Masse volumique d'une particule fluide

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 1

Physique - Fascicule 4

Masse volumique

Parcelles de matières fluide et solide.Aquarelle de Caroline M. Bishop

http://fabrice.leze.lerond.pagesperso-orange.fr - Site « fascicules de physique.leze-lerond »

2 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012

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Table des matières

4 Masse volumique 1

Venise. Quai San Marco - Aquarelle de Caroline M. Bishop. . . . . . 1Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Masse volumique physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1.1.1 Masse volumique d’un corps (ρC) . . . . . . . . . . . 74.1.1.2 Masse volumique d’une parcelle d’un corps (ρP) . . 84.1.1.2 Masse volumique d’une particule matérielle (ρP) . . 9

4.1.2 Masse volumique mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.3 Table d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.4 Version provisoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Masse volumique physique

4.2 Corps solide ou fluide (Corps C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2.1 Masse volumique d’un corps (ρC) . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2.2 Volume massique d’un corps (vC) . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.3 Densité relative d’un corps (dC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.4 Accroissement de la masse d’un corps (∆mC) . . . . . . . . . . 164.2.5 Accroissement temporelle de la masse d’un corps (∆mC/∆t) . 184.2.6 Masse volumique d’un domaine de contrôle (ρD) . . . . . . . 18

4.3 Parcelle de matière (Parcelle P) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 Masse volumique d’une parcelle P (ρP) . . . . . . . . . . . . 204.3.2 Grandeurs et masse volumique ρP . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3.3 Masse volumique d’une parcelle infiniment grande . . . . . . . 234.3.4 Masse volumique ponctuelle (

•ρP) . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.5 Discontinuité de la masse volumique d’une parcelle P . . . . . 24

4.4 Particule matérielle (Particule P) . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.1 Volume minimum d’une particule matérielle . . . . . . . . . . 284.4.2 Volume maximum d’une particule matérielle . . . . . . . . . . 294.4.3 Volume d’une particule matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4.4 Grandeurs et masse volumique ρP . . . . . . . . . . . . . . . . 30


4.4.5 Masse volumique d’une particule matérielle . . . . . . . . . . . 314.4.6 Continuité de la masse volumique ρP . . . . . . . . . . . . . . 314.4.7 Accroissement de la masse d’une particule matérielle . . . . . 33

Masse volumique mathématique

4.5 Particule mathématique (Particule P) . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5.1 Masses volumiques physique et mathématique . . . . . . . . . 374.5.2 Continuité de la masse volumique mathématique . . . . . . . . 394.5.3 Surface de discontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5.4 Moyenne temporelle de la masse volumique . . . . . . . . . . . 40

Planches

Aquarelle de Caroline M. Bishop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

- Planche 4.1 Mesure de la masse volumique . . . . . . . . . . . . . . 42- Planche 4.2 Mesure de la densité d’un solide . . . . . . . . . . . . . 43- Planche 4.3 Mesure de la masse volumique de l’eau . . . . . . . . . 45- Planche 4.4 Table d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46- Planche 4.5 Parcelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48- Planche 4.6 Fonction masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . 50- Planche 4.7 Matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58- Planche 4.8 Masse volumique ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . 59- Planche 4.9 Distribution continue de la masse dans D . . . . . . . . 62- Planche 4.10 Continuité spatiale de la fonction ρ . . . . . . . . . . 67- Planche 4.11 Surface de discontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . 68- Planche 4.12 Distribution discontinue de la masse dans D . . . . . . 70- Planche 4.13 Domaine discontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Exemples

Venise. Palazzo Pisani - Aquarelle de Caroline M. Bishop. . . . . . 95

- Exemple 4.1 Masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96- Exemple 4.2 Réservoir d’air comprimé . . . . . . . . . . . . . . . . 97- Exemple 4.3 Ventilateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Tableaux synoptiques (Démonstrations)

Porte vénitienne - Aquarelle de Caroline M. Bishop. . . . . . . . . 105

- Tableau 4.1 Accroissement de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . 107- Tableau 4.2 Continuité de la masse volumique mathématique . . . 108


- Tableau 4.3 Continuité de la masse volumique mathématique . . . 110- Tableau 4.4 Dérivée de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112- Tableau 4.5 Développement limité de

∫∫∫V(t)

ρ dV . . . . . . . . . . 113

Courtes citations

Venise - Aquarelle de Caroline M. Bishop. . . . . . . . . . . . . . . 115

- Grand Larousse. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116- M. Roy. Continuité macroscopique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116- J. Mandel. Hypothèse de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117- E.A. Brun, A. Martinot -Lagarde, J. Mathieu. La particule fluide . 117- J. Cousteix. L’air est un milieu continu. . . . . . . . . . . . . . . . 119

Bibiographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Lexique «Français - English - Deutsch» . . . . . . . . . . . . 123


Particulesfondamentales:proton, neutronet négaton

Notations• P : Point géométrique

• D : Domaine continu de points géométriques

• t : Date t (instant t ou temps t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 23

Masse volumique physique .

• C : Corps solide ou fluide (Domaine D de matière) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

• ρC: Masse volumique d’un corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

• D : Domaine de contrôle (plusieurs corps) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

• ρD : Masse volumique d’un domaine D (moyenne spatiale) . . . . . . . . . . . . . . 18

• P : Parcelle de matière d’un corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

• ρP : Masse volumique (moyenne spatiale) d’une parcelle P . . . . . . . . . . . . . 20

• (ρP)∞ : Masse volumique d’une parcelle P infiniment grande . . . . . . . . . . . 23

••ρP : Masse volumique ponctuelle (d’une parcelle P infiniment petite) . . . 23

• P : Particule de matière d’un corps C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

• ρP : Masse volumique (moyenne spatiale) d’une particule P . . . . . . . . . . . . . .29

• ρP : Moyenne temporelle de la masse volumique ρP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Masse volumique mathématique .

• P : Point-masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

• D : Domaine continu de points-masse volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

• ρP : Masse volumique ponctuelle attribuée au point P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

• ρP : Moyenne temporelle de la masse volumique ρP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


4.1 Introduction

La masse volumique permet de rendre compte de la présence d’une quantité dematière à l’intérieur d’un espace.

C’est une grandeur physique facilement perceptible par les organes des sens etpar l’esprit: un décimètre cube d’eau est un « étalon de masse volumique » repré-sentant matériellement « un kilogramme par décimètre cube » (kg/dm3).

Afin de modéliser les systèmes physiques considérés dans les domaines de la Ré-sistance des matériaux et de la Mécanique des fluides, la masse volumique pourraêtre aussi celle d’une quantité fictive de matière située à l’intérieur d’un espace in-finiment petit (masse volumique mathématique).

4.1.1 Masse volumique physique

Notation:ρC

4.1.1.1 Masse volumique d’un corps

La masse volumique d’un corps C, qu’il soit un corps solide ou fluide, est le quo-tient de la masse mC de ce corps sur le volume VC qu’il occupe dans l’espace.

C: Corps dematière solideou fluide.

La masse volumique du corps C, que nous pouvons désigner par ρC, est doncégale à:

ρC =mCVC

(4.1)

La masse volumique d’un corps et l’évolution de celle-ci, au cours du temps,doivent pouvoir être déterminées.

Sujet 1Ce sont les sujets traités au paragraphe 4.2 (page 13).


Fig. 4.1 – Corps solides ou fluides: Terre, Mer Méditerranée, nuage, avion, satellite,air autour de la Terre ou autour d’un avion, aile d’avion ...

Notation:ρP

4.1.1.2 Masse volumique d’une parcelle d’un corps

Voir exempleE4.3, p. 98Ventilateur.

A l’intérieur d’un espace, il peut se produire des phénomènes physiques qui nepeuvent être caractérisés que grâce à des grandeurs physiques 1 dont les valeurs sontdifférentes d’un point à l’autre de cet espace.

Voir planche:P4.5.Page 48.

Dans ce cas, l’espace doit être «morcelé» en un grand nombre de parcelles.Certaines de ces parcelles peuvent contenir de la matière 2.

Si celles-ci contribuent, mécaniquement, à la réalisation des phénomènes phy-siques en question, alors la masse volumique de ces parcelles, que nous pouvonsqualifiées de parcelles de matière, devra être déterminée.

La masse volumique d’une parcelle est, bien sûr, toujours égale au quotient de lamasse de cette parcelle sur le volume de celle-ci.

Considérons une parcelle P et désignons, respectivement, sa masse et son volumepar mP et VP .

La masse volumique de cette parcelle, désignée par ρP , pourra ainsi être expriméede la manière suivante:

ρP =mPVP

(4.2)

1. Pression, température, vitesse, ...2. Portion de matière. Particule de matière sera employé afin de désigner une parcelle de matière

de dimensions particulières.


Seulement la matière est pleine de vide.Les dimensions des particules fondamentales 3 contenues dans un corps de matièresolide ou fluide sont très petites devant les distances qui séparent ces particules.

Un corps solide ou fluide est donc un domaine discret de particules fondamen-tales.

A cause de cela, la masse volumique de toutes les parcelles de matière et lesdérivées spatiales de cette fonction ne peuvent pas être des fonctions continues dupoint en tous les points géométriques situés à l’intérieur de l’espace limité par lafrontière d’un corps.La masse volumique des parcelles de matière infiniment petites ne déroge pas à cetterégle.

Ainsi la masse volumique de toutes les parcelles de matière ne sera pas adaptéeà un usage théorique et expérimentale dans les domaines de la Résistance des ma-tériaux et de la Mécanique des fluides.Dans ces domaines, les phénomènes physiques, qui se produisent à l’intérieur d’uncorps, ne peuvent être caractérisés que grâce à des grandeurs physiques 4 dont lesvaleurs sont différentes d’un point à l’autre de l’espace occupé par ce corps...

Sujet 2C’est le sujet traité au paragraphe 4.3 (page 19).

Notation:ρP

4.1.1.3 Masse volumique d’une particule matérielle

Fonctioncontinue.

Que la masse volumique et ses dérivées soient assimilables à des fonctions conti-nues est une condition essentielle pour que cette grandeur physique puisse avoir unusage théorique et expérimentale.La masse volumique d’une particule matérielle et ses dérivées spatiales sont des fonc-tions qui possédent cette propriété.

Sujet 3C’est pourquoi, au paragraphe 4.4 (page 25), nous examinerons les critères quedoit satisfaire une parcelle de matière pour être une particule matérielle.

3. Particules fondamentales de la matière: Proton, neutron et négaton4. Pression, température, vitesse, ...


4.1.2 Masse volumique mathématique

En résistance des matériaux et en Mécanique des fluides, un corps doit être as-similé à un domaine continu de points géométriques.Ce domaine occupe la totalité de l’espace limité par la frontière du corps.Une masse volumique ainsi que d’autres grandeurs physiques sont attribuées à cha-cun de ces points.Un domaine continu de points-masse volumique est ainsi crée.Toutes ces grandeurs physiques sont des grandeurs physiques ponctuelles, solutionsd’équations mathématiques.Pour cela, elles doivent être, à chaque instant, des fonctions continues du point, entout point du domaine.La masse volumique ponctuelle est relative à une quantité fictive de matière.C’est pourquoi nous l’appelerons masse volumique mathématique.

Chaque point géométrique situé à l’intérieur d’un corps coincide avec un pointdu domaine de points-masse volumique auquel le corps est assimilé.En chacun de ces points, la masse volumique d’une particule matérielle contenantun point doit être comparée à la masse volumique ponctuelle en ce point.C’est pour cette raison que nous allons tenter d’exprimer la différence qui existeentre les deux fonctions continues que sont la masse volumique d’une particule ma-térielle et la masse volumique ponctuelle qui est la masse volumique mathématique.

Sujet 4 Ce sujet sera traité au paragraphe 4.5 (page 35).


4.1.3 Table d’orientation

Plusieurs cas peuvent se présenter.

Un domaine peut être un domaine discret.Un corps de matière solide ou fluide peut être assimilé à un tel domaine: un domainediscret de particules fondamentales.

Un domaine peut être un domaine continu.C’est le cas, par exemple, d’un domaine continu de points géométriques ou d’undomaine continu de points-masse volumique (figure 4.2).

Fig. 4.2 – Domaine continu (domaine D), domaine discret (domaine D) et domainede contrôle (domaine D)) à l’intérieur d’un domaine géométrique (domaine D)).

Surface dediscontinuité.

Notons ici que la masse volumique mathématique n’est pas une fonction continueen des points que nous dirons être situés sur des surfaces de discontinuité, à l’inté-rieur même d’un domaine continu.

Distributionde la masse

La distribution de la masse, à l’intérieur d’un domaine continu, peut donc être«continue» ou «discontinue».

Voir plancheP4.4page 46

Selon ces cas, les graphes de la masse volumique d’une parcelle d’un domaine,en fonction de son volume et en fonction de sa position le long d’un axe, présententdes différences caractéristiques.


4.1.4 Version provisoire

Dans le présent document, j’ai voulu mettre à profit plusieurs moyens complé-mentaires en matière de communication de l’information. Ce sont:

1. Un texte principal faisant appel aux moyens de commucation de l’informationci-après mentionnés

2. Des planches exposant des notions relatives à la masse volumique de parcelles,à l’intérieur de domaines continus et discrets, en considérant que les volumesde ces parcelles ainsi que les positions de leurs centres sur un axe peuventvarier.

3. Des exemples4. Des tableaux couvrant une page ou deux: chacun d’eux fournit une démons-

tration théorique5. De courtes citations sur le sujet de la masse volumique et sur celui de la

particule.

Version pro-visoire du25.03.2013.

La présente version n’est qu’une version provisoire.En effet, beaucoup de sujets envisagés n’ont pas encore été traités.

Dans cette nouvelle version, la notion de masse volumique mathématique a étéintroduite.

Certaines descriptions pourraient bénéficier d’une rédaction plus claire.Mais, puisqu’il s’agit d’une version provisoire, j’ai pris le parti de privilégier les nou-veaux développements.Je reconnais que cette manière de procéder peut conduire à commettre des erreurs...

Je remercie, par avance, les personnes qui auraient l’obligeance de m’adresserleurs commentaires 5.

5. [email protected]


Notation:C4.2 Corps solide ou fluide

Désignons par la lettre C un corps de matière solide ou fluide 6 ou, encore, solideet fluide.

Le corps C occupe un espace, de volume VC, limité par une frontière de surface SC.

Domaine D:figuregéométriqueou Domainecontinu depointsgéométriques.

Fig. 4.3 – Corps de matière fluide ou solide à l’intérieur d’un domaine mathéma-tique (domaine D).

mC désigne la masse du corps 7 C.

Notation:ρC4.2.1 Masse volumique d’un corps C

La masse volumique d’un corps est une grandeur physique définie comme le quo-tient de la masse mC de ce corps sur le volume VC de l’espace occupé par ce corps.

Nous pouvons donc écrire que la masse volumique du corps D est égale à:

Voir plancheP4.1page 42.

Masse volumique du domaine CρC

=

Masse du corps CV olume du corps C

mCVC

(4.3)

6. Un liquide, un gaz ou un liquide et un gaz .7. La masse contenue à l’intérieur de l’espace occupé par le corps C.


Fig. 4.4 – Volume, masse et masse volumique du corps C

Notons que ρC est une moyenne spatiale de la masse volumique à l’intérieur del’espace, de volume VC, occupé par le corps C, contenant la masse mC.

La masse volumique d’une parcelle d’un corps est qualifié de masse volumiqueponctuelle si le volume de cette parcelle est infiniment petit par rapport à celui ducorps.C’est-à-dire que, dans ce cas, à l’échelle du corps, une parcelle peut presque êtreconfondue avec un point géométrique qu’elle contient.

D’une manière générale, la masse volumique d’une parcelle peut dépendre del’emplacement qu’elle occupe à l’intérieur de l’espace occupé par le corps C.

La dimension de la masse volumique est donc égale au rapport d’une masse surun volume:

[ρ] =M

L3

La masse volumique est donc aussi la masse de l’unité de volume d’un corps.Voir exempleE4.1,page 96. Unités de masse volumique :

– Le kilogramme par métre-cube (kg/m3) dans le système SI.– Le kilogramme par litre (kg/l).– Le gramme par centimètre cube g/cm3


Notation:vC4.2.2 Volume massique d’un corps

Le volume massique, noté « vC », est l’inverse de la masse volumique:

vC =1

ρC(4.4)

L’unité du volume massique est donc le métre-cube par kilogramme (m3/kg).

Une égalité que nous pouvons aussi écrire:

dvCvC

+dρCρC

= 0

Notation:d1/2

4.2.3 Densité relative d’un corps

Considérons un corps C1 de volume V1 et de masse m1.

La masse volumique ρ1 du corps C1 s’exprime:

ρ1 =m1

V1

La densité relative d1/2 du corps C1 par rapport à un corps C2 est le rapport dela masse m1 du corps C1 sur la masse m2 du corps C2 d’un volume V2 identique auvolume V1 du corps C1.

Puisque V1 = V2, la masse m2 s’exprime:

m2 = ρ2V2 = ρ2V1

La densité relative d1/2 est donc égale à:

Densité relativeou densitéd1/2 =

m1

m2

=ρ1V1

ρ2V2

=ρ1V1

ρ2V1

=ρ1

ρ2

(4.5)

La grandeur physique «densité relative» désigne donc le rapport des masses dedeux corps occupant des espaces dont les volumes sont identiques.Cette grandeur est sans dimension.

Les volumes V1 et V2 doivent être mesurés dans les mêmes conditions de pressionet de température.


Corps C2 : Si aucune précision n’est donnée quant à la matière du corps C2,nous considérerons que ce corps est constitué par de:

– l’eau distillée dans le cas où le corps C1 est un solide ou un liquide– l’air sec, ne contenant pas de gaz carbonique, dans le cas où le corps C1 est un

corps gazeux.

Pression et température: Les volumes des corps dépendent de la pressionet de la température qui régne à l’intérieur de l’espace dans lequel ces corps setrouvent. Si aucune précision n’est donnée:

– Les corps solide et liquide seront maintenus à la température de 4oC. La massevolumique de l’eau est maximum à cette température.

– Les corps gazeux seront maintenus à la même pression et à la même tempéra-ture.

Notation:∆mC

4.2.4 Accroissement de la masse d’un corps

La masse, le volume et la masse volumique d’un corps peuvent varier.Ceci peut se produire si de la matière traverse la frontière d’un corps.

La masse mC d’un corps C peut variée parce que sa frontière est perméableou parce que les frontières de ce corps 8 se déplacent par rapport à son contenu(figure 4.5).

Fig. 4.5 – Evolution d’un corps C entre les instants t et t′

Nous examinerons, dans ce cas, les relations qui existent entre les variations deces trois grandeurs physiques.

L’accroissement ∆mC de la masse mC du corps C peut être exprimé en fonctionde l’accroissement ∆VC de son volume VC et de l’accroissement ∆ρC de sa massevolumique ρC :

8. Domaine de contrôle serait peut être plus approprié.


Démonstration:voir tableau:T4.1,page 107.

∆mC = ∆(ρC VC) = ρC ∆VC + VC ∆ρC + ∆ρC ∆VC (4.6)

Ainsi les variations du volume, de la masse volumique et de la masse d’un corpssont liées par l’égalité (4.6).

Cas particuliers:

– Cas 1 : Le volume d’un domaine ne varie pas: ∆VC = 0. Seule sa massevolumique varie. L’égalité (4.6) devient:

∆mC = ∆(ρC VC) = VC ∆ρC (4.7)

∆mC est la quantité de matière échangée entre le domaine et son environne-ment.

– Cas 2 : La masse volumique d’un domaine ne varie pas: ∆ρD = 0. Seul sonvolume varie. L’égalité (4.6) devient:

∆mC = ∆(ρC VC) = ρC ∆VC (4.8)

– Cas 3: La masse d’un domaine ne varie pas: ∆mC = 0. L’égalité (4.6) devient:

∆mC = ∆(ρC VC) = ρC ∆VC + VC ∆ρC + ∆ρC ∆VC = 0 (4.9)

Dans ce cas, si le volume du corps varie, sa masse volumique varie aussi etinversement.De la matière peut toutefois traverser la frontière d’un corps C. Cependant,entre les instants t et t′, la quantité de matière qui entre dans le domaine estégale à celle qui en sort.Notons que la variation ∆mC de la masse d’un domaine constitué par les mêmesmolécules est nulle.

– Cas 4: Si le produit ∆ρD ∆VD est négligeable devant les autres termes, alorsil disparait de l’égalité (4.6) :

∆mC = ∆(ρC VC) = ρC ∆VC + VC ∆ρC (4.10)

– Cas 5: Si les variations sont infiniment petites, l’égalité (4.6) s’écrit:

dmC = d(ρD VC) = ρC dVC + VC dρC (4.11)


Notation:

∆mD

∆t

4.2.5 Accroissement temporelle de la masse d’un corps

L’accroissement temporelle d’une quantité de matière désigne une variation d’unequantité de matière par unité de temps.

∆mC∆t

= ∆(ρC VC) = ρC ∆VC + VC ∆ρC + ∆ρC ∆VC (4.12)

L’unité employée pour exprimer cette grandeur est donc le kilogramme par se-conde (kg/s).

Si les variations sont infiniment petites, l’égalité (4.12) s’écrit:

dmCdt

=d(ρCVC)dt

= ρCdVCdt

+dρCdtVC

Notation:ρD

4.2.6 Masse volumique d’un domaine de contrôle

Domaine D:domaine decontrôle.

Nous désignerons, par domaine de contrôle, un domaine à l’intérieur duquel seproduisent des phénomènes physiques qui doivent être analysés (figure 4.6).

Fig. 4.6 – Domaine de contrôle (domaine D) à l’intérieur d’un domaine géométrique(domaine D) contenant deux corps.

Un domaine de contrôle peut contenir une partie ou la totalité d’un ou de plu-sieurs corps de matière fluide ou solide.Celui-ci peut donc être considéré comme un ensemble de corps.


Parcelle:

P4.3 Parcelle de matière

Voir exempleE4.3,page 98.

A l’intérieur d’un espace, il peut se produire des phénomènes physiques qui nepeuvent être caractérisés que grâce à des grandeurs physiques 9 dont les valeurs sontdifférentes d’un point à l’autre de cet espace.


Dans ce cas, l’espace doit être «morcelé» en un grand nombre de parcelles 10.

Objectif 0

Certaines de ces parcelles peuvent contenir de la matière.Si celle-ci contribue, mécaniquement, à la réalisation des phénomènes physiques enquestion, alors la masse volumique de ces parcelles, que nous pouvons qualifiées deparcelles de matière, devra pouvoir être déterminée.


La matière est pleine de vide.Un corps solide ou fluide est un domaine discret de particules fondamentales 11.

De ce fait, la masse volumique d’une parcelle de matière, dont le volume estinfiniment petit, ne peut donc pas être une fonction continue du point, en tous lespoints situés à l’intérieur de l’espace occupé par le corps.La masse volumique d’une parcelle infiniment petite ne sera donc pas adaptée à unusage théorique et expérimentale dans les domaines de la Résistance des matériauxet de la Mécanique des fluides.Il en sera de même de la masse volumique de beaucoup de très petites parcelles dematière.

Afin de préciser, tout celà, dans ce paragraphe, nous considérerons un corps Cde matière solide ou fluide 12 ainsi qu’une parcelle P de ce corps.La masse de cette parcelle sera désignée par mP et son volume par VP .

9. Pression, température, vitesse, ...10. Portions de matière. Particule de matière sera employé afin de désigner une parcelle de matière

de dimensions particulières.11. Particules fondamentales de la matière: proton, neutron et négaton12. L’expression domaine de matière est peut être préférable dans le cas où l’espace contient des

molécules de plusieurs espèces chimiques ou un même matériau en phases solide et liquide.


Notation:ρP

4.3.1 Masse volumique d’une parcelle P

VP :volume de P.

mP :masse de P

M:masse d’unemolécule.

N:nombre demolécules.

La parcelle P contient un nombre N de molécules.Notons M la masse de chacune de ces molécules.

La masse mP de la parcelle P est donc égale à:

mP = N M (4.13)

C’est la masse totale des molécules contenu dans la parcelle P. La masse volu-mique d’une parcelle P d’un domaine D est égale au quotient de la masse mP decette parcelle sur le volume VP de cette parcelle:

ρP =mP

VP=

N M

VP(4.14)

Autrement-dit, c’est la moyenne spatiale de la masse volumique de la parcelle P.


4.3.2 Grandeurs et masse volumique ρP


Nous avons déterminé la masse volumique d’une parcelle d’un domaine discretconstitué par des éléments de masse, tous identiques, de forme cubique, régulière-ment répartis dans tout le domaine.

Considérons, maintenant, une parcelle P située à l’intérieur d’un corps C dematière solide ou fluide.Dans ce cas, nous pouvons imaginé que la position des centres des particules fonda-mentales coincident aussi avec la position d’un des noeuds d’un maillage.Dans un corps solide ou fluide, une partie ou la totalité des particules fondamentalesvont se déplacer.Donc, les dimensions et les formes des mailles vont varier: les noeuds se déplacerontet seront, de plus, occupés par des particules fondamentales différentes.

Nous pouvons en déduire que la masse volumique ρP de la parcelle P dépendrades grandeurs suivantes:

– X1, X2 et X3, les coordonnées du point P , centre de la parcelle.– C, la dimension du côté de la parcelle.– A1, · · · , An, les distances entre les particules fondamentales.– B1, · · · , Bp, les dimensions des différentes particules fondamentales.– m1, · · · , mp, les masses des particules fondamentales.

d’où la relation suivante entre ces grandeurs et la masse volumique de parcelleP d’un domaine de matière:

ρP = RP(X1, X2, X3, C, A1, · · · , An, B1, · · · ,Bp,m1, · · · ,mp) (4.15)

La masse volumique d’une parcelle d’éléments de masse 13 varie en fonction duvolume de cette parcelle (figure 4.12) et en fonction de la position du centre de cetteparcelle (figure 4.8).

Hypothèse (H1)Nous pouvons supposer que la masse volumique d’une parcelle de particules fon-damentales varie d’une manière similaire.

13. Voir la planche P4.13, page 77.


Fig. 4.7 – Masse volumique d’une parcelle en fonction de son volume.

Fig. 4.8 – Masse volumique d’une parcelle en fonction de son volume et de saposition.


Notation:(ρP)∞

4.3.3 Masse volumique d’une parcelle infiniment grande

La masse volumique d’une parcelle d’éléments de masse 14 converge vers une va-leur constante lorsque le volume de cette parcelle tend vers l’infini (figure 4.12).

Hypothèse (H2)Nous pouvons supposer que la masse volumique d’une parcelle de particules fon-damentales converge vers une constante d’une manière similaire.

Notons, (ρP)∞ cette valeur constante. D’où:

limC→∞

RP(X1,X2,X3, C, A1, · · · , An, B1, · · · ,Bp,m1, · · · ,mp) = (ρP)∞ (4.16)

Notation:•ρP

4.3.4 Masse volumique ponctuelle


Considérons, à un instant t, un ensemble infini de parcelles contenant un quel-conque point P situé à l’intérieur d’un corps de matière.Appelons EP cet ensemble.Si, à cet instant t, les masses volumiques de toutes les parcelles de matière de cet en-semble EP tendent vers une même limite lorsque les volumes de toutes ces parcellestendent vers zéro 15 alors cette limite est la masse volumique ponctuelle au point P .Nous noterons

•ρP cette limite.

Cela peut être écrit de la manière suivante:

•ρP : Massevolumiqueponctuelleoumassevolumique enun point de D .

•ρP =

limVP→0

mP

VPlimVP→0

ρP

(P, t,VP

)dmP

dVPlimC→0

RP(X1,X2,X3, C, A1, · ,An, B1, · ,Bp,m1, · ,mp)

=•ρP

(P, t)

(4.17)

14. Voir la planche P4.13, page 77.15. Sans que la valeur zéro ne soit atteinte par ces volumes.


4.3.5 Discontinuité de la masse volumique d’une parcelle

Voir planche:P4.11 et P4.13,pages 68 et 77.

Considérons un point P situé sur la frontière d’une particule fondamentale etimaginons une infinité de parcelles de matière contenant ce point P .La masse volumique de l’une de ces parcelles dépend de l’implantation de celle-cipar rapport à la frontière.

Les masses volumiques de toutes les parcelles ne tendront pas vers une mêmevaleur lorsque les volumes de ces parcelles, contenant toujours le point P , tenderontvers zéro , tout en contenant toujours le point P .C’est-à-dire que les masses volumiques de toutes les parcelles, de volume infinimentpetit, contenant le même point P n’auront pas toutes la même valeur.

Au point P , la masse volumique ponctuelle•ρP ne peut donc pas être déterminée.

Cette fonction n’est pas continue au point P .

Si le point P est à l’intérieur de cette particule fondamentale, la masse volumiqueponctuelle

•ρD est égale à la masse volumique de la particule fondamentale et, si le

point P est à l’extérieur de cette particule,•ρP est nulle.

La masse volumique ponctuelle n’est donc pas une grandeur physique qui peutsatisfaire aux exigences de la modélisation des phénomènes physiques dont la ca-ractérisation devra s’effectuer grâce à des grandeurs physiques dont les valeurs sontdifférentes d’un point à l’autre d’un corps 16.

16. Un corps peut être considéré comme un domaine discret de particules fondamentales.


Parcelle:

P4.4 Particule matérielle

La matière est pleine de vide.Un corps de matière solide ou fluide est un domaine discontinu de particules élémen-taires (protons, neutrons, négatons...). Les dimensions des particules élémentairessont très petites devant les distances qui les séparent.

Une grandeur physique (pression, masse volumique, vitesse, ...), liée à des phéno-mènes physiques se produisant dans un espace situé à l’intérieur d’un corps, ne peutêtre définie, en un point situé dans cet espace, que si celui-ci contient un nombresuffisamment grand de particules élémentaires: figure 4.9, une grandeur physiquecaractérise, en un point P , les particules élémentaires situées dans un espace Pcontenant le point P .

Fig. 4.9 – Particules élémentaires dans un espace P situé dans un corps.

Le terme particule matérielle [2] (material particle en anglais [34]) désigneune petite portion d’un corps, de matière solide ou fluide, constituée de ce nombresuffisamment grand de particules élémentaires: figure 4.9 l’espace P est occupé parune particule matérielle contenant le point P .

Donnons des synonymes de particule matérielle:

– Petit élément: p. 4 de [26]– Elément de volume macroscopique: p. 1 de [21]– Elément de volume représentatif: p. 72 de [16]– Particule macroscopique: p. 5 de [5]– Volume élémentaire représentatif: p. 7 de [35]

Une particule matérielle contenant de la matière fluide pourra être qualifiéede:

– Particule fluide: p.14 de [1], p. 5 de [4] et p. 119 du présent document– Parcelle fluide: p. 29 de [17]


Fonctioncontinue

Une grandeur physique doit donc caractérisée une particule matérielle pourêtre une fonction continue des coordonnées du point, en un point situé à l’intérieurde cette particule.

Les valeurs d’une grandeur physique, caractérisant des particules matériellescontenant le même point d’un corps, sont toutes identiques: figure 4.10, les particulesmatérielles P1 et P2 contiennent un même point P .

Fig. 4.10 – Particules matérielles contenant un même point.

Cela signifie que ce point ne doit pas être situé sur une surface de discontinuité:comme nous le verrons la masse volumique ne peut pas être définie en des pointssitués sur une telle surface.Une particule matérielle ne contient donc pas de points situés sur une surface dediscontinuité.

D’une manière générale, les phénomènes physiques doivent être caractérisés grâceà des grandeurs physiques dont les valeurs varient d’un point à l’autre à l’intérieurd’un corps et d’un instant à l’autre en tous les points du corps (figure 4.11).

Voir exempleE4.3, p. 98Ventilateur.

Fig. 4.11 – Fluctuation de la pression à l’intérieur d’un ventilateur.

Dans ce cas, le nombre suffisamment grand de particules élémentaires contenupar une particule matérielle ne doit pas être trop grand.


Les grandeurs physiques, relatives à une particule matérielle, doivent dépendre lemoins possible de la position que la particule occupe par rapport à un point qu’ellecontient.Ainsi les grandeurs physiques seront définies, en chaque point d’un corps, avec lemaximum de précision.C’est pourquoi une particule matérielle devra être suffisamment petite à l’échelledu corps qui la contient.

Une grandeur physique doit être liée à des phénomènes physiques qui se pro-duisent dans une particule matérielle afin que cette grandeur physique puisse êtredéfinie en un point contenu par cette particule. Dans ces conditions, une grandeurphysique moyenne peut être assimilée à une grandeur physique ponctuelle à l’échelled’un corps.

Ainsi, un champ d’une grandeur physique dans un corps peut être reconstitué(figure 4.11).En un point d’un corps, à une valeur d’une grandeur physique ponctuelle, à l’échellede ce corps, correspond donc une valeur d’une grandeur physique moyenne relativeà une particule matérielle contenant ce point.En outre, cette grandeur physique moyenne (grandeur physique mesurée, grandeurthermodynamique) peut être comparée à une grandeur physique ponctuelle solutiondes équations physiques des milieux continus.Les relations liant, entre elles, les ” ’grandeurs thermodynamiques” ’, pourront contri-buer à la résolution de ces équations.

Volumed’une particulematérielle

Une particule matérielle est, à la fois, suffisamment petite, pour être considérée,à l’échelle d’un corps, comme un parcelle de matière très petite et, suffisammentgrande, pour contenir un nombre suffisant de particules élémentaires 17.Le volume d’une particule matérielle n’est donc pas infiniment petit.L’espace occupé par une particule matérielle contient une infinité de points géo-métriques.Cependant, à l’échelle de nombreux corps matériels étudiés en Résistance des maté-riaux et en Mécanique des fluides, ces points paraitront infiniment proches les unsdes autres, au point que, nous admettrons que tous ces points peuvent être assimi-lés à un seul point; celui qui, par exemple, occupe le centre de la particule de matière.

Massevolumique

La masse volumique est, elle-aussi, une grandeur physique relative à une quan-tité de matière présente à l’intérieur d’un espace: c’est donc une grandeur physiquemoyenne.En physique des milieux continus 18, la masse volumique doit pouvoir être définie entout point situé à l’intérieur d’un corps solide ou fluide.Une particule matérielle est, précisément, à l’intérieur d’un corps, une quantité

Fonctioncontinue

de matière dont la masse volumique est une fonction continue des coordonnées dupoint, en n’importe quel point que cette particule contient.La masse volumique d’une particule matérielle est donc une grandeur physiquemoyenne qui est, aussi, à l’échelle d’un corps, une grandeur physique ponctuelle.La masse volumique d’une particule matérielle et ses dérivées spatiales sont, àtout instant, des fonctions continues du point, en tous les points d’un corps, sauf en

17. Particules élémentaires: proton, neutron et négaton18. Mécanique des milieux continus, Résistance des matériaux, Mécanique des fluides, Thermique

...


des points situés sur surface de discontinuité.Une particule matérielle est une parcelle de matière 19 dont la masse volumique

Parcellede matière.

peut avoir un usage théorique et expérimentale.La masse volumique d’une particule de matière va donc pouvoir subir des opérationsmathématiques, comme si, il s’agissait d’une particule infiniment petite constituantun domaine continue, à l’intérieur duquel, la distribution de la masse est uniforme.C’est pourquoi, nous examinerons, ici, les critères que doit satisfaire une parcelle dematière pour être une particule de matière.

Notation:(VP)min

4.4.1 Volume minimum d’une particule matérielle

Certes, ρ∞ est la masse volumique d’une parcelle de matière de volume infini.

Hypothèse (H3)Cependant, nous pouvons supposer que la valeur de la masse volumique ρP d’une

parcelle de matière est, déjà, pratiquement égale à celle de ρ∞, lorsque la valeur deson volume VP est supérieure à une certaine valeur finie.

A récrireNotons (VP)min cette valeur finie minimale, valeur au-delà de laquelle la masse

volumique de cette parcelle ne varie presque plus.

Fig. 4.12 – Volumes minimum et maximum d’une particule de matière.

Proprièté (P1)

19. Parcelle de matière: voir § 4.3, page 19.


Ainsi, la masse volumique d’une parcelle de matière ne dépendra plus de la po-sition qu’elle occupe sauf si les particules élémentaires ne sont pas uniformémentréparties.C’est la première proprièté que doit posséder une parcelle de matière pour être uneparticule matérielle.

Dans ces conditions, la masse volumique d’une particule de matière d’un corps etles dérivées de cette fonction sont des fonctions continues des coordonnées du point,en tous les points de ce corps.

Notation:(VP)max4.4.2 Volume maximum d’une particule matérielle

Proprièté (P2)Pour qu’une parcelle de matière soit une particule matérielle, il faut aussi que

son volume reste inférieur à un volume au-delà duquel la masse volumique de laparcelle de matière commencera à varier.La répartition des particules fondamentales doit être, le plus uniforme possible, àl’intérieur d’une particule de matière.

A récrireAfin que la masse volumique conserve sa propriété «P1» (§ 4.4.1), ce volume ne

peut être, bien sûr, que supérieur au volume (VP)min.Il s’agit donc du volume maximum que peut avoir une particule de matière.Notons le (VP)max.

Par conséquent, le volume (VP)min doit donc être suffisamment petit, afin que,une parcelle de matière d’un corps puisse être considérée comme très petites àl’échelle de ce corps.

La masse volumique d’une particule de matière P sera notée ρP .

4.4.3 Volume d’une particule matérielle

A récrireUne particule de matière devra être, à la fois, suffisamment grande, pour contenir

un nombre suffisant de particules fondamentales, et, suffisamment petite, pour êtreconsidérée, à l’échelle du domaine, comme une parcelle infiniment petite.Pour cela, une particule de matière est une parcelle de matière dont le volume VP

est compris entre (VP)min et (VP)max.

Quelque soit la valeur du volume d’une particule de matière, entre les valeurs(VP)min et (VP)max, la masse volumique de cette particule ne changera pas:

(VP)min < VP < (VP)max << VD ⇐⇒ ρP = ρ∞ (4.18)


Insistons sur l’idée que la masse volumique ρ∞ est, en toute rigueur, la massevolumique, d’une parcelle de matière, de volume infiniment grand, à l’intérieur d’uncorps, contenant des particules fondamentales uniformément répartie (matière in-compressible).

Si nous pouvons considérer que le volume d’une particule de matière reste, toutde même, à l’échelle d’un domaine, un volume infiniment petit alors cette particuleest assimilable à un point matériel.

4.4.4 Grandeurs et masse volumique ρP

Voir la rela-tion 4.15.

Que deviennent les grandeurs qui ont une influence sur la masse volumique d’uneparcelle de matière lorsque celle-ci posséde les caractéristiques d’une particule de ma-tière?

Nous avons émis l’idée que la masse volumique d’une particule de matière nedépendra des coordonnées X1, X2 et X3 de la position de cette particule que si lesdistances, A1, · · · , An, entre les particules fondamentales varient d’un point à unautre du domaine.Ainsi, les coordonnées X1, X2 et X3 n’apparaitront pas explicitement dans la listedes grandeurs dont dépend la masse volumique d’une particule de matière mais uni-quement par l’intermédiaire des distances A1, · · · , An.En des points fixes, les distances, A1, · · · , An, entre les particules fondamentalespourront aussi varier en fonction du temps.C’est le cas d’un domaine à l’intérieur duquel un fluide compressible s’écoule demanière instationnaire.

La variable C disparait aussi de la liste des variables puisque la masse volumiqued’une particule ne dépend plus du volume de celle-ci.

La masse d’une particule de matière sera noté mP .VP et Ci désigneront respectivement son volume et une des dimensions de ce volume.

Finallement, nous pouvons exprimer les grandeurs dont dépend la masse volu-mique d’une particule de matière:

mPVP

= RP

(A1(X1,X2,X3,t), · · · , An(X1,X2,X3,t), B1, · · · ,Bp,m1, · · · ,mp

)(4.19)


Notation:ρP

4.4.5 Masse volumique d’une particule matérielle

A récrireSupposons, aussi, que les masses mi des particules élémentaires et les dimensions

Bj ne varient pas à l’intérieur d’un domaine de matière.La masse volumique d’une particule de matière n’est donc plus qu’une fonction desvariables que sont des autres grandeurs restant dans (4.19).Nous pouvons donc exprimer cette fonction de la manière suivante:

ρP =mPVP

= ρP

(A1(X1,X2,X3, t), · · · ,An(X1,X2,X3, t)

)(4.20)

La masse volumique d’une particule de matière peut, donc, aussi, être considéréecomme une fonction des coordonnées du point P et du temps t:

ρP =mPVP

= ρP(X1,X2,X3, t

)(4.21)

4.4.6 Continuité de la masse volumique ρP

A récrire

Surface dediscontinuitédans un corps.

La frontière d’une particule élémentaire 20 est une surface de discontinuité pourla masse volumique ponctuelle.La masse volumique ponctuelle ne peut donc pas être déterminée en un point P situésur une telle frontière.

Surface dediscontinuitépour la massevolumique d’uneparticule.

Pour la masse volumique d’une particule de matière, les frontières des particulesfondamentales ne constituent plus des surfaces de discontinuité.En revanche une frontière de par et d’autre de laquelle, les distances entre les mo-lécules varient brutalement est une surface de discontinuité. Une onde de choc estune telle frontière.Une frontière entre deux fluides non miscibles (entre l’eau et l’air, c’est la surfacelibre) est aussi une surface de discontinuité.En outre, dans ce cas, les masses des molécules ne sont pas les mêmes de par etd’autre de cette frontière.La masse volumique d’une particule de matière, contenant un point P , dépendra del’implantation de cette particule de par et d’autre de cette frontière.

Distributioncontinue dela masse dansun domaine D.

Si des variations de distances entre les particules fondamentales sont perceptiblesà l’échelle d’un domaine et non à l’échelle d’une particule de matière, alors, quelquesoit la manière, dont le volume VP d’une parcelle de matière tend vers le volume VPd’une particule de matière, la masse volumique de la parcelle tendra vers la massevolumique de la particule.Ce que, en notant C la dimension d’une particule de matière, nous pouvons écrire:

20. Particules élémentaires de la matière: Proton, neutron et négaton


limVP→VP

mP

VP

limC→C

RP(X1,X2,X3, C, A1, · ,An, B1, · ,Bp,m1, · ,mp)=

mPVPρP

(4.22)

Nous pouvons dire que, à l’échelle du domaine auquel elle appartient, une par-ticule de matière est un point matériel dans le vosinage duquel la distribution de lamasse est continue.

Dans ce cas, bien qu’un domaine de matière soit un domaine discret de pointsmatériels, la masse volumique d’une particule de matière est une fonction continuecomme peut l’être la masse volumique ponctuelle à l’intérieur d’un domaine continude points matériels; d’où:

lim∆X1→0∆X2→0∆X3→0

ρP(X1 + ∆X1, X2 + ∆X2, X3 + ∆X3) = ρP(X1,X2,X3) (4.23)

Si tout point d’un domaine de matière peut être un point quelconque d’une par-ticule de matière 21, alors la masse volumique d’une particule de matière est, en toutpoint de ce domaine, une fonction continue des coordonnées du point.

Si un domaine de matière peut être morcelé en particules de matière alors cedomaine discret de points matériels peut être considéré, sur le plan mathématique,comme un domaine continu de points matériels.

Ceci sera d’autant plus vrai que le volume de la particule pourra être assimilé, àun volume infiniment petit, par rapport au dimensions du domaine...

Une particule de matière est donc un point matériel dont la masse volumique estune grandeur exploitable théoriquement et expérimentalement.

Par conséquent, même, si, à l’intérieur d’un domaine de matière, la masse n’estpas réparti uniformément, nous pouvons, à condition de connaitre la masse volu-mique de toutes les particules de matière du domaine, en déduire la masse de cedomaine en calculant l’intégrale de volume suivante:

mD =

∫∫∫VD(t)

ρP dV (4.24)

21. ou le centre de cette particule


4.4.7 Accroissement de la masse d’une particule matérielle

Considérons deux particules de matière centrées en un même point M .

D : Domaine dematière.

La première particule de matière, notée P1, a un volume VP et une masse mP .La seconde particule de matière, notée P2, a un volume infiniment proche de celui deP1 et une masse qui, par conséquent, est aussi infiniment de celle de P1 (figure 4.13).Ces grandeurs sont respectivement notées VP + dVP et mP + dmP .

dmD : Variationinfinitésimale dela masse de D.dVD: Variationinfinitésimale duvolume de D.

Fig. 4.13 – Deux particules de matière de volumes infiniment proches l’un de l’autre.

Corps - Domaine de contrôle - D - Variation de volume dMD - P - M - dVD

Les deux particules de matière étant centrées en un même point, nous pouvonsimaginer que celles-ci sont relatives à une même particule de matière qui serait re-présentée à des volumes infiniment proches l’un de l’autre.

Ainsi, puisque la masse volumique ρP d’une particule de matière est quasimentconstante quelque soit la valeur de son volume, nous pouvons en déduire que lesmasses volumiques des deux particules de matière sont pratiquement identiques.

D’où:

mPVP︸︷︷︸

ρP (M,VP )

' mP + dmPVP + dVP︸︷︷︸

ρP (M,VP+dVP )

(4.25)

en effectuant les produits de (4.25) :

mP VP + mP dVP ' mP VP + VP dmP (4.26)

puis, en simplifiant par mP V de par et d’autre de l’égalité de (4.26) :

mP dVP ' VP dmP

soit :


dmPdVP

' mPVP

= ρP(M,VP) = ρ∞(M) (4.27)

dmPdVP

est la dérivée, de mP par rapport à VP , au point M .


NotationP

4.5 Particule mathématique

Domainecontinude pointsgéométriques

Les phénomènes physiques se produisant à l’intérieur d’un corps de matière so-lide ou fluide peuvent être «produits mathématiquement» à l’intérieur d’un domainecontinu de points. Ce domaine occupe la totalité de l’espace limité par la frontièreextérieure du corps.

Fig. 4.14 – Domaine continu de points-masse volumique.

Grandeurphysiqueponctuelle

Dans ce cas, des grandeurs physiques ponctuelles sont liées à ces phénomènesphysiques.Chaque valeur d’une grandeur physique ponctuelle caractérise les phénomènes phy-siques qui se produisent à l’intérieur d’une parcelle du domaine continu de points :cette parcelle est une parcelle infiniment petite.Une grandeur physique ponctuelle ne peut être définie, en un point que cette parcelle

Surface dediscontinuité

contient, que si ce point n’est pas situé sur une surface de discontinuité 22.Une grandeur physique ponctuelle peut donc être attribuée à chaque point qui n’estpas situé sur une telle surface 23.Ainsi, une grandeur physique ponctuelle est, à tout instant, une fonction continue

Fonctioncontinue

des coordonnées du point, en chaque point qui n’est pas situé sur une surface dediscontinuité.Les valeurs d’une grandeur physique ponctuelle, caractérisant des phénomènes phy-siques se produisant à l’intérieur de différentes parcelles, infiniment petites, conte-nant un même point, sont donc toutes identiques.

Modèlemathématique

En chacun des points d’un domaine continu de points géométriques, les valeursprises par une grandeur physique ponctuelle sont des solutions d’équations mathé-matiques représentant un modèle mathématique du corps de matière solide ou fluide:ce sont les équations physiques des milieux continus.

Particulematérielle§ 4.4, p. 25.

La matière est pleine de vide.Un corps est un domaine discret de particules élémentaires.Une grandeur physique, liée à des phénomènes physiques qui se produisent à l’in-térieur d’une particule matérielle, est une grandeur physique moyenne que l’on

22. Une frontière séparant deux milieux différents est une surface de discontinuité23. Voir, page 119, l’écrit de M. Jean Cousteix.


peut attribuer à un point que la particule contient.En ce point, cette grandeur physique moyenne peut être considérée, à l’échelle d’uncorps, comme une grandeur physique ponctuelle. Ces grandeurs peuvent être desgrandeurs mesurées et/ou des grandeurs thermodynamiques.Une grandeur physique doit donc caractérisée une particule matérielle 24 pour êtreune fonction continue des coordonnées du point, en un point situé à l’intérieur decette particule.

En ce point, une grandeur physique ponctuelle à l’échelle d’un corps peut êtrecomparée à une grandeur physique ponctuelle solution d’équations mathématiques.

Massevolumiqueponctuelle

La masse volumique ponctuelle est, en un point d’un domaine continu de points,la masse volumique d’une parcelle qui est infiniment petite et qui contient ce point 25.La matière est pleine de vide.Par conséquent, à l’intérieur d’un corps matériel, une parcelle infiniment petite necontient pas la même quantité de matière que la parcelle qui lui correspond à l’in-térieur du domaine continu de points auquel le corps est assimilé.La masse volumique ponctuelle n’est pas une grandeur mesurable.La masse volumique ponctuelle intervient uniquement dans les équations mathéma-tiques.C’est pour cela qu’une particule infiniment petite située à l’intérieur d’un domainecontinu de points pourrait être qualifiée de particule mathématique.La masse volumique d’une particule mathématique est donc, en un point que laparticule contient, une masse volumique ponctuelle.

Domainecontinude pointsmasse volumique

Une masse volumique d’une particule mathématique peut être attribuée àchaque point d’un domaine continu de points géométriques à condition que ce pointne se trouve pas sur une surface de discontinuité.Un point-masse volumique est ainsi constitué. Désignons le par la lettre P.Comme c’est le cas pour un point matériel, un point-masse volumique ne pourrapas caractériser, à lui seul, les éventuelles rotations et déformations subies par deséléments de matière présents à l’intérieur d’un corps.

Un corps peut donc être assimilé à un domaine continu de points-masse volu-mique 26. Nous désignerons ce domaine par la lettre D.Nous considérons une portion de ce domaine: celle-ci est située dans le voisinaged’un point-masse volumique P.Nous noterons ∂D cette parcelle élémentaire d’un domaine continu de points-massevolumique.

Ainsi le comportement mécanique d’un corps matériel pourra être comparé àcelui d’un domaine continu de points-masse volumique auquel le corps peut êtreassimilé.

24. C’est-à-dire caractériser les phénomènes physiques qui se produisent à l’intérieur de cetteparticule matérielle.25. Le volume de cette parcelle continu à tendre vers zéro, pendant que vous lisez ces lignes, mais

jamais il n’atteindra cette valeur.26. Voir fascicule masse volumique


Notation:P4.5.1 Masses volumiques physique et mathématique

La masse volumique ponctuelle n’est pas une grandeur mesurable.Et pourtant, en un point géométrique situé à l’intérieur d’un corps, nous souhaitonscomparer la masse volumique d’une particule matérielle contenant ce point avec lamasse volumique ponctuelle qui est, en ce même point, solution d’équations mathé-matiques.C’est pour cette raison que nous allons essayer d’exprimer la différence qui existeentre les deux fonctions continues que sont la masse volumique d’une particule ma-térielle et la masse volumique ponctuelle qui est la masse volumique d’une particulemathématique.

La masse volumique d’une parcelle mathématique peut être appelée masse vo-lumique mathématique. Nous la noterons ρP.

Elle peut varier, à chaque instant, d’un point à un autre, à l’intérieur d’un corps:

ρP = ρE(X1, X2, X3, t) (4.28)

Considérons une particule matérielle de forme parallélépipèdique et de volume V .La masse de cette particule matérielle est égale à:

mP = ρP VP (4.29)

La masse mP de cette particule peut aussi être exprimé à partir de la massevolumique mathématique:

mP =

∫∫∫V(t)

ρE(X1,X2,X3,t) dV =

h1∫0

h2∫0

h3∫0

ρE(X1,X2,X3,t) dX1 dX2 dX3 (4.30)

Le volume V de la particule matérielle n’est pas un infiniment petit.Notons ses dimensions h1, h2 et h3 selon les axes respectifs X1, X2 et X3 d’un repère.

Supposons, tout de même, que le volume de la particule matérielle soit suffisam-ment petit pour que la masse mP de particule de matière puisse être exprimée grâceà un développement limité à l’ordre 4 de l’intégrale (4.30).

Voir tableauT4.5, p. 113

La masse de la particule de matière, dont l’un des sommets occupe le point0(0,0,0), est donc égale à:

mP = h1h2h3

(ρE(0,0,0,t) +

1

2

−−−−−−−−−−−−→grad ρE(0,0,0,t) · ~h

)(4.31)

où le produit h1h2h3 représente le volume V de la particule de matière.


La masse d’une particule de matière est donnée par (4.29) et par (4.31), donc:

ρE(0,0,0,t) +1

2

−−−−−−−−−−−−→grad ρE(0,0,0,t) · ~h = ρP (4.32)

Le point O est un point géométrique quelconque d’un domaine.La relation (4.32) est donc être valable en n’importe quel point P (X1,X2,X3) de cedomaine.La masse volumique mathématique ρP et ses dérivées spatiales sont donc, en toutpoint d’un domaine, des solutions de:

ρE(X1,X2,X3,t) +1

2

−−−−−−−−−−−−−−−−→grad ρE(X1,X2,X3,t) · ~h = ρP (4.33)

Une valeur de cette masse volumique mathématique sera attribuée à chacun despoints géométries d’un domaine continu de points géométriques «remplissant» unespace limité par la frontière d’un corps solide ou fluide: un point-masse volumiqueponctuelle sera ainsi crée.

Un corps devient ainsi un domaine continu de points-masse volumique ponctuelle.

La matière est pleine de vide.La plupart de ces points-masse volumique ponctuelle ne coincidera donc pas avec unpoint géométrique attaché à une particule fondamentale 27.

La différence entre la masse volumique d’une particule de matière et celle d’uneparticule mathématique est donc égale à:

ρP − ρE(X1,X2,X3,t) =1

2

−−−−−−−−−−−−−−−−→grad ρE(X1,X2,X3,t) · ~h (4.34)

Donc, dans le cas d’un champ de masse volumique, dont les valeurs sont diffé-rentes d’un point à l’autre de ce champ, cette différence croit avec:

1. Les dimensions h1, h2 et h3 de la particule de matière

2. L’angle entre le vecteur−−−−−−−−−−−−−−−−→grad ρE(X1,X2,X3,t) et le vecteur ~h

La masse volumique, attribuée à un point géométrique, est une masse volumiqueponctuelle (masse volumique mathématique).C’est la masse volumique en usage dans les calculs de Résistance des matériaux etde Mécanique des fluides.

D’une manière générale, cette masse volumique mathématique est donc différentede la masse volumique d’une particule de matière (masse volumique thermodyna-mique).

Des développements devront être entrepris afin d’examiner si la prise en comptede cette différence présente aussi un intérêt pratique.

27. Au centre de gravité d’une sphère creuse, il n’y a pas de matière et pourtant, en Mécaniquedu point, toute la masse de la sphère est «concentré» en ce centre.


4.5.2 Continuité de la masse volumique mathématique

Voir planche:P4.10,page 67.

Démonstration:voir tableauxP4.2 et P4.3pages 108 et 110.

Si la distribution de la masse est continue en un point P situé à l’intérieur d’undomaine D alors la masse volumique ponctuelle ρP

(P, t)est, en ce point, une fonction

continue des coordonnées de ce point.Autrement-dit, pour n’importe quel point P ′ situé dans le voisinage de n’importequel point P du domaine D, nous avons:

limVP→0

ρP

(P, t,VP

)= ρE

(P, t)⇔ lim

P ′→PρE(P ′, t

)︸︷︷︸ρP(P ′, dV, t)

= ρE(P, t)︸︷︷︸

ρP(P, dV, t)

(4.35)

4.5.3 Surface de discontinuité

Si, à l’intérieur d’un domaine continu de points, la masse volumique de toutesles parcelles, contenant toutes le même point, ne tendent pas vers une même limite,lorsque leurs volumes tendent vers zéro, alors la masse volumique ponctuelle ne peutpas être déterminée en ce point.

Voir planche:P4.12,page 70.

La distribution de la masse n’est pas continue en ce point et la masse volumiqueponctuelle n’est pas une fonction continue en ce point.Dans ce cas, la masse volumique ponctuelle n’a pas de valeur en ce point. La massevolumique ponctuelle dépend de la manière dont le volume de la parcelle tend verszéro.A l’intérieur d’un domaine continu de points, il peut exister une ou plusieurs surfacesconstituées par des points au niveau desquels la masse volumique ponctuelle n’estpas déterminable.Les surfaces dites surfaces de discontinuité sont des ensembles continus consti-tuées de tels points.Les masses volumiques de toutes les parcelles, contenant un de ces points particu-liers, ne sont pas nulles; en revanche, elles ne tendent pas vers une même valeurlorsque les volumes de ces parcelles tendent vers zéro.La masse volumique ponctuelle est, en ces points particuliers, indéterminée.


4.5.4 Moyenne temporelle de la masse volumique

La masse volumique ρP d’une parcelle d’un domaine peut varier au cours dutemps.Cela peut être dû à l’existence d’un mouvement des particules fondamentales parrapport à la particule de matière.

Nous pouvons ainsi être conduits à déterminer la moyenne temporelle de cesgrandeurs au cours d’une période T :

ρP =1

T

t+T∫t

ρE(P, t)dt = ρP(P ) (4.36)

.

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 41 PLANCHES

Le pont du Rialto. Aquarelle de Caroline M. Bishop.

42 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012PLANCHE

1

P4.1 Mesure de la masse volumique .

La mesure d’une masse volumique d’uncorps peut être réalisée grâce à deuxmesures: celle d’une masse et celle d’unvolume.Le corps est composé de matières solideou fluide ou bien de matières solide etfluide (figure A).

.

Figure A: Corps C

1 Le corps C est posé sur le plateaud’une balance (Figure B).

L’équilibre est réalisé grâce à la présenced’une masse M sur l’autre plateau de labalance.

La masse mC du corps solide C est doncégale à:

mC = M

.

Figure B: Pesée du corps C

.

2 Un récipient contient un volume d’eauégale à V1 (Figure C).

Ajoutons, dans ce récipient, le corps C.

Le volume de matière solide et fluidecontenu dans le récipient devient égaleà V2.

Le volume VC du corps solide C est doncégal à :

VC = V2 − V1

.

Figure C: Mesure du volume du corps C

3 La masse volumique ρC du corps est le rapport de la masse mC sur le volume VC :

ρC =mCVC

=M

V2 − V1

Cette mesure est peu précise.

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 43.PLANCHE

4.2

P4.2 Mesure de la densité d’un solide .

La densité relative d’un corps solide par rapport à un corps fluide est le rapportde la masse de ce corps solide sur la masse de ce corps fluide de volume identiqueà celui du corps solide.Mesurons cette densité relative en réalisant trois pesées dont une en immergeantle solide.

1 Corps solide

Un corps solide C1 est accroché au plateau d’une balance à l’aide d’une tige rigide t demasse Mt inconnue (figure A).

La masse m1 et le volume V1 du corps C1

ne sont pas connus.Une tare T , de masse MT inconnue, estposée sur l’autre plateau de la balance.Les masses inconnues des deux plateauxde la balance sont notées M1 et M2.

L’équilibre du fléau de la balance est réa-lisé grâce à la présence d’un poids, demasse MA connue, posée sur le plateau auquel est accroché le corps C1 (à l’extrémitéA du fléau). Figure A: Première pesée

La force FA s’exeçant au niveau de l’extrémité A du fléau est égale à:

FA = m1 g +Mt g +MA g +M1 g (A)

où g est l’accélération de la pesanteur.

2 Masse du corps solide

Décrochons le corps C1.

Afin d’ équilibrer de nouveau le fléau dela balance, déposons la masse MA et rem-plaçons la par une masse MB.

La force s’exeçant au niveau de l’extrémitéA du fléau est égale à:

FA = Mt g +MB g +M1 g (B)

Puisque le fléau a retrouvé sa positiond’équilibre, les forces FA données par leségalités (A) et (B) sont égales, d’où: Figure B: Deuxième pesée

FA = m1 g +Mt g +MA g +M1 g = Mt g +MB g +M1 g (C)

La masse m1 du corps C1 est donc égale à:

m1 = MB −MA (D)

44 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.PLANCHE

4.2

3 Densité relative du corps C1

Le corps C1 est de nouveau suspendu auplateau. Mais, cette fois-ci, il est plongédans un liquide de masse volumique ρL(normalement de l’eau distillée).

Afin d’équilibrer la balance, la masse MB

est déposé et une masse MC est installéeà sa place.

Le liquide exerce une force sur le corps C1.Il s’agit de la poussée d’Archimède. C’estune force dont la direction est verticale etdont le sens est dirigée vers le haut. Sonmodule Π est égale au produit suivant:

Π = ρL V1 g

Figure C: Troisième pesée

.

La force s’exeçant au niveau de l’extrémité A du fléau est égale à:

RA = m1 g +Mt g +MC g − ρL V1 g︸︷︷︸Π

+M1 g (E)

Puisque le fléau a retrouvé sa position d’équilibre, les forces FA données par les égalités(A) et (E) sont égales, d’où:

m1 g +Mt g +MA g +M1 g = m1 g +Mt g +MC g − ρL V1 g +M1 g (F )

Donc:Π = ρL V1 g = MC g −MA g (G)

Le module Π = ρL V1 g de la poussée d’Archimède est assimilable au poids d’un corpsliquide: le poids du liquide déplacé par le corps solide C1. Nommons C2 ce corps liquide.Les caractéristiques du corps C2 sont donc les suivantes:

• Volume de C2 : V2 = V1

• Masse volumique de C2 : ρ2 = ρL

• Masse de C2 : m2 = ρ2 V2 = ρL V1 =Π

g= MC −MA (H)

En tenant compte des égalités (D) et (H), nous pouvons donc déterminer la densité ducorps solide C1 par rapport au corps fluide C2 (voir § 4.2.3 page 15):

d1/2 =m1

m2=ρ1 V1

ρ2 V2=ρ1 V1

ρ2 V1=ρ1

ρ2=MB −MA

MC −MA(I)

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 45.PLANCHE

4.3

P4.3 Mesure de la masse volumique de l’eau .

La masse volumique de l’eau peut être déterminée en réalisant quatre mesures:une mesure de la longueur d’une arête d’un quartz cubique et deux pesées.Au cours de la dernière de ces pesées, le quartz sera immergé dans l’eau dont lamasse volumique doit être déterminée.

1 Volume du cube de quartz:

Mesurons la longueur L de l’arête d’unquartz cubique parfaitement taillé (fi-gure A).

Calculons le volume de ce cube:

V = L3 (A)

. Figure A: Mesure de l’arête du quartz.

2 Poussée d’Archimède:

La procédure de mesure mise en oeuvre afin de mesurer la densité d’un corps solidepermet aussi de déterminer la poussée d’Archimède exercée sur ce corps (planche P4.2,page 43).

Appliquons cette procédure de mesure.Mais, ici, à la place du corps C1, c’est lemorceau de quartz qui sera accroché auplateau de la balance. A la troisième pe-sée, il sera complétement immergé dansl’eau dont la masse volumique doit êtredéterminée.La poussée d’Archimède Π exercée parl’eau, de masse volumique ρeau, sur lequartz, de volume V, est égale au poidsd’eau déplacée par le quartz.

Figure B: Troisième pesée

Connaissant les massesMA etMC , nous obtenons, par calcul, la valeur de cette poussée(Planche P4.2, égalité (G)):

Π = ρeau V g = MC g −MA g (B)

3 Masse volumique de l’eau :

A partir de l’égalité (B), nous obtenons, par calcul, la masse volumique de l’eau:

ρeau =Π

V g=

MC −MA

V(C)

Notons qu’il n’ est pas nécessaire de réaliser la deuxième pesée. En effet, la masse MB

n’intervient pas dans les calculs.

46 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.PLANCHES

P4.4 T a b l e

Imaginons une parcelle cubique situé àl’intérieur d’un domaine matériel.Le volume V de cette parcelle peut va-rier et la position du centre de cetteparcelle peut être déplacé le long d’unaxe X quelconque.

Déterminons la masse m contenuedans cette parcelle pour différents vo-lumes V qu’elle occupe et pour diffé-rentes positions de son centre sur l’axeX.

↓

Domaine continu↓ ↓

Distribution continue de la masse Distribution discontinue de la masse↓ ↓

1 Graphe de la masse volumique

Si pour n’importe quel axe X à l’inté-rieur d’un domaine, le graphe de (A)est représenté par des surfaces continusnon brisées alors la distribution de lamasse est continue dans ce domaine.

Voir Planche «Distribution continuede la masse».Page 62.


Si pour n’importe quel axe X à l’inté-rieur d’un domaine, le graphe de (A)est représenté par une surface continusbrisées alors la distribution de la masseest discontinue le long de certaines sur-faces à l’intérieur de ce domaine.

Voir Planche «Distribution discontinuede la masse». Page 70.

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 47.PLANCHES

d ’ o r i e n t a t i o n P4.4

Puis, calculons, pour chaque cas, lequotient de la masse de la parcelle surson volume.C’est la masse volumique ρ de la par-celle selon le volume V qu’elle occupeet selon la position X occupée par lecentre de celle-ci.Traçons, dans un repère {X,V ,ρ}, legraphe de la masse volumique de laparticule en fonction de sa position surl’axe X et de son volume V :

ρ = R(X,V) (A)

Un domaine peut être «continue» ou«discret».La distribution de la masse, à l’inté-rieur d’un domaine continu, peut être«continue» ou «discontinue».Selon ces cas, le graphe de la fonctionR(X,V) présentera des différences ca-ractéristiques.

↓

Domaine discontinu↓

Distribution discontinue de la masse↓


Figure: Masse volumique d’une parcelle d’éléments matériels

Voir Planche «Domaine discontinu». Page 77.


P4.5 Parcelle .

Un corps peut être constitué de matière solide, fluide ou solide et fluide.La parcelle d’un corps est une portion de ce corps.Afin de satisfaire aux besoins de l’analyse des phénomènes physiques se pro-duisant dans un corps, nous devrons imaginé qu’un ensemble continu de pointsgéométriques occupe l’espace que le corps occupe.Parcelle désignera aussi une portion de cet ensemble de points.

1 Parcelle:

Considérons une parcelle de matière a d’uncorps C.Elle limite un espace situé à l’intérieur ducorps C.Nous la désignerons par la lettre P.La parcelle P contient un nombre infini depoints géométriques.Nous désignerons par la lettre P un de cespoints.

aParcelle ou portion. Particule sera employé afin de désigner une parcelle particulière.

2 Forme d’une parcelle :

Une parcelle peut avoir des formes diffé-rentes .Une parcelle peut être caractérisée en dé-finissant les positions occupées par lespoints situés sur sa frontière extérieure.

Dans le cas où la parcelle a une de formesphérique ou cubique, les valeurs des coor-données de la position du centre de cetteparcelle, et, la valeur du volume de cetteparcelle, suffisent à la définir géométrique-ment.Le point géométrique P pourra alors êtreconsidéré comme celui qui coincide avec laposition du centre de la parcelle.

Nous noterons mP la masse présente à l’in-térieur d’une parcelle P et VP le volume decette parcelle.

.

3 Plusieurs parcelles contenant un même point géométrique:

Un point peut être contenu par plusieursparcelles.


4 Parcelle quelconque d’un ensemble infini de parcelles:

Il existe un nombre infini de points géo-métriques à l’intérieur de l’espace occupépar un corps C et un nombre infini de par-celles qui peuvent contenir un même pointgéométrique.

Supposons que le point P est un quel-conque de ces points et que la parcelle P

est une quelconque de ces parcelles.Le point P est donc un point quelconqueappartenant à l’ensemble infini de pointsgéométrique situés à l’intérieur de l’es-pace occupé par le corps C et la parcelleP est une parcelle quelconque apparte-ment à l’ensemble infini de parcelles quicontiennent le point P et qui sont situés,elles-aussi, à l’intérieur du domaine D .

mP désigne la masse de la parcelle quel-conque et VP désigne son volume.

La notion de parcelle P quelconque d’undomaine D, contenant un point géomé-trique P quelconque de ce domaine D, re-couvre l’idée qu’une telle parcelle et qu’untel point peuvent être, respectivement,n’importe quelle parcelle du domaine D etn’importe quel point contenu par celle-ci.

Afin que le rôle d’une parcelle quelconquepuisse être plus facilement visualisabledans l’espace, nous considérerons les élé-ments P1, P2, · · · , Pn, · · · d’un ensemble

infini de parcelles contenant le même pointP . La parcelle P sera une quelconque de cesparcelles.Notons EP cet ensemble:

EP = {P1, P2, · · · , Pn, · · · }

Associons à cet ensemble de parcelles, l’en-semble des masses respectives de ces par-celles.Désignons cet ensemble par Em :

Em = {m1,m2, · · · ,mn, · · · }

De même, nous pouvons introduire l’en-semble des volumes respectifs de ces par-celles:

EV = {V1,V2, · · · ,Vn, · · · }


P4.6 Fonction masse volumique .

Montrons que la masse volumiqued’une parcelle P d’un domaine continude points matériels D peut, d’une ma-nière générale, dépendre de:

1. la position P de la parcelle à l’in-térieur du domaine D

2. l’espace occupé par la parcelle: levolume VP de cet espace

3. la date définie d’une manière ins-tantanée par la lettre t.

La masse volumique est donc une fonc-tion des variables P , V et t.Nous pouvons exprimer cette fonctionde la manière suivante:

ρP = ρP(P,VP, t) (A)

.

1 Masse volumique du domaine D :

Le domaine D a la forme d’un parallélépipède rectangle.

La masse du domaine est égale à mD et son volume est égal à VD.

La masse volumique du domaine D est donc égale à:

ρD =mD

VD(B)

2 Parcelles du corps ;

Divisons l’espace occupé par le corps en n parcelles de forme parallélépipèdique.

Appelons P1, P2, · · · , Pi, · · · , Pn ces parcelles.


3 Masse et volume d’une parcelle:

Notons:

1. m1, m2, · · · , mi, · · · , mn les masses respectives des parcelles

2. V1, V2, · · · , Vi, · · · , Vn leurs volumes respectifs.

Figure A

La masse du domaine est donc égale à:

mD = m1 + m2 + · · ·+ mi + · · ·+ mn =

n∑i=1

mi (C)

et son volume est égale à:

VD = V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn =

n∑i=1

Vi (D)

Ainsi, la masse volumique du domaine D peut aussi s’exprimée:

ρD =mD

VD=

m1 + m2 + · · ·+ mi + · · ·+ mn

V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn=

∑ni=1 mi∑ni=1 Vi

(E)


4 Position et masse volumique d’une parcelle:

Plaçons, dans un repère « volume - masse»(V,m), les valeurs des masses et des vo-lumes des parcelles P1, P2, · · · , Pi, · · · etPn (figure 1).

Les masses volumiques des parcelles sontrespectivement égale à (figure 2):

ρ1 =m1

V1= tanα1

ρ2 =m2

V2= tanα2

· · ·ρi =

mi

Vi= tanαi

· · ·ρn =

mn

Vn= tanαn

Les masses volumiques des parcelles dudomaine D n’ont pas toutes la même va-leur.Celles-ci varient selon les positions, occu-pées par les parcelles, dans l’espace (figure3).La répartition de la masse volumique desparcelles n’est pas uniforme à l’intérieurdu domaine D.La masse volumique d’une parcelle estdonc une fonction de la position qu’elleoccupe.

NotonsM la position du centre d’une par-celle quelconque P.

Nous pouvons ainsi écrire que:

ρP = R1(M) (F )

.

Figure 1

Figure 2

Figure 3

.

Notons que (E) devient:

ρC =mCVC

=ρ1V1 + ρ2V2 + · · ·+ ρiVi + · · ·+ ρnVn

V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn=

∑ni=1 ρiVi∑ni=1 Vi

(G)


5 Répartition uniforme de la masse volumique:

Si les valeurs des masses volumiques des parcelles étaient égales:

ρ1 = ρ2 = · · · = ρi = · · · = ρn

(E) deviendrait égale à:

ρD =mCVC

=ρ1V1 + ρ1V2 + · · ·+ ρ1Vi + · · ·+ ρ1Vn

V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn

=ρ1(V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn)

V1 + V2 + · · ·+ Vi + · · ·+ Vn= ρ1 (H)

donc:

ρD = ρ1 = ρ2 = · · · = ρi = · · · = ρn (I)

Les masses volumiques des parcelles composant un domaine, à l’intérieur duquel larépartition de la masse volumique est uniforme, sont toutes égales à la masse volumiquede ce domaine.

6 Parcelle quelconque:

La parcelle P est une parcelle quelconque qui contient un point géométrique P .Le point P est donc un point quelconque.Le point P est immobile par rapport au domaine D.la position, la forme et les dimensions de la parcelle peuvent changer.Quoiqu’il en soit, nous supposerons que la parcelle P contiendra toujours le point P .


7 Masse, Volume et masse volumique d’une parcelle :

La masse mP contenue dans une parcelle Pdépend du volume VP de l’espace occupépar cette parcelle (figure 1).

Nous en déduisons que la masse mP de laparcelle P est une fonction de son volumeVP :

mP = M(VP) (J)

Pour VP = 0 nous avons mP = 0.

Si le domaine ne contient pas d’espacevide, cette fonction est strictement crois-sante (figure 2).D’une manière générale, la masse mP n’estpas une fonction linéaire de la variable VP.

Notons que l’angle α est défini par:

tanα =mP

VP(K)

Pour une augmentation ∆VP du volumeVP de la parcelle P, la masse mP de cetteparcelle va augmenter de ∆mP.

La dérivée de la fonction (J) peut être dé-finie par:

dmP

dVP= tanβ (L)

La masse volumique ρP de la parcelle P estégale aux quotient de la masse de la par-celle sur le volume de celle-ci.Avec (K), nous obtenons:

ρP =mP

VP= tanα (M)

D’une manière générale, puisque tanαpeut varier en fonction de VP (figure F),il en est de même pour ρP (figure G).Ainsi:

ρP = R(VP) (N)

Cette parcelle P étant quelconque, ceci estvrai pour n’importe laquelle des parcellesdu domaine D.

Figure 1: Parcelles de différents volumescontenant le même point.

Figure 2: Evolution de la masse de laparcelle en fonction de son volume.

Figure 3: Evolution de la massevolumique en fonction du volume.


8 Répartition uniforme de la masse volumique:

Si la masse mP de n’importe laquelle desparcelles P varie de manière linéaire enfonction de son volume VP (figure 1) alorsla répartition de la masse volumique estuniforme dans tout le corps (figure 2).

Ainsi:

ρP =mP

VP=

∆mP

∆VP= tanα (O)

.

Figure 1

Figure 2

.


9 Position, volume et masse volumique d’une parcelle :

Montrons trois parcelles quelconques dudomaine D parmi celles dont les centrespeuvent être alignés le long d’un axe X(figure 1).Ce sont trois parcelles P1, P2 et P3 deformes parallélépipèdes et de dimensionsdifférentes.Leurs masses sont respectivement égales àm1, m2 et m3 et leurs volumes sont respec-tivement égales à V1, V2 et V3.Les centres respectifs de ces parcelles oc-cupent les points géométriques M1, M2

et M3, situés sur l’axe X, à l’intérieur del’espace occupé par le domaine D.L’abscisse d’un point P sur l’axe X estnoté X.Les abscisses sur l’axe X des trois pointsM1, M2 et M3 sont, respectivement, notésX1, X2 et X3.

Portons, maintenant, dans un repèred’axes X (position), V (volume) et M(masse) (figure 2):

1. Dans les plans respectifs X = X1,X = X2 et X = X3, les courbes:

• m1 = M1(V1)• m2 = M2(V2)• m3 = M3(V3)

2. Dans tous les autres plans X =constante, les coubes m = M1(V)relatives aux autres parcelles dontles centres sont aussi alignés surl’axe X.

Nous obtenons une surface S non brisée a

dans le repère {X,V,M}.C’est le graphe d’une fonction que notons:

mP = M∗(X,VP) (P )

Cette fonction donne la masse mP d’uneparcelle en fonction de la position X deson centre sur l’axeX et de son volume VP.

Nous pouvons en déduire le graphe de lamasse volumique d’une particule en fonc-tion de sa position sur l’axe X et de sonvolume VP (figure H):

ρP = R∗(X,VP) (Q)

Figure 1 : Trois parcelles, dans le domaineD, alignées sur l’axe X.

Figure 2: Graphe de mP = M∗(X,VP).

Figure 3: Graphe de ρP = R∗(X,VP).

aNous verrons, ultérieurement, qu’il s’agit d’un domaine à l’intérieur duquel la distributionde la masse est uniforme.


10 Variation temporelle de la masse volumique d’une parcelle :

Le contenu du domaine D peut, par exemple, être en mouvement alors que les parcellesrestent immobiles.Les masses vont être transférées d’une parcelle à une autre.La masse d’une parcelle peut donc varier au cours du temps.

Ce que nous pouvons exprimer par:

mP = mP(X,VP, t) (R)

Par conséquent la surface S va se déplacer au cours du temps.

A partir de la fonction (S) nous en déduisons l’évolution du graphe de la fonction massevolumique au cours du temps:

ρP = ρP(XP,VP, t) (S)


Particulesfondamentalesde la matière:proton, neutronet négaton

Bibliographie:page 118

P4.7 Matière .

1 « Pleine de vide » :

Les dimensions des particules fondamen-tales a contenues dans un domaine de ma-tière b sont très petites devant les distancesqui les séparent.Dans l’univers de l’infiniment petit, la ma-tière est avant tout pleine de vide.La masse d’un domaine de matière estégale à la masse totale des particules fon-damentales présentes à l’intérieur du do-maine.

La totalité des particules fondamentalesn’occupe qu’un très faible espace à l’inté-rieur d’un domaine de matière.Les particules fondamentales sont disper-sées à l’intérieur d’un domaine de matière.

Même si nous supposons qu’il n’existe pasde surface de discontinuité à l’intérieurd’une particule fondamentale, il n’en restepas moins que la frontière d’une particule

fondamentale constitue, elle-même, unetelle surface.A la vue de ce qui caractérise un domainecontinu c, il parait difficile d’assimiler undomaine de matière à un tel domaine etdonc, à fortiori, à un domaine à l’inté-rieur duquel la distribution de la masseest continue.

Les dimensions des planétes sont très pe-tites devant les distances qui les séparent.L’Univers constitue, cette fois-ci, dans ledomaine de l’infiniment grand, un autreexemple de domaine discontinue.

Ainsi au total la Nature est pleine de vide.

Un corps est un domaine discret de parti-cules fondamentales.

aParticules fondamentales de la matière: Proton, neutron et négatonbUn corps de matière solide ou fluide.cUn domaine idéal de référence


P4.8 Masse volumique ponctuelle .

Un corps peut être constitué de matière solide, fluide ou solide et fluide.Une parcelle d’un corps est une portion de ce corps.

Afin de satisfaire aux besoins de l’analyse mathématique des phénomènes phy-siques se produisant dans un corps, nous pouvons imaginé qu’un ensemble continude points géométriques occupe l’espace que le corps occupe et que la masse volu-mique de n’importe quelle parcelle, de volume infiniment petit, contenant un deces points, peut être définie.Parcelle d’un domaine de points désignera une portion de cet ensemble de points.

1 Parcelle infiment petite :

Considérons l’ensemble EP, ensemble infinide parcelles contenant un point P (voir§ ?? page ??).

Déformons progressivement toutes les par-celles de cet ensemble P afin que les vo-lumes de ces parcelles diminuent sans quele point P ne sorte de ces parcelles.Le point P reste immobile par rapport audomaine D (voir la figure).

Tout en se déformant, les parcelles peuventpivoter autour du point P .A part le point P , tous les autres pointsgéométriques contenus par les particulespeuvent donc changer.

Les valeurs prises par les éléments de l’en-semble Em et par les éléments de l’en-semble EV vont décroitrent. Elles vontfinir par devenir infiniment petits.

Ces grandeurs seront alors qualifiés demasses élémentaires et de volumes élé-mentaires.

Nous les noterons respectivement:

E(dm) = {dm1, dm2, · · · , dmn, · · · }

et:

E(dV) = {dV1, dV2, · · · , dVn, · · · }

60 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.PLANCHES 2 Masse volumique d’une parcelle infiment petite:

Si les masses volumiques de ces parcelles(voir § ?? page ??) tendent vers unemême limite lorsque leurs volumes tendentvers zéro, alors cette limite est appelée lamasse volumique ponctuelle de la parcelleP contenant le point P .Cela signifie que la valeur de cette limite nedépend pas de la manière dont le volumede la parcelle diminue lorsqu’il tend verszéro, mais, uniquement, de la position dupoint qu’il doit contenir en permanence.

Nous dirons alors que la distribution de lamasse est continue au voisinage du pointP .

La masse volumique ponctuelle de la par-ticule P est notée

•ρP.

Ainsi l’équivalence existant entre la parcelle P, parcelle quelconque contenant le pointP , et l’ensemble P des parcelles contenant ce point, se traduit par:

•ρP= lim

V1→0

m1

V1︸︷︷︸ρ1

= limV2→0

m2

V2︸︷︷︸ρ2

= · · · = limVn→0

mn

Vn︸︷︷︸ρn

⇐⇒•ρP= lim

Vp→0

mP

VP︸︷︷︸ρP

D’une manière générale, la masse volu-mique ponctuelle d’une parcelle P peut va-rier spatialement et temporellement: c’estune fonction du point P et du temps t.Les variables P et t sont appelées variablesd’Euler a.C’est pourquoi la fonction masse volu-

mique ponctuelle sera notée•ρE

P

(P, t):

La masse volumique ponctuelle en unpoint P et à un instant t, est la valeuratteinte, à cet instant, par le quotient de

la masse d’une parcelle quelconque, conte-nant ce point, sur le volume occupé parcette parcelle, lorsque ce volume tend verszéro sans que le point P ne sorte de cetteparcelle.Nous dirons alors que la distribution de lamasse est, à cet instant, continue dans levoisinage du point P .Si le point P est un point quelconque dudomaineD alors, ce qui vient d’être dit, estvrai en n’importe quel point du domaine.

A un instant t, la masse volumique b d’une parcelle d’un domaine est égale à:

ρP =mP

VP=

1

VP

∫∫∫VP

•ρP(P, t)dV = ρP(P,V, t) (4.37)

V désigne le volume de l’espace occupé par le corps ou par une de ses parcelles.

aNous verrons que ρP peut aussi être exprimée en fonction de variables dites variables deLagrange

bMoyenne spatiale de la masse volumique


3 Masse volumique d’une parcelle infiment petite:

Un volume infiniment petit n’est pas nulmais presque.Disons que « l’espace occupé par une par-celle de volume infiniment petit n’est guèreplus grand que celui d’un point géomé-trique qui, lui, n’en occupe pas ».C’est pourquoi, la masse volumique d’uneparcelle infiniment petite peut être consi-dérée comme la masse volumique en unpoint d’un domaine que cette parcellecontient.

Ainsi, la masse volumique peut être quali-fiée de masse volumique ponctuelle.La masse volumique ponctuelle peut va-rier, d’un point à un autre, à l’intérieurd’un domaine.Notons P un point quelconque du do-maine géométrique.

La masse volumique ponctuelle, en unpoint P , est donc la masse volumiqued’une parcelle, infiniment petite, conte-nant ce point P .Désignons par

•ρ la masse volumique ponc-

tuelle.


D: Domainecontinu depointsmasse volumique.

P4.9 Distribution continue de la masse .

A un instant t, nous dirons que la distribution de la masse est continue en un pointP d’un domaine D si les masses volumiques de toutes les parcelles a, contenant cepoint P , tendent toutes vers une même limite lorsque leurs volumes tendent verszéro.Cette limite est la masse volumique ponctuelle au point P . Elle est notée

•ρP.

En posant mP la masse de n’importe laquelle de ces parcelles et VP son volume,ceci peut se traduire par:

limVP→0

mP

VP= limVP→0

M(P,VP, t

)VP

= limVP→0

ρ(P,VP, t)︸︷︷︸ρ(P, dVP)

=•ρ(P, t) (A)

Si la disribution de la masse est continue en tout point d’un domaine, ladisribution de la masse est continue dans tout ce domaine.

Visualisons, ici, cette notion.aC’est-à-dire d’une quelconque de ces parcelles.

1 Domaine D :

Considérons un point géométrique P quel-conque situé à l’intérieur d’un domaine D

quelconque, et un axe X quelconque pas-sant par ce point P .Le domaine D est un domaine continu depoints matériels.

Le point P restera immobile.Il occupe la position d’abscisse X sur l’axeX..

Figure 1: Domaine D, axe X et point Pd’abscisse XP .

2 Deux parcelles quelconques contenant le même point:

Représentons, parmi un nombre infini deparcelles qui peuvent contenir le point P ,deux parcelles quelconques de forme sphé-rique dont les centres occupent respective-ment deux points géométriques M1 et M2

situés sur l’axe X.

Appelerons P1 et P2 ces deux parcelles.

m1, m2, V1 et V2 sont les masses et vo-lumes respectifs de P1 et P2.Sur l’axe X, les parcelles P1 et P2 sontrespectivement positionnées en X = X1 eten X = X2.

Rappelons que les volumes V1 et V2 dessphères sont liés à leurs rayons respectifs

R1 et R2 par les relations suivantes:

V1 =4

3π R3

1 (B) et V2 =4

3π R3

2 (C)

Figure 2: Deux parcelles contenant lemême point P .


Voir Planche:P4.6Page 50.

3 Masse, volume et position des deux parcelles:

Introduisons la fonctionmP = M(X,VP, t) (D)

Celle-ci donne, à chaque instant t, la massemP d’une parcelle du domaine D en fonc-tion de la position de cette parcellle surl’axe X et en fonction du volume VP decette parcelle.

Hypothèse: Supposons que, dans un re-père {X,V,mP}, le graphe de cette fonc-tion soit, à chaque instant t, une surfacecontinue non brisée.Notons cette surface S (figure 3).

Plaçons, progressivement, sur S :1. Le point M1 de coordonnées

(X1,V1,m1) lié à P1 (figure 4)2. Le point M2 de coordonnées

(X2,V2,m2) lié à P2

3. Le point géométrique P en X4. Les courbes C1 et C2 qui délimite la

partie de la surface S sur laquelle lesdeux pointsM1 etM2 doivent tou-jours se trouver afin que les parcellesP1 et P2 contiennent en parmanencele point P lorsque leurs volumes V1

et V2 varient (figure 5).En effet, puisque le point P estcontenu dans la parcelle P1, la dis-tance ‖

−−−→M1P ‖ qui sépare le centre

de cette parcelle du point P doit êtreinférieure ou égale au rayon R1 decette parcelle sphérique.Ce que nous pouvons traduire par:

‖−−−→M1P ‖︸︷︷︸‖X−X1‖

≤ R1 =3

√3

4πV1 (E)

Ce raisonnement s’applique aussi àla parcelle P2.Les projections des courbes C1 et C2

sur le plan {X,V} sont donc les li-mites du domaine de définition de lafonction M pour les parcelles sphé-riques dont les centres sont situéssur l’axe X et qui contiennent lepoint P .Précisons que, sur la figure E, lespoints M1 et M2 sont situés sur C1

et C2.Notons:

1. Π1 le plan d’équation X = X1 pas-sant par le point P1 (figure 5).

2. Π2 le plan d’équation X = X2 pas-sant par le point P2.

3. Π le plan d’équation X = C passantpar le point P .

Figure 3: Graphe de mP = M(X,VP, t) àl’instant t = T .

Figure 4: Deux points de la surface S.

Figure 5: Enfin, tout est placé sur legraphe.

.


4 Masses volumiques des deux parcelles:

Notons:

1. α1 l’angle défini par (figure F):

tanα1 =m1

V1(G)

2. α2 l’angle défini par:

tanα2 =m2

V2(H)

La masse volumique de la parcelle P1 estégale à (voir § ?? page ??) :

ρ1 =m1

V1(I)

Avec (G), (I) devient :

ρ1 =m1

V1= tanα1 (J)

De la même façon nous obtenons la massevolumique de la parcelle P2:

ρ2 =m2

V2= tanα2 (K)

.

Figure 6: Vue de coté du graphe demP = M(X,VP, t) à l’instant t = T .

.


5 Diminution des volumes des deux parcelles:

Réduisons les volumes V1 et V2 des par-celles P1 et P2 tout en veillant à ce qu’ellesconservent le point P à l’intérieur de leurespace commun (Figures 7).Ces volumes finiront par devenir infini-ment petits. Ils seront alors qualifiés devolumes élémentaires, respectivement no-tés dV1 et dV2.

Voyons les conséquences de cette réductionde volume sur les autres grandeurs:

1. Les masses m1 et m2 vont diminuer.Et lorsque les volumes deviendrontinfiniment petits, ces masses devien-dront, elles-aussi, infiniment petites.Ces masses seront alors qualifiés demasses élémentaires et seront dési-gnées par dm1 et dm2.

2. Les positions des plans Π1 et Π2

d’abscisses respectives X1 et X2

vont se rapprocher du plan Π (figure8).En effet, puisque le point P resteimmobile sur l’axe X et que les vo-lumes V1 et V2 diminuent, il est im-pératif que les points M1 et M2 serapprochent du point P .Les points M1 et M2 seront infini-ment proches du point P lorsque lesvolumes seront infiniment petits.

3. Les deux pointsM1 etM2 vont des-centre le long de la surface S dansle couloir limité par les coubes C1

et C2. Ils seront situés dans le voi-sinage infiniment proche du pointP lorsque les volumes tendront verszéro.

4. Les angles α1 et α2 vont se rap-procher de l’angle entre la tangenteà la surface S en P et l’axe Vdans le plan Π jusqu’à ce qu’ils de-viennent infiniment proche de cetangle lorsque V1 et V2 deviendrontinfiniment petits.

Si les volumes des parcelles deviennentnuls alors les masses de ces parcelles ledeviendront aussi.Tous les points seront alors confondus avecle point P .

.

Figure 7: Les deux parcelles contrenant lepoint P sont devevues très petites.

Figure 8: Déplacements des pointsM1 etM2 sur la surface S du fait de la

diminution du volume des deux parcelles.

Figure 9: Vue de coté du graphe demP = M(X,VP, t) à l’instant t = T .

.


6 Masse volumique ponctuelle d’une parcelle quelconque:

Ainsi, lorsque les volumes V1 et V2 tendent vers zéro, les angles α1 et α2 tendent versun angle α.Les deux quotients (J) et (K) tendent donc vers la même limite tanα.

Ce que nous pouvons traduire par:

limV1→0

ρ1 = limV1→0

m1

V1=

(dm1

dV1

)P

= tanα (L)

limV2→0

ρ2 = limV2→0

m2

V2=

(dm2

dV2

)P

= tanα (M)

Nous avons considérer deux parcelles quelconques parmi une infinité de parcelles quicontiennent le point P .Celles-ci sont centrées sur un axe X passant par le point P .L’axe X est un axe quelconque parmi une infinité d’axes qui passent par le point P .Nous pouvons donc conclure que notre propos est généralisable à n’importe quelleparcelle contenant le point P .Ainsi la masse volumique de toutes les parcelles, contenant le point P , tendent vers lamême limite lorsque leurs volumes tendent vers zéro.

Cette limite est la masse volumique ponctuelle au point P . Nous la notons•ρP (P, t).

L’égalité (A) est vérifiée. La distribution de la masse est continue au point P .

7 Distribution continue de la masse:

Si nous considérons que le point P est un point quelconque d’un domaine D alors ladistribution de la masse est continue à l’intérieur de tout ce domaine.

C’est pourquoi la surface S est une surface non brisée.



Voir Planche«Distributioncontinue de lamasse volumi-que». Page 62.

P4.10 Continuité spatiale de la fonction ρ

Si, à un instant t et en un point P situé à l’intérieur d’un domaine D, la distri-bution de la masse est continue alors, en ce point, la masse volumique ponctuelleρP = ρ

(P, t)est une fonction continue des coordonnées du point.

Ce que nous pouvons traduire par:

limP ′→P

ρ(P ′, t

)︸︷︷︸ρP(P ′, dV, t)

= ρ(P, t)︸︷︷︸

ρP(P, dV, t)

(A)

Si le point P est un point quelconque du domaine alors la fonction ρ(P, t)est

continue en tout point de ce domaine.Visualisons, ici, l’égalité (A).

1 Deux parcelles quelconques:

Considérons, à un instant t, à l’intérieurd’un domaine D de points matériels, deuxparcelles quelconques P et P′, de volumes,infiniment petits, respectivement égales àdV et dV ′.Les centres de ces parcelles P et P′ oc-cupent, respectivement, deux points M etM ′, situés sur un axe X.L’espace commun aux deux parcelles P etP′ contient deux points P et P ′.Rapprochons la parcelle P′ de la parcelleP...

Figure 1: Deux parcelles quelconques, devolumes infiniment petits, dans un do-maine de points matériels.

2 Masses volumiques des parcelles:

La distribution de la masse est uniformedans le domaine (hypothèse 1).

Ainsi, la masse volumique de la parcelle P(la masse volumique ponctuelle au pointP ) est égale à:

ρ(P,t) = limV→0

ρ(P,V,t)︸︷︷︸ρ(P, dV,t)

= tanα (B)

De même, la masse volumique de la par-celle P′ (la masse volumique ponctuelle aupoint P ′) est égale à:

ρ(P ′,t) = limV ′→0

ρ(P ′,V ′,t)︸︷︷︸ρ(P ′, dV ′,t)

= tanα′ (C)

Rappelons que, dans le cas de l’hypo-thèse 1, le domaine doit être un do-maine continu de points matériels et quele graphe de la fonction

mP = M(XP,VP, t)est une surface continue non brisée.

Nous pouvons en déduire que, lorsque lepoint P ′ tend vers le point P , tanα′ tendvers tanα.L’égalité (A) est donc vérifiée.

Figure 2: Masse d’une parcelle quelconqueen fonction de sa position sur un axe X etde son volume V.


P4.11 Surface de discontinuité .

Qu’une parcelle de matière soit très petite ou infiniment petite, la masse volu-mique de celle-ci ne peut pas être déterminée en des points situés sur certainessurfaces.Ces surfaces sont nommées surfaces de discontinuité.

C’est, par exemple, le cas d’une surface séparant un espace contenant des parti-cules fondamentales et un espace qui n’en contient pas.

1 Exemples de surfaces de discontinuité:

Cavités à l’intérieur d’un corps:

Considérons un corps C à l’intérieur duquelil existe deux espaces sphériques «sansmasse» (figure 1).Autrement dit, aucun point géométriqueattaché à une particule fondamentale necoincide avec un point géométrique situé àl’intérieur de ces deux espaces.Les surfaces de chacune de ces deuxsphères sont des surfaces de constinuité.

Figure 1: Cavités dans un corps.

Liquides non miscibles:

Un réservoir contient deux liquides immobiles non miscibles: de l’eau et de l’huile (figure2).L’interface entre ces deux liquides est une surface de discontinuité.

Figure 2: Deux liquides non miscibles.



2 Distribution de la masse discontinue:

Imaginons toutes les parcelles de matièpouvant contenir un même point situé surune surface de discontinuité (figure 3).

Dans ce cas, les masses volumiques detoutes ces parcelles ne tendent pas versune même valeur lorsque les volumes deces parcelles tendent vers zéro en conte-nant toujours ce même point.

Ainsi la masse volumique ponctuelle nepeut pas être déterminée en un point situé

sur une surface de discontinuité.

Nous dirons que la distribution de la masseest discontinue dans le voisinage d’unpoint situé sur une telle surface.

En conséquence de quoi, la masse volu-mique ne peut pas être une fonction conti-nue des coordonnées du point en un pointsitué sur une surface de discontinuité.

Figure 3: Point P situé à l’intérieur de deux parcelles.


D: Domainecontinu depointsmatériels.

Voir Planchepage 62

P4.12 Distribution discontinue de la masse .

A un instant t, nous dirons que ladistribution de la masse est disconti-nue, en un point P , d’un domaine D,si les masses volumiques de toutes lesparcelles a, contenant ce point P , netendent pas toutes vers une même li-mite lorsque leurs volumes tendent verszéro b.En posant mP la masse de n’importe la-quelle de ces parcelles et VP son volume,ceci peut se traduire par:

limV→0

m

V6= limite unique (A)

Visualisons, ici, cette notion.

.

Figure 1: Domaine D.

.

aC’est-à-dire d’une quelconque de ces parcelles.bEn quelque sorte cette limite dépend de la façon dont le volume de la parcelle tend vers

zéro.

1 Parcelles d’un domaine:

Un domaine D est composée de deux sous-domaines, un sous-domaine D1 et sous-domaine D2.La masse volumique du sous-domaine D1

est égale à ρ1 et la masse volumique dusous-domaine D2, est égale à ρ2 (figure 2).Ces deux sous-domaines sont séparées parune fontière de surface S.

Considérons un axe X traversant le do-maine D et une parcelle P dont le centreoccupe un point géométrique M situé surcet axe (figure 3).Situons l’origine de l’axe X sur la fontièreséparant les parties D1 et D2 du domaine D.

La parcelle pourra se trouver, soit, complé-tement, dans la partie D1 ou dans la partieD2, soit à cheval sur la frontière séparant.La parcelle est de forme cubique de côtéC.Le volume de la parcelle est donc égal à:

VP = C3

Nous noterons V1 le volume de l’espace quela parcelle occupera dans la partie D1 et V2

le volume qu’elle occupera dans la partieD2.

Figure 2: Sous-domaines D1 et D2 dudomaine D.

Figure 3: Parcelle P, de côté C, de centreM sur l’axe X.

.


2 Masse et position de la parcelle:

Notons V1 le volume de l’espace, occupépar la parcelle P, à l’intérieur du sous-domaine D1 et V2 le volume que cette par-celle occupe à l’intérieur du sous-domaineD2.Si nous supposons que les masses volu-miques ρ1 et ρ2 sont uniformes dans lessous-domaines respectifs D1 et D2 (hypo-thèse 1) alors la masse m1 présente dansD1 sera égale à:

m1 = ρ1 V1

et la masse m2 présente dans D2 sera égaleà:

m2 = ρ2 V2

Dans le cas où la parcelle est à cheval surla frontière séparant les sous-domaines D1

et D2, la masse de la parcelle P s’exprimeradonc de la manière suivante:

mP=m1 + m2 =ρ1 V1 + ρ2 V2 =ρPVP (B)

où ρP est la moyenne spatiale de massevolumique de la parcelle P a.

Déterminons, maintenant, la masse de laparcelle P selon la position M , d’abscisseX, que son centre occupe sur l’axe X:

• Cas oùC

2< X: La totalité de la par-

celle est dans le sous-domaine D2 (figure4), donc:

V1 = 0, V2 = C3

(B) devient:

mP = ρ2C3 (C)

• Cas où X =C

2: La totalité de la par-

celle est toujours dans le sous-domaine D2

mais une de ses faces est dans le plan dela frontière (figure 5), donc la masse de laparcelle s’exprime:

mP = ρ2C3 (D)

• Cas où 0 < X <C

2: La majorité de l’es-

pace occupé par la parcelle se trouve dansle sous-domaine D2 (figure 6), donc:

V1 = C2

(C

2−X

), V2 = C2

(C

2+X

)(B) devient:

mP = ρ1C2

(C

2−X

)+ ρ2C

2

(C

2+X

)= C3

[ρ1

(1

2− X

C

)+ ρ2

(1

2+X

C

)]= C3

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

X

C

](E)

.

Figure 4 : Parcelle P dans D2 .

Figure 5 : La parcelle P est toujours dansD2.

Figure 6 : La parcelle P est à cheval sur lafrontière.

aLa moyenne de la masse volumique à l’intérieur de l’espace occupé par la parcelle.


3 Masse et position de la parcelle (suite):

• Cas où X = 0: le centre de la parcelle setrouve sur la frontière (figure 7) , donc:

V1 = C2 C

2=C3

2, V2 = C2 C

2=C3

2

(B) devient:

mP = ρ1C3

2+ ρ2

C3

2

=ρ1 + ρ2

2C3 (F )

• Cas où −C2< X < 0 : La majorité de

l’espace occupé par la parcelle se trouvemaintenant dans le sous-domaine D1 (fi-gure 8), donc:

V1 = C2

(C

2−X

), V2 = C2

(C

2+X

)(B) devient:

mP = ρ1C2

(C

2−X

)+ ρ2C

2

(C

2+X

)= C3

[ρ1

(1

2− X

C

)+ ρ2

(1

2+X

C

)]= C3

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

X

C

](G)

• Cas où X = −C2: la totalité de la par-

celle est dans le sous-domaine D1 et une deses faces est dans le plan de la frontière(figure 9), donc:

mP = ρ1 C3 (H)

• Cas où X < −C2: la parcelle est au mi-

lieu de la partie D1 (figure 10), donc:

mP = ρ1 C3 (I)

Figure 7 : Le centre de la parcelle P est aupoint 0.

Figure 8: La majorité de l’espace occupépar P est maintenant dans D1.

Figure 9

Figure 10


4 Masse, volume et position d’une parcelle:

En résumé, la masse mP d’une parcelle cu-bique P , de coté C et de volume VP, est,selon la position PP de son centre d’abs-cisse X sur l’axe X, égale à:

• Pour X ≤ −C2:

mP = ρ1 C3︸︷︷︸VP

(J)

• Pour −C2≤ X ≤ C

2:

mP = C3︸︷︷︸VP

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

X

C

](K)

• Pour C2≤ X:

mP = ρ2 C3︸︷︷︸VP

(L)

Convenons maintenant que la masse volu-mique ρ1 du domaine D1 est supérieure àla masse volumique ρ2 du domaine D2:

ρ1 > ρ2

Différentes représentations:

1. Première représentation: les valeursdes masses volumiques ρ1 et ρ2

étant fixées, nous pouvons exprimerla masse mP d’une parcelle P en fonc-tion de sa positionX et la dimensionC de son côté:

mP = M1(X,C) (M)

La valeur de C est positive ou nulle.

2. Deuxième représentation: le graphede la fonction M1(X,C) peut aussiêtre représenté en fonction du rap-

portX

Cet de C (figure 9):

mP = M2

(XC,C)

(N)

3. Troisième représentation: Puisque levolume de la pacelle est égale àVP = C3, la fonction peut aussi êtrereprésentée comme une fonction dela forme:

mP = M(X,VP) (O)

Figure 11 : Graphe de mP = M2

(XC,C).

.


5 Masse volumique d’une parcelle:

En divisant la masse d’une parcelle parson volume, nous obtenons la masse volu-mique a de cette parcelle.

Ainsi:• Pour X ≤ −C

2:

La masse de la parcelle est donné par (J),donc:

ρP =mP

VP= ρ1 (P )

• Pour −C2≤ X ≤ C

2:

La masse de la parcelle est donné par (K),donc:

ρP =mP

VP=

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

X

C

](Q)

• Pour C2≤ X:

La masse de la parcelle est donné par (L),donc:

ρP =mP

VP= ρ2 (R)

.

Figure 12 Graphe de ρP

.

Figure 13 Graphe de ρP = ρP(X,VP)

aLa masse volumique moyenne à l’intérieur de l’espace occupé par la parcelle.


6 Masse volumique de parcelles traversées par la frontière:

Considérons parmi les parcelles dont le centre est situé sur l’axe X celles qui contiennentle point P d’abscisse X = 0: les parcelles à cheval sur la fontière séparant les domainesP1 et P2.

• Parcelles pour lesquelles XC

=1

4:

Il en y a un nombre infini de ces parcelles.Notons PA cet ensemble de parcelles ho-mothétiques entre elles.Représentons deux de ces parcelles, appe-lons les P1 et P2 (figure 14). Leurs centresrespectifs occupent la positions M1 d’abs-cisse X = X1 et M2 d’abscisse X = X2.Plus le volume d’une parcelle est petit et

plus son centre est proche du point P .La masse volumique de ces parcelles est,quelque soit son volume, égale à (voir Q):

ρA =mA

VA=

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

1

4

]Donc, lorsque son volume tend vers zéro,la limite de la masse volumique d’une par-celle PA est égale à:

limVA→0

mA

VA= ρA

• Parcelles pour lesquelles XC

=1

3:

Représentons deux parcelles P3 et P4 d’unnouvel ensemble PB de parcelles homothé-tiques entre elles (figure 15).La masse volumique d’une telle parcelleest, quelque soit son volume, égale à:

ρB =mB

VB=

[ρ1 + ρ2

2− (ρ1 − ρ2)

1

3

]Donc, lorsque son volume tend vers zéro,la limite de la masse volumique d’une par-celle PB est égale à:

limVB→0

mB

VB= ρB


7 Distribution discontinue de la masse:

Quelque soit leurs volumes, les ensembles de parcelles PA et PB contiennent toutes lemême point P ; même lorque leurs volumes tendent vers zéro.

Pourtant les masses volumiques de ces parcelles ne tendent pas vers la même limitelorsque les volumes de ces parcelles tendent vers zéro.La limite des masses volumiques de ces parcelles, lorsque les volumes de celles-ci tendentvers zéro, dépend donc de la façon dont ces volumes tendent vers zéro.Ainsi, pour une parcelle quelconque contenant le point P , nous pouvons écrire que:

limVP→0

mP

VP6= limite unique

La distribution de la masse n’est donc pas continue au point P .

Puisque ceci est vrai quelque soit la position du point P sur la fontière S, la distributionde la masse n’est donc pas continue le long de cette frontière.

8 Distribution discontinue de masse (exemples)


P4.13 Domaine discontinu

Un domaine matériel est constitué d’éléments de masse, de forme cubique,dispersés à l’intérieur de l’espace occupé par ce domaine.

Des phénomènes physiques se produisent à l’intérieur de ce domaine et ceux-cidoivent être caractérisés grâce à des grandeurs physiques dont les valeurs sontdifférentes d’un point à l’autre du domaine.Le domaine doit donc être morcelé en parcelles.Connaissant la masse et les dimensions de chaque élément de masse ainsi que lesdistances entre ces éléments, nous en déduirons la masse volumique d’une parcellequelconque de ce domaine.

1 Le domaine est un parallélépi-pèdique rectangle.Désignons le par la lettre D.

2 Un agrandissement montre l’existenced’allées entre les éléments de masse.Ceci s’explique par le fait que les élémentsde masse sont alignées entre eux.

3 Les éléments de masse sont de forme cubique. Ils ont tous la même dimension.


E: élément demassemE: masse de EVE: volume de EB: côté de EρE: masse volu-mique de E.

4 Elément de masse :

Notons E un élément de masse.La mesure du côté d’un élément E estégale à B.Son volume est donc égale à VE = B3.Sa masse est égale à mE .Supposons, à l’intérieur de la frontièred’un élément de masse, la masse soit ré-partie de manière continue a.Nous déduisons que la masse volumiqued’un élément de matière est égale à:

ρE =mE

VE

aE est un domaine continu de points matériels.

5 Répartition des éléments de masse (distance A):

Les éléments de masse sont régulièrement répartis à l’intérieur de l’espace occupé parle corps.Les faces des éléments de masse sont parallèles aux faces du corps.La distance entre les deux faces en regard de deux éléments de masse est égale à A.


6 Parcelles de petites dimensions: labelPpdim

Imaginons qu’une parcelle P, de forme cubique, traverse un élément de masse E: lecentre M de la parcelle P se déplace le long d’un axe X passant par le centre d’unélément.La dimension C d’un côté de la parcelle P est plus petite que la dimension B du côtéde l’élément; donc C ≤ B.

Indiquons les points géo-métriques de l’axe X quisont situés à l’intérieur del’espace occupé par l’élé-ment de masse a (Courbe1): la valeur 1 en ordon-née si le point d’abscisse Xest dans l’élément et la va-leur 0 dans le cas contraire.

Chacun des points géomé-triques situés sur l’axe Xpeut être occupé par lecentre de la parcelle.

La masse volumique de laparcelle P est égale à:

ρP =mP

VP

Indiquons, aussi, la massevolumique de cette parcelleen fonction de la positionde son centre sur l’axe X(Courbe 2).

Le point P2, situé sur lafrontière de l’élément E,est contenu par la par-celle P lorsque le centrede celle-ci est situé entreles points M1 et M2.

.

.

Dans ce cas, la masse volumique ρP de la parcelle P est comprise entre 0 et ρE , mêmesi la dimension C de cette parcelle est infiniment patite b.Il y a donc plusieurs «masse volumique» au point P2.La situation est la même pour tous les points dont la position se trouve, à une distanceC du point P2, de par et d’autre de ce point.La distribution de la masse n’est pas continue au niveau des points situées sur la frontièrede l’élément E (voir la planche page 70).La fonction masse volumique d’une telle parcelle n’est pas une fonction continue en toutpoint du domaine.

aLes points matériels qui coincident avec des points géométriques.bNotons que plus la parcelle sera petite et plus les portions de courbe P1P2 et P3P4 seront

pentues.


Parcelle Pde masse mP

de volume VPde côté C.

7 Parcelles de grandes dimensions:

A l’intérieur du domaine, considérons maintenant des parcelles cubiques de dimensionssupérieures ou égales à la distance A .D’une manière générale, la dimension d’un côté d’une parcelle est désignée par la lettreC; donc C ≥ A.Le volume d’une parcelle est donc égale à VP = C3.Les centres de toutes ces parcelles occupent tous le même point: un point géométriqueM situé au centre d’un espace vide séparant huit éléments de masse voisins.

Sur la figure, ci-dessous, nous voyons:

1. Une parcelle de côté C = A limitant un espace cubique teinté en bleu2. Le point M , centre de toutes les parcelles. Afin de le rendre plus visible, il est

situé au centre d’un espace sphérique vide teinté en rose mais perçu en violet autravers de la frontière fictive bleue de la parcelle.

Notons que chacun des huits sommets, de la parcelle représentée, occupe un des sommetsde chacun des huits éléments de matière voisins. Ainsi cette parcelle ne contient pasd’élément de masse.


A: distance entredeux éléments demasse voisins

B: côté d’un élé-ment de masse

NE: nombred’éléments demasse dans P.

VM : volume to-tal d’éléments demasse dans P.

Expressions deC, VP , NE etVM .

8 Dimensions des grandes parcelles:

Considérerons un très grand nombre de grandes parcelles.Rappelons qu’elles sont toutes centrées sur le même pointM Dans un plan, passant parle point M et parallèle aux faces des éléments de masse, représentons quelques une deces parcelles (voir ci-dessous).

Ajoutons que toutes les parcelles sont choisies de manière à ce que la dimension C deleurs côtés puissent s’exprimer, simplement, en fonction de A, de B et d’un nombreentier k, à l’aide de quatre expressions.A partir de chacune de ces expressions, nous déduirons celles donnant VP , le volumed’une parcelle, NE le nombre d’éléments de masse et VM le volume total d’éléments demasse que la parcelle contient.

Ainsi:

• 1. Pour C = 1A+ 0B 3A+ 2B, 5A+ 4B, · · · , (2k + 1)A+ 2kB:

VP = C3 = ((2k + 1)A+ 2kB)3, NE = (2k)3 et VM = NEVE = (2kB)3

• 2. Pour C = 1A+ 1B, 3A+ 3B, 5A+ 5B · · · , (2k + 1)A+ (2k + 1)B:

La frontière des parcelles traverse des éléments de masse.

VP = C3 = ((2k + 1)A+ (2k + 1)B)3, NE = (2k)3 + 81

8+ 6(2k)2

1

2

et VM = NEVE = (2kB)3 + 8(B

2

)3+ 6(2kB)2

B

2.

• 3. Pour C = A+ 2B, 3A+ 4B, 5A+ 6B · · · , (2k + 1)A+ 2(k + 1)B :

VP = C3 = ((2k − 1)A+ 2kB)3, NE = (2(k + 1))3 et VM = NEVE = (2(k + 1)B)3

• 4. Pour C = 2A+ 2B, 4A+ 4B, 6A+ 6B · · · , 2(k + 1)A+ 2(k + 1)B :

VP = C3 = (2kA+ 2kB)3, NE = (2(k + 1))3 et VM = NEVE = (2(k + 1)B)3


E: élément demassemE: masse de EVE: Volume de EB: côté de E

P: ParticulemP : masse de PVP : volume deP.C: côté de P

9 Masse volumique d’une parcelle:

La masse totale des NE éléments de masse, autrement dit, la masse mP de la parcelleest donc égale à:

mP = NE mE = NE ρE VEComme VM = NEVE , la masse de la parcelle est donc égale à:

mP = NE ρE VE = ρE (NE VE) = ρEVMLa masse volumique de la parcelle:

ρP =mP

VP= ρE

VMVP

Le rapport des masses volumiques est donc égale à:

ρP

ρE=VMVP

(A)

VM et VP dépendent de la dimension C du côté de la parcelle (Voir page 81).

Ainsi:

• 1. Si C est de la forme C = (2k + 1)A+ 2kB :

ρP

ρE=

(2kB

(2k + 1)A+ 2kB

)3

=1(

2k + 1

2k

A

B+ 1

)3 donc limk→∞

ρP

ρE=

1(A

B+ 1

)3

• 2. Si C est de la forme C = (2k + 1)A+ (2k + 1)B :

ρP

ρE=

(2kB)3 + 8

(B

2

)3

+ 6(2kB)2B

2((2k + 1)A+ (2k + 1)B

)3 =

1 +8

(2kB)3

(B

2

)3

+6

2kB

B

2(2k + 1

2k

A

B+

2k + 1

2k

)3

donc limk→∞

ρP

ρE=

1(A

B+ 1

)3

• 3. Si C est de la forme C = (2k + 1)A+ 2(k + 1)B :

ρP

ρE=

(2(k + 1)B

(2k + 1)A+ 2(k + 1)B

)3

=1(

2k + 1

2(k + 1)

A

B+ 1

)3 donc limk→∞

ρP

ρE=

1(A

B+ 1

)3

• 4. Si C est de la forme C = 2(k + 1)A+ 2(k + 1)B :

ρP

ρE=

(2(k + 1)B

2(k + 1)A+ 2(k + 1)B

)3

=1(

A

B+ 1

)3 donc limk→∞

ρP

ρE=

1(A

B+ 1

)3

Conclusion: La masse volumique ρP de toutes les parcelles tend vers une mêmelimite finie lorsque leurs volumes tendent vers l’infini. Notons ρ∞ cette limite:

limk→∞

ρP

ρE=

1(A

B+ 1

)3 =ρ∞ρE

(B)


10 Distance A entre deux éléments de masse:

Transformons l’expression de ρ∞ (égalité (B) page 82):

ρ∞ρE

=1

ρElimk→∞

ρP =1(

A+B

B

)3

Donc:

ρ∞ = limk→∞

ρP =ρE(

A+B

B

)3 =

mE

VE(A+B

B

)3 =

mE

B3(A+B

B

)3 =mE

(A+B)3 (A)

D’où l’on tire:

A+B = 3

√mE

ρ∞(B)

11 Molécule d’oxygene:

La masse mD d’un domaine D d’oxygene, de volume VD = 22,4 l, est égale à mD = 32 g.Donc la masse volumique du domaine D :

ρD =mDVD

=32.10−3

22,4.10−3= 1,43 kg/m3

Assimilons une molécule d’oxygene à un élément de masse.Le domaine D contient NE = 6,02.1023 éléments de masse a.La masse d’un élément de masse est donc égale à:

mE =mDNE

=32.10−3

6,02.1023= 5,31.10−26 kg

En appliquant l’égalité (B) du cadre précédent, sachant que ρ∞ = ρD:

A+B = 3

√mE

ρ∞= 3

√5,31.10−26

1,43= 3.10−9m = 3nm

Le diamétre d’une molécule d’oxygene est égale à d(O2) = 0,296nm.Admettons que le côté de l’élément de masse est égale à ce diamétre:

B = d(O2) = 0,296nm

En supposant que dans le domaine D d’oxygene, les molécules sont, entre elles, ré-gulierement espacées, la distance séparant deux molécules d’oxygene sera donc égaleà:

A = 3− 0,296 = 2,7nm

aNombre d’Avogadro.


Application

◦Angstrom:1◦A = 1.10−10m

Picomètre:1pm = 1.10−12m

P: ParcelleVP : volume dePC: côté de P

NE: nombred’éléments dematière contenusdans D

VM : volume demasse dans P.

12 Volume et dimension de la parcelle

Posons A = 1.10−10m et B = 0,5.10−10m, doncA

B= 1.105 donc:

limk→∞

ρPρE

=1(

A

B+ 1

)3 =1

(1.105 + 1)3 = 1.10−15

Vérifions, tout d’abord, que le volume VP , d’une parcelle P, évolue correctement enfonction des dimensions C de son côté. La courbe ci-contre tend à prouver que, dans lescalculs, les prises en compte successives et périodiques des quatre différentes expressionsde C ont été correctement réalisées.

13 Nombre d’ éléments de masse et dimension de la parcelle

Bien sûr, plus la parcelle est grande et plus elle contient des éléments de masse.Du fait du choix des domaines de contrôle et des valeurs de A et de B, NE est une«fonction en escalier» de la variable C. Plus la valeur de C est élevée et plus les marchessont hautes.


14 Volume total des éléments de masse et dimension de la parcelle

Le volume VM des éléments de masse contenue dans la parcelle P augmente, lui aussi,avec les dimensions de cette parcelle.

Notons que ces courbes sont représentées en fonction de la variable C et non en fonctionde la variable VP . Ceci facilitera la lisibilité des courbes représentant la masse volumiquemoyenne à l’intérieur des domaines de contrôle de petites dimensions.

15 Volume et masse volumique d’une parcelle:

Voici tout d’abord la courbeρP

ρEexprimée en fonction de VP .

Deux agrandissement de cette courbe montrent les valeurs de la masse volumique despetites et des grandes parcelles.


16 Dimension et masse volumique d’une parcelle:

Notons:

limk→∞

ρ

ρE=ρ∞ρE

donc:

ρPρEρ∞ρE

=ρPρ∞

En outre, puisque les parcelles sont cubiques, les volumes des parcelles peuvent donc,aussi, être exprimées en fonction de C.

D’où la courbeρPρ∞

en fonction de C:


17 Positions, volumes et masses volumiques des parcelles:

Nous avons obtenu la masse volumique de parcelles cubiques, de volumes différents,toutes centrées sur un même point M situé à l’intérieur du domaine D.Nous avons vu que la masse volumique d’une parcelle dépend du volume a qu’elle occupe.Considérons un axe X passant par le pont M (figure ci-dessous). Déplacons, le centreM de toutes ces parcelles, par rapport aux éléments de masse, le long de cet axe X:deux positions sont montrées sur la figure ci-dessous.

Parcelles centrées en X = 0 Parcelles centrés en X =B

2

Nous constatons que la masse volumique d’une parcelle dépend, aussi, de la position quele centre M de cette parcelles occupe par rapport aux éléments de masse du domaineD.

La masse volumique d’une parcelle est donc une fonction de X et de C:

ρPρ∞

= F (X,C)

La masse volumique d’une parcelle est une fonction qui fluctue autour de ρ∞ lorsque levolume et la position de cette parcelle varient.

a ou du coté de ce volume


18 Fonction masse volumique d’une parcelle de grande dimension:

Nous avons déterminé que la masse volumique ρP d’une grande parcelle P du domaineD dépend des grandeurs suivantes:

– X, les coordonnées de la position du centre de la parcelle sur un axe X

– A, la distance entre les éléments de masse– B, la dimension d’un élément de masse– C, la dimension de la parcelle– ρE , la masse volumique d’un élément de masse

D’où la relation suivante entre ces grandeurs et la masse volumique de la parcelle P:

ρP = R(X,A,B,C,ρE) (A)

La répartition de ces éléments de masse, caractérisée par la dimension A, ne changepas d’une région à une autre du domaine D.Nous pouvons imaginer que les centres des éléments de masse occupent les noeuds d’unmaillage qui ne change pas cours du temps.

Tous les éléments de masse sont identiques: même dimension B et même massevolumique ρE .

Donc seules les valeurs des grandeurs X et de C sont succeptibles de varier.La masse volumique ρP peut donc être considérée comme une fonction de ces seulesvariables:

ρP = F (X,C) (B)

Le volume d’une parcelle étant égale à V = C3, la masse volumique ρP peut donc aussis’exprimer comme une fonction de X et de V:

ρP = F (X,V) (C)


19 Particule de matière :

A l’intérieur du domaine D, la masse volumique d’une parcelle P fluctue énormémentautour de la valeur ρ∞ pour de très faibles déplacements de la position M du centrede la parcelle ou pour de très faibles augmentations ou dimininutions du volume V dela parcelle.Une infime erreur sur les valeurs de la position ou du volume d’une parcelle produiraune grande erreur sur la valeur de la masse volumique de la parcelle.La masse volumique d’une quelconque parcelle n’est ni une grandeur mesurable, ni unegrandeur exploitable mathématiquement puisqu’elle n’est pas une fonction continuedans l’espace.Pourtant le domaine D est, en quelque sorte, un bloc d’un matériau homogène.Les masses volumiques des parcelles, centrées en différents points et contenant unmême point P , ne seront donc pas égales.Alors, dans ces conditions, pour quel usage s’attachait à déterminer la masse volumiqued’une parcelle?

Cependant, plus le volume d’une parcelle sera grand et moins les fluctuations enquestion, autour de la valeur de ρ∞, seront importantes.Dès que le volume de n’importe quelle parcelle du domaine tend vers l’infini, la massevolumique de cette parcelle tendra vers ρ∞.

Ce que nous pouvons écrire en considérant les fonctions (A) du cadre 10 (page 83) et(A) du cadre 18 (page 88):

limC→∞

ρP = limC→∞

R(X,A,B,C,ρE) = ρ∞ =ρE(

A

B+ 1

)3 =mE

(A+B)3 (A)

ρ∞ ne dépend plus des grandeurs X et C, d’où:

ρ∞ = R(A,B,ρE) ou ρ∞ = R(A,B,mE) (B)

Nous pouvons supposer que, au-delà d’un certain volume, la masse volumique d’uneparcelle sera pratiquement égale à ρ∞.C’est, donc, lorsque le volume d’une parcelle du domaine D dépassera une certainevaleur que la masse volumique de cette parcelle ne dépendra quasiment plus de laposition de la parcelle et de son volume.

Cette parcelle de matière sera qualifiée de particule de matière.

Nous noterons P une parcelle de matière et (VP)min le volume minimum que doit avoircette particule.

La masse volumique ρP d’une particule de matière pourra être considérée comme unefonction continue des coordonnées du point.Il en sera de même de ses dérivées spatiales.Toutes ces fonctions seront donc exploitable mathématiquement.

90 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.PLANCHES 20 Masse volumique d’une particule de matière :

Une particule de matière est donc une parcelle de matière dont le volume est tel que lamasse volumique ρP de cette parcelle est très peu différente de la masse volumique ρ∞qu’elle aurait si son volume était infini a.La masse volumique d’une particule sera désignée, plus spécifiquement, par ρP .Supposons que la masse volumique ρ∞ soit la grandeur que l’on puisse mesurée sanscommettre d’erreur et que les masses volumiques ρP et ρP désignent respectivementles masses volumiques réelles d’une parcelle de matière et d’une particule de matière.

Nous noterons ε l’écart relatif entre lesmasses volumiques ρP et ρ∞:

|ε| =∣∣∣ρP − ρ∞

ρ∞

∣∣∣ (A)

L’écart relatif ε est dû au fait que le vo-lume de la particule de matière ne tendpas vers l’infini.Donc plus le volume VP d’une parcelle seragrand et plus la valeur de ε sera petite (voirfigure 1).L’écart relatif ε n’est pas tout à fait nullorsque le volume VP d’une parcelle est su-périeur au volume minimum (VP)min quedoit avoir une parcelle pour être aussi uneparticule..

Figure 1: Ecart relatif ε en fonction duvolume d’une parcelle.

.

Déduisons de (A) ci-dessus et de (A) du cadre 19, une expression de la masse volumiquede la parcelle:

ρP = (1 + ε) ρ∞ =(1 + ε) mE

(A+B)3 (B)

Ainsi la masse volumique ρP dépend des grandeurs données dans la relation suivante:

ρP = R(A,B,mE , ε) (C)

Puisque les éléments de masse sont tous identiques alors B et mE sont des constantes,donc la masse volumique d’une parcelle est une fonction de la forme:

ρP = F (A, ε) (D)

aTout au moins à l’échelle des éléments de masse.


21 Masse du domaine :

Le domaine D est morcelé en n particules de matière.Considérons une quelconque de ces particules. Notons la Pi.La masse volumique et le volume de cette particule seront respectivement notés ρ(Pi)

et V(Pi).La masse volumique, que cette particule aurait si son volume était infini, sera notéeρ∞(Pi).

La valeur de la masse du domaine D déduite de la valeur de la masse volumique ρ∞(Pi)

est une valeur approchée de la masse réelle du domaine D.Notons m∗D cette masse approchée. Elle est égale à:

m∗D = ρ∗D VD =

n∑i=1

m(Pi) =

n∑i=1

ρ∞(Pi) V(Pi) (A)

où ρ∗D est la masse volumique a du domaine D entachée de l’erreur due au fait queles masses volumiques ρ∞(Pi) ne sont pas exactement égales aux masses volumiquesρ∞(Pi) des particules composant le domaine.

L’écart relatif entre les masses volumiques sera différent d’une particule à une autre.Concernant l’écart relatif entre les masses volumiques ρ(Pi) et ρ∞(Pi), celui-ci sera noté:

|εi| =∣∣∣ρ(Pi) − ρ∞(Pi)

ρ∞(Pi)

∣∣∣ (B)

La masse réelle du domaine D peut donc être exprimée de la manière suivante:

mD = ρDVD =n∑

i=1

m(Pi) =n∑

i=1

ρ(Pi) V(Pi) =n∑

i=1

(1 + εi) ρ∞(Pi) V(Pi) (C)

ou avec (B) du cadre 20:

mD = ρDVD =n∑

i=1

(1 + εi) mE

(Ai +B)3 V(Pi) (D)

Si le domaine D est morcelé en n parcelles dont les volumes b sont tous égaux, nousobtenons:

mD = ρDVD = n ρP VP = n(1 + ε) mE

(A+B)3 VP (E)

aMasse volumique moyennebRappelons que VP = C3


Cadre à finir

22 Variation spatiale de la distance entre les éléments de masse:

Supposons que la distance A entre les élé-ments de masse n’ait pas la même valeurdans tout le domaine D.

Figure 1: A l’intérieur d’une région dudomaine D, indiquons les valeurs A1, A2

et A3 de la distance A entre quelques élé-ments de masse E1, E2 et E3 centrés surun axe X.

Figure 2: Considérons une parcelle Pi

contenant des éléments de masse situés àl’intérieur du domaine D.Le centre de la parcelle Pi coincide avecle point Mi.La masse volumique et le volume de cetteparticule seront respectivement notés ρ(Pi)

et V(Pi). La masse volumique ρ∞(Pi) est lamasse volumique de la parcelle Pi lorsqueson volume tend vers l’infini (à l’échelled’un élément de masse). C’est cette massevolumique qui peut être mesurée.Par exemple pour la particule P3 conte-nant, avec beaucoup d’autres, les élémentsde masse E1, E2 et E3, nous noterons cesmasses volumiques ρ(P3) et ρ∞(P3).

A l’échelle d’une particule de matière,représentons les masses volumiques me-surées de quelques particules centrés surl’axe X.C’est une fonction en escalier.

Figure 3: A l’échelle du domaine D, re-présentons, maintenant, ces mêmes massesvolumiques pour toutes les particules cen-trés sur l’axe X.Les marches de l’escalier ne sont plus dis-cernables.A cette échelle, l’escalier s’est transforméen une pente rugueuse.

Figure 1 A1 - A1 - A1 - A1 - A1- A2 -A2

- A2 - A3 - A3 - A3 - X- E1 - E2 - E3

Figure 3

Figure 4


Cadre à finir

23 Variations spatiale et temporelle de la distance entre les éléments::

Et si, en outre, les distances varient au cours du temps alors la variable A devient unefonction de la position M d’une particule et du temps t.

Afin de simplifier les calculs et la repésentation des résultats, nous avons possitionnéles points le long d’un axe X. Mais, ici, positionnons le point P dans un repèretridimensionnel, ainsi P (X1,X2,X3).

En conséquence la variable A est une fonction qui peut s’exprimer:

A = A(X1,X2,X3, t)

Donc, si les variations de la masse volumique sont négligeables, à l’échelle d’une parcelle,dans le voisinage d’un point P , par rapport à celles qui existent, à l’échelle du domaine,et que la masse volumique d’une particule est une fonction continue qui peut varier dansl’espa et dans le temps:

ρP = F (X1,X2,X3, t)


.

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 95 EXEMPLES

Venise. Palazzo Pisani. Aquarelle de Caroline M. Bishop

96 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.EXEMPLES E4.1 Masse volumique .

1 Pièce mécanique

Une pièce mécanique en Acier inoxydable de masse volumique ρ = 7900 kg/m3 occupeun volume V = 540mm3.Sa masse m est donc égale au produit de cette masse volumique par ce volume:

m = ρ V = 7900 kg/m3 × 540.10−9 m3 = 4,27.10−3 kg = 4,27 g

2 Huile

Un réservoir contient un volume d’huile égale à V = 120 litres.La masse volumique de l’huile est égale à ρ = 820 Kg/m3.La masse m d’huile dans le réservoir est donc égale à:

m = ρ V = 820 Kg/m3 × 120.10−3 m3 = 98,4 Kg

3 Solution de sulfate de cuivre

Un récipiant contient une solution de sulfate de cuivre (CUSO4).La solution occupe un volume égale à V = 3 litres et sa masse volumique est égale àρ = 1040 Kg/m3.La masse m de la solution dans le réservoir est donc égale à:

m = ρ V = 1040 Kg/m3 × 3.10−3 m3 = 3,12 Kg

4 Liquides non miscibles

A l’intérieur d’un réservoir, un domaine D contient deux liquides immobiles non mis-cibles: de l’eau et de l’huile (voir figure ci-dessous). La masse volumique des particulesvarie donc à l’intérieur de ce domaine.

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 97.EXEMPLES

E4.2 Réservoir d’air comprimé

1 Distribution non uniforme de la masse volumique:

De l’air sort d’un réservoir d’air comprimé de grande dimension.Avant d’entrer dans l’atmosphère, l’air s’écoule à l’intérieur d’un « convergent-divergent» implanté en sortie du réservoir (voir figure ci-dessus).

Dans le réservoir, l’air est immobile.Il est à la pression pres = 6 bars et à la température Tres = 300K.La pression atmosphérique est égale à patm = 1 bar.

La masse volumique ρ des particules d’air varie dans l’espace. Elle est égale à:

– ρres = 5,8 kg/m3 dans le réservoir– ρcol = 3,7 kg/m3 dans la section du col (la plus petite section du «convergent-

divergent »– ρsor = 1,8 kg/m3 dans la section de sortie du divergent

98 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.EXEMPLES

E4.3 Ventilateur a

A l’intérieur d’un ventilateur centrifugetourne une roue semi-ouverte: la rouene posséde qu’un seul flasque [18].

Déposons le conduit d’entrée dans leventilateur ainsi que le flasque supé-rieur de la volute.

Dans le cas d’un ventilateur, nous pou-vons considérer que le corps est consti-tué par les molécules d’air présentes àl’intérieur du ventilateur, entre l’entréeet la sortie de celui-ci.

aVoir Fascicule Pression, exemple

1 Pression instationnaire

La rotation a de la roue du ventilateurproduit des variations spatiales et tem-porelles de la pression de l’air en écou-lement à l’intérieur du ventilateur. Il enest de même de la masse volumique del’air et de toutes les grandeurs qui lacaractérisent.C’est la condition pour que la rouecommunique de l’énergie aux parcellesd’air.Regardons uniquement le film sur l’évo-lution de la pression de l’air.A l’intérieur d’un ventilateur, la pres-sion varie, à un instant donné, d’unpoint à l’autre et, en tout point, d’uninstant à l’autre. Ainsi la pression p estune fonction de la position P à l’inté-rieur du ventilateur et du temps t:

p = F (P, t)

La pression peut être qualifiée de pres-sion instationnaire.Ici, les valeurs de la pression instation-naire sont des valeurs mesurées b (figureci-dessous).La dimension des surfaces sensibles descapteurs (microphones) est très supé-rieure à celle d’une particule matérielle.

aVitesse de rotation N=1400 tours/min.bFréquence d’échantillonnage égale à

16384 Hz, soit un déplacement angulaire de laroue de 0,5 deg entre deux prises de mesure.


2 Décomposition de la pression

La pression p peut être décomposée enune moyenne temporelle p et une fuc-tuation temporelle p (voir figure):

p = p+ p (A)

La moyenne temporelle ρ est une valeurmoyenne entre deux instants t0 et t0 +T :

p =1

T

∫ t0+T

t0

ρ dt (B)

En chaque point de mesure nous avons:

1. p− patm, la différence de pression,entre l’intérieur et l’extérieur duventilateur, mesurée à l’aide d’uncapteur de pression différentiellemoyenne. C’est donc la moyennetemporelle de la pression relative(voir 3 ).

2. p − p, c’est la fluctuation p de lapression (voir 4 ).

En sommant les grandeurs mesurées,nous obtenons:

(p− patm) + (p− p) = p− p (C)

C’est la pression instantannée relative(voir 5 ).

3 Moyenne temporellede la pression relative

La différence de pression p− patm entrel’intérieur et l’extérieur du ventilateurest une grandeur moyennée temporelle-ment. En un point de mesure donné,elle ne varie donc pas au cours dutemps.Autrement-dit, en un point, la va-leur de cette différence est toujours lamême, quelque soit la position angu-laire de la roue.C’est pourquoi la roue n’apparait passur la carte montrant la répartition desvaleurs p− patm dans le ventilateur.

Le débit d’air a traversant le ventilateurest égale à 14 litres/seconde.

aMoyenne temporelle du débit instantanéentrant ou sortant du ventilateur.


4 Fluctuation de la pression (de 0 à 30 degres) .

Lorsque la roue tourne, les valeurs de la fluctuation p de la pression, par rapportà la pression moyenne, varient en chacun des points de mesure.Voyons les cartes de cette fluctuation selon la position angulaire de la roue.

0 deg - 6 deg -


5 Fluctuation de la pression (suite) .

Et la roue continue de tourner...


6 Pression relative .


7 Pression relative .


...

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 105 TABLEAUX

SYNOPTIQUES

Porte vénitienne. Aquarelle de Caroline M. Bishop


...

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 107 TABLEAU

1

T4.1 Accroissement de la masse

Démo de (4.6) - page 17.Entre un état initial et un état final, l’accroissement ∆m de la masse m d’un domaineD (domaine de controle, domaine continu ou discret de points matériels, parcelle dematière...) dépend de l’accroissement ∆ρ de sa masse volumique ρ et de l’accrois-sement ∆V de son volume V .En effet:

∆m = ∆(ρ V) = ρ ∆V + V ∆ρ+ ∆ρ ∆V

Démontrons le ci-dessous.↓

1

L’accroissement ∆m dela masse m d’un do-maine ou d’une parcelleest égale à:

∆m

A l’état initial, la massevolumique, le volume etla masse sont respecti-vement égale à:

• ρi = ρ• Vi = V• mi = ρiVi = ρV.

=

2

A l’état final, la masse m du do-maine D est égale à:

mf

A l’état final, les valeurs de lamasse volumique et du volumede D ne sont plus les mêmes qu’àl’état initial.Notons les, respectivement:• ρf = ρ+ ∆ρ• Vf = V + ∆V

A l’état final, la masse mf de D estégale à:

ρf Vfsoit:

(ρ+ ∆ρ) (V + ∆V)

effectuons le produit:

ρV + ρ∆V + V∆ρ+ ∆ρ∆V

−

3

A l’état initial, la massemdu domaine D est égale à:

mi

A l’état initial, la massevolumique et le volumede D sont respectivementégale à:

• ρi = ρ• Vi = VA l’état initial, la massemi de D est égale à:

ρi Visoit:

ρ V

↓ ↓

L’accroissement ∆m dela masse de D s’exprimeaussi:

∆(ρV)

=

4La soustraction 2 - 3 donne la l’accroissement ∆m dela masse de D:

ρ∆V + V∆ρ+ ∆ρ∆V

↓Hypothèse: Le produit ∆ρC ∆VC est négligeable devant les autrestermes de 4

↓

=54 devient:

ρ∆V + V∆ρ

↓ ↓Hypothèse: ∆ρC et ∆VC sont infiniment petit: ∆ρC → dρC et ∆VC → dC

↓ ↓

6L’accroissement∆(ρC VC) tend vers:

d(ρV)

=

7Dans ce cas 5 s’écrit:

ρ dV + V dρ

108 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012TABLEAU

2

D: Domainecontinu depointsmasse volumique

T4.2 Continuité de la masse volumique mathématique

Démo de (4.35) - page 39 :

Nous supposerons que la distribution de la masse est continue dans le voisinaged’un point P d’un domaine continu de points (Hypothèse H1).Nous en déduirons que la fonction masse volumique ponctuelle ρ

(P, t)est une

fonction continue, dans ce voisinage.Ce que nous pouvons traduire par:

limV→0

ρ(P, t,V

)= ρ

(P, t)

(A)⇔ limP ′→P

ρ(P ′, t

)︸︷︷︸ρ(P ′, dV, t)

= ρ(P, t)︸︷︷︸

ρ(P, dV, t)

(4.35)

La masse de la particule est notée M et son volume V .Nommons X, l’axe passant par le centre M de la parcelle et par le point P .Appelons d le segment de l’axe X contenue dans la parcelle P (d est le diamétrede la parcelle) et Q un point quelconque situé sur cette portion d (Q ∈ d).

Dans la démontration suivante, nous réduirons le volume V de la parcelle P sansque le point P ne sorte de cette parcelle.

Notons que la masse volumique ponctuelle peut être aussi vue comme la massevolumique d’une parcelle P, de volume dV infiniment petit, située à l’intérieurdu domaine D:

ρ(P, t)

= ρ(P, dV , t)

Figure 1: Une parcelle P quelconque dans un domainecontinu de points-masse volumique (domaine D) .

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 109 TABLEAU

2

La masse d’une parcelle ne dépend évidemment pas du point géométrique que l’on consi-dére à l’intérieur de cette parcelle. Nous pouvons donc exprimer l’égalité suivante:

↓ ↓

1La parcelle P contient le point P .A l’instant T , sa masse est égale à:

M(P,V, T

) =

2La parcelle P contient aussi le point Q.A l’instant T , nous pouvons aussi expri-mer sa masse de la manière suivante:

M(Q ∈ d,V, T

)↓ ↓

Divisons la masse de la parcelle par son volume V.Nous obtenons la masse volumique de la parcelle P à l’instant T .

↓ ↓3A l’instant T , la masse volumique

de P est égale à:

M(P,V, T

)V

soit:ρ(P,V, T

) =

4A l’instant T , la masse volumiquede P est aussi égale à:

M(Q ∈ d,V, T

)V

soit:ρ(Q ∈ d,V, T

)Le volume V de la parcelle sphérique P

dépend de son diamétre d, donc:

ρ(Q ∈ d, d, T

)↓ ↓

Faisons tendre, vers zéro, le volume V de la parcelle P.Le diamétre d de cette parcelle tend, donc, aussi, vers zéro.

↓ ↓

5limV→0

ρ(P,V, T

)Si l’hypothèse 1 est vérifiée, c’est lamasse volumique ponctuelle au point Pdans D:

ρ(P, T

)=

6limd→0

ρ(Q ∈ d, d, T

)Puisque lim

D→0Q = P , cette limite peut

aussi s’écrire:Q→P

limd→0

ρ(Q ∈ d, d, T

)ou, en reprenant l’idée que le volume Vest équivalent au diamétre d:

Q→P

limV→0

ρ(Q ∈ d,V, T

)Si l’hypothèse H1 est vérifiée, c’est la li-mite de la masse volumique ponctuelleau point Q lorsque celui-ci tend vers P :

limQ→P

ρ(Q, T

)Ce qui fallait démontrer.

110 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.TABLEAU

4.3


Figure 1: Deux parcellesdans un domaine D.

T4.3 Continuité de la masse volumique

Démo de (4.35) - page 39 :Nous supposerons que la distribution de la masse est continue dans levoisinage d’un point P d’un domaine continu de points (domaine D).Nous en déduirons que la fonction masse volumique ponctuelle ρ

(P, t)

est une fonction continue, dans ce voisinage.Ce que nous pouvons traduire par:

limV→0

ρ(P, t,V

)= ρ

(P, t)

(A)⇔ limP ′→P

ρ(P ′, t

)︸︷︷︸ρ(P ′, dV, t)

= ρ(P, t)︸︷︷︸

ρ(P, dV, t)

(4.35)

↓Développement limité de la fonction ρ(P ′, V ′, t)

↓1

D1

[ρ (P ′,V ′, t)

]avec:• P ′(X1 + ∆X1, X2 + ∆X2, X3 + ∆X3)• V ′ = V + ∆V.

Ce DL est la masse volumique d’uneparcelle dont le volume V ′ et la positionP ′ sont respectivement très proches duvolume V et de la position P de la parcelledécrite dans le cadre 2 .

Ce DL peut donc s’écrire:

D1

[ρ(X1+∆X1, · · · ,X3+∆X3, V+∆V, t)

]

=

2

ρ(P,V, t)

avec:• P (X1, X2, X3)

C’est la masse volu-mique d’une parcellesuffisamment petite.soit:

ρ(X1,X2,X3,V, t)

↓ ↓Les volumes des parcelles tendent

↓ ↓6

Comme V ′ tend vers zéro (V → 0),donc P ′ tend vers P (P ′ → P ).

1 devient:

lim∆X1→0∆X2→0∆X3→0V ′→0

D1

[ρ(X1+∆X1, · · · ,X3+∆X3, V ′, t)

]

Si la distribution de la masse est continu,cette limite tend vers:

ρ(X1,X2,X3, dV, t)

C’est la masse volumique ponctuelle aupoint P :

ρ(X1,X2,X3, t

)

=

72 devient:

limV→0

[ρ(X1,X2,X3, V, t)

]Si la distribution de lamasse est continu, cettelimite tend vers:

ρP(X1,X2,X3, dV, t)

C’est la masse volumiqueponctuelle au point P :

ρ(X1,X2,X3, t

)

Lézé-Lerond Fabrice André Marcel 111.TABLEAU

4.3

mathématique (Seconde démonstration)

C’est, aussi, l’objet du tableau 2 page 108.Mais, cette fois-ci, nous partirons d’un développement limité a de la fonction masse volumiqueρ (P ′ V ′, t) au voisninage du point P .Il est en effet possible de considérer un tel développement puisque l’égatié (A) signifie que lamasse volumique de toutes les parcelles, contenant toujours un même point P, commence àtendre vers la même limite dès que leurs volumes sont suffisamment petits et que, en outre, unpoint P ′ peut, lui-aussi, être contenu par toutes ces parcelles, quelque soit leurs dimensions.Nous déduirons aussi que les dérivées partielles de la masse volumique ponctuelle sontcontinues.

a DL = Développement Limité.

à l’ordre 1, au voisinage du point P , à un instant t fixé.↓ ↓

+

3d ρ (X1,X2,X3, V, t)

C’est la différence élémentaire de masse volumique entre les parcelles décrites dans les cadres 1 et 2 .

↓ ↓

+

4(−−−−−−−−−−−−−−−−−→gradρ(X1,X2,X3, V, t)

)· ∆−→X

avec−−−→PP ′ =

−−→∆X = ∆X1

~X1 + ∆X2~X2 + ∆X3

~X3.ou:

∆X1∂ρ(X1,X2,X3,V,t)

∂X1+ · · ·+ ∆X3

∂ρ(X1,X2,X3,V,t)∂X3

Sachant (A), la fonction masse volumique et ses dérivées partielles ∂ρ/∂Xi

sont continues dans le voisinage de P (Hypothèse 1).

+

5

∆V ∂ρ (X1,X2,X3,V, t)∂V

Avec (A), la dérivée par-tielle ∂ρ/∂V est continuedans le voisinage de P(Hypothèse 2).

↓ ↓vers zéro

↓ ↓

+

8

Comme V ′ tend vers zéro (V → 0), donc P ′ tend vers P (P ′ → P ).4 devient:

lim∆X1→0∆X2→0∆X3→0

(∆X1

∂ρ(X1,X2,X3,V,t)∂X1

+ · · ·+ ∆X3∂ρ(X1,X2,X3,V,t)

∂X3

)

Comme le contenus de 6 tend vers le contenu de 7 , le contenu ducadre 8 doit donc tendre vers zéro:

0

Ainsi l’hypothèse (H1) est verifiée lorsque la distribution de la masseest continue dans le voisinage du point P .

+

9

Les volumes V et V ′tendent vers zéro.Leur différence ∆V tenddonc vers zéro.

De plus, comme le contenude 6 tend vers le contenude 7 .

Donc 9 doit tendrevers zéro:

0

Ainsi l’hypothèse (H2)est verifiée lorsque la dis-tribution de la masse estcontinue dans le voisinagedu point P .

112 F4 - Masse volumique - Version du 28.03.2013 - Dépôt SGDL-2000-2012.TABLEAUX

T4.4 Derivée de la masse

Démo de (4.5.2) - page 39 :Considérons une parcelle quelconque à l’intérieur d’un domaine de points matériels.Dans ce domaine, la distribution de la masse est continue (Hypothèse H1).Le centre de la parcelle occupe le point géométrique M d’abscisse curviligne s sur lacourbe C.Appelons P cette parcelle, V son volume, m sa masse et V la vitesse du centre de cetteparcelle.Rappelons que la masse et la vitesse de la parcelle sont des fonctions de ces varables etdu temps noté t:

m = M(s,V, t) et V = V (s,V, t)

L’hypothèse H1 exige que la fonction M soit une fonction continue et dérivable a.La parcelle P peut être en mouvement.Si le mouvement de la parcelle P est indépendant de celui de son contenu alors P estappelée parcelle de contrôle et notée Pc (Cas 1).Si la parcelle P est en mouvement et que son contenu est toujours le même alors P estappelée parcelle matérielle et notée Pm (Cas 2).

aA chaque instant, le graphe de cette fonction est donc une surface continue, non constituéede surfaces brisées

↓Exprimons la différentielle totale de la fonction m = M(s,V,t)

↓ ↓ ↓ ↓

1dM(s,V,t)

C’est la variation demasseM(s + ds,V + dV,t + dt)- M(s,V,t)

=

2

∂M(s,V,t)∂s︸︷︷︸a

ds

a: taux de varia-tion spaciale deM.

+

3

∂M(s,V,t)∂V︸︷︷︸b

dV

b: Taux devariation volu-mique de M.Si V → 0 alorsb =

•ρP(s, t).

+

4

∂M(s,V,t)∂t︸︷︷︸c

dt

c: Taux de varia-tion temporellede M (variationlocale).

↓ ↓ ↓ ↓Divisons le tout par dV.

↓ ↓ ↓ ↓

5dM(s, V, t)

dt

C’est la dérivée totale deM(s,V,t).

=

6

∂M(s,V,t)∂s

ds

dt︸︷︷︸d

d: Vitesse V de P.

+

7

∂M(s,V,t)∂V

dVdt︸︷︷︸e

e: Variationtemporelle duvolume

+

8

∂M(s,V,t)∂t

dt

dt︸︷︷︸1

↓ ↓ ↓La parcelle est une parcelle matérielle Pm (cas 2).

↓ ↓ ↓ ↓9

Le contenu de la parcellereste le même, la masse dela parcelle ne varie doncpas:

0

=

10

V∂M(s,V,t)

∂s

V est la vi-tesse d’une par-celle matérielle.

+

11

∂M(s,V,t)∂V

dVdt︸︷︷︸g

g = V div ~V

+

12

∂M(s,V,t)∂t


T4.5 Développement limité de∫∫∫V(t)

ρ dV

Démo de (4.6) - page 17.

Déterminons le développement limité spatiale, auvoisinage du point O(0,0,0), à l’ordre 4, de l’inté-grale de volume, de la fonction «masse volumiqueponctuelle», sur un domaine parallélépipèdique,de volume V , définie par:

0 ≤ X1 ≤ h1

0 ≤ X2 ≤ h2

0 ≤ X3 ≤ h3

.

La masse volumique ponctuelle ρ est une fonc-tion des variables X1, X2, X3 et t:

ρ = ρE(X1, X2, X3, t)

Note a.Nous commencerons par le développement li-mité, au voisinage du point O, à l’ordre 1, de lamasse volumique ρ.

Nous sommes à un instant t fixé.La masse volumique et ses dérivées spatiales sontdes fonctions continues dans l’espace.

aL’indice E désigne une fonction d’Euler. Nous l’omettrons, dans ce qui suit, afin de diminuer l’encombrement desexpressions.

Développement limité, au voisinage du point O, à l’ordre 1, de la masse volumique ρ :↓

1

D1 ρ(X1,X2,X3,t)=

2Le développement limité s’écrit:

ρ(0,0,0,t) +X1∂ρ

∂X1(0,0,0,t) +X2

∂ρ

∂X2(0,0,0,t) +X3

∂ρ

∂X3(0,0,0,t)

↓ ↓Développement limité, au voisinage du point O, à l’ordre 4, de l’intégrale de volume:↓ ↓

3

D4

∫∫∫V(t)

ρ(X1,X2,X3,t) dV =

4

Remplaçons la fonction «masse volumique» par son développement limité à l’ordre 1:

h1∫0

h2∫0

h3∫0

(ρ(0,0,0,t)+X1

∂ρ

∂X1(0,0,0,t)+X2

∂ρ

∂X2(0,0,0,t)+X3

∂ρ

∂X3(0,0,0,t)

)dX1 dX2 dX3

La masse volumique et ses dérivées, qui apparaissent dans l’intégrale de volume, sontdes valeurs de ces fonctions au point O. Ce sont donc des constantes.L’intégrale peut donc s’écrire:

ρ(0,0,0,t)

h1∫0

h2∫0

h3∫0

dX1 dX2 dX3 +∂ρ

∂X1(0,0,0,t)

h1∫0

h2∫0

h3∫0

X1 dX1 dX2 dX3

+∂ρ

∂X2(0,0,0,t)

h1∫0

h2∫0

h3∫0

X2 dX1 dX2 dX3 +∂ρ

∂X3(0,0,0,t)

h1∫0

h2∫0

h3∫0

X3 dX1 dX2 dX3

Finalement, après intégration, nous obtenons:

h1h2h3

(ρ(0,0,0,t) +

h12

∂ρ

∂X1(0,0,0,t) +

h22

∂ρ

∂X2(0,0,0,t) +

h32

∂ρ

∂X3(0,0,0,t)

)Sachant que ~h = h1 ~X1 + h2 ~X2 + h3 ~X3, ce développement limité peut aussi s’écrire:

h1h2h3

(ρ(0,0,0,t) +

1

2

−−−−−−−−−−−→grad ρ(0,0,0,t) · ~h

)


...


Courtes citations 28

Venise. Aquarelle de Caroline M. Bishop

28. Classement selon un ordre chronologique.


GrandLarousse1963[14]

Volumique:

Masse volumique:

adj. Physiq. Qui a trait au volume.

Syn. de MASSE SPÉCIFIQUE.

MauriceRoy1965[26] 1. La continuité des milieux envisagés s’entend à l’échelle macroscopique, échelle

à laquelle ces milieux sont exclusivement considérés ici. On sait que ce point de vueest irréductible 29 à celui dit «microscopique» qui prend en considération la structureintime, discontinue, de la matière.Mais, affranchi de toute hypothèse particulière sur cette structure intime, il fournitdes résultats que ne saurait altérer aucune évolution des conceptions de la Physiqueatomistique.A l’échelle considérée, la continuité s’entend en ce sens que le milieu occupe com-Page 4plètement tout élément de son volume, et que deux éléments jointifs de sa matièrele restent indéfiniment.En ce sens, un petit élément du milieu, de forme cubique par exemple à un instantContinuité

macroscopique t, restera indéfiniment petit tout en se déformant. Il restera aussi attaché de toutepart aux mêmes éléments matériels que ceux adjacents à lui à l’instant t. Exception-nellement, l’une des dimensions de l’élément considéré peut s’allonger extrêmement,voire indéfiniment, tandis que s’amenuise alors, corrélativement, au moins l’une deses dimensions transversales. C’est ce qui se produit, par exemple, pour un prismede fluide visqueux s’approchant transversalement d’un obstacle qu’il contourne sansjamais le toucher.

2. La continuité précédente peut être mise en défaut sur certaines «surfaces dediscontinuité» plus ou moins étendues à travers le milieu qui, de part et d’autre decette surface, conserve sa «continuité» au sens ci-dessus. Une faille est une surfaceS le long de laquelle une partie du milieu a glissé sur la parti adjacente, la distancePP ′ de deux points infiniment voisisn de part et d’autre de S à l’instant t.Une cavitation est constituée par un volume V , vide du milieu au sein de celui-ci,qui a pu être primitivement continu. La surface de cavitation Scav qui limite Vcavpeut provenir d’une surface de faille dédoublée. Lorsqu’une «poche de cavitation»se forme dans un liquide, par exemple dans de l’eau et sur une hélice tournant tropvite, cette poche n’est pas en réalité vide de matière: elle est, en effet, vide de liquide,mais se trouve remplie par de la vapeur saturante émise par ce liquide.Une surface de heurt est la surface S séparant deux parties d’un milieu, primiti-vement à distance finie l’une de l’autre, puis venues en contact, généralement avecchoc.

29. Qui ne peut être ramené à autre chose (Petit Robert)


J. Mandel1966Page 1Tome 1[21]Continuitédu milieu

Un milieu continu est un milieu dans lequel les propriétés physiques varient d’unefaçon continue d’un point à un autre.En particulier la distribution de la masse est supposée continue.Un élément de volume dV renferme une masse dm = ρdV avec ρ masse volumique,fonction continue des coordonnées.Nous savons bien que la matière est discontinue à l’échelle moléculaire 30. Mais la

Continuitédu milieu

mécanique se place à l’échelle macroscopique (ou molaire). A cette échelle la matièreapparaît comme un milieu continu 31.Le point de vue macroscopique offre l’avantage d’éviter toute hypothèse sur la consti-tution intime de la matière.

Il doit être entendu qu’un élément de volume (macroscopique) est supposé assezpetit pour qu’on puisse le traiter mathématiquement comme un infiniment petit,mais cependant assez grand pour qu’il enferme un très grand nombre de molécules.

E. A. Brun,A. MartinotLagarde,J. Mathieu,1968,[1]

Avant de définir complètement les fluides, nous avons à dire que nous les regar-derons généralement comme des matériaux continus.

Rappelons l’expression mathématique de la continuité.

1. Considérons, pour commencer, une forme particulière de l’hypothèse de conti-nuité qui ne fait intervenir que la distribution de la masse à un instant donné t.

Soit P un point géométrique dans un domaine (D), V le volume d’une sphèrecontenant P et contenue tout entière dans le domaine (D), m la masse qui, à cetinstant t, occupe le volume V ; la masse volumique moyenne dans le volume V àl’instant t est:

ρV =m

VPage 4Tome 1On dit que la distribution de la masse est continue dans le domaine (D) si, pour

tout point P de ce domaine, ρV a une limite quand le rayon de la sphère contenanttoujours P tend vers zéro; cette limite s’appelle la masse volumique ρ(P ) au pointP et à l’instant t.De cette définition, il résulte que ρ(P ) est une fonction continue des coordonnés de Hypothèse

decontinuité

P : en effet, à tout point P ′, voisin de P , on peut faire correspondre une sphère quicontient à la fois P et P ′; la masse volumique moyenne dans cette sphère est alorsvoisine à la fois de ρ(P ) et de ρ(P ′); donc ρ(P ) et ρ(P ′) sont voisins.

2. L’hypothèse générale de continuité dans un matériau en mouvement est qu’enchaque point P (X1,X2,X3) et à chaque instant t, on puise déterminer une massevolumique ρ, une température absolue T , une pression p, une vitesse ~V (~V = V1

~X1+

V2~X2 + V3

~X3) et que toutes ces quantités, qui sont des fonctions des coordonnéesX1, X2 et X3 et de l’instant t:

30. Souvent même à une échelle beaucoup grande: échelle des cristaux constituant un métal,échelle des grains constituant une roche.31. Sauf éventuellement le long de certaines surfaces de discontinuité.


ρ, V1, V2, V3, T, p = f(X1, X2, X3, t)

soient des fonctions continues de ces variables « presque partout », nous voulonsdire partout sauf sur un nombre fini de surfaces ou de lignes, dites surfaces ou lignessingulières.

Il convient de donner, de l’hypothèse de continuité, une interprétation expéri-mentale.

Quasicontinuité 1. La physique enseigne que la matière est formée de molécules, éléments dis-

crets séparés par des distances relativement grandes par rapport à leurs dimensionset animés de mouvements rapides et incohérents.Quand on considère des domaines suffisamment petits pour qu’ils ne comprennentau plus qu’une molécule, les phénomènes qui s’y passent sont essentiellement dis-continus dans le temps et il n’y a non plus aucune continuité, au même instant,entre deux domaines continus; en effet, dans de tels domaines, la masse volumiquemoyenne est tantôt nulle, tantôt extrêmement grande, selon qu’il contiennent zéroou une molécule. Ainsi, la matière est discontinue dans sa structure.

2. Ces discontinuités sont de plus en plus faibles quand on considère des domainescontenant un nombre de plus en plus grand de molécules.

PhilippeReine1968[24]

Dans 1,008 g d’hydrogène il y a 6.1023 atomes.

On estime que les mers les mers et les océans qui recouvrent la Terre occupent unvolume de 1,4.109 km3 soit 1,4.1024 cm3, ce qui permet de donner l’image suivante:Dans 2 g d’hydrogène il y a approximativement autant d’atomes que de centimètresHydrogene

Page 565 cubes dans l’ensemble des mers et des océans.

1. Entre le noyau et la couche périphérique des négatons 32, il n’y a rien ! et commeLa nature estpleine de vide la distance entre le noyau et cette couche est énorme, en comparaison des di-

mensions des particules de l’atome, on arrive à cette conclusion: la nature estpleine de vide.Actuellement il y a sur la Terre environ trois milliards et demi de personnes.Page 566Si l’on considère les noyaux des atomes des différentes molécules formant lescellules du corps humain, on arrive pour la population du globe à un volumetotal de l’ordre de centimètre cube !

2. Toute la masse de l’atome se trouve pratiquement concentrée dans le noyau.Le centimètre cube que représente dans l’exemple précédent le volume totaldes noyaux des atomes de tous les habitants du globe pésera autant que tousceux-ci; si l’on adopte 60 kg comme poids moyen pour un individu, on obtient:

60× 3,5.109 = 210.109kg = 210 millions de tonnes !

32. électrons négatifs


JeanCousteix

2009 [7]33 En aérodynamique classique, on suppose que l’air est un gaz qui se comporte

Hypothèses géné-rales. Page 1

comme un milieu continu déformable et que l’air est un fluide visqueux et conduc-teur de la chaleur...

On peut aussi définir la masse volumique d’un gaz contenu dans un bocal commele rapport de sa masse au volume qu’il occupe, ce qui ne pose pas de difficulté sil’on suppose que le gaz est en équilibre, au repos. Ceci veut dire que l’on a enferméune certaine quantité de gaz dans le bocal et l’on a attendu suffisamment longtempspour atteindre un état d’équilibre pour lequel le gaz est homogène. La thermodyna-mique classique a permis de préciser ces notions et a débouché sur l’établissementde principes fondamentaux...

L’air estun milieucontinu.Pages 2 et 3

L’hypothèse de milieu continu amène à idéaliser le fluide et son écoulement desorte que l’on considère des propriétés ponctuelles telles que la pression, la tempéra-ture, la vitesse, etc. Cette idée n’est valable qu’à l’échelle macroscopique et conduità introduire la notion de particule fluide.Deux points de vue sont à bien distinguer. Dans les modèles mathématiques quireprésentent le fluide et son mouvement, une particule fluide est un point, au sensmathématique, auquel on attribue des propriétés comme la pression, la masse volu-mique, la vitesse, etc..., ce qui permet de les définir comme des fonctions de champ.Du point de vue de la thermodynamique, une particule fluide est un système ferméqui par définition, n’échange pas de matière avec l’extérieur. Par ailleurs, ces notionsde pression, masse volumique, etc..., sont établies d’après une autre approche, parexemple expérimentale, dans laquelle le concept de point n’a pas de sens. A cette fin,il est donc nécessaire d’adopter une autre définition. De ce point de vue, une par-ticule fluide occupe un volume négligeable à l’échelle macroscopique mais contientun grand nombre de molécules. Encore une fois, cette interprétation n’entre pas enjeu dans les modèles de la mécanique des fluides et ce n’est qu’au moment de lavérification des prévisions du modèle qu’il faut faire le lien entre les deux points devue.Précisons ci-dessous le second point de vue.Pour être plus précis, considérons la masse volumique ρ. A l’intérieur d’un domainede volume ∆V , il y a Ni molécules,éventuellement d’espèces différentes; une moléculedonnée a une masse mi. La masse volumique moyenne est:

ρ =Σmi

∆V(2.1)

Le volume ∆V est caractérisé par une échelle de longueur l. Si cette longueur l esttrès petite, de l’ordre de grandeur des échelles de longueur microscopiques λ, la massevolumique ρ définie par (2.1) dépend fortement du choix de l. Si la longueur l est tropgrande, de l’ordre de grandeur des échelles de longueur macroscopiques L, la massevolumique ρ définie par (2.1) subira l’influence des variations des caractéristiquesde l’écoulement à l’échelle macroscopique. S’il existe une séparation très nette entreles échelles microscopiques et macroscopiques, c’est-à-dire si λ est nettement pluspetite que L alors, on peut définirune valeur ponctuelle de ρ par:

33. Je remercie M. Cousteix de m’avoir autorisé à reproduire ce texte et pour m’avoir fourni desinformations complémentaires sur les idées qu’il développe dans ce texte.


ρ = lim∆V→0

Σmi

∆V(2.2)

En fait, la limite quand ∆V → 0 doit être prise avec précaution car si la dimensionl caractéristique du volume ∆V doit être beaucoup plus petite que L, elle doit resterbeaucoup plus grande que λ:

λ� l� L (2.3)

Dans ces conditions, idéalement, la masse volumique ne dépend pas du choix del; elle est définie comme une fonction du point de l’espace et du temps.La définition des grandeurs locales est généralisée à toutes les propriétés de l’écou-lement en se référant à des propriétés significatives...


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Densité Density DichteDensité moyenne Mean specific weightDomaine Domain DomäneGaz Gas GasInfinitésimal Infinitesimal InfinitesimalLiquide Liquid FlüssigMasse Mass MasseMasse volumique Mass density spezifisches GewichtMatériel Material MateriellMécanique des milieux continus Continuum mechanics KöntinuumsmechanikMolécule Molecule MolekülOnde de choc Stock wave StoβwelleParticule Particle PartikelPermanent SteadyPoint Point PunktPression Pressure DruckSolide Solid FestSpatial Spatial RaümlichVolume Volume Rauminhalt

ρ

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Masse volumique d'une particule fluide