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MAP 311 - ALEATOIRE - X2013

Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET

Introduction aux Probabilités

Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 1 / 35

Préambule

Cours 9 blocs (cours + PC)Formation Scilab: 12, 13 et 14 mai.

Contrôle (Hors classement): 01 juillet.

Projet de simulation en binôme:

Les inscriptions obligatoires et par binôme ouvriront le 09 mai sur lesite https://de.polytechnique.fr/ et se clôtureront le 16 mai.

Numerus clausus: 10 binômes par projet (faire une liste de choix).

Date de remise des projets: 30 juin.

Soutien Projets: tous les mercredis de 18h à 20h, du 4 au 25juin en PC21.

Responsable: Florent Benaych-Georges


Note de module = 2/3 contrôle + 1/3 projet

QCM d’entraînement: sur la page web du cours. Ouvert duvendredi à 12h00 au mercredi suivant à 19h00.

Soutien Tutorat: tous les mardis du 29 avril au 24 juin: de18h00 à 20h00 en PC 21.

Responsable MAP 311: Hélène Leman.

Responsable du turorat: Linda Guevel, e-mail:[email protected]

Page web du cours:http://www.cmapx.polytechnique.fr/∼benaych/aleatoire_index.html

MOOC: correspond essentiellement aux cours 1 à 6.https://class.coursera.org/probas-002

Page du département de Mathématiques Appliquées:http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/


Leçon 1: Espace de Probabilité1

18 avril 2014

1MAP 311, Chapitre ISylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 4 / 35

Expérience aléatoire

Expérience aléatoire et Espace d’états2

DéfinitionOn appelle expérience aléatoire une expérience E qui, reproduitedans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultatspossibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance.

DéfinitionL’espace de tous les résultats possibles de l’expérience est appeléespace d’états. Il est noté Ω.

Un résultat possible de l’expérience est noté classiquement ω. Ainsi,ω ∈ Ω.

2MAP 311, Chapitre 2, Section 2.1.1Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 5 / 35


Exemples

On lance une pièce: Ω = P,F, assimilé à Ω = 0,1.On lance un dé: Ω = 1,2,3,4,5,6.Génotype d’un individu: Ω = AA,Aa,aa.On étudie n individus: Ω = AA,Aa,aan.Romeo attend Juliette qui lui a promis d’arriver entre minuit et uneheure: Ω = [0,1].

On étudie la durée de vie d’une bactérie: Ω = [0,+∞[.

On étudie la durée d’une communication téléphonique:Ω = [0,+∞[.

On envoie une fléchette sur une cible circulaire de 30 cm dediamètre: Ω = (x , y),

√x2 + y2 ≤ 15.

Cours d’un actif financier sur un intervalle de temps [t1, t2]:Ω = C([t1, t2],R+).



Quelle information pouvons-nous tirer de l’expérience?

Exemple: Le jeu de fléchettes

On s’intéresse à la chance de tomber dans une des couronnes ou undes secteurs de la cible.Les résultats du jeu peuvent se décrire à l’aide de parties du disque.Pas la température de la pièce...



Evénements aléatoires

DéfinitionOn appelle événement aléatoire (associé à l’expérience E) unsous-ensemble de Ω dont on peut dire au vu de l’expérience s’il estréalisé ou non.

Un événement aléatoire A est donc une partie de Ω.

Exemples:Ω = 0,1. “La pièce tombe sur Pile”: A = 0.Ω = 0,1n, ω = (ω1, ..., ωn).“Le nombre de Faces est supérieur au nombre de Piles”:

A = ω ∈ Ω,∑n

i=1 ωi ≥ n2.

“Juliette se fait attendre moins d’1/4 d’heure ”: A = [0,1/4].

Ainsi, un événement aléatoire est représenté par l’ensemble desrésultats pour lesquels il est réalisé.



Opérations ensemblistes et description desévénements aléatoires

On peut effectuer des opérations ensemblistes sur les événements,avec l’interprétation suivante.

Si A et B sont deux événements,

A n’est pas réalisé: Ac

A et B sont réalisés: A ∩ BA ou B sont réalisés: A ∪ BA réalisé⇒ B réalisé: A ⊂ B.A et B sont incompatibles: A ∩ B = ∅.toujours vrai: Ω est l’événement certain (tous les résultats del’expérience prennent leurs valeurs dans Ω).Jamais vrai: ∅ est l’événement impossible.













































On note A l’ensemble de tous les événements. Il modélisel’information que l’on peut obtenir à partir des résultats del’expérience.

On peut avoir (mais pas toujours, on verra pourquoi plus loin),A = P(Ω), ensemble de toutes les parties de Ω.

RemarquePour que la modélisation soit cohérente avec l’intuition, A doit êtrestable par les opérations ensemblistes:

si A,B ∈ A, alors on doit avoir A ∩ B ∈ A, A ∪ B ∈ A, Ac ∈ A, maisaussi Ω ∈ A, ∅ ∈ A.



Jeu de Pile ou Face

Comment savoir si la pièce est truquée?


Approche intuitive d’une Probabilité

Approche intuitive d’une Probabilité3

Considérons une expérience aléatoire donnée E et un événementA pour cette expérience.Le but: associer à chaque événement A un nombre P(A) comprisentre 0 et 1, qui représente la chance a priori que cet événementsoit réalisé.Supposons que l’on répète n fois l’expérience E .

On note nA le nombre de fois où A est réalisé.

fn(A) =nA

n

est la fréquence de réalisation de A sur ces n coups.On a les propriétés suivantes:

fn(A) ∈ [0,1] ; fn(Ω) = 1 ;

Si A ∩ B = ∅, on a fn(A ∪ B) = fn(A) + fn(B).



Approche intuitive d’une Probabilité3

Considérons une expérience aléatoire donnée E et un événementA pour cette expérience.Le but: associer à chaque événement A un nombre P(A) comprisentre 0 et 1, qui représente la chance a priori que cet événementsoit réalisé.Supposons que l’on répète n fois l’expérience E .

On note nA le nombre de fois où A est réalisé.

fn(A) =nA

n

est la fréquence de réalisation de A sur ces n coups.On a les propriétés suivantes:

fn(A) ∈ [0,1] ; fn(Ω) = 1 ;

Si A ∩ B = ∅, on a fn(A ∪ B) = fn(A) + fn(B).



Intuitivement,

P(A) = limite de fn(A) quand n ↑ +∞.

On en déduit immédiatement qu’une probabilité doit vérifier:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1,• P(Ω) = 1,• P(A ∪ B) = P(A) + P(B), si A ∩ B = ∅.

Conditions suffisantes si Ω fini.



Conséquences

• P(A) + P(Ac) = 1,• P(∅) = 0,• P(A) ≤ P(B), si A ⊂ B,

• P(∪ni=1Ai) =

n∑i=1

P(Ai), pour des Ai deux-à-deux disjoints,

• P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B).

B

A

UA B UU

A BB A

C

C



Probabilité Uniforme sur Ω fini4

Chaque singleton de Ω a la même chance de réalisation.

DéfinitionOn dit que la probabilité P sur l’espace fini Ω est uniforme si

pω = P(ω) =1

card(Ω).

Si P est une probabilité uniforme, P(A) = card(A)

card(Ω).

Le calcul des probabilités se ramène au calcul combinatoire.

La difficulté: bien décrire et dénombrer Ω. Elle a engendré denombreux paradoxes.



Au tribunal

Comment choisir les jurés?

Population de taille N:N1 individus pensent qu’uncertain suspect est coupable.N − N1 individus pensent lecontraire.

Le tribunal choisit n ≤ N jurés.Quelle est la probabilité que n1 individus parmi les n jurés choisispensent que l’individu est coupable?



Choix des n jurés?Choix simultané des jurés. Card(Ω) =

(Nn

).

Pn1 =

(N1n1

)(N−N1n−n1

)(Nn

) .

Cette probabilité est appelée loi hypergéométrique.

Choix avec remise. Card(Ω) = Nn.

Pn1 =

(nn1

)Nn1

1 (N − N1)n−n1

Nn .

Cette probabilité est appelée loi binomiale.



EXERCICE

Montrer que quand N et N1 tendent vers l’infini de manière que

N1

N→ p,

alors

Pn1 −→N→∞ Pn1 =

(nn1

)pn1(1− p)n−n1 .

Intuition: si la taille de la population est très grande, les tirages avecou sans remise deviendront presque équivalents. On a une chancetrès infime de tomber deux fois sur la même personne.


Définition générale des Probabilités

Définition générale d’une Probabilité5

Pourquoi la définition précédente ne suffit-elle pas quand Ω n’estpas fini?

Jeu de Pile ou Face infini et A = on ne tire jamais Pile.Que vaut P(A)?n tirages: Ω = 0,1n etAn = “on ne tire jamais Pile lors des n premiers tirages”, alors

P(An) =12n .

Il est alors naturel d’écrire que

P(A) = P(∩nAn) = limn→∞

P(An) = 0.

Pour que ceci soit vrai, il faut ajouter un axiomesupplémentaire permettant le passage à la limite.

5MAP 311, Chapitre 2, Section 2.3Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 19 / 35





P(An) =12n .



P(An) = 0.







P(An) =12n .



P(An) = 0.







P(An) =12n .



P(An) = 0.




Tribu6

DéfinitionLa classe A est une tribu si elle vérifie les propriétés suivantes:

∅ ∈ A et Ω ∈ A.A ∈ A ⇒ Ac ∈ A.Si (An)n∈N est une suite d’éléments de A, alors ∩n∈NAn et∪n∈NAn sont dans A.

Une tribu correspond à l’information disponible.Un événement A ∈ A est aussi appelé un ensemble mesurable.

Exemples:A = ∅,Ω est la tribu grossière.Si A ⊂ Ω, ∅,Ω,A,Ac est une tribu.L’ensemble P(Ω) des parties de Ω est une tribu sur Ω.



Tribu Borélienne7

Si Ω est non dénombrable, (par exemple, Ω = [0,1] ou Ω = R), P(Ω)est trop grosse pour que l’on puisse en “mesurer” tous les éléments.

DéfinitionLa tribu borélienne de R est la plus petite tribu qui contient lesintervalles de la forme ]−∞,a] pour a ∈ Q.

Pour des raisons mathématiques, on va toujours munir R de cettetribu. Cela nous permettra de caractériser les probabilités sur R.

7MAP 311, Chapitre 2, Proposition 2.3.6Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 21 / 35


Définition d’une probabilité8

DéfinitionUne probabilité sur (Ω,A) est une application P de A dans [0,1], telleque:

(i) P(Ω) = 1.(ii) Pour toute suite (An)n d’éléments de A deux-à-deuxdisjoints, on a

P(∪nAn) =∑

n

P(An).

L’axiome (ii) s’appelle “axiome de σ-additivité”.

Remarque Fondamentale: P est une mesure abstraite de masse 1sur l’espace mesurable (Ω,A).



DéfinitionOn appelle le triplet (Ω,A,P) un espace de probabilité.

Idée géniale de Kolmogorov (1933).

Mettre au coeur du calculdes probabilités un objetnouveau: une mesure deprobabilité sur la tribu A.

La modélisation probabiliste consiste donc à décrire une expériencealéatoire par la donnée d’un espace de probabilité.



Proposition

Si P est une probabilité sur (Ω,A), alors(i) P(Ac) = 1− P(A).

(ii) P(A) ≤ P(B) pour A ⊂ B.

(iii) Pour toute famille dénombrable,

P(∪iAi) ≤∑

i

P(Ai).

(iv) Si (An) est une suite croissante, i.e. An ⊂ An+1,

P(∪nAn) = limn→+∞

P(An). (Limite croissante)

(iv) Si (An) est une suite décroissante, i.e. An+1 ⊂ An,

P(∩nAn) = limn→+∞

P(An). (Limite décroissante)



Exemple: espace Ω = ω0, ω1, · · · , ωn, · · · dénombrable9. On prendtoujours A = P(Ω).

Une probabilité P est caractérisée par une suite (pn)n de réelstels que

0 ≤ pn ≤ 1 ,∑

n

pn = 1.

On pose P(ωn) = pn et pour tout A ⊂ Ω,

P(A) =∑ωn∈A

P(ωn) =∑ωn∈A

pn.

Exemple : θ > 0. Soit pn = e−θ θn

n! . La suite (pn)n est une probabilitésur N, appelée loi de Poisson de paramètre θ.

En effet, 0 ≤ pn ≤ 1, et∑

n pn = e−θ∑

nθn

n! = 1.

(Siméon Denis Poisson, “Recherches sur la probabilité des jugements enmatière criminelle et en matière civile” (1837)).



Exemple: espace Ω = ω0, ω1, · · · , ωn, · · · dénombrable9. On prendtoujours A = P(Ω).

Une probabilité P est caractérisée par une suite (pn)n de réelstels que

0 ≤ pn ≤ 1 ,∑

n

pn = 1.

On pose P(ωn) = pn et pour tout A ⊂ Ω,

P(A) =∑ωn∈A

P(ωn) =∑ωn∈A

pn.

Exemple : θ > 0. Soit pn = e−θ θn

n! . La suite (pn)n est une probabilitésur N, appelée loi de Poisson de paramètre θ.

En effet, 0 ≤ pn ≤ 1, et∑

n pn = e−θ∑

nθn

n! = 1.

(Siméon Denis Poisson, “Recherches sur la probabilité des jugements enmatière criminelle et en matière civile” (1837)).


Conditionnement et indépendance

Conditionnement10

Une information supplémentaire concernant l’expérience modifiela vraisemblance que l’on accorde à l’événement étudié.

On lance deux dés: probabilitéd’obtenir 2 fois 6?

Sans information supplémentaire: Ω = (i , j),1 ≤ i , j ≤ 6 etP((6,6)) = 1

36 .

Il y a au moins un 6. Ω = (6,6), (6, i), (i ,6),1 ≤ i ≤ 5 etP1((6,6)) = 1

11 .

Le résultat du premier dé est un 6. Ω = (6, i),1 ≤ i ≤ 6 etP2((6,6)) = 1

6 .10MAP 311, Chapitre I, Section 2.4



Probabilité conditionnelle11

Fréquence empirique de réalisation de l’événement A sachant quel’événement B est réalisé, sur n expériences:

nA∩B

nB=

fn(A ∩ B)

fn(B).

On fait tendre n vers l’infini.

DéfinitionSoient A et B deux événements, avec P(B) > 0.La probabilité conditionnelle de A sachant B est le nombre

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B).

Cela définit bien une probabilité et P(A ∩ B) = P(A|B)P(B).11MAP 311, Chapitre 2, Section 2.4.1



Formule de Bayes

Soit (Bi)i∈N une partition finie ou dénombrable de Ω:Bi ∩ Bj = ∅ pour i 6= j .∪iBi = Ω.

Formule des probabilités totales: Pour tout A ∈ A,

P(A) =∑

i

P(A ∩ Bi) =∑

i

P(A|Bi)P(Bi).

Preuve: A = ∪i∈I(A ∩ Bi), les (A ∩ Bi) sont deux-à-deux disjoints, etP(A ∩ Bi) = P(A|Bi)P(Bi).

Formule de Bayes: Si P(A) > 0,

∀i ∈ N, P(Bi |A) =P(A|Bi)P(Bi)∑j P(A|Bj)P(Bj)

.

Preuve: P(Bi |A) = P(A∩Bi )P(A) = P(A|Bi )P(Bi )

P(A) .



Problème d’assurance

Une compagnie d’assurance assure un nombre égal de conducteurset de conductrices.

Conductrice: probabilité a d’avoir un accident.Conducteur: probabilité b d’avoir un accident.

Probabilité qu’une personne sélectionnée au hasard ait un accident?

Probabilité qu’une personne ayant eu un accident soit un conducteur?



Indépendance12

Cas où le fait que A est réalisé n’influe pas sur la probabilité deréalisation de B et réciproquement.

DéfinitionDeux événements aléatoires A et B sont indépendants si etseulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

On a:

P(A ∩ B) = P(A)P(B)⇐⇒ P(A|B) = P(A)⇐⇒ P(B|A) = P(B).

Exemple: On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.A = la carte est un as et P(A) = 4

52 ;B = la carte est un carreau et P(B) = 13

52 .P(A ∩ B) = P( la carte est l’as de carreau) = 1

52 .Ainsi, les événements A et B sont indépendants.



Indépendance12

Cas où le fait que A est réalisé n’influe pas sur la probabilité deréalisation de B et réciproquement.

DéfinitionDeux événements aléatoires A et B sont indépendants si etseulement si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

On a:

P(A ∩ B) = P(A)P(B)⇐⇒ P(A|B) = P(A)⇐⇒ P(B|A) = P(B).

Exemple: On tire une carte dans un jeu de 52 cartes.A = la carte est un as et P(A) = 4

52 ;B = la carte est un carreau et P(B) = 13

52 .P(A ∩ B) = P( la carte est l’as de carreau) = 1

52 .Ainsi, les événements A et B sont indépendants.



Remarques fondamentales

A et B indépendants⇐⇒ Ac et Bc indépendants⇐⇒ Ac et Bindépendants⇐⇒ A et Bc indépendants.

L’indépendance est liée au choix de la probabilité.

Exemple: jeu de cartes truqué,Q(valet de pique) = 1

2 , Q(autre carte) = 12 ×

151 = 1

102 .

Alors Q(as ∩ carreau) = 1102 6= Q(as)Q(carreau) = 2

5113

102 .

Attention: l’indépendance de A et B n’a rien à voir avecl’incompatibilité (A ∩ B = ∅).

DéfinitionDes événements (An,n ∈ N) sont indépendants si et seulement si

P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1) · · ·P(Aik )

pour toute sous-suite finie d’indices i1, . . . , ik .Sylvie MELEARD - Emmanuel GOBET () MAP 311 - ALEATOIRE - X2013 Introduction aux Probabilités 31 / 35


Expériences aléatoires indépendantes

Les événements aléatoires associés à chaque expérience sontindépendants les uns des autres.

Exemple:Lancers successifs d’une pièce où P(Face) = p ∈]0,1[.Soit Fn: “Face au nième lancer”, Pn:“Pile au nième lancer”.

Soit T le premier lancer où l’on obtient Pile:

P(T = k) = P(F1 ∩ F2 ∩ · · · ∩ Fk−1 ∩ Pk )

= P(Face)k−1 P(Pile) = pk−1 (1− p).

Remarque:∑

k≥1 P(T = k) = 1, donc P(T = +∞) = 0.

La suite (pk−1(1− p), k ∈ N∗) définit une probabilité appelée loigéométrique.



Théorème de Borel-Cantelli (Section 2.4.3)

Soit (An)n une suite d’événements aléatoires. On définit

lim supn

An = ∩p ∪n≥p An.

ω est dans une infinité de An ⇔ ∀p, ∃n ≥ p, tel que ω ∈ An

⇔ ω ∈ lim supn

An.

ω est dans au plus un nombre fini de An ⇔ ω /∈ lim supn

An.

ThéorèmeSi la série

∑n P(An) < +∞, alors P(lim supn An) = 0.

Si de plus la suite (An)n est indépendante, alors∑n

P(An) = +∞ =⇒ P(lim supn

An) = 1.



Exemple: Abracadabra

Jeu de Pile ou Face infini, P(Pile) = p ∈]0,1[.Fixons un mot A de longueur `, chaque lettre est P ou F .

A1=“le mot se réalise dans les ` premières parties”,A2=“le mot se réalise dans les ` parties suivantes”, etc.Les événements A1, A2, ..., sont indépendants.

∀n ≥ 1, P(An) = P(A1) > 0, d’où∑

n P(An) = +∞.

Théorème de Borel-Cantelli: avec une probabilité égale à 1, le mot Ase réalise une infinité de fois au cours du jeu.

Même raisonnement: si un singe tape au hasard sur une machine àécrire, alors, avec une probabilité 1, il écrira le mot ABRACADABRAune infinité de fois.Il tapera aussi une infinité de fois le livre “A LA RECHERCHE DUTEMPS PERDU”.



Preuve

1)

P(lim supn

An) = limp↓ P(∪n≥p An) ≤ lim

p↓∑n≥p

P(An).

Comme la série∑

n P(An) est convergente, le reste de cette sérietend vers 0 et donc P(lim supn An) = 0.2) Pour m entier,

P(∪mi=pAi) = 1− P(∩m

i=pAci ) = 1− Πm

i=pP(Aci )

grâce à l’indépendance

= 1− Πmi=p(1− P(Ai)) ≥ 1− e−

∑mi=p P(Ai )

grâce à l’inégalité 1− x ≤ e−x pour x ≥ 0. Ainsi,

P(∪∞i=pAi) ≥ 1− e−∑∞

i=p P(Ai ) = 1

et l’on conclut que pour tout p, P(∪∞i=pAi) = 1, ce qui impliquefinalement que P(lim supn An) = 1.


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