L'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT BOIGNY

UNIVERSITE FELIX HOUPHOUET BOIGNY UFR Mathématiques et Informatique

Laboratoire de Mathématiques Appliquées et informatique

N°266

MEMOIRE DE MASTER Mention : Mathématiques fondamentales

Spécialité : Algèbre

Présenté à

Année académique

2013-2014

L'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT BOIGNY

Par

SAMA ANZOUMANA

THEME DU MEMOIRE :

L'ALGEBRE DES OPERATEURS DIFFERENTIELS SUR UNE k-ALGEBRE DE DIMENSION FINIE

INFERIEURE OU EGALE à 2

Soutenu publiquement le 30 décembre 2014.

Président: Prof. Edmond FEDIDA

Directeur : Prof. KOUAKOU K. Mathias

Examinateurs: Dr. TANOE François Dr. AKEKE Eric Dago

Devant le jury

Professeur Titulaire, Université F.H.B., UFR Ml, d'Abidjan,

Maître de Conférence, Université F.H.B, UFR Ml d'Abidjan

Maître-Assistant, Université F.H.B, UFR Ml d'Abidjan Maître-Assistant, Université F.H.B, UFR Ml d'Abidjan

SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales- Option : Algèbre : 2013-2014 1

DEDICACE

Je dédie ce travail

« A la mémoire de mon père et de ma mère»

SamaAnzaumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales -option : Algèbre: 2013-2014

REMERCIEMENTS

D'abord, je souhaite adresser mes plus sincères remerciements à mon directeur de mémoire, Professeur KODAK.OU Konan Mathias pour ses soutiens et ses encouragements. Je le remercie pour la bienveillance avec laquelle il m'aguidé, et pour les conseils avisés qu'il m'a prodigués tout au long de ce travail.

J'ai apprécié tout particulièrement sa patience, sa sympathie et sa grande disponibilité à mon égard.

De plus, la rigueur scientifique dont il a fait preuve dans ses cours et évaluations, m'a permis d'apprendre énormément, etje lui en suis très reconnaissant

Mes remerciements vont également à J 'endroit du Professeur Edmond FEDIDA d'avoir accepté de présider mon jury et des Professeurs TANOE François et AKEKE Eric d'accepter d'être membres de mon jury.

Aussi, je dis merci aux autres professeurs de : Analyse, Géométrie et Algèbre, qui nous ont inculqué l'amour du travail, la persévérance et surtout le travail bien fait.

En outre, je voudrais exprimer ma profonde gratitude aux étudiants de Master 2 du département, grâce à qui l'ambiance et l'atmosphère ont été agréables.

Cette même marque de reconnaissance est aussi témoignée à mon épouse pour son soutien indéfectible.

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TABLES DES MATIERES

IN"TRODUCTION 6

Chapitre 1 :Anneaux - modules 7

1.1 Anneaux 7 1.1.1 Définition 7

1.1.2 Exemples 8

1.1.3 Sous-anneau 9

1.1.4 Idéaux et propriétés 9

l. l .5Idéaux étrangers-premiers-maximaux 10

1. l .6Anneau et propriétés remarquables 12

l .2Modules 14

1.2.1 Définitions 14 l.2.2Exemples 14 1.2.3 Sous-modules et modules quotients 15 l.2.4Bimodules .15 l .2.5Modules de type fini 15 1.2.6 Modules noethériens- modules artiniens 15 1.2. 7 Homomorphisme de A-modules 16 1.2.8 Algèbres et homomorphisme d'algèbres 17 l .2.9Produit tensoriel. 17

1.2.1 OProduit tensoriel. 18

1.2.11 Espace vectoriel. 21

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CHAPITRE 2: OPERATEURS DIFFERENTIELS SUR UN A- MODULE 23

2.1 Définition et propriétés d'un opérateur différentiel. 23

2.2 Propriétés remarquables 25

CHAPITRE 3 : ALGEBRE DES OPERATEURS DIFFERENTIELS SUR UNE k-ALGEBRE DE DIMENSION finie INFERIEURE OU EGALE à 2 ............................................................................................... 28

3 .1 Algèbre des opérateurs différentiels et ses propriétés 28

3.2Algèbre des opérateurs différentiels de dimension égale à 2 .31

3 .3 Algèbre des opérateurs différentiels sur un corps de dimension 2 .34

3.4.Algèbre des opérateurs différentiels du produit cartésien de deux k- algèbres de dimension 34

3 .5 Algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre artinienne réduite de dimension finie égale à 2 3 5

3.6Algèbre des opérateurs différentiels du produit tensoriel de deux k- algèbres de dimension finie 39

CHAPITRE 4. EXEMPLE DE CALCUL D'OPERATEURS DIFFERENTIELS : .41

4.1 Calcul de DA 0(A), DA 1 (A), DA 2(A)etDA(A) pour

A = ~;~ où k est de caractéristique nulle (non nécessairement algébriquement

clos); en particulier pour k=IR .41

4.2 Calcul de DA 0(A), DA 1 (A), DA 2(A)etDA (A) où A est de caractéristique

nulle et algébriquement; en particulier pour A= C .42

CONCLUSION 44

BIBLIGRAPIDE 45

SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales- Option: Algèbre: 2013-2014 s

INTRODUCTION

L'étude des opérateurs différentiels a fait l'objet de plusieurs publications. Ainsi en 1994, R.C CANNING et M.P ROLLAND cf.[l] dans «journal of algebra » portant sur les idéaux à droite des opérateurs différentiels évoquaient l'idée d'égalité entre l'algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre de dimension finie ( où k est nécessairement algébriquement clos et de caractéristique zéro )et celle des endomorphismes. Mais cette égalité est elle vérifiée pour toute algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre de dimension finie inférieure ou égale à 2 ?

Pour aborder cette étude, nous avons divisé ce mémoire en quatre chapitres.

Le chapitre 1 est un rappel des résultats classiques. Il contient outre des définitions que nous utiliserons tout au long de notre travail, mais aussi des résultats préliminaires simples pour faciliter l'exposé des autres chapitres qui vont suivre.

Le chapitre 2, définit les opérateurs différentiels sur un A-module et énonce ses propriétés remarquables.

Quant au chapitre 3, il répond à la préoccupation qui constitue le thème de notre mémoire.

Enfin, le chapitre 4 étaye nos résultats par des exemples.

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Chapitre 1:

ANNEAUX - MODULES Ce chapitre contient essentiellement des définitions et des résultats

classiques sur la théorie des anneaux et modules, dont nous nous servions dans notre mémoire.

1.lAnneau 1.1. lDéfinitions 1.1.1

Un anneau est un ensemble non vide A muni de deux lois de composition interne : une addition et une multiplication vérifiant les conditions suivantes :

i) Muni de l'addition, A est un groupe abélien (que nous noterons (A,+)

ii) La multiplication que nous notons «. » est associative et distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition : c'est-à-dire

• (a. b). c = a. (b. c) (associativité) • ( a + b). c = a. c + b. c et a. ( b + c) = a. b + a. c pour tous a, b et c

éléments de A.

L'anneau A est dit commutatif si pour tous a, b dans A, a. b = b. a, et unitaire si ]a loi «. » possède un élément neutre.

~ Diviseur de zéro

Un élément a de A est dit diviseur de zéro s'il existe un élément non nul x de A tel que a. x = 0 oux. a = 0

~ Eléments inversibles

Soit A un anneau commutatif et unitaire :

Un élément de A est dit inversible s'il existe un élément b de A tel que

ab = ba = 1 .b est alors appelé l'inverse de a et noté a-1• Si a est inversible alors a ne peut pas être un diviseur de zéro.

L'ensemble des inversibles de A est noté U(A) et (U(A),.) est un groupe, appelé le groupe multiplicatif de l'anneau.


> Caractéristique d'un anneau Si pour tout entier naturel non nul n, n. 1A * 0 ,on dit que A est de caractéristique nulle.

Sinon, on appelle caractéristique de A le plus petit nombre entier non nul n, tel que n. 1A = 0 Exemples

• Z est de caractéristiques 0

• Z / n'll est de caractéristique n pour n E IN*

);;> Anneaux intègres

Un anneau A est dit intègre s'il vérifie l'une des conditions suivantes équivalentes :

i) A n'a pas de diviseur non nul de zéro

ii) Pour tout élément a, b dans A, ab = 0 alors a = 0 ou b = 0 iii) Pour tout élément a, b dans A, a * 0 et b * 0, alors ab * 0

);;> Corps

Un anneau unitaire A est un corps si tout élément non nul de A est inversible.

> Corps algébriquement clos

Un corps commutatif k est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un à coefficients dans k, admet au moins une racine dans k

1.1.2 Exemples

• ( Z,+,.) est un anneau commutatif intègre • ('ll/ n'll , +,. ), n > 1 est un anneau commutatif qui est un corps sin est

premier. • ( End(V), +, o) est un anneau non commutatif; • Ill muni de l'addition et la multiplication usuelle est un corps qui n'est

pas algébriquement clos.


• Pour tout nombre entier naturel non nul n, Mn(A), l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans A muni de l'addition et la multiplication des matrices est un anneau unitaire (non commutatif si n> 2).

• A[X] l'ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficient dans A est un anneau unitaire .A[X] est intègre si A est intègre.

Remarquesl.1 :

• Tout corps est intègre • Tout anneau intègre fini est un corps

1.1.3 Sous- anneaux

Un sous- groupe B de (A,+) est dit sous-anneau de A si V a, b E B, a. b E B .

Si A est unitaire et lA E B, B est dit sous-anneau unitaire de A.

1.1.4 Idéaux et ses propriétés

a)- Définitionsl .1.4

On appelle idéal à gauche d'un anneau (respectivement à droite), tout sous groupe (pour l'addition)/ de (A,+) tel que pour tout aE / et b E A,

a. b E / (respectivement b. a E /).

On dit qu'un idéal/ est bilatère si c'est un idéal à droite et un idéal à gauche de A.

Un idéal / est propre si / est différent de A.

b) Exemples d'idéaux

• { 0} est un idéal. • dans un anneau commutatif, tout idéal est un idéal bilatère : • les idéaux de I sont les ensembles nl, n-E IN • soit x E A, {xA, a E A} est un idéal à droite de A


>- Nil radical

Un élément x de A est dit nilpotent s'il existe n E IN* tel que xn = O. On suppose que A est un anneau commutatif, l'ensemble des éléments nilpotents

de A est un idéal de A appelé le ni/radical de A, noté r(A) ou ./[oj Dans la suite, et sauf mention expresse du contraire, le mot anneau désignera un anneau non (nécessairement) commutatif possédant au moins deux éléments distincts.

1.1.5 Idéaux étrangers- premiers- maximaux- principal

a) Idéaux étrangers

>- Définitionl.1.5 Soit A un anneau commutatif et unitaire ; deux idéaux I et J sont dits étrangers si on a: I+J= A (ce qui revient à dire qu'il existe a E / et b E J tel que

a+ b = lA. >- Proposition} .1.1

Soient I et J deux idéaux étrangers de A. Alors on a /J =In J ,/ Preuve:

En effet, on a toujours /Je I n J . Réciproquement soit x E / n J. I et J étrangers implique il existe a, b dans lx J tel que a+ b = 1, donc x = x(a + b) = xa + xb or xa E /jet xb E /J, par conséquent x E IJ

>- Théorème des restes Chinois

Soit A un anneau commutatif /1)2 , In des idéaux deux à deux étrangers. Alors:

i)

ii)

t; et nf=1 hsont étrangers i=tk A A A A On a---::: - x- x x-

I1I2·········1n li 12 ln


b) Idéal principal

)i> Définitionl.1.6

Soit x un élément de A, l'idéal « x » = xA (respectivement « x » = Ax) est appelé / 'idéal principal à droite (respectivement à gauche) engendré par x.

Un idéal Ide A est dit principal s'il existe x élément de A tel que I = xA

Remarque: A est un anneau unitaire: 'vx E A, x inversible si et seulement si xA = A

c )Idéal premier

)i> Définitionl.1.7

Un idéal propre P est premier si 'v a, b E A, ab E P si et seulement si

a E Pou b E P.

L'ensemble des idéaux premiers de A est noté Spec(A).

)i> Proposition 1.1.2

Soit P un idéal de A, les conditions suivantes sont équivalentes :

i) P est premier

ii) A/ p =I= (O) et A/ p est un anneau intégre

)i> Exemple

Les idéaux premiers de I sont nl, où n est un nombre premier.

d) Idéal maximal

)i> Définition! .1.8

Un idéal propre M de A est dit maximal si pour tout idéal / de A,

M ç I implique que I = A.

L'ensemble des idéaux maximaux de A est noté Max{A).


i)

ii)

)i,> Proposition 1.1.3

Soit M un idéal de A, les conditions suivantes sont équivalentes :

M est un idéal maximal A A - * (0) et - est un corps M M

Remarque:

• Si l'anneau A est un corps alors A est un anneau simple, c'est-à-dire que les seuls idéaux de A sont les triviaux A et { 0}

• Tout idéal maximal est premier: en effet si M est maximal

alors ~ est un corps. Or tout corps est intègre, donc ~ est intègre. Par M M

suite M est un idéal premier de A.

)i,> Radical de Jacobson Le radical de Jacobson de A est l'idéal ](A) = nMEMax(A) M.

1.1.6 Anneaux et propriétés remarquables a) Anneau semi- local

)i,> Définition 1.1.2 Un anneau semi- local est un anneau ayant un nombre fini d'idéaux

maximaux. Exemples:

• Tout anneau local est semi-local • Tout anneau artinien est semi-local

b} Anneau principal )i,> Définition 1.1.3 Un anneau principal est un anneau intègre dont tout idéal est

principal.

c) Anneau réduit )i,> Définition 1.1.3 Un anneau A est réduit lorsque l'intersection de ses idéaux

maximaux est réduit à l'idéal nul, c'est-à-dire J(A)= { (0)}.


d )Anneau artinien

j;;> Définitionl.1.9

Un anneau A est dit artinien s'il satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes :

i) Tout sous- ensemble non vide d'idéaux de A admet un élément minimal

ii) Toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire.

j;;> Exemples • Un corps est un anneau artinien • L'anneau I n'est pas artinien. Car la suite (an)ne7l , avec an= 2"I, est une

suite infinie strictement décroissante d'idéaux de I.

j;;> Propositions Proposition! .1.4

Un idéal premier d'un anneau artinien est maximal.

./ Preuve:

Soit P un idéal premier d'un anneau artinien. Alors ~ est un anneau intègre p

artinien. Il suffit de montrer qu'un anneau artinien intègre est un corps.

Soit B un tel anneau et soit b un élément non nul de B. La suite des idéaux {(b")}neTNest stationnaire, il existe donc r E IN tel que

Comme B est intègre, l'élément a est l'inverse de b et on conclut que Best un corps.

j;;> Propositionl.1.5

Dans un anneau artinien, les idéaux maximaux sont en nombre fini

./ Preuve

Considérons l'ensemble de toutes les intersections finies :

m1 n m2 n m,., où les mi sont des idéaux maximaux. Cet ensemble a un élément minimal, disons :m1 n m2 n 11l.n; donc pour tout idéal m,::J: m1 n SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales- Option : Algèbre : 2013-2014 13

m2 n film. Supposons que m ~ mi pour tout i. Alors il existe xi E mi - m ( 1 < i < n) et donc

nr=l xi E nr=l mi C mi . Mais nr=l Xi ft. m car m est premier Donc m ~ m1 n m2 ........• n mi. Il y a contradiction. Il existe donc un certain i tel que m c mi, doncm = mi car m est maximal.

1.2- Modules

1.2.1 Définitionl.2.1

Soit A un anneau unitaire

Un A-module à gauche est un groupe abélien M muni d'une loi de composition interne:

A x M ~ M telque (a, x) ~ ax, vérifiant les propriétés suivantes: pour a, {3 E A et x, y E M

i) a. (x +y)= a.x + a.y ii) (a+ {3).x = a.x + {3.x iii) a. ({3. x) = (a{J). x iv) lA- X= X

De même on définit un A-module à droite en définissant la loi de composition :

telque (x, a) ~ xa

1.2.2 Exemple de module

Tout groupe G commutatif est l- module, en définissant la loi externe :

{

x+x+···+x sin>l lx G ~ G tel que (n, x) ~ n. x = 0 si n = 0

(-n)(-x)si n < -1


1.2.3 Sous -modules et modules quotients ~ Définitions 1.2.2

• Soit A un anneau et Mun A-module à gauche (respectivement à droite); Un sous-groupe N de M est un sous-module de M si pour tout élément a de A et n de IN, a. n EN (respectivement n. a EN)

• Si N est sous module (à droite) de M, on définit sur le groupe quotient :

une structure de A- module à droite en posant: x. a = x. a, v x E M, Va E A

Remarque: les sous-modules d'un anneau A vus comme A-module sont ses idéaux

1.2.4 Bi modules Soient A et B deux anneaux unitaires. Un (A,B)-bimodule est un

groupe additif muni à la fois d'une structure de A-module à gauche et d'une structure de B- modules à droite telle que :(ax)b = a(xb)

V x E A, Vy E B ~ Exemple:

Si A est un anneau commutatif alors A est un (A,A)- bimodule

1.2.5 Modules de type fini Tout module engendré par une partie finie est dit de type fini

1.2.6 Modules noethériens- modules artiniens

a) Définitionsl.2.3 • Un A-module M est dit noethérien s'il satisfait à l'une des conditions

équivalentes suivantes : i) Tout sous-ensemble non vide de sous-modules M admet un élément

maximal ii) Toute suite croissante de sous-modules de M (pour l'inclusion) est stationnaire

• Un A-module M est dit artinien s'il satisfait à l'une des conditions équivalentes suivantes : i) tout sous-ensemble non vide de sous-modules M admet un élément minimal ii) toute suite décroissante de sous-modules de M (pour l'inclusion) est stationnaire

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b) Exemples 1) Le module nul est artinien 2) Le I-module I / »z est artinien et noethérien

3) Un groupe commutatif fini est un I-module artinien et noethérien

1.2.7 Longueur d'un module a) Définitions 1.2.4

Soit Mun A-module. • On dit que M est simple si le seul sous-module propre de M est { 0} • On dit que M admet une suite de composition de longueur finie n s'il

existe une suite finie de sous-modules (mi)osisn de M telle que: M = M0 ::) M1 ::) ··· ::) Mn-i ::) Mn = {O}

• Une suite de composition (Mi)osisn est dite de Jordan si les quotients

successifs~ sont des A-modules simples. Mï+1

• On définit la longueur d'un A-module M comme étant : - infime si M n'admet pas de suite de J-H - la borne inférieure des longueurs des suites de J-H de M, si Men admet.

On la note longA(M) ou long(M) en l'absence de confusion b) Propositions

);;,, Proposition 1.2.1

Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) LongA(M) est finie ii) M est noethérien et artinien

./' Preuve

i) =} ii) On suppose que long(M) < co. Alors M est artinien et noethérien par définition de long(M) car toute chaîne est de longueur bornée.

ii) =} i) On suppose M artinien et noethérien.

• Si M= { 0}, long(M)= 0 et on a le résultat • Si M:;t: {O}, alors il existe M1 sous-module maximale de M (puisque M est

noethérien) et M1 • on pose M0= Met on a M1 c M=Mo. Ensuite, si

SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales -Option: Algèbre: 2013-2014 16

M1= {O} alors long(M)= 0 et on s'arrête, ou alors si M1 :t={O}, comme il est noethérien, il existe M2 sous-module maximal de M 1 (noethérien).

On construit de proche ainsi de proche en proche une suite strictement décroissante: M0::::i M1::::i M2::::i ::::i .

Cette suite ne peut être infinie car M est artinien, il va donc exister un entier naturel n tel que M0= {O} et on a obtenu une suite de J-H.

1.2.8 Homomorphismes de A-modules ), Définition 1.2.5

Soient M et N deux A-modules à droite. Une application v: M ~ N est un homomorphisme ou morphisme ou A-linéaire si:

i) v x E M, 'va E A, v(xa) = v(x)a ii) v(x +y)= v(x) + v(y), v x.v E M.

Kerv, le noyau de v et lmv, l'image de v sont respectivement des sous-A modules de Met sous-A modules de N

), Notation • L'ensemble des homomorphismes de M dans N est noté HomA(M,N),

c'est un groupe additif • HomA (M, M), l'ensemble des endomorphismes de M est simplement

noté End A (M).

1.2.9 Algèbres et homomorphismes d'algèbres

a) Définition 1.2.5

Une algèbre sur un anneau commutatif Rest un R- module A muni d'une loi de composition interne * telle que :

i) (A,+,*) soit un anneau ii) a (x * y) = ( ax) * y

b) Algèbre de type fini

On dit qu'une algèbre commutative B sur un anneau commutatif est de type fini si elle est engendrée par une famille finie d'éléments.

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Il revient au même de dire que B est isomorphe à une algèbre de la

forme A[Xi, .... Xn]f a (où lesXi sont des indéterminées et a in idéal de l'anneau

des polynômes A[X1, .... XnD·

Et si Best engendrée par (aaiEl,n alors pour tout X élément de A est de la C • _ ~ k1 kn 1.orme . x - LJ ; i· Elna; ;_ ai. . ..... a;

•1 ······ n , •1 ····-n 1 •n k1·······knEIN

Exemple: si k est un corps alors k[X, Y], l'algèbre des polynômes à deux inconnues à coefficient dans k est de type fini.

c) Homomorphismes d'algèbres

Un homomorphisme de R-algèbre f: A ~ B est un morphisme d'anneaux qui est R-linéaire.

1.2.10 Produit tensoriel

a) Définition 1.2.6: application semi-linéaire

Soient M, Net P trois A-modules où M, N sont respectivement des A-modules à droite et gauche.

Une application f: M x N ~ P est A-semi linéaire si 'v mi, m2 E M et

V n1,n2 EN:

i) f (m1 +m2, n1) = f (mi, n1) + f (m2, n1) ii) f (m1, n1 + n2) = f (mi, n1) + f (mi, n2) iü) f(m1a, n1) = f(m2, an1), 'va E A

~ Proposition 1.2.2

Soient M et N deux A-modules respectivement à droite et à gauche. Il existe un unique groupe abélien Tet une application semi-linéaire <p:M x N ~ T

Vérifiant la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélien G, il existe un unique morphisme de groupe f*: T ~ G tel f*o<p = f, c'est-à-dire le diagramme


f ., G

MxN ~/ f'

Soit commutatif.

~ Définition 1.2. 7 Le groupe T est appelé produit tensoriel de M et N sur A. On le note M®AN.

b) remarquable du produit tensoriel

1) La classe e(x,y)de l'élémentecx,y) est noté x ® y et est appelé tenseur simple dex et dey. Tout élémentz E M®AN s'écrit comme somme finie de tenseurs simples : z = x ® x' + y ® y' + · · · + t ® t'

0, M ' ' ' N u x, y, t E et x , y , t E

2) x ® 0 = 0 ® y =O M®N. A

3) Si N est un (B,A)-bimodule, alors M®AN a une structure de B-module à droite en posant: (x ® y). b = x ® (yb)

De même si Ma une structure de (B,A)-bimodule, M®AN a une structure de B-module à gauche en posant: b. (x ® y) = (bx) ® y 4) Soient Mun A-module à droite, N un {A,B)-bimodule et P un B

module à gauche. On a (M®AN)®AP - M®A(N®AP)

On parle de l'associativité du produit tensoriel 5) Si A est commutatif, Ma une structure naturelle de {A,A)-bimodule,

on a M®AN :::: N®AM

On parle de commutativité du produit tensoriel c) exemples du produit tensoriel

• Si (m, n) = 1, ana ...!... ® _!_ = 0 m7l n7l

• Si xm + yn = l on a: 1. (a® b) = (xm + yn)(a ® b) = ( xna ® b) + (a ® ynb = 0


d) Produit tensoriel de deux morphismes }.,, Proposition! .2.3

Soit a: M ~ M'un morphisme de A-module à droite et ~: N ~ N' un morphisme de A-module à gauche. Il existe un unique morphisme de

M ®N M' ® N' groupe 0: A ~ A tel que: 0(m ® n) = a(m) ® {J(n)

}.,, Définitionl.2.8:

Cette application 0 noté a ® p est appelée le produit tensoriel des morphismes a et p.

e) Foncteur tensoriel )iil> Définition d'une catégorie 1.2.9

Le caractère paradoxal de la classe de tous les ensembles entraine de nombreuses difficultés logiques. Pour éviter de telles difficultés, nous admettons que les ensembles que nous considérerons, appartiennent à un univers, c'est-à dire une classe d'ensemble, fermée pour les opérations de la théorie des ensembles ( réunion, intersection, produit cartésien, passage d'un ensemble à l'ensemble de ses parties).

Une catégorie I' est définie par les éléments suivants :

1) La donnée dans notre univers d'une classe Ob I' dont les éléments sont dits les objets de la catégorie r.

2) Pour tout couple (A, B) d'objets der, la donnée d'un ensemble noté Homr(A, B) dont les éléments sont appelés des morphismes (ouflèches) de source A et de but B.

3) Pour tout triple (A, B, C) d'objets de I', la donnée d'une application Hom(A,B) x Hom(B,C) ~ Hom(A,C)

(f,g) ~ fog Dite loi de composition des morphismes.

Exemple:

La catégorie des groupes notée Gr. Les objets sont les groupes de notre univers et Hom(A,B) est l'ensemble de tous les morphismes de groupe A~B


>-" définitionsl.2.10

Un foncteur F covariant d'une catégorie I' dans une catégorie A comporte les données suivantes :

1) Pour tout objet A der, correspond un objet noté F(A) deA. 2) Pour toute flèche f: A~ B, correspond une flèche

notée F(f) de source F(A)et de but F(B). De plus on a les axiomes suivants :

F(gof) = F(g)oF(f) et F(idA) = idF(A) Cependant Je foncteur Fest contravariant si

F(gof) = F(f)oF(g) et F(idA) = idF(A)

• Soit E un A-module fixé de la catégorie Mods. On peut lui associer le foncteur tensoriel TE: ModA ~ Mod8 tel que:

TE(M) = E ®Met TE(f) = idE ® f = f; f E Hom(M, N) et f E Hom( TE(M), TE(N))

1.2.11 Espaces vectoriels a) Définition 1.2.11

Un espace vectoriel E est un module sur un corps commutatif k .

Ainsi la théorie des modules généralise celle des espaces vectoriels

b) Propriétés

>-" Proposition 1.2.4

Si M est un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps k alors :

Ce qui montre que la notion de longueur de module généralise la notion de dimension d'un espace vectoriel sur un corps k

>-" Proposition 1.2.5

Si E est un k-espace vectoriel, alors les propriétés sont équivalentes :

i) E est de dimension finie n ii) E est de longueur finie n


iii) E est noethérien iv) E est artinien

v' Preuve

n i) => ii) Si E= E9 ke, alors nous avons la suite de composition de longueur n

i = 1 i

E0 = (O) c E1 c ··· .. c En avec E, = E9 ke, J=l

ii) => iii) et iii) => iv) c'est la proposition 6

iii) => i) : Supposons i) faux, alors il existe une suite infinie ( G.n)n~l d'éléments linéairement indépendant de E. Soit A le k-espace vectoriel engendré par les a1 an. Alors la chaîne ( An)n~l est infinie et strictement ascendante, donc iii) est aussi faux.

iv) => i): Supposons i) faux, alors il existe une suite infinie ( G.n)n~l

d'éléments linéairement indépendants de E. Soit Bn le k-espace vectoriel engendré par les G.n+i,G.n+z Alors la chaîne (Bn)n~1 est infinie et strictement descendante. D'où iv) est aussi faux.

Remarques 2.1 :

• Si E1 et E2 sont des k-espaces vectoriels de dimension finie respectivement égales à net p alors Homk(E1, E2) est un k-espace vectoriel de dimension finie égale à np

• Si E est un espace vectoriel de dimension finie n alors Endk(E) est une k algèbre de dimension finie égale à n2

·


Chapitre 2:

OPERATEURS DIFFERENTIELS SUR UN A-MODULE M

Après les définitions et les résultats classiques sur la théorie des anneaux et modules, les opérateurs différentiels qui font l'objet de notre travail seront ensuite définis de façon générale sur un A-module, et leurs propriétés remarquables seront énoncées.

2.1 Définitions et propriétés d'un opérateur différentiel

2.1.lDéfinition 2.1.1

Soit une algèbre commutative R sur un corps commutatif k, et soit (M, N) un couple de R-modules.

L'ensemble des opérateurs différentiels de M dans N noté 'DR(M, N) est défini inductivement par :'DR(M, N) = UneIN DR n(M, N) où

'D0

R(M,N) = HomR(M,N) et

'DnR(M,N) = {u E Homk(M,N);ua- au E vn-lR(M,N), 'va ER}

ua et au sont des éléments de H omç ( M, N) définis par :

(u. a)(m) = u(am) et (a. u)(m) = a( u(m) ), 'vm E M.

Tout élément u de 'D n R ( M, N) est appelé opérateur différentiel d'ordre n de M dansN.

2.1.2 La loi de composition « crochet » ~ Notation

u. a - a.usera noté [u, a], appelé crochet qui est une dérivation

Ainsi 'va ER, 'vu E Homk(M, N)et m E M, [u, a](m) = u. a(m) - a. u(m)

SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales- Option : Algèbre : 2013-2014 n

J.> Propriétés

Pour tout a, b dans R et u, v dans Homk(M, N) on a

1) [uov,a] = uo[v,a] + [u,a]ov 2) [au,b]=a[u,b] 3) [u,ab] = [u,a]b+a[u,b] 4) [u + v,a] = [u,a] + [v,a] 5) [u,a] = -[a,u] 6) [u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = O(identité de Jacobi).

J.> Preuve Ces égalités sont obtenues par le calcul en appliquant sur chaque crochet un élément m de M ; Par exemple.

1) Soit m un élément de M, • [uov, a](m) = (uov)(a)(m) - a. (uov)(m) =

u(v(am))- au(v(m))et • uo[v, a])(m) + ([u, a]ov)(m) = u[(va - av)(m)] +

(ua - au)(v(m)) = u(v(am)) - u[a. v(m)] + u[a. v(m)] - a[u. v(m)] = u((v(am)) - au(v(m))

Par suite [uov, a] = uo[v, a] + [u, a]ov

2) [au,b](m) = ((au)b)(m)- b(au)(m) = a(u(bm))- (ba)[u(m)] = = a(u(bm))- (ab)[u(m)] = a[u(bm) - bu(m)] = = a[(ub - bu)(m)] = a[u, b](m). Par suite [au, b] = a[u, b].

Ainsi de suite pour les autres propriétés.

Remarques • Notre étude portera sur l'ensemble des opérateurs différentiels d'un A

module M dans lui-même, 'DR(M, N)qui est noté 'DR(M).

Ainsi un opérateur différentiel sur M d'ordre O est un endomorphisme

u E EndR(M)tel que [u,a] = 0 pour tout a ER ('D0R(M) = EndR(M)).


• Si n > 0, un opérateur différentiel sur M d'ordre (au plus) n,est un endomorphisme u E Endk(M) tel que [u, a] est un opérateur différentiel d'ordre n-1, pour tout a ER

• On notera 'D(M) l'ensemble des opérateurs sur M et 'Dn(M) les opérateurs différentiels d'ordre n sur M. Enfin on convient que v-1(M) = {O}

2.2 Propriétés remarquables

Lemme2.2.1 Sot Rune algèbre commutative sur un corps k et Mun R-module :

i) Endk(M) est un (RR)-bimodule ii) Endk(M) est un ('D(M), 'D(M)) -bimodule iii) Pour tout entier naturel n, 'DnR(M) est un sous (R-R) -bimodule de

Endk(M) iv) 'D(M) est un (R-R)-bimodule de Endk(M)

./ Preuve i) Endk (M) étant un groupe additif, il est (R-R) bimodule avec les lois

externes :<p1: R x Endk(M) ~ T; (a, u) ~ au et

<p2: Endk(M) X R ~ T; (u, a)~ ua

Et on montre que :

l)<p1 (a1 + a2, u) = <p1 (ai, u) + <p1 (a2, u),'v'ai, a2 ER et 'v'u E Endk(M)

2)<fJ1 (a, U1 + Uz) = <fJ1 (a, U1) + <fJ1 (a, Uz), v a E R et 'v' Ui, Uz E Endk(M)

3)<fJ1 (lR, U) = U 4)<p1(a1.a2,u) = <p1(ai,<p1(a2,u)).

Par suite Endk(M) est un R-module à gauche.

De même <p2 vérifie ces égalités, d'où Endk(M)un R-module à droite. Comme <p1(ai,<p2(u,a2)) = <p2(<p1(a1,u),a2)).

On conclut donc que Endç (M) est un (R-R) bimodule.

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ii) Soient <p3: 'D(M) x Endk(M) ~x Endk(M); (u, v) ~ uov et

<p4: Endk(M) x 'D(M) ~x Endk(M); (v, u) ~ vou

D'après ces lois, Endk(M) est un ('D(M), 'D(M))-bimodule.

iii) Soit n un nombre entier naturel, vnR(M) est un sous-groupe de Endk(M) et pour tout a dans R et u dans Endk(M),

<fJ1(a,u) E 'DnR(M) et<pz(u,a) E 'DnR(M)

En effet au, ua E Endk(M)et V b ER, [au, b] = a[u, b ], or

[u,b] E vn-lR(M) donc [au,b] E 'Dn-lR(M).

Demêmeonmontreque :[ua,b] E vn-1R(M).

Par conséquent vn-1 R (M) est un sous (R-R) bimodule de Endk(M) .

iv) 'D(M) est aussi un sous groupe de Endk(M). Soient a et u deux éléments respectivement de R et Endk(M).

u E 'D(M) ~ 3n E / N tel que u E 'Dn(M). Or d'après la preuve i)

au E vn(M) et ua E vnR(M) donc au E 'DR(M) et ua E 'DR(M).

Par conséquent 'DR(M) est un (R-R) bimodule de Endk(M)

>"" Proposition 2.2.1 Soient M un R-module : i) idM E 'Do R (M) ii) vnR(M) C vn+lR(M) 'tin E IN. iii) 'DP R (M). 'Dq R (M) C 'Dp+q R (M), v p, q E / N

v" Preuve i) On sait que 'D0 R(M) = EndR(M). Ainsi pour tout a et m

respectivement éléments de R et M, idM(am) = aidM(m), d'où idM E EndR(M) = 'D0R(M)

ii) Nous allons montrer cette inclusion par récurrence.

Pourn = O,'D0R(M) = EndR(M),or'D1R(M) = {u E Endk(M);ua- au E 'D0 R (M), Va E R}.

Comme EndR(M) c Endk(M) et Vu E EndR(M), [u, a] = 0, donc


[u, a] E 'D0 n(M).

Par suite 'D0n(M) c 'D1n(M)

Hypothèse de récurrence :

V(n, k) E IN x !Ntel que O < k < n, 'Dk n(M) c vk+1n(M).

Montrons que : 'Dnn(M) c vn+ln(M)

Soit u un élément de vn-1R(M)

u E vn-ln(M) ~ u E Endk(M) et [u,a] E vn-zn(M), Va ER.

Et d'après l'hypothèse de récurrence vn-2R(M) c vn-1R(M)d'où

[u,a]E vn-1n(M), Va E R. Ainsi u E 'Dnn(M)

On conclut que: vnR(M) C vn+lR(M), Vn E IN.

iii) Comme précédemment nous procédons par récurrence.

Pourp=q=O, v0R(M).'D0n(M) c 'D0n(M) ,car Vu,v E Endn(M),

uov E Endk(M).

Hypothèse de récurrence:

Pour tout, r, pet q des nombres entiers naturels tel que: 0 < r < n

avecr = p + q,on a: VPn(M).'Dqn(M) c D" n(M).

Montrons que: sin= p + q alors VP R(M). D" n(M) c 'Dnn(M)

Soient u et v deux opérateurs différentiels d'ordre respectivement égal à pet q. On a évidemment uov E Endk(M).

Soit a un élément de R, on a :

[uov, a] = uo[v, a] + [u, a]ov or [u, a] E VP-1n(M) et [v, a] E vq-1R(M) donc uo[v, a]et[u, a]ov sont des opérateurs différentiels d'ordre p + q - 2(d'après l'hypothèse de récurrence) carp+q-1 <n

Par conséquent uov E 'D" R (M) , c'est àdire'D" R (M). 'Dq R (M) c D" R (M).

D'où VP R(M). 'Dq R(M) c vp+q R(M), Vp, q E IN


Chapitre3:

ALGEBRE DES OPERATEURS DIFFERENTIELS SUR UNE k-ALGEBRE DE DIMENSION FINIE INFERIEURE

OUEGALE à2

Les opérateurs différentiels et leurs propriétés connues dans la généralité, vont nous permettre de déterminer dans cette partie d'autres propriétés plus particulières lorsqu'il s'agit des k- algèbres de dimension finie inférieure ou égale à 2.

Dans cette partie, A est une algèbre commutative unitaire sur un corps commutatif k de caractéristique nulle.

3. lAJgèbre des opérateurs différentiels et ses propriétés

3 .1.1 Définition3 .1.1

Soit A une k-algèbre.

En considérant la k-algèbre A comme un module sur lui-même, on obtient la k algèbre 'D (A) qui est l'algèbre des opérateurs différentiels sur l'anneau A.

3 .1.2 Propriétés3 .1.1

D'après le lemme 1 de la partie II), on déduit que:

1) Pour tout entier naturel n, Endk(A)est un (A,A) bimodule.

2) Endk(A) est un ('D(A), 'D(A)) - bimodule.

3) Pour tout entier naturel n, 'Dn(A)est un sous (A-A) bimodule de Endk(A).

4) 'D(A) est un (A-A) bimodule de Endk(A). 5) 'D(A)est un sous-anneau de Endk(A).

SamaAnzoumana - Master 2,Mathématiques Fondamentales -Option : Algèbre: 2013-2014 2s

~ Proposition3 .1.1 i) i) idA E '.D(A) et '.D0(A) s'identifie à A par x ~ <px: r ~ rx ii) '.Dn(A) c '.Dn+1(A), 'v' n E IN. iii) '.DP(A).'.Dq(A) c '.Dp+q(A), 'v' p, q E IN. iv) ['.DP(A). '.Dq (A)] c '.Dp+q-1(A), 'v' p, q E IN. v) '.DP(A) + '.Dq(A) c '.DMax{p,q}(A), 'v' p, q E IN ..

./ Preuve i) D'après le lemme 1 nous avons idA E '.D(A). Montrons donc que

'.D0(A) s'identifie à A. Soit u E '.D0(A) et a E A : au, ua E '.D0(A) puisque '.D0(A) est un (A-A) bimodule.

Soit le morphisme <p: A ~ '.Do (A)

<pr:A ~ A x ~ rx

u E '.D0(A)<=>[u, x], v x E A = 0 <=> u. x - X. u = 0 <=>'v'a E A, u(xa) = xu(a) = xau(lA), (1)

soit uo<px(a) = ({Jxou(a) pour a= 0, l'égalité (1) devient v a E A, u(xa) = au(lA). Or u(lA) E A, donc u est morphisme multiplicatif

ii) Quant à cette propriété, elle découle de la proposition 2.2.1 iü) De même que ii) elle découle de la proposition 2.2.1 iv) La preuve de ['.DP (A). '.Dq (A)] c '.Dp+q-l (A), 'v'p, q E / N

se fait par récurrence, avec'.D-1(A) = {O}. Pour p=q =0, et pour P et Q élements respectifs de '.DP (A) et '.Dq (A) le crochet [P,Q] appartient à '.D0(A). Par suite pour tout élément a de A, le crochet [[P, Q], a] est nul. Ainsi, le crochet [P, Q] appartient à v-1 (A). Donc l'inclusion est vérifiée pour p=q=O

Hypothèse de récurrence :Supposons que pour tout entier naturel p,q,r et n tel que r=p+q et O< r < n, ['.DP(A). '.Dq (A)] c '.Dp+q-1(A), 'v'p, q

Montrons que: si n=p+q alors ['.DP(A).'.Dq(A)] c vn-1(A), Soit (P, Q) E '.DP(A) X '.Dq (A)


[[P, Q], a] = -[a, [P, Q]] = -[[a, P], Q] - [Q, [P, a]] (d'après

l'inégalité de Jacobi). Soit[(P, Q], a] = [P, [Q, a]] - [Q, [P, a]]. Or P E '.DP(A), [Q, a] E trv:> (A), Q E '.Dq (A) et [P, a] E '.l)P-l (A), d'après l'hypothèse de récurrence on a :[P, [Q, a]] E '.Dp+q-1(A) et [P, [Q, a]] E '.Dp+q-1(A). Par suite[[P, Q], a] E '.Dp+q-1(A), soit[[P, Q], a] E '.Dp+q-1(A).

D'où la conclusion :['.DP(A), '.Dq (A)] c '.Dp+q-1(A), Vp, q

v) Montrons par récurrence que: '.l)P(A) + D" (A) c '.DMax{q,p}(A)

Pour p = q = 0 et P, Q élements respectifs de D" (A) et D" (A),

P + Q appartient à '.D0(A)

Hypothèse de récurrence :

Supposons que pour tout entier naturel p,q,r et n tel que r=max{p,q} et

O< p, q < r < n, '.l)P (A) + '.Dq (A) c D" (A).

Montrons que: si n=max{p,q} alors '.l)P(A) + D" (A) c '.Dn(A). Soit a un élément de A ,P, Q élements respectifs de '.l)P (A) et D" (A), on a :

[P + Q, a] = [P, a]+ [Q, a] . Or [P, a] E '.l)P-1(A)et[Q, a] E '.Dq-1(A). Donc d'après l'hypothèse de récurrence[P + Q, a] appartient à '.DMax{q-t,p-t}(A) qui est égal à '.Dn(A).

Par suite '.DP(A) + D" (A) c '.DMax{q,p}(A) pour tout p,q des nombres entiers naturels.

~ Définition 3 .1.2

Soit A une algèbre. Une filtration croissante est une suite {FdiE:i de sous groupe: {O} c F0 c F1 c ··· tel que:

1 )UiE:i Fi = A 2) Fp. Fq c Fp+q pour tout p,q E i+

~ Corollaire3.1.1

L'ordre des opérateurs différentiels fait de '.D(A) une algèbre filtrée par la suite croissante de sous- groupe('.Dn(A))nEJN.


../ Preuve

On sait que 'D(A) = UneIN vn(A). D'après les points ii) et iv) de la proposition 12, on a la conclusion.

)i> Définition3 .1.3: algèbre graduée

Etant donné une algèbre A filtrée par {Fdie7l, son algèbre graduée associée est définie comme suit :

E9 E9 Fi GrA = Gr-A= -avec F_1 = {O} i E i+ l i E i+ Fi-l

La multiplication faisant de lui un anneau est définie de telle sorte que pour Fp-i E GrpA et y+ Fq-l E GrqA , on ait :( x + Fp_1) (y+ Fq-1) = xy + Fp+q-i E Grp+qA puisque xy E Fpq .

Remarque: Plusieurs propriétés de 'D(A) peuvent se déduire de celles de l'algèbre graduée associée à 'D(A), algèbre dans laquelle il est plus commode de travailler

)i> Corolaire3.1.2

L'algèbre graduée Gr'D(A) associée à 'D(A) est commutative

../ Preuve

Cela se justifie par le iv) de la proposition 3.1.1 à savoir:

3.2 Algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre de dimension finie égale à 2

On peut dans ce cas supposer que: A= k+ k x, x E A tel que x2=µ avec µ E k.

• Ondistingue deux cas: x est nilpotent ou x est inversible

)i> Proposition3 .2.1

Si A est une k-algèbre de dimension finie égale à 2 dont un système de générateurs contient un élément nilpotent alors 'D(A) = Endk(A).


~ Preuve

Supposons que A= k+ kx, x E A tel que x2 =O.

On a: 'D0(A) = {<pa,: A~ A , \;/ a E A} d'après lei) de la proposition 3.1.1. Or x ~ ax

pour tout élément a de A, a=a + {3x, (a, {3) E k2• Ainsi, (f)a+px (1) = a+ {3x et<pa+px (x) = ax + {3x2 = ax. Donc la matrice de

tout endomorphisme (f)a+f3x de 'D0(A)est (; ~).

Par suite : v0(A) = {(; ~), (a, {J) E k2}

}.> Quant à 'D1(A), on a:

'D1(A) = { u E Endk(A), [u, a] E 'D0(A), \:/a E A}

D'après les calculs précédents, pour a égal à x,la matrice de <px est(~ ~)

Soit u E 'D1(A)dont la matrice est (~ !) , y,b,c,d E k [u, x] E v0(A)~(~ !) (~ ~) - (~ ~) (~ !) E 'Do (A)

~ (d b y ~b) E 'Do(A) ~ b = 0. D'où V1(A) = {(p ~),a,p,y E k}.

}.> Déterminons ensuite 'D2 (A)

'D2(A) = { u E Endk(A), [u, a] E 'D1(A), \:/a E A}

Comme précédemment la matrice de <px est(~ ~) et soit u E 'D(A)dont la

matrice est (~ !) , y, b,c ,d E A


Ce qui est vérifié pour tout y, b ,c ,d, éléments de k.

Par suite '.D2 (A) = {G !) , y, b, c, d E k} = Endk(A) Par conséquent V(A) = Endk(A)

}:> Proposition3.2.2

Si A est une k-algèbre de dimension finie égale à 2 dont aucun des générateurs n'est nilpotent alors '.D(A) est égale à '.D0(A)

,/ Preuve

Comme la preuve précédente A= k+kx ,x E A, avec x2=µ * O.

o _ .A~A '.D (A) -ÜPa,· , '7' a E A} x~ ax

Pour tout élément a de A, a=a + {3x, (a, {3) E k2• Ainsi, (()a+px (1) = a+ {3x et (()a+px (x) = ax + {3x2 = ax + {3µ.

Donc la matrice de tout endomorphisme (()a+px de '.D0(A) est (; 13:).

Par suite v0(A) = {(; P::),a,p,µ E k} }:> Déterminons '.D1(A)

'D1(A) = { u E Endk(A), [u, a] E 'D0(A), '7'a E A}

D'après les calculs précédents, pour a égal àx, la matrice de (()x est(~ 6) Soit u E '.D1(A) dont la matrice est (~ !) ;y, b, c, d E k

ç=>(b yµ)- (cµ dµ) E vo(A) ç=>,(b - cµ d cµ y b d -y

ç=>b=q,t. et y= d

d'où V1(A) = {(: c;); c,y,µ E k}.

!) E v0(A)

µ(y - d)) E '.D0(A) cµ-b


r

SoitV1(A) = v0(A).

Ainsi de suite on montre que: 'v n > 1, 'Dn(A) = v0(A). Par conséquent 'D(A) = v0(A)

D'après ces deux propositions, nous avons une confirmation des idées de R.C CANNING et M.P ROLLAND en dimension finie inférieure ou égale à 2. En effet d'après eux:« lorsque le corps k est algébriquement clos, l'algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre A, locale et de dimension finie, est égale à celle des endomorphismes sur A :

(V(A) = Endk(A)) » 3.3 Algèbre des opérateurs différentiels sur un corps de dimension fmie égale à 2

~ Corollaire 3 .3

Si A est un corps de dimension finie égale à 2 alors l'algèbre des opérateurs différentiels sur A est égale à 'D0(A)

./ Pre-uve

C'est la conséquence de la proposition 3.2.2 car tout corps a un système de générateurs inversibles.

3.4 Algèbre des opérateurs différentiels du produit cartésien de deux algèbres de dimension finie

~ Proposition3.4.l

Si A et B sont deux algèbres de type fini alors le produit cartésien AxB est aussi une algèbre de type fini.

Remarque 3.4: Toutes les k- algèbres de dimension finie sont de type fini.

./ Preuve

Soient A et B deux algèbres de type fini engendrées respectivement par (ai)iei,n et( bj) teim: La k-algèbre AxB est engendrée par

(a1, 18); ; (Un, 18); ; (1A, b1)et (1A, bm) qui sont en nombre fini

Par suite AxB est une algèbre de type fini.


1

);.,, Lemme 3.4

Si A et B sont des k-algèbres de dimensions finies alors A x B est une k-algèbre de dimension finie. En particulier c'est une k-algèbre de type fini.

./ Preuve

Cela se justifie par le fait que le produit cartésien de deux k-algèbres A et B de dimension finie est un k-espace vectoriel de dimension finie, donc une

k- algèbre de dimension finie. Et d'après la remarque 3.4, c'est aussi une

k-algèbre de type fini.

);.,, Proposition3.4.2

Si A et B sont des k-algèbres de dimension finie alors l'algèbre des opérateurs différentiels sur AxB, 'D(A x B) n'est pas isomorphe à 'D(A) x 'D(B).

./ Preuve

Supposons que le corps de base est algébriquement clos

Comme A et B sont des k- algèbres de dimension finie, par les résultats ci dessous de R.C CANNING et M.P ROLLAND on a

'D(A x B) = Endk(A x B), 'D(A) = Endk(A) et 'D(B) = Endk(B). Or Endk(A x B) et Endk(A) x Endk(B) n'ont la même dimension. Par conséquent, 'D(A x B) n'est pas isomorphe à 'D(A) x 'D(B).

3.5Algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre artinienne réduite de dimension finie égale à 2

);.,, Proposition 3 .5 .1

Si A et B sont des k-algèbres alors l'algèbre des opérateurs différentiels sur AxB, 'D(A x B)s'injecte dans 'D(A) x 'D(B).


1

./ Preuve

Soit l'application :

avec AxB~A

P1: (a,b) ~ a

et

. A~AxB h= a~ (a, O)

A xB ~s pz: (a,b) ~ b

B ~A xB iz:b~(O,b)

• <p est morphisme d'algèbre car <p(f og) = <p(f)o<p(g) et <p(f + g) = <p(f) + <p(g).

• D'abord prouvons par récurrence que :V n E IN, si f E 'Dn(A x B) alors p1ofoj1 E 'Dn(A)

Pour n = 0, p1 of oj1 E 'D0(A) car p1 of oit (a) = p1 of (a, O) = p1 (aa, O), a E A puisque f appartenant à 'D0 (A) est un morphisme multiplicatif.

Hypothèse de récurrence : V r E / N tel que O < r < n

Soit a E A, [p1ofoj11 a](x) = p1of(ax, O) - ap1of(x, O) (i).

Or[/, (a, O)](x, O) = f(ax, O) - (a, O)f(x, 0) d'où f(ax, O) = [f, (a, O)](x, 0) + (a, O)f(x, 0)

Par suite( i) devient:

[p1 of oji, a](x) = p1 ([t, (a, O)](x, O)) + (a, O)f (x, O) - ap1 of (x, 0).

[p1ofoii,a](x) = p1([t,(a,O)](x,O)) = (p1o[f,(a,O)]oii)(x).

(ii)


1

D'après l'hypothèse de récurrence p1 o[f, (a, O)]oj1 E vn-1(A) car

[f, (a, O)] E vn-1(A x B). Donc [p1 of oji, a]appartient à vn-1(A x B). Par

conséquentp, of oj; E '.Dn(A).

On conclut que .v n E IN,sif E vn(A x B) alors p1ofoj1 E vn(A)

• Montrons ensuite par récurrence :V n E IN, <p( '.Dn(A x B)) c '.Dn(A) x '.Dn(B)

Pourn = O,f(a,b) = (a,{J)(a,b) = (aa,{Jb).

Ainsi f1 (a) = aa et f2(b) = {Jb pour tout (a, b) E A x B

Ceci montre que f1 et f2 sont des morphismes multiplicatifs, donc appartiennent respectivement à '.D0(A) et '.D0(B).

Hypothèse de récurrence: V r E IN, tel que O < r < n,

<p( vr(A X B)) C '.DT(A) X vr(B)

Montrons que: <p( '.Dn(A X B)) c '.Dn(A) X '.Dn(B),

Soit f E '.Dn(A x B). D'après (ii)on a: [p1 o f1 oji, a] = p1 o[f1, (a, O)]où) d'où f1 E '.Dn(A). De même f 2 appartient à '.Dn(B).

Ce qui implique que: <p( f) E '.Dn(A) x '.Dn(B)

En conséquence: V n E IN, <p( '.Dn(A x B)) c '.Dn(A) x D",

• Montrons enfinpar récurrence que: <p est injectif

Soit f E kerip tel que [f, a] E '.D0(A x B).

On a: f(a, b) = (a,P)(a, b) = 0 => f1(a) = aa = 0 etf2(b) =Bb > O~a = 0 et {J = 0 ~ f = 0

Hypothèse de récurrence: V r E IN, 0 < r < n, V f E '.Dr(A x B),

si f E kerip et f E '.D0(A x B)alors f = 0 Montrons que :pour tout f appartenant à vn(A x B), si f E kertp et

f E V0(A x B)alorsf = 0


1

On a :[f, (a, b )] = f (a, b) - (a, b )f = f o0ca,b) - Bca,b)of.

Donccp([f, (a, b )]) = cp(f)ocp(Bca,b)) - cp(Bca,b))ocp(f) = Ocar f E kertp,

D'après ]'hypothèse de récurrence [f, (a, b)] = 0 car [t, (a, b )] E vn-1(A x B) et [t, (a, b )] E kertp.

Parsuite f E '.D0(A x B), donc f = O. En conclusion kertp = {O} ,d'où cp est injectif.

>-> Proposition3.5.2

Si A est une k-algèbre artinienne réduite de dimension inférieure ou égale à 2 d'idéaux maximaux m1, m2, alors l'algèbre des opérateurs différentiels '.D(A)

sur A, s'injecte dans 'D0 (~J x v0 (~J ./ Preuve

A étant une k-algèbre artinienne donc A est un anneau semi-local. Ainsi il

possède un nombre fini d'idéaux maximaux m1,m2,qui sont deux à deux

étrangers. D'après le théorème du reste Chinois, 2 A est isomorphe à ni=l mi

Par suite, A = 2 A ::: ~ x ~ parce que nf=i mi = {O} puisque A est réduit. ni=l mi m1 mz

D'où 'D(A) - 'D (~X~). (1) m1 m2

Or '.D (~ x ~) s'injecte dans '.D (~) x '.D(~)), d'après la proposition m1 m2 m1 m2

précédente.

Comme pour tout iE 1,2 , ~ est un corps de dimension finie inférieure ou égale mi

à 2, on a donc d'après le corollaire 3.3: '.D (~) = '.D0(~)·

Par suite '.D (~ x ~)s'injecte dans '.D0 (~) x v0 (~) m1 m2 m1 m2


1

3.6Algèbre des opérateurs différentiels du produit tensoriel de deux algèbres de dimension finie

>"' Proposition 3.6.1

Si A et B sont deux algèbres du type fini alors le produit tensoriel A®B est une algèbre de type fini.

v" Preuve

Soient A et B deux k-algèbres de type fini engendrées respectivement ( aï) iet n '

et (bj) jeim: Ainsi sur l'anneau A®B, il y a une structure de k-module telle

que: v a.a E A ei b.b' E B, (a® b) *(a'® b) =a.a'® b.b'

Et A®B est engendrée par les éléments (a1 ® 18); ..... ; (an® 18)(1A ® b1 ) ... et (1A ® bm) qui sont en nombre fini. D'où A®B est une k-algèbre de type fini.

>"' Corollaire3.6.1

Si A et B sont des k-algèbres de dimension finie alors A®B est une k-algèbre de dimension finie.

v" Preuve

D'après la remarque 3.3, toute k-algèbre de dimension finie est de type fini. Or A®B en tant que k-espace vectorielest de dimension finie.

;,;, Proposition3.6.2

Si A et B sont des k-algèbres de dimension finie alors '.D(A ® B) est isomorphe à '.D(A) ® '.D(B).

v" Preuve

A, B et A ® B sont des k-algèbres de dimension finie

Soit '.D(A) x '.D(B) ~ '.D(A ® B) ({Ji: ( u, V) ~ U @ V

({J1 est une application semi-linéaire car:


1

- <fJ1(U1 +uz, v) = <fJ1(Ui,V) + <fJ1(Uz,V) -<p1 (u, v1 + v2) = <p1 (u, v1) + <p1 (u, v2)\1'u E Endk(A)etvi, v2 E Endk(B)

- <p1 (ua, v) = <p1 (u, av), \1' (u, v) E Endk(A) x Endk(B), v a E k

D'après la proposition universelle, <p1 induit un morphisme

e: '.D(A) ® '.D(B) ~ '.D(A ® B) tel que u(a) ® v(b) = (u ® v)(a ® b u ® v ~ (u ® v)

Comme dans la proposition 3.5.1, on construit un morphisme

'.D(A ® B) ~ Endk(A) ® Endk(B) <p: : f ~ Cf1 ® fz)


1

Chapitre 4

EXEMPLES DE CALCUL D'OPERATEURS DIFFERENTIELS :

Pour terminer, nous allons appliquer ces propriétés particulières sur des k-algèbres de dimension finie égale à 2.

4.1 Calcul de v0(A), V1(A), '.D2(A) et '.D(A) pour A= ~;~~ ,où k est

de caractéristique nulle (non nécessairement algébriquement clos) ; en particulier pour k= IR

L'algèbre 1~[:; est unJR-espace vectoriel de dimension finie engendré par

« 1,X » parce que V P(X) E /R[X], P(X) = X2H(X) + aX + b . o( ) _ . A --) A

}> On a. '.D A - { <pa,. X, a E A} a--)a

't/ a,b E IR <paX+b(i) = aX + bl et <paX+b(x) = bX

Donc '.D0(A) = {(: ~), (a, c) E /R2}

Quant à '.D1 (A), on a: '.D1 (A) = { u E Endrn (A), [ u, P] E V0 (A), 't/ P E 1(:[~J }

Pour P = X, '.D1(A) = { u E Endrn(A), [u,X] E '.D0(A)}

Soit(; ~), (x, y, z, t) E /R4 la matrice de u.

<px(x) = (~ ~) car <px(½= X= (~) et <px(x) = O = (~)

[u X] E vo(A) ~ (X Y) (0 0)- (0 0) (X Y) = (a 0) ' Z t 10 10 Z t Ca


- 1

~ ( y O ) _ (a 0) ~ _ 0 t- X -y - C a y-

Par suite 'D1 (IR~]) = {(x 0), (x, y, t) E /R3} (X) Z t

2 { 1 /R[X]} 'D (A) = v E End IR (A), [ v, P] E 'D (A), 'v' P E (XZ)

Pour P = X, 'D2(A) = { v E EndlR(A), [v,X] E 'D1(A)}

Soit(; ;),(m,n,r,s) E/R4Iamatricede v.

[v X] E vt(A) ~ (m n) (0 0) _ (0 0) (m n) = (x ' T S 10 10 T S Z

~( n O) = (X 0) s -m -n z t ·

Ce qui est vérifié pour tout (m, n, r, s) E /R4.Ainsi,

~)

2 (/R[X])- {(m n) 4} _ (/R[X]) 'D (XZ) - r s , (m, n, r, s) E IR - EndlR (XZ) .

· n (IR[X]) (IR[X]) Par suite 'v n > 2, 'D cxz) = EndIR cxz) .

, _ (IR[X]) (IR[X]) Par consequent 'D cxz) = Endrn cxz) .

Remarque: Ce résultat 'D Cc:~) = Endrn (1~~) est une iJlustration de la proposition 3.2.1

4.2 Calcul de v0(A), 'D1(A), 'D2(A) et 'D(A) où A est de caractéristique nulle et algébriquement clos ; en particulier pour A = «:

«:: est une IR- algèbre de dimension 2, engendrée par 1 et i


1

>"' Calcul de '.D0([)

oc ) (C-+ (C } '.D (C = { <pa,: , V a E (C x-+ ax

Pour tout élément a de C, a=a +Pi, p, a E IR <pa(l) =a=a + Pi et <pa(i) =ai=ai - P.

D 1 · ·' ' d hi (a -{J) one a matnce associée a tout en omorp sme <pa+f3i est {J a .

Par suite v0([) = {(: -:) , (a, b) E /R2}

>"' Calcul de '.D 1 ( [)

'.D([) = { u E Endrn([), [u, a] E '.D0([), V a E [}

Pour a = i, la matrice de l'endomorphisme <pi est(~ ~l) ;

Soit u E Endrn([) dont la matrice est(; :) , a.b.c.d E IR

(b + C d - a ) O

ç=> d _ a -(b + c) E Dr, ([) ç=> b = -cet a = d

C'est-à-dire '.D1([) = {(: -:) , (a, b) E /R2} = '.D0([)

De même on montre par le calcul que :V n > 1, '.Dn([) ='.D0([).

Par suite '.D([) = '.D0([), soit '.D([) ç; Endrn([)

Remarque: Ce résultat '.D([) = '.D0([)est une illustration de la proposition 3.2.2


1

CONCLUSION

L'algèbre des opérateurs différentiels sur une k-algèbre A de dimension finie inférieure ou égale à 2 est une sous-algèbre de celle des endomorphismes sur A ( 'D(A) c Endk(A)). Cependant, les deux algèbres sont égales lorsque A possède un générateur nilpotent ( 'D(A) = Endk(A)). Dans quels cas ( 'D(A) = Endk(A)), quand la dimension de A est finie et strictement supérieure à 2 ? Dans quels cas l'anneau des opérateurs différentiels sur un A-module M de longueur finie serait- il égal à l'anneau des endomorphismes sur M? ( 'D(M) = Endk(M))? Telles sont les questions auxquelles nous souhaiterions répondre un jour.


Bibliographie

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2- M. KODAK.OU Konan, "Opérateurs différentiels sur un module, algèbres de Weyl sur un corps": cours de Master 2, Université F.H.B Abidjan (Côte d'Ivoire) (2014)

3- , « Cours d'algèbre » par J. Querré, MASSON Paris New York Barcelone Milan 1976

4- J.P Lafon, « algèbre commutative. Langages géométrique et algébrique», Chap. 2, Université Paris XIII, Hermann 1977

5- J.P Vigué, « Opérateurs différentiels sur les espaces analytiques», comptes rendus n°26, série A, à l'Université Paris XI (1972)

6- COLLIN Jauffret, « Variétés des drapeaux et opérateurs différentiels», Thèse de Doctorat, Université de Montréal, Canada (2009)

7- Mamadou BARRY, « Caractérisations des anneaux commutatifs pour lesquels les modules vérifiant (I) sont de types finis », Thèse de Doctorat du 3è cycle, Université CHEICK Anta Diop de Dakar, Sénégal (1998)

8- M. ABALO Koffi, « Groupe et anneaux », cours de Licence 3, Université F.H.B Abidjan, Côte d'Ivoire (2007- 2008)

9- EGNI A VI Aimé Désiré, « cours d'algèbre III», Université de vacances ENS Abidjan (Côte d'Ivoire) (2006-2007)


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Documents

L'UNIVERSITÉ FELIX HOUPHOUËT BOIGNY