L’IRRATIONNALITEL’IRRATIONNALITEDEDE

Démontrer par l’absurde :Enigme « A bas les profs ! »

2

Activité : est irrationnel21. 2. 3. 5.4. 6.

Le point sur les nombresLe point sur les nombres

Un peu d’histoire…Un peu d’histoire…

Démontrer par l’absurdeDémontrer par l’absurde :  : Enigme : “ A bas les profs ! ”Enigme : “ A bas les profs ! ”

Quatre élèves sont restés dans la classe pendant la récréation ; l’un d’eux a écrit : “ A bas les profs ! ”au tableau noir. Lorsque le professeur rentre en classe, il demande : “ Qui a écrit ça ? ”

•Paul, qui porte des lunettes : “ C’est une fille ”.•Jacques qui n’a pas de lunettes : “ C’est quelqu’un qui porte des lunettes ”.•Marie qui ne porte pas de lunettes : “ Ce n’est pas moi ”.•Françoise qui porte des lunettes : “ C’est quelqu’un qui ne porte pas de lunettes ”

Le ( ou la ) coupable a menti. Les trois autres ont dit la vérité. Qui a écrit au tableau noir ?

Supposons que le coupable soit Paul :

• Jacques qui n’a pas de lunettes : “ C’est quelqu’un qui porte des lunettes ”.• Marie qui ne porte pas de lunettes : “ Ce n’est pas moi ”.• Françoise qui porte des lunettes : " C’est quelqu’un qui ne porte pas de lunettes ”.

Paul ment et les autres disent la vérité.

Il y a une contradictionune contradiction entre ce que disent Jacques et Françoise.

Donc Paul n’est pas le coupable.

Supposons que le coupable soit Jacques:

•Paul, qui porte des lunettes : “ C’est une fille ”.•Marie qui ne porte pas de lunettes : “ Ce n’est pas moi ”.• Françoise qui porte des lunettes : " C’est quelqu’un qui ne porte pas de lunettes ”.

Jacques ment et les autres disent la vérité.

Il y a une contradictionune contradiction car Marie dit que ce n’est pas elle.Donc Jacques n’est pas le coupable.

D’après Paul et Françoise, le coupable est une fille qui ne porte pas de lunettes donc c’est Marie.

Supposons que la coupable soit Marie :

•Paul, qui porte des lunettes : “ C’est une fille ”. •Jacques qui n’a pas de lunettes : “ C’est quelqu’un qui porte des lunettes ”•Françoise qui porte des lunettes : " C’est quelqu’un qui ne porte pas de lunettes ”

Marie ment et les autres disent la vérité.

Il y a une contradictionune contradiction entre ce que disent Jacques et Françoise.

Donc Marie n’est pas la coupable.

Toutes les informations données par Paul, Jacques et Marie confirment que Françoise est la coupable.

Supposons que la coupable soit Françoise :Françoise ment et les autres disent la vérité.•Paul, qui porte des lunettes : “ C’est une fille ”.•Jacques qui n’a pas de lunettes : “ C’est quelqu’un qui porte des lunettes ”.•Marie qui ne porte pas de lunettes : “ Ce n’est pas moi ”.•Françoise qui porte des lunettes : “ C’est quelqu’un qui ne porte pas de lunettes ”.

Un peu d’histoireUn peu d’histoire……

Au 5ème siècle avant J.C, au sud de l'Italie Pythagore et ses disciples qui formaient une secte mathématique et religieuse croyaient que les entiers et les fractions pouvaient expliquer tous les phénomènes du monde. L'harmonie de l'univers reposait sur ces nombres qui suffisaient à leur bonheur. En conséquence chaque longueur aurait dû s'écrire sous la forme d'un entier ou d'une fraction.

Or le théorème de Pythagore montre que la diagonale d'un carré de coté 1 est un nombre de carré 2, aujourd'hui noté . Certaines racines carrées sont des nombres bien connus : par exemple = 3. Mais d'autres, comme , ne « tombent pas juste ». On s'est alors demandé si pouvait s'écrire sous la forme d'une fraction.

2

29

2

Le but de ce travail est de prouver qu'il est

impossible d'écrire sous la forme d'une

fraction. Pour cela, on suppose que peut

s'écrire sous forme de fraction

irréductible, et on montre que l'on aboutit

à une contradiction.

ActivitéActivité : est irrationnel : est irrationnel2

Supposons que est égal à une fraction

irréductible, c’est à dire que : PGCD(a ; b) = 1

1. Montrer que l'on aurait alors :

2 a

b

2

22

a

b

2 a

b

22

2 a

b

2 a a

b b2

22

a

b

donc

soit encore :

D’où :

2. En déduire que l'on aurait 2 b² = a². 2

22

a

bdonc

2

2

2

1a

b

D’où en effectuant les produits en croix :

2 ² ²b a

En particulier, 2b² et a² devraient avoir le même chiffre des unitésle même chiffre des unités.

3. Le chiffre des unités de a peut être 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou ... ou 9 , celui de b aussi. Compléter les tableaux suivants :

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Chiffre des unités de a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de a²

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Chiffre des unités de b

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de b²

0 2 8 8 2 0 2 8 8 2Chiffre des unités de 2b²

4. Entourer en rouge les chiffres qui convien-nent et barrer ceux qui ne conviennent pas

le chiffre des unités de a² peut être :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

le chiffre des unités de 2 b² peut être :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 2 8 8 2 0 2 8 8 2Chiffre des unités de 2b²

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1Chiffre des unités de a²

5. En déduire que a devrait se terminer par 0 et que b devrait se terminer par 0 ou 5.

0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Chiffre des unités de a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Chiffre des unités de a²Chiffre des unités de b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 2 8 8 2 0 2 8 8 2Chiffre des unités de 2b²

Donc a devrait se terminer par 0.et b devrait se terminer par 0 ou 5.

6. En déduire que l'on pourrait simplifier la fraction par 5. Quelle est la contradiction ?Conclure.D’après la question 5., a devrait se terminer par 0 et b devrait se terminer par 0 ou 5.

Donc a et b sont divisibles par 5.

Ce qui aboutit à une contradictionune contradiction.

Or, on a supposé est égal à une fraction

irréductible, c’est à dire que : PGCD(a ; b) = 1

2 a

b

Autrement dit, a et b ont 5 comme diviseur commun.

On en conclut que ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction.

2

On dit que est un nombre irrationnelirrationnel.2

6.Conclure.

Irrationnels

Le point sur les nombres :Le point sur les nombres :

Entiers

5 92

-80

Décimaux

1,5 0,75

-6,4

Rationnels

23

9917

89

2

FIN !FIN !