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Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées M208 : Initiation à la modélisation mathématique Notes de cours par Clément Boulonne Corrigé (partiellement) par Franck Wielonsky L2 Mathématiques 2007 - 2008

M208 : Initiation à la modélisation mathématique

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Notes de CoursM208 : INITIATION A LA MODELISATION MATHEMATIQUEClément BoulonneWeb : http://clementboulonne.new.frMail : [email protected]é des Sciences et Technologies de LilleU.F.R de Mathématiques Pures et AppliquéesLicence de Mathématiques — Semestre 32007 - 2008

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Université des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées

M208 : Initiation à la modélisationmathématique

Notes de cours par Clément BoulonneCorrigé (partiellement) par Franck Wielonsky

L2 Mathématiques 2007 - 2008

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Table des matières

Introduction 40.1 Qu’est ce que la modélisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Introduction à la théorie des graphes 51.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Quelques problèmes historiques de la théorie des graphes . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Problème de ponts de Konigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Problème du dodécaèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Problème de transport : Taxis de la Marne . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Problème d’accessibilité de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Flot et graphe d’écart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Les pendules 152.1 Modélisation du pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2 Résolution dans le cas des petites oscilations . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Espaces de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Resistance de l’air . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Etude de y + ay + by = 0 (a, b ∈ R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Pendule forcé... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Méthode de la variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 La méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Résolution du pendule simple ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 27Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1 Loi de Hooke (1635-1703) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Intéraction entre plusieurs masses (cas général) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Particules avec frottement et gravité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.8 Agitation du système masse-ressort avec amortissement . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Approximation trigonométrique 384.1 Interpolation trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4.4 Vers la transformée de Fourier rapide (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5 Transformée en cosinus discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6 La compression JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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Introduction

0.1 Qu’est ce que la modélisation ?La modélisation est un processus qui se fait en plusieurs étapes :

1) Détermination et formulation d’un problème2) Construction d’un modèle (simplification)3) Résolution de problème mathématiques→ méthodes analytiques (exactes)→ méthodes numériques (approches)→ équations différentielles

4) Retour au problème concret. Interpretation des résultats obtenus (vérification des solutions).La modélisation englobe des domaines de mathématiques, physique, envrionnementaux ou

astronomie.

Exemple 0.1.1. On peut utiliser la modélisation dans le cas de prévisions météorologiques, deproblèmes de trafic (Velib’), dans la construction d’un avion, les essais nucléaires.

4

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Chapitre 1

Introduction à la théorie des graphes

1.1 DéfinitionsLorsqu’on a un problème, cela peut étre utile de faire un dessin. Les graphes sont des dessins

un peu particuliers composés par des sommets et des arrétes qui rejoigent ces sommets.

Exemple 1.1.1. Plan de métro. Carte routière. Schéma éléctrique. Organigramme dans unesociété. Arbre généalogique.

Soit cela ressemble à un résau de transport, soit cela ressemble à des objects connectés pard’autres objets particuliers.

1.2 Quelques problèmes historiques de la théorie desgraphes

1.2.1 Problème de ponts de KonigsbergLe premier problème de la théorie des graphes a été établi en 1736 par les ponts de Konig-

sberg.

Le problème est de trouver un chemin qui passe un et une seule fois sur les sept ponts enpartant d’un territoire quelconque (A, B, C, D).

Cela n’existe pas à cause des chemins eulériens. Il faut prouver que cela n’existe pas. Celasemble difficile et c’est Euler qui a demontré cette théorie.

On veut représenter cette situation par un graphe. Les sommets representent les territoiresA,B,C et D et les autres correspondent aux points.

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6 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes

1.2.2 Problème du dodécaèdre

Il y a 12 pentagones et 20 sommets dans le pentagone. Le problème est de trouver un cheminqui passe une fois et une seule par chaque sommet. Cela s’appelle les chemins hamiltoniens. Ceproblème a été crée e 1859.

1.2.3 Problème de transport : Taxis de la MarneLe problème est de faire circuler un taxi dans des endroits (destinations) uniques. On veut

éviter les embouteillages et en mettre le plus possible.On a différentes villes a1, ..., al. Il y a des routes qui relient certaines villes :→ route (i, j) relie la ville ai à la ville aj.Le but est d’organiser le trafic pour que dans un intervalle de temps donné [0, T ] le nombre

de véhicules qui soient arrivés dans la ville al soit aussi grand que possible.La solution va dépendre de plusieurs paramètres : combien il y a de taxis et où ils sont à

l’instant t0 ? On introduit donc différents paramètres qui vont jouer un rôle bien précis :

1) si : nombre de voitures disponibles en ai à t = 0.2) tij : temps que met une voiture (en supposant que toutes les voitures vont à la méme vitesse)

entre ai et aj.3) cij : nombre maximal (capacité) de véhicules pouvant passer sur une route partant de ai et

aj.4) ci : nombre maximal de voitures qui peuvent stationner dans la ville ai

Exemple 1.2.1. Modélisation du Train de la Marne

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Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes 7

Les routes sont en sens unique. La position des indices est importante.Le problème complet est difficile à résoudre. On peut se poser des questions connexes (clas-

sique de la théorie des graphes).1) Comment représenter une carte routière, réseau de canalisations ? (carte mémoire d’un or-

dinateur).2) Comment décider d’une manière systématique (par un algortihme) si, depuis un sommet,

on peut se rendre à un autre sommet ?3) Comment choisir le meilleur chemin possible parmi les différents chemins proposés dans la

question 2) ?4) On ajoute un sommet qu’on appelle source et qu’on note a0 reliée à a1, a2 et a3 d’où

viennent les voitures. On ajoute aussi une route artificielle qui relier a4 vers a0 (problèmede flot maximal).Le but est de maximiser le trafic sur la route de retour avec les contraintes :• ∀ route (i, j) : trafic xij ∈ [0, cij]• Dans chaque ville, le trafic entrant est égal au trafic sortant. Pour garder cette équatonet intégrer des parking, on utilise une petite “astuce”.

Remarque. Retournons au problème initiale (taxis) : ce problème dépend du temps (on a uneévolution du trafic). La variable T évolue sur un intervalle. On discrétise le temps (on regardedans un multiple de temps tij qu’on mij le système par exemple). On essaie d’adapter l’échellede discrétisation. On envoie les voitures par paquets seulement aux instants k∆t où k ∈ N et∆t multiple de tij.

Les variables apparaissent : Zi,j,k est le nombre de véhicules partant à l’instant k∆t de laville ai pour aller à la ville aj (au moment k∆t + tij).

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8 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes

Pour avoir la capacité du parking, on peut créer une route imaginaire qui part de ai et quirevient à ai. On a alors cii = ci avec cii représente une capacité de la route artificielle qui partde ai et qui arrive à ai et ci est la capacité du parking.

On veut une conservation du flux en chaque sommet, c’est-à-dire pour toute ville aj et pourtout temps k∆t, on a : ∑

i | ∃ route(i,j)Zi,j,k−mij =

∑l | ∃ route(j,l)

Zj,l,k

flux entrant = flux sortant

1.3 Graphes1.3.1 Définitions généralesDéfinition 1.3.1. Un graphe est défini par un couple (S,A), S représentant l’ensemble dessommets (finie ou infinie) et A représentant l’ensemble des arrétes c’est-à-dire qu’ils relientles sommets. A peut éte vue comme le produit cartésien de S × S. On suppose que A estorienté, c’est-à-dire que les arrétes sont orientés et qu’une arréte reliant deux sommets donnéesn’apparait qu’une seule fois.

Exemple 1.3.1. Dans ce graphe,

on a :S = 1, 2, 3, 4

A = (1, 2), (1, 4), (2, 4), (2, 3), (4, 3)

Exemple 1.3.2. On peut avoir une arréte qui va dans un autre sens mais on ne peut pas avoirdeux arrétes reliant les mémes sommets.

Définition 1.3.2. On peut regarder dans l’Exemple 1.3.2., les arrétes qui relient le sommet 2∈ S. On dit que le sommet 2 est adjaçent aux sommets : 1, 3 et 4 et admet comme prédécesseur1 et 3 et comme successeurs 4 et 3.

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Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes 9

Notation. Prédécesseurs : Γ−(2) = 1, 3.Successeur : Γ+(2) = 4, 3.

Définition 1.3.3. Un arc a une source et un but. Dans l’Exemple 1.3.2., l’arc (2, 4) a commesource 2 et but 4.

Définition 1.3.4. Un chemin est une suite γ = [s1, ..., sl] tel que sk+1 = Γ+(sk) avec k =1, ...l − 1.

Un chemin peut étre décrit comme une suite d’arrétes γ = [j1, ..., jl]. Il faut que le but del’arréte jk soit la source de l’arréte jk+1 (but(jk) =source(jk+1)) avec k ∈ 1, ..., l − 1.

Définition 1.3.5. Un circuit est un chemin tel que sl = s1.

Définition 1.3.6. Une chaîne est un chemin où l’on ne prend pas en compte l’orientation del’arréte. Plus clairement, c’est une suite [s1, ..., sl] qui peut devenir un chemin après changementd’orientation de certaines arrétes.

1.3.2 Problème d’accessibilité de sommetsOn va maintenant répondre à la question 2)b) de l’Exemple 1.2.1.

Définition 1.3.7. Soit s ∈ S fixé. On dit que k est accessible depuis s si dans le graphe G, ilexiste un chemin de s à k.

Algorithme 1.4 (Algorithme de Tarjan). 1) Initialisation : On marque s au crayon.2) Itérations : Tant qu’il existe un sommet k au crayon, on le marque à l’encre et tous ses

successeurs non marqués au crayon.

Proposition 1.4.1. a) L’algorithme s’arréte après au plus s itérations (où s représente lenombre de sommets dans S).

b) Les sommets à l’encre sont accessibles depuis sc) Les autres ne le sont pas.

Exemple 1.4.1. On considère que tous les éléments en vert sont au crayon et en rouge sont àl’encre.

Démonstration de la Proposition 1.3.2. a) A chaque itération, un nouveau sommet est àmarquer à l’encre donc le nombre d’itérations ne peut pas dépasser le nombre de sommets.

b) On provue par récurrence qu’à chaque itération le nombre de sommets à l’encre est accessible.A l’itération 1, l’assertion est vraie.On suppose l’assertion vraie à l’interation n et on la prouve à l’iteration n+ 1.A l’itéation n+1 : u sommet marqué à l’écran était au crayon à l’étape n donc le successeurd’un sommet à l’encre, accessible depuis s par hypothèse de réccurence. Donc k est accessibledepuis s.

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10 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes

c) Démonstration par l’absurde : Soit γ = [s, ..., sl] avec sl qui n’est pas marqué. Soit j < l, leplus grand indice tel que sj est marqué. Alors sj+1 devrait étre marqué car successeur desj. CONTRADICTION !

Remarque. 1) L’algorithme est sensible à la manière dont on choisit les sommets à marquer àl’encre.FIFO : First in, First out.FILO : First in, Last out.Exemple 1.4.2. Illustration de FIFO et FILO.

2) Une variante de l’algorithme permet de trouver les sommets k tel que s est accessible depuisk.On va maintenant répondre à la question 2)c).

Définition 1.4.1. On se donne un poids dij ≥ 0 pour tout arc (i, j) ∈ A. Le poids d’un cheminnoté d([s1, ..., sl]) est définie par :

d([s1, ..., sl]) =l∑

i=1di−1,i

Pour k ∈ S accessible depuis s, on note :

Π∗(k) = mind(γ), γ chemin de s à k

Algorithme 1.5 (Algorithme de Dijkstra). C’est un algorithme de marquage avec selectiond’un sommet dans la file d’attente : on prend le sommet le plus prometteur.

Définition 1.5.1. Un algorithme glouton est un choix qui semble le meilleur ponctuellement.On appelle algorithme glouton un algorithme qui suit le principe de faire, étape par étape, unchoix optimum local, dans l’espoir d’obtenir un résultat optimum global.

Intialisation : écrire s au crayon et on a : Π(s) = 0.Itérations : Tant qu’il xiste un sommet au crayon :– Parmi les sommets au crayon, on choisit le sommet k tel que Π(k) est minimum.– Ecrire à l’encre le sommet k.– Pour tout successeur j de k

a) Si j n’est pas encore marqué, on marque j au crayon et Π(j) = Π(k) + djk.b) Si j est marqué, Π(j) = min(Π(j),Π(k) + djk).

Proposition 1.5.1. Pour tout sommet j à l’encre :

Π(j) = Π∗(j)

Dans l’algorithme de Dijsktra répond bien au problème posé.

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Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes 11

Exemple 1.5.1.

On va faire un tableau qui contient la valeur des étiquettes

sommets→itérations ↓ 1 2 3 4 5

Init. 01ère 1 2 42ème 4 23ème 34ème 4

On peut aussi faire un tableau qui contient les prédécessuers (tableaux des pères) pour pouvoirretrouver le chemin qui a le coùt minimal.

sommets→itérations ↓ 1 2 3 4 5

Init.1ère 1 1 12ème 2 53ème 44ème 5

1.5.1 Flot et graphe d’écartDéfinition 1.5.2. Soit G = (S,A) un graphe et ∀(i, j) ∈ A, bij < cij. Soit s ∈ S la source,p ∈ S le puit. Le flot part de la source pour arriver au puit. Le flot de transport de s vers pcaractérisé par une fonction ϕ : A→ R si la condition suivante est vérifiée :• Loi de conservation : Pour tous les sommets j du graphe sauf s et p :∑

i | (i,j)∈Aϕ(i,j) =

∑k | (j,k)∈A

ϕ(j,k)

(flot entrant en j) (flot sortant en j)

Définition 1.5.3. Un flot ϕ est canalisé si ∀(i, j) ∈ A,

bij ≤ ϕ(i,j) ≤ cij

où bij représente la capacité minimale et cij capacité maximale.

Page 12: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

12 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes

Définition 1.5.4. Un graphe d’écart associé à un flot ϕ est le graphe G(ϕ) = (S,A(ϕ)) avec :

A(ϕ) = (i, j), (i, j) ∈ A et ϕ(i,j) < cij ∪ (j, i), (i, j) ∈ A et bij < ϕ(i,j)

Exemple 1.5.2.

A gauche, le flot canalisé ϕ. A droite, le graphe d’écart associé au flot ϕ.

.

Problème du flot maximum

Problème. Etant donné un graphe G = (S,A) et deux sommets s ∈ S (source) et p ∈ S (puit).Envoyer un flot maximum de s vers p en respectant les contraintes et en supposoant la loi deconversation.

Theorème 1.5.2 (Théorème de Ford-Fulkerson). Le flot canalisé ϕ : A→ R est une solutiondu problème du flot maximum si et seulement si il n’existe pas de chemin de s vers p dans legraphe d’écart G(ϕ) associé à ϕ.

Algorithme 1.6 (Algorithme de Ford-Fulkerson). Initialisation :

En vert, la capacité minimale et en rouge, la capacité maximale. s = 1 et p = 4

Itération 1 :

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Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes 13

On prendra le chemin [1, 2, 4] (de s vers p)

Définition 1.6.1. Soit γ = [e1, e2, ..., el] les arrétes alors :

θ = min(cej − ϕej , ej ∈ A ∪ ϕej = bej , ej ∈ A

)Avec l’algorithme et au flot maximal :

θ = min4, 2 = 2

Itération 2 : On prendra le chemin [1, 2, 3, 4] (de s vers p)

θ = min2, 3, 6 = 2

Itération 3 : Chemin [1, 2, 3, 4], θ = min2, 3, 6 = 2.

Itération 4 : Il n’existe pas de chemins qui part de la source au puit (de 1© à 4©.) Le flotest donc maximal d’après le Théorème 1.3.6. de valeur 5.

Page 14: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

14 Chapitre 1. Introduction à la théorie des graphes

Description de l’algorithme1) On considère un flot canalisé initaile (par exemple, ϕ = 0 partout si b = 0 partout).2) On construit un graphe d’écart G(ϕ)3) On choisit un chemin γ de la source de s ves p sur G(ϕ).4) On calcule θ pour le chemin γ5) On met à jour le flot :

ϕa = ϕa + θ si arréte a = eij

ϕa = ϕa − θ si arréte a = eij

ϕa = ϕa sinon

Remarque. a) ϕ est toujours un flot•

Si le graphe initiale est de ce type, on a +θ sur chaque arréte.

Si le graphe initiale est de ce type, on a +θ sur les arrétes de méme sens du graphed’écart, et −θ sur les arrétes de sens opposé au graphe d’écart.

b) ϕ est un flot caractérisé, par définition de θ.c) ϕ fait toujours mieux en terme de flots que ϕ.

Dans les deux cas, le flot qui arrive en p augmente de θ.

Page 15: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2

Les pendules

2.1 Modélisation du pendule simple

2.1.1 Modélisation

La longueur l du fil est fixe. −→T :? → direction donnée par celle du fil. −→P = m−→g avec−→g = −|g|y (y est un vecteur unitaire dirigé suivant (P, y), ‖−→y ‖ = 1) et g = 9, 81m.s−2.

Principe fondamental de la dynamique

Theorème 2.1.1 (Principe fondamental de la dynamique ).

∑−→F = m−→γ dans un repère galilléen

(−→γ : accélération)

Application 2.1.1 (Application dans le repère (P, x)(P, y)).

−−→PM =

(xy

)−→VM = d

−−→PM

dt=(xy

)−→γM = d

−→VMdt

= d2−−→PMdt

=(xy

)

−→P =

(0−mg

)−→T = T T = T

(− sin θcos θ

)

15

Page 16: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

16 Chapitre 2. Les pendules

sur (P, x) :− sin θT = mxcos θT − mg = my

On a alors :−−→PM =

(xy

)=(l sin θ−l cos θ

)

−→VM = d

−−→PM

dt=(lθ cos θlθ sin θ

)

−→γM = d2−−→PMdt2

=(lθ cos θ − lθ2 sin θlθ sin θ − lθ2 cos θ

)

Mais il faut éliminier θ2 car on veut des équations différentielles à fonctions linéaires. On peutfaire :

cos θx+ sin θy = lθ

Or :x = −sin θT

met y = −cos θT

m

Donc :−cos θ sin θT

m+ sin θ cos θT

m− sin θg = lθ

On a alors :− sin θg = lθ ⇔ lθ + sin θg = 0

Application 2.1.2 (Modélisation en coordonnées locales).

Page 17: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2. Les pendules 17

On a alors : −→T = −T eρ−→P = −mg cos θeρ −mg sin θeθ−−→PM = leρ = l

(sin θ− cos θ

)d−−→PM

dt= lθeθ = lθ

(cos θsin θ

)d2−−→PMdt

= lθeθ − lθ2eρ

Principe fondamental de la dynamique sur eθ :

−mg sin θ = lθ

mg cos θ − T = −lθ2

On aura résoulu le problème en résolvant l’équation :

−mg sin θ = lθ

lθ + g sin θ = 0

Cas des petites oscilations On considère |θ| 1 alors sin θ ∼ θ. L’équation devient :

lθ + gθ = 0

De plus,−−→PM = l

(sin θ− cos θ

)∼ l

(0−1

)

Dans le cas, le mouvemant ne se fait que suivant (Px). On aura −→T ∼ −−→P =(

0mg

).

Application 2.1.3 (Bilan énergétique).

Définition 2.1.1. On dit qu’une force −→F derive d’un potentiel U lorsque −→F = −−→gradU c’est-à-dire :

−→F =

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

Page 18: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

18 Chapitre 2. Les pendules

Exemple 2.1.1. Dans le cas du pendule, le poids −→P dérive du potentiel :

U =(

0−mgy

)⇒ u = −mgy

(Pour la gravitation, le potentiel est u = Gmm′

r).

Définition 2.1.2. L’energie potentiel Ep = −U .

Définition 2.1.3. L’énergie cinétique est définie comme suivant :

Ec = 12mv

2

Proposition 2.1.2. L’energie total ET = Ec + Ep est une constante lorsque la forme dérived’un potentiel.

Démonstration. Le Principe fondamental de la dynamique donne :

−→F = m−→γ

−→F .−→v = m−→γ .−→v

−−→gradU.d−→rdt

= md2−→rdt2

d−→rdt

Or−−→gradU = dU

d−→rDonc :

dU

dt= 1

2mdv2

dt

(v2 = −→v .−→v = d−→rdt.d−→rdt

et dr2

dt= 2d2−→r

dt2d−→rdt)

dEpdt− dU

dt= 0

Ep − U = cste

Ep + Ec = ET = cste

Pour le pendule, on a :12mv

2 +mgz = ET

Or : v2 = l2θ2

z = −l cos θ12 l

2θ2 = mgl cos θ = ET

ml2θθ +mglθ sin θ = 0

lθ + g sin θ = 0

Page 19: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2. Les pendules 19

2.1.2 Résolution dans le cas des petites oscilationsProblème. On veut résoudre :

lθ + gθ = 0⇒ θ + g

lθ = 0

Or gl> 0, on pose ω2 = g

ldonc on a :

θ + ω2θ = 0 (1)

θ1(t) = cosωt θ2(t) = sinωt(θ1(t) = ω2 cosωt) (θ2(t) = ω2 sinωt)

θ1 et θ2 sont deux solutions linéairement de (1).Donc toutes les solutions s’écrivent sous la forme :

θ(t) = Aθ1(t) +Bθ2(t)

θ(t) = A cosωt+B sinωtOn peut écrire θ(t) sous la forme :

θ(t) = C cos(ωt+ ϕ)

La période des oscilations est telle que θ(t+ P ) = θ(t) alors :

cos(ω(t+ P ) + ϕ) = cos(ωt+ ϕ)

On a aussi :ωP = 2πk ⇔ P = 2πk

ω= 2πk

√l

g(k ∈ Z)

2.2 Espaces de phasesDéfinition 2.2.1. On considère l’équation linéaire de second membre :

y + a(t)y + b(t)y = c(t) (4)

avec a, b, c sont des fonctions de classe C∞ sur I ⊂ R→ R. On pose : Z(t) =(y(t)y(t)

)alors :

Z(t) =(y(t)y(t)

)=(

y(t)−a(t)y + b(t)y + c(t)

)

=(

y(t)−a(t)y − b(t)

)+(

0c(t)

)

=(

0 1−b(t) −a(t)

)(y(t)y(t)

)+(

0c(t)

)(5)

Z(t) = A(t)Z(t) + C(t) (6) où :

Z(t) =(y(t)y(t)

)A(t) =

(0 1−b(t) −a(t)

)C(t) =

(0c(t)

)

Page 20: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

20 Chapitre 2. Les pendules

Remarque. • Cette formulation met en évidence que l’espace des solutions est de dimension2.• Si on considère l’équation differentielle sans second membre, on a équivalence entre :

y(t) + a(t)y(t) + b(t)y(t) = 0 (7)

et :Z(x) = A(t)z(t) (7)

oùZ(t) =

(y(t)y(t)

)et A(t) =

(0 1−b(t) −a(t)

)D’après le théorème de Cauchy, on aura une solution unique sur I (passant par Z0 =(y0y0

)).

Theorème 2.2.1 (Théorème de Cauchy). Si on se donne une condition initiale Z(t0) =(p0v0

),

il existe une solution de (7). Si on prend deux conditions initiales linéairement indépendantdans R2, on aura 2 solutions linéairement indépendant de (7) y1 et y2.

Ainsi ∀α, β ∈ R, αy1 + βy2 solution de (7).

Définition 2.2.2. L’espace des solutions est un espace vectoriel engendré par y1 et y2, il estde dimesion 2.

Remarque. Si on tient compte du second membre et qu’on connait une solution particulière y0de (7) alors les solutions sont de la forme y = αy1 + βy2 + y0.

Application 2.2.1 (Applications aux petites oscilations du pendule). On a vu que :

θ + ω2 sin θ = 0 (8)

Si on prend θ 1⇒ sin θ ∼ θ. Donc :

θ + ω2θ = 0

On voit que θ1 = cosωt est solution de (8) et ω2 = sinωt solution de (8). Ce sont 2 solutionsindépendantes. Donc : toutes les solutions de (8) est de la forme :

θ = A cosωt+B sinωt (9)

où A,B ∈ R ou :θ = A(cosωt+ ϕ)

où A ∈ R, ϕ ∈ [0, 2π].

Remarque. On est dans le cas des petites oscillations. A peut appartenir à R mais il suffit queA soit petit.

La période des oscillations est T = 2πω

et ω =√

glalors T = 2π

√lg.

Définition 2.2.3. L’équation différentielle (4) définit un procesus. L’ensemble de tous les étasd’un processus est appelée espaces des phases (noté M).

Page 21: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2. Les pendules 21

Exemple 2.2.1. Dans la formulation (5), les états sont les vecteurs qui définissent Z(t). ledomaine correspondant dépend de I et des fonctions compsant (4).

Dans le cas du pendule, l’espace des phases est :

M = (θ, theta) où θ ∈ [0, 2π], θ ∈ R

Définition 2.2.4. Les orbites sont des sous-ensembles de l’espace des phases dont chacunecorrespond à une solution du processus donné (ici l’équation différentielle).

Remarque. • L’avantage est de visualiser l’espace des phases et quelques orbites.

A chaque point de phase, on peut faire passer une orbite et lui associé un vecteur vitesse.

Ainsi à chaque point x de M , on lui associe un vecteur, ce qui définit le champ desvecteurs.

• Dans le cas d’un processus définit par une équation différentielle du type :

Z = AZ

Page 22: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

22 Chapitre 2. Les pendules

or Z ∈ Rn, A ∈Mnn(R) champ de vecteurs est donné par l’application :

Rn → Rn

x 7→ Ax

• On peut généraliser aux équations différentielles non linéaires.

Exemple 2.2.2. Pendule θ + ω2 sinω = 0

M :[−π, π]× R→ R2

(x, y) 7→∣∣∣∣∣ y− sin x

2.3 Resistance de l’airDéfinition 2.3.1. La ressistance de l’air sur une particule est une force opposée à la vitesse etproportionelle au module de la fitesse.

−→f = −mk−→v où k ≥ 0

Dans la modélisation du pendule, on obtient :

mlθ = −mgl −mklθ

mlθ + kω + g

lω = 0 (11)

2.3.1 Etude de y + ay + by = 0 (a, b ∈ R)Notons (12) : y + ay + by = 0. On peut mettre sous la forme :

Z = AZ avec A =(

0 1−b −a

)(13)

• Dans le cas où on peut digonaliser la matrice A, c’est-à-dire il existe P inversible et

λ1, λ2 ∈ R tel que A =(λ1 00 λ2

). On pose le changement de variables : T = PZ.

L’équation (13) devient :P−1T = AP−1T

T = PAP−1T

T =(λ1 00 λ2

)T

Si T =(t1t2

)alors : t1 = λ1t1

t2 = λ2t2⇒

t1 = p1eλ1t

t2 = eλ2t

où p1 et p2 sont des constantes arbitraires réels.Il s’agit de trouver des valeurs propres λ1, λ2 de A (voir M201 Chapitre 2). Le retouraux veteurs Z puis à ses premières composantes indique que la solution générale de (12)sera :

y0 = q1eλ1t + q2e

λ2t

Page 23: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2. Les pendules 23

où q1, q2 sont deux constantes arbitraires réels.Pour trouver λ1 et λ2, il suffit de chercher les solutions de l’équations :

det(A− λI) = 0⇔∣∣∣∣∣−λ 1−b −a− λ

∣∣∣∣∣ = 0

⇔ λ2 + aλ+ b = 0 (14)

(14) est appelée l’équation caractéristique.• Si la racine est double alors eλ1t et eλ2t ne sont pas indépendants et si on a qu’unedimension, la deuxième dimension est t× eλ1t. La solution générale est :

y = eλ0t(pt+ q) où p, q ∈ R

• Si la racine est complexe (λ1 et λ2 ∈ C) :

λ1 = λ0 + iω0 et λ2 = λ1

La solution générale s’écrit :

y = eλ0t(qeiω0t + q2e−iω0t)

avec λ0, ω0 ∈ R. Or :eiωt = cosω0t+ i sinω0t

De méme que pour e−iωt. Donc y est une combinaison linéaire complexe arbitraire deeλ0t cosω0t et eλ0t sinω0t. Or la problème est dans R2 (et non dans C2), il suffit de prendreune combinaison linéaire réelle de eλ0t cosω0t, eλ0t sinω0t :

y = eλ0t(A cosω0t+B sinω0t) A,B ∈ R

2.4 Pendule forcé......(Equations différentielles du second ordre à coefficients constants avec secondmembre)

Quand l’oscilateur est somme à l’action extérieure d’une force excitatrice f(t), l’équation(12) devient une équation différentielle à coefficients constants avec second membre :

y + ay + by = c(t) (15)

(ici c(t) = f(t)m

).On sait trouver une solution générale de (15) sans second membre :

y = Ay1 +By2, A,B ∈ R

D’après la Section 2.2., il reste à trouver une solution particulière y0 de (15).

Page 24: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

24 Chapitre 2. Les pendules

2.4.1 Méthode de la variation des constantesOn choisit y0 sous la forme :

y0(t) = A(t)y1(t) +B(t)y2(t)

Or :y = Ay1 + By2 + Ay1 +By2

On pose y = Ay1 +By2 (c’est-à-dire Ay1 + By2 = 0) par sourci de simplification. Alors :

y = Ay1 + By2 + Ay1 +By2

dans (15) :Ay1 + By2 = c(t)

Il suffit alors de résoudre le système suivant :Ay1 + By2 = c(t)Ay1 + By2 = 0

(16)

(16)⇒ A(t) et B(t)⇒ par intégration A(t) et B(t)⇒ y0 = A(t)y1(t) +B(t)y2(t).Souvent, dans le cas des oscillations, c(t) a une forme prticulière qui permet de procéder

par identification.Si c(t) est de la forme emtP (t) (où P (t) est un polynôme du temps t). On forme une équation

différentielle en u dont on cherche une soltuion sous forme de polynôeme en posant :

y0 = emt × u

Plus pércisément, si deg(P ) = n.• si m n’est pas une racine de l’équation caractéristique r2 + ar + b = 0 (14), on choisit y0sous la forme y0 = emtQ(t) où Q est un polynôme de degré n.• si m est une racine simple de (14) alors y0 est sous la forme y0 = temtQ(t)• si m est une racine double de (14) alors y0 est sous la forme y0 = t2emtQ(t)Si c(t) est de la forme cos βt et sin βt ou P (t) cos βt ou P (t) sin βt. Or :

cos βt = 12e

iβt + 12e−iβt

sin βt = 12ie

iβt − 12ie

iβt

Si on a : y + ay + by = c(t) alors :

Solution générale : y1 + ay1 + by1 = 0+ Solution particulière : y0 + ay0 + by0 = c(t)

= (y1+y0) + a(y1+y0) + b(y1 − y0) = c(t)

Si on a : y + ay + by = d(t) alors :

Solution générale : y1 + ay1 + by1 = 0+ Solution particulière : z0 + az0 + bz0 = d(t)

= (y1+z0) + a(y1+z0) + b(y1 − z0) = d(t)

On cherche y0 sous la forme Q(t) cos βt+R(t) sin βt, t(Q(t) cos βt+R(t) sin βt si iβ racinesimple de (14) et t2(Q(t) cos βt+R(t) sin βt) si iβ racine double de (14).

Page 25: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 2. Les pendules 25

2.5 La méthode d’EulerDans le cas où sin θ ne peut étre approché par θ (dans l’équation du pendule θ+ω2 sin θ = 0),

une résoluton analytique n’est pas toujours aussi facile à manier. On est amené à faire unerésoluton numérique.

Soit le problème suivant :dy(t)dt

= f(t, y(t))y(t0) = y0 constante initiale

(17)

Or f est une application de classe C1 de R× R2 → R2.On peut ainsi chercher f dans le cas du pendule.

Theorème 2.5.1 (Théorème de Cauchy (admis)). Le problème (17) a une soluton unique.

Le problème de la recherche de la solution y du problème de Cauchy est remplacé par celuide la recherche d’approximation yn de la solution y(tn) en certains instants tn d’un intervalle[t0, t0 + T ].

Soit h > 0, on définit les tn par :tn = t0 + nh

(h est appelée le pas d’intégration).La méthode d’Euler consiste à prendre :

yn+1 = yn + hf(tn, yn) (18)

à partir de la condition initiale y0 (= y(t0)). En effet, on a :

y(t) = limh→0

y(t+ h)− y(t)h

La méthode d’Euler consiste donc à identifier :

f(t, y(t)) = y(t) ∼ y(t+ h)− y(t)h

Page 26: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

26 Chapitre 2. Les pendules

On voit apparaître deux sortes d’erreurs :→ l’une est dû au fait qu’à chaque pas y′(t) 6= y(t+h)−y(t)

h

→ l’autre (qui s’annule) veut qu’on évalue y(tn+1) à partir de yn et non de y(tn).Ces erreurs sont d’autant plus petites que h est petit.

limh→0

y(tn) = yn

2.6 Résolution du pendule simple ......sans freinage, sans forçage

On a l’équation :θ + ω2 sin θ = 0 (20)

• cas des petites oscillations (Section 2.1.2.)• cas général (la méthode peut toujours s’appliquer à des équations de la forme x = F (x)).En multipliant par θ, on a :

θθ = −ω2θ sin θ (21)

On intégre (21) :d

dt

(12 θ

2)

= d

dt(ω2 cos θ)⇒ 1

2 θ2 − ω2 cos θ = cste

La constante est donnée par la condition initiale. Supposons (sans nuir à la généralité duproblème) qu’à t = t0 : θ = 0

θ = θ0

La constante s’écrit alors −ω2 cos θ0 est donc :

12 θ

2 = ω2(cos θ − cos θ0) (22)

Ainsi, cos θ − cos θ0 est possitif ⇒ θ0 représente donc l’amplitude des oscillations de θ. Enséparant les variables, on peut écrire (22) :

√2ωdt = dθ√

cos θ − cos θ0(23)

En intégrant le premier membre entre −T2 et T

2 où T est la période des oscillations et le secondmembre entre −θ0 et θ0, on obtient :

√2ωT =

∫ θ0

−θ0

dθ√cos θ − cos θ0

(24)

(24) est appelée intégrale elliptique (de première espèce). Elle montre que la période T dépendde l’amplitude θ0.

En posant k = sin θ02 et k sinϕ = sin θ

2 , (24) devient :∫ π

2

0

dϕ√1− k2 sinϕ

Page 27: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3

Systèmes masses-ressorts, corpsélastiques

Objectifs• Comprendre le mouvement d’un système masse-ressort en dimension 2.Exemple 3.0.1. Exemple d’un système masses-ressorts (avec eventuellement une agi-tation extérieure). Les cercles noirs sont les particules libres, les cercles rouges sont lesparticules fixes et toutes sont reliés par des ressorts.

Exemple 3.0.2. Piéton sur un pont.• Prendre en compte des forces supplémentaires (forces de gravitation, frottements).

3.1 Loi de Hooke (1635-1703)

Theorème 3.1.1 (Loi de Hooke). Le ressort entre z1 et z2 exerce une force sur la particule z1

27

Page 28: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

28 Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques

proportionelle à (z2 − z1) :

F1,2 = κ(z2 − z1) (dans la cas où le ressort est toujours étiré)

avec κ > 0

Remarque. La loi de Hooke sous-entend que le ressort au repos a une longueur nulle.

Définition 3.1.1. κ s’appelle la constante de raideur.

Theorème 3.1.2 (Loi de Newton). z1 = z1(t)

m1z1 =∑−→

Fz1

−→Fz1 : forces qui s’exercent sur la particule z1.

Exemple 3.1.1 (Voir la première figure).

m1z1 = κ(z2 − z1) + κ(z3 − z1)

avec z1, z2, z3 ∈ R2

m1z1 = −2κz1 + κ

(−10

)+ κ

(10

)= −2κz1

m1

(x1y1

)= −2κ

(x1y1

)Remarque. • Les équations sont indépendantes et ce sont les mémes. L’équation est :

θ(t) + 2 κ

m1θ(t) = 0

et la solution est :θ(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

ω =√

2κm1

, c1, c2 ∈ R

• c1 et c2 peuvent étre déterminé par des conditions initiales (position et vitesse de laparticule à t = 0).Pour z1, on obtient :

z1(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)avec c1, c2 ∈ R2. La trajectoire est une ellipse.

Définition 3.1.2 (Identification de R2 par le plan complexe).

R2 → C(x1y1

)7→ w1 = x1 + iy1

Equation différentielle complexe du ressort

w1 + 2κm1

w1 = 0

dont la solution est :w1(t) = c1 cos(ωt) + c2 sin(ωt)

avec c1, c2 ∈ C.

Page 29: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 29

3.2 Intéraction entre plusieurs masses (cas général)

Soient p, q ∈ N ; On note les particules libres zj =(xj(t)yj(t)

)avec j ∈ 1, ..., p et les particules

fixes zi(t) = zi(0), i ∈ p + 1, ..., p + q. On a donc p particules libres et q particules fixes. Onnote mj la masse de zj.

Coordonnées complexes pour zj(t)

wj(t) = xj(t) + iyj(t)

Forces d’interactions

∀(j, k), j 6 k, il y a un ressort de raideur κjk = κkj entre zj et zk avec κjk = 0 possible (pasde ressort) et κjj = 0.

Force de gravitation

Force constante notée −→Fj = mjg

(0−1

)qui agit sur la particule zj.

Mise en équation

∀j ∈ 1, ...,p ,mj zj =p∑

i=1,i 6=jFj,i +

p+q∑k=p

Fj, k + Fj

• Fj,i : Forces d’interaction.• Fj,k, Fj : Forces externes.

On peut écrire sous forme matricielle et aussi par transformée complexe.m1w1m2w2

...mpwp

=

κ11 · · · κ1pκ21 · · · κ2p... ...κp1 · · · κpp

w1w2...wp

+ Fext (∗)

avec κjj = −p+q∑

k=1,k 6=jκjk et j ∈ 1, ..., p

Définition 3.2.1.

κ11 · · · κ1p... ...κp1 · · · κpp

est l’opposé de la matrice de raideur K.

Complément 3.3 (Matrice de raideur). Dans les systèmes masses-ressorts, la matrice de rai-deur associée à un élément est définie par les propriétés mécaniques du tissu de chaque élémentfini.

Page 30: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

30 Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques

Fext =

−iF1 +p+q∑

k=p+1κ1kwk

...

−iFp +p+q∑

k=p+1κpkwk

Exemple 3.3.1.

m1z1 = κ12(z2 − z1) + κ13(z3 − z1) + F1

m1z2 = κ12(z1 − z2) + κ23(z3 − z1) + F2

Sous forme matricielle :(m1w1m2w2

)=(−κ12 − κ13 κ12

κ12 −κ22 − κ23

)(w1w2

)+(κ13w3 +−iF1κ23w3 +−iF2

)(m1w1m2w2

)= −K

(w1w2

)+ (κ− F )

(ii

)

= κ

(−2 11 −2

)(w1w2

)+ (κ− F )

(ii

)

3.4 EquilibreC’est une solution qui ne dépend pas du temps : weq.

0 = −Kweq + Fext

Si K (matrice de raideur) est inversible, on obtient weq = K−1Fext.

Exemple 3.4.1 (Reprise de l’Exemple 3.2.2.). F1 = F2 = 4.

weq =(−2 11 −2

)−1 (−3i−3i

)=(

2 11 2

)(−i−i

)

⇒ w1 = −3i = w2 ⇒ z1 = z2 =(

0−3

).

Page 31: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 31

Rappel (Inverse d’une matrice 2× 2).

A−1 =(a bc d

)−1

= 1detA

(d −b−c a

)

Remarque. • La théorie des équations différentielles linéaires à coefficients constants dit quetoute soultion s’obtient comme la somme d’une somme de l’équation homogène Mw =−Kw (∗∗) et de weq.• On peut toujours ramener au cas m1 = ... = mp = 1, M 1

2 = diag(√m1, ...,√mp) et on

pose v = M12w

u = M12 w = M− 1

2Mw = M− 12Kw = −M− 1

2KM− 12u

c’est-à-dire :(u) = −Ku avec K = M− 1

2KM− 12 (∗ ∗ ∗)

Lemme 3.4.1. La matrice K est symétrique (K = KT ) et semi-définie possitive (c’est-à-direque (y|Ky) ≥ 0, (y|Ky) produit scalaire, ∀y ∈ Rp). En particulier, les valeurs propres de Ksont positives et strictement postives si K inversible.

Démonstration. • ∀j, l ∈ N, avec j 6= l, Kjl = −κjl = −κlj = Klj.•

yT .Ky = −p∑

j,l=1,j 6=lκjlyjyl +

p∑j=1

( p∑l=1

κjl

)y2j

=p∑j=1

p+q∑l=p+1

κjly2l +

p∑j=1

p∑l=1,l 6=j

κjly2j −

p∑j,l=1,j 6=l

κjlyjyl

On utilise :κjly

2j + κljy

2l = κjl

(y2j + 1

2y2l

)+ κlj

(12y

2j + 1

2y2l

)On aura alors :

(y|Ky) =p∑j=1

p+q∑l=p+1

κjly2j︸ ︷︷ ︸

≥0 car κjl≥0

−p∑

j,l=1,j 6=lκjl

(yjyl −

12y

2j −

12y

2l

)︸ ︷︷ ︸

≥0 car yjyl− 12y

2j−

12y

2l

• Soit v un vecteur propre de K associé à une valeur propre λ.

(v|Kv) ≥ 0⇔ λ(v|v) = λ‖v‖2 ≥ 0⇒ λ ≥ 0

Si K inversible, detK 6= 0 donc λ > 0.

Dans toute la suite du cours, on suppose que K est inversible.

Page 32: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

32 Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques

3.5 Modes propresDéfinition 3.5.1. Un mode propre est une solution de (∗ ∗ ∗) qui, à chaque instant, est unvecteur propre de K. Soit v un vecteur propre de K associé à λ.

u+ Ku = 0⇔ u+ λu = 0

On a :u(t) = θ(t)v avec θ(t) ∈ C

Donc :θ(t) + λθ(t) = 0

u(t) = (c1 cos(√λt+ c2 sin(

√λt)).v, c1, c2 ∈ C

Remarque. Pour w, on obtient w(t) = weq +M− 12 θ(t)v.

Exemple 3.5.1 (Reprise de l’Exemple 3.2.2.). K = K =(

2 −1−1 2

)a comme vecteurs

propres(

11

)associé à la valeur propre 2 et

(1 −1

)associé à la valeur propre 3. On a pour le

vecteur propre(

11

):

1 : Les particules auront le méme mouvement horizontal si θ(t) ∈ R. 2 : Les particules aurontle méme mouvement vertical si θ(t) ∈ iR.

pour le vecteur propre(

1−1

), on aura :

1 : si θ(t) ∈ iR. 2 : si θ(t) ∈ R

3.6 Principe de superpositionToute solution de (∗∗) s’écrit comme une somme de modes propres.

Lemme 3.6.1. Les valeurs propres d’une matrice symétrique sont réeles. Toute matrice symé-trique S ∈ Rm×n admet une base orthonormé de vecteur propre v1, ..., vn dans Rn.

Démonstration. • Soit v un vecteur propre de Cn associé à la valeur propre λ.tvSv = λtv.v =t vtSv =t Sv.v =t λv.v = λ

tv.v

Donc : λ = λ ∈ R. Comme les valeurs propres sont réelles, les vecteurs propres aussi(v ∈ Rn).

Page 33: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 33

• Soit v1 un vecteur propre alors Rn = v1⊕ [v1]⊥. Montrons que [v1]⊥ est stable par S. Soitw ∈ [v1]⊥, on veut : Sw ⊥ v1.

(v1|Sw) =t v1.Sw =t (Sv1).w = λtvi.w = λ(v|w) = 0

On recommence dans [v1]⊥ et ainsi de suite.

[v1]⊥ = v2 ⊕ [v2]⊥

A la fin :Rn = v1 ⊕ ...⊕ vn

Soit V = (v1, ..., vp) une base orthonormé de vecteurs propres de K associés à λ1, ..., λp > 0,on peut chercher la solution u de (∗ ∗ ∗) sous la forme :

u = V

θ1...θp

(∗ ∗ ∗) devient :

V

θ1...θp

+ KV

θ1...θp

= 0⇔ V

θ1...θp

+ [λ1v1, ..., λpvp]

θ1...θp

= 0

θ1 + λ1θ1

...θp + λpθp

= 0

⇔ θj(t) = cij(cos√λjt) + c2j(sin

√λjt) avec j = 1, ..., p

La solution u de (∗ ∗ ∗) s’écrit :

u(t) = θ1v1 + θ2v2 + ...+ θp(t)vp︸ ︷︷ ︸modes propres

Determination des constantes c1j, c2j Il faut connaître les conditions initiales.θ1...θp

(0) =

c11...c1p

= V −1u(0) = V −1M12ω0(0)

θ1...θp

(0) =

√λ1c21...√λpc2p

= V −1u(0) = V −1M12 ω0(0)

Exemple 3.6.1.

Page 34: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

34 Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques

ω0(0) =(−i

2− i

)−(−3i−3i

)=(

2i2 + 2i

)

u(0) = M12ω0(0) =

(2i

2 + 2i

)

θ(0) = V −1(

2i2 + 2i

)= 1√

2

(1 11 −1

)(2i

2 + 2i

)= 1√

2

(2 + 4i−2

)

c11 = 2+4i√2 , c12 = − 2√

2

ω0(0) =(

00

)−(

00

)=(

00

)

⇒ u(0) = 0⇒ θ(0) = 0 Donc c21 = 0 et c22 = 0

ω(t) =(−3i−3i

)+ 1√

2

(1 11 −1

)( 2+4i√2 cos(t)

−2√2 cos(

√3t)

)

Courbes de Lissajous

Les courbes en rouge ⇒ ϕ = 0, les courbes en vert ⇒ ϕ 6= 0.

Page 35: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 35

ω1 = ω ω1 = 2ω

ω2 = ω

ω2 = 2ω

ω2 = 3ωCourbes de Lissajous

3.7 Particules avec frottement et gravitéOn suppose que m1 = ... = mp = m. Sur chaque particule j, force de ressitance : Fj =

−mjγzj, γ > 0 petit. On a le système d’équations suivant :

mzj = −mγzj +p+q∑

l=1,l 6=jFjl + FG

j

Sous forme matricielle :mw = −mγw −Kw + Fext (∗)

Page 36: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

36 Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques

La solution à l’équilibre reste la même :

weq = K−1Fext

AVec les notations précédentes :K = 1

mK

K = V

λ1

. . .λp

V −1

On cherche les solutions sous la forme :

w(t) = weq + 1√nV

θ1...θp

Dans (∗), on obtient :

θ1...θp

= −γ

θ1...θp

−λ1θ1...

λpθp

∀j, θj + γθj + λjθj = 0

Equation caractéristique : α2 + γα + λj = 0 avec γ petit

∆ = γ2 − 4λj < 0 car γ petit

αj =−γ ± i

√4λj − γ2

2 = γ

2 ± iωj

Les solutions sont :θj(t) = Aje

(− γ2 +iωj)t +Bje(− γ2−iωj)t

= e− γ2 t(c1j cos(ωjt) + c2j sin(ωjt))

e− γ2 t s’appelle le coefficient d’amortissement. Détermination des constantes :θ(0) =√mV −1(w(0)− weq)

θ(0) =√mV −1w(0)

3.8 Agitation du système masse-ressort avec amortisse-ment

Page 37: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 3. Systèmes masses-ressorts, corps élastiques 37

w + γw +Kw = Fext

K =

2 −1

−1 . . . . . .0

0. . . . . . −1

−1 −2

Fext = h(t)a

avec a =

0...0−i0...0

et h(t) =

1, t ∈]t2k, t2k+1[0, t ∈]t2k, t2k+1[

avec tk = k T2 , T période.

Methode de résolution On resoud l’équation en chaque intervalle de temps :

w(t) = weq + V

(e−

γt2 (c11k cos(ω1t) + c21k sin(ω2t)

e−γt2 (c12k cos(ω1t) + c22k sin(ω2t)

)

Pour t ∈]t2k, t2k+1[ : weq = K−1(Fext + a). Pour t ∈]t2k+1, t2k+2[ : weq = K−1Fext.Les constantes sont choisis tel que w(t) et w(t) vérifient les conditions initiales pour t = t2k

(ou pour t = t2k+1).Si 2π

Test proche de la fréquence d’un mode propre du pont, ‖w(t)‖ → ∞ lorsque t→∞.

Page 38: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 4

Approximation trigonométrique

PréliminairesSoit f un signal périodique de période T (6= 0), f : R→ C 1 tel que ∀x ∈ R, f(x+T ) = f(x).

4.1 Interpolation trigonométriqueOn connait T et n valeurs (régulièrement espacé sur [0, T ]) de la fonction f .

yk = f

(k

nT

), k = 0, ..., n− 1 (4.1)

Remarque. On connaît donc f(knT), ∀k ∈ Z⇒ la suite (yk) est définie sur Z et est périodique

de période n.

Problème. On veut déduire de ces informations une approximation trigonométrique de f ,c’est-à-dire :

cj tel que f(x) 'n−1∑j=0

cj exp(i2πTjx)

(4.2)

avec i =√−1.

Remarque. exp 2πTjx est de période T

j(j 6= 0). La somme est donc de période T .

Méthode 4.2. Interpolation : les cj sot choisis de telle manière que (4.2) sont exacts aux pointsxk = k

nT , c’est-à-dire :

∀k ∈ 0, ..., n− 1, yk =n+1∑j=0

cj exp(

2iπjkn

)(4.3)

Posons : ω = exp i2πn

alors (4.3) s’écrit :

yk =n−1∑j=0

cijωjk (4.4)

1dans C pour plus de généralité, mais on peut très bien considéré le cas particulir de f : R→ R

38

Page 39: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 4. Approximation trigonométrique 39

ou encore :

y0y1y2...

yn−1

=

1 1 1 · · · 11 ω ω2 · · · ωn−1

1 ω2 ω4 · · · ω2n−1

... ... ... . . . ...1 ωn−1 ω2n−1 · · · ωn−1n−1

c0c1c2...

cn−1

Y = ΩC (4.5)

Le système (4.5) se résoud très facilement. En effet, calculons la combinaison linéaire suivantles lignes de (4.5)

n−1∑k=0

ω−kpyk où p = 0, ..., n− 1

On a :n−1∑k=0

ω−kpyk =n−1∑k=0

ω−kpn−1∑j=0

cjωjk =

n−1∑k=0

n−1∑j=0

cjω−kpωjk

=n−1∑k=0

n−1∑j=0

cjωk(j−p) =

n−1∑j=0

cjn−1∑k=0

ωk(j−p) (∗)

Or si j = p,n−1∑k=0

ωk(j−p) = 0

si j 6= pn−1∑k=0

ωk(j−p) =n−1∑k=0

(w(j−p)

)k︸ ︷︷ ︸

suite géométrique

= 1− ω(j−p)n

1− ω(j−p)

= 1− (ωn)j−p1− ω(j−p) = 1− 1

1− ωj−p = 0

Donc :(∗) =

n−1∑k=0

ω−kpyk =n−1∑j=0

cjnδjp = ncp

avec δjp =

0 si j 6= p

1 si j = p. On a donc trouvé que :

cj = 1n

n−1∑k=0

ω−kjyk (4.6)

On avait (4.5) :Y = ΩC

etdet(Ω) =

∏n−1≥i>j≥0

(ωi − ωj)

Cela s’appelle le déterminant de Vandermonde. On a det Ω 6= 0 car ∀i 6= j ∈ 0, ..., n − 1,ωi 6= ωj → la solution trouvée est unique. On peut écrire :

C = 1n

Ω∗Y (4.7)

Page 40: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

40 Chapitre 4. Approximation trigonométrique

c’est-à-dire qu’on a prouvé que :

Ω−1 = 1n

Ω∗ (4.8)

Ω =

1 1 1 · · · 11 ω ω2 · · · ωn−1

1 ω2 ω4 · · · ω2(n−1)

... ... ... . . . ...1 ωn−1 ω2(n−1) · · · ω(n−1)2

, Ω∗ = tr(Ω) (ω−1 = ω)

La formule (4.6) et (4.7) définit donc une application :

Fn : Cn → Cn

(yk) 7→ ck

Cette application ne dépend que de ω = exp 2iπn. Elle s’appelle la transformée de Fourier discrète

d’ordre n. On vient de démontrer qu’elle était bijective.

Remarque. Les séries de Fourier consiste à chercher les cn tel que :

f(x) =+∞∑j=0

dj exp(i2πTjx)

Le problème est ici différent, puisque contraint à (4.2), la somme est infinie (⇒ étude deconvergence).

f doit être comme presque :

dj = 1T

∫ T

0f(x)e−i 2π

Tjdx

Par contre dans le cas de l’interpolation trigonométrique si on n’a pas à discuter de la conver-gence, il serait nécessaire de discuter de l’erreur d’interpolation de l’approximation (4.2).

Méthode des trapèzes La méthode d’approximation d’une intégrale dite “des Trapèzes”repose sur le calcule de l’aire d’un trapèze. Si f est une fonction affine sur R, donc du type :“f(x) = Ax+B”, pour tout couple (a, b) de réels, on a :

∫ b

af(x)dx =

[Ax2

2 +Bx]ba= (b− a)xf(a) + f(b)

2

L’approximation de (4.9) par la méthode des trapèzes dans la formule (4.6).

4.3 Quelques propriétésPropriété 4.3.1. De la même manière que la suite (yk) est définie en Z et est périodique depériode n, la formule (4.6) définit les (cj) sur Z

cj = 1n

n−1∑k=0

ω−kjyk (4.9)

(cj) est périodique de période n.

Page 41: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 4. Approximation trigonométrique 41

Démonstration.

cj+n = 1n

n−1∑k=0

ω−k(j+n)yk

= 1n

n−1∑k=0

ω−kj × ω−kn × yk = 1n

n−1∑k=0

ω−kjyk = cj

Propriété 4.3.2. Si f est une fonction réelle lors cj = c−j (4.11).

Démonstration.

cj = 1n

n∑k=0

ω−kjyk = 1n

n∑k=0

ω−kjyk

= 1n

n∑k=0

ωkjyk = 1n

n∑k=0

ω−k−jyk = c−j

Propriété 4.3.3. Parité de f : si f est paire alors c−j = cj. Si f est impaire alors c−j =−cj (4.12).

Propriété 4.3.4. Si f est réelle et paire alors les (cj) sont réels et pairs. Si f est réel et fimpair alors les (cj) sont imaginaires pures et impairs.

Propriété 4.3.5. Si (yk) Fn−→ (ck) alors on a :

n−1∑k=0|yk|2 = n

n−1∑k=0|ck|2 (4.13)

Démonstration.

nn−1∑k=0|ck|2 = n

n−1∑k=0

∣∣∣∣∣ 1nn−1∑l=0

ω−klyl

∣∣∣∣∣2

= 1n

n−1∑k=0

(n−1∑l=0

ω−klyl

)(n−1∑l=0

ωklyl

)

= 1n

n−1∑k=0

n−1∑l=0

ω−klyl ×

n−1∑j=0

ωkjyl

= 1n

n−1∑k=0

n−1∑l=0

n−1∑j=0

ω−klylωkjyj

= 1n

∑k

∑l

∑j

ωk(j−l)ylyj = 1n

∑l

∑j

∑k

ωk(j−l)ylyj = 1n

∑l

∑j

ylyj∑k

ωk(j−l)

= 1n

n−1∑j=0

yjyj × n =n−1∑l=0

ylyl =n−1∑l=0|yl|2

4.4 Vers la transformée de Fourier rapide (FFT)Si n pair, on va montrer qu’on peut réduire le nombre de calculs pour obtenir cj de moitié.

Soit n = 2m, (4.6) donne :

cj = 12m(ω−0jy0 + ω−1jy1 + ...+ ω−(2m−2)jy2m−2 + ω−(2m−1)jy2m−1)

Page 42: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

42 Chapitre 4. Approximation trigonométrique

On va séparer les termes pairs et impairs :

cj = 12m(ω−0jy0 + ω2jy2 + ...+ ω−(2m−2)jy2m−2) + 1

2m(ω−1jy1 + ω−3jy3 + ...+ ω−(2m−1)y2m−1)

= 12(Pj + ω−jIj) (4.14)

avecPj = 1

m(ω−0jy0 + ω−2jy2 + ...+ ω−(2m−2)y2n−4 + ω−2(m−1)y2m−2)

Ij = 1m

(ω−0jy1 + ω−2jy1 + ...+ ω−(2m−2)y2n−3 + ω−2(m−1)y2m−1)

c’est-à-dire :Pj = 1

m

n−1∑k=0

(ω2)−kjy2k

Ij = 1m

m−1∑k=0

(ω2)−kjy2k+1

(4.15)

Or : ω2 = (exp i2πn

)2 = exp i 4π2m = exp i2π

m. Cela signifie que (4.15) définit deux transformés de

Fourier discrètes d’ordre m indépendantes :

(y0, y2, ..., y2m−2) Fn−→ (P0, P1, ..., Pn−1)

(y1, y3, ..., y2m−1) Fn−→ (I0, I1, ..., In−1)

Remarque. Les (Pk) et les (Ik) sont m-periodiques, on a donc aussi :Im, Im+1, ..., I2m−1

Pm, Pm+1, ...P2m−1

car j ∈ 0, ...,m− 1.

Bilan Le calcul des (cj) par (4.6) nécessite (en supposant avec ω−j déjà calculés au préambule)(n− 1)2 multiplications sur les ω−kjyk sauf k = 0 et j = 0 et n(n− 1) additions.

En pratique, n est grand (de l’ordre de 5000, 10000) donc le nombre d’opérations est d’en-viron 2m2.

Par (4.16), il faut donc 2m2 + 2m2 opérations, c’est-à-dire 4m2 (au lieu de 8m2 (= 4m2)).Le gain semble petit mais si m est pair, on peut encore diviser les calcule par 2,..., et parréccurence, si n = 2p, on arrive à la transformée de Fourier discrète d’ordre 2p. (y, z) 7→ (Y, Z),au total le coût de calcul est de l’ordre n log2 n (au lieu de n2).Y = 1

2(y − z)Z = 1

2(y + z)

4.5 Transformée en cosinus discrèteSoit f réelle, T -périodique et paire, on veut :

f(x) 'n−1∑j=0

cj cos(2πTjx)

(4.17)

Page 43: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

Chapitre 4. Approximation trigonométrique 43

cj sont choisis pour que (4.17) soit exact aux points xk = 2k+14n T , k = 0..n− 1 c’est-à-dire :

yk =n−1∑j=0

cj cos(πj(2k + 1)

2n

)(4.18)

Soit l ∈ 0, ..., n− 1, on calcule la combinaison linéaire des yk suivante :

Dl = 2n−1∑k=0

yk cos πl(2k + 1)2n

= 2n−1∑k=0

n−1∑j=0

cj cos(πl(2k + 1)

2n

)× cos πj(2k + 1)

2n

= 2

n−1∑j=0

cjn−1∑k=0

cos(πl(2k + 1)

2n

)cos

(πj(2k + 1)

2n

)

=n−1∑j=0

cjn−1∑k=0

cos(πl(2k + 1)

2n + πj(2k + 1)2n

)+ cos

(πl(2k + 1)

2n − πl(2k + 1)2n

)

=n−1∑j=0

cjn−1∑k=0

cos(

(l + j)π × (2k + 1)2n

)+ cos

((l − j)π × (2k + 1)

2n

)

Posons ω = e2iπ4n (première racine 4n-ième de l’unité).

Dl = 12

n−1∑j=0

cjn−1∑k=0

ω(j+l)(2k+1) + ω−(j+l)(2k+1)︸ ︷︷ ︸S+

+ω(j−l)(2k+1) + ω−(j−l)(2k+1)︸ ︷︷ ︸S−

Soit X = ωj+l︸ ︷︷ ︸

S+

ou ωl−j︸ ︷︷ ︸S−

. On doit calculer :

Si,j =n−1∑k=0

X2k+1 +X−(2k+1)

= X−(2n−1) + ...+X−5 +X−3 +X−1 +X +X3 +X5 + ...+X2n+1

Remarque. X est une racine 4n-ième de l’unité.

Si,j = X(X−2n + ...+X−6 +X−4 +X−2 +X0 +X2 +X4 +X6 + ...+X2n)On pose : Y = X2 = (ωp)2 = (ω2)p (avec p = j+ l ou p = l− j). Y est donc une racine 2n-ièmede l’unité.

Si,j = X(Y −n + ...+ Y −3 + Y −2 + Y −1︸ ︷︷ ︸Y 2N=1

+Y 0 + Y 1 + Y 2 + ...+ Y n−1)

= X(Y 0 + Y 1 + Y 2 + ...+ Y n−1 + Y n + ...+ Y 2n−3 + Y 2n−2 + Y 2n−1)

• si Y = ω2(l+j), l ∈ 0, ..., n− 1 et j ∈ 0, ..., n− 1 ⇒ (Y = 1⇔ l = j = 0).

S+j,l =

0 si (l, j) 6= (0, 0)2n si (l, j) = (0, 0)

• si Y = ω2(l−j), Y = 1⇔ l − j = 0.

S−j,l =

0 si l 6= j

2n si l = j

Page 44: M208 : Initiation à la modélisation mathématique

44 Chapitre 4. Approximation trigonométrique

Donc pour l 6= 0 :Dl = 1

2cl × 2n⇔ cl = Dl

n

si l = 0 :D0 = 1

2(c0(2n+ 2n))⇒ c0 = D0

2nConclusion :

pour l 6= 0, cl = 2n

n−1∑k=0

yk cos(πl(2k + 1)

2n

)et (4.19)

pour l = 0, c0 = 1n

n−1∑k=0

yk

4.6 La compression JPEGCette compression est basée sur la “transformée cosinus discrète” (DCT).Une image peut être représentée par un ensemble de points d’un domaine spatial X, Y, Z.

Les axes X et Y représentent les deux dimensions de l’image et Z l’amplitude du signal.Ainsi, par une image carrée, celle-ci définie par :

Z = P (x, y)

x = 0..n− 1y = 0..n− 1

Chaque couple (x, y) est appelé pixel et P (x, y) est la valeur du pixel → le signal est bidimen-sionnel, c’est donc une DCT bidimensionnelles que l’on utilise (admi).

F (u, v) = 2nc(u)c(v)

n−1∑x=0

n−1∑y=0

P (x, y) cos(πu(2x+ 1)

2n

)cos

(πv(2y + 1)

2n

)(4.20)

avec (c0) = 1√2 , c(w) = 1 pour w ∈ 1, 2, .., n− 1. La transformée de Fourier est données par

P (x, y) = 2n

n−1∑u=0

n−1∑v=0

c(u)c(v)F (u, v) cos(πu(2x+ 1)

2n

)cos

(πv(2y + 1)

2n

)(4.21)

En fait, le calcul ne se fait pas sur l’image entière car :∗ trop de calcul∗ l’image n’est pas obligatoirement carrée

On décompose l’image en bloc de 8 pixels × 8 pixels (ou 16 × 16) sur lequel on applique laDCT.

Après la décomposition en bloc de l’image, le principe de la compression JPEG est :• représentation de l’image par la matrice F (u, v) (représentation fréquentielle) par (4.20).• Compression : on réduit le nombre de valeurs de matrice, par exemple, en enlevant leshautes fréquences (peu sensibles à l’oeil et de faible amplitude) (x et/ou y grand).• La restitution de l’image se fait ensuite par la formule (4.21).