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M2 Analyse Arithmétique et Géométrie 2010-2011 Responsable : Pascal AUSCHER ----------------------------------------------------------------------- Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected] Stages de rentrée : - Yves Laszlo : Algèbre et Géométrie - Francois Labourie : Variétés différentielles et formes différentielles Les stages se dérouleront sur 2 semaines : du 13 septembre au 24 septembre 2010 – salle 113-115, bât. 425 Réunion de rentrée : lundi 27 septembre 2010 à 16h, salle 117-119, bât. 425 Début des cours : lundi 27 septembre 2010 Fin du 1 er semestre : vendredi 14 janvier 2011 Début du 2ème semestre : lundi 24 janvier 2011 1 er semestre Géométrie algébrique et théorie des nombres J.B. Bost, J. Riou (TD) : Théorie des nombres. (50+25h) - 15 ECTS Y. Laszlo, P. Lorenzon (TD) : Géométrie algébrique. (50+25h) – 15 ECTS Topologie, géométrie et systèmes dynamiques F. Paulin : Introduction à la géométrie différentielle. (50+25h) – 15 ECTS F. Béguin, S. Lelièvre : Introduction à la théorie des systèmes dynamiques (50+25h) – 15 ECTS Analyse réelle et complexe G. David, J.C. Léger (TD) : Techniques d’analyse harmonique et opérateurs d’intégrale singulière. (50h + 25h) – 15 ECTS Equations aux dérivées partielles J.C. Saut : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 1 (24h) - 7,5 ECTS N. Burq : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 2 (24h) - 7,5 ECTS B. Helffer : Introduction à la théorie spectrale. (30h) - 7,5 ECTS R. Ignat : Equations elliptiques et calcul des variations. (24h) – 7,5 ECTS 2 ème semestre N. Anantharaman : Théorie ergodique et systèmes hamiltoniens (20h) – 7,5 ECTS P. Auscher : Problèmes aux limites elliptiques à coefficients peu-réguliers (40 h) – 15 ECTS J.M. Bismut : Laplacien hypoelliptique et intégrale orbitales (40 h) – 15 ECTS J. Duval : Surfaces de Riemann. (40h) – 15 ECTS A. Erschler : Les marches aléatoires et la géométrie des groupes. (20 h) – 7,5 ECTS O. Guichard : Cohomologie bornée : introduction et applications. (20 h) – 7,5 ECTS D. Harari : Cohomologie galoisienne et théorie des nombres. (44h) – 15 ECTS S. Kuksin : Limiting and asymptotic results for nonlinear PDE with random force. (20h) – 7,5 ECTS F. Labourie : Introduction mathématique à la théorie des champs. (20h) – 7,5 ECTS F. Le Roux : Homéomorphismes conservatifs des surfaces. (20 h) - 7,5 ECTS G. Raugel : Dynamique des équations aux dérivées partielles. (20h) – 7,5 ECTS V. Rivasseau : La théorie des graphes, la théorie des nœuds et leurs polynômes invariants. (20h) – 7,5 ECTS Cours du 2 ème semestre ayant lieu à l’extérieur E. Bouscaren : Théorie des Modèles : Géométries de Zariski (48h) – 9 ECTS Cours à Paris 7 E. Breuillard : Introduction au théorème de Freiman non-commutatif et applications. (20h) – 7,5 ECTS Cours à l’IHP R. Krauthgamer, J. Lee : The strange géométries of commuter science. Cours à l’IHP (15h) – 4,5 ECTS F. Pacard : Sommes connexes pour des problèmes liés à la courbure. (20h) – 7,5 ECTS - Cours à l’Ecole Polytechnique A. Valette : From coarse embeddings to the Baum-Connes conjecture (after G. Yu) Cours à l’IHP (10h) – 3 ECTS

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected]

Stages de rentrée : - Yves Laszlo : Algèbre et Géométrie - Francois Labourie : Variétés différentielles et formes différentielles

Les stages se dérouleront sur 2 semaines : du 13 septembre au 24 septembre 2010 – salle 113-115, bât. 425 Réunion de rentrée : lundi 27 septembre 2010 à 16h, salle 117-119, bât. 425 Début des cours : lundi 27 septembre 2010 Fin du 1er semestre : vendredi 14 janvier 2011 Début du 2ème semestre : lundi 24 janvier 2011

1er semestre Géométrie algébrique et théorie des nombres

• J.B. Bost, J. Riou (TD) : Théorie des nombres. (50+25h) - 15 ECTS • Y. Laszlo, P. Lorenzon (TD) : Géométrie algébrique. (50+25h) – 15 ECTS

Topologie, géométrie et systèmes dynamiques

• F. Paulin : Introduction à la géométrie différentielle. (50+25h) – 15 ECTS • F. Béguin, S. Lelièvre : Introduction à la théorie des systèmes dynamiques (50+25h) – 15 ECTS

Analyse réelle et complexe

• G. David, J.C. Léger (TD) : Techniques d’analyse harmonique et opérateurs d’intégrale singulière. (50h + 25h) – 15 ECTS

Equations aux dérivées partielles • J.C. Saut : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques.

Partie 1 (24h) - 7,5 ECTS • N. Burq : Problème de Cauchy pour les EDP non linéaires dispersives et hyperboliques.

Partie 2 (24h) - 7,5 ECTS • B. Helffer : Introduction à la théorie spectrale. (30h) - 7,5 ECTS • R. Ignat : Equations elliptiques et calcul des variations. (24h) – 7,5 ECTS

2ème semestre

• N. Anantharaman : Théorie ergodique et systèmes hamiltoniens (20h) – 7,5 ECTS • P. Auscher : Problèmes aux limites elliptiques à coefficients peu-réguliers (40 h) – 15 ECTS • J.M. Bismut : Laplacien hypoelliptique et intégrale orbitales (40 h) – 15 ECTS • J. Duval : Surfaces de Riemann. (40h) – 15 ECTS • A. Erschler : Les marches aléatoires et la géométrie des groupes. (20 h) – 7,5 ECTS • O. Guichard : Cohomologie bornée : introduction et applications. (20 h) – 7,5 ECTS • D. Harari : Cohomologie galoisienne et théorie des nombres. (44h) – 15 ECTS • S. Kuksin : Limiting and asymptotic results for nonlinear PDE with random force. (20h) – 7,5 ECTS • F. Labourie : Introduction mathématique à la théorie des champs. (20h) – 7,5 ECTS • F. Le Roux : Homéomorphismes conservatifs des surfaces. (20 h) - 7,5 ECTS • G. Raugel : Dynamique des équations aux dérivées partielles. (20h) – 7,5 ECTS • V. Rivasseau : La théorie des graphes, la théorie des nœuds et leurs polynômes invariants. (20h) – 7,5 ECTS

Cours du 2ème semestre ayant lieu à l’extérieur

• E. Bouscaren : Théorie des Modèles : Géométries de Zariski (48h) – 9 ECTS

Cours à Paris 7 • E. Breuillard : Introduction au théorème de Freiman non-commutatif et applications. (20h) – 7,5 ECTS

Cours à l’IHP • R. Krauthgamer, J. Lee : The strange géométries of commuter science. Cours à l’IHP (15h) – 4,5 ECTS • F. Pacard : Sommes connexes pour des problèmes liés à la courbure. (20h) – 7,5 ECTS - Cours à l’Ecole Polytechnique • A. Valette : From coarse embeddings to the Baum-Connes conjecture (after G. Yu)

Cours à l’IHP (10h) – 3 ECTS

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Résumés des cours

M2 AAG – 2010-11

1er et 2ème semestre

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Cours accélérés du 13 septembre au 24 septembre 2010

Yves LASZLO : Algèbre et géométrie – 3ECTS – mathMFA5CC1 Le but de ce cours accéléré est de donner les bases nécessaires d’algèbre-géométrie pour les cours de M2, notamment de géométrie algébrique ou de théorie des nombres. Le programme s’adaptera en fonction de l’auditoire. On privilégiera une approche aussi géométrique que possible, proche de la théorie des schémas. Toutefois, on peut donner d’ores et déjà les points suivants qui seront traités :

- localisation, - techniques noethériennes, - nilpotents, idéaux associés, décomposition primaire, - entiers, théorème de Cohen-Seidenberg, théorème des zéros de Hilbert, - introduction aux faisceaux. Ce cours de 6 journées (2h matin + 2h l’après-midi) aura lieu : salle 113-115, bât. 425 Lundi 13, mercredi 15, vendredi 17, lundi 20, mercredi 22, vendredi 24 septembre de 10h à 12h et de 14h à 16h. François LABOURIE : Variétés différentielles et formes différentielles – 3ECTS – mathMFA5CC2 - Variétés différentielles : espace tangent et cotangent, fonctions lisses, submersions et immersions. - Formes différentielles : formes exactes et fermées, lemme de Poincaré. - Cohomologie de Rham et applications : quelques calculs, cohomologie des sphères et des surfaces. - Intégration des formes de degré maximum : orientation, variétés à bord et formules de Stokes. - Champ de vecteurs et formules de Lie-Cartan Ce cours aura lieu : salle 113-115, bât. 425

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Géométrie algébrique et théorie des nombres :

Jean-Benoit BOST, J. RIOU (TD) : Théorie des nombres – 15 ECTS

Volume horaire: 75h mathMFA502 – 1er semestre

Résumé : Le but de ce cours est d’abord de présenter quelques notions et théorèmes classiques de la théorie des nombres algébriques. Le cours couvrira les points suivants :

- Introduction : loi de réciprocité quadratique, caractères de Dirichlet. - Le théorème de Minkowski et ses conséquences arithmétiques. - Ordre dans les algèbres à division sur Q : finitude du nombre de classes et théorèmes des unités. - Anneaux de Dedekind, applications aux corps de nombres algébriques et leurs anneaux d’entiers. - Valeurs absolues, places, complétions. Corps et analyse p-adique. - Extensions finies de corps de nombres et de corps locaux. Théorie de la ramification. - Séries de Dirichlet, fonctions zêta et fonctions L. - Le théorème de Cebotarev.

Si le temps le permet, quelques développements plus récents seront abordés (théorie élémentaire des fibrés vectoriels hermitiens, théorie élémentaire des formes modulaires et applications aux formes quadratiques entières). Abstract : The purpose of this course is firstly to present some basic notions and results of algebraic number theory. The following topics will be covered :

- Introduction : quadratic reciprocity, Dirichlet characters. - Minkowski theorem and its arithmetic applications. - Orders in division algebras over Q : finiteness of the class number and unit theorem. - Dedekind rings, applications to number fields and their ring of integers. - Absolute values, places, completions. P-adic fields and analysis. - Finite extensions of number fields and local fields. Ramification theory. - Dirichlet series, zeta and L-functions. - Cebotarev’s theorem.

If time permits, some more recent developments of number theory will also be discussed (elementary theory of hermitian vector bundles, elementary theory of modular forms and applications to integral quadratic forms). Parcours : M2 Analyse, arithmétique et géométrie Commentaires : Cours fondamental renforcé. Ce cours aura lieu le mardi de 9h30 à 11h30 et de 13h30 à 15h30, salle 113-115, bât. 425 et les TD le lundi matin de 10h à12h, salle 113-115, bât. 425

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Y. LASZLO, P. LORENZON (TD) Géométrie Algébrique – 15 ECTS Volume horaire : 52h + 25h TD

mathMFA500– 1er semestre

Résumé : Le but de ce cours est de présenter les outils de la géométrie algébrique moderne, et en particulier le langage des schémas. On abordera dans un premier temps les propriétés générales des schémas et des morphismes de schémas. Dans une deuxième partie plus géométrique, on introduira les faisceaux de modules et leur cohomologie. On mettra l'accent sur les variétés algébriques et les schémas arithmétiques ainsi que sur les liens qui les unissent. Ce cours aura lieu : le lundi de 14h à 17h, salle 113-115 et le jeudi de 10h à 12h, salle 121-123 Les TD devraient avoir lieu le jeudi après-midi.

"Algebraic Geometry" (52 hours+25 hours of exercices sessions). Abstract : The goal of this course is to develop the tools of modern algebraic geometry, in particular the language of schemes. The first part is devoted to general properties of schemes and morphisms of schemes. The second part is more geometric: we deal with sheaves of modules with their cohomology. Numerous examples will be given, in algebraic varieties and arithmetic schemes and their relationships.

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Topologie géométrique et systèmes dynamiques

Frédéric PAULIN (Cours + TD) Introduction à la géométrie différentielle – 15 ECTS

Volume horaire : 50 + 25h mathMFA503 – 1er semestre

Résumé : L'objectif du cours est de donner une formation générale en géométrie différentielle. Les étudiants seront supposés maîtriser le contenu du cours accéléré de géométrie différentielle. On abordera les sujets suivants :

- Fibrés vectoriels, tenseurs, connexions linéaires, courbure - Groupes et algèbres de Lie, classification des groupes de Lie semi-simples ; fibrés principaux - Théorie de Chern-Weil, classes caractéristiques - Géométrie riemannienne : connexion de Levi-Civita, géodésiques, formalisme lagrangien et hamiltonien, théorème de Hopf-

Rinow, courbures, formules de variation, champs de Jacobi, théorème de Cartan-Hadamard, théorèmes de comparaison, sous-variétés riemanniennes, théorème de Gauss-Bonnet

- Espaces symétriques et classification des espaces symétriques de type non compact - Structures géométriques, rigidité et déformations.

Abstract : The goal of this course is to give students a broad view of Differential geometry. The prerequisites are contained in the "fast track" elementary differential geometry course. The topics to be addressed are :

- Vector bundles, tensors, linear connections, curvature - Lie groups and algebras ; classification of semi-simple Lie groups ; principal bundle - Chern-Weil theory, characteristic classes - Riemannian geometry : Levi-Civita connection, geodesics, Lagrangian and Hamiltonian formalism,

Hopf-Rinow theorem, curvatures, variation formulae, Jacobi fields, Cartan-Hadamard theorem, comparison theorems, Riemannian submanifolds, Gauss-Bonnet theorem

- Symmetric spaces, classification of symmetric spaces of non compact type - Geometric structures, rigidity and deformations

Références: 1) Gallot, Hulin, Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag, 1990 2) S. Helgason : Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. Academic press, 1978 3) P. Petersen : Riemannian geometry, Grad. Texts in Math, 171-Springer-Verlag, 1998 4) A. Besse : Einstein manifolds, Ergeb.Mat. 10, Springer-Verlag, 1987 5) B. Doubrovine, S. Novikov , A. Fomenko : Géométrie contemporaine, I, II, III : Editions MIR, 1987 6) J.Milnor : Morse theory, Annals of Maths Studies, 51, Princeton University Press, 5th Ed. 1973 7) J. Milnor, J. Stasheff : Characteristic classes, Annals of Maths Studies, 76, Princeton University Press, 1974 Commentaires : Les cours auront lieu le mardi de 10h-12h et 13h-15h - les TD auront lieu le mardi de 15h30-17h30

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François BEGUIN, Samuel LELIEVRE Introduction à la théorie des systèmes dynamiques – 15 ECTS

Volume horaire : 50h + 25h TD mathMFA504 – 1er semestre

Un système dynamique à temps continu est la donnée d'une équation différentielle x'(t)=f(x(t)) ; on cherche alors à comprendre le comportement asymptotique des différentes solutions de cette équation quand le temps t tend vers l'infini, en fonction de leur condition initiale x(0). Un système dynamique à temps discret est la donnée d'une application T : X --> X d'un espace X dans lui-même ; on étudie alors le comportement asymptotique des suites (x(n)) définies par x(n+1)=T(x(n)) en fonction de leur condition intiale x(0). L'intérêt pour la théorie des systèmes dynamiques a explosé dans les années 60-70 quand on a compris :

- qu'il existe des systèmes dynamiques très simples qui présentent un comportement extrêmement complexe ("chaotique"), qui semble "aléatoire" ;

- - qu'un tel comportement "chaotique" peut paradoxalement être "stable" ; que le comportement de certains systèmes dynamiques est tellement "chaotique" et "aléatoire" qu'on peut en faire une étude statistique.

Le but de ce cours est de présenter des classes d'exemples importants de systèmes dynamiques, ainsi que les outils classiques pour les étudier. Nous parlerons par exemple :

- des homéomorphismes du cercle qui constituent une des seules classes de systèmes dynamiques dont on comprend bien la dynamique ;

- des échanges d'intervalles, qui sont des exemples de systèmes dynamiques très simples à définir, et pourtant encore mal compris à l'heure actuelle ;

- des résultats de base de théorie ergodique qui permettent d'étudier les propriétés statistiques d'un système dynamique ; - des flots géodésiques des surfaces à courbure négative, qui jouent un rôle crucial en géométrie, et sont des exemples

archétypaux de systèmes dynamiques à la fois "chaotiques" et "stables"; - de la notion de codage (en particulier, via des partitions de Markov) qui constitue un des outils les plus importants pour

l'étude des systèmes dynamiques. -

A continuous-time dynamical system is given by a differential equation x'(t)=f(x(t)); one is interested in the asymptotic behaviour of the various solutions to this equation as the time t tends to infinity, depending on the initial condition x(0). A discrete-time dynamical system is given by a map T : X --> X from a space X into itself; one is interested in the asymptotic behaviour of sequences (x(n)) defined by x(n+1)=T(x(n)), depending on the initial condition x(0). Interest in dynamical systems exploded in the 1960s-70s when it was shown that: very simple dynamical systems can have an extremely complex ("chaotic") behaviour, which appears to be "random"; such "chaotic" behaviour can paradoxically be "stable"; the behaviour of some dynamical systems is so "chaotic" and "random" that it is best studied statistically. The aim of this course is to present important classes of examples of dynamical systems as well as the classical tools to study them. We will for instance mention: homeomorphisms of the circle, a class of dynamical systems whose dynamics is well understood; interval exchange transformations, which are simple to describe yet still not well understood today; basic results of ergodic theory, a tool for studying statistical properties of a dynamical system; geodesic flows on negatively curved surfaces, which play a crucial role in geometry, and are an archetype of dynamics which are at the same time "chaotic" and "stable"; the notion of coding (in particular via Markov partitions) with which one can study a dynamical system symbolically. Référence : A. Katok, B. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press.

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Analyse réelle et complexe

Guy DAVID, J.C. LEGER (TD) Techniques d’analyse harmonique et opérateurs d’intégrale singulière – 15 ECTS

Volume horaire : 75h mathMFA506 – 1er semestre

Résumé : Il s’agira d’une introduction à certaines techniques fondamentales d’analyse classique, plutôt orientée vers l’étude des opérateurs d’intégrale singulière et avec une préférence pour les arguments géométriques. Ce cours sera sans doute utile pour suivre le cours de problèmes aux limites elliptiques du second semestre. Les sujets traités devraient être parmi les suivants :

- Lemmes de recouvrement, fonction maximale de Hardy-Littlewood. - Interpolation réelle et/ou complexe. - Propriétés de différentiabilité des fonctions : inégalités de Poincaré et Sobolev, différentiabilité presque-partout des fonctions

Lipschitziennes. - Eventuellement, décompositions de Littlewood-Paley. - Théorème de John et Nirenberg sur l’exponentielle intégrabilité des fonctions à oscillation moyenne bornée (BMO). - Décomposition de Calderon-Zygmund des fonctions, espace de Hardy atomique H1 et sa dualité avec BMO. - Eventuellement, cubes et extension de Whitney. - Base de Haar. - Mesures de Carleson. - Opérateurs de Calderon-Zygmund : continuité sur Lp, inégalités aux bons lambda, éventuellement quelques poids de

Muckenhoupt, et critères (T(1) et T(b)) de continuité sur L2.

En fonction du temps disponible, application au noyau de Cauchy sur les courbes Lipschitziennes ou Ahlfors-régulières par la technique des gros morceaux, morceaux bilipschitziens dans une application lipschitzienne dont l’image a une grande mesure, et un peu de rectifiabilité uniforme. Le programme ci-dessus est largement modifiable en fonction de l’audience. Références :

1- Y. Meyer : Ondelettes et opérateurs (3 volumes), Actualités Mathématiques. Herman 1990-91 2- E.M. Stein : Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press 1970 3- K. Falconer : The geometry of fractal sets. Cambridge University Press 1984 4- A. Torchinsky : Real variable methods in harmonic analysis. Academic Press 1986 ou 2004 5- Voir aussi les notes de cours peu rédigées disponibles sur ma page (dernier item) sur des sujets voisins et, pour une idée de la

rectifiabilité uniforme, l’item « notes-Park City » de cette même page : http://www.math.u-psud.fr/ gdavid/liste-prepub.html

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

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G. David : English Summary An introduction to techniques of classical analysis, rather aimed at singular integral operators and with a preference for geometrical arguments. This course should help for "problèmes aux limites elliptiques" in the second semester. Topics should include : - Covering lemmas, Hardy-Littlewood maximal function ; - Real and/or complex interpolation ; - Differentiability properties of functions: Poincaré and Sobolev inequalities, almost-everywhere differentiability of Lipschitz functions ; - Perhaps, Littlewood-Paley décompositions ; - John et Nirenberg's theorem on the exponential integrability of fonctions with Bounded Mean Oscillation ; - Calderon-Zygmund decomposition of functions, the atomic Hardy space H1 and its dualité with BMO ; - Possibly, Whitney cubes and extensions ; - Haar basis ; Carleson measures ; - Calderon-Zygmund operators : Lp boundedness, good lambda inequalities, perhaps some Muckenhoupt weights, and the L2 boundedness criteria (T(1) and T(b)) ; Depending on time, some applications to the Cauchy kernel on Lipschitz or regular curves (by the big pieces method), bilipschitz pieces in a lipschitz mapping whose image has a large measure, and some uniform rectifiability.

The program can be modified, depending on the audience. References as above.

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Equations aux dérivées partielles

Jean-Claude SAUT : Problème de Cauchy pour EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 1 - 7,5 ECTS Volume horaire : 24h

mathMFA542B – 1er semestre N. BURQ : Problème de Cauchy pour EDP non linéaires dispersives et hyperboliques. Partie 2 – 7,5 ECTS

Volume horaire : 24h mathMFA542D - 1er semestre

Les équations aux dérivées non linéaires dispersives sont une des classes d’équations les plus étudiées actuellement. Parmi elles notons en particulier les équations des ondes et de Schrödinger. Les solutions de ces équations présentent des propriétés de régularité étonnante. Ce cours a pour but d’introduire un riche éventail de techniques permettant de les étudier aussi bien du point de vue de la théorie de Cauchy locale que du point de vue des propriétés dynamiques (explosion, étude en temps longs, etc…) Partie 1 : J.C. Saut Notion de problème de Cauchy bien posé (semi-linéaire (flot régulier), quasi-linéaire (flot pas plus que continu)). Généralités sur les méthodes de compacité (lemmes de Aubin-Lions, J. Simon ; méthode de Bona-Smith : comment récupérer la continuité forte en temps et la continuité du flot). Applications : problèmes hyperboliques quasi-linéaires symétrisables et leurs perturbations dispersives; équation d'Euler. Le flot n'est pas UC. Problèmes "semi-linéaires" via Picard sur Duhamel. Exemples : NLS via Strichartz. KdV (théorie H¹ via les estimations dispersives sur le groupe d'Airy et théorie L² via Bourgain). Benjamin-Ono et KP I ne sont pas semi-linéaires. Benjamin-Ono (théorie H¹ via Tao) Si le temps le permet : blow-up NLS. Partie 2 : N. Burq Equations des ondes dans un domaine borné.

- Estimations de Strichartz. Le cas des données initiales critiques pour l’énergie. - Existence globale. - Scattering à l’extérieur d’un obstacle étoile. - Solutions en grand temps pour des données aléatoires. - Mesures de Gibbs.

L’oscillateur harmonique

- Le cas L2-critique : estimations de Strichartz - Théorie locale déterministe pour l’équation de Schrödinger non linéaire associée. Solutions globales pour des données

aléatoires sur-critiques. - Mesures de Gibbs.

Cours commun M2 AAG/EDP

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M2 Analyse Arithmétique et Géométrie

2010-2011 Responsable : Pascal AUSCHER

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected]

Bernard HELFFER Introduction à la théorie spectrale – 7,5 ECTS

Volume horaire : 30h mathMFA541E - 1er semestre

Résumé : On se propose dans ce cours de présenter la théorie spectrale des opérateurs non bornés en mettant l’accent sur des applications (Opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique ou Problèmes spectraux provenant de la supraconductivité) On présentera en particulier des critères pour qu’un opérateur soit autoadjoint, à résolvante compacte et le principe du MiniMax. On discutera aussi la question du pseudospectre des opérateurs non autoadjoints. Abstract : In this basic course, our aim is to present the standard results in spectral analysis for unbounded selfadjoint operators. The course will be illustrated with applications of the theory to the analysis of problems coming from Solid State Physics (Schrödinger operators with magnetic fields) or superconductivity. In particular, we will discuss the criteria for selfadjointness, maximal accretivity, compact resolvent, and the Minimax Principle. We will also analyze the pseudo-spectrum of non self-adjoint operators. Cours commun M2 AAG/EDP

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Radu IGNAT

Equations elliptiques et calcul des variations – 7,5 ECTS Volume horaire : 24h

mathMFA541C - 1er semestre

Le but de ce cours est de fournir quelques méthodes élémentaires pour l’étude des solutions des équations aux dérivées partielles elliptiques. En particulier, on présentera le lien avec le calcul des variations. I – Définitions Equations elliptiques, solutions faibles II – Existence de solutions faibles : Théorème de Lax-Milgram, estimation d’énergie, alternative de Fredholm III – Régularité des solutions faibles : Régularité intérieure, régularité à la frontière IV – Principe de maximum :

Principe de maximum faible, Lemme de Hopf, principe du maximum fort, inégalité de Harnack, moving planes.

V – Valeurs propres et fonctions propres pour des opérateurs elliptiques. VI – Calcul des variations :

1- Equations de Euler-Lagrange, Lagrangian nul, Théorème de point fixe de Brouwer. 2- Existence et unicité des minimiseurs. 3- Quasiconvexité et polyconvexité. 4- Régularité des minimiseurs. 5- Minimisation sous contraintes.

VII – Calcul des variations et points critiques : Théorème de déformation, Lemme du col, Applications aux EDP elliptique semilinéaires Cours commun M2 AAG/EDP

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Cours du 2ème semestre

Nalini ANANTHARAMAN Théorie ergodique et systèmes hamiltoniens – 7,5 ECTS

Volume horaire : 20h DMMA548A – 2nd semestre

Boltzmann a énoncé en 1871 sa fameuse « hypothèse ergodique » dans le cadre de la théorie cinétique des gaz. La « théorie ergodique », développée dans un cadre abstrait, n’est cependant pas facile à faire fonctionner sur des exemples concert, issus de la physique. Le but de ce cours est de démontrer d’illustrer certains théorèmes de la « théorie ergodique différentiable » en les appliquant à des exemples de systèmes hamiltoniens. Parmi les notions abordées : théorème ergodique de Birkhoff, entropie, exposants de Lyapunov, théorème d’Oseledets, systèmes (uniformément) hyperboliques. On a en vue les exemples suivants : flots géodésiques des variétés à courbure négative, puis négative ou nulle ; exemples de billards ergodiques ou non ergodiques ; problème de la construction de potentiels ergodiques sur le tore, ou de métriques sur la sphère avec un flot géodésique ergodique. Ce cours s’adresse à la fois aux étudiants du M2 Analyse, Arithmétique et Géométrie et à ceux du M2 Equations aux dérivées partielles et calcul scientifique qui voudraient se familiariser avec la théorie ergodique différentiable. Prérequis : Un peu de géométrie riemannienne (courbure, géodésiques), théorie ergodique de base (le théorème de Birkhoff sera énoncé mais non démontré). Cours commun M2 AAG/EDP

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Pascal AUSCHER Problèmes aux limites elliptiques à coefficients peu-réguliers – 15 ECTS

Volume horaire : 40h mathMFA514 – 2ème semestre

Résumé : Ce cours de deuxième semestre a pour objectif d'amener les étudiants aux techniques les plus récentes pour étudier la résolubilité au sens de Hadamard de problèmes de Dirichlet ou de Neumann pour des opérateurs elliptiques sur les ouverts Lipschitziens de Rn. Ces techniques s'appuient sur des méthodes d'analyse harmonique, d'analyse fonctionnelle et d'équations aux dérivées partielles. Plusieurs sujets de doctorats sont possibles dans cette direction. Les opérateurs elliptiques sont de la forme L=-div A ∇ pour une matrice A à coefficients bornés, réels ou complexes, et l'ellipticité est prise au sens d'une inégalité de Garding, ce qui permet de considérer des systèmes d'équations. On peut consulter les résultats issus de l'école de B. Dahlberg et C. Kenig dans le livre de Kenig. Leurs méthodes s'appuient pour beaucoup sur la théorie du potentiel, qui ne s'applique que pour les équations scalaires et réelles. Nous approcherons ces questions par des voies différentes issus de la solution de la conjecture de Kato. Un développement possible du cours est le suivant: nous rappellerons à titre de motivation et d'illustration des propriétés élémentaires des fonctions harmoniques, de l'équation de la chaleur. Nous étudierons rapidement la théorie du calcul H∞ et des estimations quadratiques pour les opérateurs sectoriels. Nous obtiendrons des formules de représentation pour les solutions faibles d'équations Lu=0 (sous certaines hypothèses sur les coefficients A) à l'aide d'un semi-groupe et nous prouverons que le générateur satisfait les estimations quadratiques requises (au passage, cela démontrera la conjecture de Kato). Cette représentation permettra de formuler les problèmes aux limites de façon non-tangentielle, puis de caractériser leur résolubilité. Certains résultats sont encore non publiés. En prérequis, il est fortement conseillé d'avoir suivi le cours d'analyse harmonique du premier semestre (fonctions maximales, mesure de Carleson) et si possible un cours de base d'EDP (espaces de Sobolev, fonctions harmoniques). Références :

- D. Albrecht, X. Duong, A. McIntosh : Operator theory and harmonic analysis. Instructional Workshop on Analysis and Geometry, Part III, (Canberra, 1995)}, vol.34 of Proc. Centre Math. Appl. Austral. Nat. Univ.} Austral. Nat. Univ., Canberra, 1996, pp. 77--136.

- P. Auscher, A. Axelsson : Weighted maximal regularity estimates and solvability of elliptic systems with non-smooth coefficients. Preprint

- P. Auscher, A. Axelsson , A. McIntosch : On a quadratic estimate related to the Kato conjecture and boundary value problems. To appear in : the proceedings of the El Escorial conférence 2008, contemporary mathematics, AMS.

- C. Kenig : Harmonic analysis techniques for second order elliptic boundary value problems. Vol. 83, CBMS Regional conférence series in mathematics. AMS, 1994

Cours commun M2 AAG/EDP

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Jean-Michel BISMUT

Laplacien hypoelliptique et intégrales orbitales – 15 ECTS Volume horaire : 40h

mathMFA517 – 2ème semestre

L'objet du cours est de donner une introduction à l'utilisation du Laplacien hypoelliptique dans l'étude des intégrales orbitales. Le cours portera sur les points suivants : - L'opérateur de Dirac de Kostant. - Le cas des groupes de Lie compact. - Géométrie des espaces symétriques - Déformation hypoelliptique de l'opérateur de Kostant. - Calcul des variations et calcul de Malliavin.

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Julien DUVAL

Surfaces de Riemann – 15 ECTS Volume horaire : 40h

mathMFA501 – 2ème semestre

Résumé : Les buts principaux du cours sont le théorème d’uniformisation (par les applications harmoniques) et le théorème de Riemann-Roch (par la théorie de Hodge). Le point de vue est celui de la géométrie différentielle. On parlera aussi de la théorie de Teichmuller. Bibliographie : Jost : Compact Riemann surfaces Abstract : The main goals are the uniformization theorem (via harmonic maps) and the Riemann-Roch theorem (via Hodge theory). We adopt the differential geometry viewpoint. We will present also Teichmuller theory.

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Anna ERSCHLER Les marches aléatoires et la géométrie des groupes - 7,5 ECTS

Volume horaire : 20 h mathMFA523 – 2ème semestre

1– Propriétés asymptotiques. La croissance des groupes. Les inégalités isopérimétriques. Moyennabilité. 2– Les probabilités de transitions de marches aléatoires, les probabilités de retour. 3- Le trajet de marches aléatoires. La vitesse de la fuite. L’entropie. 4- Fonctions harmoniques. Le bord de Poisson-Furstenberg.

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Olivier GUICHARD Cohomologie bornée : introduction et applications – 7,5 ECTS

Volume horaire : 15 h mathMFA523B - 2èmesemestre

L'objet de ce cours sera d'abord de construire la cohomologie bornée H*b d'un espace topologique ou d'un groupe. Cette théorie cohomologique a d'abord été introduite par Gromov en vu d'obtenir un contrôle sur le volume minimal des variétés. Un théorème remarquable de Gromov dit que la cohomologie bornée d'un espace topologique simplement connexe est nulle ; ceci fut généralisé plus tard par Brooks qui montra que la cohomologie bornée d'un espace topologique est isomorphe à celle de son groupe fondamental. Voici une liste des points qui seront abordés :

• interprétation des groupes H1b(G) et H2b (G) ; les groupes de cohomologie « classique » H1(G) et H2(G) décrivent respectivement les actions affines de G et ses extensions centrales. Nous verrons quel est l'énoncé correspondant en cohomologie bornée.

• comparaison entre cohomologie bornée et cohomologie « classique » ; il y a une application naturelle entre H*b et H*.En degré 1, son noyau peut s'interpréter comme l'ensemble des quasi-morphismes.

• rigidité; nous verrons (c'est une autre observation de Gromov) que la norme |[M]| de la classe fondamentale d'une variété compacte M peut être utilisée pour montrer le théorème de rigidité de Mostow pour les variétés hyperboliques compactes.

• action sur le cercle ; la classe d'Euler bornée dans H2b(Homeo+ ( S1)) permet de construire des invariants pour les actions de groupe sur le cercle. Un théorème de Ghys montre que l'invariant construit caractérise complètement l'action à (semi-)conjugaison près. Ce point de vue (Burger-Monod et Ghys) a été ensuite développé pour montrer la rigidité des actions de réseaux de rang supérieur sur le cercle (précisément, tout morphisme dans Diff+( S1) est d'image finie).

Si le temps le permet, nous évoquerons aussi les actions « maximales'' de groupes de surfaces sur le cercle (par homéomorphismes) ou sur les espaces symétriques de type hermitiens (par isométries), la notion d'orbite équivalence…

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David HARARI Cohomologie galoisienne et théorie des nombres – 15 ECTS

Volume horaire : 44h mathMFA526 – 2ème semestre

Cours spécialisé de 2ème semestre - 11 semaines de 4h Résumé : Le but de ce cours est d’introduire les notions de base de cohomologie des groupes, puis de les appliquer au cas particulier de la cohomologie galoisienne d’un corps. On verra ensuite comment on peut utiliser le formalisme général pour la théorie du corps de classes local et global. On verra également quelques théorèmes de dualité arithmétique (Cassels-Tate, Poitou-Tate). Abstract : The goal of this course is to present the fundamental notions of group cohomology, and to use them in the special case of Galois Cohomology of a field. Then the general formalism will be applied to local and global class field theory. Some arithmetic duality theorems (Cassels-Tate, Poitou-Tate) will also be discussed.

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Sergei KUKSIN Limiting and asymptotic results for nonlinear PDE with random force - 7,5 ECTS

Volume horaire : 20h mathMFA548B – 2ème semestre

Abstract I will consider three nonlinear PDE, perturbed by a random force: 2d Navier-Stokes, Burgers and Complex Ginzburg-Landau equations. I will discuss qualitative behaviour of their solutions when :

1) time goes to infinity, or 2) viscosity goes to zero, or 3) the random force converges to a limiting force, in a regular or in a singular manner.

The corresponding results are essentially stochastic and have no analogy for deterministic equations. Cours commun M2 AAG/EDP

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François LABOURIE

Introduction mathématique à la théorie des champs – 7,5 ECTS Volume horaire : 20 h

mathMFA528B – 2ème semestre

Le but de ce cours est d'expliquer quelques idées mathématiques liées à la théorie des champs en dimension 2. Nous commencerons par quelques rappels de mécanique classique (formalisme lagrangiens et hamiltoniens). Nous rappellerons aussi quelques idées de mécanique statistique et quantique et traiterons en détails quelques exemples simples : oscillateur harmonique, intégrale des chemins pour l'expérience d'interférence. Nous expliquerons ensuite la théorie des champs classiques et quelques approches pour la quantifier en dimension 2. Les étudiants seront censés être familiers avec la géométrie différentielle : géométrie symplectique, fibrés vectoriels, connexions, courbure. Comme références nous utiliserons en particuliers les textes suivants qui se trouvent sur le web :

- Path integrals in quantum mechanics par B. McKay - Mathematical ideas and notions of quantum field theory par P. Etigof. - Lectures on quantization of gauge systems par N Reshetikhin - Quantum Field Theory par Mark Srednicki

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Frédéric LE ROUX Homéomorphismes conservatifs des surfaces

(propriétés ergodiques génériques, orbites périodiques, propriétés algébriques) – 7,5 ECTS Volume horaire : 20h

mathMFA524B – 2èmesemestre

1) La théorie d’Alpern explicite les propriétés ergodiques génériques : ce sont les mêmes que les propriétés génériques des

transformations préservant la mesure sur l’intervalle [0,1]. En particulier, le mélange faible est générique. L’usage des

permutations dyadiques permet ici de jolis raisonnements combinatoires.

2) Sous des hypothèses très générales, Franks et Le Calvez ont montré l’existence d’une infinité d’orbites périodiques. En

particulier, Le Calvez a montré comment on peut utiliser l’existence d’un feuilletage transverse à une isotopie pour en

détecter les points fixes.

3) Le groupe des difféomorphismes hamiltoniens est un sous-groupe normal du groupe des difféomorphismes préservant

l’aire. Sur une surface compacte, la théorie KAM permet de montrer que c’est un groupe simple. On peut définir un sous-

groupe normal analogue dans le monde des homéomorphismes, mais la simplicité de ce sous-groupe reste une question

ouverte. Ces sous-groupes sont liés à la notion de rotation moyenne, qui intervient aussi dans le point précédent.

Références :

- S. Alpern, V.S. Prasad : Typical dynamics of volume preserving homeomorphims. Cambridge Tracts in Mathematics, n° 139,

Cambridge. 2000 – Voir aussi les notes d’un mini-cours à l’ENS de Pise sur ma page web : fosa.math.u-psud.fr

- P. Le Calvez : Identity isotopies on surfaces. Dynamiques des difféomorphismes conservatifs des surfaces : un point de vue

topologique. P. 105-143 ; Panoramas et Synthèses n° 21, SMF. 2006

- - A. Bounemoura : Simplicité des groupes de transformations de surfaces. Ensaios Matematicos, n° 14. Sociedade Brasileira de

Matematica. Rio de Janeiro, 2008. Disponible sur : http://www.emis.de/journals/em

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Geneviève RAUGEL

Dynamique des équations aux dérivées partielles – 7,5 ECTS

Volume horaire : 20h

mathMFA548 – 2ème semestre

La première partie du cours est une introduction aux notions de base des systèmes dynamiques dans le cadre des équations aux

dérivées partielles (on s’intéressera surtout aux équations dissipatives telles que les équations paraboliques, les équations de Navier-

Stokes, l’équation des ondes avec dissipation, etc…). Dans la deuxième partie du cours, on donnera des résultats récents de généricité

et de stabilité.

Première partie :

- Systèmes dynamique en dimension infinie. Notions de base et exemples

- Stabilité globale ; notion d’attracteur global ; systèmes dynamiques asymptotiquement compacts ou asymptotiquement

réguliers. Exemple

- Stabilité locale ; variétés locales stable et instable autour d’un point d’équilibre hyperbolique ou d’une orbite périodique

hyperbolique ; variétés locales centrales. Théorèmes de perturbation.

- Fonctionnelles de Lyapounov et systèmes gradients

- Formulation équivalente de la transversalité des variétés stables et instables de points d’équilibre.

Deuxième partie :

Dans la deuxième partie, on abordera des résultats récents concernant les équations de réaction-diffusion et les équations des ondes

avec dissipation.

- Equations de réaction-diffusion définies sur l’intervalle (0,1) avec conditions aux limites de type Neumann ou Dirichlet :

existence d’une fonctionnelle de Lyapounov, transversalité automatique des variétés stables et instables des points

d’équilibre hyperbolique.

- Equations de réaction-diffusion sur le cercle S1 : transversalité automatique des variétés stables et instables des orbites

périodiques hyperboliques, transversalité générique des variétés stables et instables des points d’équilibre hyperbolique.

Généricité de la propriétés de Morse-Smale.

- Equations de réaction-diffusion de type gradient en dimension supérieure : généricité de la propriété de Morse-Smale.

- Equations des ondes avec dissipation de type gradient : généricité de la propriété de Morse-Smale.

- Stabilité structurelle des systèmes dynamiques de Morse-Smale.

Cours commun M2 AAG/EDP

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Vincent RIVASSEAU

La théorie des graphes, la théorie des nœuds et leurs polynômes invariants – 7,5 ECTS

Volume horaire : 20h

mathMFA524 – 2nd semestre

On introduira la théorie des graphes, (oridnaires, à rubans, à drapeaux, à tuyaux…), puis leurs relations de suppression-contraction et

de dualité, puis leurs polynômes universels, polynôme de Tutte, de Kirchoff, polynôme de fiabilité, polynôme de Bollobas-Riordan…

Ensuite le cours posera les bases de la théorie des nœuds et de leurs invariants (crochet de Kaufmann, polynômes de Jones…), et de

leur relations avec la théorie des graphes (par exemple théorème de Thistlethwaite). Le cours fera la liaison avec les modèles de

matrices aléatories, ou gravité quantique à deux dimensions.

Il se terminera par quelques sujets plus avancés tels dualité partielle, relations de suppression-contraction étendues à quatre termes et

polynôme Q défini par Krajewski, Rivasseau et Vignes-Tourneret, ainsi que par les liens avec la gravité quantique à trois ou quatre

dimensions (théorie des champs de groupe).

Aucune connaissance préalable n’est nécessaire, mais une certaine culture scientifique et le goût pour une approche pluridisciplinaire

mathématique/physique seront utiles pour suivre ce cours.

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Les cours suivants auront lieu à l’extérieur (Ecole Polytechnique – I.H.P. – Paris 7)

Elisabeth BOUSCAREN Théorie des modèles : geometries de Zariski – 9 ECTS

Volume horaire : 48h mathMFA520 – 2ème semestre

Ce cours est integré au M2 de Logique Mathématique et Fondement de l’Informatique de l’Université Paris 7.

Cours de second semestre : janvier 2011 à fin avril 2011 Le cours devrait être accessible à toute personne connaissant les bases de la théorie des modèles.

Voir notes du cours de 2003-04 du Magistère de l’ENS : http://www.math.u-psud.fr/bourscare/ens04.html

La théorie des modèles est une branche de la logique mathématique ayant des liens étroits avec l’algèbre et la géométrie et de nombreuses applications à ces domaines. Les Géométries de Zariski sont des structures (au sens de la théorie des modèles) qui ont été introduites par E. Hrushovski et B. Zilber comme modèles abstraits des courbes algébriques projectives sur un corps algébriquement clos. Les géométries de Zariski sont des structures fortement minimales dans lesquelles le principe de trichotomie de Zilber est vérifié. Une classe de structures fortement minimales satisfait le principe de trichotomie si les géométries associées sont de l’un des trois types suivants (mutuellement exclusifs) :

1- La géométrie associée est triviale (ou dégénérée), en particulier, on ne peut définir aucun groupe infini. 2- La géométrie associée est non triviale et localement modulaire. Dans ce cas on peut y définir un groupe infini G tel que la

géométrie est celle de l’espace affine sur le corps des endomorphismes définissables de G. 3- On peut définir un corps infini (algébriquement clos).

Programme du cours : - Ensembles fortement minimaux, prégéométries associées. Les exemples classiques.

- Géométries de Zariski : définitions et propriétés. Le principe de Trichotomie.

Abstract : Model theory is a branch of mathematical logic with strong connections and applications to algebra and geometry. Zariski geometries are structures (in the sense of model theory) which were introduced by E. Hrushovki and B. Zilber as abstract models for projective algebraic curves over algebraically closed fields. Zariski geometries are strongly minimal structures in which Zilber’s trichotomy principle holds. A class of strongly minimal structures satisfies the trichotomy principle if the associated geometries fall into one of the three following mutually exclusive cases :

1- The associated geometry is trivial (or generated), in particular no infinite group is definable. 2- The associated geometry is non trivial and locally modular. In this case there is an infinite definable group G such that the

geometry is the affine geometry over the division ring of definable endormorphisms of G. 3- There is a definable infinite field (algebraically closed).

Program : - Strongly minimal sets, associated pregeometries. The classical examples. – Zariski geometries : definitions and properties, the Trichotomy principle.

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M2 Analyse Arithmétique et Géométrie

2010-2011 Responsable : Pascal AUSCHER

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected]

Emmanuel BREUILLARD

Introduction au problème de Freiman non-commutatif et applications - 7,5 ECTS Volume horaire : 20 h

mathMFA546A – 2ème semestre

Ce cours aura lieu à l’I.H.P.

Le cours sera une introduction à la notion de groupe approximatif introduite par T. Tao il y a quelques années. Un sous-groupe approximatif est une partie finie d’un groupe ambiant qui, dans un certain sens quantitatif, est presque stable par multiplication. La structure de ces groupes approximatifs n’est pas encore élucidée dans le cas general. Elle l’est en revanche dans une large mesure, grâce à plusieurs résultats récents, pour les sous-groupes approximatifs des groupes abéliens, nilpotents et des groupes algébriques sur un corps quelconque. Dans ce cours, nous introduirons les outils de base de la combinatoire additive dans un cadre non –commutatif (inégalités de Ruzsa, lemme de Balog-Szemredi-Gowers, énergie multiplicative, etc.) puis nous décrirons ces résultats en detail (notamment les théorèmes de Freiman, Ruzsa, Helfgott, le phénomène somme-produit, etc). Si le temps le permet nous montrerons certaines applications de ces théorèmes, notamment aux graphes expanseurs (Bourgain-Gamburd) et au crible linéaire (Bourgain-Gamburg-Sarnak).

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M2 Analyse Arithmétique et Géométrie

2010-2011 Responsable : Pascal AUSCHER

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Les résumés peuvent être consultés sur le site : http://webens.math.u-psud.fr/M/Parcours/D5MAAAG.html

Secrétariat : Valérie Blandin-Lavigne, tél. 01 69 15 71 53 – [email protected]

Robi KRAUTHGAMER et James LEE Embeddings of discrete metric spaces and applications in theoretical computer science – 4.5 ECTS

Volume horaire : 15 h mathMFA590– 2ème semestre

Ce cours aura lieu à l’IHP en février-mars 2011

We will discuss a number of metric spaces that are intimately tied to applications in theoretical computer science. These often arise in surprising ways ; some of the properties we study are classical, but the connections with computer science also suggest new types of questions in metric geometry. In particular, we will encounter hyperbolic spaces, sub-riemannian géométries, various self-similar singular spacesz, and metrics of « négative type », to name a few.

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Franck PACARD

Sommes connexes pour des problèmes lies à la courbure – 7,5 ECTS Volume horaire : 20h

mathMFA524C – 2nd semestre

Ce cours aura lieu à l’Ecole Polytechnique

Les techniques de sommes connexes se sont révélées particulièrement efficaces dans l’étude de certains problèmes de géométrie liés à la prescription de la courbure. Ce cours a pour objectif principal de donner les bases nécessaires à la mise en oeuvre de ces techniques. Dans un premier temps, nous développerons des outils d’analyse des equations aux derivées partielles elliptiques sur certaines variétés non compactes et, dans un deuxième temps, nous illustrerons leur mise en oeuvre dans un certain nombre d’exemples : sommes connexes de métriques à courbure scalaire constante, de surfaces minimales ou de surfaces à courbure moyenne constante, construction de métriques Kälhériennes extrémales. Abstract : Connected sum technics turned out to be particularly powerful in the study of some geometric problems involving the prescription of curvature. The aim of these lectures is to provide the necessary technical tools to perform such connected sums. To begin with, we will develop the tools coming from the analysis of elliptic partial differential equations on some non compact manifolds and next, we will illustrate their use in the study of some examples : connected sums of constant scalar curvature metrics, of minimal or constant mean curvature surfaces, construction of extremal Kähler metrics. Références :

- C. Arezzo, F. Pacard, M. Singer : On the Kähler classes of extremal metric on Blow ups. A paraître dans Duke Mathematical Journal

- D. D. Joyce : Constant scalar curvature metrics on connected sums. International Journal of Math. Math. Sciences, vol. 7 2003, p. 405-450

- R. B. Lockhart, R. M. McOwen : Elliptic differential operators on noncompact manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (4), 1, n°3, 1985, p. 409-447

- R. Mazzeo, F. Pacard, D. Pollack : Connected sums of constant mean curvature surfaces in Euclidean 3 space. J. Reine Angewandte Math. 536 (2001), p. 115-165

- S. D. Yang : A connected sum construction for complete minimal surfaces of finite total curvature. Comm. Anal. Geom. 9 (2001), n° 1, p. 115-167

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M2 Analyse Arithmétique et Géométrie

2010-2011 Responsable : Pascal AUSCHER

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Alain VALETTE

From coarse embeddings to the Baum-Connes conjecture (after G. Yu) – 3 ECTS

Volume horaire : 20h

mathMFA ?? – 2nd semestre

Ce cours aura lieu à l’I.H.P en février-mars 2011