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Territoires, Environnement, Télédétection et Information Spatiale Unité mixte de recherche Cemagref - CIRAD - ENGREF Master 1ère année Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés Les interactions spatiales Master Sciences Humaines et Sociales Mention Territoires et sociétés, aménagement et développement (TSAD) Spécialité Systèmes d’Information et Informations Géographiques pour la Gestion et la Gouvernance des Territoires (SIIG3T) Jean-Pierre Chéry ENGREF-AgroParisTech S1 / 2009-2010 JP Chéry – Engref/AgroParisTech 2 Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés Les étapes de l’Analyse spatiale (rappel) CARTOGRAPHIE Choroplète, isoligne, Anamorphose… REPRESENTATION OÙ ? MODELE FORME Configuration spatiale (concentrée, dispersée, anisotrope, polarisée, etc.) DESCRIPTION COMMENT ? MODELE PROCESSUS Interaction, diffusion, concentration… EXPLICATION POURQUOI ? MODELE SOURCES D’INFORMATIONS Image satellitaire, photographie, relevés de terrain, enquêtes, recensements… MODELE IDENTIFICATION QUI ? QUOI ? d’après Sanders, 1998

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Territoires, Environnement, Télédétection et Information Spatiale

Unité mixte de recherche Cemagref - CIRAD - ENGREF

Master 1ère année

Analyse spatiale,analyse géographique,spatialité des sociétés

Les interactions spatiales

Master

Sciences Humaines et Sociales

Mention

Territoires et sociétés, aménagement et développement (TSAD)

Spécialité

Systèmes d’Information et Informations Géographiques pour la Gestion et la Gouvernance des Territoires (SIIG3T)

Jean-Pierre ChéryENGREF-AgroParisTech

S1 / 2009-2010JP Chéry –

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Les étapes de l’Analyse spatiale (rappel)

CARTOGRAPHIEChoroplète, isoligne,

Anamorphose…

REPRESENTATION OÙ ?MODELE

FORMEConfiguration spatiale

(concentrée, dispersée,

anisotrope, polarisée, etc.)

DESCRIPTION COMMENT ?MODELE

PROCESSUSInteraction, diffusion,

concentration…

EXPLICATION POURQUOI ?MODELE

SOURCES D’INFORMATIONSImage satellitaire, photographie,

relevés de terrain, enquêtes,

recensements…

MODELE IDENTIFICATIONQUI ?

QUOI ?

d’après Sanders, 1998

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Définitions de l’interaction spatiale

• In Levy et Lussault, Dictionnaire de la géographie et de l’espace des sociétés, 2003 :

– Action réciproque de deux ou plusieurs lieux.

– Phénomène par lequel des actions s’exercent entre deux ou plusieurs lieux de l’espace.

• In Pumain et Saint-Julien, Les interactions spatiales, 2001 :– Ensemble des effets produits par l’échange, matériel ou immatériel, entre

deux entités localisées

• In Brunet et al., Les mots de la géographie, 1992 :– Action réciproque entre deux ou plusieurs acteurs ou lieux. L’étude des

interactions est le fondement de l’analyse de système. On appelle interaction spatiale l’interaction entre deux ou plusieurs lieux.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

L’interaction spatiale : quelle est sa nature ?

• Entre deux lieux circule, potentiellement ou effectivement :– De la matière– De l’énergie– De l’information

• L’interaction spatiale, en géographie, porte sur :– La circulation des personnes et des biens (marchandises, richesses, etc.), que l’on

évalue par comptage et dénombrement (quantités discrètes)– La circulation de l’énergie, que l’on évalue par mesure conditionnée par le mode de

transfert (quantités proportionnelles au segment, au temps, à l’émetteur et/ou le récepteur de la quantité d’énergie)

– La circulation de l’information (évaluée par comptages, dénombrements ou proportions)

• L’interaction dépends du niveau spatial du dénombrement ou de la mesure : les lieux, leur étendue

– Les flux dépendent de la taille des lieux, et du nombre de lieux en interaction– Une île isolée est un lieu « sans flux » d’interactions (exemple de l’île de Pâques) :

100% des échanges ont lieu au sein du lieu .– La mondialisation des transports et des moyens de communication tends

théoriquement à réduire le poids relatif de chaque flux en augmentant le nombre deces flux, par l’augmentation du nombre de lieux en accès réciproques.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Evaluer les flux : les 3 hypothèses fondamentales

• Hypothèse 1 :– Les échanges entre deux lieux sont proportionnels à leurs

capacités d’émission et de réception

• Hypothèse 2 :– L’importance des échanges entre deux lieux diminue lorsque la

distance augmente

• Hypothèse 3 :– Deux lieux appartenant à la même entité territoriale ont des flux

plus importants que deux lieux séparés par une frontière.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Un ancêtre : la pomme de Newton

• En analyse spatiale, le modèle gravitaire ou de gravitation est inspiré directement de la loi de gravitation universelle proposée par Isaac Newton :

« Deux corps ponctuels de masse MA et MB s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps. »

~5,97 × 1024 kg

0,2 kg

3 m

haut

eur

d’un

pom

mie

r…

Isaac Newton (1643-1727)par A. Waller (1689)

Le moment de la découverte de Newton, vu par Gotlib

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Une formule « étalon »

• In Brunet et al., Les mots de la géographie, 1992 :– L’interaction spatiale s’évalue selon la formule

i = a.Mi.Mj.dij-n

où : Mi et Mj sont les masses des deux lieux i et j ;

d leur distance

a et n des valeurs à estimer.

[…] Le modèle de gravitation est l’étalon de mesure de l’interaction spatiale, laquelle est l’un des fondements de la géographie.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Pareto : la fonction puissance négative

• Vilfredo Pareto (1848-1923) : économiste et sociologue italien

– Comment est distribuée la richesse dans une population ?

– Italie, début XXème siècle : 20% de la population possède 80% de la richesse…

– Principe des 80-20 : parfois élevé au rang de loi. C’est d’abord une observation, un empirisme. Elle s’oppose à la « loi normale », illustrée par la distribution gaussienne.

Q

N

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Interactions : le tableau d’échange

• Généralement, on étudie les interactions entre de nombreux lieux qui sont en relation potentiel

• On représente les flux réciproques par des valeurs, dans un tableau d’échange, où chaque lieu apparaît en ligne et colonne

p

……p

ΣnijΣnijFlux total reçu par j

………

Σnij…nij…i

………

……1

Flux total émis par i

…j…1

Dest.

Orig.

j

i

ij

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Principe d’interaction de Ravenstein (1885)

• In Pini, L’interaction spatiale, Encyclopédie de géographie, 1992 :

– Transcription mathématique :

Iij = Pj / dij

Avec : Iij : nombre de migrants entre i et j

Pj : population de la ville j (attractivité)

dij : distance entre i et j

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Modèle de Reilly (1)

• Modèle qui permet d’établir les limites des aires d’attractivité ou d’influence

• 4 hypothèses (in Pumain, St Julien, 2001) :– Les consommateurs fréquentent en général l’établissement dont ils sont le plus

proches

– Leur demande faiblit au fur et à mesure que l’on s’éloigne du centre parce que le coût de transport s’ajoute à celui des biens ou des services offerts par le centre

– L’attraction d’un centre est proportionnelle à son importance

– L’attraction d’un centre est inversement proportionnelle au carré de la distance qui le sépare du consommateur

Aij = Pi / dij2

Avec : Aij : Attraction du centre i sur le lieu (ou un individu localisé en) j

Pj : Poids (importance) du centre i

dij : distance entre i et j

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Modèle de Reilly (2)

• In Pini, L’interaction spatiale, Encyclopédie de géographie, 1992 :

– Formule du point d’équilibre de Reilly (1929) :

dxj = dij / (1+(Pi / Pj)1/2)Avec : dij : distance entre i et j

dxj : distance entre x (point d’équilibre) et j

Pj : masse de la ville j

Pi : masse de la ville i

i, j : villes

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Modèle de Stewart et Zipf

• In Pini, L’interaction spatiale, Encyclopédie de géographie, 1992 :

– Formule de Stewart et Zipf (1941-1949) :

Iij = k . (Mi.Mj / dij)Avec : Iij : interaction entre les lieux i et j

Mi : masse du lieu i

Mj : masse du lieu j

dij : distance séparant i de j

k : constante

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Modèles d'interaction spatiale (M. Hillal, 2004)

• généralisation des modèles gravitaires• Ils permettent d’expliquer les flux entre zones géographiques en tenant

compte des attributs des lieux d’origine et de destination ainsi que de la friction de l’espace (distance, coût ou durée du déplacement).

• Ces modèles s’appuient sur trois hypothèses (Rodrigue, 1998-2002) :– la complémentarité (il existe une « différence de potentiel » entre deux lieux qui

correspond à une offre et à une demande -des actifs et des emplois ; un magasin et sa clientèle, etc.) ;

– la transférabilité (les transferts d’un lieu à l’autre sont supportés par une infrastructure de transport ou de communication) ;

– l’absence d’opportunité alternative (les flux entre lieux d’origine et de destination ne dépendent que de la distance qui sépare les deux lieux et, sous cette contrainte, la concurrence spatiale s’efface au profit de la proximité).

• Dans ce cadre théorique, plusieurs mesures d’accessibilité ont étéproposées. Parmi les plus utilisées, le calcul de potentiel permet de mesurer l’offre probable d’une ressource (population, commerces, etc.) en tenant compte de sa distribution spatiale (sa masse) et d’une fonction d’interaction qui modélise la distance entre les lieux.

In Mohamed Hilal, « Accessibilité aux emplois en France : le rôle de la distance à la ville », Cybergeo, Article 293, 2004, modifié 2007.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Interaction spatiale…

• … et modèle gravitaire– Interaction spatiale, liée au phénomène de décroissance des flux avec la distance (cf.

Ravestein, Stewart, …). Modèles d’interactions stricto sensu.

• … et modèle de position– Interaction spatiale, liée à la position relative d’un lieu par rapport aux autres. Modèle de

potentiel d’un lieu : mesure d’accessibilité (évaluation de la variation de la quantitéd’opportunités de relation en fonction de la position). Modèles de Reilly et de Huff (aires de marché théoriques d’un ensemble de lieux centraux), appartenance des lieux à une zone.

• … et interaction territoriale– Modèles d’interaction spatiale et de position utilisent généralement les fonctions puissance

négative de Pareto, et les fonctions exponentielles négatives.– Effet de barrière ou d’interaction territoriale : deux lieux appartenant à une même maille

territoriale ont en moyenne plus de relation que deux lieux appartenant à deux mailles différentes.

• … et relation sociale– Critique forte sur l’application de lois physiques à des domaines où intervient fortement le

social, qui ne peut être résumé, pour chaque masse localisée, à un objet homogène, ayant un comportement moyen.

– Mais l’intérêt des modèles d’interaction spatiale est dans la mise en valeur de phénomènes indépendants de la distance : processus économiques, sociologiques ou cognitifs.

In Claude Grasland, article « Interaction spatiale », Hypergéo

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Modèle de Huff

• Modèle probabiliste : calcul d’un potentiel

• On affecte à tout point de l’espace une valeur de probabilitépour que ce lieu soit soumis à l’attraction d’un autre lieu défini.

• Ce modèle définit un gradient de probabilité, sur la base du modèle de gravité

Où: - Aj est la mesure de l’attractivité d’un lieu j, en unité de surface- Dij est la distance de i à j- α est un paramètre d’attractivité estimé d’observations empiriques- β est le paramètre de diminution par la distance, estimé d’observations empiriques- n est le nombre total de lieux qui contiennent le lieu j dans leur zone d’attraction.

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Territoires, Environnement, Télédétection et Information Spatiale

Unité mixte de recherche Cemagref - CIRAD - ENGREF

Master 1ère année

Analyse spatiale,analyse géographique,spatialité des sociétésLa diffusion spatiale et ses modèles

Master

Sciences Humaines et Sociales

Mention

Territoires et sociétés, aménagement et développement (TSAD)

Spécialité

Systèmes d’Information et Informations Géographiques pour la Gestion et la Gouvernance des Territoires (SIIG3T)

Jean-Pierre ChéryENGREF-AgroParisTech

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Les étapes de l’Analyse spatiale (rappel)

CARTOGRAPHIEChoroplète, isoligne,

Anamorphose…

REPRESENTATION OÙ ?MODELE

FORMEConfiguration spatiale

(concentrée, dispersée,

anisotrope, polarisée, etc.)

DESCRIPTION COMMENT ?MODELE

PROCESSUSInteraction, diffusion,

concentration…

EXPLICATION POURQUOI ?MODELE

SOURCES D’INFORMATIONSImage satellitaire, photographie,

relevés de terrain, enquêtes,

recensements…

MODELE IDENTIFICATIONQUI ?

QUOI ?

d’après Sanders, 1998

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

De l’interaction à la diffusion

• La diffusion est un aspect particulier de l’interaction : l’interaction est concrétisée par un transfert d’individus, d’objets, de matière, d’énergie ou d’information depuis un élément vers un autre.

• Dans le cas d’une diffusion, l’interaction est, toute chose égale par ailleurs, asymétrique :

– Foyer émetteur– Vecteur– Point récepteur

• La diffusion est un transfert particulier : l’élément transferéoccupe de plus en plus d’espace. C’est une extension, qui tend à rendre homogène l’espace

• Son contraire est la concentration, qui tend à rendre un espace hétérogène

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La diffusion spatiale : l’intégration du temps

• La diffusion porte la double dimension de l’espace et du temps :

– Processus de transfert dans l’espace– Processus temporel du transfert (temps de déplacement des éléments

transférés)

• La diffusion spatiale peut être caractérisée par :– sa structure spatiale : le processus peut suivre des itinéraires particuliers,

adaptés à l’élément transféré– Son degré multi-niveaux : une diffusion peut suivre des cheminements

hiérarchiques (haut vers bas ou bas vers haut), qui ont une inscription spatiale ou territoriale. Une représentation mult-échelles peut mettre en évidence cet aspect

– Sa structure temporelle : le processus de diffusion est marqué par un rythme, une vitesse de transfert qui peut être régulier ou irrégulier

– Des changements, issus de variations de structures, qui marquent sa dynamique sur le long terme

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Au commencement : des interrogations sur des phénomènes de propagation

• Ex : Le choléra à Soho (Londres), 1854 :

– Travaux du médecin John Snow (1855) : bases de l’épidémiologie (il faudra attendre 1930 pour sa reconnaissance…)

– Constat d’une diffusion de la maladie : de plus en plus de cas dans certains quartiers, de proches en proche

– Constat, sur le temps long (plusieurs mois), de l’existence d’une concentration des cas dans un quartier précis, Soho : « autour d'une pompe àeau contaminée, un groupement semblable à une nébuleuse dont l'intensité diminuait avec la distance »(Peter Gould, 1992)

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Au commencement :la diffusion spatiale de l’innovation

• En économie, en sociologie, en Histoire– Des outils, des pratiques, des valeurs se propagent selon des

configurations spatiales et des rythmes temporels variés :• Exemple « synthétique » : expansion de Rome ou de l’Islam

Source : WikipediaSource : non identifiée,

site de l’Université de Géorgie, USA

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

La géno-géographie : le modèle « Out of Africa »

• Diffusion de l’oekoumène

Source : National Geographic - Genographic project

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Deux grands modes de diffusion

• La nappe • le réseau

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Le modèle logistique

• Th. Saint-Julien, in Encyclopédie de la Géographie, 1992 :

Si– N = une constante qui définit la capacité maximale d’accueil de l’espace étudié,

capacité mesurée en nombre d’adoptants potentiels de l’innovation

– x = le nombre de ceux qui ont effectivement adopté l’innovation au temps t

– u = une constante qui décrit la vitesse de réaction du milieu à l’arrivée de l’innovation

La croissance du nombre de ceux qui ont effectivement adoptél’innovation peut être décrite par l’équation différentielle suivante :

dx / dt = u × (1- (x / N)) × x

Territoires, Environnement, Télédétection et Information Spatiale

Unité mixte de recherche Cemagref - CIRAD - ENGREF

Les automates cellulairesd’après J.P. Müller – Cirad UPR GREEN – Montpellier

et P. Langlois – Univ. De Rouen[Présentation adaptée des auteurs]

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Historique

• Los Alamos National Laboratory (États-Unis)

• Les inventeurs :– Stanislaw ULAM (1909-1984), physicien nucléaire :

• Problème d’Ulam

• Méthode de Monte-Carlo

• Fusion nucléaire

• Objets géométriques définis de façon récursive

– John VON NEUMANN (1903-1957), mathématicien américain :• Théorie des jeux

• Ordinateurs militaires (2°GM) et machine de Turing

• Concevoir une machine capable de s’auto-reproduire

• Automates auto-reproducteurs (1948-49)

Ulam, Feynman et von Neumann à Los Alamos

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Définition

• Un automate est la donnée de :– S ensemble des états

– I ensemble des entrées

– O ensemble des sorties

– Une fonction d’évolution ou fonction d’état

– Une fonction de sortie

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Le distributeur de boissons

T Input State Output0 Nothing Waiting Menu1 Ask coffee Waiting Menu2 Nothing Need = 0,4 Menu3 Nothing Need = 0,4 Need 0,4€4 0,2€ coin Need = 0,4 Need 0,4 €5 Nothing Need = 0,2 Need 0,4€6 Nothing Need = 0,2 Need 0,2€7 0,2€ coin Need = 0,2 Need 0,2€8 Nothing Need = 0 Need 0,2€9 Nothing Waiting Coffee10 Nothing Waiting Menu

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Diffusion des applications en automates cellulaires

• Surtout à partir des années 1980

• Domaines d’utilisation et applications privilégiées :– Domaine théorique des mathématiques et de l’informatique– Sciences physiques et chimie : outil de modélisation (écoulement

fluide et granulaire, percolation, modèle cellulaire de gaz, réplication des protéines, etc.)

– Biologie et médecine : système immunitaire, neurobiologie, génétique, développement biologique, vie artificielle, etc.

– Écologie : propagation de feux de forêt, structure et dynamique de populations végétales et animales

– Géographie : dynamique urbaine

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Définition des AC

• Un automate cellulaire est un « système de cellules interagissant localement de manière simple et qui manifeste un comportement global complexe »(Wolfram, 1985).

• Les AC sont des modèles dynamiques où l’espace, le temps et les états sont discrets :– L’espace est divisé en cellules considérées comme des entités

individuelles ;– Les cellules peuvent prendre plusieurs états possibles– Les cellules peuvent changer d’état à des moments fixes selon une

règle de transition fondée sur la configuration d’états au voisinagede chaque cellule.

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Caractéristiques structurelles d’un AC

• Aspect topologique du réseau cellulaire– Nombre de cellules

– Arrangement des cellules (triangulaire, quadrangulaire, hexagonal, … )

• Dimensions– Système cellulaire linéaire : 1 rangée de cellules

– À 2 dimensions : couche cellulaire

– À 3 dimensions : masse cellulaire

• Voisinage :– Ensemble topologique des cellules qui interagissent avec une cellule donnée

– Voisinage de contact ou voisinage définit par une distance donnée

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Caractéristiques fonctionnelles d’un AC (1)

• Liste des états (« alphabet ») possibles des cellules– États discrets

• Règle de transition d’état de l’automate– Ensemble de propositions qui définit les modalités de changement possible de

l’état d’une cellule

– Utilise :• L’état actuel de la cellule considérée

• Les états des cellules de son voisinage (dénommés « configuration de voisinage »)

– Type déterministe ou type probabiliste (stochastique)

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Caractéristiques fonctionnelles d’un AC (2)

• Le Champ ou réseau cellulaire:– Ensemble de cellules spatiales déployé dans un espace (de 1 à 3 dimensions),

ayant un arrangement défini (réseau quadrangulaire, hexagonale, empilement dense de sphères, etc.)

• Les états :– Chaque cellule u prend au temps t un état discret e, appartenant à E, alphabet fini

des états possibles

• Le voisinage :– Toute cellule u possède un voisinage V défini par une condition de contiguïté ou de

proximité

– Exemple de fonction d’état : • 0000->0

• 0001->1

• 0010->0

• 0100->1

• ….

• 1111->0

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Réseaux d’automates

• Définition :– Un réseau d’automates est un groupe d’automates ; les entrées des uns

sont les états des autres

• Différentes architectures :– régulière

– connectivité totale, aléatoire, structures en couches, structure ad hoc

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Classification de Wolframm

• Classe 1 : converge vers un état fixe

• Classe 2 : converge vers un cycle

• Classe 3 : désordonné

• Classe 4 : chaotique

temps

Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4

dimension 1

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Master 1ère année – Analyse spatiale, analyse géographique, spatialité des sociétés

Exemple en dimension 2« Matière excitée »

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Le logiciel SpaCelled’après Patrice Langlois – UMR IDEES – Labo MTG [Présentation adaptée de l’auteur]

• C'est un système à base de connaissances spatiales

• Il permet de construire interactivement un modèle dynamique agissant sur un espace découpé en mailles régulières (carrées ou hexagonales) appelées cellules.

• Les données spatiales peuvent être:– saisies à l'écran ou

– importées en format texte tabulé

• Le fonctionnement est entièrement définissable par l'utilisateur sous forme:– De définition d'états

– de règles de durée de vie

– de règles de transition des états vers d'autres états (mort).

• Téléchargeable :– http://www.spatial-modelling.info/Cellular-Automata-SPACELLE

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La philosophie du modèle…

• L’automate cellulaire prend en compte le concept d’environnement associé à une cellule i. Deux structures sont envisageables pour définir ce concept spatial:

– Définition 1: un environnement métrique est l’ensemble des cellules présentes dans un disque de rayon R centré sur i en excluant la cellule centrale i. (suivant la distance euclidienne usuelle).

– Définition 2: un environnement topologique est l’ensemble des cellules contiguës à i. La forme des cellules joue alors un rôle important et l’espace n’est pas isotrope.

• Dans notre modèle l’environnement associé à une cellule i est toujours métrique (on utilisera aussi le terme de voisinage dans le même sens)

• Chaque cellule possède, selon sa classe, une force de conservation (une résilience) ou force de vie qui va en décroissant depuis sa naissance. Cette force de vie est confrontée à chaque instant aux forces environnementales qui peuvent prolonger ou abréger sa vie.

• Les règles permettent de définir les conditions environnementales qui agissent sur chaque cellule et conditionnent

– sa vie : conservation de l'état précédent ou – sa mort : transition d'un état dans un autre.

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Principes du modèle

• La durée de vie maximale d’un individu dépend de sa classe, elle peut être infinie, fixe ou aléatoire.

• La force de vie F de chaque individu, décroît linéairement tout au long de sa vie pour devenir nulle à sa mort naturelle. Celle-ci provoque un changement d’état programmé de la cellule qui est propre à sa classe

• A chaque instant tout individu est soumis à des forces de changement ou forces de transition F1, F2, …, Fk qui viennent de son environnement.

• Tant que la force de vie F d’un individu reste supérieure ou égale aux forces de transition F1, F2, …, Fk l’individu reste en vie, sinon c’est la force de transition dominante FM =Max(F1, F2, …, Fk ) qui l’emporte et l’individu meurt.

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Deux types de synchronisation

• L’automate peut être synchrone, c’est-à-dire que les cellules sont calculées toutes ensemble à l’instant t+1 à partir des états des cellules à l’instant t .

• Il peut être asynchrone les cellules sont alors, à chaque pas de temps, calculées les unes après les autres, dans un ordre aléatoire différent à chaque pas de temps.

• Dans un système asynchrone, un individu peut être influencépar ceux qui viennent de changer autour de lui. Ce fonctionnement simule mieux un changement continu, comme la croissance logistique d’une population.

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Mécanismes de l’automate - Avant de commencer :

Chaque cellule c, est affectée : • d’un état x

– ex : occupation du sol, type d’habitat, etc. – Chaque cellule possède à chaque instant un état unique

• d’une durée de vie maximale. Fixée à la naissance, elle peut être choisie:

– aléatoirement par une fonction gaussienne ou– constante selon une durée fixe, ou– Illimitée.

• d’un âge :L’ âge de chaque individu est défini par tirage aléatoire uniforme entre 0 et son âge maximal, de manière à ce que les individus ne soient pas artificiellement en phase au départ.

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Mécanismes de l’automate - à chaque pas de temps :

pour chaque individu i d’état x:

• on calcule sa force de vie F(x>x, i).

• Puis on parcourt toutes les règles de transition, pour chaque règle de transition x>z, on calcule la force de transition F(x>z, i) appliquée sur i : c’est une combinaison linéaire de facteurs d’interaction F1, F2, … , Fk:

F(x>z, i) = λ1 F1 + λ2 F2 +…+ λk Fk.

• Chaque facteur Fi est un produit de fonctions élémentaires d’interaction environnementales, c’est-à-dire qui dépendent du voisinage plus ou moins proche de la cellule i :

Fi = f1(Y1, R1)*f2(Y2, R2)*f4(Y4, R4)

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Les fonctions d’interaction Fonctions de voisinage continues ∈[0,1]

• PV(Y, R) : calcule la proportion de présence de la population Y dans le voisinage de rayon R autour de la cellule

• AV(Y, R) : calcule la proportion de non-présence de Y dans le voisinage de rayon R autour de la cellule

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Les fonctions d’interaction Fonctions de voisinage binaires (0 ou 1)

• PV(Y, R, Min, Max) : vaut 1 si la proportion de présence de Y est situé dans l’intervalle de valeurs [Min,Max], vaut 0 sinon.

• AV(Y, R, Min, Max) : vaut 1 si la proportion de non-présence de Y est dans [Min,Max]

• EV(Y,R) : vaut 1 s'il existe au moins un individu de Y dans le voisinage de rayon R

• RV(Y,R) : vaut 1 si le voisinage de rayon R est remplis de Y.

• ZV(Y,R) : vaut 1 s'il n'existe aucun individu de Y dans le voisinage de rayon R,

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Les fonctions d’interaction Fonctions d’accessibilité

• AC(Y, R) : fonction continue d’accessibilité aux états de Y selon un demi-effet à distance R

• Elle est définie par la fonction f(d)=1/(1+d/R) – Elle tend vers 0 lorsque la distance d tend vers l’infini ,

– elle vaut 0,5 lorsque d vaut R

– et vaut 1 lorsque d=0

• AC(Y, R, Min, Max) : fonction binaire d’accessibilité aux états de Y selon un demi-effet à distance R, vaut 1 si AC(Y, R) est entre Min et Max, 0 sinon

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Les fonctions d’interaction Fonctions événementielles et aléas

• EP(n) : Evénement Programmé au bout de n unités de temps (T=n).

• EP(n, d) : Evt Programmé en T=n , selon une durée fixe de d unités de temps.

• EP(n, d, e) : Evénement Programmé en T=n , selon une durée gaussienne (d,e)

• AL(n) : Aléa, vaut 1 en moyenne n fois par unité de temps, sinon vaut 0

• AL(n, d) : Aléa, vaut 1 en moyenne n fois par durée de d unités de temps

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Les fonctions d’interaction Fonctions démographiques (densités)

• DE(Y) : calcule la densité d de la population Y dans le domaine

• DE(Y, Max): taux de croissance logistique de limite Max, – DE(Y, max) vaut 1 si d = 0, et tend vers 0 si d max

• DE(Y, Min, Max) : vaut 1 si la densité de Y est dans l’intervalle [Min, Max], 0 sinon

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Les fonctions d’interaction Fonctions de durée de vie

• DI : durée de vie infinie

• DF(d) : durée fixe de d années

• DA(d,e) : durée aléatoire d'espérance d et d'écart-type e

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Exemples de règle : Somme et Produit d’interactions

• La création d'une zone pavillonaire (Pa) sur une friche (Fr) dépend du voisinage d'autres pavillons, du non-voisinage d'autoroutes et d'industrie lourde (IL), de la bonne accessibilité au réseau routier (Rt) et à un centre ville historique (Ch) : ce qui peut s’écrire par une transition :

• Fr>Pa =3PV(Pa,3)+4AV(Au,1)+5AV(IL,5)+3AC(Rt,3)+AC(Ch,5)

• La construction d’habitat social (Hs) sur des terrains constructibles (Tc), doit être stimulée à condition qu’elle ne soit pas concentrée et sans dépasser le seuil de 20%. De plus, elle ne peut se développer qu’àproximité du réseau routier (Rt) ou des zones résidentielles (Zr),:

• Tc>Hs = PV(Zr+Rt;5)*ZV(Hs,2)*DE(Hs;0,2)

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Exemples de règleCombinaison d’événements et de règle de voisinage

• une cellule de forêt prendra feu en moyenne une fois tous les 100 ans, àcondition qu'il y ait une proportion suffisante de forêt sèche (Fs) dans le voisinage de rayon 3. La force de transition sera nulle si l'une des deux fonctions est nulle (car on fait ici un produit)

• Ft>Fx=AL(1,100)*PV(Fs,3)

• une cellule de forêt prendra peut-être feu au hasard en moyenne une fois tous les 100 ans, ou parce qu'il y a une proportion suffisante de forêt sèche (Fs) dans le voisinage de rayon 3 : si l'une des deux fonctions est réalisée la force de transition ne dépassera pas 1/2 ,elle atteindra 1 seulement si les deux fonctions valent 1 simultanément (car on fait la moyenne).

• Ft>Fx=AL(1,100)+PV(Fs,3)

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Les commandes Fichier

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Les commandes de Saisie

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La base de règles

Zone des règles de transition

Zone de définition des états

Zone de définition des durées de vie

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Commandes de Simulation

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Commandes d’évaluation

Les valeurs affichées dans le bandeau inférieur sont les forces présentes sur la cellule sous le curseur : force de vie : 94%, force de transition de 93% pour passer en Rh, donc la cellule reste en Rd

La cellule sous le curseur est en ligne 82, colonne 27 et son état présent est « Rd »et son âge de 3 ans

Nous sommes àl’instant T = 68 (ans)