LycéeVincentAuriol 31250Revel BTS2AEA 2015-2016 ...gbmaths.free.fr/rubrique_15-16/bts2_aea_15-16/bts2... · Calculer le pourcentage de trous de cet échantillon dont le diamètre

Lycée Vincent Auriol

31250 Revel

BTS2 AEA 2015-2016

Travaux pratiques

TP 01 : Statistiques à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

TP 02 : Statistiques à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

TP 03 : Statistiques à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3



TP 06 : Tangentes à une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

TP 07 : Exercice 1 du BTS AEA 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

TP 08 : Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

TP 09 : Calcul de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

TP 10 : Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

TP 11 : Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

TP 12 : Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

TP 13 : La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

TP 14 : La loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

TP 15 : La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

TP 16 : La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

TP 17 : La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 01 : Statistiques à une variable

Exercice 1 (Extrait du BTS AEA 2015)

Dans le cadre de l’aménagement d’espaces habitables, un architecte d’intérieur

est amené à utiliser des planches de bois en guise d’étagères pour lesquelles le

critère de la longueur est essentiel. L’architecte décide de faire appel à une entre-

prise pour la fabrication de ces planches.

1. L’entreprise lui donne le choix entre deux lots de 250 planches chacun : le lot

A et le lot B. On obtient les séries statistiques suivantes définies par effectif :

Lot A

Longueur de

la planche

(en cm)

79,7 79,8 79,9 80 80,1 80,2 80,3 80,4 80,5 80,6 80,7

Nombre de

planches2 5 10 20 60 63 42 28 13 5 2

Lot B

Longueur de

la planche

(en cm)

79,7 79,8 79,9 80 80,1 80,2 80,3 80,4 80,5 80,6 80,7

Nombre de

planches6 13 13 13 44 60 41 36 14 7 3

a. À l’aide de la calculatrice, déterminer la moyenne et l’écart type de chacune

des deux séries statistiques. On arrondira les valeurs au millième.

b. L’architecte souhaite, pour une même longueur moyenne, privilégier le lot

de planches le plus homogène. Quel lot doit-il choisir à partir des résultats

obtenus précédemment ? Pourquoi ?

Une planche est jugée conforme par l’entreprise si sa longueur en cm est

dans l’intervalle I = [79,9;80,5].

2. Calculer le pourcentage de planches conformes dans le lot A.


Un sachet de café est conditionné à l’entreprise MDD par une ensacheuse.

On teste l’efficacité de l’ensacheuse sur un échantillon de 300 sachets en mesu-

rant leur masse. On obtient les résultats suivants :

Masse en g [242;246[ [246;250[ [250;254[ [254;258[ [258;262[

effectifs 2 8 268 21 1

La machine a besoin d’un réglage si l’une des conditions n’est pas vérifiée :

• la masse moyenne des sachets de l’échantillon est comprise entre 252 g et 254 g.

• l’écart type de la série de l’échantillon est inférieur à 1,5 g.

• la proportion de sachets ayant une masse inférieure à 250 g est inférieure à 4 %.

Cette machine doit-elle être réglée ? Justifier la réponse.


La fabrication d’une boule d’un thermomètre de Galilée requiert une certaine

précision, dans la mesure où les masses des différentes boules diffèrent de peu.

Une machine produit des boules dont la masse volumique idéale doit être

900,92kg/m3.

On prélève, au hasard, un échantillon de 250 boules, dont on calcule les masses

volumiques. On obtient la série suivante :

Masse volumique en kg/m3 [900,9;900,91[ [900,91;900,915[ [900,915;900,92[

Effectif 2 8 125

Masse volumique en kg/m3 [900,92;900,925[ [900,925;900,93[ [900,93;900,94[

Effectif 105 9 1

1. À l’aide de la calculatrice déterminer la masse volumique moyenne, arrondie

au centième, et l’écart-type, arrondi au millième, de cette série.

2. Une boule est retenue si sa masse volumique appartient à l’intervalle :

[900,915;900,925[.

Quel est le pourcentage de boules retenues dans cet échantillon ?

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BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 02 : Statistiques à une variable


Une usine fabrique des plaques d’isolation phonique. Une machine de cette

usine est chargée de percer des trous dans ces plaques de 80 mm de diamètre.

La figure ci-dessous représente l’histogramme d’un échantillon de 100 diamètres

de trous choisis dans plusieurs plaques.

Exemples :

− il y a un seul trou dont le diamètre appartient à la classe [79,54;79,62]

− il n’y en a aucun dans la classe [79,62;79,70].

diamètre

effectif

1

4

12

16

22

25

13

43

= 1

79,54 79,62 79,70 79,78 79,86 79,94 80,02 80,10 80,18 80,26 80,34 80,42 80,50

1. Calculer à l’aide de la calculatrice la moyenne et l’écart type de cet échantillon.

Arrondir les résultats au centième.

2. Calculer le pourcentage de trous de cet échantillon dont le diamètre est com-

pris entre 79,86 mm et 80,18 mm.


Un artisan fabrique des boules en bois de diamètre 50 mm, destinées à un fabri-

cant de jouets. Après tournage, les boules sont matées et polies dans des rouleaux.

C’est ensuite que sont contrôlés les diamètres de celles-ci. Le cahier des charges

du fabricant de jouets impose que le diamètre d’une boule soit compris entre 49,5

et 50,5 mm. Une telle boule sera déclarée « conforme ».

1. on prélève au hasard dans la production hebdomadaire de l’artisan un échan-

tillon de 100 boules que l’on passe au crible pour les calibrer. Les rèsultats

sont résumés dans l’histogramme donné ci-dessous. Calculer à 10−2 près la

moyenne m et l’écart type σ de cette série. (on ne demande pas de justifier les

calculs, mais on expliquera quelle valeur on choisit pour chacune des classes).

48,8 49,0 49,2 49,4 49,6 49,8 50,0 50,2 50,4 50,6 50,8

12

5 5

26

36

19

6

x








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 03 : Statistiques à deux variables

Exercice 3 (BTS AEA 2011 Exercice 2 Partie C)

Les trois parties sont indépendantes. Les résultats seront donnés à 0,001 près.

Une entreprise dispose d’une machine pour produire des tiges métalliques.

Une tige métallique est déclarée conforme si sa longueur est comprise entre 19,5

et 20,5 cm.

Soit L la variable aléatoire qui, à chaque tige métallique produite, associe sa

longueur.

Partie C

Pour vérifier le dérèglement éventuel de la machine, une tige témoin est prélevée

toutes les demi-heures. On obtient ainsi les résultats suivants : (t = 0 correspon-

dant à 9 h.)

ti : temps en heure 0 0,5 1 1,5 2 2,5

Li : Longueur de la tige témoin en cm 20,01 20,04 20,07 20,15 20,18 20,22

ti : temps en heure 3 3,5 4

Li : Longueur de la tige témoin en cm 20,25 20,31 20,35

1. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (ti ;Li ) dans

un repère orthogonal du plan. On utilisera l’annexe fournie avec une unité

pour une demi-heure en abscisse et une unité pour 0,05 cm en ordonnée et

l’origine est (0;20).

2. Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.

3. À l’aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme : L = at +b, de

la droite d’ajustement affine de L en t par la méthode des moindres carrés (on

arrondira a au millième et b au millième).

Tracer cette droite.

4. La machine doit être systématiquement réglée dès que la tige témoin devient

non conforme.

En utilisant l’ajustement affine précédent, déterminer l’heure à laquelle il fau-

dra régler la machine.

Exercice 4 (BTS AEA 2005 Exercice 2 Partie B)

Une chaîne de magasins commercialise ces lampes de salon ; elle souhaite étudier

l’évolution du nombre de lampes vendues en fonction du nombre de magasins

dans lesquels la lampe est proposée.

Le tableau suivant présente cette évolution.

Nombre de magasins xi 15 40 70 90 100 150

Nombre de lampes vendues yi 60 254 362 504 615 810

On décide d’ajuster cette série statistique à deux variables par la méthode des

moindres carrés.

1. Déterminer à l’aide de la calculatrice le coefficient de corrélation de cette série.

Est-on dans des conditions satisfaisantes pour réaliser un ajustement affine ?

2. Déterminer à la calculatrice une équation de la droite de régression de y en x

sous la forme y = mx +p avec m et p arrondis à 10−2 près.

3. En déduire une estimation du nombre de lampes vendues, si la chaîne pré-

sente celles-ci dans 400 magasins.

Exercice 5 (BTS AEA 2003 Exercice 2 Partie B)

Une entreprise d’agencement fabrique des tables. Une des machines débite les

pieds des tables.

Partie B : Réglage de la machine

La longueur moyenne des pieds peut varier d’un jour à l’autre. La fabrication est

jugée acceptable tant que la longueur moyenne des pieds est supérieure ou égale

à 70,8 cm. Le tableau suivant contient les longueurs moyennes en cm des pieds

au cours des 7 premiers jours de fabrication.

Jour xi 0 1 2 3 4 5 6

Longueur moyenne yi 71 70,99 70,98 70,97 70,95 70,92 70,90

1. Représenter le nuage des points Mi (xi ; yi ) dans un repère orthogonal, avec

pour unités :

En abscisse : 2 cm pour 1 jour.

En ordonnée : 1 cm pour 0,1 cm (commencer la graduation à 70,0 cm).

2. Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? Justifier.

3. À l’aide de la calculatrice, donner :

a. le coefficient de corrélation entre x et y à 10−2 près ;

b. une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des

moindres carrés (arrondir les coefficients à 4 décimales).

4. À l’aide de cette équation de droite, déterminer au bout de combien de jours

il faudra à nouveau régler la machine.








An

ne

xe

:Ex

erc

ice

2d

uB

TS

AE

A2

01

1

20

20,0

5

20,1

0

20,1

5

20,2

0

20,2

5

20,3

0

20,3

5

20,4

0

20,4

5

20,5

0

20,5

5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

7,5

01

23

45

67

8t

ens

Len

cm

An

ne

xe

:Ex

erc

ice

2d

uB

TS

AE

A2

01

1

20

20,0

5

20,1

0

20,1

5

20,2

0

20,2

5

20,3

0

20,3

5

20,4

0

20,4

5

20,5

0

20,5

5

00,

51

1,5

22,

53

3,5

44,

55

5,5

66,

57

7,5

8t

ens

Len

cm


Extrait du BTS CGO 2014

Une entreprise fabrique un certain type d’articles. Sa capacité maximale de pro-

duction est 80 articles.

Partie A : Ajustement affine

Le tableau ci-dessous donne le coût total de production, en centaines d’euros, en

fonction du nombres d’articles fabriqués par cette entreprise.

Nombre d’articles fabriqués : x 10 20 30 50 70 80

Coût total de production : y 2 3 5 8,5 18 38

1. On donne en annexe 1 le nuage de points associé à cette série statistique.

On renonce à un ajustement affine pour ce nuage de points. Justifiez ce choix.

2. On effectue maintenant le changement de variable z = ln(y).

a. Compléter le tableau donné en annexe 1 à rendre avec la copie. On arron-

dira les valeurs approchées à 10−2.

b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite de régres-

sion de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés sous la forme

z = ax +b où les constantes a et b sont à arrondir à 10−2.

c. En déduire que l’expression de y en fonction de x est y = 1,36e0,04x .

d. À l’aide de la question précédente, donner une estimation, à un euro près,

du coût total de production de 60 articles.

Annexe 1 à rendre avec la copie

Exercice no 1, partie A, question 1.

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80O

Exercice no 1, partie A, question 2.

Nombre d’articles fabriqués : x 10 20 30 50 70 80

z = ln(y)









Extrait du BTS Groupement C 2007

Le but du problème est l’étude de la demande et de l’offre pour un nouveau pro-

duit de grande consommation. Une étude statistique a donné les résultats sui-

vants où :

x désigne le prix unitaire en euros du produit ;

y désigne la demande (la quantité de produit demandée par les consommateurs),

en milliers d’unités ;

z désigne l’offre (la quantité de produit offerte sur le marché par les producteurs),

en milliers d’unités.

Partie B : étude de l’offre

1. a. Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant. Les résultats seront

arrondis à 10−2.

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

z 0,9 1,4 1,7 1,9 2,1 2,3 2,4 2,6

Z = ez 2,46

b. Donner une équation de la droite de régression de Z en x par la méthode

des moindres carrés sous la forme Z = ax +b où a et b seront arrondis au

dixième.

c. En déduire une expression de z en fonction de x.

2. On appelle h la fonction offre, en milliers d’unités pour un prix de x euros,

définie sur l’intervalle [0,5;4] par z = h(x). On admet que, pour tout x de l’in-

tervalle [0,5;4], h(x) = ln(3x +0,9).

a. Soit h′ la fonction dérivée de la fonction h. Déterminer h′(x) et en déduire

les variations de la fonction h sur l’intervalle [0,5;4].

b. Construire la courbe Ch représentative de la fonction h. On pourra utiliser

le tableau de valeurs ci-dessus.


Extrait du BTS Groupement C 2007

Le but du problème est l’étude de la demande et de l’offre pour un nouveau pro-

duit de grande consommation. Une étude statistique a donné les résultats sui-

vants où :

x désigne le prix unitaire en euros du produit ;

y désigne la demande (la quantité de produit demandée par les consommateurs),

en milliers d’unités ;

z désigne l’offre (la quantité de produit offerte sur le marché par les producteurs),

en milliers d’unités.

Partie B : étude de l’offre

1. a. Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau suivant. Les résultats seront

arrondis à 10−2.

x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

z 0,9 1,4 1,7 1,9 2,1 2,3 2,4 2,6

Z = ez 2,46

b. Donner une équation de la droite de régression de Z en x par la méthode

des moindres carrés sous la forme Z = ax +b où a et b seront arrondis au

dixième.

c. En déduire une expression de z en fonction de x.

2. On appelle h la fonction offre, en milliers d’unités pour un prix de x euros,

définie sur l’intervalle [0,5;4] par z = h(x). On admet que, pour tout x de l’in-

tervalle [0,5;4], h(x) = ln(3x +0,9).

a. Soit h′ la fonction dérivée de la fonction h. Déterminer h′(x) et en déduire

les variations de la fonction h sur l’intervalle [0,5;4].

b. Construire la courbe Ch représentative de la fonction h. On pourra utiliser

le tableau de valeurs ci-dessus.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 06 : Exercices sur les tangentes à une courbe

Exercice 1

La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie

et dérivable sur l’intervalle [−6;7].

Les droites tracées sont tangentes à la courbe C f .

1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6 O

b

b

b

b

b

b

C f

(T1) (T2)

1. Déterminer graphiquement : f (−4) , f (−2) , f (0) , f (1,5) et f (4)

2. Déterminer graphiquement : f ′(−4) , f ′(−2) , f ′(0) , f ′(1,5) et f ′(4)

Exercice 2

La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie

et dérivable sur l’intervalle [−5;6].

Les droites tracées sont tangentes à la courbe C f .

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6 O

b

b

b

C f

(T1) (T2)

1. Déterminer graphiquement : f (−4) , f (−1) , f (1) et f (4).

2. Déterminer graphiquement : f ′(−4) , f ′(−1) , f ′(1) et f ′(4).








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 07 : Exercice 1 du BTS AEA 2015

Questionnaire à Choix Multiples (6 points)

Pour chacune des questions, trois propositions de réponse sont données, dont une

seule est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, plu-

sieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.

Pour chacune des questions, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie

sur la copie. Aucune justification n’est attendue.

Soit f la fonction définie sur R par

f (x) =(

−x2+4

)

e12 x

.

Courbe représentative C de la fonction f dans un repère orthogonal, avec les

unités suivantes : 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0,5 1 1,5 2 2,5 3

C

O

Question Proposition a Proposition b Proposition c

1. L’ensemble des so-

lutions de l’équa-

tion f (x) = 0 est :

S = {4} S = {−10 ; −2 ; 2} S = {−2 ; 2}

2. La fonction déri-

vée de f est définie

sur R par f ′(x) =

(

−2x2+8x −8

)

e12 x

(

−

1

2x2

−2x +2

)

e12 x (

−x2−2x +4

)

e12 x

3. Le coefficient di-

recteur de la tan-

gente à la courbe

C au point d’abs-

cisse 0 vaut :

2 −21

2

4. La fonction f est

solution de l’équa-

tion différentielle

suivante, où y

est une fonction

inconnue, définie

et dérivable sur R,

de dérivée y ′ :

−2y ′+ y = 0 2y ′

− y =−4x e12 x

y ′+2y = e

12 x

5. L’aire, en cm2, du

domaine délimité

par l’axe des abs-

cisses, la courbe C ,

les droites d’équa-

tion x = 0 et x = 2,

vaut :

8 16 25

6. L’intégrale∫2

0f (x) dx vaut :

8 16 25








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 08 : Fonctions


On souhaite étudier le refroidissement du café servi par une machine initiale-

ment à une température de 70°C. On suppose que la température ambiante de la

pièce dans laquelle se trouve le café est constante et égale à 20°C. La température

(en °C) du café à l’instant t (en min) vaut f (t ), où f est une fonction définie sur

[0;+∞[.

On admet que la fonction f est définie pour tout t ∈ [0;+∞[ par :

f (t ) = 20+50e−0,2t .

Partie B

1. Justifier la décroissance de la fonction f sur [0;+∞[ et l’interpréter dans le

contexte proposé.

2. Déterminer le comportement de f (t ) quand t tend vers +∞.

3. Résoudre l’équation f (t ) = 42 (arrondir à la seconde près).

4. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [0;10].

5. Calculer f ′(0).

Partie C

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

Les réponses doivent être justifiées.

On pourra s’aider des résultats obtenus précédemment.

1. La température du café finit par atteindre 19°C.

2. La vitesse de refroidissement du café à t = 0 est de 10 degrés par minutes.

3. Monsieur Lemcho n’apprécie son café que si sa température est supérieure à

42°C. Il dispose alors de moins de 3 minutes pour déguster son café.

4. La température moyenne du café durant les 10 premières minutes est d’envi-

ron 40°C, à un degré près.


Dans une pièce, la température est de 22°C à 23 h quand on éteint le chauffage.

Nous allons Étudier l’évolution de la température dans cette pièce au cours de la

nuit.

Nous supposerons que la température extérieure est constante, toujours égale à

Text = 10 °C.

Soit t le temps écoulé depuis 23 h, exprimé en heures. La température dans le bu-

reau est une fonction f de la variable t , définie sur l’intervalle [0;8].

On admettra dans la suite que f est la fonction définie sur [0;8] par :

f (t ) = 10+12e−0,15t .

1. a. Étudier les variations de la fonction f sur [0;8].

b. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

On prendra comme unités graphiques 2 cm pour 1 h en abscisse et 1 cm

pour 1°C en ordonnée.

c. Au bout de combien de temps la température devient-elle inférieure à

16°C ? En déterminer la valeur exacte à l’aide d’une inéquation. Quelle

heure sera-t-il (arrondir à l’heure près) ?

2. À chaque instant t , le flux de chaleur vers l’extérieur est donné, en

MJh−1 (mégajoule par heure), par la fonction j définie sur [0;8] par :

j (t ) =λ[ f (t )−Text]= 2,88e−0,15t .

L’énergie dissipée à l’extérieur entre 23 h et 7 h, exprimée en MJ, s’obtient en

calculant : Ed =

∫8

0j (t ) dt .

a. Calculer la valeur exacte Ed .

b. En donner une valeur approchée à 0,1 MJ près par défaut.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 09 : Calcul de volumes

Exercice 1 du BTS AEA 2005

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ;−→ı ,−→ ) (unité graphique 1 cm).

On considère la courbe (C ) (représentée ci-dessous) d’une fonction f définie sur

l’intervalle [−3;+∞[ par f (x) = (ax +b)e−0,25x . Les nombres réels a et b sont à

déterminer.

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13−1−2−3 O

Partie A : Détermination, puis étude de la fonction f

1. a. Déterminer une équation de la droite (T ) passant par les points A de coor-

données (0 ; 2) et B de coordonnées (−2;−1).

b. Calculer la dérivée f ′ de fa fonction f en fonction des réels a et b.

c. Déterminer les réels a et b sachant que la courbe (C ) passe par le point A

et admet en ce point la droite (T ) pour tangente.

2. Dans la suite du problème. on considère la fonction f définie sur l’intervalle

[−3;+∞[ par f (x) = (2x +2)e−0,25x .

Calculer la dérivée de la fonction f , Étudier son signe, puis dresser le tableau

de variations de la fonction f .

Partie B : Calcul du volume d’un solide de révolution puis fabrication.

1. On considère le domaine D du plan limité par la courbe C , l’axe des abscisses,

et les droites d’équations x = 0 et x = 13. On rappelle que le volume V du

solide de révolution engendré par la rotation du domaine D autour de l’axe

des abscisses est en unités de volume : V =π

∫13

0[ f (x)]2 dx.

a. Vérifier que la fonction g définie sur l’intervalle [−3;+∞[, par

g (x) = [ f (x)]2 est telle que : g (x) = 4(

x2+2x +1

)

e−0,5x .

b. Démontrer que la fonction G définie sur l’intervalle [−3;+∞[ par

G(x) =−4(

−2x2−12x −26

)

e−0,5x est une primitive de la fonction g .

c. Calculer la valeur exacte du volume V en unités de volume, puis donner

une valeur arrondie à 10−3 près.

2. Une entreprise réalise un pied de lampe de salon, de la forme du solide étudié

précédemment, par tournage sur une ébauche en bois plein composée d’élé-

ments collés.

Ce pied de lampe est à l’échelle 3 par rapport au solide étudié dans la partie

B. 1..

Quelle est la valeur maximale en dm arrondie à 10−2 près du diamètre de cet

objet ?

Quel est le volume en dm3 d’un pied de lampe ?








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 10 : Equations différentielles

Exercice 1

On considère l’équation différentielle (E) : 10y ′−5y = 12 dans laquelle y désigne

une fonction de la variable réelle t , définie et dérivable sur R et y ′ désigne la fonc-

tion dérivée de y .

1. Déterminer une fonction constante solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : 10y ′−5y = 0.

3. Résoudre l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f (0) = 3.

Exercice 2

On considère l’équation différentielle (E) : y ′+5y = t −3 dans laquelle y désigne



1. Soit g une fonction affine définie par g (t ) = at +b.

Déterminer les réels a et b afin que g soit solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+5y = 0.


4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f (0) =−4.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle (E) : y ′+ y = 1−e−t dans laquelle y désigne



1. Montrer que la fonction h définie par h(t ) = 1− te−t est une solution particu-

lière de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+ y = 0.

3. En déduire la solution générale de (E).

4. Déterminer la fonction f solution de (E) qui prend la valeur 3 en 0.

BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 10 : Equations différentielles

Exercice 1

On considère l’équation différentielle (E) : 10y ′−5y = 12 dans laquelle y désigne



1. Déterminer une fonction constante solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : 10y ′−5y = 0.


4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f (0) = 3.

Exercice 2

On considère l’équation différentielle (E) : y ′+5y = t −3 dans laquelle y désigne



1. Soit g une fonction affine définie par g (t ) = at +b.

Déterminer les réels a et b afin que g soit solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+5y = 0.


4. Déterminer la fonction f solution de (E) telle que f (0) =−4.

Exercice 3

On considère l’équation différentielle (E) : y ′+ y = 1−e−t dans laquelle y désigne



1. Montrer que la fonction h définie par h(t ) = 1− te−t est une solution particu-

lière de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E′) : y ′+ y = 0.

3. En déduire la solution générale de (E).

4. Déterminer la fonction f solution de (E) qui prend la valeur 3 en 0.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 11 : Probabilités

Exercice 1

Dans un atelier, deux machines M1 et M2 découpent des pièces métalliques iden-tiques.• M1 fournit 60% de la production parmi lesquelles 7% des pièces sont défec-

tueuses;• Le reste étant fourni par M2 dont 5% de la production est défectueuse.La production du jour est constituée des pièces produites par les deux machines.A la fin de la journée, on tire une pièce au hasard. Tous les prélèvements sontsupposés équiprobables.On définit les évènements :M1 : « La pièce tirée au hasard a été produite par la machine M1 »;M2 : « La pièce tirée au hasard a été produite par la machine M2 »;D : « La pièce tirée au hasard est défectueuse ».1. Donner les probabilités suivantes : P (M1), P (M2), PM1 (D) et PM2 (D).2. Représenter la situation par un arbre de probabilités.3. Utiliser cet arbre de probabilités pour calculer P (D ∩ M1) , P (D ∩ M2) ,

P (D ∩M1) et P (D ∩M2).4. Représenter la situation par un tableau de probabilités.5. Calculer les probabilités P (D) et P (D).6. Calculer les probabilités PD (M1) , PD (M1) , PD (M2) , PD (M2).

Exercice 2

On considère que les défauts d’éligibilité à l’ADSL sont dus à deux causes princi-pales :• le diamètre des fils de cuivre utilisés entre le central et le domicile de l’abonné

est trop faible (inférieur à 0,4 mm) ;• la distance entre le domicile de l’abonné et le central téléphonique est trop im-

portante.On considère un abonné pris au hasard dans un département donné. On note A

l’évènement « le diamètre des fils de cuivre entre le central et le domicile de cetabonné est trop faible », et B l’évènement « la distance entre le domicile de cetabonné et le central téléphonique est trop importante ».Une étude statistique permet d’admettre que les probabilités des évènements A

et B sont : p(A) = 0,02 et p(B) = 0,085.On suppose que les évènements A et B sont indépendants.Calculer la probabilité des deux évènements suivants :1. E1 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède les deux défauts d’éligibilité à

l’ADSL ».2. E2 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède au moins un des deux défauts

d’éligibilité à l’ADSL ».


Exercice 1

Dans un atelier, deux machines M1 et M2 découpent des pièces métalliques iden-tiques.• M1 fournit 60% de la production parmi lesquelles 7% des pièces sont défec-

tueuses;• Le reste étant fourni par M2 dont 5% de la production est défectueuse.La production du jour est constituée des pièces produites par les deux machines.A la fin de la journée, on tire une pièce au hasard. Tous les prélèvements sontsupposés équiprobables.On définit les évènements :M1 : « La pièce tirée au hasard a été produite par la machine M1 »;M2 : « La pièce tirée au hasard a été produite par la machine M2 »;D : « La pièce tirée au hasard est défectueuse ».1. Donner les probabilités suivantes : P (M1), P (M2), PM1 (D) et PM2 (D).2. Représenter la situation par un arbre de probabilités.3. Utiliser cet arbre de probabilités pour calculer P (D ∩ M1) , P (D ∩ M2) ,

P (D ∩M1) et P (D ∩M2).4. Représenter la situation par un tableau de probabilités.5. Calculer les probabilités P (D) et P (D).6. Calculer les probabilités PD (M1) , PD (M1) , PD (M2) , PD (M2).

Exercice 2

On considère que les défauts d’éligibilité à l’ADSL sont dus à deux causes princi-pales :• le diamètre des fils de cuivre utilisés entre le central et le domicile de l’abonné

est trop faible (inférieur à 0,4 mm) ;• la distance entre le domicile de l’abonné et le central téléphonique est trop im-

portante.On considère un abonné pris au hasard dans un département donné. On note A

l’évènement « le diamètre des fils de cuivre entre le central et le domicile de cetabonné est trop faible », et B l’évènement « la distance entre le domicile de cetabonné et le central téléphonique est trop importante ».Une étude statistique permet d’admettre que les probabilités des évènements A

et B sont : p(A) = 0,02 et p(B) = 0,085.On suppose que les évènements A et B sont indépendants.Calculer la probabilité des deux évènements suivants :1. E1 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède les deux défauts d’éligibilité à

l’ADSL ».2. E2 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède au moins un des deux défauts

d’éligibilité à l’ADSL ».









Exercice 1

Dans cet exercice. tous les résultats seront arrondis au millième.

Une société de vente par correspondance de matériel informatique a étudié le

fichier clientèle pour connaître l’utilisation du modèle A100 de disque dur externe

de son catalogue.

L’enquête a porté sur 1 280 personnes ayant acheté ce modèle au cours des trois,

derniers mois. Les résultats concernant le sexe de l’utilisateur et l’usage personnel

ou professionnel du disque dur A100 sont consignés dans le tableau ci dessous.

Usage personnel Usage professionnel

Homme 360 480

Femme 160 280

Un opérateur de la société est chargé d’appeler des clients au téléphone dans le

but de leur proposer un nouveau produit, le disque B200.

L’opérateur choisit une personne dans le fichier de ces 1 280 personnes. Toutes

les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

1. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

2. Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme qui fasse un usage

personnel du disque dur externe A100 ?

3. La personne choisie est une femme. Quelle est la probabilité que cette femme

fasse un usage professionnel du disque dur externe A100 ?

Exercice 2

Un magasin spécialisé dans la vente de produits frais non stockables s’approvi-

sionne quotidiennement auprès de deux grossistes ADON et BRIX.

Le grossiste ADON fournit 75 % des produits et le grossiste BRIX fournit les autres

produits.

93 % des produits provenant du grossiste ADON sont commercialisables et 85 %

des produits provenant du grossiste BRIX sont commercialisables.

Un jour donné, on prélève au hasard un produit parmi la totalité des produits li-

vrés ce jour par les deux grossistes. On suppose que tous les produits ont la même

probabilité d’être prélevés.

On définit les évènements :

A : « Le produit prélevé provient du grossiste ADON » ;

B : « Le produit prélevé provient du grossiste BRIX » ;

C : « Le produit est commercialisable ».

1. Donner les probabilités suivantes : P (A), P (B), P A(C ) et PB (C ).

On rappelle que P A(C ) désigne la probabilité de l’évènement C sachant que

l’évènement A est réalisé.

2. Calculer les probabilités P (A∩C ) et P (B ∩C ).

3. En déduire la probabilité que le produit prélevé soit commercialisable.

4. Calculer la probabilité qu’un produit prélevé provienne du grossiste ADON sa-

chant qu’il est commercialisable. On arrondira le résultat au centième.

Exercice 3

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Pour chaque composant

sortant de l’usine, on a constaté qu’il pouvait présenter au maximum deux dé-

fauts indépendants. Si au moins un des défauts est constaté, le composant est dit

hors d’usage. Si le composant ne présente aucun défaut, on dit qu’il est conforme.

• Le défaut 1 : la puce électronique est mal placée, cela concerne 2 % des compo-

sants.

• Le défaut 2 : le composant est surdimensionné, cela concerne 5 % des compo-

sants.

On prélève au hasard un composant produit par cette entreprise. Tous les compo-

sants ont la même probabilité d’être prélevés. On considère les deux évènements

suivants :

• A : « le composant prélevé présente le défaut 1 » ;

• B : « le composant prélevé présente le défaut 2 ».

1. Quelle est la probabilité que le composant prélevé présente les deux défauts ?

2. Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit hors d’usage ?

3. Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit conforme ?








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 13 : La loi binomiale

Exercice 1 (BTS - groupement B - mai 2015)

Dans cet exercice, les résultats approchés sont, sauf mention du contraire, à ar-

rondir à 10−3.

Une entreprise fabrique et assemble des pièces métalliques pour l’industrie aéro-

nautique. Elle conçoit en particulier des rivets flush (à tête fraisée), rivets visibles

depuis l’extérieur des avions. Ce type de rivet permet de faire en sorte que la tête

du rivet affleure la surface de la tôle.

On prélève au hasard un rivet dans un stock important. On note E l’évènement :

« le rivet prélevé est non conforme ». On suppose que P (E ) = 0,01.

Les rivets sont conditionnés par lots de 500. On prélève au hasard 500 rivets. On

suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement

à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 500 ri-

vets ainsi prélevé, associe le nombre de rivets non conformes de ce lot.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. a. Calculer, à l’aide de la calculatrice, P (X = 0). Interpréter le résultat obtenu.

b. Calculer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’un lot de 500 rivets

ainsi prélevés contienne au plus 7 rivets défectueux.

Exercice 2 (BTS - SIO - Nouvelle-Calédonie - mai 2015)

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième.

Une entreprise européenne fabrique, en grande quantité, des composants élec-

troniques. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le composant est

conforme aux normes en vigueur.

On prélève au hasard 10 composants dans le stock. Ce stock est suffisamment

important pour assimiler ce prélèvement à 10 tirages avec remise. On note X la

variable aléatoire indiquant, pour tout prélèvement de 10 composants, le nombre

de composants conformes.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable X ? Justifier la réponse et préciser

les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un prélèvement, 8 composants exactement

soient conformes.

3. Calculer P (X 6 9). Interpréter le résultat trouvé par une phrase.

BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 13 : La loi binomiale



rondir à 10−3.

Une entreprise fabrique et assemble des pièces métalliques pour l’industrie aéro-

nautique. Elle conçoit en particulier des rivets flush (à tête fraisée), rivets visibles

depuis l’extérieur des avions. Ce type de rivet permet de faire en sorte que la tête

du rivet affleure la surface de la tôle.

On prélève au hasard un rivet dans un stock important. On note E l’évènement :

« le rivet prélevé est non conforme ». On suppose que P (E ) = 0,01.

Les rivets sont conditionnés par lots de 500. On prélève au hasard 500 rivets. On

suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement

à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de 500 ri-

vets ainsi prélevé, associe le nombre de rivets non conformes de ce lot.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. a. Calculer, à l’aide de la calculatrice, P (X = 0). Interpréter le résultat obtenu.

b. Calculer, à l’aide de la calculatrice, la probabilité qu’un lot de 500 rivets

ainsi prélevés contienne au plus 7 rivets défectueux.

Exercice 2 (BTS - SIO - Nouvelle-Calédonie - mai 2015)

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième.

Une entreprise européenne fabrique, en grande quantité, des composants élec-

troniques. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le composant est

conforme aux normes en vigueur.

On prélève au hasard 10 composants dans le stock. Ce stock est suffisamment

important pour assimiler ce prélèvement à 10 tirages avec remise. On note X la

variable aléatoire indiquant, pour tout prélèvement de 10 composants, le nombre

de composants conformes.

1. Quelle est la loi de probabilité de la variable X ? Justifier la réponse et préciser

les paramètres.

2. Calculer la probabilité que, dans un prélèvement, 8 composants exactement

soient conformes.

3. Calculer P (X 6 9). Interpréter le résultat trouvé par une phrase.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 14 : La loi de Poisson

Exercice 1 (BTS - AEA - mai 2014)

Un sachet de café est conditionné à l’entreprise MDD par une ensacheuse.

Partie C

Les sachets sont conditionnés par lots de 100. On note E l’évènement : E : « un

sachet a une masse inférieure à 250 g ». On supposera que p(E ) = 0,02 et que les

sachets sont répartis de façon indépendante dans chaque lot.

Soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de sachets vérifiant l’évènement

E .

1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. En moyenne, combien y-a-t-il de sachets dont la masse est inférieure à 250 g

dans un lot ?

3. Calculer la probabilité que tous les sachets aient une masse supérieure à 250 g.

Donner la valeur numérique arrondie au millième.

4. Calculer p(Y > 2). Donner la valeur numérique arrondie au millième.

Partie D

Un distributeur de café est installé dans l’entreprise MDD et on note qu’en

moyenne il y a 5 personnes utilisant le distributeur entre 10 h et 10 h 30 un jour

de semaine.

Soit Z la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes utilisant le distri-

buteur de café entre 10 h et 10 h 30 un jour de semaine. On admet que Z suit une

loi de Poisson de paramètre λ.

1. Quelle est la valeur de λ ?

2. Calculer la probabilité qu’il y ait moins de 5 personnes au distributeur de café

entre 10 h et 10 h 30 un jour de semaine. Donner la valeur numérique arrondie

au millième.


Une usine fabrique des plaques d’isolation phonique. Une machine de cette usine

est chargée de percer des trous dans ces plaques de 80 mm de diamètre.

Partie C

On décide de contrôler la qualité des trous dans la production d’une journée.

On suppose que la probabilité qu’un trou soit défectueux est 0,05.

On note X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 trous choisis au ha-

sard, associe le nombre de trous défectueux.

La production quotidienne des plaques est suffisamment importante pour que

l’on puisse assimiler le choix des 100 trous à un tirage avec remise pour assurer

l’indépendance des choix.

1. a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X (justifier votre réponse).

b. Donner les paramètres de cette loi.

2. Calculer une valeur approchée arrondie à 10−3 de la probabilité pour un tel

échantillon :

a. de n’avoir aucun trou défectueux ;

b. d’avoir un seul trou défectueux ;

c. d’avoir au moins deux trous défectueux.

3. On admet que la loi suivie par X peut être approchée par une loi de Poisson

notée Y .

a. Déterminer le paramètre de cette loi.

b. En utilisant cette loi de Poisson déterminer une valeur approchée à 10−3 de

la probabilité de l’évènement du 2. b.

4. En comparant les résultats des questions 2. b. et 3. b., calculer le pourcentage

d’erreur commis en remplaçant la variable aléatoire X par Y pour calculer la

probabilité d’avoir un seul trou défectueux.

Donner une valeur approchée à 0,1 % prés.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 15 : La loi uniforme

Exercice 1

Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien

avec la direction des ressources humaines.

Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.

On désigne par T la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on

admet que T suit la loi uniforme sur l’intervalle [8;9].

Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.

Exercice 2

Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée com-

prise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement,

en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle

[20;60].

1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.

2. Calculer l’espérance de X . Interpréter ce résultat

Exercice 3

Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station 14.

Soit X le temps d’attente d’une personne à cette station.

On suppose que X suit la loi uniforme sur [0; 6].

Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?

BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 15 : La loi uniforme

Exercice 1

Deux amis, Aymeric et Coralie, sont convoqués le même jour pour un entretien

avec la direction des ressources humaines.

Coralie arrive à 8 h 30 alors qu’Aymeric arrive au hasard entre 8 h et 9 h.

On désigne par T la variable aléatoire donnant l’heure d’arrivée d’Aymeric et on

admet que T suit la loi uniforme sur l’intervalle [8;9].

Déterminer la probabilité pour que Coralie attende Aymeric plus de dix minutes.

Exercice 2

Chaque jour, Antoine s’entraine au billard américain pendant une durée com-

prise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement,

en minutes, par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l’intervalle

[20;60].

1. Calculer la probabilité p pour que l’entrainement dure plus de 30 minutes.

2. Calculer l’espérance de X . Interpréter ce résultat

Exercice 3

Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station 14.

Soit X le temps d’attente d’une personne à cette station.

On suppose que X suit la loi uniforme sur [0; 6].

Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 16 : La loi normale


Dans le cadre de l’aménagement d’espaces habitables, un architecte d’intérieur

est amené à utiliser des planches de bois en guise d’étagères pour lesquelles le

critère de la longueur est essentiel. L’architecte décide de faire appel à une entre-

prise pour la fabrication de ces planches.

Une planche est jugée conforme par l’entreprise si sa longueur en cm est dans

l’intervalle I = [79,9;80,5].

1. On s’intéresse désormais à l’ensemble des planches produites par l’entreprise

dans une journée.

On note X la variable aléatoire qui, à toute planche prélevée au hasard dans

cette production, associe sa longueur en cm. On admet que X suit la loi nor-

male de moyenne m = 80,2 et d’écart type σ= 0,17.

a. Déterminer un nombre décimal h tel que P (80,2−h 6 X 6 80,2+h) ≈ 0,95

(à 10−2 près).

Interpréter ce résultat en termes de production de planches.

b. On extrait au hasard une planche de la production. Calculer, à 10−3 près, la

probabilité que la planche soit conforme.


L’entreprise Café grand Père commercialise les sachets de café. On admettra que

la variable aléatoire X qui représente la masse d’un sachet suit la loi normale de

moyenne µ= 253 et d’écart type σ= 1,5.

1. Calculer p(X 6 250). Donner la valeur numérique arrondie au millième.

2. Un sachet est vendu pour un poids de 250 g. Quelle est la probabilité que la

masse d’un sachet soit d’au moins 250 g ? Donner la valeur numérique arron-

die au millième.

3. La société voudrait que le taux de sachet dont la masse est inférieure à 250 g

soit inférieur à 1 %, sans changer la valeur de l’écart type. Quelle devrait être la

valeur de la moyenne µ ? (à 0,1 g près)


Une usine fabrique des plaques d’isolation phonique. Une machine de cette usine

est chargée de percer des trous dans ces plaques de 80 mm de diamètre.

On considère maintenant que la variable aléatoire Z qui à chaque trou associe

son diamètre suit la loi normale de moyenne m = 80 et d’écart-type σ= 0,13.

1. On considére qu’un trou est conforme si son diamètre appartient à l’intervalle

[79,74;80,26]. Calculer la probabilité qu’un trou soit conforme.

Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10−3.

2. Calculer une nouvelle valeur de l’écart-type σ pour que la probabilité qu’un

trou soit conforme soit égale à 0,99.

Donner une valeur approchée du résultat arrondie au centième.


Un thermomètre de Galilée est composé d’un cylindre contenant un liquide dans

lequel sont immergées des boules de différentes masses. Lorsque la température

T varie, les boules se mettent en mouvement.

La fabrication d’une boule d’un thermomètre de Galilée requiert une certaine

précision, dans la mesure où les masses des différentes boules diffèrent de peu.

Une machine produit des boules dont la masse volumique idéale doit être 900,92

kg/m3.

Une boule est retenue si sa masse volumique appartient à l’intervalle

[900,915;900,925].

On note X la variable aléatoire qui, à une boule prise au hasard dans la produc-

tion, associe sa masse volumique et on admet que X suit une loi normale de

moyenne m = 900,92 et d’écart type σ= 0,0022.

1. Calculer, à 10−2 près, la probabilité P (900,9156 X 6 900,925).

2. En déduire la probabilité, toujours à 10−2 près, qu’une boule, prise au hasard

dans la production, ne soit pas retenue.








BTS2 AEA 2015 - 2016 TP 17 : La loi exponentielle



rondir à 10−3

Une entreprise fabrique et assemble des pièces métalliques pour l’industrie aéro-nautique. Elle conçoit en particulier des rivets flush (à tête fraisée), rivets visiblesdepuis l’extérieur des avions. Ce type de rivet permet de faire en sorte que la têtedu rivet affleure la surface de la tôle.A. Loi exponentielle

Une machine en charge de la fabrication de ces rivets doit régulièrement êtrecalibrée. On considère que la durée T de fonctionnement, exprimée en heures,entre deux calibrages, est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètreλ= 0,005.On rappelle que, pour tout nombre réel positif t , on a :

P (T 6 t ) = 1−e−λt .

1. Déterminer P (T 6 100).2. On rappelle que l’espérance E (T ) de la variable aléatoire T est égale à

E (T ) =1

λ.

Calculer E (T ). Interpréter ce résultat.

Exercice 2 (BTS - groupement B1 - Nouvelle-Calédonie - 2015)

Dans cet exercice, les résultats approchés seront arrondis à 10−3.

Une entreprise fabrique des modèles originaux de soupapes, mais il existe sur lemarché des contrefaçons qui ne remplissent pas les normes de sécurité.Partie D : Loi exponentielle

L’entreprise décide d’étudier la fiabilité des contrefaçons de son modèle de sou-pape. On désigne par T la variable aléatoire qui, à toute soupape de contrefaçonchoisie au hasard sur le marché, associe sa durée de bon fonctionnement expri-mée en mois.On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre λ= 0,01.On rapelle que, pour tout nombre réel positif t , on a :

P (T 6 t ) = 1−e−λt .

1. Calculer la probabilité qu’une soupape de contrefaçon prise au hasard fonc-tionne bien sur une durée d’au plus 120 mois.

2. Calculer la probabilité qu’une soupape de contrefaçon prise au hasard fonc-tionne bien sur une durée d’au moins 100 mois.

3. On rappelle que l’espérance E (T ) de la variable aléatoire T est égale à

E (T ) =1

λ.

Calculer E (T ). Interpréter ce résultat.

Exercice 3 (BTS - Chimiste - mai 2015)

Partie I

Soit X la variable aléatoire mesurant la durée de vie, en jours, d’un atome radio-actif d’iode 131 avant sa désintégration.X suit une loi exponentielle de paramètre λ= 0,087 (exprimé en jour−1).Rappel : Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, la probabilité P (X 6 t ) est

égale à

∫t

0λe−λx dx.

1. a. Montrer que P (X 6 6) = 1−e−0,522 et en donner une valeur approchée ar-rondie à 0,01.

b. Donner de même une valeur arrondie à 0,01 de P (X 6 4).2. Soient les évènements suivants concernant un atome d’iode 131 :

E : « sa durée de vie est d’au moins 6 jours ».F : « sa durée de vie est d’au moins 4 jours ».a. Que représente l’évènement E∩F ? Déterminer sa probabilité.b. Calculer la probabilité qu’un atome d’iode 131 ait une durée de vie d’au

moins 6 jours, sachant qu’il n’a pas été désintégré au bout de 4 jours.3. Déterminer le réel t tel que P (X 6 t ) = 0,5, on donnera la valeur exacte de t

puis une valeur approchée arrondie à l’unité.

Exercice 4 (BTS - SIO - mai 2015)

Une entreprise d’envergure internationale produit des composants pour ordina-teurs portables, notamment des batteries et des écrans.Partie C

La durée de bon fonctionnement d’un écran, exprimée en jour, est modélisée parune variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.Le temps moyen de bon fonctionnement des écrans est de 1 900 jours.1. En arrondissant à la quatrième décimale, justifier que λ s’exprime en jour−1

par : λ= 0,0005.2. Quelle est la probabilité que l’écran fonctionne encore correctement après

4 000 jours d’utilisation ? On arrondira le résultat à la quatrième décimale.3. Déterminer le réel t tel que P (T 6 t ) = 0,7. On donnera la valeur de t arrondie

à l’entier.Interpréter le résultat obtenu.








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