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Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
MA111 Calculo I
Eduardo Garibaldi([email protected])
IMECC - UNICAMP
Campinas
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Definicao de Funcao
A definicao rigorosa de uma funcao faz uso da teoria de conjuntos.Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
e uma funcao quando
para todo elemento a ∈ A, existe um unico elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva e a formulacao que consiste em apresentaruma funcao
f : A→ B
como uma “lei de associacao” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira unıvoca.
Calculo I
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Definicao de Funcao
A definicao rigorosa de uma funcao faz uso da teoria de conjuntos.Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
e uma funcao quando
para todo elemento a ∈ A, existe um unico elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva e a formulacao que consiste em apresentaruma funcao
f : A→ B
como uma “lei de associacao” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira unıvoca.
Calculo I
E. Garibaldi
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Definicao de Funcao
A definicao rigorosa de uma funcao faz uso da teoria de conjuntos.Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um trio
f = (A,B,C ) com C ⊂ A× B
e uma funcao quando
para todo elemento a ∈ A, existe um unico elemento b ∈ B
tal que (a, b) ∈ C .
Muito mais intuitiva e a formulacao que consiste em apresentaruma funcao
f : A→ B
como uma “lei de associacao” que a cada elemento a ∈ A faz
corresponder um elemento f (a) = b ∈ B de maneira unıvoca.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Domınio, Imagem, Grafico
Recorde que A e dito o domınio da funcao f e f (A) e sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serao subconjuntos da reta real R.
Logo, f sera de agora em diante uma funcao real de uma variavel real.
Assim sendo, uma maneira util de representar uma funcao consisteem fazer seu grafico, isto e, em esbocar no plano cartesiano oseguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
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Domınio, Imagem, Grafico
Recorde que A e dito o domınio da funcao f e f (A) e sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serao subconjuntos da reta real R.
Logo, f sera de agora em diante uma funcao real de uma variavel real.
Assim sendo, uma maneira util de representar uma funcao consisteem fazer seu grafico, isto e, em esbocar no plano cartesiano oseguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
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Domınio, Imagem, Grafico
Recorde que A e dito o domınio da funcao f e f (A) e sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serao subconjuntos da reta real R.
Logo, f sera de agora em diante uma funcao real de uma variavel real.
Assim sendo, uma maneira util de representar uma funcao consisteem fazer seu grafico, isto e, em esbocar no plano cartesiano oseguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
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Domınio, Imagem, Grafico
Recorde que A e dito o domınio da funcao f e f (A) e sua imagem.
Para os fins deste curso, A e B serao subconjuntos da reta real R.
Logo, f sera de agora em diante uma funcao real de uma variavel real.
Assim sendo, uma maneira util de representar uma funcao consisteem fazer seu grafico, isto e, em esbocar no plano cartesiano oseguinte conjunto
Graf(f ) = {(x , f (x)) ∈ R2 : x ∈ A}.
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Revisao
Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n.
Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n.
Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear.
Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica.
Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Polinomiais
Sao funcoes da forma
f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0,
onde n ∈ N e ai ∈ R ∀ i = 1, . . . , n. Seu domınio e R.
Se an 6= 0, seu grau e n. Uma funcao polinomial de grau 1,
f (x) = ax + b,
e chamada de funcao linear. Uma funcao polinomial de grau 2,
f (x) = ax2 + bx + c ,
e chamada de funcao quadratica. Uma funcao polinomial de grau 3,
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ,
e chamada de funcao cubica.
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Funcoes Potencias e Racionais
Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes Potencias e Racionais
Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes Potencias e Racionais
Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes Potencias e Racionais
Funcoes potencias sao funcoes da forma
f (x) = xa.
Se a = n ∈ N, temos uma funcao polinomial.
Se a = 1/n, com n ∈ N, temos uma funcao raiz f (x) = x1/n = n√
x .
Neste caso, n par implica que o domınio de f e [0,∞), enquanto quen ımpar implica que o domınio de f e R.
Funcoes racionais sao funcoes da forma
f (x) =P(x)
Q(x),
onde P e Q sao funcoes polinomiais.
O domınio consiste em todos os valores reais x tais que Q(x) 6= 0.
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao,
subtracao, multiplicacao, divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao,
multiplicacao, divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao,
divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao, divisao
e extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao, divisaoe extracao de raızes)
a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao, divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais.
Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao, divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Algebricas e Trigonometricas
Uma funcao e dita algebrica quando puder ser descrita poroperacoes algebricas (como adicao, subtracao, multiplicacao, divisaoe extracao de raızes) a partir de funcoes polinomiais. Por exemplo,
f (x) =3
√3x4 + πx +
√2, g(x) = x4 +
1√x
+ 2
e h(x) =5x7 + 3
5 + 6√
x + 4x3
x4 + 32x2
sao funcoes algebricas.
Funcoes trigonometricas sao as conhecidas funcoes
sen x , cos x , tg x , cossec x , sec x , cotg x .
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Funcoes Exponenciais, Logarıtmicas eTranscendentais
Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funcoes transcendentais sao todas as funcoes nao-algebricas,
incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
Calculo I
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Funcoes Exponenciais, Logarıtmicas eTranscendentais
Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
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incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
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incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funcoes transcendentais sao todas as funcoes nao-algebricas,
incluindo portanto
trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funcoes transcendentais sao todas as funcoes nao-algebricas,
incluindo portanto trigonometricas,
trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funcoes transcendentais sao todas as funcoes nao-algebricas,
incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
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incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais,
logarıtmicas, entre outras.
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Funcoes exponenciais e logarıtmicas sao, respectivamente, asfuncoes do tipo
ax e loga x ,
sendo a uma constante positiva.
Funcoes transcendentais sao todas as funcoes nao-algebricas,
incluindo portanto trigonometricas, trigonometricas inversas,
exponenciais, logarıtmicas, entre outras.
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Propriedades
Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
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Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
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Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
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simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
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simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades
Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Calculo I
E. Garibaldi
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Propriedades
Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Calculo I
E. Garibaldi
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Propriedades
Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Calculo I
E. Garibaldi
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Propriedades
Algumas funcoes apresentam propriedades particulares como
simetrias:
quando f (−x) = f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao par.
quando f (−x) = −f (x) para todo x no domınio de f ,
dizemos que f e uma funcao ımpar.
monotonicidade:
dizemos que f e crescente em um intervalo I
se f (x1) < f (x2) quando x1 < x2 em I .
dizemos que f e decrescente em um intervalo I
se f (x1) > f (x2) quando x1 < x2 em I .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico.
Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0.
Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
E. Garibaldi
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c ,
desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c ,
desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c),
desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c),
desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Algumas operacoes simples tem efeitos facilmente identificaveis sobreuma funcao e seu grafico. Por exemplo,
Deslocamentos Verticais e Horizontais:Seja c > 0. Para obter o grafico de
y = f (x) + c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara cima;
y = f (x)− c , desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara baixo;
y = f (x − c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a direita;
y = f (x + c), desloque o grafico de y = f (x) em c unidadespara a esquerda.
Calculo I
E. Garibaldi
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Efeito de Deslocamentos para c > 0
y
x0
y = f(x+ c) y = f(x) y = f(x− c)
y = f(x) + c
y = f(x)− c
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1.
Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x),
expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x),
comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx),
comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c),
expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
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Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x),
reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
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Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x),
reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
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Translacoes, Reflexoes e Expansoes
Reflexoes e Expansoes Horizontais e Verticais:Seja c > 1. Para obter o grafico de
y = cf (x), expanda o grafico de y = f (x) verticalmente por umfator de c ;
y = (1/c)f (x), comprima o grafico de y = f (x) verticalmentepor um fator de c ;
y = f (cx), comprima o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = f (x/c), expanda o grafico de y = f (x) horizontalmente porum fator de c ;
y = −f (x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo x ;
y = f (−x), reflita o grafico de y = f (x) em torno do eixo y .
Calculo I
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Calculo I
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entao
an = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao
a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1.
Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N,
a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0,
ax = apq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
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Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Calculo I
E. Garibaldi
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1);
ii) a = 1; iii) a > 1.
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1;
iii) a > 1.
Calculo I
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Funcoes Exponenciais
Uma funcao exponencial e uma funcao f : R→ R da forma
f (x) = ax , com a > 0.
Se x = n ∈ N, entaoan = a · a · . . . · a.︸ ︷︷ ︸
n fatores
Se x = 0, entao a0 = 1. Se x = −n, com n ∈ N, a−n =1
an.
Se x =p
q, p, q ∈ Z, (p, q) = 1, q > 0, ax = a
pq = q√
ap = ( q√
a)p.
Qual o significado de ax se x ∈ R \Q?
Para definir f (x) = ax como funcao monotona, ha tres casos:
i) a ∈ (0, 1); ii) a = 1; iii) a > 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1),
note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.
Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais pq e P
Q tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q,
considere racionais pq e P
Q tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Revisao
Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima.
Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0
e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0,
entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
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Expoentes Irracionais (0 < a < 1)
i) Se a ∈ (0, 1), note que os valores ax , x ∈ Q, sao decrescentes.Logo, fixado x0 ∈ R \Q, considere racionais p
q e PQ tais que
p
q< x0 <
P
Q.
Necessariamente aPQ < a
pq , para qualquer par de racionais (p/q,P/Q)
como acima. Se tomarmos p/q tao proximo quanto se queira de x0mas sempre menor que x0 e se tomarmos P/Q da mesma formaarbitrariamente proximo de x0 mas sempre maior que x0, entao epossıvel mostrar que so existe um valor α0 ∈ R cumprindo
aPQ < α0 < a
pq .
Colocamos ax0 = αo .
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1,
temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q.
Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
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Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
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Revisao
Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1,
claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
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Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1).
Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
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Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R.
Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
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Expoentes Irracionais (a ≥ 1)
ii) Quando a = 1, temos que ax = 1 ∀ x ∈ Q. Deste modo, resultanaturalmente ax = 1 ∀ x ∈ R.
iii) Se a > 1, claramente 1/a ∈ (0, 1). Logo, utilizamos (i) paradeterminar (1/a)x ∀ x ∈ R. Podemos entao introduzir
ax =1
(1/a)x, x ∈ R.
Calculo I
E. Garibaldi
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Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
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Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
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Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
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Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
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Graficos e Propriedades de Funcoes Exponenciais
y
x0
y
x0
y
x0
(0, 1)
(i) y = ax, 0 < a < 1
1
(ii) y = 1x
(0, 1)
(iii) y = ax, a > 1
.
. Propriedades:
. i) ax+y = axay ;
. ii) ax−y =ax
ay;
. iii) (ax)y = axy ;
. iv) (ab)x = axbx .
. Exercıcio. Demonstre as igualdades
. acima usando as definicoes.
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O Numero e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 e introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o grafico da funcao exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinacao exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
O Numero e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 e introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o grafico da funcao exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinacao exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
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O Numero e
Uma maneira de definir a constante e ≈ 2, 71828 e introduzi-la como
o valor a > 0 para o qual o grafico da funcao exponencial f (x) = ax
tem reta tangente com inclinacao exatamente igual a 1 em (0, 1).
Observe que
y
x0
y
x0
m ≈ 0.9555114
y = (2.6)x y = (2.8)x
m ≈ 1.0296194
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E. Garibaldi
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Injetividade
Definicao: Uma funcao e dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definicao que o grafico de uma funcaoinjetiva pode ser interceptado em, no maximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f nao e injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em tres
pontos distintos x1, x2 e x3
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Injetividade
Definicao: Uma funcao e dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definicao que o grafico de uma funcaoinjetiva pode ser interceptado em, no maximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f nao e injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em tres
pontos distintos x1, x2 e x3
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Injetividade
Definicao: Uma funcao e dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definicao que o grafico de uma funcaoinjetiva pode ser interceptado em, no maximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f nao e injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em tres
pontos distintos x1, x2 e x3
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Injetividade
Definicao: Uma funcao e dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definicao que o grafico de uma funcaoinjetiva pode ser interceptado em, no maximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f nao e injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em tres
pontos distintos x1, x2 e x3
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Injetividade
Definicao: Uma funcao e dita injetiva se
f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2.
Resulta imediatamente da definicao que o grafico de uma funcaoinjetiva pode ser interceptado em, no maximo, um ponto por uma
reta horizontal dada.
y
x1 x20 x3
y = f(x)
x
f nao e injetiva:
f (x1) = f (x2) = f (x3) em tres
pontos distintos x1, x2 e x3
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Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
Calculo I
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Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
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Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
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Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
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Funcoes Inversas
Definicao: Se f e uma funcao injetiva com domınio A e imagem B,definimos sua inversa
f −1 : B → A
por f −1(y) = x ⇔ f (x) = y .
Enfatizamos que
domınio de f −1 = imagem de f , imagem de f −1 = domınio de f .
Alem disso, claramente
f −1(f (x)) = x ∀ x ∈ A,
f (f −1(x)) = x ∀ x ∈ B.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a,
denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga,
vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
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Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Funcoes Logarıtmicas
A funcao logarıtmica com base a, denotada por loga, vem a sera funcao inversa da funcao exponencial quando a > 0, a 6= 1.
Portanto, adotamos a seguinte definicao
loga x = y ⇔ ay = x .
Em particular, temos de imediato que
loga(ax) = x ∀ x ∈ R,
aloga x = x ∀ x > 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Grafico da Funcao Logarıtmica
Observacao: O grafico da funcao logarıtmica,
assim como o dequalquer funcao inversa, e obtido pela reflexao em torno da retay = x do grafico da funcao original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1y = ax, a > 1
y = x
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Grafico da Funcao Logarıtmica
Observacao: O grafico da funcao logarıtmica, assim como o dequalquer funcao inversa,
e obtido pela reflexao em torno da retay = x do grafico da funcao original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1y = ax, a > 1
y = x
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Grafico da Funcao Logarıtmica
Observacao: O grafico da funcao logarıtmica, assim como o dequalquer funcao inversa, e obtido pela reflexao em torno da retay = x do grafico da funcao original,
no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1y = ax, a > 1
y = x
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Grafico da Funcao Logarıtmica
Observacao: O grafico da funcao logarıtmica, assim como o dequalquer funcao inversa, e obtido pela reflexao em torno da retay = x do grafico da funcao original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1y = ax, a > 1
y = x
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Grafico da Funcao Logarıtmica
Observacao: O grafico da funcao logarıtmica, assim como o dequalquer funcao inversa, e obtido pela reflexao em torno da retay = x do grafico da funcao original, no caso da exponencial.
y
x
y = loga x, a > 1y = ax, a > 1
y = x
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e,
denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x ,
sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
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Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R,
e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
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Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
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Propriedades e Logaritmo Natural
Propriedades dos logaritmos
i) loga(xy) = loga x + loga y ;
ii) loga
(x
y
)= loga x − logay ;
iii) loga(x r ) = r loga x , r ∈ R.
Logaritmo natural
Trata-se do logaritmo na base e, denotado por loge x = ln x , sendoportanto definido via
ln x = y ⇔ ey = x .
Obviamente,
ln(ex) = x ∀ x ∈ R, e ln x = x ∀ x > 0.
Note ainda que ln e = 1.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
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Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
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Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x .
Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
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Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay .
Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
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Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
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Mudanca de Base
Formula de mudanca de base:
Para todo a > 0, a 6= 1, vale que
loga x =ln x
ln a.
Demonstracao.
Seja y = loga x . Entao, por definicao, x = ay . Segue daı que
ln x = ln ay = y ln a,
isto e,
y =ln x
ln a.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que,
dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b,
o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b
e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Calculo I
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Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que
o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b
e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
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Revisao
Intervalos Limitados Abertos ou Fechados
Recorde que, dados dois numeros reais a < b, o intervalo aberto dea ate b e por definicao
(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.
Geometricamente este conjunto corresponde ao segmento de reta
a b
Recorde tambem que o intervalo fechado de a ate b e definido por
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b},
correspondendo ao segmento
a b
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
Calculo I
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Revisao
Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
Calculo I
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Revisao
Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
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Revisao
Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha),
semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
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Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas)
ou ainda a propria reta real (quarta linha).
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Demais Intervalos
Outras notacoes intervalares usuais sao:
[a, b), (a, b],
(a,+∞), [a,+∞),
(−∞, b), (−∞, b],
(−∞,+∞),
as quais descrevem segmentos (primeira linha), semi-retas (segunda
e terceira linhas) ou ainda a propria reta real (quarta linha).
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdades
Quanto a desigualdades,
e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,
dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Revisao
Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d ,
temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Revisao
Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
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Revisao
Desigualdades
Quanto a desigualdades, e util ter em mente que,dados numeros reais a, b, c , d , temos
a < b ⇒ a + c < b + c ;
a < b e c < d ⇒ a + c < b + d ;
a < b e c > 0 ⇒ ac < bc;
a < b e c < 0 ⇒ ac > bc;
0 < a < b ⇒ 1
a>
1
b.
Calculo I
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Revisao
Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes,
por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Revisao
Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Revisao
Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a
e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
Calculo I
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a
ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais,
concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
Calculo I
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
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Aplicacao de Desigualdades
As propriedades sobre desigualdades que acabamos de destacar saoimportantes, por exemplo, na resolucao de equacoes algebricas.
Exemplo. Resolva a inequacao
(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0.
Solucao: Claramente, dado a > 0,
x + a ≥ 0 ⇔ x ≥ −a e x + a ≤ 0 ⇔ x ≤ −a;
x2 − a2 ≥ 0 ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a ex2 − a2 ≤ 0 ⇔ −a ≤ x ≤ a.
Logo, utilizando um simples diagrama de sinais, concluımos que(x + 1)(x2 − 4)(x + 9) ≥ 0 ocorre, se e so se
x ∈ (−∞,−9] ∪ [−2,−1] ∪ [2,+∞).
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Valor Absoluto
O valor absoluto
(ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo)
de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
Calculo I
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Revisao
Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a
nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que
a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
Calculo I
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real.
Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
Calculo I
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;
∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =
√(an)2 =
√(a2)n = (
√a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =
√(a2)n = (
√a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n =
(√
a2)n = |a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n =
|a|n.
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Valor Absoluto
O valor absoluto (ou modulo) de um numero real a nada mais edo que a sua distancia ate a origem da reta real. Denotamo-lo
|a| :=√
a2.
Claramente, |a| =
{a se a ≥ 0−a se a < 0
.
Eis algumas propriedades imediatas do valor absoluto:
|ab| = |a||b| ;∣∣ ab
∣∣ =|a||b| (b 6= 0);
|an| = |a|n, n ∈ Z.
A tıtulo de ilustracao, provamos a ultima propriedade:
|an| =√
(an)2 =√
(a2)n = (√
a2)n = |a|n.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades,
para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0,
nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa
x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,
isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5,
ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas
−1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
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Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=
(9
2,
11
2
)\ {5}.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdades e Valor Absoluto
Com respeito a desigualdades, para a > 0, nao e difıcil verificar que
|x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
|x | ≥ a ⇔ x ≤ −a ou x ≥ a.
Exemplo: Resolva a inequacao 0 < |x − 5| < 1
2.
Solucao: Note que |x − 5| > 0 significa x − 5 > 0 ou x − 5 < 0,isto e, x > 5 ou x < 5, ou melhor, simplesmente x 6= 5.
Similarmente, |x − 5| < 1
2indica apenas −1
2< x − 5 <
1
2,
donde resulta9
2< x <
11
2.
Portanto, temos{
x ∈ R : 0 < |x − 5| < 1
2
}=(9
2,
11
2
)\ {5}.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
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Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
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Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
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Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
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Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R.
Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
E. Garibaldi
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Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Desigualdade Triangular
Uma propriedade importante do valor absoluto e a seguinte.
Desigualdade Triangular:
Para quaisquer numeros reais a e b, temos
|a + b| ≤ |a|+ |b|.
Demonstracao.
Observe que −|c | ≤ c ≤ |c | ∀ c ∈ R. Logo, de
−|a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|,
resulta−(|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|,
donde |a + b| ≤ |a|+ |b|.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas,
o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos
(comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas,
circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias,
parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
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Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.)
em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
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Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
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Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano
duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
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Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b),
ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
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Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa
e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
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Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Geometria Analıtica e Retas
Recordemos caracterısticas principais do sistemas de coordenadascartesianas, o qual permite descrever lugares geometricos (comoretas, circunferencias, parabolas, etc.) em termos de equacoesalgebricas.
A ideia fundamental e associar a cada ponto P no plano duascoordenadas (a, b), ditas abscissa e ordenada, respectivamente.
A figura abaixo relembra este procedimento.
y
x
b
a
P (a, b)
0
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos.
Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos. Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos. Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
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Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos. Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos. Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras
ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Aplicacao da Geometria Analıtica
Varias propriedades geometricas podem entao ser descritas emtermos algebricos. Por exemplo, recorde que
a distancia entre os pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
|P1P2| :=√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
Para isto provar, basta aplicar o Teorema de Pitagoras ao triangulo:
y1
y2
x1x20
P2(x2, y2)
P1(x1, y1)
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano,
e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao
(ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular)
de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2)
e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
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Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas
O objetivo e simplesmente relembrar como sao descritas retasno plano cartesiano, e finalmente discutir paralelismo eperpendicularismo neste contexto.
Recorde que a inclinacao (ou coeficiente angular) de uma retanao-vertical passando por P1(x1, y1) e P2(x2, y2) e dada por
m :=y2 − y1x2 − x1
.
A inclinacao de uma reta vertical NAO esta definida.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:
a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:
a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
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Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
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Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:
toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
E. Garibaldi
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Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
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Equacoes da Reta
Destacamos as seguintes possibilidades de representacao de uma reta.
Equacao da reta na forma ponto-inclinacao:a equacao da reta passando por P1(x1, y1) com inclinacao m e
y − y1 = m(x − x1).
Equacao da reta na forma inclinacao-interseccao com eixo:a equacao da reta com inclinacao m que intersecta o eixo dasordenadas em b e
y = mx + b.
Equacao geral de uma reta:toda reta (inclusive vertical) pode ser escrita na forma
Ax + By + C = 0.
Calculo I
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se,
ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais
ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
Revisao
Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se,
ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal
ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
Calculo I
E. Garibaldi
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Retas Paralelas e Perpendiculares
Duas retas sao paralelas se, e so se, ou ambas sao verticais ouambas possuem a mesma inclinacao.
r1 r2 r1 r2
Duas retas sao perpendiculares se, e so se, ou uma e vertical e outrae horizontal ou uma tem inclinacao m e outra tem inclinacao −1/m.
Exemplo: As retas 2x + 3y = 1 e 6x − 4y = 1 sao perpendiculares,
pois a primeira tem inclinacao −2/3 e a segunda, 3/2.
