logique combinatoire eleve - bac-sen.fr · CC, car nous travaillons dans une logique dite positive. ... On appelle variable logique une variable qui ne peut prendre que deux valeurs,

LOGIQUE COMBINATOIRE

BEP ELECTRONIQUE

Logique combinatoire

Michel Riquart logique_combinatoire_eleve.doc

1 Signaux logiques En électronique dite numérique, nous sommes confrontés, contrairement à l’électronique analogique, à

uniquement deux valeurs possibles pour les signaux. En supposant nos montages alimentés avec une différence de potentiels égale à VCC, les deux valeurs possibles

sont : le 0 volt (la masse) et le +VCC, car nous travaillons dans une logique dite positive. Ces deux valeurs possibles sont associées à des états logiques appelés :

• état bas ou « 0 » pour le 0V (en anglais : L pour Low) ; • état haut ou « 1 » pour +VCC (en anglais : H pour High). On peut ainsi associer des valeurs logiques aux différentes valeurs du signal suivant. Complétez celui-ci en

indiquant sur chaque flèche le niveau logique correspondant :

On appelle variable logique une variable qui ne peut prendre que deux valeurs, dans notre cas : 0 ou 1, Haut ou

Bas, Vrai ou Faux. Rappel sur la définition d’une variable : Terme indéterminé qui peut être remplacé par divers termes

déterminés qui en sont les valeurs.

2 Les opérateurs logiques de base Dans ce chapitre, pour chacune des fonctions décrites, vous trouverez une fiche décrivant :

• le nom de la fonction ; • une phrase décrivant le fonctionnement de l’opérateur ; • son symbole normalisé à dessiner selon les instructions de votre professeur; • son équation ; • sa table dite de vérité à compléter à l’aide de la phrase ; • l’ancien symbole ; • un chronogramme à compléter.

Vue

gén

éral

e de

la p

rése

ntat

ion

d’un

op

érat

eur l

ogiq

ue d

e ba

se

Nom de la fonction Description du fonctionnement

Symbole normalisé Equation Table

de vérité

Ancien symbole

t

t

Va

Vs

à compléter

Conseils:

Afin de compléter correctement les chronogrammes, il vous est demandé de tracer des lignes pointillées verticales à chaque changement d’état, comme dans le premier opérateur étudié.



2.1 Le OUI Cette fonction reproduit à l’identique le niveau logique présent sur son entrée.

S a= a S 0 1

t

t

Va

Vs

2.2 Le NON Cette fonction complémente le niveau logique présent sur son entrée. Le complément du niveau logique 0 est 1. Le complément du niveau logique 1 est 0.

S a= a S 0 1

t

t

Va

Vs



2.3 Le ET Cette fonction positionne sa sortie au niveau logique haut si toutes ses entrées sont au niveau haut.

S a b= •

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vb

Vs

2.4 Le ET-NON Cette fonction positionne sa sortie au niveau logique haut si au moins l’une de ses entrées est au niveau logique

bas.

S a b= •

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vs

Vb



2.5 Le OU Cette fonction présente un niveau logique haut sur sa sortie si au moins l’une de ses entrées est au niveau

logique haut.

S a + b=

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vs

Vb

2.6 Le OU-NON Cette fonction présente un niveau logique haut en sortie si ses 2 entrées sont au niveau logique bas.

S a b= +

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vs

Vb



2.7 Le OU-EXCLUSIF Cette fonction présente un niveau logique haut en sortie si ses entrées sont à un niveau logique différent.

S a bou

S = a b a b

= ⊕

• + •

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vs

Vb

2.8 Le OU-EXCLUSIF-NON Cette fonction présente un niveau logique haut en sortie si ses entrées sont au même niveau logique.

S a bou

S = a b a b

= ⊕

• + •

a b S 0 0 0 1 1 0 1 1

t

t

t

Va

Vs

Vb

Une prochaine évaluation permettra de vérifier que vous connaissez parfaitement les différents opérateurs de

base, leurs équations et leurs tables de vérité. La réalisation de quelques chronogrammes pourra éventuellement être envisagée.



2.9 Expérimentation

Objectif : définir les opérateurs intégrés dans 5 composants par le biais d’expérimentations. Nous mettons à votre disposition 5 composants, intégrant des opérateurs logiques en technologie T.T.L., qui

sont les 7400, 7402, 7408, 7432 et 7486.

Caractéristiques communes : +Vcc = 5 Volts en broche 14 GND = 0 Volt en broche 7

L’état de la sortie sera visualisé grâce à une DEL qui, câblée selon les schémas suivants, vous indiquera un

niveau logique 1 lorsqu’elle sera allumée (on prendra un composant résistif de valeur 820Ω pour la protéger). Si vous avez réalisé votre carte affichage, il est recommandé de l’utiliser.

7400 7402

a b s

a b s

7408 7432

a b s

a b s

7486

a b s

Attention : Le brochage des entrées/sorties du 7402 est différent de celui des autres composants.

Il vous est demandé de :

1. réaliser la fiche pour l’expérimentation de l’opérateur compris dans le 7400 ; votre professeur vous guidera pour cela et vous proposera le schéma de câblage.

2.réaliser les expérimentations, pour chacun des opérateurs, afin de compléter les tables de vérité ainsi que les

cadres d’opérateurs, en inscrivant dessous les noms des fonctions et leurs équations.

3. Exploiter les documentations techniques des composants afin de vérifier l’exactitude de vos résultats



Schémas de câblage à utiliser :

Pour les 7400, 7408, 7432 et 7486 Pour le 7402

a

b

Alimentation 5V- +

Anode

Cathode

a

b

Alimentation 5V- +

Anode

Cathode

Exploitation des documentations

Un contrôle de manipulation est prévu au prochain cours



3 Association d’opérateurs Il est possible d’associer des opérateurs en les connectant en « cascade ». Un opérateur, dont l’une des entrées est reliée à la sortie d’un autre opérateur, se verra appliquer sur son entrée

le résultat obtenu sur la sortie de l’opérateur précédent. On combinera chaque nouvelle valeur des entrées dans l’équation de celui-ci pour obtenir l’équation de sortie.

Appliquez cet énoncé dans les schéma suivants :

& 1 b

a

& b

a

≥≥≥≥1 d

c&

& b

a

≥≥≥≥1

=1 b

a

= 1

& b

a

&

Un contrôle de connaissances est prévu au prochain cours



4 Propriétés et équations

4.1 La commutativité

4.2 L’associativité

4.3 La distributivité

4.4 Les éléments neutres

4.5 La complémentation

4.6 L’idempotence

4.7 Eléments absorbants

4.8 L’involution

4.9 L’inclusion

4.10 Théorèmes de De Morgan

En exploitant les documentations des composants expérimentés (7400, 7402, 7408 et 7432), retrouvez et notez

ci-dessous les affirmations des théorèmes de De Morgan (il sera peut-être nécessaire d’utilisez certaines propriétés pour transformer les équations retrouvées) :

Composant Fonction Equations

7400

7402

7408

7432



5 Simplification d’équations Afin de simplifier les équations logiques, il est nécessaire de :

• connaître les équations des opérateurs de base ; • connaître les propriétés du paragraphe 4 ; • savoir développer les opérations logiques ; • savoir factoriser les opérations logiques.

Il n’existe pas de méthode universelle pour simplifier les équations logiques, seule la résolution d’exercices vous permettra de réussir correctement les simplifications.

a b+ =

( )a b b+ • =

a b a• + =

a b a+ • =

( ) ( )a b a b+ • + =

( ) ( )a b a b+ • + =

( )a b a⊕ • =

a b b⊕ • =

a a b• + =( )

a a b a b• + • • =( ) ( )

Un contrôle est prévu au prochain cours



6 Recherche d’équations à partir d’une table .

En supposant que, suite à une étude, nous obtenions la table de vérité suivante : a b S 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

Nous nous apercevons que S =1 quand a = 0 et b=1. Si nous codons S=1 par S , a=0 par a et b=1 par b , nous pouvons écrire

Selon la même méthode, écrivez l’équation pour la table de vérité suivante : a b S 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0

S= a b•

Considérons cette fois-ci la table de vérité suivante a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

Nous nous apercevons que S=1 quand a=0 et b=0 ou quand a=1 et b=0. En reprenant notre méthode de codage, nous obtenons l’équation (qu’il est bien sûr possible de simplifier).


S=

Etudions cette fois-ci le cas suivant : a b S 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1

Nous nous apercevons que les lignes où S=0 sont minoritaires (une seule ici). Il est, dans ce cas, nettement plus intéressant d’écrire que S=0 quand a=0 et b=1, ce qui se traduit par le codage

Pour décrire S, il suffit de savoir que S S= , ce qui donne




A partir des tables de vérité suivantes, donnez l’équation de sortie de chacune d’elles en vous inspirant des explications de la page précédente :

a b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

S=

a b c S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1

S=

a b c S 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

S=

a b c S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

S=



7 Tracé de schéma à partir d’une équation Pour tracer un schéma structurel à partir d’équations logiques, vous devez faire l’inventaire de tous les

opérateurs de base se trouvant dans l’équation, en général dans l’ordre suivant : • repérer les fonctions NON ; • repérer les fonctions ET, OU, OU-EXCLUSIF ; • repérer les fonctions ET-NON, OU-NON et OU-EXCLUSIF en vérifiant s’il ne faut pas remplacer une des

fonctions du point précédent par une de ces fonctions. Cette méthode n’est pas exhaustive, et seule l’expérience vous permettra de tracer correctement les schémas

structurels correspondant à des équations données.

Ce qui donne le schéma structurel suivant :

1

1

&

≥1

a

b

c

S

Entraînez-vous sur votre cahier d’essais avec les équations suivantes :

cbaS +•= )(

)( cbaS +•=

S a b a b= + • + S a b c d= + • +( ) S a b c d= • ⊕ •

S a a b c= • + •( )

La fin de ce cours sera suivie d’un contrôle de connaissances.

fonction NON

fonction NON

fonction ET

fonction NON

fonction ET-NON

fonction OU

cbaS •+=



8 Fiche d’exercices

8.1 Dans chacun des tableaux suivants, les lignes ont été permutées. Sous chaque tableau, indiquez le nom de l’opérateur correspondant :

a S 1 0 0 1

a S 1 1 0 0

a b S 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1

a b S 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0

a b S 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0

a b S 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0

a b S 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1

a b S 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

8.2 Donnez les équation des montages suivants : ab

S1

≥1

&

ab

S3

≥1

&

S1 = S3 =

ab

S2

≥1

&

ab

S4

≥1

&

S1 = S1 =

8.3 Pour chacun des montages précédents, complétez la table de vérité correspondante

a b S1 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S2 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S3 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S4 0 0 0 1 1 0 1 1

8.4 Donnez les équation des montages suivants

a

b S1

1

≥1

ab

S3

1&

≥1

S1 = S3 =

a

bS2

1

1

=1

ab

S4

1

=1

=1

S2 = S4 =



8.5 Pour chacun des montages précédents, complétez la table de vérité correspondante

a b S1 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S2 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S3 0 0 0 1 1 0 1 1

a b S4 0 0 0 1 1 0 1 1

8.6 Donnez les équations des montages suivants

≥1

=1

&ab

c

d S1

=1

=1

&

ab

c

d S3

S1 = S3 =

≥1

=1

&

ab

c

d S2

≥1

≥1

&ab

c

d S4

S2 = S4 =

8.7 Donnez les équations des montages suivants

≥1

=1

&ab

x

y S1

≥1

=1

&

xy

a

z S2

S1 = S2 =

8.8 Tracez les signaux correspondants aux montages suivants :

&

&

ab

S1

ab

S1

≥1

≥1



Va

Vb

Vs

t

t

t

Va

Vb

Vs

t

t

t



8.9 Tracez les signaux correspondants aux montages suivants :

a

b S1

1

≥1

a

bS1

1

1=1

Va

Vb

Vs

t

t

t

Va

Vb

Vs

t

t

t

8.10 Donnez les résultats des opérations binaires suivantes

=• 0a =+ 0a =•1a =+1a =• aa =+ aa =• aa =+ aa


=• 0a =+ 0a =•10 =+1a =• aa =+ aa =• aa =+ aa


=+ 0x =•• 1)( ba =•+ 0)( bz =•• 1)( ax

=•+• baba )( =⊕•⊕ )()( xaxa =⊕•⊕ )( azaz =⊕+⊕ )()( dcdc

8.13 Développez les expressions suivantes =+• )( tza =+• )( tza

=+•• )()( tzba =+•• )()( dcba =+•+ )()( tzyx =+•+ )()( dcba

8.14 Factorisez les expressions suivantes

=•+• caba =••+••+•∗ zdaybaxba

=•+• btzb =••+••+•• zbaybaxba

=•+• zdza =••+••+•• dabdcxxda

=•+• zdbz =••+••+•• fbacbacba

=•+ baa =••+• cbaba

8.15 Simplifiez les équations suivantes

=+• )( baa

=+• )( baa

=+•+ )()( ixix

=+•+ )()( baba



8.16 Donnez les équations correspondantes aux tables de vérité ci-dessous :

a b c S1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

a b c S2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

a b c S3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

S1= S2= S3=

8.17 A partir des équations suivantes, dessinez les schémas correspondants :

cbaS +•= )(1 acbaS +••= )(2 )()(3 cabaS +•⊕= ))((4 dcbaS •⊕•=

8.18 Redessinez les schémas ci-dessous aux normes

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