Lignes, surfaces et théorème de PythagoreLe tir à l’arc est un sport de précision qui consiste, pour le compétiteur, à envoyer ses flèches le plus au centre d’une cible

Mathématiques 10e © CIIP – LEP, 2012

Lignes, surfaces et théorème de PythagoreGrandeurs et mesures

Le plancher d’une cabane a une forme carrée, de 4 m de côté.

Marguerite, la vache d’Aloys, est attachée à une corde de 8 m de long,fixée au sol, à l’un des angles de la cabane et à l’extérieur de celle-ci.

Quelle est l’aire de la surface herbeuse à disposition de Marguerite?

GM42 Miam-miam



Quelle fraction de la cible est peinte en jaune?

En rouge?

En bleu?

En noir?

GM43 La cible

A B DC E

A B C D E

0 10 20 30 40 cm

Le tir à l’arc est un sport de précision quiconsiste, pour le compétiteur, à envoyerses flèches le plus au centre d’une cibleau moyen d’un arc. Abandonné en 1920après cinq éditions, il fut réintroduit dansles compétitions olympiques en 1972.

Les arcs utilisés aujourd’hui n’ont plusrien à voir avec ceux du début du XXe siè-cle. Fibres de verre ou de carbone et alu-minium ont remplacé le bois, et ils sontdésormais équipés notamment d’un viseur, d’un repose-flèche, de stabilisa-teurs et d’amortisseurs.

1930… … et aujourd’hui.



Parmi ces quatre chemins qui mènent de A à B,lequel est le plus court?

GM44 Tous les chemins mènent à B

A B

2

2

3

3

44

1

1



Dans un triangle rectangle, on découpe unsecteur circulaire comme indiqué dans lafigure ci-contre.

Quel est le pourcentage de chute?

GM45 Chute !

A

BC

= 270°α= 45°β

4



Calcule le périmètre et l’aire de la figure colorée.

GM46 En formes

A

AB 5 8 m

BC 5 28 m

CD ø 36 m

DE 5 18 m

EF 5 31,2 m

120°

B C D

E

F

GH



Tous les cercles ont un rayon de 2 cm.

En te déplaçant uniquement sur les cercles ou les rayons dessinés, quelle est la longueurdu plus court chemin menant de A à B?

GM47 Au plus court

A

B



Madame Seguin veut faire brouter sa chèvre sur une parcelle carrée contenant une mare circulairede 2 m de diamètre. Elle clôture le tour de la parcelle, un carré de 8 m de côté, et celui de la mare.

a) Quelle est l’aire de la surface herbeuse que peut brouter la chèvre?

b) Quelle est la longueur totale de la clôture?

GM48 La chèvre de madame Seguin



Faire le pointFaire le point

1 Voici le croquis d’une piste d’athlétisme.Quel est le prix du revêtement de cette piste si 1 m2 coûte Fr. 100.– ?

On veut entourer cette rizière d’un muret afin deretenir l’eau. Quelle sera la longueur de ce muret ?AC est exprimé en hectomètres.

2

Aide-mémoire• Périmètre et aire d’une surface • Périmètre et aire d’un disque• Longueur d’un arc de cercle et aire d’un secteur circulaireRessources en ligne

AC = 3

= 226°

A

C

c

α

AC = 3

= 226°

A

C

c

α

SUITE �

Rizières en terrasses au Viêt-Nam.

Pages 199 et 200



3 Prends les mesures nécessaires et calcule l’aire de la figure ci-dessous.

> Corrigé en fin de fichier

4 Un disque a un périmètre de 25,13 cm. Quelle est l’aire de ce disque ?



Cite tous les triangles qui te paraissent rectangles dontles sommets peuvent être les points A, B, C, D et E.

2

1

Nomme tous les triangles rectangles tracés dans ce rectangle et justifietes propositions. Colorie en rouge leur hypoténuse.

A

C

B

E

D

Aide-mémoire• Triangle remarquable• Triangle rectangle – vocabulaire• Somme des angles d’un triangleActivités• GM49 à GM51Ressources en ligne

Que sais-je?

SUITE �

Pages 201 et 202



Quelles sont les mesures des angles a, b, g, et d des croquis ci-dessous ?

a)

3

b)

c)



GM49 Au pif !

A vue d’œil, nomme tous les triangles de cette figure qui te paraissent rectanglesen précisant pour chacun d’eux quelle serait l’hypoténuse.

A

B

C

D

E

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________



Dans le croquis ci-contre, nomme tous lestriangles tracés dont on est sûr qu’ils sontrectangles. Justifie.

GM50 Vraiment rectangle ?



Le triangle ACD est-il rectangle? Justifie.

GM51 Rectangle?



Telle est la seule indication qui accompagne ces figures, imaginées parBhaskara (école indienne, 1050).

Mais qu’y a-t-il à voir?

GM52 Voyez !

Il ne faut pas confondre ce mathématicien indien (1114-1185) avec un autre Bhaskara qui a vécu vers la fin duVIe siècle. On parle de Bhaskara I pour évoquer lemathématicien homonyme, alors que c’est Bhaskara IIqui nous intéresse ici.

On lui doit de nombreux petits problèmes, notam-ment celui-ci: «Quel est le plus petit entier qui dans ladivision par 6 donne un reste égal à 5, dans la divisionpar 5 donne un reste égal à 4, dans la division par 4donne un reste égal à 3, et dans la division par 3 donneun reste égal à 2?»

1. 2. 3. 4.

Extrait du manuscrit Lilavati, d’après le nom de la fille de Bhaskara II, illustrant le théorème de Pythagore.



Les triangles ci-dessous sont-ils rectangles?

GM53 Etre ou ne pas être rectangle

a) b) c)

La vie et l’œuvre de Pythagore,mathématicien et philosophe grec,connu avant tout pour le théorèmede géométrie qui porte son nom,sont entourées de mystère.Pythagore est ne dans l’île de

Samos et a vécu au VIe siècle av. J.-C.Il séjourna en Egypte, a Babylone,en Grèce et en Sicile, avant de s’ins-taller a Crotone, colonie grecque du

sud de l’Italie. Il créa une école religieuse, philosophique etscientifique, qui influença fortement la société qui l’entou-rait. Ses membres, des citoyens de toutes classes sociales,

pratiquaient des rites secrets et proposaient un style de viequi stimulait la maîtrise de soi, le courage et la disciplinecollective. Ils prêtaient en outre le serment de ne pas divul-guer les découvertes fondamentales qui leur étaientrévélées.Leur devise était «Tout est nombre»: ils cherchèrent a

expliquer les couleurs, la musique, l’univers et l’être humainpar les nombres entiers positifs, les négatifs n’ayant pas desens a cette époque.Pythagore fut assassine avec de nombreux disciples,

environ 500 ans av. J.-C. Malgré cela, les activités scienti-fiques de sa communauté se poursuivirent durant deuxsiècles encore.



Ces deux mêmes tapis carrés ont été décorés à l’aide de quatre trianglesrectangles isométriques.

a) Quel est le motif qui nécessite le plus de laine blanche?

b) Quelle relation peux-tu établir entre a, b et c?

GM54 Deux pour un !

I

IV

IIIII

c

a

a

b

b

I

IV

II

a

a

b

bIII



a) Construis un triangle MNP tel que les longueurs de ses côtés valent : MN = 9,6 cm,MP = 4 cm et NP = 10,3 cm. A vue d’œil, ce triangle est-il rectangle?

b) Vérifie ta réponse en utilisant le théorème de Pythagore.

GM55 Prouvons !



Les triangles ci-dessous sont-ils rectangles?

GM56 Triangles rectangles ?

a) b)

e) f)

c) d)



GM57 Troisième côté

Complète le tableau suivant relatif à trois triangles ABC rectangles en C.

C

A B

Triangle AB AC BC

1 12 5

2 53 28

3 12,5 9,5



Sur la figure ci-dessous, le triangle CDB est-il rectangle?

GM58 Aussi rectangle ?

A B4,2 cm

5 cm

1,4 cm

2,4 cm

C

D



Calcule, si possible, la ou les mesures manquantes des côtés de chaque triangle.

GM59 Possible ou non ?

825 12

8

6

a) b) c)



Peux-tu dire si les triangles ci-dessous sont rectangles ou non?

GM60 Rectangles ou pas ?

4

3

57,5 7,5

8

10

45°

a) b) c)



Parmi les triangles suivants, lesquels sont rectangles? S’ils le sont, indique quel côté est l’hypoténuse.

a) AB = 15 cm, BC = 17 cm et AC = 8 cm.

b) EF = 8 m, FG = 5,5 m et EG = 9,2 m.

c) XY = 19,2 mm, YZ = 9,2 mm et XZ = 284 mm.

GM61 Où est l’hypoténuse ?



Marie-Christine veut rendre visite à son Roméo. Pour y parvenir, elle doit passer par lafenêtre de sa chambre, qui est située à 6 m au-dessus du sol. Marie-Christine positionneune échelle de telle manière que le haut de celle-ci arrive juste au bas de la fenêtre. Lespieds de l’échelle se retrouvent alors à une distance horizontale de 2 m du mur.

Quelle est la longueur de l’échelle?

GM62 Rendez-vous galant

Chaque année, la ville de Vérone,en Italie, voit défiler un flot de tou-ristes, non seulement des amateursd’opéra qui profitent des spectaclesdonnés dans les arènes romainesde la ville, mais aussi de nombreuxvisiteurs qui viennent s’attardersous le balcon des amants deVérone, Roméo et Juliette, couplemythique, héros malheureux d’unetragédie de l’auteur anglais Shakes-peare.

La maison de Juliette à Vérone.



Tu viens d’acheter une armoire que tu dois monter dans ta chambre.

Les dimensions de cette armoire sont les suivantes : hauteur = 236 cm, largeur = 100 cm et profondeur = 60 cm.

Etant seul pour la monter, tu la construis couchée sur le sol.

Pourras-tu, une fois qu’elle sera montée, la redresser sachant que ta chambrea une hauteur de 2,5 m?

GM63 Montage et démontage



Dans la consigne d’une gare, on trouve des casiers dont les dimensionssont : 80 cm de large, 150 cm de haut et 60 cm de profondeur.

Nathanaël peut-il y déposer ses skis de 1,70 m?

GM64 Consigne



Bill s’entraîne sur la piste rectangulaire et John sur l’unedes pistes triangulaires schématisées ici.

Ils courent à la même vitesse et pendant la même durée.

Bill fait douze tours de piste.

Et John?

GM65 Jogging



Reproduis cette «spirale» et continue sa construction.

Quelle sera la mesure de l’hypoténuse h15?

Donne les numéros d’ordre de deux hypoténuses successives dont la différence des mesuresest inférieure à un millième.

1

1

1

h1

h2h3

h4

1 1

1

GM66 L’escargot



A (2 ; 4), B (14 ; 3) et C (9 ; 14) sont les trois sommets d’un triangle,tout comme les points : E (1 ; 1), F (2 ; 7) et G (12 ; 5).

Que dire de chacun de ces triangles?

GM67 En es-tu certain ?



GM68 Angles droits et polygones

Calcule l’aire de chacun de ces polygones.

Trapèze rectangle

Mesures exprimées en millimètres

Triangle rectangle

Losange

Parallélogramme



a) Les diagonales d’un losange mesurent 15 cm et 20 cm.

Quel est le périmètre de ce losange? Et son aire?

b) Les diagonales d’un carré mesurent 12 cm.

Quel est le périmètre de ce carré? Et son aire?

GM69 En diagonale



a) Le triangle ABC, rectangle en C, est tel que AC = 6 cm et AB = 10 cm.

Quelle est la mesure de la hauteur issue du sommet C?

b) Les dimensions d’un rectangle sont 8 cm et 15 cm.

Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale ne passant pas par ce sommet?

GM70 D’un triangle à un rectangle



Faire le pointFaire le point

1 Calcule, si possible, la mesure des côtésmanquants des triangles suivants.

a)

Des deux triangles suivants, y en a-t-il un qui soit rectangle ? Justifie.

• EFG tel que EF = 1 cm, EG = 1,2 cm et FG = 2 cm.

• HIJ tel que HI = 14,4 cm, IJ = 14,5 cm et HJ = 1,7 cm.

2

Aide-mémoire• Triangle remarquable• Triangle rectangle – vocabulaire• Somme des angles d’un triangle• Théorème de Pythagore• Périmètre et aire d’une surfaceRessources en ligne

4 cm

4 cm

7 cm

6 cm

b)

4 cm

4 cm

7 cm

6 cm

SUITE �

Pages 204 et 205



3 Calcule l’aire de la figure comprise entre un cercle de 24 m de diamètre etun hexagone régulier inscrit dans ce cercle. Représente la situation à l’aide d’un croquis.

> Corrigé en fin de fichier



a) Le triangle ABC, rectangle en C, est tel que AC = 6 cm et AB = 10 cm.

Quelle est la mesure de la hauteur issue du sommet C?

b) Les dimensions d’un rectangle sont 8 cm et 15 cm.

Quelle est la distance entre un sommet et la diagonale ne passant pas par ce sommet?

GM70 D’un triangle à un rectangle



On a cousu ensemble huit morceaux de tissu pour confectionner un fanion carré ; chaque morceau de tissu a une aire de 8 dm2.

Les morceaux des «coins» du fanion sont des trapèzes isométriques.

Dessine un «plan» du fanion à l’échelle 1 : 5.

GM71 Plan du fanion



Dessine un carré.

Trace deux droites passant chacune par l’un des sommets de toncarré, de telle sorte qu’elles le partagent en trois parties équivalentes.

GM72 En trois parties



Quelle est l’aire maximale d’un triangle dont le périmètre mesure 18 cm?

GM73 Aire maximale



Dans les deux figures ci-dessous, détermine si les surfaces a, b et c ont la même aire.

a) Partage effectué selon deux carrés inscrits. b) Partage effectué selon deux cordeset deux rayons.

GM74 Aires identiques ?

a

a

a

a

b

b

b

bc

a

a

b

c

0

1

2

3

4

5



Julien a découpé des confettis circulaires, de taille identique, dansune feuille de papier carrée. Mais il y a des pertes !

Julien pense qu’en gardant cette même disposition, plus lesconfettis sont petits, moins il y a de pertes.

A-t-il raison?

GM75 La valse des confettis



Une girafe est installée dans un pré qui a la forme d’un triangle rectangle.

Les côtés de l’angle droit de ce triangle mesurent respectivement 16 m et 12 m.

Grâce à son long cou, la girafe peut brouter l’herbe jusqu’à 2 m à l’extérieur de la clôture.

Quelle est l’aire de la surface d’herbe susceptible d’être broutée par ce charmant ruminant?

GM76 La girafe



Yves s’entraîne sur le couloir extérieur de cette piste d’athlétisme.

a) Quelle distance parcourt-il approximativement en un tour?

b) Quelle est l’aire de la piste?

c) Où faut-il mettre la ligne de départ pour parcourir exactement 400 m en un tourde piste sur le couloir extérieur?

84,4

100

ligne d’arrivée

10

92,5

2

3 - 5 17 - 30

36,5

9,76

min. 130

46,26 46,26

176,92

GM77 Mathlétisme

Mesures en mètres



Le 21 mars 1999, Brian Jones et Bertrand Piccard bouclent le premier tour du mondeen ballon (voir p.177).

Pascal, baron de la Batia, qui vient d’apprendre la nouvelle, se trouve alors au pied dela tour de son château, dont l’horloge a été construite au début du XVIe siècle.

Une question, tirée par les quelques cheveux qui lui restent, lui traverse alors l’esprit :

«Est-ce que l’extrémité de l’aiguille des minutes (160 cm de longueur) a déjà parcouruun aussi long chemin que le ballon Breitling Orbiter 3?»

GM78 La tour de l’Horloge



a) On a construit des demi-carrés sur chaque côtéde ce triangle rectangle.

L’aire du grand demi-carré est-elle égale à lasomme des aires des deux autres demi-carrés?

b) Effectue la même recherche à partir de cetriangle rectangle et de ces demi-disques.

c) Et que se passerait-il avec un trianglerectangle et des triangles équilatéraux?

GM79 Surfaces équivalentes ?



a) Le triangle BCD est-il rectangle?

ABC est un triangle rectangle en B.

AB = 1,25 cm et AC = 3,25 cm.

BD = 2,4 cm et CD = 1,8 cm.

b) Les segments AM et AC sont-ils perpendiculaires?

AC = 12 cm, AM = 16 cm et BC = 41 cm.

M est le milieu de BC.

c) Calcule l’aire du pentagone AEBCD.

ABCD est un carré.

AEB est un triangle rectangle en E.

GM80 Questions en tous genres

Mesures en centimètres



Calcule le périmètre et l’aire des surfaces colorées des figures suivantes.

a) b)

GM81 Encore des questions en tous genres

Le rayon de chaque cerclemesure 3 cm

Le côté de l’hexagone réguliermesure 5 cm

Documents

Lignes, surfaces et théorème de PythagoreLe tir à l’arc est un sport de précision qui consiste, pour le compétiteur, à envoyer ses flèches le plus au centre d’une cible