LOI DE PARETO Introduction aux PROBABILITES et STATISTIQUES 1

INTRODUCTION Lutilisation des probabilits et statistiques est ancestrale. Les premiers concepts simples des probabilits, lis au hasard, sont apparus ds lantiquit : jeux de hasard, divination, sortilges, Mthode de dcision : il tait un petit navire Les activits humaines sont pratiquement toutes affectes par le hasard : Un accident Le temps quil fait Une maladie quon attrape au mauvais moment Un mouvement inattendu de la bourse, Tirage au sort dune quipe de foot, sont des exemples courants. 2

Les premiers concepts des statistiques sont ns du besoin de rpertorier lensemble de la population. Mesures des rcoltes Recensement de la population, des armes Dans les socits actuelles les statistiques sont quasi-prsentes : dmographie Politique (lections) mdecine Consommation 3

PROBABILITES DEFINITIONS La probabilit (du latin probabilitas) est une valuation du caractre probable dun vnement. Le mot probable signifie qui peut se produire dans le cas de futures ventualits, ou - certainement vrai , vraisemblable . La probabilit est une des thories mathmatiques utilise pour dcrire et quantifier lincertain. 4

DEFINITION CLASSIQUE HISTORIQUE La probabilit dun vnement tait dfinie comme le nombre de cas favorables pour lvnement, divis par le nombre total dissues possibles lexprience alatoire. Par exemple on a une probabilit de dobtenir un nombre pair en lanant un d non pip. 5

DEFINITION RIGOUREUSE MODERNE tant donn un espace probabilisable ( ; A ), on appelle probabilit sur ( ; A ) toute application P : A IR satisfaisant aux trois axiomes suivants : - Axiome (1) : A A, P(A) 0. - Axiome (2) : P( ) = 1. - Axiome (3) : Pour toute suite (An) d'lments deux deux disjoints, P( U An) = P(An) (additivit) 6

PROBABILITES - ORIGINE Les probabilits sont nes du dsir de prvoir limprvisible ou de quantifier lincertain. Cest en cherchant rsoudre des problmes poss par les jeux de hasard que les mathmaticiens donnent naissance aux probabilits. Les jeux de hasard motivrent depuis la nuit des temps et jusque de nos jours lintrt destimer aussi prcisment que possible une probabilit. 7

HASARD De larabe AZ-ZAHR, dsigne jeu de ds , transform en espagnol AZAR d jouer (12 me sicle) vnement non prvisible sans cause apparente ALEATOIRE Du latin ALEA jeu de ds (1596) Imprvisible, li au hasard. 8

JEUX DE HASARD ANCIENS (Asie et Orient) Jeu de lastragale jeu du senet jeu du passage, pratiqu en Egypte 3000 ans av J-C Jeux de ds en Grce et Rome Jeu des osselets chez les grecs Jeu des talus chez les romains 9

EVOLUTION Les archologues ont montr la prsence et pratiques de ces jeux dans les socits antiques mais nont trouv nulle trace de leur tude. Les premiers calculs de probabilit tudes sur la rgularit dapparition de certaines squences dans les jeux de hasard par des mathmaticiens italiens de la Renaissance GEROLAMO CARDANO GALILEELUCA PACIOLI (1501-1576)(1564-1642) (1445-1517) 10

Le jeu de passe-dix (Cardano) Pourquoi, alors que 9 et 10 scrivent dautant de faon diffrentes (6) comme somme de 3 ds, a-t-on plus de chances dobtenir 10 que 9 en lanant trois ds ? 11

: Chevalier de MR soumet 2 problmes PASCAL LE PROBLEME DU DOUBLE-SIX Est-il plus probable dobtenir au moins un six lors de 4 lancers dun seul d quau moins un double-six lors de 24 lancers de deux ds ? LE PROBLEME DES PARTIS Comment rpartir les mises de manire quitable entre participants dun jeu de hasard lors dune interruption prmature de la partie ? 12

SOLUTIONS PAR PASCAL ET FERMAT Une correspondance a lieu entre PASCAL et FERMAT Blaise PASCAL Pierre de FERMAT (1623-1662) ( 1610-1665) PASCAL a finalement trouv la solution du problme mais ncrira jamais de trait sur le sujet Synthse des rsultats du calcul des probabilits tablie par HUYGENS lors de la publication dun trait en 1657 TRAITE SUR LES RAISONNEMENTS DANS LE JEU DE DES Christian de HUYGENS (1629-1695) 13

Jacques BERNOUILLI LOI DES GRANDS NOMBRES (1654-1705) Abraham de MOIVRE CONVERGENCE VERS LOI GAUSSIENNE (1668-1754) Pierre-Simon de LAPLACE (1749-1827) TRAITE ANALYTIQUE DES PROBABILITES Ande KOLMOGOROV AXIOMATISATION DU CALCUL DES PROBABILITES (1903-1987) 14

STATISTIQUES DEFINITION La statistique est la fois une science formelle, une mthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprtation de donnes ainsi que la prsentation de ces ressources. Ce domaine des mathmatiques ne doit pas tre confondu avec une statistique qui est un nombre calcul partir d'observations. 15

ORIGINE ET EVOLUTION 1 re poque LES RECENSEMENTS : POPULATION : Il y a plus de 2000 ans, les peuples sentaient le besoin de rpertorier lensemble de leur population. RECOLTES : la Chine recensait ses productions agricoles 2238 ans avant J.C CADASTRE : lEgypte tablie son institution du cadastre et du cens 1700 ans avant J.C ARMEMEMT : les grands empires de lpoque ralisaient des enqutes afin de rpertorier leur armes et afficher leur puissance. 16

2 me poque DEVELOPPEMENT DE LA METHODE STATISTIQUE Le dveloppement des mathmatiques des 18me et 19me sicles a ouvert une voie nouvelle pour la statistique. FERMAT et PASCAL Prcurseurs des statistiques actuelles Karl Friedrich GAUSS (1777-1855) LA LOI NORMALE DES STATISTIQUES ACTUELLES Thomas BAYES (1702-1761) LA REGLE DE BAYES trs utilise en classification automatique Florence NIGHTINGALE (1820-1910) Premire utilisation des statistiques dans les mdias 17

Notre poque : LERE DES ORDINATEURS SYSTEMATISATION DES ETUDES STATISTIQUES Dans le domaine industriel Dans le domaine politique DEMOCRATISATION DES ETUDES STATISTIQUES Associations particuliers 18

QUELQUES APPLICATIONS DES PROBABILITES ET STATISTIQUES GEOPHYSIQUE, pour les prvisions mtorologiques,mtorologiques la climatologie,climatologie la pollution,pollution les tudes des rivires et des ocans ;riviresocans DEMOGRAPHIE : le recensement permet de fairerecensement une photographie un instant donn d'une population et permettrapopulation par la suite des sondages dans des chantillons reprsentatifs ; 19

SCIENCES ECONOMIQUES et SOCIALES, en conomtrie : l'tude du comportement d'un groupe de population ou d'un secteur conomique s'appuie sur des statistiques. C'est dans cette direction que travaille l'INSEE.conomtriesecteur conomiqueINSEE Les questions environnementales s'appuient galement sur des donnes statistiques ;donnes 20

SOCIOLOGIE : les sources statistiques constituent des matriaux d'enqute, et les mthodes statistiques sont utilises comme techniques de traitement des donnes ;donnes MARKETING : le sondage d'opinion devient un outilsondage d'opinion pour la dcision ou l'investissement ;dcisioninvestissement METROLOGIE, pour tout ce qui concerne les systmes de mesure et les mesures elles-mmes ; 21

PHYSIQUE : l'tude de la mcanique statistique et de la thermodynamique statistique, permet de dduire du comportement de particules individuelles un comportement global (passage du microscopique au macroscopique) ; 22 Tambour tournant contenant 13000 billes dacier. Ce dispositif ralise un coulement stable de matire granulaire qui est analys par une camra rapide (D. Bonamy SPEC).

MEDECINE ET PSYCHOLOGIE, tant pour le comportement des maladiesmaladies que leur frquence ou la validit d'un traitement ou d'un dpistage ; ARCHEOLOGIE, applique aux vestiges (cramologie...) ECOLOGIE, pour l'tude des communauts vgtales et des cosystmes. ASSURANCE et FINANCE (calcul des risques,...) 23

LOI DE PARETO LAUTEUR Vilfredo Pareto, italien (1848-1923) Physicien, sociologue et conomiste. Spcialiste de llasticit des corps solides, il sintressa aux statistiques et tablit des lois mathmatiques rgissant certains phnomnes conomiques (conomtrie), voire sociaux. 24

DECOUVERTE ET EVOLUTION DE LA LOI DE PARETO Pareto a dcouvert vers 1875 la distribution en tudiant la rpartition des revenus des familles en Suisse. Il tait communment admis qu'il y a plus de familles avec un bas revenu que de familles avec un revenu lev et lobservation factuelle confirmait cette ide. Ce qui tait moins connu cest que ces distributions ont une forme trs rgulire. Daprs ses tudes, 80% des revenus dune socit vont vers 20% de la population. 25

Au vue de limportance des donnes, il regroupa ses observations en utilisant le papier graphique Log-Log afin de condenser les chelles et de pouvoir reprsenter toutes les valeurs sur un mme diagramme. 26 La ligne droite, en chelle logarithmique, sur une partie du graphique se prte aux calculs mathmatiques faciles.

Y = A X + B Dans laquelle grand X est le logarithme du niveau de revenu petit x, et grand Y est le logarithme du nombre de personnes ayant un revenu petit x ce qui vite la notation lourde : Log( y ) = A log (x) + B Cette forme de droite est trs reconnaissable et permet dorienter les recherches ultrieures. Elle permet aussi l'interpolation de valeurs intermdiaires absentes, l'valuation de valeurs pour des limites de classe de taille diffrentes, etc. 27

DR JOSEPH JURAN, pionnier en matire de gestion de qualit, labore ce principe dans les annes 1940 et dcouvre quil pouvait sappliquer universellement. 19042008 Ce principe est alors nomm Loi de Pareto 28

ESTIMATION JOINTE DANS LA LOI DE PARETO recherche dun estimateur joint du couple des paramtres de la loi de Pareto et tude de la consistance faible et forte de cet estimateur 29

GENERALISATION DE LA LOI 31

ESTIMATEURS DES PARAMETRES 32

ESTIMATEURS DES PARAMETRES 34

THEOREMES 36

THEOREMES 37

THEOREMES 38

THEOREMES 39

SIMULATIONS 40

SIMULATIONS 41

SIMULATIONS 42

SIMULATIONS 43

EXPERIMENTATION Exprimentation des rsultats : En ptrochimie Biologie Economie 44

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI GENERAL : 20% des causes provoquent 80% des effets ; 20% des problmes reprsentent 80% des proccupations ; 45

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI ACCOMPLISSEMENT : 20% des facteurs influent sur 80% des objectifs ; 20% des moyens permettent d'atteindre 80% des objectifs ; 20% du temps de travail suffit accomplir 80% d'une tche ; 20% du personnel assure 80% du travail ; 20% de votre activit fournit 80% de vos rsultats ; 80% d'accomplissement d'une mise au point ncessite 20% de l'effort en gestion de projets ; 80% d'une production rsulte de 20% de l'investissement qui lui a t consacr ; 46

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI RESSOURCES : 20% des gens possdent 80% des richesses ; 20% de la population mondiale a accs 80% de l'eau potable ; 20% des salaris peroivent 80% de la masse salariale ; 20% de la population mondiale tire profit de 80% des ressources globales de la plante ; 47

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI COMMERCE : 20% des produits reprsentent 80% du chiffre d'affaires ; 20% des ventes reprsentent 80% de la marge bnficiaire ; 20% de l'inventaire reprsente 80% de la valeur du stock ; 20% des fournisseurs reprsentent 80% du volume d'achat total ; 20% des entreprises ralisent 80% du PIB ; 80% du chiffre d'affaires est ralis avec seulement 20% des clients ; 80% du chiffre d'affaires est ralis par 20% des commerciaux ; 48 20% de nos activits produisent 80% des rsultats

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI DEFAILLANCES : 20% des clients sont l'origine de 80% des rclamations ; 20% du personnel est concern par 80% des accidents du travail ; 20% des dfaillances de production sont l'origine de 80% des dfauts des produits ; 20% des dfauts du matriel sont l'origine de 80% des dfaillances l'utilisation ; 20% des automobilistes causent 80% des accidents ; 49

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI INFORMATION : 20% des indicateurs fournissent 80% de l'information de gestion ; 20% seulement des documents archivs apportent 80% de l'information utile ; 20% des e-mails reus apportent 80% de l'information utile ; 20% des lecteurs lisent 80% des livres vendus ; 20% des mots dans une langue suffisent pour s'exprimer dans 80% des cas ; 20% des pages de Wikipdia sont consultes par 80% des Wikinautes ; 50

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI CONSOMMATION : 20% de vos vtements et chaussures sont ports 80% du temps ; 20% des pays mettent 80% des gaz effet de serre ; 20% des articles psent 80% du prix total de vos achats ; 51

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI ECOLE : 20% des lves produisent 80% des perturbations dans la classe ; 20% des lves d'une classes font 80% de la participation utile ; 20% des tudiants demandent 80% de l'nergie de leur enseignant ; 20% du temps d'apprentissage est consacr 80% de ce quil faut savoir de votre leon ; 52

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI SOCIETE : 20% des hommes politiques dtiennent 80% de l'espace dbat ; 20% des dlinquants gnrent 80% des dlits ; 80% de l'intelligence humaine est le fruit de 20% des humains ; 80% de la btise humaine est le produit de 20% du genre humain ; 20% des dputs font voter 80% des lois ; 20% des noms de familles sont ports par 80% des habitants ; 20% des citoyens imposables gnrent 80% de la trsorerie publique ; 53

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI INFORMATIQUE : 20% du jeu d'instructions d'un microprocesseur est utilis 80% du temps de calcul ; 54

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI SPORT : 20% de l'effort l'entrainement permet d'atteindre 80% de la performance pour un sportif ; 20% des joueurs de foot marquent 80% des buts ; 55

DOMAINES DAPPLICATION DE LA LOI EMPLOI DU TEMPS : Vous consacrez 80% de votre temps 20% de vos activits Vous consacrez 80% de votre temps libre 20% de vos loisirs 56

CITATIONS Le vrai gnie rside dans laptitude valuer lincertain, le hasardeux, les informations conflictuelles. Sir Winston Leonard Spencer CHURCHILL Il est dans la probabilit que mille choses arrivent qui sont contraires la probabilit. Henry Louis MENCKEN A ceux qui lui demandaient quoi servaient les recherches mathmatiques, Galile rpondait que la gomtrie servait principalement peser, mesurer et compter : peser les ignorants, mesurer les sots, et compter les uns et les autres. Jean le Rond dALEMBERT 57

CITATIONS Il est trs curieux de constater que dans larme, les statistiques le prouvent, la mortalit augmente bizarrement en temps de guerre. Alphonse ALLAIS Je ne crois aux statistiques que lorsque je les ai moi-mme falsifies. Sir Winston Leonard Spencer CHURCHILL Lhomme a 100% de chances de mourir une fois dans sa vie. Denis LANGLOIS Les statistiques sont formelles. Ce sont les vieux qui vivent le plus longtemps. Denis LANGLOIS Le calcul des probabilits, appliqu la mortalit humaine a donn naissance une science nouvelle : celle des assurances. Emile de GIRARDIN 58

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