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Circulation - Gradient (35-503) Page 1sur3 JN Beury
LIGNES DE CHAMP, CIRCULATION, GRADIENTSURFACES
QUIPOTENTIELLES
I. GNRALITS SUR LES CHAMPS
I.1 Champ scalaire et champ vectorielUn champ vectorielest une
fonction ( )a M
o ( )a M
est un vecteur de 3 , dfini
3 ou sur une
partie de 3 .
Un champ scalaireest une fonction ( )M o ( ) est rel ou parfois
complexe, dfinie sur 3 ou
sur une partie de 3 .
Un champ, scalaire ou vectoriel, traduit une proprit locale de
lespace.
Exemples : champ lectrostatique ( )E M
, potentiel lectrostatique ( )V M , champ de temprature ( )T
M
Les champs peuvent dpendre galement du temps ; sils nen dpendent
pas, ils sont ditsstationnaires, statiques, permanents.
Attention ne pas confondre champ permanent (champ indpendant du
temps) et rgime permanent(solution particulire de lquation
diffrentielle avec second membre)
I.2 Ligne de champ, tube de champ
Une ligne de champ dun champ vectoriel est une courbe tangente
en chaque point au champ ( )a M
.
Les lignes de champ sont dfinies par : ( ) ( )d Ml k M a M =
, d Ml
tant le dplacement lmentaire le long de
la ligne de champ et ( )k M un nombre rel. On calcule leurs
quations en rsolvant les quations
diffrentielles, si ( )a M
est non nul :
d d d
x y z
x y z
a a a= = en coordonnes cartsiennes ;
d d d
r z
r r z
a a a
= = en coordonnes cylindriques ;
d d sin d
r
r r r
a a a
= = en coordonnes sphriques.
Remarque: Si ( ) 0a M =
, la ligne de champ se rduit au pointM.
Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ sappuyant
sur une courbe ferme.
I.3 Circulation dun champ de vecteurs
Soit un chemin orientAB allant de A B. La circulation lmentaire
du champ de vecteurs a
est
dC a l =
. La circulation dpend a priori du chemin suivi.
La circulation le long du chemin AB est : dABB
AC a l =
. La circulation est calcule un instant t.
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On utilisera le dplacement en coordonnes cartsiennes,
cylindriques ou sphriques :
d d d dx y zl xu yu zu= + +
; d d d dr zl ru r u zu= + +
; d d d sin drl ru r u r u = + +
Un contour est une courbe ferme oriente.
QuandA=B, le chemin est ferm, on dit que cest un contour, et on
note : dC a l=
, le cercle sur le
symbole de lintgrale rappelle quil sagit dun chemin ferm.
Remarques : En mcanique, le travail dune force de A vers B est :
dB
AW F l=
. Dans le cas dun champ
de forces permanent, le travail est gal la circulation de la
force. Si la force dpend du temps, le travail
nest pas gal la circulation puisque dB
A
t
tW F l=
. Une force est conservative si le travail ne dpend pas
du chemin suivi, mais uniquement du point de dpart et du point
darrive.
I.4 Champ circulation conservative
Un champ a
est circulation conservative la circulation ne dpend pas du
chemin suivi mais uniquement du point de dpart Aet du point
darrive B. le long de tout contour la circulation est nulle : d
0a l
=
II. DFINITION DU GRADIENT
Soit ( )r
un champ scalaire. Loprateur gradient, appliqu ce champ, donne
un champ vectoriel not
grad
, tel que : d grad d l =
II.1 Expression du gradient en coordonnes cartsiennes
On a : d ( , , ) d d dx y z x y zx y z
= + +
En remarquant que d d d dx y z
l xu y u z u= + + , on en dduit :
gradx y z
u u ux y z
= + +
II.2Expression du gradient en coordonnes cylindriques
On a : d d d dr zr z
= + +
. En remarquant que d d d d
r zl r u r u z u
= + +
, les coordonnes du
gradient de vrifient lquation :
( ) ( ) ( )d d d grad d grad d grad dr z
r z r r z r z
+ + = + +
.
Cette relation est valable quelque soient les valeurs de d ,d et
dr z . On en dduit
1grad
x y zu u u
r r z
= + +
II.3 Expression du gradient en coordonnes sphriques
On a : d d d drr
= + +
. En remarquant que d d d sin d
rl r u r u r u
= + +
, les
coordonnes du gradient de vrifient lquation :
( ) ( ) ( )d d d grad d grad d grad sin dr
r r r r r
+ + = + +
.
Cette relation est valable quelque soient les valeurs de d ,d et
dr . On en dduit
1 1grad
sinx yu u u
r r r
= + +
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MM
= cte
surface quipotentielle( )
2
1
1
2
n
III. SURFACES QUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP
III.1 Dfinition dun champ de gradientSoit a
un champ de vecteurs.
Le champ a
drive du potentiel si est seulement si grada =
III.2 Surface quipotentielleUne surface quipotentielle est une
surface () pour laquelle le potentiel est le mme en chaque
point.
SoitMun point appartenant une surface quipotentielle ( ) . Soit
un pointMvoisin deMappartenant la
mme quipotentielle. En se dplaant de M vers M d 'l MM=
et
( ) ( )' 0 d grad d dM l a l = = = =
. Cette relation est vrifie pour tout point M voisin de
Mappartenant lquipotentielle. Un produit scalaire est nul si et
seulement si le premier vecteur est nul ou le
deuxime vecteur est nul ou les deux vecteurs sont orthogonaux.
On en dduit que da l
. Cette relation
doit tre vrifie pour tout pointMvoisin deMet appartenant ( )
.
Quand un champ drive dun potentiel, le champ en un point est
orthogonal la surfacequipotentielle passant par ce point.
III.3 Ligne de champ et surface quipotentielle
Soient deux quipotentielles proches ( )1 et ( )2 de potentiel 1
et 2 . SoitM1un point appartenant
lquipotentielle ( )1 . M2 est lintersection de la normale
passant par M1 et lquipotentielle ( )2 . On
applique la relation d da l=
avec1 2
dl M M=
. On pose n
le vecteur unitaire normal (1) et dirig de
M1vers M2; a a n=
. On a donc2 1 1 2
d a n M M n = =
, do1 2 1 2
M a = . Si2
>1
,
alors 0a < et si2
.
Quand un champ drive dun potentiel, le champ en un point est
orthogonal la surfacequipotentielle passant par ce point et dirig
dans le sens des potentiels dcroissants.
