llùlùm

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Calcul d'incertitudes

Application

aux sciences exprimentales

Mathieu ROUAUDProfesseur Agrg de Sciences Physiques

en classes prparatoires aux grandes coles d'ingnieurs

Diplm en Physique Thorique

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Pour un meilleur partage de la connaissance et l'accs au plus grand nombrele li!re est en licence libre le li!re numrique est gratuit et pour minimiser le co"t de la!ersion papier il est imprim en noir et blanc et sur papier conomique#

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Avant-*ro*os

4et ou!rage se !eut accessible et pdagogique# ?l estle fruit d'interrogations personnelles sur la natureprobabiliste des mesures en sciences# Dans un cursusclassique ces aspects ne sont pas ou peu abords# ?l estimportant que les fondements exprimentaux et pratiquesdes sciences soient complmentaires d'une science autableau en cours magistraux# ?l existe une beaut

scientique qui na-t de l'interaction entre la thorie etl'exprience#Tout en introduisant les principes fondamentaux de

la statistique cet ou!rage explique comment dterminer lesincertitudes dans di@rentes situations exprimentales#

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1able des mati2res

?# $A5?A

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7+ Principe####################################################################RO2+ 5gression polynomiale#############################################M38+ 5gression non linaire##############################################M8

F# Fxercices################################################################M=

???# 4:IP.CIFTS#####################################################=8A# Iesure a!ec une rgle###########################################=8HFS################################78=

$??# 4:55F4T?:S####################################################792

$???#

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la moyenne qui reprsente au mieux le centre d'unedistribution &

x=x

1x2...x i...xnn

soitx=

i=1

n

xi

n

2

Pour la capacit thermique de l'eau nous obtenons &

c=51004230375045603980

5 =4324 J/K/ kg

ous a!ons considr la moyenne arithmtique# ousaurions pu prendre la moyenne gomtrique &

x=n

x i

Par exemple pour deux tempratures 23[4 et 93[4 lamoyenne gomtrique est 20 C40 C28,3 C alorsque la moyenne arithmtique est 83[4# Dans la pratique onconstate que la moyenne arithmtique est mieux adapte#

C. Dispersion d'une distribution

?l s'agit d'estimer ce que nous pourrions aussi appe1ler la largeur d'une distribution# .a grandeur la plus simple, dterminer est l'tendue di@rence entre les !aleurs

2 IATJ& se dit ]la moyenne dexest gale , la somme de 1, ndesxile tout di!is par n^# Pour la moyenne gomtrique nousconsidrons la racine nimedu produit desxi# x _xmoyen_ se ditaussi _xbarre_#

2

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maximale et minimale# Iais celle1ci est trs sensible aux!aleurs extr%mes qui ne sont pas tou6ours reprsentati!es etpeu!ent m%me parfois %tre absurdes#

Dans les faits la grandeur la plus utilise est l'cart-type&

s=

i=1

n

x ix2

n1

Pour l'cart1type de la capacit thermique de l'eau nousobtenons &

soit sc530 J/K/ kg

ous pourrions aussi considrer l'cart moyenpar rapport ,la moyenne *!oir l'exercice 7+#

8

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Pour l'cart1type si nous di!isions par nau lieu de n1 nousobtiendrions l'cart quadratique moyen# .e choix de l'cart1type sera 6usti par la simplicit des formules qui endcouleront# De plus nous tra!aillons sou!ent a!ec ngrandet la di@rence entre les deux types d'carts quadratiquesest alors minime#

D. Exemples de distributions

!as 1 "

9

11

9

10

14

11

8

9

12

7

8

8

9

11

14 moyenne = 10 cart-type= 2,07

10 mode= 9 tendue= 7

9 mdiane= 9,5 cart quadratique moyen= 2,00

x1

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x110

x111

x112

x113

x114

x115

x116

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0

1

2

3

4

5

6

x1

fr

quences

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!as # "

!as $ "

Q

15

13

12

13

14

13

16

19

13

1410

16

14



14 mdiane= 14 cart quadratique moyen= 1,94

x2

x21

x22

x23

x24

x25

x26

x27

x28

x29

x210

x211

x212

x213

x214

x215

x216

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0

1

2

3

4

5

6

x2

fr

quences

10

10

12

11

9

8

109

9

11

9

11

10



10 mdiane= 10 cart quadratique moyen= 1,00

x3

x31

x32

x33

x34

x35

x36

x37

x38

x39

x310

x311

x312

x313

x314

x315

x316

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0

1

2

3

4

5

6

x3

fr

quences

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.a moyenne n'est pas tou6ours la !aleur la plus reprsente*cas 1 et #+ et elle peut m%me dans certains cas %treabsente# Dans le cas $ la courbe est symtrique ce quiimplique l'galit de la mdiane et de la moyenne#

Sur les trois exemples certaines !aleurs sont reprsentesplusieurs fois on parle alors de la%rquence%id'une !aleur

xi# ous a!ons n=i=1

c

f i o` ccorrespond au nombre de

!aleurs de xi di@rentes auxquelles nous attribuons unefrquence *dans la suite csera aussi le nombre de classes+#.a moyenne et l'cart1type peu!ent alors s'exprimer ainsi &

x=i=1

c

f ixi

n =

i=1

c f in

xi s=i =1c

f ix ix2

n1

Parfois on rassemble les !aleurs par classe par exemple sinous nous intressons , la taille des habitants d'une !illenous pou!ons rassembler tous les habitants qui ont unetaille comprise entre 7R3 cm et 7M3 cm dans le m%meensemble appel classe# .eur nombre dans cette classe estla frquence *ou e@ectif de la classe+ et la !aleur est prisegale au milieu de la classe ici 7RQ cm *dmarche illustredans l'exercice Q+#

Plus la courbe est ramasse sur son centre plus l'cart1typeest faible *sur le cas $l'cart est deux fois plus faible quesur les cas 1 et #+#

R

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E. Thorme central limite

1& Population et c'antillons

4onsidrons une !ille d'un million d'habitants# Poursonder la population nous pou!ons interroger un chantillonde seulement mille personnes tires au hasard# A partir decet chantillon de n(1)))indi!idus nous pou!ons grce ,la statistique a!oir des informations sur la population touteentire# Plus la taille de l'chantillon est grand plus les r1sultats seront prcis# ous appelons x la moyenne del'chantillon et s son cart1type# Pour la population nousnotons* *lettre grec mu+ la moyenne et +*sigma+ l'cart1type# Plus l'chantillon est grand plus les !aleurs de x etde sde cet chantillon sont amenes , se rapprocher de

celles*et +de la population#

4omme dans le cas des sondages d'opinion a!ec deschantillons de l'ordre de mille personnes si nous mesuronsla taille de mille habitants qui sont choisis au hasard parmila population d'une !ille d'un million d'habitants lamoyenne de la taille sur cet chantillon a de forte chance

d'%tre proche de celle sur l'ensemble de la population maisn'a aucune raison de lui %tre gale#

?llustrons maintenant par le 6eu du lancer de pices#A chaque lancer nous obtenons une ralisation de la !a1riable alatoire pile ou %ace# ?ci la population est innienous pou!ons rpter le lancer indniment et a!oir une in1

nit de mesures# De plus les probabilits tant connuesnous pou!ons dterminer , l'a!ance les caractristiques dela population#

M

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Tout d'abord quand la taille de l'chantillon de!ient trsgrande et donc innie l'chantillon s'identie , la popula1tion & =lim

n x 8#

Fnsuite nous !oyons appara-tre la notion de probabilit &

p i=limn

f in

o` pi est la probabilit de ralisation de

l'!nementxi#

D'aprs la formule page Rnous a!ons ainsi l'expression de

la moyenne pour la population & = pixi #ous a!ons pi=1 car nous considrons tous les !1nements possibles *7\733+#

ous associonsx)(), l'obser!ation%ace etx1(1pourpile#4omme la pice est quilibre p)(p1(1#(),-(-) et*(p).x) /p1. x1# ous a!ons 6ug inexistant l'!nement lapice reste sur la tranc'e#

De m%me nous a!ons & =limn

s et en prenant la limite

de la formule pour s page R nous obtenons= p ix i 2 *a!ec pour ngrand n1pris gal ,

n+#

Au nal & =0,5 et =0,5 #

8 IATJ& se lit ]*est gal , la limite dexquand n tend !ers l'inni0.

O

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Prle!ons un chantillon en lanLant neuf pices &

V3W 7W 7W 3W 7W 7W 7W 3W 3X#

ous a!ons alors x0,56 et s0,53 #

Supposons que nous tirions de nombreuses fois neuf picesalatoirement au sein de la m%me population# A chaque foisnous aurions un rsultat di@rent pour x #

Par exemple pour deux autres chantillons prle!s &

V7W 7W 3W 7W 7W 3W 7W 7W 3X a!ec x0,67 et s0,50et V3W 7W 3W 3W 3W 3W 7W 3W 3X a!ec x0,22 et s0,44

>uelle serait alors la rpartition de l'ensemble de ces rsul1tats *appele la distribution d'chantillonnage+

.es !aleurs obtenues pour les chantillons sont en gnral

di@rentes de celles de la population mais plus l'chan1tillon est grand plus il est probable que les !aleurs soientproches de celle de la population# 4as d'un chantillon detaille n\Q3 o` x0,520 et s0,505 &

V33733377777773373777773337337737737333773333377737X

=

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#& e t'orme central limite

TJC:5IF4FT5A..?I?TF&

2ous prlevons au sein d3une population des c'antillonsalatoires de taille n, la moyenne de l3c'antillon x varieautour de la moyenne de la population * avec un carttype4al 5 +6n, o7 + est l3carttype de la population.

8uand n cro9t la distribution d3c'antillonna4e de x est deplus en plus concentre autour de * et devient de plus enplus proc'e d3une distribution de :auss.

ous dcrirons prochainement ce qu'est une distri1bution de Gauss dans l'immdiat nous considrerons sim1

plement une courbe en cloche# 4'est un thorme trs im1portant uelue soitla forme de la distribution de la po1pulation la distribution d'chantillonnage est /aussienne+et sa dispersion est donne par le thorme central limite#

?llustrons sur des schmas &

A gauche nous a!ons la probabilit p d'un !nement x

*distribution de la population+# Par exemple pour une po1pulation d'un million d'habitants pourrait %tre ici reprsen1t la probabilitpqu'ils aient une taille donnex# Si nous

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pou!ions mesurer la taille de tous les habitants nous pour1rions dterminer exactement leur taille moyenne *et soncart1type +# 4'est d'un point de !ue pratique diNcile oum%me impossible alors nous dcidons de mesurer la taillede mille habitants seulement# Pour que ce soit caractris1tique nous tirons ces mille personnes au hasard# ous obte1nons mille mesures de tailles dex1 , x1)))# De cet chan1tillon de taille n(1)))nous calculons une moyennexet uncart1type s# ous pensons quexest proche de* mais , la

fois il n'y a aucune raison qu'il soit gale , *# ous plaLonscette !aleur dexsur la partie droite de la gure page 73#

ous prenons un nou!el chantillon alatoire de mille per1sonnes et nous plaLons un nou!eaux#

ous rptons ensuite cette opration un grand nombre de

fois# ous !oyons , droite la distribution des chantillonsobtenue &

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$& !oe;cient de Student et incertitude

.e thorme central limite s'applique dans la limite des

grands nombres mais on sait l'adapter pour npetit grceaux coe;cients de Student# Fn e@et on ne peut pas appli1quer directement ce thorme car ne connaissant pas +nous l'estimons a!ec s# Du fait d'une statistique faible il y aalors un largissement connu &

=xt sn

.e coeNcient de Student t dpend de n et inclut lacon

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5eprenons l'exprience de calorimtrie dcrite page7supposons que nous !oulions maintenant conna-tre la ca1pacit thermique de l'eau a!ec une conance de =Q# oustrou!ons dans la table pour quatre degrs de libert*ddl(n1+ t(#,=>#

D'o` & c=ctsc /n=4320660 J/K/kg , =Q#

?ci suite , la dispersion des !aleurs mesures par les tu1diants c / c15 % # .es mesures en calorimtrie ne sontpas trs prcises# .a !aleur attendue ici connue est biendans l'inter!alle & 366041804980 #

ous a!ions aussi l'exprience a!ec les pices d1crite sur les pages M , =# Pour le premier chantillon de

neuf pices nous aurions a!ec une conance de =3 & 1=0,561,860,53/9 d'o` 1=0,560,33 #Pour

le 2me& 2=0,670,31 # .e 8me& 3=0,2220,273 #ous de!ons a!oir =0,5 dans l'inter!alle ce qui est fa1cilement !ri pour 1 et 2 # Pour 3 on y estpresque mais de toute faLon un cas sur dix peut %tre en de1hors *733 moins =3+# A!ec une conance de =Q 3engloberait la !aleur attendue#

Fn sciences exprimentales nous nous e@orLons dequantier l'ensemble des phnomnes naturels# Iais par la

nature m%me de la dmarche exprimentale les di@rentsparamtres qui permettent de dcrire une situation ne sontpas parfaitement connus# ous n'a!ons pas simplement une

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!aleur numrique associe , chaque caractristique maisun inter!alle pour une conance donne# Fn toute rigueur, toute grandeur exprimentale doit %tre associe son incer1titude a!ec sa conance#

?& @xemples

4oncrtement un grand nombres de facteurs ala1toires !ont inuer sur la mesure d'une grandeur facteurs in1dpendants qui quelque soient leurs natures !ont au nalgnrer une distribution gaussienne des !aleurs# Prenonsdeux exemples le lancer de pices et celui de ds , sixfaces#

Pour les pices nous comptons le nombre de piles ,chaque lancer de plusieurs pices# ous dnombrons lenombre de possibilits pour un nombre de piles donn#Pour une pice une possibilit pour (ro pile *face K+ etune possibilit pour un pile *P+# Pour deux pices une pos1sibilit pour (ro pile *K K+ deux possibilits pour un pile*K P ou P K+ et une possibilit pour deux piles *P P+# Plus

le nombres de pices lances simultanment est grand plusnous tendons !ers une distribution gaussienne#

unepice deuxpices

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ous pou!ons obtenir en ordonne la probabilit en di!i1sant par le nombres de possibilits #n et en abscisse lamoyenne pour chaque pice en di!isant par le nombre depices n# Pour n(1nous a!ons alors la distribution de lapopulation et ensuite les distributions d'chantillonnagepour di@rentes !aleurs de n#

troispices

quatrepices

0 1 2 3 4

0

1

2

34

5

6

7

cinqpices

0 1 2 3 4 5

0

2

4

6

8

10

12

sixpices

0 1 2 3 4 5 6

0

5

10

15

20

25

De m%me pour les ds nous numrons les possibilits pourleur somme et nous tendons aussi !ers une gaussienne#

Pour un seul d la somme correspond tout simplement , la!aleur du d# ous a!ons une possibilit pour chaque !a1leur &

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un d "

1 2 3 4 5 6

0

1

2

Pour deux ds il y a une seule possibilit pour que lasomme fasse deux & 7 pour le premier d et 7 pour le

deuxime d# Pour que la somme fasse trois il y a deuxpossibilits & 7 puis 2 ou 2 puis 7# .e plus probable a!ecdeux ds est d'obtenir M & *7R+ *R7+ *2Q+ *Q2+ *89+ *98+#

deux ds "

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6

7

trois ds "3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

5

10

15

20

25

30

7R

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Pour quatre ds nous reconnaissons d6, bien la courbe encloche et le prol est clairement de type gaussien &

quatre

ds "4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0

20

40

60

80

100

120

140

160

Sur ce dernier exemple !rions la !alidit du thormecentral limite#

.a moyenne pour la population est &

x=1 23456 /6=3,5

.a moyenne de la distribution d'chantillonnage est bien lam%me & x=14/ 6=3,5 #

.'cart1type de la population &

x= pix i 2 d'o`

x=1/6{13,5223,5233,5243,5253,5263,52}

et x1,71

d'o` pour quatre ds x=x /n=x /20,85 # :r sur la

7M

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courbe du dessus , 93 du maximum *explication page23+ nous a!ons un cart d'en!iron $,- *entre $et ?+ soit enmoyenne 3,5/ 40,88 # ?l y a bien correspondance#

!. Distribution de Gauss

1&

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x=

p x dx=1 Q

4alcul de la moyenne et de l'cart1type d'une distributioncontinue &

=

xp x dx 2=

x 2px dx R

#& !ourbe de :auss

.e thorme central limite s'intresse au cas o` lataille de l'chantillon nest grande et dans le cas limite o` ntend !ers l'inni nous considrons une distribution conti1nue# 4elle1ci est une gaussienne l'expression mathmatiqueest connue &

p x = 12

e1

2x 2

Dans le complment mathmatique page 797 di@rentstermes sont 6ustis#

Q IATJ& se lit ]l'intgrale depdexxallant de moins l'inni , estgale , 7 ^#

R IATJ & .a moyenne est aussi appele F*+ esprance de #2\$*+ est appele !ariance de la !ariable alatoire # Proprits &F*ab+\aF*+b $*a+\a2$*+ et $*+\F*2+1F*+2#

7=

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ous a!ons reprsent sur le graphe sui!ant deux cas &

.'aire totale sous la courbe !aut tou6ours 7# Iais si main1tenant nous ne nous cartons que d'un cart1type par rap1

port , la moyenne nous n'a!ons que RO des possibilits &

p x dx =0,683...68 %

.'cart1type peut s'!aluer ici en e@et , B).pmax&

p /pmax =1/e0,607

23

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Clargissons , deux cart1types &

2

2

px

dx

=0,954...

95%

:n dit =Q de conance ou une conance , deux sigmas#:n tra!aille sou!ent a!ec cette conance#

Puis pour trois sigmas &

3

3

p x dx=0,997...99 %

$& oi normale standard4'est la distribution normale de Gauss centre et

27

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rduite# Pour le recentrage nous soustrayons la moyenne &x '=x # Pour la rduction nous di!isons par l'cart1

type &

z=x

d'o` & p z = 1

2 e

z2

2

ous a!ons alors une distribution normale de moyennenulle et d'cart1type gale , un &

G. Test d'hypothse

ous !oulons !rier une hypothse D# .a !aleurcorrespondant , la grandeur Xest suppose gale ,xD# Si

22

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aprs estimation de*xet +x xJest compris entre*x12+xet*x2+xalors l'hypothse Dest accepte a!ec une conancede =Q sinon l'hypothse est re6ete#

!i x"#$x%&xnous avons #6 de chances d'avoir rai-son de soutenir l'h7*oth2se "et 6 de chance de noustrom*er.

Pour tra!ailler a!ec d'autres conances il suNt de consid1rer le coeNcient de Student tE#

Dans l'exercice 9 page 82 nous testons un isolant ther1mique et nous !rions les !aleurs annonces par le fabri1cant#

28

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.'hypothse peut aussi %tre dissymtrique et nous ne consi1drons alors qu'une des deux parties de la queue de distri1bution & par exemple la charge maximale d'un ascenseurest de 833 Yg la masse totale des occupants est de 2O373Yg , +# >uelle est la probabilit d'%tre en surcharge 2Qchances sur mille#

". Test du (hi-deux

?l s'agit d'un test d'hypothse simple bas sur lesdi@rences entre les e@ectifs obser!s et ceux esprs &

F@ectifs obser!s & ... ...1 2 ! c

F@ectifs esprs & ... ..."1 "2 "! "c

ous calculons la sommes des carts au carr par rapport ,la !aleur thorique attendue &

2=j=1

c

OjE j2

E j *nomm _Yhi1deux_+

ous a!ons ensuite une table *page 7RM+ qui permet d'esti1mer la *robabilit, ue l'h7*oth2se soit 8uste# Sui!ant la!aleur de 2 et le nombre de degrs de libert nous d1terminons la 6ustesse de l'hypothse#

29

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.es degrs de libert se calculent ainsi &

ddl=c1 *nombre de !aleurs moins une unit+

?llustrons a!ec les expriences ralise par le botanisteIendel# ?l e@ectue des croisements entres des plants icides hybrides# ?l croise entre eux des pois , eurs roses# Sathorie lui indique qu'il doit obtenir 2Q de pois , eursrouges 2Q de pois , eurs blanches et Q3 de pois ,eurs roses# 4eci rsulte de la rencontre alatoire des ga1mtes# ?maginons qu'il obser!e sur mille eurs les !aleurssui!antes & 2M de blanches 29 de rouges et 9= deroses# Doit1il continuer , croire en son hypothse

F@ectifs obser!s & 270 240 490

F@ectifs esprs & 250 250 500

d'o`

2= 270250

2

250

2402502

250

4905002

5002,2 et

ddl=31=2 #

Donc d'aprs la table il y a plus de 83 de chance que

l'hypothse soit 6uste# ?l n'y a alors aucune raison de lare6eter# Fn gnral on prend une probabilit critique de Qen dessous de laquelle on en!isage de re6eter l'hypothse#

.e test se gnralise facilement pour un tableau#

2Q

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F@ectifs obser!s & F@ectifs esprs &

O

11 O

12 ... O

1j ... O

1cO21 O 22 ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

Oi1 ... ... O i j ... ...... ... ... ... ... ...

O l1 ... ... ... ... Olc E

11 E

12 ... E

1j ... E

1cE21 E2 2 ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

E i1 ... ... E i j ... ...... ... ... ... ... ...

E l1 ... ... ... ... E lc .es ddl tiennent compte du nombre de colonnes c et delignes l& ddl =c1 l 1

.e 2 se calcul a!ec le m%me type de formule &

2

=i , jOi jEi j

2

E i j

De plus nous utilisons la m%me table pour dterminer la !a1lidit de l'hypothse#

2R

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). *ources des incertitudes

Hne !ariable alatoire a une incertitude d'autant plus faibleque la mesure est dle 6uste et que le systme d'acquisi1tion a une bonne rsolution#

.a 6ustesse est assure par l'absence d'erreurs systma1tiques# ?l peut exister un biais qui rend la mesure inexacte*m%me si la dispersion est faible+# Frreurs de lecture ab1sence de contrle et de corrections de facteurs inuents in1certitude due , la modlisation etc# Tous les biais doi!ent%tre identis et estims an d'%tre a6outs , la dispersionle systme de!ient alors 6uste#

.a dlit pro!ient de la rptabilit et de la reproductibili1t des mesures# .es !aleurs d'un systme dle sont peudisperses# .a dispersion peut pro!enir d'erreurs acciden1

telles ou d'un phnomne physique par essence alatoire*comme par exemple la radioacti!it+# .es exprimenta1teurs par un tra!ail propre consciencieux et selon un proto1cole bien dni et rchi pourront minimiser la disper1sion# .es sources peu!ent %tre innombrables nous essaie1rons d'en identier un maximum an de les !aluer#

.a rsolution de l'instrument de mesure dpend de la tailledes graduations du type du !ernier ou du nombre de digitsde l'aNchage# A l'incertitude due , la discrtisation des me1sures peu!ent s'a6outer d'autres facteurs# ?l faudra se rfrer, la notice ou contacter le fabricant pour conna-tre aumieux la prcision de !otre appareil# :n peut aussi e@ec1tuer un talonnage a!ec un instrument de haute prcision

qui sert de rfrence#

2M

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.'inuence de ces di@rentes sources d'incertitude peut %treillustre par une cible et des ches# .e centre de la ciblecorrespond , la grandeur , mesurer et les ches repr1sentent les di@rentes mesures# Si les ches dans leur en1semble ne sont pas correctement centres la 6ustesse n'estpas assure# .e resserrement des ches reprsente la d1lit# .a distance entre les cercles sur la cible indique la r1solution# .a !aleur note est celle du cercle dont la cheest le plus proche# .'exprimentateur !oit les ches et les

cercles par contre il ne sait pas o` est la cible et son centre#?l tient l'arc et son dsir d'%tre au plus proche du centre dela cible montre la qualit et la rigueur de son tra!ail#

Fesure Guste,

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Fesure Guste, mais peu

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Fesure avec un biais, %ortement disperse

et une %aible rsolution "

.'cart1type complet sera dtermin , partir des carts dechaque source en a6outant les carrs *dus aux compensa1tions explicites au chapitre 2+ &

=122

232...

83

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+. Exercices

Exercice 1 : ges corrig p142

Soient les ges des tudiants d'une classe {18; 20;18; 19; 18; 18; 18; 17; 18; 19; 17; 19; 17; 21; 18}.Dterminez le mode la mdiane la mo!ennearit"mti#ue la mo!enne gomtri#ue l'tenduel'cart$t!%e l'cart #uadrati#ue mo!en et l'cart

mo!en7

.

Exercice 2 : Cartes corrig p142

Soit un &eu de (2 cartes. )ous tirons au "asard cin#cartes. Dterminez la %ro*a*ilit d'a+oir un carrd'as %uis celle d'a+oir une couleur.

Exercice 3 : Champ de pesanteur corrig p142

Des tudiants mesurent l'intensit g du c"am% de%esanteur terrestre au la*oratoire. ,es "uit *in-mesmesurent les +aleurs sui+antes en ms/ 20 ; 8( ;1(00 ; 8(7 ; 83 ; 97 ; 97 ; 10.a4 5uel commentaire gnral 6eriez$+ous en +o!antces rsultats.

*4 alculez la mo!enne et l'cart$t!%e.c4 ,a dis%ersion des +aleurs donne #uelle incer$titude sur la mo!enne conance de 9:4 ,ersultat est$il co"rent a+ec la +aleur attendue d4 mes conditions e%rimentales. ?stimezla %ro*a*ilit #u'ils o*tiennent un rsultat entre 8 et12 ms/.

M cart moyen= x i x / n= x i x 2/ n

87

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Exercice 4 : Test d'un isolant

corrig en version complte

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Exercice : !ams corrig en version complte

,e Jams se &oue a+ec cin# ds #uili*rs B si 6aces.

14 In lance les cin# d=s #uelle est la %ro*a*ilit de6aire un Jams directement m>mes +aleurs sur lescin# ds4.

24 our un lancer #uelle est la %ro*a*ilit d'a+oir untotal in6rieur B di

(4 )ous eKectuons une srie de lancers et nous

o*tenons les totau sui+ants 18 1 17 22 1 1213 22 2( 13 2( 13 18 21 12 1 18 1( 1 1817 1 17 21 2 1 8 1 1 1(.

a4 alculez la mo!enne et l'cart$t!%e.*4 5uelle est l'estimation de la mo!enne a+ecun inter+alle de conance de 9: ?st$ce #uecela corres%ond B la +aleur t"ori#ue

c4 Ealisez un gra%"e des +aleurs a+ec leurs6r#uences corres%ondantes.d4 Si nous eKectuons un nou+eau lancer #uelleest selon +ous la %ro*a*ilit d'a+oir unrsultat su%rieur B 23

Exercice " : #i$ces corrig p144

)ous eKectuons un grand nom*re de lancers d'une%i=ce nous c"erc"ons B dterminer si les%ro*a*ilits d'o*tenir un %ile ou un 6ace sont gales.)ous eKectuons l'e%rience a+ec trois %i=cesdiKrentes sont$elles #uili*res r%onses a+ecune conance de 9:4

14 32 %iles et 8 6aces.24 10 %iles et 390 6aces.(4 320 %iles et 80 6aces.

88

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Exercice % : #arit& corrig en version complte

.a parit hommes1femmes est1elle respecte dans les deux

chambres et le conseil constitutionnel

Jommes Kemmes

Assemble nationale 9M3 73M

Snat 2M2 MR

4onseil constitutionnel 73 2

Exercice : (aissances corrig en version complte

Lestons l'"!%ot"=se sui+ante les naissances enSu=de se r%artissent uni6ormment tout au long del'anne. Su%%osons #ue nous a+ons un c"antillonalatoire de 88 naissances. ,es rsultats sontregrou%s selon des saisons de longueur +aria*le 27naissances au %rintem%s a+ril$&uin4 20 en t&uilletaoMt4 8 en automne se%tem*reocto*re4 et(( en "i+er no+em*re$mars4.

Nu seuil de : l'"!%ot"=se %eut$elle >tre re&ete

Sur le m>me eem%le on collecte maintenant un tr=sgrand c"antillon 2((8 13978 1310 et (803.

5uelle est alors la conclusion

89

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Th&orie

Exercice 1) : *aussiennes dans le plan et l'espace corrig en version complte

Gaussienne une dimension :

Soit la loi de %ro*a*ilit de Oauss centre et rduitep x .

1$ alculez et com%arez la mo!enne de xet de PP.,a#uelle corres%ond B la distance mo!enne au %ointd'origine 5ue dire de xet de x

2$ alculez numri#uement P x1 P x2 etP x3.

Gaussienne bidimensionnelle :

Soit la loi de %ro*a*ilit #ui gnralise une gaussienneB deu dimensions sui+ante p x , y =px p y a+ecp x et p y des lois normales centres et rduites.

Aides :

Soit des intgrales multi%les a+ec des *ornes ind$%endantes des +aria*les et des 6onctions continues les+aria*les sont alors s%ara*les

fx , y dxdy= fx fy dxdy= fx dx fy dy

assage en coordonnes %olaires

2=x2y2 et dxdy=2 d s!mtrie %ar rotation4

1$ 5uelle est l'e%ression de p x , y Qontrez #ue

8Q

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p x , y +rie les deu conditions ncessaires %ourune loi de %ro*a*ilit.

2$ ?n introduisant les coordonnes %olaires +riez#ue la %ro*a*ilit sur tout le %lan +aut *ien l'unit.Cous e%rimerez p dnie tel #ue

p x , y dxdy=p d .p est la densit de %ro*a*ilit %ar ra%%ort B.p d corres%ond B la %ro*a*ilit d'un +nementd'>tre entreet!d .

5ue +alent la mo!enne de la distance au %ointd'origineet l'cart$t!%e %our cette loi de%ro*a*ilit

($ alculez P P 2 et P 3 .

Gaussienne tridimensionnelle :

Soit la loi de %ro*a*ilit #ui gnralise une gaussienneB trois dimensions sui+ante p x , y , z=p xp y p z a+ec p x p y et p z des lois normales centres et rduites.

8R

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Aides :

)ous a+ons a+ec les intgrales tri%les les m>mes

conditions de s%aration des +aria*les #u'a+ec lesintgrales dou*les.assage en coordonnes s%"ri#ues r

2=x 2y 2z 2 et dx dy dz= 4 r 2 drs!mtrie s%"ri#ue4

1$ 5uelle est l'e%ression de p x , y , z ?%rimezp r dnie tel #ue p x , y , z dxdy dz= p r dr .p r est la densit de %ro*a*ilit %ar ra%%ort B r.p r dr corres%ond B la %ro*a*ilit d'un +nementd'>tre entre ret r!dr.

2$ N+ec cette nou+elle e%ression +riez #ue la%ro*a*ilit sur tout l'es%ace +aut *ien l'unit.

($ 5ue +alent la mo!enne ret l'cart$t!%e r%our cetteloi de %ro*a*ilit

3$ alculez P R r P R2 r et P R3r .

$ om%arez les trois cas d'une gaussienne 1D 2D ou(D. Cous de+ez retrou+er les rsultats du ta*leau #uisuit.

8M

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Gaussienne 7D 2D 8D

Distance ,l'origine

PP 8 r

Ioyenne 2 2 2 2Ccart1types 1 2 3

P , RO8 7170e\R82 R3O

P , 2 =Q9 =O2 ==8

P , 8 ==M ===OO =====9

our +rier +os calculs sur un ta*leur +ous %ou+ez utiliserles 6onctions sui+antes

sur I%enIKice somme d'une zone slectionne R e. 3((4 TSIQQ?R4

+aleur e B la cellule ( UU( TQIJ?))?R4 carr RV2 racine carre RV124 T?NELJ?R4 coeKicient de Student %our une conance de 9: et

nT20 T,IW.SL

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8=

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. CORR5)A1ON! 41

ND5P4NDANC4!

Au chapitre prcdent nous n'a!ions qu'une gran1deur alatoire X a!ec ses n ralisations VxiX# Iaintenantnous a!ons plusieurs grandeurs et un nou!el indice permetde les distinguer & XGet ses mesures VxGHX# XGest laGmegran1

deur etxGHest la Hmeobser!ation de cette grandeur# ous al1lons nous intresser aux interactions entre di@rentes gran1deurs#

Pour illustrer considrons un chantillon de quatreindi!idus qui possdent trois caractristiques la taille X1le poids X#et le mois de naissance X$# A priori nous nous

attendons , une corrlation entre la taille et le poids & pluson est grand plus on a en gnral une masse importante*corrlation positi!e+# Par contre nous pou!ons penser quele mois de naissance n'a aucune incidence sur le poids et lataille *X$non corrle a!ec X1et X#+#

A. Coe,cient de corrlation

.e coeNcient de corrlation rpermet d'identier s'ily a une relation linaire entre deux !ariables Xiet XG&

rij=

k

!x i k xi x j kx j"

k !x i k x i2"k ! x j k x j

2"

r !arie entre 1 et /1# Si r=1 les !ariables sont

93

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parfaitement corrles & r=1 m%me sens de !ariationr=1 sens oppos# Si r =0 il n'y a pas la moindre

corrlation les !ariables sont parfaitement indpendantes#

4alcul de r1#r1$ et r#$&

X1Ccm&

X#CH4&

X$ x1x1 x 2 x 2 x3 x3 x1x 12

7 7R3 R9 9 17Q 177 12 22Q2 7M3 RR O 1Q 1= 2 2Q

8 7O3 O9 = Q = 8 2Q

9 7=3 OR 8 7Q 77 18 22Q

x 7MQ MQ R \ Q33

et la suite des calculs &

x2 x22 x3 x 3

2 x1 x1

.x 2x 2

x1 x1

.x 3 x 3

x2 x2

.x 3 x 3

727 9 7RQ 83 22

O7 9 9Q 173 17O

O7 = 9Q 7Q 2M

727 = 7RQ 19Q 188

939 2R 923 173 12

97

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d'o` & r 12= 420

5004040,93 r 130,09 et

r 230,02 #r1# est proche de 7 nous a!ons donc une corrlationpositi!e importante# r1$et r#$sont proches de (ro & X$estindpendante de X1et X#&

Fxemples de nuages de points entre deux !ariables &

92

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ous !oyons sur les exemples M = et 73 une fortecorrlation entre les deux !ariables# Pourtant le coeNcientde corrlation n'est pas aussi proche de 17 ou 7 que nouspourrions l'imaginer il est m%me nul sur l'exemple =# 4ecipro!ient du fait que les corrlations ne sont pas linaires#?l peut y a!oir des phnomnes de saturation *exemple 73+ou de seuil *un produit peut %tre bnque , faible dose et

98

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nocif pour des doses plus importantes 1 exemple =+# ?l estprfrable d'a!oir identi ces phnomnes en amont# Pourcela il est important de bien rchir , la pertinence des!ariables que l'on choisit a!ant de commencer une tudestatistique#Autre exemple & si nous tudions le !olume Ide di@rentsob6ets en fonction de leur taille J nous trou!ons unecorrlation positi!e# Iais celle1ci sera bien plus forte entreIet X(J $*graphes M et O+#

.e fait que deux !ariables soient corrles n'implique pasncessairement une relation de cause , e@et entre les deux!ariables *la !ariation d'une !ariable entraine la !ariation del'autre+# .es !ariations des deux !ariables peu!ent %treattribuables , une cause commune extrieure#Par exemple on peut supposer qu'il y a corrlation entre la

consommation d'huile , bron(er et celle de crmes glaces#?l n'y a !idemment aucuns liens de cause , e@et entre lesdeux mais une cause commune d'ordre mtorologique#Des raisons physiques permettent de montrer une causalitpas une tude statistique#

99

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B. !ormule de propaation des incertitudes

Soit un seau rempli d'un million de grains de sable#.a masse d'un grain est de 73 mg , 7mg prs# >u'elle est lamasse de sable contenue dans le seau

1& Kormule de propa4ation des carttypesPour une approche gnrale du problme soit une fonction%qui dpend dep!ariables indpendantes &

fx1

, x2

, ... , xj

, ... , xp

A chacune de ces !ariables alatoires est associe une !a1leur moyenne x j et et un cart1type j #

>ue !alent % et f

.a statistique donne la rponse et dmontre la formule depropagation des cart1types &

=

= ous obtenons la formule de la !ariance en remplaLant 2par $#

9Q

f2

=j=1

p

! # f#x j 2

j2"

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#& !alcul d3incertitude

Pour les incertitudes *dnies page 72+ nous a!ons aussi

une formule de propagation &

.a formule de propagation des incertitudes n'est pas exacte

comme pour les cart1types mais elle est trs pratique et le

plus sou!ent trs proche du rsultat exact#

Pour notre seau &

a!ec

o` nous appelons Fla masse totale de sable dans le seau

mGla masse de chaque grain etple nombre de grains#

#/# m j=# m1/# m j...# m j /# mj ...#m p/# mj#/# m j=0...1...0=1

*les calculs de dri!es partielles sont expliqus page 793+

9R

f 2

=j =1

p

! # f# xj

2

x j2"

m1 , m2 ,... , mj,... , mp

2

= j = 1

p

# / #mj2

m j2

=j =1

p

mj

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alors

d'o` 2=pm2 a!ec m=m j quelque soitG#

Kinalement & =p m=10000000,001g #

.e seau pse donc dix Yilos , un gramme prs# .a

prcision sur la masse du seau est donc de 337#

aU!ement nous aurions pu penser que l'incertitude globale

sur la masse du seau tait la somme des incertitudes de

chaque grain nous aurions alors une incertitude absolue

d'un Yilo et une relati!e de 73 ce qui est trs di@rent de

la ralit et ignorerait les compensations#

?ci la formule de propagation est trs prcise car nous a!ons

un trs grand nombre de grains# Flle est m%me exacte ds

les petits nombres si la distribution de la masse des grainsest gaussienne73#

73 IATJ& une combinaison linaire de grandeurs gaussiennes est elle1m%me gaussienne *s'applique ici , une somme+# Ft dans la formulede propagation des incertitudes si % et les xi ont des lois deprobabilits de m%me nature la formule est tout aussi exacte que laformule de propagation des cart1types#

9M

2 =

j = 1

p

12

m2

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Fn pratique certains cas se rencontrent sou!ent &

Pour des sommes ou des di@rences les incertitudesabsolues au carr s'a6outent &

Par exemple si d(x#x1 a!ecLx#(Lx1(1cm alors d 1,4 cm #

pour des produits ou des quotients les incertitudes

relati!es au carr s'a6outent &

Par exemple si M(NOa!ec Net O, 7 alors Mest

connu , 79#

Dans les cas plus complexes il faut raliser explicitement lecalcul aux dri!es partielles#

A l'aide d'un ordinateur il est aussi possible de faire un

calcul numrique# :n peut gnrer des nombres alatoires

ou utiliser des paquets dcorrls globalement gaussiens#4ette dernire mthode est illustre dans l'exercice 2 de ce

9O

f2=j=1

p

x j2

f

f 2

=j=1p

x j

xj2

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chapitre# Hn tableur peut permettre de faire auto1

matiquement les calculs *par exemple feuille 9 du tableur

?ncertitudes.ibres sur ///#incertitudes#fr+#

:n peut aussi donner des mthodes qui donnent des ides

gnrales sur l'incertitude# Flles d!eloppent une certaine

intuition mais il y a un risque de se tromper#

Par exemple comme les incertitudes s'a6outent au carr on

peut considrer que l'incertitude la plus grande !a

l'emporter rapidement sur les autres# Dans l'exemple o`

M(NOsi Nest connu 7 et O, 37 alors Mest connu ,

733Q7 on peut ngliger l'incertitude sur ?#

Pour des sommes ou des di@rences on considre parfois

que le terme qui a le dernier chi@re signicatif le moins

prcis indique la prcision du dernier chi@re signicatif du

rsultat# Iais sur notre exemple de la masse du seau rempli

de grains de sable La ne marche pas & la masse d'un grainest m \ 73 mg or la masse du seau I est connue au

gramme et non au milligramme

Pour les produits ou des quotients on considre parfois que

le facteur qui a le nombre de chi@res signicatifs le plusfaible indique le nombre de chi@res signicatifs du rsultat

9=

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mais l, aussi il faut %tre trs attentif#

Hne illustration trs simple si D(#' a!ec '(-,))m *'

connu au cm+ que !aut D D'aprs la rgle du dessus Dserait connu a!ec trois chi@res signicatifs donc D(1),)m#

Dne serait connu qu', 1)cmprs il !a de soit que l'on est

plus !ers le cm###

'utilise( pas ces recettes si !ous n'a!e( pas conscience despiges possibles#

Q3

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C. ression linaire

Si maintenant nous a!ons deux !ariables corrlesnous pourrions !ouloir dterminer la relation la plus adap1te entre elles# .es !ariables alatoires seront nommes Xet et nous chercherons la droite qui passe au mieux par lenuage de points yCx Par exemple quelle est la relation lamieux adapte entre la taille X et le poids dans notre

exemple initial & y=ax! >uelles sont les incertitudes a et !

1& Principe et %ormules

.a mthode choisie est celle des moindres carrs &la droite considre la meilleure est celle qui minimise lasomme des carrs des distances , la droite distances prisesselon y*carts+#

.'ensemble des points se note i xi, yi # Pourxidonnl'ordonne estime sur la droite s'crit $y i=a x i! #

Q7

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D'o` la somme des distances au carr &

d2 =i

y i $y i2

.es dri!es partielles de cette quantit selon a et b s'an1nulent pour la meilleure droite et nous obtenons les qua1tions sui!antes &

i

y ia x i!x i =0 et

i

y ia x i!=0 #

ous obtenons ainsi les rsultats dsirs &

a=x yx y

x2x

2 et != ya x #

:n nomme eile rsidu tel que y i= $y i e i #

:n trou!e les di@rents cart1types sui!ants 77&

pour les rsidus

pour la pente sa= sr

i xi x 2

pour l'ordonne , l'origine

77 Dmonstrations p=3#

Q2

s!=sr

x i2

n x ix 2

sr=

i

e i2

n2

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Puis a=tn2 sa et !=tn2 s! #

tn#& coeNcients de Student pour n#degrs de libert#

$ous %tes ainsi , m%me de mener tous les calculs#

F@ectuons les calculs pour le poids en fonction de la taille&

x y=160x64170x66180x84190x86/ 4

x2=160 2170218021902/ 4

a=13230175x75/307501752=0,84 et!=750,84x175=72

sr=!640, 84x1607224,824,821,6 2" /25,06

sa5,06/160175252521520,226

a2,92x0,2260,66 a!ec une conance de =3

s!5,061602170 21802190 2/ !41525225225"39,7

!2,92x39,7116 , =3

d'o` & Poids=0,840,66"aille72116 , =3#

Kormule ici trs imprcise ce qui n'est pas tonnant !u lepeu de points et la dispersion des donnes# Iais la mthodede calcul est maintenant explicite et comprhensible#

Sur le graphique qui suit nous a!ons &

au milieu la droite interpole *le meilleur quilibreentre les points du dessus et ceux du dessous decette droite+#

Q8

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62/178

Fn pointills sont reprsents les deux droites ex1tr%mes * y=aminx!max et y=amaxx!min +#

.a premire en!eloppe correspond aux !aleurs esti1mes de y# ?nter!alle de conance de la moyenne de

yopour une !aleurxo&

Par exemple pour xo(1=- cm nous a!onsyo(=-,)Q=,? H4# :n peut m%me a!oir une estima1tion en dehors de l'inter!alle par exemple pour

xo(1R- cmnous a!ons yo(R#Q1- H4#

Q9

yo=tn2 sr1n xox2

x ix 2

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.a deuxime en!eloppe correspond , une prdic1tion si nous e@ectuions une nou!elle mesure# ?nter1

!alle de prdiction pour une obser!ation yo

&

Par exemple il y a =3 de chance pour une per1sonne de 7MQ cm que sa masse soit entre QO et =2Yg *en moyenne =3 des points sont dans cette se1

conde en!eloppe et 73 en dehors+#

#& termination du ro absolu

ous tudions unga( enferm dans un rci1pient rigide de !olume

constant# ous a!ons dessondes pour mesurer satemprature et sa pression#?nitialement le ga( est ,temprature et pressionambiante ensuite nous im1mergeons l'ensemble dans

de l'eau chaude et nouslaissons !oluer en prenantdes mesures , la !ole7&

1 "ette exprience a rellement t ralise le mardi 1#octobre 2$$% &ourges par '( )*+A+, et *( -.)*/ au

-0ce Alainournier(

QQ

yo=tn2sr1n xox2

xi x 21

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64/178

heure 73h7Q

73h83

73h93

73hQQ

nonnote

nonnote

72h

temprature *[4+ 7=O Q2= 9MO 929 8R2 88Q 832

pressionP *hPa+

7378 7783 7772 73=8 73M2 73R7 739=

ous supposons que le ga( obit , l'quation d'tat du ga(

parfait P #=n R"=n R0K # Fn traLant TCP&nous pou!ons obtenir la temprature du (ro absolu &l'ordonne , l'origine donne 3#

ous !oyons que la rgression est bonne*r\3====7+ mais les points mesurs sont loigns du (roabsolu# Par prolongement nous obtenons a!ec une

conance de =Q & %0K=266,04,8 C#

QR

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:r nous sa!ons que le (ro absolu est , 12M87Q [4 ce quin'est pas trs cohrent# ous pou!ons donc supposer qu'il ya un biais et que nous n'a!ons pas considr toutes lessources d'incertitudes#

$& M4ression avec barres d3erreurs

.es instruments de mesure ne sont pas parfaits etles notices indiquent leurs prcisions# .a prcision dumanomtre est , un pour cent prs et celle du thermomtreau degr# ous a!ons donc une incertitude surxet y&

ix i x i , yi yi

ous allons a6outer ce qu'on appelle des barresd'erreurs nous n'a!ons plus des points mais des rectangles#Plus un point est prcis plus il 6oue un rle important# .amthode des moindres carrs est modie et la somme descarrs est pondre par ce _poids_ &

i $i e i2 a!ec $ i= 1

y i 2a x i

2

4'est une mthode itrati!e nous mettonsinitialement une !aleur de a estime puis la !aleur de aobtenue la remplace 6usqu', l'galit des !aleurs#

QM

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ous obtenons alors & %0K=26635 C a!ecla m%me conance que les incertitudes surxiet yi# .a !aleurest cette fois satisfaisante# .es sources principales

d'incertitudes semblent retenues#

ous pourrions aussi considrer l'incertitude demodlisation induite par l'hypothse de ga( parfait maisdans les conditions exprimentales de cette expriencel'hypothse est excellente# 4ette source d'incertitude estngligeable de!ant les autres considres ici# .'utilisation

d'un modle de ga( rel *$an der aals par exemple+permettrait de le dmontrer#

QO

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Kormules ki &

% 2=i $i !y ia xi !"2

# %# !

2

=0 et # %

# a

2

=0

conduit , &

! = $iy i $ ixi

2 $ix i $ ixi yi

et

a = $i $ix iy i $ix i $ iy i

a!ec

= $i $ix i2 $ix i 2

puis

! = $ix i

2

et

a =

$i

Q=

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?& inarisation

Dans de nombreux cas nous pou!ons nous ramener , unmodle linaire *ici au sens y=a x! +# ous donnonsquelques exemples ci1dessous &

y=&x '

x , y , &0

y '=a x '! a!ecy '=ln y x '=ln x et

'=a &=e! et

'= a &=& !

y=& e' x x ,&0 y '=ln y x '=x

y= 1

&'x y '=

1

y

*loi logis1tique+ y '=ln y1y y '=&'x

*loi dePareto+

y '=ln 1y x '=ln x

'=a &= e

!

a

*loi de eibull+

y '=ln ln 11y x '=ln x '=a &=e

!a

y=&e'x non linarisable

y= &x'x non linarisable

y=&'x(x 2 non linarisable selon yCx&

R3

y=1 &x'

y= e

&'x

1e&'x

y=1ex&

'

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-& !omparaison des mt'odes

Dans toutes les mthodes de rgression que nous consid1

rons nous nous intressons , la !ariabilit de y, xx *ladmarche in!erse donnerait des rsultats qui!alents+#

Pour unxidonn nous a!ons un yi et son cart1type yi#

a& Msum

1 M4ression simple

y1(>,$ y1(1=,$ y1(1>,$ y1(#=,$ y1(#>,$ y1($=,$ y1($>,$

!as 1 " a(- b(- sr(#,$? sa(),??$ et sb(1,R>

.a rgression simple ne correspond pas , des incertitudes

sur les donnes nulles# Flles sont inconnues et nous les esti1mons , partir des donnes elles1m%mes# .es incertitudessont considres constantes quelque soit yi# .'incertitude

R7

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correspond , l'cart1type des yipar rapport , la droite esti1me &

syi=sy=sr= iyi $yi 2

n2

sa= sr

i

xix2

s!=

x2

xix2sr

# M4ression avec cartstypes constants selon y

!as # " a(- b(- sy(#,-- sa(),?># sb(#,1B

Dans ce cas les syisont gaux et connus & syi=sy et

sa= sy

i xix 2

s!=

x2

xix 2sy

R2

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Si la droite ne passe pas par les barres d'erreurs on peutpenser que toutes les sources d'incertitudes n'ont pas t re1tenues# ?l faut soit les intgrer dans sy soit appliquer la m1thode prcdente#

$ M4ression avec carttypes selon y

sy1(? sy#($,- sy$($ sy?(#,- sy-(# syB(1,- sy=(1

!as $ " a(?,B= b(B,-1 sa(),?># sb(#,1B

.es syisont connus# ous pou!ons appliquer la formule depropagation des cart1types &

sa2=

i# a#y i

2

sy i2

et s!2=

i# !#y i

2

sy i2

.es formules sont exactes et permettent de retrou!er les ex1pressions des cas prcdents# Dans le cas plus complexe

R8

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d'cart1types !ariables selon yinous a!ons les estimationssui!antes &

a= 1 $ i

1x2x

2 != 1

$ i x 2

x2x

2 $ i= 1

yi2

? M4ression avec carttypes selon y et x

sy1(? sy#($,- sy$($ sy?(#,- sy-(# syB(1,- sy=(1

sx1(),1 sx#(),# sx$(),$ sx?(),? sx-(),- sxB(),B sx=(),=

s1(?,) s#($,B s$($,? s?($,# s-($,# sB($,? s=($,B

!as ? " a(?,R> b(-,1? sa(),BR- sb($,1B

4ommexiest x nous reportons la dispersion dexi

sur yi& syi "otal2 =si

2=sy i2a2 sx i

2

R9

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nou!eau tout se passe comme si seuls les yia!aient descart1types si# D'o` les formules &

sa2=

i#a

#y i2

si2

et s!2=

i# !#y i2

si2

.es dri!es sont complexes , calculer *les poids dpendentde a+ nous pou!ons par contre les !aluer numriquement#Aussi nous utilisons habituellement les estimations sui1!antes &

a = $i ! = $ixi2

$ i=

1

yi2a2 xi

2

b& iscussion

!as - " a(- b(- sa(),BRB sb($,1B

.es incertitudes de ce cas peu!ent a!oir pour origine lesinstruments de mesure# .a dispersion des !aleurs du pre1

RQ

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mier cas pR7peu!ent pro!enir d'erreurs accidentelles lies, l'exprience ou d'un phnomne par essence alatoire#

ous aimerions que le quatrime cas pR9 intgre l'en1semble les sources d'incertitudes des cas 7 et Q &

sa10,443 et sa50,696 donne sa40,695

ous a!ons utilis les formules classiques# ous a!ons l'im1pression que la dispersion autour de la droite de rgressionn'est pas incluse# ous allons e@ectuer le calcul direct a!ec

la formule de propagation et 6e propose la mthode des pe1tites !ariations &

sa2=

i#a#yi

2

si2

et # a#yj= lim yj 0

a y

j

Fn gardant tous les yi6constants & y j yj a a

LyG est une petite !ariation par rapport , yG siLyGde!ient

chaque fois plus petit ay j

reste constant *dnition de la

dri!e+#

Fssayions de retrou!er le rsultat pour sa - & remplaLonsy1(1)par y1(1),))1alors de a(-nous a!ons aprs itra1

tions a(?,RRRR)= d'o` ay1

0,093 .

ous remettons y7, 1)et rptons le procd pour y2enle remplaLant par 1-,))1# D'o` les rsultats sui!ants &

RR

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G(1 G(# G($ G(? G(- G(B G(=

# a

#y j133=8 133MO 1339= 1333R 3397 33O3 373Q

ous trou!ons alors sa50,696 le m%me rsultat quel'autre mthode#

Procdons de m%me pour sa ? &

G(1 G(# G($ G(? G(- G(B G(=

# a#y j

133=R 133O3 133Q3 1333M 33O7 3722 379M

ous trou!ons alors sa40,786 rsultat signicati!ement

di@rent de l'estimation classique qui semble maintenantintgrer l'ensemble des sources d'incertitudes#

Dans l'exercice Ucarttypes proportionnel 5 yp=7nous tu1dions un cas particulier o` nous e@ectuons le calcul analy1tique direct# .a comparaison peut ainsi %tre largie#

RM

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D. ression nralise

ous gnralisons la mthode des moindres carrspondrs pour une fonction et une dpendance desparamtres non linaires#

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77/178

#y i fx i =#y i # fx i

Fn appliquant , nou!eau la formule de propagation de la

!ariance & #fxi= f 'x

i2 #x

i

d'o` & %2=i

$ iy ifx i2

a!ec $ i= 1

yi2 f 'x i

2 x i2

78

Fnsuite# %2

# ak=0 permet de dterminer les paramtres aHde

notre fonction *par un calcul analytique ou une rsolutionnumrique+# chaque fois nous pou!ons nous ramener , un systme

d'quations linaires de la forme DA(V a!ec D unematrice carre et A le !ecteur associ aux paramtres#Fnsuite A(D1V o` D1est la matrice in!erse de D#

.es incertitudes sur les paramtres sont donnes par lestermes diagonaux de la matrice D1 &

ak2=&1kk r2 o` r2 correspond , la !ariance desrsidus par rapport , la courbe estime#

>uand il n'y a pas d'incertitudes sur les donnes explicitesl'cart1type des rsidus ,pparamtres s'crit &

78 S# est aussi appel W## Si nous supposons les lois de probabilitsnormales les cart1types peu!ent %tre remplacs par les incertitudesen utilisant la loi de Student#

R=

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sr=yi fxi

2

np

>uand i dpend de paramtres nous itrons la mthode6usqu', ce que nous puissions considrer les poidsconstants# Si nous connaissons les cart1types des donnesles cart1types des paramtres peu!ent se calculer a!ec laformule de propagation ou bien %tre estims comme enrgression linaire a!ec barres d'erreurs pQ=#

#& M4ression polynomiale

Dans ce cas &

fx =a0a1xa2x2...amx m=i=0

m

a ixi

4ette fonction est non1linaire par rapport ,x et linairepar rapport aux paramtres#

?llustrons a!ec l'exemple de la loi de 4auchy due auphnomne de dispersion de la lumire &

n +=a0a

1

+2

a2

+4

a!ec les donnes sui!antes &

YC*m& 3R7QM 3QO=2 3QROQ 3Q7Q2 39=O7n 7M72MR 7M7QMO 7M7OQ2 7M2M7R 7M83R3

M3

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79/178

.es incertitudes surYet nsont dans un premier tempsngliges# >ue !alent a) a1 a#et leurs incertitudes

ous a!ons une rgression parabolique sous la forme &

f)x*=a0,a1x,a2x2

a!ec f= n x=1 /+2 #

%2= y i a0a1x i a2x i22 et

donne &

{ yaoa1 xa2x

2=0

x y ao xa1x2a2x3=0x

2yaox

2a1x3a2x

4=0

d'o` DA(Va!ec &

&=

1 x x

2

x x2 x3

x2 x3 x4

=

a

0

a1a2

et (=

yx y

x2y

#

A!ec un tableur nous pou!ons facilement faire les calculs &

& 1 3,3 113,3 11 3811 38 135

&14150 2530 3762530 1546 230

376 230 34,3 (

1,7

5,7

19 d'o` =&1 (1,68129

0,01135

0,00022 #

Pour les incertitudes &

ak=&1kktn3 sr a!ec sr=

yi fxi

2

n3

M7

# % 2 /# ak=0

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sr(1,>=.1)-et , =Q de conance tn$(?,$)D'o` &

a)(1,B>1$Q),))1= a1(C1,1$Q),1)&.1)#*m#

et a#(C#,#Q1,-&.1)?*m?

Prenons maintenant l'incertitude Ln(),))))? , =Q deconance nous a!ons une incertitude sur yet pas surx# .espoids sont donc constants & $ i=$=1/ n

2 # ous

par!enons au m%me systme d'quations et de m%me pourD D1Vet A#?ci en procdant de manire analogue , la rgressionlinaire a!ec barres d'erreurs nous pou!ons en premireapproche estimer la dispersion des rsidus par 1/$ i &

ak=

&1kk

$i d'o` &

a)(1,B>1$Q),))1# a1(C1,1?Q),)=&.1)#*m#

et a#(C#,#Q1,)&.1)?*m?

A!ec l'ensemble des incertitudes Ln(),))))?LY(),))-*metLx(#LYY$ les poids dpendent du point#

ous par!enons nanmoins au m%me systme d'quationsen considrant les poids constants sur une itration et nouscalculons D D1Vet A a!ec des paramtres estims#Pour calculer les moyennes nous utilisons l'expression dupoids sui!ante &

$ i= 1

n2

a12 a2xi

2

x i2

M2

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81/178

ous obtenons ainsi une premire expression desparamtres# Pour itrer nous remplaLons les paramtresestims par ces nou!eaux paramtres# ous itrons autantque ncessaire# .a con!ergence est sou!ent trs rapide &

?tration a3 a7 a2

Fstims 7Q 333Q 33337

7 7RO72O2O9O23O 33778Q38M=M29 333327=R8227Q

2 7RO72R=OMQ9RR 33778QO2Q9M=Q 333327O9RRMM7###

?ci aussi nous prenons & ak=&1kk

$i d'o` &

a)(1,B>1$Q),))1$ a1(C1,1?Q),)>&.1)#*m#

et a#(C#,#Q1,#&.1)?*m?

$& M4ression non linaire

ous allons partir depparamtres aHestims et utiliser unemthode d'itration# Sur chaque itration les poids serontconsidrs constants et la fonction sera linarise pour cha1cun des npoints sur l'ensemble des paramtres#

.a fonction dpend desxiet des paramtres aH nous posons& f i=fx i ) ak

M8

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82/178

%2=

i

$i y if i2 et

# %2

# ak=2

i=1

n

$ i# f# ak

yi f i =0

.es premiers paramtres estims sont nots a) H# ensuitenous les noterons aG H pour la Gime itration# ous allonse@ectuer un d!eloppement limit d'ordre un pour unepetite !ariation Za) Hautour de a) H79#

otons -a= a1, ..., ak, ... , ap et -. a=. a1, ... , . ak, ... ,. ap &

fx i )-a0-. a0=fx i )-a0

l =1

p

. a0 l

# fx i ) -a

# a l a0l

soit en allgeant les notations &

f i=f0, il # f#a l0, i . a0 l

ainsi i $i # f# ak yi f 0, il #

f# al0,i .

a0l =0

et i

$i# f# ak

yif0, i=i , l

$ i# f# ak

# f# al

. a0 l #

ous posons &k , l =i

$ i

# f# a

k

i

# f# a

l

i

=&l , k

(k=i

$i# f# ak

yi f 0,i et l =. a0l #

d'o` , nou!eau DA(V et A(D1V# ous itrons 6usqu',con!ergence et !ariations sur les paramtres ngligeables#

79 IATJ& nous gnralisons la notion de dri!e en a6outant les!ariations selon tous les paramtres &

fx0 fx 0 f 'xx0

M9

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?ci aussi nous utilisons & ak2=&1kk r

2.

?llustrons a!ec une exprience de biologie o` l'on tudie larelation entre la concentration du substrat kS et la !itessede raction dans une raction en(ymatique , partir dedonnes reportes dans le tableau sui!ant kix &

i 7 2 8 9 Q R M

kS 338O 37=9 392Q 3R2R 72Q8 2Q33 8M93v 33Q3 372M 33=9 32722 32M2= 32RRQ 3887M

ous souhaitons a6uster sous la forme &

y= &x'x en posant v(yet kS(x#

ous partons des estimations [)(),Ret\)(),##

# f#&

= x'x

# f# '

= &x

'x2 &=&11 &12&

21 &

22

=&' et (=(1(2 #

Fn absence d'incertitudes fournies surxiet yi&

&11=

i=1

7

# f

#& &0 i

# f

#& &0 i

=

i# f

# & &0 , i

2

=

i xi

' 0xi

2

MQ

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84/178

&12=&21=i

&0x

i

2

'0xi 3 et &22=

i

&0

2x

i

2

'0xi4 #

(1=i

xi

'0x iy i f 0,i et (2=

i

&0xi

'0x i2

yif0, i

a!ec f 0,i = &

0x i

' 0xi

ous pou!ons maintenant tout mettre dans un tableur nousobtenons &

&113,81 &12=&212,89 &223,70

(12,33 et (21,86 #

puis

&1

0,649 0,5080,508 0,668 d'o` =&1 (0,5670,0602 #

Ainsi de [1([) /Z[) et \1(\) /Z\) nous a!ons lesnou!eaux paramtres estims &

&10,90,5670,333 et '10,20,060,260

ous replaLons ces !aleurs au dbut des calculs , la placede [) et \) pour itrer# ous calculons de nou!ellesmatrices et !ecteurs D D1 Vet A et nous obtenons [#et

\##

MR

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ous donnons l'ensemble des rsultats dans le tableausui!ant &

?trat[ [ \ Z[ Z\ S #

3= 32 13QM 33R3 799Q9=RQO7Q

7 3888 32R 33737 37RR 337Q3M23MQ8

2 3898 398 337Q3 3738 333O9QO822O

8 38QO 3Q8 33393 3329 333MOR98293

9 38R79 3QQ9 33339 33329 333MO997O2R

Q 38R7O3 3QQR7 333338 33337O 333MO9933RM

R 38R7O8 3QQR8 3333332 3333378 333MO9933QM

Aprs suNsamment d'itrations & &11,52 6,346,34 36,2

4alculons les incertitudes sur les paramtres &

sr= %2

n2et &=&1 11tn 2 s r1,52.1,48.0,007845

d'o` &0,07 '0,35 #

Kinalement & [(),$BQ),)= et \(),-BQ),$- , O3#

MM

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e 4rap'ique qui suit reprsente la vitesse de raction en %onction de laconcentration du substrat. es carrs sont les points exprimentaux, lali4ne continue la courbe optimale et en pointills les deux courbes

extr]mes f&max , ' min et f&min, 'max .

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

Si nous !oulons considrer les incertitudes pour chaquepoint nous de!ons a6outer les poids# 4eux1ci sontconsidrs constants sur chaque itration# ?l faudra calculerla dri!e de % par rapport , x qui inter!ient dansl'expression du poids#Pour des cart1types sur l'ensemble des donnes nouspou!ons calculer les cart1types des paramtres en

s'inspirant des mthodes de la rgression linaire pR7#

MO

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E. Exercices

Exercice 1 : Corr&lations corrig p144

1$ In ralise neu6 e%riences nous o*tenons Bc"a#ue 6ois trois ralisations des grandeurs Y1 Y2 etY(

a4 Sur l'ensem*le des e%riences dterminez lesmo!ennes arit"mti#ues et les cart$t!%es de ces troisgrandeurs.

*4 Lracez Y2en 6onction de Y1. uis Y(Y14 et Y(Y24.

c4 alculez les coeKicients de corrlation r12 r1(et r2(.ommentez.

2$ Q>me c"ose a+ec les donnes sui+antes

($ Q>me c"ose a+ec les donnes sui+antes

#1 2 #2 0 #2 2 1

#1 0 2 #2 0 2 #1

$1

$2

M=

i= 1 2 3 4 5 6 7 8 9

#1 #1 0 0 0 1 1 10 #1 1 0 #1 1 0 #1

0 1 #1 0 1 #1 0 1

$1

x1

1 = #1

$2

x21= 1

$3

x31= #1

0 1 #1 2 0 #1 0 #2 1

1 2 #1 2 0 #2 #1 #2 1

$1

$2

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Exercice 2 : +olumes corrig p14

Z l'aide d'une %i%ette &auge nous rem%lissons #uatre*c"ers a+ec 100 m, d'eau c"acun. our tester la%i%ette et conna[tre %rcisment la #uantit d'eaunous eKectuons #uatre %eses au dcigramme et nouso*tenons ramen en m, les rsultats sui+ants %ourles diKrents *c"ers

C1T{1001 ; 1000 ; 999 ; 1000}

1$ alculez la mo!enne et l'cart$t!%e de C1. ?stimez la%rcision de la %i%ette a+ec une conance de 9:.

)ous rem%lissons maintenant deu *c"ers etrassem*lons le contenu des deu dans un seul

$ \ $1 \ C2.orres%ondant B C1 nous a+ons les mesures sui+antes%our C2

C2T{1000 ; 1001 ; 1000 ; 999}

ar eem%le %our la troisi=me mesure nous a+onsC1T999 m, et C2T1000 m,.

2$ Qontrez #ue C1et C2sont des grandeursind%endantes.

($ alculez la mo!enne de C son cart$t!%e etl'incertitude ]C B 9:.

3$ ourriez$+ous retrou+er ce rsultat a+ec la 6ormulede %ro%agation des incertitudes

56our a7iner le test il 8audrait prendre plus de mesures9mais le principe reste le mme9 et les rsultats restentvalides car nous avons largi avec le ;tudent9 considr desdonnes dcorrles et des pa

O3

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Exercice 3 : ,r-res corrig p14%

)ous +oulons mesurer la distance dentre deu ar*res.

our cela nous dis%osons d'un *ton d'une longueurd'un m=tre. D'un ar*re B l'autre nous re%ortons le*ton cent 6ois. )ous estimons %our c"a#ue re%ort uneincertitude de 1 cm.

5uelle est l'incertitude sur la +aleur de d

Exercice 4 : .&thode de /essel corrig p14#

'est une mt"ode de 6ocomtrie #ui %ermet demesurer la distance 6ocale 8? d'une lentillecon+ergente. our cela on mesure la distance,entreun o*&et lumineu et son image sur un cran. 5uand,@48? il eiste deu %ositions o^ l'image est nette. ,adistance entre ces deu %ositions est note d. )ous

a+ons ensuite la distance 6ocale de la lentille %ar larelation 8?5,BdB>C4,. )ous mesurons DT2000_10mm et dT(_20 mm.

5uelle est alors l'incertitude sur8?

Exercice 5 : 0ndice corrig en version complte

)ous +oulons dterminer e%rimentalement l'indicen2d'un +erre. our cela nous eKectuons l'e%riencede la r6raction d'un 6aisceau laser. ,es lois deDescartes %our l'o%ti#ue gomtri#ue indi#ue #uen1.sini14Tn2.sini24 a+ec niles indices lumineu et iilesangles %ar ra%%ort B la normale au dio%tre. )ousa+ons n1TnairT1 i1T(0_1` et i2T20_2`.

Dterminez n2a+ec son incertitude.

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Exercice : ormule de Cauch


)ous +oulons mesurer la +ariation d'indicelumineu nen 6onction de la longueur d'ondeD dansun milieu trans%arent %"nom=ne de dis%ersion4.our cela nous utilisons un %risme une lam%e Bsodium et un goniom=tre. D'a%r=s la t"orie la+ariation de n5D>doit sui+re la 6ormule de auc"! dansle s%ectre +isi*le

n +=(

+2

,e s%ectre de raie du sodium est connu. our c"a#ueraie de longueur d'onde Di on calcule l'indice nicorres%ondant en utilisant la 6ormule du %rismesui+ante

ni=

sin

*m ,i

2

sin2,m est la d+iation minimale. A%$E est l'angle ausommet du %risme. es deu angles sont mesurs B 2'%rs 1'Tune minute d'arc et 1`T0'4.

)ous o*tenons ainsi le ta*leau de donnes sui+ant

YCnm& R7QM QO=2 QROQ Q7Q2 9=O7

4ouleur rouge 6aune !ert16aune !ert bleu1!ert

m QM[ 9=Q' QO[ =' QO[ 2O' Q=[ 2RQ' Q=[ Q3'

n 7M72MR 7M7QRO 7M7OQ2 7M2M7R 7M83R3

1$ Dterminez l'incertitude sur n celle$ci estglo*alement constante d'une +aleur B l'autre4.

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2$ Ncce%tant l'e%ression en 1CDB de la 6ormule deauc"! en dduireAet&a+ec leurs incertitudes.

5ue +aut le coeKicient de rgression r($ eut$>tre #u'en traant nen 6onction de 1CDou 1CD3

nous aurions un meilleur alignement des %oints )ous +oulons +rier e%rimentalement #ue la+ariation en 1CDB est *ien la meilleure des relations%ol!nomiales. our cela nous %renons la 6orme

n +=( .+&

ro%osez une mt"ode %our dterminer N et b.)ous %ourrons +rier le mod=le car nous aurons ba+ec son incertitude.

Exercice " : .ur corrig p11

)ous a+ons un mur d'une sur6ace ST72 m/. ,atem%rature etrieure est de ` et la tem%rature

intrieure est maintenue B 18`. e mur de 0 cmd'%aisseur est constitu de e%T30 cm de %aillecom%resse conducti+it t"ermi#ue %T3 m@Am4et de eeT10 cm d'enduit eT200 m@Am4. ,es sontdonnes B 10: %r=s les %aisseurs au cm et lestem%rature au demi degr.

1$ Dterminez la rsistance t"ermi#ue a+ec sonincertitudede la %aille %our ce mur E..STe4

2$ Q>me c"ose %our l'enduit.

($ Sac"ant #ue les rsistances t"ermi#ues s'associentcomme les rsistances lectri#ues en sriedterminez la rsistance t"ermi#ue totale du mur a+ecson incertitude.

3$ 5uelle doit >tre la %uissance minimale du c"auKagede la maison rien #ue %our com%enser les %ertes %arles murs LTE.4

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Exercice % : 0solation et inertie


)ous a+ons une maison %roc"e des%rconisations %our une maison nergie Fro. ,esrsistances t"ermi#ues ramenes au m/ soit e sont%our le toit de 8 m/.A@ %our les murs et le sol de 3m/.A@ et %our les "uisseries de 1 m/.A@ lesrsistances sont connues a+ec une %rcision de 10:4.,a maison a une sur6ace au sol de ( m/ 3 m/ de toit82 m/ de mur et 8 m/ d'"uisseries.

1$ ,es rsistances #ui+alentes du toit du mur du solet des "uisseries tant en %arall=le dterminez larsistance t"ermi#ue totale en A@4 a+ec sa%rcision.

,es tem%ratures etrieures et intrieures sontconstantes.

2$ 5uelle doit >tre la %uissance minimale du c"auKage

de la maison %our maintenir la tem%rature intrieureconstante en com%ensant les %ertes

($ )ous cou%ons le c"auKage et nous mesurons latem%rature au cours du tem%s

t en heures 3 7 2 9 Q R O = 73

T en [4 7O 7R 79 72 77 73 = = O

?%li#uez %our#uoi la dcroissance ne %eut >trelinaire. )ous considrons la dcroissance de t!%ee%onentielle Lt4Ta.e%$tf4\* . Dterminez * a etf a+ec leurs incertitudes.

3$ ,a maison est isole %ar l'etrieur. ,e ut"ermi#ue %erdu corres%ond B une diminution del'nergie emmagasine dans la maison. ette inertieest due B la ca%acit t"ermi#ue des matriau hA4.

a4 ?n raisonnant sur un inter+alle de tem%s

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innitsimal dt trou+ez l'#uation diKrentielle+rie %ar Lt4 et retrou+ez l'e%ression du (.

*4 5uelle est la relation entre f E et Dterminez et son incertitude.

Au 3( nous pouvons aussi tenir compte des incertitudes demesure : le temps peuttre considr comme par8aitementconnu et la temprature est mesur avec un termomtre dilatation d?un li

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Exercice 1) : tude d'une pile corrig p14

)ous c"erc"ons B dterminer la tension B +ide

? et la rsistance interne r.our cela nous mesurons %our la %ile diKrentes+aleurs de < et W a+ec un +oltm=tre et un am%=rem=tre< T ? $ r.W4

cali*re%our <

unit C%rcision _00: _000(

< C4 37(1

37(1

37(0

3728

3723

3723

3722

3721

3719

371

cali*res%our W

unit jN%rcision

_02: _00(

unit mN%rcision _02: _0000(

W 928(

113

12

02(2

038

0200

0831

01

0770

0923

1$ Sans les *arres d'erreurs dterminez ?_? etr_r.

2$ Q>me c"ose en incluant cette 6ois les incertitudesde c"a#ue mesure indi#ues dans la notice du6a*ricant du multim=tre.

Exercice 11 : ocom&trie corrig en version complte

)ous dsirons dterminer la distance 6ocale 6'd'une lentille con+ergente. ,a lentille est en I et 6aitl'image net en N' d'un %oint o*&et N. )ous mesuronsIN IN' et leurs incertitudes sont incluses toute lessources d'incertitudes gomtri#ues latitude de miseau %oint et modlisation4. )ous considrons #ue lalentille +rie la relation de con&ugaison

1IN' \ 1IN T 16'.

Dterminez 6' %ar l'intermdiaire d'une rgressionlinaire. La*leau %age sui+ante.

OR

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%onnes ex&rimenta'es (mm) *

+ +

635 5 150 15

530 5 160 17

496 5 164 15

440 5 172 18

350 5 191 20

280 5 214 25

210 5 292 28

150 5 730 102

O+ O+

Th&orie

Exercice 12 : corrig en version complte

our la rgression sim%le montrez #ue

i=1

n

xix 2=nx

2x

2


our la rgression sim%le montrez #ue nous %ou+ons

aussi crire s!=sr1

n

x2

x ix2.


our la rgression sim%le montrez #ue !=x2 a .

OM

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Exercice 15 : ,smptotes corrig en version complte

our la rgression sim%le montrez #ue au dessus et

en dessous de la droite de rgression les as!m%totesdes droites etr>mes des cour*es de conance et de%rdiction se con6ondent #uand xode+ient grand.

Exercice 1 : 0ntervalle de conance et depr&diction pour la r&gression lin&aire avec -arresd'erreurs corrig p1%

Egression a+ec *arres d'erreurs

1$ Donnez les e%ressions de x et xB en utilisant les%oids Ki. 5uel lien constatez$+ous a+ec l'e%ression deL%94

Nnalogie

2$ Z %artir des inter+alles de conance et de%rdiction %our 0o en rgression sim%le %3 etsui+ante4 dterminez %ar analogie les 6ormules #uisui+ent

estimation %rdiction

y o= 1

n $ i

1xox

2

x

2

x2

y o= 1

n $i

1nx ox

2

x

2

x2

($ Dterminez les carts selon 0 B la droite dergression %our les droites etr>mes les cour*es deconance et les cour*es de %rdiction #uand xode+ient grand.Dans un eercice %rcdent nous a+ons montr #ue%our la rgression linaire les as!m%totes secon6ondaient B l'inni. ar analogie #ue doit$on %oser%our #u'il en soit de m>me en rgression a+ec *arresd'erreurs Qontrer #ue nous a+ons alors les 6ormules sui+antes

OO

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?stimation rdiction

y o= 1

$ i

1

xox 2

x2x 2 y o= 1

$ i

2

x ox 2

x 2x2

,es 6ormules ainsi o*tenues %ar analogie sontem%iri#ues elle sem*lent e%rimentalementco"rentes et demandent conrmation %ar unedmonstration t"ori#ue.

"ourbes de conHance et prdiction pour l?exprience du Froabsolu : M5E"> en 8onction de 656a>

Exercice 1" : ,utres expressions corrig p1#

our la rgression a+ec *arres d'erreurs donnez

l'e%ression de a bLaetLben 6onction de x0 x0 xBet0B. om%arez a+ec la rgression sim%le.

O=

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Exercice 1% : .&thode des moindres carr&s corrig en version complte

Dmontrez %ar la mt"ode des moindres carrs lese%ressions de aet b

1$ %our la rgression linaire sim%le.

2$ %our la rgression linaire a+ec *arres d'erreurs.,esLxietL0isont considrs %etits %ar ra%%ort B xiet0i.

Dmonstration des e%ressions de La et Lb %our largression sim%le

'tode 1 :

1$ Qontrez #ue a=i

piy i a+ec pi= xix

xix 2.

2$ Dduire de cette 6ormule de asa +ariance N5a> 1.

'tode 2 :

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Exercice 2) : cart6tpes proportionnels 7 corrig p1Q

)ous nous %laons dans le cas t"ori#ue %articulier o^les cart$t!%es de la rgression linaire sont%ro%ortionnels B 0 y

i=k y i . e cas o^ les

incertitudes relati+es sont constantes est e%ri$mentalement courant. )ous nous intressons ici aucoeKicient directeur a.

1$ Qontrez #ue a= 1

y2 xy

x

y21y

1y 2 x

2

y2

xy2 2

2$ ?%rimez# a#y j

calcul long4.

($ alculez saen utilisant les e%ressions trou+es%our les deu &eu de donnes sui+ants

xi 7 2 8 9 Q R M

7 & i 73 7Q 23 2Q 83 8Q 93

2 & i O 2OR 7M 2OR 7O 2OR 2M 2OR 2O 2OR 8M 2OR 8O 2OR

)ous %renons R$914.

Eetrou+er ces rsultats a+ec la mt"ode numri#ue+aluation des dri+es %ar %etites +ariations4.

om%arer a+ec les +aleurs o*tenues %ar la mt"odeclassi#ue.

Exercice 21 : 0nterpr&tation de l'expression de wicorrig en version complte

hustiez gra%"i#uement la %osition de adans l'e%res$

sion de Ki.

=7

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Rgression non-linaire

Exercice 22 : D&composition en gaussiennes


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. COMP)5M4N1!

A. /esure a0ec une rle

Article publi dans le

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7# IFSH5F DF .A .:GHFH5 DvHF 4A5TF

ous plaLons lagraduation du (rosur le bord gauchede la carte# Sur lebord droit nousconsidrons lagraduation la plus

proche du bord#.'exprimentateurne lit pas entre les

graduations# .'paisseur des traits quidlimitent une graduation est considre commengligeable de!ant la largeur de cette graduation# ousobtenons ainsi pour le 6eu 7&

x1=8,40,05 cm .

=9

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Pour le 6eu 2&x

2=11,20,05 cm .

ous acceptons une perte d'information due , la rsolution+=1 mm de la rgle# .orsque ultrieurement nousexploitons ces donnes toutes les !aleurs entrex

min=x moy+/2 et x max=xmoy+/2 sont

quiprobables# .a loi de probabilit de la !ariable continuealatoire est uniforme# x est une ralisation de # 4ettedistribution de probabilit a une tendue E=xmaxxmin et nous !rions pour la densit de probabilit fx &

fx dx=1

.a probabilit pour que la !aleur de soit comprise entrex et xdx est de fx dx # .e rsultat sera comprisa!ec certitude entre x min et x max & par exemplex1=8,40,05 cm , 733 de conance maisx

1=8,40,04 cm a!ec une probabilit de O3#

=Q

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Pour caractriser l'talement d'une distribution considronsl'tendue F et l'cart1type dont la dnition pour une loicontinue est&

#=2=xxmoy

2f x dx

$ est appele la !ariance# Pour une loi uniforme&

=./120,29 .

et nous a!ons x=xmoy a!ec une conance de QO#.'cart1type est une grandeur adquate pour caractriser lalargeur d'une distribution# .'tendue quant , elle est dniepar les !aleurs extr%mes qui peu!ent %tre peureprsentati!es ou pire des !aleurs aberrantes#

2# .:GHFH5 DFS DFH 4A5TFS I?SFS

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.a loi de probabilit f de se calcule , partir de cellef

1 de 7 et f2 de 2# Pour une somme de !ariablesalatoires indpendantes le rsultat est donn par un produitde con!olution kiii &

fx= f1 yf 2xy dy 0 { xxmin0fx =0

xminxxmoy 0fx=xx min

.2

x moyxxmax 0fx=xmaxx

.2

xxmax 0fx=0

=M

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ous a!ons alors une loi de probabilit triangulaire#ous obtenons x=19,60,1 cm a!ec 733 de conanceet x=19,60,055 cm a!ec O3 de conance#

8# AA.:G?F A$F4 .F .A4F5 DF DFH DCS

Pour chaque d les six !aleurs sont quiprobables#?ci la loi de probabilit n'est plus continue mais discrte#Pour le lancer simultan de deux ds la somme des !aleursobtenues est comprise entre deux et 72# Dans ce cas il n'ya plus quiprobabilit une manire de faire deux a!ec undouble un deux manires de faire trois a!ec un et deux oudeux et un### Pour faire sept nous obtenons le maximum de

possibilits# ous retrou!ons ainsi une loi triangulaire#

=O

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9# .:GHFH5 DF DFH 4A5TFS D'H IwIF BFHI?SFS

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ous a!ons dans ce cas x=xmoy0,11 cm , O3#A 733

de conancex=x

moy

0,45 cmce qui amne , considrerdes domaines o` la probabilit de prsence de est

!raiment ngligeable# Hne incertitude de 39Qcm sembleinutile alors que == des cas taient d6, prsents a!ec uneincertitude de 322cm#

5aisonner a!ec une conance de 733 re!ient , considrer

l'tendue celle1ci est additi!e pour une somme de!ariables# .'tendue est proportionnelle , #

733

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O3 =Q ==\7 393 39O 3Q3

2 3QQ 3MO 3=38 3RR 3=M 77=9 3MQ 772 797Q 3O9 72Q 7R3R 3=2 78O 7MRM 3== 79= 7=7

O 73R

7Q=

23Q

= 772 7R= 27O73 1,# 1,> #,$23 1,= #,- $,$Q3 #,B ?,) -,#

733 $,= -,= =,?

Iais cette approche ne tient pas compte d'une chose& lacourbe se resserre autour de la moyenne quand augmente#?l existe une autre grandeur additi!e& la !ariance#.'cart1type racine de la !ariance est proportionnel , ettient compte des compensations d'erreurs#.a courbe obtenue est ce qu'on appelle une courbe en

cloche# Hn thorme statistique appel thorme centrallimite indique que pour grand la courbe tend !ers unegaussienne# .'tendue d'une gaussienne est innie pour uncart1type ni#

ous pou!ons rsumer l'!olution de l'incertitudesur la somme de longueurs indpendantes mesures a!ec

une m%me rsolution + dans un tableau# Fn italique ,partir de \73 il s'agit de simulations numriques

737

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110/178

ralises sur ordinateur par gnration de nombresalatoires#

.es rsultats des mesures sont sou!ent donns a!ecune conance de =Q ce qui correspond pour unegaussienne , une incertitude d'en!iron 2 #

R# AHT5FS APP.?4AT?:S

Hn coureur souhaite mesurer son temps deparcours# Sa montre , aNchage numrique indique qu'ilpart , 10 / 52min et qu'il arri!e , 11 / 11min #.'aNchage est , la minute il est donc partit entre10 / 52min 00 s et 10 / 52min 59 s # D'o` la date dedpart dans l'inter!alle t1=10 / 52min30 s30 s # .a

rsolution est d'une minute# .a dure du parcours est t=t2t

1 # .es rsultats restent !rais pour une di@rence#ous a!ons \2 et t=19min47s a!ec =Q deconance#I%me dmarche si des tudiants mesurent une di@renced'angles sur un goniomtre# 4haque mesure tant , laminute d'arc prs l'incertitude du rsultat est de 9M

secondes d'arc , =Q#Sept personnes !eulent rentrer en m%me temps dans

un ascenseur# Sa charge maximale est de Q33Yg# .eursmasses indi!iduelles sont mesures a!ec un pse personned'une rsolution de un Yilogramme# .a masse totale est de9==Yg# >uelle est la probabilit d'%tre en surchargePour \M l'incertitude atteint un Yilogramme a!ec une

conance de O3# ?l y a donc une chance sur dix pour quel'ascenseur soit en surcharge#

732

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Au laboratoire de nombreux appareils de mesuredisposent d'aNchages numriques# .a rsolution est audernier digit prs# Iais l'incertitude globale est biensuprieure# ?l faut consulter la notice de chaque appareil#

4:4.HS?:

.a dmarche gnrale consiste , combiner des lois

de probabilits# .'outil mathmatique utilis est unchangement de !ariables puis une ou plusieurs intgrations#Pour la mesure a!ec une rgle dcrite dans cet article ils'agissait d'une somme de deux !ariables alatoiresindpendantes et nous a!ons obtenu un produit decon!olution#

Si l'on !eut faire un calcul plus rapide une analyse

de !ariance peut suNre# ous a!ons une !ariable alatoire- qui dpend de !ariables alatoires indpendantes-i & -= f-1 , -2 ,. .. , -i , .. . , -. # ous appelons

i l'cart1type de -i et celui de - # Pour des i nis et de petites !ariations nous a!ons la formule depropagation des cart1types ki! &

2=i=1

n

# f#x i

2

i2

Ft indpendamment des lois de probabilits cette relationentre les !ariances reste !raie# :n pourra ainsi donner sonrsultat a!ec une incertitude , 2 ou 3 #

738

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Fxiste1t1il une formule analogue en terme de conance:ui mais elle est approximati!e c'est la formule depropagation des incertitudes&

f2=i =1

n

# f#x i

2

xi2

a!ec x i=x imoyx i f= fmoy f et une conanceconstante# 4ette formule est trs pratique et permet un

calcul rapide et raisonnable des incertitudes combines#>ui plus est elle est exacte si la forme des distributions estla m%me pour Xet les -i # Par exemple si les -i sont ,distribution gaussienne toute combinaison linaire l'estaussi#ous tenons ainsi compte des compensations et nous

!itons d'utiliser la formule f=i=1

n

# f/#x ix i quisurestime les incertitudes parfois m%me a!ec un tel excsque l'on en perd son sens physique# 4ette dernire formulene tient compte d'aucunes compensations on a la pire dessituations statistiquement improbable# ?ci par exemplepour \ 733 on aurait une incertitude de Q3 + au lieu deQM+ dans la pratique *conance de =Q+#

Dans cet article nous nous sommes concentr sur larsolution d'un systme d'acquisition qui donne une erreurde discrtisation# Iais on peut aussi %tre amen ,considrer des erreurs systmatiques et des erreursalatoires# ?ci la rgle tait suppose parfaite c'est , dire6uste et dle#

739

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B. /troloie

9. 4em*les

?ntressons1nous , deux instruments de mesure particuliers & unchronomtre et un ampremtre#

/esure d'une dure a0ec un chronomtre 1

ous mesurons la dure dd'un phnomne# ous supposons que

l'exprimentateur appuie aux bons moments pour mesurer ce quel'on appelle les dates initiale t1et nale t## Pour %tre un bon exp1rimentateur il faut a!oir une connaissance minimale de ses ins1truments de mesure# Hn chronomtre du type utilis ici fonc1tionne a!ec un quart( trs prcis# .a dri!e est d'une quin(ainede secondes par an soit en!iron 333339 secondes sur notre ex1prience# ?ci nous ngligeons la dri!e# ous pou!ons supposer

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