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M canique des milieux continus - · PDF file Le cours porte sur la mécanique des milieux continus tridimensionnels. Quatre as-pects sont plus particulièrement considérés : 1. La

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    Avant propos

    Le cours porte sur la mécanique des milieux continus tridimensionnels. Quatre as- pects sont plus particulièrement considérés :

    1. La modélisation macroscopique des milieux continus et de leur mouvement, en y décrivant les déformations et en rappelant les lois de conservation que doit respecter tout mouvement ;

    2. la description des efforts qui génèrent le mouvement des milieux continus, avec l’introduction de la notion de contraintes et l’écriture des équations globales qui les régissent ;

    3. L’introduction à l’échelle microscopique des comportements élémentaires qui per- met de compléter la modélisation en introduisant les relations de comportement traduisant le lien local entre déformations et efforts ;

    4. La résolution de problèmes d’équilibre élastique. Cette étape de résolution de problèmes globaux utilise le principe des puissances virtuelles pour écrire, analy- ser et résoudre les problèmes posés, et pour en valider les solutions. Elle permet d’aborder de nombreuses situations pratiques et de sensibiliser les étudiants aux problèmes de distribution d’efforts, de discontinuités de solutions, d’incompatibi- lité de déformations, et d’instabilités géométriques.

    5. la résolution de problème de Saint-Venant, qui est le problème de base de la Résistance des Matériaux Sidoroff (2010).

    Il ne s’agit pas dans ce cours de présenter une théorie fermée, mais de faire découvrir un domaine scientifique en évolution, avec ses enjeux, ses problèmes ouverts, et ses nombreuses implications scientifiques, techniques ou industrielles. Les notes de cours ne cherchent pas non plus à être un document de référence. Elles définissent plutôt un point de départ pour développer une démarche, susciter une réflexion, accompagner le cours oral et aider au travail en petites classes.

  • iv

  • Notations et Symboles

    Variables :

    x, α, scalaire (lettre majuscule ou miniscule, caractère règulier ou italique).

    ρ : Masse volumique.

    Φi(XJ , t) : Equation paramétrée en t de la trajectoire de la particule identifiée par la position M0 en description Lagrangienne.

    ψI(XJ , t) : Equation paramétrée en t de la trajectoire de la particule identifiée par la position M0 en description Eulérienne.

    Vecteurs :

    X⃗, x⃗ : Vecteur de position (généralement minuscule ou majuscule).

    −−−−−→ u(XJ , t) : Vecteur déplacement

    −−−−−→ V (M, t) : Vecteur vitesse.

    −−−−→ γ(M, t) : Vecteur accélération.

    Tenseur :

    ε ; σ : Tenseur de déformation et de contrainte (généralement double soulignement pour indiquer la dimension)

    F : Tenseur gradient ou application linéaire tangente. Il permet de caractériser les différentes transformations.

    C : Tenseur de Cauchy-Green droit.

    B : Tenseur de Cauchy-Green gauche.

    A :Tenseur des déformations d’Euler-Almansi.

    E : Tenseur des déformations de Green-Lagrange.

  • vi

    S : Tenseur sphérique.

    D : Tenseur de déviateur de contrainte.

  • Table des matières

    Table des matières xi

    Table des figures xiii

    Liste des tableaux xiv 0.1 Présentation générale du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    Introduction 1

    I Cinématique et dynamique des milieux continus 3

    1 Descriptions de la Mécanique des Milieux Continus 4 1.1 Domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Le cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3.1 Milieu continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Hypothèse de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.1 Continuité du domaine matériel étudié . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4.2 Continuité de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.5 Variables d’études . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.1 Référentiels - Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.2 Description Lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.3 Description Eulérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.4 Dérivation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Execices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    1.7.1 Ex :1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.2 Ex :2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7.3 Ex :3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2 Déformations d’un milieu continu 17

  • viii

    2.1 Tenseur Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Exemple dans le cas d’une déformation homogène triaxiale . . . 20 2.1.2 Etude tridimensionnelle des déformations . . . . . . . . . . . . . 21

    2.2 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Base principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Tenseur des déformations linéarisé . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Etude des petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.4 Directions principales ; déformations principales . . . . . . . . . 33

    2.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Conditions de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.4.1 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Vitesse de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.5.1 Taux de déformation lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.2 Taux de déformation eulérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.3 Interprétation du tenseur taux de déformation . . . . . . . . . . 43

    2.6 Execices d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.1 Ex :1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.2 Ex :2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.3 Ex :3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3 Etat de contrainte dans les milieux continus 46 3.1 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.1.1 Dérivée particulaire d’une intégrale de volume . . . . . . . . . . 47 3.2 Théorème de l’intégrale nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Théorème de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Expression générale d’une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . 50

    3.4.1 Exemple : Equation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Contraintes dans un domaine matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.5.1 Loi fondamentale de la mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.2 Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.3 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.4 Equilibre dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5.5 Propriétés du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3.6 Cercle de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.1 Principe de la représentation de Mohr . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6.2 Domaine engendré par l’extrémité du vecteur contrainte dans le

    plan de Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6.3 Description des cercles principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.6.4 Quelques conséquences pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.6.5 Etats de contraintes remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

  • ix

    3.7.1 Poutre droite de section circulaire sollicitée en flexion pure com- binée avec de la torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    3.7.2 Critére de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    II Lois de Comportement et élasticité linéaire 79

    4 Lois de Comportement des milieux continus 80 4.1 Bilan des Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.1.1 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Thermodynamique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.2.1 Premier Principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.2 Second Principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.3 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    4.3 Thermo-élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3.1 Première approche de l

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