M. Ben Miled Traductions L’algèbre dans la tradition d’al ... · L’Algèbre d’al-Khawarizmi Introduction Trois termes Une combinatoire Algorithmes Autres équations Traductions

L’algèbre

M. Ben Miled

L’Algèbre d’al-Khawarizmi

Traductions

Sujets d’opérations

Réforme

Aux fondements de cettenouvelle algèbre

Bibliographie

L’algèbre dans la traditiond’al-Khawarizmı à al-Karajı

Marouane ben [email protected]

Institut MÉditerranéen d’Études Avancées (IMéRA)-Marseille;LAboratoire de Modélisation mathématique et numérique

dans les Sciences de l’INgénieur (LAMSIN)-Tunis

Marseille, le 13 mars 2011

L’algèbre

M. Ben Miled

L’Algèbre d’al-KhawarizmiIntroduction

Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie

L’algèbre dans la tradition d’al-Khawarizmı

Un langages abstraitL’algèbre, tel que l’élabore al-Khawarizmı, apparaîtimmédiatement comme un lieu d’interprétation desmathématiques « des anciens », un langage abstrait danslequel sont traduits concepts, constructions et propositionsgéométriques et arithmétiques.

Un pont interprétatifL’algèbre, agit alors comme un pont sur lequel géométrie etarithmétique se rencontrent et s’expriment dans une languecommune.

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie

L’algèbre dans la tradition d’al-Khawarizmı

Un langages abstraitL’algèbre, tel que l’élabore al-Khawarizmı, apparaîtimmédiatement comme un lieu d’interprétation desmathématiques « des anciens », un langage abstrait danslequel sont traduits concepts, constructions et propositionsgéométriques et arithmétiques.

Un pont interprétatifL’algèbre, agit alors comme un pont sur lequel géométrie etarithmétique se rencontrent et s’expriment dans une languecommune.

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie

L’Algèbre d’al-Khawarizmı

Trois termes primitifsDans son Algèbre, al-Khawarizmı commence par poser troistermes, qu’il appelle « nombres » (’a‘dad)

al-mal : Argent, richesse ;al-jidhr : Racine ;

al-‘adad : Nombre.

Il pose que le mal est le carré du jidhr.

RemarqueLe nombre est une classe de nombres. Il y a donc deuxacceptions différentes de ce mot, l’une plus générale quel’autre.

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie


Trois termes primitifsDans son Algèbre, al-Khawarizmı commence par poser troistermes, qu’il appelle « nombres » (’a‘dad)

al-mal : Argent, richesse ;al-jidhr : Racine ;

al-‘adad : Nombre.

Il pose que le mal est le carré du jidhr.

RemarqueLe nombre est une classe de nombres. Il y a donc deuxacceptions différentes de ce mot, l’une plus générale quel’autre.

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie


Trois termes primitifsNous pouvons déjà dire que selon la représentation actuelle :

al-mal correspond à x2 ;al-jidhr correspond à x ;

al-‘adad : Nombre ; qui correspond à la classe de nosnombres entiers positifs, ou parfois rationnels ;

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie


Une combinatoire et six équationsEn envisageant toutes les possibilités de combiner cestermes par addition, de façon à écrire des égalités,al-Khawarizmı obtient des « phrases ».

Appelons-les les six équations canoniques� des mal sont égaux à des choses (ax2 = bx) ;� des mal sont égaux à des nombres (ax2 = c) ;� des choses sont égales à des nombres (bx = c) ;� des mal plus des choses sont égaux à des nombres

(ax2 + bx = c) ;� des mal plus des nombres sont égaux à des choses

(ax2 + c = bx) ;� des choses plus des nombres sont égaux à des mal

(bx + c = ax2).

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie


Une combinatoire et six équationsEn envisageant toutes les possibilités de combiner cestermes par addition, de façon à écrire des égalités,al-Khawarizmı obtient des « phrases ».

Appelons-les les six équations canoniques� des mal sont égaux à des choses (ax2 = bx) ;� des mal sont égaux à des nombres (ax2 = c) ;� des choses sont égales à des nombres (bx = c) ;� des mal plus des choses sont égaux à des nombres

(ax2 + bx = c) ;� des mal plus des nombres sont égaux à des choses

(ax2 + c = bx) ;� des choses plus des nombres sont égaux à des mal

(bx + c = ax2).

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie

Une résolution algorithmique

Six algorithmes. . .Pour chacune de ces six équations, al-Khawarizmı donne unalgorithme permettant de trouver la ou les solutions positives,lorsqu’elles existent ;

. . . démontréschaque algorithme est démontré par des techniquesalgébrico–géométriques.

Démonstrations reprises plus tard de façonrigoureusepar Thabit b. Qurra qui établira, en passant, l’équivalenceentre la résolution algébrique et son interprétationgéométrique à partir du Livre II des Éléments d’Euclide.

L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie





L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie





L’algèbre

M. Ben Miled


Trois termes

Une combinatoire

Algorithmes

Autres équations

Traductions


Réforme


Bibliographie

Toutes les équations des deux premiersdegrés

Al-jabr et al-muqabalaPuis, al-Khawarizmı montre comment toutes les autreséquations des deux premiers degrés se ramènent à l’une deces six formes, par les deux opérations al-jabr et al-muqabala.

L’algèbre

M. Ben Miled


TraductionsIrrationnelles

Commentaire d’al-Mahanı


Réforme


Bibliographie

Les mathématiques grecques connaissentalors une double traduction

du grec vers l’arabeLe mouvement de traductions du grec vers l’arabe queconnaît le troisième siècle de l’hégire s’accompagne d’uneseconde traduction :

des deux cadres arithmétique et géométriquegrecquesdans les termes de l’Algèbre d’al-Khawarizmı.

pardes mathématiciens comme Thabit b. Qurra, Qust.a b. Luqa,Abu al-Wafa’ al-Buzjanı, al-Mahanı, al-Khazin, al-Ahwazı . . .

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

En ce qui concerne les grandeursirrationnelles

définies dans le Livre X des Élémentselles sont redéfinies dans un cadre quantitatif, susceptibled’être soumis aux calculs,

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Définition numérique des lignes rationnelleset sourdes

Association des lignes à des quantités algébriquesDans son Explication du Dixième Livre, al-Mahanı associe leslignes droites à des quantités numériques construites parsommes et différences finies et par radicaux d’ordres 2n3m

(n,m ≥ 0).

définies par « la parole »Les lignes dont les quantités numériques sont exprimablespar la parole (i.e. sans radicaux) sont rationnelles (munt.aqa,traduction du grec �ηταί), les autres sont dites sourdes(s. umma, traduction du grec �λογοι).

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Le texte

Les droites, du point de vue de l’expression, n’ont que deuxsens : soit elles sont rationnelles, comme lorsqu’on dit dix,douze, trois et demi, six et un tiers et leurs analogues dont onexprime la grandeur et prononce la quantité ; soit, elles nesont pas rationnelles et s’appellent sourdes : celles dont onne peut pas exprimer la grandeur ni prononcer la quantité,comme les racines des nombres qui ne sont pas carrés telsdix, quinze, vingt et les côtés des nombres qui ne sont pasdes cubes et les autres bords et extrémités des nombres, oucelles obtenues par composition ou soustraction, oucomposition avec une rationnelle, ou dont est soustraite unerationnelle, ou qui sont soustraites d’une rationnelle, et lesespèces de composition et de soustraction semblables à cela.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Traduction algébrique des propositions

Les constructions issues des propositions duLivre Xdonnent lieu à des équations à résoudre selon la méthoded’al-jabr et d’al-muqabala,

ou des calculs algébriquesqui mettent en oeuvre les quatre opérations de l’arithmétique,l’extraction de la racine carrée et les techniques dedéveloppement, factorisation, changement de variable.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Exemple

Propositions X.91 à 96 et 97 à 102qui appartiennent à la même famille que lesPropositions X.54 à 59 et 60 à 65.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Propositions X.91 and 97

La Proposition X.91 établit quela droite dont le carré est égal au rectangle de côtés unerationnelle et la première apotomé, est la droite apotomé.

dans le texte d’al-Mahanıl’exemple 9 −

√45 est traité.

Comme T = 9 et C =√

45, on obtient : T1 = 7 + 12 et

T2 = 1 + 12 d’où,

�9 −

√45 =

�7 +

12−�

1 +12

Qui vérifie le critère qui définit les apotomesL’auteur vérifie que

�7 + 1

2 −�

1 + 12 est une apotome.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Le texte

Calcul de l’apotomé du Dixième Livre de l’ouvraged’Euclide [. . . ] Racine de la première apotomé, par la voiedu nombre et de la quantité<La première apotomé> est neuf moins racine dequarante-cinq. Pour connaître sa racine, sache que la racinede la première apotomé est aussi une apotomé. Partage letout, qui est neuf, en deux parties dont le produit est commele quart du carré du congru, qui est quarante-cinq, et dont lequart est onze et quart. Pour partager neuf en deux partiesdont le produit soit onze et quart, nous procédons par la voied’al-jabr et al-muqabala. Nous disons alors que nous savonsqu’une partie est une chose et l’autre, neuf moins une chose.La multiplication de neuf moins une chose par une chosedonne neuf choses moins un mal qui est égal à onze et quart.Alors opère al-jabr et al-muqabala : il vient onze et quart et unmal qui est égal à neuf choses. Le problème devient alors desmal plus un nombre est égal à des racines.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

suiteEffectue cela en partageant les racines en deux moitiés etmultiplie-les par elles-mêmes, ce qui donne vingt et quart.Soustrais-en le nombre qui est avec le mal et qui est onze etquart, il reste neuf, sa racine est trois. Tu l’ôtes de la moitiédes racines, qui est quatre et demi, il reste un dirham et unedemi-chose. C’est l’une des parties de neuf, l’autre est sept etdemi. Or sept et demi multiplié par un et demi est onze etquart, qui est comme la moitié de la racine de quarante-cinqmultipliée par elle-même. Voici alors trois grandeursproportionnelles : la première et la troisième sont les deuxparties du neuf, qui sont sept et demi et un et demi, et lamoyenne est la moitié de la racine de quarante-cinq. D’où,lorsqu’on multiplie le premier par le troisième, on trouve lamoitié de la racine de quarante-cinq par elle-même. Alors lesdeux parties de neuf sont sept et demi et un et demi, la racinede la plus grande partie, dont est soustrait la racine de la pluspetite partie, donne racine de <(>neuf moins racine dequarante-cinq<)> qui est la première apotomé. La racine de lapremière apotomé est aussi une apotomé, c’est la racine desept et demi moins la racine d’un dirham et demi.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Calculer√

T − C =√

T2 −√

T1 (X.91 à 96)

Soit A = T − C une apotomé (T et C sont incommensurablesen longueur et commensurables en puissance, avec T ≥ C).

Soient T1,T2 tels que�

T1 + T2 = TT1T2 = C2

4

T1 et T2 ont été choisis de façon à ce que√

A =√

T2 −√

T1.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

On détermine T1 et T2 par al-jabr etal-muqabala

Poser une inconnuePosons x = T1 alors, T2 = T − x et T1T2 = x(T − x).

Se ramener à une équation d’al-KhawarizmıOn a alors, x(T − x) = C2/4 d’où, Tx − x2 = C2/4

réduite à l’une des six formes canoniquesque l’on résout en appliquant les opérations al-jabr etal-muqabala pour se ramener à l’une des six formescanoniques d’al-Khawarizmı Tx = x2 + C2/4 dont on connaîtles solutions.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

On détermine T1 et T2 par al-jabr etal-muqabala

Poser une inconnuePosons x = T1 alors, T2 = T − x et T1T2 = x(T − x).

Se ramener à une équation d’al-KhawarizmıOn a alors, x(T − x) = C2/4 d’où, Tx − x2 = C2/4

réduite à l’une des six formes canoniquesque l’on résout en appliquant les opérations al-jabr etal-muqabala pour se ramener à l’une des six formescanoniques d’al-Khawarizmı Tx = x2 + C2/4 dont on connaîtles solutions.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

La solution

On obtient alors

x =T ±

√T 2 − C2

2En supposant que T2 > T1 on obtient

T2 =T +

√T 2 − C2

2

T1 =T −

√T 2 − C2

2et l’on a √

A =�

T2 −�

T1

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Vérification

par le calculOn vérifie l’égalité obtenue en faisant (

√T2 −

√T1)2 qui,

après développement et remplacement de T1 et de T2 parleurs valeurs, donne T − C, c’est-à-dire A.

qui estla traduction algébrique des Propositions X.97 à 102.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Exemples des Propositions X.91 and 97

La traduction algébrique de X.97 consiste à vérifierle résultaten l’élevant au carré

�7 + 1/2 −

�1 + 1/2pour trouver

9 −√

45.

ce qui nécessite des techniques de calculsalgébriquesdont la règle des signes.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Le texte

<Vérification> Pour le vérifier, nous multiplions la racine desept et demi moins la racine de un et demi par elle-même. Laracine de sept et demi par elle-même est sept et demi. Nousmultiplions moins racine de un et demi par elle-même, ce quidonne un et demi. La racine de sept et demi par moins laracine de un et demi deux fois donne moins racine de onze etquart deux fois. Alors multiplie deux par deux qui sont quatre.Puis multiplie cela par onze et quart qui donne quarante-cinq.Donc la première apotomé est neuf moins racine dequarante-cinq et sa racine est racine de sept et demi moinsracine de un et demi.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Règles de calculs algébriques

utilisées par l’auteur (celles marquées d’une étoile existedans l’Algèbre d’al-Khawarizmı) :

Pour tout a, b > 0 rationnels ou irrationnels, pour touteinconnue x ,

aa = a2 (∗)

(a+b)(a+b) = a2+b2+2ab, (a−b)(a−b) = a2+b2−2ab (∗)√

a√

a = a (∗),�√

a�√

b =

�√ab

(Al-Khawarizmı avait déjà introduit la règle√

a√

b =√

ab)

a√

b =√

a2b (∗), x√

b =√

x2b,√

x2 = x (∗), a�√

b =

��(a2)2b

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Règles de calculs algébriques

Pour simplifier√

a ±√

b, quand 2ab est un carréparfaitl’auteur fait

�(√

a ±√

b )2, il trouve ainsi�

a + b ±√

2ab, quiest le carré d’un nombre.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Les objectifs algébriques diffèrent desobjectifs géométriques

La forme algébrique de ces propositions donne naissance àde nouveaux objectifs.

ainsi, les Propositions X.97 à 102sont la vérification des Propositions X.91 à 96 ;

tandis que les Propositions X.91 à 93consistent en la recherche d’une écriture algébrique plussimple, dans le sens où les radicaux ne sont appliqués qu’àdes quantités monômes.

�9 −

√45 =

�7 +

12−�

1 +12

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Les objectifs algébriques diffèrent desobjectifs géométriques

La forme algébrique de ces propositions donne naissance àde nouveaux objectifs.

ainsi, les Propositions X.97 à 102sont la vérification des Propositions X.91 à 96 ;

tandis que les Propositions X.91 à 93consistent en la recherche d’une écriture algébrique plussimple, dans le sens où les radicaux ne sont appliqués qu’àdes quantités monômes.

�9 −

√45 =

�7 +

12−�

1 +12

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Incohérence

Certaines propositions deviennent inconsistantes(ie elle ne font plus sens) une fois traduites dansune forme algébriquePour les Propositions X.94 à 96, les motivations algébriquessont vaines car les calculs ne produisent pas les racines demonômes.

ExempleL’auteur traite l’exemple suivant de quatrième apotomé :(6 −

√24). Sa racine est donc sous sa forme à calculer la

racine d’une différence de monômes (�

6 −√

24), mais saforme calculée est (

�3 +

√3 −

�3 −

√3).

et il n’y a pas espoird’obtenir la simplification recherchée en réitérant latransformation algébrique car la forme calculée elle-même laracine de la quatrième apotomé (

�3 −

√3).

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Incohérence





6 −√


�3 +

√3 −

�3 −

√3).


�3 −

√3).

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Incohérence





6 −√


�3 +

√3 −

�3 −

√3).


�3 −

√3).

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Incohérence

L’auteur le déploreen disant que l’extraction de la racine de la quatrièmeapotomé « nécessite de la connaître avant d’aboutir aurésultat, comme c’est le cas à cette étape du problème qui serépète perpétuellement ».

Mais il acceptela forme obtenue car c’est celle de l’irrationnelle mineureobtenue dans la Proposition X.94 qu’il est en train de traduirealgébriquement.

Seul la tradition géométrique justifie encored’énoncer ces propositions qui ne font plus sens sous leursnouvelles formes algébriques.

L’algèbre

M. Ben Miled





Réforme


Bibliographie

Incohérence

L’auteur le déploreen disant que l’extraction de la racine de la quatrièmeapotomé « nécessite de la connaître avant d’aboutir aurésultat, comme c’est le cas à cette étape du problème qui serépète perpétuellement ».

Mais il acceptela forme obtenue car c’est celle de l’irrationnelle mineureobtenue dans la Proposition X.94 qu’il est en train de traduirealgébriquement.

Seul la tradition géométrique justifie encored’énoncer ces propositions qui ne font plus sens sous leursnouvelles formes algébriques.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie

Alors sont des quantités algébriques . . .

sujettes aux calculs

� les nombres (entiers), pluralités d’unité ;� le chay’ et son carré ;� et « toutes » les grandeurs devenues des quantités

irrationnelles.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie


sujettes aux calculs� les nombres (entiers), pluralités d’unité ;

� le chay’ et son carré ;� et « toutes » les grandeurs devenues des quantités

irrationnelles.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie


sujettes aux calculs� les nombres (entiers), pluralités d’unité ;� le chay’ et son carré ;

� et « toutes » les grandeurs devenues des quantitésirrationnelles.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie


sujettes aux calculs� les nombres (entiers), pluralités d’unité ;� le chay’ et son carré ;� et « toutes » les grandeurs devenues des quantités

irrationnelles.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


RéformeOpérations

Interprétation

Tableaux


Bibliographie

Réforme de l’algèbre

Début XIe siècleLe calcul algébrique, commencé avec al-Khawarizmı, donnelieu à une réforme de l’algèbre conçue par al-Karajı :

calculer sur ces « nombres » d’un genre nouveauaboutit au projet de focalisation sur l’étude spécifique desalgorithmes de calcul, indépendamment de l’objet du calcul,ce sont les débuts du calcul formel.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


RéformeOpérations

Interprétation

Tableaux


Bibliographie

Réforme de l’algèbre

L’opération devient l’objet de l’algèbreles algorithmes de calculs sont alors étudiés poureux-mêmes ;

Le nombre est alors un support muet du calculet de terme d’une équation (connu ou inconnu), le nombredevient alors variable :

la variable de basedu polynôme, ainsi que le polynôme lui-même.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


RéformeOpérations

Interprétation

Tableaux


Bibliographie

Des variables et de leurs interprétations

L’interprétation de la variable sous forme� d’inconnues ;� de quantités irrationnelles ;� grandeurs géométriques ;� ou simplement de nombre entiers ,

permet d’atteindre tous les nombres de niveaux d’abstractioninférieurs .

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


RéformeOpérations

Interprétation

Tableaux


Bibliographie

Des tableaux objets de calculs

Au XIe siècleal-Samaw’al décrit dans son Algèbre les algorithmes sur destableaux et dans des tableaux :

le nombren’est plus ici que le tableau, objet d’un calcul (pour lesnombres polynômes),et également chaque case du tableau (pour les nombresmonômes).

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


RéformeOpérations

Interprétation

Tableaux


Bibliographie

Des tableaux objets de calculs

le nombre

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

x7 x6 x5 x4 x3 x2 x 1 1x

1x2

1x3

1x4

1x5

1x6

1x7

TABLE: Tableau des monômes

7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0 a−1 a−2 a−3 a−4 a−5 a−6 a−7

TABLE: Tableau des polynômes

où chaque ai est le coefficient de xi dans le polynôme : il peutêtre positif, nul (case vide) ou négatif.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme

Aux fondements de cettenouvelle algèbreTout est nombre

Bibliographie

Causes du calcul algébrique

Quels fondements pour cette nouvelle discipline ?Conscient du fait que la rupture avec la géométrie nécessitaitde fonder la nouvelle discipline sur un socle permettant dedéfinir les nouveaux objets (variables et opérationsabstraites), et de justifier les calculs indépendamment desfondements axiomatiques de la géométrie, al-Karajı rédigeraun texte qui a pour titre Causes du calcul d’al-Jabr etd’al-Muqabala

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie

Causes du calcul algébrique

dont voici l’introductionJ’ai voulu établir la démonstration de ce que j’ai représenté de ladivision des racines et d’autre que cela, de ce que j’ai démontrés parles lignes et les figures, en ce que cela établitun argument de visuque l’on ne peut réfuter et qui est suffisant.[. . . ]Ainsi, j’ai vu que je dois expliciter ces démonstrations dans [ce] livre ;elles sont l’élément par lequel disparaît le doute dans tout ce que j’aiétabli et l’argument qui coupe court à toute lacune ; et que je doisétablir, sur ces figures, des démonstrations par l’algèbre etl’arithmétique, sur lesquelles s’appuie celui pour qui la voie desdroites et des figures s’avère hermétique, afin d’obtenir la justessede la démonstration telle que je l’ai figurée, pour tous ceux qui ontexaminé ce livre, parmi ceux qui s’adonnent à la science du calcul.[Et j’ai vu que je dois] ajouter à cela la sciences de la démonstrationpour la multiplication des racines, leur partage, leur produit, leursomme, par cette technique de travail , si cela est nécessaire, carcelui qui l’examine doit maîtriser cette discipline et la dominer.Dieu pourvoit la conciliation.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie

Tout est nombre

Potentiellement,tout nouvel objet mathématique à venir, susceptible d’êtresoumis aux calculs, i.e. tout objet d’opération, est un nombre.

L’algèbre

M. Ben Miled


Traductions


Réforme


Bibliographie

Bibliogaphie succinteM. BEN MILED – « Les commentaires d’al-Mahanı et d’un anonyme duLivre X des Éléments d’Euclide », Arabic sciences and philosophy,Cambridge University Press 9 (1999), no. 1, p. 89–156.

— , « Les quantités irrationnelles dans l’œuvre d’al-Karajı », in DeZénon d’Élée à Poincaré (R. Morelon & A. Hasnawi, éds.), Les cahiersdu Mideo, no. 1, Éditions PEETERS, 2004, p. 27–54.

— , Opérer sur le Continu, traditions arabes du Livre X des Élémentsd’Euclide, Histoire des Sciences, Académie tunisienne Beït al-H. ikma,Carthage, 2005, Préface de Roshdi Rashed.

AL-KARAGI – L’algèbre al-Badı‘, Manuscrit de la Bibliothèque VaticaneBarberini Orientale, no. 36, 1, Beyrouth, 1964, Édité par Adel Anbouba.

AL-KARAJI – « ‘Ilal h. sab al-Jabr wa’l-muqabalat wa’l-burhan ‘alayhi »,Manuscrit.

— , « Al-Fakhrı », in Tarıkh ‘ilm al-jabr fı ’l-‘alim al-‘arabı (A. S. Sa‘ıdan,éd.), vol. I, Kuwait, 1986, p. 95–308.

M. I. M. AL-KHWARIZMI – Le commencement de l’algèbre, Sciencesdans l’histoire, Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard,Paris, 2007, Texte établi, traduit et commenté par Roshdi Rashed.

Documents

M. Ben Miled Traductions L’algèbre dans la tradition d’al ... · L’Algèbre d’al-Khawarizmi Introduction Trois termes Une combinatoire Algorithmes Autres équations Traductions