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Exercice n°1 ( QCM ) Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question est correcte. Ecrire le numéro de chaque question et donner, en justifiant, la réponse qui lui correspond.

Réponses Nº Questions a b c d

1

i3z −−= . Un argument de z est : 6

π− 6π

Exercice n°2

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ),;( vuO .

Soit le nombre complexe non nul défini par sa forme exponentielle dont le conjugué est notéz αierz = z .

67π

6

5π

2 =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ 12

4πi

e 1 –1 4 3

3 Si

ii62z e eππ −

= + alors

62)zarg( π

−π

= 62)zarg( π π

= +6

)zarg( π= arg( )

12z π

=

4

Si z est un nombre complexe tel que z = 2 , alors

z + i z = 2 2

2 2

22

5

Si z et z' sont deux nombres complexes tels que z =2

et z' = z – 1 z

, alors z' =

1

12

32

52

6

Si les affixes des points A, B et C vérifient la relation

2zzzz

CA

BA =−− ; alors

C est le milieu de

[AB]

B est le milieu de

[AC]

A, B et C forment un

triangle rectangle

A, B et C sont sur un même

cercle

Mareth Thème : Complexes 4ièmeMathLycée secondaire Série D’exercices Prof : Selmi.Ali

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On considère les points A, B et C d’affixes respectives Az = z , Bz 1z

= et 2zzz

=C .

1- Déterminer la forme exponentielle de chacun des nombres et en fonction de Bz Cz r et α .

2- Déterminer, en fonction de α, une mesure de l’angle );( OCOB . En déduire les valeurs de α pour que O, B et C soient alignés et que O appartienne à [BC].

3- On suppose dans cette partie que α = 4π .

a) Vérifier que 1× = −B Cz z .

b) Soit le point d’affixe telle que = – D Dz Dz 1z

.

Calculer chacun des nombres – et Bz Dz Az – en fonction de Cz r et montrer que les droites et sont parallèles. )(BD )(AC

c) Démontrer que ABDC est un trapèze isocèle.

Exercice n°3

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct ( on donne les points A et B )v,u; O→→

d'affixes respectives 1 et – 1.Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1.

La forme exponentielle de l'affixe d’un point M de (C), distinct de O, est donnée par . z θirez =

Soit le point d’affixe M′ z′ telle que )θπ(ier

z +=′ 1.

1) Montrer que ×z′ 1−=z . 2) Montrer que les points O, M et M´ sont alignés. 3) a- Justifier l'égalité | z − 1| = 1. b- Démontrer que | + 1 | = | | et en déduire que z′ z′ M′ décrit une droite (d) que l'on déterminera. 4) Déterminer les points M de (C) pour lesquels zz −=′ .

Exercice n°4 On donne le nombre complexe 2 2 2 2z i= − + + − a. Exprimer z² sous forme algébrique b. Exprimer z² sous forme exponentielle. c. En déduire z sous forme exponentielle. Exercice n°5 On considère le polynôme P défini par : ( ) 4 3 26 24 18 6P z z z z z 3= − + − + . 1. Calculer ( )3P i et ( 3P i− ) puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels,

que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈ , on ait ( ) ( ) ( )2 3P z z Q z= + . 2. Résoudre dans l’équation P(z) = 0.

M

A B

(C)

O

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3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u vr r , les points A, B, C, D d’affixes

respectives 3Az i= , 3Bz i= − , 3 2 3Cz i= + et D Cz z= , puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que 3iC B

E B

z ze

z z

π−−

=−

puis déterminer la nature du

triangle BEC. Exercice n°6 1. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :

( ) ( )3 2( ) 1 2 74 2 74 2P z z i z i z i= + − + − − . a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0. b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait

( ) ( )2( ) 2P z z i z az b= − + + . c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation P(z) = 0. 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

r r . On prendra 1 cm pour unité graphique. a. Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA =−7 + 5i ; zB =−7− 5i et 2Iz i= .

πb. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle . −4

c. Placer le point C d’affixe zC = 1 + i. Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme. d. Placer le point D d’affixe zD = 1 + 11i.

Calculer A C

D B

z zZ

z z−

=−

sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et

(BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD. Exercice n°7 pour tout z ∈ , on considère P (z) = z3 + 2 ( 2 – 1 ) z² + 4 ( 1 – 2 ) z – 8 . 1°) Montrer que l’équation P(z) = 0 admet une solution réelle α que l’on remarquera . 2°) Résoudre dans l’équation P (z) = 0 ; on appelle z1 et z2 les solutions de l’équation P (z) = 0 autre que α et z1 ayant une partie imaginaire positive. 3°) Déterminer une module et un argument de z1 et z2 . 4°) a) Placer dans un plan muni d’un R-O-N (o, i , j ) les points A,B et C d’affixes respectives α, z1 et z2 et I : milieu de [ ]A,B .

b) Montrer que le triangle OAB est isocèle , en déduire une mesure de ( i , OI ) . a) Calculer l’affixes zI de I , puis le module de zI .

b) En déduire les valeurs en actes de cos 3π8

et sin 3π8

Exercice n°8 Soit m : un réel non nul . 1°) Résoudre dans l’équation z² - 2iz – ( 1 + m²) = 0 . 2°) Pour tout z ∈ , on pose P (z) = z3 – 3iz2 – (3 + m²) z + i ( 1 + m² ) .

a) Vérifier que f (i) = 0 ; En déduire une factorisation de f (z) . b) Résoudre dans l’équation f (z) = 0.

3°) Le plan est rapporté à un R-O-N directe (o,u,v ) . On considère les points A,M’ et M’’ d’affixes respectives i, i + m et i – m .

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a) Vérifier que A est le milieu du segment [ ] M’ M’’ . b) Montrer que le triangle OM’M’’ est isocèle . c) Déterminer les valeurs de m pour que le triangle OM’M’’ soit équilatérale .

Exercice n°9 Soit α ∈ −π

2, π

2 . On considère l’équation (E) : (1 + i z )3 ( 1- i tg²) = ( 1 + i z )3 (1 + i tg α).

1°) Soit z : une solution de (E). a) Montrer que 1 + iz = 1 − iz . b) En déduire que z est un réel.

2°) a) Exprimé 1 + i tg α 1 − i tg α

en fonction eiα.

b) Soit z un réel, on pose z = tg α ou -π/2 < ϕ < π/2 ; Ecrire l’équation portant sur ϕ traduisant (E). c) Déterminer alors les solution de (E).

Exercice n°10 α :étant un réel de [ ]0, π et z : un nombre complexe. On pose P (z) = z3 – ( 1 – 2 sin α) z² + (1 – 2sin α) z – 1. 1°) a) Calculer P(1) .

b) Résoudre dans l’équation ; P (z) = 0 et écrire les solutions sous forme exponentielle.

2°) Résoudre dans l’équation : u3 = ei (α+ π

2)

.

3°) Vérifier que ∀ θ ∈ on a : 1 + eiθ = 2 cos θ2

eiθ

2.

4°) Résoudre dans , l’équation : (z – 1)6 + 2 sin α (z – 1)3 + 1 = 0. Exercice n°11

1) Soit z ∈ ; calculer S (z) = 1 + z² + z4 + …. + z2n -2 2) Résoudre dans l’équation : z2n – 1 = 0 ou n ∈ ∗

En déduire les solution de l’équation S (z) = 0. 3) Montrer que les solutions de l’équation S (z) = 0 sont conjuguées

deux à deux . En déduire que :

S (z) = ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞z² - 2 z cos πn + 1

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞z² − 2 z cos 2π

n + 1 …. ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞z² − 2 z cos (n−1) πn + 1

4) En déduire S (1) et montrer que :

sin ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞π

2n . sin ( )2π/2n . sin

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞3. π

2n … sin

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞(n −1) π

2n = n

2n −1.

5) En considérant S (i) calculer le produit :

cos ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞π

n . cos ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2 . πn . Cos

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞3π

n …. cos ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞(n −1) πn .

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Exercice n°12

A tout complexe z ∈ \ { }1 on associe ϕ (z) = 1 + z 1 − z

.

1) Montrer que ϕ réalise une bijection de \ { }1 sur \ { }−1 et déterminer ϕ-1 (z). 2) On considère dans \ { }1 l’équation (E) : z5 = 1.

a) Montrer que si z est une solution de (E) alors ϕ (z) est imaginaire pur. b) Résoudre l’équation (E). On présentera les solutions sous forme exponentielle.

3) Οn considère dans l’équation ( E’) : (1 + z)5 = (1 – z)5 .

a) Montrer que z est une solution de (E’) si et seulement si ϕ (z) est une solution de (E) . b) Soit θ ∈ −π,π .Déterminer la forme trigonométrique de ϕ-1 (eiθ) . c) En utilisant les questions précédentes déterminer les solutions de ( E’).

Exercice n°13 Soit f l’application de E = \ { }−i dans F = \ { }i définie par f (z) = i z

z + 1.

1) a) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que f (z) − i = 2.

b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que π 4

soit un argument

de f (z) – i. 2) a) Montrer que f est une bijection et vérifier que f-1 (z) = - f (-z).

b) Soit un nombre complexe de module 1 et d’argument θ tel que

θ ≠ π2

+ k π, k ∈ . Montrer que f (U) = 12 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤tg

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞π

4 − θ

2 + i .

c) Soit l’équation (E) : ( )iz3 = 2

2 (1 + i) (z + i )

3 .

Résoudre l’équation (E) en utilisant les questions précédentes.

Exercice n°14 Soit n ∈ ∗ , θ ∈ 0,π et Pn (z) = z2n – 2 z n cos θ + 1.

1) Montrer que si z0 est solution de l’équation Pn (z) = 0 alors z 0 est aussi

solution de la même équation.

2) a) Résoudre dans l’équation P 1 (z) = 0.

b) Déduire la forme trigonométrique des solutions de Pn (z) = 0. 3) a) Montrer qu’il existe (a, b, c) ∈ 3 tel que l’on a : ∀ x ∈ , x6 – 2 x3 cos θ + 1 = ( x² + a x + 1) ( x² + b x + 1) (x² + c x + 1). b) Calculer P3 (1).

c) En déduire que : sin² θ2

sin² ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞θ

6 + π

3 sin²

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞θ

6 + 2π

3 = 1

16 sin² θ

2 .

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Exercice n°15 Soit (o,u,v) un repère orthonormé direct du plan complexe P. Soit A le point d’affixe 1. On considère l’application f de P dans P qui à tout point M d’affixe z on associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’ = 2z –z².

1) On désigne par M1 et M2 les points d’affixes z² et 2z. a) Trouver l’ensemble des points M tel que O ,M1 et M2 soient alignés. b) On suppose que M n’appartient pas à l’axe des abscisses.

Montrer que OM1 M2 M’ est un parallélogramme. c) On suppose que z = eiθ avec θ ∈ −π,π , construire les points M , M1 , M2 et M’.

2) Dans cette question M est un point du cercle de centre O et de rayon 1. a) Montrer que AM = MM’.

b) Montrer que le rapport z’ – 1 z est réel.

c) En déduire que les points A et M’ sont symétrique par rapport à la tangente en M au cercle .

3) Soit r ∈ +∗ . On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon r et Γ’ le cercle

de centre A et de rayon r². a) Montrer que f (Γ) est inclus dans Γ’.

b) Soit Z = 1 + r² e2it avec t ∈ −π2

, π2

. Résoudre dans l’équation

2z – z² = Z (E ) . c) En déduire que f (Γ) = Γ’. d) Trouver la forme trigonométrique des solutions de (E) dans le cas ou r = 1.

Exercice n°16 Soit θ ∈ 0,π et (E) l’équation dans définie par : (1 – i) z² - 2 (cos θ + sin θ) z +1 + i = 0. On note z1 et z2 les solutions de (E) avec Im (z1) et positive pour tous les réels θ.

1) Sans calculer z1 et z2 montrer que z2 = i z1

. Trouver alors une relation entre

les modules et les arguments de z1 et z2. 2) a) Vérifier que 1 – sin 2θ = (cos θ - sin θ)² puis calculer z1 et z2.

b) Ecrire alors sous forme exponentielle z1 et z2. c) Préciser la valeur de θ pour laquelle z1 = z2. Calculer dans ce cas (z1)2004. 3) Soit M1 et M2 les points d’affixes respectives z1 et z2 les solutions de (E ) dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct (O,OA,OB).

a) Trouver l’ensemble 1 décrit par M1 l’ensemble 2 décrit par M2 lorsque θ varie dans 0,π et vérifier que 1 et 2 sont symétrique par rapport à Δ : y = x. b) Déterminer la valeur de θ pour laquelle M2 est l’image de M1 par la

rotation de centre O et d’angle 2 π 3

puis construire M1 et M2.