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Luis Carlos Garc´ıa del Molino Saint Malo, Octobre Dynamique de r´eseaux stochastiques h´et´erog`enes : impact de la variabilit´e sur les transitions entre fonctions physiologiques

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Text of Luis Carlos Garc´ıa del Molino Saint Malo, Octobre Dynamique de r´eseaux stochastiques...

  • Dynamique de réseaux stochastiques hétérogènes : impact de la variabilité sur les transitions entre fonctions physiologiques et états pathologiques

    Luis Carlos Garćıa del Molino Saint Malo, Octobre 2012

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    1 Présentation

    2 Projet M2

    3 Projet doctoral

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    CV

    2009 - License en Physique, Universitat de Barcelona

    2011 - M1 Systèmes Complexes, University of Warwick Condensation in randomly perturbed zero-range processes Garćıa del Molino et al. 2012, Journal of Physics A

    2012 - M2 Systèmes Complexes, École Polytechnique Dynamics of randomly connected systems with applications to neural networks

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Contexte

    Uhlhaas, Singer 2006, Neuron

    Quel est l’effet de l’hétérogeneité parmi les connections synaptiques dans la dynamique des réseaux neuronaux?

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Contexte

    Maintenant est le bon moment:

    Progrès en techniques expérimentales

    Progrès en puisance de calcul

    Progrès de la théorie mathématique

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Introduction

    Les connections synaptiques sont hétérogènes. Il n’est pas suffisant de connâıtre la connectivité mais aussi l’intensité précise des connections.

    Schultz 2006, Nature Neuroscience

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Méthodologie

    Analyse de stabilité linéaire: Théorie des matrices aléatoires.

    Théories de champ moyen.

    Exploration numérique: Simulation de systèmes de grande taille (CUDA).

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Modèle

    ẋi = −xi + N ∑

    j=1

    (µMj + σJij)S(xj)

    S(x) = tanh(x)

    Mj =

    1 N

    1−p p

    si j < pN

    − √

    1 N

    p 1−p si j ≥ pN

    Jij ∼ N (

    0, 1√ N

    )

    On s’intéresse particulièrement aux états balancés ∑N

    j=1 (σJij + µMj) = 0 Shadlen, Newsome 1994, Nature

    Haider et al. 2006, The Journal of Neuroscience

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Exploration numérique σ = 0

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −2

    −1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2 N=2000, g=1, σ=0.5

    t

    x i

    < x >

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Exploration numérique µ = 0

    Modèle de champ moyen (N → ∞) Amari 1972, IEEE

    Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters

    Ben-Arous, Guionnet 1995, Annals of Probability

    σ < 1: 0 est globalement asymptotiquement stable

    σ > 1: le seul attracteur est chaotique

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −2

    −1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2 N=2000, g=1, σ=0.5

    t

    x i

    < x >

    0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −10

    −8

    −6

    −4

    −2

    0

    2

    4

    6

    8

    10 N=2000, g=1, σ=3

    t

    x i

    < x >

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Exploration numérique µ > 0, σ > 0

    Ces observations n’ont jamais êté décrites.

    0 50 100 150 200 250 300 −3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3 N=2000, g=1, σ=1.5, µ=2

    t

    x i

    < x >

    0 50 100 150 200 250 300 −3

    −2

    −1

    0

    1

    2

    3 N=2000, g=1, σ=1.5, µ=10

    t

    x i

    < x >

    0 50 100 150 200 250 300 −2

    −1.5

    −1

    −0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3 N=2000, g=1, σ=1.5, µ=20

    t

    x i

    < x >

    0 50 100 150 200 250 300 −15

    −10

    −5

    0

    5

    10

    15 N=2000, g=1, σ=4, µ=2

    t

    x i

    < x >

    0 50 100 150 200 250 300 −15

    −10

    −5

    0

    5

    10

    15 N=2000, g=1, σ=4, µ=10

    t

    x i

    < x >

    0 50 100 150 200 250 300 −15

    −10

    −5

    0

    5

    10 N=2000, g=1, σ=4, µ=20

    t x i

    < x >

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Stabilité linéaire

    Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters

    ẋi = −xi + N ∑

    j=1

    σJijS(xj)

    0 est toujours un point fixe Linéarisation en 0

    ẋi = −xi + N ∑

    j=1

    σJijxj

    Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de −1 + σJ

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Theorem (Circular law for iid matrices)

    Let J be a random iid matrix. Then µJ converges a.s. to the

    circular measure µc where dµc := 1 π 1|z|≤1dz.

    Girko 1984, Teor. Veroyatnost. i Primenen

    Tao, Vu 2010, Annals of Probability

    Conséquence: spectre de −1 + σJ avec N = 256.

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

    Im (λ

    )

    Re(λ) Le desordre devient régulier quand N → ∞.

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Stabilité linéaire

    ẋi = −xi + N ∑

    j=1

    (µMj + σJij)S(xj)

    0 est toujours un point fixe Linéarisation en 0

    ẋi = −xi + N ∑

    j=1

    (µMj + σJij)xj

    Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de −1 + µM + σJ

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Theorem (Circular law for matrices with zero row-sum)

    Let J be a random iid matrix and P = (δij − 1 N )1≤i,j≤N . Then

    µJP+M converges a.s. to the circular measure µc.

    Tao 2011

    Rajan, Abbott 2006, Physical Review Letters

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5

    Im (λ

    )

    Re(λ)

    µ=0 µ=20

    Le spectre de σJ + µM est identique a celui de σJ . garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Résultats

    Theorem

    Si D est une matrice diagonale avec éléments {di}i=1,··· ,N , alors quand N → ∞ le rayon spectral de JD converges vers

    ρ(JD) →

    1

    N

    N ∑

    i

    d2i

    Conséquence: 0 est une solution globalement asymptotiquement stable de (1).

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Résultats

    Modèle original:

    xi = 〈x〉+ yi ,

    ˙〈x〉 = −〈x〉+ µ N ∑

    j

    MjS(〈x〉+ yi) ,

    ẏi = −yi + σ N ∑

    j

    JijS(〈x〉 + yi) .

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Résultats

    Modèle de champ moyen:

    X = 〈X〉+ Y ,

    ˙〈X〉 = −〈X〉+ µζ〈X〉,Y ,

    Ẏ = −Y + σξ〈X〉,Y .

    E[ζ〈X〉,Y ] = 0 ,

    E[ζ 〈X〉,Y t ζ

    〈X〉,Y s ] = µ

    2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] ,

    E[ξ〈X〉,Y ] = 0 ,

    E[ξ 〈X〉,Y t ξ

    〈X〉,Y s ] = σ

    2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] .

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Résultats

    Pour µ = 0, gσ < 1 il y a une taille finie qui maximise la probabilité d’observer activité spontanée (instabilité de 0). Wainrib, Garćıa del Molino, en préparation

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    10 100 1000

    P [λ

    >_ 0 ]

    N

    σ=0.95 σ=0.96 σ=0.97 σ=0.98 σ=0.99

    σ=1

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Conclusions

    Observations de phénomènes nouveaux

    Analyse linéaire

    Modèle champ moyen

    Effets de taille finie

    garciadelmolino@gmail.com

  • Présentation Projet M2 Projet doctoral

    Dynamique de réseaux stochastiques hètérogènes : impact de la variabilité sur les transitions entre fonctions physiologiques et états pathologiques

    Generaliser l’analyse des éffets de l’hétérogèneité à d’autres paramètres.

    Etudier le lien avec les pathologies.

    garciadelmolino@gmail.com

    Présentation Projet M2 Projet doctoral

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