Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de ... · Il semble que P30 soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non

[email protected] PPaaggee 11 CCoouurrss :: LLiimmii tteess

LLiimmii ttee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn AApppprroocchhee iinnttuuii ttiivvee ddee llaa nnoottiioonn ddee ll iimmii ttee Dans ce chapitre, nous avons besoin d’un outil mathématique appelé « Limite » qui est une notion fort nécessaire pour la compréhension et la pratique des mathématiques. Pour introduire cette notion, je commence par un exemple géométrique : Considérons un polygone régulier de n côtés ( 5≥n ), inscrit dans un cercle C. Soit nP ce

polygone. À l’aide du logiciel « Geogebra », j’ai tracé 5P , 12P et 30P :

Il semble que 30P soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un

polygone et non pas un cercle). Or, si l’on trace 5000P , on aura du mal à distinguer le polygone de son cercle circonscrit C.

On dit alors que la limite de ces polygones est le cercle circonscrit C et mathématiquement, on écrit : CPnn

=+∞→

lim

EExxeemmppllee ((dd’’ aapppprroocchhee àà ll ’’ aaiiddee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn)) 11::

Soit la fonction f définie sur ℝ { }2−− par ( )2

42

+−=

x

xxf .

f n'est pas définie en x = −2. Evaluons f sur des nombres de plus en plus proches de 2−=x : f (-1,99) = 993,− ; f (-1,999) = 9993,− ; f (-1,9999) = 99993,− ; f (-1,99999) = 999993,− f (-2,01) = 014,− ; f (-2,001) = 0014,− ; f (-2,0001) = 00014,− ; f (-2,00001) = 000014,−

On constate qu’en évaluant f autour de −2, on se rapproche de plus en plus de 4− . Limite de f (x), pour x tendant vers −2, est égale à −4 et on écrit ( ) 4

2−=

−→xflim

x.


II -- LLiimmii ttee ff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn eenn xx00 ((aavveecc xx00 ff iinnii ))

Soit f une fonction définie sur ℝ ou une partie de ℝ.

Soit x0∈ℝ, le but de cette partie de ce chapitre est de savoir comment f se comporte, lorsque x se rapproche de x0 (où x0 est une valeur finie).

DDééff iinnii ttiioonn 11:: Un voisinage V d’un réel x0 , est un intervalle ouvert de la forme ] [ fDxx ⊂+− αα 00 ; ou

] [ ] [ fDxxxx ⊂+∪− αα 0000 ;; ( suivant que x0 est inclus dans Df ou non) , avec α > 0.

EExxeemmpplleess ::

11)) Les fonctions 22 −xx֏ et 23 xx −֏ sont définies au voisinage de 0.

22)) Les fonctions 1

22

−+

x

xx֏ et

xx

1֏ sont définies respectivement au voisinage de 1 et de 0,

même si ces deux dernières fonctions sont définies sur ] [ ] [+∞∪∞− ,11, et sur ] [ ] [+∞∪∞− ,00, . II--11-- LLiimmii ttee ff iinniiee eenn xx00 ((aavveecc xx00 ff iinnii))

Soit ℓ∈ℝ et f une fonction définie au voisinage de x0, , sauf peut-être en x0.

DDééff iinnii ttiioonn 22:: On dit que f tend vers ℓ, lorsque x tend vers x0 , si on peut rendre | f(x)− ℓ | «aussi

petit que l’on veut » à condition de prendre x « suffisamment proche de x0 ».On écrit alors : ( ) =

→xf

xx0

lim ℓ.

DDeeuuxxiièèmmee vvaarr iiaannttee ddee llaa ddééff iinnii ttiioonn pprrééccééddeennttee DDééff iinnii ttiioonn 33:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0, sauf peut-être en x0, on

dit que f admet une limite réelle ℓ au point x0 si : ∀ℇ >0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x)− ℓ <ℇ

RReemmaarrqquueess :: 11)) La définition précédente est valable, même si f n’est pas définie en x0 .

22)) ℇ est choisi arbitrairement. II nntteerrpprrééttaattiioonn :: On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, ( ) =

→xf

xx0

lim ℓ signifie que l’on peut

rendre la distance entre f(x) et ℓ aussi petite que l’on veut `a condition de prendre x ”suffisamment proche de x0”.


EExxeerrcciiccee 11:: Soit f une fonction définie sur ℝ par ( ) 5=xf .

Soit x0 un nombre appartenant à ℝ. Montrons que ( ) 50

=→

xfxx

lim

SSoolluuttiioonn::

II--22-- LLiimmii ttee àà ddrrooii ttee,, ll iimmiittee àà ggaauucchhee ddee xx00 II--22--11-- LLiimmii ttee àà ddrrooii ttee Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] [bx ,0 , où b est un nombre réel ou +∞.

DDééff iinnii ttiioonn 44:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à droite de x0 si : ∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ] [bx ,0 , <−< 00 xx α ⇒ f(x)− ℓ <ℇ

On écrit alors : ( ) =

>

→xf

xx

xx

0

0

lim ℓ, ou encore ( ) =+→

xfxx0

lim ℓ.

RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant supérieur à x0.

II--22--22-- LLiimmii ttee àà ggaauucchhee Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] [0; xb , où b est un nombre réel ou −∞.

DDééff iinnii ttiioonn 55:: On dit que f admet une limite réelle ℓ à gauche de x0 si : ∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈ ] [bx ,0 , −α 00 <−< xx ⇒ f(x)− ℓ <ℇ

On écrit alors : ( ) =

<

→xf

xx

xx

0

0

lim ℓ, ou encore ( ) =−→

xfxx0

lim ℓ.

RReemmaarrqquuee :: Cela signifie que x tend vers x0, mais tout en restant inférieur à x0.

TThhééoorrèèmmee 11 ((aaddmmiiss)):: Soit f une fonction définie au voisinage V du réel x0 , alors on a l’équivalence

suivante : ( ) =→

xfxx0

lim ℓ ⇔⇔ ( ) =

>

→xf

xx

xx

0

0

lim ℓ = ( )xf

xx

xx

0

0<

→lim

II --33-- LLiimmii ttee iinnff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn Soit f une fonction définie sur son ensemble de définition Df .

DDééff iinnii ttiioonnss 66:: -- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de −− ∞∞, s’il existe un réel a tel que ] [ ⊂∞− a, Df.

-- On dit que f est définie au vvooiissiinnaaggee VV de ++ ∞∞, s’il existe un réel a tel que ] [ ⊂∞+;a Df.


EExxeemmpplleess ::

11)) Les fonctions x

x1

֏ , 2

12 −x

x֏ et 42 −xx֏ sont définies au voisinage de −− ∞∞ et de ++ ∞∞

.22)) Les fonctions xx −3֏ et 4−xx֏ sont définies respectivement au voisinage de −− ∞∞ et de ++ ∞∞, II --33--11--LLiimmii ttee iinnff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn àà ll ’’ iinnff iinnii

DDééff iinnii ttiioonn 77:: 11)) On dit que ( ) =+∞→

xfxlim ∞+ si et seulement si:

∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx > ⇒ f(x)>A) 22)) On dit que ( ) =

+∞→xf

xlim ∞− si et seulement si:

∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx > ⇒ f(x)<−A)

f tend vers +∞ en +∞

DDééff iinnii ttiioonn 88:: 11)) On dit que ( ) =∞−→

xfxlim ∞+ si et seulement si:

∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx −< ⇒ f(x)>A) 22)) On dit que ( ) =

∞−→xf

xlim ∞− si et seulement si:

∀ 0>A , ∃ 0>B tel que ∀x∈V, ( Bx −< ⇒ f(x)<−A)

TThhééoorrèèmmeess 22 ((aaddmmiiss)):: Les fonctions, 2xx֏ , nxx 2֏ (avec n entier naturel non nul) , ont pour

limite ∞+ en ∞+ ou ∞− .

Les fonctions, xx֏ xx֏ , 3xx֏ 12 +nxx֏ ont pour limite ∞+ en ∞+ et xx֏ , 3xx֏ 12 +nxx֏ ont pour limite ∞− en ∞− .

EExxeemmpplleess ddee ffoonnccttiioonnss qquuii nn’’ oonntt ppaass ddee ll iimmii ttee eenn ++∞∞ oouu eenn --∞∞..

Toutes les fonctions n'admettent pas nécessairement une limite lorsque x tend vers +∞ ou -∞. EExxeemmpplleess :: Les fonctions xx sin֏ et xx cos֏ dont les courbes sont données ci-dessous

n’admettent pas de limite, lorsque x tend vers +∞ ou -∞:


II --33--22--LLiimmii ttee ff iinniiee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn eenn ++∞∞ oouu eenn --∞∞....

DDééff iinnii ttiioonn 99:: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de ∞− . On dit que f admet une limite

réelle ℓ en ∞− , si : ∀ℇ>0 , ∃ A 0> tel que ∀x∈V, ( −<x A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ). On écrit alors : ( ) =

∞−→xf

xlim ℓ,

DDééff iinnii ttiioonn 1100:: Si f est une fonction définie sur un voisinage V de ∞+ . On dit que f admet une

limite réelle ℓ en ∞+ , si : ∀ℇ>0 , ∃A 0> tel que ∀x∈V, ( >x A ⇒ f(x)− ℓ <ℇ). On écrit alors : ( ) =

∞+→xf

xlim ℓ.

f tend vers ℓ en +∞

EExxeerrcciiccee 22:: Soit f une fonction définie sur ℝ* par ( )x

xf1= .

Montrer que ( ) 0=∞+→

xfxlim .

SSoolluuttiioonn::

TThhééoorrèèmmeess 33 ((aaddmmiiss)):: * Les fonctions x

x1

֏ , 2

1

xx֏ ,

3

1

xx֏ ,

nxx

1֏ (avec n entier naturel

non nul) , x

x1

֏ ont pour limite 0 en ∞+ .

* Les fonctions x

x1

֏ , 2

1

xx֏ ,

3

1

xx֏ ,

nxx

1֏ (avec n entier naturel non nul), ont pour

limite 0 en ∞− .

* Plus généralement , si une fonction f a une limite infinie en ∞+ ou ∞− , alors f

1 a pour limite 0

en ∞+ ou en ∞− .


II --44--AAssyymmppttoottee hhoorr iizzoonnttaallee

DDééff iinnii ttiioonn 1111:: On dit que la droite d’équation D : y= ℓ est une aassyymmppttoottee hhoorr iizzoonnttaallee à la courbe de f lorsque ( ) =

+∞→xf

xlim ℓ ou ( ) =

∞−→xf

xlim ℓ.

EExxeemmppllee :: On sait que : 01 =

∞+→ xxlim et 0

1 =∞−→ xx

lim donc 31

3 =

++∞→ xx

lim et 31

3 =

+∞−→ xx

lim , d’où

la droite d’équation 3=y représente une asymptote horizontale à la courbe de la fonction

xx

13+֏ .

f tend vers 3 lorsque x tend vers +∞

TThhééoorrèèmmee 44 ((aaddmmiiss)):: Soit f une fonction définie au voisinage V de x0 (nombre fini ou non) Si f admet une limite finie en x0 alors cette limite est uunniiqquuee. II --55-- LLiimmii ttee iinnff iinniiee eenn uunn rrééeell xx00 DDééff iinnii ttiioonn 1122:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0.

( ) +∞=→

xfxx0

lim , si et seulement si :

∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x) >ℇ

DDééff iinnii ttiioonn 1133:: Soit f une fonction définie au voisinage V du nombre réel x0. ( ) −∞=

→xf

xx0

lim si et seulement si :

∀ℇ>0 , ∃α > 0 tel que ∀x∈V, <−< 00 xx α ⇒ f(x) <−ℇ

II nntteerrpprrééttaattiioonn :: On a vu que ℇ est choisi arbitrairement, ( ) +∞=→

xfxx0

lim ou ( ) −∞=→

xfxx0

lim

signifie que l’on peut rendre f(x) aussi grand en valeur absolue que l’on veut à condition de prendre x ” suffisamment proche de x0 ”.

f tend vers +∞ lorsque x tend vers x0


EExxeerrcciiccee 33:: Soit f une fonction définie sur ℝ* par ( )x

xf1= . Montrer que ( ) +∞=

+→

xfx 0

lim .

SSoolluuttiioonn::

TThhééoorrèèmmeess 55 ((aaddmmiiss)):: * Les fonctions, 2

1

xx֏ , ,

nxx

2

1֏ (avec n entier naturel non nul) , ont

pour limite ∞+ , lorsque x tend vers 0 .

* La fonction x

x1

֏ a pour limite ∞+ , lorsque x tend vers +0 .

* Les fonctions x

x1

֏ , , 3

1

xx֏ ,

12

1+nx

x֏ (avec n entier naturel non nul), ont pour

limite ∞− , lorsque x tend vers −0 et ont pour limite ∞+ , lorsque x tend vers +0 .

* Plus généralement , si une fonction f a une limite −0 ou +0 , lorsque x tend vers x0, alors f

1 a

pour limite respectivement ∞− ou ∞+ .

II --66--AAssyymmppttoottee vveerrttiiccaallee DDééff iinnii ttiioonn 1144:: On dit que la droite d’équation D : x= a est une aassyymmppttoottee vveerrttiiccaallee à la courbe de f lorsque ( ) +∞=

→xf

xx0

lim ou ( ) −∞=→

xfxx0

lim .

RReemmaarrqquuee :: Une asymptote verticale n’existe que pour x tendant vers un nombre fini. EExxeemmpplleess ::

+∞=→ 20

1

xxlim +∞=

<→ 200

1

xxxlim +∞=

>→ 200

1

xxxlim

La droite d’équation x=0 représente une asymptote verticale à la courbe de la fonction 2

1

xx֏


II II -- OOppéérraattiioonnss ssuurr lleess ll iimmii tteess

a désigne soit un réel, soit ∞+ , soit ∞− . ℓ et ℓ’ désignent des réels. On admet les théorèmes suivants : II II --11°° LLiimmiittee ddee ff ++ gg

Si ( ) =→

xfax

lim ℓ ℓ ℓ ∞+ ∞− ∞+

et ( ) =→

xgax

lim ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞−

alors ( )( ) =+

→xgf

axlim ℓ+ ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞−

CC..II .. ((ccaass iinnddéétteerrmmiinnéé))

II II --22°° LLiimmiittee ddee ff ×× gg

Si ( ) =→

xfax

lim ℓ ℓ>0 ℓ>0 ℓ<0 ℓ<0 ∞+ ∞+ ∞− 0

et ( ) =→

xgax

lim ℓ’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞− ou ∞+

alors ( )( ) =×

→xgf

axlim

ℓℓ’ ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞+ CC..II ..

II II --33°° LLiimmiittee ddee ff // gg

Si ( ) =

→xf

axlim

ℓ ℓ>0

ℓ>0 ou ∞+

ℓ>0 ou ∞+

ℓ<0 ou ∞−

ℓ<0 ou ∞−

∞+ ∞− ∞+ ∞− 0 ∞−

ou ∞+

et ( ) =

→xg

axlim

ℓ’0

∞+ ou

∞−

+0 −0 +0 −0 ℓ’<

0

ℓ’<

0

ℓ’>

0 ℓ’>

0 0

∞− ou ∞+

alors

( ) =

→

xg

fax

lim

ℓ

ℓ

′ 0 ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞+ ∞− CC..II .. CC..II ..

RReemmaarrqquuee :: D’après les tableaux précédents, les cas indéterminés (C.I.) sont

∞−∞ , ∞×0 , 0

0 et

∞∞

En aucun cas ces écritures ne doivent être utilisées dans une rédaction, sur une copie. AAtttteennttiioonn :: Une indétermination ne signifie en aucun cas que la limite n’existe pas. Ces cas nécessiteront une étude particulière, chaque fois qu’ils se présenteront.


II VV-- DDéétteerrmmiinnaattiioonn ddee ll iimmii tteess TThhééoorrèèmmee 66:: Lorsque x tend vers ∞+ ou ∞− , une fonction polynôme a la même limite que son

terme de plus haut degré.

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::

EExxeerrcciiccee 44:: Déterminer la limite suivante : ( )132 23 −−

∞+→xx

xlim .

SSoolluuttiioonn::

TThhééoorrèèmmee 77:: Lorsque x tend vers ∞+ ou ∞− , une fonction rationnelle a la même limite que le

rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

DDéémmoonnssttrraattiioonn ::


EExxeerrcciiccee 55:: Déterminer les limites ∞+ de f, g et h définies respectivement par :

23

23

52

423)(

xx

xxxxf

+−+−= ,

32

13)(

3

2

+−−=

x

xxxg et

342

54)(

2

25

−+−+−−=

xx

xxxxh

SSoolluuttiioonn::

EExxeerrcciiccee 66:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }4,2− par ( )86

32 +−

−=xx

xxf .

Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 2 et au voisinage de 4 puis interpréter graphiquement ces résultats. SSoolluuttiioonn :: Étudions d’abord le signe de 862 +− xx :

x ∞− ∞+ 862 +− xx


AAssyymmppttoottee oobbll iiqquuee DDééff iinnii ttiioonn 1155:: On dit que la droite d’équation : baxy += est une aassyymmppttoottee oobbll iiqquuee à la

courbe de f au voisinage +∞ ( resp.-∞ ) , si et seulement si :

( ) ( )[ ] 0=+−+∞→

baxxfxlim ( resp. ( ) ( )[ ] 0=+−

∞−→baxxf

xlim ).

RReemmaarrqquueess :: – Une courbe et son asymptote peuvent se couper (même une infinité de fois) avant que la courbe et l’asymptote deviennent voisines. – Pour tout fDx∈ , le signe de ( ) ( ) ( )baxxfx +−=φ , donne la position relative de

C f par rapport à D.

EExxeerrcciiccee 77:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }2− par 2

32)(

2

−−+=

x

xxxf et C f sa

représentation graphique.

1) Déterminer les réels a, b et c tels que 2

)(−

++=x

cbaxxf pour tout fDx∈ .

En déduire que la droite D, d’équation baxy += (avec les réels a et b définis précédemment) est

asymptote oblique à C f au voisinage de +∞ et de -∞ 2) Étudier la position relative de C f et de D. SSoolluuttiioonn ::


CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn ∞∞−− ∞∞ ??

EExxeerrcciiccee 88:: Soit f une fonction définie sur ℝ par : ( ) 422 ++= xxxf .

1) Déterminer ( )xfx +∞→lim et ( )xf

x ∞−→lim .

2) Démontrer que pour 0>x la droite D, d’équation 1+= xy est une asymptote oblique à C f . 3) Étudier la position relative de C f et de D. SSoolluuttiioonn ::


CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn 0

0 ?

PPooiinntt mméétthhooddee :: Pour lever l'indétermination 0

0 en un point a :

- on commence par factoriser le numérateur et le dénominateur par ax − et ainsi on peut

simplifier le quotient par ax − (quand cela est possible).

- dans le cas des fonctions comportant des expressions racines, on utilise la multiplication du numérateur

et du dénominateur de la fonction par son expression conjuguée.

- l’utilisation du nombre dérivé.

EExxeerrcciiccee 99:: Soit f la fonction définie sur ℝ { }4,2− par ( )86

232

2

+−+−=

xx

xxxf .Étudier le

comportement de la fonction f au voisinage de 2, puis interpréter graphiquement ce résultat. SSoolluuttiioonn ::

La courbe précédente a été réalisée à l’aide du logiciel « Geogebra ». On constate que le trou n’apparaît pas sur la courbe. La raison de cette absence est due à la façon dont le logiciel se charge à tracer la courbe, en effet, le logiciel calcule par exemple les images de plusieurs nombres compris dans l’intervalle d’étude, par exemple les images des nombres, comme :

23,0,77,0,1 −− etc, mais si l’une de ces valeurs choisie n’est pas le nombre 2, alors le trou n’apparaîtra pas sur la courbe ( ce qui se passe dans la majorité des cas) sauf si la chance nous sourit.


EExxeerrcciiccee 1100:: Soit f la fonction définie sur [ [ ] [+∞∪= ,44,3fD par 4

13)(

−−−=

x

xxf et C f

sa représentation graphique. Étudier le comportement de la fonction f au voisinage de 4, puis interpréter graphiquement ce résultat. SSoolluuttiioonn ::

CCoommmmeenntt ppeeuutt--oonn lleevveerr ll '' iinnddéétteerrmmiinnaattiioonn ∞×0 ? EExxeerrcciiccee 1111:: Déterminons les limites de f et de g définies respectivement par :

( )xx

xxxf

23)(

32

−×−= , ( )

1

32)(

2 −×−=

xxxg en ∞+ .

SSoolluuttiioonn ::


VV-- LLiimmii ttee dd’’ uunnee ffoonnccttiioonn ccoommppoossééee

TThhééoorrèèmmeess 88 ((aaddmmiiss)):: Soient f, g et h trois fonctions telles que ( ) ( )( ) ( )( )xhgxhgxf == � . Soient a, b et c trois réels de valeurs finies ou +∞ ou encore -∞ . Si ( ) bxh

ax=

→lim et si ( ) cXg

bX=

→lim alors ( ) cxf

ax=

→lim .

EExxeerrcciiccee 1122:: Soit f la fonction définie par :1

734)(

2

2

−+−=

x

xxxf . Déterminer ( )xf

x ∞+→lim .

SSoolluuttiioonn ::

VVII -- TThhééoorrèèmmee ddee dd’’ eennccaaddrreemmeenntt ((oouu tthhééoorrèèmmee ddeess ggeennddaarrmmeess))

TThhééoorrèèmmee 99:: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou ∞+ ou ∞− , et ℓ un nombre réel. Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ et si ( ) ( ) ==

→→xhxg

axaxlimlim ℓ, alors ( ) =

→xf

axlim ℓ.

DDéémmoonnssttrraattiioonn::


VVII II -- TThhééoorrèèmmeess ddee ccoommppaarraaiissoonn àà ll ’’ iinnff iinniiee

TThhééoorrèèmmee 1100:: Soient f, g et h trois fonctions et a un réel ou ∞+ ou ∞− . • Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( )xfxg ≤ et si ( ) +∞=

→xg

axlim , alors ( ) +∞=

→xf

axlim .

• Si pour tout réel x voisin de a, ( ) ( )xhxf ≤ et si ( ) −∞=→

xhax

lim , alors ( ) −∞=→

xfax

lim .

DDéémmoonnssttrraattiioonn::

EExxeerrcciiccee 1133:: 1) Prouvez que la fonction f définie sur ℝ par ( )x

xfsin35

1

+= est bornée.

2) Déduisez-en la limites suivante :

++

∞+→ x

xxx sin35

sinlim .

SSoolluuttiioonn ::


TTaabblleeaauu rrééccaappii ttuullaattii ff

HHyyppootthhèèssee 11

iinnééggaall ii ttéé ppoouurr xx pprroocchhee ddee xx00

HHyyppootthhèèssee 22

CCoommppoorrtteemmeenntt ppoouurr xx→ xx00

CCoonncclluussiioonn

( ) ( )xgxf ≤ f tend vers +∞ g tend vers +∞

( ) ( )xfxg ≤ f tend vers -∞ g tend vers -∞

( ) ( )xfxg ≤− ℓ f tend vers 0 g tend vers ℓ

( ) ( ) ( )xhxgxf ≤≤ f et h ont la même limite ℓ g tend vers ℓ

( ) ( )xgxf ≤ f et g admettent des limites en x0 ( ) ( )xgxf

xxxx00

→→≤ limlim

On retrouve les mêmes théorèmes avec les suites.


EExxeerrcciiccee 1144:: Déterminez les limites suivantes :

1) 352

391752

23

3 −−++−

→ xx

xxxxlim

2) 2

2

4 16

472

x

xxx −

+−−−→

lim

3) 5103

1175 −+

−−+→ x

xxxlim

4) ( )13199 2 +−+−∞+→

xxxxlim

5) ( )xxxxx

2223 +−∞+→

lim

EExxeerrcciiccee 1155:: Soit f la fonction définie par : ( )3

sin22

2

+−=

x

xxxf

a) Montrer que pour tout x on a : ( )3

12

3

122

2

2

2

++≤≤

+−

x

xxf

x

x

b) En déduire la limite de f lorsque x tend vers + ∞.

EExxeerrcciiccee 1166:: Soient f et g deux fonctions définies par : ( ) xxxf cos2 2 += et ( ) xxxg 22 cos+−= .

Calculer : ( )xfx +∞→lim et ( )xg

x +∞→lim

EExxeerrcciiccee 1177::

On considère la fonction f définie ( ) 452 ++= xxxf .

1) Démontrer la courbe (Cf) admet un axe de symétrie.

2) a) Déterminer la limite en ∞− de ( )( )xxf + puis en déduire l’équation d’une asymptote

Oblique à (Cf).

b) Déterminer l’équation de l’autre asymptote.

EExxeerrcciiccee 1188::

Soit ( )6116

13323 +−+−

+−+=xxx

xxxf .

1) Déterminer l’ensemble de f.

2) Déterminer les limites en 1 puis en 2.

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Limite d’une fonction Approche intuitive de la notion de ... · Il semble que P30 soit confondu avec son cercle circonscrit C (par définition un polygone est un polygone et non