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LOIS DE PROBABILITE A DENSITE Probabilités partie 2 Loi uniforme, loi exponentielle, lois normales Lois de probabilité à densité LOI UNIFORME, LOI EXPONENTIELLE, LOIS NORMALES

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LOIS DE PROBABILITE A DENSITE

Probabilités partie 2 Loi uniforme, loi exponentielle, lois normales

Lois de probabilité à densité L O I U N I F O R M E , L O I E X P O N E N T I E L L E , L O I S N O R M A L E S

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+2BN Lois de probabilité à densité

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I. INTRODUCTION Traditionnellement, lorsqu’on parle d’une expérience aléatoire comme le lancer de dé, les issues sont des

événements élémentaires qui ne peuvent prendre qu’un certain nombre de valeurs bien distinctes. Dans le

cas du lancer de dé, les valeurs prise par la variable aléatoire X associée au numéro du résultat sont :

{1; 2; 3; 4; 5; 6}

On parle alors de variable aléatoire discrète car elle ne peut prendre que des valeurs discrètes, c’est-à-

dire un nombre fini de valeurs distinctes.

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à des variables aléatoires qui peuvent prendre des valeurs

continues. Par exemple, lorsqu’on jette une flèche sur un segment gradué de 1 à 6. La flèche peut tomber

sur n’importe quelle valeur, y compris √2 ou bien 𝜋.

Dès lors il n’y a pas de sens de parler de probabilité d’une issue car elles sont infinies. Ainsi, il faut choisir

un nouveau modèle de calcul de probabilité : la fonction densité de probabilité.

II. LOIS A DENSITE

1. Fonction densité de probabilité

Définition

On appelle fonction densité de probabilité d’une variable aléatoire X toute fonction continue et positive

sur un intervalle 𝐼 = [𝑎; 𝑏] (où 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels ou bien −∞ ou +∞), telle que :

𝑷(𝑿 ∈ 𝑰) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒃

𝒂

= 𝟏

Remarque

En effet la somme des probabilités de toutes les « issues » doit être égal à 1.

2. Calcul de probabilité

Dans ces conditions, on peut calculer la probabilité que 𝑋 ∈ [𝑐; 𝑑] ⊆ [𝑎; 𝑏] :

𝑷(𝑿 ∈ [𝒄; 𝒅]) = ∫ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕𝒅

𝒄

Remarque

C’est la fonction densité de probabilité 𝑓(𝑥) qui constitue le modèle de probabilité.

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Lois de probabilité à densité

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Conséquences immédiates

Soit X une variable aléatoire définie sur un intervalle [𝑎; 𝑏] et 𝑓 la fonction densité de probabilité définie

sur [𝑎; 𝑏]. Alors :

• 𝑃(𝑋 ∈ [𝑐; 𝑑] ⊆ [𝑎; 𝑏]) correspond à l’aire sous la courbe entre les droites d’équation 𝑥 = 𝑐,

𝑥 = 𝑑 , l’axe des abscisses et la courbe 𝐶𝑓 .

3. Espérance

Définition

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X, continue et de densité 𝑓 sur un intervalle [𝑎; 𝑏] se

calcule ainsi :

𝑬(𝑿) = ∫ 𝒕 × 𝒇(𝒕)𝒃

𝒂

𝒅𝒕

Exemple et exercice d’application

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Nous venons à présent de construire un nouveau modèle de calcul de probabilité sur les variables

aléatoires continues. Voyons maintenant quelques lois de probabilités (cas particuliers de ce que nous

venons de voir) qui reviennent souvent voire toujours dans le programme.

III. LOI UNIFORME La loi uniforme possède son équivalent dans le monde discret. C’est modèle d’équiprobabilité.

Définition

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [𝑎; 𝑏]. Alors la fonction densité de

probabilité est constante et vaut :

𝒇(𝒕) =𝟏

𝒃 − 𝒂

Propriété

Soit [𝑐; 𝑑] ⊆ [𝑎; 𝑏] et X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme de densité 𝑓(𝑥) =1

𝑏−𝑎 alors on a :

𝑷(𝒄 ≤ 𝑿 ≤ 𝒅) =𝒅 − 𝒄

𝒃 − 𝒂

Dans ces mêmes conditions on a :

𝑬(𝑿) =𝒂 + 𝒃

𝟐

Démonstration ROC

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Lois de probabilité à densité

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Exemple

Un élève commence les cours tous les jours à 8 heures. La grille ferme à 7h55. L’élève peut arriver à

n’importe quelle heure de manière aléatoire entre 7h45 et 8h00. On note X la variable aléatoire associée

à l’heure d’arrivée de l’élève. On suppose que X s’exprime en minute et qu’elle suit la loi uniforme sur

l’intervalle [45; 60] 1. Calculer la probabilité que l’élève arrive à l’heure. Calculer la probabilité qu’il arrive en retard.

2. Calculer la probabilité qu’il arrive à 7h50.

3. En moyenne, à quelle heure peut-il espérer arriver ?

IV. LA LOI EXPONENTIELLE

1. Introduction-Définition

Comme vous l’avez sans doute remarqué, toutes les lois ne sont pas obligées de suivre la même fonction

densité de probabilité qui donne en réalité le modèle de probabilité.

En effet, choisir un nombre réel entre 1 et 6 de manière complètement aléatoire correspond bien

intuitivement à une loi uniforme car on sent bien que chaque nombre réel entre 1 et 6 a autant de chance

d’être choisi aléatoirement. En revanche d’autres situations ne vérifient pas cette uniformité.

Par exemple, on achète un appareil électronique neuf le 1er janvier 2017. A votre avis, a-t-il la même

probabilité de fonctionner le premier mois d’utilisation qu’au deuxième mois, qu’au 22ème mois ? Bien

évidemment, la réponse est non. Plus sa durée de vie augmente, plus la probabilité qu’il fonctionne toujours

diminue. Nous ne sommes clairement pas dans une situation de loi uniforme. La loi exponentielle convient

parfaitement ici.

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Définition

Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs sur [0; +∞[. X suit une loi exponentielle de paramètre

𝜆 > 0 si sa fonction densité de probabilité est définie sur [0; +∞[ telle que :

𝒇(𝒕) = 𝝀𝒆−𝝀𝒕

Conséquences immédiates

• ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 1+∞

0

• 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 1 − 𝑒−𝜆𝑎

• 𝑃(𝑋 > 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝑒−𝜆𝑎

• 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑒−𝜆𝑎 − 𝑒−𝜆𝑏

Démonstration

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Lois de probabilité à densité

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2. La loi exponentielle, une loi sans vieillissement

Théorème

∀𝑡 > 0 et ℎ > 0 on a :

𝑷𝑿≥𝒕(𝑿 ≥ 𝒕 + 𝒉) = 𝑷(𝑿 ≥ 𝒉)

Cela signifie que si on sait que qu’un appareil électronique fonctionne toujours à l’instant 𝑡 (𝑋 ≥ 𝑡), alors la

probabilité qu’il fonctionne ℎ année (mois, jours ou seconde suivant l’exercice) supplémentaires ne dépend

pas de 𝒕.

Démonstration ROC

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3. Espérance mathématique de la loi exponentielle

Propriété

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆. Dans ces conditions l’espérance

mathématique de cette loi vaut :

𝑬(𝑿) =𝟏

𝝀

Démonstration ROC

4. Bilan lien entre discret et continu

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V. INTRODUCTION A LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE Vous savez qu’on applique la loi binomiale lorsqu’une épreuve de Bernoulli est répétée de manière

indépendante 𝑛 fois, où 𝑛 est un nombre entier. La loi normale n’est que la généralisation de la loi

binomiale à deux conditions :

• Le nombre de répétition doit être plus grand que 50.

• La probabilité du « succès » doit être supérieure à 0,1.

La loi normale intervient dans de nombreuses distributions statistiques. Sa fonction densité de probabilité

est appelée la fonction de Gauss.

VI. LOI NORMALE CENTREE REDUITE

4. Fonction densité de probabilité

Définition

On appelle fonction densité de probabilité de Gauss d’une variable aléatoire X, la fonction définie sur ℝ

par :

𝝋(𝒕) =𝟏

√𝟐𝝅𝒆−

𝒕𝟐

𝟐

Remarque et conséquences immédiates

Il s’agit bien d’une fonction densité de probabilité car :

• Elle est positive sur ℝ.

• Elle est paire donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Son intégrale sur ℝ vaut 1. La démonstration est admise car la primitive de 𝜑 ne s’exprime pas à

l’aide de fonctions usuelles.

• 𝐶𝜑 est appelée courbe de Gauss ou bien courbe en cloche.

• Etant donné que cette fonction est paire on a :

∫ 𝝋(𝒕)𝒅𝒕𝟎

−∞

= ∫ 𝝋(𝒕)𝒅𝒕+∞

𝟎

=𝟏

𝟐

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5. Fonction de répar tition de la loi normale centrée et réduite.

Définition

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et réduite, notée 𝑁(0,1), sa densité de

probabilité est égale à la fonction 𝜑 définie plus haut. Alors sa fonction de répartition est :

𝜙(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞

▪ 𝑁(0; 1) signifie que l’espérance de X vaut 0 et que l’écart-type vaut 1.

6. Calcul de probabilité

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et réduite. Pour tous réels a et b, on a :

• 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎= 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝐹𝑟é𝑝(𝑎, 𝑏, 0,1) = 𝑁𝑜𝑟𝑚𝐶𝐷(𝑎, 𝑏, 1,0)

• 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 1 − 𝑃(𝑋 < 𝑎) = 1 − ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡𝑎

−∞= 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝐹𝑟é𝑝(𝑎, 1099 , 0,1) = 𝑁𝑜𝑟𝑚𝐶𝐷(𝑎, 1099, 1,0)

7. Variance et écar t type (admis)

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée et réduite. Alors son espérance mathématique

est nulle et sa variance vaut 1.

8. Probab ilité d’un intervalle centré en 0

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et réduite. Soit 𝛼 ∈ ]0; 1[. Il existe un unique

réel strictement positif 𝑢𝛼 tel que :

𝑷(−𝒖𝜶 ≤ 𝑿 ≤ 𝒖𝜶) = 𝟏 − 𝜶

Démonstration ROC

Déterminons un nombre réel 𝑥 tel que :

𝑃(−𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝑥) = 1 − 𝛼

𝜙(𝑥) − 𝜙(−𝑥) = 1 − 𝛼

𝜙(𝑥) − (1 − 𝜙(𝑥)) = 1 − 𝛼

𝜙(𝑥) − 1 + 𝜙(𝑥) = 1 − 𝛼

2𝜙(𝑥) − 1 = 1 − 𝛼

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2𝜙(𝑥) = 2 − 𝛼

𝜙(𝑥) = 1 −𝛼

2

On sait que 𝜙(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡𝑥

−∞. Donc 𝜙 est continue et strictement croissante sur[0; +∞[. Par ailleurs on

a :

• 𝜙(0) = ∫ 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 =0

−∞

1

2

• lim𝑥→+∞

𝜙(𝑥) = 1

• Or 1

2≤ 1 −

𝛼

2≤ 1

Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel 𝑢𝛼 strictement

positif tel que 𝜙(𝑢𝛼) = 1 −𝛼

2.

Exemples :

𝑃(−1,96 ≤ 𝑋 ≤ 1,96) = 0,95

𝑃(−2,58 ≤ 𝑋 ≤ 2,58) = 0,99

VII. LOI NORMALE GENERALE

Définition

Si 𝑋 une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres 𝜇 et 𝜎 notée 𝑁(𝜇, 𝜎2), alors la

variable aléatoire 𝑍 =𝑋−𝜇

𝜎 suit la loi normale centrée et réduite 𝑁(0,1) et réciproquement.

Propriété

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres 𝜇 et 𝜎 notée 𝑁(𝜇, 𝜎2), alors son

espérance vaut 𝜇 et son écart-type vaut 𝜎.

Démonstration

Nous avons :

𝐸(𝑍) = 𝐸 (𝑋 − 𝜇

𝜎)

Or nous savons d’après la définition que 𝑍 suit une loi normale centrée et réduite donc 𝐸(𝑍) = 0. Et par

linéarité de l’espérance, nous avons :

0 =𝐸(𝑋) − 𝜇

𝜎

Or une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur n’est pas nul, on en

déduit :

𝐸(𝑋) = 𝜇

De plus nous avons déjà démontré dans le chapitre sur les probabilités que 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎2 × 𝑉(𝑋)

d’où :

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𝑉(𝑍) = 𝑉 (𝑋 − 𝜇

𝜎) = 𝑉 (

1

𝜎. 𝑋 −

𝜇

𝜎) =

1

𝜎2× 𝑉(𝑋)

Or 𝑉(𝑍) = 1 car 𝑍 suit la loi normale centrée réduite. D’où 𝑉(𝑋) = 𝜎2

VIII. UTILISATION DE LA CALCULATRICE

1. Casio

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2. Texas Instruments