MAGNETOSTATIQUE - Hautetfort

PC/PC* LycéeSCHWEITZERMulhouse

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MAGNETOSTATIQUE

Notions et contenus Capacités exigibles1. Magnétostatique 3.1 Champ magnétostatique Équations locales de la magnétostatique et formes intégrales : flux conservatif et théorème d’Ampère. Linéarité des équations.

Choisir un contour, une surface et les orienter pour appliquer le théorème d’Ampère. Utiliser une méthode de superposition.

Propriétés de symétrie. Propriétés topographiques.

Exploiter les propriétés de symétrie des sources (rotation, symétrie plane, conjugaison de charges) pour prévoir des propriétés du champ créé. Justifier qu’une carte de lignes de champs puisse ou non être celle d’un champ magnétostatique ; repérer d’éventuelles sources du champ et leur signe/sens. Associer l’évolution de la norme de B à l’évasement des tubes de champ.

3.2 Exemples de champs magnétostatiques

Câble rectiligne « infini ». Limite du fil rectiligne infini.

Déterminer le champ créé par un câble rectiligne infini. Calculer et connaître le champ créé par un fil rectiligne infini. Utiliser ces modèles près d’un circuit filiforme réel.

Solénoïde long sans effets de bords. Inductance propre. Densité volumique d’énergie magnétique.

Calculer et connaître le champ à l’intérieur, la nullité du champ extérieur étant admise. Établir les expressions de l’inductance propre et de l’énergie d’une bobine modélisée par un solénoïde. Associer cette énergie à une densité d’énergie volumique.

3.3 Dipôles magnétostatiques Moment magnétique d’une boucle de courant plane. Rapport gyromagnétique de l’électron. Magnéton de Bohr. Ordre de grandeur de la force surfacique d’adhérence entre deux aimants permanents identiques en contact.

Utiliser un modèle planétaire pour relier le moment magnétique d’un atome d’hydrogène à son moment cinétique. Construire en ordre de grandeur le magnéton de Bohr par analyse dimensionnelle. Interpréter sans calculs les sources microscopiques du champ magnétique. Évaluer l’ordre de grandeur maximal du moment magnétique volumique d’un aimant permanent. Obtenir l’expression de la force surfacique d’adhérence par analyse dimensionnelle.

Actions subies par un dipôle magnétique placé dans un champ magnétostatique d’origine extérieure : résultante et moment. Énergie potentielle d’un dipôle magnétique rigide placé dans un champ magnétostatique d’origine extérieure.

Utiliser des expressions fournies. Approche documentaire de l’expérience de Stern et Gerlach : expliquer sans calculs les résultats attendus dans le cadre de la mécanique classique ; expliquer les enjeux de l’expérience.


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Bibliographie:

• Feynman«électromagnétisme2»chapitre34:lemagnétismedelamatière.• Cagnac,Pebay-Peyroula«Physiqueatomique»Tome1.• BasdevantMécaniquequantiqueChapitre8:«L’expériencedeSternetGerlach».

Les sources du champ magnétostatique sont les aimants et les courants permanents. Lesaimantspeuventêtredécritsentermesdecourantsmicroscopiques.

1. Equationsgénérales:Leséquationslocalesvérifiéespar𝑩enrégimestatique(=stationnaire)sont:

𝒅𝒊𝒗 𝑩 = 𝟎 ; 𝒓𝒐𝒕 𝑩 = 𝝁𝟎!Laformeintégraledel’équationdeMaxwell-fluxest:

𝐵.𝑑𝑆 = 0

Lefluxde𝐵àtraversunesurfaceferméeestnul.Les lignesde champ𝐵 nepeuventdivergerà traversune surface fermée ; iln’existepasde«chargesmagnétiques».Laformeintégraledel’équationdeMaxwell-Ampèreportelenomdethéorèmed’Ampère:la circulation du champ 𝐵 le long d'un contour fermé est égale au produit de l'intensitéenlacéeparµ0,soit:

𝐵.𝑑𝑙 = 𝜇!𝐼!"#$%é

Celatraduitlefaitquelechampmagnétique«tourne»autourdescourants.

2. Exemple:champcrééparunfilrectiligneinfiniparcouruparuncourantI.Lescoordonnéesadaptéessontlescordonnéescylindriques.Expérience:spectreduchampcrééparunfilassimiléàunfilinfini.Onconstateexpérimentalementque les lignesdechampmagnétiquesont descerclesd’axeOz,soit:

B!"= B.uθ!"!.

Ladistributiondecourantétantinvariantepartranslationd’axeOzetrotationd’angleθ,onendéduitque𝐵 nedépendnidez,nideθ,ainsi:

B=B(r)Onchoisitpourcontourd’Ampèreuncerclederayonretd’axeOz.Onmontrequelechampcrééest:

𝐵 =𝜇!𝐼2𝜋𝑟 𝑢!

Remarque:lavaleurdeµ0résultedeladéfinitiondel'Ampère:c'estl'intensitéd'uncourantcontinuqui,maintenudansdeuxfilsrectilignesinfinisparallèlesplacésdanslevide,distantsdeunmètre,produitentreeuxuneforcede2.10-7Nparunitédelongueur.


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3. Symétriesduchampmagnétique:Onrappelleque𝐵obéitauprincipedesuperposition,car leséquationsvérifiéespar𝐵 sontlinéaires. 3.1.Plandesymétried’unedistributiondecourant:Considéronsdeuxfilsrectilignesinfinisparallèlesetparcouruspardescourantsidentiquesetcirculantdanslemêmesens.Cettedistributiondecourantspossèdeunplandesymétrie(P).Onconstatequedansleplandesymétrie𝐵 𝑀 estperpendiculaireàceplan;cettepropriétéestgénéralepourtouteslesdistributionsdecourant.EnunpointMd'unplandesymétried’unedistributiondechargeslechamp B

!"(M ) est

perpendiculaireàceplan. 3.2.Pland’antisymétried’unedistributiondecourant:Considéronsunedistributionsimilaireaveclescourantscirculantdansdessensopposés.Leplan(P)estàprésentunpland’antisymétrie.Onconstatequedansleplandesymétrie𝐵 𝑀 estcontenudansceplan;cettepropriétéestgénéralepourlesdistributionsdecourant.

I I

𝐵!!!!!⃗

𝐵!!!!!⃗

𝐵!!!!!⃗ + 𝐵!!!!!⃗

I -I

𝐵!!!!!⃗ 𝐵!!!!!⃗

𝐵!!!!!⃗ + 𝐵!!!!!⃗


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EnunpointMd'unpland’antisymétried’unedistributiondechargeslechamp𝑩 𝑴 estcontenudansceplan.Dans le cas général, une distribution de courants peut présenter à la fois des plans desymétrieetdesplansd’antisymétrie,ainsiilestsouventpossibledeconnaîtreladirectionde𝐵 𝑀 entoutpointdel’espace.Onditqueaucontrairede𝐸 𝑀 ,quiestunvecteurvrai,𝐵 𝑀 estunpseudo-vecteur(ouvecteuraxial).Lesvecteursenphysiquesontsoitdesvecteursvrais,etilsobéissentauxsymétriesde𝐸 𝑀 ,soit des vecteurs axiaux, et ils obéissent aux symétries de 𝐵 𝑀 ( voir complément lessymétriesenphysique). 3.3.Exemples:Pourcaractériserlesplans,ilfautd’abordchoisirunsystèmedecoordonnéesadaptées.Exemple1:Coucheplaneinfinieperpendiculaireàl’axeOzetparcourueparunedensitédecourant𝚥 = 𝑐𝑡𝑒.Exemple2:solénoïdeassimiléàunsolénoïdeinfini.Exemple3:bobinetorique.4. Topographieduchampmagnétique:Rappel: les lignes de champmagnétiques sont souvent fermées, et «tournent» autour descourants.Ilestpossiblededistinguerdeslignesdechampmagnétiquedeslignesdechampélectriqueauvoisinagedechargesoudecourants:

• le champ électrostatique diverge à partir des charges, le champ magnétostatiquetourneautourdescourants;

• lechampélectrostatiqueestàcirculationconservative,lechampmagnétostatiqueestàfluxconservatif.


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5. Exemplesdecalculdechampmagnétique:

5.1. Méthodedecalculduchampgrâceauthéorèmed’Ampère:• Choisirunsystèmedecoordonnéesadaptées;• Etudier les invariances de la distribution de courants, afin d’en déduire de quellesvariablesdépendlechamp(ounedépendpaslechamp!);

• PlacerunpointMquelconque; chercher lesplansdesymétrieoud’antisymétriepassantparM;

• Endéduireladirectionduchamp• Chercheruncontourd’AmpèrepassantparMpermettantuncalculdecirculation.• Appliquerlethéorèmed’Ampère.

5.2. Câblerectiligneassimiléàuncâbleinfini:Le câble possède une section circulaire de rayon R centré sur l’axe Oz; il estparcouruparuncourantd’intensitéIrépartiuniformément.Ladensitédecourantcirculantdanslecâbleestdonc:

𝚥 =𝐼

𝜋𝑅! 𝑢!On doit distinguer deux régions pour le calcul du champ: intérieur etextérieurducâble.Lecalculdonne:r<R:

𝐵 =𝜇!𝐼𝑟2𝜋𝑅! 𝑢!

r>R:

𝐵 =𝜇!𝐼2𝜋𝑟 𝑢!

.Remarque1:lechampmagnétiqueestcontinuenr=R.Remarque2:lefilestlalimited’uncabledontlerayonesttrèspetitdevantlalongueur. 5.3.Solénoïdelong.On considère un solénoïde long, de rayon R, comportant Nspires jointivesbobinéesuniformément , etparcouruespar lecourantI.On le caractérisera par le nombre de spires par unité delongueurn=N/l.Onpeutenpremièreapproximationnégligerleseffetsdebord,ieconsidérerlesolénoidecommeinfini.Onadmetalorsquelechampàl’extérieurdusolénoïdeestnul.En effet , on peut considérer ce solénoïde infini comme la limited’untoreferméderayondecourbureRtendantversl’infini.Pourcetoreilestfaciledevoirque:

𝐵!"# = 0Oncalculealors:

z


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𝐵 = 𝜇!𝑁ℓ 𝐼𝑢!

Onremarquequelechampàl’intérieurdusolénoideestuniforme.

5.3. Inductancepropredusolénoïde:L’énergiemagnétiquestockéedanslabobineest:

Em=½.L.I2

Cetteénergieest localiséedans lechampmagnétiqueavecunedensitévolumiqued’énergiemagnétique:

𝑢! =𝐵!

2𝜇!

avec:

𝐵 = 𝜇!𝑁ℓ 𝐼𝑢!

Oncalculealors:

𝐸! = 𝑢!.𝑑𝑉 = 𝑢!.𝑑𝑉!"#é!"#$!!" !"#$%"&'$

!"#$%!

= !!!!

. 𝜇!!ℓ𝐼!𝑑𝑉 = !

!!!. 𝜇!

!ℓ𝐼!

!"#é!"#$!!" !"#$%"&'$

.π.R2.l

Paridentification,oncalculel’inductancepropredusolénoïde:

L=µ0.N2.π.R2/ l.AN:Lestdel’ordrede10à100mHpourlesbobinesdulabo.Ordredegrandeurdel’énergieemmagasinée:Imax≈4,5A;Emag≈100mJ.6. Magnétismedanslamatière: 6.1.Momentmagnétiquemicroscopique:Qu’estcequiexpliquelemagnétismedelamatière?Aucune théorie classique ne peut l’expliquer, seule la mécaniquequantiquepermetdecomprendrelesrésultatsexpérimentaux.On a vu en PCSI qu’à un circuit plan peut être associé un momentmagnétiqueanalogueàceluid’unaimant,etdéfinipar:

𝑀 = I. 𝑆

Remarque:levecteursurfaceestorientéenconcordanceavecIparlarègledutire-bouchon.Onpeutaveclemodèleplanétaireassocierunmomentmagnétiqueàunatomed’hydrogène,enconsidérantquel’électronauneorbitecirculairederayonaetdepulsationω.

𝑀 = i. π. a!𝑢! = −𝑒𝑇 .𝜋.𝑎

!𝑢! = = −𝑒2 .𝑎𝑢!⋀𝑎𝜔𝑢! = −

𝑒2 . 𝑟⋀𝑣

I

𝑆


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Quelestl’ordredegrandeurdecemomentmagnétique?Onconstatequecemomentmagnétiqueestproportionnelaumomentcinétiqueorbitaldel’électron:

𝜎 = 𝑟⋀𝑚𝑣Lerapportdesdeuxquantitésestappelérapportgyromagnétiqueetnoté𝜸.Onadonc:

𝑀 = γ.𝜎 avec 𝛾 = −𝑒2𝑚 pour un électron

Cettepropriétésegénéraliseàtoutmomentcinétique,pouruneparticule,unatomeisoléouunnoyau:

𝑀 = γ.𝜎 L’expériencedeEinstein-deHaas1915(cfexercice)montrequel’onmodifielemomentcinétiqued’uncorpsenmodifiantsonaimantation.Celaresteravraienmécaniquequantique,àconditiond’introduiredanslerapportgyromagnétiqueunfacteurcorrectifsansdimensiondit«facteurdeLandé»notég:

𝛾 = −𝑔𝑒2𝑚

Onapumesurerquepourl’électrongestvoisinde2,carl’électronpossèdeégalementunmomentcinétiquedit«despin»quis’ajouteaumomentcinétiqueorbital. 6.2.Quantificationdumomentcinétique:Lamécaniquequantiquemontrequelaprojectiondumomentcinétiquetotald’uneparticule,d’unatomeoud’unemoléculesurunaxequelconqueestquantifié:

𝜎! = 𝑚! ℏ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑚! ∈ −𝑗,−𝑗 + 1,… 𝑗 − 1, 𝑗 𝑒𝑡 ℏ = ℎ/2𝜋

mjestlenombrequantiquemagnétiquejestlenombrequantiquedemomentcinétiquetotal.

Onmontrequelemomentcinétiqueestalors:

𝜎 = 𝑗(𝑗 + 1) ℏLaconstanteℏ apparaîtcommel’ordredegrandeurlittéraldumomentcinétique. 6.3.Quantificationdumomentmagnétique:Laprojectionselonunaxequelconquedumomentmagnétiqueestquantifiée:

𝑀! = γ.𝜎! = γ.m! .ℏ = 𝑔.𝑚! . 𝜇! L’ordredegrandeurdumomentmagnétiqueestlemagnétondeBohretnotéµB:

𝜇! =!ℏ!!=9,3.10-24A.m2.

PrécessiondeLarmor:cfexercice. 6.4.Forcesurfaciqueentredeuxaimantspermanents:


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Atempératureambiante,leferαcristallisedansunestructurecubiquecentréedeparamètredemaillea=289pm.Onaaumaximumdel’ordrede2. 𝜇!parmaille,doncunmomentmagnétiquevolumique(appeléeaimantation)maximaldel’ordrede7,7.105A.m-1;enpratiquel’aimantationestdel’ordrede106A.m-1Ordredegrandeur:pourunaimantusuel,V=1cm3:M=1A.m2.LaforceFexercéeparunaimantsurunsupport(autreaimantouplaquemétallique)aveclequelilestencontact,dépenddesonaimantation,delaconstanteμ0etdelasurfaceSdecontact.SiteSupermagnete.fr.LechampBproduitparl’aimantproposéestdel’ordredeB=1T.Paranalysedimensionnelle,ona:

𝐹 = 𝐾. 𝜇!𝑑𝑀𝑑𝑉

!

𝑆 oùKestunfacteursansdimensions.UncalculexactmontrequeK=½.Applicationnumérique:M=106A.m-1;S=π.(5.10-3)2;μ0=4.π.10-7H.m-1.

F=100N.

7. Dipôlemagnétostatique:

7.1. Définition:Undipôlemagnétiqueestunedistributiondecourantspermanentsdemomentmagnétiquenonnulétudiéàunedistancegrandedevantsesdimensions.Onlacaractériseparsonmomentmagnétique𝑀. 7.2.Actionssubiesparledipôledansunchampextérieur:Larésultantedesforcessubiesparledipôles’écrit:

𝐹 = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑀.𝐵)calculéà𝑀constant.

Lecouplerésultantest:Γ = 𝑀 ∧ 𝐵

L’énergied’interactionest:

U=-𝑀.𝐵

I𝑆

M

𝑚!!⃗


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8. ExpériencedeSternetGerlach(1922):Lebutdecetteexpérienceétaitdemesurercertainescomposantesdumomentmagnétiquedesatomes.Desatomesd’argentsontenvoyésdansunchampmagnétique,etonmesureladéviationsubieparlejet.Lesatomespossèdentunmomentmagnétique;ladirectiondecemomentestquelconque. Document1:schémagénéraldel’expérience. Document2:coupedel’aimant Document3:résultatsdeSternetGerlach Gauche:sanschampmagnétique;droite:avecchamp

1) Orienterleslignesdechampmagnétiqueetdessinerquelquesvecteurschamp.2) Quellecomposanteduchampestnulle?3) Lechampest-iluniforme?4) Comparerlesgradientsdechamp!!!

!"et!!!

!"auvoisinagedel’axeOx.

5) Onnégligelesautresgradientsdechamp;quelssont-ils?6) Enneconservantqueletermeprépondérantpourlechamp,àquelleforcesontsoumis

lesatomes?7) Schématisercetteforce.8) Quel est le résultat attendu si les moments magnétiques des atomes sont orientés

aléatoirement?9) Lerésultatdel’expérienceest-ilconformeàcesprévisions?10) Pourquoi?11) CombiendevaleursdeMzsont-ellesmisesenévidence?12) Peut-onendéduirelesvaleursdecertainsnombresquantiquesdel’atome?13) Serait-il possible d’observer un nombre différents d’impacts pour d’autres types

d’atomes?Fairelecaséchéantunereprésentationdesimpacts.

x


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QCMMagnétismeRépondreparvraioufaux:1. Laforcemagnétiqueappliquéeauxporteursdechargesnetravaillepas.2. LaforcedeLaplacetravaille.3. Leslignesdechampmagnétiquenepeuventconvergerenunpoint.4. LaforcedeLaplacenes'appliquequ'àunconducteurfermé.5. Le champmagnétique créé par une bobine n’est pas toujours proportionnel au courantparcourantcettebobine.6. Onpeutappliquerlesconditionsdesymétrieduchamp𝐸auchamp𝐵.7. Lechamp𝐵estàfluxconservatifcàdquelefluxde𝐵àtraversunesurfacequelconqueestnul.8. Leslignesdechamp𝐵nepeuvents’éloigneràl’infini.9. Onpeuttoujoursécrire𝑟𝑜𝑡𝐵 = 0.10. Ondéfinit l'inductancepropreLcomme le rapportdu fluxcrééparuncircuitparcouruparIàtraverslui-mêmesurcecourantI.11. L'énergiemagnétostatiquevolumiqueestB2/2µ0.12. Lechamp𝐵estuniformeàl'intérieurd'unsolénoïdeinfinimentlong.13. Onpeuttoujoursécrirediv𝐵=0.14. Contrairementauchampélectrique,leschampsmagnétiquesn’obéissentpasauprincipedesuperposition.15. Lemomentmagnétiqued’uneboucledecourants’exprimeenT.m2.16. Unmomentmagnétiqueàtendanceàs’aligneraveclechampmagnétiqueextérieur.

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