logique, 5 LPO Théories de la rationalité séance 6mikael.cozic.free.fr/.../rationalite-intro-1112-logique5-np.pdf · Aristote, De l’interprétation, 7, 17b, Vrin, trad. Tricot

logique, 5LPO

Théories de la rationalitéséance 6

M. Cozic

M. Cozic logique, 5 LPO Théories de la rationalité séance 6

remerciements à ...

I ...D. Bonnay


logique du premier ordre


limites de LPI soit l’argument (valide)

Tous les logiciens sont sportifsRudolf est un logicienRudolf est sportif

I comment “expliquer” la validité d’un tel argument ? Soit ledictionnairep: “Tous les logiciens sont sportifs”q: “Rudolf est un logicien”r : “Rudolf est sportif”

I on aurait alorspqr


limites de LP

pqr

...il n’y pas conséquence logique ! Pourquoi ?

I il y a des relations logiques qui ne sont pas représentéespar le langage de la LP

I la validité de l’argument repose sur la structure interne desénoncés atomiques

I plus précisément, la validité dépend de (i) la prédication et(ii) la quantification


la prédication


la prédication

I “Tintin est surpris”

est analysé comme l’affirmation qu’une certaine entité(Tintin) possède une certaine propriété.

I 2 types de symboles:(i) symboles de constantes: a,b, c...(ii) symboles de prédicats (unaires): P,Q,R...


la prédication

“Tintin est surpris” Pa

où

a: TintinPx : x est surpris


constantes et prédicats

I les symboles de constantes: a,b, c, ...Ils dénotent l’entité à laquelle la propriété est attribuée.Ils symbolisent typiquement les noms propres de la languenaturelle.

I les symboles de prédicat: P,Q,R....Ils expriment la propriété attribuée à l’entité.Ils symbolisent des expressions comme : des adjectifs(“...est surpris”), des indéfinis + noms communs (“...est unlogicien”), des verbes (“...marche”)


les relations binaires

I “Tintin est à gauche de Milou”

est analysé comme l’affirmation qu’il y a une certainerelation entre deux entités (Tintin et Milou)

I on introduit désormais des symboles de prédicats binaires(ou de relation binaires): R2


les relations binaires

“Tintin est à gauche de Milou” R2ab

où

a: Tintinb: MilouR2xy : x est à gauche de y


les relations ternaires

“Tournesol est entre Tintin et Haddock” R3abc

où

b: Tintina: Tournesolc: HaddockR3xyz: x est entre y et z


les symboles de fonction

“Le maître de Milou est surpris” Pf (a)

où

a: Milouf (x): le maître de xPx : x est surpris


I pour le moment, nous n’avons introduit aucune nouvelleconstante logique

I des formules du genre:- Pa- Pf (b)- R2ab- R3abc

correspondent aux formules atomiques de la logiquepropositionnelle

I on peut bien sûr leur appliquer les connecteurspropositionnels

“Si Tintin est content, Milou l’est aussi” (Pa→ Pb)

pour a: Tintin, b: Milou et Px : x est content.


la quantification


la quantification

I nous ne sommes pas encore à même de représenter lesénoncés d’un argument comme

Tout logicien est sportifRudolf est un logicienRudolf est sportif

I il faut en effet représenter “Tout logicien est sportif”


comment analyser la quantification ?

I pourquoi ne pas analyser “Tout logicien” comme onanalyse “Rudolf” i.e. comme désignant une sorte d’entité àlaquelle on attribuerait une propriété ?

I comparons:

Rudolf est un homme ou une femmeRudolf n’est pas une femmeRudolf est un homme

Tout logicien est un homme ou une femmeTout logicien n’est pas une femmeTout logicien est un homme


le quantificateur universel

• Tout homme est mortel• Toute entité qui a la propriété d’être un homme a la

propriété d’être mortelleidée: introduction de variables x , y , z, x1, x2, ...

• Pour toute entité x , si x a la propriété d’être un homme,elle a la propriété d’être mortelle• Pour toute entité x , (Hx → Mx)

on introduit le quantificateur universel• ∀x(Hx → Mx)


le quantificateur existentiel

• Quelqu’un est surpris• Il y a une entité qui a la propriété d’être surprise• Il y a une entité x telle que Sx

on introduit le quantificateur existentiel• ∃xSx


le quantificateur existentiel

I le quantificateur existentiel correspond, dans la languenaturelle, à:- “Il y a au moins une chose (une personne) qui...”- “Quelque chose (quelqu’un)...”- “Quelque...”


symbolisation: quantificateurs restreints

• Tous les philosophes sont sportifs∀x(Px → Sx)• Quelque philosophe est sportif∃x(Px ∧ Sx)• Aucun philosophe n’est sportif∀x(Px → ¬Sx)• Quelque philosophe n’est pas sportif∃x(Px ∧ ¬Sx)• Nul n’est philosophe¬∃xPx


Aristote et son carré

I analyse aristotélicienne des types propositions :

A Tout S est P Universelle affirmativeE Nul S n’est P Universelle négativeI Quelque S est P Particulière affirmativeO Quelque S n’est pas P Particulière négative


. Aristote, De l’interprétation, 7, 17b, Vrin, trad. Tricot“L’opposition que j’appelle de contradiction est donc celle d’uneaffirmation exprimant un sujet universel <pris universellement> àune négation exprimant le même sujet non pris universellement.Par exemple :Tout homme est blanc - Quelque homme n’est pas blancNul homme n’est blanc - Quelque homme est blanc

L’opposition de contrariété est celle de l’affirmation d’un sujetuniversel à la négation d’un sujet universel : par exemple,[Tout homme est blanc - Nul homme n’est blanc]Tout homme est juste - Nul homme n’est justeOn voit que ces dernières propositions ne peuvent pas êtrevraies en même temps, tandis que leurs opposées peuventparfois être vraies en même temps du même sujet : parexemple, quelque homme n’est pas blanc et quelque homme estblanc."



I selon A. il y a contradiction entre A et O (resp. E et I) : lesdeux propositions ne peuvent être vraies toutes les deux etne peuvent pas non plus être fausses en même temps.

I entre A et E il existerait une rapport de contrariété : lesdeux propositions ne peuvent être vraies toutes les deuxmais peuvent être fausses toutes les deux.



Figure: De Stanford Encyclopedia


le carré traditionnel



misère du carré

I différence importante dans l’analyse moderne : pas deprésupposition existentielle, i.e. l’analyse moderne neconsidère pas que

• Tout homme est mortel

implique logiquement

• Quelque homme est mortel

I Pourquoi ? Parce que, s’il n’existe aucun homme, alors“Tout homme est mortel” est (trivialement) vrai


misère du carréI pour la même raison, il n’y a pas de relation de contrariété

entre A et E...le carré s’appauvrit singulièrement !



interdéfinissabilité des quantificateurs

I on ne verra pas en détails la sémantique de la LP0 qui estassez complexe

I cette sémantique rend les deux quantificateursinterdéfinissables:∀xPx ≡ ¬∃x¬Px∃xPx ≡ ¬∀x¬Px


autres équivalences

I ∃x(Fx ∨Gx) ≡ (∃xFx ∨ ∃xGx)

• Quelqu’un est surpris ou agaçé ≈ Quelqu’un est surpris ouquelqu’un est agaçé

I ∀x(Fx ∧Gx) ≡ (∀xFx ∧ ∃xGx)

• Tout le monde est surpris et agaçé ≈ Tout le monde estsurpris et tout le monde est agaçé


symbolisation: quantificateurs et relations

• Paul aime quelqu’un∃xApx• Paul est aimé de quelqu’un∃xAxp• Paul n’aime personne∀x¬Apx


symbolisation: quantificateurs emboîtés et relatives

• Tout le monde aime quelqu’un∀x∃yAxy• Tout logicien qui boit conduit∀x((Lx ∧ Bx)→ Cx)• Tous ceux qui aiment Paul aiment Marie∀x(Axp → Axm)

• Paul aime quelqu’un qui aime Marie∃x(Apx ∧ Axm)

• Paul aime tous ceux qui aiment tout le monde∀x(∀yAxy → Apx)


symbolisation: “seuls”

• Seuls les hommes sont idiots∀x(Ix → Hx)• Seuls les hommes sont contents d’eux-mêmes∀x(Cxx → Hx)• Seuls les animaux qui sont humains sont des bipèdes

sans plumes∀x(Px → (Hx ∧ Ax))


symbolisation

• Quelque garçon n’aime pas quelque chien∃x(Gx ∧ ∃y(Cy ∧ ¬Axy))• Tout le monde n’aime pas quelqu’un

(1) ¬∀x∃yAxy(2) ∀x∃y¬Axy , ou∀x(Px → ∃y(Py ∧ ¬Axy))


l’identité


l’identité

I on peut enrichir la LPO en introduisant le symboled’identité “=”

I syntaxiquement, le symbole d’identité est une symbole derelation (binaire) comme les autres

I l’interprétation du symbole d’identité est en revanche fixe:a = b est vrai ssi l’entité désignée par a est l’entitédésignée par b• exemple:

“Tintin est le maître de Milou” a = f (b)

où a: Tintin, b: Milou, f (x): le maitre de x


l’identité

I la validité de certains arguments reposent sur l’identité:

Le maître de Milou est à gauche de MilouTintin est le maître de Milou————————————Tintin est à gauche de Milou

R2f (b)ba = f (b)—————-R2ab


symbolisation: “seul” derechef, etc.

• Seul Jean est roux

Rj ∧ ∀x(Rx → x = j)

• Seul Jean est roux parmi les musiciens

Rj ∧Mj∀x((Rx ∧Mx)→ x = j)

• Tous les musiciens sauf Jean sont roux

∀x((Mx ∧ x 6= j)→ Rx)


symbolisation: “seul” derechef, etc.

• Jean aime Marie, mais elle aime quelqu’un d’autre

Ajm ∧ ∃x(Amx ∧ x 6= j)


symbolisation: numéraux

• Il y a (au moins) deux étudiants

∃x1∃x2(Ex1 ∧ Ex2 ∧ x1 6= x2)

• Il y a (au moins) trois étudiants

∃x1∃x2∃x3(Ex1 ∧ Ex2 ∧ Ex3 ∧ x1 6= x2 ∧ x2 6=3 ∧x3 6= x1)


symbolisation: numéraux

• Il y a au plus un étudiant

∀x1∀x2((Ex1 ∧ Ex2)→ x1 = x2)

• Il y a au plus deux étudiants

∀x1∀x2∀x3((Ex1 ∧ Ex2 ∧ x3)→ (x1 = x2 ∨ x2 = x3))

• Il y a exactement deux étudiants

∃x1∃x2(Ex1 ∧ Ex2 ∧ x1 6=x2) ∧ (∀x1∀x2∀x3((Ex1 ∧ Ex2 ∧ x3)→ (x1 = x2 ∨ x2 = x3)))


Forme logique et forme grammaticale

Comment comprendre une phrase comme

(1) Le roi de France est chauve

Analyse ‘aristotélicienne’ :

I (1) est de la forme a est PI (1) est vraie ssi l’individu nommé par a possède la

propriété nommée par P.

Mais il n’y a pas d’individu nommé par a. a est un termesingulier dénué de référence.


Solution 1 (Meinong)Il faut postuler des objets inexistants qui soient la référence destermes singuliers qui ne réfèrent à aucun objet existant.

On peut alors conserver la même stratégie :

I (1) est de la forme a est PI (1) est vraie ssi l’individu nommé par a possède la

propriété nommée par P.

(‘le roi de France’ fait référence à un objet, l’actuel roi deFrance, qui se trouve ne pas exister, si on considère que‘chauve’ ne se dit que d’individus existants, (1) sera fausse)

Objection : cette solution est métaphysiquement baroque etontologiquement prodigue. Les objets inexistants sont-ils desobjets ? Est-on réellement contraints de supposer que‘subsistent’ des objets inexistants ?


Solution 2 (Russell)

Certains termes singuliers, en particulier les descriptions définies (“le...”) sont des symboles incomplets. Ce ne sont pas des termes quiréfèrent à des individus, mais ils acquièrent une signification dans lecontexte d’une phrase.

(1) Le roi de France est chauve(1’) ∃x (RFx ∧ ∀y(RFy → x = y) ∧ CHx)

(2) le x tel que φ(x) est un ψ(x)(2’) ψ(ιxφx)=DEF ∃x (φ(x) ∧ ∀y(φ(y)→ x = y) ∧ ψ(x))

(1’) est simplement fausse. Il n’est pas nécessaire pour lecomprendre de supposer que ‘subsistent’ des objets inexistants. PourRussell, dans On Denoting, (1’) donne la véritable ‘forme logique’ de(1), dont la forme grammaticale est trompeuse.


(1) Le roi de France est chauve

Meinong : analyse logique arisotélicienne

I il faut qu’il y ait un roi de France pour que (1) soit vraieI il faut qu’il y ait un roi de France pour que (1) ait un sens

+ plurivocité de l’existence

Russell : analyse logique... russellienne

I il faut qu’il y ait un roi de France pour que (1) soit vraieI il ne faut pas qu’il y ait un roi de France pour que (1) ait un

sens

+ univocité de l’existence


Documents

logique, 5 LPO Théories de la rationalité séance 6mikael.cozic.free.fr/.../rationalite-intro-1112-logique5-np.pdf · Aristote, De l’interprétation, 7, 17b, Vrin, trad. Tricot