M ATHÉMATIQUES A PPLIQUÉES Réalisé par: Missaoui Ilham

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

Réalisé par: Missaoui Ilham

PLAN

1/ Systèmes de numérations 2/ Algèbres de Boole 3/ Dénombrement 4/ Probabilités 5/ Statistiques

2

1. SYSTÈME DE NUMÉRATIONS

3

INTRODUCTION

Toutes l’information qui circule dans un ordinateur est représentée par des nombres binaire

Le codage permet d’établir la relation entre la représentation externe et la représentation binaire

Exemple de codage : ASCII

La lettre A est représentée par le nombre : (101)8

4

INTRODUCTION

Exemples d’information:

Les nombres,Les lettres,Les images,Le son,…

5

SYSTÈMES DE NUMÉRATIONS

DéfinitionLa numération est une science qui traite de la dénomination et de la représentation graphique des nombres.

Exp : 10, 22, 100101,…

La représentation des nombres se fait chiffre par chiffre, la valeur du chiffre dépend de la valeur de la base et de la position du chiffre 6


55 88 33

5x102

8x101

3x100

aa bb cc

axB2 bxB1 cxB0

B = La Base

Généralement : Généralement : Soit une base B (avec B Є IN ) et x Є IN

Alors la x= ( an,an-1 ,…,a1, a0 )B Avec an,an-1

,…,a1, a0 a-1,…, a-p Є IN et an,an-1

,…,a1, a0 , a-1,…, a-p <B Et (x)B = an * Bn +an-1 * Bn-1 +…+a1 *B1 +a0 * B0 + a-1 * B-1 +…+ a-p * B-p

7


Remarques:

En électronique numérique, les systèmes les plus utilisés sont : - le système binaire - le système octal - le système hexadécimal

8


Système décimale

Dans le système décimale la valeur de la base est 10 Les éléments de la base sont (0,1,2,3,…,9) Exemple:

2012= 2*1000 + 0*100 + 1 * 10 + 2* 1

17,205 = 1 × 101 + 7 × 100 + 2 × 10-1 + 0 × 10-2 + 5 × 10-3

103 102 101 100

9


Système binaire

Dans le système binaire la valeur de la base est 2 Les éléments de la base sont (0,1)

Exemple:(1011) 2 = 1* 23 + 0* 22 + 1 * 21 + 1* 20 = (11)10

10


Système binaire Toute communication à l'intérieur de l'ordinateur est

faite avec des signaux électriques Pour la simplicité et fiabilité, ces signaux ont deux états

seulement :

0éteint (absence de signal électrique)1allumé (présence de signal électrique)

Une unité d'information (0 ou 1) est appelée bit (de l'anglais binary digit)

11


Système octal

Dans le système octal la valeur de la base est 8 Les éléments de la base sont (0,1,…,7)

Exemple:(700)8 = 7* 82 + 0* 81 + 0 * 80 = (448)10

12


Système hexadécimal

Dans le système hexadécimal la valeur de la base est 16

Les éléments de la base sont (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) Exemple:

(5AF) 2 = 5* 162 + 10 * 161 + 15* 160 = (1455)10

13


Représentation binaire: Dans un système binaire avec une capacité de n bits on

peut coder jusqu’à 2n nombres

Le plus grand nombre étant 2n -1

Exemple :

Soit un système binaire avec une capacité n=5 on peut coder 25 (=32) nombres

Le plus grand nombre étant : 31 dont la représentation est: (11111)2

14


Représentation binaire:

15

RÉSUMÉ

BASE 10 BASE 2 BASE 8 BASE 16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

16

RÉSUMÉ

BASE 10 BASE 2 BASE 8 BASE 16

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1100 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17


• (2)10 = (?) 2 • (8)10 = (?) 8 • (16)10 = (?) 16 • (45)10 =(?)2

2) Ecrire les nombres suivant dans la base décimale:(10110)2 , (1100)2 , (110)2 , (102)8 , (701)8 ,(11F)16 , (200A)16

18

•(260)10 = (?)8 •(1234)10 = (?)16 •(523)10 = (?)2

•(346)10 = (?)8

CORRECTION DE L’EXERCICE

19


Conversion d’une base décimale vers une base binaire:

13 2

1 6 2

0 3 2

Sens de lecture

1 1 2

(13)10=(110

1)2

1

0 20


Conversion d’une base décimale vers une base octale:

13 85 1 8

10

(13)10

=(15)8 21


Conversion d’une base décimale vers une base hexadécimale:

173 16

13 10 16

100

(173) 10=(AD)

1622


Conversion d’une base binaire vers une base octale ou hexadécimale:

1. BinaireOctale

Grouper les bits par blocs de 3 à partir du bit de poids faibleConvertir ensuite directement ces blocs en octal

Exemple :

( 110 101 110 001,001 111)2 = (6561,17)8

23


2. Binaire hexadécimale

Grouper les bits par blocs de 4 à partir du bit de poids faibleConvertir ensuite directement ces blocs en hexadécimal

Exemple Exemple : : ( 1101 0111 0001)2 = (D71)16

DD 77 11

24


Conversion d’une base octale ou hexadécimale vers une base binaire:

1. OctaleBinaire

2. HexadécimaleBinaire Traduire chaque chiffre du nombre en base 16 en nombre de 4 bits en base 2

Exemple :

(BC34)16 = ( 1011 1100 0011 0100 )22

B C 3 4

Traduire chaque chiffre du nombre en base 8 en nombre de 3 bits en base 2

Exemple :

(3157)8 = ( 011 001 101 111 )22

3 1 5 7

25


Conversion d’une partie fractionnaire de la base 10 vers une base B

Multiplier la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base BSoustraire et Conserver sa partie entièreRépéter le processus à partir de la nouvelle partie fractionnaire obtenuArrêter lorsque la précision désirée est atteinte

Exemple : (0,75)10 = ( ? )2

0,75 2 = 1,5 (on garde 1 et reste 0,5) 0,5 2 = 1,0 (on garde 1 et reste 0 : terminé)(0,75)10 = 1 2-1 + 1 2-2 = (0,11)2

26

SYSTÈMES DE NUMÉRATIONSExemple2

(0,65)(0,65)1010 = = ( ? )( ? )22 0,65 0,65 2 = 1,3 2 = 1,3 on garde 1, reste 0,3on garde 1, reste 0,30,3 0,3 2 = 0,6 2 = 0,6 on garde 0, reste 0,6on garde 0, reste 0,60,6 0,6 2 = 1,2 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2on garde 1, reste 0,20,2 0,2 2 = 0,4 2 = 0,4 on garde 0, reste 0,4on garde 0, reste 0,40,4 0,4 2 = 0,8 2 = 0,8 on garde 0, reste 0,8on garde 0, reste 0,80,8 0,8 2 = 1,6 2 = 1,6 on garde 1, reste 0,6on garde 1, reste 0,60,6 0,6 2 = 1,2 2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2on garde 1, reste 0,2……..

(0,65)(0,65)1010 = (0,10 = (0,1010011001))22

27

EXERCICES

28

SYSTÈME DE NUMÉRATION

La prochaine séance les opérations arithmétiques

Les Opérations arithmétiques

29

LA CAPACITÉ EN MÉMOIRE Bites : c’est l’unité élémentaire d’information qui

prend deux valeurs 0 ou 1

Octet : c’est un nombre de huit bits « byte en anglais ». On exprime généralement la capacité mémoire d’ordinateur en kilo-octet (Ko)

30

« Kilo-octet » 1Ko = 1 024 Octets = 210

octets« Mega-octet » 1Mo = 1024 Ko = 210 Ko =210 x 210 octets = 220 octets« Giga-octet » 1Go = 1024 Mo = 210 x 220 Octets = 230 Octets« Téra-octet » 1To = 1024 Go = 210 x 230 Octets = 240 Octets

EXERCICE

Convertir les capacités suivantes en octet:

256 Mo , 8Ko, 2Go

Correction256 Mo= Ko8Ko= To2Go=

31

LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES

L’addition

On procède comme en décimal. Quand le résultat de la somme d'une colonne est supérieure à 1 (utilise plus de 1 bit), on passe ce bit au voisin de gauche.

Exemple

32


La soustraction

Dans la soustraction binaire, on peut procéder comme en décimal : Quand la quantité à soustraire est supérieure à la quantité

dont on soustrait, on « emprunte » 1 au voisin de gauche. En binaire, le « 1 » emprunté va ajouter « 2 » à la quantité

dont on soustrait, tandis qu'en décimal il ajoute « 10 ».

Exemple

33


La multiplication

Dans la multiplication binaire, on procède comme en décimal.

Exemple

34


La division

La division binaire s'effectue à l'aide de soustractions et de décalages, comme la division décimale, sauf que les digits du quotient ne peuvent être que 1 ou 0.

Le bit du quotient est 1 si on peut soustraire le diviseur, sinon il est 0.

Exemple

35

EXERCICE Réaliser les additions suivantes:

1100 + 0011; 1111 + 0101; 10101010 + 00110011; 11001101 + 11100011

Réaliser les soustractions suivantes: 1111 – 0101; 1100 – 0011; 10101010 – 00110011;

11001101 - 01100011 Réaliser les multiplications suivantes:

00001100*00000010 00010101*00000100 10101000*00000110

Réaliser les divisions suivantes: 11000000/10 11001100/1000 110101/111 36

REPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS

Le binaire signé

Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et il faut de plus que les règles d'addition soient conservées.

1. La représentation signé-valeur:

Le signe d’un nombre est modélisé par le bit le plus fort Le bit 0 positif et le bit 1 négatif

37

REPRÉSENTATION DES NOMBRES SIGNÉS Le binaire signé

1. La représentation signé-valeur:

38

Binaire 4 Bits Décimal0111 + 70110 + 60101 + 50100 + 40011 + 30010 + 20001 + 10000 + 01000 - 01001 - 11010 - 21011 - 31100 - 41101 - 51110 - 61111 - 7


Le binaire signé 1. La représentation signé-valeur:

Inconvénients

2 zéro

39


Complément à 1:

12 est nombre codé sur 4 bits, le 5ème bit est un bit de signe (le bit de poids fort)

0 positif 1 négatif (12) =(01100)2

-(12)=(10011)2

40


Complément à 2:

Cette méthode est la seule utilisable mathématiquement, Elle permet une utilisation des nombres signés avec une représentation unique du zéro et la possibilité d'effectuer des calculs.

Exemple: (17)10=(010001)2

-17= C2 (17) =C1 (010001) + 1= 101110+1=101111

Calculez l’opération suivante :3-4 en binaire

41

LE DÉPASSEMENT EN CAPACITÉ

Dépassement en capacité

1. Retenue externe en binaire pur.

42

1000 00001000 0001

1 0000 0001

128+129 257

Retenue Externe

1

CF = 1 FAUX : pacque ça dépasse les 8 bitsCF : Carry Flat


2. Débordement en Complément à deux

a. Retenue interneune retenue interne : du bit bn-2 vers bn-1

Exemple:

b. Retenue externeretenue externe du bit bn-1 vers CF sans interne de bn-2

vers bn-1.

Exemple:43

64 0100 0000+65 +0100 0001129 CF=0 1000 0001 = -129

- 64- 65

- 129

1100 0000+ 1011 1111

CF = 1 0111 1111

44


Le débordement est un dépassement de capacité en complément à 2. Il est signalé par un bit spéciale appelé OF « Over Flat ».

45

Etude de quelques codes

CODE GRAY Le système binaire naturel n’est pas accommodé à

l’électrique Le code GRAY pallie efficacement à l'un des plus gros

problèmes de l'électronique : la non-simultanéité.

46

0 0 0 0 01 0 0 0 12 0 0 1 13 0 0 1 04 0 1 1 05 0 1 1 16 0 1 0 17 0 1 0 08 1 1 0 09 1 1 0 110 1 1 1 111 1 1 1 012 1 0 1 013 1 0 1 114 1 0 0 115 1 0 0 0

Miroire1 avec pas de 1

Miroire1 avec pas de 2

CODE DBC

Le code DCB (Décimal Codé Binaire) est une méthode de représentation du code décimal en binaire.

Il est pratiquement exclusivement utilisé dans l'affichage des données en provenance d'instruments de mesures.

Ainsi, le codage se fait par décomposition en polynômes du nombre décimal, puis par traduction des coefficients de ce polynôme en binaire.

Exemple:

(1024)10 = (0001000000100100)BCD

47

ALGÈBRE DE BOOLE

48

INTRODUCTION

49

•De nombreux dispositifs électronique, électromécanique, (mécanique, électrique, pneumatique, etc...) fonctionnement en TOUT ou RIEN.Ceci sous-entend qu’ils peuvent prendre 2 états.

Exemple :· arrêt marche· ouvert fermé· enclenché déclenché· avant arrière· vrai faux· conduction blocage

Utilisation de 2 variables ne possédant que deux valeurs mathématique (0 ou 1) Système binaire

QUELQUES NOTIONS

Variable logique ou variable binaire La variable logique est une grandeur qui peut prendre

2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1. Cette variable binaire se note par une lettre comme en

algèbre. Fonction logique

Une fonction logique est le résultat de la combinaison d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations mathématiques Booléennes bien définies.

La valeur résultante de cette fonction ne peut être que 0 ou 1.

Une fonction logique possède donc une ou des variables logiques d'entrée et une variable logique de sortie.

50

QUELQUES NOTIONS

Table de vérité Table de correspondance entre les variables

binaires traitées par une fonction logique et le résultat de la fonction logique.

Exemple de fonction logique : la fonction interrupteur I est la valeur de l'interrupteur, 1 pour ouvert, 0 pour fermé. L est l'état de la lampe située après l'interrupteur.

51

I L

0 1

1 0

QUELQUES NOTIONS

Exemple2: La salle a deux fenêtres, protégés par des volets.

Elle n'est éclairée que lorsqu'au moins une fenêtre est ouverte. a représente l'ouverture de la première fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). b représente l'ouverture de la deuxième fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). S représente l'éclairage de la salle (0 pour non éclairée, 1 pour éclairée). La table de vérité est :

52

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

QUELQUES NOTIONS

La forme canonique On reprend la table de l’exemple précédent

Donc S peut s’écrire de la manière suivante: _ _

S=a.b+a.b+a.b

Cette écriture est appelée forme canonique 53

a b S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

S=1 si a=1 et b=1ou a=1 et b=0ou a=0 et b=1

LES FONCTIONS LOGIQUES FONDAMENTALES

La fonction Non

Son symbole:

a F

54

a F

0 1

1 0

_F= a


La fonction OU (Or)

Ou encore : X = a b ==> disjonction : a ou b (ou les deux)

Son symbole:a F

b 55

a b F

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

F=a+b


56

La fonction OU (Or)

Ou encore : X = ab ==> conjonction: a et b (ou les deux)

Son symbole:a F

b

a b F

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

F=a.b

SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES

Deux méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique

Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh

57

LES LOIS D’ALGÈBRE DE BOOLE Pour simplifier des circuits logiques, on a besoin de

connaître les lois de Boole. Pour trouver ces lois on utilise les tables de vérité des opérateurs ET, OU, NON

1) l’identité 1.A=A & 0+A=A

2) Nullité 0.A=0 & 1+A=1

3) Associativité (A.B).C=A.(B.C) & (A+B)+C=A+(B+C)

4) Commutativité A.B=B.A & B+A=A+B

5) Distributivité A.(B+C)=A.B+A.C

6) Idempotence A.A=A & A+A=A

7) Inversion A. A = 0 A+A =1

8) Absorption A.(A+B)=A & A+A.B=A

9) Loi de Morgan (A.B)= A + B & (A+B) = A.B

58

TABLEAU DE KARNAUGH La méthode du tableau de Karnaugh va nous

permettre d'effectuer des simplifications beaucoup plus rapidement sans avoir à écrire de longues équations.

C'est un tableau de 2n cases, n étant le nombre de variables.

Sur les lignes et colonnes, on place l'état des variables d'entrée codées en binaire réfléchi (code Gray)

59

TABLEAU DE KARNAUGH

Exemple :

60

a b F

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

0 1

1 1

b\a 0 10

1

1

2

TABLEAU DE KARNAUGH

Lecture du tableau:

Le premier cadre: a=0 et b prend deux valeurs (0 ou 1) on garde

a Le deuxième cadre:

b=0 et a prend deux valeurs (0 ou 1) On garde b

61

Le résultat de la simplification et la disjonction des termes trouvés

Le résultat est donc f(a,b) = a+b

TABLEAU DE KARNAUGH

Exemple 2:

62

a b c F

0 0 0 0

1 0 0 1

0 1 0 0

1 1 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

0 1 1 1

1 1 1 1

TABLEAU DE KARNAUGH

0 0 0 1

1 1 1 0

63

c\ab 0 0 01 11 10

01

64

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