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CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

BASES SCIENTIFIQUES

(Lois physiques pour l'lectronique, l'lectrotechnique, l'automatisme)

A0

Cours 26049

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Didier LE RUYET Fvrier 2003

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TABLE DES MATIERES

1 RAPPELS DELECTROCINETIQUE...................................................4 1.1 Introduction ............................................................................................................................... 4 1.2 Matriaux en lectricit ............................................................................................................. 4 1.3 Champ lectrique et diffrence de potentiel ............................................................................. 4 1.4 Courant lectrique..................................................................................................................... 4 1.5 Lois fondamentales................................................................................................................... 5

1.5.1 Loi des mailles ................................................................................................................................ 5 1.5.2 Loi des nuds ................................................................................................................................. 6

1.6 Gnrateurs idaux................................................................................................................... 7 1.6.1 Gnrateur de tension idal ............................................................................................................. 7 1.6.2 Gnrateur de courant idal............................................................................................................. 7

2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES........................................8 2.1 Introduction ............................................................................................................................... 8 2.2 Caractristique dun dipole ....................................................................................................... 8 2.3 Les diples passifs lmentaires .............................................................................................. 8

2.3.1 Rsistance........................................................................................................................................ 8 2.3.2 Bobine dinduction.......................................................................................................................... 9 2.3.3 Condensateur................................................................................................................................... 9

2.4 Lois gnrales des diples passifs ........................................................................................... 9 2.5 Association de diples de mme nature................................................................................. 11 2.6 Lois des diples en rgime sinusodal .................................................................................... 11 2.7 Diagrammes de Fresnel.......................................................................................................... 12 2.8 Notation complexe et impdance complexe ........................................................................... 15

3 PUISSANCE ET ENERGIE...............................................................19 3.1 Dfinitions ............................................................................................................................... 19 3.2 Cas particuliers ....................................................................................................................... 20

3.2.1 Energie consomme dans une rsistance....................................................................................... 20 3.2.2 Energie dans une bobine ............................................................................................................... 21 3.2.3 Energie dans un condensateur ....................................................................................................... 22

3.3 Puissance active, ractive et complexe dans un dipole quelconque...................................... 24 3.4 Force lectromotrice et force contre lectromotrice ............................................................... 25

3.4.1 Gnrateur et force lectromotrice ................................................................................................ 25 3.4.2 Rcepteur et force contre lectromotrice....................................................................................... 26

3.5 Adaptation dimpdance ......................................................................................................... 27

4 METHODES DANALYSE DES RESEAUX ......................................30 4.1 Introduction ............................................................................................................................. 30 4.2 Mthode des courants des mailles ......................................................................................... 31 4.3 Thorme de Millman ............................................................................................................. 32 4.4 Thorme de superposition .................................................................................................... 33 4.5 Thorme de Thvenin et de Norton...................................................................................... 35

4.5.1 Grandeurs caractristiques dun diple ......................................................................................... 35 4.5.2 Thorme de Thvenin.................................................................................................................. 35 4.5.3 Thorme de Norton...................................................................................................................... 35

4.6 Thorme de Kennely............................................................................................................. 36

5 FACTEUR DE QUALITE ET CIRCUIT RESONNANT ......................38 5.1 Oscillations libres dans un circuit LC ...................................................................................... 38 5.2 Facteur de qualit dun circuit ................................................................................................. 39

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5.2.1 Dfinition ...................................................................................................................................... 39 5.2.2 Facteur de qualit dun lment ractif rel .................................................................................. 39 5.2.3 Gnralisation du facteur de qualit .............................................................................................. 41

5.3 Le circuit rsonnant srie........................................................................................................ 41

6 LES QUADRIPOLES.........................................................................47 6.1 Dfinitions ............................................................................................................................... 47 6.2 Description matricielle du quadriple...................................................................................... 47

6.2.1 Matrices impdances ..................................................................................................................... 47 6.2.2 Matrices admittances..................................................................................................................... 52 6.2.3 Matrices hybrides .......................................................................................................................... 54 6.2.4 Matrice de transfert ou matrice chane .......................................................................................... 55

6.3 Schmas quivalents du quadriple....................................................................................... 55 6.3.1 Reprsentation matricielle impdance........................................................................................... 56 6.3.2 Reprsentation matricielle admittance .......................................................................................... 56 6.3.3 Reprsentation matricielle hybride................................................................................................ 56

6.4 Association de quadriples ..................................................................................................... 56 6.4.1 Association srie ........................................................................................................................... 56 6.4.2 Association parallle ..................................................................................................................... 57 6.4.3 Association en cascade.................................................................................................................. 58

6.5 Fonctions de transfert dun quadriple.................................................................................... 59

7 FILTRAGE, DIAGRAMMES DE BODE.............................................63 7.1 Introduction au filtrage ............................................................................................................ 63

7.1.1 Dfinitions..................................................................................................................................... 63 7.2 Echelle logarithmique et diagramme de Bode ........................................................................ 65 7.3 Fonctions de transfert de base ............................................................................................... 67

7.3.1 Intgrateur ..................................................................................................................................... 67 7.3.2 Drivateur...................................................................................................................................... 67 7.3.3 Intgrateur rel ou filtre passe bas du premier ordre .................................................................... 68 7.3.4 Drivateur rel.............................................................................................................................. 70 7.3.5 Filtre passe-haut du premier ordre................................................................................................. 71 7.3.6 filtre passe bas du second ordre..................................................................................................... 73 7.3.7 Fonctions de transfert quelconques ............................................................................................... 77

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1 RAPPELS DELECTROCINETIQUE

1.1 Introduction

Llectrocintique tudie la circulation des courants lectriques dans les circuits lectriques composs dun ensemble dlments appels composants comme les gnrateurs (piles, ), les composants passifs (rsistance, bobine dinduction, condensateur) et les composants passifs (transistor, amplificateur oprationnel, ). Ces lments sont relis entre eux par des fils conducteurs.

1.2 Matriaux en lectricit

Les lectrons se dplacent dans les solides plus ou moins facilement selon le matriaux. La charge dun lectron est gale 1,6.10-19 Coulomb. On distingue 3 types de matriaux :

9 Les conducteurs : matriaux dans lesquels un champ trs faible suffit fournir une nergie permettant le dplacement des lectrons libres (porteurs de charges arrachs chaque atome). On a un deux lectrons libres en moyenne par atome. La concentration en lectrons dpend du matriau ; par exemple pour le cuivre, on a 1028 lectrons par m3 .

9 Les isolants : pas dlectron libre. La qualit de lisolant dpend de la puret du matriau 9 Les semi-conducteurs : la concentration en lectrons dpend du matriau et de la temprature. Les

lectrons sont disposs dans des bandes permises spares par des bandes dites interdites. Une certaine quantit dnergie permet de faire passer des lectrons dune bande permise pleine (bande de valence) vers la bande vide (bande de conduction) gnrant ainsi des trous lectriquement quivalents des charges positives dans la bande de valence. Les semi-conducteurs sont utiliss dans la plupart des circuits actifs.

1.3 Champ lectrique et diffrence de potentiel

Si on applique une diffrence de potentiel BAAB VVV = entre deux points A et B, les charges se dplacent cause du champ lectrique E

r. Le champ est dirig vers les potentiels dcroissants (potentiel lev vers potentiel

faible). On a la relation :

== BA

BAAB rdEVVVrr

Les diffrences de potentiel sexprime en volt et le champ lectrique Er

sexprime en volt par mtre.

1.4 Courant lectrique

Le dbit de charge ou courant lectrique est donn par la relation :

dtdqI =

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I sexprime en ampre. Les lois du courant lectrique ont t tudie par Ampre ( 1755-1836) au dbut du 19ime sicle. Par convention le sens du courant est le sens contraire du dplacement des lectrons.

1.5 Lois fondamentales

Un rseau ou circuit lectrique est un ensemble de conducteurs reliant entre eux des lments appels composants : rsistance, condensateur, bobine de self-induction, diode, transistor, Dans un rseau lectrique, on distingue :

- le nud : point de raccordement entre au moins deux conducteurs - la branche : portion du rseau compris entre deux nuds - la maille : partie du rseau qui se referme sur elle mme

1.5.1 Loi des mailles Soit le rseau suivant :

A CB

EF D

VA VB VC

VF VE VD

VA-VB

VE-VF

VF-VA VB-VE

noeuds : A-B-C-D-E-F

mailles :ABEFA

ABCDEFABCDEB

branches : AB-BC-CD-DE-BE-EF-FA

M

Soit une charge q se dplaant le long dune maille ; chaque nud de la maille se trouve un potentiel bien dfini par rapport un nud dorigine ou de rfrence commune M dont le potentiel est appele masse. q se dplace le long de la maille ABEFA et subit des variations dnergie potentielle le long du parcours. On a :

0)0()( ==+++ qVVVVVVVVq AFFEEBBA

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car la charge q est revenue au point initial.

B C

DA

V2

EF

V1 V3

V4

V5

V6

Dfinition : La somme des diffrences de potentiel le long dune maille est nulle. Cette loi est baptise loi des mailles ou premire loi de Kirschhoff. Mathmatiquement on a : 0=

iiv

1.5.2 Loi des nuds Le mouvement des charges, crant le courant est soumis aux lois de la physique : conservation de lnergie, de la quantit de mouvement et de la charge (de la matire).

N

i1

i5

i2

i3i4

Dfinition : La somme des courants entrant est gale la somme des courants sortant. Cette loi est baptise loi des nuds ou seconde loi de Kirschhoff. Mathmatiquement on a : 0=

iii

On choisit un sens arbitraire de parcours surla maille : par exemple le sens des aiguillesdune montre. Les diffrences de potentiel sont desgrandeurs algbriques et ont des orientationsarbitraires. Par convention, les diffrences de potentiel

iv des flches parcourues dans le mme sensque le parcours seront comptespositivement .

BA VVv =1 On a ici : 0654321 =++ vvvvvv

On choisit un sens arbitraire pour chaquecourant. Par convention, les courants

ii sedirigeant dans le mme sens que les flchesseront comptes positivement . Soit le nud N un point de raccordement de plusieurs conducteurs traverss par des courants. En un nud, il ne peut y avoir accumulation decharges. On a donc ici :

32541 iiiii +=++

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1.6 Gnrateurs idaux

1.6.1 Gnrateur de tension idal Un gnrateur de tension idal dlivre une diffrence de potentiel indpendante du courant quil dlivre. On reprsente ce gnrateur par les symboles suivants :

anciennereprsentation

E

nouvellereprsentation

E

Ce gnrateur de tension nexiste pas et en pratique, la diffrence de potentiel en sortie dun gnrateur de tension dcroit en fonction du courant de sortie.

1.6.2 Gnrateur de courant idal Un gnrateur de courant idal dlivre un courant indpendamment de la diffrence de potentiel entre ses bornes. On reprsente ce gnrateur par les symboles suivants :

anciennereprsentation

nouvellereprsentation

I I

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2 LES DIPOLES PASSIFS ELEMENTAIRES

2.1 Introduction

Les composants utiliss en lectronique prsentent des bornes lectriques ou ples permettant leur connexion dans un rseau. On distingue :

- les diples ( 2 ples) comme les rsistances, les condensateurs, les bobines, les piles, les diodes, - les quadriples (4 ples) comme par exemple les transformateurs, les filtres.

2.2 Caractristique dun dipole

Soit un dipole travers par un courant lectrique I et dont la diffrence de potentiel entre ses bornes est U. La caractristique de ce dipole est la courbe I=f(U). Suivant lallure de cette courbe, on peut distinguer diffrentes familles de dipole. Dipole linaire : la caractristique I=f(U) est une droite dquation I=aU+b. Par exemple, les rsistances et les gnrateurs de tension et de courant idaux sont des dipoles linaires. Si la caractristique I=f(U) nest pas une droite le dipole est non linaire Dipole passif : un diple est passif si son intensit de court-circuit est nulle et si la diffrence de potentiel ses bornes est nulle en circuit ouvert. Dit autrement, pour un dipole passif, on a I=0 si U=0.Les trois circuits passifs principaux sont la rsistance, la bobine dinduction et la capacit. Dans les autres cas, on dit que le dipole est actif. Exemple :

I

U

(1)

(3)

(2)

2.3 Les diples passifs lmentaires

2.3.1 Rsistance1

1 Certains auteurs utilisent la terminologie rsistor pour bien distinguer le nom du diple. Dans ce document, nous utiliserons le mot rsistance pour dsigner le diple et sa valeur.

Le dipole 1 est linaire et passif (il sagit dune rsistance) Le dipole 2 est non linaire et passif (diode) Le dipole 3 est linaire et actif (gnrateur de tension non parfait) Le dipole 4 est linaire et actif (gnrateur de tension parfait)

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Une rsistance est un diple constitu par un matriau conducteur et caractris par sa rsistance R exprime en ohm ( ) La rsistance sobtient comme suit :

slR =

O est la rsistivit en m , l est la longueur et s est la section du conducteur. Pratiquement varie entre 810 et m610 . Il existe galement des rsistances dont la rsistance varie en fonction dun paramtre comme la temprature (thermistance).

2.3.2 Bobine dinduction La bobine dinduction est un diple constitu dun conducteur mtallique enroul autour dun support cylindrique. Lorsquun courant traverse celle-ci, elle produit un champ magntique dans lespace environnant Le coefficient dinduction ou inductance qui sexprime en henry (H) est le suivant :

lsNL 2=

N est le nombre de spires. s est la section du conducteur mtallique en m2 et l est la longueur du support cylindrique.

7104 = H/m dans le vide Une bobine pure nexiste pas. En pratique, elle est toujours en srie avec une petite rsistance.

2.3.3 Condensateur Le condensateur est form de deux plaques mtalliques spares par un isolant. La rpartition de charge sur une plaque influe sur la rpartition des charges sur lautre plaque. Le condensateur est caractris par sa capacit C qui sexprime en farad (F):

eSC =

S est la surface de larmature du condensateur et e est la distance entre les deux armatures. est la permittivit en F/m. Elle dpend du milieu et de la permittivit du vide 120 10.84,8 = F/m Comme 1 farad reprsente une trs grande capacit, on utilise gnralement les sous-multiples comme le F, nF et pF.

2.4 Lois gnrales des diples passifs

Il existe deux choix pour lorientation du courant i et de la diffrence de potentiel v

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v

i DIPOLE

v

DIPOLEi

Convention rcepteur

Convention gnrateur

Nous allons maintenant rappeler les lois gnrales des 3 types de diples passifs lmentaires : rsistance, bobine et condensateur : remarques :

Dans une bobine, le courant ne peut pas subir une variation brutale : +=dtdi

impliquerait une diffrence de

potentiel +=v . De la mme faon, la diffrence de potentiel aux bornes dun condensateur ne peut pas varier brutalement

instantanment : +=dtdv

impliquerait un courant +=i . En continu, la bobine est un court-circuit et le condensateur est un circuit ouvert.

v

i i

v v

iRC

L

Riv = dtdiLv = = idtCv 1

GvvR

i == 1 = vdtLi 1 dtdvCi = R en ohms () L en henry C en farad

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2.5 Association de diples de mme nature

en srie :

v

iR

R2R1i

v1 v2

21

21

21

RRRiRiRRi

vvv

+=+=

+=

Gnralisation :

=i

iRR

v

i

i

v1 v2

L2

L

L1

21

21

21

LLLdtdiL

dtdiL

dtdiL

vvv

+=+=

+=

Gnralisation : =

iiLL

v

i

i

v1 v2

C

C1 C2

21

21

21

111

111

CCC

idtC

idtC

idtC

vvv

+=

+=+=

Gnralisation :

=i iCC

11

en parallle :

v

iR

R2

R1i

v

i1

i2

21

21

21

111RRR

Rv

Rv

Rv

iii

+=

+=+=

Gnralisation :

=i iRR

11

v

i

i

i2L2

L

L1

v

i1

21

21

21

111

111

LLL

vdtL

vdtL

vdtL

iii

+=

+=+=

Gnralisation :

=i iLL

11

v

i

i

i1

i2

C

C1

C2

v

21

21

21

CCCdtdvC

dtdvC

dtdvC

iii

+=+=

+=

Gnralisation :

=i

iCC

2.6 Lois des diples en rgime sinusodal

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Aprs avoir rappel les lois gnrales, nous allons nous intresser au rgime sinusodal qui est le rgime de fonctionnement le plus souvent utilis en lectronique. Soit un courant variant en fonction du temps selon la loi sinusodale suivante :

)sin()( 0 += tIti 0I est lamplitude maximum du signal en ampre.

t

0

i(t)

T

sin0I0I

0I

Soit += tt)( la phase du courant fonction linaire en fonction du temps en radian. est la phase lorigine : )0(= En drivant par rapport au temps on obtient la pulsation w :

dtd= en radian/seconde

La frquence f est le nombre de priodes par seconde. f sobtient en divisant la pulsation par 2 2

121 ==

dtdf en seconde-1 ou Hertz

Pour viter des calculs fastidieux lors de ltude des associations de dipoles en srie et en parallle on utilise deux mthodes pratiques:

- le diagramme de Fresnel - la notation complexe

2.7 Diagrammes de Fresnel

Les diagrammes de Fresnel permettent de reprsenter graphiquement i et v par des vecteurs i

r et vr dans une

base orthonorme. Supposons pour simplifier que la phase lorigine 0= . On a donc tIti sin)( 0= Appliquons les lois dohm aux diples rsistance, bobine et condensateur. Cas de la rsistance :

Riv = tVtRIv sinsin 00 == avec 00 RIV =

Les deux vecteurs ir

et vr sont en phase 00 RIV = 0I

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Cas de la bobine :

)sin( 0 tIdtdL

dtdiLv ==

)2

sin(cos 00 +== tVtLIv avec 00 LIV =

Pour la bobine, le vecteur vr est en avance de 2

sur le vecteur ir

.

00 LIV =0I

Cas du condensateur :

ttdIC

idtC

v == sin11 0 )

2sin(cos 0

0 == tVtCIv avec C

IV 00 =

Pour le condensateur, le vecteur vr est en retard de 2

sur le vecteur ir

.

0I

CIV 00 =

Pour les units, R , L et C1

sont homognes des ohms ().

Lorsque 0 , 0L , la bobine se comporte comme un court-circuit. et C1

, le

condensateur se comporte comme un circuit ouvert.

Lorsque , L , la bobine se comporte comme un circuit ouvert et 01 C , le condensateur se comporte comme un court circuit. Nous allons maintenant nous interesser lassociation de dipoles de nature diffrentes. Cas de lassociation dune rsistance et dune capacit en srie :

i

vR vC

CR

tIi sin0=

tRIvR sin0= )

2sin(cos1 00 === tCItCIidtCvC

)sin(0 +=+= tVvvv CR

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0I

CwI0

0RI

vr

Rvr

Cvr

le vecteur vr est la somme des vecteurs Rv

r et Cv

r

est langle entre les vecteurs vr et ir On a :

222

022

202

02

01 CRIC

IIRV +=+=

== RCRC1arctan1tan

Cas de lassociation dune rsistance et dune bobine en srie :

i

vR vL

LR

tIi sin0= tRIvR sin0=

)2

sin(cos 0000 +=== tILtIL

dtdiLvL

)sin(0 +=+= tVvvv LR

0I

LI00RI

vr

Rvr

Lvr

le vecteur vr est la somme des vecteurs Lv

r et Cv

r

est langle entre les vecteurs vr et ir On a :

2220

20

2220

20 LRIILIRV +=+=

==

RL

RL arctantan

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2.8 Notation complexe et impdance complexe

Dans le cas du rgime sinusoidal, on utilise les nombres complexes pour simplifier les calculs des diples de nature diffrente. Une grandeur sinusoidale (courant ou diffrence de potentiel) est caractris par deux nombres : lamplitude et la phase += tt)( . Il est donc naturel de reprsenter une grandeur sinusoidale par un nombre complexe lorsque le circuit est linaire et que les oprations effectuer sont aussi linaires. Dfinition : un circuit est linaire si :

soumis un courant tIti cos)( 01 = , la diffrence de potentiel est )cos()( 01 += tVtv soumis un courant tIti sin)( 02 = , la diffrence de potentiel est )sin()( 02 += tVtv alors soumis la combinaison linaire )()( 21 titi + , la diffrence de potentiel est de la forme

)()( 21 tvtv +

i1

i2

v2

v1

21 vv +

21 ii +

Posons 1= et j= . La diffrence de potentiel associe la combinaison linaire

)exp()sin(cos)()()( 0021 tjItjtItjititi =+=+= est la suivante : [ ] )exp()sin()cos()()()( 0021 +=+++=+= tjVtjtVtjvtvtv Dans le reste de ce document, on se limitera ltude des circuits linaires avec des oprateurs linaires (addition, multiplication par constante, drivation, intgration). Si le courant est de la forme ))((cos)( 01 titIti == partie relle de )(ti , la diffrence de potentiel

))(()(cos)( 01 tvtVtv =+= partie relle de )(tv . De mme la diffrence de potentiel )(2 tv associ au courant ))((sin)( 02 titIti == est

))(()(sin)( 02 tvtVtv =+= On dfinit limpdance complexe Z dun diple comme suit :

ivZ =

avec )exp(0 tjIi = et )exp(0 += tjVv

Cas de la rsistance : Nous avons vu que

Riv = On a : )exp(0 tjRIv = Limpdance complexe de la rsistance est donc : RZ = Cas de la bobine :

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dtdiLv =

calculons dt

id:

+= )sin()cos(0 tdtdjt

dtdI

dtid

= [ ])cos()sin(0 tjtI + =

)sin(1)cos(0 tjtjI

= [ ] ijtjtjI =+ )sin()cos(0 driver revient donc multiplier par j On a :

)exp(0 tjIjLijLdtidLv ===

Limpdance complexe de la bobine est donc : jLZ = Cas du condensateur :

= idtCv 1 calculons dti :

+= dttIjdttIdti )sin()cos( 00

= )cos()sin( 00 tIjtI

=

)sin(1)cos(0 tj

tjI

= [ ] ij

tjtjI

1)sin()cos(0 =+

intgrer revient donc diviser par j On a :

)exp(111 0 tjIjCi

jCdti

Cv === Limpdance complexe du condensateur est donc : jCZ

1=

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Comme dans le paragraphe prcdent sur le diagramme de Fresnel, nous allons maintenant tudier lassociation de dipoles de nature diffrentes en utilisant les impdances complexes. Cas de lassociation dune rsistance et dune capacit en srie :

i

vR vC

CR

i sinusoidal => )exp(0 tjIi =

Rv => iRvR = Cv => jC

ivC =

iZijC

Rvvv CR .1 =

+=+=

On retrouve le module et largument de )exp( jZZ = :

222 1

CRZ += et RC1tan =

Cas de lassociation dune rsistance et dune bobine en srie :

i

vR vL

LR

i sinusoidal => )exp(0 tjIi =

Rv => iRvR = Lv => ijLv L = [ ] iZijLRvvv LR .=+=+=

On retrouve le module et largument de )exp( jZZ = :

222 LRZ += et R

L =tan On retrouve avec les impdances complexes les mme lois que celles tablies pour lassociation de diples de mme nature :

i

v v

i21 ZZZ +=

2Z1Z Z

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i

v

i

2Z

1Z Z

21

111ZZZ

+=

v

On a ainsi vu que lutilisation de limpdance complexe permet de remplacer les quations diffrentielles par des quations algbriques ce qui simplifie grandement ltude de lassociation de circuits de nature diffrente en rgime sinusoidal.

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3 PUISSANCE ET ENERGIE

3.1 Dfinitions

Si on applique une diffrence de potentiel BA vvv = entre deux points A et B, les charges se dplaant de B vers A subissent une variation dnergie potentielle2 Pour une charge lmentaire dq se dplaant de B vers A, le travail ou lnergie potentielle dW sexprime comme suit :

vdqdW = pendant le temps dt Le dplacement de la charge lmentaire dq sous leffet du champ lectrique induit par la diffrence de potentiel

entre les points A et B en un temps dt induit un courant dtdqi = .

Dou lnergie potentielle : vidtdW = Le travail fourni (cas dun gnrateur) ou reu (cas dun rcepteur) par llment du circuit entre A et B entre les instants t1 et t2 est :

vidtWt

t= 21

W en Joules

Dfinition : la puissance instantane )(tpi fournie ou reue par le dipole entre A et B est la drive de W par rapport au temps.

dtdWpi =

ip peut donc aussi tre dfinie comme suit : vipi =

La puissance instantane ip est le produit de la diffrence de potentiel )(tv par le courant )(ti . Si 0>ip , le diple est gnrateur ; si 0

20

La puissance moyenne P est lnergie fournie ou reue sur lintervalle de temps 12 tt

vidttt

dWtt

Pt

t

t

t ==2

1

2

1 1212

11

Si v et i sont sinusoidaux de priode T, le calcul de la puissance moyenne P se fait sur lintervalle de temps T

vidtT

dWT

PTT ==00

11 P en watts

Dfinition : la valeur efficace dune fonction priodique )(tx de priode T est :

dttxT

xT

EFF )(1 2

0

2 = Si la fonction )(tx est sinusoidale, on a : tXtx sin)( 0=

22)2cos1(1sin1

202

00

220

0

2 Xdtt

XT

tdtXT

xTT

EFF ===

Do 20XxEFF =

3.2 Cas particuliers

3.2.1 Energie consomme dans une rsistance Cas V et I continus :

RIV = La puissance moyenne est gale la puissance instantane P :

RVRIVIVIdt

ttP

t

t

22

12

2

1

1 ==== Lnergie dissipe thermiquement sur lintervalle de temps 12 tt est :

)( 122

1

ttVIVIdtWt

t

== Cas v et i sinusoidaux :

tIi sin0= et tRItVRiv sinsin 00 ===

==

22cos1

sin 2022

0

tRItRIpi

Lnergie dissipe W pendant une priode T est :

dtpW iT=0

= dtt

RIT

2

2cos120

0

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21

TRIW2

20= et

2200

20 IVRIP ==

t

0 T

0I

2

20RI

)(tpi

0RI)(tu

)(ti

En rgime sinusoidal, puisque 20II EFF = et 2

0VVEFF = , on a la relation entre P , EFFV , EFFI

EFFEFF IVP =

3.2.2 Energie dans une bobine Cas v et i sinusoidaux :

)sin(0 tIi = et

+===2

sin)cos( 000 tILtIL

dtdiLv

)cos()sin(20 ttILpi =

dtpW it

t= 21

= dttIL

dtttILt

t

t

t = 21

2

1

)2sin(2

)cos()sin(2

020 car cossin22sin =

[ ] [ ])2cos()2cos(4

)2cos(2

12 21

20

20 2

1ttLIt

ILW t

t

== Calculons lnergie stocke puis restitue par la bobine pendant une priode T

Entre 0 et 4T

, laire soutendue par )(tpi est positive ; la bobine stocke de lnergie. Elle se comporte en

rcepteur. Calculons lnergie stocke pendant cette phase. On a :

[ ]24

.2.2cos)0cos(4

)2cos(4

)2sin(4

20

204

0

20

4

0

20 LIT

TLItLIdttLIW

TT

stockee =

=== Entre

4T

et 2T

, laire soutendue par )(tpi est ngative ; la bobine restitue de lnergie. Elle se comporte en

gnrateur.

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22

Calculons lnergie restitue pendant cette phase. On a :

[ ]22

.2.2cos4

.2.2cos4

)2cos(4

)2sin(4

20

202

4

20

2

4

20 LIT

TT

TLI

tLI

dttLI

WT

T

T

Trestitue =

===

Pendant la dure 2T

, lnergie dpense par la bobine est nulle. On dit que le diple est purement ractif.

Lnergie stocke (sous forme magntique) pendant 4T

est restitue intgralement pendant le quart de priode

suivant.

3.2.3 Energie dans un condensateur Cas v et i sinusoidaux :

)sin(0 tIi = et

=== 2sin)cos(1 00 tCwItCwIidtCv )cos()sin(

20 tt

CI

pi =

dtpW it

t= 21

= dttCI

dtttCI t

t

t

t = 21

2

1

)2sin(2

)cos()sin(2

02

0 car cossin22sin =

[ ] [ ] [ ])2cos()2cos(4

)2cos()2cos(4

)2cos(4 122

20

212

20

2

20 2

1tt

CItt

CIt

CIW t

t ===

Calculons lnergie stocke puis restitue par la bobine pendant une priode T

Entre 0 et 4T

, laire soutendue par )(tpi est ngative ; le condensateur restitue de lnergie. Il se comporte en

gnrateur.

t

0 T

0I

20RI

)(tpi

)(tu

)(ti

T/2T/4

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23

Calculons lnergie restitue pendant cette phase. On a :

[ ] 2202204022040

20

2)0cos(

4.2.2cos

4)2cos(

4)2sin(

2

CIT

TCIt

CIdtt

CIW

TT

stockee =

===

Entre 4T

et 2T

, laire soutendue par )(tpi est ngative ; le condensateur stocke de lnergie. Il se comporte en

rcepteur. Calculons lnergie stocke pendant cette phase. On a :

[ ]24

2

20

2

4

20 )2cos(

4)2sin(

2

T

T

T

Trestitue tC

Idtt

CI

W ==

2

20

2

20

24.2.2cos

2.2.2cos

4

CIT

TT

TCI =

=

Pendant la dure 2T

, lnergie dpense par le condensateur est nulle. Comme la bobine, le condensateur est un

diple purement ractif. Lnergie restitue pendant 4T

est stocke (sous forme lectrique) intgralement

pendant le quart de priode suivant.

En rsum :

phase Bobine L condensateur

0 4T

La bobine stocke 2

20LI (magntique) Le condensateur restitue 2

20

2 CI

4T

2T

La bobine restitue 2

20LI Le condensateur stocke 2

20

2 CI

(lectrique)

t

0 T

0I

)(tpi

)(tu

)(ti

T/2T/4

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24

Cas de lassociation dune bobine et dun condensateur : Lassociation dune bobine et dun condensateur parfait est tel que pendant chaque phase, lnergie stocke dans la bobine est gale lnergie restitue par le condensateur et vice versa. Cette change implique la relation :

2

20LI = 2

20

2 CI

soit LC1= pulsation de rsonance

Lchange dnergie se fait donc au rythme de la pulsation de rsonance. Nous reviendrons sur les circuits rsonnants dans un prochain chapitre .

3.3 Puissance active, ractive et complexe dans un dipole quelconque

tIi cos0= et )cos(0 += tVv La puissance active est la puissance moyenne. On a :

vidtT

PT=0

1

dtttIVT

T +=0

00 )cos()cos(1

dttTIV T

))cos()2(cos(2 0

00 ++= Comme

0)2cos(0

=+ dttT et coscos)cos(00

TdtdtTT

== On obtient :

cos2

00 IVP = en Watt (W) cos est le facteur de puissance du dipole. On dfinit galement la puissance ractive Q :

sin2

00 IVQ = en VoltAmpre (VA) Il est noter que la puissance ractive Q est nulle pour une rsistance car on a 0=

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25

Exprimons la puissance active P et la puissance ractiveQ en fonction du courant i et de la diffrence de potentiel u . Soit tIi cos0= et )cos(0 += tVv

)exp(0 tjIi = )exp(0* tjIi = )exp()exp(0 jtjVv = )exp()exp(0* jtjVv =

)exp()exp()exp()exp( 0000

* jIVjtjtjIViv ==

)exp()exp()exp()exp( 0000* jIVjtjtjIViv ==

cos2))exp()(exp( 0000** IVjjIViviv =++=+

Ainsi, on a donc la relation suivante : ( )**

41 ivivP +=

En utilisant le mme raisonnement, on obtient ( )**

41 ivivQ =

La puissance ractive provient des lments ractifs du circuit. Finalement nous pouvons dfinir la puissance complexe dun circuit par :

( ) *000021)exp(

2sincos

2ivj

IVj

IVjQPP ==+=+=

3.4 Force lectromotrice et force contre lectromotrice

3.4.1 Gnrateur et force lectromotrice Un gnrateur convertit une nergie (mcanique, chimique,lumineuse,) en une nergie lectrique. Soit vidtdtpdW i == lnergie fournie par le gnrateur au circuit

1dW lnergie dissipe par effet Joule dans le gnrateur dtRidW 21 =

2dW lnergie reue de lextrieur par le gnrateur. En appliquant la loi de conservation de lnergie, on a la relation suivante :

12 dWdWdW +=

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26

12 dWdWdW = dtRidWvidt 22 = Divisons lexpression par idt :

Riidt

dWv = 2

Soit idt

dWe 2= la force lectromotrice du gnrateur . On a alors la relation :

Riev =

On dfinit le rendement du gnrateur comme le rapport de lnergie fournie par le gnrateur sur lnergie reue :

eRi

dWdW

dWdWdW

dWdW

reueenergiefournieenergie ===== 11

2

1

2

12

2

Si les pertes sont faibles ( )eRi

27

Soit idt

dWe 2= la force contre lectromotrice du gnrateur . On a alors la relation :

eRiv +=

On dfinit le rendement du rcepteur comme le rapport de lnergie transforme (mcanique, chimique,) sur lnergie reue par le rcepteur :

Riee

dWdWdW

dWdW

reueenergieetransformenergie

+=+=== 2122

Si les pertes sont faibles ( )eRi

28

Avec jXRZ += et CCC jXRZ += Dterminons la relation entre Z et CZ pour avoir le maximum de puissance transmise. La puissance active transmise CZ est gale : ( )**

41 ivivP +=

( )*** ..41 iiZiiZ cc += comme iZv c .= et *** .iZv c=

( ) iiZZ cc **41 += iiR *

2= car RZZ cc 2* =+

Calculons le courant complexe i et son conjugu *i

cZZei += et **

**

cZZei +=

( )( )***

* ..cc ZZZZ

eeii ++=

( ) ( )222

*.cc XXRR

eii +++=

do

( ) ( )222

2cc

c

XXRR

eRP +++= la puissance P est fonction de R , cR , X et cX

P varie de 0 pour cX allant de + . P passe par un maximum pour 0=cdX

dP

=dXdP ( )( )

( ) ( )( )2222

22

cc

cc

XXRR

XXeR

++++

e

Zi

v ZC

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29

0=cdX

dP lorsque cXX =

P est alors gale :

( )22

2c

c

RR

eRP += Dterminons maintenant cR pour avoir la puissance maximale transmise

Cette valeur sobtient lorsque 0=cdR

dP

=cdR

dP ( ) ( )( )4

22 22

c

ccc

RR

RRRRRe

+++

0=cdR

dP ( ) ( ) 022 =++ ccc RRRRR

022 = cRR cRR = Ainsi, pour avoir un transfert maximal de puissance, il faut *ZZ c = Conclusion : une charge est adapte un gnrateur dimpdance interne complexe Z lorsque son impdance complexe cZ est gale limpdance interne conjugue du gnrateur.

Pour cette galit, on a cR

eP

8

2

=

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30

4 METHODES DANALYSE DES RESEAUX

4.1 Introduction

Lanalyse des rseaux en rgime tabli ou permanent repose sur les lois introduites dans les chapitres prcdents :

- la loi des mailles : la somme des diffrences de potentiel le long dune maille est nulle : 0=

iiv

exemple :

B C

DA

V2

EF

V1 V3

V4

V5

V6

- loi des nuds : la somme des courants entrant est gale la somme des courants sortant 0=

iii

exemple :

N

i1

i5

i2

i3i4

- loi des diples passifs

iZv =

- loi dassociation de diple en parallle et en srie

0654321 =++ vvvvvv

32541 iiiii +=++

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31

i

v v

i21 ZZZ +=

2Z1Z Z

i

v

i

2Z

1Z Z

21

111ZZZ

+=

v

4.2 Mthode des courants des mailles

Cette mthode est base sur la loi des mailles. 1 on recherche le nombre de mailles indpendantes. On a la relation suivante :

)1( = NBM

avec M le nombre de mailles indpendantes, B le nombre de branches et N le nombre de nuds du rseau. 2 on attribue chaque maille un courant de maille et un sens de parcours 3 on crit pour chaque maille lquation de maille dont les inconnus sont les courants en utilisant la loi des mailles 4 on rsout le systme dquations 5 on calcule les courants circulant dans chaque branche partir des courants de maille 6 on en dduit la diffrence de potentiel entre deux nuds en utilisant les lois des diples exemple : soit le rseau suivant :

1 nuds A, B, C . N=3 branches (e1,z1), (z2), (z3), (z4), (e2,z5) B=5 dou M=B-(N-1)=5-(3-1)=3 mailles indpendantes :

maille m1 : compose de e1,z1 et z3 maille m2 : compose de z2,z4 et z3 maille m3 : compose de e2,z4 et z5

2 on attribue chaque maille un courant de maille et un sens de parcours

i1

e1

z1 z2

z3 z4

z5

e2

i3

i2

i4

i5A B

C

m1

m2

m3

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32

im1 = i1 im2 = i2 im3 = i5 Ainsi, chaque courant peut sexprimer partir des 3 courants de maille : i1 = im1 i2 = im2 i3 = i1 - i2 = im1 -im2 i4 = i2 - i5 = im2 -im3 i5 = im3 3 quations des mailles :

e1 - z1 i1- z3 i3 = 0 -z2 i2-z4 i4+ z3 i3 = 0 -e2 + z4 i4- z5 i5 = 0 On remplace les courants i par les courants de mailles im. On obtient finalement les quations

suivantes : e1 ( z1 + z3 ) im1- z3 im2 = 0 z3 im3 (z2 + z3 + z4 )im2 +z4 im3 = 0 -e2 + z4 im2- (z4 + z5 )im3 = 0

Il faut noter quun signe moins signifie que le courant circule en sens inverse de celui de la figure. Comme nous avons un systme trois quations et trois inconnus, il est possible de le rsoudre en utilisant la mthode de substitution ou la rgle de Kramer (approche matricielle). Cette technique prsente lavantage de dterminer tous les courants dans lensemble des branches. Les calculs pour un rseau compliqu sont cependant lourds.

4.3 Thorme de Millman

Le thorme snonce comme suit : le potentiel en un nud quelconque dun rseau est gal au rapport des deux termes suivants :

- au numrateur, la somme des produits des potentiels des nuds adjacents par les inductances reliant ces nuds au nud considr

- au dnominateur, la somme de toutes les admittances connectes au nud considr.

=i

i

iii

N Y

Yvv

remarque : si un gnrateur de courant est connect sur le nud, il doit bien entendu tre pris en compte.

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33

Exemple :

4.4 Thorme de superposition

Ce thorme rsulte des proprits des circuits linaires vus prcdemment. Thorme : si un circuit est soumis plusieurs sources dexcitation, la rponse de ce circuit est gale la somme algbrique des rponses chacune des sources dexcitation prise sparment.

Ce thorme est une consquence directe de la loi des nuds de Kirchhoff : 0=

iii

A

ANA Z

vvi = B

BNB Z

vvi =

C

CNC Z

vvi = D

DND Z

vvi =

0=+++ DCBA iiii

on a donc la relation suivante :

0=+++D

DN

C

CN

B

BN

A

AN

Zvv

Zvv

Zvv

Zvv

en posant

II Z

Y 1= , on obtient :

DDCCBBAADCBAN YvYvYvYvYYYYv +++=+++ )(

DCBA

DDCCBBAAN YYYY

YvYvYvYvv ++++++=

zA zB

vD

iA iB

A B

N

zD zC

iC

D

iD

C

vC

vBvA

04321 =+++ iiii

et ii =4 on a la relation suivante :

0)()( 31221121 =++ iYvYvvYvv et donc

321

2121

)(YYY

iYYvv ++++=

Le courant i du gnrateur de courant est compt positivement si il se dirige vers le noeud

i4z1

z2

z3

i1

v1

i3i2

v2

i

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34

Exemple : soit le rseau suivant

Nous allons dcomposer ce rseau en autant de sous-rseau quil y a de gnrateurs. Dans cet exemple il y a deux gnrateurs. Pour chaque sous-rseau, on ne garde quun seul gnrateur ; les autres gnrateurs sont remplacs par des court-circuits si ce sont des gnrateurs de tension ou par des circuits ouverts si ce sont des gnrateurs de courant.

En appliquant le thorme de superposition on obtient :

2121

122121 RRRRRR

ReReiii +++=+=

Application numrique : e1=10V, e2=-20V, R=5 , R1=4 , R2=6 .

Ai 81.01 = , Ai 08.11 = Aiii 27.021 =+= remarque : dans ce cas simple, lutilisation du thorme de Millman aurait fourni directement ce rsultat.

Dans ce premier sous-rseau nous avons remplac e2 par un court-circuit.

2

21

2

2

1

RRRRR

RRRR

evAB

+++=

2121

21

2

21

2

2

11 RRRRRRRe

RRRRR

RRR

eR

vi AB ++=++

+==

Dans le second sous-rseau nous avons remplac e1 par un court-circuit.

1

12

1

1

2

RRRRR

RRRR

evAB

+++=

2112

12

1

12

1

1

22 RRRRRRRe

RRRRR

RRR

eR

vi AB ++=++

+==

R1

Re1

i

R2

e2

A

B

R1

Re1

i1

R2A

B

R1

R

i2

R2

e2

A

B

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35

Les thormes de Thvenin et de Norton sont des consquences directes du thorme de superposition

4.5 Thorme de Thvenin et de Norton

4.5.1 Grandeurs caractristiques dun diple Un diple est caractris par trois grandeurs caractristiques :

- diffrence de potentiel vide : Te lorsque 0=i - courant de court circuit :

Ni lorsque 0=v - impdance de sortie : TZ

4.5.2 Thorme de Thvenin Lensemble du circuit se trouvant gauche des deux nuds A et B peut tre remplac par un gnrateur de tension idal de force lectromotrice Te en srie avec une impdance interne TZ .

La force lectromotrice Te est gale la diffrence de potentiel ABv mesure vide et limpdance interne TZ est limpdance vue des bornes A et B lorsque lon annule toutes les sources dexcitation du circuit (tous les gnrateurs de tension idaux sont remplacs par des courts-circuits et les gnrateurs de courant idaux sont remplacs par des circuits ouverts).

4.5.3 Thorme de Norton Lensemble du circuit se trouvant gauche des deux nuds A et B peut tre remplac par un gnrateur de courant

Ni en parallle avec une admittance NY .

Le thorme de Norton est le thorme dual du thorme de Thvenin. Le courant

Ni se mesure entre les bornes A et B en annulant toutes les sources dexcitation du circuit. Ladmittance

NY est ladmittance vue des bornes A et B lorsque lon annule toutes les sources dexcitation du circuit. On a :

i

v iN

i

vYN

iNA

B

i

v eT

A i

v

ZT

i

B

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36

T

N ZY 1=

4.6 Thorme de Kennely

Ce thorme permet de transformer pour un circuit triple un montage en toile en un montage en triangle.

Montage toile Montage triangle

Cette transformation aussi utile dans ltude des quadripoles comme les filtres en T et en Thormes : Transformation triangle toile

231312

12131 ZZZ

ZZZ ++=

Transformation toile triangle

321

21

1212

1YYY

YYZ

Y ++==

Dmonstration du thorme de Kennely triangle vers toile : Appliquons la rgle dassociation des diples en srie et en parallle aprs avoir dbranch le pole 2 du circuit extrieur. On obtient la relation :

231312

23121331

)(ZZZ

ZZZZZ +++=+ (1)

En dbranchant le pole 3 du circuit extrieur, on obtient :

z1 z2

1 2

Nv13

3

v23

v12

z3

z13

z12

1 2

v13

3

v23

v12

z23

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37

231312

23131221

)(ZZZ

ZZZZZ +++=+ (2)

En dbranchant le pole 1 du circuit extrieur, on obtient :

231312

12132332

)(ZZZ

ZZZZZ +++=+ (3)

En sommant les quations (1), (2) et (3), on obtient :

231312

231323121312321

)(2)(2ZZZ

ZZZZZZZZZ ++++=++

231312

231323121312321 ZZZ

ZZZZZZZZZ ++++=++ (4)

En calculant (4)-(3) on a :

231312

12131 ZZZ

ZZZ ++=

En calculant (4)-(1) on a :

231312

23122 ZZZ

ZZZ ++=

En calculant (4)-(2) on a :

231312

23133 ZZZ

ZZZ ++=

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38

5 FACTEUR DE QUALITE ET CIRCUIT RESONNANT

5.1 Oscillations libres dans un circuit LC

Soit le circuit compos dune bobine et dun condensateur parfait :

L

i 2 1

C

V0

v

Considrons que linterrupteur est dans la position 1 et que le condensateur est compltement charg

20sin 2

1 CVW eemmaga = A linstant t=0, on commute linterrupteur dans la position 2 On a la relation suivante :

dtdvCvdt

Li == 1

0122

=+ vLCdt

vd

Une solution cette quation est de la forme )cos( += tVv

LC1= est la pulsation propre du circuit LC

A linstant t=0, on a 0)0( Vtv == et 0)0( ==ti )sin( +== tVC

dtdvCi

00)0( === ti 00)0( VVVtv ===

Ainsi, on a donc les expressions suivantes :

)cos(0 tVv = et )sin(0 tVCi = Comme dans le cas du circuit LC srie, le circuit LC parallle parfait entretient donc les oscillations sans amortissement. En pratique, les bobines rels contiennent une faible rsistance en srie et les oscillations sont amorties cause des pertes par effet Joules.

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39

5.2 Facteur de qualit dun circuit

5.2.1 Dfinition En pratique, les bobines rels contiennent une faible rsistance en srie (rsistance du fil bobin)

Les condensateurs rels possde galement une rsistance parallle de forte valeur qui caractrise les pertes dilectriques (courants de fuites)

Plus faibles seront les pertes meilleur sera llment. On dfinit le facteur de qualit dun lment Q comme suit :

periodepardissipeenergieemmagasinemaximaleenergie2=Q

Le facteur de qualit est sans unit. Lnergie est emmagasine dans les lments ractifs (bobine ou condensateur) et lnergie est dissipe par effet Joule (rsistance).

5.2.2 Facteur de qualit dun lment ractif rel Cas de la bobine relle : Une bobine relle est compose dune bobine pure en srie avec une rsistance de faible valeur.

soit le courant )cos()( 0 tIti = circulant dans ce circuit.

Li

r

v

C

iR

v

Li

r

v

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40

Nous avons vu dans le chapitre Puissance et Energie que la quantit maximale dnergie que peut emmagasiner une bobine est :

2

20LIWL =

Lnergie dissipe dans la rsistance par effet Joules pendant une priode T ( avec T/2 = ) est gale :

TrIWD202

1= On a donc :

rL

rTL

TrILI

WWQ

D

LL

==== 22.2

22 20

20

Plus la rsistance r est petite, plus le facteur de qualit LQ de la bobine relle est grand. Cas du condensateur rel : Un condensateur rel est compose dun condensateur parfait en parallle avec une rsistance de forte valeur.

soit la diffrence de potentiel )cos()( 0 tVtv = aux bornes de ce circuit. Nous avons vu dans le chapitre Puissance et Energie que la quantit maximale dnergie que peut emmagasiner un condensateur est :

2

20

2 CIWC =

Comme on a CIV 00 = , lnergie CW peut aussi scrire :

2

20CVWC =

Lnergie dissipe dans la rsistance par effet Joules pendant une priode T ( avec T/2 = ) est gale :

TR

VTRIWD2

020 2

121 ==

On a donc :

RCTCR

TVRCV

WWQ

D

CC ==== 22.222 20

20

C

iR

v

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41

Plus la rsistance R est grande, plus le facteur de qualit CQ du condensateur rel est grand. La notion de facteur de qualit peut tre tendue tout type de circuit associant une rsistance et une bobine ou un condensateur

5.2.3 Gnralisation du facteur de qualit Soit un circuit srie dont limpdance est de la forme ss jXRZ +=

Rs j Xs

Le facteur de qualit de ce circuit est :

s

s

RX

Q =

Soit un circuit parallle dont ladmittance est de la forme PP jXR

Y 11 +=

Rp

j Xp

le facteur de qualit de cette impdance est :

P

P

XRQ =

On peut vrifier que les expressions obtenues prcdemment se dduisent directement de ces deux formules gnrales. Exemple : association dune bobine dinductance L et dune rsistance R en srie

On a : RRs = et LX s = , le facteur de qualit est gal RL

RX

Qs

s ==

5.3 Le circuit rsonnant srie

Soit lassociation en srie dune bobine dun condensateur et dune rsistance :

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42

L

v(t)

C

vR

R

vL vC

i(t)

Le gnrateur v(t) impose la pulsation du circuit. Limpdance complexe est la suivante :

Son module est gal :

2

0

0

201

+=

QRZ

Sa phase est la suivante :

=

0

00arctan)arg( QZ

A la pulsation de rsonance 0 , le courant est maximum et donc le module de limpdance complexe est le plus faible possible. Cette pulsation sobtient pour

LCLC

CL 1101 00

00 ===

On a alors, RZ = . i et v sont donc en phase.

Nous avons vu que le facteur de qualit dune bobine en srie avec une rsistance R est gal R

LQ 00

=

CL

RRCRLQ 11

0

00 ===

Cherchons exprimer Z en fonction de R,, 0 et 0Q :

+=

+= CLRjRCLjRZ1111

+=

20

0

0

01LCR

LjR

+=

0

001 jQRZ car

00

1 LC=

+=++== CLjRjCjLRivZ 11

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43

2)arg(,0 + ZZ

0)arg(,0 === ZRZ

2)arg(, +++ ZZ

|Z|

R

0

20

10 QQ >

10Q

20Q

0

)arg(Z

2

2+

0

Ltude dun tel circuit est intressante lorsque la pulsation est proche de la pulsation de la rsonnance 0

+= 0 (avec trs petit devant 0 )

Calculons alors le terme

0

0

0

20

20

0

= =

00

00 .2))(( + On a donc

+=

00

21 jQRZ lorsque proche de 0

0

est le dsaccord relatif (cart de pulsation par rapport la pulsation 0 )

2

0

0

201

+=

QRZ

=

0

00arctan)arg( QZ

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44

Si le facteur de qualit R

LQ 00

= est trs lev ( cest dire 0LR

45

0 0 +0

0P

20P

P

est appele bande passante ou largeur de bande 3 dB. Cest lintervalle de pulsation pour lequel la puissance est suprieure P0/2. Phnomne de surtension : Lorsque 0 = , les diffrences de potentiel aux bornes de la bobine et du condensateur peuvent tre trs grandes :

0 = on a RZ = et donc )exp()( 0

0 tjR

VZvti ==

)exp( 00

00 tjRV

jLijLv L == = vjQtjVjQ 0000 )exp( =

vjQtjQjVtjjRC

VjC

ivC 000000

0

0

)exp()exp( ==== viRv R ==

On a bien : CLR vvvv ++=

Lv et Cv sont de mme amplitude 00QV et en opposition de phase la pulsation de rsonnance. Si le facteur de qualit est grand, lamplitude 00QV peut aussi tre leve dou risque de claquage du condensateur ! Application numrique :

= 5R , L=1mH et C=1nF. 100 =V V On a srd

LC/101 60 ==

kHzf 1592

00 ==

===0

00

1

RCR

LQ 2001 =

CL

R

== 00

001 2Q

+=+= 00

002 2Q

20

012 === Q

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46

srdQ

/50000

0 ==

Hzf 7952

==

00VQVV Lc == =2000V !!

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47

6 LES QUADRIPOLES

6.1 Dfinitions

Dune manire gnrale, un quadriple est dcrit comme suit :

On a :

Cependant, le terme quadriple est plutt utilis pour un circuit dont les bornes sont groupes par paire. Alors le courant entrant dans le ple dune paire ressort par lautre ple de la mme paire. Nous avons le schma quivalent suivant :

6.2 Description matricielle du quadriple

Pour relier les 4 paramtres du quadriple ( les deux courants et les deux diffrences de potentiel), il existent 4 reprsentations matricielles diffrentes:

- matrices impdances - matrices admittances - matrices hybrides - matrices de transfert

6.2.1 Matrices impdances 2 quations sont suffisantes pour dcrire le quadriple On a :

vAB

A iA

iB

iC

iDB

vCD

c

D

vCA

vBD

v1

i1

i1 i2v2

i2

0=+++ DCBA iiii0=++ BDCDCAAB vvvv

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48

),( 211 iifv =

),( 212 iigv = Les deux quations sont :

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv += Lunit des impdances ijZ sont les ohms )( . Lindice i est relatif la tension et indice j est relatif au courant. Sous forme matricielle nous avons :

=

2

1

2221

1211

2

1 .ii

ZZZZ

vv

Z.iv = v est le vecteur colonne des tensions et i est le vecteur colonne des courants. Z est la matrice impdance de dimension 2x2 Dfinition 1 : un quadripole est dit rciproque si les termes de la seconde diagonale sont gaux : 2112 ZZ = . Cette proprit est caractristique des quadriples rciproques composs dlments passifs (sans gnrateur de courant et de tension). Dfinition 2 : Si de plus, les termes de la premire diagonale sont gaux : 2211 ZZ = , on dit que le quadripole est symtrique. Exemple 1 : quadriple en T

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1+i2

Z1 Z2

Z3

Nous avons les deux relations suivantes en appliquant la loi des mailles :

)( 213111 iiZiZv ++= = 23131 )( iZiZZ ++

)( 213222 iiZiZv ++= = 23213 )( iZZiZ ++ Ainsi, on a :

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49

+

+=323

331

ZZZZZZ

Z

Ce quadripole est rciproque. Il est symtrique la condition que 12 ZZ = Nous allons maintenant nous interesser linterprtation physique de chacun des diffrents coefficients de la matrice impdance.

021

111

==

iivZ

11Z est limpdance vue de lentre en laissant la sortie du quadripole en circuit ouvert ( 02 =i )

012

222

==

iivZ

22Z est limpdance vue de la sortie en laissant lentre du quadriple en circuit ouvert ( 01 =i )

012

112

==

iivZ

12Z est limpdance de transfert inverse ou transimpdance inverse obtenue avec lentre du quadriple en circuit ouvert ( 01 =i )

021

221

==

iivZ

21Z est limpdance de transfert directe ou transimpdance obtenue avec la sortie du quadriple en circuit ouvert ( 02 =i ) Ces dfinitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci. Exemple 1 : (suite) quadriple en T

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1+i2

Z1 Z2

Z3

cas 02 =i

31

21

111

0ZZ

iivZ +=

==

3

21

221

0Z

iivZ =

==

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50

v1

i1

i1 i1

Z1

Z3 v2

cas 0=ii

v1

i2

v2

i2

i2

Z2

Z3

Nous retrouvons les rsultats calculs prcdemment. Exemple 2 : quadriple en pi

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv += Comme dans lexemple prcdent, nous allons considrer successivement les cas 02 =i et 01 =i . cas 02 =i

v1

i1

i1v2

i1-iZ1 Z2

Z3i

i

i

3

12

112

0Z

iivZ =

==

32

12

222

0ZZ

iivZ +=

==

)(//0

321

21

111 ZZZ

iiv

Z +==

=

= 321

321 )(ZZZ

ZZZ++

+

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1-iZ1 Z2

Z3i

i

i2+i

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51

021

221

==

iivZ

Pour dterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et 1i . On a :

iZZiiZv )()( 23111 +== Soit

1

1231

ZZZZ

ii ++= Dou

123

12

21

2

21

221

00ZZZ

ZZ

iii

iv

iivZ ++==

==

=

cas 01 =i

v1i2

v2

i2

Z1 Z2

Z3i

i

i2+i

321

312312

12

222

)()(//

0ZZZ

ZZZZZZi

ivZ ++

+=+==

=

012

112

==

iivZ

Pour dterminer ce coefficient, nous devons calculer la relation entre i et 2i . On a :

iZZiiZv )()( 13222 +=+= Soit

2

1232

ZZZZ

ii ++= Dou

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52

123

12

12

1

12

112

00ZZZ

ZZ

iii

iv

iivZ ++==

==

=

En rsum, nous avons :

+++

++

+++++

=321

312

321

21

321

21

321

321

)(

)(

ZZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZZ

Z

Le quadripole est donc rciproque. Il est symtrique si

)()( 312321 ZZZZZZ +=+ 21 ZZ =

6.2.2 Matrices admittances On utilisent les deux quations suivantes pour dcrire le quadriple :

2121111 vYvYi +=

2221212 vYvYi += Lunit des admittances ijY sont les ohms-1 )(

1 . Lindice i est relatif au courant et indice j est relatif la tension. Sous forme matricielle nous avons :

=

2

1

2221

1211

2

1 .vv

YYYY

ii

Y.vi = i est le vecteur colonne des courants et v est le vecteur colonne des tensions. Y est la matrice admittance de dimension 2x2 On a la relation suivante entre Y , la matrice admittance et Z , la matrice impdance dun quadriple.

IZ.YZ.Y.vZ.iv === o I est la matrice identit. Ainsi, nous avons :

1= ZY La matrice Y est linverse de la matrice Z . Le passage de lune lautre implique dinverser la matrice (voir cours de mathmatiques sur les matrices).

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53

On a les relations entre les lments de la matrice admittance Y et la matrice impdance Z :

[ ] .2221

1211

=ZZZZ

Z

=

=21122211

11

21122211

21

21122211

12

21122211

22

2221

1211 .

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

YYYY

Y

Nous allons maintenant nous interesser linterprtation physique de chacun des diffrents coefficients de la matrice admittance.

021

111

==

vviY

11Y est ladmittance vue de lentre lorsque la sortie du quadriple est en court-circuit ( 02 =v )

012

222

==

vviY

22Y est ladmittance vue de la sortie lorsque lentre du quadriple est en court-circuit ( 01 =v )

012

112

==

vviY

12Y est ladmittance de transfert inverse obtenue avec lentre du quadriple en court-circuit ( 01 =v )

021

221

==

vviY

21Y est ladmittance de transfert directe obtenue avec la sortie du quadriple en court-circuit ( 02 =v ) Ces dfinitions des coefficients permettent de calculer et de mesurer simplement ceux-ci. Exemple 2 : (suite) quadriple en pi

Les quations associes la matrice admittance sont les suivantes :

v1

i1

i1 i2

v2

i2

i1-iZ1 Z2

Z3i

i

i2+i

Soit 1

11Z

Y = , 2

21

ZY = et

33

1Z

Y = , Soit i le courant circulant dans ladmittance 3Y . On a )( 213 vvYi =

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54

23131111 )( vYvYYivYi +=+=

23213222 )( vYYvYivYi ++== Do les lments de la matrice admittance suivants :

3111 YYY += 32112 YYY == et 3222 YYY += Ces lments de la matrice admittance peuvent tre vrifis en utilisant les relations entre les lments de la matrice admittance Y et ceux de la matrice impdance Z calculs au paragraphe prcdent.

6.2.3 Matrices hybrides On utilisent les deux quations suivantes pour dcrire le quadriple :

2121111 vhihv +=

2221212 vhihi += Sous forme matricielle nous avons :

=

2

1

2221

1211

2

1 .vi

hhhh

iv

=

2

1

2

1 .vi

iv

H

H est la matrice hybride de dimension 2x2 Les matrices hybrides sont utilises en particulier dans ltude des transistors. Nous avons :

021

111

==

vivh

11h est limpdance dentre lorsque la sortie du quadriple est en court-circuit ( 02 =v )

012

112

==

ivvh

12h est le gain en tension inverse lorsque lentre du quadriple est ouverte ( 01 =i )

021

221

==

viih

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55

21h est le gain en courant obtenu avec la sortie du quadriple en court-circuit ( 02 =v )

012

222

==

ivih

22h est ladmittance de sortie lorsque lentre du quadriple est ouverte ( 01 =i )

6.2.4 Matrice de transfert ou matrice chane Cette matrice est trs pratique pour la mise en cascade des quadriples.

Les relations dfinissant la matrice de transfert T sont les suivantes :

Soit sous forme matricielle :

=

2

2

1

1 .i

vDCBA

iv

Attention : contrairement aux autres reprsentations matricielles, pour la matrice de transfert T on utilise le courant 2i (courant sortant du quadripole) la place du courant 2i (courant entrant dans le quadripole) Ce formalisme permet de simplifier les calculs lorsque nous associerons plusieurs quadripoles en cascade. A et D sont sans dimension B est une impdance en ohm et C une admittance en ohm-1

6.3 Schmas quivalents du quadriple

Ces schmas se dduisent directement des relations matricielles impdance, admittance et hybride.

v1

i1

v2

gnrateur

charge

v3

v1

i1

v2

i2

i1i2

matrice detransfert T

221 BiAvv = 221 DiCvi =

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56

6.3.1 Reprsentation matricielle impdance

v1

i1

v2

i2Z11

Z12i2 Z21i1

Z22

6.3.2 Reprsentation matricielle admittance

v1

i1

v2

i2

Y11

Y12v2 Y21v1

Y22

6.3.3 Reprsentation matricielle hybride

v1

i1

v2

i2h11

h12v2

h21i1

h22

6.4 Association de quadriples

Suivant lassociation de quadriples, nous choisirons la matrice la plus approprie.

6.4.1 Association srie

2121111 iZiZv +=

2221212 iZiZv +=

2121111 vYvYi +=

2221212 vYvYi +=

2121111 vhihv +=

2221212 vhihi +=

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57

v1

i'1 i'2

i''2v2

i''1

i2

i2

i1

i1

i''1

Quadripole Q'

Quadripole Q''

i''2

v'2v'1

v''1v''2

On a les relations suivantes :

111 "' vvv += et 222 "' vvv +=

+=+=

2221212

2121111

''''''''''iZiZviZiZv

+=+=

2221212

2121111

""""""""""iZiZviZiZv

Comme 111 "' iii == et 222 "' iii == nous pouvons crire les relations suivantes pour le quadripole quivalent :

+++=+=+++=+=

22222121212221212

21212111112121111

)"'()"'()"'()"'(

iZZiZZiZiZviZZiZZiZiZv

Ainsi sous forme matricielle, la matrice impdance du quadripole quivalent est gal la somme des matrices impdances : [ ] [ ] [ ]"' ZZZ += On ajoute terme terme les lments de mme indice.

6.4.2 Association parallle

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58

v1

i'1i'2

i''2

v2

i''1

i2

i1

i1

i''1

Quadripole Q'

Quadripole Q''

i''2

v'2v'1

v''1v''2

i2

On a les relations suivantes :

111 "' iii += et 222 "' iii +=

+=+=

2221212

2121111

''''''''''

vYvYivYvYi

+=+=

2221212

2121111

""""""""""

vYvYivYvYi

Comme 111 "' vvv == et 222 "' vvv == nous pouvons crire les relations suivantes pour le quadripole quivalent :

+++=+=+++=+=

22222121212221212

21212111112121111

)"'()"'()"'()"'(

vYYvYYvYvYivYYvYYvYvYi

Ainsi sous forme matricielle, la matrice admittance du quadripole quivalent est gal la somme des matrices admittances : [ ] [ ] [ ]"' YYY += On ajoute terme terme les lments de mme indice.

6.4.3 Association en cascade

v1

i'1 i'2i''2

v2

i''1

i1

i1

i2Quadripole Q' Quadripole Q''

i''2

v'2v'1 v''1v''2

i'2

i''1

v2

i2

Nous allons chercher dterminer la matrice de transfert du quadriple rsultant de cette association. Chaque quadriple est dfini par sa matrice de transfert :

Quadripole Q :

=''''

'DCBA

T Quadripole Q :

=""""

"DCBA

T

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59

Dans cette association, nous avons les relations suivantes entre les courants et entre les diffrences de potentiel :

11 'ii = 21 '" ii =

22" ii = 11 'vv =

12 "' vv = 22" vv =

On a donc les relations suivantes pour le premier quadriple :

112211 "'"'''''' iBvAiBvAvv +=== 112211 "'"'''''' iDvCiDvCii +===

Pour le second quadripole, nous avons :

222212 """""""' iBvAiBvAvv === 222212 """""""' iDvCiDvCii ===

Do :

)""""(')""""(' 22221 iDvCBiBvAAv += )""""(')""""(' 22221 iDvCDiBvACi +=

Ainsi on en dduit les relations entre 211 ,, viv et 2i :

221 )"'"'()"'"'( iDBBAvCBAAv ++= 221 )"'"'()"'"'( iDDBCvCDACi ++=

++++=

"'"'"'"'"'"'"'"'

DDBCCDACDBBACBAA

T

La matrice T du quadripole Q obtenu par la mise en cascade de deux quadripoles Q et Q est gale au produit matriciel des matrices T et T : [ ] [ ][ ]".' TTT = Toutes ces associations de quadripoles se gnralisent un nombre n de quadripoles.

6.5 Fonctions de transfert dun quadriple

v1

i1

v2

i2

Z

gnrateur

e

ZL

ZC

charge

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60

En utilisant la matrice impdance, on a les relations suivantes :

2121111 iZiZv += equation (1)

2221212 iZiZv += equation (2)

11 viZe L += equation (3)

22 iZv C= equation (4) Les grandeurs intressantes sont :

1

2

vvTv = gain en tension du quadripole. Ce gain est sans dimension (rel ou complexe)

CT est toujours infrieur 1 pour un quadripole passif.

1

2

iiTi = gain en courant

1

1

ivZ E = impdance dentre

2

2

ivZ S = impdance de sortie

Gain en courant

1

2

iiTi =

En combinant les quations (2) et (4), on obtient : 2221212 iZiZiZC += Do :

22

21

1

2

ZZZ

iiT

Ci +== equation (5)

On peut observer que le gain en courant dpend de la charge CZ Gain en tension

1

2

vvTv =

On va exprimer 1v en fonction de 2v partir des quations (1),(4) et (5).

(4) => CZ

vi 22 =

(5) => 221

221 iZ

ZZi C += =21

22

ZZZC +

CZv2

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61

(1) => C

C

Zv

ZZZZv 2

21

22111

+= 212 vZZ

C

= [ ]2112221121

2 )( ZZZZZZZ

vC

C

+ En posant 21122211 ZZZZZ = ( Z est le dterminant de la matrice impdance Z ) On obtient finalement :

ZZZZZ

vvT

C

Cv +== 11

21

1

2

Impdance dentre

1

1

ivZ E = cest limpdance vue de lentre du quadripole

(1) => 122

21121111 iZZ

ZZiZvC +

= = 122

21122211 )( iZZ

ZZZZZ

C

C

++

22

11

1

1

ZZZZZ

ivZ

C

CE +

+== Impdance de sortie

2

2

ivZ S =

Cest limpdance vue de la sortie du quadripole obtenue en annulant le gnrateur lentre du quadripole. Pour dterminer cette impdance, il convient dannuler le gnrateur

(1) et (3) => 21211111 iZiZiZv L +==

211

121 iZZ

ZiL+

=

(2) => 211

2222111221222

11

212212221212 iZZ

ZZZZZZiZZZiZZiZiZv

L

L

L

+++=++=+=

L

LS ZZ

ZZZivZ +

+==11

22

2

2

v1

i1

v2

i2

ZZL ZS

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62

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63

7 FILTRAGE, DIAGRAMMES DE BODE

7.1 Introduction au filtrage

En rgime sinusodal permanent nous avons vu que les impdances des bobines et des condensateurs dpendent de la frquence. Par consquence, les coefficients des diffrentes matrices de dfinition des quadripoles (matrice

impdance Z , admittance Y , hybride H ou de transfert T ), les fonctions de transfert ( VT et IT ) et les impdances dentre EZ et de sortie SZ sont aussi dpendantes de la frquence. Nous allons utiliser cette dpendance pour construire des filtres.

7.1.1 Dfinitions Un filtre est un quadriple transmettant un signal sans attnuation ou avec une attnuation de valeur donne dans une bande de frquence dtermine.

Courbe de rponse en frquence du module de la fonction de transfert 1

2

vv

V =T dun quadriple :

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2OT

Les frquences de coupure 1Cf et 2Cf correspondent aux frquences pour lesquelles le module de la fonction

de transfert 20TT =V

Il existe diffrentes catgories de filtres selon lallure de leur courbe de rponse en frquence : - le filtre passe bas

f

VT

OT

Cf

2OT

CR

Exemple :

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64

La pente de la courbe de rponse dpend de lordre du filtre.

La bande passante est gale Cf - le filtre passe haut

f

VT

OT

Cf

2OT

CR

- le filtre passe-bande

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2OT

La bande passante est gale 12 CC ff - le filtre coupe-bande

f

VT

OT

1Cf 2Cf

2OT

Exemple :

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65

7.2 Echelle logarithmique et diagramme de Bode

Ltude des filtres portent sur la fonction de transfert complexe VT qui peut se mettre sous la forme suivante :

)exp( jVV TT = Le module VT et la phase de la fonction de transfert VT sont fonction de la pulsation f 2= On a :

1

2)(vv

V =T et

)arg()arg()( 12 vv =

Au lieu dtudier les courbes de rponse en frquence du module de la fonction de transfert VT , on prfre tudier le gain VG obtenu partir de VT par changement dchelle :

VVG T10log20= Ce changement dchelle est rsum sur ce tableau :

A 0 10-n 10-3 10-2 0,1 2/1 1 10 102 103 10n +

A10log -n -3 -2 -1 -0,15 0 +1 +2 +3 +n + A10log20

-20n -60 -40 -20 -3 0 +20 +40 +60 +20n +

Ce changement dchelle permet dtaler les amplitudes de faibles valeurs.

Bien que comme VT le gain VG soit sans dimension, on utilise le mot dcibel pour signifier que lon a raliser le changement dchelle )(log20 10 Note : on utilise aussi le dcibel pour exprimer les puissances : la puissance en Dcibel Watt (dBW) sexprime

comme suit en fonction de la puissance en Watt P : PPdB 10log10=

Nous avons vu prcdemment que la frquence de coupure correspond la frquence pour laquelle le module

de la fonction de transfert 20TT =V . En utilisant la relation entre VT et VG on a :

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66

dBGGV 32log20log20 010010 == T Ainsi la frquence de coupure correspond la frquence pour laquelle le gain de la fonction de transfert

dBGGV 30 = Dfinition :

Les deux courbes )()( 1 fGV = et )()( 2 f= constituent le diagramme de Bode du filtre. En abscisse, les frquences ou pulsations sont reprsentes sur une chelle logarithmique.

Nous allons voir dans le prochain paragraphe quil est possible de tracer trs rapidement les courbes de rponse du module et la phase des fonctions de transfert sous forme de diagrammes asymptotiques. Ces diagrammes sappliquent trs rapidement sur des fonctions simples (intgrateur pur, circuit du premier et du second ordre ) mais aussi sur des fonctions quelconques condition de les dcomposer en fonctions simples. Les droites asymptotiques sobtiennent facilement en faisant tendre vers 0 et vers linfini.

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67

7.3 Fonctions de transfert de base

7.3.1 Intgrateur

0

.1)(

j

jT =

0)( =jT ,

010log20)( =G et 2)()( == jTArg

Pour 0 = , nous avons le gain 0)( 0 =G Lorsque 10/0 = , nous avons 2010log2010 10

0 +==

G dB. Lorsque 010 = , nous avons ( ) 20)10(log2010 100 ==G dB. Ainsi, le gain )(G dcrot en fonction de la pulsation avec une pente -20dB/dcade

G()

Arg T(j)

-/2

-20dB/decade

00/10

20dB

7.3.2 Drivateur

0

)( jjT =

0

)( =jT ,

010log20)(

=G et 2

)()( +== jTArg Le gain )(G est gal 0 lorsque 0 = Le gain )(G est gal +20dB lorsque 010 = Le gain )(G croit en fonction de la pulsation avec une pente +20dB/dcade

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68

G(j)

Arg T(j)

+/2

+20dB/decade

0 100

20dB

7.3.3 Intgrateur rel ou filtre passe bas du premier ordre

0

1

1)(

j

jT+

=

20

2

1

1)(

+

=jT

+=+= 2

0

2

1020

2

10 1log101log20)(

G

== )()( jTArg0

Arctg

0 est la pulsation de coupure 3dB, dBG 3)( 0 = =)( 0jT 707,021

4)( 0

=

Cherchons dterminer les deux asymptotes aux courbes )()( 1 fG = et )()( 2 f= : Pour 0 >>

0)( jjT

0log20)( +G Cette droite asymptotique dcrot en fonction de la pulsation avec une pente de -

20dB/dcade. Elle passe par le point )0,( 0 . Pour 0

69

G ()

Arg T(j)

0

-/2

-20dB/decade0d

-/4

3d100

20d

Donnons deux exemples de filtres passe-bas du premier ordre. Exemple 1 :circuit RC

CR

v1 v2

jRC

jCR

jCjT +=+=

11

1

1

)(

Ainsi en posant RC1

0 = on retrouve bien la forme dun filtre passe bas de pulsation de coupure 0 . Exemple 2 :circuit LR

R

L

v1 v2

RLjjLR

RjT+

=+= 11)(

Ainsi en posant LR=0 on obtient un filtre passe bas de pulsation de coupure 0 .

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70

7.3.4 Drivateur rel

0

1)( jjT +=

20

2

1)( +=jT 2

0

2

10 1log20)( ++=G == )()( jTArg

0

tan Arc+

0 est la pulsation lorsque dBG 3)( 0 += =)( 0jT 2 4)( 0 +=

Dterminons les droites asymptotiques : Pour 0 >>

0

)( jjT +

0

log20)( +G . Cette droite asymptotique crot en fonction de la pulsation avec une pente de

+20dB/dcade. Elle passe par le point )0,( 0 .

2)( +

Pour 0

71

7.3.5 Filtre passe-haut du premier ordre

0

0

1)(

j

jjT

+=

20

2

0

1)(

+

=jT 20

2

100

10 1log20log20)(

++=G

== )()( jTArg0

tan2

Arc

0 est la pulsation de coupure lorsque dBG 3)( 0 = =)( 0jT 21

4

)( 0 +=

Pour tracer les asymptotes : Pour 0 >

1)( jT dBG 0)( et 0)(

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72

G()

Arg T(j)

0

+/2

+20dB/decade

0d

+/4

3d

100

Remarque : comme la fonction de transfert

0

0

1)(

j

jjT

+= est le produit des fonctions de transfert dun

drivateur parfait et dun filtre passe bas, on a : )()()( BASPASSEDERIVATEUR GGG += , )()()( BASPASSEDERIVATEUR +=

Donnons deux exemples de filtres passe-haut du premier ordre. Exemple 1 :circuit CR

C

Rv1 v2

jRCjRC

jCR

RjT +=+=

11)(

Ainsi en posant RC1

0 = on retrouve bien la forme dun filtre passe haut de pulsation de coupure 0 . Exemple 2 :circuit RL

R

Lv1 v2

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73

RLj

RLj

jLRjLjT

+=+= 1

)(

Ainsi en posant LR=0 on retrouve bien la forme dun filtre passe haut de pulsation de coupure 0 .

7.3.6 filtre passe bas du second ordre La fonction de transfert dun filtre passe bas du second dordre scrit sous la forme suivante :

20

2

0

21

1)(

+

=j

jT

o est appel le facteur damortissement du filtre. Le module et la phase de )( jwT scrivent :

20

22

2

20

2

41

1)(

+

=jT

2

0

0

1

2tan)(

=

Arc

Donc le gain 20

22

2

20

2

41log20)(

+

=G

Lorsque 0 = , on a : 2log20)( 0 =G

2)( 0

= Nous allons maintenant tudier le gain et la phase de cette fonction de transfert en fonction de . Premier cas : 1> La fonction de transfert peut se dcomposer en un produit de deux fonctions du premier ordre :

)().(11

1)( 21

21

jTjTjj

jT =

+

+

=

En dveloppement le dnominateur, on obtient les galits suivantes :

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74

21

2

2120

2

0

121

++=+ jj

+==

210

2120

2

1 et 2 sont les solutions de lquation du second ordre 02 =+ PS avec 21 +=S et 21=P

Soit 02 200

2 =+ On obtient : ( )1201 = et ( )1202 += Nous pouvons tracer les diagrammes de Bode de la fonction de transfert partir des diagrammes de Bode des deux fonctions lmentaires. On a : )()()( 21 GGG += )()()( 21 +=

G(j)

Arg T(j)

1

-/2

-40dB/decade

0d

-

0 2

Second cas : 1= Ici, nous avons 021 == La fonction de transfert devient :

2

0

1

1)(

+

= j

jT

62log20)( 100 ==G dB

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75

Etudions les droites asymptotiques du gain )(G et de la phase )( Lorsque 0 >>

2

20

20

21)(

jT

0log40)( G

La droite asymptotique dcrot en fonction de la pulsation avec une pente de -40dB/dcade. Elle passe par le point )0,( 0 .

)(

Pour 0

76

DjT 1

41

1)(

20

22

2

20

2=

+

=

en posant 20

22

2

20

2

41

+

=D

)( jT passe par un maximum lorsque 0=ddD

08212 20

220

20

2

=+

=

ddD

04222 220

2

20

=

+

=

ddD

( ) 2022 21 =R La pulsation de rsonance R laquelle le module de la fonction de transfert passe par un maximum existe si et seulement si 021 2 > cest dire si

21

77

G()

0 -40dB/dcade

0d R

7,0

78

)().()(

211

j)(

32

1

22

2

21

0

jTjT

jT

jjjT =

+

+

=

Les diagrammes de Bode sont :

)()()()( 321 GGGG =

)()()()( 321 = Si on a dans lordre 120