MACHINE A COURANT CONTINU EXERCICES

1. Moteur courant continu ( CCP PSI 04 ) : On sintresse lutilisation dun moteur en traction automobile. On rappelle le schma quivalent du moteur courant continu excitation spare : u reprsente la tension aux bornes de linduit i lintensit du courant le traversant. On nglige les frottements. Le moteur tant soumis un couple rsistant constant Cr = 60 N.m, un essai ralis avec u = 120 V a donn les rsultats suivants :

Fm E = 100 V ; Vitesse de rotation = 3200 tours/minute

Le moment dinertie de la partie mobile entrane par le moteur vaut J = 1,5 kg.m2 et la relation entre la vitesse de rotation du moteur et la vitesse v du vhicule est

= v avec = 35 tr.min-1/ ( km.h-1) a) Rappeler les relations existant entre les grandeurs lectriques E et i et mcaniques et C (couple moteur). b) Dterminer la valeur de R, rsistance de linduit. c) On considre un fonctionnement couple moteur C constant (C = 60 N.m) et on tudie la phase de mise en vitesse dun vhicule sur une route horizontale. Le moment du couple rsistant varie alors suivant une loi du type Cr = a + b avec a = 0,01N.m/(rad.s

-1) et b = 5 N.m. Calculer le temps t1 mis par le vhicule pour passer de 0 v = 50 km.h

-1. Rponses : R = 0,1 ; t1 = 5,1 s.

2. Commandes dun moteur courant continu ( daprs Centrale PSI 00 ): On dsire comparer deux modes de commande dun moteur courant continu : en tension et en courant. Valeurs numriques : R = 1,5 ; = 0,17 rad.s-1 ; J = 1,0.10-3 kg.m2 . Linductance dinduit et les frottements sont ngligs. Les contraintes technologiques imposent une valeur maximale de l'intensit du courant d'induit : Imax

= 10 A. On nglige les frottements. a) On applique un chelon de tension aux bornes de linduit dun moteur initialement au repos, et on observe l'volution de la vitesse angulaire (t) = d(t)/dt. Sachant que l'amplitude de l'chelon de tension est choisie de telle sorte que l'intensit maximale du courant d'induit soit gale Imax, dterminer littralement, puis numriquement, le temps au bout duquel la vitesse aura atteint 90% de sa valeur finale. b) On impose prsent au moteur, partir des mmes conditions initiales, une intensit constante gale Imax. Quel sera le temps mis pour atteindre la mme valeur de vitesse ? Interprter. c) On dfinit le portrait de phase du dispositif en volution comme le lieu dcrit par le point d'abscisse (t) et d'ordonne (t) dans le plan de phase (,), lorsque t varie. Reprsenter ce lieu pour les deux essais prcdents. Rponse : a) t1 = 120 ms ; b) t2 = 47 ms.

3. Bilan de puissance dans un moteur : Pour un moteur a courant continu aimants permanents, on dispose des indications suivantes : induit : R = 0,5 , tension d'alimentation U = 220 V. A vide : puissance absorbe Pv = 264 W ; intensit du courant dinduit Iv = 1,2 A.

En charge : = 1450 tr/min : intensit du courant dinduit I = 18 A. Calculer pour l'essai en charge : a) la puissance lectromcanique ( puissance lectrique convertie en puissance mcanique ) ; b) les pertes Joule totales ; c) les pertes mcaniques supposes constantes ;

R

E

i

u

d) la puissance utile ; e) le moment du couple utile ; f) le rendement du moteur. Rponses : a) Pem = 3798 W ; b) PJ = 258 W ; c) Pc = 320 W : d) Pu = 3479 W ; e) Cu = 22,9 N.m ;

f) r = 86 %.

4. tude dun moteur courant continu On considre une machine courant continu aimants permanents. Le modle lectrique du moteur est reprsent par le schma quivalent de la figure ci-contre. Donnes numriques : rsistance dinduit : R = 1 ; inductance dinduit : L = 20 mH ; moment dinertie : J = 0,1 kg.m2 ; pour une vitesse de rotation = 1500 tr.min-1 on relve une fm induite e = 100 V. a) crire la relation entre la fm e(t) et la vitesse de rotation (t), puis la relation entre le moment du couple lectromagntique Cm dvelopp par le moteur et lintensit du courant dinduit i(t). b) crire lquation qui traduit le comportement lectrique du moteur, puis lquation qui traduit le comportement mcanique du moteur lorsquil entrane une charge mcanique opposant un couple de moment Cch. c) Des deux quations prcdentes, tablir les quations diffrentielles que vrifient la vitesse de rotation (t) et lintensit du courant dinduit i(t) lorsque la charge est nulle ( Cch = 0 ). d) Initialement, la machine est arrte et non alimente. A linstant t = 0, u(t) passe instantanment de 0 V 100 V. tablir les expressions de la vitesse de rotation (t) et lintensit du courant dinduit i(t). Quelle est la vitesse maximale atteinte par le moteur ? e) Lorsque la vitesse maximale est atteinte, que vaut lintensit du courant ? Est-ce raliste ? f) A t = 10 s, on couple la charge mcanique qui oppose un couple dont lexpression du moment en fonction de la vitesse de rotation est : Cch = 10 + 0,1 + 0,002

2 (en N.m). Calculer la nouvelle vitesse de rotation et la nouvelle intensit du courant dinduit atteints en rgime permanent. Rponses : f) = 769 tr/min : i = 49 A.

5. Etude d'une association moteur-gnratrice courant continu : On considre l'association ci-contre de deux machines courant continu de caractristiques rigoureusement identiques, places sur un mme arbre de rotation . La machine M est alimente par une source de tension idale de fm U, la machine G est connecte une charge rsistive de rsistance Rc. On note R la rsistance de l'induit des deux

machines, J leur moment dinertie total et f le coefficient de frottement fluide de l'ensemble. a) Ecrire les quations lectriques et mcanique des deux machines. b) Dterminer, en fonction de , l'expression du couple rsistant rsultant des frottements et de la machine G ( couple de la charge mcanique vue par la machine M ). c) Calculer la vitesse angulaire de rotation du systme, le couple, l'intensit du courant induit de chaque machine et la tension aux bornes de la charge lectrique. d) Comparer les puissances moyennes absorbe par la charge lectrique et cde par la source

d'alimentation ; interprter la diffrence. e) Que deviennent les rsultas prcdents si lon nglige les frottements et les rsistances dinduit ? Valeurs numriques : U = 100 V ; R = 1 ; Rc = 10 ; = 1V.rad

-1 ; f = 0,01 SI.

U U M G U Rc

I I

( )tu

( )ti

r

l

( )te

tude dun moteur courant continu en chane boucle ( daprs Centrale PSI 00 ):

On considre un dispositif compos d'un mobile se dplaant sur un axe Ox, entran par un moteur courant continu ( aimants permanents ).

On nglige le moment exerc par le mobile sur larbre moteur devant le moment des forces de Laplace.

Linduit est dcrit par le modle lectrique ci-contre.

L'inductance de l'induit est nglige, ainsi que les frottements mcaniques.

Lorsque la machine courant continu fonctionne en moteur (rcepteur lectrique), avec 0>e , le mobile se dplace dans le sens des x croissants. Le mouvement de rotation de l'axe du moteur est converti en mouvement de translation du mobile selon la relation x =D. o est l'angle de rotation.

Le moment d'inertie total de l'ensemble des pices mobiles est not J .

Valeurs numriques : R = 1,5 ; = 0,17 V.rad-1.s ; J = 1,0.10-3 kg.m2 ; D = 0,050 m.

Le positionnement du mobile est assur par un systme asservi dont le moteur est l'actionneur.

Le moteur est command en tension par un amplificateur de puissance dont la tension de sortie est proportionnelle la grandeur d'erreur = xC-x fournie par un soustracteur.

La consigne xC indique l'abscisse laquelle on dsire positionner le mobile. Le schma fonctionnel du systme boucl obtenu est mis sous la forme ci-dessous, V tant la vitesse du mobile :

a) On se propose de raisonner sur le rgime dfini par xC = 0 et des conditions initiales fixes : position initiale x(0)=0, vitesse initiale v(0) = 0. Dans ce qui suit, un tel rgime sera not rgime libre. On dsire adopter un systme de coordonnes rduites : 0/)(

~ Xtxx = et 0/~

Ttt = afin d'obtenir une quation

diffrentielle du rgime libre s'crivant : 0~~

~~

2~2

2

=++td

xd

td

xdx

b) Exprimer T0 en fonction de K, D , J et des paramtres caractristiques du moteur.

c) En dduire une expression de .

Pour diffrentes valeurs de K, on a obtenu les portraits de phase suivants, tracs dans le plan

e

R I u

d ) Qualifier le type de rgime obtenu dans chaque cas.

e ) Quelle ingalit portant sur la valeur de K doit-on vrifier dans chaque cas pour obtenir un tel rgime ? On dfinira une valeur critique K0 de K.

f ) On a effectu un autre type d'essai classique qui a conduit au portrait de phase ci-contre. Quelle sollicitation xC(t) a-t-on utilise ? Comment nomme-t-on cet essai ? Quelle ingalit sur la valeur de K peut-on crire compte tenu de la nature de la rponse observe ?

Rgulation de vitesse dun moteur courant continu : On considre un moteur courant continu dont les caractristiques sont les suivantes : Tension nominale uN = 164 V ; courant nominal IN = 7,2 A. Rsistance dinduit r = 1,6 ; vitesse nominale de rotation : nN = 3000 tr/min. On nglige toutes les pertes autres que les pertes Joule. 1) Etude sans rtroaction : a) Le moteur est utilis vide sous sa tension nominale ; calculer sa frquence de rotation n0 en tr/min. b) Le moteur fournit son moment nominal CN ; calculer CN. c) Quelle est la variation de vitesse nBO entre les tats a) et b) ? 2) Etude avec rtroaction :

Le moteur, charg, est insr dans une boucle de rgulation suivant le schma ci-dessus. Il est coupl une gnratrice tachymtrique GT qui fournit une tension eg = kg.n et un ampli ralisant e2 = a.eg. A est un amplificateur de puissance ralisant u = A(e1-e2). On donne : A = 50 ; kg = 6.10

-3 V.tr-1.min-1 ; a = 0,5. a) Dterminer la relation liant n e1 et Cr couple rsistant de la charge en boucle ferme ? b) Le moteur est utilis vide sous sa tension nominale ; calculer sa frquence de rotation n0 en tr/min. d) Le moteur fournit son moment nominal CN ; calculer sa frquence de rotation nN en tr/min. c) En dduire nBF ,chute de vitesse angulaire, par rapport la vitesse vide, avec rgulation, pour le

couple nominal. Calculer la valeur de facteur de rgulation F = nBo /nBF. Rponses : CN = 3,5 N.m ; nBO = 226 tr.min

-1 ; nBF = 58 tr.min

-1.

Asservissement de position : On considre le systme ci-dessous.

+ _ A

M GT u(t) eg(t)

a

e2(t) e1(t)

a) Donner lexpression de vE et vS en fonction de E, max et E ou S. b) Donner lexpression de u en fonction de A, vE et vS. c) Donner la relation entre et S en fonction de n et nS, nombre de dents des arbres moteur et de

charge. d) On admet que la puissance se conserve au niveau des engrenages. Calculer le rapport Cr/CS ou Cr est

le couple rsistant sur larbre moteur et Cs le couple moteur sur larbre de charge. e) Ecrire le thorme du moment cintique pour lquipage mobile solidaire de laxe moteur, celui ayant

un moment dinertie J et subissant un frottement visqueux de coefficient f. f) Ecrire le thorme du moment cintique pour lquipage mobile solidaire de laxe de charge, de

moment dinertie JS, en supposant que le moment rsistant exerc par la charge se rduit un couple de frottements visqueux fSS.

g) Ecrire lquation lectrique de linduit du moteur dont on nglige linductance L. On notera R sa rsistance et la constante lectromcanique du moteur.

h) Etablir lquation diffrentielle vrifie par , la grandeur dentre tant la tension u aux bornes de linduit.

i) En dduire que tout se passe comme si lquipage mobile solidaire de laxe moteur possdait un moment dinertie Je et que le coefficient de frottement soit fe. Donner les expressions de Je et fe.

j) En dduire la fonction de transfert du systme H(p) = S(p) / E(p).