Loi normale et calculatrice

Exercice 1: Courbes de croissance et normalité !

Objectifs visés :

- Utilité de la loi normale dans un problème qui concerne directement les élèves, lié à la svt (biostatistique).

- Lecture graphique de la plage de normalité .

- Utilisation de la calculatrice

- Regard critique sur le modèle utilisé.

Quelques lectures graphiques :

- Taille moyenne d’un garçon de 16 ans.

- Comment lire l’écart type de la série concernant les garçons âgés de 16 ans?

- Zone de normalité = [m – 2 ; m– 2 ] Que peut-on dire d’un garçon de 16 ans pesant 48 kg?

- Observer l’écart type de la série lorsque l’âge de l’enfant augmente ? Expliquer.

16 ans

m

m + 2

m +

10 kg5 kg

58 kg

Quelques calculs à présent:

On considère que le poids X d’une population de garçons de 16 ans suit une loi N(μ,σ²). Précisez la loi de probabilité suivie.

On choisit au hasard un garçon de 16 ans.

- Calculer la probabilité qu’il pèse entre 46 et 70 kg ?- Calculer la probabilité qu’il pèse moins de 50 kg ?

   

Pour Calculer P(a<X<b):

Menu DISTRIBUTION

Sélectionner 2 : normalcdf(

Compléter les paramètres.

Exemple :Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type = 6.

P(46<X<70) = normalcdf (46,70,58,6) ≈ 0,954

50 58

aire sous la courbe = 1

Pour Calculer P(X<b):

Exemple :Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 kg et d’écart type = 6 kg.P(X<50) = normalcdf (-10^99,50,58,6) ≈ 0 ,091ou P(X<50) = 1/2 - normalcdf (50,58,58,6)

1. Soit on calcule une valeur approchée en calculant P(a<X<b) avec a = – 1099 par exemple.

2. Soit on utilise les propriétés de symétrie de la courbe de gauss.si b<m , P(X<b) = 1/2 – P(b<X<m) si b>m, P(X>b) = 1/2 + P(m<X<b)

Et encore un calcul !

« 3/4 des garçons âgés de 16 ans pèsent moins de x kg .» Déterminer x.

   

Pour Calculer P(X<a) = k (où k est un nombre donné entre 0 et 1.)

Menu DISTRIBUTION

Sélectionner 3 : invNorm(

Compléter les paramètres.

Exemple :X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type = 6.

Déterminer a tel que P(X<a) = 0,75.a = InvNorm (0,75,58,6) ≈ 62 kg

- Pensez-vous que cette répartition des poids soit représentative du poids des garçons de 16 ans en 2013 ? Voici les courbes issues du carnet de santé, mis à jour en 2006.

75 %

97 %

25 %

3 %

Exercice 2: Degré d’usure d’un câble…

Objectifs visés : - Compréhension de l’influence de l’écart type sur une loi normale - Utilisation de la loi normale pour résoudre un problème concret.

Ci-dessous, sont représentées les mesures effectuées :- la première semaine d’utilisation - après trois mois d’utilisation intensive.

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 690

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000 Mesures rangées par classe

Mesures en mm

Effec

tifs

- Quelle courbe représente les mesures effectuées la première semaine ?

- Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm.Quelle est la probabilité que le câble casse la première semaine ?

Et lorsque l’on se décide à changer le câble?

- Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.Quelle est la probabilité d’abimer le treuil au bout d’une semaine d’utilisation ?

Et lorsque l’on se décide à changer le câble ?

Loi normale de paramètres m = 45 mm et = 1mm. On change le câble lorsque l’écart type initial est multiplié par 5.

L’ingénieur décide de changer le câble lorsque le risque de casse ou d’endommagement atteint 10%.

- Quelle est la valeur que l’écart type ne doit pas dépasser ?

On cherche le plus petit écart type s tel que :P( 38<X<50) < 0,9

Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mmLe câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.

Précisions sur le tableur:

Lorsque l’argument est FAUX (au lieu de VRAI), on obtient la valeur de la fonction de densité

Pour Calculer P(X<B)

On cherche le plus petit écart type s tel que P( 38<X<50) < 0,9

P( 38<X<50) = P(X<50) – P(X<38)

Saisir le pas XStocker la valeur X dans STant que P(38<X<50) ≥0,9

Stocker S + X dans SFin du tant queAfficher la valeur de l’écart type S.

Autre méthode, un algorithme simple :

Autres fonctionnalités de la calculatrice :Pour représenter graphiquement une loi normale :Penser à régler la fenêtre d’affichage !Afficher l’écran d’édition puis dans le menu DISTR sélectionner normalpdf(

Pour représenter graphiquement P(a<X<b):Dans le menu DISTR, sélectionner DRAW ou DESSIN, puis Ombre Norm(

Exercice 3: Plus théorique cette fois…

Objectifs visés : - Déterminer la valeur de ce u dont l’existence vient d’être démontrée.- Retrouver les valeurs 1,96 et 2,58 connues par l’élève.

Pour α  ]0,1[, il existe un unique réel positif u∈ α tel que P(− uα ≤ X ≤ uα )=1−α 

lorsque X suit la loi normale N (0,1).

Par exemple, déterminer le nombre u tel que :P(– u < X< u) = 1 – 0,05 = 0,95

C’est-à-dire : P(X < – u) = 0,05/2 = 0,025

• Soit loi normale inverse: P(X<-u)=0,025

• Soit le tableau de valeurs de la fonction u → P(-u<X<u)

On cherche l’antécédent de 0,95

- Loi normale,- Loi binomiale,- Calculatrice (TI et CASIO), - Tableurs (EXCEL),- Exercices détaillés corrigés et fichiers Excel associés.

http://www.irem.univ-mrs.fr/-Lycee-Statistique-probabilite-et-