Loc A

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httpslidepdfcomreaderfullloc-a 162

Preacutesenteacute par Ben Amor Slim

Bonsoir et soyez

les Bienvenues

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Introduction

Le savoir des techniques et des moyens de localisation

est tregraves important dans la construction des robots agravetravers laquelle votre robot ouvre ses yeux et voit lemonde et lenvironnement Plus que la technologie estavanceacutee et preacutecise plus que la vision est claire

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la localisation est utiliseacute essentiellement dans lesmoyens de transport (les avions les navires les sous-marins train veacutehicule) on va extraire leurstechniques et les simplifier pour les utiliseacutees selon nosmoyens

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Alors on va utiliser deux technique de localisation

Localisation par Odomeacutetrie

Localisation par les balises

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Lodomeacutetrie

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Principe

Lodomeacutetrie repose sur la mesure individuelle des

deacuteplacements des roues pour reconstituer lemouvement global du robot

En partant dune position initiale connue et en

inteacutegrant les deacuteplacements mesureacutes on peut ainsicalculer agrave chaque instant la position courante durobot

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Remarque ce principe est utiliseacute pour la premiegravere foisdans les veacutehicules militaires ameacutericaine avantlinvention du GPS

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Pour mesurer le deacuteplacement du robot c agrave d ledeacuteplacement de ses roues on va utiliser

les roues codeuses

les capteurs infrarouge (SG-2BC) le principe desleds infrarouge et des photoreacutesistances

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Crsquoest quoi une roue codeuse

Une roue codeuse est une roue eacutequipeacutee dundispositif eacutelectronique permettant de mesurer sarotation

Il existe deux types des roues codeuses

Roue codeuse en code de GrayRoue codeuse hachureacutee

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

0 0 1 0 3 π8 --gt π2

0 1 1 0 π2 --gt 5 π8

0 1 1 1 5 π8 --gt 3 π4 0 1 0 1 3 π4 --gt 7 π8

0 1 0 0 7 π8 --gt π

1 1 0 0 π --gt 9 π8

1 1 0 1 9 π8 --gt 5 π4

1 1 1 1 5 π4 --gt 11 π8

1 1 1 0 11 π8 --gt 3 π2

1 0 1 0 3 π2 --gt 13 π8

1 0 1 1 13 π8 --gt 7π4

1 0 0 1 7π4 --gt 15 π 8

1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π

roue codeuse en code de Gray

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Inconveacutenients

Une manque de preacutecision

Lrsquoutilisation de plusieurs capteurs SG-2BC(eacutepuisement de ressources mateacuteriels du club)

Par exemple pour une preacutecision de lordre π90 (=2deg) il

nous faut 8 capteurs SG-2BC (cest un peu cher)

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roue codeuse hachureacutee

Elle nous offre

une bonne preacutecision (de lordre de degreacute)

un gestion de mateacuteriel ( un seul capteur)

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Les capteurs infrarouge(SG-2BC)

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NB si on eacutecrit le bon algorithme et en utilisant

une roue de rayon 5cm

un vitesse angulaire 2πs (1 tour par seconde)

une tension drsquoalimentation de freacutequence 20Mhz

Lrsquoensemble roue codeuse hachureacute + capteur SG-2BC peutnous offrer une preacutecision de lrsquoordre(01 degreacute)

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remarque Le meacutetro de Paris MP 89 utilise des rouescodeuses pour deacuteterminer preacuteciseacutement sa positionlorsquil est utiliseacute en mode automatique

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Rappel du problegraveme drsquoeviteur obstacle19

Deacutepart

Arriveacute

Obs

Obs

Obs

Obs

Obs

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Solution Utiliser lrsquoodomeacutetrie pour repeacuterer le robot

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Repeacuterage du robot par odomeacutetrie

on suppose que le robot ne tourne quavec des anglesdroit Crsquoest-agrave-dire lrsquoangle de rotation des rouesθ=π2LR

R rayon de la roue

L distance entre deux roue ( largeur du robot)

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traj_droit

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on suppose que le robot soit il avance rectilignementsoit il tourne sur place TRAJ RECT

marche rectiligne d=Rθ R rayon de la roue

θ angle de rotation de la roue

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changement de direction

1 roue mobile α=RθL

αlangle de changement de direction


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2 roue mobile α=R(θg+θd)L

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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Pour un deacuteplacement quelconque voir odomeacutetrie wikipedia

httpfrwikipediaorgwikiOdomC3A9trie

traj_wiki

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Les balises balise (tag en anglais) marque ou objet signalant qui

indique quelque chose

Dans le domaine aeacuterienne Une balise est une stationradio localiseacutee en un point identifieacute

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Dans le domaine maritime cest une perche surmonteacuteedrsquoun objet visible qursquoon place agrave lrsquoentreacutee des ports agravelrsquoembouchure des riviegraveres et en drsquoautres lieux pour

indiquer un danger

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Dans le domaine routier une balise est un dispositif implanteacute pour guider les usagers ou leur signaler unrisque particulier

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Il existe plusieurs technologies de balises

Les balises simples

Les balises actives

Les balises bi-actives

Les balises intelligentes

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Les balises simples

Ce sont de simples reacuteflecteurs qui reflegravetent le signalenvoyeacute par le robot ou bien des amers (points derepegraveres) qui sont repeacutereacutes par un systegraveme de vision

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Les balises actives Ces balises contiennent un dispositif eacutelectronique qui

transmet un signal aux reacutecepteurs du robot et quipermet de mesurer soit la distance soit lrsquoangle

Ces balises associent plusieurs principes de mesure


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Les balises intelligentes Ce type de balise est capable denvoyer au robot des

informations enrichies

un signal complexe contenant des informations(direction position) qui vont donc simplifier la tacircchedu robot en terme de calcul

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Les systegravemes mono-balise Principe dune balise

et dune tourelle (Emetteur- reacutecepteur)

Le robot nutilise quune seule balise Cela limite tregravessouvent agrave une seule information (direction oudistance) mais cest le systegraveme le plus simple agrave mettreen œuvre (peu ou pas de calcul)

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Revenons a notre problegraveme de robot eacuteviteurdobstacle

on va marquer larriveacutee par une balise qui doit ecirctre visible pour notre robot cest agrave dire qu il peut deacutetecteravec ses capteurs Et pour ameacuteliorer la capture on vaeacutequiper notre robot par une tourelle sur laquelle onplace le capteur et par suite on peut orienter le robot vers larriveacutee

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Les systegravemes multi-balises Le robot utilise deux ou trois balises et peut donc

trianguler pour calculer sa position gracircce auxmultiples donneacutees reccedilues

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Mono-balise simple Multi-balise simple

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Principe agrave partir de 3 satellites de position bien de deacuteterminer

on calcule la distance entre ces satellites et le reacutecepteurGPS Puis on deacutetermine sa position puisque

2 satellites nous deacutetermine un cercle sur laquelle se situele reacutecepteur

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3 satellites nous deacutetermine deux points ou le reacutecepteurpeut y situe et en geacuteneacuteralement une seule point se situesur la terre

httpsysteme-metriqueformatic-pcinfogpshtml

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remarque

Dans la pratique on utilise au moins 6 satellites pourplus de preacutecision

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mecircme principe est utiliseacute dans la trinagularisationmais au lieux de 3 satellite on utilise 3 tour deacutemissionGPS de position bien deacuteterminer

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Revenons agrave notre problegraveme de robot eacuteviteurdobstacle

On peut utiliser deux balises puis on deacutetermine laposition du robot

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Modeacutelisation matheacutematique (triangularisation)

Analytique (systegraveme drsquoeacutequations)

il suffit de reacutesoudre le systegraveme deacutequations composeacute dedeux eacutequations de chaque cercle centreacute au balise et de

rayon la distance entre la balise et le robot

(x-x1)sup2 +ysup2=d1sup2


x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))

ysup2= d1sup2 - [(d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))]sup2

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Geacuteometrique La mesure des angles

Lavantage de cette meacutethode est de donner agrave la fois

la position (xy) du robot la direction du robot par rapport aux balises

Ses inconveacutenients principaux sont dabord quelle demande une meacutecanique de preacutecision pour

la mesure des angles (moteur pas agrave pas capteur deposition)

ensuite quil faut obligatoirement deacutetecter les 3 balisespour trianguler

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(x-xC1)sup2+(y-y C1)sup2= (xB1-xC1)sup2+(y B1-y C1)sup2

Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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La mesure des distances

Lavantages de cette meacutethode est quelle neacutecessite pasde lourde meacutecanique Il faut juste une oreille au robot

De plus on est capable de trianguler avec 2 mesures dedistance (2 balises)

Son inconveacutenient est que ce type de mesure donne laposition du robot mais pas son orientation par rapportaux balises

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Exemple 1 2 balise de distance

soit A et C deux tours de coordonneacutees connu et B lepoint agrave localiser

les distances a b et c sont connu

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pour localiser B il suffit de calculer la valeur de langleα

asup2=bsup2 + csup2 -2bc cos(α ) cos(α )=(bsup2 + csup2 - asup2) 2bc

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Exemple 2 balise1biactif(angle+distance) + balise2 simple

Dans cet exemple on nutilise eacutegalement que 2 balisesmais le systegraveme donne en plus des distances d1 et d2 durobot aux balises langle teta entre lavant du robot etune balise

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On utilise la mecircme meacutethode quau 1er exemple pourtrouver la position du robot mais on chercheeacutegalement cette fois-ci lorientation du robot

langle phi entre lavant du robot et labcisse du repegravere

Connaissant x et y on trouve phi

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Les capteurs

pour reacutealiser ces balises on peut utiliser

des capteur ultrason(mesure de distance)

des capteur infrarouge(mesure dangle)

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Des conseils pour lutilisation des balises

Lrsquoutilisation des balises est sensible agrave leacuteclairage puissant

le bruit ambiant

La balise ideacuteale nutilise donc pas les infra-rouges perturbeacutes par les projecteurs

les ultra-sons agrave 40 KHZ perturbeacutes par la foule en deacutelire et les auto-

focus des camescopes

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Le systegraveme de balise ideacuteale effectue donc plusieursmesures (quasi simultaneacutees ou pour un deacuteplacementdu robot tregraves tregraves faible) afin doffrir un ou plusieurs

reacutesultat que lon peut comparer et traiter par moyenneeacutelimination des extrecircmes etc

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on est en besoin de vos ideacutees pour

utiliser le laser(mesure dangle)

utiliser les ondes radio pour des balises intelligentes

eacutecrire de meilleurs algorithmes

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Je vous remerciepour votre attention

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Introduction

Le savoir des techniques et des moyens de localisation

est tregraves important dans la construction des robots agravetravers laquelle votre robot ouvre ses yeux et voit lemonde et lenvironnement Plus que la technologie estavanceacutee et preacutecise plus que la vision est claire

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Lodomeacutetrie

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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

0 0 1 0 3 π8 --gt π2

0 1 1 0 π2 --gt 5 π8

0 1 1 1 5 π8 --gt 3 π4 0 1 0 1 3 π4 --gt 7 π8

0 1 0 0 7 π8 --gt π

1 1 0 0 π --gt 9 π8

1 1 0 1 9 π8 --gt 5 π4

1 1 1 1 5 π4 --gt 11 π8

1 1 1 0 11 π8 --gt 3 π2

1 0 1 0 3 π2 --gt 13 π8

1 0 1 1 13 π8 --gt 7π4

1 0 0 1 7π4 --gt 15 π 8

1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π


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Inconveacutenients





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Elle nous offre



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Deacutepart

Arriveacute

Obs

Obs

Obs

Obs

Obs

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R rayon de la roue


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traj_droit

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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traj_wiki

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indiquer un danger

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Les balises simples

Les balises actives



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Les balises simples


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832019 Loc A


remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Les capteurs




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le bruit ambiant




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Lodomeacutetrie

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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

0 0 1 0 3 π8 --gt π2

0 1 1 0 π2 --gt 5 π8

0 1 1 1 5 π8 --gt 3 π4 0 1 0 1 3 π4 --gt 7 π8

0 1 0 0 7 π8 --gt π

1 1 0 0 π --gt 9 π8

1 1 0 1 9 π8 --gt 5 π4

1 1 1 1 5 π4 --gt 11 π8

1 1 1 0 11 π8 --gt 3 π2

1 0 1 0 3 π2 --gt 13 π8

1 0 1 1 13 π8 --gt 7π4

1 0 0 1 7π4 --gt 15 π 8

1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π


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Inconveacutenients





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Obs

Obs

Obs

Obs

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R rayon de la roue


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traj_droit

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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Les balises simples

Les balises actives



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Les balises simples


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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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832019 Loc A



Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Les capteurs




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le bruit ambiant




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Lodomeacutetrie

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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

0 0 1 0 3 π8 --gt π2

0 1 1 0 π2 --gt 5 π8

0 1 1 1 5 π8 --gt 3 π4 0 1 0 1 3 π4 --gt 7 π8

0 1 0 0 7 π8 --gt π

1 1 0 0 π --gt 9 π8

1 1 0 1 9 π8 --gt 5 π4

1 1 1 1 5 π4 --gt 11 π8

1 1 1 0 11 π8 --gt 3 π2

1 0 1 0 3 π2 --gt 13 π8

1 0 1 1 13 π8 --gt 7π4

1 0 0 1 7π4 --gt 15 π 8

1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π


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R rayon de la roue


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traj_droit

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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Les balises simples


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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Les capteurs




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le bruit ambiant




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Lodomeacutetrie

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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

0 0 1 0 3 π8 --gt π2

0 1 1 0 π2 --gt 5 π8

0 1 1 1 5 π8 --gt 3 π4 0 1 0 1 3 π4 --gt 7 π8

0 1 0 0 7 π8 --gt π

1 1 0 0 π --gt 9 π8

1 1 0 1 9 π8 --gt 5 π4

1 1 1 1 5 π4 --gt 11 π8

1 1 1 0 11 π8 --gt 3 π2

1 0 1 0 3 π2 --gt 13 π8

1 0 1 1 13 π8 --gt 7π4

1 0 0 1 7π4 --gt 15 π 8

1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π


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Obs

Obs

Obs

Obs

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traj_droit

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Les capteurs




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le bruit ambiant




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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

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Inconveacutenients





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Arriveacute

Obs

Obs

Obs

Obs

Obs

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R rayon de la roue


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traj_droit

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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Principe





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les roues codeuses


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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

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1 0 0 0 15 π 8 --gt 2 π


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x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

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y y+dsin α

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

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x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

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x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

0 0 0 1 π8 --gt π4

0 0 1 1 π4 --gt 3 π8

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x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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Avec

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y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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=π-α 1-Arctan(yx)

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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=π-α 1-Arctan(yx)

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a b c d S0 0 0 0 0 --gt π8

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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x=x0

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α α + R(θg+θd)L

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remarque


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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remarque


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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remarque


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xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Les capteurs




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le bruit ambiant




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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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le bruit ambiant




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Algorithmeα=0

x=x0

y=y0

α α + R(θg+θd)L

xx+dcos α

y y+dsin α

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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remarque


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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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x=x1 + (d1sup2 - d2sup2+ (x2 - x1 ))(2 (x2 - x1 ))


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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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ϕ

=π-α 1-Arctan(yx)

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Avec

xC1=(xB1+xB2)2

y C1=(xB1+xB2)(2tan(α 1-α 2))

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