éléments de théorie des groupes Groupes.pdféléments de théorie des groupes 1re Option spéciﬁque Jean-Philippe Javet Mon cher Auguste, [...]Je me suis souvent hasardé dans

éléments de théorie des groupes

1re Option spécifique

Jean-Philippe Javet

Mon cher Auguste, [...]Je me suis souvent hasardé dans ma vie à avancer despropositions dont je n’étais pas sûr. Mais tout ce que j’ai écrit là est depuisbientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromperpour qu’on me soupçonne d’avoir énoncé des théorèmes dont je n’aurais pas ladémonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi et Gauss de donnerleur avis, non sur la vérité, mais sur l’importance des théorèmes. Je t’embrasseavec effusion

Évariste Galois29 mai 1832

Table des matières

1 Mise en place 11.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Opération interne ou loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Propriétés d’une loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1 Fonctions bijectives et fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Notion de groupe 112.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Quelques groupes célèbres 173.1 Groupe fini de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Permutations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Classes de restes modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Matrices carrées de type de 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3.1 Groupe additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.2 Groupe multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Table de Cayley et isomorphisme de groupes 33

5 Sous-groupe 41

A Bibliographie et ressources Internet 47

B Quelques éléments de solutions IB.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IB.2 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IIB.3 Quelques groupes célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IVB.4 Tables de Cayley et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

I

II

B.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Malgré le soin apporté lors de sa conception et surtout parce qu’il a été utilisé en classe qu’à une reprise, lepolycopié que vous avez entre les mains contient certainement quelques erreurs et coquilles. Merci de participer àson amélioration en m’envoyant un mail :

[email protected]

Merci ;-)

;-) Votre prof de math vous a souvent reproché votre manque de rigueur dans larédaction de vos exercices de mathématiques. . . Que pensez-vous de ceci ?

mailto:[email protected]

1Mise en place

1.1 Préambule

Évariste Galois

mathématicien français(1811-1832)

Évariste Galois a tout juste vingt ans lorsqu’il meurt dans un duel.Il restera pourtant comme l’un des plus grands mathématiciens deson temps pour avoir introduit la notion de groupe, alors qu’il avaità peine dix-sept ans.

‚ Vous savez résoudre les équations du deuxième degré :

ax2 ` bx ` c “ 0.

Les solutions s’expriment en fonction de a, b, c et de la fonc-tion racine carrée

?.

‚ Pour les équations du troisième degré : ax3 ` bx2 ` cx`d “ 0,il existe aussi des formules.Par exemple une solution de x3 ` 3x ` 1 “ 0 est :

x1 “ 3

d?5 ´ 12

´ 3

d?5 ` 12

.

‚ De telles formules existent aussi pour les équations du qua-trième degré.

Niels Abelmathématicien norvégien

(1802-1829)

Une préoccupation majeure au début du XIXe siècle était de savoirs’il existait des formules similaires pour les équations de degré 5 ouplus. La réponse fut apportée par Galois et Abel :

Non il n’existe pas en général une telle formule.

Galois parvient même à dire pour quels polynômes c’est possibleet pour lesquels ça ne l’est pas. Il définit pour sa démonstration lanotion de groupe.Les groupes sont à la base d’autres notions mathématiques commeles anneaux, les corps, les matrices, les espaces vectoriels, . . .Mais vous les retrouvez aussi en arithmétique, en géométrie, encryptographie !

Avant d’introduire la définition d’un groupe, nous commenceronspar définir les notions de loi de composition interne et compositionde fonctions.

1

2 CHAPITRE 1. MISE EN PLACE

1.2 Opération interne ou loi de composition interne

1.2.1 Exemples introductifs

Considérons la soustraction dans N. Au couple p3 ; 2q peut êtreassocié le nombre 3 ´ 2 “ 1 ; par contre, au couple p2 ; 3q le nombre2 ´ 3 “ ´1 ne peut pas l’être, car ´1 ne se trouve pas dans N. Lasoustraction dans N n’apparaît donc pas comme une relation deN2 “ N ˆ N dans N. Elle ne s’applique pas à tous les couplesde nombres naturels pa ; bq. On constate en fait que les couples pourlesquels cette relation n’est pas possible sont ceux dont le deuxièmeterme est plus grand que le premier.Considérons maintenant l’addition dans N. Au couple p3 ; 2q peut-être associé le nombre 3 ` 2 “ 5. Dans le cas de l’addition, à chaquecouple pa ; bq P N2 est associé le nombre a`b. Nous avons donc uneapplication ` de N2 dans N donnée par :

` : N2 Ñ N

pa ; bq ÞÑ a ` b

Définition: On appelle opération interne ou loi de composition internedans un ensemble E toute application de E ˆ E dans E.

Exemple 1: L’addition et la multiplication sont des opérations internes dans N,au contraire de la soustraction et de la division.

1.2.2 Propriétés d’une loi de composition interne

Dans tout ce qui va suivre, le symbole ‹ désignera une loi de com-position décrivant, en général, la procédure de calcul sur l’ensembleconsidéré.

Définition: On dit que ‹ définie dans un ensemble E est commutative si etseulement si a ‹ b “ b ‹ a pour tout a, b P E.

Exemple 2: Dans R`, définissons px ; yq ÞÑ x ‹ y par :

a) x ‹ y “ x ` y

2(moyenne arithmétique)

b) x ‹ y “ ?x ¨ y (moyenne géométrique)

Montrer, dans les deux cas, que x ‹ y est commutative.

CHAPITRE 1. MISE EN PLACE 3

Exercice 1.1: Parmi les lois suivantes, lesquelles sont des opérations internes surles ensembles considérés ? Justifier.

a) Z avec ‹ la moyenne arithmétique ;

b) R avec ‹ la moyenne géométrique ;

c) E “!x

3| x P Z

)

avec l’addition ;

d) F “ tx P R | x ą 3u avec l’addition ;

e) G “ tx P R | x ě 5u avec la multiplication ;

f) Q avec la moyenne arithmétique ;

g) R avec x ‹ y “ x ¨ y ` y ´ x ;

h) Z avec x ‹ y “ x ¨ y ` x

y.

Exercice 1.2: Parmi les lois de composition interne découvertes ci-dessus, les-quelles sont commutatives ?

Définition: On dit que ‹ définie dans un ensemble E est associative si etseulement si pa ‹ bq ‹ c “ a ‹ pb ‹ cq pour tout a, b, c P E.

Exemple 3: La multiplication et l’addition dans R sont associatives.

Remarque: Si une opération interne ‹ est associative dans E, on peut suppri-mer ou ajouter une ou des paires de parenthèses dans toutes lesexpressions contenant des éléments de E reliées par ‹, mais sanschanger l’ordre des éléments :

pa ‹ bq ‹ c “ a ‹ pb ‹ cq “ a ‹ b ‹ c

Exemple 4: La loi ‹ définie dans RˆR par px ; yq ‹ pa ; bq “ pxa ; ybq, est-elleassociative ?


Exercice 1.3: Montrer que la loi x ‹ y “ x ` y

1 ` xyest associative sur R‹

`.

Définition: Soit a et b P R, on définit le minimum de a et b par :

minpa , bq “#

a si a ď b,

b si b ď a.

Exercice 1.4: Dans E “ t1, 2, 3, 4u on pose a ‹ b “ minpa , bq.Étudier cette loi, c’est-à-dire montrer si, oui ou non, elle est in-terne, commutative et associative.

Exercice 1.5: Dans R2, étudier la loi ` définie par :

px ; yq ` pa ; bq “ px ` a ; y ` bq

Exercice 1.6: Dans R2 étudier la loi ‹ définie par :

px ; yq ‹ pa ; bq “ pxa ´ yb ; xb ` yaq.

Exercice 1.7: Dans R on envisage l’opération interne x ‹ y “ mxy ` 1.Déterminer m P R de sorte que ‹ soit associative.

Exercice 1.8: Dans R on envisage l’opération interne x ‹ y “ 2x ` 2y ´ 4xy ´ 12

.

Étudier ‹.

Convention: Rappelons ici quelques conventions d’écriture :

‚ “Quelque soit x appartenant à. . .” ou “Pour tout x apparte-nant à . . .” :

@x P . . .

‚ “Il existe y appartenant à. . .” :

Dy P . . .

‚ “Il existe un unique y appartenant à. . .” :

D!y P . . .

Exemple 5: Décoder la propriété suivante :

@p et q P Q , D!r P Q tel que p “ q ` r


1.3 Composition de fonctions

Considérons les fonctions suivantes définies sur tout R

fpxq “ 2x ` 1

gpxq “ 3x ´ 1

Considérons alors x “ 1. En calculant fp1q, on obtient 3. On peutalors calculer gp3q “ 8. On a donc calculé d’abord l’image de 1 parf , puis l’image de 3 par g. On obtient donc :

g pfp1qq “ gp3q “ 8.

On vient d’effectuer ce que l’on appelle la composition desfonctions f puis g pour la valeur x “ 1.

On pourrait également d’abord calculer gp1q on obtient gp1q “ 2puis fp2q “ f pgp1qq “ 5. Dans ce cas, on a effectué la compositiondes fonctions g puis f .

On constate alors qu’effectuer f puis g n’est, en général, pas équi-valent à effectuer g puis f .


Définition: Soient deux fonctions f et g définies respectivement sur lesensembles EDpfq et EDpgq.On définit la fonction h “ f ˝ g appelée la composée de f

et g par hpxq “ f pgpxqq pour tous les x tels que x P EDpgq etgpxq P EDpfq.L’opération ˝ s’appelle la composition de fonctions.

On peut résumer cette opération par le diagramme suivant :

Exemple 6: Considérons les fonctions f et g définies par :

fpxq “ 2x ` 1 gpxq “ 3x ´ 1.

Compléter alors pour tout x P R les égalités suivantes :

hpxq “ pf ˝ gqpxq “ . . . p. . . pxqq “ fp. . . . . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

kpxq “ pg ˝ fqpxq “ . . . p. . . pxqq “ gp. . . . . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

“ . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Exemple 7: Considérons fpxq “?

x ´ 3 et gpxq “ x2 ` 1.

On a EDpfq “ r . . . ; . . . r et EDpgq “ . . . .

‚ Considérons la fonction h “ g ˝ f .

hpxq “ . . . p. . . pxqq “ gp. . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pour autant que l’on considère EDphq “ r . . . ; . . . r.

‚ Si l’on considère k “ f ˝ g on a :

kpxq “ . . . p. . . pxqq “ fp. . . . . . q “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

avec EDpkq “ tx P R | x2 ´ 2 ě 0u “s . . . ; . . . s Y r . . . ; . . . r

Remarque: La composition f ˝ g de deux fonctions f et g peut toujours êtredéfinie pour autant que si x P EDpgq, alors gpxq P EDpfq.

Exercice 1.9: On se donne les fonctions de R‹ dans R‹ suivantes :

ipxq “ x fpxq “ ´x gpxq “ 1x

hpxq “ ´1x

.

Soit E “ ti, f, g, hu et considérons la composition des fonctions ˝sur E.

a) Montrer qu’il s’agit bien d’une loi de composition interne.

b) Est-elle alors commutative ?

c) Est-elle associative ? Combien de calculs doit-on proposerpour l’affirmer ?

Nous admettons le résultat suivant sans démonstration :

Théorème: Soit A un ensemble quelconque et FA l’ensemble de toutes les fonc-tions de A dans A.La composition des fonctions ˝ est une opération interne sur FA.


1.3.1 Fonctions bijectives et fonctions réciproques

Définition: Soit f une application de E dans F . On dit que f est une bijectionou une application bijective si chaque élément y de F est l’imaged’un élément unique x de E.

Exprimée en langage formel, cette définition devient :

Définition: f est bijective ðñ @y P F, D! x P E tel que y “ fpxq

Remarque: Lorsque les ensembles considérés E et F sont des parties de R, onparlera alors de fonctions bijectives.

Exemple 8: On considère la fonction f définie sur R par fpxq “ 2x`3. Montrerque f est une bijection.


Exercice 1.10: Soit f la fonction définie sur Q par :

f : x ÞÑ ax ` b a, b P Q

Quelles conditions doivent respecter a et b pour que f soit unebijection ?

Exercice 1.11: On considère la fonction f définie sur R par fpxq “ x2.

a) Montrer que f n’est pas une bijection.

b) Qu’en est-il si on considère f sur R` ?

Définition: Si f : E Ñ F est une bijection, alors on peut définir la fonctionréciproque rf : F Ñ E

f : E Ñ F rf : F Ñ E

x ÞÑ fpxq “ y y ÞÑ rfpyq “ x

On vérifie que prf ˝ fq pxq “ x et que pf ˝ rfq pyq “ y.

Pour trouver la fonction réciproque de f , on résout, par rapport àx, l’équation y “ fpxq. On obtient ainsi l’expression x “ rfpyq.

Exemple 9: On considère la fonction bijective f définie par fpxq “ 2x ` 3.Déterminer rf .


Exercice 1.12: Soit f la fonction définie sur Q par :

f : x ÞÑ 2x ` 3x ´ 1

a) Pour quelles valeurs de x, f est-elle bien définie ?

b) Déterminer rf.

c) Préciser alors les sous-ensembles de Q à considérer pour quef soit bien une bijection.

2Notion de groupe

2.1 Exemples introductifs

Introduction: Vous avez déjà rencontré en mathématiques des ensembles denombres, de vecteurs, de fonctions, à priori de natures très diffé-rentes, et pourtant, une fois définies dans ces ensembles des loisnotées `, ¨, ou ˝, vous avez dû vous apercevoir que les règles decalcul offraient de grandes ressemblances.Parfois, sans même en être conscient, vous utilisez des propriétésde l’addition et de la multiplication des nombres réels (commuta-tivité, associativité ou distributivité par exemple) dans des calculsde vecteurs, de fonctions ou . . .La similitude formelle des propriétés de calculs dans des ensemblessi différents a conduit les mathématiciens à donner des noms à ladonnée d’un ensemble et d’une loi vérifiant un certain nombre depropriétés bien définies. Nous en étudierons ici un exemple : lastructure de groupe.

Exemple 1: Considérons Z muni de l’addition `. Nous savons déjà que ` est uneopération interne associative dans Z. Mais existe-t-il alors d’autrespropriétés intéressantes de ` ?

Il existe un élément particulier : 0 ; en effet, a ` 0 “ 0 ` a “ a pourtout a P Z. On dit alors que 0 est neutre pour l’addition.Il existe aussi pour chaque nombre a P Z le nombre á P Z qui luiest opposé, i.e. a ` páq “ páq ` a “ 0.Si l’on fait maintenant une synthèse de certaines propriétés de `dans Z, on voit que :

‚ ` est une opération interne

‚ ` est une opération associative

‚ il existe un élément neutre pour ` : 0

‚ pour chaque élément a P Z il existe un opposé a1 P Z tel que

a ` a1 “ a

1 ` a “ 0. Dans ce cas, a1 “ á

Problème: Si l’on considère une opération interne ‹ quelconque dans un en-semble non vide G, existe-t-il un élément de G analogue à 0, i.e. unélément particulier qui est neutre pour ‹ ?

11

12 CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE

Définition: Soit ‹ une opération interne sur un ensemble G non vide.On appelle élément neutre pour ‹ tout élément e P G tel quee ‹ g “ g ‹ e “ g pour tout g P G.

Exemple 2: Si ‹ est la multiplication sur R‹, un élément neutre est donné par 1.

Problème: Si l’on considère une opération interne ‹ quelconque dans unensemble non vide G telle qu’il existe un élément neutre e P G,existe-t-il pour tout élément g P G un élément g

1 P G de sorte queg ‹ g

1 “ g1 ‹ g “ e ?

Définition: Soit ‹ une opération interne sur un ensemble G non vide et e P G

un élément neutre pour ‹. Soit g P G.On appelle élément symétrique de g par rapport à e toutélément g

1 P G tel que g ‹ g1 “ g

1 ‹ g “ e

Exemple 3: Si ‹ est la multiplication sur R‹, un élément neutre est donné par

1 et un élément symétrique de x P R‹ est donné par x1 “ 1

x.

2.1.1 Définitions et propriétés

Définition: Un groupe, noté pG,‹q, est un ensemble G non vide auquel estassocié une loi de composition ‹ vérifiant les quatre propriétés :

‚ @x, y P G, x ‹ y P G (‹ est une loi de composition interne) ;

‚ @x, y, z P G, px ‹ yq ‹ z “ x ‹ py ‹ zq (la loi est associative) ;

‚ De P G tel que @x P G,x ‹ e “ x et e ‹ x “ x (e est l’élément neutre) ;

‚ @x P G, Dx1 P G tel quex ‹ x1 “ x1 ‹ x “ e (x1 est l’élément symétrique de x) ;

Définition: Un groupe pG,‹q est dit abélien ou commutatif si ‹ est commu-tative.

Exemple 4: a) pN ,`q n’est pas un groupe car 2, par exemple, n’a pas de sy-métrique dans N ;

b) pZ ,`q est clairement un groupe.

c) pQ ,¨q n’est pas un groupe car 0 n’a pas de symétrique dans Q ;par contre pQ‹ ,¨q est clairement un groupe.

CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE 13

Exemple 5: Le groupe trivial pteu,‹q, formé de l’unique élément e (un singleton)et muni de la seule opération possible ‹ vérifiant que :

e ‹ e “ e (e étant alors élément neutre. . .)

Exemple 6: Soit E “ t´1 ; 1u. On considère la loi ‹ définie sur E ˆ E de lamanière suivante :

px ; yq ‹ pa ; bq “ px ¨ a ; y ¨ bq

S’agit-il d’un groupe ?

Exercice 2.1: Suite de l’exercice 1.4Dans E “ t1, 2, 3, 4, 5, 6u on pose a ‹ b “ minpa, bq.S’agit-il d’un groupe ? Si oui, est-il abélien ?

Exercice 2.2: Suite de l’exercice 1.5Dans R2 on considère la loi ` définie de la manière suivante :


S’agit-il d’un groupe ? Si oui, est-il abélien ?


Voici les premières propriétés des groupes, données avec démonstra-tions :

Pour prouver l’unicité d’un objet, on suppose qu’il a un “jumeau”, eton applique alors les conditions imposées par la structure ambiantejusqu’à finalement constater que les deux objets sont égaux.

Proposition: Dans un groupe pG,‹q, l’élément neutre est unique.

Preuve:

Proposition: Dans un groupe pG,‹q, tout élément g P G admet un unique symé-trique g1 P G.

Preuve:

Proposition: Dans un groupe pG,‹q, le symétrique du composé de deux élémentsest égal au composé des symétriques de ces éléments dans l’ordreinverse.Autrement dit, pg ‹ hq1 “ h1 ‹ g1.

Preuve:

CHAPITRE 2. NOTION DE GROUPE 15

Remarque: Il existe plusieurs manières de noter un groupe :

Notation Op. interne Comp. de a et b El. neutre El. sym. de a nom du sym.

générale ‹ a ‹ b e a1

additive ` a ` b 0 á opposé de a

multiplicative ¨ a ¨ b 1 a´1 ou 1{a inverse de a

composition ˝ b ˝ a Id ra réciproque de a

Exercice 2.3: Dire pourquoi les structures suivantes ne sont pas celles d’ungroupe :

a) x ‹ y “ x ´ y dans E “ t0, 1, 2, 3, 4ub) x ‹ y “ x ` y dans E “ tz P Q | ´ 1 ď z ď 1uc) x ‹ y “ x dans E “ t1, 2, 3, 4u

Définition: On dit qu’un groupe pG,‹q est d’ordre fini s’il contient un nombrefini d’éléments.On appelle ordre d’un groupe d’ordre fini le nombre de ses élé-ments.

Exemple 7: Dans l’exemple précédent (page 13), le groupe pE ˆ E, ‹q estd’ordre 4.

Exercice 2.4: Suite de l’exercice 1.9On se donne les applications de R‹ dans R‹ suivantes :

ipxq “ x fpxq “ ´x gpxq “ 1x

hpxq “ ´1x

.

Soit E “ ti, f, g, hu et considérons la composition des fonctions ˝sur E.

A-t-on une structure de groupe ? Si oui, précisez son ordre.


Exercice 2.5: Soit E l’ensemble de toutes les fonctions fb de R dans R définiespar :

fbpxq “ x ` b où b P Z

a) On a représenté ci-dessous f1pxq “ x`1. Compléter ce grapheavec quelques autres éléments de E.

x´4 ´2 2 4

y

´4

´2

2

4

f1

b) Montrer que pE,˝q est un groupe.

Exercice 2.6: Soit E “

pa ; bq P R2 | a2 ` b2 “ 1(

muni de l’opération ‹ :

pa ; bq ‹ pc ; dq “ pac ´ bd ; ad ` bcq

Montrer alors que pE,‹q est un groupe.

Exercice 2.7: On considère l’ensemble

E “!

a ` b?

2 | pa ; bq P Q2 avec a et b non nuls simultanément)

On munit cet ensemble de la multiplication habituelle.

a) Montrer que si x “ 1 ` 12

?2 et que y “ 1

3` 2

?2 alors :

x ¨ y “ 73

` 136

?2

Comme vous pouvez vous en douter, pE,¨q est un groupe. Pour ga-gner en efficacité, nous ne montrerons pas que l’opération est in-terne et associative. Par contre :

b) Déterminer l’élément neutre.

c) Montrer que tout élément de E admet un élément symétrique.

3Quelques groupes célèbres

3.1 Groupe fini de permutations

3.1.1 Exemple introductif

Soit E “ t1, 2, 3, 4u. Considérons les 4-uplets p1, 2, 3, 4q et p2, 3, 4, 1q.Soit σ l’application de E dans E telle que :

σp1q “ 2 σp2q “ 3 σp3q “ 4 σp4q “ 1

σ est une permutation des éléments de E et on peut la représenterpar le tableau suivant :

ˆ

1 2 3 42 3 4 1

˙

Si l’on considère les triplets p1, 2, 4q et p4, 1, 2q, on peut définir l’ap-plication τ de E dans E par :

τp1q “ 4 τp2q “ 1 τp3q “ 3 τp4q “ 2.

τ est aussi une permutation des éléments de E et on la représentepar

ˆ

1 2 3 44 1 3 2

˙

ouˆ

1 2 44 1 2

˙

3.1.2 Permutations finies

Définition: Soit E un ensemble fini quelconque et considérons σ une applica-tion de E dans E ; σ est appelée permutation de E si σ est unebijection de E dans E.

On présentera volontiers une permutation sous la forme suivante :

σ “ˆ

e1 e2 . . . em en

σpe1q σpe2q . . . σpemq σpenq

˙

En omettant éventuellement d’y faire apparaître les ei pour les-quelles σpeiq “ ei.

17

18 CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES

Théorème: Soit E un ensemble fini d’ordre n et soit SE l’ensemble de toutesles permutations de E ; alors pSE ,˝q est un groupe fini d’ordre n!.

Preuve: En exercice

Exercice 3.1: Compléter la preuve du théorème précédent :

Appelons σ, τ et ρ, 3 permutations de . . . . .

a) Montrons que la loi de composition ˝ est . . . . . . . . . . . . . . . . .

La loi ˝ est interne ðñ τ ˝ σ P . . . . .ðñ τ ˝ σ est une . . . . . . . . . . . . . . . . . de E

E E E

zyx

Comme σ et τ sont des . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de E, toutz P E est l’image par τ d’un unique . . P E qui lui-même estl’image par σ d’un unique . . P E. Ainsi τ ˝ σ est donc bienune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de E.

b) Montrons que la loi de composition ˝ est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E E E

zyx t

À montrer que @x P E,`

pρ ˝ τq ˝ σ˘

pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

‚`

pρ ˝ τq ˝ σ˘

pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

‚`

ρ ˝ pτ ˝ σq˘

pxq “ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 3. QUELQUES GROUPES CÉLÈBRES 19

c) L’existence de l’élément neutre de . . . . .L’identité : id : E Ñ E vérifiant idpxq “ . . @x P E estclairement l’élément neutre.

d) Tout élément de . . . . . admet un élément . . . . . . . . . . . . . . . .Si σ est une . . . . . . . . . . . . . . . . de E, c’est une bijection de E.On peut donc définir rσ, . . . . . . . . . . . . . . . . de σ qui sera elleaussi une . . . . . . . . . . . . . . . . de E. On a alors :

. . . . . ˝ . . . . . “ . . . . . ˝ . . . . . “ . . . . .

e) pSE , ˝q est d’ordre n!On rappelle que E est d’ordre n. Disons :

E “ te1 ; e2 ; e3 ; . . . ; en´1 ; enu .

Observons le nombre de possibilités d’associer chaque ei àl’aide d’une permutation σ dans le tableau suivant :

σ “ˆ

e1 e2 e3 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ en´1 en

. . . . . . . . . . . . . . .

˙

Remarque: Soit E “ t1, 2, . . . , nu. On note alors SE “ Sn.


Exemple 1: Considérons S3.

a) Combien y a-t-il d’éléments dans S3 ?

b) Compléter les éléments de S3 :

‚ L’identité : id “ˆ

1 2 31 2 3

˙

‚ les transpositions :

τ1 “ˆ

1 2 31 3 2

˙

τ2 “ˆ

1 2 33 2 1

˙

τ3 “ˆ

1 2 3... ... ...

˙

‚ les cycles :

σ1 “ˆ

1 2 32 3 1

˙

σ2 “ˆ

1 2 3... ... ...

˙

c) Calculer et comparer les compositions σ1 ˝ τ1 et τ1 ˝ σ1 ;

d) S3 est-il un groupe abélien ?

e) Montrer que σ2 est l’inverse de σ1

f) Compléter alors la table composition de S3

˝Õ id σ1 σ2 τ1 τ2 τ3

id id σ1 σ2 τ1 τ2 τ3

σ1 σ1 σ2 τ1 τ2

σ2 σ2 id σ1 τ2 τ3 τ1

τ1 τ1 τ3 id σ1 σ2

τ2 τ2 τ3 τ1 σ2 id σ1

τ3 τ3 τ1 τ2 σ1 σ2 id


Exercice 3.2: Soit les permutations α et β suivantes

α “ˆ

1 2 3 4 5 62 3 6 5 4 1

˙

et β “ˆ

1 2 3 4 5 61 3 5 6 2 4

˙

Calculer α ˝ β, β ˝ α, rα, rβ, rpα ˝ βq, rpβ ˝ αq.

Exercice 3.3: Montrer que α ˝ pβ ˝ γq “ pα ˝ βq ˝ γ avec

α “ˆ

1 2 3 4 53 1 2 4 5

˙

, β “ˆ

1 2 3 4 53 2 1 5 4

˙

, γ “ˆ

1 2 3 4 54 3 1 5 2

˙

Exercice 3.4: Soit le sous-ensemble R “ tid, σ1, σ2u de S3. Montrer que R admetlui-aussi une structure de groupe.On dira alors que R est un sous-groupe de S3.

Exercice 3.5: Trouver tous les éléments de S1 et S2. Construire ensuite leur tablede composition.

3.2 Classes de restes modulo n

Introduction: ‚ Quelle heure sera-t-il dans 1000 h ?

‚ Quel est le reste de la division de 16 par 6 ?

‚ Quel est le reste de la division de ´4 par 3 ?

‚ Un élève qui aime bien les congés le jour de son anniversaireconstate qu’en 2016, le 10 décembre tombait un samedi.Comment peut-il savoir si en 2017 puis en 2018 son anniversairetombera sur un week-end ?


Définition: Division euclidienne d’un entier par un naturel non nul :Soit x P Z, n P N˚, il existe un unique q P Z et un unique r P R

tel que :

x “ q ¨ n ` r (0 ď r ă n)

q est le quotient et r est le reste de la division euclidienne de x

par n.

Exercice 3.6: Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de

a) 291 par 13 b) ´340 par 9

Définition: Soit n P N‹ et x, y P Z. On dit que x est congru à y modulo n

si x ´ y est divisible par n.

Exemple 2: Montrer que 32 et -3 sont congrus à 25 modulo 7.

Notation: Pour indiquer que x est congru à y modulo n, on utilise la notationx ” y pmod nq. Autrement dit,

x ” y pmod nq ô x ´ y “ k ¨ n (avec k P Z)

Exercice 3.7: Montrer que tout entier est congru modulo 3 à 0, 1 ou 2.

Exercice 3.8: Résoudre les équations suivantes :

a) x2 ” 1 pmod 3q b) x2 ” x pmod 6qc) x2 ” x pmod 5q


Proposition: Soit n P N‹ et a P Z ; a est congru modulo n à un unique nombreentier y tel que 0 ď y ď n ´ 1.

Preuve:

Définition: Soit n P N˚ et a P Z. On note Cpaq “ a l’ensemble des élémentscongrus à a modulo n. Cpaq est la classe de a pmod nq.

Exemple 3: Si n “ 4, on a

Cp0q “ 0 “ t. . . , ´8, ´4, 0, 4, 8, . . .uCp1q “ 1 “ t. . . , ´7, ´3, 1, 5, 9, . . .uCp2q “ 2 “ t. . . , ´6, ´2, 2, 6, 10, . . .uCp3q “ 3 “ t uCp4q “ 4 “ t. . . , ´4, 0, 4, 8, 12, . . .u “Cp5q “ 5 “ t. . . , ´3, 1, 5, 9, 13, . . .u “

Proposition: Soit n P N˚, a et b P Z. Alors

a “ b ðñ a ” b pmod nq


Exercice 3.9: Démontrer la proposition précédente.

Exemple 4: Suite de l’exemple précédent (avec n = 4) :Si l’on considère alors des éléments de la classe 1 et si on les sommeavec des éléments de la classe 3 deux à deux, que constate-t-on ?

1 ` 3 “ 4 P ´ 7 ` 3 “ 4 P 5 ` 11 “ 16 PIl semble que le résultat appartienne toujours à la même classe . . .On aurait alors envie d’écrire :

1 ` 3 “ 1 ` 3 “ 4 “ 0

Qu’en est-il avec la multiplication ?

1 ¨ 3 “ 3 P ´ 7 ¨ 3 “ ´21 P 5 ¨ 11 “ 55 P

Il semble que le résultat appartienne toujours à la même classe . . .On aurait alors envie d’écrire

1 ¨ 3 “ 1 ¨ 3 “ 3

Nous allons montrer ces deux résultats en toute généralité.

Proposition: Soit n P N‹.Si dans Z on a x ” x1 pmod nq et y ” y1 pmod nq, alors :

x ` y ” x1 ` y

1 pmod nqx ¨ y ” x1 ¨ y1 pmod nq

Preuve:


Constatation: On peut donc définir sur les classes modulo n (0 ď a, b ď n ´ 1)

‚ une addition en posant : a ` b “ a ` b.

‚ une multiplication en posant : a ¨ b “ a ¨ b.

Si l’on note Zn “ t0, 1, . . . , n ´ 1u, alors l’addition et la multiplica-tion définies ci-dessus sont toutes les deux des opérations internesdans Zn.

Exemple 5: Un exemple de la vie courante est le suivant : considérons seulementles minutes d’une montre. Celles-ci varient entre 0 et 59. Lorsquel’aiguille passe à 60, elle désigne aussi 0. Ainsi de suite : 61 s’écritaussi 1, 62 s’écrit aussi 2, . . . Cela correspond donc à l’ensembleZ60.On peut aussi additionner des minutes : 50 minutes + 15 minutesfont 65 minutes qui s’écrivent aussi 5 minutes. Continuons avecl’écriture dans Z60 par exemple : 135 ` 50 “ 185 “ 5.Remarquons que si l’on écrit d’abord 135 “ 15 et 50 “ ´10, alorsle calcul se simplifie en 135 ` 50 “ 15 ` p´10q “ 5.C’est le fait que l’addition soit bien définie qui justifie que l’ontrouve toujours le même résultat.

Exemple 6: Proposer la table d’addition sur Z3 “ t0, 1, 2u, puis celle de lamultiplication sur Z˚

3 .

Exercice 3.10: Proposer la table d’addition sur Z4 “ t0, . . . , 3u

Exercice 3.11: Proposer la table de multiplication sur Z‹

5 et sur Z‹

4. Quelles singu-larités observez-vous sur ce dernier tableau ?


Exemple 7: Montrer que l’addition dans Zn est associative

Exercice 3.12: Montrer que la multiplication dans Zn est associative.

Exercice 3.13:a) Montrer que l’ensemble E “ t1 ; 2 ; 4u muni de la multiplication

modulo 7 forme un groupe.

b) Qu’en est-il si on munit E de la multiplication modulo 5 ?

Théorème: Soit n P N‹ ; alors pZn ,`q est un groupe abélien.

Preuve:


Théorème: Soit n un nombre premier ; alors pZ‹

n ,¨q est un groupe abélien.

Preuve: Il faudrait montrer que pour tout n premier, l’inverse modulo n

existe toujours. Ce résultat n’est pas très difficile, mais demandede mettre en place des nouveaux outils mathématiques comme lethéorème de Bézout.

3.3 Matrices carrées de type de 2 × 2

Définition: Une matrice 2 ˆ 2 est la donnée d’un tableau de la forme :ˆ

a b

c d

˙

avec a, b, c, d des nombres quelconques.L’ensemble de ces matrices se note M2pRq.

3.3.1 Groupe additif

Définition: Si M “ˆ

a b

c d

˙

, N “ˆ

x y

z t

˙

P M2pRq, on définit la somme de

deux matrices de la manière suivante

M ` N “ˆ

a ` x b ` y

c ` z d ` t

˙

On définit alors naturellement la matrice nulle par 0 “ˆ

0 00 0

˙

Exemple 8: Si M “ˆ

1 23 4

˙

et N “ˆ

1 ´22 1

˙

, on a :

M ` N “ˆ

. . . . . .

. . . . . .

˙

Définition: Soit M P M2pRq et λ P R. On définit la multiplication scalairematricielle de la manière suivante :

λ ¨ˆ

a b

c d

˙

“ˆ

λa λb

λc λd

˙


Exemple 9: Si M “ˆ

1 23 4

˙

et λ “ 2, on a :

2 ¨ M “ˆ

. . . . . .

. . . . . .

˙

Remarque: Cette définition nous permet alors de définir la soustraction dedeux matrices de la manière suivante : si M, N P M2pRq

M ´ N “ M ` pŃq “ M ` pp´1q ¨ Nq

Exercice 3.14: Posons A “ˆ

1 2´3 1

˙

et B “ˆ

2 ´11 1

˙

. Calculer

a) A ` A, A ` B, A ´ B, B ´ A

b) 2A, 3A, ´5B

Théorème: M2pRq muni de ` est un groupe abélien.

Preuve:


3.3.2 Groupe multiplicatif

Définition: Soit A et B deux matrices 2 ˆ 2 ; on définit le produit matricielA ¨ B “ C de la manière suivante :

A ¨ B “ˆ

a b

c d

˙

¨ˆ

x y

z t

˙

“ˆ

ax ` bz ay ` bt

cx ` dz cy ` dt

˙

“ C

Exemple 10: Si A “ˆ

1 23 4

˙

et B “ˆ

5 67 8

˙

, on a :

AB “ˆ

1 23 4

˙ˆ

5 67 8

˙

“ˆ

1 ¨ 5 ` 2 ¨ 7 1 ¨ 6 ` 2 ¨ 83 ¨ 5 ` 4 ¨ 7 3 ¨ 6 ` 4 ¨ 8

˙

“ˆ

19 2243 50

˙

BA “

Constatation: Le produit matriciel n’est donc en général pas commutatif.


1 21 2

˙

et B “ˆ

´2 21 ´1

˙

, on a AB “ˆ

. . . . . .

. . . . . .

˙

.

Constatation: Le produit de deux éléments non nuls peut être nul.


1 2´3 1

˙

et B “ˆ

2 ´11 1

˙

. Calculer

a) AB, BA, pABqA et ApBAqb) A2, A3

Définition: La matrice suivante est appelée la matrice identité :

I2 “ˆ

1 00 1

˙


Remarque: ‚ On constate de manière évidente que si A P M2pRq, on aI2 ¨ A “ A ¨ I2 “ A.Cette matrice identité est donc l’élément neutre pour lamultiplication des matrices.

‚ On vérifie par le calcul que le produit matriciel est associatif,i.e. si A, B, C sont trois matrices, nous avons :

A ¨ pB ¨ Cq “ pA ¨ Bq ¨ C

On peut donc définir la puissance d’une matrice de la manièresuivante :

Définition: Soit A une matrice 2 ˆ 2 ; on définit l’élévation à la puissancepar la formule récurrente suivante :

An “ ApAn´1q avec n ě 2, n P N

On dit que A est d’ordre fini s’il existe un nombre n P N de sorteque :

An “ˆ

1 00 1

˙

Le plus petit nombre n admettant cette propriété est appelé ordrede la matrice.

Exercice 3.16: On considère les 4 matrices suivantes :

I2 “ˆ

1 00 1

˙

A “ˆ

´1 00 ´1

˙

B “ˆ

0 11 0

˙

C “ˆ

0 ´1´1 0

˙

.

Déterminer l’ordre de chacune de ces matrices.

Exercice 3.17: Posons E “"ˆ

1 00 1

˙

;ˆ

´1 00 ´1

˙

;ˆ

0 11 0

˙

;ˆ

0 ´1´1 0

˙*

.

Montrer que E, muni de la multiplication matricielle est un groupe.


cos α ´ sin α

sin α cos α

˙

.

a) À l’aide de votre formulaire, montrer que :

A2 “ˆ

cosp2αq ´ sinp2αqsinp2αq cosp2αq

˙

b) Calculer A3 puis A4

c) En déduire une formule An pour n P N. Saurez-vous la prou-ver ?


Question: M2pRq muni de sa multiplication est-il un groupe ?

Par ce qui précède, l’opération interne, l’élément neutre et l’asso-ciativité sont acquis. Qu’en est-il de l’inverse ?Pour ce faire, nous avons besoin d’une définition supplémentaire.

Définition: Soit M “ˆ

a b

c d

˙

P M2pRq ; on appelle déterminant de M le

nombre :

det M “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

a b

c d

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ ad ´ bc


1 23 4

˙

, on a det A “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1 23 4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ . . . . . . .

Exercice 3.19: Montrer que si M, N P M2pRq, alors detpMNq “ detpMq ¨ detpNq.Ce résultat peut paraître étonnant à la vue de la définition du produitmatriciel qui ne semble pas du tout intuitive !

Définition: Soit M P M2pRq avec det M ‰ 0. L’ensemble de toutes ces matricesse note GL2pRq.

Théorème: Si M P GL2pRq, il existe une matrice M´1, appelée inverse de M

de sorte que M ¨ M´1 “ M´1 ¨ M “ I2.

Preuve:



1 23 4

˙

, on a det A “ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1 23 4

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 1 ¨ 4 ´ 2 ¨ 3 “ ´2.

On en déduit A´1 “ ´12

ˆ

4 ´2´3 1

˙

.


1 2´3 1

˙

et B “ˆ

2 ´11 1

˙

. Calculer A´1, B´1

Remarque: La notion d’inverse nous permet alors de définir Ań “ pAnq´1 sin P N‹. On a donc An défini pour tout n P Z en posant A0 “ I2

Nous pouvons donc conclure par le théorème suivant :

Théorème: GL2pRq muni de la multiplication matricielle est un groupe.

Remarques: On constate que pM2pRq,`q est un groupe, alors que pM2pRq,¨q nel’est pas. Il faut dans ce dernier cas se restreindre à GL2pRq, appelégroupe linéaire de dimension 2.

Soit A P GL2pRq, alors tAn | n P Zu, muni de la multiplication, ad-met aussi une structure de groupe. Mais ceci est une autre histoire. . .

4Table de Cayley et isomorphisme de groupes

Définition:

Arthur Cayleymathématicien britannique

(1821-1895)

Soit un ensemble E “ tx1 ; . . . ; xnu muni d’une opération ‹.On appelle table de Cayley, le tableau carré de n lignes et n

colonnes obtenu en inscrivant à la i-ème ligne et à la j-ième colonnel’élément xi ‹ xj .

‹Õ x1 x2 ¨ ¨ ¨ xj ¨ ¨ ¨ xn

x1

x2

...xi xi ‹ xj

...xn

Exemple 1: Soit E “ t1 ; 2 ; 3 ; 4u muni des opérations ‹ définies ci-dessous.Compléter les tables de Cayley. Que constatez-vous ?

a) a ‹ b “ PPMCpa ; bq.‹Õ 1 2 3 41234

b) a ‹ b “ PGDCpa ; bq.‹Õ 1 2 3 41234

33

34 CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES

Exercice 4.1: On munit l’ensemble E “ ta ; b ; c ; du d’une loi de composition in-terne, dont la table de Cayley est :

‹Õ a b c d

a a b c d

b b a d c

c c d b a

d d c a b

a) Cette loi possède-t-elle un élément neutre ? Lequel ?

b) Chaque élément, admet-il un symétrique ? Préciser le symé-trique de c.

c) Cette loi est-elle commutative ?

d) Prouver que ‹ est associative.

e) pE,‹q est-il être un groupe ?

Exercice 4.2: Prouver l’affirmation suivante :

La table de Cayley d’un groupe fini a une particularité : c’esttoujours un tableau carré dans lequel dans chaque ligne et chaquecolonne apparait une et une seule fois chaque élément du groupe.

Idée : Supposons que G soit un groupe fini d’ordre n muni de l’opé-ration interne ‹. Sa table de Cayley consistera en :

‹Õ a1 a2 ¨ ¨ ¨ ai ¨ ¨ ¨ an

a1 b11 b12 ¨ ¨ ¨ b1i ¨ ¨ ¨ b1n

a2 b21 b22 ¨ ¨ ¨ b2i ¨ ¨ ¨ b2n

......

......

......

...ai bi1 bi2 ¨ ¨ ¨ bii ¨ ¨ ¨ bin

......

......

......

...an bn1 bn2 ¨ ¨ ¨ bni ¨ ¨ ¨ bnn

Il s’agit alors de montrer @i, 1 ď i ď n, l’existence de deux indices j,k différents vérifiant que bij “ bik n’est pas possible. Cela montreradonc la propriété sur chaque ligne. Il s’agira encore de raisonner surles colonnes.

CHAPITRE 4. TABLE DE CAYLEY ET ISOMORPHISME DE GROUPES 35

Exercice 4.3: On considère l’ensemble E “ te ; a ; b ; c ; du muni de la loi de com-position interne, dont la table de Cayley est :

‹Õ e a b c d

e e a b c d

a a e c d b

b b d e a c

c c b d e a

d d c a b e

a) Montrer que la loi de composition ‹ n’est pas associative.

b) Qu’en déduisez-vous à propos de l’exercice précédent ?

Exercice 4.4: Compléter les deux tables suivantes de telle sorte queE “ tr ; s ; t ; uu muni des deux lois ‹ forment un groupe

a) ‹Õ r s t u

r s r

s r s t u

t t s

u u s

b) ‹Õ r s t u

r r s t u

s s t

t t

u u r

Exemple 2: Groupe d’ordre 1 :On considère G “ teu muni d’une loi de composition ‹.À l’aide d’une table de Cayley, montrer qu’il existe une et une seulefaçon de définir ainsi un groupe.

Ce groupe porte le nom de groupe trivial.

Exercice 4.5: Groupe d’ordre 2 :On considère G “ te ; au muni d’une loi de composition ‹ où e estl’élément neutre.

a) À l’aide d’une table de Cayley, déterminer le nombre de façonsde définir ainsi un groupe.

b) A-t-on déjà croisé (dans les exemples ou les exercices) desexemples de groupe d’ordre 2. Comparer alors leur table deCayley.


Exercice 4.6: Groupe d’ordre 3 :On considère G “ te ; a ; bu muni d’une loi de composition ‹ où e

est l’élément neutre.

a) À l’aide d’une table de Cayley, déterminer le nombre de façonsde définir ainsi un groupe.


Exercice 4.7: Groupe d’ordre 4 :On considère G “ te ; a ; b ; cu muni d’une loi de composition ‹ où e

est l’élément neutre.

a) À l’aide des tables de Cayley proposées ci-dessous montrer,en tentant de les compléter, que seules 4 tables différentes (àpermutation des éléments de G près) sont possibles.

‹Õ e a b c

e e a b c

a a e

b b e

c c e

‹Õ e a b c

e e a b c

a a e

b b a

c c

‹Õ e a b c

e e a b c

a a c

b b

c c

‹Õ e a b c

e e a b c

a a

b b

c c

Dans ce dernier cas de figure, il est recommandé de recopier,le nombre de fois nécessaire, ce tableau dans votre cahier afinde tenter de les compléter de différentes manières.



Exercice 4.8: Montrer que les 2 tables suivantes décrivent un “même” grouped’ordre 4 :

‹Õ e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

‹Õ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c a e

c c b e a

Définition: L’ordre d’un élément a d’un groupe est le plus petit nombreentier positif m tel que a ‹ a ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ a

loooooomoooooon

m fois

“ e. Si aucun m de la sorte

n’existe, a est dit d’ordre infini.

Exemple 3: On considère les 2 tables suivantes :‹Õ e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b

‹Õ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Montrer que même si on permute lignes et colonnes de la premièretable, il n’est pas possible d’obtenir la deuxième.

Définition: Deux groupes pG,‹q et pE,‚q sont dits isomorphes si une table deCayley de pG,‹q peut être transformée en une table de Cayley depE,‚q terme à terme.


Remarque: Ceci traduit bien l’idée d’une même structure comme le dénotel’étymologie de ce terme : iso signifiant même et morphisme étantissu du grec et signifiant forme.Cette notion d’isomorphisme est commune à toutes les parties desmathématiques. Dès qu’on crée une structure, on veut pouvoir lafaire communiquer avec une autre déjà étudiée. On pourra ainsitransférer des propriétés (calculs) de l’une pour les appliquer dansl’autre.Par exemple, les simplifications des écritures vectorielles :

#�a ´ 12

#�

b ` 2 #�a ´ 3#�

b

se manipulent comme les simplifications du calcul littéral :

a ´ 12

b ` 2a ´ 3b “ 3a ´ 72

b

Exercice 4.9: Dans les exercices qui précèdent, cherchez des groupes (différents)d’ordre 2, 3 et 4 qui sont isomorphes.

Exercice 4.10: Un triskèle, représentant trois jambes, est présent sur le drapeaude l’île de Man depuis 1931.À l’origine, il est probable que ce symbole représentait, dans l’icono-graphique celtique, les trois points du mouvement vertical du soleil :le lever, le zénith et le coucher.Considérons l’ensemble E “ tA ; B ; Cu des sommets du triskèlereprésenté ci-dessous.

B A

O

C

Considérons l’ensemble S “ tr0 ; r1 ; r2u des bijections de l’ensembleE vers lui-même définies par :

‚ r0pAq “ A , r0pBq “ B , r0pCq “ C ;

‚ r1pAq “ B , r1pBq “ C , r1pCq “ A ;

‚ r2pAq “ C , r2pBq “ A , r2pCq “ B.

a) À quoi correspondent géométriquement ces bijections ?

b) Montrer que pS,˝q est un groupe d’ordre 3.


Exercice 4.11: Soit m P N‹

èt posons S “ t0, 1, 2, . . . , m ´ 1u.

Définissons l’opération ‹ sur S de la manière suivante :#

a ‹ b “ a ` b si a ` b ă m,

a ‹ b “ r si a ` b “ m ` r, 0 ď r ă m.

Montrer alors que pS,‹q est un groupe.

Indication : Commencez par étudier la table de Cayley pour m “ 4.


5Sous-groupe

Définition: Soit H un sous-ensemble non vide du groupe pG,‹q. On dit que H

est un sous-groupe de pG,‹q si pH,‹q est lui-même un groupe.

Exemple 1: pZ ,`q est un sous-groupe de pQ ,`q, car Z ‰ H, Z Ă Q et pZ ,`qest lui-même un groupe.

Remarque: Tout groupe pG,‹q ayant plus de deux éléments distincts possèdetoujours deux sous-groupes au moins, à savoir G lui-même et legroupe formé du seul élément neutre.

Théorème: Soit pG,‹q un groupe et H un sous-ensemble non vide de G ; alorsH est un sous-groupe de pG,‹q si et seulement si

a) ‹ est une opération interne dans H (@x, y P H, x ‹ y P H )

b) le symétrique de tout élément de H est dans H ,(x P H ñ x1 P H )

Preuve:

41

42 CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE

Définition: Soit n P Z, l’ensemble des multiples de n est l’ensemble :

nZ “ tx P Z | Dk P Z avec x “ knu

Exemple 2: Démontrer que pnZ ,`q est un sous-groupe de pZ ,`q, @n P Z.

Exercice 5.1: On considère l’ensemble : Z´2Z.

a) À quoi correspond-il ?

b) Z´2Z muni de l’addition, est-il un sous-groupe de pZ ,`q ?

Exercice 5.2: Démontrer que l’intersection de deux sous-groupes d’un groupepG,‹q est aussi un sous-groupe de pG,‹q.

Exercice 5.3: Montrer, à l’aide d’un exemple bien choisi, que la réunion de deuxsous-groupes d’un groupe pG,‹q n’est pas forcément un sous-groupede pG,‹q.

Exercice 5.4: Soit F l’ensemble de toutes les applications de R dans R et consi-dérons la composition des applications ˝. pF ,˝q est-il un groupe ?Si non, donner le plus grand sous-ensemble E de F tel que pE ,˝qsoit un groupe.

Exercice 5.5: Dans le groupe pR ,`q, on considère S “

x ` y?

2 | x, y P Q(

.pS,`q est-il un sous-groupe de pR ,`q ?

Exercice 5.6: Dans le groupe multiplicatif pR‹, ¨q, on considère l’ensemble :

S “ tx ` y?

2 | x, y P Q, x et y non simultanément nulsu

pS,¨q est-il un sous-groupe de pR‹, ¨q ?

CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE 43

Exercice 5.7: Dans le groupe pR2 ,`q muni de l’addition habituelle :


on considère les sous-ensembles suivants :

a) E “ tpx ; yq | 2x ` 3y “ 0ub) E “ tpx ; yq | x ` y “ 1uc) E “ tp4x ` 3y ; yq | x, y P Rud) E “ tp2x ` y ; y ´ xq | x, y P Ru

Chaque pE, `q est-il un sous-groupe de pR2, `q ?

Exercice 5.8: Dans le groupe pR2, ‚q muni de la multiplication :

px ; yq ‚ pa ; bq “ pxa ´ yb ; xb ` yaq

on considère les sous-ensembles suivants :

a) E “ tpx ; 0q | x P R‹ub) E “ tp2x ; xq | x P R‹uc) E “ tp1 ; xq | x P Rud) E “ tp0 ; xq | x P R‹ue) E “ tp´x ; xq | x P R‹u

Chaque pE, ‚q est-il un sous-groupe de pR2, ‚q ?

Définition: Soient pG,‹q un groupe quelconque, g P G et n P N. Posons :

gn “ g ‹ g ‹ .... ‹ gloooooomoooooon

n fois

(avec g0 “ e élément neutre) et

gń “ g´1 ‹ g´1 ‹ .... ‹ g´1looooooooooomooooooooooon

n fois

(avec g´1 élément symétrique de g).

On pose par définition la relation suivante : gn ‹ gm “ gn`m.

Considérons alors H “ tgn | n P Zu Ă G. On montrera dans leprochain exercice que pH,‹q est un sous-groupe de pG,‹q.

Définition: Soit pG,‹q un groupe et considérons g P G ; soit H “ tgn | n P Zu.Le sous-groupe pH,‹q s’appelle le groupe engendré par g et g

s’appelle le générateur de H . On note H “ă g ą.

Exemple 3: ă 2 ą“ t..., ´4, ´2, 0, 2, 4,...u est un sous-groupe de pZ ,`q.


Exemple 4: Soit g P G avec pG,‹q un groupe tel que g3 “ e, g ‰ e et g “ g2.

On pose H “ te, g, g2u. Montrer alors que pH,‹q est bien un groupe(on montrera en particulier que g´1 “ g2).

CHAPITRE 5. SOUS-GROUPE 45

Considérons g1, g2, . . . , gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j.Nous pouvons alors construire tous les produits de la forme

gnk

k ‹ gnl

l ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ gnz

z avec k, l, . . . , z P t1, 2, . . . , pu.

Soit H l’ensemble de tous ces éléments. On a alors le résultat suivant(sans démonstration)

Théorème: Soit pG,‹q un groupe et g1, g2, . . . , gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j, etposons H défini comme ci-dessus.pH,‹q est alors un sous-groupe de pG,‹q.

Définition: Soit pG,‹q un groupe et g1, g2,.....,gp P G avec gi ‰ gj si i ‰ j etposons H défini comme ci-dessus.

pH,‹q s’appelle le groupe engendré par g1, g2, . . . , gp et les élé-ments g1, g2, . . . , gp s’appellent les générateurs de H . On noteH “ă g1, g2, . . . , gp ą.

Un produit de la forme gnk

k ‹ gnl

l ‹ ¨ ¨ ¨ ‹ gnzz s’appelle un mot de H .

Exemple 5: ă 2, 3 ą“ t2α3β | α, β P Zu est un sous-groupe de pQ‹ ,¨q.

Exemple 6: Soit g P G et h P G de sorte que g3 “ h2 “ g ‹ h “ e.On a ă g, h ą“ te, g, g2, h, h ‹ gu. En effet, par exemple :g2 ‹ h “ g ‹ pg ‹ hq “ g ‹ e “ g, ouph ‹ gq ‹ h “ h ‹ pg ‹ hq “ h ‹ e “ h.

Remarque: Si pG,‹q est un groupe et g1, g2, . . . , gj un système générateur deH , on note gnp

p gnqq le composé gnp

p ‹ gnqq

Exercice 5.9: Soit pG,‹q un groupe et g P G. Posons H “ă g ą. Montrer quepH,‹q est un sous-groupe de pG,‹q.

Définition: Soit pG,‹q un groupe et H “ă g1, g2, . . . , gp ą.

Un mot gnk

k gnl

l . . . gnzz est réduit si l’écriture du mot comporte le

minimum de facteurs.

Exemple 7: ‚ Soit g, h P G et considérons le mot ghghh´1 qui a 5 facteurs. Iln’est pas réduit car ghghh´1 “ ghgphh´1q “ ghg.

‚ Les mots gh et g´1hghg´1 sont par contre réduits si ‹ n’est pascommutative.


Exercice 5.10: Soit pG,‹q un groupe et x, y, z P G ; considérons H “ă x, y, z ąa) Écrire trois éléments distincts de H

b) Est-ce que xyzpyzq´1 est un mot réduit ?

c) Est-ce que xyy´1z´1yx est égal à xz´1yzz´1x ?

d) Exprimer x2y3py3x2q´1y´3 et pxzyq´1xzy2 sous forme réduite.

Exercice 5.11: Trouver tous les sous-groupes de :

a) pZ12 ,`qb) pZ8 ,`qc) pZ‹

7 ,¨q

ABibliographie et ressources Internet

Bibliographie

1. Eric Laydu, Groupes et action de groupes (2011), Gymnase d’Yverdon

2. Louis Gred, Notions fondamentales de la mathématique élémentaire (1980), LEP

3. Tony Crilly, Juste assez de maths pour briller en société (2009), Dunod

Ressources Internet

1. Professeurs des Universitéés de Lille, Rennes et Marne la Vallée, Exo7 Groupes,

http://exo7.emath.fr/cours/ch_groupe.pdf

2. Farouk Boucekkine, Introduction à la théorie des Groupes,

http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/algebre/groupesFirst.pdf

3. S. F. Ellermeyer, Introduction to Groups (2006)

http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/...

4. S. F. Ellermeyer, Subgroups of Groups (2006)

http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/...

5. Et encore d’autres idées à trouver sur Google :

https://www.google.ch/search?q=théorie+des+groupes

https://www.google.ch/search?q=group+theory

47

http://exo7.emath.fr/cours/ch_groupe.pdf

http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/algebre/groupesFirst.pdf

http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/chapter4section1outline.pdf

http://science.kennesaw.edu/~sellerme/sfehtml/classes/math4361/chap4section4outline.pdf

https://www.google.ch/search?q=th%C3%A9orie+des+groupes

https://www.google.ch/search?q=group+theory

BQuelques éléments de solutions

B.1 Mise en place

Exercice 1.1:

a) non, carx ` y

2n’appartient pas forcément à Z. (x “ 1 et y “ 2)

b) non, car?

xy n’appartient pas forcément à R. (x “ 1 et y “ ´4)

c) oui d) oui e) oui f) oui g) oui

h) non, car x ¨ y ` x

yn’appartient pas forcément à Z. (x “ 1 et y “ 2)

Exercice 1.2:

c) commutative d) commutative e) commutativef) commutative g) non commutative

Exercice 1.3:

px ‹ yq ‹ z “ x ` y ` z ` xyz

xy ` xz ` yz ` 1qui est bien égal à x ‹ py ‹ zq

Exercice 1.4:

‹ est une loi de composition interne commutative et associative.

Exercice 1.5:

` est une loi de composition interne commutative et associative.

Exercice 1.6:


Exercice 1.7:

La seule valeur possible est m “ 0 en effet :

px ‹ yq ‹ z “ xyzm2 ` zm ` 1 et x ‹ py ‹ zq “ xyzm2 ` xm ` 1

Exercice 1.8:


I

II ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS

Exercice 1.9:

a) Le plus simple est de présenter ceci sous la forme d’un tableau :

˝Õ i f g h

i i f g h

f f i h g

g g h i f

h h g f i

b) ˝ est commutative.

c) ˝ est associative. Formellement, il s’agirait d’effectuer 43 “ 64 vérifications. Peut-on enéviter quelques-unes ?

Exercice 1.10:

Pas de condition sur b et a ‰ 0

Exercice 1.11:

a) Deux bonnes raisons :

‚ Il existe des valeurs de y P R pour lesquelles, il n’existe pas de x vérifiant y “ x2.

‚ Il existe des valeurs de y P R pour lesquelles, la valeur x vérifiant y “ x2 existe maisn’est pas unique.

b) f est alors bien bijective.

Exercice 1.12:

a) x P Qrt1u

b) rfpxq “ x ` 3x ´ 2

c) f : Qrt1u Ñ Qrt2u

B.2 Notion de groupe

Exercice 2.1:

pE,‹q n’a pas la structure de groupe, car il n’existe pas d’opposé.

Exercice 2.2:`

R2,`˘

est un groupe abélien.

Exercice 2.3:

a) ‹ n’est pas une opération interne.

b) ‹ n’est pas une opération interne.

c) ‹ n’a pas d’élément neutre à gauche, (e ‹ x “ x n’est pas vérifié pour tout x).

ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS III

Exercice 2.4:

Oui, d’ordre 4.

Exercice 2.5:

b) ‚ Il s’agit bien d’une loi de composition interne, c’est-à-dire : fb ˝ fa “ fa`b P E.

‚ Elle est bien associative :`

fc ˝ pfb ˝ faq˘

pxq “ pfc ˝ fa`bq pxq “ px ` a ` bq ` c “ x ` a ` b ` c`

pfc ˝ fbq ˝ fa

˘

pxq “ pfb`c ˝ faq pxq “ px ` aq ` b ` c “ x ` a ` b ` c

‚ L’élément neutre : f0.

‚ le symétrique de tout fb est f´b.

Exercice 2.6:

‚ Il s’agit bien d’une loi de composition interne, c’est-à-dire :

pac ´ bdq2 ` pad ` bcq2 est bien égal à 1.

‚ Elle est bien associative :

ppa ; bq ‹ pc ; dqq ‹ pe ; fq “ pace ´ adf ´ bcf ´ bde ; acf ` ade ` bce ´ bdfq

pa ; bq ‹ ppc ; dq ‹ pe ; fqq “ pace ´ adf ´ bcf ´ bde ; acf ` ade ` bce ´ bdfq

‚ L’élément neutre : p1 ; 0q (s’obtient et se justifie par un système d’équations)

‚ Le symétrique de tout pa ; bq est bien défini : pa ; ´bq (même remarque)

Exercice 2.7:

b) L’élément neutre : 1 ` 0?

2 (s’obtient intuitivement mais doit être justifé)

c) Le symétrique de tout a ` b?

2 esta

a2 ´ 2b2` ´b

a2 ´ 2b2

?2

(s’obtient et se justifie par un système d’équations)

IV ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS

B.3 Quelques groupes célèbres

Exercice 3.1:

Pourra être vu ensemble à votre demande.

Exercice 3.2:

α ˝ β “ˆ

1 2 3 4 5 62 6 4 1 3 5

˙

β ˝ α “ˆ

1 2 3 4 5 63 5 4 2 6 1

˙

rα “ˆ

1 2 3 4 5 66 1 2 5 4 3

˙

rβ “ˆ

1 2 3 4 5 61 5 2 6 3 4

˙

rpβ ˝ αq “ˆ

1 2 3 4 5 66 4 1 3 2 5

˙

rpα ˝ βq “ˆ

1 2 3 4 5 64 1 5 3 6 2

˙

Exercice 3.3:

α ˝ pβ ˝ γq “ pα ˝ βq ˝ γ “ˆ

1 2 3 4 55 3 2 4 1

˙

Exercice 3.4:

La loi est bien interne, l’associativité est issue de S3, l’élément neutre est id, les 2 élémentsrestants sont symétriques l’un de l’autre.

Exercice 3.5:

S1 “ tidu avec id “ˆ

11

˙

, S2 “ tid, βu avec id “ˆ

1 21 2

˙

et β “ˆ

1 22 1

˙

Exercice 3.6:

a) q “ 22 et r “ 5 b) q “ ´38 et r “ 2

Exercice 3.7:

sera vu ensemble dans la suite de la théorie.

Exercice 3.8:

a) x ” 1 pmod 3q ou x ” 2 pmod 3q que l’on peut également proposer sous la forme :x “ 1 ` 3n ou x “ 2 ` 3n avec n P Z.

b) x “ 5n ou x “ 1 ` 5n avec n P Z.

c) x “ 3n ou x “ 1 ` 3n avec n P Z.

ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS V

Exercice 3.9:

pourra être vu ensemble à votre demande

Exercice 3.10:

`Õ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Exercice 3.11:

¨Õ 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

¨Õ 1 2 31 1 2 32 2 0 23 3 2 1

Contrairement au tableau précédent, la loi n’est pas interne, 2 n’admet pas d’inverse et on neretrouve pas tous les éléments du groupe dans chaque ligne et chaque colonne.

Exercice 3.12:

Soit a, b et c P Zn, on a :

pa ¨ bq ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ b ¨ c “ a ¨ pb ¨ cq

Exercice 3.13:

a) La loi est bien interne, l’associativité est issue de celle de Zn, l’élément neutre est 1 et 2 et 4sont inverse l’un de l’autre. On peut également observer ceci dans la table de multiplication.

b) La loi n’est pas interne et 2 n’admet pas d’inverse.

¨Õ 1 2 41 1 2 42 2 4 14 4 1 2

a)

¨Õ 1 2 41 1 2 42 2 4 34 4 3 1

b)

Exercice 3.14:

a) A ` A “ˆ

2 4´6 2

˙

, A ` B “ˆ

3 1´2 2

˙

, A ´ B “ˆ

´1 3´4 0

˙

, B ´ A “ˆ

1 ´34 0

˙

b) 2A “ˆ

2 4´6 2

˙

, 3A “ˆ

3 6´9 3

˙

, ´5B “ˆ

´10 5´5 ´5

˙

VI ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS

Exercice 3.15:

a) AB “ˆ

4 1´5 4

˙

, BA “ˆ

5 3´2 3

˙

, pABqA “ ApBAq “ˆ

1 9´17 ´6

˙

b) A2 “ˆ

´5 4´6 ´5

˙

, A3 “ˆ

´17 ´69 ´17

˙

Exercice 3.16:

La matrice I2 est d’ordre 1, les autres sont d’ordre 2.

Exercice 3.17:

En utilisant le même codage que précédemment, on obtient la table :

¨Õ I2 A B C

I2 I2 A B C

A A I2 C B

B B C I2 A

C C B A I2

qui permet de visualiser que la loi est interne, l’existence des éléments symétriques. L’associati-vité est issue de celle de M2pRq.

Exercice 3.18:

a) A2 “ˆ

cos2 α ´ sin2 α ´ cos α sin α ´ sin α cos α

cos α sin α ` sin α cos α ´ sin2 α ` cos2 α

˙

“ˆ

cos 2α ´ sin 2α

sin 2α cos 2α

˙

b) A3 “ˆ

cos 2α ´ sin 2α

sin 2α cos 2α

˙ˆ

cos α ´ sin α

sin α cos α

˙

“

“ˆ

cos 2α cos α ´ sin 2α sin α ´ cos 2α sin α ´ sin 2α cos α

sin 2α cos α ` cos 2α sin α ´ sin 2α sin α ` cos 2α cos α

˙

“ˆ

cos 3α ´ sin 3α

sin 3α cos 3α

˙

A4 “ˆ

cos 3α ´ sin 3α

sin 3α cos 3α

˙ˆ

cos α ´ sin α

sin α cos α

˙

“

“ˆ

cos 3α cos α ´ sin 3α sin α ´ cos 3α sin α ´ sin 3α cos α

sin 3α cos α ` cos 3α sin α ´ sin 3α sin α ` cos 3α cos α

˙

“ˆ

cos 4α ´ sin 4α

sin 4α cos 4α

˙

c) Exercice BONUS (avec la démonstration ! !)

Exercice 3.19:

En posant M “ˆ

a b

c d

˙

et N “ˆ

e f

g h

˙

, on obtient dans les 2 cas : adeh ´ adfg ´ bceh ` bcfg

Exercice 3.20:

A´1 “ 17

ˆ

1 ´23 1

˙

, B´1 “ 13

ˆ

1 1´1 2

˙

ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS VII

B.4 Tables de Cayley et isomorphisme

Exercice 4.1:

a) Oui, a est l’élément neutre car a ‹ x “ x ‹ a @x P E.

b) Chaque élément admet un symétrique :

a1 “ a b1 “ b c1 “ d d1 “ c

c) Oui, la table est symétrique par rapport à sa diagonale descendante.

d) ‚ Comme a est neutre et ‹ est commutative, on a @x, y P E :

x ‹ y “ a ‹ px ‹ yq “ pa ‹ xq ‹ y

“ a ‹ py ‹ xq “ pa ‹ yq ‹ x

“ x ‹ pa ‹ yq “ px ‹ aq ‹ y

“ x ‹ py ‹ aq “ px ‹ yq ‹ a

“ y ‹ pa ‹ xq “ py ‹ aq ‹ x

“ y ‹ px ‹ aq “ py ‹ xq ‹ a

‚ On vérifie ensuite que :

b ‹ pc ‹ dq “ c ‹ pb ‹ dq “ d ‹ pb ‹ cq “ b

Cela assure que x ‹ py ‹ zq “ px ‹ yq ‹ z @x, y, z P tb ; c ; dux ‰ y ‰ z ‰ x

‚ Clairement px ‹ xq ‹ x “ x ‹ px ‹ xq @x P tb ; c ; du

‚ Il reste à vérifier que px ‹ xq ‹ y “ x ‹ px ‹ yq @x, y P tb ; c ; du et x ‰ y

pb ‹ bq ‹ c “ b ‹ pb ‹ cq “ c

pb ‹ bq ‹ d “ b ‹ pb ‹ dq “ d

pc ‹ cq ‹ b “ c ‹ pc ‹ bq “ a

pc ‹ cq ‹ d “ c ‹ pc ‹ dq “ c

pd ‹ dq ‹ b “ d ‹ pd ‹ bq “ a

pd ‹ dq ‹ c “ d ‹ pd ‹ cq “ d

OUF ;-)

e) Oui, pE,‹q est bien un groupe.

VIII ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS

Exercice 4.2:

Soit le groupe pG,‹q d’ordre n.

‚ Raisonnement sur les lignes : supposons qu’il existe j ‰ k tel que bij “ bik,

bij “ bik ùñ ai ‹ aj “ ai ‹ ak ùñ a1

i ‹ pai ‹ ajq “ a1

i ‹ pai ‹ akqùñ pa1

i ‹ aiq ‹ aj “ pa1

i ‹ aiq ‹ ak ùñ e ‹ aj “ e ‹ ak

ùñ aj “ ak ùñ j “ k ùñ l’ordre du groupe est n ´ 1 E

‚ Raisonnement sur les colonnes : il s’agit de construire la même contradiction à partir debij “ bkj pour i ‰ k.

Exercice 4.3:

a) Pour montrer que la loi ‹ n’est pas associative, il suffit de trouver un exemple.pa ‹ bq ‹ c “ c ‹ c “ e

a ‹ pb ‹ cq “ a ‹ a “ e

*

ne permet pas de conclure.

Par contre :

pa ‹ bq ‹ d “ c ‹ d “ a

a ‹ pb ‹ dq “ a ‹ c “ d

*

nous fournit bien un contre exemple à l’associativité

b) Chaque ligne et chaque colonne de la table de Cayley contenant tous les éléments de E

n’implique pas forcément que pE, ‹q soit un groupe.

Exercice 4.4:

a) ‹Õ r s t u

r s r u t

s r s t u

t u t s r

u t u r s

b) ‹Õ r s t u

r r s t u

s s t u r

t t u r s

u u r s t

Avez-vous vraiment contrôlé l’associativité dans tous les cas ? ?

Exercice 4.5:

a) Il s’agit du groupe trivial¨Õ e a

e e a

a a e

b) À voir ensemble.

ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS IX

Exercice 4.6:

a) Il n’y en a qu’un possible dont la table de Cayley est :

¨Õ e a b

e e a b

a a b e

b b e a


Exercice 4.7:

a) Les 4 tables sont :‹Õ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

‹Õ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c a e

c c b e a

‹Õ e a b c

e e a b c

a a c e b

b b e c a

c c b a e

‹Õ e a b c

e e a b c

a a b c e

b b c e a

c c e a b


Exercice 4.8:

Il suffit de permuter les lignes et colonnes a et b puis de substituer les étiquettes a par b et b

par a.

Exercice 4.9:

À voir ensemble

Exercice 4.10:

a) r0 : l’identité, r1,r2 : rotation de centre O et d’angle 120˝, respectivement 240˝.

b) Sa table de Cayley est isomorphe à celle du groupe d’ordre 3 (cf. exercice 4.6).

˝Õ r0 r1 r2

r0 r0 r1 r2

r1 r1 r2 r0

r2 r2 r0 r2

isomorphe à

¨Õ e a b

e e a b

a a b e

b b e a

Exercice 4.11:

Les tables de Cayley obtenues (pour différentes valeurs de n) ne sont-elles pas isomorphes àcelles obtenues sur des groupes déjà étudiés ?

X ANNEXE B. QUELQUES ÉLÉMENTS DE SOLUTIONS

B.5 Sous-groupes

Exercice 5.1:

Pas de réponse proposée, pourra être vu ensemble.

Exercice 5.2:

Vous pouvez par exemple considérer 2ZY 3Z

Exercice 5.3:

pF ,˝q n’est pas un groupe, car le symétrique de f n’existe pas toujours.E est l’ensemble contenant toutes les bijections de R dans R.

Exercice 5.4:

Oui, il suffit de montrer que la loi est bien interne et que tout élément de S admet bien unsymétrique dans S.

Exercice 5.5:

Oui, il suffit de montrer que la loi est bien interne et que tout élément de S admet bien unsymétrique dans S.

Exercice 5.6:

a) ouib) non, car px ; yq n’a pas d’inverse dans E

c) ouid) oui

Exercice 5.7:

a) non, p1 ; 1q R E

b) non, car l’opération n’est pas internec) non, car p1 ; 0q n’a pas d’inversed) non, car p1 ; 0q n’a pas d’inversee) non, car l’opération n’est pas interne

Exercice 5.8:

‹ est bien une opération interne de H ; si a, b P H, a “ gn et b “ gm ñ gngm “ gn`m P H .Si a “ gn P H , alors a´1 “ gń car gngń “ gnń “ g0 “ e.

Exercice 5.9:

a) x, y, z ou x, x2, x3 ou x, xy, xz.b) non car xyzpyzq´1 “ xyzz´1y´1 “ x

c) oui car xyy´1z´1yx “ xz´1yzz´1x “ xz´1yx

d) x2y3py3x2q´1y´3 “ x2y3x´2y´6, pxzyq´1xzy2 “ y´1z´1x´1xzy2 “ y

Exercice 5.10:

a) Z2,Z3,Z4,Z6,Z12

b) Z2,Z4,Z8

c) ă 1 ą, ă 2 ą“ă 4 ą, ă 6 ą,Z‹

7

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Éléments de théorie des groupes (05 . 2019) CADEV - no 30’048

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éléments de théorie des groupes Groupes.pdféléments de théorie des groupes 1re Option spéciﬁque Jean-Philippe Javet Mon cher Auguste, [...]Je me suis souvent hasardé dans