Lycée Saint Jacques Un sablier malicieux

Lycée Saint Jacques

Un sablier malicieux

Étude d'un écoulement granulaire dans un sablier

Un sablier malicieux Lycée saint Jacques

Un sablier malicieux 2

Introduction :

La Conscience du temps est une caractéristique première de l'homme qui le différencie de l'animal. La mesure du temps occupe donc un rôle crucial et croissant dans notre société. Par exemple pour cuire un gâteau, il est nécessaire de savoir déterminer un laps de temps précis. De nombreux instruments, plus ou moins élaborés ont donc été créés par l'homme pour satisfaire le besoin qu'est la connaissance du temps. Toutefois, tous les outils de mesure du temps ne fonctionnent pas sur le même principe : le cadran solaire par exemple ne renseigne que sur une fraction de temps, alors que le sablier renvoie à une durée immuable et précise. Toutefois, la seconde a récemment été mesurée de manière très précise par le biais de la vitesse de la lumière, et les affichages numériques rendent donc obsolètes horloges et autres moyens de mesure. Nous allons donc montrer qu'un de ces anciens moyens de mesure, le

sablier reste encore actuel et n est pas hermétique au progrès technique. La mesure du temps reste néanmoins approximative, car c’est une entité dont nous ne pouvons nous saisir, le temps est certes quantifiable mais on ne peut le matérialiser. Le philosophe Héraclite compare le temps à un fleuve dont l’écoulement est linéaire, mais nous sommes pris dans le fleuve et ne pouvons pas précisément nous situer. Nous sommes plus aptes à discerner une fraction du temps (une heure) que le temps lui même, il en est de même pour ces moyens de mesure. Mais si l homme n'est pas encore capable de rendre parfaits ces moyens de mesure, il reste possible d'en modifier le fonctionnement pour en détourner l'usage. On peut donc se demander comment stopper le flux du temps.



Sommaire

I) Pré requis :

- A) Pourquoi avoir choisi le sable ?

- B) Généralités sur l’écoulement du sable

- C) Théories pour expliquer l'écoulement du sable

II) Constat :

- A) Caractéristiques de nos sabliers :

- B) Notre première modélisation d’un sablier

- C) Évaluation des hypothèses :

- 1) L'électricité cause des frottements

- 2) La chaleur est la cause de mouvements de convection

- 3) Le différentiel de pression amène à la formation d’arches

BILAN

III) Comment optimiser la force ascendante ? :

- A) Théorie et retour sur la loi des Gaz parfaits

- B) Augmenter la chaleur pour augmenter la pression

- C) Diminuer le volume pour faire tendre la pression à l’infini…

IV) Comment réduire le débit ?:

- A) Théorie et retour sur la loi de Beverloo

- B) Diminuer la densité (masse volumique) du sable

- C) Faire varier la différence entre la taille de l’orifice et la taille des grains

V) Le cahier des charges d’un sablier idéal :



Explication de la Démarche :

Au départ, nous voulions créer un sablier dont on pourrait à volonté stopper l'écoulement du sable.

Nous avons tiré cette idée d'un livre sur la physique du sable et qui apportait un début de réponse

au problème. (Sables Emouvants de Jacques Duran)

Nous nous sommes d’abord demandés pourquoi l'écoulement du sable s'arrête, et avons pensé à

plusieurs théories pouvant expliquer le phénomène :

-les frottements dus à l'électricité statique

-un différentiel de température causant un courant de convection.

-un différentiel de pression propice à la formation d’arches bloquant l’écoulement.

Le livre indiquait que ce phénomène était du à la chaleur. Nous avons décidé d’explorer en premier

lieu cette piste.

Tout d'abord, nous souhaitions créer un minuteur à partir d'un sablier et qui a partir de l

avancement de l'écoulement du sable renverrait une valeur chiffrée sur un afficheur numérique. Le

minuteur devrait s arrêter lorsque nous ferons s arrêter l écoulement du sable (cet écoulement s

arrêterait à volonté, au moyen par exemple d'une télécommande)

Nous nous sommes rendu compte que pouvaient varier un nombre important de paramètres tels

l'écart de température, le volume du sablier, la taille des grains de sables et celle de l'orifice...

Nous avons pris conscience que notre projet initial était trop ambitieux car il nécessitait des

connaissances poussées en électronique (bac+2) qu'il nous serait très difficile d acquérir dans le

temps imparti.

Nous nous sommes renseignés sur les modalités de l'écoulement du sable et des travaux de

scientifiques publiés sur le sujet. Toutefois à ce jour n'a pas encore été expliqué le comportement du

sable dans un sablier. Cependant existent trois théories qui seront évoquées plus précisément par la

suite.

Nous avons tenté de modéliser un sablier ouvert avec la taille de l'orifice choisie (1.3mm), que nous

pensions idéale pour travailler avec le sable fin de Hawaï que nous avions commandé. Ce fut

malheureusement un échec car le plâtre utilise bloquait une partie des grains de sable. Nous vous

poursuivis nos efforts en faisans fondre des entonnoirs ensemble pour créer un sablier, toujours

avec un diamètre d'orifice choisi. Nous y étions presque parvenus quand la lecture d'un article de la

SFP nous instruisit que le phénomène ne fonctionnait qu'en milieu fermé et de par un différentiel de

pression. En effet en milieu ouvert, ce différentiel est fortement amoindri par la pression

atmosphérique. Voici résumée le suivi de note démarche.



I) Pré requis :

Pour pouvoir aborder notre sujet, nous avons procédé à des choix, concernant les matériaux

que nous allions utiliser, et nous sommes informés sur différents sujets.

A) Pourquoi choisir le sable?

Dès lors où nous avons décidé de travailler sur le sablier s'est posé un choix important : les

écoulements granulaires n'ayant pas dévoilé tous leurs mystères, dans divers expériences, le sable

fut modélisé par l'eau. Certes il existe des sabliers à eau (clepsydre), mais nous avons choisi d'utiliser

du sable car tout d'abord il nous semblait impossible de stopper le flux de l'eau, d'autre part, le débit

du sable à la propriété d'être constant alors que le débit de l'eau ne l’est pas. Utiliser du sable avec

un débit constant facilitera les calculs et permettra d expliquer plus simplement le phénomène.

Nous avons tout de même tenu à vérifier que le débit du sable était constant et que celui de l eau ne

l’était pas, c'est pourquoi nous avons réalisé deux expériences successivement : nous avons prélevé

un litre d'eau et un litre de sable et avons observé leur écoulement à travers le même sablier. Nous

faisions régulièrement des mesures de la quantité de sable/eau tombée dans une éprouvette

graduée en notant régulièrement des valeurs que nous avons représentées puis modélisées avec le

logiciel generis. Voici nos résultats :

Droite du sable :



Parabole de l’eau :

On constate déjà par la vidéo que l écoulement du sable est lent et régulier, alors que celui de l'eau

est plus rapide et ralentit vers la fin. La modélisation de la quantité de sable écoulée en fonction du

temps est une droite de coefficient directeur W, ce qui traduit la linéarité de cet écoulement. La

modélisation de l’écoulement de l'eau est une parabole ce qui indique que pour l'eau le débit n’est

pas constant. On peut l’expliquer car la pression atmosphérique influence l'eau et pas le sable. Plus il

y a d'eau dans le récipient. Plus la force exercée sur l'eau et la poussant vers le sol augmente, de

même que la vitesse du débit. Plus l’eau se coule et moins cette force est importante plus le débit

ralentit.

BILAN : on a constaté que contrairement au débit de l'eau, celui du sable est régulier ce qui en fait

un matériel de choix pour nos expériences car nous pourrons travailler avec des valeurs sinon

constantes, linéaires.

B) généralités sur le sable

Le sable est un matériau granulaire, tout comme les céréales ou encore le sucre. Des matériaux plus petits que 100 µm sont appelés des "poudres", les poudres ont un comportement différent. Constitués de millions de grains de forme quasi identique, les matériaux granulaires ont la particularité d'exister en "tas" (tas de sable, tas de gravier, tas de blé, tas de patates, tas de billes, terril...). Ces tas correspondent à un état immobile des grains, en ce sens ils se comportent comme



un objet "solide". Ils ont aussi la particularité de "couler" et se comporte de manière analogue à un fluide: c'est ce qui arrive lors d'une avalanche de cailloux et roches sur le flan d'une montagne, lors d'un effondrement de pâté de sable sur la plage, de l'éboulement d'un fossé, d'une tranchée, de l'écoulement dans un sablier, ou dans un silo de céréales. Lorsque l'écoulement est très rapide, les grains ne se touchent presque plus et leur comportement se rapproche de celui d'un "gaz".

Une des propriétés les plus étonnantes du sable et que son écoulement est régulier, en d’autres termes il n’est pas influencé par la quantité de sable au dessus. Cette propriété correspond à la loi de Beverloo. Deux raisons amènent à expliquer pourquoi cet écoulement est régulier : Tout d’abord l’orifice est assez étroit donc le sable en haut n’appuie pas uniformément. Ensuite, le poids se répartir de manière équitable sur les parois du sablier.

Une des autres propriétés du sable et des autres

matériaux granulaires en général est de former des tas de manière autonome ; dès que l’on a déposé une quantité de sable, le tas se réorganise de manière

autonome. On a remarqué qu’en fait le tas de sable forme un angle critique, noté α. De manière analogue, il faut respecter un angle dans un sablier si l’on veut que le sable coule spontanément dans l’orifice.

Nous avons mesuré cet angle critique en utilisant un rapporteur. Nous avons versé du sable et observé régulièrement l’évolution de la mesure de cet angle. On en déduit que alpha est compris entre 35 et 40°, environ 38°



C) Théories sur l'écoulement

Trois théories ont été avancées pour expliquer le comportement

du sable lors de son écoulement :

Le débit d’un sablier : la loi de Beverloo

L'écoulement pour un sablier se différencie totalement d'une clepsydre: la hauteur de sable ne joue pas sur la vitesse d’écoulement!

Et pourtant il existe un moyen simple de trouver la bonne loi : faire de l’analyse dimensionnelle, c’est-à-dire regarder simplement les unités des quantités que l’on a et que l’on veut obtenir. Si la hauteur d’eau n’intervient pas: la gravité g et le rayon R du trou interviennent donc forcément. Ainsi, pour fabriquer un débit on doit forcément avoir quelque chose proportionnel à la quantité.

La théorie des arches:

La loi de Beverloo permet de calculer le débit du sablier :

Où Q représente le débit, C la constante de compacité (égale à 0.6) La lettre grecque rho représente la masse volumique (en kg/m^3) g la constante gravitationnelle égale à environ 9.81 d la taille de l’orifice et dm la taille des grains, en m. Nous allons maintenant prouver par une équation d’unités que l’on obtient bien un débit en kg/s



OR

DONC

On a bien q en kg/s



En remplaçant avec nos valeurs, on a :

Une masse volumique mesurée de 14.8g pour 10 ml soit 1480kg/m^3 d-dm =1 mm soit 0.001 m SOIT q=0.6 * sqrt (9.81) * 1480 * (0.001)^(5/2)=5.6*10^-6 kg/s soit 3.38*10^-3 kg/mn soit 3.9 g/mn. Expérimentalement, nous avions trouvé 250 ml écoulés en 64 mn, soit un débit de 3.9 g/mn. Il n’y a donc qu’un pourcentage d’erreur minime. Calculons-le. Les verreries, utilisées à deux reprises pour mesurer la masse volumique sont précises à 1%, la mesure du temps à disons une minute, et pour finir l’estimation de la taille de l orifice à 1 mm. Δe=sqrt(2*0.01²+(1/64)²+(0.1/1.3)²)*3.9=0.08*3.9=0.3 Ainsi, on à 3.6 g/mn <débit massique< 4.2 g/mn, soit au maximum 3/39, soit 8% d’erreur.

Pour comprendre d’où vient la loi de Beverloo, on peut utiliser une observation que l’on retrouve souvent dans les écoulements granulaires: les arches. On sait que du sable dans un cylindre ne se comporte pas comme de l’eau. Si on ajoute du sable supplémentaire en haut de la colonne, son poids ne sera pas supporté par le bas de la colonne (comme avec de l’eau) mais par les grains intermédiaires qui frottent contre les parois. Cette friction permet notamment la formation d’arches, c’est-à-dire de structures ressemblant à des clés de voûte, et qui vont soutenir le sable situé plus haut dans la colonne. C’est ce que montre le dessin ci-contre, issu d’une simulation numérique. La couleur représente la pression que supporte chaque bille, et montre clairement que des arches se dessinent d’une paroi à l’autre, les arches provoquent ce qu’on appelle l’écrantage de Janssen: quand le sable s’écoule, de telles arches se font et se défont en permanence. Et elles protègent en quelque sorte le bas de la colonne des pressions élevées : c’est ce qui peut expliquer que la vitesse d’écoulement ne soit pas liée à la hauteur de la colonne de sable. C’est grâce la physique de ces arches que la vitesse d’écoulement du sablier est constante! Cependant on se sait expérimentalement que les arches ne peuvent pas se former quand on considère une colonne très large par rapport à sa hauteur.

La rhéologie des écoulements granulaires:



Un autre aspect intéressant de ces écoulements granulaires concerne la façon dont on peut simuler un écoulement granulaire «presque» comme un fluide normal. Une astuce imaginée par des équipes françaises consiste à décrire l’écoulement granulaire comme un fluide dont la viscosité n’est pas constante, et est reliée à l’existence d’un coefficient de friction local dans le fluide. Cette méthode s’appelle la rhéologie. Ces idées ont eu un très fort retentissement dans le domaine des écoulements granulaires. Avec ces définitions, on peut simuler un écoulement granulaire comme un fluide presque normal (non-newtonien), mais sans simuler le détail de chaque grain. Pour la suite de nos travaux, nous allons considérer que la théorie des arches semble la mieux répondre à nos observations. En effet nous avons constaté qu’il se formait comme des arches dans notre sablier.

II) Constat Nous avons tout d’abord acheté un sablier sur internet et

avons constaté qu’en appliquant nos mains sur la moitié basse su sablier, on constatait un arrêt de l’écoulement. Nous allons donc maintenant étudier nos trois hypothèses (électricité, chaleur et pression) pour voir si oui ou non ils influencent le phénomène.

A) Caractéristiques de notre sablier : Nous avons constaté un arrêt de l’écoulement avec le sablier que nous avons acheté. Nous

nous sommes donc intéressés aux caractéristiques de notre sablier. Pour cela, nous nous en sommes

procurés un second identique et l’avons « disséqué ». Déjà, en plongeant notre sablier dans un bac

d’eau et en évaluant la différence de volume avant et après immersion. Le sablier a donc un volume

externe de 1350 ml

En suite, nous avons voulu connaitre la quantité de sable présente dans le sablier. Nous

avons donc demandé à un verrier d’ouvrir le sablier et en avons retiré le sable. Il y en a environ 250

ml. Il nous manque pour calculer le rapport sable/volume le volume interne du sablier. Pour le

calculer nous avons rempli d’eau une moitié du sablier et l’avons vidée dans un récipient. Nous

avons trouvé 1/2V= 650 ml d’où V= 1300 ml

Il y a donc environ 19% de sable dans le sablier.

Pour connaitre au dixième de millimètre près la taille de l’orifice, nous avons tenté d’insérer dans le

sablier ouvert diverses mèches de perceuse avec un

pas de 1/10 de millimètre. La taille de l’orifice est donc

comprise entre 1.2 et 1.3 mm.

Enfin nous avons mesuré la taille des grains

avec un microscope optique et avons créé une échelle

grâce au logiciel mesurim. Tout d’abord nous avons

constaté que les grains de sables sont synthétiques car



ils ont une forme parfaitement circulaire. Le diamètre des grains est compris entre et 0.2 et 0.25

mm.

Le fil de fer ‘trait noir) utilisé à un diamètre de 0.35 mm. Par comparaison avec mesurim,

nous en avons déduit l’encadrement de la taille de nos grains.

B) Notre modélisation de sablier :

Étant donné qu’on arrive à arrêter l’écoulement d’un sablier choisi au hasard dans le

commerce, nous sommes partis du principe que l’on est capable de le faire pour n’importe quel

sablier. Pour pouvoir expérimenter à loisir, nous avons décidé de construire notre propre sablier, de

manière à pouvoir en modifier facilement les caractéristiques. Voici une photo de notre montage et

un schéma.



Nous avons fait varier des paramètres

comme la taille de l’orifice de manière à ce qu’ils se

rapprochent le plus possible de ceux de notre

montage témoin.

Dans ce sablier, nous avons utilisé du sable

d’Hawaï, sable naturel (donc irrégulier) dont le

diamètre des grains est compris entre 0.3 et 0.5 mm.

Nous avons vérifié ces mesures avec le microscope

optique.

Néanmoins notre montage diffère sur un

point important de notre modèle et nous ne nous en

sommes rendus compte que sur un tard : Ce

montage est ouvert (les entonnoirs ne sont pas

fermés) alors que notre témoin est fermé. Nous

verrons plus tard que cela a une grande importance

dans le phénomène.

C) Evaluation des hypothèses : En nous servant du montage de sablier que nous avons conçu, nous avons mis à l’épreuve

les trois théories qui pourraient expliquer le phénomène.

1) L’électricité :

Pour voir si l’électricité joue un rôle dan l’arrêt de l’écoulement, nous avons fait circuler de

l’électricité dans le sable selon le schéma ci-dessous.



Le professeur nous a aidés à brancher notre modélisation du sablier à un générateur haute tension (30 000V). La borne plus a été placée dans le sable et la borne moins sur la potence. On constate alors un arrêt de l’écoulement. Cet arrêt de l’écoulement peut s’expliquer par les frottements entre les grains qu’entraîne la circulation des électrons et qui crée des interactions attractives importantes. Néanmoins notre corps ne peut apporter une telle tension. Nous avons donc essayé la même montage avec une tension plus faible (200V) mais l’écoulement ne s’est pas arrêté. Dans l’absolu l’électricité arrête bien l’écoulement du sable mais elle ne joue donc pas un rôle prépondérant dans le phénomène observé. De même si nous voulons arrêter l’écoulement à loisir, il serait dangereux d’utiliser de telles tensions. D’autres facteurs influencent donc le phénomène. Nous allons tester les hypothèses suivantes.

Sans électricité Avec 30 000 Volts

Toutefois, il semble qu’il y ait un effet plutôt répulsif entre les grains.



2) Le mouvement de convection :

Il existe un phénomène appelé : La convection. C'est un mouvement créé dans une masse fluide c'est à dire un liquide ou un gaz, et causé par la différence de densité. En effet, des matériaux chaud sont plus dense que des matériaux froid, ainsi les matériaux chaud ont tendance à s'élever tandis que les matériaux froid à s'écraser. Ce phénomène trouve des applications dans la vie courante. Lorsque que l'on souhaite cuire des pâtes, nous devons tout d'abord chauffer de l'eau. On peut alors observer dans la casserole un mouvement de convection ! L'eau, sous la présence de chaleur va se transformer en gaz. Donc, la molécule va s'élever vers le couvercle de la casserole. Puis au contact de se dernier, la molécule va refroidir car elle sera plus éloigné du foyer, elle va donc se transformer de nouveau en un état liquide et va ruisseler le long de la paroi. Enfin, étant de nouveau à proximité du foyer, elle passe encore à l’état gazeux et ainsi de suite... Cela crée donc un mouvement perpétuel. C'est donc un transport de matière et de chaleur. On souhaite prouver l'existence de ce phénomène dans le sablier. Pour cela nous avons fabriqué un modèle de sablier et chauffé l'air a l’intérieur. Nous avons besoin d'un récipient en verre ou en plastique (cela n'a peut d’importance) qui représentera le cône inférieur du sablier, d'un foyer (une ampoule ou un fil de cuivre relié à un générateur par exemple) de la fumée (pour pouvoir voir l'air) et d'un instrument qui permet de maintenir le récipient a la verticale (une potence par exemple). Après avoir installé le récipient à la verticale avec l’ampoule à l’intérieur nous injectons de la fumée et observons le résultat. Puis nous allumons l'ampoule, attendons 1 minute et nous réinjectons de la fumée. Observons le résultat.



Sans apport de chaleur Avec apport de chaleur

On remarque que lorsque que l'ampoule est éteinte, nous observons aucun mouvement de la fumée c'est à dire que l'air n'est pas un mouvement. Or lorsque l'on allume l'ampoule, on observe un mouvement de la fumée donc de l'air, On peut donc affirmer que la chaleur est à l'origine de ce mouvement d'air. On peut alors supposer que ce phénomène est l'un des facteurs de l'arrêt de l'écoulement. Toutefois, le mouvement de convection seul ne peut expliquer le phénomène car en faisant couler le sable par l’orifice et même avec un différentiel de température élevé, nous n’avons pas pu stopper l’écoulement. Nous avons découvert plus tard que le sablier devait être fermé, ce qui fait entrer d’autres facteurs en jeu…

3) La pression

L’élévation de la température seule ne peut expliquer un arrêt de l’écoulement. En effet notre modèle n’a pas montré un arrêt d’écoulement. Or il diffère de notre sablier témoin car il est ouvert (cf partie 3). Nous nous sommes donc demandés pourquoi avec un sablier ouvert le phénomène ne fonctionnait pas. Nous avons donc émis l’hypothèse que l’ouverture du sablier entraînait une homogénéisation de la pression interne de la partie basse du sablier avec la pression atmosphérique.

On constate que lorsque la température augmente, la pression augmente de même, donc un différentiel de température dans la partie basse du sablier cause de façon intrinsèque l’apparition d’un différentiel de pression. Cette pression peut créer une forme de force ascendante qui va repousser les grains de sable et les empêcher de couler.



Or si le sablier est ouvert dans sa partie basse, une partie du différentiel de température est happé par le milieu extérieur, et le différentiel de pression amoindri par la pression atmosphérique. Nous pensons donc que la pression joue un rôle crucial dans le phénomène.

Nous allons maintenant montrer qu’un faible différentiel de pression ne suffit pas à stopper l’écoulement, il faut que ce différentiel soit suffisant. Prenons notre sablier cassé, si nous plaçons la partie intacte dans le bain marie, nous avons constaté que l’écoulement s’arrêtait, alors que si nous avons placé la partie cassé (de manière à ce que l’air puisse toutefois pénétrer à l’intérieur malgré l’eau, l’écoulement ne s’arrête pas. On peut l’expliquer car le différentiel de pression est amoindri par l’air s’engouffrant dans la partie cassée.

Bilan :



Ainsi, finalement, nous nous rapprochons de notre objectif qui est de créer un sablier sur lequel nous pourrons arrêter à loisir l’écoulement du sable. Cependant, pour l’instant, nous avons malgré un différentiel élevé, que constaté un arrêt de l’écoulement que de quelques dizaines secondes, ce qui n’aurait pas grand intérêt dans la vie quotidienne. Notre objectif serait de pouvoir stopper l’écoulement entre 30 mn et 1h. Pour cela nous envisageons de concevoir un sablier contenant à l’intérieur une source de chaleur qui sera capable d’élever régulièrement la température de telle sorte que l’arrêt de l’écoulement pourra être long. Nous ne pouvons en effet nous permettre de devoir élever la température de 30°C par minute pour arrêter l’écoulement. Ainsi, l’étude de tous ces différents facteurs influençant le phénomène dessinera une marche à suivre pour optimiser l’efficacité du prototype. On saura alors tenter d’augmenter la pression en diminuant le volume d’air contenu dans le sablier, et d’autre part diminuer le débit en prenant un sable de masse volumique moindre et réduire au maximum l’écart taille orifice/grain. Ainsi, nous allons élaborer en quelque sorte le cahier des charges que devra remplir notre sablier pour que l’écoulement puisse s’arrêter selon nos désirs.

III) Comment augmenter

la force ascendante :

A) Théorie et retour sur la loi des gaz parfaits :

Une fois que nous avons découvert les causes du phénomène (chaleur et pression), nous avons tenté de façon empirique de voir quels paramètres pouvaient faire varier ce phénomène (par exemple augmenter la durée de l’arrêt de l’écoulement). Voici une synthèse expliquant de manière plus scientifique les paramètres qui feront varier le phénomène.

En fait, Lorsque l’écoulement s’arrête, cela signifie aussi qu’une force ascendante annule

la force du débit du sablier. Cette force correspond à la pression dont nous rappelons la formule ici :



Où : P est la pression V est le volume du contenant (ici sablier) n est le nombre de mol d’air R la constante d’un gaz T la température.

On peut réécrire la formule :

Si on veut que P augmente (pour que le phénomène dure plus longtemps), on peut donc augmenter la température (sachant que l’augmentation de la température en elle-même accentue le phénomène par le mouvement de convexion) et diminuer le volume d’air contenu dans le sablier, car

Tentons maintenant d’augmenter la température, puis de diminuer le volume.



B) Augmenter la température pour

augmenter la pression : Nous avons plongé la moitié inférieure de notre sablier dans un bain Marie afin d’en élever la température autant que l’on veut. Un bain marie est une technique souvent utilisé en chimie pour chauffer une solution, un objet... tout en évitant une éventuelle destruction des molécules par contact avec la paroi excessivement chaude du récipient. En effet, pour réaliser cette technique, il nous faut: un récipient pouvant contenir de l'eau, un instrument capable de chauffer de l'eau a très haute température (exemple; une plaque chauffante) et un instrument capable de tenir la solution, l'objet dans l'eau sans pour autant que ce dernier soit en contact avec les parois du récipient (exemple: accroché à une potence.) Nous devons donc placer la solution dans l'eau puis chauffer l'eau. Ainsi la température de l'eau va augmenter ce qui entrainera aussi l'augmentation de la température de la solution. Cette expérience est utile pour observer l'effet de la température sur certaines solutions.

Nous allons donc utilisé cette technique pour chauffer notre sablier. Nous avons ainsi prouvé que la température est un acteur important de l'arrêt net de l'écoulement du sable dans le sablier. Nous ajoutons à ce dispositif un thermomètre. Puis nous avons chauffé l'eau et avec un pas de 5°C, avons

à maintes reprises plongé notre sablier dans l'eau (en ayant auparavant noté la température du verre du sablier) puis nous avons regardé pendant combien de temps l'écoulement du sable s'était arrêté. Nous avons stoppé notre expérience aux alentours de 75°C par crainte de briser le sablier. Voici Nos résultats sous forme de tableau puis de graphe. Il y a donc un lien évident entre le différentiel de température et l’arrêt de l’écoulement : Il y a un différentiel de température minimal à partir duquel l’écoulement s’arrête, et plus ce différentiel est important, plus l’écoulement s’arrête longtemps.

Température (en ° C) 34 45 50 55 60 65 70 75

Temps d’arrêt (en s) 5 7 12 13 14 16 16.5 17



C) Diminuer le volume d’air pour

faire tendre la pression vers l’infini…



Nous voulons maintenant prouver que plus le volume d’air est restreint, plus la pression

augmente. Pour cela, nous avons percé un sablier, l’avons rempli du sable avec lequel nous

voulons travailler (cf partie IV)

IV) Comment augmenter le débit :

A) Théorie et retour sur la loi de Beverloo :

D’autre part, si on diminue le débit, soit la force descendante, on peut espérer que l’arrêt sera plus long (car la force du débit, en kg/s, mettra plus de temps à compenser le brusque écart de pression. Reprenons de même la formule du débit :



C et g sont des constantes. Si on veut q le plus petit possible, on peut donc prendre en toute logique un sable de masse volumique plus faible (soit un sable plus léger !), ou réduite la différence entre la taille de l’orifice et celle des grains (en prenant garde toutefois à ce que l’écoulement soit possible, soit à choisir une différence raisonnable et pas quasi nulle).

B) Diminuer la masse volumique D’après la formule, diminuer la masse volumique de x% diminuerait pareillement de x% le débit. Pour le prouver, nous avons commandé différents sables et procédé à leur étude granulométrique. Voici un tableau récapitulatif.

Sable/ caractère étudié

Poids pour 100 ml (en g)

Masse volumique (en kg/m^3)

Temps d’écoulement pour 100 g (en mn)

Débit massique (g/mn)

Sable d origine 145 1450 25 3.8

Fontainebleau 154.9 1549 20 5

Synthétique bleu 114.3 1143 Ne passe pas ds notre sablier

Ne passe pas

Hawaï 128 1280 30 3.3

Ainsi on voit que lorsque la masse volumique est diminuée de 14%le débit massique diminue de 13. C’est cohérent d’avec nos hypothèses.

C) Varier la différence (d-dm) Nous avons ensuite mis en évidence que la taille des grains possède une importance cruciale dans le phénomène. En effet, nous avons modélisé tout d'abord les grains de sable par des billes de plomb que nous avons versés dans un entonnoir (diamètre de la bille de plombs<diamètre du goulet de l’entonnoir). Nous avons pu directement constater que les billes de plombs n'avaient pas un écoulement constant dans l'entonnoir. En effet, nous devions secouer l'entonnoir pour que les billes réussissent à passer dans le goulot. Ensuite, toujours dans le même entonnoir, nous avons ajouté du



sable fin d’Hawaï (sable qui est le plus fin que nous avons trouvé entre 0mm et 0,3mm). Nous avons pu constater que cette fois ci, l’écoulement du sable était continu. Ainsi, nous pouvons dire que la taille des grains de sable a une importance dans ce phénomène.

Pour nos expériences, nous avons choisi de prendre comme support notre sablier acheté vidé de son sable d’origine. Lorsque l’on place notre sable fin dans cet entonnoir au grand goulot, l’écoulement ne s’arrête pas, alors que si nous mettons de plus grosses billes de verre, l’écoulement peut s’arrêter car des arches se forment. Ainsi il faut choisir un bon rapport taille des grains/orifice pour que l’écoulement du sable s’arrête. Nous avons constaté que dans notre sablier acheté, nous ne pouvions pas faire passer des grains de diamètre supérieur à 0.3 mm. Nous ne pouvons donc pas utiliser le sable synthétique bleu mais avons plutôt choisi le sable d’Hawaï dont la masse volumique est faible, et dont la taille des grains est la plus proche de l’orifice possible parmi les sables dont nous disposions. Voici un tableau présentant nos études granulométriques :

Sable/ caractère étudié

Taille moyenne pour 50 grains observés (en mm)

Différence d-dm Diminution attendue du débit(en %)

Sable d origine 0.205 1 0

Fontainebleau 0.207 0.99 0.01

Synthétique bleu 0.266 0.93 0.07

Hawaï 0.217 0.98 0.02

Finalement, on voit que dans ce sablier, 250 ml du sable d’origine coule en 64 mn (débit massique de 3.9 g/mn), alors que 250 ml du sable d’Hawaï coule en 81 mn ! (soit 3.1 g/mn). En faisant varier ces deux paramètres, le débit diminue bien. Preuve en image : deux sabliers contenant chacun la même quantité de sable (250 ml) sont trempés dans un bain mari chauffé à 50°. Pour le sablier non modifié, l’arrêt est de 13 secondes, pour l’autre, de 19 ! On parvient donc en diminuant le débit à allonger la durée de l’arrêt de l’écoulement.



V) Cahier des charges d’un

prototype fonctionnel Parce qu’une image vaut bien des discours, voici un schéma du sablier que nous

souhaitons construire.

Ainsi, le plan du sablier stop-minute s’est dessiné peu à peu de par nos expérimentations.

Il ne reste plus, avec les moyens de production nécessaires, de mettre en pratique tout ce que nous avons découvert pour permettre à notre projet de se concrétiser enfin.

Puisse la science et Héraclite enfin nous permettre d’arrêter ce fleuve, et nous de collecter et de préserver ce capital si précieux qu’est le temps.

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Lycée Saint Jacques Un sablier malicieux