Lorsque qu’une personne (prêteur) prête Lorsque qu’une personne (prêteur) prête

une somme à une autre personne une somme à une autre personne

(emprunteur) il est généralement convenu (emprunteur) il est généralement convenu

de rembourser, à l ’échéance, cet emprunt de rembourser, à l ’échéance, cet emprunt

mais également de verser des intérêts mais également de verser des intérêts

(loyer de l’argent)...(loyer de l’argent)...

L’empruntL’emprunt

idrac

L’emprunteur verse au prêteur L’emprunteur verse au prêteur une une

annuitéannuité qui comprend : qui comprend :

- Les intérêtsLes intérêts calculés sur le capital calculés sur le capital

non encore remboursénon encore remboursé

- L’ amortissementL’ amortissement. c’est-à-dire le . c’est-à-dire le

remboursement d’une fraction du remboursement d’une fraction du

capital empruntécapital emprunté

Annuité = amortissement + intérêt

Le Le remboursement remboursement

d’empruntd’emprunt

Le remboursement d’emprunt peut s’effectuer selon deux modalités différentes :

1. un remboursement en fin de période :

2000 2001 2002 2003 2004 2005

Date d’emprunt 10/04/00

2. un remboursement périodique en cours de période :

2000 2001 2002 2003 2004 2005

Date d’emprunt 10/04/00

Date fin de remboursement

10/04/05

1. Remboursement en fin de période :

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Date d’emprunt 10/04/03

Date remboursement

10/04/08

20 000 €

Intérêt = C x t x n Avec C le capitalAvec t le taux d’intérêtAvec n la durée de l’emprunt

Nous avons donc = 20 000 x 5 % x 5 ans

Soit 5 000 € à payer au titre des intérêts

20 000 €+

5 000 €

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Date d’emprunt 10/04/03

Date fin de remboursement

10/04/08

2. un remboursement périodique en cours de période :

2 possibilités de remboursement périodique :

b. Par annuité constantea. Par remboursement ou amortissement constant

a. Par remboursement constant

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Date d’emprunt 10/04/03

Date fin de remboursement

10/04/08

20 000 € emprunté sur 5 ans donc chaque année on remboursera 4 000 €

Les intérêts seront calculés en fonction du capital restant à rembourser

Soit 20 000 x t avec t = 5% 20 000 x 5% = 1 000pour la 1ère année

Soit (20 000 - 4 000) x t 16 000 x 5% = 800pour la 2ème année

Soit (16 000 - 4 000) x t 12 000 x 5% = 600pour la 3ème année

Soit (12 000 - 4 000) x t 8 000 x 5% = 400pour la 4ème année

Soit ( 8 000 - 4 000) x t 4 000 x 5% = 200pour la 5ème année

a. Par remboursement constant

L’amortissement est constant

les intérêts sont dégressifs

donc l’annuité sera également

dégressive

4 000,004000,004000,004000,004000,00

1 000,00 800,00 600,00 400,00 200,00

5 000,00 4 800,00 4 600,00 4 400,00 4 200,00

+++++

Tableau de Tableau de remboursement remboursement

d’empruntd’empruntavec remboursements avec remboursements (amortissements) constants(amortissements) constants

Années Dates des échéances

Capital du en début

de périodeIntérêt amortissement

Intérêts cumulés

Annuité

1 10/04/2004 20 000,00 1 000,00 4 000,00 1 000,00 5 000,00

2 10/04/2005 16 000,00 800,00 4 000,00 1 800,00 4 800,00

3 10/04/2006 12 000,00 600,00 4 000,00 2 400,00 4 600,00

4 10/04/2007 8 000,00 400,00 4 000,00 2 800,00 4 400,00

5 10/04/2008 4 000,00 200,00 4 000,00 3 000,00 4 200,00

Capital en début de période = valeur restant à amortir en début d’année

Intérêt = Capital en début de période x taux

Capital remboursé = Capital / durée de l’emprunt

Intérêts cumulés = Intérêts cumulés de l’année précédente + intérêts de l’année

L’annuité = capital remboursé + intérêts

1 2 3 4 5 6 7

Années Dates des échéances

Capital du en début

de périodeIntérêt amortissement

Intérêts cumulés

Annuité

1 10/06/2008 10 000,00 500,00 2 500,00 500,00 3 000,00

2 10/06/2009 7 500,00 375,00 2 500,00 875,00 2 875,00

3 10/06/2010 5 000,00 250,00 2 500,00 1 125,00 2 750,00

4 10/06/2011 2 500,00 125,00 2 500,00 1 250,00 2 625,00

EXEMPLE :On emprunte le 10/06/2007 10000€ sur 4 ans à 5% en amortissements constants. Faire le tableau d'amortissements de l'emprunt.

b. Par annuité constante

Puisque l’annuité est constante...

et que les intérêts sont

dégressifs...

les amortissements

seront donc croissants.

- =

b. Par annuité constante

2003 2004 2005 2006 2007 2008

Date d’emprunt 10/04/03

Date fin de remboursement

10/04/08

20 000 € emprunté sur 5 ans

L ’annuité (a) se calcule grâce à la formule suivante :

a = c x t1-(1+t)-n

• c capital emprunté

• t taux d’intérêt

• n durée de l’emprunt

a = 20 000 x 0,230975 = 4619,50 €

2. Par annuité constante

Les intérêts sont calculés en fonction du capital restant à rembourser

Soit 20 000 x 5% 1 000pour la 1ère année

L’annuité étant constante :

et l’intérêt facilement calculable

on en déduira l’amortissement

Soit 4 619,50 - 1 000 3 619,50pour la 1ère année

4619,50 €

Amortissement = Annuité - Intérêts

Tableau de Tableau de remboursement remboursement

d’empruntd’empruntpar annuités constantespar annuités constantes

Années Dates des échéances

Capital du en début

de périodeIntérêt amortissement

Intérêts cumulés

Annuité

1 10/04/2004 20 000,00 1 000,00 3 619,50 1 000,00 4 619,50

2 10/04/2005 16 380,50 819,03 3 800,47 1 819,03 4 619,50

3 10/04/2006 12 580,03 629,00 3 990,49 2 448,03 4 619,50

4 10/04/2007 8 589,54 429,48 4 190,02 2 877,50 4 619,50

5 10/04/2008 4 399,52 219,98 4 399,52 3 097,48 4 619,50

Capital en début de période = valeur restant à amortir en

début d’année

Intérêt = Capital en début de période x taux

L’annuité est constante

Capital remboursé = annuité - intérêts

Intérêts cumulés = Intérêts cumulés de l ’année précédente + intérêts de l’année

EXEMPLE :On emprunte le 10/06/2007 10000€ sur 4 ans à 3% en annuités constantes. Faire le tableau d'amortissements de l'emprunt.Montant de l'emprunt : 10000 Taux annuel en % : 3,00%

Durée en années : 4 Date 1ère échéance (jj/mm/aa) : 10/06/2008

annuité constante : 2690,27

Années Dates des échéances

Capital du en début

de périodeIntérêt amortissement

Intérêts cumulés

Annuité

1 10/06/2008 10 000,00 300,00 2 390,27 300,00 2 690,27

2 10/06/2009 7 609,73 228,29 2 461,98 528,29 2 690,27

3 10/06/2010 5 147,75 154,43 2 535,84 682,72 2 690,27

4 10/06/2011 2 611,91 78,36 2 611,91 761,08 2 690,27

amortissement

3 619,50

3 800,47

3 990,49

4 190,02

4 399,52

Les amortissements constituent donc une suite géométrique de premier terme A1 et de raison (1+ t).

La 1ère année l’amortissement A1 s’élève à :

La 2de année l’amortissement A2 s’élève à :

On constate que pour passer de A1 à Il suffit de multiplier A1 par

Vérifions : 3619,50 x (1,05)4 = 4399,52

3800,47 x (1,05)2 = 4190,02

Calcul d’un amortissement quelconque

A2

1,05 soit (1 + t)

2

2

1

1