m 35 Oscillateurs Auto-Entretenus

607

OSCILLATEURS

INTRODUCTION Un oscillateur dsigne dans le sens le plus gnral du terme un

dispositif mcanique, optique, lectrique ou lectronique tant le sige d'un phnomne physique priodique dans le temps le sujet et vaste et on ne peut laborder compltement. On peut sintresser dans ce montage diffrents type doscillateurs. Parmi les choix possibles, on peut penser ltude de loscillateur harmonique. Cette tude est classique et se trouve dans de nombreux ouvrages. On peut la prsenter en mcanique avec par exemple le pendule pesant. On peut aussi la faire en lectricit (circuit R, L, C). Lexprience courante montre que toute perturbation lgre applique un systme physique en quilibre se traduit gnralement par un retour sa position dquilibre aprs une suite doscillations quasi sinusodales dont lamplitude finit par sannuler. Ce comportement de tout systme perturb explique limportance de ltude des oscillateurs harmoniques amortis. On a plutt choisit ici de se limiter une tude approfondie de quelques oscillateurs lectroniques entretenus (systme gnrant partir dune source continue un signal priodique de frquence f). On prsente sparment les oscillateurs quasi - sinusodaux et les oscillateurs de relaxation afin de dgager leurs caractristiques propres. Il faut savoir cependant que cette distinction est artificielle car il n'y a pas de frontire stricte entre ces deux types d'oscillateurs. On prsente en transition loscillateur de Van der Pol car on peut le faire fonctionner dans les deux rgimes et il permet de montrer linfluence des non linarits sur la limitation de lamplitude des oscillateurs quasi sinusodaux.

I OSCILLATEURS QUASI SINUSOIDAUX Ce sont des systmes dlivrant un signal

pratiquement sinusodal de frquence fixe par les composants qui le constitue (systme frquence propre). Les lments travaillent pratiquement toujours en rgime linaire mais les phnomnes non-linaires sont fondamentaux car ce sont eux qui fixent l'amplitude des oscillations. Par contre, leur influence sur la frquence est ngligeable. L'nergie vient du systme, il s'auto entretient si on coupe l'alimentation, un tel oscillateur aura un transitoire long par rapport un oscillateur de relaxation.

1.1 Oscillateur pont de Vien Rf. (1), p. 181

La description des oscillateurs quasi-sinusodaux s'effectue en gnral dans le cas des systmes boucls raction positive. L'oscillateur pont de Vien se prte bien cette description.

1.1.1 Etude de la boucle de rtroaction

R = 10 k C = 10 nF

Les rsistances et capacits doivent tre identiques les mesurer pour vrifier.

GBF R C

R C

X Y

Passe haut Passe bas

608

Mesures : Mesurez le gain et le dphasage du montage pour f compris entre 200 et 10000 Hz

et tracez les courbes correspondantes. Pour mesurer , utilisez le phasemtre FI 6644A ou l'oscilloscope HP 54603B (Measure : Time Next menu Next menu Phase). Pour mesurer le gain, on peut aussi utiliser les curseurs tensions de l'oscilloscope HP 54603B ou des multimtres (s'assurer qu'ils suivent en frquence). Il faut ensuite convertir en dB. Une solution plus rapide consiste utiliser la fonction dB du Keithley 199 : commencez par mesurer VE. Se mettre en dB et faire le zro. Vrifiez que l'indication se maintient lorsqu'on fait varier la frquence ( montrer en montage). Sans toucher aux rglages, passez la mesure de VS. Comme la rfrence de l'appareil correspond maintenant la tension VE, on mesure directement le gain du montage.

Exploitation : Vrifiez qu RC2/1f0 pi= , le circuit ne dphase plus et un gain maximum

gal 1/3. Le rsultat est conforme avec la fonction de transfert du filtre :

)RC/1RC(j31

+Conclusion :

Pour obtenir des oscillations sinusodales, donc vrifier la condition de Barkhausen (cf. rf. (1), p. 180), il faut associer cette boucle de rtroaction une chane directe constitue par un ampli non inverseur de gain gal 3.

1.1.2 Chane directe

R1 : 10 k R2 : potentiomtre 22 k

Vrifiez que l'ampli est non inverseur et que son gain vaut 12 R/R1+ .

Ajustez le potentiomtre pour avoir un gain de 3.

1.1.3 Systme boucl Insrez le filtre passe-bande (attention son sens

de branchement !) dans la boucle de rtroaction positive de la chane directe et visualisez la tension de sortie de l'AO :

En gnral, on n'observe pas d'oscillations. Retouchez alors le rglage du potentiomtre pour dmarrer les oscillations.

Visualisez ensuite le signal l'entre + de l'AO ; vous devez constater que le signal sinusodal est plus pur (comparez les spectres des deux signaux avec l'oscillo HP 54603B pour confirmer). Pourquoi votre avis ?

1.1.4 Amlioration du signal de sortie Cf. rf. (1), p.184

GBF VE

R1

R2

VS

+

_

R

C R

C

R1

R2

+

_

609

1.2 Oscillateur rsistance ngative Le principe de cet oscillateur est

d'annuler l'amortissement d'un circuit RLC par une rsistance ngative ralise laide dun montage amplificateur oprationnel (convertisseur d'impdance ngative en courant ; cf. rf. (1), p. 169). Ce montage est aussi trait dans le montage sur les Phnomnes non linaires sy reporter pour plus dexplication et dautres manipulations possibles.

1.2.1 Montage Rf. (1), p. 170 ; rf. (2), p. 334

L : 0,1 H AOIP (r = 32 )

C : 0,1 F AOIP

R : 10 k AOIP

R' : rsistance variable

1.2.2 Etude de la rsistance ngative On cherche dterminer

l'impdance quivalente du montage ampli op. On obtient aprs calculs (cf. montage sur les phnomnes non linaires) :

eqZ R '=

1.2.3 Mesures Augmentez R' en partant de 0 jusqu' observer en VS le

dmarrage des oscillations. Comparez la valeur obtenue pour R' celle indique sur la self. Il peut tre bon de mesurer les rsistances des diffrents lments si lon constate un dsaccord important. On doit cependant trouver une valeur lgrement suprieure celle annonce car la rsistance de la bobine augmente avec la frquence cause de l'effet de peau or celle indique par le constructeur l'est 50 Hz. Pour s'en convaincre reprendre la mesure avec cette fois ci une capacit de 0,01 F ; la valeur de R' doit augmenter. Mesurez la frquence des oscillations et comparez la valeur thorique LC2/1f0 pi= . Calculs d'incertitude.

1.2.4 Etude du signal gnr La rsistance globale du montage tant

nulle, le circuit RLC doit avoir un facteur de qualit tendant vers l'infini et on devrait par consquent obtenir une sinusode parfaitement pure. Faire la FFT du signal VS avec l'oscilloscope HP 54603B. Le signal tant en gnral noy dans le bruit faire une moyenne de l'acquisition (Display Average). On doit observer la prsence d'harmoniques du l'effet non linaire de l'AO. En effet, rien ne limite en thorie l'amplitude des oscillations. Elle l'est en pratique ds que le signal de sortie de l'AO atteint la valeur de saturation.

Visualisation des tensions VR , VC et VL : VR permet de visualiser le courant, VL permet

dobserver sa drive (dtdiLVL = ) et VC son intgrale

= dt.iC

1VC . On peut visualiser

i

VS

R

R R

L, r

X

C

+

_

081

610

directement VC. Pour VL, il faut permuter C et L dans le montage propos (sinon problme de masse !). Quant VR, utilisez une sonde diffrentielle pour visualiser la tension X (cf. schma). Observez les diffrences dans l'allure de ces signaux et effectuez leur FFT moyenne. On peut augmenter lgrement R' ( 40 ) pour accentuer les diffrences.

Conclusion : Vous devez constater que VC est le signal le plus pur. Vient ensuite VR. La

tension aux bornes de la self est celle qui prsente le plus d'harmoniques. Cela provient du fait que l'intensit instantane contient des harmoniques (du fait de l'AO ; cf. ci-dessus) que la drivation renforce et que l'intgration attnue par rapport au fondamental. Pour s'en convaincre, intgrez et drivez un signal de la forme A.sint + Bsin2t et conclure. On met ainsi en vidence le caractre imparfaitement sinusodal des oscillations. Pour avoir le signal le plus pur possible, il faudra donc prendre celui aux bornes du condensateur.

Remarque : On pourrait penser qu'il est plus simple, pour visualiser le courant circulant dans

le condensateur, de regarder directement le signal VS. Ce serait une erreur car l'AO est un gnrateur de tension et il distribue le courant de faon indpendante entre les deux branches.

1.2.5 Etablissement des oscillations Rf. (1), p. 172

On reprend le mme montage que prcdemment mais on change de self pour avoir un amortissement suffisamment rapide des oscillations.

Montage :

T1 : transistor NPN 2N2219 RB : 1 k L, r + r : 10 mH 75 (cf. remarque ci-dessous)

GBF : signal carr d'amplitude 5 V ; f 300 Hz. Reliez sa masse celle de l'alim de l'AO !

Visualisez Y via une sonde diffrentielle. Avant de brancher le transistor, rajustez R' pour obtenir les oscillations.

Remarque : On ne dispose pas Rennes de l'inductance propose dans la rf. (1) on la

ralise par une boite de self dcades (BDS10) et une rsistance en srie ; on ajuste sur la boite la valeur de L voulue, on mesure sa rsistance avec un multimtre et on ajuste la valeur de la rsistance srie pour avoir globalement une valeur r + r de 75 . On mesure aussi le courant en visualisant directement la tension Y l'aide d'une sonde diffrentielle. On se dispense ainsi du convertisseur courant - tension indiqu dans la rf. (1) le montage est plus simple.

T1

R

R

R

L, r

Y

C

r

B C

E GBF

RB

+

_

081

611

Rle du transistor : Le transistor est utilis en bloqu - satur :

VCOM > 0 iB > 0 le transistor est passant. Comme VE est la masse, on a alors V+ = 0. Cela revient faire R' = 0 la rsistance ngative est hors - service.

VCOM < 0 iB < 0 le transistor est bloqu il est quivalent un circuit ouvert la rsistance ngative fonctionne.

Il permet de "dmarrer" et "d'teindre" l'oscillateur pour observer la croissance et la dcroissance des oscillations.

Observation : Visualisez la tension X ; utilisez la sortie TTL du GBF pour synchroniser

l'oscilloscope. Jouez sur fGBF et sur R' pour observer en mme temps sur l'cran la zone de croissance des oscillations, la zone de stabilit par effets non - linaires et la dcroissance des oscillations. Vous devez constater que la dcroissance des oscillations est plus rapide que la croissance. Cela provient des quations qui rgissent les deux phnomnes. En effet, lors de la croissance, l'AO est en rgime linaire et l'quation diffrentielle qui rgit l'volution du courant est :

( )22

r r ' R 'd i di 1 i 0dt L dt LC

+ + + =

comme R' est suprieure ( r + r), le coefficient devant le terme du premier ordre est ngatif ; cela entrane une croissance exponentielle des oscillations dont la constante de temps vaut ( )2L / R ' r r ' = + . Comme ( r + r) R', la croissance est lente. Dans le second cas de figure, on annule R' le coefficient devient positif on a une dcroissance des oscillations dont la constante de temps vaut cette fois ci 2L/( r + r) et est par consquent plus petite.

1.2.6 Diagramme de phase C'est une description classique de l'tat d'un

oscillateur ou l'on reprsente son volution par un point M de coordonnes X = x et Y = dx/dt, x tant un paramtre caractristique de l'oscillateur. Dans cette reprsentation appele espace des phases, on constate que si le mouvement est priodique la courbe est ferme. Si l'volution est harmonique, la courbe est une ellipse. En prsence d'amortissement, la courbe n'est plus ferme et le systme tend vers sa position d'quilibre stable (attracteur). La variable caractristique correspond ici la charge. On la visualisera aux bornes du condensateur. Sa drive sera obtenue aux bornes de R1.

Montage :

I : interrupteur 3 points

X

R

R

R

L, r

Y

C

r

GBF

RB

+

_

081

I T1 B

C

E

E

B T2

612

Le montage et les valeurs composants sont les mmes que prcdemment. On rajoute juste un nouveau transistor T2 : transistor PNP 2N2905

Analyse du transistor PNP : Son fonctionnement est complmentaire du premier transistor

T1 : VCOM > 0 iB > 0 le transistor est bloqu rsistance ngative OK VCOM < 0 iB < 0 le transistor est passant rsistance ngative HS.

Lorsqu'on utilisera T2, la rsistance ngative sera mise hors circuit sur un flanc descendant du GBF. Si on utilise T1, la rsistance ngative sera mise en route sur ce mme flanc du GBF. Cette disposition permet de visualiser sparment l'espace des phases correspondant l'amorage des oscillations et celui correspondant la dcroissance des oscillations lorsqu'on utilise l'oscilloscope HP 54603B. En effet, lorsqu'on est en mode XY, cet oscilloscope n'active la trace que lorsqu'il a un niveau bas l'entre Z (consultez sa notice p. 2-35).

Observation : Visualisez VC en X et VR1 en Y. Passez en mode XY et comparez le

diagramme des phases en branchant successivement T1 et T2. Vous devez retrouver les figures de la rf. (1), p. 174 (vous pouvez aussi dconnecter la voie Z sur l'oscillo pour comparer). Regardez l'influence de R' sur la spirale croissante.

1.2.7 Passage en mode relax Il s'effectue facilement en augmentant la

valeur de R. Le signal VS se dforme et est crt par les tensions d'alimentation de l'AO. On obtient un signal carr dont la frquence dpend de R : l'oscillateur relaxe. On illustre ainsi une proprit gnrale des oscillateurs quasi - sinusodaux ; lorsque l'apport d'nergie est trop important, ils voluent vers la relaxation.

II OSCILLATEUR DE VAN DER POL Rf. (1), p 175 ; BUP n 744, 785, 787

Il sagit dun oscillateur qui est non linaire par son amortissement. Son intrt est double : il permet de montrer linfluence fondamentale quon les non linarits sur la limitation de lamplitude des oscillateurs auto entretenus et il permet de visualiser lvolution dun rgime quasi sinusodal doscillations vers un rgime relaxatif grce la variation dun seul paramtre.

2.1 Introduction Lintroduction cet oscillateur peut seffectuer sur la base de

ltude prcdente sur loscillateur r, L, C rsistance ngative. Au dmarrage de cet oscillateur, les oscillations de la tension VC aux bornes du condensateur sont solutions de lquation diffrentielle :

[ ]2 C CC2

r R 'd V dV 1.V 0

dt L dt LC

+ + =

Soit 2

2C CO C2

d V dV2 V 0dt dt

+ + = Avec r R '2L = et 2O

1LC

=

La solution dune telle quation est du type : ( )C O tV V .e cos t= avec 2 2O =

613

Nous obtenons alors trois cas de figure suivant la valeur de la rsistance ngative R :

R > r < 0 croissance exponentielle des oscillations R < r > 0 dcroissance exponentielle des oscillations R = r = 0 oscillations rigoureusement sinusodales

Dans le dernier cas, se pose alors le problme de lindtermination de lamplitude des oscillations. Dans la pratique, cest la non linarit de lAO (saturation) qui la fixe (cf. 2.6 et le montage Phnomnes non linaires ).

2.2 Oscillateur de VAN DER POL Il est rgit par une quation diffrentielle du

type : 2 2

202 2

O

d x x dx1 x 0dt x dt

+ + =

Soit 2

202

d x dx2 (x) x 0dt dt

+ + = avec 2

2O

x2 (x) 1x

=

Le comportement de cette quation est fonction du rapport x/x0 : - lorsque x est infrieur xo,

le coefficient est ngatif. Lorsque x 0 (condition de dmarrage de loscillateur).

- lorsque x = x0, le terme du premier ordre en x disparat de lquation et on retrouve lquation classique dun systme oscillant rigoureusement de faon sinusodale la pulsation 0. Il faut remarquer que la condition = 0 peut aussi tre obtenue par lannulation de .

- lorsque x est suprieur xo, le terme non linaire devient prpondrant et le coefficient devient positif le terme damortissement lemporte globalement et les oscillations dcroissent de faon exponentielle. En introduisant une telle non linarit, on comprend ainsi quon obtienne un systme auto modrateur qui aboutit des oscillations priodiques dont lamplitude se stabilise une valeur telle quon ait juste compensation entre lnergie dissipe dans le systme et lapport extrieur dnergie. On pourrait penser daprs ce que lon vient de voir que lamplitude se stabilise x0. En fait il nen est rien : x0 correspond au seuil partir duquel le systme passe dun tat o lapport dnergie est suprieur lnergie dissipe un tat ou lamortissement lemporte. x est une valeur instantane et ce nest pas lamplitude maximum xm des oscillations que lon va obtenir on ne peut donc pas simplement dire que xm = x0.

La dtermination de l'amplitude dans le cas le plus gnral nest pas simple. On indique juste en annexe un calcul valable dans le cas ou les oscillations sont sinusodales (dans la pratique, le rsultat reste correct mme pour des oscillations non linaires). Dans ce cas, lamplitude tend vers :

0x 2.x=

A retenir : Le principal intrt de cet oscillateur est quon peut modifier doublement son

comportement et ce de faon indpendante : on peut obtenir des oscillations plus ou moins sinusodales en jouant sur la valeur de .

614

on peut contrler lamplitude des oscillations sans influer sur leur caractre plus ou moins sinusodal en jouant sur la valeur de xo.

2.3 Ralisation pratique de loscillateur Plusieurs montages sont possibles (cf.

BUP 785, BUP 787 et rf. (1), p. 175). On prsente une version allge de celui de la rf. (1).

On repart du circuit prcdent (circuit r, L, C en srie avec la rsistance ngative R). Le problme revient former une constante prs le terme 2C CU .dU / dt et le rinjecter dans la boucle r, L, C. On obtient ce terme en utilisant des multiplieurs analogiques de type AD 633. Comme ces multiplieurs affectent la multiplication dun coefficient attnuateur, on est amen insrer un amplificateur pour compenser cette attnuation.

Schma de principe :

Multiplieur n 1 : Il permet llvation au carr de la tension UC. On a en sortie : 2Ck.U

Multiplieur n 2 : Il permet lobtention une constante prs de 2C CU .dU / dt . En effet, on

injecte dans le multiplieur la tension R.i, i tant le courant circulant dans la boucle r, L, C.

Comme C1U i.dtC= , on a

CdU idt C= Do

CdUR ' i R 'C dt =

On a donc en sortie : 2 2 CCdUk R 'CU dt

Amplificateur : On utilise le montage suivant :

On a en effet : 21 2

V VVR R

++ =

Do : 223

RV 1 V K VR + +

= + =

V+ correspond la sortie de X2 do : 2 2 C2 CdUV k K R 'CU dt=

UC multiplieur

gain = k

2Ck U

2 2C- k U R 'i amplificateur

gain = K

multiplieur gain = k

- Ri

2 2C- k KU R 'i

C

L,r

- R

i V2

V

R1

+

_

R2

615

R0 : 1 k ; R1 : 1 k ; R2 : 50, 100 ou 200 k

R : boite variable

L : AOIP 0,1 H 32

C : 0,22 F ; C : 1 5 nF AO : prendre des 081 ou des 071

L, r

C

AD 633 X

Y

W

AD 633 X

Y

W

R1

X

+

_

R

R0

R

+

_

R0

C

Y

Association finale : Lamplificateur alimente le circuit r, L, C avec sa rsistance ngative. La

loi des mailles nous donne :

( )L,r RN2 C CdiV U U U L U r R ' idt= + + = + + Or CdUi C dt= do ( )

2C C

2 C2d U dUV LC U r R ' C 0dtdt

= + + =

Avec lexpression de V2 : ( )2 2 2C C2 C C2d U dU1 1r R ' 1 k K U U 0L dt LCdt + + =

Soit : 2 2

2C C CC2 2

O1

d U U dU1r R ' U 0L dtdt U

+ + + = Avec O1U

k K=

Identification avec lquation de Van der Pol : Il est facile de montrer que lquation obtenue

correspond lquation 2 2

22 2

O

d x x dx1 x 0dt x dt

+ + =

. Il suffit de poser x = UC dans

lquation prcdente pour retrouver une quation similaire cette quation type. Lidentification entre les deux quations du coefficient du terme du premier ordre permet dobtenir les expressions de et x0. On obtient alors :

R ' rL =

0 0R ' r

x .UR '

= C max 0 0

R ' rU 2.x 2 UR '

= =

2.4 Montage exprimental

Visualisez la tension Y via une sonde diffrentielle et inversez la voie X sur loscilloscope.

616

Bien que simplifie, la ralisation pratique est assez lourde et pas forcment trs stable (cf. remarque ci aprs) faire un montage soign sous peine de dboires (fils courts ). Pour lallger, on conseille de le raliser entirement sur des plaques de type P 60 lexception de la bobine et de la rsistance variable R.

Remarque : La capacit C supplmentaire sur le schma permet dviter des oscillations

indsirables du montage. Elle ne perturbe pas les performances du dispositif. On conseille aussi de prendre des AO sans rglage intgr doffset car si celui ci est mal rgl, le montage entre en saturation tant donn le gain de lamplificateur, les signaux seront sans doute un peu dcals par rapport au zro (offset amplifi).

2.5 Observations et mesures

2.5.1 Rsistance R faible Commencez avec R 60 ou 80 les

signaux obtenus doivent tre approximativement des sinusodes (la tension aux bornes du condensateur sen rapprochant le plus ; cf. 1.2.4). Mesurez la frquence des oscillations et comparez la valeur ( )0f 1/ 2 LC= pi .Visualisez les signaux X et Y en Lissajous on a une ellipse. Testez le montage avec R2 = 50, 100 et 200 k les signaux restent sinusodaux mais leur amplitude varie. Mesurez dans chaque cas lamplitude de la tension aux bornes du condensateur (tenez compte du facteur dattnuation de la sonde !) et comparez la valeur thorique. Voici titre indicatif une srie de mesures effectues avecR = 80 .

R2 = 50 k : O1

U0,1 51

1 1,4 Vk K

== = Cmax 0R ' rU 2U 2,03 V

R '

= =

Mesure exprimentale UC max = 2,02 V

R2 = 100 k : O1

U0,1 101

1 0,995 Vk K

== = Cmax 0R ' rU 2U 1, 44 V

R '

= =


R2 = 200 k : O1

U0,1 101

1k K

0,705 V== = Cmax 0R ' rU 2U 1,02 V

R '

= =


Laccord est globalement bon.

Pour la valeur de la rsistance r de la bobine, prendre celle mesure sur loscillateur rsistance ngative seul (connectez la sortie V2 de la bobine la masse et ajustez R pour tre au seuil des oscillations ; on a alors R r).

2.5.2 Augmentation de la valeur de R Prendre R2 = 100 ou 200 k.

Faites varier R de 100 1000 et observez lvolution des signaux en temporel et en Lissajous les signaux se dforment progressivement et la figure de Lissajous volue dune ellipse un cycle dform. Remarquez que lamplitude de la tension aux bornes du condensateur tend vers une limite. Voici titre indicatif le rsultat dune acquisition effectue

617

sur loscilloscope Agilent 54621A ; les courbes obtenues peuvent tre compares avec une simulation sous Excel (demandez le programme au professeur) :

Laffichage temporel de loscilloscope a t enregistr sur disquette au format CSV compatible avec Excel et on a tenu compte du facteur dattnuation de la sonde pour tracer les courbes. La figure de Lissajous a t obtenue par lacquisition du signal temporel au dmarrage de loscillateur. Il suffit pour ce faire de shunter la rsistance R laide dun fil, deffectuer une acquisition en mode single. On peut facilement obtenir directement en XY ce type de courbe sur oscillo avec lHP 54603B. Cest un peu plus compliqu avec lAgilent : il faut dans un premier temps enregistrer les signaux en temporel en mode single puis passer en XY. On peut mesurer lamplitude maximum vers laquelle tend UC. Voici titre indicatif une srie de mesures effectue avec R = 1000 .

R2 = 100 k : O1

U0,1 101

1 0,995 Vk K

== = Cmax 0U 2U 1,99 V =


R2 = 200 k : O1

U0,1 201

1 0,705 Vk K

== = Cmax 0U 2U 1, 411 V =


L encore, les mesures exprimentales recoupent le calcul thorique. Cest dailleurs remarquable car ce calcul (cf. annexe) suppose des signaux sinusodaux or on en est loin ici !

2.5.3 Conclusion Loscillateur de Van Der Pol permet de passer dun

oscillateur sinusodal un oscillateur de relaxation de manire progressive. On peut ajuster lamplitude des oscillations et le caractre plus ou moins sinusodal du signal de faon indpendante :

- on passe dune ellipse un cycle dform en agissant sur R R influe sur le caractre plus ou moins sinusodal des oscillations.

- on contrle (dans une certaine limite) lamplitude des oscillations en jouant sur lamplification via R2.

2.6 Retour sur loscillateur rsistance ngative Lquation de Van der Pol

a t introduite pour fournir un modle dtude doscillateurs non linaires. Il sapplique entre autre loscillateur rsistance ngative seul. Pour ce faire, il suffit de regarder la caractristique (I, V) de la rsistance ngative (cf. montage Phnomnes non linaires ). Elle peut se modliser par une quation du type 3V R '.i k .i= + . Le coefficient k se

Figure de Lissajous

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8. E -02 -6. E -02 -4. E -02 -2. E -02 0. E +00 2. E -02 4. E -02 6. E -02 8. E -02

Uc (V)

Reprsentation temporelle

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

2 , 4 0 E- 0 4 7 , 4 0 E- 0 4 1, 2 4 E- 0 3 1, 7 4 E- 0 3 2 , 2 4 E- 0 3

temps

ten

sio

n

UcR'i

618

dtermine laide des points dinflexion de la caractristique (I, V). Les extremums ont lieu (cf. montage indiqu) pour SATmax

ViR R '

= +

. Cela correspond pour le modle dV 0d i

=

soit : 2R ' 3k i 0 + = i R '/ 3k=

En combinant ce rsultat avec le prcdent, on obtient : ( ) ( )SATk R ' R R ' / 3V= +

V peut tre modlis par lquation suivante : ( ) 3SAT

R ' R R 'V R '.i .i

3V+

= +

La comparaison entre la caractristique relle est le modle est reprsente sur le diagramme suivant :

On peut alors montrer avec un tel modle que loscillateur rsistance ngative est rgi par une quation du type Van der Pol. Le montage global obit en effet lquation suivante :

di qL ri V 0dt C

+ + + =

3di qL ri R '.i k .i 0dt C

+ + + =

Soit, en drivant par rapport au temps :

( )2

22

d i di i diL r R ' 3k .i . 0dt dt C dt

+ + + =

Dou finalement aprs rarrangement : ( ) ( )( )2

2 22

SAT

R ' r R ' R ' Rd i di.i 1 i 0

dt L R ' r V dt

++ + =

Dans la limite du modle envisag pour le diple rsistance ngative, lintensit du courant dans loscillateur rsistance ngative vrifie une quation du type Van der Pol.

III OSCILLATEURS DE RELAXATION Ce sont des systmes qui voluent

alternativement entre deux tats de fonctionnement dnergies diffrentes grce une source extrieure d'nergie. On les appelle ainsi en raison du retour priodique du systme vers un

modlisation du dipole rsistance ngative

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-10000 -8000 -6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000

courant

ten

sio

n

i

V rsistance ngative

L, r

C UC

UL, r

619

tat de plus faible nergie. La priode du signal dpend des intensits qui arrivent sur certains lments. L'nergie s'accumule puis s'vacue d'un unique rservoir (un condensateur par exemple). En plus du rservoir, l'oscillateur ncessite un dispositif dclenchant le "remplissage" et la "vidange" du rservoir. Pour ce faire, on utilise en lectronique des dispositifs seuils. Les composants travaillent pratiquement toujours en rgime non linaire.

3.1 Quelques exemples Des exemples classiques doscillateurs de relaxation

peuvent tre prsents en mcanique pour introduire les principes de base de ces oscillateurs. On trouvera des exemples dans la rf. (3), p. 316 et suivantes (on conseille de lire lintroduction). On peut prsenter le vase de tantale ou le pendule relaxateur. Ce dernier est pr-mont Rennes prendre celui ci.

Pour plus de prcision sur le principe de la manip, se reporter au montage sur les transitions de phases. Le clou passe priodiquement de ltat paramagntique (lorsquil est suffisamment chaud) ltat ferromagntique (lorsquil est suffisamment froid). Lorsquil est ferromagntique, il se colle laimant. Le chauffage lve sa temprature il passe paramagntique il sloigne de laimant, se refroidit, repasse ferromagntique, se recolle et ainsi de suite.

A montrer : La priode des oscillations dpend de la puissance du chauffage.

3.2 Montage ampli op Rf. (1), p. 166 ; rf. (2), p. 313

Montage :

R1 = R2 = 10 k pour commencer R, C : botes variables 10 k ; 0,1 F pour mesure

3.2.1 Principe - La borne + de lAO a son potentiel impos par le pont

R1, R2 : 1 S S1 2

RV .V k.VR R+

= =

+ avec

21

1

RRRk+

=

Aimant

creuset rfractaire

Bec Mecker

clou

+ Vsat

- Vsat

+ kVsat

- kVsat VS

Ve t

Rvariable

R2

Ve Vs

Cvariable

R1

+

_

081

620

La raction tant positive, lAO fonctionne en commutation : VS = U V+ = kU

- VS = Vsat le condensateur se charge ou se dcharge travers R sous U. La sortie basculera ds que V

-

= VC atteindra la valeur V+ = kU.

Calcul de T : Cas dune charge : V

-

= VC = A + B e-t/RC

t = 0 VC = - kU A + B = -kU t VC U A = + U B = - (1+k)U

Soit VC = U (1 - (1+k) e-t/RC)

Or t = T/2 VC = kU

T

2RC 1 ke1 k

=

+ Do

+=

k1k1lnRC2T , soit finalement :

+=

2

1

RR21lnRC2T

3.2.2 Manipulation R = 10 k ; C = 0,1 F.

Mesurez T au frquencemtre, comparez la thorie. Jouez sur R ou C montrez quon peut modifier T.

Connatre les limites du montage : R trop petit signal dform (satu en courant de lAO). Aux frquences leves (C = 5 nF, R = 5 k par exemple)

Slew Rate de l'AO. Le basculement n'tant alors plus instantan, cela fausse la valeur de T.

On peut par exemple estimer que ds que le temps de passage devient suprieur de 5 % la priode mesurer, la mesure ne sera plus viable. Partant de ce critre, dterminer la frquence maximale dutilisation de loscillateur ( 50 kHz). Il est important de montrer la possibilit de variation importante de la frquence (diffrence fondamentale entre les oscillateurs de relaxation et les oscillateurs quasi sinusodaux).

Applications : Capacimtre (cf. montage Condensateurs ). Conditionneur pour capteur capacitif.

3.2.3 Diagramme de phase On peut prendre comme variable

caractristique la tension aux bornes du condensateur. Pour obtenir sa drive, on peut prendre la tension de sortie de l'AO en modifiant la valeur de certains composants. On a en effet :

VS = VC + Ri

Comme VC = 1 i.dtC

VS = VC + RC dtdVRC

dtdV CC

si dt

dVRC C >> VC

Cette condition est remplie en prenant les valeurs proposes dans la rf. (1), p. 166. On peut le vrifier par le calcul ou en visualisant VC et VS ; la premire est un triangle alors que la deuxime est un carr. Pour visualiser le diagramme de phase, passez en mode XY avec X

RC2/Te)k1(1k +=

621

= VC et Y = VS. On voit des phases trs diffrentes : une phase lente ou VC varie de kU -kU (remplissage et vidange du rservoir) alors que VS reste constant. Une phase rapide ou VC reste constant pendant que VS est pratiquement discontinue (passage d'une phase de remplissage une phase de vidange par le dispositif seuil).

3.2.4 Synchronisation des oscillations On synchronise l'oscillateur

prcdent en drivant des signaux rectangulaires.

Montage : Rf. (2), p. 313

C = 0.1 F

GBF : signal carr

Lide est de provoquer par anticipation le basculement du multivibrateur en abaissant le potentiel de basculement V+ laide des pulses.

Visualisation de V+ et V- : Prendre fpulses = 10 fmultivibrateur , amplitude pulse nulle. On a alors

T = T multivib seul. Augmentez progressivement lamplitude des pulses.

Ds que (1) atteint v-

, basculement T Ds que (2) atteint v

-

, basculement T

Et ainsi de suite.

Le potentiel limite de charge du condensateur suit lamplitude des pulses.

Visualisation de Vs : Prendre une amplitude de pulses fortes contrle sur un grand f. Modifiez fGBF entre 10fmulti et fmulti et mesurez la priode du multivibrateur :

FGBF Tmulti

Conclusion : La priode du multivibrateur suit les variations de la frquence du GBF. On a

TGBF = k Tmulti synchronisation

Application : Synchronisation de limage sur un oscilloscope. Le signal observer est mis en forme, les pulses sont envoys la base de temps de lappareil (fournie par un multivibrateur) elle devient un multiple de la priode du signal observer limage est stable.

3.2.5 Obtention d'un oscillateur quasi - sinusodal Rf. (1), p. 167-168

V-

V+ t

1 2

5 nF

GBF

10 k

10 k

10 k

C

+

_

081

622

On peut dcrire cet oscillateur comme tant l'association d'un pont diviseur et d'un filtre actif passe bas du premier ordre. On ne peut donc avoir d'oscillations sinusodales avec un tel systme. Si on tient compte cependant du comportement de l'AO en hautes frquences (qu'on peut modliser comme un filtre passe-bas), le filtre s'identifie alors un systme du second ordre et le systme boucl peut ventuellement tre le sige d'une oscillation sinusodale.

Manipulation : Reprendre le montage avec les valeurs du 2.1.3 et abaissez la valeur de R1

jusqu' quelques ohms. Vous devez obtenir des oscillations quasi sinusodales. Pour l'interprtation, se reporter la rf. (1), p. 168.

3.3 Ralisation dun VCO Un VCO (Voltage Control Oscillator) est un

dispositif permettant le contrle de la frquence dun signal par lintermdiaire dune tension continue. Cest le cur des GBF actuels. Plusieurs ralisations sont possibles (cf. rf. (2), p. 347, rf. (4), p.178), on propose le plus simple raliser : le dispositif reprend le principe du montage prcdent mais on sarrange maintenant pour que la charge et la dcharge du condensateur soit une fonction linaire dune tension de commande VC.

3.3.1 Montage Rf. (1), p. 192

Bloc AO1 : Il fonctionne en rgime linaire (rtroaction patte -). Cest un intgrateur

courant constant alors que dans le multivibrateur prcdent, la chane RC constituait un pseudo intgrateur. On a (cf. montage Condensateur ) :

2 1V V .t / RC= (1)

Ce dispositif fournira en sortie un signal triangulaire si lon suppose V1 = cte alors que le pseudo intgrateur fournissait des branches dexponentielles.

Bloc AO2 : Il fonctionne en rgime non linaire (rtroaction patte +). Cest un comparateur

hystrsis non inverseur. On indique succinctement son principe de fonctionnement :

Lampli op tant suppos parfait, on a i1 = i2

Soit 321 2

V VV VR R

++ =

Dou : ( ) ( )2 2 1 31 2

1V R V R V 2R R+

= ++

+

_

+

_

AD 633 X

Y

W

R1

R2 R

C

Vcom

AO1 AO2

V1 V2 V3

+

_

R1

R2

V2 V3

i1 i2

623

Lamplificateur oprationnel fonctionnant en saturation positive ou ngative, on tudie successivement les deux cas de figure afin de prvoir le fonctionnement de ce comparateur.

Si V+ 0 : Comme V

-

= 0, lampli op sera en saturation positive V3 = + VSAT

En rinjectant dans (2) ( )2 2 1 SAT1 2

1V R V R VR R+

= ++

Pour avoir V+ 0, il faut 2 2 1 SATR V R V 0+ soit : 12 SAT2

RV VR

(3)

Si V+ 0 : Comme V

-

= 0, lampli op sera en saturation ngative V3 = - VSAT

En rinjectant dans (2) ( )2 2 1 SAT1 2

1V R V R VR R+

=

+

Pour avoir V+ 0, il faut 2 2 1 SATR V R V 0+ soit : 12 SAT2

RV VR

(4)

Le montage prsente donc un hystrsis (invers par rapport au comparateur du montage prcdent) :

La tension dentre tant gnralement infrieure VSAT, ce comparateur ne pourra fonctionner comme tel que si R1 < R2.

Bloc multiplieur : Ce bloc pour but de rendre la tension V1 que lon intgre dpendante

dune tension continue. On a en sortie : 1 com SATV k.V .V= Avec k = 1/10 pour lAD 633

Priode de loscillateur : On suppose que le condensateur est initialement dcharg et que la

sortie du bloc AO2 est par exemple en saturation positive 1 com SATV k.V .V=

En rinjectant dans (1) : com SAT2 k.V .VV .tRC=

La tension V2, initialement nulle, se met diminuer jusqu atteindre la condition (3) ; le bloc AO2 bascule alors et sa sortie passe en saturation ngative. Partant de t = 0, le basculement lieu lorsque :

com SAT 12 SAT

2

k.V .V RV .t VRC R

= = Soit 12 com

R RCt

R k V=

V3 VSAT

- VSAT

V seuil - V seuil V2

1seuil SAT

2

RV VR

=

624

On comprend aisment que ce temps correspond au quart de la priode du signal obtenu. On peut sen convaincre en poursuivant le raisonnement prcdent avec : 1 com SATV k.V .V= ,

2 com SATV k.V .V .t / RC= et en utilisant la condition (4) comme nouvelle condition de basculement.

On a trouve alors : 2signal com1

k Rf V4RC R

= La frquence est une fonction linaire de Vcom.

3.3.2 Ralisation pratique Ralisez le montage prcdent sur une grande

plaque type P 60 avec les composants suivants : R = 10 k ; R1 = 5,1 k ; R2 = 10 k C = 10 nF AO 081 sans rglages doffset Multiplieur AD 633

Tension de commande : Le plus simple pour avoir Vcom consiste utiliser une alimentation

continue rglable. Linconvnient est que la tension met un certain temps se stabiliser lorsquon la modifie. On peut liminer ce problme en utilisant une alimentation continue fixe et un potentiomtre on conseille dutiliser un dispositif du type suivant :

Le choix du potentiomtre nest pas critique ; sa rsistance ne doit tre ni trop faible, ni trop grande. Un potentiomtre multitour est prfrable (rglage plus fin) prendre un potentiomtre multitour de 10 k par exemple.

Observation : Visualisez sur un oscilloscope numrique de type HP, les signaux de sortie des

deux amplificateurs oprationnels (V2 et V3) et faites varier la tension de commande ; vous devez voir la frquence des signaux se modifier.

Remarque importante : Il arrive frquemment que les signaux ne soient pas parfaitement

symtriques (on peut le vrifier en mesurant le rapport cyclique du signal). Ce problme vient de la lgre dissymtrie des niveaux de saturation haut et bas des amplificateurs oprationnels ; on a souvent une diffrence de 1 V entre ces deux niveaux. Il peut paratre tonnant que ce problme influe sur le rapport cyclique car la valeur de VSAT napparat pas dans lexpression du temps que lon a obtenu la fin du paragraphe prcdent. Pour le comprendre, il faut dvelopper le raisonnement qui avait t fait en supposant VSAT + diffrent de VSAT - :

1SAT

2

RV

R

1SAT

2

RV

R +

com SATk .V .V

RC+

com SATk .V .V

RC

V2

T1 T2

V

U R

vers multiplieur

V3 VSAT

- VSAT - T1 T2

625

Lorsque le bloc AO2 est en saturation ngative, on a com SAT2k.V .V

V tRC

= . Le triangle reste

sur cette pente de 12 SAT2

RV VR +

= 12 SAT2

RV VR

= . La demie priode correspondante

vaut SAT SAT 11SAT com 2

V V RC RTV k V R+

+= .

Lorsque le bloc AO2 est en saturation positive, on a com SAT2k.V .V

V tRC

+= . Le triangle

reste sur cette pente de 12 SAT2

RV VR

= 12 SAT2

RV VR +

= . La demie priode

correspondante vaut SAT SAT 12SAT com 2

V V RC RTV k V R+

+

+= .

si VSAT + est diffrent de VSAT -, les expressions de T1 et T2 ne sont pas les mmes.

Solution : On peut remdier ce problme en rajoutant deux diodes zner tte bche la

sortie du bloc AO2 comme indiqu sur le schma ci aprs. Leur rle est de limiter la tension V3 une valeur symtrique = VZ ce qui permet dliminer le problme.

DZ : BZX 6,2 V

Visualisez la tension V3 (signal carr) et vrifiez avec les curseurs de loscillo que les amplitudes Vmax et Vmin sont symtriques. Il peut tre bon de tester plusieurs diodes zner de la mme famille pour y parvenir aux mieux. Mesurez le rapport cyclique du signal et faire varier la tension de commande la frquence du signal doit varier et le rapport cyclique doit rester voisin de 50 %. Si malgr cette amlioration, le rapport cyclique varie, cela peut provenir des imperfections des AO, leur offset notamment. Cest le cas si, en visualisant la tension V2 (signal triangulaire), vous vous apercevez que la pente positive du triangle nest pas la mme que la pente ngative. Cest le signe que loffset de lAO nest pas ngligeable : il sajoute la tension intgrer sur une des pentes alors quil se retranche sur lautre. Dans ce cas, changer damplificateur oprationnel. Si vous nen avez pas dautres, une autre solution ( utiliser si cest vraiment ncessaire !) consiste compenser loffset (lidal tant davoir des AO avec rglage doffset intgr, sinon se reporter la rf. (1), p. 82). La procdure de rglage est alors la suivante : visualisez la tension V2 (signal triangulaire) ; jouez sur le rglage de loffset de lAO2 jusqu avoir un signal symtrique par rapport la masse. Jouez sur le rglage de loffset de lAO1 jusqu avoir un signal triangulaire possdant les mmes pentes croissantes et dcroissantes (utilisez les curseurs de loscillo).

DZ

DZ V3

+

_

+

_

AD 633 X

Y

W

R1

R2

R C

Vcom

AO1

AO2

V1 V2

626

3.3.3 Mesures Mesurez la frquence du signal V1 ou V3 pour diffrents

valeurs de la tension de commande et tracez la courbe fsignal = f(Vcom). Voici titre indicatif le rsultat dune srie de mesures :

On constate un excellent accord avec une loi linaire. Le dispositif que lon vient dtudier permet donc de gnrer un signal carr et un signal triangulaire dont la frquence peut tre contrle de faon linaire par un potentiomtre. Cest sur ce principe que sont conus les oscillateurs des GBF actuels (pour le passage un signal sinusodal, se reporter la rf. (1), p. 193-195).

3.4 Oscillateur de relaxation quartz Cest une application importante de ce

type doscillateurs. On sen sert comme base de temps dans les montres, dans les ordinateurs, etc, etc Une manipulation possible sur ce sujet est dcrite dans le montage sur la mesure des frquences temporelles sy reporter.

Bibliographie : Rf. (1) : Duffait : Expriences d'lectronique Rf. (2) : Quaranta : tome III Rf. (3) : Quaranta : tome I Rf. (4) : Datt della Maestra : Ampli Op Tomasino : Physique term. S, enseignement obligatoire, Nathan, p. 288 H Prpa : Mcanique I, 1re anne MPSI, PCSI, PTSI, Hachette, p. 132 BUP n 744, 785, 787

FREQUENCE EN FONCTION DE LA TENSION DE COMMANDE

y = 464,43xR2 = 0,9997

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 1 2 3 4 5 6

V (V)

f (Hz)

mesures

Linaire (mesures)

627

ANNEXE : DETERMINATION DE LAMPLITUDE POUR LOSCILLATEUR DE VAN DER POL

On part de lquation de Van der Pol et on la multiplie par x dt& :

22

2O

xx 1 x x 0

x

+ + =

&& &

2

2 22O

xx.x dt x .x dt 1 x dt

x

+ =

&& & & &

On rarrange lquation obtenue grce aux relations suivantes. On a en effet :

df f 'dt= ( )2 2d x x '.dt 2 x .x.dt = = & & & && Dou ( )21x.x dt d x2=&& & & De mme : ( )2 2d x x 'dt 2 x .x .dt = = & dou ( )21x.x dt d x2=&

Lquation devient alors : ( ) ( )2 22 2 22O

1 xd x d x 1 x dt2 2 x

+ =

& &

Intgrons cette quation sur une priode. Le membre de gauche de lquation vaut alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T2 2 2T T T2 2 2 2 2 2 2 20 0 00 0

1 1 1d x d x x x x T x 0 x T x 02 2 2 2 2 2

+ = + = + & & & &

La priodicit du signal aux bornes du condensateur et aux bornes de la rsistance fait quon a en rgime permanent les conditions suivantes :

( ) ( )2 2x 0 x T= ( ) ( )2 2x 0 x T=& &

Dans ces conditions, le rsultat de lintgration du membre de gauche de lquation donne un rsultat nul. Reste maintenant intgrer le membre de droite sachant que le rsultat doit tre nul. Pour ce faire, on suppose pour x(t) une solution sinusodale :

mx x cos t= mx x sin t= &

( )T T T2 2

22 2 2 2mm2 2

O O0 0 0

x x1 x dt x cos t .sin t dt sin t dt 0x x

= = &

1cos t .sin t sin 2 t

2 =

( )2 1sin t 1 cos 2 t2

=

On a alors :

( ) ( )2 1cos t .sin t 1 cos 4 t8

=

628

( ) ( ) ( )T T T T2 2

2 22m m2 2O O0 0 0 0

x x 1cos t .sin t dt sin t dt 0 1 cos 4 t dt 1 cos 2 t dt

x 8x 2 = =

[ ] [ ]T T2

T Tm2 0 0

0 0O

x 1 1t sin 4 t t sin 2 t

4 x 4 2

= + +

( )2m

2O

x T 0 T 0 04 x

= + + =

Soit finalement : 2m

2O

x T T 0 T4 x

= 2m

2O

x 14 x

=

m 0x 2 x=

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