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LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V0
G0 G1
P=1
L-
00 0/ LPLVM B
LV
10
G0 G1
1
Ligne d’influence de V0
Pente -1/L
V0
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V1
G0 G1
P=1
L-
00 1/ PLVM A
LV
1
G0 G1
1
Ligne d’influence de V1
Pente 1/L
V1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence de l’effort tranchant dans une section d’abscisse x
G0 G1
P=1
L-
LVT
1)(
G0 G1
Ligne d’influence de T
Pentes -1/L
V1
x
V0
Cas < x (charge à gauche de )
Coupure par les efforts de droite :
LVT
1)( 0
Cas < x (charge à droite de )
Coupure par les efforts de gauche :
LxT /min,
LxT /1max,
-+
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
Ligne de d’incluence du moment fléchissant dans une section d’abscisse x
G0 G1
P=1
L
xxLVM 1)( 1
G0 G1
Ligne d’influence de M
Pente 1-x/L
V1
x
V0
Cas < x (charge à gauche de )
Coupure par les efforts de droite :
xL
xVM
1)( 0
Cas < x (charge à droite de )
Coupure par les efforts de gauche :
L
xxM 1max,
+
x- L-x
Pente -x/L
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
2 APPLICATIONS
Utilisation pour calculer l’effet de plusieurs charges ponctuelles
Ligne d’influence de M
G0 G1
L
xxM 1max,
+
G0 G1
LxT /min,
LxT /1max,
-+
G0G1
1 P1
Pi
in
Pn
)( 1T )( iT )( nT
)( 1M)( iM )( nM
Ligne d’influence de T
Effet dans une section de charges P1, Pi, Pn placées en 1, i, n
i
ii TPT )(.
i
ii MPM )(.
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
2 APPLICATIONS
Utilisation pour calculer l’effet d’une charge répartie quelconque
G0 G1
L
xxM 1max,
+
G0 G1
LxT /min,
LxT /1max,
-+
G0G1
0
1
)( 0T )(T )( 1T
)( 0M)(M )( 1M
Effet dans une section d’une charge répartie quelconque p() entre les abscisses 0 et 1
1
0
)().(
dTpT
)(p
1
0
)().(
dMpM
Si p est constant, T correspond à p x l’aire délimitée par la courbe T () entre 0 et 1
Si p est constant, M correspond à p x l’aire délimitée par la courbe M () 0 et 1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Définition
Un convoi est un ensemble de charges Pi dont les distances entre elles restent fixes (exemples : camions, trains).
Le convoi peut être caractérisé par sa résultante
La position de chaque charge Pi peut être caractérisée par sa distance di à la résultante
Pn
1dP1
Pi
id nd iP
Objectif
L’objectif est de déterminer la position du convoi qui donne le moment fléchissant maximal dans la poutre sur 2 appuis simples que parcourt le convoi et la valeur de ce moment maximal.
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Démonstration
20
L
LV
On note δ la distance de la résultante à l’axe la poutre.
On calcule la réaction d’appui à gauche en écrivant l’équilibre en G1 :
Pn
1dP1
Pi
id nd
2/LidL 2/
G0
G1
20
L
LV
On calcule le moment dans la section au droit de la charge Pi
)(2/2/)(2/0 igP
giigP
gi ddPdLLL
ddPdLVMgg
Moment des provoqué par les charges à gauche de Pi = Constante
M pour une position du convoi telle que : 0
ddM
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Démonstration
20
L
LV
Pn
P1
Pi
2id nd
2/LidL 2/
G0
G1
M pour une position du convoi telle que :
020 idd
dM
)(2/2/ igP
gi ddPdLLL
Mg
20 id
d
dM
Le moment est maximum en lorsque la charge Pi et la résultante sont placées de manière symétrique par rapport à l’axe de la poutre.
Alors, le moment maxi vaut :
)(14
)(2/2/2
2max ig
Pg
iig
Pgi ddP
L
dLddPdL
LM
gg
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Exemples de convois (EC1-3)
Convois routiers
Convoi ferroviaire UIC 71
Depends on judgement of designer. ~400mm
Maximum moment occurrs here
1.8m
1.0m
1.0m
1.0m
1.8m 1.5m
1.5m
3.0m
cL of HB
cL of bridge
1.0m 1.0m 1.0m
cL of bridge
A
A
Section A-A
Position of HB Load to produce Maximum Moment
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
Exemples de convois (BS)
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
Définition
La courbe enveloppe de l’effet F est la courbe des effets maximaux dans l’ensemble des sections de la poutre lorsque la charge P=1 mobile évolue sur la poutre (ie c’est la courbe des maximums des lignes d’influence).
Courbe enveloppe du moment fléchissant dû a une charge ponctuelle
G0 G1
Ligne d’influence de M
Pente 1-x/L
L
xxM 1max,
+
Pente -x/L
Dans une section d’abscisse x, le moment maximum en vaut :
L
xxM 1max,
La courbe enveloppe du moment fléchissant provoqué par P=1 est donc une parabole d’équation : . Le maximum de la courbe enveloppe donne le moment maximum absolu dans la poutre.
L
xxM env 1
G0 G1
4max,
LM env
+
Enveloppe des moments fléchissants
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
Courbe enveloppe de l’effort tranchant dû à une charge ponctuelle
Ligne d’influence de T
Enveloppe des efforts tranchants positifs
G0 G1
Pentes -1/L
LxT /min,
LxT /1max,
-+
G0 G1
LxTenv /1
+
G0 G1
LxTenv /
-
Enveloppe des efforts tranchants négatifs
2 courbes enveloppes :
-Courbe enveloppe des efforts tranchants positifs :
- Courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs 1max T
1max TLxTenv /1
LxTenv /
1
-1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
Courbes enveloppes provoquées par un convoi (allures)
G0 G1envM
+
G0-
envT
G1
+
envT
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES4 COURBES ENVELOPPES
Courbe enveloppe du moment fléchissant dû à une charge répartie d’étendue quelconque
Problématique : on considère une charge répartie d’intensité p appliquée entre les abscisses variables 1 et 2.
Question : quelle étendue donner à la charge (ie valeurs 1 et 2) pour qu’on obtienne les efforts tranchants et moments fléchissants maxi dans une section puis dans la poutre ?
G0 G1
12
p
G0 G1
L
xxM 1max,
+
)( 1M)( nM
Constat : la ligne d’influence M est toujours positive. Cela signifie qu’on aura le moment maxi en lorsqu’on charge toute la poutre et
xLxp
LL
xx
pdMpM
L
21
2)(
0
max,
La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation
provoquée par un chargement sur toute la poutree.
)(2
xLxp
y
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES4 COURBES ENVELOPPES
Courbe enveloppe de l’effort tranchant T+ dû à une charge répartie d’étendue quelconque
G0 G1
12
p Constat : la ligne d’influence T est positive si on applique une charge à droite de . Cela signifie qu’on aura l’effort T+ maxi en lorsqu’on charge toute la poutre à droite de et
2max, 21
2)( xL
L
pxL
L
xpdTpT
L
x
La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation : 2)(
2xL
L
pTenv
G0 G1
LxT /min,
LxT /1max,
-+
)( 1T )( 2T
G0
22
xLL
pTenv
+
2max,
pLTenv
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES4 COURBES ENVELOPPES
Courbe enveloppe de l’effort tranchant T- dû à une charge répartie d’étendue quelconque
G0 G1
12
p Constat : la ligne d’influence T est négative si on applique une charge à gauche de . Cela signifie qu’on aura l’effort T- maxi en lorsqu’on charge toute la poutre à gauche de et
2
0
max, 22)( x
L
px
L
xpdTpT
x
La courbe enveloppe du moment est la parabole d’équation : 2
2x
L
pTenv
G0 G1
LxT /min,
LxT /1max,
-+
)( 1T )( 2T
G0
2
2x
L
pTenv
-
2max,
pLTenv
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES4 COURBES ENVELOPPES
Courbes enveloppes de l’effort tranchant dû à une charge répartie d’étendue quelconque
On remarquera que, contrairement au moment fléhissant, on n’obtient pas les effets maximaux de T en chargeant la poutre sur toute la longueur, mais en la chargeant en partie (à droite ou à gauche).
En particulier, au milieu de la poutre :
82
pLLTenv
82
pLLTenv
G0
2
2x
L
pTenv
-
2max,
pLTenv
G1
+
22
xLL
pTenv
2max,
pLTenv
obtenu par le chargement de la moitié gauche
obtenu par le chargement de la moitié droite
Alors que si l’on charge toute la poutre, 02
LT