LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1998/Belhouchet.Zoubir... · une rnéthod,e semi,-analytique ile calcul ile

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INSTITUT SUPERIEUR DE GENIE MECANIOUEET PRODUCTIOUE

'r.f{ESEPrêsentée ù

U N IVE RS ITE D E METZ

PAR

Zoubir BELHOUCHET

'.,,

P'our I 'obtention du grade de :DOCTEUR dE I 'UNIVERSITÉ dE METZ

SPECIATITE . Mécanique

OPTION : Génie Civi l

COMPORTEMENT ET STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUtrS

SOUS CHARGES DE TYPE "SILO".. ETUDE ANALYTIQUE ET NUMERIQUE ''

soutenue le zr Septembre r9g8 devani la commission composée de:

J-F. Jullien Professeur à l'I.N.s.A de Lyon. (URGC). RapporteurG. Dhatt Professeur à I'I.N.S.A de Rouen. RapporteurM. Potier-Ferry Professeur à l'Université de Metz. (LPMM). ExarninateurJ-C. Roth Professeur à I'Université cle Metz. (LPivIivI). Directeur cle thèseA. Khelil Maître de conférences UHP Nancyl - IUT NB. Co-Directeur de thèseJ. M. Rotter Professeur à I'Université de Edinburgh. ExaminateurF. Mohri Maître de conférences UHP Nancyl - IUT NB. Examinateur

Laboratoire de physique et rnécani<1ue des matériaux U.R.A. C.N.R.S L2L5.

Université de Metz, i le du Saulcy,57045 ce<Iex O1

BIBLIOTHEUUT WIVERSITAIRE_ -vErz

N' inv. ^3%tG?s

Cotes/S u*/rt

Loc hancrt^T;c-

Le trauail d,e recherche présenté d,ans ce mémoire a été réalisé a'u Laboratoire d,e

Physique et Mécanique des Matériaux (L.P.M.M) d,eI'Uniuersité de Metz sous la d,irection

du Professeur Jean-Claude Roth.

Tout d,'abord, je tiens à eaprimer toute ma gratitude au Professeur J-C. Rotlt pour

m,'aaoir accue'illi au sein d,e son équipe et surtout pour m'auoir initié au traaa'il d,e reclt erche.

J'adresse également rnes rernerciements au Maître de Conférence Abdelouahab Khetit

d,e I'[Iniaersité de Henri Poincaré, Nancy 1 pour l'intérêt qu'il a porté au présent traaail

et la précieuse o,ide à l 'éIaboration de cette thèse.

Par ailleu,rs, je tiens aiuement à rernercier les Professeurs Jean-François Julien de

I'I.N.S.A de Lyon et Gouri Dh,att de I'I.N.S.A d,e Rouen pour aaoir accepté Ia charge d,e

rapporter ce traaail d,e thèse. Ma grand,e reconnaissace 0,u professeur M. Potier-Ferrey

d'aaoir accepté d'être président de ce jury.

Je remercie égalernent J. Michael Rotter Professeur de I'Uniaersi,té de Ed,inburgh et

Faudil Mohri Maître de Conférence de l'Uniuersité de Henri Poincaré, Nancy 1 d'auoir

bien aoulu examiner cette thèse et je suis h,eureux d'auoir I'honneur de les cornpter parrni

les rnernbres d,u jurg.

Toute rnon arnitié aa à mes arnis et collègues du L.P.M.M. pour leur soutien permanant.

Enfin, je tiens à eaprirner rna plus profonde gratitud,e à ma farnille qui rn'a toujours

soutenu et encouragé.

Le traaail de la présente th,èse se résume en ileuæ parties. La première concerne I'étuileanalgti,que et numéri,que ilu comportement ile la coque cyli,nilrique sousmi,se a d,es chargessgmétri,ques combinées (pression hori,zontale et frottement en paroi,s) type si,lo Unenouaelle rnéthode analyti,que décri,uant le comportement élasti,que linéaire d,e la coque estd,éaeloppé à parti,r iles équations il'équi,li,bre. Nous aaons ai,nsi obtenu \es fonctions d,e d,is-tributi,on des solli,citati,ons et d,es iléplacements iles parois de Ia coque. La modéIisationile la structure par élé,ment fini en uti,Iisant le logiciel Abuqus nolrs a permis iJe ualid,erles enpressi,ons obtenues. Les comparaisons ont montré une bonne concordance entre lesrésultats des si,mulations numériques et ceua obtenus analytiquement par notre approche.

L'analgse ilu cornportement de Ia coque sous charges non uniformes complète cettepartie. L'effet ile ces charges, ilues à la aidange ercentrée des silos se trail,ui,t par ilesmoments de fl,eri,on très i,mportants.

La deuni,ème parti,e est consacrée à I'analyse ilu aoi,lernent iles coques cyli,ndriques im-parfai,tes. Une étude pararnétrique a été effectué,e à I'aiile du programme Abaqus pouriléterminer l'i,nfl,uence relatiue ile chaque paramètre ( épaisseur ile Ia coque, ri,gid,i,té d,esraiili,sseurs ... ) affectant la rési,stance ile Ia coque. Sur la base d,es résultats obtenus,une rnéthod,e semi,-analytique ile calcul ile Ia résistance ultime au uoilem,ent de la coque aété établi,e pour une coque rai,ilie et, isotrope. Les ili,fférentes conpara'i,sons établies entreIes résultats, iles forrnules de la littérature, d,e I'Eurocode 3 et, il,e notre approche, aaecles résultats numéri,ques montrent Ia ualid,ité ile la méthode proposée. Cependant, cettecontribution presnente une améIiorati,on des formules actuelles donneés par I'8C3.Mots clés:Stabilité des coques cyli,nilriques, éléments fi,nis, formulations d,es coques, charges typeusilo', imperfections géométri,ques, calcul non-linéai,re, effet de mentbrane, effet ile fleæion.

Thi,s work can be surnmarized, i,n two parts. The first one ileal with a theoretical anilnumeri,cal stuili,e of the behaai,or of cyli,ndrical shell submissi,ae to combi,ned symmetricalloaili,ng (hori,zontal pressure and, wall friction) silo type. A new analgti,cal methoil, d,éscri,bedthe li,near elasti,c behauior of sh,ell is ileaeloped, by the equili,brium equations. In th.is wagwe haue get the fonction of stress d,i,stri,bution anil displacement of shell slei,n. Structuremoileling by fi,ni,te element usi,ng Abaqus software ue ûre permi,t to aaliil,ate the erpress'ionsobtai,neil. The comparaison haue shows a gooil concorilance between results of nurneri,calsi,mi,Iuti,on anil those obtaineil with our analytical approch.

The analysis of shell behaaior subjecteil to unsymmettri,cal laoding cornplete these part.The effect of these load ilues te eccentric d,ischarge of the silo it self trunslateil by a muchi,mportant ed fl,eæi,o n mo ments.

The second part concerns the warping analysi,s of imperfect cgli,nilricals shells. AbaqusprogranL was used again i,n stuily of th,e influence of the parameters ( shell thi,knesse, sti,ffnerstiffness ...) affecting shell strength. About basis results obtaineil, a neu) semi-analyticalrnethoil is ileaelopeil for calculati,on of the ultimate stress resistance of the sti,ffened anili,sotropi,c shells. The di,fferents comparaisons made between the results, of literature for-mulas, of ECS and, of our appraoch, with the nurnerical results, show a aali,dity of thesuggest methoil. Eoweaer, this contri,bution present a i,mproui,ng for present formulas giuenby EC?.Key words:Cylinilri,cal shells stabili,ty, finite element rnethoil, shells formulati,on, si,Io loailing type,gemetri,c imperfecti,on, nonlinear corryutation, membrane effec't, fl,eni,on effect,.

SOMMAIRE

INTRODUCTIONGENERALE. . . . . . . . . . . .1

CHAPITRÊ I: GENERALITES SUR LES SILOS CYLINDRIQUES ET

ANALYSE THEORIQUE DE LA STABILITE

1.1. LES SILOS CYLINDRTQUES

(CONCEPTrON, CHARGES ET CAUSES DES STNTSTRES) . . . . . . . 4

1 .1 .1 . In t roduc t ion . . . . . . . .4

I.1.2. Florme et dispositif des silos cylindriques . . . . .5

I.I.2.L Les défauts deformes "imperfections géométriques" . ........6

L.1.2.2 Les contraintes résiduelles l iées àla construction ......6

1.1.3. Charges âgissants sur les parois des silos cylindriques ... .. ... ..6

1 .1 .3 .1 Charges se lon lanoûne NF P22-630 . . . . . . . . . . . .7

1 , .L .3 .2Chargesse lon l 'Eurocode1 . . . . . . . . .9

L.7.4. Charges climatique et sismique .... ...11

1.1.5. Causes des sinistres . .. . ".72

THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUES

ET EQUATIONS GENERALES . . . . 13

L .2 . I . I n t r oduc t i on . . " " ' 13

7.2.2. Equations d'équilibre et de stabilité des coques cylindriques - . . ... .. 13

I.2.2.7 Equations de la stabilité non-linéaire ' ' ' ' 74

7.2.2.2 Equations de Ia stabil i té t inéaire .. . ' . " " ' 19

L.2.3. Charges critiques de flambage des coques cylindriques. ' ' " ' " '22

1.2.3.7 Flambement d'un cylindre sous pression axiale ' ' ' ' ' ' '23

1.2.3.2 Flambement d'un cylindre simplement maintenu

à ses deux extrémités et comprimé axialement ' ' " ' ' ' 23

7.2.4. Prise en compte des imperfections géométriques init iales .. . . . . -. . . . .24

1.2.5. La méthode énergétique et le critère de stabilité " " ' " '25

I.2.6. Traitement du problème non-linéaire " " " '27

7.2.7. Conclus ion "" " " 28

CHAPITRE II: CO]VIPORTE]VIENT DES COQUES CYLINDRIQUES SOUS

CHARGES DE TYPE ''SILO'' EN ELASTICITE LINEAIRE

2.1. Introduction

2.2. Lpproche analytique du calcul des coques cylindriques

sous charges axisymétriques de type "silo"

2.2.I. Formulation du Problème

2.2.2. Résolution analytique

2.2.3. Résultats de I'analyse analytique . '

2.3. Approche numérique du calcul des coques cylindriques

sous charges de type "silo"

2.3.7. Cas de charges axisymétriques .

2.3.2. comparaison des résultats analytique et numérique .. ....38

2.3.3. Interprétation des résultats analytique et numérique " " ' 41

2.4. Lnùyse numérique du comportement des coques cylindriques

L.2 .

29

30

30

32

34

36

37

sous charges dissymétriques 41

2.4.1. Analyse 1.

" v idangeexcentrée se lonles résul ta is de labase de Char t res " . . . . . . . .42

2.4.1.L Résul ta ts del 'analyse 1 . . . . .44

2.4.t.2lnterprétation des résultats de l 'analyse 1 .. . . . .58

2.4.2. Analyse 2.

" v i dangeexcen t rée se lon lano rme NF P22-630 " . . . . . . . . . . 60

2 .4 .2 .1Résu l ta t s de l ' ana l yse 2 . . . . . 61

2.4.2.2 lnterprétat ion des résul ta ts de I 'analyse? . . . . . .65

2.4.3. Analyse 3.

" Remplissage centré selon les résultats de la base de Chartres .. . 66

2.4.3.L Résul ta ts de I 'analyse 3 . . . . .66

2.4.4. Analyse 4.

t ' Rempl issage excentré se lon l 'Eurocode 1 " . . . . . . . . .68

2 .4 .4 .1Résu l ta t s de I ' ana l yse 4 . . . . . 69

2.4.4.2 lnterprétat ion des résui ta ts del 'analyse3 et 4 . . . . . . .70

2 .5 . Conc lus ion . , . . . . 73

CHAPITRE III: VOILEIVIENT DES COQUES CYLINDRIQUES SOUS

CHARGES DE TYPE SILO ET ETABLISEIVIENT D'UNE

FORMULE ANALYTIQUE

3.1. Introduction . . .74

3.2. Flambage des coques cylindriques sous compression axiaJe . . . . ..75

3.2.7. Analyse analytique de la stabilité des coques cylindriques

se lon T imoshenko e t Gere . . . . . . . 76

3.2.2. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques

sous compression axiale (calcul linéaire) . ... .79

3.2.3. Comparaison des résultats numérique et analytique

deT imoshenko . . . . . . 81

3.3. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques

sous compression a-xiale (calcul non-linéaire) .. .....83

3.3.1. Prise en compte des imperfections géométriques .. . . . . . . . .83

3.3.2. Etapes de création de la surface imparfaite .. . . . . . . . . . . . . 84

3.3.3. Résultats numériques de I'analyse non-linéaire . ... . 85

3.4. Analyse de Ia stabilité des coques cylindriques raidies et non-raidies

sous charges de type "Silo" (calcul non-linéaire) . . . ... .. .87

3.4.1. Rappel de la solution analyt ique selon i 'Eurocode 3 ... . . . . . . . . . 87

3.4.2. Etude paramétrique par voie numérique (coque raidie et non-raidie) . .90

3.4.2.L Charges appliquées ... .91

3.4.2.2 Choix du mail lage et des condit ions aux l imites . . . . . . . . . . . .92

3.4.3. Résultats de I'analyse analytique de I'Eurocode 3 . ... . . .. 93

3.4.4. Résultats numériques de l'étude paramétrique . . . .. 98

3.4.4.L Effets des différents paramètres . . .109

3.5. Etablissement d'une formule semi-analytique pour le calcul

des contraintes crit iques ... . . . . 109

3.6. Comparaison des résultats et validation de I'approche analytique ....I27

CONCLUSION GENERALE. . , , , , . I 27

BIBLIOGRAPHIE

ANNEXES . . . . . . 134

Annexe 1. Solution analytique de l'équation différentielle du quatrième ordre... 134

Ar'nexe 2. Résultats numériques du deuxième cas de vida.nge excentrée .. L37

Arrexe 3. Présentation de la.cellule "Cl' en vraie grandeure de Chartres . . . . . . .146

Annexe 4. Exemple de vériûcation de la résistance d'une coque cylindrique

raidie verticalement, soumise à des charges de type silo . . . . ...L47

II\TRODUCTIO I\ GENERALE

L'analyse des structures étudie I'organisation, le fonctionnement, la stabilité et la

résistance des constructions. Plus particulièrement, elle'examine I'agencement d.es divers

composants, étudie le jeu des forces, l'équilibre et la déformation des constructions et

détermine ies formes et dimensions à donner aux éléments structuraux pour assurer

la rigidité et la stabilité d'ensemble, compte tenu d'un degré de sécurité convenable.

L'amélioration de la qualité des produits sidérurgiques, plats et longs conduit à l'utilisation

d'éléments particulièrement légers. Les structures à parois minces de type coque employées,

en génie civil, dans l'aérospatiale et dans I'aéronautique, sont en général intensivemeni rai-

dies [5][a6][57][62]... Ce qui a permis aux chercheurs de simplifier le problème traité en

supposant que les raidisseurs sont tartinés, c'est -à dire que leurs propriétés sont réparties

sur la totalité de la surfacel et en menant alors des analyses sur une coque orthotrope

équivalente. Les résultats obtenus par de telles analyses sont en accord avec les résultats

expérimentaux. L'interêt de I'utilisation de ces coques raidies s'est étendu ensuite vers

d'autres types de constructions, telles que les constructions marines et certaines structures

du génie civil, dont les silos, auxquelles nous nous intérressons principalement.

Les silos sont des ouvrages de stokage de matière, présentant un domaine d'application

très vaste. Le calcul de ces structures, est lié au mode d'action des charges agissant sur

les parois cylindriques. De nombreuses éiudes ont été consacrées à la détermination des

actions provoquées par ces matières contre la paroi cylindrique. Une bibliographie im-

portante sur ces études est disponible dans les articles et les livres (voir par exempie

[10][32][45][50]). Par contre peu de recherches ont été réalisées, concernant Ie comporte-

ment et I'instabilité de ces constructions vis-à-vis de la nature réelle des charges sollici-

tant la structure. Ces phénomènes doivent être contrôlés pour assurer la frabilité de ces

Intoduction générale

constructions. Les quelques études théoriques et expérimentales effectuées sur le com-

portement des coques cylindriques raidies et non raidies ne traitent que des cas de charges

simples. Compte tenu de la complexité des équations d'équilibre, et pour simplifier les

calculs, certains auteurs ne considèrent pas les actions simultanées de la pression interne

et du frottement latéral de la matière ensilée contre la paroi.

Un autre problème particulier concerne le comportement de la structure durant la vidange

excentrée se rajoute. Cette dernière présente beaucoup d'avantages, dans I'exploitation des

silos par rapport à la vidange centrée, mais, elle donne naissance à des pressions quelcon-

ques, non-uniformes, sur toute ia hauteur. Les seules résuliats expérimentaux disponibles

sont les mesures expérimentales de la base de Chartres [3a]. L'étude du comportement

et de la stabilité de la structure dans ce cas de charges non uniformes changent, et les

équations seront plus compliquées à résoudre.

Les objectifs de ce travail de recherche se résument en deux parties. La première

consiste à présenter une approche analytique et numérique concernant le comportement des

coques cylindriques parfaites, en élasticité linéaire, sous charges de type "silo" (actions de

frottement et pression horizontale). La deuxième partie, est consacré à l'étude du voilement

des coques raidies et non raidies, tout en tenant compte des défauts géométriques.

Nous avons établi, dans le premier chapitre, une revue bibliographique concernant,

d'nne part, les charges de type "silo" données par les règlements actuels 124)1451, et d'autre

part les formulations mathématiques sur la stabilité linéaire et non linéaire des coques

cylindriques.

I,e deuxième chapitre est consacré aux comportement élastique linéaire, des coques

cylindriques parfaites et non-raidies, sous I'effet d'actions de type "silo". Nous présentons

une approche analytique qui permet dtanalyser ce comportemeni, sous lteffet d'actions

axisymétriques. Une analyse numérique (en utilisant Abaqus) complète cette étude afin

d'aborder l'effet de la non-uniformité des pressions (effet membranaire et de flexion) sur Ie

comportement.

Intoduction générale

Dans le troisième chapitre nous présentons une étude du voilement cles coques cylin-

driques raidies et non-raidies sous charges a.xisymétriques. Cette étude est réalisée en trois

étapes présentant successivement :

1- le voiiement des coques cylindriques parfaites sous compression axiale;

2- une étude paramétrique par voie numérique (calcut non-linéaire), permettant

d''analyser i'influence et i'importance des caractéristiques géométriques d.e la structure

et des actions sur la contrainte criiique du voilement.

3- l'établissement d'une formule semi-analytique originale pour le caicul de cette con-

trainte, concernarrt les coques cylindriques imparfaites raid.ies verticalement, tout en tenant

compte des charges réelles existantes en pratique.

Plusieurs comparaisons montrent la validité de cette formule ainsi que son efficacité

dans Ie dimensionnement des coques cylindriques sous charges uniformes d.e type ,,silo".

Chapitre I

GE}IERALITES SUR LES SILOS CYLI}TDRIQUES

ET AI\IALYSE THEORIQUE DE LA STABILITE

r..1. LES SrLOS CYLTNDRTQUES

(CONCEPTION,CHARGES ET CAUSES DES SINISTRES)

L.1.1. In t roduct ion

On désigne par "SILO", tout accumulateur de matière, constitué d'une paroi à

génératrices verticales, terminé inférieurement par des parois inclinées ou par un fond

plat horizontal fig(1. 1).

Les silos en général sont installés en batterie avec r:n certain nombre de cellules de sections

variées, juxtaposées de grande hauteur, terminées à leur base pa,r des trémies de vidange

de forme conique, et fermées à leur partie supérieure par une calotte ou par un plancher

sur lequel sont installés les appareils de remplissage des cellules.

Les cellules de section circulaire sont quelque fois liées entre elles de façon à créer d'autres

cellules dites t' intercalaires " ou " as de carreautt pour une meilleure utilisation de ltespace

disponible.

Les dimensions courantes d'une cellule cylindrique, métallique sont de I'ordre de 4 à 8

mètres de diamètre environ, et de hauteur pouvant atteindre 20 à 30 mètres.

Cha.pi.tre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analyse théorirltte de la stabilité.

Calotte

Raidisseurannulaire Cellule

CeintureRaidisseurvertical

Trémie

Fig (1.1)

L.7.2. Forlne et disposit i f des si los cyl indriques [31][42][51][56]

De nombreuses dispositions d'installation existent, parmis lesquelles on distingue:

- le cas de cellules reposant sur un certain nombre de poieaux, habituellement de 4 à

6. Le périmètre cle base clu cylinclre ( liaison virole - trémie ' poteau ) est donc renforcé

obligatoirement par une ceinture.

- le cas de cellules posées directement sur le sol par I'interrnédiaire d'une infrastructure

annulaire qui assure le répartition de la charge sur le sol'

Les silos soni également munis d'un orifice de vid.ange, excentré au lieu d'une trémie conique

cenirée pour les raisons suivantes:

- la vid.ange excerrtrée est plus rapide que la vidange cenbrée (vérifiée expérirnen'talement

[51 ] ) .

Ch,apitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique d,e la stabili,té.

- Pour certaines positions du matériel de manutention, la vidange excentrée s'avère plus

convenable.

Enfin, les parois des silos sont généralement réalisées :

- soit avec une tôle d'acier ondulée, raidie ( ou non ) par des montants verticaux.

- soit avec une tôle d'acier lisse, raidie ( ou non ) p* des raidisseurs annulaires et des

éléments verticaux.

7.L.2.L Les défauts de formes 66imperfections géométriquest' [47]

A la construction, la paroi d'un silo n'est jamais parfaite. I1 y a toujours des défauts,

tant dans la direction radiale que dans Ia rectitude des génératrices. Ces irrégulariiés

initiales dans la forme de la coque cylindrique ont une certaine influence sur la stabilité;

elles diminuent sa résistance au flambement.

1,.L.2.2 Les contraintes résiduelles l iées à la construction

Dans une coque raidie où les raidisseurs sont fi.xés sur la tôle par soudure, il se crée à

I'entoure de chaque soudure, dès son refroidissement, un champ de contraintes résiduelles

dans la tôle et dans les raidisseurs.

1.1.3. Charges agissants sur les parois des silos cylindriques

La figure (1.2) présente les forces qui entrent en jeu dans une cellule de silo. Ces

forces comprennent:

* Une pression horizontale P"(z) sur les parois verticales;

+ Une pression verticale Pr(") agissant sur les parois de la cellule;

* Une pression tangentielle verticale /(z) due aux frottements sur les parois.

La détermination des pressions exercées par les matières ensilées sur les parois d'un silo est

complexe. Ceci est lié aux, caractéristiques physiques, aux valeurs des angles de frottement

interne des matières ensilées, du type de parois utilisées et des dimensions de la cellule.

Parallèlement, de nombreuses études théoriques et expérimentales ont été menées pour

définir les sollicitations sur les parois et diverses hypothèses ont été avancées afin de simpli-

Chapitre I Généralités sur les silos cylind,rr,ques et analyse théorique de la stabzlité.

fier le problème. Parmi toutes ces études se trouvent les travaux de Janssen-Koenen (1895)

[32], Reimbert ( depuis 1943) [49][50][52], Caquot (1957) [15] et les études présentées par

ie groupe de normalisation P22-630 [45].

Nous n'avons pas l'intention d'entrer dans les détails du développement des équations qui

donnent les charges selon les différents auteurs, car, cela uous éloigne de notre domaine de

travail concernant le calcul de structure.

En revanche, dans la modélisation d.e la coque, nous utilisons les charges données par la

norrne NF P22-630 [45] et I'Eurocode 1 [2a].

Géometrie

@

corps de la cellule

Fis (1.2)

1.1.3.1 Charges selon la norme NF P22-630 [45]

(i) Pression verticale:

[ ï ] . ,

| -,;1| +llf+r{l

K/hessions

rht o - - -

^l-r

plan moyende remplissage

z

référence pour lecalcul de la cellule

P,(") :1Zs$(z); (1 -1 )

Chapi,tre I Générali,tés sur les silos cylindriques et analgse théorique de la stabilité.

(1 -2 )

où:

6

?p

C

À

T h

A

L

Poids volumique

Angle de frottement de la matière ensilée contre la paroi;

Angle de frottement interne de la matière ensilée;

cceffi.cient de frottement contre la paroi F: tan$: f (z)lp^Q);

Ccefrcient de rugosité de la paroi;

Rapport des charges horizontales verticales À : p"(z)lp";

: Rayon hydraulique r1r: AIL;

Aire de Ia section droite de la cellule;

Périmètre de la section droite de Ia cellule.ttr" et "v" représentent respectivement l'état de remplissage et l'état de vidange.

ô ( , ) : 1 - exp ( - : ) (1 - B )\ zo,/

" z" est la côte de profondeur, ayant pour origine le plan moyen de remplissage.

L'angle B est déduit de la formule suivante:

cos2B -sin2(6,,,) t cos(6,,,)1f sinz(g,,,) - sin2(6,.,,)

1 1 - 4 \sin(p.,r)

Où les signes à adopter sont :

le f pour le remplissage et le - pour la vidange àvêc pa: 0.85g,.

( i i) Pression horizontale:

P"( t ) : ÀP"(z) (1 -5 )

(iii) Action de frottement:

f ( r ) : pP"(z) (1 -6 )

Chapitre I Généralités sur les silos cylinilriques et analyse théorique de la stabilité. I

( i i i i ) 'Somme des actions de frottement

1 zF(z ) : l f ( z )dz : . y . rh lz -zs .QQ) l (1 -7 )

Jo

Les critères de classifi.cation des modes de vidange sont déterminés en fonction du rapport

(cellule pleine) :I

, h o - h tf :T

Ori :

h, : est la hauteur de la zone "morte"'

h1 : est Ia hauteur de Ia trémie;

h" : est Ia hauteur de la partie cylindrique.

k < 3 on adopte les formules de la vidange en masse.

* a f a 3 on adopte les formules de la vidange mixte.

k > 3 on adopte les formules de la vidange en cb.eminée.

Dans le cas de vidange on utilise les formules de base (paragraph 1.1.3.1) avec les

paramètres go et 6, et avec Ie paramètre ) modifié selon :

^: \M; Vidange en masse

. (2À'"Àr)À - ;ffi; Vidange mixte

\ A a t A r )

. l : ,-(1À'À1). : vidange en cheminée" - (3À, *À , " ) '

où:À. et À, sont calculés à partir de laformute (1-2) avec les paramètres respectifs (gr,6,) et

( ? " , 6 " )

L.L.3.2 Charges selon I 'Eurocode L lza)

Selon I'Eurocodel, et dans le cas de remplissage centré les formules donnant les

pressions dans les silos n'ont pas changé, à I'exception des valeurs de À et du ccefficient de

frottement p,. Le tableau ci dessous résume certaines valeurs caractéristiques À, pl adoptées

par I'Eurocode 1.

Chapitre I Généralités sur les silos cglind,riques et analyse théorique d,e Ia stabilité. 10

Matière d'ensilage (r)kN/m3 À ) I t t CoBté 8.5 0.55 0.35 1.35

Ciment 16.0 0.5 0.4 L.40Clinker de ciment 18.0 0.45 0.45 1.40

Farine 7.0 0.40 0.3 1.45Mal's d . c 0.50 0.3 1.40Sable 16 0.45 0.4 1.40Sucre 9.5 0.50 0.45 1.40

tableau (1-1) Paramètres caractéristiques de certaines matières ensilées

Par contre en vidange centrée les pressions changent et deviennent :

P. . , ( t ) : Cn.P"(z) (1 -8 )

f " ( r ) : Ct . f Q) (1-e)

Cn el C1 sont des ccefficients d'augmentation des charges do''r'és par:

Cn:Co; C l : I .1

Les valeurs de Co sont données dans le tableau (1-1).

La figure (1.3) représente la variations des actions, dite type "silo" en fonction de la hauteur

selon les norines pour une cellule cylindrique de quatorze mètres de hauteur, quatre mètres

de diamètre et quatre millimètres d'épaisseur (la cellule C).

+ prsi6 horiænrale (Ræplissa6c)-o- liDû@dl(K@Ptste)-{F- grsim horiæ[Éle

(vidaoge æ mæe)<l-- Ëoaoæt (vidate a Easse)

. Ùfarika æiléo (8Il)

I Cbargæ selon la N F W4n

Ch,apitre I Généralités sur les silos cylind,rigues et analyse théori,que de la stabilité. 11

l2

r0

8

6

4

0

o

t0

I

6

1

- 0 . 1 8 1 2 l . 3 m 2 4 â ! 20 5 1 0 1 5 û 2 5

Pressions [kNrho2]ke.ssions [kNrTnf]

Fig (1.3) Pression h,orizontale et action d,e frottement d,ans Ia cellule "C"

selon la norme NF P22-630 et l'Eurocod,el (oidange et' remplissage centré)

L.L.4. Charges cl imatique et sismique

On disiingue deux grands groupes:

- Le premier est celui des silos isolés ayant une seule cellule cylindrique' potrr lesquels

on peut obtenir facilement la répartition des actions du vent en appliquant les règles N.V

65 [43];

- Le deuxième est celui d.es silos à deux ou plusieurs cellules juxtaposées, dans ce cas la

direction du vent et I'espacement entre les cylindres jouent un rôle important. 11 n'existe

pas, à l'heure actuelle de règles pouvarlt donner directement la répartition des actions du

vent sur ce type de silo.

La stabilité de ia coque doit être vérifiée dans les deux cas suivants:

- Le cas où la charge du vent agit en même temps et dans le même sens que la charge

due à la vidange excentrée;

- Le cas où la charge d,u vent agit seule sur le cylindre vide. En effet, la charge du vent

+ græion hciænnle (Roplisge)-O- Éo6@n! (Rofiplbûego)

-+l- pruion horiæntale (vidæge)

{}- &oaoot (vidæge)

.lt"tU" *ife" (BLÉ)

. Chrgæ selm lBreodo I

Chapitre I Générq'Iités sur les silos cylind,rigues et analyse théorique de la. stabitité. 12

peut provoquer un claquage généraiisé de ia paroi [42]. Les raidisseurs annulaires doiventpouvoir I'empêcher.

On distingue également :

- La pression exercée par une cellule intercal.aire si de telles cellules existent;

- La sollicitation d'origine thermique, au cas où le p'roduit ensilé a une température

différente de la température ambiante (Clinker);

- La sollicitation d'origine sismique, si les silos sont construits sur des sites exposés à ce

phénomène.

1.1.5. Causes des sinistres

Dans les documents 118][42], des exemples de sinistres intervenus sur des silos

métalliques, ont été présentés. Les causes sont diverses, on distingue deu,x groupes princi-

parl\:

- Les désordres dus à une mauvaise détermination des pressions des matières d'ensilage

sur les parois, ou à une sous-estimation des charges du vent;

- Les désordres dus à un mauvais dimensionnement ou à des erreurs de conception. Faute

d'une méthode ou de formule appropriée pour le calcul de la stabilité des silos, on emploie

des formules basées sur des hypothèses différentes de ce qui se passe réellement dans les

silos.

En effet les formules développées dans la litterature pour les cylindres non raidis ([20][22])

et les cylindres raidis [29] considèrent une charge axiale constante et ne prennenr pas en

compte directement la variation des actions (pressions horizontales et action de frottement)

en fonction de la profondeur. Le cas de la distribution non uniforme des pressions en

vidange excentrée n'est pas traité entièrement

Chapi,tre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique de la stabilité. 13

1.2. THEORIE DE LA STABILITE DES COQUES CYLINDRIQUES

ET EQUATIONS GENERALES

L.z.L. fn t roduct ion

Lorsqu'un chargement appliqué a pour effet de vaincre " ia rigidité de forme " d'une

structure, celle-ci ne résiste plus que par sa rigidité de fléxion. C'est ie cadre de la théorie

des coques flexibles ou encore des coques souples. En général, on observe de grands

déplacements qui peuvent apparaitre brusquement. C'est le voilement (on dit parfoit

flambage). Le changement de la configuration de la structure peut être graduel, dans ce

cas le point de flambage réel est plutôt arbitraire. Cependant, dans la majorité des cas

(définis par différents types de structures ou différents cas de charges), ce point est net et

facile à identifier.

Après flambage, la résistance de Ia structure peut d.iminuer. Ce phénomène d.épend du cas

de charge appliqué, du type et de la géométrie de la structure, des niveaux de contraintes

atteints, etc...

Pour les parois minces, il est devenu impératif de prendre en compte ce phénomène dans

le dimensionnement et la vérification des structures. Un cadre simplifié d'étude de la

stabilité des structures à été proposé par Euler pour des colonnes. C'est I'extension aux

coques minces de cette même démarche que nous abordons dans ce chapitre.

L.2.2. Equations d'équil ibre et de stabil i té des coques cyl indriques

Une coque est un solide qui occupe dans ltespace un volume compris entre deux sur-

faces telles que leur distance soit petite devant les autres dimensions. Cette caractéristique

géométrique permet des simplifications dans les modèles tridimentiorrnels. On peut les

obtenir de différentes manières (hypothèses a priori ou développements asymptotiques).

Mais dans chaque cas , nous sommes conduits aux relations cinématiques de Kirchhoff-

Love [41]. Elles expriment que la normale matérielle à la surface moyenne de la coque ne

subit pas de dilatation et reste, en tant que normale matérielle, orthogonale à la surface

moyenne déformée. En effet, ces conditions impliquent que chaque tranche tranwersale

de matière, se comporte commme un solide rigide, son mouvement étant décrit par un

torseur. On peut ainsi décrire toute la cinématique du milieu tridimentionnel à partir de

grandeurs définies sur la surface moyenne de la coque. En I'occurence, le mouvement se

déduit d'un champ de translations et de rotations. Evidemment, ces hypothèses ne sont

pas toujours compatibles avec les lois de comportement du milieu et on ne devra retenir

Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analgse th,éorigue d,e Io, stabilité. L4

(parmi ces relations de comportement), que celles qui sont en accord avec les équations

d'équilibre. Dans la pratique, le modèle de Kirchhoff-Love [37][41] est relativement délicat

à mettre en æuvre. On préfère souvent faire appel à des versions simplifi.ées qui diffèrent

entre elles sur la façon dont la courbure est prise en compte (modète de Koiter [Sf]' ae

Novozhilov et Donnel [2f], etc...). Dans tous les cas, l'équilibre de la coque est régi par

deux phénomènes:

- l'effet de flexion

- l'effet de membrane

Le premier se manifeste dans un mouvement de rotation de la surface moyenne, tandis que

Ie second fait intervenir les déformations propres de cette surface.

Les équations des coques cylindriques que nous présentons dans ce chapitre sont basées sur

la théorie et les simplifications de'Donnell [21]. Elles sont relativement peu compliquées;

elles donnent cependant des résultats très satisfaisants surtout lorsqu'elles sont employées

dans les problèmes de flambement des panneaux cylindriques relativement plats ou des

cylindres peu profonds (quasi- shallow shells). Pour cette raison, on trouve les équations

de Donnell à la base de la plupart des analyses de stabilité publiées.

Les équations non linéaires d'équiiibre de la coque cylindrique peuvent être obtenues soit :

- directement par la sommation des forces et des moments agissant sur un élément de la

coque cylindrique dans une configuration déformée.

- en déveioppant les équations pour ies coques de forme générale et en déduisant les

équations d'équilibre pour une coque cylindrique comme un cas particulier.

L.2.2.L Equations de la stabilité non-linéaire [6][13][14][36]

La figure(1-4) représente un élément de coque cylindrique en configuration déformée'

Soit AP" f incrément de la force axiale par unité de surface et P, Ia force radiale par

unité de surface. Ecrivons les équations d'équilibre statique des forces et des moments

agissants sur cet élément. En écrivant successivement que la somme des composantes des

forces dans chacune des directions x, y et z est nulle, et en utilisant les hypothèses de

Donnell (cytindre peut profond, le matériau est homogène et isotrope), nous aboutissons

aux équations suiva,ntes :

Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analyse théorique de Ia stabilité.

Suivant z on a:

N" , " *Nu" , r *APr :g

Qu,u : Mr ,oo - Mrv , " v '

qÉAQv/a/ dY

N"rrâN'y'ôy dy-311fr616na*ravl

av

NrrâNyô dv

(1 - 10)

(1 - 11 )

..4*aQ,n"a, dz'ùv[àz+

AftrAwD') d'

N

Nz"tôN/dz dz' \ "

Z1II

,1I

Fis (1.1)

Chapi.tre I Générali'tés sur les silos cylind,riques et analyse théorique ile la stabilité. 16

Suivant y on a:

Suivant x on a:

No ,o * N "s , r : 0

Q"," : M", " " - Myr ,n, ,

(1 - 12)

(1 - 13)

Q " , , * Qo,o * i * * Nr tn , " , * Nr , "u ,z * Now, rs * Nr , rw,y

- P r * N r y u ) , " g * N y " , " I ! , y * N y r u , y " { N n r t a , " a L P " w , r : 0 ( 1 - 1 4 )

avec :

ô( )_,,. a( )_,a" -= ( ),,i fr:{ ),t

En introduisant les équations (1-10) et (1-12) dans l'équation (1-14) on oboutit à l'équation

suivante:

Q" , " * Qn ,o * i " ,

* N "n ) , " r * Nyw,ys* Nryw, "s * Ns "w , ' s r : P , (1 - 15 )

Par ailleurs, les intensités des forces et des moments sont liés aux contraintes internes par

les relations suivantes :

N" : I l r",( t

* î) d,a : c(e"*ues)i Ny -- I :ro, (r . î)dft : c(es + ue,)

!,{,! : Ny": Iu ,

r,o(r + l)a"

Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse th,éorique de Ia stabilité. 17

11[ "e

: ,"n (t + i)"a,

- 1 ï / f . \ r t / - .0 \ ,Q, : | . r ,n ( t+ : )dr ; Qy: l_ r r "u l t+=)dxJ - i

- \ r / J -2

c21 Tzst...etc. étant les valeurs des contraintes à un poirtt quelconque dans l'épaisseur de

la coque ( à une distance x de ia surface moyenne).

Parmis certains hypothèses de Donnell, le rapport i p"nt être négiigé devant l'unité. Et

dans ce cas l'équation (1-15) s'écrit sous la forme suivante :

/ t \M" , " r - 2Mrs , r s * Mn , r r l N2u ) , zza2Nrnw , "n *No ( ; * . , 00 ) : r , ( 1 - 16 )

Les relations entre les d.éformations e; de la coque et les efforts N, par unité d.e longueur

ainsi que les relations entre les courbures K; de la coque et les moments IVI; par unité de

longueur sont données par les relations suivantes:

1 i-Mor :

| ,{ - z

N" : C ( t , + r€y ) ;

Ns : C(e,1- ue") j1 - r t

I t

1V z! : U--7ry iz

M":D(K, *uKu)

Mc:D(Ku*uK, )1 - r t

1vI" ! : Oï*"n

n:ffi-,,1

K" : -11) ,zz

Kv: -u ,ua

l { "v

: -u,29

l a r È \

( l - r r j

(1 - 18)

Où C et D sont réspectivement la rigidité membranaire et la rigidité de flexion données

par les expression suivantes:

C_

Les déformations e; et les courbures K; en un point de la coque sont défi.nies en fonction

des déplacements u, v et w à partir des relations de Donnell [21] :

(L - , ' )

1e " : ' I l , z + : r ( r , " )2 ;

w1Ey : u,s - 1 L,

)(*,ù', ;

' Y r g : U , U - U , z t U r z U r g I

Chapitre I Généralités sur les si,Ios cylinilriques et analyse th,éorique de lo, stabilité. 18

L'introduction des expressions des moments équation (1-17) et les expressions de courbures

équation (1-18) dans l'équation (1-16) donne l'équation suivante:

-D(w,""" " ] -2w,zzsy t r , rnr r ) | N2to,zz !2N2yu,zu * Nn( l - . , r r ) (1 - 19)

En résumé, on a donc les trois équations d'équilibre suivântes :

N r , " *No " , r *AP" :g

No,o r N"s, " : o(1 - 20)

*P r :0

Les termes Nr, N, ei N", qui figurent dans les équations d'équilibre ci-dessus sont des

fonctions inconnues de z et d.e y. Ils représentent à la fois les forces membranaires variables

qui sont dues à I'extension de la surface moyenne, produite par la déflexion et les forces

dues aux charges appliquées.

Nous avons ainsi obtenu trois équations pour quatre inconnues. Il nous faut encore une

quatrième équation qui fait intervenir la déformation du système, autrement dit, l'équation

de compatibilité de déformations.

L'introduction des relations (1-17) et (1-18) dans les équations d'équiiibre (1-20) conduit

aux équations d'équilibre développées suivantes :

DVaw - l*,t,""

a 2N,rw,,o * Nu (l - ,,no)

! -u . I+u ( 7 -u z \ , ( t+u \ AP", t , zz*Tu ,u r * -T r , " r * r t s , r ( . , r ' t , . ,n , -

; )1 . ,n \ , . , ru

)+ i :0

(1 - 21a)

! -u l *u / | -u z \ ( [ l u \o ,uu i - - fu , " r *

Tu , "s I r , s ( r , r , * 7 . , " " - ; ) *w , , \ . ,

t , r , )

:U

(1 - 21b). | / u \ / 1 \ l

DYau - " lu , , ( . , " , *uu,ss* i )

* (u, r*u, , ( ! - u)w, ,u)+ ( r , r , I u , , ,zz. ; ) l

(u,, -î) . \ @?"*,uzy)- (+ .ry) @?,+,.?,) * p.:0 (1 - 21c)

Ainsi, nous avons trois équations couplées avec trois inconnues u, v et w. Elles sont

suffisantes pour analyser le comportement au flambage et au post-flambage de la coque

cylindrique.

Chapitre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analgse théori,que de Ia stabilité. 19

Dans le cas où la compression æciale appliquée est constante le long du cylindre "L,P, :

0". il est possible dans ce cas d'introduire une fonction d'Airy F et d'obtenir ainsi deu-x

équations au lieu de trois avec deux inconnues F et w :

f ,^. -

* lr .r7)),zz -2l,zy' tD,,y 1F,""( l - ,ur) l * a : o

I " ( r : , , - ' t . ,zzu, ! ! ' - t , , " , ) :YaFLa fonction d'Airy est supposée satisfaire les relations suivante:

(r - 22)

N,: ( t l2)F,ur ; Ne : (t l2)F,,"; t{"u : -(tlz)F,,s

Les équations (1-22) sont appelées "les équations de Karman-Donnell".

Remarques:

- Contrairement à ce que I'on observe dans l'étude des plaques et des poutres, même

la branche fondamentale de pré-É,ambage est non-linéaire, pour une coque cylindrique-

Cela vient du fait que, même si le cylindre est parfait, les déformations de pré-flambage

entrainent des rotations des éléments structuraux;

- La solution d.es équations différentielles non - linéaires de l'équilibre donne les

branches d'équilibre primaire et secondaire. Les branches d'équilibre montrent directe-

ment I'existence du point de bifurcation et la valeur de la charge correspondante;

- On ne peut cependant d.éterminer le point de bifurcation que par la résolution des

équations différentielles linéaires que nous alions établir dans le paragraphe suivant.

L.2.2.2 Equations de la stabilité linéaire

La charge correspondante au point de bifurcation pour la coque cylindrique soumise

à une compression a-xiale et une pression latérale conservative est déterminée à partir

des équations qui sont présentées par la suite. Ces équations sont obtenues à partir des

équations non - linéaires (1-20) par l'application de Ia méthode dite de l'équilibre adjacent.

Cette méthode est basée sur le fait qu'au point critique, il existe pour la même charge,

d.es configurations d'équilibre infiniment voisines à l'état fondarnental. On donne aussi aux

variables de déplacement un petit incrémént :

u :uo+u t

u :uo *u t

w :wo*w t

(1 - 23)

Chapitre I Généralités sur les silos cylind,riques et analyse théorique de Ia stabilité. 20

(uo, ,o et urs) représentent les composarrtes du champ cle déplacement correspond.ant à la

configuration fondamentale d'équilibre et (u, u et w) une configuration adjacente d'équilibre

pour la même valeur de la charge appliquée;

(ur, ,, et u1) sont les composantes du vecteur représentant les petits incréments. Les

contrainter (If", l/, "t

/f"r) des équations (1-20) prennent la forme suivante :

N,-1r , "+Af f ,r t ry- l r r r+aN,

Nr! : Nroro + ANrs

(1 -14 ) l\ - - - )

ff"', Nro et Nroro correspondent aux déplacements u9, ue et ?r.rs I

Altrr, A.f[, et 6Nzu correspondent aux incréments ur, er et tl1.

En désignant par N"r, Ny, et.f[,,r, les termes de A.lf,, AN, et 6Nzu qui sont linéaires

€n u1, u1 et w1 et en considérant les équations (1-17), les coniraintes généralisées N", Ny

et Nrn peuvent se mettre sous les'formes suivantes :

N, : c ([u," + ]{r,,)') t ulu,u - Y + f;fr,r>'l)

Itrv : c (lu,o - i + |{.,r)') * vlu," + }rr,,l'l)

N,u : c | { rg * t ) ,2 * w, ,w,y)

(1 - 25)

En introduisant les équations (1-23) et (7-21dans les équations nonlinéaires (1-20), tous

les termes €o us, uot 1!0 et P disparaissent parce eu€ us, 1)0, 'tlo décrivent la configuration

d'équilibre. Et si en plus, nous négligeons les termes d'ordre quadratiques et ceu,x d'ordre

supérieurs €rr u1 , uLt lDL du fait qu'ils sont très petits nous arrivons aux équations de

stabilité suivantes :

N " r , , * N g " r , , : 0

N a r , s * N r u r , r : 0

DYawl -(

I (N"owt,r , * N"rwo,r") l2(N"yow1,ry I Nryrwo,"y) | Nnout l ,yy*

(

*.( l*-0,r,) ):o

(1 - 26)

Chapitre I Généralités sur les silos cvlinil,riques et analvse théorique d'e Ia stabilité. 2I

Les équations de stabilité (1-26) permettent de déierminer la charge critique pour un com-

portement linéaire (fig.t" 1.4b) ou non-linéaire (figure 1.4a) avant flambage. Cependant, la

présence des rotations de pré - fla,mbage dans ces équations de stabi[té introduit une com-

plication substantielle dans les calculs. Heureusement, dans un grand nombre de problèmes

d'instabilités (flambage des coques minces parfaites), f influence de ces rotations est petite

et négligeable.

(a) (b)

Fig (t./)

Lorsqu'on néglige les rotations r.!s,2,u.rs,, de pré-flambage les équations (1-26) deviennent :

f N"' ' * Ns"'Y

| /rr r,y I N"sr,"

| ,o*-, - (" , ,r , ," , *2N,uour,,s* r [g,our,y, * l"r ,)

-0

: Q

-0(t - 27)

Les équations (1-27) sont les équations de stabilité dans iesquelles la non-linéarité de pré-

flambage est négligée (voir figure 1.4b).

Les équations (t-27) sous forme de déplacements en utilisant les reiations cinématiques

sont données par : .

(1 tDYawl -

7 ( r ' ,0 -Y +

7-u L+u u ûr,"" *

Tur,ou +

Tut,ry -

iu7,z : u

L -u \+u 1 ût ,yy *

n-ut ;z * -Tut,"y -

iuL,z : u

\ , ̂ ',ur,r) - (N"our, ," + 2N rsotrr ,rs * Nnowl,nn) : 0

( 1 - 2 8 )

Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analgse théorique de la stabilité. 22

Ces équations peuvent être découplées d'aprés les hypothèses de Donnell. On obtient après

a.rrarrgement les trois équations découplées de stabilité de Donnell suivantes :

u 1 - o-r ' lDl ,zzz - iat ,OO

r : V -Ul

2+u : l' f t t ,""y * i t t , ron:

Vnut (1 - 29)

DV8w1- V4 (Nrowt , r , | 2Nrrowl , ry * Nyowr,3,y) * EJrr , r " " "

: 0I

En posant N"so :0, on peut utiliser ces équations pour calculer la charge critique d'un

cylindre soumis à une compression axiale et une pression latérale.

En posant N"so : 0 et .lfro : 0, on a le cas d'un cylindre soumis à une compression axiale.

Puisque f influence des rotations d'avant-flambage est négligée dans ces dernières équations,

les cæffi.cients (Nro, trg,o et Nroo)'sont gouvernés par les équations linéaires d'équilibre

suivantes :

(1 - 30)

Le système d'équations de stabilité possède une solution non triviale seulement pour cer-

taines vaJeurs de charges appliquées. Ces charges représentent les valeurs caractéristiques

du système, et à chacune correspond un point de bifurcation.. La charge critique correspond

aJors à la plus petite de ces valeurs.

L.2.3. Charges critiques de flambage des coques cylindriques [19]

Ce paragraphe, résume la formulation des charges critiques "Q"" d" flambage des

coques cylindriques. elle est valable uniquement pour les deux modèles suivants :

Modèle 1. Epaisseur très faible devant les rayons de courbure, (les effets de rotation autour

de la normal à la surface moyenne de la coque sont négligés).

Modèle 2. Epaisseur très très faible devant les rayons de courbure. Les déplacements

tangents de la surface moyenne étant eux-mêmes négligeables devant les rayons de courbure

de la surface moyenne, comparés au gradient de la flèche. Ce modèle est adapté atr.\ coques

dites peu profondes, c'est-à-dire ressemblant à une plaque. Plusieurs auteurs ont proposé

ce type de modèles, parmi lesquels Novozhilov et Donnell.

( N"o,' * Nu"o * AP' : g

{ ffro,y * rf"so : o

t1I DV*tor -

;*u" * P,: g

Chapitre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique de Ia stabilité. 23

f.Z.g.f Flambement dtun cylindre sous pression axiale

En utilisant les notations de la figure (1.6) nous obtenons : (da,ns le cadre des modèles

te t2 )

(i) Cas des culindres encasfuét lzbteê

-e"1#^('.+) ,n ( aru" \2Jo , \ ( d f1 ) ' /rw (1 - 31)

(1 - 32)

(1 - 33)

Fis (1.6)

où:^ 72(7 - u2\

a_ :È :

En choisissant u, - 1 - cos(z'(l lzil) on déduit:

-e"1ffi('.#)(ii) Cas des cyli'ndres encastrés-encastrés

Avec u" - 1 - cos(2r(|lH), la charge critique sera :

-e"1ffi('.#)+ (1 -34)1.Z,B,Z Flambement dtun cylindre simplement maintenu à ses deux extrémités

et comprimé axialement

12

T

Chapi,tre I Généralités sur les silos cylindriques et analyse théorique ile la stabilité. 24

t u plrrs petite charge critique dans ce cas est donnée par I'expression suivante :

E*tffi

(1 - 35)

Q" est un effort résultant exercé sur ies couronnes aux extrémités du cylindre dont

l'épaisseur est t. La contrainte critique associée est donc:

0 c : (1 - 36)

! .2.4. Prise en compte des imperfections géométriques init iales[4][30][47].

Il existe un désaccord important entre la valeur de la charge critique classique "P"1"

et la charge critique expérimentale "P"r', figure (1.7). Or, ni la prise en compte des

déformations de pré-flambage, ni I'influence des conditions aux limites ne peuvent seules

donner une interprétation satisfaisante de i'écart entre I'expérience et la théorie classique.

En faite, ce sont les imperfections géométriques initiales de la coque qui sont principalement

à l'origine de cet écart. Il est nécessaire de les prendre en compte [6][36].

ô

Fis (1.7)

Les équations de Karma4:fonnell (L.22) ne sont applicables qu'aux cylindres parfaits.

Pour tenir compte des imperfections intiaJes dans ces équations, quelques modifications

sont à faire :

- le déplacement latéral est composé d'une flèche réelle "ur" produite par la charge ap-

pliquée, et une distorsion intia.le n111 t1<1'correspondant aux imperfections géométriques

initiales.

ET

Ch,api,tre I Généralités sur les silos cylind,riques et analgse th'éoriqu" d, Io:tùj!ilé' . ë

- ies premiers termes qui représentent les forces de cisaillement dans la première équation

(1.22) dépend.ant seulement de la courbure produite par la flexion, ne subissent aucune

influence d.e cette distorsion. Par contre, on d.oit remplacer "u)" par pat "r'D *w * " dans

les autres termes de l'équation"

Les équations d.e Karman-Donnell ainsi modifrées seront les équations différentielles gou-

vernantes pour l,étude de la stabilité des coques cylindriques initialement imparfaites, et

se mettent sous la forme suivante :

0 (1 -37)

v4F

1.2.5. La méthode énergétique et le critère de stabil ité [19][40][64]

Les équations d'équilibre et de stabilité développées dans les paragraphes précédents'

peuvent aussi s'obtenir en analysant l'énergie potentielle du système'

Pour une coque cylind.rique, l'énergie potentieile totale fI est la somme de son énergie de

déformation u et de l'énergie potentielle o des charges extérieures appliquées'

I I : [ /+O (1 -38)

L'énergie d.e déformation u d'un milieu continu et isotrope est donnée par la relation :

u: , | | | @,e; +orer - ro)e" +râ 'Y,sar* tv ,+r ; "Y; )dædvdz (1 -3e)

En négligeant les termes d,e cisaillement et de contrainte normale, conformément aux hy-

pothèses ad,optées d.ans la théorie des coquesl et en introduisant les relations constitutives

(1-17) dans l'équation précédante on obtient:

Yaw - L, l r ,no{r , , , * 7n*, , r ) - 2,

-*l',,"(l * ',r . .

n l@,r,

* w*,"v)2 - ('"" + ror*",)(uau * w*ro) -

F,,

, 9 !

, ( ' , ro + -* , rv) l

* . * ,no ) ] * *

''(w,", * .*,"")fIT

u:* | | I ( ,r '*, ; '+2ve"en +|t; , ' )a,aua" (1 - 40)

Chapitre I Généra|ités sur les silos cylinilriques et analgse th.éorique de la stabilité. 26

où:

( e ' -e ' *xK"I, , i -e r *æKu)I lâ : ^l'Y | 2xK 'n

e; : Déformation d'un point de la surface moyenne;

e; et 7, : représentent respectivement la déformation normaLe et de cisaillement d'un

point se trouvant à la distance "æ" de la surface moyenne de la coque.

En introduisant ces relations dans I'équation (1-40) et en faisant I'intégration sur "o" qui

varie de -t à t, on trouve i'expression suivante :

U:U* lUo r 1 - 41 \

(r,n: i Il (r, * e? +z,e,e" **r?") a,a"

u, : + | | @? + K? + 2uK,K,+ 2(1 - u)K!") dædz

U* el, U6 Représentent respectivement l'énergie de déformation membranaire et de flexion.

L'énergie potentieiie des cha,rges appliquées est l'opposée du travail fournis par ces charges

lorsque la structure se déforme :

n : - ll Uu + Pw) d.ad,z (1 - D.\

\ - ' - J

Où / et P sont respectivement les composantes axiale et latérale agissant sur la surface

d'un élément coque.

u, ur sont les déplacements d'un point de la surface moyenne de la coque.

La substitution des expressions de I'énergie de déformation [/ et de l'énergie potentielle Q

dans (1-38) donne une expression de la forme suivante :

n-- [[FsdÆd,zJ J

En utilisant le principe de I'énergie stationnaire [6II = 0] (l'integrant Fs doit satisfaire les

équations d'Euler de calcul des variations [19][16][40]). En introduisant les relations (l-22)

nous retrouvons les mêmes équations d'équilibre (1-25).

chapitre I Générali,tés sur les si,los culznd,rtgues et ano'Iuse th'éoriuue de la stabilité' 27

La variation seconde de fI s'obtient , en ajoutant un incrément virtuel de déplacement

(ur,ur,u.r1) sur la configuration d'équiiibre fondamental de (us' ?0' tl,o)'

Donc :

înn : Z I I I (,t, * e2n, + 2e"1esr +|4n,) o'ooo"

. i l l

(N,or?,"* Nuou?,v *2N"row1|'uL,s) dtda

. "U I I ('?,', * w?,vc | 2uwv"'w7'!a *2(1 - v)(wl',,u) dxds (1 - 43)

Les rotations d'avant-flambage uss et ?o6, sont négligées dans la relation précédante'

Les équations d,Euler avec coûIme intégrant, celui de I'équation (1-43) conduisent aux

mêmes équations (i-32) déjà trouvées en appiiquant le principe de l'équilibre adjacent'

L.2.6. TYaitement du problème non-linéaire

L,analyse non-Iinéaire est nécessaire dans les situations suivantes :

1- Pour déterminer la branche d'équilibre secondaire. En effet, la théorie linéarisée de la

stabilité (paragrap h L.2.4.) est limitée à la détermination du point de bifurcation' Mais elle

ne donne aucun renseignements sur la forme de Ia branche secondaire' or, la connaissance

d.e cette branche est importante pour mieux comprendre le comportement de ia structure'

c,est-à-dire de savoir si la structure aprés bifurcation sera stabie ( avec une résistance

croissante ) ou instable'

2- Pour tenir compte des déformations non-linéaires d'avant-flarnbage et des imperfections

initiales, et de déterminer la charge critique avec exactitude'

3- Pour tenir compte du comportement non-linéaire des matériaux'

La solution analytique exacte d.es équations non-linéaires (L-27) pour Ie cylindre parfait

ou (1-37) pour Ie cylind.re imparfait n'existe pas. oo est généralement anrené à résoudre

leproblèmepardesméthodesapproximativesetnumériques.

Les méthodes généralement utilisées d.ans la résoiution de ces problèmes sont les suivantes

- lesméthodesdedéveloppementenser ie(Ri tzouGalerk in) ;

- la méthode des différences finies;

Chapitre I Généralités sur les silos cyli,ndriques et analyse tltéorique de Ia stabilité. 28

- la méthode des intégrations numériquesl

- la méthode des éléments ffnis.

Toutes ces méthodes d'analyse numérique réduisent le problème non-linéaire à un problème

de résolution d'un système d'équations algébrique linéaire pour chaque cas de chargement.

Le système d'équations est alors résolu par I'une des méthodes incrémentales ou itératives.

L.2.7 Conclusion

Dans la première partie de ce chapitre on a présenté les charges de type "silo" agissant

sur les parois cylindiques données par les norrnes, NF P22-630 et I'EC1. Nous avons montré

ainsi que les pressions alciales et latérales, s'exerçant sur un silo cylindrique sont répa.rties

de façon non uniforme le long du cylindre et le long du périmètre.

Dans la deuxième partie on a pr-ésênté les principales équations de la stabitité linéaire et

non-linéaire. Ce sont les équations de la stabilité de Donnellf2l], eui se résument par:

- les équations de stabilité dans lesquelles les termes de rotations d'avant-flambage sont

retenusl équations ( 1-26);

- les équations de stabilité dans lesquelles de tels termes omis sont données sous trois

formes équivalentes; équations (1-27), (1-28) et (1-29).

Le système des équations algébriques obtenu a été résolu numériquement. Cependant

aucune des études publiées n'a abouti à une solution analytique explicite à usage pratique

pour le dimensionnement du cylindre raidie. Toute fois on peut citer l'étude de Shang,

Marulic et Sturm[26] qui reste valable uniquement pour des cylindres raidis verticalement,

soumis à une compression axiale constante.

La suite de ce travail concerne l'étude anaiytique et numérique du comportement des

coques cylindriques non raidies d'une part et l'analyse de la résistance au voilement des

coques raidies et non raidies dtautre part.

Chapitre II

COMPORTEME}TT DES COQUES CYLil\DRIQUES

SOUS CHARGES DE TYPE SILO

E}T ELASTICITE LI}IEAIRE

2.1. Introduction

Cette partie a pour objectif d'étudier le comportement de ia structure des silos

6{lalliques cylindriques sous I'effet de la matière ensilée. On s'intéresse plus parii-

culièrement à la distribution des contraintes, des moments, des déformations et des

déplacements le long d.es parois d'une cellule à section droite circulaire. Dans la première

partie, nous proposons une solution originale analytique de ce problème en élasticité

linéaire, dans le cas de charges axisymétriques correspondant aux pressions de la matière

ensilée sur les parois du silo en pha.se de remplissage ou de vidange centrée. Dans Ie cas

de ]a vid"..ge excentrée, les poussées des grains sur les parois du silo sont dissymétriques.

L'influence de cette distribution non-uniforme, sur le comportement de la structure est

abordée numériquement (en utilisant Abaqus) dans la deuxième partie.

Chapitre II Comportement d,es coques c\lind,riques sous charges d,e type silo en E.L. 30

2.2. y'rpproche analytique du calcul des coques cylindriques

sous charges axisymétriques de type 66silott

L'analyse des coques cylindriques minces en élasticité linéaire soumises aux cas de

charges de type silo est complexe. Pour résoudre analytiquement le problème, plusieurs

hypothèses sont à formuler sur la théorie des coques et sur les charges à considérer.

Les hypothèses ad.optées dans ia formulation sont les hypothèses de Kirchhoff-Love. Les

relations entre cléformations €;i de la coque et les efforts Ni par unité de longueur d'une

part et entre les courbures Ki et les moments Mi par unité de surface d'autre part sont

données par les équations (1-17) chapitrel paragraph (I.2.2.1).

Les charges à considérer dans cette analyse sont axisymétriques et correspondent aux

pressions de Ia matière ensilée sur les parois des silos à la fin du remplissage. Ces pressions

sont calculées selon la norme NF P22-630 et l'Eurocode 1.

2.2.L, Formulation du Problème

Considérons figure (2.1), un silo métallique cylindrique à fond piat de diamètre "(D :

2rrr, de hauteur "H" et d'épaisseur "t". On I'assimile à un cylindre à base circulaire;

soumis à des charges de tYPe silo.

Ces charges sont les contraintes de frottement " f

(") et les pressions horizontales P"(z) de

la matière ensilée agissant sur ia paroi. Elies sont données selon la norrne française P22-630

ou I'Eurocode 1 par les expressions suivantes :

P.(r) : Cs {1 - exp l -Cr(H - t ) l } ; TQ) : C, { t - exp l-C"(H - ") l }

Ori C1, Cz et Ce sont des constantes définies par :

C 1 : y h ; Cz: .t 'frn

u 3 : -I,r

Àp, .t

T h

Les valeurs de 7, À et p sont données par la norme NF P22-630 [45]

Chapitre II ComTtortement d,es coqaes cglindriquæ so'us charges de type silo en E.L. 31

Le principe d.es puissa.nces virtuelles da.ns ce cas de charges (charges a>cisymétriques) s'ecrit:

( rH fHlvu,, I fQ)u,(z)d,z- l N,(z)u,(z)d'z

I to ro to

r , r t 12 1H (2 -1 )

I vu,, I e.ç"1u,dz-- l Noldz--, I luI"u,, ,"(z)dz(

- ' Jo Jo

- r t z Jo

Les équations variationnelles (2-1) conduisent alors après intégration par partie, aux

équations d'équilibre suivantes :

I ltr "' '

: f (z)I t 1 2

1 -;", - -r2N1",," -- P'(z)

I IvI"(H): M,,"(H) : 0

(2 -2 )

Mzy+AMzylùù

NI"+àNI"D" ù

Mp€Myy'ôdy

Fi,g (2.1) ModéIisation d,e la coque cylinilri'que

Cha,p,itre II Comportement iles coques c\lind.riques sous clr'arges de type silo en E.L. 32

Par ailleurs les relations de comportement sont :

Les composantes du champ de déplacements U, et [J" ne dépendent que de la variable z

définissant la côte par rapport à la base du cylindre'

En introduisant les expressions (2-3) dans (2-2), on obtient :

N":3(u,,"-,+)Ns:3é+,u",")

NI"--{ -*r , , " " ,

(# ++onu,) = *lr,u).'+]

(2 -3 )

(2 -4 )

(2 -5 )

(2 -6 )

L,expressi on (2.4) représente l'équation différentielle gouvernante du comportemeni des

coques cylindriques sous charges de type silo.

Or) a et D sont des constantes définies par :

n:ffi (rigidité

2.2.2. Résolution analYtique

flexionnelle); *^ - 3#

(# ++onu,) : ee)

L'équation (2-4) peut se mettre sous la forme suivante:

où:QQ): ll'"u'."+l

La solution générale de I'expression (2-6), est de la forme suivante (voir annexe 1):

u,(,): "*p(#ll;.<ft) - B.'"(Ë)] +exv(ffi11t *"r-A) - D"r"fffi))r:r:"rr,

Chapitre II Comporternent iles coques cylind,riquæ sous charges de type silo en E.L. 83

o(z\ : @v \ / 4 a a

Les constantes A, B, C, et D peuvent alors être déterminées à l'aide des conditions auxlimites en z : 0 (encastrement) et z:H (bord libre). Da.ns notre cas, on suppose poursimplifier les calculs que :

nuQot

Ce qui signifie que frH est trés Bræd, alors exp

ftH tend vers I'infini. Les termes ayantune ercponentielle positive dans Ur(z) sont alors nuls de façon à satisfaire la condition dubord libre.

A et B sont données par les expressions suivantes:

{ e: ffif,", * uc1)[exp(-c2H) - 1]

I B- -A-ff i t ,c,*uc1)lrrrt"*oec,H)] (2-8)

Ce qui conduit aux expressions du moment méridien et de la contrainte orthoradiale enintroduisant I'expressio n (2-7) dans (2-3) :

M'("): ,, !!.= ,,' \ ) ( L -u2 ) (Draa )

Avec :

lo,,u.*n(#) (e,s"fft) - B *Uær)* "(,)] e -s)

s(z) : - lnt, * uC1)exp[C2(z- fr)]

ffy : -* (?) * u.N,(z) (2 - 10)

Chapitre II Comportement d,es coques cglindriquæ sous ch'arges d,e type silo en E.L. 34

2.2.g'. Résultats de l'analyse analytique

Les résultats analytiques exploitent une application numérique aux coques cylin-

d.riques soumises à des charges de type silo, qui sont définis par la norme NF P22-630

et l,Eurocod.e 1. Ces cha.rges correspond,ent aux pressions horizontales et aux actions de

frottement. EIIes sont représentées dans ies tableaux (2-1) et (2-2) pour un siio de quatorze

mètres de hauteur, de huit mètres de diarnètre et une épaisseur de quatre millimètres (la

cellule "C")

Hauteurlm P,(z)-NF /(z)-NF P"(z)-EC.L f (z)-EC.10.000 22.L52 11.543 25.770 L4.812

L.250 20.918 11.068 24.638 14.314

2.188 19.892 10.365 23.663 i3.867

3.r25 18.773 9.7818 22.563 13.346

4.063 L7.549 9.7447 2r.323 L2.739

5.000 16.214 8.4484 19.925 12.031

6.250 14.239 7.4L96 17.780 10.900

7.187 L2.599 6.5651 15.932 9.8873

8.125 10.807 5.6309 13.845 d. i u+D

9.063 8.8484 4.6106 11.492 7.3250

10.00 6.7122 3.4975 8.8422 5.7L79

11.250 3.5530 1.8514 4.7740 3.1510

L2.50 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

tableau (P-1) pre.ssion horizontale et actions d'e frottement lkN I m2l

ile la matière ensilée (BIé) ilans la cellule "c' selon les normes "cas de Remplissage centré"

Ilauteur[m P"(z)-NF /(z)-NF P"(z)-EC.t f (z)-EC.r

0.000 26.109 L2.494 34.785 16.293

r.250 24.4L6 rr.779 33.258 75.745

2.188 23.377 11.187 31.941 r5.254

3.r25 22.033 10.543 30.457 14.681

4.063 20.568 9.8424 28.783 14.013

5.000 18.976 9.0806 26.896 13.234

6.250 L6.632 7.9590 24.00r 11.991

7.187 1,4.694 7.0315 21.505 10.876

8.r25 12.583 6.0213 18.689 9.5749

9.063 10.286 4.922L 15.513 8.0575

10.00 7.7894 3.7275 11.936 6.2897

11.250 4.1135 1.9684 6.4443 3.4661

12.50 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

tableau (2-2) pression horizontale et actions d'e frotternent lkNlrnzl

d,e Ia matière ensilée (BIé) d,ans la cellule "c' selon les normes "cas de uid'ange centrée"

Chapitre II Comportement des coquæ cylinilriques sous ch,arges de type silo en E.L. 35

Les figures (2.2), (2.3) et (2.4) représentent respectivement la variation des fonctions (

U,("), M,(r) et N, ) le long des génératrices du silo.

2 4 6 8 1 0 1 2

Déplacement radial (mm)

Fi,g (2.2) Déplacernent radial

'oI12l' l'oI'I'I4 l

I^ lz l

,fI

- 7 L- 0

k

c)

.É

Èr()

ff!

ac)=€

H

k

C)

t4

t2

l0

8

6

4

2

0

I

6

4

a

0

-2_rL-20 -10 0 10 20 30 ,10 50

Moment méridien (N.m)

-4 -20 0 20 40 60 80


t 2 3 4 5 6Dépl acement radial (rnm)

--- Analpiçe (remplissage)+ Ànrlrrfimre /widanoc cenltÉe

*cÏ l ;elon la l

Fig (2.3) Moment membro,naireméridien

Chapitre II Comporternent des coques cylind,riques sous ch,arges d'e tvpe silo en E.L. 36

t4

t2

l0

eE. 9 6(€

4

2

0

-z

l 4

1 t

10

6 t

k

doH

4

t

0

-) t_

i0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0Containte orthoradiale (MPa)

0 1 0 2 0 3 0 ÆContrainte orthoradiale (MPa) ''

Fi g ( 2. /) C ontraint e rn emb ranaire o rth oradial e

2.3. Approche numérique du calcul des coques cylindriques

sous charges de tYPe (6silott

Dans cette section, et dans un premier temps, on utilise I'approche numérique pour

valider ]e modèle analytique proposé. Ensuite, dans le pragraphe (2.4.) en examine

numériquement I'effet des charges dissymétriques sur le comportement des parois cylin-

driques.

Cinq cas de charges non uniformes, correspondants au-x pressions horizontales et aux ac-

tions de frottement dans la cellule "C" (annexe 3), seront analysés :

- les deux premiers cas de charges(*), représentent Ia vidange excentrée selon les mesures

expérimentales de la base de Chartres;

- le troisième-représente la vidange excentrée selon la norme NF P22-630;

- le quatrième représente e remplissage centré selon les mesures expérimentales de la base

expérimentale de Chartres.

- Ie dernier cas représente le remplissage centré selon I'Eurocode 7 1241, avec la prise en

compte du "PATCH LOAD";

(*) L" deuxième cas sera représenté dans I'annexe 2-

Chapitre II Cornportement des coques cylindriques sous charges de type silo en E.L. 37

Tous nos calculs numériques sont effectués à I'aide du logiciel Abaqus (version 5.5 et

5.6) sous la licence académique de Hibbit, Karsson et Sorensen,Tns., en considérant le

comportement élastique linéaire de la coque.

2.3.L. Cas de charges axisymétriques

Notre étude porte sur un cylindre à fond plat ( sans trémie ) de 14 métres de hau-

teur, de 8 mètres de diamètre. Le rapport hauteur/diamètre est d'envion I.7 assure un

comportement avec effet de silo. On considère généralement que cet effet peut être pris en

compte à partir d'un rapport égai à (0.8) (Norme P22-630). Le silo est construit en tôles

lisses d'une épaisseur de 3.5mm.

Les caractéristiques m{snniques des tôles sont le module d'Young E :2.te5MPa et le

ccefficient de Poisson u :0.3.

Compte tenu de la symétrie des actions et de la géometrie du silo considéré, nous avons

considéré que le quart de Ia structure. Le maillage est effectué aux moyens d'éléments

coques à huit nceuds(*), voir figure ci-dessous.

Mai,llage ilu quart d,e la coque cglinilrique (éléments coques S8R5)

(*) Les éléments coques à huit næud (SSR5) donnent un meilleur résultat par rapport aux

éléments à quatres nceuds (S4R5).

Ch,apitre II Cornporternent des coques cylinilriquæ sous charges d'e type silo en E.L. 38

2.3.2. Comparaison des résultats analytique et numérique

Le programme Abaqus noun a fournis les déformations, les déplacements et les rota-

tions sur tous les nceuds, les contraintes et les moments de flexion au milieu des éléments.

Les principaux résultats comparés aux résultats analytiques, sont représentés sur les figures

(2.5) et (2.6).

(i\ Cas d,e Remplissage

v

h

lra)Jct

t 2 3 4 5Déplacement radial (mm)

Fig (2.5a) Euolutiondu

Déplacement radial (mm)

déplacement rnd,ial le long d,es génératrices

tr

É

EH

g

- 1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0


-20 0 20 4a 60


Fig (2.5b) Euolution ilu ntoment membranaire méridi,en Ie long des génératrices

Chapitre II Comportement d,es coques cglinilriques sous ch,arges ile type silo en E.L. 39

fi

c)

<É

Fig (2.5c) Eaolution de la contrainte mernbranaire orth,oradiale Ie long des génératrices

(ii\Cas d,e aidanoe centrée

t 2 3 4 5 6 7 - 0 2 4 6 8 1 0 1 2

Déplacement radial (rnm) Déplacement radial (mm)

Fig (2.6a) Eaolution iJu d,éplacement rad,ial le long des génératrices

IGt

|<

g=G'

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

Contrainte orthoradiale (IMPa)

l4

1 2

l0

É 6

h

9 6

2

0

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0ConE âinte orthoradiale (MPa)

t 2 3 4 5 6

Déplacement radial (rnm)

Ch,apitre II Comporternent d,es coques cylind,riques sous ch'arges d'e type silo en E.L. 40

8

-r- Abaqus-+-Analytique

\f

r . j-

r seloni-lEcl

-'40 -20 o 20 ,{o 60 80Moment méridien (N.m)

Fi,g (2.6b) Eaotution d,u rrLoment n'ternbranaire rnéri,dien Ie long des génératri'ces

o

L

(l)

d

t4

t2

l0

8

I4

t2

l0

E

6

4

F

c)

ti

(l)

4

,

0

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0Contr'âinte orthoradiale (MPa)

0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0

Fig (2.6c) Eaolution de Ia contrainte mernbranaire orthorad'iale le long des gé'nératrices

-20 -10 0 l0 20 30 ,10


Contrainte orthoradiale (MPa)

Ch'apitre II Cornportement d,es coques cglindriques sous ch,arges ile type silo en E.L. 4l

2.3.3. Interprétation des résultats analytique et numérique

De cette étude comparative on remarque que :

- la coque se comporte essentiellement coûrme une membrane dans notre cas à partir

des figures (2.3), (2.5b) et (2.6b);

- il nty a donc qutune flexion concentrée au voisinage de I'encastrementl

- la contrainte membranaire orthoradiale est maximale,à une cote légèrement supérieure

à celle de l'encastrement. Elle permet le dimensionnement de l'épaisseur de la tôle à Ia

traction, figures (2.4), (2.5c) et (2.6c);

- l'amplitude du déplacement radial de I'ordre de six à onze millimètres est situé

également dans Ia partie basse du silo, figures (2.2), (2.5a) et (2.6a).

Les figures (2.5) et (2.6), montrent une bonne concordance entre les résultats analytiques

et numériques en élasticité linéaire dans le cas de charges axisymétriques. L'erreur entre

les résultats analytiques et numériques est inférieure à 10%. Cette observation montre la

validité de l'approche analytique et prouve que, les charges ont bien été décrites dans notre

étude numérique. Par ailleurs les hypothèses adoptées dans la partie théorique sont bienjustifiées.

Nous pouvons donc poursuivre notre analyse numérique en considérant des cas de charges

quelconques, à savoir des pressions horizontales non-uniformes décrivant la vidange ex-

centrée.

2.4. Analyse numériques du comportement des coques cylindriques

sous charges dissymétriques

La distribution des pressions dans les silos peut varier considérablement dans les

deux plans vertical et horizontal. Les réglements actuels tels que la NF P22-630 ou l'EC1

donnent peu d'informations sur la manière de considérer la variation des pressions dans le

dimensionnement. Après illustration des types de pressions non-uniformes qu'on rencontre

dans les silos, on vérifiera si les perturbations liées à Ia non-uniformités des pressions

horizontales et des actions de frottement sont suffisamment importantes pour la prise en

compte dans le dimensionnement.

Une attention particulière doit être portée sur le fait que la distribution des pressions sur les

parois d'un silo cylindrique est rarement uniforme autour du périmètre pour un niveau de

charges donné. Il y a plusieurs causes qui provoquent cette non-uniformité parmi lesquelles

on peut citer :

Chapitre II Comportement des coques cylindriquæ sous charges de type silo en E.L. 42

) Ia ai,dange eacentréei

- I'ensoleillement;

- Ia aiilange séquentielle;

- Ia ui,ilange et Ie remplissage continu;

- Ie aentl

- le séisrne;

- Ie remPli'ssage excentré.

2.4.L. ANALYSE 1 (vidange excentrée selon les résultats de ia base de Chartres) [3a]

Notre première analyse porte sur un cylindre à fond plat de 14 mètres de hauteur, de

g mètres de dia,mètre et d'épaisseur variable de 2 à 3.5 mitlimètres. Le silo est considéré

encastré à la base et libre à son bord supérieur'

La structure a perdue sa symétrie suite à la non-uniformité des pressions' nous considérons

donc la structure entière dans ce cas voir figure ci-dessous.

Autrement dit :

- Le long de Ia circonférence' on dispose 32 éléments;

- Le long des génératrices et sur une hauteur de 2.5m, nous avons adopté 10 éléments soit

une hauteur d.e 0.2bm par élément, et 14 éléments sur le reste de la hauteur (soit 0'714m

environ par élément).

Les caractéristiques nlsnniques d.e la tôle sont ie module d'Young fi : 2'1e5MPa et Le

cceffi.cient de Poisson u :0.3.

Maillage ile Io' coque cyli'ndrique entière (éléménts S8R5)

Chapitre II Cornportement d'es coques cylindriques sous charges de type silo en E.L. 48

Les charges adoptées dans cette analyse sont les résultats expérimentaux de la base deChartres. L'ouverture de la zone de répartition des charges est supposée de 45 degrés. Cesrésultats sont représentés sur la figure (2.8).

F t

É 6

oâ 6

2 0 l ' o g t 6 0

Pr6iGtkNb'zl

_ l

sQ e

É 6

Ë 3 0 . } t 1 0

Prryim [ktl/mz]

-h@io! hdiatslo

.------Fdlmd

'Gédræie 3

' MstièF @ilé.

PrsioBr.ûhl

Fig (2.8) pression horizontale et action de frottement selon

Ia base de Chartres pour les quatres génératrices

û ? s 3 0

Præim [kN/mz]

/a

l,æ*l1..-.--.nuæ"r I-

. Géaéatica I

I lr{atiùe æiléa'BLE-

I*ll - - - - - -Prurænr I

I Gésémtrice 2

. Matière @ilée'BLE-

;FQ^*"*

ch,api,tre II Comportement iles coques cylind'riquet::ut clt'arges ile type silo en E'L'

2.4.L.L Résultats de ltanalYse 1

?s0

200

2 uioJ

E roo

Esl 50

0

-50

300

z@

l@

0

-100

5 t 0Circonférence [ml

Fig (2.9a) Variation d,e l'effort tad'i'al

Circonférence [n]

Fig (2.9b) Variati'on d,e l'effort circonférenciel

Circonférence [n]

Fig (2.9c) Variation de l'effort atial

2t

a

t,g

.9o

.9

zJ

€

-200

Chapitre II Cornportement iles coques cylinilriquæ sous charges de type silo en E.L. 45

o

s

o

9 ^q t r

4 2

o

o

Circonférence [m]

Fig (2.10a) Variation d,u moment nembranaire méridien

O ^

a4d 9E E: pq EF FÈ'Ë

100

50

0

-50

-1m

80

@

4

20

0

-m

4

{)

Circonférence [m]

Fig (2.10b) Variation ilu moment membranaire circonférenciel

O ^. 5 É€ -F 4q oO EE O

: l : l6 tE'6Èe

Fis (2.10c)

5 r 0 r 5

Circonférence [m]

Variation d,u moment membranaire

z0

de ci,saillernent

Ch.apitre II ComPortement des coques cylind,riques sous ch'arges d'e type si,Io en E.L. 46

o.b€ÊÆ5>

É vF t oÉ Éo . :

F A

q ^. : sE >È v

6 . 9

o ! )É )!)

EE

Fig (2.1la) Variation ile IaCirconférence [m]

co ntraint e mernbranaire rnéri, d,i enn e

Circonférence [n]

Fig (2.1lb) variation ile la contrai,nte rnembranaire ci'rconférencielle

EO

@

q

zo

l0 15 'at

Circonférence [m]

d,e Ia contrainte mernbranaire d'e cisaillement

o.bîE>2 v

o o

o 9. : t5 qE oC E

Fig (2.11c) Variatzon

Chapitre II Comportement des coques cylind,riquæ sous ch'arges d'e type si,lo en E.L- 47

o

o

o

o

0.æoE

0.u16

0.o04

0.æ@,

{.qxz

4.0004

{.0006

{.0005

{.ær

o 5 chconférence [m]

Fig (2.12a) variati,on de la d,éfonnation nrembranaire méridienne

o

oIoÈp

oo

c:

Ë

o 5 tu ch"oofé'"*u 1-1

Fig (Z.1Lb) Variation ile la déformation membranaire circonférencielle

o 5 'u cir"ooféo*" 1t1

Fig (2.12c) Variation ile la d,éforrnation membranaire d'e ci,saillernent

Cltapitre II Cornportement des coques cylindriques sous charges d,e type silo en E.L.

oao

ëÊae É: i to

q

p

100

0

-50

-l0o I0

--e-niva0375m ---r-nivau32l4n -o-dvau6.07lm ---+-niva735?m ---+-nivau ll.43m

i

iiÂ

/,\l=ù

FE=l tA

E- V w V V\lt

V/V

5 10 cit"oofé*o"" 1-1

É

Fig (2.13a) Variati,on ilu déplacernent circonférenciel

F

o

oo

1æ

50

0

-50

-100

q

o

oa

5 I 0 1 5 ? 9

Circonférence [m]

Fig (2.19b) Variation du iléplacement radial

5 l 0 1 5 j

Circonférence [m]

Fig (2.13c) Variation ilu déplacement aûal

+uivau03?5m *aieu32l4m +nivau6.0?lm +nivau7857m --r-dvaull.43o

A.14

Jà\-n A. ,t,\Y

\ v\7 Y& v

Chapitre II Comportement iles coques cylind,riques sous charges de type silo en E.L. 49

d)

4

Ezoa6 o

2 -zo

4

50

Circonférence [m]

Fig (2.14a) comparaison des moments au ni,ueau de 1.25m

2æ

160

80

0

€0

10 15Circonférence [m]

Fig (2.Ub) comparaison des nronrents au niaeau d,e 9.211m

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5

Circonférence [m]

Fig (2.14c) comparaison iles rnoments o,u niùel,u de 7.857m

z

300

2æ

q l æ'z

Ë oÉ -t*

-2û

-3æ

chapitre II Comportement iles coques cylind,riques sous charges d,e type silo en E.L.

80

60

,10

€g 2 0

c r aË 'd

E"o4

4

€00

Fig (2.15a)

Circonférence [m]

comparaison d'es contraintes au ni,aeau

25

de 1.25m

25

d,e 9.21/1m

150

100

50

0

-50

-100

0

Fi,s (2.15b)

Ëo

Circonférence [m]

comparaison d'es contraintes au ni'aeau

2æ

150

^ l0o

a

. F v

R -50

- læ

-150

Circonférence [m]

Fig (2.15c) comparo,ison d,es contra,intes au niaeau de 7'857m

Ch'apitre II Comportement d,es coques cylind,riquæ sous charges d,e type silo en E.L. b1

Circonférence [m]

Fig (2.16a) comparaison iles d,éformations au niueau de 1.25m

Circonf&ence [m]

Fig (2.16b) comparaison iles déformations au niaeau d,e 3.21/m

Circonférence [m]

Fig (2.16c) comparaison iles déforrnations au niaeau d,e 7.857rn

offi

û(pl

5 oo@d

E O

{.@2

.oml

.omd

om

o0@4

ç ow,

x̂ 4cf,t2

.oCln4

.{rmt

o(xB

o06

! oooor

E ô_o

-a.m

.{lm4

{.@6

Ch.apitre II CornPortement des coques cglinilriques sous charges d'e tYPe si,lo en E.L. 52

L2

t0

8

6

4

)

0 -250 -2@ -150 -100 -50

Moment membranaire méridien (N'm)

Fig (2.17a) Euolution d,u moment rnembranaire méridien le long d'es génératrices

t2

l0

E

6

4

2

0-50 0

Moment membranaire circonférenciel (N'm)

i lumomentmernbranai ' rec i rconférencie l le longdesgénérat r ices

k

c)

H

())

Fis (2.17b) Eaolution

Ch,apitre II Cornportement des coques cglindriques sous charges d,e type silo en E.L. 53

-s-G. | +G.2 -.-G.3 -+G.4

L2

l0

8

6

4

2

00 50 100

Contrainte membranaire méridienne (MPa)

Fig (2.15a) Eaolution de Ia contrainte mernbranaire méridi,enne le long des génératrices

t 2

t0

8

6

4

2

0

|r

c)

f{

o

Fig (2.18b) Euolution d,e la contrainte membranaire circonférencielle Ie long des génératrices

Ch,apitre II Cornporternent iles coques cylind,riquæ sous ch'arges de tgpe silo en E-L- 54

lz

l0

E

6

4

,

00 4 B t ' z

Déplacement circonférenciel (mm)

Fig (2.19a) Euolution d,u d,éplacement circonférenciel Ie long d,es génératrices

t2

10

8

6

4

2

0

^

r{o

6l

kao-d

H

Fig (2.1gbi) Eaolution d,u iléplacenent rad,ialle long iles génératrices

Chapitre II Com,portement d,es coques cylindriquæ solrs charges d,e type si,Io en E,L.

k

c)=

12

l0

8

6

4

2

020 40

Moment (N.m)

Fi,g (2.20a) Cornytaraison d,es moments le long de Ia génératri,ce 1

-Momentcirconférenciel -......Ms6sntméridien

t2

l0

E

6

4

)

0-100

Moment [N.m]

Ha()d

Ii

I

Fig (2.20b) Comparaison iles rnom,ents le long d'e Ia génératrice I

Chapitre II Comportement d,es coques cylindriquet to* charges de tgpe silo en E'L' 56

^

k

g.€

t 2

10

8

6

4

t

00

Contrainte QIPa)

100

I

Fig (2.21a) ComParaison des contraintes Ie long de Ia génératrice 1

1 2

10

8

6

2

0

^

k

.9d

Conrrainte (MPa)

Fig (2.21b) Cornpara'i,son d'es contraintes Ie long de la génératrice 3

Chapitre II Comportement des coques cylind,riquæ sous charges de type silo en E.L. 57

Configuration d,éform,ée de Ia coque cylind,rique (niaeau 0.375m)

Configuration déformée ile la coque cylind,rique (niaeau 1.25rn)

Configurati,on déformée d,e Ia coque cylindrique (niueau 9.211m)

Configuration iléformé,e ile la coque cylind,rique (niueau 5.178m)

Chapitre II Comportement d,es coques cylindriques sous charges iJe type silo en E.L. 58

Configuration déform,ée de la coque cylindrique (niueau 6.071m')

configuration déformée de Ia coque cylindrique (niueau 7.857rn)

configuration déformée d,e Ia coque cylindrique (niueau 11.13m)

2.4.l.2Interprétation des résultats de l'analyse 1

Nous constatons à partir des courbes des figures (2.13b) et (2.19b) que I'amplitude

du d.éplacement radial est plus importante dans la pariie supérieure du cylindre. Son

Configuration défonnée ile Ia coque cglindrique (niuea'u 9.375m)

Chapitre II Cornportement d,es coques cElind,riquu sous charges d,e type silo en E.L. bg

*plitrrd" maximale est de l'ord.re de g cm qui représente presque Ie centième de la hauteur.

Ce déplacement est responsable du voiiement des parois.

La même remarque est observée sur les moments de flexions ( moment membranaire

méridien ), d'après les figures (2.10a), (2.I4), (2.I7a) et (2.20). Le maximum est de I'ordre

de 350 N.m se situe au-delà du milieu du cylindre.

I1 en résulte des représentations précédentes, que la flexion n'est plus localisée seulement

en partie basse comme I'indique le résultat de I'analyse avec des charges axisymétriques

du paragraphe (2.3.).

Le calcul du rapport des sollicitations membranaires méridiennes (de flexion) / sollicita-

tions membranaires circonférencielies à différent niveau du cylindre suivant les génératrices

est résumé dans le tableau (2.3)

Nous constatons que les efforts membranaires circonférenciels sont plus élevés par rapport

aux efforts membranaires de flexion sur toute la hauteur du silo. Le rapport de ces efforts

est de 0.821 au niveau 3.274m;

Nous constatons également que les moments et ies contraintes membranaires cir-

conférencielles sont prédominantes jusqu'à la côte 3.274 mètres, mais, au-delà les moments

et les contraintes méridiennes (de flexion) induites par les charges sont plus importantsl

Les sollicitations membranaires méridiennes (moments et contraintes) sont pratiquement

trois fois plus grand que les sollicitations membranaires circonférencieiles à la côte de 3.214

mètres.

I1 est donc essentiel de tenir compte de cette flexion, par la prise en compte de la non-

uniformité des pressions horizontales dans ie dimensionnement des silos.

tableau (2-9) Rapport des sollicitations, Mérid,iennes / Circonférencielles

le long iles génératrices

Niweau [m] 0.375 3.2r4 6.071 7.857 11.43Effort méridien ftN] 35 115 s7 L07 220

Effort circonférenciel ftN] 750 140 s70 400 390

Rapport des effort 0.0466 0.821 o.262 o.2675 0.564Mornent méridien [N.:n] 13 250 s80 385 L70

Moment circonférenciel [N.m] t4 75 L20 135 60

Rapport des moments 0.928 3.33 3.166 2.85 2.833Contrainte méridienne [MPr] 13 150 2LO 160 r47

Contrainte circonférencielle [MPa] 125 45 95 95 80

Rapport des contraintes 0.104 3.33 2.21 1.684 1.8375

Chapitre II Comportement d,es coques cylind'riquessous clrarges d,e tgpe silo en E.L. 60

2.4.2. Analyse 2 "vid.ange excentrée selon la norme NF P22-630" [45]

Ceite analyse porte sur le même silo que l'analyse 1, on considère les actions calculées

selon la norme française P22-630 en phase de vidange excentrée.

Formulation des clLarqes

Lors d.e la vida,nge excentrée, une pression horizontale non-uniforme, plus ou moins

irrégulière, s'exerce sur Ie pourtour de la paroi de la cellule, cette pression est donnée

par I'expression suivante :

Pn.r,"( t) : C "Po,r(z)

(2 - 1 i )

C, dépend de l'excentricité de I'orifice de vidange ainsi que du rayon de la cellule' 11 est

donné par la relation suivante

Ce: rnax(O.g + 0.a(;1) (2 - L2)

où:

( -

e : est ltexcentrement de I'orifice de vidange

r : est le rayon de la cellule

Pn,o("): est Ia pression horizontale à la vidange'

Les autres efforts (pression verticale, action de frottement, et sollune des actions de frot-

tement) restent inchangés par rapport à la vidange centrée (voir chapitre I paragraph

1 .1 .3 .1 ) .

La répartition de la pression horizontale selon'la norme française conceroant la vidange

excentrée est représentée sur la figure (''")'rr*

0sPb,

(qum)

9r

''xïd;'

Fis (2.22) Répartition

selon la NF P22'630

en uidange excentrée

Chapitre II Comporternent des coques cylindriquæ sous charges ile type silo en E.L. 61

2.4.2.L Resultats de l,analyse 2

to l5

. Cimnfémcc [m]

Fig (2.23) Variati,on d,es iléplacernents le long d,e la circonférence

o

geoeo=o

o

É 2t s

€ E6 9t r 9: )!l

: 9

È';

I

â 2o dt r o: . :o 9

t0 lJ

Circonférence [m]l0 t5

Circonféræce [m]

Fig (2.2/) Variation d,es moments le long ile la circonférence

l0 15

Circonfércocc [m]

Fig (2.25) Variation d,es contraintes Ie long ile la circonférence

P ^

€ ÊË ë4 sEE!E. 58

ËEc:'6

to

0

.t0

-æ.3{t

4

o l

I"o l

I

.30 |

* [t5

Circonférence [m]

Circonfémæ [rn]

Chapitre II Cornporternent iles coques cglind,riques sous charges d,e type silo en E.L.

l 2

l0

8

d c

4

a

l 2

E

d 6

,

I lc qutrt

r (qtrycrûre de l0o)

5 1 0 1 5 2 0 2 5 æ

Déplacement radial [mn]

t le qurt

. (owstne de 10P)

40 -2o 0 æ '10 60

Moment membrranaireméridien [N.m]

t les trois quads

4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 4

Déplacement radial [mm]

* 16 trois qutrts

-20 0 20 40

Moment membranaireméridien [N.ml

Fig (2.26) Eaolution ilu déplacement rad,ial Ie long d,es génératrices

1 '

l 0

8

6 6

4

1 a

10

E

d 6

!

a

0

Fig (2.27) Eaolution iLu moment rnembranaire méridi'en le long des génératrices

Chapitre II Comportement des coques cylintlri,ques sous charges de tApe silo en E.L. OB

8

d e

'le qust

r (owerare de l0o)

-lJo -t@ -50 0 50 læ 150 26Moment membranairecirconférenciel [N.m]

* le quart

* (ouverture de 10")

{ O € 0 - { O - æ 0 æ 4 0

Contrainte membranaireméridie,nne [MPa]

l 0

I

t

g 6

F

4

I l€s kois quans

4 0 iO 80 l2O 160 200

Moment membranairecirconférenciel [N.m]

* les t$is quarts

{o 40 -20 0 20

Contrainte membranaireméridienne [MPa]

0 t --120 {0

Fi'g (2.28) Eaolution du moment rnembranaire circonférenciel Ie long d,es gé,né,ratrices

E

H

A 6=€

8

H=g 8

0 E-80

Fig (2.29) Euolution ile Ia contrai,nte rLembranaire mérid,i,enne le long iles génératrices

Chapitre II ComPortement descoques cglindriquæ sous ch,arges de type silo en E.L.

* le çart

r,(ouverture de 10o)

'-20 o 20 4 60 t0 100 r20

Contrainte membranairecirconférencielle [MPa]

Fig (2.30) Euolution d,e Ia contrainte membranai're

* les trois quarts

- 2 0 0 2 0 4 0 @ 8 0 1 @

Conirainte membranairecirconférencielle [MPa]

circonférencielle le long d,es génératrices

l2

10

8

6 6

t

o

a

0

4{'

æ

20

l0

0

.10

.20

.æ

4{'

Chconfércnce [m]

Fig (2.31) Compataison iles iléplacements niaeau 0'375rn

25î)

200

I tso

5 too

50

0

Fis (2.32)

5 1 0 r 5 2 0 2 5Chconférence [m]

Comparaison d,es rnornents ni'aeau 0'375m

Ioo

Chapitre II Comportement d,es coques cylind,riquæ sous ch,arges de type silo en E.L. 6b

Chconférence [m]

Fig (2.33) Comparaison des contraintes niaeau 0.375m

2.4.2.2Interprétation des résultats de lranalyse 2

Nous constatons à partir des courbes des figures (2.23) (2.26) et (2.31) que I'amplitudedu déplacement rad.iai est plus importante dans la partie inférieure du cylindre. Sonamplitude maximale est de I'ordre de 3.8 cm. Ce déplacement est responsable du voilement

des parois.

La même remarque est observée sur les moments de flexions ( moment méridien ), d'aprèsles figures (2.24) (2.27) et (2.32). Le ma-ximum est de l'ordre de 75 N.m se situe au niveaude la base du cylindre.

On remarque également que le rapport sollicitations membranaires, circonférencielles/ sol-

licitations méridiennes au niveau de la base est de deux à quatre fois plus grand, ce qui

prouve que la flexion n'est pas importante, et qu'il faut tenir compte seulement de l'effet

membra.naire de la coque cylindrique pour Ie dimension.rement.

11 en résulte des représentations précédentes, que la flexion est toujours localisée en partie

basse courme I'indique le résultat de I'analyse avec des charges axisymétriques paragraphe

(2.3.1). Sauf que les amplitudes des sollicitations ainsi que des déplacements sont plus

élevées.

En comparant les résultats (sollicitations) de I'analyse I et I'analyse II, on trouve que

les charges proposées par la NF P22-630 ignorent des su4>ressions, qui se developpent

au delà de la mi-hauteur de la structure. Ces surpressions donnent naissance à des con-

traintes membranaires de flexion plus importantes que les contraintes membranaires cir-

conférencielles.

chapi,tre II Comportement d,es coques cglind,riques sous ch'arges de type silo en E'L' 66

2.4.3. Analyse 3 "remplissage centré selon les résultats de la base de chartres" [34]

Dans cette section, on applique sur la même structure les charges représentant Ie

remplissage centré selon les mesures expérimentales de la base de chartres (figure 2'34)'

Fig (2.3|) Pressions en phase d,e remplissage centré dans la cellule ,,C,,

selon Ia base de Chartres

2.4.3.L Résultats de ltanalYse 3

8

9 6

1

' III

" I0o.mr o.dE 0.@3 0.m4 o.ffi

D€placene,nt circonféreaciel [mm]

o, c4 0.6 0.8 I

Déplacement radial [mm]

Fig (2.95) Eaotution d'es d,éplacements Ie long des génératrices

Chapitre II Comporternent iles coques cylindriquæ sous charges d,e type silo en E.L. 67

E

9 c

Fig (2.36) Eaolution des mornents le long d,es génératrices

-10 0 10 20

Moment membranaireméridien [N.m]

4 .30 -20 -10 0 l0 20

Contrainte membranaireméridierrne MPal

ko

E

a 6

-10 0 lO ZO æ ,10 50

Contrainte membnnairecirconférencielle [MPa]

I

Fig (2.37) Eaolution iles contraintes le long des génératrices

Chapitre JI Comportement iles coques cylindriques sous ch'arges ile tupe silo en E.L. 68

2.4.4. Analyse 4 "remplissage excentré selon l'Eurocode I" l24l

Dans ce paxagraphe on examine I'effet des charges adoptées par I'Eurocodel sur Ie

comportement d.e la structure "silo" avec Ia prise en compte de la surpression appellée

"Patch Load".

Forrnulation des ch'arges

La pression horizontale ainsi que les actions de frottemeni sont données par les équations

(i-S) et (i-9), chapitre I.

Le patch load P, est donné Par:

Pp :0 '20Pnt; 0:114e; fd . (2 - 13)

Ori :

e; et d," représentent respectivement I'excentricité de l'orifi'ce et le diamètre de la cellule.

Cette surpression Po se développe.â one certaine hauteur ,S (voir figure ci-dessous) donnée

Dal :

S :0 .2d ' "

* Matière ensilée (BLÉ)

' P-o(z) (nnPlissago uæntr6)avec la prise eB comPte du

'Pâtsh I-oad"

Side elevation

5 1 0 u t 2 0 2 5

Pressions tkN/m'?l

ka

= o

H

0 r0

Pressions en phase d,e remplissage eûcentré dans la cellule nC" selon l'EC1'

Chapitre II Comporternent d,es coques cylinilriques sous charges ile type silo en E.L. 69

2.4.4.LRésultats de ltanalyse 4

6)

8

Êo

€ 6

, rûf 1 tt? rJ tù7 z tù7 zJ to.? 3 10? 3J ltr4 to.t

déplacement circonférenciel [m]

Fig (2.38) Eaolution d,es déplacements

0,t 0.2 0.3 0.4 05 0.6 0.7

déplacement radial [mm]

Ie long des génératrices

4 - 4 0 4 8 1 2

moment membranairecirconférenciel [N.m]

- æ 0 æ , 1 0

moment membranaireméridien [N.m]

I

Fig (2.99) Eaolution iles moments Ie long iles génératrices

Chapitre II Cornportement des coques cylind,riquet try charges de type silo en E'L' 70

, 6rl

d

contsainte membranairecirconf&encielle [MPa]

.24 .16 -t 0 E 16

contrainte membranaireméridienne [MPa]

Fig (2./t0) Euolution des contraintes le long d,es génératrices

2.4,4.2Interprétation des résultats de ltanalyse 3 et 4

Les figures (2.35) et (2.38) montrent que I'amplitude du déplacement radial est plus

importante dans Ia pariie inférieure du cylindre'

La même remarque est observée sur les moments d.e flexions ( moment méridien ), d'après

Ies figures (2.36) et (2.39). Le maximum est au niveau de ia base du cylindre'

on remarque également (figures (2.37) et (2.40)) que les contraintes membranaires sont

plus importantes que les contraintes d.e flexion. La coque résiste uniquement par sa forme'

La flexion est toujours localisée en partie basse'

Fi,g (2.11) configuration iléformée il,e Ia coque cylindri'que sous ch.arges axissymétriques

(ùi,d,ange ou remplissage centré selon l'Eurocod,e l paragraphe [2.3'1' (i) et (ii)])

r0 20 30

Chapi'tre II Comportemen't, iles coques cylinilriquæ sous ch,arges ile type silo en E.L. 7!

Fig (2./2) Configuration iléforrnée d,e Ia coque cylind,rique sous charges non-uniforrnes

(aidange excentreé selon les résultats d,e la base de Chartres paragraphe t2.4.Il)

Fig (2.49) Conf'guration déformée d,e Ia coque cylind,rique sous ch,arges non-uniformes

(aid,ange eacentrée selon ta NF P22-690 paragraphe [2.4.2])

Chapitre II Cornportement d,es coques cylinilriques sous charges ile tgpe silo en E'L' 72

Fig (2.40 configuration iLéformée ile la coque cylind'rique sous charges atisymétriques

(remplissage centré selon les résultats ile Ia base d,e chartres paragraphe [2'4'9])

Fig (2.15) configuration d,éforrnée de la coque cylind'rique sous ch'arges non-u'niformes

(rentplissage eacentré selon I',Eurocod,el auec Ia prise en contpte d'u "patch load"' paragraph'" [2'/''4'])

Chapitre II Comportement d,es coques cylindriquæ sous clrarges de type silo en E.L. Tg

2.5 Conclusion

Au vu des résultats des a,nalyses numériques présentés dans les paragraphes (2.3)

ef (2.4), nous pouvons conclure que la non-uniformité des pressions horizontales est un

phénomène préjudiciable pour la stabilité des silos cylindriques. La conséquence sur Ia

distribution des sollicitations dans les parois est nette. L'évolution du moment de flexion

suivant la génératrice est totalement quelconque, et le maximum se situe au-delà de la

mi-hauteur du silo. Contrairement à l'étude faite précédemment dans ie cas de pressions

horizontales uniformes autour de I'a>re vertical, paragraphe (2.3.1.), la flexion n'est plus

localisée à la base encastrée et devient prépondérante.

En observa,nt aussi l'évolution du déplacement radial, on constate une répartition qui n'est

plus semblable à celle que nous avons observé dans le cas des pressions uniformes autour

de l'axe vertical, I'amplitude maximale se situe en partie supérieure du silo.

Les résultats numériques obtenus montrent que cette non-uniformité entraîne des con-

traintes membranaires de flexion beaucoup plus importantes que les contraintes rn€rn:

branaires circonférencielles dans certaines sections du cylindre. Dans ce cas, le moment de

flexion est un facteur important da.ns le dimensionnement des silos dans le cas des charges

dissymétriques (non-uniformes) le long du périmètre.

Chapitre III

VOILEMEI\TT DES COQUES CYLINDRIQUES

SOUS CHARGES DE TYPE SILO ET

ETAB LISEVIEI\T D'U}[E FORVIULE A}TALYTIQUE

3.1. Introduction

La coque cylindrique sans ou avec raidisseurs est souvent choisie dans la conception

des structures de nombreux composants industriels: des éIéments de construction nucléaire,

des ouwages de génie civil, tels que les silos, etc...

Le dimensionnement de cette coque est basé sur sa résistance au phénomène de voilement,

qui peut causer la ruine de celle-ci bien avant I'atteinte de la limite élastique du matériau

la constituant.

Les solutions proposées dans la littérature pour la stabilité des coques concernant des

conditions simples de ùargement (compression axiale constante par exempie), sont bien

éloignées du cas de silo. Notre étude consiste donc a a,r:.éliorer l'état actuel des connais-

sances du voilement des silos cylindriques imparfaits, raidis ou non longitudinalement, à

fonds plats. Nous proposons une approche analytique pour le calcul des contraintes ultimes

de résistance de la structure du silo. Cette approche est basée sur une étude paramétrique

par voie numérique (Abaqus).

Chapitre III uoilernent iles coquæ cylinilriques sous charges ile type si'Io'

Comme nous ne disposons pa"s de résultats dans la littérature qui tiennent compte de ce

type de charges (charges de type silo), nous avons choisi de faire d'abord un calcul simple

sur une coque soumise à une compression axiale uniforme, deja traitée analytiquement par

Timoshenko et Gere.

3.2. Flarnbage des coques cylindriques sous compression axiale

Dans cette étude, on se refère à I'exemple déjà traité par Timoshenko et Gere [63].

I1 s'agit d'une coque cylindrique parfaite, longue, mince et simplement appuyée, soumise

à une compression axiaJe uniforme (fis*" 3.1). Elle est suffisamment mince pour que le

voilement puisse se produire bien avant la limite élastique. Le matériau de Ia coque est

homogène et isotroPe.

Cette étude présente un double objectif permettant :

1. de montrer la technique utilisée par Abaqus pour résoudre les problèmes de la stabilité

des structures métailiques. En général l'étude de la stabilité se fait en deux étapes :

- analyse aux valeurs propres pour estimer les charges critiques et les modes critiques

associés;

- analyse non-linéaire en utilisant la méihode incrémentale de Riks ou celle de

Newton-Raphson qui permettent d'étudier Ia sensibilité de Ia structure aux imperfections

géométriques.

2. de valider Ies résuitats analytiques en les comparant avec des résultats numériques'

Cet exemple (exemple de Timoshenko et Gere) est étudié pour définir la meilleure stratégie

pour aborder Ie flambage des coques cylindriques sous charges de type silo'

, D

Fi,g (3.1) Coque cyli,nd,ique en cornpression axiale

Chapitre III aoilement d,es coqaes cylinilriquæ sous charges de type silo.

3.2.L. Analyse analytique de la stabilité des coques cylindriques

selon Timoshenko et Gere

En utilisant les mêmes notations de la figure (2.1) chapitre II. Les équations

d'équilibre de fla.rnfage sous compression a><iale constante sont données par les expres-

sions suivantes :

76

' ***:oîNy + ,?N"n * ,w_0 ' ! +AI / I , ' _0 fu1, _nA0

- , A"

-T r - ! \ z - - A ,

- l $ j ; : -

- * ô , . , n , azNI , +02Ms, *ô ,Mn _02M"s _rr i \ " U7* iYa*-6"2 ô200' æ- af f i

:0

(3-1)

Ces équations peuvent être écrites sous formes de déplacements u, v et w tout en utilisant

Ies notations suivantes :*O': T'F

ô -N,(L - u2)

ET

t+uAt :

Az :

2

L-u

#.,o,#-,,y+',ffi:oo,fur* + "+,* +'# -'# . "l# - # * 2r Az#l -'r# : o

,ô2us ôu 0u w | ô3u , ô3u "ô4w tw1-ra aF *' a" + G -

; -

" læ*r(2 -,)æ +r" al * æl

-zo, o!^'-'*' ar'af io _,

- TNTT^:TSoit :

Chapitre III uoilement d,es coques cylind,riquæ sous chotrges d'e type silo' 77

( " : As in(na) cos À

{ , - Bcos(na)s inÀ

[ , - Cs in(na)s inÀ

En substituant cette solution dans (3-2) on obtient le système suivant :

t . ô _ e(À2+Azn2)*BnAù'*Cu\ :o

\ AnAlÀ+ B (A2^2 +n2 +2aA\2 + an2 - s 'Ô) +C ln* an(nz + À2) ] :0

I auÀ* Bn{t+o1r2 +(2-")^ ' ] } +c l t - ^ 'Ô* a( \2 +n2)2f :0

En posant le d.éterminant du système d'équations égal àzéro on obtieni I'expression de { :

'Â : ! -N ' ( l -u2 )'sEt

Où E et ^9 sont donnés par les expressions suivantes:

R : (1 - r ' ) û +* { ( r '+ ) ' )n - (2+u) (3 -u ) \anz +2À4(1 -

" ) - ) ' 2na(7 +u)

t '+ (^2n2(3 + u) + nu - zn\)

)

,s - À2{t"' * À') + Lr^' 1- trn2)ft + a(nz+ À')'l + i$' + Aznz)ln' + (L - ")^'l

, ' r ' I-TI

Dans le cas d.es coques cylindriques longues et minces { est donnée sous la forme:

( t -u2 ) \4 +a { (n4 -nz1z +^z lna - (n+u)n4 + (3 iu )n2 l

La solution générale du système d'équation (3-2) est de la forme suivante :

ô : ^zn2(n2 * L)

sous compression axiale uniforme; estLa contrainte critique méridienne

I'expression suivante :

(3 -3 )

donnée par

I

L )

n6

+ÀrI@

2t2 t) Tw

r -u2 ) \a+o{ (nn-nl( n+v)na+(3+ " ) " ' l \ëa

(3-4)ocr --

Chapitre III aoilement iles coques cylindriques sous charges de type silo.

L'analyse analytique de Timoshenko et Gere montre l'existance de "n" ond.es uniformesautour du périmètre et "m" demi-ondes le long des génératrices. Ils ont d.éterminé lescontraintes critiques en fonction de la combinaison des ondes circonférencielles et longitu-dinales. Le mode de flambement qui fournit la plus petite contrainte critique sera considérécomme le premier mode de fla,rnbement pour la coque. Les résultats de leur analyse quimontre l'évaluation de cette contrainte en fonction de "n" èt "m" sont représentés sur lesfigr:res (3.2a) et (3.2b).

78

1.2 to6

I lod

-€- - n=2- - -61- - -n=3-* -n=4--o-n=5

*-n=6----rn=7_+_ n=g---r- n=9---{-n=10

E

- - - . . - -6r ' - - - '- - - - N - - -

- & - - - ' -Ë- - v - - - - -= -9 -^

l0'

rd

rd

rd

0

8

6

2

d

ëq)

cr

koq)

clk

()

À=mn r /H

Fig (3.2a) Euolution d,e la contrainte critique aæiale en fonction d,e ),

n (nomb,re d ondes circonférencielles)

Fig (3.2b) Eaoluti,on ihe Ia contrainte critique axiale en fonction de n

travers ces résultats, on constate que la plus petite contrainte critique correspond

€

ë()=

h()a)

d

A

chapitre III aoilernent iles coques cglindriques sous charges d'e type silo'

mod.e défini par ,,n :2" et t'7y1 :1", ce qui signifie, deux ondes autour du périmètre et

une d.emi-onde le long de la génératrice du cylindre'

Le mode ,rr7 -- 0" et "rn: 1", correspond. au flambement du cylindre coÛlme le flambement

Eulerien d'un tube cylindrique. Pour des faibles valeurs de "771"' ,les contraintes critiques

évoluent trés rapid.ement a,vec "n". Par contre, pour des fortes valeurs de "?2" et "rn" '

elles ne sont pas trés grandes par rapport à la plus petite contrainte, et ne varient pas

sensiblement d'un mode à I'autre'

3.2.2. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques

sous compression axiale (calcul linéaire)

L,analyse aux valeurs propres de flambement est exécutée par le code d'éléments finis

(Abaqus) selon le schéma suivant :

- stockage de Ia matrice de régidité à l'étape correspondant à la phase initiale de charge-

ment sur la structurel

- application d.'une petite perturbation de charge active'

une fois que Ia matrice de contraintes initiaies due à la charge active est calculée, le calcul

des valeurs propres est alors exécuté pour déterrriner le facteur de charge pour lequel

l'instabilité est atteinte.

pendant le calcul de la matrice des contraintes initiales, Ies bords verticaux conservent les

conditions de symétrie, car Ie pré flambement que provoque cette contrainte est symétrique'

Ceci s'effectue par I'intermédiaire de I'instruction "BOUNDARY"' Enfin' les conditions

associées aux charges d.ites "VMS" sont appliquées sur ces bords par le biais du mot

clé ,,BouNDARy,LoAD CASE:2". si cette d.euxième condition n'est pas explicite, il

considère la même condition dans les deux cas'

(i) choix du maillage et des conditions aux limites de la coque cylindrique

Le ccoix du maiilage est trés important dans ce type d'analyse' Pour ce problème

particulier, Ie mode de flambement présente "n" ondes circonférencielles et "rn" demi-

ondes longitudinales. Le problème est d.onc de déterminer les valeurs de "n'" et "rn" pour

lesquelles on a la contrainte critique 6inirnale'

Le maillage est effectué au moyen d'éIéments coque à huit nceuds, ies dimensions des

éléments peuvent être appréciées sur la figure (3'3)' plus précisément :

- suivant la direction circonférencielle, on subdivise le segment en huit;

79

Chapi,tre III uoilernent iles coques cylindliquæ solrs charges ile type silo. 80

- suivant la génératice,24 rangées ont été adoptées.

Fig (9.3) Maihage d,e Ia coque cyli,nilrique pour l'analyse de Ia stabilité

Compte tenu de la symétrie du problème nous avons considéré que le quart du cylindre

dat's Ia direction circonférencielle (f,) et la moitié du cylindre suivant la génératrice. Avec

cette approche, il est nécessaire de mener plusieurs analyses, en utilisant différentes valeurs

de "@" et les conditions de symétrie ou d'anti-symétrie dans le plan moyen suivant que le

nombre d'ondes longitudinales est pair ou impaire.

Dans ce cas précis, nous avons fait variet "ot)) entre (i) "t

(#), "orr"spondant

à "n :2"

e t " n :10 " .

Bord (1)

Ce bord qui sert du point d'application de la charge est simplement appuyé.

Bord (2)

Les conditions de symétrie pour les charges correspondent:

- aux déplacements radia.l et axial libres;

- au déplacement circonférenciel nul;

- aux rotations nulles autour de ce bord.

Les conditions d'anti-symétrie sont utilisées pour le flambement, ce qui se traduit par :

Chapitre III uoi,lement des coques cylinilriquæ solrs charges de type silo.

- des déplacements circonférenciel et axial nuls;

- des rotations non nulles.

Bord (3)

Les conditions appliquées sur ce bord sont des conditions de symétrie ou d'anti-symétrie

selon Ia parité du nombre de demi-ondes longitudinales.

Bord (a)

Les conditions de symétrie sont appliquées sur ce bord pour les cha,rges ei le flambement.

3.2.3. Comparaison des résultats numérique et analytique de Timoshenko

Dans cette section on établit une comparaison entre les résultats déja obtenus par

Timoshenko et Gere et les résultats numériques, afin de valider le calcul au voilement des

coques sous compression axiale constante sur toute la hauteur. On utilise pour cela trois

coques d'une hauteur de 12.5 mèlres, d'un rayon de 2 à 4 mètres et d'une épaisseur qui

varie de 4 à 8 millimètres.

La figure (3.4) montre les contraintes critiques obtenues numériquement et les courbes

analytiques de Timoshenko et Gere. Les résultats obtenus avec les éléments coques à huit

nceuds valident les résultats analytiques, I'erreur est de huit à neuf pour cent, ce qui prouve

que le maillage de la coque cylindrique et les conditions d'appuis ont été bien définies ainsi

que les charges (compression axiale constante). Ceci nous permet de poursuivre notre

étude à savoir le voilement des coques cylindriques imparfaites, raidies et non-raidies, sous

charges de type silo.

. . . . . . . 4 ù q q B

t Rayodc la oço 2oèm

. Epaiscu 6 millioètos

' llaeû l2J eètct

tEs2"lc5 MPa

' Næhr doda longiodbalcs

81

a

o

E.B

o

F

rX

dtE

Alpha

Fig (3./a) contraintes critiques rnérid'iennes pour r :2m

Chapitre III uoilernent d,es coques cyli,nilriquæ solls charges de type silo. 82

ÆEo)

'5

oa

Â

ËIo

o

É

It4

176

l6t

ld,

t4

-Toebclto ...--.. Abe@

t:ti

I Rayo dc la coqæ 3 dm

'&airsæ6-;lli*ùË

'llôlæq l2J dtsË

t E=21o5 MPs

r NoEbE doldcr loEgiEdi@l€J 1

d4 d6

_ liEdh6k^ Ab.qL,

' Rayo d. la coqû.4 Eèfts

t Epais6 millidras

'!ls@q 12J drçg

. Eg2lc5 MPa

t Noke dodc loqiodiaahs I

tl4 da dro rA2 dt4 ''16 d7t tZtAlpb.

136

I B

dl2 dl4 in' dt8 tæ

Alpha

Fig (3./b) contrt,intes critiques mérid,iennes pour r : Brn

, t I

"l"f"f"f:iI"I

o

oc

5o

tm

l l 2

lol

96

EE

a

l!

Eo

qo

Én

-Timobcoko .....-.Ab.qu

I Rsyoq do la coqÛc 4 mèæs

'llamu 12J oèæs

'&21o5 MPa

l(m

rlt

Fig (3.,4c) contraintes critiques mériiliennes pour r : nt

Fig (3.0 Comparaisons nurnérique et analytique d,es contraintes critiques nérid,iennes

Chapitre III aoi,Iement iles coques cyli,ndriques sous charges il,e type silo.

Fig (5.5) Configuration d,éforrnée ile la coque cylind'ri,que parfai,te sous conLpresion axiale

3.3. Analyse numérique de la stabilité des coques cylindriques

sous compression axiale (calcul non-iinéaire)

3.3.1. Prise en compte des imperfections géométriques

Au moment d.u dimensionnement d'une structure, la forme et l'amplitude réelles des

imperfections ne peuvent être connues. Elles seront connues seulement lorsque la structure

elle-même est réalisée. Pour faire le calcul, il faut cependant considérer une forme et

une valeur pout ces imperfections. La forme des imperfections que nous considérons est

identique à celle du premier mode de flambement'

Selon l,Eurocod.e 3 [23], les a,mplitudes Ws,, de I'imperfection sont mesurées entre une tige

droite (fig.3.6a) et un gabarit circulaire (fig.3.6c), disposé en un point quelconque entre

cordons de soudure respectivement d'une quelconque génératrice et d'un quelconque cercle

directeur' La longeur de la tige et du gabarit est /' : 4tFrt' Mais sans dépasser 95%

de la d.istance entre soud.ure circulaire ou entre soudure sur méridien. C 'est une tige de

longueur Ir:25t que I'on doit utiliser pour les soudures circulaires (fig.3.6b).

L'a^mplitu de Wst des imperfections maximales tolérées sur la génératrice et sur le cercle

directeur est définie comme suit:

83

wor, -0.01/, à 0.02/, soit lTor : fiot e fitt

Chapitre III aoilernent des coques cylindriquæ sous charges de type silo. 84

ï

TW-"LWi fL rtr-(a)

T[ **

M+(b) (c)

Fig (3.6) Lirnitation des imperfections d,es coques cylindriques.

3.3.2. Etapes de création de la surface imparfaite [1]

En utilisant les notations de ia fi.gure (3.7), la création de Ia surface imparfaite se fait

selon les étapes suivantes :

Fis (3.7)

a- On lit les valeurs des déplacements unitaires du mode de Euler pour tous Ac; et Ay;;

b- On lit les coordonnées de tous les points du cylindre initial (parfait) n; et gi;

c- En fonction de ot et !;, on calcul I'angle d pour chaque point avec : tan?; - l;

d- En fonction de Azl et Âgr; on calcul I'angle,6 pottt chaque point avec : t*fu: #;

t-c)f

t t l

. NH

l c

LIJ

v

Chapi,tre III aoilement des coques cylinilriques 3ou8 charges d,e type silo.

e- On calcu l la résul tante d.es déplacements : D; - 1 f f i ;

f- On calcul le déplacement radial Dr; en projetant D sur le rayon : Dri : D;cos(0; - 0;);

g- On cherche le point "j" où il y a ie plus grand déplacement radial Dr;; et on calcul "1"

te lquerq-f f i ;

Wstc représente la valeur maximale des imperfections tolérées.

i- On multiplie tous les déplacements du mode de Euler à tous les points par "4", on

obtient ainsi les valeurs des imperfections pour tous les points de Ia surface de la coque

cylindrique;

j- On ajoute les valeurs des imperfections obtenues aux coordonnées des points de la surface

parfaite, on trouve ainsi les nouvelles coordonnées des points de la surface imparfaite.

3.3.3 Résultats numériques de ltanalyse non-linéaire

Le modè|e est traité par la méthode incrémentale, en utilisant la méthode de Riks.

Le maillage ainsi que les conditions aux limites utilisées sont celles du calcul précédant

paragraphe (3.2.2).

Une imperfection de la forme du premier mode obtenue au niveau du calcul linéaire est

considérée comme étant Ia plus critique.

Les amplitudes maximales des imperfections géométriques utilisées sont celle définies par

I'Eurocode 3 [23].

L'analyse non-linéaire est exécutée en utilisant la procédure " *STATIC,RIKS"'

La figure (3.8) présente le déplacement axial du næud en fonction du paramètre de la charge

appliquée ,,À". Elle montre que les imperfections influent directement sur la diminution

de 1a charge critique de la coque. Nous constatons que pour une valeur d'imperfection de

I'ordre de 0.008 la charge critique est réduite d'environ 15%.

La variation de la contrainte critique méridienne en fonction du rapport rayon/épaisseur'

pour des coques parfaites et imparfaites est représentée également sur la figure (3.8). Nous

constatons que les contraintes critiques de la coque cylindrique imparfaite sont plus faibles.

85

Chapitre III uoilem,ent d,es coques cglindriques sous charges d,e tgpe si,Io. 86

("

d

À. . 6

sll

9 u

Fig (3.8a) Contrainte et charge critique pour r :2m

o 5 l o 1 5 û é r 3 5 4

Dépl8eæûtuiÂl lml

0 t l o 1 5 æ É m 3 t 4

DéPlaæænrdiâl lffiI

;-.... -.-... --. "

'Rsyod.hcoqr4[ùF

- Coqoo.-- . . .Coqt

t f o t S û Ë p

Déplaæntuiallml

& m 1 9 0 4 9 f r

û

o € n 5 9 @ 6 9 7 @ 19

l58 0 6

s€ o eI.2

@

&

€I

s3

.9

Fig (3.8b) Contrainte et ch,arge cri'tique pour r :3m

î æ=Eo' = @

. q 6

-- --- crq|F pâ.ÉÀib

t Rryù do Lc.q& 4 dtÉ

m fi 7@ 0 ru r@

rll

Fig (3.8c) Contrainte et charge critique pour r : 4nt,

Fi,g (3,5) Infl,uence iles imperfecti,ons sur la charge etla contrainte ile fl,ambage

. RÂyd do Ia €qe 2 ûè@

/t/il t :

{i:

Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous ch.arges de type si,lo.

3.4. Analyse de la stabilité des coques cylindriques raidies et non-raidies

sous charges de type 36silo" (calcul non-linéaire)

Dans la première partie de ce paragraphe on présente l'étude analytique du voilement

des coques cylindriques imparfaites sous charges de type "silo". La solution' pour le calcul

des contraintes critiques méridiennes dans les silos est donnée par I'EC3.

Dans la d.euxième partie on présente notre approche a.nalytique, pour le caJcul et la

vérification de la résistance des silos cylindriques imparfaits raidis longitudinalements,

à partir d'une étude paramétrique numérique bien approfondie.

3.4.1 Rappel de la solution analyt ique selon ltEurocode 3 [23]

(i) Cas des coques cvlindriques imparfaites non-raidies

C o ntrainte ultime m éri ili enne

c zrd, : o zrk ' ^ , rns : 7 .7 (3 - 5)"Yn3

Ot) 7-r est un cæffcient de sécurité.

L'équation (3-5) représente la formule gouvernante du voilement des coques cylindriques

imparfaites sous charges de type silo. Cette solution est adoptée par l'Eurocode 3 pour la

vérification au voilement des silos cylindriques.

o z r k : K " f y , k (3-6)

d ,

K" :1 s i À ' < Ào

K":1 - 0.6 i | ' ; I ' l s i Ào < À" < Àp- LÀo * Ào l

K, :3 s i À 'àÀp^ z

^,: , l#i Ào :o'2; \p: ' f f i

fu,k : est la limite élastique du matériau;

Chapitre III aoilement des coques cylinilriques sous charges ile type silo.

o"r. est la contrainte critique méridienne sous compression axiale constantel donnée parItexpression suivante :

Et

ozrc :0.605.8.1 pour / : 0.3r

o est le cæfficient de voilement sous charges de type silci (coque sous pression interne etcompression axiale variable le long des génératrices); donné par I'expression :

88

ot : o to+ (1 - oo) | - u" , = lLæ +PJ (3 -7 )

(3 -8 )

(3-e)

Ori :

P"(r) est la valeur minimale locale de la pression interne.

@s est le cæfficient de voilement lié à la compression axiale donné par I'expression :

0.62ao=

L + L.sû (ry)''nntl: est un cæffi.cient qui tient compte de la non-uniformité des pressions donné par :

,b:#; J:0.2b

t ; , (1 -ôr)h:0.5V; ; b2: \ f -L ; tb t :0 .4

(ffi) représente le rapport des actions de frottement à deux niveaux différents et voisinsl

tlt6 esl un cæffi.cient de réduction effective d'imperfection liée à la flexion globale de lastructure.

Wsk esl' l'arnplitude maximale des imperfections géométriques tolérées; donnée par :

t -o rr"

+11Wo* -

â{ î ; Q : est la qualité du matériau

Ch,apitre III uoilement des coques cylind.riques sous charges de tUPe silo. 89

(ii)Cas des coques cvlindriques raidies imparfaites

La contrainte critique méridienne de résistance seion les normes est donnée par la relation

suiva,nte :

o zrd. : @o"''P (3 - 10)7m3

Le cæfficient de voilement a est de la forme suivante :

Ia-0.65 si ffr0.,I

Io:oo si ff.o.ou etf coo

La contrairrLe o"r,, est donnée par I'expression suivante :

- !_== - A tzAzs-Atsâzz À-= L A tzAts -Ar r4 'zs 4 -

acr,p:minimum de -- f f i ;Tn$-r

-Tæn23(3 - 11 )

Où ies quantitées An, An, Ats, Azz, Azs el A33 sont défi'nies par :

Att : ",

(T)' + G*,(î) ' i Azz: ",

( i) ' + G,e (Y3'

Ass: ,, (T)n + D,a (tÏ) ' (î) ' + D,(î)- * #

Atz: (E,e * G,ù (vi) (î) i Azs:'+ H i Art: ? (T -r cç (T)'

Eç: 3r?)*+ i Eço : 3 | Ee: **

G,o '.'1 Gt lb" I: Gvo:; Lï

* t l

Dç:ffi+*+*"#; Da:dl4r uEts , Gf f ô" *,.] * 9C")ço:@+ 6 L;* t l

* u i vç:-b

Chapitre III aoilernent iles coques cylinilriques sous charges ile type silo.

où:e", f

" et r4." sont les caractéristiques géométriques de la section transversale d.u raidisseur;

6 est la largeur du panneau cylindrique;

ô" est la largeur effi.cace du panneau cylindrique, comprise entre 6 et 1.9t

t" est l'épaisseur fictive donnée pa,r la relation :

fEvi l

"n" et "rn" sont respectivement le nombre d'ondes circonférencielles et longitudinales.

La formule simplifiée de la contrainte critique méridienne ocr,pt que peut supporter unecoque cylindrique impanaite sous les actions de type silo est donnée par I'expression suiv-ante :

1 2 8 1 " " 1 E to"r,p: ff i*

aoth6"zl;

Pour z :0 .3

dcr,p: ffi*o.6o5asû18!

(g - 13)

Isef est la rigidité efficace (coque-raidisseur), calculée en tenant compte d'une largeurparticipante "b"" de la coque.

thr: L dans le cas où le raidisseur est situé à I'intérieur de la coque.

, r r{st: - dans le cas où le raidisseur est situé à I'exterieur de la coque.L+#

3.4.2. Etude paramétrique par voie numérique (coques raidies et non raidies)

Cette étude paramétrique pennet de tester I'influence de plusieurs facteurs inter-vena,nt dans la résistance de la co{ue.

Les paramètres suivants sont analysés:

(1) Epaisseur de Ia coque cylinilrique, "t'

(2) Section des raiilisseu,rs, nAr'

(3 - 12)

90

ts:t*+ '

Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges de type si,Io. 91

(3) Rigidité efi,cace, ul,"1"

(/1) Rayon d,e Ia coque cylinilri'que, (î"

(5) Largeur du panneau cylind,rique, "b"

(6) Nombre d,e raiiliæeu,r, 'h""

(7) La pression horizontale "Pn(z)"

(S) Le rapport, '1lt'

(9) Le rapytort, '%ltÇt"

Les dimensions des cylindres étudiés sont définis dans Ie tableau (3-1) suivant:

C aractéristiques Epaisseur [mm Rayon [m] Eauteur fm

Valeur minimale 4 4 r4

Valeur rrùoyenne 6 6 r 4

Valeur maaimale I 6 14

tableau (3-l) Dimension des d.i,fférents cylindres à étudier

Les panneaux cylindriques considérés sont larges, comme ceux étudiés par Syngellakis [65]

et par Watker [66]. La largeur est choisie de façon à casser I'ordre de la répartition des

ondes circonférencielles du cylindre raidi.

Pour cette étude les raid.isseurs adoptés sont des profi.lés à section en T avec des sections

trarrsversales variant de 24 à 48 arf . Notons que pour une étude paramétrique, il suffi't de

faire varier la valeur concernée sans que les valeurs choisies correspondent nécessairement

à rp profilé laminé.

3.4.2.L Charges appliquées

Contrairement à toutes les études publiées précédemment sur les cyiindres raidis et

non raid.is, nos cylindres sont soumis au type de charges réelies agissant sur les parois du

silo.

La détermination de la répartition des charges est faite suivant l'Eurocode 1. Rappelons

que les charges d'ensillages (pression horizontale et somme des actions de frottement)

Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges de type silo.

dépendent :

(1) du iliamètre de Ia ceIIuIe;

(2) de la profond,eu,r "2";

(3) des propriétés de la matière ensilée;

(il d" la ragosité des parois;

(5) de I'état de ûdange ou ile rernplissage.

3.4.2.2 Choix du maillage et des conditions aux limites

(i) Flambage linéaire

Après l'étude de la convergence, nous avons constaté que le maillage effectué au moyen

d'éléments coques à huit nceuds donne des résultats satisfaisants. Grâce à la symétrie du

problème, un quart de la structure est considéré dans la présente étude. La discrétisation

est réalisée à l'aide d'un maillage exigeant 2904 degré de liberté.

Les conditions aux limites considérées au niveau des bords de la struciure (fig 3.3) sont:

le bord inférieur (1) du panneau est encastré, on a donc pour chaque point de ce bord :

U " :Uy :U r -0 r : 0y :0 " -0

Les bords verticaux (2) et (4) sont soumis à des condiiions de symétrie ou d'anti-symétrie.

Au niveau du bord (3) nous avons bloqué tous les déplacements et les rotations sauf Ie

déplacement suivant I'a-xe du cylindre, pour simuler la présence d'un raidisseur de renfort

à ce niveau.

(ii) Flambage non-linéaire

Le maillage est réalisé à partir du maillage précédent, en tenant compte des imper-

fections géométriques tolérées données par I'Eurocode 3. Le calcui pas- à pas est effectué

avec pilotage paf, le déplacement vertical du næud situé au milieu du bord supérieur du

p?.nneau.

A chaque phase d'accroissement de déplacement, la position d'équilibre de la structure est

recherchée pax un processuri itératif suivant la méthode incrémentale de Riks.

92

Chapitre III aoilement d,es coques cyli,nilriques sous charges ile t'ype silo.

3.4.3. Résultats de ltanalyse analytique de ltEurocode 3

Dans le paragraphe précédant (3.4.1.) nous avonsi présenté la formule gouvernante

du voilement d,es coques cylindriques imparfaites sous charges de type silo, données par

I'Egrocode 3. Cette formule d,épend et dans les deux cas (coque raidie et non raidie ) de

plusieurs paramètres :

- ca,ractéristiques géométriques de la coque cylindrique et des raidisseursl

- amplitudes d'imperfections géométriques tolérées;

- les charges de type silo (pression horizontale et somme des actions de frottement).

Da,ns cette section nous présentons les résultas analytiques liés à la solution donnée par

I'Eurocode 3. L'évolution du ccefficient de voilement et de la contrainte ultime méridienne

sont représentés sur les figures (3.9) à (3.16) Les charges considérées correspondant

aux états d.e remplissage ou de vidange centrée selon I'Eurocode 1. Sont données par les

expressions suivantes :

P.(r): Cs [1 - exP{-c2@ -')} l ;

(i) Cas des coques imparfaites non-raidies

Ct l t - exp{ -C2(H - z ) } ldz

Ëparsseur -t lmml ilt

Fig (S.g) Eaolution ilu cæfficient ile aoilement en fonction d,e I'épaisseur (t) et d,u rapport (rft)

93

rQ): Io

€-ô

Ë o.+oo

oE

'B o.olElq

r\

- - -* - - Coqw de 4 mètr6 de---+. Coquede6mèt6 de--o- Coque de 8 mèt6 de

-E- Coquede4mè:tresde-r- Coquede6mètcsde+- Coque de 8 mètr€s de

Epaisseur "t" [mm]

Chapi,tre III aoilement des coques cglindriquæ sous cltarges d,e type silo. 94

læ

80

60

4

3 æ 4 æ 5 æ @il t

Fig (3,10) Eaolution de Ia contrainte critique en fonction

d,e l'épai,sseur (t) et du rapport (rlt)

(ii) Cas des coques raidies imparfaites

o

o

Ë

aô. 2 Àa

o

o

€I

3.F.ÊÀoo

d

Fig (3.11) Maillage ile Ia coque cyli,nilrique raidie

Cltapitre III aoilement des coques cylindriques sous charges de type silo. 95

o

o

ËtrtE>b -o

l!

4 4 5 5 1 5 6 6 J 7 7 5

Epaissew "t" [run]

Fig (g.12) Euolution d,e Ia contrainte critique en fonction d'e I'épaisseur (t) pour ns:4

36u/./rt

o

o

a

âEÈ àocl

G

Epaissar"t" [mm]

Fi,g (3.13) Eaoluti,on d,e Ia contrainte lritique en foncti,on d,u rapport (blrFî) pour n" = |

Chapitre III uoilement des coques cylindriquæ sous cltarges de type silo. 96

o

o

L?.=Àq

o

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zÆ.Y çT, - -2b -o

F

o

4 J 5 5 . 5 6 6 J 7

Epaisseur"t" [m]

Fig (3.14) Eaolution d,e Ia contrainte critique en fonction d,e l'épaisseur (t) pour n" : tg

9

u/Vrt

o

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I

b -o

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gF.=ào

d

R

Fig (3.15) Eaolution d,e la contrainte critique en foncti,on du rapport h oou, ns :16

Chapitre III aoilement des coques cglind,riques 8ou3 charges ile type silo. 97

o

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iF. : e.=Àeo

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r,f)

1 2 4

Seaion du raidisseur [cm2l

(a) Contrainte cri t ique d'e aoilement pour ns:4,, t :4mrn'

2û

180

160

140

r20

t 2 x 2Seaion du raidisseur [co']

(b) Contrainte critique d'e aoilement pour ns - L2, t: 4mm

si r- ar.if**r' t",rft

(c) Cont'raint'e critique de aoilement pour ns - 16, t:4mm

Fig (9.16) Eaolution d'e Ia contrainte critique en fonction

il'e Ia section iles rai'd'i'sseurs A,

220

N

lEo

160

t40

Chapitre III uoilement d,es coques cylindriques sous charges d.e type si,lo.

3.4.4 Résultats numériques de ltétude paramétrique

L'évolution de la contrainte critique méridienne est représentée en fonction :- de l'épaisseur t figures (3.17) (3.19) et (8.20);- du rappofi rft, figures (3.18) (3.21) et (8.22);- du rappo* bltfrt figures (3.23) et @.2\;- de la section des raidisseurs A, figure (3.25); ,- du nombre de raidisseurs n" figure (3.26);- de la rigidité efficace /".1 figures (3.27) et (3.2S).

(i) Cas des coques imparfaites non-raidies

41 5 s'5 h"i.."l,, to,-l "t

7 7's t

Fig (3.17) Eaolution d,e la contrainte critique en fonction de I'épaisseur (t)

l4t)

u0

l(It

to

@

1{t

3æ ,100 5dr @ 7qt 8æ

,rt

* l(xl)

Fig (3.18) Euolution d,e la contrainte critique en fonction du rapport (rlt)

98

l,oo

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o - l @3_jq

. 2 ÀE - 8 0o

8 æ

40

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rY

Ch,apitre III aoilernent d,es coques cylindriques sous charges ile type silo. 99

(ii) Cas des coques raidies imparfaites

5.5 6 6.5 7 7.5 t

Epaisseur't" [rnrr]

(a) Contrainte critique pour fls: 4, A, :24crn2

-.+-- Coque de4 nètræ+ Coque de 6 nè'tres-- o-- - Coque de 8 mètrEs

,...::::t'*"'-"

. . . - - - ï .à

"'r-/

. . . . . . .-- i-"" " '?"'4 4 - 5 5 5 . 5 6 ô 5 7 7 . 5 8

Epaisseur "t" [mm]

Contrainte critique pour ns - 12, A" :24c'm2

*-- Coque de I Bet* A" ai"rettil+ Coque de 6 ne"o C" ai"re"{.- o-- - Coque de 8 Eèù€3 d€ diarnètr{

i:::r-'a:'lr " " '

;

d........--i:.::.::..-..

. -- -.{r . " - - " . . - - . - " i i

--ô-----4 4 . 5 5 J . 5 6 6 J 1 7 . 5 8

Epaisseu't" [rorn]

(c) Contrainte critique pour Ds :16, A" :24cm2

Fig (3.19) Euolution ile la contrainte critique en fonction d,e l'épaisseur (t)

160

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Chapitre III aoilement des coques cylinilriques sous ch,arges ile tgpe silo. 100

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(a) Contrainte

5 J . 5 6 ô J 7 7 . 5 E

Epaisseur't" [mm]

crit ique pour ns:4, A, : 48crn2

l&t

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l,(,

um

lq)

80

605 J 6 6 . 5 7 7 . 5 rEpaisseu't" [nun]

(b) Contrainte critique pour ns : L2, Ar: 48cm2

180

t60

l,to

ne

tût

gt

(c) Contrainte

Fi.g (3.20) Euolution ile Ia

Epaisseur "t" [mm]

critique I,our ns - 16, Ar: 48crn2

contrainte critique en fonction ile I'épaisseur (t)

chapitre III aoilentent d,es coques cglinilriques sous clLarges ile type silo' 101

l60

l O

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,/,

(a) Contrai,nte critique Pour rt" : 4, A, :24ctn2

læ

80

@

300 /m 50O 600 7æ 8m 900 1000rll

(b) Contrainte cri,ti'que pour tus : 12, A" :24crn2

(c) Contrainte crilique pour rùs: 16, A'--24crn2

Fi,g (3.21) Eaolution d,e la contrainte critique en fonction d'u rapport ('lt)

o

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3æ 4æ 5æ 600 7æ 8æ 900 lm

Chapitre III aoilement d,es cogues cylindriquæ sorrs ch,arges d,e type silo. 702

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300 4æ 500 6m 7æ 800 *ro loæ

(a) Contrainte critique pour rrs:4, Ar: 48crn2

300 4æ 500 00 7æ 800 900 l0ætft

(b) Contrainte critique pour fl" : 12, A, : 48qn2

180

160

lto

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læ

80

300 rm 500 600 7æ 8m 900 lmrh

(c) Contrainte critique ?our n" :16, Ar:48crn2

Fig (3.22) Eaolution ile Ia contrainte critique en fonction d,u rapport (r/t)

o

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chapitre III uoilement des cogues cglindriquæ sous charges ile type silo. 103

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&2 8 n 3 6 & 4 b r l r t 4 8

(a) Contrainte critique pour ns : 4t A, :24crn2

160

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9 l o l l 1 2 1 3 1 4 15 16U/{.t

A, :24crn2(b) Contrainte cri,tique Pour rls :12,

140

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læ

80

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(c) Contrainte criti,que [,our fls : L6l A" __ 24crrt'2

Fig (9.23) Euolution d.e Ia contrainte cri,tique en fonction ilu rapport (ul'Ft)

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Chapitre III uoilement d,es coqaes cglind,ri,ques sous charges d,e type silo. 104

160

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28 12 36 40 u ttf

(a) Contrainte criti,que pour rts : 4, A" : 48crn2

e 10 ll 12 13 14 Tru"

16

(b) Contrainte critique pour fls : !2, A" : 48crn2

78e ro r r t t Ï

(c) Contrainte critique pour ??, : 16, Ar:48crn2

F;g (3.21) Eaolution de Ia contrainte uitique en fonction ilu rapport (Ul'frt)

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60

Ch,apitre III aoilem,ent iles coques cylindriques sous charges ile type silo. 105

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(a) Contrainte

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Seaion ùr raidissetr [cm1

critique pour r - 2m, t : Amm

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Contrainte cri t ique pour r - 3m, t:4ntm

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Section du raidiss*" [.ott]

(c) Contrainte critique pour r :4rn, t -- 4mm

Fig (3.25) Eaolution d,e la contrainte critique en foncti'on

de Ia section des raid,isseurs "4""

(b)

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Chapitre III loilement d,es coques cglind,riques sous ch.arges d,e type silo. 106

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Nosrbre de raidisseurs "ns'

(a) Contrainte critique pour A, = 24, t :6mm

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1 6 8 r 0 u 2Nombre de raidisseurs 'ns"

(b) Contrainte critique pour Ar:36,

(c) Contra'rrrr, ,:;i:'#:;5nr, ,': u**Fig (3.26) Eaolution d,e Ia contrai,nte critique en fonction

ilu nombre ile raidisseu,r 'hr'

Chapitre III aoilement des coques cylind,riques sous charges d'e type silo' 107

Rigidiré effætive'IseI' [n'l

Fig (3.27) Euolution d,e Ia contrainte Ûi'tiqli'e en fonction

d,e Ia rigid'ité effectiue d,es raid'isseurs "Ir"1n pour As -- 36crn2

Fig (3.25a) Eaolution de Ia contrainte critique en fonction

d,e la rigid'ité effectiue d'es raiilisseurc "1""1" pour A, : 48crn2

9 1 6 0

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Fis (3.28b) Eaolution

D€plâc66t ariÂl [m]

d,u paramètre

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Rigidiré efrætive "Is€f [mI

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6 nu'lliaràs

(,'

Di.rÈF

Epairæc

d,e charge "^" en fonction Ia pression horizontale "Pn(z)"

Chapitre III uoilenent iles coques cylind,ri,quæ sous charges de type silo. 108

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Déplacamt axial [-n]

Fig (9.29) Eaolution d,u pararnètre d,e ch,arge "À' en fonctiondu dé,placement axial pour les sections: A" :24crn2, A, = 36cm2 et A, : 48crn2

1.6

1.4

7 1 2

i.

$ r€€ o rI

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0.4

o2

l t 0 t 5

déplaccment axial [nm]

t l 0

Déplacement arial fnml

2 4 6 t

Déplacemeot axial [mm]

Fig (3.30) Eaolution d,u paramètre de charge "À" en fonctiondu d,éplacement arial pour un numbre ile raidisseu,rs ns:4t Ds: 12 et ns : 16

/i,'DiaEèæd.lôc@6

_ Ae48- . . . - - -4e36

t l 0 l 5

Déplammtaxial [m]

//,

' Diadto cb le coqæ 4

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- ! F l 6

- - - - . - -æ-12

' DiaoèÈq do L coquo E

f t

Chapi,tre III aoilement des coques cylindriquæ sous charges ile type silo.

3.4.4.L Effets des différents paramètres

a-Effet de I'épaisseur de la Paroi

L'épaisseur d.e la tôle a un effet primordial sur la contrainte critique. L'amplitude

des ond.es de flarnbement est trés grand,e, lorsque l'épaisseur est petite. Les figures (3.17),

(g.1g) et (3.20) représentent l'évolution de la contrainte critique méridienne en fonction

d,e ce paramètre. On remarque son importancel la contrainte ultime est presque Ie double

Iorsque on double l'épaisseur de la tôle.

b-Effet du ra]ton de la coque

Ltinfluence du rayon est nette sur Ia contrainte et sur la charge que peut supporter

la coque cylindrique figures (3.17) à (3.30). Quand on double le diamètre de la coque, la

contrainte ultime diminue presque de moitié.

A valeur égale de I'inertie efficace "1""f", le raidisseur qui a une aire de section plus

grande assure une résistance plus grande au flambement du cylindre figures (3.25) et (3'29)'

L'influence de "A"" ne dépasse pas les 40%.

Les figures (3.26) et (3.30) montrent que la contrainte ainsi que la charge de ruine des

différents cylindres étud,iés croît avec le nombre de raidisseurs. Le cylindre le plus résistant

est celui qui correspond à ]a coque cylindrique avec l-6 raidisseurs.

e-Effet de la pression interne t'P-"

La pression interne a un effet stabilisateur pour la coque en compression. Elle a

tendance à corriger les défauts liés aux imperfections géométriques (figure 3'28b).

B.b. Etablissernent d,une formule semi-analytique pour le calcul des contnaintes

critiques

Le développement de cette formule est basé sur I'effet et I'importance de chaque

paramètre étudié précéd.emment. Pour l'établir plusieurs hypothèses essentielles sont

adoptées :

Hypothèses :

(1) La coque cylindrique ainsi que les raidisseurs sont des éléments minces.

(2) Les raidisseurs sont considérés comme des pièces rigides (c.à.d. qui sont indéformables

dans le plan de la section transversale).

109

d-

Chapitre III uoilement d,es coques cylinilriquæ sous ch,arges d,e type silo. 110

(3) La déformation par distorsion de la surface moyenne (section transversale du raidis-

seur) est nulle (c.à.d. que I'a,ngle formé par les lignes de coordonnées z: constante, reste

droit aprés déformation).

( ) Les hypothèses de Donnel [21] sont toujours applicables.

(5) On suppose que la pression horizontale P.(z) ainsi qu'une partie des actions de

frottement cumulées F(z) sont reprises par la coque cylir.drique. Le reste de la contrainte

de frottement est repris par les raidisseurs.

(6) La force latérale tra.nsférée de la coque cylindrique au raidisseur se fait par un cisaille-

ment caractérisé par un angle de distorsioî "'y^".

(7) Les contraintes dans les raidisseurs varient linéairement suivant la longueur.

(8) La loi du comportement est élastique et linéaire.

(9) Pas d.e risque de fla-bem"rrt'u.r niveau des raidisseurs.

L'hypothèse (6) découle de I'analyse du comportement d'une coque raidie verticalement,

soumise à une compression axiale qui varie linéairement sur toute la hauteur (figure 3.31a).

Cette analyse montre bien que le tra.nsfert des efforts, à la jonction âme-raidisseur-coque

se fait par cisaillement direct.

oaÈ

-9 -8 .n .lt -lo .t 0 I l0Cotnirodridi* BNÉfl

-tæ .l@ {t o { .æ

Cærnhæmbmeùo [tt{lb1

qa .224 :88 ./22 -Zzt -Zp .219 -zrE

Cominc è cislfcd [klfrhrl

Fig (3.31a) Comportement ile Ia coquerai,ilie sous cornpression atiale

Chapitre III uoilement d,es coques cylind,riques sous charges ile type silo. 111

Fig (5.3lb) Configuration défonné d,e Ia coque raidi,e sous con'Lpression ariale

Considérons une coque cylindrique (figure 3.32) soumise à une compression axiale. la coque

est supposée encastrée à la base, et raidie verticalement'

Soient :

- H"la longueur du raidisseurl

- A"la section du raidisseurl

- 2H" la hauteur de la coque;

- b Ia largeur du panneau cylindrique.

Le chargement considéré va entrainer une contrainte verticale constante de compression

,ro",,, qui provoquera un raccourcissement "6"oqu"" de la coque cylindrique et t'6"tt du

raidisseur.

En se basant sur les hypothèses citées précédemment, on peut estimer la valeur moyenne

de la force reprise par le raidisseur, calculée suivant les étapes suivantes :

(i) valeur moyenne de la force reprise par le raidisseur

Le transfert des efforts par cisaillement direct, à la jonction âme-raidisseur-coque se traduit

par l'équation suivante :

(3 - 14)

où:,rA, est la section qui participe au cisaillement, elle est donnée par I'expression suivante :

^F*7 : J p l t : T

A : 2.H,t

Chapitre III aoilement d,es coques cylind.riques sous cltarges ile type silo. 7L2

L'effort repris par le raidisseur sera donc :

Avec :

F* :2G1*H" t

(o "H "l

E) - (F*H,l EA")

(3 - 15)

(3 - 16)

(3 - 1e)

(3 - 17)

( i i) Calcul de la contrainte ult ime de compression dans la coque cyl indrique

En accord avec le modèle (figure 3.32),la déformation axiale diminue dans la direction

verticale du bord supérieur du raidisseur jusqu'à la base. L'augmentation totale moyenne

de la déformation, est calculée à mis-hauteur du raidisseur donnée par I'expression suivante

F*:o,A"llffi.rl

Ae:7-(y-#",)

Aeô,:T-, (#, -t"."")

6" Fro ^ F*.e?H": EA*; a2e":

f f i =+

,,€ô.:rli _+(* _ *)]

(3 - 18)

( â2, , \

\#.") représente la déformation dûe à la rotation du raidisseur vis-à-vis de

I'excentrement e, des charges appliquées.

ôw 6" 02ua,

: H,; d*

: a"

En utilisant I'hypothèse(7); que la variation des contraintes est linéaire sur toute la hauteur,

la déformation relative maximale (coque-raidisseur) s'écrit :

Or:

Chapitre III aoilernent des coques cylinilriques sous charges d,e type silo. 113

(3 - 20)

L'introduction de l'équation (3-17) dans (3-20) nous permet d'écrire la relation suivante:

Ao*o,:r lo"- F*(* - *) ]

Lo,n.. - 2o,[' - ({' - #\, {ffi-'})]

t O z

!ll IIDi+'(c'que,

(3 - 21)

Raidisseur vertical

F*,A\t

ô qcoque;

Fig (3.32) ModèIe d,e calcul d,e la distribution des contraintes

Finalement, I'expression de la contrainte critique d'une coque cylindrique, parfaite raidie

verticalement soumise à une compression axiale, variable linéairement le long de ia hauteur

s'écrit:

6z*t,c.R.p: oz * , 'o*o,: oztr,, lr- (tt #\ {ff i* r})] rr - rrr

Chapitre III uoilement des coques cylinilriques sous cltarges d,e type silo. L74

En relplaçarrt "or" par son expression (3-4), donnée par Timoshenko drns le cas d,'une

coque de hauteut 2H, et pour un nombre d'ondes circonférencielles supérieur à un "(n >

L)", on obtient I'expression suivante:

n2 (n2 + I )(3 - 23)

Remarque: Le minimum de "o rrd,c.R.p)' correspond à n -- 2 et rn : 1.

Une solution semblable a été developpée par J.C.Shang [26], pour le calcul de cette con-

trainte critique représentée par I'expression suivante:

Formulation de la solution selon Shang [26]

K1K2r2Ec c r :

L2(7 - r')(+)'

ozr i l ,c .Rp:Min imumd'e{- , * [ t - ' ( { t ,#} t {#,ur . t } ) ] .

(t-,') (w)'t--L .ffi)\

Kt:1.3 + 0.24!rt

Kz:1 -1.75f(509-7) l 'o , r ,7<500; Kz:1 pour z>500- L krt I

I,arl :

{bts lLz(I - "r)}: I0.9I"lbt3 si u :0.3

La figure (3.33) représente la comparaison des contrajntes critiques, dans le cas d'une

coque cylindrique parfaite raidie verticalement. Les raidisseurs sont des poutrelles à section

transversale en T. L'ensemble (coque-raidisseur) est soumis à une coinpression axiale qui

varie linéairement sur toute la hautèur.

La comparaison entre nos résultats et ceux donnés par Shang, montre que notre solution est

plus proche des résultats numériques avec un écart de 13%. Ce qui justifie nos hypothèses

et permet ainsi la poursuite de cette étude.

Chapitre III uoilement des coques cglindri'quæ sous charges de type silo' 115

l60

S l5o

; r,{,a6

'Ë Booo

.S r2o

5 rro

lqt

l f f i lo I 'Rayondelacoque2mèE€sf -o-- euaris I ts."tionautaaiseurAs=zo2 ./l - - t - ; ; & q r " | ' N o t u t " a " n i d i s o r n s = 4 , / . 2-

//a'

(a) Euoluti'on

EPaisseur [rnm]

ile Ia contrainte cri,tique en fonction ile I'épaisseur

o

oo

6

o

t@

t50

lro

130

lm

l l0

+ Raym rle la coque 2 mères' Secrion du raidisseur As = 24ct't Nomb,re de raidisseur !3 = 4

\

lû)

550 @ 650

(b) Eaolution d,e la contrai'nte critique

?æ 750b / t

en fonction du raPPort bft

t60

E rro

î tooâ.F ræoae wI'

.$ rro

læ

\

' RÂyû de la coque 2 BèÈ€sr Secrim tlu rafttisseur As = 24d zt Nonhe dÊ raidisseur ns = 4

(c) Euotution ile Ia contrai,nte ffitique en fonction du rapport bltfrî

Fig (3.33) ComParaisond,es contraintes critiques (Shang, Abaqus et Analytique)

Chapi'tre III uoiletnent des coques cylindriques sous charges ile type silo. 116

Pour tenir compte des imperfections géométriques initiales, ainsi de la non-uniformité dela somme des actions de frottemenl "F(z)" agissants sur les parois de la coque cylindrique,

on propose une épaisseur fictive (compte tenu de son influence sur I'augmentation ou la

diminution de la contrainte de flambage). Elle est donnée par I'expression suivante:

Tf":r*W (3 - 24)

où:Wok: est I'amplitude des imperfections géométriques tolérées donnée par I'Eurocode3.

{ : est un cceffi.cient qui tient compte de la non-uniformité de l'effort axial (somme des

actions de frottement dans la cellule), calculé graphiquement, en se basant sur l'évolution

de la contrainte critique méridien+e (coque raidie parfaite et imparfaite) en fonction de la

racine du rapport (rlt), figure (3.34).

À partir de I'analyse graphique, figure (3.34), I'expression de r/ est de la forme suivante :

7 p 1 - 0 . 1 0 5 5

tb :7 .9341- l' \ t /1000 (3 - 25)Pour 250<1<- t -

Æ=o

k0c)

t!

o

I t0

170

160

t5{,

140

l30

1m

110

lq)

* Equation (3-23)* (Analytique IT=t+(W0k/b)l)

\.V *Coçeimparfaite* Chargement ayial variable\..\ . iiiiofitîqù" rrE<wôrrutr I

\ .t R a y o n & l a c o q u e 2 m è t r € E ' \ . . -

* Section du raidisselr As = 24cm2 ' . .*_.-t Nonbre de raidisseur ns = 4 ' . \ - - . . \_

215 22

r/(rn)

(a) Euoluti,on ile la contrainte criti,que méri,d,ienne pour r :2m

Ch,apitre III aoilernent des coques cylindriques sous charges d,e type silo. I17

ag

o2

oo

!Y

U

l æ

tæ

l t0

lm

90

t0

* Equation (3-23)* (Analytique [T=t+(w0k/b)I)

\â * Coque impadaite

\ \r l*9.,1e*d.:**-t:\- * ( Numériçe ç1=t+(W0klb)l )

\ .t Rayon de la coque 3 mères

'\ ..

\

t Section du raidisseu As = 2zkm2 ' \\

* Nontre ae raiaisseur os = 4 ' E\ -

1a a1

./(rlt)

(b) Euotution de la contrainte critique méridienne pour r :3m

* Equation (3-23)* (Airalytique f[=t+(W0k/b)l)

-...>{ i ff:ËH'"fl*'iu?ryq,e\.- \ * (NuËériçetT=t+(w0Vb)l )' \ .

tRayodelacoque4mères -É-

t Section du nidisseur As = 2,lcm- \ - . -I Nonbrc de raidisssrr ns = 4 É- - - . . . . - - - . -

a r a

.ittltl

(c) Euolution iles contrai'ntes critiques mérid'ienne pour r : 4m

Fig (3.3/) Eaolution d'e la contrainte critique mérid'i'enne

(l

o(t

oo

fit

96

88

t0

g

56

en foncti,on de

Chapitre III aoilement des coques cylindriquæ sous ch.arges ile type silo. 118

En iotroduisant I'équation (3-24)dans (3-23) tout en remplaçant '1" par "Ty"" on abouti

à I'expression de la contrainte critique méridienne de résistance de la coque imparfaite sous

compression a>ciale variable sur toute la hauteur.

o zriI,c.R.I : Minimum de

(r-, ' ) (æ)'(3 - 26)

n2 (n2 + t )

Le mode de fl.ambage de la coque cylindrique dans notre cas dépend de Ia pression interne.

11 est donc essentiel de tenir compte de son influence, pour aborder le complément de la

contrainte critique méridienn e (o r,ra,c. n. t).

Afin de trouver le lien entre les contraintes sous compression axiale variable sur toute

la hauteur et les contraintes sous charges combinées (compression plus pression interne).

Nous avons opté pour l'évaluation numérique de cette contrainte pour le cas de charges

combinées en fonction de la résistance de la coque cylindrique soumise à une pression

interne.

Le rapport des contraintes correspondant aux deux analyses numérique et analytique (fig-

ures (3.36) et (3.37)) nous a permis de formuler le complément de (o,,4,ç.n.r) équation

(3-26) comme suite:

[aP^ : -1 .083. ' " ( ; ) -0 '067 (3 - 27)

( ,"

1) (

(T t " )21212

( r '+ IrL) '

- 1

fnt f

æ

n (t+W),1ffi-r1

charges combinéesFig (3.35) Configuration iléforrnée ile Ia coque cylinilrique raiilie sous

Chapitre III uoilement des coques cylindriques souE charges de type silo. 119

lE0

læ

À 1 6 0

9 r o6

.2e t4o.g

E ,ro

tm

l l 0

170

r60

t506

à t oo

'Ë ræ'ÊooË rzoF

,q l l0

tqt

90

136

tÂ

- 120

'É 101

o

' f x

U t s

at

vm

tt2

? 104

o 9 6

'E 8s

o

F 8 0

o T z

64

€ . F

=o=

.Ë 80

oo

6

E r o

F= 7 0oa

og 6 0

F

rY

50

'Raya da laoquc2mèlræ\ rNobrcdonidiwrs4

\ . Soti* ao onbscq AF24 cE:

\\ Equatior(l2o

'.. \\V

o . \'1

\ Coqæutsôcgæ\ \ MDEë

o . \' .v\t\

\\ \

' t a

tt2 t2 vLa

h.(r^)

I Rayo de la coquc 3 mètsetNcmbrcde nidissgns4'seaiodunidis A-Aæ2

Equrio (126)

\Coqrcruchcgæ. c@DE€

t Raym de la coque 4 mètrsrNmbcdemidiwns4

I Særiæ <hr nidisq As24 oz

Fqutio(}'2O

\ Coqwrughugær CûÉbE6

16 lE 20 z2 21 26

Pn*(rô

ll.2 a lLa

Pn*(r^)

u t l 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 l E 1 9

pn*(r^)16 l7 18 l9

pn*(r^)

16 lE 20 2. 24 26

Pn*(rlt)

Fig (3.36) Eaoluti,on iles contraintes cri,tiques méridiennes

en fonction d,u proiluit P" - (i) pour n": {

\

Raym de la coque 2 mètre**t"ro.;6;*roJSeaim du nidisw AF48@2

Equation(12Q

o

'1 \ Coqucrucharsæ

\ \ cqæs

t Ravo de la cæue 3 mèEer Ndmbre de nidÎssu nF4t Sætion du midisw As4 o2

ù fruatio(3-26)

Coque rcu chrge. c@DEees

' Rayon de la coqre 4 mètræ' Nmbre de midissur as=4. Særim 6umidiw As=48 q2

1 \ Equari@(!26)

\

\ Coque su charger @bE€6

:

Chapitre III aoi,Iernent iles coques cylindriquæ sous charges d,e type silo. L20

r Rayo de Ia ouo 2 mètræI NdnbrÊ de nidrw Fl6i Sestim du nidiw As24 q2

Eqqatim(3-2O

c.

q \ Crquruchargæ

\ \ æEDB6

'o

190

t80

,I! 170

I 160'ÉE rsog

Et .n- tlo

t20

l l 0

od

a!)

d

l4

I36

^ t28

É l2oo

.F rrzo

'e to4

o( J 9 6

8E

80

t2a

120

> l l 2;È lo4

o

9 xF

t e s

80

û

F t æ=o

'5 90oo'eÈ t o

90

tË9 s o

oa

F 7 oit

rY

60

t80

170

160

150

140

tæ

l l0

læ

7 2 8 lt3 t2 tLg

Rt*(rlt)

'Rayæ do h coquc 4 mètrerNmbro dc nidisqæ16rSærio ùrakliwAs24d

Equatio (3-2i)

\Coqusorschagær cmDEa

1 6 1 8 2 0 2 2 ? , 2 6

Er*(rlt)

72 8 r3 9.6 ll.2 t2 na

Pn*(r/t)

14 15 16 t? t8 19

pn*(r/016 l7 l8 19

h*(r^)

rrt lE 20 z2 24 26pn*(r^)

Fig (3.3'l) Eaoluti,on iles contraintes criti,ques m,éridiennes

en fonction d,u prod,uit Pn * (t) pou, ns : L6

' Rayon dc la qæ 2 mètsær Ndntre dc nidisæ æ16I Sætio du nidiscur As4&m2

\ Equtioa(12O

\ \ CoquesôEcbtrtæ

\ \ g I 9

t Rayo de la coque 3 mètres' Nmbre de aidisw æ16. SætiodunidisurAs24o2

ô Equati<ia (3-2O

Coqæsosôagæ. CmDm€

i Rayo de la coquo 3 uètreI Nmbre de midiw æ16r Sætion du nidiw AsJ8 m2

è Equatim (126)

\Coque rcw chage, c@oEees

t Raym de la coqæ 4 mètræ'Nmbrc de nidisw asl6r Sætio du nidiw f,5d8 cn2

Equtio (126)

\ Coque su charges. @mæ

Clua,pitre III aoilernent d'es "oqu"t "Vlind'iqutt

tou" 'ht T2I

L'expressiea d{ffnitive de la contrainte ultime méridienne que peut supporter une coque

cyiindrique, imparfaite, raidie verticalement soumise à des charges de type silo est :

Pour les coques imparfaites non-raid.ies cette contrainte se simplifie et se met sous la forme

suivante:

-1.088.P, (;)-"") (3 - 2e)

8.6. Comparaison des résultats et validation de ltapproche analytique

Nous avons présenté sur les figures (3.38) à (3.42) une comparaison des résultats

numériques et réglementaires. Au sein d.e cette compa^raison le choix des paramètres est

le même que celui de l'étud.e para^rrétrique paragraphe (3'a'2')' Mis à part que nous-nous

sommes limités d.ans la présentation à la coque cylindrique de quatre mètres dg diemètre'

Elle présente une grande résistance au voilement par rapport aux coques de six et huit

mètres de diamètre.

ces comparaisons montrent une bonne concordance entre nos résultats et les résultats

numériques (Abaqus). Par contre la formule de I'EC3 surestime certaines valeurs de Ia

contrainte critique. Cette différence s'accentue pour des épaisseurs de quatre à sept mil-

Iimètres, par conséquent le choix de l'épaisseur fictive ad'optée par la norme n'enveloppe

pas tous les cas possibie d'épaisseurs rencontrées dans la pratique'

cette solution sera ainsi proposée au comité de rédaction de la norme EC3' partie sIlos'

Ir-28

\ 2

r(3

- 1

tnTf r

ffi

+1)

(t - r")t t : , 2I m ; r r 1\ 2 H " J

- 1

tn711

ffi

IIt -

II

, , (n,

1 2)

T(n

;L )

H( r '+

Chapitre III aailement des coques cyli,nilriquæ sous ch,arges de type silo. L22

+Erocode3--- Abaqns-..o-.- Eqruiion(129)

Coque de 4 mètrcs de dianètre

4 4 5 5 5 J 6 6 J 7 7 5 8

Epaisseur [mm]

(a) Eaoluti,on d,e Ia contrainte critique en fonction de l'épaisseur t

300 350 400 .t50 5fr1

rlt

(b) Euolution ile Ia contrainte critique en fonction ilu rapport rf t

F;g (3.38) Comparaison nurnérique et réglementaire des contraintes

critiques m ériili,ennes ( co que non-raidie )

c)

Éc)

I

cr-eÂ.Ëâc)c)

140

lzo

r l s

c)

6 140

( u -

Éo;.f; E tzooq)

E roo

t0

250

+Eurocode3<' - Abaqus. - -o- -. EquaTon (3-29)

t Cooue de 4 mèrre de

\.-r.-,*,*..*-

-.*.*,_.*Ë.È:

Ch.apitre III aoi,Iement d,es coques cylindriques sous ch'arges d'e tgpe silo' 123

o

o€.Ea

â-d':=à()o

È

(J

(a) Euolution de la contrai,nte critique en fonction de I'épaisseur t

Ê r o

E l5o

P l/o

âE' ''Ë à rtooc 110'E rm

5eo

+Eurocode3<. - Abaqus- -.o-'- Equation (328)

rlt

(b) Eaotution d,e la contrainte critique en fonction du rapport rf t

\ - e

-\\ '..+Abaqusa.- f,quâf,qq-. -o-' ' Eurocode3

. Coque de 4 mèbes de diaûèt(et Secdon du raidisseur As=2'lcmzt Nombre de raidisseurrs=4

2 6 2 A 4 . nb/ftt

(c) Eaolution ile la contrainte critique en fonction ilu rapport UltFrt

Fig (9.39) Comparaison nurnérique et réglernentaire iles contraintes

critiques mériiliennes (coque raid'ie) pour A, :24crn2, tus : 4

o

E

a

âE'=>b -o

tÉ

150

l,O

130

lm

u0

l0o

90

Epaisseur [mm]

Chapitre III aoilernent iles coques cylindriquæ sous charges de type silo. 124

+Euroc<lde3<-. Abaq8-- -o- -- Equatio (3-2E)

r Coque de4 mèE€s de diamètret Section du raidisseur As=48cm2t Noobre èraidissurr=4

4s t t'rpui.r.L rro,i'

7 75 8

(a) Euolution ile Ia contrainte critique en fonction d.e I'épaisseur t

180

t70

1@

t50

l,O

130

120

110

t00

o

o!

a

Ë.FÊ ào

Ê,

(b) Euolution de Ia contrainte criti,que en fonction d,u rapport r f t

+Eurocode3<- - Abaqus. - -.- -- Equation (128)

'\l----"'S.-

-\'

\ - .

- - - - * - t

-t-*'a.. .--.--------..

. Coque de 4 mètres de disEèbe ':aa'\

. -rsectiooduraidisseurAs=48cnf, """'\.-.Nombrederaidbseurns4

,

- ':\"....-,...-

rft

+.- l=ffiv:::.\ l.--"-.-Equation(3-28)\) . , \ )

" \ . . . . \...\.....- ^_.\-

t Coque & 4 EèûEs & dianète ' *'\".

_. Section du raldbseur As=4Ecnf

' '\-.--.-' Nombre de raidbseur ns=4 Êi :..--

r7o

l @

150

l,l0

130

r20

110

t0o

€\)

âsÊ Àoo

180

t1 i

l o

150

l,o

1 æ

tû

l l 0

t00

o

o€a

âEÊ Àoo

6.!l

4b/vil

(c) Eaotution d,e la contrainte critique en fonction ilu rapport bltfrt

Fig (3.40) Comparaison numérique et réglementaire iles contraintes

criti,ques rnéri,diennes (coque raid,ie) pour As - 48crn2, fls : 4

Chapitre III aoilernent des coques cglind'riquæ sous charges ile type silo. t25

+Er.nocode3 | -4..'- - -4buq,o | -1. r ' - /

1..-.-". . . .2 '

. d . "

_ . t /

- j - '

-- - '.': : ' t Coque de 4 mèEes de diamètre

-..-'::'y t SectionduraidisseurAs=2rkm2

-..::? t Nombre de raidisseur m=16

Epaisseur [mm]4 5 5 5 5 6 6 J 1 7 5 8

(a) Eaolution de la contrainte cri'tique en fonction d,e l'épaisseur t

lE0

170

l @

150

l&

1æ

120

n0

l@

o

o

'Ela

âE'.âÀoq)

o

o

o'trat r r

âE''ËE '€ rzoE rroE6 1oo

+ Eurocode3<-. Abaqus- - -o - -. Equation (3-28)

i Section du raidiss.to 65=?Acm't Nombre & nidisseu ns;16

tlt250

(b) Euolution d,e la contrainte criti"que en fonction du rapport rf t

_ . . , \ . . .

r Coque de 4 Eètres ds dianètre ' ' -

\:r Section du raidisseur As=24cnft Nombre de raidisseur ns=16

:'.)*'*.

* . .

+Eurocode3<.. Abaqus-. -c- -. Equation (3-2E)

(c) Euolution ile Ia contra'inte critique en fonction du rapport bltÇi

Fig (s.41) comparaison nurnélique et réglertento,ire des contraintes

critiques méridiennes (coque raidie) pour As:24cm2 , ns : 16

170

t @

r50

l,l0

1 æ

lm

1 1 0

t00

o

oE

o

âE: 2 àoo

B

oo

71b/vil

Chapitre III uoilement d,es coques cylindriques so,tr.s charges de type silo. L26

o

q)

ro

âE.Ëëoo

U4

(a) Euolution il,e Ia

rpars"or lmmjr 7 7s 8

contrainte criti,que en fonction de l'épaisseur t

(b) Euolution d,e la contrainte critique en fonction du rapport r f t

* Coqæ de 4 mètes de dianèùe. Section ôr raidisseurAs4Ecmr Nmbre de raldisseur ns=16.

7 73, t EJbFvn

(c) Eaolution d,e Ia contrainte critique en fonction ilu rapport b/t6t

Fig (3.42) Comparaison numéri,que et réglementaire des contraintes

critiques mériiliennes (coque raidi,e) pour As:48cm2, n" : 16

tE0

r70

t60

150

140

t æ

120

u0

O

o

I

âE.Ëëoo

o()

Conclusion générale 727

CONCLUSION GENERALE

L'objectif de ce travail est d'une part, I'analyse de I'effet de I'uniformité et de la

non-uniformité des pressions horizontales dues à la matière ensilée sur le comportement

d'une coque cylindrique parfaite non-raidie en élasticité linéaire, et d'autre part, l'étude

de la résistance au voilement des,coques cylindriques raidies verticaLement, sous charges

axisymétriques (pressions exercées par la matière ensilée dans le cas d'un remplissage ou

d'une vidange centrée).

L'étude analytique menée dans la première partie montre la distribution des sol[citations

dans les parois de la coque pour le cas de charge axisymétrique. Les résultats analytiques

de notre approche montrent une bonne concordance avec les résultats numériques obtenus

en utilisant Abaqus.

Cette analyse de comportement est complétée par l'étude de l'effet des charges non uni-

formes sur la distribution des coatraintes. Nous avons ainsi modélisé la structure dans

Abaqus en considérant d'une part les charges préconisées par I'Eurocode L et d'autre part

les pressions données par la base de Chartres. Les résultats obteuues montrent une flexion

importante des parois, localisée à un niveau donné du silo. Par conséquent le comporte-

ment membranaire évoqué dans le cas de charges axisymétriques n'est pas représentatif de

la situation réelle du silo.

Dans la deuxième partie concernant le voilement, nous avons choisi les actions préconisées

Conclusion générale L28

une étude paramétrique par voie numérique sur Abaqus. Les résultats de cette étude,

sont utilisées pour établir une formule semi-analytique de calcul de la contrainte ultime

résistante au voilement des coques raidies et non raidies longitudinalement. Elle fait in-

tervenir toutes les caractéristiques géométriques qui participent au niveau de la rigidité

d.e I'ensemble (coque-raidisseur), parmis lesquelles figure une épaisseur fictive qui prend

compte, l,amplitud.es des imperfections géométriques d'un" part, et la variation d'es actions

de frottement (frottement de la matière contre la paroi) sur toute la hauteur de la coque

d'autre part. La variation de la pression interne, suivant les formules générales des normes

est bien évidemment intégrée dans nos calculs.

La formule analytique que nous avons ainsi établi, peut être utilisée dans le calcul à l'état

limite d.e la stabilité d.es silos cylindriques raidis verticalement, encastrés à Ia base et

chargés symétriquement. Cette formule a I'avantage de tenir compte de la nature réelle

des charges agissant sur les parois de la structure'

En perspectives, nous envisageons un grand développement de cette formule, et

I,extension de son champ d'application aux silos reposant sur des poteaux, des silos avec

trémies, des silos soumis à des charges dissymétriques (vidange excentrée par exemple) et

des silos raid,is dans les deux sens avec la prise en compte des contraintes résiduelles.

Bibliograpltie L29

BIBLIORAPHIE

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AIïIÏEXES

Annexes 734

Annexe 1

Solution analytique de l'équation différentielle du quatrième ordre

[équation (2-6) Chapitre II]

On va chercher la solution de I'expression (2-6) on utilisant les étapes suivantes :

L'équation (2-6) est de la forme suivante:

(#++onv,): *l'".."+]où:

P"( r ) - Cs{1 -exp l -Cz(H - " ) ) } ; fQ) :C t {1 -exp l -C2(H - " ) l }

On pose :

1| , t : Ul?11," : 'L t r2 i luz,z - - Ug; 'L t rB,z: '1 t r4 i ' t l4 ,z : OtL ' l . lL + QQ)

QQ): *l'"ur-'+]On peut écrire cette dernière expression sous la forme suivante :

^ / " t \ / 0 100 \ / " r \ /0 \

*l::l :[ 3 3âîl[;: )*a("){3)\u4 / \ -aa o o o / \ " ; / \ r /

On pose :

,:Gl)

Anneaes 135

Donc :

AUA"

: AU + QQ)B

où:

A_ til; B_

On résoud d'abord. le système homogène # - AU qttt a coûlme solution :

U(z) - Us ù'exP(Az)

( Ut( r ) : ( I /o) r exP À12

^ ) Ut(") : (%), exp ),22-

) Ut(r) : (%)r exp À32

I Unç21 : (Uo)+exp ),az

Où À1, À2, )e etÀa sont les valeurs propres du vecteur A'

On va faire varier Us :

(j,i fi)

du duoI

: ffeænAz + UoAexp Az : AU + QQ)B

Aprés integration de cette expression Us ce met sous la forme suivante:

uo(") : B I

Q|).exp(-A.z)itz t c

D'ori la solution :

fu"(") : B

J [email protected](-A(/ - z))dIf c. exp(A.z)

( U"r(") : c.ex ' \ t .z

. I U,zQ): c 'exPÀz'z=

\ u"r(") : c.eæp\z-z

lv"n(r) : I; Q@. exp(-Àa( I - z))dI I c'exp )'a'z

Anneaes 136

Àprés integration par partie d.e la dernière équation, en tenant compte des conditions

anx limites en z:0 (encastrement) et en z:H (bord libre) c.à.d.:

u,(o):w:oLa solution générale de I'expression (2-6) s'écrit sous la forme suivante :

u,(,) : .*p(#, lo *uft) - B "t"r#)] + # lr,u, . +]Les constantes A et B sont données par les expressions suivantes:

r1

) A:

4'11o'+Qct * vc1)lexP(-c2H) - 1l

l ' l

I r: -A- #1,t,*uc)1t,fi"*ec,H)]

Anneaes

Annexe 2

Résultats numériques du deuxième cas de vidange excentrée

paragraPhe 2.4 ChaPitre II

Dans cette annexe nous présentons les résultats numériques donnés par "Abaqus".

Ces résultats représentent les sollicitations liées à des charges dissymétriques. Ces charges

sont adoptées selon les résultats expérimentaux de la base de Chartres [34], elles sont

représentées sur la figure ci-dessous.

- È!rsi6

. " . " 'PFbt i l

. G{oédriæ 2

. ldatièæ silés -BLE'

r o r 3 0 € J 0

Pesios Br.[Én1

Z D É S

PeiætrNbI

137

c

€ 6

I

- l

o

6 6

. . - - - - -Proæog

t G€ûéralriæ I

. Matièrc æiléc ?LE-

t

6

e 6

-h8i6

-.-- . -- Froe@d

'G#EÈi@3

' MstièF æiléo

t o m ? o { o 5 o 6 0 æ

-Pr@id h

.. . ---- fusæd

t G&émtriæ4

t Marike æilée TLE"

kessio [kNrTn'l

l o É û ? l

Pssimt&NÉ41

pressi,on horizontale et acti,on d,e frottement selon les résultats expéri'mentn,uî

de la base ile Chartres ilans la cellule oC"

Annexes 138

2ld

3E

€tIJ

2fi

2æ

150

l0o

o 5 tocir"oof&*". 1.1tt

20

Fig (2.1) Variation d,e I'effort rnembranaire mériil,ien

zJ

oao

!!)

p

o

t

E00

rl00

0

-400

400

Fis (2.2)

5 lo cin"oof&.o." 1r1tt

Vari ati o n il e I' e ff o rt m emb r an ai,r e ci'r co nf ér en ci el

no

150

2 rooJ

€ s o, ô 0

-50

-t 00

-150

o 5 to*o**."r.rtt

F;g (2.9) Vari,ati,on ile I'effort mentbranaire de

20

cisaillement

Annexes 139

P

Ë îË à

Ë.8q Ë3 E

no

.|00

0

-1 00

-200

160

120

80

40

-40

40

-120

0 5 1 0 1 5 2 0Circonf&ence [m]

Fig (2.il Variation d,u rnoment rnernbranaire méridien

O ^

€ aE Z

6 9E EË Pa o6 e> '6

O ^

9 ZÈ v

E gE 9

E t gE ' 6È €

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5Circonférence [m]

Fig (2.5) Variation du rùonlent Tùernbr0'n0,i're circonférenciel

30

2A

t 0

0

-10

-æ

-30

Circonfâence [m]

Vo,rio,tion d,u moment membro'naire de cisaillementFis (2.6)

Annetes 140

a

q dt! ê.

E>8 o

o o

.ËFEgÉ E

Ltt0

100

50

0

-50

-100

-150

Fis (2.7)

5 1 0 1 5 2 0Circonférence [m]

Variati,on de Ia contrainte rnembranaire méridienne

80

60

Q

20

0

-20

4

{0

40

Ckconférence [n]

Fig (2.5) Variation d,e Ia contrainte membranaire circonférencielle

60

Q

m

0

ao

40

Cilconf&ence [m]

Fig (2.9) Variation d,e la contrainte membranaire de cisaillernent

.9a€ G

5 :H v

o eÉ IE g.EEE 6q oo . b

C ) o

o- = 6

Ë Ê i

=à5 v

E 8o 9'Ë.95 0

5€

Anneaes 141

0.001

â s o.ooosq Éq q

É.:.9.6Ë E où>l

{.0005

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F-e€ EE Oq Éq o

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0.0006

o

E o.oæ+ErE E o.oo.lz* ' âÈ 3 oË !

Èâ {.ooo2

{.0004

4.m06

o.001to 15

Circonférence [m]

0.0015

0.001

0.0005

{.0005

4.00.|

4.d)15 o' 5 1 0

Circonf&ence [m]

Fi,g (2.11) variation ile Ia d,éfornation rnembranaire circonférencielle

Fig (2.10) variation de la d,éfonnation mernbranaire méridienne

0 5 I u

Circonf&ence [m]

Fig (2.12) Variation d,e ta d,éformation rnembranaire d'e cisaillement

Annexes r42

o0o

:{l

Io

o

oI

B

60

æ

20

0

-æ

-4

60

3

I

0

-l

-2

:l

F

oa

I

Circonférence [n]

Fi,g (2.13) Variation du déplacenent circonférenciel

Circonférence [n]

Fig (2.1il Variation d,u d,éplacement rad,ial

Circonf&eoce [n]

Fig (2.15) Variation d,u iléplacement aaial

€x

o

oa6

8'

-+niva0Sn #niva3m -#uivauTm --Fuivæulljm

A\1-\ H li \ n"

A, À# NIAw\\ qV gt N# Y\y\

J\.rl V

\tl \l

\}8

Annetes L43

z

o

150

1q)

0

-50

-1æ

u* o'Circonférence [m]

Fig (2.16) Comparaison des rnornents 0,u niuel,u ile 0.5m

2&

160

8 8 0zd

f co-1 60

-2N

0

Fis (2.17)

5 1 0 1 5 ? o

Circonférence [m]

Comparaison iles mornents au niueau de

25

7rn

24

160

q 8 0zË 0

j -æ

-ldr

-240

0 5 1 0 1 5 â J 2 5

Circonférence [m]

Fig (2.15) Comparai,son iles mornents au ni,ueau de 11.5m

Anneaes 744

&)

@

4d

Ë, 20

oË 0€6 -20

4

{0

€00 5 1 0 1 5 2 0 2 5

Circonf&ence lmlFig (2.19) Cornparaison iles contraintes au niaeau d,e 0.5m

150

læ

50

0

-50

- lm

-lto à

Circonférence [m]Fig (2.20) Comparaison d,es contraintes au niueau de

Chconf&ence [m]Fig (2.21) Cornpariason iles contrai,ntes au ni,aeau ile 11.5m

25

7m

læ

â 5 0

=îE O

Q -50

-læ

Anneaes 745

Chconférence [m]Fig (2.22) Cornparaison des déform,o,tions 0,u niueau ile 0.5m

0.ær2

0.ææ

0.0æ4

0

{.0æ4

{.0æ8

4.0012

0.æl

0.0005

0

4.0005

0.001

I o.m5

ù)1 0H

4.0m5

4.æl 0L

Ckconf&ence [m]Fig (2.29) Cornparaison iles d,éfonnations 0,u niaeau de 7m

4.æ1 oL

Chconférence [m]

Fig (2.21) Comparaison iles d,éfonno,tions au niaeau d,e 11.5m

Annexes

Annexe 3 Présentation de la cellule 66Ct' en vraie grandeure de Chartres.

REPERAGE DES GÉNÉRATzuCES

L46

crixÉnhrnrcr r crlÉnhrrucez

10t65

8580

62gl

Jl48_--4W

28@

l7l6

8580

6Tn

51,18_--M

28æ

l7t6

ld66

8:t80

6Érl

5148--M

aû

t7t6tn

GEI{ERATRICE 3 GÉNÉRATRICE4

Anneaes L47

Annexe 4

Exemple de véritcation de la résistance dtune coque cylindrique

raidie verticalement, soumise à des charges de type 66silot'

Les caractéristiques géométriques ainsi que les conditions d'appuis de la coque cylin-

drique considérées dans cet exemtile sont les suivantes :

Haateur de Ia coque;2Hs = 14 m

Diamètre de Ia cellule; D = I m

Epaissew de la coqae ; t = 4 mm

Nornbre de raidisseur ; ns = 16

Section dzs raidisseur.i ,'A.t = 13.02c#

Rigidité des raidissews ,'13 = 83 5cm4

Conditions d'appuis :

Base encastrée-bord supérieur libre.

Cha,rses considérées :

Les charges (pression horizontale et action de frottement de la matière ensilée) agissant

sgr la paroi d.e la coque cylindrique sont données par la norme NF P22-630 et I'Eurocode

L. Elle sont regroupées da,ns le tableau 41.

Les raidisseurs considérés sont des demi-poutrelles HEB-100.

Le toit et d.tautres équipement annexes ne sont pas pris en compte dans cet exemple.( * )

( * )

Annetes 148

.hlauteurlm P,(z)-Nl f '(z)-NF P"(z)-EC.L F(z)-EC.10.000 22.t52 M.477 25.770 48.9241.250 20.918 36.585 24.638 40.2432.188 19.892 31.098 23.663 34.2083.125 L8.773 26.006 22.563 28.6064.063 17.549 2L.3L2 21.323 23.4435.000 16.2t4 77.042 19.925 18.746

tableau (4-1) pression'h,orizontale.(fkNlm2l).et somrne des actions d,e frottement (kNlml)

ile Ia mati,ère ensi,lée (BIé) selon les nortnes oCas d,e Remplissage centré".

Conditions de résistance

,r: P 1 ozrd.,c.R.r

Où " o"r4,c.R.I" est donnée par P.*Or.r.ron suivante :

( ,æ\ -n n^z A- (t + 4+)Czrd ' ,C.R. I :Min imumd'e{_r .oas.r" . ( ; ) - , . , " ,+ry*

t \ t / , \ /3( t - " " )

F" lMPal b[m Wor lmm ,b 71" lmm re f f .Ç.R.r lMPatr.t2 L.57 7.9r 0.94 / . d 48.2677.78 L.57 7.9L 0.94 7.8 48.2656.50 r.57 7.9L 0.94 7.8 48.2575.33 I . D { 7.91 0.94 7.8 48.2534.26 L.57 7.9t 0.94 7.8 48.2483.01 t .57 7.9L 0.94 7.8 48.24r

tableau (l-2)

Le tableau (42) montre que les contraintes sont largement vérifi.ées.

Documents

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1998/Belhouchet.Zoubir... · une rnéthod,e semi,-analytique ile calcul ile