions successives.

1. Une suite est dite géométrique si pour passer d’un terme au suivant on multiplie toujours par lemême nombre, appelé raison de la suite.

— Lorsque la raison r est strictement supérieure à 1 et que le premier terme est positif, les termessont croissants et deviennent aussi grand que l’on veut. Par exemple, si le premier terme vaut1 et que r = 2, le terme général sera 2n . Celui-ci peut dépasser n’importe quel nombre enchoisissant n suffisamment grand.

— Lorsque le premier terme est positif et la raison strictement inférieur à 1, les termes de-viennent de plus en plus petit et se rapprochent aussi près de 0 que l’on veut.

2. Une suite est dite arithmétique si pour passer d’un terme au suivant on ajoute toujours le mêmenombre appelé raison. L’exemple le plus simple est : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc..

3. La somme des termes d’une suite s’appelle une série.

Définition 1 - 1


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Voici quelques exemples de séries

premier terme

de la suite

raison

de la suitesérie arithmétique série géométrique

4 10 4+14+24+34+ . . . 4+40+400+4000+40000+ . . .

0,3 1/10 0,3+0,4+0,5+0,6+ . . . 0,3+0,03+0,003+0,0003+ . . .

5 1 5+6+7+8+ . . . 5+5+5+5+ . . .

2 −1 2+1+0+ (−1)+ (−2)+ . . . 2−2+2−2+2−2. . .

Exemple

1 - 1

Qualifier (arithmétique ou géométrique) toutes les suites découvertes à travers les situations de ce chapitre.

1 - 2

Vrai ou faux. Justifier !

1. La suite 12 ,13 ,

14 ,

15 , ... est une suite géométrique.

2. La suite 122

, 132

, 142

, 152

, ... est une suite géométrique.

3. La suite 13 ,19 ,

127 ... est une suite géométrique.

4. On peut prolonger la suite 5, 15, 45, ... pour qu’elle soit géométrique.

5. Il y a des suites décroissantes de termes positifs qui ne tendent pas vers zéro.

6. Il y a des suites croissantes qui ne tendent pas vers l’infini.

7. Si on multiplie par un même nombre non nul tous les termes d’une suite arithmétique, on a encore unesuite arithmétique.

8. Si on multiplie par un même nombre non nul tous les termes d’une suite géométrique, on a encore unesuite géométrique.

1 - 3

Une suite commence par les deux termes 15 et 19. Trouver les termes suivants sachant qu’elle est arithmétique.Quel est son dixième terme ? Et son 100e ? Et son ne ?

Même question dans l’hypothèse où la suite est géométrique.

1 - 4Trouver une formule qui exprime la somme des n premiers nombres entiers positifs 1+2+3+4+5+6+ ...+n,puis trouver une formule exprimant la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique. Cette sommeSn = a + (a + r )+ (a +2r )+ (a +3r )+ ...+ (a + (n−1)r ) s’appelle une série arithmétique.

1 - 5

Trouver une formule exprimant la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison r dont lepremier terme est 1. Cette somme Sn = 1+ r + r 2 + r 3 + ...+ r n−1 est appelée une série géométrique.

Que vaut cette somme si le premier terme a la valeur a ?

Une série géométrique de premier terme a et de raison −1< r < 1 a pour somme S =∞∑

k=0ar k =

a

1− rPropriété 1 - 1

1 - 6

Représenter par des séries géométriques les dessins suivants. Vérifier par calcul que la somme de la série donnebien le résultat suggéré par les dessins.


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16 1.2. « TENDRE VERS » ...

12

14

18

116

132

164

. . .. . .

12

12

14

14

18

18

1 - 7

Un nombre décimal périodique peut être considéré comme une série géométrique dont la raison est une puis-sance de 110 . Par exemple :

0,33333 · · · =3

10+

3

100+

3

1000+

3

10000+ . . .

Utiliser la formule ci-dessus pour exprimer ce nombre par une fraction. Même chose avec les nombres :

(a) 0,0909090909. . . (b) 0,123412341234. . . (c) 0,999999999. . .

Complément à la situation 3 Cn = C(1+ 1n

)nt, avec

C = capital, i = taux d’intérêt annuel exprimé sous forme décimale, n = nombre de périodes d’intérêts par année,t = nombre d’années d’investissement et cn = montant après t années.


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Progression du capital

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Années

Cap

ital

Intérêt simple à 10%

intérêt composé à 5%

Progression du capital

0

20

40

60

80

100

120

140

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

Années

Cap

ital

Intérêt simple

Intérêt composé

n 1+0,1n 1,05n

1 1.1 1.050 2 1.2 1.103 3 1.3 1.158 4 1.4 1.216 5 1.5 1.276 6 1.6 1.340 7 1.7 1.407 8 1.8 1.477 9 1.9 1.551 10 2 1.629 11 2.1 1.710 12 2.2 1.796 13 2.3 1.886 14 2.4 1.980 15 2.5 2.079 16 2.6 2.183 17 2.7 2.292 18 2.8 2.407 19 2.9 2.527 20 3 2.653

n 1+0,1n 1,05n

5 1.5 1.276 10 2 1.629 15 2.5 2.079 20 3 2.653 25 3.5 3.386 30 4 4.322 35 4.5 5.516 40 5 7.040 45 5.5 8.985 50 6 11.467 55 6.5 14.636 60 7 18.679 65 7.5 23.840 70 8 30.426 75 8.5 38.833 80 9 49.561 85 9.5 63.254 90 10 80.730 95 10.5 103.035 100 11 131.501

Les différentes situations vues ont toutes un rapport avec la notion de limite. Dans les chapitres suivants,nous en verrons d’autres. D’ores et déjà, on peut dire que l’analyse est le domaine des mathématiques quitraite de la notion de limite et, par conséquent aussi, de l’infini.

Aparté


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18 1.3. UN PEU D’HISTOIRE ET UN BRIN DE PHILOSOPHIE

Un peu d’histoire et un brin de philosophie3

3 1 Les paradoxes de Zénon (né entre 495 et 480 av. J.-C.)

Dans notre culture occidentale, on peut faire remonter l’histoire des concepts d’infini et de limite aux phi-losophes présocratiques. Les deux concepts sont d’ailleurs intimement liés comme nous le verrons avec lethéorème d’Archimède(cf. page 35). Pour le moment, il suffit de considérer qu’atteindre une certaine limiteconsiste à s’en approcher de plus en plus. Mentalement, ce processus peut être traduit par une itération infinied’étapes : je franchis d’abord la moitié de la distance qui me sépare de mon but, puis la moitié de la distancerestante, et ainsi de suite ...Les paradoxes de Zénon ont été imaginé par son auteur pour défendre la doctrine de son maître Parménideselon lequel la pluralité n’existe pas, pas plus que le mouvement d’ailleurs. Le monde est un et indivisible,contrairement aux évidences trompeuses de nos sens. Affirmer le contraire conduit à des situations intenables,celles dévoilées dans les fameux paradoxes. Ils étaient destinées aux adversaires de son mentor, parmi lesquels,on trouve les membres de l’école pythagoricienne et les émules d’Anaxagore. Parménide a lui-même fondéeune école pour soutenir ses positions, celle d’Élée, dont les membres sont appelés les Éléates.Pour les pythagoriciens, l’univers auquel ils donnèrent le nom de cosmos (en grec : beauté, ordre) en raisonde son organisation harmonieuse, est composé d’éléments discrets : le temps et l’espace sont constitués departies indivisibles. Ainsi un segment, une surface ou un volume sont des ensembles de points. De plus, toutesles grandeurs de même nature (par exemple, des segments) sont commensurable (cf. page 26), ce qui signifiequ’il est toujours possible d’exprimer le rapport entre deux grandeurs de même nature par un quotient de deuxentiers.Anaxagore et ses disciples s’opposaient à cette représentation de l’espace et du temps en parties indivisibles.Pour eux, l’un et l’autre étaient divisibles indéfiniment. L’univers est continu et non pas constitué d’élémentsdiscrets, de petits éléments séparés les uns des autres. Cette dernière conception était, pour eux, analogue à unepoignée de sable sans lien, sans continuité. Pour une discussion complète des paradoxes, le diaporama donnépar ce lien est très intéressant. http://cll.qc.ca/Professeurs/Mathematiques/Rossa/Logimath/Zenon.pps

3 1 a Les paradoxes de la pluralité

Paradoxe de la densité

Si les choses sont multiples, il y en a autant qu’il y en a, ni plus ni moins. Leur nombre est doncfini. Mais elles sont aussi en nombre infini, car deux choses sont toujours séparées par une troi-sième, et celle-ci de la première par une quatrième, et ainsi indéfiniment. Ainsi, si la pluralitéexiste, elle doit être à la fois infinie et finie.

L’argument repose sur la densité : deux choses, aussi proche soit elle l’une de l’autre, sont toujours sépa-rées par une troisième. La densité est un concept mathématique que nous verrons plus loin.

Paradoxe de la divisibilité

Si un objet est par nature divisible entièrement de part en part, que reste-t-il ? Une étendue,même très petite ? Non, c’est impossible, car on aurait quelque chose qui n’a pas été divisé, alorsque par hypothèse, l’objet a été divisé de part en part. Mais s’il ne reste plus d’objet étendu, alorsl’objet consiste alors en points sans étendue ou en rien. Mais dans le premier cas, l’objet est alorsune collection de points sans étendue, alors il n’aura pas d’étendue lui-même. Dans le deuxièmecas, un ensemble de rien donne toujours rien !

Les arguments sous-jacents à ces deux paradoxes se retrouvent de manière plus imagée dans les paradoxessuivants de Zénon desquels découlent que le mouvement est impossible. En réalité, ce qui est à l’oeuvre dansces raisonnements est notre compréhension des notions de limite et d’infini. Le fait qu’elle peut ouvrir la voieà ces paradoxes fait que pendant longtemps les penseurs se sont interdits de les utiliser. Il a fallu attendre leXIXe siècle de notre ère pour qu’il en soit autrement.

3 1 b Paradoxes de la divisibilité

Paradoxe de la dichotomie (contre la divisibilité infinie du temps et de l’espace)

Si un segment de droite est infiniment divisible, alors pour parcourir ce segment, il faut d’aborden atteindre la moitié, mais avant d’arriver à celle-ci, il faut également en atteindre la moitié,donc le quart du segment initial. Cependant avant de parcourir le quart de la distance, il fauten parcourir le huitième, et ainsi de suite à l’infini. Il s’ensuit que le mouvement ne peut jamaiscommencer

une autre version du même paradoxe est :


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http://cll.qc.ca/Professeurs/Mathematiques/Rossa/Logimath/Zenon.ppshttp://icp.ge.ch/po/calvin/espace-pedagogique/math/cours-de-j.-weiss


Achille lance un javelot pour toucher une cible. Ce javelot doit d’abord parcourir la moitié de ladistance le séparant de celle-ci, puis la moitié de la distance restante, et encore la moitié de ladistance restante, et ainsi de suite à l’infin. Comme auparavant, puisque la distance est indéfi-niment divisible, le javelot n’atteindra jamais la cible et le mouvement est impossible.

Si on additionne tous les temps pour parcourir ces distances successives, on obtient (t =1

v︸︷︷︸k

·d = k ·d)

T =k

2+

k

4+

k

8+

k

16· · · =

∞∑n=1

k

2n

Que vaut cette somme ? C’est une somme d’un nombre infini de grandeurs positives et, intuitivement,cette somme semble être divergente. Cependant, si on ne fait que la somme des distances

∑∞n=1

12n , elle

devrait être finie !

Aristote a réfuté ce paradoxe en indiquant qu’il ne tient que si on considère que le temps est composéd’unités indivisibles. Si, par contre, le temps est lui-même indéfiniment divisible comme l’espace, lestemps à additionner sont de plus en plus courts, et on se trouve dans une situation analogue à celle del’espace.

I. Supposons d’abord que le temps est composé d’unités indivisibles et qu’à chaque unité de temps, lejavelot parcourt une fraction de la distance. Dans le tableau et le graphique ci-dessous, la distanceindiquée correspond à la distance qu’il reste à franchir :

t d

0 1

1 1/2

2 1/4

3 1/8

4 1/16...

...

1/2 1/4 1/8

1 2 3 4 5 6 7 8

b

b

b

bb

Unités de temps indivisibles

Dis

tan

ceà

par

cou

rir

d

t

II. Maintenant supposant que le temps est également divisible à l’infini

On suppose que la distance à la cible est de 20 mètres et que la vitesse du mobile est de 10 m/s.Pour tout entier naturel non nul n, on note tn le temps nécessaire pour aller du point de lan-cement à la ne division.

(a) Calculer t1 et t2.

(b) Exprimer tn en fonction de n.

(c) Calculer la limite de tn lorsque n tend vers ∞. Pouvait-on prévoir ce résultat ?(d) Trouver un moyen pour calculer la somme D =∑∞n=1 12n .

☞ Calculer 12 ·D et comparer le résultat avec D.

Recherche

t d

0 1

. . . 1/2

. . . 1/4

. . . 1/8

. . . 1/16...

...

b

b

b

bb

Unités de temps divisibles

Dis

tan

ceà

par

cou

rir

d

t

Paradoxe d’Achille et la tortue


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Achille fait une course avec la tortue à qui il accorde une longueur d’avance. Quand Achilleatteint le point d’où est partie la tortue, celle-ci a, pendant ce temps, parcouru une certaine dis-tance. Lorsqu’Achille, en poursuivant sa course, aura aussi avalé cette distance, la tortue aura ànouveau franchi une certaine distance. À chaque fois qu’Achille aura parcouru la distance qui lesépare de la tortue, celle-ci s’éloigne à nouveau et elle aura ainsi toujours une longueur d’avance.Il ne pourra jamais la dépasser même s’il court beaucoup plus vite. Le mouvement est donc im-possible. La somme infinie des distances successives que doit parcourir Achille pour rattraperla tortue, sans égard à ces longueurs, est infinie. Il ne pourra jamais la rattraper, même si ellecourt très lentement : ∞· 0 = ∞ ! Mais, on verra dans les prochains chapitres que rien n’estmoins sûr ...

On suppose qu’Achille court à la vitesse de 10 m/s, que la tortue a une vitesse de 5 cm/s et que ladistance initiale les séparant est de 100 m. On note Po la position initiale d’Achille et P1 la positioninitiale de la tortue, P2 la position de la tortue lorsqu’Achille atteint P1, P3 la position de la tortuelorsqu’Achille atteint P2 et ainsi de suite.

1. Calculer les distances P1P2 et P2P3. Démontrer que la suite des distances PnPn+1, pour n en-tier naturel, est une suite géométrique.

2. Exprimer en fonction de n la distance Po Pn.

3. On note tn le temps que met Achille pour parcourir la distance PoPn . Exprimer tn en fonctionde n, puis démontrer que la suite {tn } admet une limite finie.

4. Déterminer de façon simple le moment où Achille rattrape la tortue (en donnant pour cha-cune une fonction représentant la distance parcourue en fonction du temps).

5. Interpréter chacun des graphiques ci-dessous

1 2 3 4 5 6 7 8

b

b b

b b

b bb b

b

Dis

tan

ceà

par

cou

rir

d

t

t1 t2 t3

d

t

Recherche

Paradoxe de la flèche (contre la conception des unités indivisibles)

Si le temps est fait d’instants indivisibles, alors une flèche en mouvement est toujours arrêtée,car à tout instant la flèche est en une position donnée et occupe un espace égal à elle-même.Puisque cela est vrai en tout instant, il s’ensuit que la flèche ne se déplace jamais parce qu’uncorps qui occupe toujours le même espace ne se déplace pas.

Le temps est composé d’instants et une flèche en mouvement ne parcourt aucune distance à un ins-tant donné – elle occupe un espace égal à elle-même. La durée totale d’un mouvement est composéed’instants dont chacun contient une flèche au repos, donc la flèche ne bouge pas !

L’objection à ce raisonnement vient de la tentative de calculer la vitesse en un instant donné en utilisantla formule bien connue : v = dt . Si un instant a une durée nulle et que la distance parcourue est nulledonne 00 ! Mais ceci n’est pas un nombre, ni zéro ni un autre. On verra plus tard que c’est une valeurindéterminée.

Pour savoir si la flèche est en mouvement, il est nécessaire de considérer un intervalle de temps fini au-tour de l’instant considéré et de vérifier si elle s’est déplacée durant cet intervalle de temps. On peut rac-courcir cet intervalle pour avoir une meilleure estimation de la vitesse. On verra dans ce cours commenton peut raccourcir indéfiniment cet intervalle pour calculer une vitesse instantanée. Pour le moment,il suffit de dire que le mouvement entre deux points n’est que l’effet lié au fait que la flèche occupe despositions successives intermédiaires à des instants successifs intermédiaires, comme dans un film fait de24 images par seconde.

3 2 La méthode de l’exhaustion, embryon de l’analyse

Malgré les difficultés liées à la notion de divisibilité, les mathématiciens grecs ne se privèrent pas de l’utiliserde manière implicite dans certaines méthodes de calculs et avec grand succès. C’est le cas de la méthode de


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l’exhaustion. On l’attribue à Eudoxe de Cnide (contemporain de Platon, 4e siècle av. J.-C.), mais c’est Archimèdequi en fit l’usage le plus large en utilisant la propriété qui porte son nom (cf. page 35). Son succès fut considé-rable et durable puisqu’il fallut attendre le XVIIe siècle avec l’apparition de la méthode des indivisibles due àCAVALIERI (1598-1647) pour qu’elle perde de son importance et le XVIIIe siècle pour qu’elle devienne obsolèteavec l’analyse.

L’exhaustion repose sur le principe d’Archimède qui sans le dire explicitement admet comme acquis la divisi-bilité infinie d’une grandeur. Nous verrons dans le chapitre suivant la place de cet axiome dans la constructiondes nombres réels.

Dans un système déductif, un axiome est un point de départ qui est admis sans devoir être démontré, gé-néralement c’est une évidence : les axiomes sont les briques de départ sur lesquels on développe ensuitetoute une théorie qui n’est rien d’autre qu’un système logique. Les théorèmes sont les propositions qu’ila été possible de déduire des axiomes.

Aparté

Selon les premiers axiomes admis dans cette construction, la proposition d’Archimède est soit un axiome, soitun théorème. La formulation qu’Euclide en donne dans ses Éléments est :

En soustrayant de la plus grande de deux grandeurs données plus de sa moitié, et du reste plus de samoitié, et ainsi de suite, on obtiendra après réitération finie de ce procédé une grandeur moindre que laplus petite.

Propriété 1 - 2

Soit deux grandeurs ǫ (petite) et A (grande). Si on retranche de A une part plus grande que sa moitié, on obtientune longueur A1 tel que A1 < A2 . Si on poursuit en faisant pareil avec A1, on obtient A2 tel que A2 <

A4 , puis

successivement An < A2n . La propriété d’Archimède énonce qu’en prenant n suffisamment grand (n itérations),on aura

· · · < An+1 < ǫ< An < ·· · < A1 < A et An <A

2n

Pour trouver par la méthode d’exhaustion l’aire d’un disque, on admet comme démontré que

1. le périmètre d’un cercle est donné par l’expression 2πr

2. l’aire d’un polygone régulier est donnée par l’expression p2 ·a, où p est le périmètre du polygone et a lalongueur de son apothème.

On veut démontrer que l’aire A du cercle vaut S = πr 2 = r · 2πr2 (on verra plus loin l’utilité de cette écriture :rayon × la moitié du périmètre du cercle). Pour le faire, on va supposer le contraire, soit que A > S ou A < S.Si l’un et l’autre sont faux, le fait de les supposer vrai devrait nous conduire à une contradiction dans l’un etl’autre cas.

Preuve par l’absurde.

I. Supposons que l’aire du cercle A soit plus grande que ce que donne l’expression S : A > S.

On note ǫ= A−S et on considère des polygones d’aire Pn inscrits dans le cercle. On cherche maintenantà appliquer la propriété d’Archimède à ǫ et A−Pn . Pour cela, il faut réussir à créer une succession depolygones inscrits Pn tels que A−Pn+1 < A−Pn2 . On considère d’abord un carré P1 inscrit dans le cercle,puis on divise chacun des quatre arcs en deux pour obtenir un octogone P2. On voit aisément que cettedivision des arcs enlève plus de la moitié de l’aire coloré en vert :

A−P12

> A−P2

b

Ab

B

b CbD

b CbD

bE

b

O

Ha

Selon la propriété d’Archimède, il existe n tel que

A−Pn < ǫ ou A−Pn < A−S ⇒Pn = h ·p

2> S = r ·

2πr

2


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Mais a < r et le demi-périmètre p2 du polygone inscrit est plus petit que le demi-périmètre du cercle2πr

2 ! ! ! Contradiction ! Donc l’hypothèse de départ A > S est fausse.II. Supposons alors que A HL = LM.— l’aire du triangle DHL = DL·h2 >

LM·h2 = aire △HLM > aire verte délimitée par HLM

Donc l’aire rouge est inférieure à la moitié de l’aire verte.

On peut ainsi obtenir une suite de polygones d’aires décroissantes

P1 > P2 > ·· · > Pn > Pn+1 > A etPn −A

2> Pn+1 −A

Par application de la propriété d’Archimède, au terme d’un nombre fini d’itération, on a à partir d’uncertain n : Pn − A < ǫ = S − A. On en déduit que Pn < S, mais ceci est absurde, car le périmètre p despolygones circonscrits au cercle est supérieur à celui L du cercle :

Pn =p

2·OH =

p

2· r >

L

2· r = S,c’est-à-dire Pn > S

Par conséquent, l’aire A du cercle n’est pas inférieure à celle donnée par l’expression S.

On tire de I et II la conclusion que l’aire du cercle est donnée par l’expression S =π · r 2. �

La méthode par exhaustion peut être considérée comme annonçant celle de limite. Dans son ouvrage Expo-sition élémentaire des principes des calculs supérieurs(1787), S. L’Huillier présente les limites comme une in-terprétation particulière de la méthode d’exhaustion des mathématiciens grecs : « Étant donné une quantitévariable, toujours plus petite ou plus grande qu’une quantité donnée ; mais qui peut différer de celle-ci demoins qu’une quantité arbitraire, si petite soit-elle ; cette quantité constante est appelée la limite en grandeurou en petitesse de la quantité variable ».CAUCHY(1789-1857) a imposé la notion de limite comme base du calcul infinitésimal, mais sa définition estencore un peu vague : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s’approchent in-définiment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière estappelée la limite de toutes les autres » (résumé des « leçons » données à l’École royale polytechnique sur lecalcul infinitésimal, 1823). Cependant, il mettra le doigt sur un point capital : les grandeurs infiniment petitesne sont pas à considérer comme constantes, mais variables. C’est ce que traduit l’expression « aussi petit quel’on veut ». Dans sa discussion des « infiniment petits indivisibles » Pascal avait déjà remarqué que si on divise


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une grandeur par 2, puis encore par 2 et ainsi de suite, la situation est la suivante. Si la division a une fin, alorson admet l’existence d’indivisibles. Si ceux-ci ont une étendue, ils sont encore divisibles, ce qui est absurde. Parcontre, s’ils n’ont aucune étendue, on ne peut les remettre ensemble pour reformer la grandeur dont ils sontissus par division ... donc cela signifie que la division se poursuit indéfiniment ! Cet infiniment petit est doncvariable, négligeable par rapport à des grandeurs mesurables, mais pas si négligeable que cela selon les cas,comme l’avait remarqué EULER(1707-1783). Par exemple, on a

1+1

4+

1

9+

1

16+·· ·+

1

n2+·· · =

π2

6

mais

1+1

2+

1

3+

1

4+·· ·+

1

n+·· · −→+∞

même si dans chacun des cas on ajoute des infiniment petits.

Il faudra attendre Weierstrass (1861) pour obtenir la définition moderne de limite (avec les ǫ et δ) que nousverrons dans un chapitre ultérieur. Pour que l’édifice de l’analyse soit bien consolidé, il ne manque alors qu’unethéorie satisfaisante des nombres réels avec la notion de borne supérieure pour une partie non vide majorée.Elle viendra dans la décennie qui va suivre avec des mathématiciens comme Weierstrass, Dedekind et Cantor.

3 3 Y a-t-il plusieurs infinis ?

En comparant des ensembles composés d’un nombre non fini d’éléments, les mathématiciens du Moyen-Âgese heurtèrent à des situations surprenantes. La figure suivante permet d’affirmer qu’il y autant de points sur lepetit cercle que le grand.

b

b

b

Le grand cercle semble avoir plus de points et pourtant, il a le même nombre infini d’éléments que le petitcercle...

Plus tard, GALILÉE (1564-1642) remarqua qu’on pouvait faire correspondre à chaque nombre entier son carréet réciproquement qu’à chaque carré on pouvait faire correspondre sa racine carrée. En d’autres termes, il ya autant d’entiers naturels que de carrés parfaits. Contre les apparences, ces infinis sont de même taille ... Onpeut faire la même remarque avec les nombres pairs qui sont aussi nombreux que les nombres entiers.

Fin XIXe siècle, Cantor fonda la théorie des ensembles (1874) et fournit des résultats qui malgré leur aspectcontre-intuitif, n’en demeurent pas moins extrêmement bien fondé : il attribua à N le cardinal (c.-à-d. lenombre d’éléments) ℵo (se lit aleph zéro) qui est celui de l’infini dénombrable. À chaque entier positif, onpeut lui coller sur le dos un dossard et il s’agit du plus petit cardinal d’un ensemble infini. Comme l’avaientdéjà pressenti certains, 2ℵ0 = ℵ0 : il y autant de nombres pairs que de naturels. Il démontra aussi qu’il y a au-tant d’entiers tout court que de naturels, autant de rationnels que de naturels ... Comme un rationnel peut-êtrereprésenté par une fraction, cela signifie que ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 ...Tous ces ensembles sont dits dénombrables, car ilspeuvent tous être mis en bijection avec l’ensemble des nombres naturels.

Par contre, il n’en est plus de même avec R. Il est non dénombrable : il n’est pas possible de coller à chaque réelun dossard. De plus, il y a autant de nombres dans l’intervalle [0,1] que dans R, dans l’intervalle [0,1] que dansun carré ! ! L’ensemble des points de la droite et celui des points du plan ont le même cardinal. Cet infini, plusgrand que celui des ensembles dénombrables, est noté ℵ1, appelé aussi la puissance du continu, comme on leverra dans le chapitre suivant qui traite justement des ensembles de nombres.


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2Propriétés debase desnombresC H A P I T R E« Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme ?» (Leopold Kronecker)

Les nombres réels, utilisés tous les jours dans toute sorte de me-sures ou de calculs, constituent les fondements de cette discipline desmathématiques appelée « Analyse ». Il est donc important d’en avoirune certaine connaissance qui dépasse celle de leur usage ordinaire.

Les réels sont caractérisés par un système d’axiomes qui ex-priment quelques propriétés fondamentales dont découlent toutesles autres propriétés et finalement toute l’Analyse

CHAPITRE 2. PROPRIÉTÉS DE BASE DES NOMBRES 25

Les ensembles de nombres1

Les entiers

N= {0,1,2,3,4,5,. . . } est l’ensemble des entiers naturels

Z={0,+1,-1 ;+2 ;-2 ;+3 ;-3,. . . } est l’ensemble des entiers relatifs

N⊂ZZ est une extension de N qui se justifie du fait que la soustraction n’est pas toujours définie dans N.

12 ∈N et 17 ∈Nmais 12−17 =−5 et −5 6∈N

Les décimaux

D désigne l’ensemble des nombres décimaux. Ce sont les nombres qui ont une écriture finie en base 10.

3 2,8 -4,116 sont des nombres décimaux

0,3 −5,2345 π ne sont pas des nombres décimauxLes décimaux sont les seuls nombres que connaît la calculatrice.De plus, elle n’en connaît qu’une partie.

Les rationnels

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers (fraction). On saitque celui-ci n’est généralement pas un entier35 6∈Z ou

23 6∈Z

Parfois le quotient est un nombre décimal, d’autres fois c’est un nombre dont la partie décimale est illi-mitée.

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

2 - 8

Montrer que dans ce dernier cas (où le quotient comporte une partie décimale illimitée) la partie déci-male est périodique.

2 - 9

Montrer que tout nombre décimal est un nombre rationnel.

2 - 10

Montrer que tout nombre à partie décimale illimitée et périodique est un nombre rationnel.

2 - 11

Montrer qu’entre deux nombres rationnels, il en existe toujours un 3e. Ce n’est pas le cas avec les entiers.

Les pythagoriciens (Ve siècle avant notre ère) pensaient pouvoir tout ramener aux nombres entiersou à des rapports entre nombres entiers (rationnels). En particulier, ils liaient l’harmonie du mondeaux rapports rationnels existant entre les choses. Ainsi avaient-ils découvert que les harmonies mu-sicales pouvaient être exprimées par des rapports de nombres entiers. Par exemple, l’intervalle mu-sical entre la note produite par une corde tendue et celle produite par une autre dont la longueurest la moitié de la première est une octave. La surprise vint d’une figure élémentaire : le carré. Sadiagonale est incommensurable avec son côté, c.-à-d. qu’il n’existe pas d’unité commune a pourlaquelle ces deux segments ont une mesure entière. Autrement dit, le rapport entre la diagonale etle côté ne donne pas un nombre rationnel.

Donc ce qu’on n’a pas, c’est quelque chose du genre :

diagonale= 14a et côté = 10adiagonale

côté=

14a

10a=

14

10

a

En effet, pour un carré de côté 1, la diagonale vautp

12 +12 =p

2. Encore faut-il montrer que cenombre n’est pas un rationnel !

Remarque

L’antiphérèse : les Grecs de cette époque utilisaient une méthode pour déterminer une unité communeentre deux segments appelée l’antiphérèse.


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26 2.1. LES ENSEMBLES DE NOMBRES

Soit deux segments [AB] et [CD] telsque AB > CD. On construit un seg-ment de longueur r1 en prenant ladifférence entre les deux segmentsinitiaux, comme ci-contre. Puis, onrecommence la procédure avec lesegment [CD] et celui de longueurr1. Assez rapidement, on aboutit àdeux segments de même longueurou qui paraissent tels. Cette lon-gueur sera celle qui servira d’unitécommune entre les deux segments[AB] et [CD] de départ de telle sorteque chacun d’eux pourra s’exprimerpar un nombre entier d’unités.

1. Montrer les limites de cetteméthode.

2. Faire l’analogie avec la re-cherche du PGCD par la mé-thode des soustractions suc-cessives.

A B

C D

r1

AB= CD+ r1

r1

C D

r2

AB= 2 ·CD+ r2

C D

r2r3

CD = r2 + r3AB= 2 · (r2 + r3)+ r2 = 3r2 +2r3

r3

r2r4

CD = 2r2 + r4AB= 3r2 +2 · (r2 + r4) = 5r2 +2r4

r2

r4r5 = r4

CD = 2(2r4)+ r4 = 5r4AB= 5 · (2r4)+2r4 = 12r4

donc,CD

AB=

5

12ou CD=

5

12AB

Une application de cette même méthode permet aussi de montrer que le côté du carré n’est pas com-mensurable avec sa diagonale.

On l’applique aux segments [AB] et [AC]. Pour cela, on place le point E sur[AC] tel que AE = AB, et le point F à l’intersection de la perpendiculaire à(AC) qui passe par E et de (BC).(AC, AB) = (AC, AE) −→ a (AE,EC) = (AE,EF) = (AE,BF) = (BC,BF) −→(BF,FC) = (EF,FC). On peut poursuivre la technique avec le carré de côté[EF]. Si l’on finit par obtenir deux segments égaux, cela signifie que l’on atrouvé un carré dont le côté et la diagonale ont la même longueur, ce quiest contradictoire !

a. La flèche indique le passage de deux segments aux deux segments de l’étape suivantede l’antiphérèse D C

BA

E

F

||

||

Les réels

Certains nombres commep

2 ou π ne peuvent s’écrire comme quotient de deux entiers : ce sont desnombres irrationnels.

L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réelsnoté R.

2 - 12Fabriquer un nombre irrationnel.

2 - 13

1. Montrer pourquoi on ne peut pas résoudre x2 = 2 dans Q, càd.p

2 est irrationnel.

2. Montrer quep

2+p

3 est un nombre irrationnel.

3. Idem pour ln(3)ln(2) .

4. Idem pour r + x et r ·x, avec r ∈Q∗ et x irrationnel.


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2 - 14Représenter par une construction géométrique

p2.

2 - 15Le triangle ABC est un triangle isocèle et rectangleen C. Peut-on paver exactement les deux carrés gri-sés à l’aide de carrés tous de même côté ?

bA b B

bC

2 - 16Dessiner un diagramme qui représente la chaîned’inclusion entre les différents ensembles de nombres.

2 - 17Montrer que, si a et b sont deux nombres réels vérifiant a < b,il existe un nombre rationnel de la forme m

nk, avec m ∈Z, n ∈N avec n ≥ 2 et k ∈N∗, vérifiant a < m

nk< b (les

rationnels sont denses dans R).

2 - 18Montrer que si a et b sont deux nombres rationnels vérifiant a < b, il existe c, irrationnel, vérifiant a < c < b(utilisé le fait que

p2 est irrationnel).

2 - 19Montrer que si x et y sont deux nombres réels vérifiant x < y , il existe c, irrationnel, vérifiant x < c < y (lesirrationnels sont denses dans R).

La droite numérique2

Il existe une bijection entre les nombres réels et les points d’une droite. Ce qui signifie qu’à chaque nombreréel correspond un point sur la droite, et, inversement, à chaque point sur la droite correspond un nombreréel. Cette bijection, assez naturelle et intuitive, mais non triviale à démontrer, est construite de la manièresuivante.On prend une droite, horizontale, pour simplifier les choses. Onchoisit un point sur la droite et on lui attribue l’étiquette O, pourl’origine. Puis, on choisit un autre point à droite du précédent età une distance fixée. On lui donne l’étiquette i , pour l’unité. Cettedistance fixée qui peut valoir 1 cm, 3 cm ou n’importe quelle unitéde distance, détermine l’échelle. On associe le nombre 0 à l’origineet 1 à l’unité. Le point se situant à droite de l’origine à deux foiscette distance fixée aura l’étiquette 2, le point à gauche de l’origineà la même distance que 0 et 1 aura l’étiquette -1, etc.

−1 0 +1 +2 +334

On peut aussi placer les nombres rationnels comme 34 . En ce qui concerne les irrationnels ce procédé nemarche pas, car, de par leur nature, ils n’ont aucune commune mesure avec un quelconque rationnel. Cecinous renvoie à un problème ancien : est-ce que les côtés d’un triangle rectangle sont « commensurables » ?C’est vrai pour un triangle dont les dimensions sont 3, 4 et 5 cm pour les cathètes et l’hypoténuse, respective-ment. Mais, si on prend 1 cm pour chacune des cathètes, qu’en est-il de l’hypoténuse (appelons-la z pour ladiscussion). Pythagore nous livre

z2 = 12 +12, c’est-à-dire z2 = 2

La solution à l’exercice 6 nous permet de conclure qu’il n’y a aucune commune mesure entre l’hypoténuse et lescathètes, ce qui veut dire qu’il n’est pas possible de diviser en un nombre entier de parties égales l’hypoténuseet en même temps diviser les cathètes en un nombre entier de parts égales à celles qui divisent l’hypoténuse.On peut trouver des approximations. Par exemple, en divisant un côté en 5 parties, une de ces parties entrepresque 7 fois dans l’hypoténuse ( 75 est une approximation de

p2).

Ceci n’empêche pas, toutefois, dans certains cas, de placer avecexactitude un nombre irrationnel sur la droite numérique. Pre-nons l’exemple de

p2 (cf. exercice 7). Grâce à Pythagore, il est facile

de reproduire (cf. schéma ci-contre) sur une droite cette longueuret ainsi de placer ce nombre sur une droite numérique. En fait, onpeut associer à tout nombre réel, rationnel ou irrationnel, un pointsur la droite.

0 1 p21 1

2

Avec cette représentation géométrique qu’est la droite numérique, si a < b, alors le point correspondant à a setrouvera à gauche du point correspondant à b.


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28 2.2. LA DROITE NUMÉRIQUE

Le nombre |a−b| a une interprétation simple dans le cadre de cetteimage géométrique : il s’agit de la distance entre a et b ou la lon-gueur du segment dont les extrémités sont a et b. Ce qui signifie,en particulier, en prenant un exemple d’usage fréquent, que l’en-semble des nombres x satisfaisant |x − a| < ǫ peut être représentécomme l’ensemble des points dont la distance à a est inférieur àǫ. Il s’agit de l’intervalle de a −ǫ à a +ǫ, ou, encore, des nombres xtels que a −ǫ< x < a +ǫ.

aa −ǫ a +ǫ

Les ensembles de nombres qui correspondent à des intervalles sont tellement fréquents qu’une écriture parti-culière a été prévue pour eux. L’ensemble {x|a < x < b} est noté ]a;b[ et appelé l’ensemble ouvert de a à b. Ona, en particulier, les situations suivantes.

a b

]a,b[= {x ∈R|a < x < b}

a b

[a,b]= {x ∈R|a ≤ x ≤ b}

a

]−∞, a[= {x ∈R|x < a}

a

]a,+∞[= {x ∈R|x > a}

a

]−∞, a] = {x ∈R|x ≤ a}

a

[a,+∞[= {x ∈R|x ≥ a}

R=]−∞,+∞[

Remarques

a. C’est le mathématicien Richard Dedekind qui, en 1872, exprima le premier de manière claire l’idée d’unecorrespondance entière entre les points d’une droite et les nombres. Il avait mis le doigt sur quelquechose de fondamental, mais finalement assez simple à expliquer. Il a écrit dans Continuité et nombreirrationnels

« J’ai réfléchi longtemps en vain, mais finalement j’ai trouvé ce que je cherchais. Les avis surcette découverte seront peut-être partagés, je crois cependant que la plupart des gens trouve-ront la chose très évidente. Cela consiste en ceci.[...]

Au paragraphe précédent, on attire l’attention sur le fait que tout point P de la droite opèreune division de celle-ci en deux portions telles que tout point d’une portion est à gauche detout point de l’autre. Je trouve alors l’essence de la continuité dans la réciproque c’est-à-diredans le principe suivant si tous les points de la droite sont répartis en deux classes, tel que toutpoint de la première classe est situé à gauche de tout point de la deuxième classe, il existe unet un seul point qui opère cette découpe de la droite en deux portions.

[...De manière semblable...] Si tous les nombres sont répartis en deux classes, tel que toutnombre de la première classe est plus petit que tout nombre de la deuxième classe, il existe unet un seul nombre qui opère cette découpe de tous les nombres en deux portions. [...] Commeje l’ai déjà dit, je ne crois pas me tromper en supposant que chacun admettra immédiate-ment la vérité de cette affirmation, la plupart de mes lecteurs seront très déçus d’entendreque [c’est] par cette évidence [que] doit être dévoilé le mystère de la continuité. Je ferai surce point la remarque suivante. Il me sera très agréable que tout le monde juge le principe ci-dessus si évident et si conforme aux représentations qu’il a d’une ligne et des nombres, car iln’est ni en mon pouvoir ni au pouvoir de quiconque d’apporter aucune preuve de son exacti-tude. Accepter cette propriété n’est rien de plus qu’un axiome, par lequel nous reconnaissonsseulement à la ligne (et aux nombres) commune continuité. »

Chaque paire de deux ensembles définis de la manière donnée par Dedekind s’appelle une coupure, carelle partage l’ensemble des nombres en deux et permet de définir un nouveau nombre qui est celui quiopère la coupure. Par exemple, on peut définir les deux ensembles

{a ∈Q|a2 < 2 ou a ≤ 0}{b ∈Q|b2 ≥ 2 et b > 0}


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Cette coupure permet de représenter le nombre irrationnelp

2 qui est ici défini à la fois par l’ensembledes nombres rationnels qui lui sont inférieurs et par celui des nombres rationnels qui lui sont supérieurs.La prise en compte de toutes les coupures de Dedekind sur Q permet une construction de l’ensemble desnombres réels R. L’axiome de continuité de Dedekind pour les réels énonce que pour toute coupure deR par deux ensembles A et B, telle que tout élément de A est inférieur à tout élément de B et A n’a pas deplus grand élément, il existe un nombre x qui effectue la coupure, c’est-à-dire que x est plus grand quetous les éléments de A et

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