M ethodes d’adaptation pour la simulation num erique · 2017. 5. 9. · 1.1 Analyse fonctionnelle Dans le cours, on consid ere comme domaine d’ etude un ouvert born e de Rdavec

Pascal Frey

Methodes d’adaptationpour la simulationnumerique

Notes du cours de M2Mathematiques de la modelisation, UPMC

25 fevrier 2010

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Introduction

Dans les disciplines scientifiques, la simulation est une methode qui permetd’analyser theoriquement les resultats d’une action sur un element reel, sansnecessairement realiser cette action. De ce point de vue, la simulation rem-place l’experimentation. Dans Wikipedia, on trouve les definitions suivantes.”On appelle modele un element, analogique ou numerique, dont le compor-tement vis-a-vis d’un phenomene est similaire a celui de l’element a etudier.Les sorties sont les elements que l’on veut etudier. Les entrees, parametres etcontraintes sont les elements dont la variation influe sur le comportement dumodele ; on appelle entree ceux qui sont commandes par l’experimentateur,parametres ceux que l’operateur choisit de fixer et contraintes ceux quidependent d’elements exterieurs. On appelle simulation l’ensemble constituepar un modele, les ordres d’entree, les parametres et contraintes, et lesresultats obtenus.”

La simulation numerique repose sur la representation d’un phenomenepar un modele compose d’equations et permet d’en etudier le fonctionne-ment (actuel et futur) et les proprietes. Il ne s’agit pas de representer le reelmais de se comporter comme dans la realite, avec l’eventualite ultime d’uneperte de referent que Jean Baudrillard assimile a un vide du sens, donnant larepresentation pour une realite. ”A l’horizon de la simulation, non seulementle monde reel a disparu mais la question de son existence meme n’a plus desens”.

Mais modeliser mathematiquement un phenomene requiert une connais-sance approfondie de celui-ci, qui suppose une analyse et une comprehensionprealable de son fonctionnement. Cette demarche implique souvent plusieursdisciplines. Beaucoup de modeles qui nous interessent sont constitues d’uneequation aux derivees partielles (EDP) ou d’un systeme d’EDP. Il est fon-damental de connaıtre les hypotheses sur lesquelles ce modele repose etd’identifer precisement le domaine dans lequel il s’applique. A cette etape demodelisation succede une etape d’analyse mathematique qui vise a demontrerl’existence et l’unicite d’une solution au probleme pose, ainsi que sa stabi-lite par rapport aux conditions initiales, aux conditions aux limites et aux


4

parametres du modele. Dans ce cas uniquement, le probleme sera considerecomme bien pose (au sens d’Hadamard) et on pourra s’attacher a en ca-racteriser, par exemple au sens de la regularite, et a en calculer la solution.La simulation numerique, s’attachera ensuite a calculer des approximations decette solution puisque pour la plupart des modeles, aucune solution analytiquen’est connue. L’analyse numerique vise a selectionner une methode d’approxi-mation en fonctions de criteres mathematiques (convergence, consistance, sta-bilite, estimation d’erreur), mais sans negliger pour autant des considerationsinformatiques ou la notion de cout calcul le dispute a la notion de precisionnumerique.

Algorithmemathématique numérique(maths, physique..)

Modèle

(4)(3)(2)(1)

AnalyseAnalyse

Fig. 0.1. Du modele mathematique a la simulation numerique, une approche mul-tidisciplinaire.

Dans ce cours, on se concentre autour des aspects de pre et de post-traitement de la chaıne de simulation numerique et notamment autour ducontrole de l’erreur d’approximation u−uh dans le cas d’EDP admettant uneformulation variationelle, i.e., lorsque la solution u est solution du probleme

Trouver u ∈ X tel que a(u, v) = l(v), pour tout v ∈ X

ou X est un espace de Hilbert, a(·, ·) une forme bilineaire sur X ×X et l(·)une forme lineaire sur X. La solution approchee uh est souvent obtenue parla resolution d’un probleme approche

Trouver uh ∈ Xh tel que a(uh, vh) = l(vh), pour tout vh ∈ Xh

ou Xh est un sous-espace de X de dimension finie.

Ces notes contiennent tous les resultats et methodes presentes dans le cours(parfois sous forme condensee). Elles sont organisees sous la forme de 12 leconset seront mises a jour et corrigees au fil de l’expose. Tous les commentaires etremarques peuvent etre adresses a [email protected].


5

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– Hege H.C., Polthier K., Mathematical Visualization Algorithms. Appli-cations and Numerics, Springer-Verlag, Berlin, (1998).

– Nielson G., Hagen H., Muller H., Scientific visualization - Overview,methodologies and techniques, IEEE Computer Society Press, (1997).

– Thalmann D., Scientific visualization and graphic simulation, Wiley,(1990).



Table des matieres

1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1 Analyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 La methode des elements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 Systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7 Geometrie differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Triangulations et maillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1 Definitions et terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Triangulations de Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Triangulation sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Triangulations anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.5 Triangulations de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6 Triangulations particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Adaptation de maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Visualisation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



1

Quelques rappels

Dans ce chapitre, on rappelle brievement, c’est-a-dire sans les demontrer,les resultats d’analyse et de geometrie utiles a la comprehension des no-tions developpees dans les chapitres suivants. Les demonstrations peuventetre trouvees dans les ouvrages mentionnes en introduction.

1.1 Analyse fonctionnelle

Dans le cours, on considere comme domaine d’etude un ouvert borne deRd avec d = 2 ou d = 3, notes Ω, de frontiere ∂Ω et on suppose une certaineregularite geometriqe de Ω.

Definition 1.1.1. Un ouvert Ω de Rd est dit lipschitzien (ou a frontiere lip-schitzienne) s’il est borne et qu’il existe une famille finie de boules ouvertes(Bj)j=1,...,n telle que ∂Ω ⊂ ⋃n

j=1Bj et que chaque Bj est associee a unsysteme de coordonnees cartesiennes orthonormees xj = (xj1, . . . , x

jd) de telle

sorte qu’en tout point p de ∂Ω il existe rj > 0

Bj = x ∈ Rd, ‖x− p‖ ≤ rjet une fonction, appelee carte locale, ψj : Rd−1 → R lipschitzienne telle que

Ω ∩Bj = x = (x1, . . . , xd) ∈ Bj , xd < ψj(x1, . . . , xd−1) .Cela signifie que l’ouvert Ω est borne et que la frontiere peut etre vue loca-lement comme le graphe d’une fonction lipschitzienne. Ou encore, qu’au voi-sinage de tout point sur la frontiere, celle-ci peut etre localement parametreepar une fonction lipschitzienne, le domaine Ω se trouvant localement d’un seulcote de la frontiere.

Tous les domaines consideres dans le cadre de ce cours seront (au moins)lipschitziens, a l’exception de l’espace Rd tout entier. On peut mentionner,par exemple, les polygones en dimension 2 et (presque tous) les polyedres en


12 1 Quelques rappels

dimension 3. En revanche, un domaine dont la frontiere presente des pointsde rebroussement, des points cuspides ou un domaine avec des fissures n’estpas un ouvert lipschitzien.

Notation

On note n le vecteur normal unitaire sur la frontiere ∂Ω, dirige versl’exterieur du domaine Ω.

On peut aussi definir des domaines plus reguliers que les ouverts lipschit-ziens, a partir de la definition precedente.

Definition 1.1.2. On dit que l’ouvert Ω est de classe Cm,1 si les fonctions ψjsont de classe Cm, dont les derivees partielles d’ordre m sont lipschitziennes.

On remarque qu’un ouvert lipschitzien correspond donc au cas m = 0. Enoutre, on observe que la normale n est continue si m ≥ 1, mais ne l’est pas sila frontiere presente un point anguleux.

On rappelle ensuite que D(Ω) est l’espace des fonctions f de classe C∞,definies et indefiniment derivables dans Ω, et a support compact dans Ω.C’est-a-dire que pour chaque fonction f ∈ D(Ω), il existe un compact K ⊂ Ωtel que f est nulle en dehors de K.

Pour tout 1 ≤ p < ∞, on note Lp(Ω) l’espace des classes de fonctions vmesurables telles que ∫

Ω

|v(x)|pdx < ∞ .

Lorsque p =∞, l’espace L∞(Ω) est l’espace des classes de fonctions v mesu-rables telles que

sup essx∈Ω

|v(x)| < ∞ ,

avec sup essx∈Ω

f(x) = infM ≥ 0, |f(x)| ≤M p.p. dans Ω .

C’est un espace de Banach, muni de la norme

‖v‖0,p,Ω =(∫

Ω

|v(x)|pdx)1/p

,

et pour p =∞‖v‖0,∞,Ω = sup ess

x∈Ω|v(x)| .

Cet espace est separable pour 1 ≤ p <∞ et reflexif pour 1 < p <∞.

Theoreme 1.1.1 (admis). L’espace D(Ω) est dense dans Lp(Ω) pour toutp tel que 1 ≤ p <∞.

La demonstration utilise le theoreme de convergence dominee. Ce resultat estfaux dans le cas p =∞. L’adherence de D(Ω) dans L∞(Ω) est C0(Ω), l’espacedes fonctions continues sur Ω nulles au bord et qui tendent vers 0 a l’infini. Eneffet, si ce resultat etait vrai, alors les deux espaces seraient egaux, puisqueL∞(Ω) a la meme norme que C0(Ω).


1.1 Analyse fonctionnelle 13

Definition 1.1.3. D(Ω) est l’espace des restrictions a Ω des fonctions deD(Rd).

Ainsi, si Ω est borne, l’espace D(Ω) est C∞(Ω), different dans ce cas de D(Ω).Mais on note que D(Rd) c’est D(Rd).

Il n’est pas necessaire de maıtriser la topologie naturelle de D(Ω) pouretudier des EDP. On rappelle neanmoins le resultat suivant.

Proposition 1.1.1. Une suite (ϕn) de fonctions de D(Ω) converge vers unefonction ϕ ∈ D(Ω) si et seulement si

1. il existe un compact K ⊂ Ω tel que le support de ϕn est inclus dans K,pour tout n,

2. pour tout multi-indice α, ∂αϕn −→ ∂αϕ uniformement sur K ; i.e., lesderivees de tous les ordres de ϕn convergent uniformement sur K vers lesderivees correspondantes1 de ϕ.

On rappelle que la longueur d’un multi-indice α = (α1, . . . , αd) ∈ Nd estdonnee par |α| = ∑d

i=1 αi et que

∂αg =∂|α|g

∂xα11 ∂xα2

2 . . . ∂xαdd.

On s’interesse maintenant a la notion de distribution. De meme, il n’estpas necessaire de connaıtre la topologie de cet espace dual de D(Ω).

Definition 1.1.4. L’espace des distributions D′(Ω) est l’espace des fonction-nelles lineaires et continues pour la topologie ci-dessus de D(Ω).

On peut citer les exemples de distributions suivants– la masse de Dirac δa pour a ∈ Ω :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈δa, ϕ〉 = ϕ(a) ,

– la distribution Tf pour f dans L1loc(Ω) 2 :

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈Tf , ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x)dx .

On note 〈·, ·〉 le produit de dualite entre D′(Ω) et D(Ω). Ainsi, on a lapropriete suivante.1 Noter que l’uniformite ne porte pas sur l’ordre des derivees.2 On note L1

loc(Ω) l’espace des classes de fonctions f telles que

∀ϕ ∈ C∞c (Ω), ϕf ∈ L1(Ω) .



Proposition 1.1.2. Une forme lineaire T sur D(Ω) est une distribution siet seulement si pour toute suite ϕn ∈ D(Ω) qui converge vers ϕ au sens deD(Ω), on a :

〈T, ϕn〉 → 〈T, ϕ〉 .Deux distributions T1 et T2 sont egales si

pour tout ϕ ∈ D(Ω), 〈T1, ϕ〉 = 〈T2, ϕ〉 .Par analogie, on aura une propriete de convergence sur les suites de distribu-tions dans l’espace D′(Ω).

Proposition 1.1.3. Une suite de distributions Tn converge vers une distri-bution T au sens de D′(Ω) si et seulement si pour tout ϕ ∈ D(Ω), on a

〈Tn, ϕ〉 → 〈T, ϕ〉 .Ainsi, la convergence dans L2(Ω) entraıne la convergence au sens des distri-butions, mais la reciproque est fausse.

On identifie les fonctions localement integrables, donc toutes les fonctionsLp, les fonctions continues, a des distributions.

Proposition 1.1.4. L’application ι : L1loc(Ω)→ D′(Ω) definie par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈ι(f), ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x)dx ,

est une injection continue.

Theoreme 1.1.2. Deux fonctions f et g de L1loc(Ω) definissent la meme dis-

tribution Tf = Tg si et seulement si elles sont egales presque partout. On peutalors identifier f et Tf et on note

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈f, ϕ〉 = 〈Tf , ϕ〉 =∫Ω

f(x)ϕ(x) dx .

Alors, en identifiant L2(Ω) a son dual, on a les relations

D(Ω) ⊂ L2(Ω) = (L2(Ω))′ ⊂ D′(Ω) .

On voit donc que les distributions generalisent la notion de fonction et quele produit de dualite 〈·, ·〉 generalise la notion de produit scalaire de L2(Ω).

L’un des avantages de la theorie des distributions est lie au fait quel’operation de derivation est toujours definie et que toute distribution a toutesses derivees qui sont des distributions. Prenons T ∈ D′(Ω), on definit saderivee, notee ∂T/∂xi par

∀ϕ ∈ D(Ω),⟨∂T

∂xi, ϕ

⟩= −

⟨T,

∂ϕ

∂xi

⟩.


1.1 Analyse fonctionnelle 15

Cette definition s’etend aux derivees d’ordre superieur. Soit α = (α1, . . . , αd)un multi-indice de longueur |α| = ∑d

i=1 αi. On definit ∂αT = ∂|α|T

∂xα11 ...∂x

αdd

par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈∂αT, ϕ〉 = (−1)|α|〈T, ∂αϕ〉 .En particulier, la forme lineaire definie par

∀ϕ ∈ D(Ω),⟨∂T

∂xi, ϕ

⟩= −

⟨T,

∂ϕ

∂xi

⟩est une distribution. De plus, si T est une fonction de classe C1(Ω), alors saderivee partielle au sens des distributions coıncide avec sa derivee partielle ausens classique. En effet, soit f une fonction de C1(Ω). On peut ecrire

∀ϕ ∈ D(Ω),⟨∂f

∂xi, ϕ

⟩= −

⟨f,∂ϕ

∂xi

⟩= −

∫Ω

f∂ϕ

∂xidx =

∫Ω

∂f

∂xiϕdx ,

en remarquant que ϕ est a support compact dans Ω. Ainsi, la distribution∂f/∂xi coıncide avec la derivee usuelle.

L’application T 7→ ∂T/∂xi est continue de D′(Ω) dans D′(Ω).

Theoreme 1.1.3. Si T ∈ D′(Ω), alors ∂αT est une distribution pour toutmulti-indice α.

Lemme 1.1.1. Si Tj → T dans D′(Ω), alors pour tout multi-indice α,∂αTj → ∂αT dans D′(Ω).

Autre exemples

– Considerons la masse de Dirac δa et derivons

∀ϕ ∈ D(Ω),⟨∂δa∂xi

, ϕ

⟩= −

⟨δa,

∂ϕ

∂xi

⟩= − ∂ϕ

∂xi(a) ,

donc ∂δa/∂xi est la distribution qui a ϕ associe −∂ϕ/∂xi(a).– Considerons la fonction de Heaviside H dans R definie par

H(x) = 1 si x ≥ 0 et H(x) = 0 si x < 0 ,

sa derivee au sens des distributions est definie par

∀ϕ ∈ D(Ω), 〈H ′, ϕ〉 = −〈H,ϕ′〉 = −∫ ∞

0

ϕ′(x) dx = ϕ(0) = 〈δ0, ϕ〉 ,

ce qui montre, qu’au sens des distributions, la derivee de H est la massede Dirac, H ′ = δ0.



1.2 Espaces fonctionnels

Les espaces fonctionnels de Holder ou de Sobolev sont particulierementadaptes a l’analyse des equations aux derivees partielles ; ils fournissent lecadre adequat pour la recherche des solutions.

Definition 1.2.1. L’espace de Sobolev Hm(Ω), pour tout entier m, est definicomme la completion de l’espace lineaire des fonctions de classe C∞(Ω), parrapport a la norme

‖v‖Hm(Ω) =

∑|α|≤m

∫Ω

|∂αv(x)|21/2

.

Les fonctions des espaces Hm(Ω) admettent des derivees, au sens des distri-butions, d’ordre |α| ≤ m qui sont dans Hm−|α|(Ω). On observe que l’espaceHm(Ω) se compose des fonctions v ∈ L2(Ω) telles que ∂αv ∈ L2(Ω) pour toutmulti-indice |α| ≤ m, i.e.,

Hm(Ω) = v ∈ L2(Ω) , ∂αv ∈ L2(Ω) , 0 ≤ |α| ≤ m .Ces espaces sont des espaces de Hilbert pour le produit scalaire defini par

∀u ∈ Hm(Ω),∀v ∈ Hm(Ω), (u, v)Hm(Ω) =∑|α|≤m

∫Ω

∂αu ∂αv ,

et la norme associee ‖ · ‖Hm(Ω). L’espace Hm(Ω) est complet puisque l’espaceL2(Ω) l’est. De plus, pour m > s, il existe une injection continue Hm(Ω) ⊂Hs(Ω).

Ainsi, H1(Ω) = v ∈ L2(Ω), ∇v ∈ L2(Ω)d, ou ∇v est pris au sens desdistributions. Le produit scalaire sur H1(Ω) est defini par

∀u ∈ H1(Ω),∀v ∈ H1(Ω), (u, v)H1(Ω) = (u, v) + (∇u,∇v) ,

ou (·, ·) designe le produit scalaire de L2(Ω) ou L2(Ω)d. La norme associeeest donc

∀u ∈ H1(Ω), ‖u‖H1(Ω) =(‖u‖2L2(Ω) + ‖∇u‖2L2(Ω)

)1/2

= (u, u)1/2H1(Ω) .

On peut definir une semi-norme sur H1(Ω)

∀u ∈ H1(Ω), |u|H1(Ω) = ‖∇u‖L2(Ω) ,

et plus generalement sur tout espace Hm(Ω)

∀u ∈ Hm(Ω), |u|Hm(Ω) =

∑|α|=m

‖∂αu‖2L2(Ω)

1/2

.


1.2 Espaces fonctionnels 17

On observe alors que

∀u ∈ Hm(Ω), ‖u‖Hm(Ω) =(‖u‖2Hm−1(Ω) + |u|2Hm(Ω)

)1/2

.

Les espaces Hm permettent d’evaluer la regularite d’une fonction, qui cor-respond au nombre maximal de fois ou la fonction est derivable, au sens desdistributions, avec ses derivees dans L2(Ω).

Le resultat de densite suivant (non trivial) a des consequences importantes.

Theoreme 1.2.1. D(Ω) est dense dans H1(Ω).

Il permet en effet de definir la trace des fonctions de H1(Ω) sur la frontiere∂Ω. Le resultat suivant donne une indication sur les valeurs aux bord desfonctions de D(Ω).

Lemme 1.2.1. On suppose que Ω est borne, de frontiere ∂Ω de classe C1.Alors, il existe un operateur lineaire continu γ0 : H1(Ω) → L2(∂Ω), appeleoperateur trace, tel que

∀u ∈ H1(Ω) ∩ C0(Ω), (γ0u)(x) = u(x), ∀x ∈ ∂Ω,et il existe une constante C > 0 telle que

∀u ∈ H1(Ω), ‖u‖L2(∂Ω) ≤ C ‖u‖H1(Ω) .

L’operateur γ0 nest pas defini pour des fonctions de L2. L’application γ0u estappelee la trace de u sur ∂Ω. Cette application n’est pas surjective et parcourtun sous-espace strict de L2(∂Ω).

On peut aussi demontrer la formule de Green pour les fonctions de H1(Ω)grace a la densite de D(Ω) dans H1(Ω)

∀u ∈ H1(Ω),∀v ∈ H1(Ω),∫Ω

u∂v

∂xidx = −

∫Ω

v∂u

∂xidx+

∫∂Ω

uvni dσ ,

ou ni represente la ieme composante de n.

Definition 1.2.2. L’espace H10 (Ω) est defini comme

H10 (Ω) = v ∈ H1(Ω), γ0v = 0 .

On observe alors que si Ω est lipschitzien, H10 (Ω) 6= H1(Ω). Mais si Ω = Rd

alors H10 (Rd) = H1(Rd).

Theoreme 1.2.2. L’espace D(Ω) est dense dans H10 (Ω).

La semi-norme | · |H1(Ω) est une norme sur H10 (Ω) equivalente a la norme

‖ · ‖H1(Ω), ce qui se traduit encore par l’inegalite suivante.

Theoreme 1.2.3 (Inegalite de Poincare). On suppose que Ω est bornedans une direction. Alors, il existe une constante C telle que

∀v ∈ H10 (Ω), ‖v‖L2(Ω) ≤ C ‖∇v‖L2(Ω) ,



et on est amene a prendre la semi-norme | · |H1(Ω) comme norme sur H10 (Ω).

On note H−1(Ω) le dual de H10 (Ω) qui est un espace de Hilbert pour la

norme duale

‖f‖H−1(Ω) = supv∈H1

0 (Ω)

〈f, v〉|v|H1(Ω)

,

ou les crochets designent la dualite entre H−1(Ω) et H10 (Ω). Comme D(Ω)

est dense dans H10 (Ω), les fonctions de H−1(Ω) peuvent etre identifies a des

distributions, ce qui justifie la notation 〈·, ·〉 ; H−1(Ω) est alors un espace dedistributions. Ainsi, si v ∈ L2(Ω), alors ∇v ∈ H−1(Ω)d.

Theoreme 1.2.4. L’espace D(Ω) est dense dans Hm(Ω), pour m ≥ 2.

Ce resultat permet de definir les traces d’ordre superieur des fonctions deHm(Ω) sur ∂Ω. Par exemple, la derivee normale γ1v ∈ L2(∂Ω) sur ∂Ω

∀v ∈ H2(Ω), γ1v =∂v

∂n= ∇v · n .

Par analogie avec γ0, l’application γ1 n’est pas definie pour les fonctions deH1(Ω). On a alors la formule de Green pour le Laplacien

∀u ∈ H2(Ω),∀v ∈ H1(Ω),∫Ω

∆uv dx = −∫Ω

∇u · ∇v dx+∫∂Ω

∂u

∂nv dσ .

(1.1)On note Pk, pour k ≥ 0, l’espace des polynomes a d variables de degre

total inferieur ou egal a k. Alors, comme Ω est suppose borne, pour m entieron a Pk ⊂ Hm(Ω) et on peut donc definir l’espace quotient Hm(Ω)/Pk quiest un espace de Hilbert pour la norme quotient

‖f‖Hm(Ω)/PK = infp∈Pk‖f + p‖Hm(Ω) .

Et on enonce alors le resultat suivant.

Theoreme 1.2.5 (Deny-Lions). On suppose que Ω est lipschitzien et connexe.Alors, pour tout k ≥ 0 entier, il existe une constante C telle que

∀v ∈ Hk+1(Ω)/Pk, ‖v‖Hk+1(Ω)/Pk ≤ C |v|Hk+1(Ω) .

L’hypothese sur la connexite de Ω est liee au fait que dans le cas contraire,les polynomes ne sont pas les memes dans chaque composante connexe de Ω.

On introduit maintenant les espaces de Sobolev dans Lp. Pour 1 ≤ p ≤ ∞et m un entier positif, l’espace de Sobolev Wm,p(Ω) se compose des fonctionslocalement integrables u telles que pour tout multi-indice |α| ≤ m, ∂αu existe,au sens des distributions, dans Lp(Ω), i.e.,

Wm,p = u ∈ Lp(Ω) , ∂αu ∈ Lp(Ω) , |α| ≤ m ,


1.3 Formulation variationnelle 19

muni des normes

‖u‖Wm,p(Ω) =

∑|α|≤m

‖∂αu‖pLp(Ω)

1/p

=

∑|α|≤m

∫Ω

|∂αu|p dx1/p

‖u‖Wm,∞(Ω) =∑|α|≤m

‖∂αu‖L∞(Ω) .

Les espaces Wm,p(Ω) sont des espaces de Banach. Dans le cas p = 2, on noteWm,2(Ω) = Hm(Ω), pour tout m ≥ 0 ; c’est un espace de Hilbert pour leproduit scalaire

∀u ∈ Hm(Ω),∀v ∈ Hm(Ω), (u, v)Hm(Ω) =∑|α|≤m

(∂αu, ∂αv)L2(Ω) .

La notation ‖ · ‖m,Ω est parfois utilisee pour designer la norme sur Hm. Ainsi,comme W 0,p(Ω) = Lp(Ω), la notation ‖ · ‖0,p,Ω remplace parfois la norme Lp

et devient ‖ · ‖0,Ω pour L2.On observe que les fonctions C∞ a support compact sont dans Wm,p(Ω)

et on note Wm,p0 (Ω) l’adherence de D(Ω) dans Wm,p(Ω), pour p <∞ et par

extension, on note Wm,20 (Ω) = Hm

0 (Ω).On note C∞(Ω) l’espace des fonctions C∞ qui admettent, ainsi que leurs

derivees partielles a tous ordres, un prolongement continu a Ω.

Lemme 1.2.2. Soit Ω un ouvert lipschitzien. Alors l’espace C∞(Ω) est densedans W 1,p(Ω), pour 1 ≤ p <∞.

1.3 Formulation variationnelle

Partons d’un exemple relativement simple a comprendre et a analyser,le probleme du Laplacien. On considere un domaine ouvert borne Ω de Rd,de frontiere ∂Ω et f une fonction definie sur Ω. On cherche une fonction usolution du probleme de Poisson suivant

−∆u = f dans Ω et u|∂Ω = 0 . (1.2)

Il est evident de chercher la solution u dans C2, en supposant f continue.Alors en multipliant l’equation par une fonction v arbitraire de classe C1, eten integrant par parties, on obtient

−∫Ω

∆uv =∫Ω

fv ,

puis, par la formule de Green, on a∫Ω

∇u · ∇v −∫∂Ω

∂u

∂nv =

∫Ω

fv ,



ou ∂u∂n = ∇u · n est la derivee normale de u. C’est ici que l’hypothese d’un

domaine lipschitzien sert, puisqu’alors cette normale exterieure n est definieen presque tout point de ∂Ω et la formule de Green a un sens. En supposantque la fonction v s’annulle au bord, on obtient ainsi∫

Ω

∇u · ∇v =∫Ω

fv .

Remarquons que cette equation conserve un sens lorsque la fonction u n’estque de classe C1.

On peut donc introduire l’espace V = v ∈ C1(Ω), v|∂Ω = 0 et ecrire quetoute solution de (1.2) est aussi solution du probleme sous forme variationnelle

Trouver u ∈ V, tel que a(u, v) = l(v), pour tout v ∈ V , (1.3)

ou a(·, ·) est une forme bilineaire sur V × V et l une forme lineaire sur Vdefinies respectivement par

a(u, v) =∫Ω

∇u · ∇v = 〈∇u,∇v〉L2(Ω) et l(v) =∫Ω

fv = 〈f, v〉L2(Ω) .

Nous verrons que la formulation variationnelle permet d’obtenir un resultatd’unicite pour le probleme (1.2). Il est en effet equivalent de montrer que u = 0si f = 0. En prenant u = v dans l’equation, on obtient ∇u = 0 qui permet,grace a l’hypothese u|∂Ω = 0, de conclure que u est constante et nulle.

Neanmoins, il faut egalement s’assurer que toute solution u suffisamentreguliere de la formulation variationnelle du probleme (1.3) est aussi solutiondu probleme initial (1.2). Ainsi, si on suppose que la fonction est u de classeC2(Ω) solution de (1.3), on obtient par la formule de Green

∀v ∈ V,∫Ω

∆uv = −∫Ω

fv,

d’ou on deduit −∆u = f , par exemple en invoquant un argument de densitede V dans L2(Ω).

On considere maintenant un probleme variationnel plus abstrait. Soit Vun espace de Hilbert sur R, de norme ‖·‖V , d’espace dual note V ′ et de normeduale ‖ · ‖V ′ definie par

∀f ∈ V ′, ‖f‖V ′ = supv∈V,v 6=0

f(v)‖v‖ .

On pose alors le probleme abstrait, en supposant donne l dans V ′,

Trouver u ∈ V tel que ∀v ∈ V, a(u, v) = l(v) , (1.4)

ou a(·, ·) est une forme bilineaire sur V × V .


1.3 Formulation variationnelle 21

Theoreme 1.3.1 (Lax-Milgram). On suppose que V est une espace deHilbert et que les formes a et l verifient les hypotheses suivantes

1. a est continue sur V × V : il existe une constante M telle que

∀u ∈ V,∀v ∈ V, |a(u, v)| ≤M ‖u‖V ‖v‖V ;

2. a est V -elliptique (ou coercive) : il existe une constante α > 0 telle que

∀v ∈ V, a(v, v) ≥ α‖v‖2V ;

3. l est continue : il existe une constante C telle que

∀v ∈ V, |l(v)| ≤ C ‖v‖V .

Alors, il existe une unique solution u au probleme (1.4) qui verifie l’estimationa priori

‖u‖V ≤ 1α‖l‖V ′ ,

i.e., l’application u 7→ l est un isomorphisme de V sur V ′.

Un espace de Hilbert s’identifie a son dual. Il est n’eanmoins plus pertinentd’introduire un operateur continu de V dans V ′ et d’ecrire, pour f ∈ V ′,

a(u, v) = 〈Au, v〉V ′,V et l(v) = 〈f, v〉V ′,V ,avec 〈·, ·〉V ′,V le produit de dualite entre V ′ et V . On a alors l’ecriture va-riationnelle Au = f dans V ′ et A est un isomorphisme d’apres le theoreme1.3.1.

Remarquons que si la forme a est symetrique, toute solution u de (1.3) estsolution du probleme de minimisation

Trouver u ∈ V tel que J(u) = infv∈V

J(v)

ou J est la fonctionnelle

∀v ∈ V, J(v) =12a(v, v)− l(v) .

Il est possible de verifier qu’alors la propriete de V -ellipticite est equivalentea la propriete de α-convexite

J

(v + w

2

)≤ J(v) + J(w)

2− α

8‖v − w‖2V .

Une propriete interessante est que tout fonction α-convexe continue sur unespace de Hilbert atteint un unique minimum.

Ainsi, a la lumiere de ce cadre fonctionnel, en reprenant la formulationvariationnelle (1.3) du probleme (1.2), on definit une norme sur V



‖v‖V = ‖∇v‖L2 ,

telles que les proprietes de continuite et de V -ellipticite sont satisfaites parla forme a. La continuite de la forme l(v) = 〈f, v〉L2 resulte de l’inegalite dePoincare. On aboutit alors aisement aux inegalites

|l(v)| ≤ ‖f‖L2‖v‖L2 ≤ C ‖f‖L2‖v‖V ,

ou C est la constante de Poincare. Bref, il semble que le theoreme (1.3.1) per-mette de conclure a l’existence d’une unique solution au probleme. Ce seraithelas aller trop vite en besogne. En effet, l’espace V muni de la norme definieci-dessous n’est pas un espace complet. Pour remedier a cette inconsistance,on travaille alors avec l’espace de Sobolev V = H1

0 (Ω) et toutes les hypothesedu theoreme (1.3.1) sont maintenant satisfaites.

Si le second membre n’est pas regulier, par exemple f ∈ H−1(Ω), il estinutile de chercher une solution classique au probleme du Laplacien, d’oul’idee de cherche u dans H1(Ω) et donc dans H1

0 (Ω) puisque u|∂Ω = 0. Laformulation variationnelle

Trouver u ∈ H10 (Ω) tel que ∀v ∈ H1

0 (Ω), (∇u,∇v) = 〈f, v〉 ,

est equivalente a chercher u dans H1(Ω), solution du probleme avec f ∈H−1(Ω). Le theoreme (1.3.1) fournit l’existence d’une unique solution u (pourM = 1 et α = 1) telle que

|u|H1(Ω) ≤ ‖f‖H−1(Ω) .

L’operateur −∆ est un isomorphisme de H10 (Ω) sur H−1(Ω). On peut etendre

ce resultat au cas d’un second membre plus regulier.

Theoreme 1.3.2. On suppose que Ω est de classe C1,1 ou est un polygone(polyedre) convexe. Alors l’operateur −∆ est un isomorphisme de H2(Ω) ∩H1

0 (Ω) sur L2(Ω).

1.4 Approximation variationnelle

On s’interesse a un probleme pour lequel on connaıt une formulation varia-tionnelle dans un espace de Hilbert V . Une methode d’approximation interne ,ou methode de Galerkin, consiste a chercher une approximation de la solutiondans un sous-espace de Hilbert Vh ⊂ V . Le parametre h est un parametre dediscretisation destine a tendre vers 0 et pour chaque h on suppose que Vh estun sous-espace de dimension finie de V . On definit un probleme variationnelapproche par substitution de V par Vh

Trouver uh ∈ Vh tel que ∀vh ∈ Vh, a(uh, vh) = l(vh) . (1.5)


1.4 Approximation variationnelle 23

Naturellement, la dimension finie est une facon de discretiser le probleme, elleest qualifiee d’interne car Vh est un sous-espace de V .

Notons Nh la dimension de Vh et designons par (ϕj)j=1,...,Nh une base deVh. La solution uh se decompose alors

uh =Nh∑j=1

uh,jϕj ,

et (1.5) est un systeme lineaire carre de dimension Nh dont les inconnues sontles composantes uh,j de uh dans la base, qui s’ecrit

a(uh, ϕi) =Nh∑j=1

uk,ja(ϕj , ϕi) = l(ϕi) , 1 ≤ i ≤ Nh .

Soit Ah la matrice et bh le second membre de ce systeme qui s’ecrit AhUh = bh,avec Uh = (uh,j)j=1,...,Nh), bh = (l(ϕj)j=1,...,Nh) et (Ah)i,j = a(ϕj , ϕi). Lamatrice Ah est appelee la matrice de rigidite du probleme.

L’ellipticite de la forme bilineaire entraıne l’existence d’une unique solutiondu probleme approche. Neanmoins, cette hypothese est trop forte, puisqu’endimension finie, il suffit que pour tout vh de Vh, a(uh, vh) = 0 entraıne vh = 0.Mais l’un des interet de la methode d’approximation interne est qu’elle fournitune estimation d’erreur d’approximation optimale, qui est exprimee par lelemme suivant.

Lemme 1.4.1 (Cea). On suppose que les hypothese du theoreme (1.3.1)de Lax-Milgram sont satisfaites. Alors il existe une unique solution uh auprobleme approche (1.5) et la matrice Ah est inversible. En outre, on a l’es-timation d’erreur

‖u− uh‖V ≤ M

αinf

vh∈Vh‖u− vh‖V ,

et, dans la cas ou la forme a(·, ·) est symetrique

‖u− uh‖V ≤(M

α

)1/2

infvh∈Vh

‖u− vh‖V .

Ce qui signifie que l’erreur d’approximation du probleme (1.4) est du memeordre que l’erreur d’approximation de V par Vh.

Ce qui distingue le probleme approche (1.5) du probleme continu (1.4)c’est le choix de l’espace Vh. Il s’agit donc de trouver un espace Vh de di-mension raisonnable pour approcher V avec une bonne precision, puisqueNh → ∞ lorsque h → 0, ce qui conduit a des systemes de grande dimen-sion. D’autre part, on s’attache a trouver des espaces Vh pour lesquels lescoefficients a(ϕj , ϕi) de Ah et l(ϕi) de bh soient faciles a calculer. CommeAh est de grande dimension, il est important qu’elle soit creuse (contenantpeu d’elements non nuls) et bien conditionnee, pour faciliter la resolution dusysteme lineaire. La methode des elements finis repond a ces requis.



1.5 La methode des elements finis

En pratique, l’espace V est un espace de fonctions definies sur un ouvertΩ de Rd et les formes a et l sont composees d’integrales des fonctions et deleurs derivees. Le principe de la methode des elements finis est de decomposerΩ en une partition, appelee maillage ou triangulation, note Th, et l’espaced’approximation Vh est constitue de fonctions polynomiales par morceaux surchaque element T de Th. A nouveau, le parametre h represente la taille de ladiscretisation

h = maxT∈Th

diam(T ) .

Plusieurs raisons concourent au succes de cette methode– les conditions aux limites sont integrees dans l’espace V ,– l’analyse d’erreur s’inscrit dans le cadre variationnel general,– la partition du domaine Th en elements finis simples offre plus de sou-

plesse pour traiter le cas de domaines a frontieres complexes.

Nous considerons la forme la plus elementaire de la methode, dans laquelleles elements T ∈ Th sont des simplexes et les fonctions des polynomes. Plusgeneralement, un element fini generique se definit localement par la donneed’un triplet (T, VT , ΣT ) ou T est un simplexe3 non degenere, VT un espacevectoriel de dimension finie M de fonctions definies sur T a valeurs reelleset ΣT est un espace de formes lineaires independantes (ψi)i=1,...,M dont ledomaine de definition contient VT .

Definition 1.5.1. Le triplet (T, VT , ΣT ) est dit unisolvent si et seulement sil’application VT → RM , v 7→ (ψ1(v), . . . , ψM (v)) est un isomorphisme. On ditque ce triplet est un element fini de Lagrange.

Le triplet (T, VT , ΣT ) est tel que pour tout ensemble deM scalaires (αi)i=1,...,M ,il existe un unique p ∈ VT tel que

∀1 ≤ i ≤M, ψi(p) = αi .

Les formes lineaires de ΣT sont appelees les degres de liberte de l’elementfini. L’unisolvence permet de munir VT d’une base (ϕi)i=1,...,M associee auxformes de ΣT par les relations

∀ 1 ≤ j ≤M, ψi(ϕj) = δi,j ,

et tout v ∈ ΣT s’ecrit

v =M∑i=1

ψi(v)ϕi .

De meme, on definit l’operateur d’interpolation IT associe a ΣT , i.e., soit YTl’ensemble de definition des formes lineaires de ΣT , pour tout v ∈ YT3 En theorie une partie compacte et connexe de Rd d’interieur non vide.


1.5 La methode des elements finis 25

IT (v) =M∑i=1

ψi(v)ϕi .

On observe que IT (v) est l’unique element de VT tel que

∀ 1 ≤ i ≤M, ψi(IT (v)) = ψi(v) ,

et on dit alors que IT (v) interpole v sur VT et on a

∀p ∈ VT , IT (p) = p .

Pour s’assurer de l’unisolvence, il suffit de verifier l’une des deux proprietes– si v ∈ VT est telle que ψi(v) = 0 pour tout i = 1, . . . ,M alors v = 0 ;– pour tout vecteur (y1, . . . , yM ), il existe v ∈ VT telle que ψi(v) = vi.

Pour un simplexe T , on peut definir trois parametres geometriques importants– le diametre hT qui est la longueur du plus grand cote de T ;– la rondeur ρT , qui est le diametre de la boule inscrite de T ;– l’excentricite σT = hT

ρTqui mesure la non-degenerescence de T .

Dans beaucoup de resutats d’approximation, on considere une famille de tri-angulations (Th)k>0.

Definition 1.5.2. La famille (Th)k>0 est dite reguliere si et seulement si ilexiste une constante C telle, pour tout T ∈ Th et pour tout h > 0,

σT ≤ C .

En dimension deux, cela signifie qu’il existe θ0 > 0 tel que tous les angles destriangles verifient θ ≥ θ0.

Definition 1.5.3. La famille (Th)k>0 est dite quasi-uniforme si et seulementsi il existe une constante c > 0 telle que, pour tout T ∈ Th et pour tout h > 0,

ch ≤ ρT ≤ hT ≤ h .On observe que toute famille quasi-uniforme est reguliere.

Dans notre cas, l’espace VT est l’espace des polynomes de degre totalinferieur a k

VT = Pk = Vectxα11 . . . xαdd , 0 ≤ |α| ≤ k ,

de dimensiondim(Pk) =

1d!

(k + 1)(k + 2) . . . (k + d) .

En principe, le simplexe T = (a0, . . . , ad) est represente par les coordonneesbarycentriques (λi)i=0,...,d de ses sommets. On rappelle que pour tout pointx ∈ Rd, il existe un unique vecteur (λi(x))i=0,...,d qui verifie les equations

x =d∑i=0

aiλi(x), etd∑i=0

λi(x) = 1 .



Ce qui permet de deduire que

T = x ∈ Rd, 0 ≤ λi(x) ≤ 1, i = 0, . . . , d .

Le passage des coordonnees cartesiennes aux coordonnees barycentriques estune transformation affine. L’ensemble des formes lineaires ΣT est defini aumoyen du treillis principal d’ordre k de T

Σk =x ∈ Rd, λi(x) ∈ 0, 1

k,

2k, . . . , 1

,

en observant que Σ1 correspond aux sommets du simplexe. Les degres deliberte correspondent aux valeurs aux points de Σk

ΣT = v 7→ v(γ), γ ∈ Σk .

La propriete d’unisolvence permet d’introduire les fonctions de base ϕi etl’interpolant IT qui s’expriment a partir des coordonnees barycentriques

– si k = 1, on trouve les fonctions λi associees aux ai, qui coıncident avecles degres de liberte ;

– si k = 2, on trouve les fonctions quadratiques 2λi(λi − 1/2) pour lesdegres associes aux sommets et les fonctions 4λiλj pour les degres as-socies aux milieux (ai + aj)/2 des aretes.

Dans la pratique, on fait appel a un simplexe de reference, note T , qui apour sommets les points

a0 = (0, 0, . . . , 0), et les points ai = (0, . . . , 1, . . . , 0), ∀i = 1, . . . , d .

Soit T un simplexe non-degenere, il existe alors une unique transformationaffine AT qui envoie ai sur ai, pour tout i = 0, . . . , d, donc une seule matriceinversible BT de Md(R) qui permet d’ecrire

AT (x) = a0 +BTx ,

dont la ieme colonne est donnee par les coordonnees de ai = a0. On utilise latransformation AT pour transporter une quantite de T vers T . Ainsi

x = A−1T (x) = B−1

T (x− a0) ⇔ x = AT (x)

et on remarque que les coordonnees barycentriques sont laissees invariantespar la transformation affine

λi(x) = λi(x) .

L’espace des polynomes de degre k est invariant par AT et on peut ecrire

VT = Pk = VT .


1.5 La methode des elements finis 27

Donc, les interpolants verifient l’identite

IT (v(x)) = IT (v(x))

qui peut se comprendre comme une relation de commutation entre le transportd’une fonction par AT et son interpolation

IT (v) AT = IT (v AT ) .

On a le resultat suivant.

Proposition 1.5.1. On note ‖ · ‖ la norme euclidienne de Rd et la normematricielle subordonnee. On a les relations

|T | = |det(BT )| |T | = |det(BT )|d!

.

ainsi que

‖BT ‖ ≤ hTρT, et ‖B−1

T ‖ ≤hTρT

.

On a aussi des formules relatives a la transformation des derivees

∇xv(x) = (BtT∇xv) AT (x), et ∇xv(x) = ((BtT )−1∇xv) A−1T (x) .

Lemme 1.5.1. Si v ∈ Hm(T ) alors v ∈ Hm(T ) et il existe une constante C1

telle que

∀ v ∈ Hm(T ), |v|Hm(T ) ≤ C1 ‖BT ‖m |det(BT )|−1/2|v|Hm(T ) .

Si v ∈ Hm(T ), alors v ∈ Hm(T ) et il existe une constante C2 independantede T telle que

∀ v ∈ Hm(T ), |v|Hm(T ) ≤ C2 ‖B−1T ‖m |det(BT )|1/2|v|Hm(T ) .

Dans le cas du laplacien, le lemme de Cea (1.4.1) fournit une estimationd’erreur dans la norme de l’espace de Hilbert V utilise dans la formulationvariationnelle qui verifie les hypotheses du theoreme de Lax-Milgram (1.3.1).On sait que si u ∈ H2(Ω), on a alors l’estimation

minvh∈Vh,0

‖u− vh‖L2 ≤ ‖u− Ih(u)‖L2 ≤ C h2|u|H2 ,

mais on ne sait rien dire de ‖u− uh‖L2 . Le resultat suivant va nous aider.

Lemme 1.5.2 (Aubin-Nitsche). On suppose que Ω est un polygone oupolyedre convexe. L’approximation uh de la solution de (1.3) par la methodede Galerkin dans Vh,0 des elements finis de Lagrange Pk verifie

‖u− uh‖L2 ≤ C h ‖u− uh‖H10,

ou C est une constante independante de h et de u.



1.6 Systemes lineaires

Nous avons vu que la methode de Galerkin conduit a un systeme lineairede la forme

AhUh = bh

qui fournit la solution d’une formulation variationnelle dans la base deselements finis. Bien qu’une methode directe d’inversion (Gauss, factorisationLU, etc,.) puisse etre envisagee dans le cas d’une matrice de petite taille, onprivilegie generalement une meethode iterative pour les systemes de grandetaille. En effet, les methodes directes sont efficaces et produisent la solutionexacte (en negligeant les erreurs d’arrondis) du systeme. Neanmoins, elles re-quierent une taille memoire importante pour stocker la matrice Ah, qui estprincipalement creuse. Les methodes iteratives tirent parti de la nature creusede Ah, et la preservent, et mettent uniquement en jeu des produits matrice-vecteur. Ces algorithmes calculent une sequence (U (k)

h )k≥1 de solutions ap-prochees a partir d’une donnee initiale U (0)

h . Ces valeurs convergent vers lasolution Uh du probleme AhUh = bh lorsque k tend vers ∞.

Puisqu’on considere un systeme lineaire, on peut penser construire unesequence de la forme

U(k+1)h = BU

(k)h + c, k ≥ 0, pour tout U (0)

h . (1.6)

Lemme 1.6.1. Une methode iterative de la forme (1.6) converge vers la solu-tion Uh du systeme AhUh = bh, pour toute donnee initiale U (0)

h si et seulementsi ρ(B) < 1, ou ρ(B) est le rayon spectral de B.

La methode du gradient (ou methode de Richardson) consiste a resoudre l’al-gorithme

U(k+1)h = U

(k)h + α(bh −AhU (k)

h , k ≥ 1, pour tout U (0)h , (1.7)

avc α > 0. On a un resultat de convergence de la methode. Supposons lamatrice Ah symetrique definie positive.

Lemme 1.6.2. Soient (λi)i=1,...,Nh les valeurs propres reelles de Ah et onsuppose que λi > 0 pour tout i = 1, . . . , Nh. Alors, la methode du gradientconverge si et seulement si le parametre α est tel que 0 < α < 2/λmax.De plus, la parametre optimal αopt qui minimise le rayon spectral de la matriced’iteration ρ(M−1N), pour M = α−1I et N = (α−1I −Ah) est donne par

αopt =2

λmin + λmax, et ρopt =

λmax − λminλmin + λmax

=κ(Ah)− 1κ(Ah) + 1

.

Cette methode correspond a un algorithme de gradient a pas fixe pour laminimisation de la fonctionnelle

J(Vh) =12〈AhVh, Vh〉 − 〈bh, Vh〉 .


1.7 Geometrie differentielle 29

On observe que Uh est un point fixe de l’iteration (1.7). Il est interessant deconsiderer l’erreur Eh = Uh − U (k)

h , en effet on a

E(k+1)h = (I − αAh)E(k)

h = · · · = (1− αAh)k+1E(0)h .

Pour toute norme discrete ‖ · ‖, on a ainsi

‖E(k)h ‖ ≤ ρk‖Uh‖ ,

et le facteur de reduction ρ est donne par

ρ = max(1− αλmin, αλmax − 1) .

D’autres methodes iteratives conduisent a de meilleures performances, parexemple la methode de gradient conjugue fournit le facteur de reduction sui-vant

ρ =

√κ(Ah)− 1√κ(Ah) + 1

.

En pratique, on note que le nombre de conditionnement κ(Ah) = λmax/λminindique la complexite de la resolution numerique, il controle le nombre depas de l’agorithme necessaires pour obtenir une precision donnee. Ainsi parexemple

Lemme 1.6.3. Dans le cas de la resolution de l’equation du laplacien par lamethode des elements finis Pk, pour une famille reguliere de triangulations,on a

κ(Ah) ≥ c h−2 ,

et si la famille est quasi-uniforme, alors on a

κ(Ah) ≤ Ch−2 .

Il est courant d’observer une degradation du nombre de conditionnement lorsd’un raffinement du maillage. C’est pourquoi des methodes permettant depreconditionner les systemes lineaires ont ete developpees.

1.7 Geometrie differentielle

Cette discipline vise a appliquer les outils du calcul differentiel a l’etudede la geometrie. On s’interesse a quelques proprietes affines et metriques descourbes et surfaces de Rd, en particulier a la nature geometrique de la deriveeseconde, qui caracterise la courbure. On rappelle ici le caractere naturel dequelques notions de base de la geometrie differentielle des courbes et surfaces.



Courbes parametrees de Rd.

Definition 1.7.1. Une courbe parametree de classe Ck est la donnee d’uneapplication f de classe Ck d’un intervalle ouvert I =]a, b[ de R dans l’espaceaffine Rd. L’image de f est appelee la courbe geometrique associee. Un arcferme est l’image d’un intervalle ferme [a, b] ⊂ I par f .

Deux courbes parametrees f : I → Rd et g : J → Rd representent la memecourbe s’il existe un diffeomorphisme σ : J → I tel que g = f σ, appele unchangement de parametre. L’application σ preserve l’orientation si σ′(t) > 0.

La variable t est appelee le parametre de la courbe. Un point t0 ∈ I estregulier si le vecteur f ′(t0) 6= 0 et singulier (ou stationnaire) sinon. Unecourbe parametree est reguliere si l’application f est une immersion, c’est-a-dire si f ′(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. En tout point regulier f(t0), le vecteur f(t0)est tangent a la courbe, la droite affine passant par f(t0) et dirigee par f ′(t0)est appelee la tangente a la courbe parametree au point f(t0) (Fig. 1.1).

Fig. 1.1. Tangente en un point a la courbe α et vecteur vitesse (d’apres [O’Neill]).

On peut interpreter cette definition geometriquement, en imaginant uneparticle se deplacant le long de la trajectoire f , sa position au temps t corres-pondant a f(t). La vitesse de la particule au temps t est donnee par

f ′(t) =df

dt(t) = lim

∆t→0

f(t+∆t)− f(t)∆t

.

Par exemple, pour p 6= 0, q ∈ Rd, la courbe parametree f : R → Rd, telleque f(t) = tp + q est reguliere et definit une droite. Par ailleurs, la courbeparametree f : R→ R3, decrite par

f(t) = (a cos(t), a sin(t), bt), avec a2 + b2 6= 0 ,

definit un cercle de rayon a > 0 dans le plan xy lorsque b = 0, et une helicedans le cas general (Fig. 1.2).

Position d’une courbe plane f par rapport a sa tangente.

On suppose k ≥ 2. On developpe simplement f au voisinage d’un pointregulier t0 (tel que f ′(t0) 6= 0) par une formule de Taylor



Fig. 1.2. Une courbe de R2 : α : R → R2, definie par α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4). Unecourbe de R3, l’helice (d’apres [doCarmo]).

f(t) = f(t0) + (t− t0)f ′(t0) +12

(t− t0)2f ′′(t0) + o((t− t0)2) .

On deduit alors que si f ′(t0) et f ′′(t0) sont deux vecteurs independants, lacourbe est situee d’unseul cote de sa tangente, au voisinage de t0. Elle estcontenue dans le demi-plan defini par la tangente et contenant f ′′(t0). Enrevanche, si f ′(t0) et f ′′(t0) sont colineaires, si k ≥ 3 et si par exemple f ′′′(t0)est independant de f ′(t0) on peut poursuivre le developpement

f(t) = f(t0)+(t−t0)f ′(t0)+12

(t−t0)2f ′′(t0)+16

(t−t0)3f ′′′(t0)+o((t−t0)3) ,

de sorte que la courbe traverse sa tangente, et presente un point d’inflexion.

Proprietes metriques des courbes.

L’espace affine est maintenant suppose euclidien (et oriente). Donc, onsait que la direction de la tangente en un point a une courbe parametree estgeometrique, car elle ne depend pas du parametrage. Par contre, le vecteurtangent depend du parametrage choisi. Il est donc interessant de chercher unparametrage qui donne un vecteur tangent unitaire en tout point.

On peut definir la longueur d’un arc de la courbe f : I → Rd entre lespoints f(a) et f(b) comme la limite des longueurs euclidiennes des lignespolygonales inscrites dans l’arc, lorsque le maximum de la longueur de chaquesegment de la ligne tend vers 0. Ainsi, soit S l’ensemble des subdivisions de[a, b], pour toute subdivision σ = (t0, . . . , tp) de S on pose

lσ =p∑i=1

‖f(ti)− f(ti−1)‖ .



Si l’ensemble des nombres Lσ pour σ dans S est majore, on dit que f estun arc rectifiable et on appelle longueur de f , notee l(f), la borne superieuredes nombres Lσ.

Soit f : I → Rd une courbe reguliere de classe C1. On considere un pointt0 ∈ I et on definit pour tout t ∈ I, le diffeomorphisme ϕ de classe C1 de Isur J = ϕ(I) tel que

t 7→ ϕ(t) =∫ t

t0

‖f ′(u)‖ du . (1.8)

La fonction ϕ permet de definir un changement de parametrisation par lalongueur d’arc. L’application g = f ϕ−1 est un autre parametrage de lameme courbe qui verifie la propriete

‖g′(s)‖ = 1 , ∀ s ∈ J .Le parametre s s’appelle abcisse curviligne ou parametrage par la longueurd’arc, puisqu’on a

s2 − s1 = ϕ(t2)− ϕ(t1) =∫ t2

t1

‖f ′(t)‖ dt ,

qui correspond a la definition de la longueur de l’arc de g(s1) a g(s2). Ainsi,la fonction ϕ definie par la relation (1.8) fournit l’unique parametrage par lalongueur d’arc tel que g(0) = f(t0) et g′(s) = λf ′(t) avec λ > 0.

Lemme 1.7.1. La longueur de l’arc de courbe de f(t1) a f(t2) est independantede la parametrisation de cet arc.

Proposition 1.7.1. Toute courbe reguliere f : I → Rd peut etre parametreepar la longueur d’arc. Ainsi, il existe un changement de variable ϕ : J → Itel que ‖(f ϕ)′(s)‖ = 1, pour tout s ∈ J .

La caracteristique extrinseque la plus simple d’une courbe est sa cour-bure. Mais cette propriete peut aussi etre decrite de maniere intrinseque, sansaucune reference a un espace de plongement.

Soit f : I → Rd une courbe parametree par la longueur d’arc. La fonctionvectorielle t : s 7→ f ′(s) est appelee la fonction vecteur unitaire tangent a f etle vecteur tangent associe au point s est un vecteur unitaire que l’on note t(s).L’hyperplan passant par f(s) et orthogonal au vecteur t(s) est dit normal af au point defini par s.

Definition 1.7.2. La fonction scalaire k, definie sur I par

k(s) = ‖f ′′(s)‖est appelee la fontion courbure de f . En un point regulier s de f , le nombrek(s) associe ne depend pas du parametrage, k(s) est appelee la courbure de fau point defini par s. La courbure k(s) est nulle si et seulement si f(s) est unpoint d’inflexion.



En tout point ou k(s) 6= 0 , on peut definir sur I la fonction vectorielle n :s 7→ f ′′(s)/k(s). Cette fonction verifie ‖n(s)‖ = 1 et la relation ‖f ′(s)‖2 = 1implique par derivation que f ′(s) · f ′′(s) = 0 soit encore t(s) · n(s) = 0 pourtous s ∈ I. Le vecteur n(s) est donc un vecteur orthogonal a t(s), appelevecteur normal en s a f .

Cas d’un plan oriente.

On suppose le plan euclidien oriente. Soit f une courbe plane orientee declasse Ck, k ≥ 2, parametree par la longueur d’arc. Le vecteur tangent est levecteur unitaire t(s) = f ′(s). On peut definir le vecteur normal n(s) commel’unique vecteur unitaire tel que t(s), n(s) soit une base orthonormee directede R2. En derivant la relation ‖t(s)‖2 = 1, on voit qu’il existe un scalaire k(s)tel que

t′(s) = k(s)n(s) (1.9)

que l’on appelle la courbure algebrique de la courbe au point de parametre s.On observe qu’un changement d’orientation du plan ou de la courbe f changek(s) en son oppose. Comme t(s) · n(s) = 0, on obtient en derivant, l’egalite

t′(s) · n(s) + t(s) · n′(s) = 0

et comme ‖n(s)‖2 = 1, on voit que n′(s) est colineaire a t(s) et donc que

n′(s) = −k(s)t(s) . (1.10)

Les relations (1.9) et (1.10) sont appelees les formules de Frenet pour lacourbe f . Le signe de la courbure fournit une indication precieuse sur la po-sition de la courbe. La courbure k(s) est positive quand la courbe est situeelocalement dans le demi-plan defini par la tangente et contenant le vecteurn(s). On introduit, quand k(s) 6= 0, le nombre ρ(s) = 1/k(s) qui definit lerayon de courbure et le centre de courbure defini par C(s) = f(s) + ρ(s)n(s).Le cercle de centre C(s) et de rayon ρ(s) est dit osculateur, car il approcheau mieux la courbe en f(s).

Une courbe fermee du plan est une courbe reguliere parametree f : [a, b] ⊂I → R2 telle que α et toutes les derivees coıncident en a et b

f(a) = f(b), f ′(a) = f(b), f ′′(a) = f ′′(b), . . .

Elle est dite simple si elle n’a pas d’auto-intersection, i.e., si pour tous t1, t2 ∈[a, b[, t1 6= t2, alors f(t1) 6= f(t2). Une telle courbe simple fermee du plandelimite une region du plan appelee l’interieur de la courbe (theoreme deJordan). Cette notion, connue deja des Grecs, a donne lieu a un problemeisoparametrique qui a abouti au premier theoreme de geometrie differentielle :Parmi toutes les courbes simples fermees du plan de longueur donnee l, quelleest celle qui borde la region de plus grande aire ? Si les Grecs connaissaientla reponse, il fallut neanmoins attendre Weierstrass (1870) pour obtenir unepreuve formelle.



Theoreme 1.7.1 (inegalite isoparametrique). Soit une courbe simplefermee du plan de longueur l et soit A l’aire de la region delimitee par cettecourbe. Alors on a

l2 − 4πA ≥ 0 ,

et le seul cas d’egalite est celui d’un cercle.

Courbes de R3.

On suppose l’espace affine euclidien R3 oriente et on considere une courbef parametree de lasse Ck, k ≥ 3, parametree par la longueur d’arc. On rappelleque le vecteur unitaire tangent t(s), a normale unitaire n(s) et la courbure ksont les fonctions definies respectivement par

t(s) = f ′(s), n(s) =f ′′(s)‖f ′′(s)‖ , et k(s) = ‖f ′′(s)‖ . (1.11)

Pour chaque s ∈ I, le plan defini par les vecteurs unitaires tangent t(s) etnormal n(s) est appele le plan osculateur en s a la courbe f . Le repere deSerret-Frenet (f(s), t(s), n(s), b(s)) est le repere orthonormal direct de R3

defini par les relation (1.11) et par le vecteur

b(s) = t(s) ∧ n(s)

appele vecteur binormal en s. La quantite ‖b′(s)‖ mesure la vitesse de chan-gement des plans osculateurs par rapport au plan osculateur en s. On peutmontrer que le vecteur b′(s) est colineaire a n(s), et on peut ecrire

b′(s) = τ(s)n(s)

ou la fonction scalaire τ(s) est appelee la torsion de la courbe f . Les deriveest′(s) = k(s)n(s), b′(s) = τ(s)n(s) exprimees dans la base (t(s), n(s), b(s))donnent la courbure k(s) et la torsion τ(s) et renseignent sur le comportementlocal de la courbe f au voisinage de s. On a ainsi

n′(s) = b′(s) ∧ t(s) + b(s) ∧ t′(s) = −τ(s)b(s)− k(s)t(s) .

Les trois relations suivantes

t′(s) = k(s)n(s) , n′(s) = −k(s) t(s)−τ(s) b(s) , b′(s) = τ(s)n(s) . (1.12)

sont les formules dites de Frenet. Le plan bt (resp. nb) est le plan rectifiant(resp. normal). Comme pour les courbes planes, on introduit lorsque k(s) 6= 0,l’inverse ρ(s) = 1/k(s) de la courbure est appele le rayon de courbure en s.Par analogie, le nombre θ(s) = 1/τ(s) est appele rayon de torsion de la courbef en s.



Fig. 1.3. Repere local de Frenet en dimension trois et deux (d’apres [doCarmo]).

Theoreme 1.7.2 (theorie locale des courbes). Soient les fonctions diffe-rentiables k(s) > 0 et τ(s), s ∈ I. Alors il existe une courbe parametreereguliere f : I → R3 telle que s, k(s) et τ(s) correspondent a la longueurd’arc, a la courbure et a la torsion de f , respectivement. Supposons qu’uneautre courbe g verifie les memes proprietes de courbure et torsion aux pointscorrespondant a la meme abcisse curviligne, alors il existe une isometrie ϕ deR3 (de determinant positif) qui envoie une courbe sur l’autre.

A partir d’une courbe f : I → R3 (pas necessairement parametree par lalongueur d’arc), il est possible d’obtenir une courbe g : J → R3 parametreepar la longueur d’arc et qui admet la meme trace que f . Ce resultat per-met d’etendre tous les concepts locaux introduits ci-dessus au cas de courbesregulieres de parametrage arbitraire.

Avant de passer au cas des surfaces, il est interessant de s’arreter a l’etudede la forme locale des courbes. Soit f : I → R3 une courbe parametree parla longueur d’arc sans point singulier d’ordre 1 (point pour lequel f ′′(s) = 0).On peut ecrire un developpement de Taylor au voisinage de s0 = 0

f(s) = f(0) + sf ′(0) +s2

2f ′′(0) +

s3

6f ′′′(0) +R ,

avec lims→0R/s3 = 0. A l’aide des formules precedentes, f ′(0) = t, f ′′(0) = kn

etf ′′′(0) = (kn)′ = k′n+ kn′ = k′n− k2t− kτb ,

et on obtient alors

f(s)− f(0) =(s− k2s3

3!

)t+(s2k

2+s3k′

3!

)n− s3

3!kτb+R .

En prenant un repere Oxyz d’origine s(0) avec t, n, s les vecteurs unitaires,on a alors



x(s) = s− k2s3

6+Rx ,

y(s) =k

2s2 +

k′s3

6+Ry ,

z(s) = −kτ6s3 +Rz ,

ou R = (Rx, Ry, Rz). Ces relations constituent la forme canonique locale de fau voisinage de s = 0. Il est interessant d’analyser les projections de la tracede f dans les plans tn, tb et nb. On peut en effet donner une interpretation ausigne de la torsion (Fig. 1.4). Enfin, on peut mentionner que le plan osculateuren s est la position limite du plan defini par la droite tangente en s et le pointf(s+ h), lorsque h→ 0.

Fig. 1.4. Interpretation du signe de la torsion (negative-positive, [doCarmo]).

Surfaces de R3.

On s’interesse maintenant a la notion de surface reguliere dans R3. Dememe qu’on a defini une courbe par une application differentiable d’un inter-valle ouvert de R dans l’espace affine Rd, on procede par analogie pour definirune surface, qui sera definie par des applications differentables f : U → R3

d’un ouvert U de R2 dans l’espace affine R3. On designe donc par U in ouvertde R2 et par (u, v) les points de U .

Definition 1.7.3. On appelle nappe parametree de classe Ck, k ≥ 1, uneapplication f : U → R3 de classe Ck.

Les points (u, v) de U sont appeles parametres de f . L’ensemble f(U) ⊂ R3

est appele le support de la nappe parametree. Deux nappes parametrees (f, U)et (g, V ) sont dites equivalentes s’il existe un diffeomorphisme ϕ : V → U declasse Ck tel que g = f ϕ. Une nappe geometrique de classe Ck est uneclasse d’equivalence. Les supports de deux nappes parametrees equivalentescoıncident toujours.

Il est tentant d’appeler surface une partie de l’espace qui est, au voisinagede chacun de ses points, une nappe geometrique. Intuitivement, cela revienta considerer qu’une surface est un ensemble de points qui ressemble a une



portion de plan au voisinage de chacun de ses points. En outre, pour assurerl’existence d’un plan tangent en tout point de la surface, on va exiger de ladifferentielle df d’etre injective en tout point. On rappelle que si f : U →R3, (u, v) 7→ (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)) definit une nappe de R3, la matricejacobienne de la nappe est la fonction matricielle (u, v) 7→

(∂fi∂u ,

∂fi∂v

)i=1,...,3

.

Definition 1.7.4. Une nappe geometrique definie par un parametrage f :U → R3 est dite reguliere si la differentielle de f en chaque point de U est derang 2 ( i.e., c’est le rang de la matrice jacobienne de f).

Il s’agit d’une propriete de la nappe geometrique et pas du parametrage fchoisi.

Proposition 1.7.2. Pour que f soit de rang 2 au point (u, v) de U , il faut etil suffit que les deux vecteurs

∂f

∂u(u, v) et

∂f

∂v(u, v)

soient lineairement independants.

On considere le cone de revolution parametre par f : R2 → R3, telle que(θ, z) 7→ (kz cos θ, kz sin θ, z). La matrice de la differentielle est alors

df(θ,z) =

−kz sin θ k cos θkz cos θ k sin θ

0 1

qui est de rang 2 si z 6= 0. Ainsi, le sommet du cone (0, 0, 0) est un pointsingulier.

Parmi les representations possibles d’une surface, on peut considerer leparametrage cartesien suivant f : (x, y) 7→ (x, y, h(x, y)). Un tel parametrageest toujours de rang 2 et est donc injectif. Il possede en outre la proprieteremarquable suivante : le sous-espace dfm(R2) engendre par ∂f/∂x et ∂f/∂yne contient jamais l’axe des z. On parle de representation explicite de surfacedans ce cas. Le theoreme suivant fournit une reciproque a ces remarques.

Theoreme 1.7.3. Soit une nappe de classe Ck definie par un parametragef : U → R3 et soit m un point de U tel que dfm soit de rang 2. Alors, ilexiste un voisinage V de m dans U et un systeme de coordonnees dans R3

tels que la nappe parametree par f |V admette un parametrage cartesien dansces coordonnees.

Remarquons que meme si f est partout de rang 2 et injective, il est possibleque la nappe geometrique qu’elle definit n’ait pas de parametrage cartesienglobal. Ainsi, dans le cas d’une sphere, il n’existe aucun plan de R3 tel que laprojection de S sur ce plan soit injective.

Une autre representation usuelle d’une surface est de la definir commel’ensemble des points satisfaisant une equation :



Σ = (x, y, z) ∈ R3, F (x, y, z) = 0 .

ou F : R3 → (R) est une fonction. On parle alors de surface implicite.

Proposition 1.7.3. Soit F : R3 → R une fonction de classe C1. Soit p =(x, y, z) un point tel que F (p) = 0 et tel que l’application lineaire (dF )p :R3 → R soit surjective. Alors, il existe un parametrage qui fait d’un voisinagede p dans Σ une nappe reguliere.

Ce resultat est une variante du theoreme des fonctions implicites. On peutsupposer en effet que ∂Fz(p) 6= 0, en raison de la surjectivite de (dF )p, etl’equation F (x, y, z) = 0 se resout au voisinage de p. Il existe un ouvert U deR2 et une fonction ϕ de classe C1 definie sur U tels que

((x, y) ∈ U et F (x, y, z) = 0) ⇔ z = ϕ(x, y) .

Ce qui fournit un parametrage cartesien donc regulier de Σ au voisinage de p.

Soit f : U → R3 un parametrage d’une nappe Σ de classe Ck. Le sous-espace dfm(R2) engendre ar les deux vecteurs ∂f/∂u et ∂f/∂v est le plantangent en m, lorsque la matrice de la differentielle dfm au point m = (u, v)est de rang 2. Ce plan ne depend donc pas du parametrage choisi. Si f estinjective et parametre une nappe Σ et si p = f(m), on peut definir le plantangent a Σ en p par

TpΣ = dfm(R2) .

Il s’agit d’un plan vectoriel de R3 considere comme affine en mettant l’origineen p.

Soit une courbe Γ de U avec son image f(Γ ) ⊂ Σ. Si t 7→ α(t) est unparametrage de Γ dans U , la courbe f(Γ ) est parametree par f α et

(f α)′(t) = dfα(t)(α′(t)) .

Le vecteur tangent a f(Γ ) en f α(t) est l’image par dfα(t) d’un vecteur α′(t)de R2. C’est un vecteur du plan tangent a Σ en f α(t). Ainsi, la tangentea une courbe tracee sur Σ est dans le plan tangent. Reciproquenemt, toutedroite D de TpΣ est la tangente a l’image d’un arc trace sur Σ. Ainsi, le plantangent en p est l’unique pan contenant les tangentes en p a toutes les courbestracees sur Σ.

Il est interessant de regarder la position du plan tangent par rapport a lasurface. On a ainsi une propriete de contact a l’ordre 1.

Proposition 1.7.4. Soit Σ une nappe reguliere definie par un parametrageinjectif f : U → R3 et soit p0 = f(m0) un point de Σ. Le plan affine definipar l’equation ϕ(p) = 0 est le plan tangent a Σ en p0 si et seulement si auvoisinage de m0, on a

ϕ(f(m)) = o(‖m0m‖) .



Ce qui signifie que les points de la nappe Σ verifient ”presque” l’equation duplan.

Supposons que le parametrage soit C2. Au voisinage de p0 choisi commeorigine, on peut supposer que la surface Σ est definie par un parametragecartesien, on a alors en p0, f(0, 0) = 0. Avec les notations introduites parMonge, pour les derivees

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

on remarque que l’equation du plan tangent est en p0 = (0, 0) est z = px+qy,et si

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

alors, par developpement de Taylor, on a au voisinage de 0

f(x, y) = px+ qy +12

(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2) ,

dans lequel le terme quadratique represente l’ecart entre un point (x, y, f(x, y))de Σ et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y) du plan tangent. Ainsi, la posi-tion de la surface par rapport a son plan tangent est decrite par la formequadratique

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2 ,

et la surface reste ou non du meme cote de son plan tangent en 0 selon quef(x, y) − px − qy garde ou non un signe constant, donc selon que Q est oun’est pas definie :

1. si Q est definie (positive ou negative), donc si s2− rt < 0, la surface restedu meme cote, le point p0 est dit elliptique ;

2. si Q est non degeneree et change de signe, donc si s2− rt > 0, le point estdit hyperbolique ;

3. si Q est degeneree non nulle, donc si s2 − rt = 0 (r, s, t non tous nuls), lepoint p0 est dit parabolique ;

Chapitre IX. Surfaces dans l’espace

bien sûr supposer que l’origine a été choisie en p0, c’est-à-dire que f(0, 0) = 0.Utilisons maintenant les notations traditionnelles dites de Monge

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

pour les dérivées premières, de sorte que l’équation du plan tangent en 0 estz = px + qy, et

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

pour les dérivées secondes, de sorte que la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisi-nage de 0 s’écrit

f(x, y) = px + qy +12(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2).

Le terme quadratique représente la différence (à l’ordre 2) entre un point(x, y, f(x, y)) de la surface et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y)) du plantangent. La position de la surface par rapport à son plan tangent est décrite àl’aide de la forme quadratique dérivée seconde de f en 0 :

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2,

et la surface reste ou non du même côté de son plan tangent (au voisinage de 0)selon que f(x, y)− px− qy garde ou non un signe constant, c’est-à-dire selon quela forme Q est ou n’est pas définie.

Figure 10 Figure 11

(1) Si Q est définie (positive ou négative), c’est-à-dire si s2 − rt < 0, alors lafonction f(x, y) − px − qy admet un extremum strict en 0, la surface reste dumême côté de son plan tangent. Le point p0 est dit elliptique (figure 10).

(2) Si Q est non dégénérée mais change de signe, c’est-à-dire si s2 − rt > 0, ily a des points de la surface arbitrairement proches de 0 de chaque côté du plantangent, le point p0 est dit hyperbolique (figure 11).

330

Chapitre IX. Surfaces dans l’espace

bien sûr supposer que l’origine a été choisie en p0, c’est-à-dire que f(0, 0) = 0.Utilisons maintenant les notations traditionnelles dites de Monge

p =∂f

∂x(0, 0) q =

∂f

∂y(0, 0)

pour les dérivées premières, de sorte que l’équation du plan tangent en 0 estz = px + qy, et

r =∂2f

∂x2(0, 0) s =

∂2f

∂x∂y(0, 0) t =

∂2f

∂y2(0, 0)

pour les dérivées secondes, de sorte que la formule de Taylor à l’ordre 2 au voisi-nage de 0 s’écrit

f(x, y) = px + qy +12(rx2 + 2sxy + ty2) + o(x2 + y2).

Le terme quadratique représente la différence (à l’ordre 2) entre un point(x, y, f(x, y)) de la surface et le point correspondant (x, y, ϕ(x, y)) du plantangent. La position de la surface par rapport à son plan tangent est décrite àl’aide de la forme quadratique dérivée seconde de f en 0 :

Q(x, y) = rx2 + 2sxy + ty2,

et la surface reste ou non du même côté de son plan tangent (au voisinage de 0)selon que f(x, y)− px− qy garde ou non un signe constant, c’est-à-dire selon quela forme Q est ou n’est pas définie.

Figure 10 Figure 11

(1) Si Q est définie (positive ou négative), c’est-à-dire si s2 − rt < 0, alors lafonction f(x, y) − px − qy admet un extremum strict en 0, la surface reste dumême côté de son plan tangent. Le point p0 est dit elliptique (figure 10).

(2) Si Q est non dégénérée mais change de signe, c’est-à-dire si s2 − rt > 0, ily a des points de la surface arbitrairement proches de 0 de chaque côté du plantangent, le point p0 est dit hyperbolique (figure 11).

330

Fig. 1.5. Position d’une surface par rapport a son plan tangent (points elliptique ethyperbolique, d’apres [Audin]).



4. si Q est nulle (avec r, s, t nuls), le point est dit planaire.

Considerons une nappe parametree f : U → R3. Un vecteur du plantangent s’ecrit

w = a∂f

∂u+ b

∂f

∂v

et sa norme euclidienne est (en notant 〈·, ·〉 le produit scalaire euclidien)

‖w‖ = a2

∥∥∥∥∂f∂u∥∥∥∥2

+ 2ab⟨∂f

∂u,∂f

∂v

⟩+ b2

∥∥∥∥∂f∂v∥∥∥∥2

.

Alors, si t 7→ c(t) = (u(t), v(t)) est une courbe tracee dans le domaine desparametres, la longueur de la courbe correspondante 7→ f(u(t), v(t)) traceesur la surface est

L(f c) =∫ √

u′(t)2∥∥∥∥∂f∂u

∥∥∥∥2

+ 2u′(t)v′(t)⟨∂f

∂u,∂f

∂v

⟩+ v′(t)2

∥∥∥∥∂f∂v∥∥∥∥2

dt

La forme quadratique dependant de (u, v)

ds2 =∥∥∥∥∂f∂u

∥∥∥∥2

du2 + 2⟨∂f

∂u,∂f

∂v

⟩dudv +

∥∥∥∥∂f∂v∥∥∥∥2

dv2

est souvent appelee premiere forme fondamentale de la surface Σ en p. Leproduit scalaire euclidien de R3 definit, via f , un produit scalaire sur R2, c’estcette forme, en coordonnees. La matrice de cette forme quadratique dans labase canonique de R2 est une matrice symetrique

A =(E FF G

), E =

⟨∂f

∂u,∂f

∂v

⟩, etc.

Deux nappes sont dites isometriques si, par definition, elles ont memes E,Fet G.

Par extension, l’aire d’un domaine Ω trace sur une nappe parametreef : U → R3 est donnee par l’integrale

A(Ω) =∫∫

Ω

∥∥∥∥∂f∂u ∧ ∂f∂v∥∥∥∥ dudv =

∫∫Ω

√EG− F 2dudv ,

et ne depend donc pas du parametrage.On considere une nappe reguliere Σ parametree par f : U → R3 et un

point p = f(m) de Σ. On introduit le vecteur unitaire normal n(p) en lechoisissant de meme sens que le vecteur normal

∂f

∂u∧ ∂f∂v

.



Definition 1.7.5. Pour tous vecteurs X,Y du plan tangent TpΣ et pour toutpoint p de Σ, on definit la forme bilineaire symetrique

IIp(X,Y ) = −〈Tpn(X), Y 〉 ,ou Tpn est l’application lineaire tangente a n, qui est appelee seconde formefondamentale de la surface Σ au point p.

Si on fixe un vecteur unitaire X ∈ TpΣ et soit PX le plan engendre par Xet n(p). L’intersection de PX avec Σ est une courbe (plane) tracee sur Σa laquelle X est tangent. En particulier, comme PX peut etre oriente par(X,n(p)), elle a une courbure algebrique, notee KX . Ceci permet de definirune application X 7→ KX qui associe a tout vecteur X ∈ TpΣ un nombre reel.

Theoreme 1.7.4 (Euler). Si tous les KX ne sont pas egax, il existe uneunique direction, representee par un vecteur X1 (resp.X2), pour laquelle KX

est minimale (resp. maximale). Les vecteurs X1 et X2 sont orthogonaux et onpeut ecrire pour tout X ∈ TpΣ

KX = KX1 cos2 θ +KX2 sin2 θ ,

ou θ est l’angle entre X et X1.

Les directions de X1 et X2 sont appelees directions de courbure principales aupoint p. Les courbures KX1 et KX2 sont les courbures principales. La courburede Gauss (resp. courbure moyenne) en p est le determinant (resp. la trace) deTpn et correspond au produit (resp. a la somme) des courbures principales.Les surfaces minimales sont des surfaces dont la courbure moyenne est partoutnulle.

Corollaire 1.7.1. Le point p est elliptique si et seulement si K(p) > 0, etest hyperbolique si et seulement si K(p) < 0.

Par definition de la courbure d’une courbe plane, IIp(X,X) est la courbureKX de la courbe decoupee par la plan engendre par n(p) et X sur la surfaceΣ. Ainsi, dans le cas de la sphere unite (si n = Id) on a donc II(X,X)−‖X‖2,la courbure KX est identiquement egale a 1.

On dit que deux nappes parametrees f : U → R3 et g : U → R3 sontisometriques lorsque pour tous vecteurs ξ, η ∈ R2 et tout point m de U on a

〈dfm(ξ), dfm(η)〉 = 〈dgm(ξ), dgm(η)〉 .Theoreme 1.7.5 (Theorema egregium de Gauss). La courbure de Gaussd’une surface est invariante par isometrie locale.

On montre ainsi que la courbure s’ecrit en termes de la premiere forme fon-damentale seule.

On peut aussi ecrire la matrice de la seconde forme fondamentale dans labase canonique de R2

B =(L MM N

).



IX.3. Propriétés métriques des surfaces

Exemples IX.3.7– Dans le cas de la sphère unité, avec le choix d’orientation tel que n = Id, donc

II(X, X) = −‖X‖2, la courbure KX est identiquement égale à −1 et la courburede Gauss K(p) identiquement égale à 1.

– Dans le cas d’un plan, n est constante donc Tpn = 0 et la forme II estidentiquement nulle. La courbure KX est identiquement nulle.

– Dans le cas d’un cône ou d’un cylindre, l’application Tpn n’est pas nulle maisla forme quadratique IIp est dégénérée et la courbure KX est identiquement nulle(exercice IX.15).

Les directions de X1 et X2 sont appelées directions de courbure principalesau point p considéré. Les courbures KX1 et KX2 sont les courbures principales.Comme la courbure de Gauss en p est le déterminant de Tpn, on voit en calculantdans la base (X1, X2) qu’elle est le produit des courbures principales.

Voici une application : la courbure en p est liée à la position locale de la surfacepar rapport au plan tangent en p.

Corollaire IX.3.8. Le point p est elliptique si et seulement si K(p) > 0, hyperbo-lique si et seulement si K(p) < 0.

n

X1

X2

Figure 16

n

X1

X2

Figure 17

Démonstration. La courbure K(p) est strictement positive si et seulement si ladeuxième forme fondamentale est définie, c’est-à-dire si et seulement si la cour-bure KX est de signe constant. Ceci est équivalent à dire que toutes les courbesPX ∩ Σ sont situées (localement et strictement) du même côté de TpΣ (voir lesremarques VIII.2.3 et la figure 16).

337

Fig. 1.6. Caracterisation d’un point p de Σ par le signe de la courbure de GaussK(p) (d’apres [Audin]).

Lemme 1.7.2. La courbure de Gauss s’exprime en coordonnees par la for-mule

K(u, v) =LN −M2

EG− F 2.


2

Triangulations et maillages

L’objectif de ce chapitre est de presenter les principes generaux de lageneration d’un maillage d’un domaine ouvert borne lipschitzien (et le plussouvent connexe) de Rd. On rappelle que dans ce cas, le domaine est situe d’unseul cote de sa frontiere. Dans le cas d’un ouvert polygonal (resp. polyedrique),la frontiere ∂Ω est constituee d’une union finie de segments (resp. polygones).Pour un tel domaine, la normale exterieure n est definie presque partout sur∂Ω, elle est discontinue aux sommets (resp aux sommets et aux aretes) dupolygone (resp. polyedre).

Dans la resolution d’une equation aux derivees partielles par la methodedes elements finis, il est souvent mentionne que la qualite des resultats dependfortement du maillage utilise pour discretiser le domaine Ω. Pour illustrernotre propos, considerons le domaine Ω = [0, 1[2\[ 12 , 1]2 ⊂ R2, et cherchonsune fonction u solution du probleme de Poisson suivant

−∆u = f dans Ω et u|∂Ω = 0 .

Pour obtenir la formulation faible, on procede classiquement par multiplierl’equation par une fonction test v et en ntegrant sur Ω, on obtient

−∫Ω

v∆u =∫Ω

fv .

Au moyen de la formule de Green (1.1), on obtient∫Ω

∇u · ∇v −∫∂Ω

v∂u

∂n,

ou ∂u/∂n = Nablau·n est la derivee normale de u. Bien entendu, la regulariteminimale requise pour donner un sens a cette formule est u, v ∈ H1(Ω) et onconsidere f ∈ L2(Ω). Le theoreme de trace (Lemme 1.2.1) autorise a definirla valeur de u au bord du domaine et on cherche donc u ∈ H1

0 (Ω). Ainsi onaboutit au probleme de trouver u ∈ H1

0 (Ω) tel que


44 2 Triangulations et maillages

Adaptation de maillage pour les éléments finis.

Jean-Marie Mirebeau, [email protected]

4 janvier 2010

Résumé

Lors de la résolution d’Equations aux Dérivées Partielles par la méthode des éléments finis, laqualité des résultats obtenus dépend fortement du maillage utilisé pour la discrétisation du domaine.Dans ce sujet nous nous restreignons à l’EDP la plus simple posée sur un domaine Ω ⊂ R2, −#f = ϕ sur Ω

f = 0 sur ∂Ω.(0.1)

nous la discrétisons à l’aide des éléments finis de degré 1. Le travail portera sur l’étude et la construc-tion d’un maillage permettant d’obtenir la meilleure approximation de la solution pour un coût entemps de calcul donné.

La partie §1 précise ces objectifs. Dans la partie §2 nous étudions l’optimisation de maillage dansle cadre des triangulations isotropes : les triangles sont contraints à ne pas être trop fins (Figure 1b).La partie §3 aborde l’optimisation anisotrope de maillage, un domaine de recherche encore largementouvert, où les formes des triangles ne sont plus contraintes (Figure 1c).

1 Motivations et objectifsPour fixer les idées nous choisissons le domaine Ω :=]0, 1[2\[ 12 , 1]2 ⊂ R2 qui est illustré sur la Figure 1Nous notons H = H1

0 (Ω), c’est un espace de Hilbert muni du produit scalaire et de la norme ci dessous

〈f, g〉 :=∫

Ω

∇f∇g et ‖f‖ :=√〈∇f,∇f〉 = ‖∇f‖L2(Ω). (1.2)

Nous supposons désormais que ϕ ∈ L2(Ω). Pour tout sous espace vectoriel fermé V de H on définitle problème

Pb1(V ) : trouver fV ∈ V tel que ∀g ∈ V, 〈fV , g〉 =∫

Ω

ϕg. (1.3)

Figure 1 – (a) Une solution du problème (0.1), (b) une triangulation isotrope et (c) une triangulationanisotrope qui lui sont adaptées.

1

Fig. 2.1. Une solution du probleme de Poisson sur le domaine Ω et la triangulationassociee.

∫Ω

∇u · ∇v =∫Ω

fv , pour tout v ∈ H10 (Ω) . (2.1)

L’espace H10 (Ω) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire et la norme

〈u, v〉 =∫Ω

∇u · ∇v et ‖u‖H =√〈∇u,∇u〉 = ‖u‖L2(Ω) .

Lemme 2.0.3. Le probleme faible (2.1) admet une unique solution u qui estaussi solution du probleme initial.

Le resultat s’obtient directement en invoquant le theoreme de Lax-Milgram(sous reserve neanmoins d’en verifier toutes les hypotheses).

Corollaire 2.0.2. Pour tout sous-espace ferme Vh de H, le probleme faible(2.1) admet une unique solution uh telle que

‖u− uh‖ ≤ infvh∈Vh

‖u− vh‖ .

En effet, tout sous-espace vectoriel (ou affine) de dimension finie d’un espacevectoriel norme de dimension finie ou infinie sur un corps complet est fermedans cet espace. Le resultat escompte est donc celui donne par le Lemme deCea 1.4.1.

Supposons Vh de dimension finieNh et designons par (ϕi)i=1,...,Nh une basede Vh. On definit une matrice Ah ∈ MNh(R) et un vecteur bh = (bi) ∈ RNhtels que

(Ah)ij = 〈ϕj , ϕi〉 et bi =∫Ω

fϕi .

On peut alors montrer que le probleme (2.1) peut s’ecrire sous la forme

AhUh = bh avec Uh =Nh∑i=1

uh,iϕi ,


2.1 Definitions et terminologie 45

ou Uh,i designent les composantes de uh dans la base (ϕi).On souhaite resoudre ce probleme par la methode des elements finis de

degre un, et pour cela, on considere une triangulation conforme de Ω. Il nousfaut maintenant preciser ce que recouvre cette notion et introduire un peu devocabulaire.

2.1 Definitions et terminologie

Nous avons dit que dans la methode des elements finis la plus utiliseeen pratique, l’elements T considere est un simplexe, un triangle de sommets(a0, a1, a2) en dimension 2, un tetraedre de sommets (a0, a1, a2, a3) en di-mension 3. Plus generalement, le d-simplexe non-degenere T est l’enveloppeconvexe de d + 1 points ai de Rd, qui ne sont pas dans un meme hyperplan.Dire que ces points ne sont pas dans le meme hyperplan signifie que le volume|T | de T est strictement positif, c’est-a-dire que le determinant de la matrice

M =

a0,0 a0,1 . . . a0,d

a1,0 a1,1 . . . a1,d

......

. . ....

ad,0 ad,1 . . . ad,d1 1 . . . 1

,

est non nul. Le d-dimplexe T peut aussi etre utilement decrit a l’aide descoordonnees barycentriques (λi)i=0,...,d de ses sommets

T = x ∈ Rd, 0 ≤ λi(x) ≤ 1, i = 0, . . . , d .

ou les (λi) sont telles que

λi(aj) = δi,j , ∀ 0 ≤ j ≤ d .

Ainsi, pour chaque i, les d+1 coefficients de λi sont les inconnues d’un systemelineaire de d+ 1 equations et les d+ 1 systemes ont la meme matrice M t.

Soit T un simplexe non degenere, c’est-a-dire une partie compacte etconnexe, d’interieur non vide de Rd.

Definition 2.1.1. Une triangulation Th du domaine Ω est une decompositiondu domaine Ω en un nombre fini de simplexes T , obtenus a partir d’un elementdit de reference T et de transformations bijectives TK telles que

T = TK(T ) .

La triangulation est conforme, lorsque pour tout couple (Ti, Tj), i 6= j de sim-plexes de Th,l’intersection Ti ∩ Tj est

– soit vide, soit un sommet commun en dimension 1 ;



– soit vide, soit un sommet commun ou une arete commune en dimen-sion 2 ;

– soit vide, soit un sommet commun ou une arete ou une face communeen dimension 3.

On pourra supposer ici que les transformations sont affines, ce qui signifie quel’element fini geometrique est l’element fini de Lagrange P1. On aura donc

Ω =⋃T∈Th

T

Pour memoire, on rappelle que le parametre h designe la finesse de la trian-gulation Th

h = maxT∈Th

hT avec hT = diam(T ) .

Dans une triangulation isotrope, tous les triangles satisfont une estimationuniforme

σT =hTρT≤ C .

Fig. 2.2. Exemple de triangulation conforme et non conforme de Ω (d’apres [Ern,Guermond]).

Les contraintes de conformite de la Definition 2.1.1 permet d’imposer lacontinuite des fonctions definies sur Ω a l’interface des elements, ce qui estutile pour la construction d’espaces d’approximation conformes. Mais ellesoffrent en outre l’avantage de disposer des relations d’Euler.

Lemme 2.1.1 (Descartes-Euler). Soit Ω un domaine polyedrique de Rd etTh une triangulation de Ω. La caracteristique d’Euler de Th est un invariantnumerique qui correspond a la somme alternee

χ =d∑k=0

(−1)kNk ,

ou Nk designe le nombre d’elements de dimension k de Th.


2.2 Triangulations de Delaunay 47

Cette somme vaut 1 − (−1)d pour les polyedres convexes. Dans le cas d’unpolyedre de genre 0, on a toujours χ = 2. Le genre d’une surface connexe est lenombre maximum de courbes fermees simples sans points communs pouvantetre tracees a l’interieur de cette surface sans la deconnecter. C’est donc lenombre de ”trous” de la surface.

Parmi l’ensemble des triangulations de Ω, on s’interesse a l’une en particu-lier, la triangulation de Delaunay, car elle possede des proprietes de regulariteinteressantes pour l’approximation par elements finis.

2.2 Triangulations de Delaunay

Definition 2.2.1. Pour un ensemble de points P de l’espace euclidien Rdconstituant les sommets d’une triangulation Th, la triangulation Th est deDelaunay si aucun sommet de P ne se trouve dans l’interieur du disque (ousphere) circonscrit d’un simplexe T de Th.

Cette propriete est aussi connue sous le nom de critere de la boule ouvertecirconscrite vide. On peut montrer que la construction de la triangulation deDelaunay d’un ensemble de points en dimension d est un probleme equivalenta celui de la construction de l’enveloppe convexe d’un ensemble de pointsen dimension d + 1. Comme l’enveloppe convexe existe, la triangulation deDelaunay existe aussi. Le resultat suivant garantit l’unicite de la triangulationde Delaunay.

Proposition 2.2.1. Une triangulation de Delaunay Th est unique si les pointsde P sont en position generale, c’est-a-dire qu’il n’y a pas d + 1 points dansle meme hyperplan ni d+ 2 points sur la meme hypersphere.

La triangulation de Delaunay possede notamment les proprietes suivantes

1. l’union des simplexes⋃T∈Th T constitue l’enveloppe convexe des points

de P ;

2. Th contient au plus O(nd/2) simplexes ;

3. Ph est le graphe dual du diagramme de Voronoı associe a P.

Proposition 2.2.2. Si tous les simplexes de Th contiennent le centre de leurdisque (ou sphere) circonscrit, alors la triangulation Th est de Delaunay.

Il est evidemment interessant de chercher a construire la triangulation Thde Delaunay d’un ensemble de points P a l’aide d’un algorithme. Le resultatsuivant, du a B. Delaunay (1934), fournit une caracterisation locale de Th.

Lemme 2.2.1 (Delaunay). Soit Th une triangulation arbitraire de l’enve-loppe convexe des points de P. Si le critere de la boule ouverte circonscritevide est verife pour toute paire de simplexes adjacents de Th, alors Th est unetriangulation de Delaunay.



Fig. 2.3. Trangulation de Delaunay et cercles circonscrits en dimension 2. Suerpo-sition de la triangulation de Delaunay et du dual de Voronoı.

Muni de ce resultat, il existe un algorithme robuste et efficace permettant deconstruire une triangulation de Delaunay par recurrence, parfois connu sousle nom d’algorithme de Bowyer-Watson.

Algorithme incremental.

Soit Pi une famille de points de Rd en position generale et (Th)i unefamille de triangulations de Delaunay de l’enveloppe convexe Conv(Pi) de Pi.Soit Pi+1 un point dans le domaine convexe ferme Conv(Pi). Pour construireTh,i+1 s’appuyant sur Pi+1 = Pi ∪ Pi+1, on utilise la formule suivante

Th,i+1 = (Th,i\CPi+1) ∪ BPi+1 , (2.2)

dans laquelle CPi+1 designe la cavite de Pi+1, l’ensemble (etoile) des simplexesde Th,i dont la sphere ouverte circonscrite contient Pi+1 et BPi+1 est l’ensembledes simplexes construits en joignant Pi+1 aux sommets des aretes (faces) ex-ternes de la cavite.

Lemme 2.2.2. La triangulation Th,i+1 obtenue par l’algorithme ci-dessus etcontenant le point Pi+1 comme sommet est une triangulation de Delaunay.

Ce resultat constructif appelle plusieurs commentaires. Tout d’abord, onpeut utiliser ce procede de construction pour obtenir une triangulation deDelaunay, meme lorsque les points de Pi ne sont pas en position generale.Il n’y a alors pas unicite de la triangulation dans le sens ou celle-ci contientdes elements non simpliciaux qu’il faut alors decouper en simplexes (d’ou lanon-unicite) pour obeir a la definition. Ensuite, on a suppose que le point Pi+1

appartenait au domaine convexe Conv(Pi) lors de la construction, ce qui esten fait une hypothese assez restrictive, y compris en supposant que les pointspuissent etre tries (ce qui pose alors le probleme non trivial de trouver un


2.3 Triangulation sous contraintes 49

algorithme de tri qui garantisse cette propriete). Mais on peut toujours ajou-ter les sommets de la boıte englobante (convexe) des points de Pi de manierea satisfaire l’hypothese. Enfin, il convient de mentionner ici les problemeslies aux erreurs de troncature dans les calculs en arithmetique flottante.Il s’agit de garantir les proprietes d’exactitude des predicats geometriques.Dans l’identification de la cavite, on peut soit corriger cet ensemble par ajoutd’elements (de maniere a garantir la propriete d’etoilement du point, en per-dant eventuellement localement la propriete de Delaunay), soit mettre enœuvre des filtres dynamiques bases sur l’arithmetique d’intervalle.

Degre d’un probleme et predicats.

Les calculs geometriques se resument le plus souvent a evaluer des expres-sions algebriques. On s’interesse en particulier au predicat d’appartenance aun disque, note inC, qui indique si un point D appartient ou pas au disqueouvert dont l’adherence est le cercle circonscrit a trois points A, B et C. Ondefinit un predicat comme le signe (−, 0,+) d’un polynome homogene portantsur des variables d’entree et dont le degre est celui de son terme de plus hautdegre. On a par exemple, dans le plan, avec des notations evidentes

inC(A,B,C) =

∣∣∣∣∣∣∣∣AxBxCxDx

AyByCyDy

A2x +A2

y

B2x +B2

y

C2x + C2

y

D2x +D2

y

1111

∣∣∣∣∣∣∣∣ . (2.3)

Si A,B et C sont places dans le sens anti-horaire, ce nombre est positif si etseulement si D se trouve dans le disque ouvert circonscrit aux points. Dansla pratique, on ne s’interesse qu’a levaluation du signe du predicat.

2.3 Triangulation sous contraintes

Dans la plupart des applications, on est amene a considerer un domainepolyedrique Ω ⊂ Rd non convexe. On peut neanmoins chercher a construireune triangulation de Delaunay de Ω. On va donc supposer que le domaine Ωest constitue d’un ensemble K de segments PiPi+1 en dimension deux et d’unensemble de triangles PiPjPk en dimension trois qui doivent necessairementapparıtre dans la triangulation Th comme cotes (faces) de simplexes. On dis-tingue trois etapes dans la creation de la triangulation Th.

1. Triangulation de la frontiere ∂Ω.Pour pouvoir appliquer la formule (2.2), il faut disposer d’une triangula-tion Th,0. Pour cela, on determine un polyedre convexe simple contenanttous les points Pi de K, par exemple la boıte englobante de l’ensembledes points, calculee sur les extrema des coordonnees des Pi. Puis, il estfacile de construire la triangulation Th,0 de ce polyedre en le decoupant



Fig. 2.4. Triangulation de la frontiere d’un domaine Ω ⊂ R2 a partir de la contrainteK (a gauche) et resultat obtenu avec des contraintes manquantes.

en 2 triangles, en dimension 2, ou en 5 tetraedres, en dimension 3. Il suffitalors d’inserer un a un tous les points Pi de K par la technique de la cavite(2.2) decrite ci-dessus.

2. Recuperation de la contrainte K.La triangulation de Delaunay Th ainsi obtenue contient, par construction,tous les points Pi de l’ensemble K augmente des points de la boıte en-globante. Neanmoins, rien ne garantit que les segments ou les trianglesde K soient tous presents dans Th. Il est en effet assez facile d’exhi-ber des contre-exemples (Figure 2.4). Il convient donc de recuperer lesentites manquantes. En dimension 2, le probleme est resolu assez simple-ment. Il suffit d’identifier une arete PiPi+1 manquante. Puis de determinerl’ensemble des triangles intersectes par le segment PiPi+1. Il suffit alorsde modifier la triangulation de cet ensemble en utilisant par exemple laprocedure de basculement d’arete illustree Fig. 2.5 de maniere iterative.En dimension 3, une procedure identique peut etre appliquee, neanmoinsbeaucoup plus delicate a mettre en œuvre, et qui peut resulter dans l’in-sertion de points supplementaires (qui n’appartiennent pas a K), appelespoints de Steiner.Observons que si des entites ont ete recuperees, la triangulation Th n’estpas une triangulation de Delaunay (puisque celle-ci est unique et quedes changements ont ete operes). On parle alors de triangulation de typequasi-Delaunay.Il est maintenant possible d’identifier les elements internes au domainede ceux qui lui sont exterieurs a l’aide d’un algorithme de coloriage. Ilfaut en effet se rappeler que la triangulation Th est une partition d’undomaine convexe englobant la contrainte K associee a la discretisation dela frontiere de Ω.

3. Insertion de points internes.La triangulation Th ne comporte aucun (ou presqu’aucun) point interne,i.e., tous ses sommets appartiennent a la discretisation de la frontiere∂Ω de Ω. L’etape suivante consiste donc a introduire des points dans le


2.3 Triangulation sous contraintes 51

Fig. 2.5. Basculement d’une arete (dans ce cas pour respecter le critere de la bouleouverte circonscrite de Delaunay).

domaine jusqu’a obtenir une triangulation Th pour laquelle tous les sim-plexes respectent une contrainte de taille. Ceci permettra aussi d’effectuerdes calculs en elements finis sans contrainte liee aux conditions aux limites.Supposons a ce stade qu’une fonction scalaire h : Rd → R est connue, qui atout point x ∈ Rd du domaine Ω associe la taille (le diametre) h(x) idealedu simplexe contenant x. Comme des simplexes de diametre tres differentsne peuvent pas etre adjacents, on peut exiger de la fonction h : Ω →]0, 1] qu’elle soit 1-lipschitzienne. Notons qu’en pratique, en supposantconnues les valeurs h(Pi) pour Pi ∈ K, il est possible de construire uneapproximation P1 de la fonction de controle h(x) sur la triangulation Th.

Definition 2.3.1. Une triangulation Th de Ω est dite C-adaptee a unefonction h si pour tout T ∈ Th et pour tout x ∈ T , on a

C−1h(x) ≤ diam(T ) ≤ Ch(x) .

Un moyen simple et efficace de definir une famille de points Pj a insererdans la triangulation Th consiste a analyser les aretes de celle-ci.A partir de la definition de la longueur d’un arc geometrique parametref : [a, b]→ Rd de classe Ck

l(f) =∫ b

a

‖f ′(t)‖ dt

il est facile d’evaluer la longueur d’une arete [a, b] de Th parametree parla longueur d’arc lorsque la fonction h est specifiee sur Ω

l(f) =∫ b

a

1h(t)‖f ′(t)‖ dt = ‖ab‖

∫ 1

0

1h(t)

dt .



(i)

(ii)

(iii)

Fig. 2.6. (i) Triangulation de Delaunay de la boıte englobante de Ω. (ii) triangula-tion sans point interne. (iii) triangulation du domaine Ω apres insertion des pointsinternes.

2.4 Triangulations anisotropes

2.5 Triangulations de surfaces

2.6 Triangulations particulieres


3

Estimation d’erreur

En introduction de ce cours, nous avons rappele les estimations d’erreurclassiques pour les methodes d’elements finis

‖u− uh‖H10 (Ω) ≤ C hm−1 |u|Hm(Ω) ,

qui offrent un avantage encore inexploite jusqu’a present, de faire intervenirla densite (la finesse) du maillage et la regularite de la solution u recherchee.Ainsi, dans le cas d’une triangulation Th quasi-uniforme, la dimensions Nh del’espace d’approximation Vh est du meme ordre que le nombre de simplexesde Th

Nh ≈ 1d,



4

Adaptation de maillage

levelset



5

Visualisation scientifique



Index

approximation interne, 22

carte locale, 11cavite, 48centre de courbure, 33cercle osculateur, 33commutation, 27contrainte, 3coordonnees barycentriques, 25courbe parametree, 30courbure, 32

directions principales, 41

derivee normale, 18

entree, 3espace

de Banach, 12

forme fondamentale, 41formule(s)

de Frenet, 33de Green, 17

immersion, 30

longueur, 32

modele, 3

nappe parametree, 36nappes equivalentes, 36

operateur trace, 17

osculateurplan, 34

ouvert lipschitzien, 11

parametre, 3point

d’inflexion, 32elliptique, 39hyperbolique, 39parabolique, 39singulier, 30

rayon de courbure, 33repere de Serret-Frenet, 34

simplexediametre, 25excentricite, 25rondeur, 25

simulation, 3sortie, 3surface reguliere, 36

tangente, 30theoreme

de Gauss, 41Lax-Milgram, 21

torsion, 34triangulation, 45

de Delaunay, 47

vecteurnormal, 33

vecteur binormal, 34


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M ethodes d’adaptation pour la simulation num erique · 2017. 5. 9. · 1.1 Analyse fonctionnelle Dans le cours, on consid ere comme domaine d’ etude un ouvert born e de Rdavec