Dehard 2002

LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

n DEFINITION

u les lignes d’influence décrivent l’influence de la position des charges sur la valeur d’un effet(R, V ou M) dans une section déterminée;

u signification opposée à celle des diagrammes ordinaires :

variable

variable

fixe

fixe

L.I. Diagramme

Position charge :

Position section :

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

u soit une poutre isostatique, parcourue par une charge verticale P;

P

R

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

u soit une poutre isostatique, parcourue par une charge verticale P;

P

R=0

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

u soit une poutre isostatique, parcourue par une charge verticale P;

P

R=P/2

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P/2

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

u soit une poutre isostatique, parcourue par une charge verticale P;

P

R=P

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P/2P

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

u soit une poutre isostatique, parcourue par une charge verticale P;

P

R=1,3P

u soit un effet déterminé (R) produit par cette force dans une section fixe (appui gauche);

P/2P

1,3P

L.I. R

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LIGNES D’INFLUENCE DANS LES POUTRES ISOSTATIQUES

P

R

P/2P

1,3P

L.I. R

u la L.I. est la courbe telle que son ordonnée lue sous les diverses positions de la charge donne la valeur de l’effet considéré dans la section choisie;

u la L.I. permet donc de trouver la position des charges qui produit le max (le min) d’un effet déterminé dans une section déterminée;

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUESn Tracé rapide des L.I. : hypothèses

u cas de charges verticales (vers le bas);u démonstration pour une charge unitaire

(principe de superposition applicable);

n L.I. réaction d’appui (R)u soit une poutre iso soumise à une charge

unitaire ;

u recherchons la RC par le théorème des travaux virtuels

1A

BC D

RC

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUESn L.I. réaction d’appui (R)

u si on choisit δv comme unité, RC est donc donné par l’ordonnée δy de la déformée virtuelle lue sous la charge !

u la L.I. de RC: c’est la déformée virtuelle lue àl’échelle δv (d.r.b.c.): RC = y/u !

1A

BC D

RC

AB

C D

1

δv δy

δW = RC. δv − 1. δy = 0 RC = δy/δv

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUES

u si on choisit δv comme unité, V est donc donné par l’ordonnée δy (−) de la déformée virtuelle lue sous la charge !

u la L.I. de V: c’est la déformée virtuelle lue àl’échelle δv (d.r.b.c.): V = y/u !

n L.I. effort tranchant (V)1

AB

C D

δW = V. δv + 1. δy = 0 V = − δy/δv

V

VA

BC D

1 δv

δy

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUES

u si on choisit δθ comme unité, M est donc donné par l’ordonnée δy de la déformée virtuelle lue sous la charge !

u la L.I. de M: c’est la déformée virtuelle lue àl’échelle δθ (d.r.b.c.): M = y/u !

n L.I. moment (M)1

AB

C D

δW = M. δθ − 1. δy = 0 M = δy/δθ

M

AB

C D

M

δθ

δy

1

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUES

u pour des charges verticales vers le bas;u si le dépl. virtuel a le sens des efforts associés;

n Les signes des L.I.

VA

BC D

1 δv

δy V = − δy/δv

AB

C D

M

δθ

δy

1

M = δy/δθ

u le signe des effets est contraire à celui du travail virtuel de la force unitaire !

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUES

u pour des charges verticales vers le bas;u si le dépl. virtuel a le sens des efforts associés;

n Les signes des L.I.

VA

BC D

1 δv

δy V = − δy/δv

AB

C D

M

δθ

δy

1

M = δy/δθ

u le signe des effets est contraire à celui du travail virtuel de la force unitaire !

u Les plages L.I. sont donc positives au-dessus !

+− −

+ +− −

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUESn Les unités des L.I.

uA

BC D

My

1

− −+

u

RC

AB

C D

1

y+−

VA

BC D

1

y −+ +

−u

a b

u = b/a

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUESn Utilisation des L.I.u pour n charges

concentrées :u pour une charge

répartie q(x):

dxu

)x(y)x(qM,V,R

b

a∫=∑

=

=n

1i

ii

uy

QM,V,R

u pour une charge uniformément répartie q:

uS.q

dx)x(yuq

M,V,R )b,a(b

a

== ∫u Les effets max s’obtiendront en chargeant le

plus possible les plages de même signe !

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L. I. POUTRES ISOSTATIQUESn Pour obtenir la L.I. d’un effet ...u effectuer une coupure simple relative à l’effet;u donner à la poutre, devenue un mécanisme, un

déplacement virtuel compatible avec les liaisons;

u la déformée virtuelle obtenue, lue à l’échelle du déplacement relatif des bords de la coupure, représente la L.I. cherchée.

u remarque : les ordonnées de la L.I. sont en fait les projections des déplacements sur la direction des forces (projections confondues avec les déplacements dans le cas de poutres

horizontales et de charges verticales).