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Dynamique de réseaux stochastiques hétérogènes :impact de la variabilité sur les transitions entrefonctions physiologiques et états pathologiques
Luis Carlos Garćıa del MolinoSaint Malo, Octobre 2012
Présentation Projet M2 Projet doctoral
1 Présentation
2 Projet M2
3 Projet doctoral
Présentation Projet M2 Projet doctoral
CV
2009 - License en Physique, Universitat de Barcelona
2011 - M1 Systèmes Complexes, University of WarwickCondensation in randomly perturbed zero-rangeprocessesGarćıa del Molino et al. 2012, Journal of Physics A
2012 - M2 Systèmes Complexes, École PolytechniqueDynamics of randomly connected systems withapplications to neural networks
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Contexte
Uhlhaas, Singer 2006, Neuron
Quel est l’effet de l’hétérogeneité parmi les connectionssynaptiques dans la dynamique des réseaux neuronaux?
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Contexte
Maintenant est le bon moment:
Progrès en techniques expérimentales
Progrès en puisance de calcul
Progrès de la théorie mathématique
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Introduction
Les connections synaptiquessont hétérogènes.Il n’est pas suffisant deconnâıtre la connectivité maisaussi l’intensité précise desconnections.
Schultz 2006, Nature Neuroscience
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Méthodologie
Analyse de stabilité linéaire: Théorie des matricesaléatoires.
Théories de champ moyen.
Exploration numérique: Simulation de systèmes de grandetaille (CUDA).
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Modèle
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)S(xj)
S(x) = tanh(x)
Mj =
√
1N
1−pp
si j < pN
−√
1N
p1−p si j ≥ pN
Jij ∼ N(
0, 1√N
)
On s’intéresse particulièrement aux états balancés∑N
j=1 (σJij + µMj) = 0Shadlen, Newsome 1994, Nature
Haider et al. 2006, The Journal of Neuroscience
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique σ = 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2N=2000, g=1, σ=0.5
t
x i
< x >
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique µ = 0
Modèle de champ moyen (N → ∞)Amari 1972, IEEE
Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters
Ben-Arous, Guionnet 1995, Annals of Probability
σ < 1: 0 est globalement asymptotiquement stable
σ > 1: le seul attracteur est chaotique
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2N=2000, g=1, σ=0.5
t
x i
< x >
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10N=2000, g=1, σ=3
t
x i
< x >
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Exploration numérique µ > 0, σ > 0
Ces observations n’ont jamais êté décrites.
0 50 100 150 200 250 300−3
−2
−1
0
1
2
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=2
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−3
−2
−1
0
1
2
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=10
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3N=2000, g=1, σ=1.5, µ=20
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10
15N=2000, g=1, σ=4, µ=2
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10
15N=2000, g=1, σ=4, µ=10
t
x i
< x >
0 50 100 150 200 250 300−15
−10
−5
0
5
10N=2000, g=1, σ=4, µ=20
tx i
< x >
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Stabilité linéaire
Sompolinsky et al. 1988, Physical Review Letters
ẋi = −xi +N∑
j=1
σJijS(xj)
0 est toujours un point fixeLinéarisation en 0
ẋi = −xi +N∑
j=1
σJijxj
Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de−1 + σJ
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Theorem (Circular law for iid matrices)
Let J be a random iid matrix. Then µJ converges a.s. to the
circular measure µc where dµc :=1π1|z|≤1dz.
Girko 1984, Teor. Veroyatnost. i Primenen
Tao, Vu 2010, Annals of Probability
Conséquence: spectre de −1 + σJ avec N = 256.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
Im(λ
)
Re(λ)Le desordre devient régulier quand N → ∞.
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Stabilité linéaire
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)S(xj)
0 est toujours un point fixeLinéarisation en 0
ẋi = −xi +N∑
j=1
(µMj + σJij)xj
Stabilité de 0 est donnée par la valeur propre maximale de−1 + µM + σJ
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Theorem (Circular law for matrices with zero row-sum)
Let J be a random iid matrix and P = (δij −1N)1≤i,j≤N . Then
µJP+M converges a.s. to the circular measure µc.
Tao 2011
Rajan, Abbott 2006, Physical Review Letters
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
Im(λ
)
Re(λ)
µ=0µ=20
Le spectre de σJ + µM est identique a celui de σJ [email protected]
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Résultats
Theorem
Si D est une matrice diagonale avec éléments {di}i=1,··· ,N , alorsquand N → ∞ le rayon spectral de JD converges vers
ρ(JD) →
√
√
√
√
1
N
N∑
i
d2i
Conséquence: 0 est une solution globalement asymptotiquementstable de (1).
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Résultats
Modèle original:
xi = 〈x〉+ yi ,
˙〈x〉 = −〈x〉+ µN∑
j
MjS(〈x〉+ yi) ,
ẏi = −yi + σN∑
j
JijS(〈x〉 + yi) .
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Résultats
Modèle de champ moyen:
X = 〈X〉+ Y ,
˙〈X〉 = −〈X〉+ µζ〈X〉,Y ,
Ẏ = −Y + σξ〈X〉,Y .
E[ζ〈X〉,Y ] = 0 ,
E[ζ〈X〉,Yt ζ
〈X〉,Ys ] = µ
2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] ,
E[ξ〈X〉,Y ] = 0 ,
E[ξ〈X〉,Yt ξ
〈X〉,Ys ] = σ
2Cov [S(〈X〉t + Yt)S(〈X〉s + Ys)] .
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Résultats
Pour µ = 0, gσ < 1 il y a une taille finie qui maximise laprobabilité d’observer activité spontanée (instabilité de 0).Wainrib, Garćıa del Molino, en préparation
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
10 100 1000
P[λ
>_0]
N
σ=0.95σ=0.96σ=0.97σ=0.98σ=0.99
σ=1
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Conclusions
Observations de phénomènes nouveaux
Analyse linéaire
Modèle champ moyen
Effets de taille finie
Présentation Projet M2 Projet doctoral
Dynamique de réseaux stochastiques hètérogènes :impact de la variabilité sur les transitions entrefonctions physiologiques et états pathologiques
Generaliser l’analyse des éffets de l’hétérogèneité à d’autresparamètres.
Etudier le lien avec les pathologies.
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