UNlVERSITE PARIS VI

SEMINAlRE DE

THEORIE DD POTENTIEL

SUR UNE DECOMPOSITION DES NOYAUX DE CONVOLUTION DE HUNT

Ma8ayuki ITO *

1. On dcsigne par Rn lTespace euclidien de dimension 1)

Pour 0 = ,on) E Sn ' On pose

et par Sn

(1.1) R(J

..igne x.J

{5. ( 1 s j ;;; n) ] U {o} ,J

au, pour t E lR1Gigne t = 0 si et seulement si t o

Parmi les noyaux de convolution de Hunt sur lRn les noyaux de convolution

de Hunt partes par Ro

sont tres commodes pour la multiplication at la division

des noyaux de convolution de Hunt, car, pour deux noyaux de convolution N1

at

portes par R ,la convolutiono a toujours un sens.

de noyaux de convolutianelementaires verifiant les conditions (1.2) et

La but de cette note est de montrer les deux enances suivants

(1) A un noyau de convolution elementaire N sur lin , on associe une familIa

(N) So oE n

(1.3), d'une facon unique excepte la multiplication par une constante ;

* Cet article est la redaction detaillee de I'expose du 16 Juin 1983

158

(1. 2) Pour a E S quelconque, N (CR ) 0n C 0

(1. 3) N5

Non

(II) A uri noyau de de Hunt N sur lRn , on as soci e une f am.i l Le

(NOJaES de noyaux de convolu t i on de Hunt verifiant 1"5 cond i.t Lons (1. Z), (1.3)n

et (1.4), d'un" uniqu" "xcepte la multiplication par une constante ;

(1.4) Pour une cons t ant.e c > 0 et 0 E: Sn quel eonque s, (N + C E) a -c N

au c est la mesure de Dirac a l'origine.

On dit que No Cst la partie de N sur Ro . Nous ne savons pas si, dans

(II), la condition (1.4) peut etre supprimee.

Comme application, on donnera une condition suffisantc pour qu'un noyau de

convolution sur lR1

soit un noyau de convolution de Hunt.

De la meme nmniere que dans lRn , on pourra donner la decomposition analogue

pour un noyau de convolution de Hunt sur un groupe de Lie el ementaire.

2. Ecrivons d'ahord quelques definitions et propositions connnes ou bien faciles

sur les potenticls par rapport aux noyaux de convolution sur un groupe abelien X

localement compact, separe et denombrable a l'infini.

Un noyau de convolution N sur X est une mesure de Radon positive sur X

et. pour une mesure de Radon ree11e dans X. N '" s'appelle Ie N-potentiel

de iJ des que l.a convoLu tion a un sens , La mesu re de Dirac

pelle souvent Ie noyau de convolution identite.

a l'origine s'ap-

On designe pat CK(X) l'espace vectoriel topologique usue! des fonctions

finies et continues dans X a support compact et par Ie sous-ensemble

constitue des fonctions 0 Pour un noyau de convolution N et I E CK(X) •

N * fest defini au sens usuel,

On dit que N cst borne sit pour f CK(X) quelconque, N * f est bornee

et que N s'annule a l'infini si J pour f E: CK

(X) quelc:onque. lim N * f {x ) = 0

Soient N et NZ deux noya= de convolution. On dit que N1

est divise1

par NZ

s'll existe un autre noyau de convolution N3

tel que N1

= NZ '" N3

159

NT verifie I e pr inc.Ipe de domination relatif a NZ

(re sp , principe transitif de

domination par rapport aNz'

si, pour f, g E: queLconque s ,

(2.1) N1 " f $ HZ 'II: g sur supp (f) .. NT * f :;; * g sur X (I)

(resp. N1

* f N1 "g sur supp(f) NZ " f NZ

"g sur X) .

Dans ce cas. on ecrie Nt NZ (resp. N, C NZ)

• En particulier 5i, pour un noyau

de convolution N,N N > alors on die simplement que N verifie Ie principe de

dominat ion.

On dit que NT verifie Ie principe du balayage reLatif a NZ

(note desormais

N1 NZ) si. pour une mesure de Radon positive dans X a support compact et

un ouvert W relativement compact dans X que l conque s , il ex i sne une mesure de

Radon positive ).J I por te e par til telle que l' on ait :

En particulier si N"f N , alors on dit simplement que N verifie Ie principe du

balayage.

PROPOSITION 1. POW' deus: 'lIoyaux de convolution N1

i 0 et: N2

;t 0 , N1

-c N2,

N1 CN2

et: Hi N2

eont: equivdents et: l.lon a N1

-c N2

s-i. et: seuZement

si, POUl' toute aonstante a) 0 , N] + a I: -c

Voir Ie theot:eme 20 dans [9] . Donc on verra facilement La remarque suivante :

R..marque 2. Suppos ons que N11 N2 • Al.or s , pour une mesure de Radon positive jJ

dans X a support compact et un ouvert w relaeivement compact dans X quelcon-

ques, il existe une mesure de Radon positive por cee par w telle que (2.2)

et (2.3) soient verifiees et que l'on ait :

(1) On designe par supp(f) Ie support de f.

160

(Z.4) Pour une mesure de Radon positive v quelconque, NZ

v

dans X de s que NZ

:!< v a un aerrs e t queN, * V NZ

I< jJ dans I,li

Ce1a s'obtient de la meme maniere que dans la proposition 25 de [9] . On dit

que N, :I<J,J est Ie N,-potentiel balaye de NZ

:I< jJ sur 4; et que p' est uneW

mesure balayee de IJ sur w relativement 11 (N, ,NZ

) Il est evident que I'll :I< jJW

est c ro iSS<;lnt W Si NZ

est injectif(Z) alors 1" est unique. Dans Ieavec w

cas au N N , une mesure balayee de IJ sur relativement a (N.N) s'sppelle

mesure balayee relativement aN.

Une famille (Np)p)O de noyaux de convolution s'appelle une n!solvante s i ,

pour p > 0 et q) 0 queleonques,

(Z.5) N -NP q

(q - p) N * N (Equation resolvante).p q

une resolvante. Si lim N = NP P

s ' appelI e la resol vant;c a s soc ieie

Soi t N un noyau de convolution et (Np

) p ) 0

(vaguemenr ) , a I ors , en posant NO = N, (N) "> 0p p '=

aN. On sait bien qu'elle est determinee d 1 une faeon unique (cf., par Ckemple.

On dit qu'un noyau de convolution Nest regulier 5i

(2.6) n peNv E ....

Cv) {a} •

ou tv designc Ill. total i te de s voi s i.nage s c ompact S de 1 ror igine 0 e t au P (N ; Cv)

est l'adherence de (N * A ; supP(A) C Cv , N N * A} pour 1a topologie vague.

Remarque 3. Soit Nl

un noyau de convolution et NZ

un noyau de convolution regu-

lier. 5i N, < NZ et N2 f 0 , alors N, est aussi regulier.

En effet, on peut supposer que

alors il existe une famille filtrante

N, # 0 . Soit n E n peN, Cv) quelconquev V-

( V ) a droite c: lr e t une famille0. aEA

de mesures de Radon positives telle quefiltrante

et lim N. * Aa. I a.

n Cv ; (,il ,a. 0.

n (vaguement). D'apres

(2) Cela signifie que, pour une mesure de Radon reelle jJ quelconque, I' 0

des que NZ * a un sens et que NZ * 0 •

161

on a NZ * Au E: l'{N

Z; c"'a.) • et done. lim N "11 '" 0 {",aguement). Comme, pour

Ct 2 Il

f E C;{X)+

" f ;;; NZ " gque Lc.cnque , i1 cxi sre g E: GK(X) telle que N, sur X ,

on a f1 '" lim N "A '" a , d 'au n P(N ; Cv) = Iola 1 a vE"lY 1

PROPOSITION 4. Soit N un noyau de convolution, AlaI'S on Q (l) -<=> (2) .

(1) It existe Za resolvante associee d N

(2) Nest- regutiwf' ei: vepifie Le principe de domination.

Voir I e t.hao retne 3 dans [6] . Dans c a ca s , on VI)i t f ac i l amenc que, pour une mesu re

de Radon positive IJ a support compact e.t un ouver t W dans X quelconque, it

ex i ste une. mesu rc balayee de IJ sur W r e l a t i vementaN •

On note r a Jl(X) 1 'ensemble forme par t.ou n le.s noyaux de convolution auxquel s

on pcut; a s soc i e r une r e sol.vanre . Pour un noyau ,Ie convolution N' on pose

6I..(X ; N') '" {N EO 9\.(JO ; N < N'J • D'aprcs la trans Lt i vi t.e de <, on a, pour

N E $.(X ; N') queLconque , (N ) > 0 c :R(X ; N') , oup p

(N ) > 0 est la resol­p p-

vante associee a N

Relll1lrque 5,; Pour un noy au de convolution rigulier N' f 0 , :Jl(x N') est vague-

ment fer-me.

Cela resulte de La remarque 3 et; de la pro}losition 4 .

PHOPOST1'ION 6. Soit N'" 0 Ull nouau de eonuol.ub ian Y'eguZier', p > 0 un nombre

fixe et: YP

z.'operatela' de N' ) aans Zui-meme tel. que, P01Q>

N E j\.rx N') quelconque, y (R) Boit Ie p-eme element de la roesclvantep

assoaide d N. Yp est vaguement continuo

Demonstration. Supposons qu'une famille filtrante

vaguemenr ver s N E N') • On designe par

; N') converge

et par

resolvante associie a Na et celIe associee 8 N. Pour notre. conclusion, il

lim Na,p existe, car (N ) Pa: 0:, p a E ,

Pour v E: on dcsignc par

N • Soit f CK+(X)((

telle que, pour a. As E: c;(X)quelconque. Alors on peut supposer qu'il existe

suffit de montrer que lim N '" N lorsqueCl. a,p p

est vagucment borncc. Posons N' '" lim NP a a.p

E' une mesure balayee de £ sur Cv relativcmcnt aa. ,Cv

162

v v fV(x)quelccnque * f N' "g sur X , au

conque,

fC-x) • On a, pour v ( if quel-

(2.7)JrfdN * N' lim {f<IN

P n

S lim JEd eN - N "Cl. Cl. Cl.

" N :> lim ffdl'.,.. " NNCl,p a '" "',F

,C,? * Na,p + JfdNCt " " N,ev Ct,p

s JfdN ,. Nt + lim (gdN' 'I< lo' " NP a J a,cv Ct,p

::; JfdN " N' + lim )gdN t

" 1;:'P Ct a,Cv

car l'equation resolvante et Net eN' impliquent Nt pN' 'I< N • On a encorea,p

N' * £' E peN' ; Cv) , d'apres C. N' , et done (2.7) donneG,Cv v.

ct

(2.8) lim N 'I< Na a a,p N * N'

P(vaguement )

(2.9) epN + <:) ,. N c (pN + E) ,. N'p P

Ceci donne immediatement Np

N' • La demonstration est ainsi complete.p

Une famille (ut)t;<:O de mesure s de Radon positives s'appelle un semi-groupe

vaguemeut; continu s i, 0:0

o , s ;;: 0 e t

1 'application t + at

est vaguement continue. Un noyau de convolution N est,

par definition, un noyau de convolution de Hunt S1 N est, pour un semi-greupe

o vaguement continu, de Is forme

(2.10) N c [ Ur dt •

Dans ce cas, ('\\ est determine d'une f acon unique et

vaguement continu associe aN. Pesens, pour

alors

p 0 • Np

(Np) p ;;:0 est la resolvante aasoc i ee Ii N.

s'appelle I e

[ exp (-ep t )

sem i-sg r oupe

nr dt ;

Soit N un noyau de admettant Une uS8oaiee.

AlO"l"S on a (1) ..... (:'.) -. (3) ;

(J) N

N

est un noyau de convoZution de Hunt.

(3)est

(3) Cel.a signifie que, pour :t: 0 E: X quekonque, N t N " e::r:

163

I (3) N eat: injeatif.

Voi r Le coroUaire 1 de 1a proposition 4. T dans [6.] • Done s i K est un uoyau

de convolution de Hunt, alors, pour une masure de Radon positive dans X a

support compact et un Olivert W dans X, i1 y a une unique mesure balayee de

sur w re1ativeDl!?-nt a

Un noyau de convolution N est die elementaire si, pour une constante

c > 0 et une mesure de Radon positive o.N est de Ia forme

(2. T1) N dE: + L: (0)1\n) •

au (0)"1 entier,Ion

0 et, pour un n 2 quel con que , (0) =*n-l

(0) " 0 •n *0

r. t Co) )n=1 cOn!dt (d. [Z])

tao = et. pour t > 0 quelconque. at = (s +

(at) t 0 est un semi-groupe vaguemenc cont i nu et N= f: atalors

Posans

PROPOSITION 8. Soient N1

et deux Tloyaux de convolution de Iiunt., Si, pour'

v E flJY que Lconque , La meSUl'e balauee de I': SUT' Cv J>elativemen t r.1 N1

est egaZe a celZe reZativement a N2,

alops N1

= aN2 ,au a eDt une

conetante ) 0 •

Demonstration. Montrons que Nt < NZ

Comme supp (N1) 3 0 , il suffit de montrer

que, pour f,g E c;. (X) qucle:onques, NT * f :;; NZ * g sur X des que Nt * f < N2 * g

sur supp{f) Alors on peut ehoisir v E: q,Q/ tel que N1 * f NZ * g sur

supp (f) + v au supp(£) + v .. {x + y ; x E supp If ) , Y E: v} Soil: 1':' la mesureCv

dans

re1ativement a N1

(aussi abalayce de E sur Cv

X,N. l' N. * 1':'J J Cv

donne done

et supp (N. - N. * £' ) C v) J Cv

N2)

• Al o r s on a N. N *£'J j Cv

(j = T,2). La regularite de N.J

(2.12) N.J

(N. - N. *1 1

00

* (c + Eo=T

(j t ,2).

En vertu du principe de domination pour e: +

sur X ,d'au N1 < NZ . De la meme meniere, on a N2

< N1

• Par consequent, 1a

proposition 8 resulte de la proposition connue suivante :

PROPOSITION 9. Soient:

Ique H] < HZ 8/;

164

N] to et Np, to deux tioyaux de et: euppoeone

N2":": • AlaI's H

1est pI'opol'tionneZ a N

2•

Voir la demonstration de la proposition 31 dans [9) •

PROPOSlTION 10. Soit No un nogau. de convolution de Bunt: et: eait: N un noyau

de convol.utrion to. Alors on a (1) - on(1) Pour a > 0 quelconque. aN + No <No

(2) IZ exiete un noyau de convo lu tion de HuntN' te Z que

r:::.1J) N N' z: No

Dans ae DaB, N' est determine d'une unique.

Voir Ie theoreme 32 dans [9] • En regardant aussi Ie theoreme 32 dans [9J , on voit

facilemcnt la ramarque suivante

Remarque 11. Soit NO un noyau de convolution de Hunt et C (N )S 0

l'ensemble forme

par tous les qoyaux de convolution N verifiant aN+N <No 0

pour tout: a > 0 .

Alors Cs(No) est un cSne convexe vaguement ferme.

PROPOSITION 12. Soit N un noyau de convolution de Hunt et: (NpJp"

0 La I'esol-

t·f"l.JE"-t ). sur'roo; J... ([),(r;) <j r) ,

J 2 .L

ei il

;:: It (JRl ; t: <; oj vercfumt I (0,0) e t:

r+ 'N dA([) ellt aUlllli un noyau de de

) p

une cone tan te c';C 0 e tune meS147'(' posi I,-i.e{)!! II I cur JR+'/

d)\ r (p) < 00 t.el.Le a y'ue

Voir Ie theoreme 1 dans [5] et la derniere partie dans [71 •

tout element de La resolvante as&ociee 8 est de La meme

Remarque 13. Soient

et:

forme.

et (N) ;0, 0P p-

les memes que ci-dessus. Pour les memes c

165

Alors, pour q > 0 quelcouque,

(2.15) + IN dA(p) '"p q

+ IN dA' (p ) + qN )P a

Na

au c' et A' sont les memes que dans la proposition 12. Done la proposition

12 donne notre remarque.

Remarque 14. Soient N1,N2, ..• ,N

ndes noyaux de convolution de Hunt tels que

N, '" N *...* N a i t un sens , Des ignons par (N. )"'0 Is r,,-solvante as scc i e e2 n J ,p p s-

it N. (j 1,2, .•. ,0) . Alors, pour une mesure positive v dans :lRn

porteeJ

par R(1 1 1)' r.. r NI '" NZ *... * N dV(P1""'P) dcfinit un noyau, ,", J J ,P, ,P2 ((,PO 1· n 1

de convolution s i et seulement s i 1 'on a J" J max(P1,

15 ...max (Pn

' 1) d\l(p,,. ...Pn) < 00

En effet. soit f E c;(X) verifiant flo) > 0 quelconque; posons

(Z .16)

Connne lim (P1N1)

'" ••• '" (p N ) (veguement ) , on aP ->-00 P ->-rn ,P, n n'Pn1 "', n

(2.17) o < min Ill(p" •• ,Pn

) sP, , •. 'Pn

max Ijl(PI •••• Pn) < 00 •

P1• .. ·Pu

Cela mantre la remarque 14.

PROPOSITION 15. Soient Nl'N2,

••. ,Nn

des noyau:x: de oonnolut-ion de Hunt t.el:e que

(N. ) > ° La I'esolvante aS80ciee aJ,P p-

AloI'S on a :

est un ncyau de convolution de Hunt. AloI's, pour

est aussi un noyau

que Lconque ,

quelaonques, N.J ],p]

(j z: 1,2 •.•• , n)N.J

(])

de convolution de Hunt.

(2) POUI' des constantes 0] Ol: ° ,... ,on Ol: 0 et des

+SUI' JR verifiant

(j:= 1,2 •. . • ,n) queZaonquee,

(C .,A.) l' (0,0)J J

et

mesures positives

(OO !.. dA Jp) < 00J] P J

(2. ! 8)n

j:=](c ,E

J+ IN. d).. . (p))

J,P J

166

est un noyau de convolution de Hunt si et seulement si. pour des constantesn

c1

O"",cn

0 quelconques, * (c. E + N.) est un noyau de convolution dej=1 J ]

Hunt.

Demonstration. Montrons d'abord (1) • Connne N. ,; N. *...* N.J 1 J2 Jk- 1

un noyau de convolution de Hunt, la proposition 10 donne que, pour

est aussi

a > 0

que1conque, aN. + N. 11... * N. -c S. * " N. ,et dorrc a{Pk

N. + £) +Jk J 1 Jk J 1 J k Jk

N. *... * N. -< N. *...* :q. CommeJ 1 J k J 1 lit

(2.19) (N. *J 1

,; N. est un noyauJk,Pk,; ,; N.

Jk-2N.

J 1

est un noyau de convolution de Hunt, et l'on obtient aussi que

on voit, d'aprcs la proposition 10, que N. *... * N.J 1 JI<:_l

de convolution de Hunt. De 1a meme maniere, on voit que

N. "' ••• 1o N. * N. '" N. est un noyau de convolution de Hunt. Done,J 1 J k - 2 Jk - 1 , Pk - l Jk,Pk

par recurrence, on arrive a (1)

Montrons (2) . Soient c! ec (j = 1,2, ••• ,n) une constante :" ° etJ J

une mesure positive sur lR+ telles que # <0,0) , I 1 < 00 crJ J 1 P J

(2.20 ) (c. E + IN. di...(p» * (c E + IN. dA:(p) = N.J J ,p ] J J,P J J

Soient Pl > 0, ••• et Pn > 0 des nombres que1conques.n

cst un noyau de convolution de Runt, on a

Crnnmen

( '"j=l

n;I: (p. N. + E)

j=1 J J

N.), et done, d'apresJ

l a remarque 11 ,

(2.21) E + IN. E C ( N.) .j =1] J. P J 5 j =1 J

Ceei et la proposition 10 donnent immediatement (2), et la demonstration est

ainsi complete.

cst un noyau de convolution de Hunt, alors

cl

> 0,

ki/o: N.

j=1 J

est un Doyau de convolution de Hunt,

un noyau de convolution de Hunt.

n

* N.j=l J

n'est pas toujours(N. + c. c)J ]

En regardant [10J , aD voit la remarque 16, car, si pour tousn

cn

) 0, '" (N. + e. E)j=1 J J

1 'cst Russi quel que soit 0 < k S D •

Remarque 16. Dans Ie cas Dbni/o:

167

Soit N un noyau de convolution de Hunt sur X et une

famille filtrante de mesures de Radon positives dans X. Si (N * A (resp.

(iJa)uE: ti' convergc vaguement et s'D ex i st e une mesure de Radon positive A t el l e

que N '" A air un sens e t; que N '" A i:: Nit" (0. E: 11)0.

(N " lJa )a. EO") converge vaguemerit et l' on a 1 N '" )Jo.

Voir, par exemple, Ie lemme 4.1 dans [6] .

a l.or s ("0'> a E: tI (re sp ,

N It (Linr u ) •0: a

18. Soit IV un 11.oyau de de Hunt sur X et x' UTI

fious-groupe ferme de X Designons par £CX 'Za mesure balauee de 10 sur

ex' reZativement a N Si N{X' ) > 0 alops N iF N kECX' N :0: N £CX'. ,

et "'ex' i:: Nx' k au NX' = N SUI' X' et NX' = 0 dans ex' et,

Demonstration. Soit w un ouvert relativement compact dans X verifiant w c ex'

de E sur W relativement aN. Comme supp(Nx' '" c ex'

on a NX' * s'ex' Nex• dans X D' a pr e s I'injeetivite de N.

On a alors NX' '" N * NCX' dans ex' , ou est 1a mesure balayee

et lim S'wt ex' li.1

on a N I- N '"

, .

ct l'on a evidemrnent N N *

Dans cc cas, on a

• d'oG Ia proposition lB.

(2.22) N - (N *

a dans CX' • car

(2.23) N * (10 - [ex')

N un noyau de aonvoZuticn de Hunt. AlaI'S. que N

I 80it elementaire, it faut et it 8uffit que N({O}) > 0 .

Cela resulte immediatcment de 1a proposition 18.

D'autrc part on a la proposition suivante :

PROPOSITION 20. Soient N un nouau de convolution sur X ver'ifiant Pi -< N et:

I X' un eoue-qnoupe ferme de X. Si N{X') = 0, alorn, pour x E: X que Loonque ,

168

I N({x} + X') z: 0 ,ou LX} + X I z: (x + y y Ex') •

Demonstration. Supposons qu'il exisce x X tel que N({x} + X') > 0 • Alors i1

existe un compact K C X' tel que N(h} + K) > 0 . Soit (Wa ) C1 E !\. une famille

filcrante a gauche d'ouverts relativement compacts dans X telle que

n ill {xl + K • OnaEA C1

tivement aN. Alors on a

par la mesure balayee de E sur wCl.

rEola-

(2.24) N * + K) N(h} ... K) > 0 •

Comme N f 0 , e st; vaguement bornee , et done on peu t suppose r qu'clle

converge vaguement vers £' • Comme lim N * = N * E' (vaguemenBon aCl.

N * c'({x} + K) > 0 • Posons A E' * E alors supp(A) eKe X' et-x

N * A(K) > a . cela est en contradiction avec N(X') = 0 . La demonstration

est ainsi complete.

3. Montrons notre premier theoreme. qui a ete deja introduit dans Ie paragraphe ,.

THEORF:ME 21. SoU N un noyau de convolution elementaipe suP mn . Alors il

esriete uno de noyaux de oonvolution elementaires telle

que IIr/CR0) 0 et u o E: s N'J' Dans oe cas. pour a Sn que Lconque ,n

No est la muttiptioubicn par une oonstante.

Nimonstration. On note w1

{x

m 1, WZ,m [x = (x1,

••• ,xn)

; x, > O} et, pour un entier

w2,m

N • De la

A'm

A et par

relativement a

On dcsigne par

et celie sur

n= (xl"" ,xn) E: JR

xI < ;} n C{O} •

surla mesure balayee de

meme que dans la proposition 18 on a

0.1) et s N dans X,W2 ,m

00 N = N dans (1)1 et Nw,La proposition 18 donne encore

o sur Cw1et au Nw est analogue,

2,m

(3.2) N({O}) - N * '\({O}) > 0 et N({O}) - N * ).'({O}) > 0 .m

169

COlllll1e {M"'A')""m m=t est decroissante. 1a remarque 17 montre que (A' }oom m"'l

conver-

ge vaguement vers la limite A,' lorsque m 00 et que lim N :II = N '" A' .mm+<»

On a done

(3.3) M({O}) > N'" ,,'({a}) et NCW

nc{o}<:N({O}) A' •1

aU Is notation NCW 1 (1 clo)E O,,/m

m-l

est la meme que ci-desslis. D'apres (3.2) et (3.3) •

ont un sens et

""(3.4) N = (N - N • ,,) '" (£ + r (A)·m

IIl"'l(N - N '" :II (£ + I (A')"'m

m=l

COlllIl1e supp(N - N '" A) II supp(X') C CW1

• on a

(3.5) M:II (E - A) * (£ - A') .. 0 dans w1

D'apre.s (J.n. A(CW,) = 0 • On a encore (N - N '" A') (C(w1

U

lim (N - N '" (C(w, u .. 0 • Donem-'>OO

(3.6) N'" (£ - Xl '" (£ - l')(C(w, U - 0 •

Ayant (N - N '" A') '" A({O}) "' a • On arrive a

(3.7) N '" (£ - J,,) * (£ - A') - (N({a}) - N '" £ •

IX> :It

Pasons N(,) - a{E + E (A) m) etrn=l

sont deux constantes > 0 verifiant

'"N' =b (c + E 0,')*m) • ou a e c b

(-1) m=l

a.b - N({O}) - N * A' ({o}) • Soi t v La

sens ,

S un sens et que

= lim ; alorsm+<» 00 *m

E (v') a unm=l

E sur {x - (xl"" '''n) ; x, < oj reLar.Iveme:nt a NI (-1)

1{x (x, •..••xn);

xl> -iii} relativment 11 NC-

D(m = 1,2, ... )'

00

converge vaguement lorsque m w • Pasens(\I' )m m-l

v'({O}) - 0 • supp(v')

On a encore NC_')({O}) > NC- 1) t v'({O}) et

mcsure balayee de

et celIe surm

Alora, de Is meme faGon que ci-dessus, on voit que

170

sont deux constantes N' * \J'({O})H)NC- O ({O})

Posons N = dE; +(-1) L

m=1> 0

et

verifiant

Il eo)c.d

d(e +*m

(\J' )ou et d

hIoTs et: sont trois noyauK de convolution elementaires

verifiant

et, pour t,-l,O,

signe xl j} U {oJ)) Q .

En faisaut la meme discussion pour

des noyaux de convolution elementaires N(j,k)

et N(O) • on voit qu'il existo

1,-1,0 • k 1,-1,0) tel s

que N(. k)J,so i t porte par j , s i.gne x

2=kl U {ol

et que

Done on voi t , par recurrence, l' existence d ' une famille (No) 0 E: S de noyauxn

de convolution elementaire veriiiaut les proprietes cherchees.

MontTons l'uuicite de N (0 E S) excepte In multiplication par unea n

estco '"N': = c",(E: + l: (a') n) ,ou c" " (J [}

mesure positive dans lRil vcrifiant

une autre famille v,,-rifiaut toutes les conditions

est unact'o

et

a E Sn

N' est de la formeo

> 0

constante. Soit

demandees. Alors

une constante

a' «eR ) U {ol) = 0 . Posons, pour j ',-',0 ,o 0

Pour j = l,-',Cl! est une mCsure reelle portee par {xJ

e t N * = N dans cet en serebl.e ouve r t , Dta-pres Le pr i nc i pe de domi na t i on pourJ

N,aj est la mesurc balayee de E: sur {x (x1 •••• ,x n) ; signc Xu jl relati-

vement aN. Ceci montre que, pour

P'apres I tinjectivite do N(j) (j

1.-1.N(j) est proportionncl a

1,-1).N(O) est aussi pr.oportionnel a

171

Done 00 voit, par recurrence, que, pour 0 E So quulconque, est proportionnel

a No. La demonstration est ainsi

Remarquous que, pour un noyau de convolution de Hunt N et une constante

c > 0 • N + oE: est un noyall de convolution elementaire.

TfiEOREMf, 22. Soit N un noyau de de Hunt SUT En . it 6xiste

de de convolution de Huni telle que

pOUl'

c>O,oupoup toute constante

eQt une famille obtenue dans le theoreme 21

"oE Sn

+ eO o) oE Sn

un6 f'ami l/le (Pioj o E Sn

No' (N + esJ o <No

UN

lv' =

Demonstration. Pour un entier ill 1 , on designe par (N ) la resolvantem,p p?O

assac.ie.e Ii N1

Alors N au s s i de convolution elementaire.+-E est un ooyaum m,p

La famille de noyaux de convolution elementalre obtenue dansSait (N ) Eill,P,O 0 Sn

Ie theoreme 21 pour Nm,p

Pour k > ill <: quelconques, on a

0.13) eN .. .! E:) = eN .. .! E:) * N )k m k - m . k,klll!(k-m)

De in memo maniere que dans Ie theoremc 21. on a. pour a E: Sn

quelconque

0.14) Uk (N + 1 s) * N,ID, m 0 k,km/(k-m} ,0

au <lk,m,O est une constante > 0 Ceei montre que

(3.15) (N 1E:)a -< eN .. .! £)+-

m k C

Soit f l' 0 E c;(Rn) quelconque fixee. Pour o E: S et mn

choisit une constante am,a > 0 tel1e que

(3.16) max am,.c (N + .! c) ;, f(x) = 1x E: supp (f) m c:

quelconque on

N'oPosons

(3.16), oj 0

vagucmcnt lorsque

Comme (N + .! e) . -< N + .! E -< N, (a (N + 1 c) ) 1 est vaguement bornee. OnmOm m,a m 0 m-

peut gupposer que, pour a E: S que1conque, (a (N +.! £)0)00 1 convergen m.o ill 1ll=

lim a (N + 1 s) (0 E S ) . D'apresm"')oOO m,a man

De la meme manierc que dans (3.15), on a, pour tout c > 0 ,

(N + cc) . -c N'o a Evidemmcnt, pour a Sn quelconque, satisfait au principe

de domination. Comme

172

Nt < N N' 8&t regu1ier (voir 1a remarque 3), et done ilo ' CI

exi.st.a la resolvanta (Ne' ) :? 0 associee aN',p p - o

1a (esolvante associee a a (N + .1. e) Gommem,O m o

proposition 6 montre que. pour p 0 queleonque,

(0 E: Sn) • Soit «Nm.dp)p

a (N + ! E) -c N • Lam, o ro a

(3.17) lim (N ,)m, p

N'a,p (vaguement ) .

Soit p > a quelconque. Comme, pour tout m , , N pN It (N )m,a p

N est

regulier, (3.17) et la remarque 17 donnent

(3.18) lim N "m+=

(N )m,o p N * N'a.P

(vaguement ) •

que, pour m 1

et o E: S queIconquas , Alar!! il ex i st.en

1 " vque l conque , a (N + - E) * g N * h

lll,a m a

h E C; CRn) telle

sur JRn • Done on It,

(N + l c) I< g(-x» deN ) (x )a me· m,1: p

fgdN' It N'a T.p

pour , E Sn

(3.19)

quelconque.

lim fgd(a (N + .1. E) ) * (N )_ m,a mOm,' P

lim Jgd(a (N + ! E) ) * (N ) TIm IN " he-x)m- m,O III a m, T p _

. f( v(' N I< h -x) -_J

s j'g<lN:, * N'u T,p

deN ) (x)m.T p

et done

0.20)

Posons

1 im a (K + 1 c;) )_ m,O m 0 m,l: p N' * N 'a 1,p

(vaguement ) •

0.21) M(TESP.'11- 0 a

rn,C "ianAlors M -<N et (M )'"

ill,a m-'

(N + 1 <.:) )ill T

est vaguement bornee. On peut supposer done que

(vaguement). De In maniere que ci-dessus, on a pour

converge aussi larsquc m ro • Pasans M = lim M "o nr'"'" m,"

p > a quelconque,

(J.22) N I< (c; - pN' )0,1'

lim N " (l - peN »rn:-t"" "',0 P

1 im M * eN )_ m,O m," p * N'0,1"

173

En faisant p +0 , on arrive a l'egalire

Ceci implique Mo 1 0 , am,T(N

Soit L; a • Pour f e: c;ORn)

a eN"" ,!. E) >\ f :> M I< gm.T m T m,o

+ ,!. E) -< M ,N' -c. Me (m > 1,2, ... ; 1 of 0).m l m,O" -....

quelconque, il existe g"e: relIc que

sur lRn

(m - 1,2, ... ) et I< f ::ii Mo

'" g sur

x . Done. en faisant p + 0 dans (3.20). on a

(3.24) lim a a (N + ,!. £) '" (N + ,!. E)IIr"'" m,O m, T mOm T

(1 'I 0) •

Par recurrence, on obtient que

C1.25) lim ( IT a ) ( '" (N + .l. E) ) '" N'IIr"'" oES m,e oES m 0 a S 0

n n n

On obt i ant; aus s i, que ( II a )'" converge lorgque m"'''' Par consequent,oES ID,er m-1

npour chaque a E: s , on peut choisir un noyau de convolution No propart ionnel

n

a verifiant '" No - N Comma No est non-periodique, No est un noyaueE:s

nde convolution de Hunt ct. pour une constante c > 0 quelconque, (N + CE)a -< No

soit une familIa verifiant les proprietes de l'enonce, i1

on voit que, pour

Pour que (Ne)aESn

suffit de monrrar que, pour

existe une suite (b )'"m,O m-l

(vaguement), D'apres (3,25),

c E: Sn

des nombres > 0

Pour 0 E S , iln

te11e que No lim b (N + 1 c)m.O m a

un sous-ensemh1e E de Sn quel-

conque,

(3,26) lim '" (b (N +.1. E) ) #< N

m-- oE:E m.O m 0 aEE a

Posons E. {('n-; .j) E: s }J n

O,27l M '" (b (N +.!. El (J) at M. '" N (j 1.-1,O)m.i aEEj

m,O m J oEE. 0

J

Comme M . est uu noyau de convolution elementaire (voir Ie theoreme 21).(3.26),m.]

M. 1 0 M. -< N mont rent que M. est un noyau de convolution de Hunt. MontronsJ J J

que. pour j - 1,-1,0,

174

0.28) M.(C (xl •••• ,x)J n

signe xn

j) n c{a}) ., 0 •

Evidemment on peut supposer que j 0 . supposons que. pour

pas lieu. Soit Ill. mesure balayee de E sur C {x

sur {x (xi.··· .xn)x > o}n

E sur {x = (x1·····xn) x » O}n

dans En (m .. i .2 •.•• ) et.Comme N * E' N * E T

m

par rapport Ii N. Soit Ill. mesure balayee de

relativement Ii N +m

relativement Ii M1 • Alors. d'apres Ill. proposition 18, M1 f M1 * E' • Done

a un sensa Evidemment E' est portee par {x (x1•...• xn); xn O} .

k=lOn voit aussi que E T est la mesure balayee de E

pour tout point vaguement adherent de dans

* f $ N * g (m!II

1.2•.•• ) • et done. par recurrence.

{x = (x1•••• ,xn) ; xn > o}

ment). Pour un entier k

telle que

on a

et

lim E' = f':T_mf E: C;ORn

)

et lim N * N E' (vague-

- 0\- nqueleonques. il existe g E CKOR )

0.29)

Comme lim N * = 0k-..ro

et

(k., 1,2 •••• ) •

0.30) lim {r. + 1:lfl'l"O> k=l

(E,)*k •

on arrive Ii» O}xn

j = -1, (3.28) a anssi lieu. Pasons

E + 1: (E,/kk=l

est portee par

H, est proportionnel a{oJ • Par consequent, E'est: portee par

Comme E (E·)*k est aussi portee par {x .. (x 1•...• xn'k=l

une contradiction. De Ill. maniere, pour

CeCl donne que

(3.3l) (* No' (C {xO'EE

j k

En effet, de la maniere que ci-dessus,

i,xn = k} n C{O}) o .

k f o.x = k} n cia}) > 0 • Alorsn

N) (c [x

(* No) (C {x (x1••.• ,xn) ; xn_1 - j} n c{o}) - 0 •

OEE jk

( '"ot:Ejk

0.32)

supposons que

175

Soient et c" Le s mesures balayees de E sur {x = (Xl'··· ,xu) ; k}

relativement a * b eN +1 ) et am,O IlL ao E jk

maniere que dans (3.19), on voit que

* No ' respectivement. De la memeaEE j k

0.33) lim EU " et lim * b (N + 1 1:':) * If ;;,; * N * e" .m m, o m 0 m allt+<" -oEEj k

Comme N * " S N * E.' et N * e" N * ' dans X , on voit.:t de la meme manierem m

que dans (3.30) ,

co(£,,)*k) (£n)*k0.34) lim (E + E E + 1:

k=lm

k=lm->=

De 1a meme faeon que

R ; alars on voit que[J

(3.31) a lieu. Par recur-

UOEE'k1 J

b (N + - c)m,o m a*

est porte parb (N + 1. c)m,o m (J

oEEj kest proportionnel a

aEEj kM, , on arrive a une contradiction. Par consequent,

Ek=l

I:': +

pour

Remarquons que

, on a< N'ac > 0 • (N +

est unique excepte 1a multiplication par(NO) oE Sn

une autre fami11e quelconque verifiant toutes lesSn

Comme, pour une constante

renee. on voit que, pour 0 E Sn quelconque. NoCCRa) =0 . On remarque iei que

n-1No peut erre considere cOmme un noyau de convolution de Hunt sur maEEO

Montrons fina1ement que

une constante. Soit

conditions demandees.

supp(N ) U supp(N') c R , i1 existe une mesurea 0 a

Po = • Done pour une con stante

• Alars

eN. La(J 0

N'(J

d'oU N'(J

N(J

telle queRa

NO < No' • D'apres N < N' eto B 0

positive JJa

dans nt por t ee par

'"o sdem8nstration est ainsi complete.

Question 23. Est-ce que l'unicire de No (0 E so) excepte la multiplica­

tion par une constante a lieu sans la condition (1.4) ?

n'est pas toujoursN0-*ait un sen s , Alors

une famil1e de noyaux de convolution de Hunt telle

'"et

Remarque 24. Soit

queaES

nun noyau de convolution de Hunt.

4. NOllS allons donner une condition explicite pour qu'un noyau de convolution

sur :JR; soit un noyau de convolution de Hunt.

176

On dit qu'une mesure positive dans (0,00) est logarithmiquemcnt convexe

5i k(t) dt et k est > 0 at logarithmiquement convexe ou bien k(t) a

dans (0,00). Dans cc cas, k est finie et continue dans (o,ro).

RemarqIJe 25. (voir [1]). La t ot.a l i t e des tne su re s positives e t Logar i thmiquement;

eonvexes dans (0,00) est un cOne convexe.

Soient et +f eo s«0,«» avac quelconques. La

remarque 2S donne que, pour une mesure positive et logarirhmiquement eonvcxe

dans (0,00), (Jf( t + to - s) du (s ) dtest logari thmiqueroent corrve'xe ,

THEORElifE 26. Soit N un noyoll. de oor>ne sur JRl ,K] 'to restriction

au sens des distributions dans (0,00) et

de 1I Ii e t: soil. La mesure dans (0,00) Gymetrique

.1,2) et. NO est un noyau de aonool.ution de Hunt.

convexe

o (j

(j = 1,2) , alops , oil. c.J

est une constante

Nous donnons d'abord les lemmes et 1a proposition suivante.

LEMME 2? SoU f une fonction > 0 , f7:nie e t COi"! tinue dane (0, m) ver'ifum t

0 et oopelienne danG (0,"')' Si11m f(t; < 00 et g une fonctiont->=fest logarithmiquement convexe et <p(t) est decpoissante au sens

alaI'S, pour une mesvye positive # I 0 dans [0,00) V6pifiant

ffrt + $) < m pour tout t > 0 La

(4.1 )

de test aussi dicroissante au sens dans (0,00).

Demonstration. On peut supposer que est a support compact. En eonsiderant une

convolution de g et d'une fonetion de +S< (Q .m) , on peut; supp oser que g est

aussi fiuie ct continue. On voit que fer) est dccroissante au sens large et,

pour tout f(t+a) .a > 0, est crOLssante au sens large. Soient 0 < t

1< t

2

177

qua l conqua s , Alors on a

Jg(tz + g) dj,l{s) JUtz + s)t,p(tz + s) dp (s)(4.2)

Jg{t, + s)d" (s) Jfet l+ &)t,p{t

1+ s)dJJ(s)

[fet2 + SW(tz + s)d,,{s) 1£(t2+ s) dj.l(s)

s sIf(t

l+ s)t,p(tz + s)dj.J{s) If{t l

+ s)d,,{s)

{g{t) + s)dj,l(s) > 0 • Si {g(t) + s)dj,l(s) 0 , alors on a aussi

s)dj,l(s) 0 . Par consequent, le lemme 27 est demontre.

Posons, pour p 0

sur

(4.3) >.p (

0

, \) =

P exp(pt)dt daus

(O,"')

(-=,0)

Alors ;\. e c \I sont. des noyaux de c.onvolution de Hunt sur JR1

• Comme. au sensP p

d ddes distributions, (- - P){dt - q)(Ap * Vq) E • Ap '" Vq est un noyau de con-

volution de Hunt des que (p,q) f (O.O) , On remarque encore que, pour p > 0

quelconque,

(4.4) Ie + vP P

exp("lt])dt=.!.->. ltv2p P P

Les deux lemmes suivants sont bien connus.

LEMME 28. (voir la proposition 10 at Boit K un noyau de convolution borne

8Ul" JRl porte pap (0, co) • Si K est un noyau de. aonvolution de. Hunt

(reap. 0 au sens des distributions dans (0,00)). alors it existe

de [aeon. unique un noga« de aonvoZution K 1 sur JRl porte par [0,00)

verifiant 0 au sena dee diBtributions dans (0,00) (resp_ un noqau.

de convolu tion de Bunt K' pOl'i;;e pal' [0,00)) tel que K" K lAO

LEMME 29. (voir auee i la ppopoBition 10 et: [51) _ Soient N ei: lV' deux nouaux

de convolution SU!' JRl et SuppOBOUB que IV N' = A v , ou p 0 ,p q

q :i:. 0 avec (p,q) i . AZors, pour que IV eo-it: un noyau de cOIl1)olu-

d dtion de Hunt, il faut et: il suffit que (dt + p)((Jt - q)N' ;: 0 au Bens des

distributions en dekops de o.

176

LEMME SoU K t 0 1.tl'i. noyau de 0011VO lut: iOIl 8U1' JRl por-te paZ' fo, 00) Si to

Peotpiotion de K d (C,oo) est Zogarithmiquement oonvexe, aZops K eat un

noyau de oonvolution de Hunt.

Dans Ie cas au K est borne, ceci est bien canou (voir [3] et [4]). Mantrans Ie

lernme 30. On peut suppaser que K - k(t)dt dans (0,00) et K - 0 sur •

au k est > 0 • fiuie et continue dans (0,00) avec lim k(t) < 00 II suffitt->-O

de montrer l'existence de la resalvante associee a K Pour cela, i1 suffit de

mon t r ar que, pour un nombre p < 0 et un ent i.e r n 2 queLc onques , il ex i ste

existe uoe fonc-

t el.l e que

une fanction f 0 , bornee Lebesgue mesurable et portee parp,n

k I< f + .! f :; k p. p , dans lR1 e t k I< f + .! f - kp,n p p,n p,n p p,n

D'aprcs Ie theareme d'existence (cf. Ie theoreme 1 dans [8]) , il

tion f > 0 , bornee, Lebesgue mesurable et portee par [-n',nJp,n

[.! n]I)'

p.p. sur

telle que

[.!,n] .n

k * f,

f ?: k [.! ul+- p.p. sur etp,n p p,n n'hEFT ; f (x) > O} COIlttn k * fp,n p,n

sur supp (f dt )p,n

k p.p. sur

est finie et continue, k I< f kp,n

La fonetion k etant logarithmiquement convexe, k * f (t)lk(t)p,n

est decroissante au sens large dans

1sur lR • Ce I a donne que

,n

n C supp(f dt), et done k * f kp,n p,n

verifie les conditions cherchees.

LEMME Soil. K .:0 E + i: (0.) *n un nouau. de convolution et borne

lliln=1

fdK z: coour' parte pap [ 0,00) et vepifiant Suppo60ns que CI. est

poriee par (0,00) et logarithmiquement aonvexe. Pour t 0 quelconque,

on note 2 t La mesure balayee de E sUr' t t ,») rel.at.ioement: a IC.

> 0 , finie, continue et Jogarithmi-

Demonstration. On remarque d1abord que, pour tout

et que

poz-tee pa Y'

et que l'appli-

(0.) *n

- 1

Lebesgue. Evidemment

t00

1:n."'1

mesure de

t.el.Le que= Joe dat

dans

o , il existe une mesure positive

a;:; rE , d;.< (8)J $ t

Alora, pour tout t

cation [0,00) 3 t + est vaguement continue, car

v (a)*nL est absolument continue par rapport a la

n-1Ida - 1 • Posons a - k(t) dt . Alars k est

179

quement convexe dans (0,00) • Evidemment 1:'t est portee par etl'ona

(4,6) ('t

«K - K * * k) dt dans (t,OO) •

Pour t > 0 et un entier n 2 quelcenques, on pose

(4.7) b (E)t,n

- K '" 1:') * k(s +..!.)t n

si

si

s (""',t)

s E [t,oo)

Al o r s bestt,n

b (g) /k(s +..!.}t,n n

> 0 finie et continue cemme fanction sur [t,oo) et In fonction

est decroiEsante au sens large sur [t,oo) , On voit aussi que

I' application t -s. b d st,n

est vaguement continue. Soient t > 0 et deux entiers

n 2. m 2 quelconques fixes, Designons par F l'ensemble des nombres s tel

que g > et qu'il exisre une mesur a Ss porte e par it,s] or verifiant

(4,8) m-l1. (u + 1.) fb (u ) es (v) k(u + ..!.) pour tout U E: (t,g)m n vton S n

Dans cc cas, fb v •u (u) dB/v) <; k (u + ..!.) pour tout uE (0,00) • On a evidcmmentn

F i 'J ' Pour s E F et t < Sf < S que l.c onque s , on a s ' E F , car

fS '

(4.9) m-lk(u +..!.) b (u) dB (v) k(u + 1)m n t v.n s n

pour toul u E (t.s'),

E F • 8iso

tel que, pour

k(u + 1.) • d'oll unen

dS (v)s,0

+ n) • on choiEit une constante

Alors on voit facilement queso

Supposons que sup s <sET

fb (s) dS {w) > mm- l j, ( so + -nl

) , aloes i.l existeV,n 0 So

u E (t,sl) quelconque, (u + ..!.) ;;; {b (u)

contradiction. 5i Jb (s) dB ;v)v.n 0 se m 0

a > 0 tel que

(4.10) (b (g)J v.n 0

De la meme maniere que ci-dessus, il existe sl > So tel que 8, E F , d'Oll une

contradiction, Ainsi sup s = oc Par consequent, i1 existc une mesurc positivesEF

portee par telle que

(4.11) pour tout u E: Ct,ro) •

180

fonctions finies et continues de t sur

En faisant m + et ensuite n + , on

par [t,"') et verifiant(4.5) • En meme

on remarque que, pour toute+ 1

fECKOR) ,

voit qu'il existe une mesure portee

t !!if's, on a IdJJt[ do: • Dans ce cas,

la suite (JEd K * (bt

1 det,n n=

lo.oo) converge uniformement vers

sur tout compact lorsque n t d'apres Ie theoreme de Dini.

LEMME 32. Soi.t: K un noyau de aonvolution de Hunt Bla' porte pap [0,"') .

I sc, pour un nombre p) 0 , K -c Ap " vp' alore K -< Ap

Demonstration. Soi r (Kq) q <: a La resolvante as soc.i.ee a

et (A * v ) * (q K ) A * v . D'apres (4.4) • on ap p q p p

donne K * 1 E -< A . en faisant q + , on arrive aq p

K • Alors

A >11 (qK )P q

K-<AP

8Upp(K ) C [0,00)q

:;; A • Cecip

PROPOSITION 33. Bait N:I 0 un noyau de convolution bovne SU!' JRl et: sc-ient:

(0 ....)aanvexe dans

:;; 0 au sens des dist."i-

lim N ffx) fit f(--:r.J

Ill+<» 1alors eeiete deux noyau:r: de convoLution de Bunt N+ "It N su" JR tel-8

que N N+ II N_ , 8U[Jp(N+) C et 8U[Jp(Nj C (-ro,OJ.

K1, leB que dans le theoreme 26. Si

butions dans rO. m ) , - Kj

eat Lagapithmiquement

(j 1,2) et a'it exiRte f:l 0 telle que

Demonstration. Comme - K est Logari thmi.queraent. convexe er , pour f E 1) •dt:

2j f{

lim {-: K.} '* Ux) < .... K. 0 au sens des distributions dans CO,"")X-"= t J dt J

(j 1,2) • Posons. pour p > 0 •

(4.12) dN(p) exp(-pltl) dN(t) (designe par N(P) = exp(-pltl)N) •

Alors, au sens des distributions,

d2

d dans (0 ,ro)d

2 ("'<-")-'-T' -2pexp(-pt)jt

(4.13) (-2- pl)N(P) dt

dt d2

d ( ........ O)exP{pt)-2 N + 2pexp(pt)jt dansdt

et done - p2}N(P) 0 au sens des distributionB eD dehors de 0 • En utili-

sanl: la proposition 10 et Ie Ierome 29, on voit qu'il existe un noyau de convolution

de Runt N(p) • sur lR! tel que

181

(voir aussi [91) . Dtapres Ie theoreme 22, il existe deux noyaux de convolution

de Hunt N{P)' et N(P)' teis que+ -

( )'suppeN P ) U sUPP(A ) C [0."") • il existe un Doyau de

+ p

( ) 1

e t supp(N_P ) c (-"".oJ • D'apres (4.14).

Dtapres Ie lemrne 32. on a N(P)t -< A et+ p

il existe un noyau de convolution N(P) tel que(-.oJ

N(P) * N(P)' =A • De Ia meme maniere.+ + P

porte par

tel queporte par

et

c; [0,"")

et N(P)' -< A * v- p p

Comme N(P)'-<A+ B P

convolution M(P)+

D'apres l'injectivite de • On a

et decroissante au sens large dans

(p) (p ) ,• (exp(-pt)N_ ) * (exp(-pt)N_ )

sont des noyaux de convolution de Hunt.

sont barnes et Ie lemme 28 donne que. au sens des

est une fonction finie, continue etou k .J

dans <0.00)

(0,00) et 0 dans

(-00,0) • Par consequent. au sens des distributions, (- dd - P)N(P) 0 danst +

(0) (.'!.. + p)N(P) ... 0 d (0) C d l' h • t."" et s, ans -00, . omme - - K. est ogarl-t m1.quemencit - 2. dt J

convexe, on peut ecrire - i- K = k,(t) dt et K. d.(t)dt (j - 1,2),dt j J dt J J

logarithmiquement convexe au bien k , - 0J

Comme (exp(pt)N(P» * (exP(pt)N(P)') - AO+ +

et exp(pt)N(P)' • exp(-Pt)N(P)'+ -

( )' ( )'exp(pt)N P et exp(-pt)N p+ -

distributions, - dd (exp(Pt)N(P» 0 danst +

et d. est une foncticn 0J

(0,"") . D'apres (4.16), on a

exP(Pt)N(P) * «- - p)N(P» dans (0,00)+ dt -

et

(4.18) K1

exp(pt)«- i- - P)N(P» * «_ i- - P)N(P»)dt' dt + dt-

dans (0,,,,)

Comme

(4.19) (-!... - P)N(P) * ip)tdt -

182

on a

(4.20)

et

aU i(p)' est 1a mesure positive sur [0,00) sym trique avec N(P)' par rapport

(0."') •dans

est logarithmiquement

= 0(0,"') , alorsdans

SupP050ns que kf

0 • Alors k1

> 0 dans (0,00) et l'on peutd ,k: est une fonction decroissante au sens large dans (0,00). En

1lemme 27, (4.20) at (4.21), on voit que

a l'origine.

supposer que

utH isant Ie

convexe dans

D'apres Ie lemme 30. N(P) est un noyau de convolution de Hunt. De Is meme maniere+

que ci-dessus. N(P) est aussi un noyau de convolution de Hunt. Comme

a > 0 telm

.. a NO1m)m

Nm.-

et.. .L N(1 1m)a +

mque dans Ie

Posons

f(-x) 0 et. au sens des distributions. _ dN > 0 dans (0,"')dt -

(-"".0)+ 1

quelconque. lim N .. g(x) .. 0, on a, pour g E: CKOR )X""'" + 1

g(-x) = 0 . Done, on peut supposer que, pour toute gEScOR).

o . Pour un entier m 1 , on choisit une constante

a N(1/m) * f(x) .. 1m-

N N(t/m) • De La meme manierem,-

au bien lim N 1<

X--lim N * g(x)x+""

lim N :It f(x)N 1<

X-- dNet dt;:: 0 dans

que supxEsupp(f)

!lors N ..m,+

est vaguement bornee et toute mesure vaguement adherente est non nulle. Done

(Nm,+):=l

(N )""m,+ m=t

Alors N+

est aussi vaguement bornee. On peut supposer que (N etm.-

convergent vaguement. Po son s N = lim N et N+ lim Nm,,- In,-+-

.. N S N • Comme N_ 0 , N_ est un noyau de convolution de Hunt, car

N -c N Soient (N ) > 0 et (N) > 0 la rl:lsolvante associee a N e tm,pp_ pp_ m,-

f E C;OR1

) , il existe

S N(1 /m) * g s N * gm

N_, respectivement. Comme. pour toute

quelconque. Nm

_ 1< f,g • on vait, de la meme facon que dans la proposition 6, que,

telle que. pour

Nel:

celle associee a

pour tout p > 0 ,

(4.22) limNl1't'""" m,p

NP

(vaguemant ) .

183

En eHet, soit (' la mesure balayee dero,k

( sur ("""',-k) par rapport a

Nm _ (m 1,2, •• ; k ',2, .. ) . Alors fdE' 1 , et done, m,k

lim lim JgdN .. E' k = lim lim fN '" gd(' =0 ,car lim N '" g(x)k"""" nr><" ill, k-+= n:r>= . m, k x:+ _ '"

meme on a, pour tout p) 0 ,

o . De la

Par consequent,car

(4.23) limn:r>=

p fdNm,p

1'I .. Nm,p

N .. NP

et lim N1lf'<" m,+

.. Nm,p

(vaguement )

(4.24) N .. N+

'" (r; - pN )P

lim N '" Nn:r>= m,+ m,pN * (E:. - pN ) •

p

En faisant p 0 f on arrive a N * N+N • Ainsi N+ 0 , et done est

aussi un noyau de convolution de Hunt. La demonstration est ainsi complete.

sont logarithmiquement convexcs et decroissantes au sens large dans

k.J

et

(O,co) ,

d-d k.

t J

(0,"")

0 , floie

est une fonctionk.J

k. 0J

lim k , (x) k z(x) = 0,x-"<'"

= 0 • Evidemment on peut

est borne, on a

k. dt, ouJ

possede une denslte

N

K.J

est logarithrniquement convexe daos

co ,00) • Con:rne

d2

dt2 Kj

peut ecrire, on

dans

(0,00) • Done il suffit de mootrer que, dans Ie cas ou

est un noyau de convolution de Hunt au bien N

d2

N 1- 0 • Conme --2 k.dt J

est decroissante au sens large et Ie lemme 27 donne que

c t continue (j 1,2)

0 et de classe C2

dans

N

Demonstration du theoreme 26. Comme

supposer que

d2-kdt2 j

(j = 1,2) . D'apres Ie Lemme 3D, on peut supposer que k1

0 et k2 1- 0 .

En utilisant la proposition 33, il ex i s t a deux noyaux de convolution de Hunt

N et N+

sur JR1

tels que N+ * N = N , suppeN) C [0,"') et

supp(N_) c . Done il suffit de montrer que N < N , car, si e'cst vrai,

alars, pour deux cntiers m) n ) 1 quelconques,

(4.25) N * N + N * N * E' N *+ +,n + -"n ....m"n1dans JR •

ou s ' r..'+,n" -In

et sont les mcsures balayees de sur (n,oo) relativ,,-

ment a N+, celIe de sur (- "",- n) a N et celle de f sur

(m,n) U (- m,- n) r el a t i vemenr; a :'I. e t done on arrive a La regularite de K.

Rappel cus que La total i te des noyaux de convolution verifien t l e pr i nc i pe

de domination est vaguement fermee. En utilisant La remarque 25,

184

on peut supposcr que N({O}) 0 et k.J

est bornee et de classe

ccC dans (0,"") (j 1,2) , car, pour t ) 0 et une fonction (J) 0

ode

dans (0,"") verifient la meme condition+ t - s) ;Pes) ds deo

t

quelconques les fonctions (t + t s)!p{s) dso

que pour k, "t k2, au ;p( a) !p(-s) . Comm" , pour tout p ) 0 , exp(-p I tl)N

verifi" l a mem" condition que pour N (voir la remarque 25) , On peut suppos"r

encore que fdN < "" • Dna fdN+ < "t fdN_ < 00 • Soient N' et NT deux+

noysux de convolution verifiant supp(N:) C [0,=) , C (-oo,oJ ,v

N N' '" A et N * N' A+ + a 0

Al d d i ibut i d N' ... 0ors, au sens es lstrl utlons,- dt +

dans (O,"") et 2- N' 0dt - dans (-00,0) (voir Ie Ierome 28). D" la mem" manier"

que dans Is proposition 33, On a

(4.25) N+

([ - 2- k (t + s) dN_'(S) ds) dt dansdt ,o

(0,=) ,

(4.27) - N+ '" (f"" d\k, (t - s) dN'(s)dt dans (0,"") .a dt

de convolution de Hunt. De Ia meme maniere, Ies restrictions d"

Done Ies restrictions de

et d"

"st un noyau

d v- dt N_

sont logarithmiquement

dans

sur

?; 0

2-Ndt +

- 2- Ndt +

et de

Comme

N+

(voir Ie Iemme 27)convexes

sur (0,"") sont aussi convexes, "t NT est un noyau de con-

volution de Hunt.

Par consequ"nt, Ie lemme suivant montre notre theoreme 26.

LEMME J4. Soient N] '1 0 et N2" 0 deux noy= de convolution sur 1R1

portes

pal" CO ,(0)v

s'annulant d l'infini. Supposons que N1

N2

a un sens. Si

d <; 0 des distributions dans dedt Njau Bens (o ,») et si La restriction

d(0,00) logarithmiquement convexe (j = 1,2)- at Nj sur' est , alors

N1

N2

est un noyau de convolution de Hunt.

Demonstration du lemme 34. D'apres Ies Iemmes 27 et 30, on peut supposer que Is

restrict ion de N. sur (0,"") ne s' annule pa s (j '" 1,2) . En utilisantJ

185

lim pA ( (vaguement) et en rappelant Ia discussion dans la demonstration duv- p

thcoreme 26, on peut supposer que N. - k. dt et - i- k, est > 0 et 10ga-J J dt J

ritbmiquement convexe, aU k.J

est une fonction ) 0 , bornee et de classe<;0

C

Ie noyau de convolution de Hunt porte par

(0,"")

et

est un noyau de convolutionN.J

o au sens des distributions dans

fdNJ! - ec Posoris a, lim k , (t )

J tioo J

J

(j .. 1,2) • C01Illne

(0,"") (j 1 ,2) • Soit

N. s'annule 11 I'infini, on aJd

(- --d k.ja.)dt dans (0,""); alorst J J

dans

[0,"") tel que N. * N! - AJ J a

de Hunt (voir Le lemme 30), - dd ;?;t J

0..J

Comme

(4.28) a. N! * (0: - a,) .. (J J J

sur (O,t]

e:J, t J t

, . Pour tout t) 0 et i > 1,2,c +j ,t J ,t

j 1,2, on pose (a.) .. a.) t J

.. aJ• - (aJ')t' c. .. Id{a,) et

J, t J t(0.. ) = 0 dans (e ,"') (0. .) ,

J,t J t

Dna e. ) 0 , ) 0 etJ,t J,t

on a

J.l. portee par [ t,"") telle queJ,t

(j - ',2) dans (t; ,"') ouJ,s

tivement 11 N! . Pour t ) 0 etJ

et Idctj - , (j 1,2). On peut supposer evidemm.ent que a1

"z .. 1 • D' apre s

Ie lemme 31, on voit que, pout t) 0 quelconque, il existe une mesure

IdJ.l . = I"" 00, et 0.. I(! du , (5)

J,t t J J J,S J,t

est la mesure balayee de 0: sur (s,"') rela-

(4.29) N! * (c ! 0: - (a,) I )J J,t J t

et done, (4.28) donne que

(4.30) * (c , E- (Il) t) ::l 0 en dehors de 0 .) J , t J

On pOSlO, pour une constante d. et une mesure positive cr. dans }R'J ,t J,t

(4.31) N: * {c. E- (o.j'r) .. d. 0: - cr. (j D 1,2 ; t ) 0)J J,t J,t J,t

Alors d. ) 0 er supp Ic , ) c [0,"") , car N!{{O})" 1 • Posons, pour p) 0,J,t J,t J

N ,- exp(-pt)N, et N' ... IOXp (-pt)N: : alors N . * N' , .. A Poaonsp,J J p,J J Pd p,J P

encore E', .. exp (-pt) E '. ; al or s E'. est la mesure balayee de E surp,J,s J,s p,J,s

(s ,oo) relativement 11 N', En posant 0. •P,) P,J

exp(-pt) 0..J

on a

186

(4.32) Nt • * (E - 0. .)P,] P,]

E (j 1.2 P > 0) •

(n.) et aJ t

t > o} • Alors (4.32)

(0. .)' les mesures positives analogues ap,] t;

exp(-ps) O. (j 1,2 ;J,t

et:(ll .)P.] t:

at po sans(0.j)

Soient

(4.33) N' . * (e. 0: - (a .» d. E - a .Pd J.t Pd t J,t Pd. t

Comme., pour p > 0 queleonque, fdN T• < 00 et ej,t > Idea .) , on a

P.J Pd t

d. t > [dO' . . En faisant P + 0 , on arrive B. d. i:" Jdo. (j 1,2)J, p,),t J,t J.t

Comme. pour j 1.2 et t > 0

(4.34)

loNj

N! -. (0: - o:! )J J.t

dans

dans

[O,t)

et - N! 0 au sens des distributions dans (0,00). on voit que. au sens desJ

distribut ions.

(4.35 ) _!- N' * (c! E (a.)t) 0dt j J • t J t

dans (0.00) (j 1.2 t > 0) •

Comme. dTapres (4.28) et (4.31) •

(4.36)

(d E - a ) * (£ - Nt * (cZ'l,t: ',t: 2

on a

1,2)et

v v(N, * (c 1, t £ - (Il,)t)) * (Ni * (c2 , t £ - (0.2)t) 0 dans C{O}

d. 2; fda. (jJ.t J,t

(4.37)

On remarque LcI que (4.35), supp'{u , ) c [0,"')J .t

dopuent

(4.38) N' * (c ' £ _ (0. )T) * (d E- .t) a: 0 dans (0."'), l,t 1 t Z,tet

v(ci

Z)(4.39) Nt * (c' c > * (d"t E C"t) 0 dans (""""'.O)Z Z.t

Dna aUBsi, pour tout p > 0 ,

187

en dehors de ° . Po sons b. t = 1_ {SdCa.) (s) (jJ, e L t Jt

b. > 0 e tJ , t

1,2 t > 0) alors

(4.41) I " 1lID b b

ttol,t2,t

d(dt + p)(-

"11: ' I< N I * (E -p,l p,Z

v+ p ) N' * K 'p,l p,2

(a ) * (c - (a."V )p,l t Cz p,2

,t

en dehors de o _ Done

i _ 2)N'v

(4.42) (- ;, N' 0 en dehors de 0dt

2 P p,l p,2

Conunc

" \/

(4.43) (N 1 ;, N ) ;, 0;' ;, N' ) A * vp, p,2 p,l p,Z P P

faisant p + 0 , on voit que

Ie 1emme 29 montre que Np.' ";, Np,2 est un noyau de convolution de Hunt. Bn

VN, ;, N

Zest aussi un noyau de convolution de Hunt,

droll Ie lemme 34.

Ainsi Ie the-oreme 26 est demontre.

On dit qu'une mesure positive p dans (0,00) est 10garithmiquement convexe au

sens des distributions si, pour un nombre t > 0 et une [ooction (jl -,. 0 de0

cLa s se CCO .a support (O,to)

que1conques, 1a fonction f(jl(t + t - s) dp (s)0

de t dans (0,"') est logarithmiquement convexe. D'aprcs 1a remarque 25, une

mesure positive dans (0 ,co) est 10garithmiquement convexe au sens des distribu-

t ions s i e Ile est 1agar i thmi quement C onvexe •

En rappel ant 1a demonstration du theoreme 26. on aura la remarque suivante

Remarque 35. Soit N un noyau de convolution borne sur )R' et soient K , et K Zd2

de s mesures dans (0,"") de:finies dans 1", th"oreme 26 sidt2 K" >: 0 au sens

dZ J

des d i stribut ions et si K. est logarithmiquement convexe au sens des distri-J

butions (j = 1,2) ,ulora N est de la meme forme que danS 1e theoreme 26.

iDans ce cas, ---2 N est dire logarithmiquement convexe au sens des distribu-dt

tions en dehors de O.

Par consequent, on aura 1e theoreme suivant

188

Goit convexe au sens des en

est un cone convexe vaguement ferme et touL

THEORE!.fE 36. SoU rt> 001)

tele que L Ndt2

de O. AloP$

['ensemble des noyaU$ de bornes N

de $(JR1) eat de La fOl'l7le {if:= c1No

+ (')2d t of) (')1,c2

et: No

sont les memes que dans le vheoreme 26. POi£!' IV tOE: ¢ (JRl) • N est un rl.OYQU

+ 1de convolution de HunL si el seulement s'iZ existe flO CKGR) telle

que lim N " J'(:r,m .0!­

X""""o .

+ 1f 1 0 E: SK{R ) • on

$(JR1 ; f) est

est un cone convexe. Pour

max N * f(x) 1J. Alorsx supp Cf)

une base compacte ot convexe de II est irrteressant de determiner l'ensenr

ble des points extremaux de ; f)

La remarque 25 montre que waR 1)

pose ; f) = {N E ¢lOR!) ;

Par excmple, en posant

(4.43) p 00 , 0 q ;> ee) ,

ou A ° et \I 0 on a K: ¢(JR1) , e t done, pour00 00

j:qlO,oo) quelc.onques,1

)J1 ,j.JZ sur d)Jl (p)d)JZ(q) E: ¢(R )F,qest un noyau de convo1ution.

deux mesures positives

des que

5. Nous donnerons encore Ia decomposition d'un noyau de convolution de Hunt sur

un groupe elementaire de Lie. Plus generalement, on pose X = lEln

x ZI: m x F , ou

n,m sont des entiers est Ie groupe additif des entiers et ou Fest

un groupe abelien compact. Designons par °1,°

2et 03 les origines de lEl

n

de ZI: m et de F, et par {1 ,_l,O}n+m •

Posons, pour 0

(5.1) '"Ra

e t R( ) = {Ql} x {02} x F° 7 " •• )0Alors, de Ia meme maniere que dans Ie paragra-

phe 3, on aura Ie theoreme suivant

THEOREME 37. A un noyau de convolution elementaire N sur X. on aeeoo-ie une

189

famiUe (NO)o S de noyauz de elimentaires vOl'i}'iant Leen+m

conditions (5.2) et (5.J) d'une unique par

une conetant:e :

(5.2) POUl' 0 E S que loonque , N reR)n+m 0 (J

o .

NaN==(5.J)O Sn+m

(II) A un ncqau de oonvol.ution de Hunt N BUl" X. on associe une tamiZZe

(NO)a S de noyaux de convolution de Hunt vepifiant Zes conditions (5.2),n+m

(5.3) et: (5.4) d'une unique excep te La multipLication pal' une cons tantie

(5.4) Pour une constante (] > 0 et 0 E Sn+m quelconques, (N + < No '

ou ((N + eE)o)o s est une famille obtenue dans (1) pour le noyau den+m

convolution dlementaire N + •

On dit qu'une suite (an):_o de ncmbres

est croissante au sens large.

a = an n+1

(n O. T,2, ••• ) ou bien s i an

> 0

est

(n

10garithmiquement convexe siII

O 1 2 ) et (n+1 )""", ... a n=O

n

De Is meme facon que dans le theoreme 26, on voit la proposition suivanre

PROPOSITION 38. Boit Kt n) un nouau de convolution borne BUl' <Z. Si

K(n + 2) + K(n) 2K(n + l),K(-n -2) + K(-n) 2K(-n -1) (11. = 0,1,2, .•• ),

K(n + 2) + K(n) - 2K(n + 1));=0 et (K(-n -2) + K(-n) - 2K(-n -l}):=a

sont convexes et 8i lim K(n)X(-n) =0 alors K(n) estn--

un nouau de convolution de Hunt: SUI' ou. bien K = a .

Pour montrer Is presente proposition, on utilisera Ie Iemme cannu suivant au lieu

du lemme 30.

Hunt au bien k = 0 .

est logarithmiquement conuexe ; alore kin ) eei: un noyau de

LEMME 39, Soit ken)

ISi (k(n) ):=0

convolution de

un noyou de convolution SUI' <Z porte pap + = hi E 11. <: oJ.

190

BIB L lOG RAP HIE

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- The G!I.llIIlla function.New York. Rolt. 1964.

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- Sur une famille sous-ordonnee au noysu de convolution de Hunt donne.Nagoya Math. J •• 51. (1973). 45-56.

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- Sur les cones convexes de Riesz et les noyaux de convolutioncompletement sous-harmoniques.Nagoya Math. J •• 55. (l974). 111-144.

[6] M. ITO.

- Sur Ie principe relarif de domination pour les noyaux de convolu­tion.Hiroshima Math. J., 5. (1975). 293-350.

[7] M. ITO.

Sur I'unicite du cane convexe divisible constitue par de noyauxde convolution de Dirichlet.Nagoya Math. J •• 57, (1975). 127-152.

(8] M. ITO.

- Le principe relatif de domination et Ie principe transitif dedomination pour lea noyaux-fonctions boreliennes.Hiroshima Math. J .• 6. (1976). 207-219.

[9J M. ITO.

- Sur Ie principe de domination relatif, Ie balayage et les noyauxconditionnellement sous-medians.J. Math. pures et appl., 57. (l97B), 423-451.

191

[10) M. ITO.

- Sur Ie probleme de Ghaquet concernant la TV-inegalite.a paraitre dans ce volume.

M. ITO

Departement de Mathematiques

Faculte des Sciences

UNlVERSITE DE NAGOYA

Furo-cho. Chikusa-ku

NAGOYA. 464

Japan