Master 2 Recherche Systèmes Dynamiques et Signaux …lisabiblio.univ-angers.fr/SohoinRodrigue/PresentationSoutenance.pdf · Soutenance de stage ... Présentation des apports Les

1

Estimation de la fiabilité par les essais dans un contexte de

faible taille d’ échantillon et de forte censure

Soutenance de stage

Master 2 Recherche Systèmes Dynamiques et Signaux (SDS)

Par :

Rodrigue SOHOIN

Encadrement :

M. Fabrice GUERIN

2

PlanPlan

Présentation des apports

Problématique

Rappel bibliographique

Conclusion & Perspectives

Les essais accélérés

Analyse des méthodes (essais classiques)

3

Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

Contexte : les essais classiques

Les prototypes très couteux en

phase de de développement

Peu de produits à tester

Les produits de plus en plus

fiables et délais de

développement sont réduits

Censure importante

Quelles méthodes d’estimation ?

Les essais

accélérésProblématique

Matériel 1

Matériel 2

Matériel i

Matériel n

Début de

l’essai

Fin de

l’essai

t

R(t)

(a) Réalisation d’un essai

(b) Analyse des

Résultats de l’essai

+x

x

4

Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

Contexte : les essais accélérés

Quelles méthodes d’estimation ?

Les essais


5

ProblématiqueRappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apportsLes essais

accélérés

Rappel de notions de fiabilité

R(t)=prob (que le dispositif soit non défaillant sur l’intervalle de

temps [0, t], en supposant qu’il n’est pas défaillant à l’instant t=0).

Fiabilité :

Fonction de répartition :

Fonction de densité :

MTTF (Mean Time To Faillure) :

Le taux de défaillance instantané :

6


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés

Rappel de notions de fiabilité

Loi Exponentielle :

Loi de Weibull :

Loi Lognormale :

Modèles statistiques de fiabilité:

7


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés

Méthodes d’estimation de fiabilité

Connaissance subjective : retour d’expérience de faits observés ou prouvés,

La fréquence des événements est assimilée à leur probabilité d’occurrence.

Limites

nécessite un échantillon d’observations suffisamment grand,

suppose le choix d’un modèle statistique représentatif des observations,

le calcul d’estimateurs est fortement biaisé si le nombre relatif de données censurées

est important,

elle néglige une information importante : l’expertise,

Démarche fréquentielle

8


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés


Réduire la taille des essais

d’estimation

Améliorer l’estimation des

paramètres de la fiabilité du

produit par l’intégration du passé

Traiter le cas « zéro »

défaillance observée

Démarche bayésienne

Limites: La difficulté à résoudre dans le cadre des techniques bayésiennes

reste la modélisation de la connaissance a priori.

9


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés


La méthode du maximum de vraisemblance

Lorsqu’on observe à l’issu d’un essai sur un ensemble de n matériels identiques, k

défaillances aux temps aléatoires ti (i=1…k) et n-k survies aux temps tj (j=k+1…n),

La fonction de vraisemblance s’écrit :

L’estimation ponctuelle est obtenue en résolvant l’équation :

Les variances sur les estimateurs sont obtenues à partir d’une matrice de Fisher

10


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés


1ere phase : on procède à un tirage aléatoire avec remise sur l’échantillon initial de

données t .On obtient ainsi un nouvel échantillon de même taille n :

2eme phase : dans cette étape on calcul des estimateurs intermédiaires (i=1…M) par la

méthode du maximum de vraisemblance sur le nouvel échantillon,

Soit le vecteur des paramètres de la loi de distribution,

Après M itérations

La méthode du Bootstrap (une méthode de reéchantillonnage)

11


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés


La méthode Stochastic Expectation Maximization(SEM)

1ere phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi

conditionnelle sachant les données et les paramètres (valeur initiale définie par

l’analyste). On obtient ainsi un échantillon pseudo-complet.

2eme phase : calcul des par la méthode du maximum de vraisemblance sur l’échantillon

Soit le vecteur des paramètres de loi de la loi de distribution,

Soit M le nombre d’itérations et prenons les L dernières itérations, on obtient :

12


bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation


accélérés


La méthode Bayesian Restoration Maximization (BRM)

1ere phase : tirage aléatoire des paramètres sur une loi a priori

3eme phase : calcul des par la méthode du maximum de vraisemblance sur l’échantillon

Après M d’itérations :

2eme phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi

conditionnelle sachant les données et les paramètres obtenus précédemment. On obtient

ainsi un échantillon pseudo-complet à chaque niveau de contrainte sevérisée.

Soit le vecteur des paramètres de loi de la loi de distribution,

Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

13

Méthodologie d’analyse

Les essais


Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

14

Les essais


Méthodologie d’analyse : Résultats de simulation

Cas d’une loi de distribution exponentielle

Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

15

Les essais



Cas d’une loi de distribution exponentielle(λ)

Les méthodes (BRM) et bayésienne sont les plus efficaces dans le contexte de

faible taille d’échantillon et de forte censure.

La méthode BRM présente l’avantage d’être la plus robuste au choix de la

connaissance a priori.

Seuil de décision :

Rappel

bibliographique

Analyse des

méthodes

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

16

Les essais


Conclusion: Résultats de simulation

Mise en place une méthodologie d’analyse des méthodes,

Un plan de simulation,

Trois lois : Exponentielle(presentée), Weibull, Lognormale(en annexe),

Cinq méthodes d’estimation de fiabilité,

Résultats : méthode BRM(Bayseian Restoration Maximisation) et la méthode

bayésienne donnent de meilleures estimations,

Il est difficile de faire une discrimination de ces deux méthodes,

La méthode BRM est moins sensible(plus robuste) au choix de l’apriori.

Réduire les durées tout en précipitant les défaillancesEssais accélérés

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

17

Introduction

ProblématiqueAnalyse des

méthodes

Les essais

accélérés

Exemple : Pour une durée de vie distribuée selon une loi Weibull

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

18

1ere phase : tirage aléatoire des paramètres θ suivant leurs différentes distribution a priori g(θ)

2eme phase : simulations des défaillances manquantes au-delà des censures selon leur loi

conditionnelle sachant les données et les paramètres obtenus précédemment. On obtient ainsi

un échantillon pseudo-complet à chaque niveau de stress.

3eme phase : Calcul de θ maximisant la vraisemblance de l’échantillon complété.

En répétant ces étapes M fois, on obtient (θ1, θ2, …, θM), dont on tire une densité

instrumentale ρ de type noyau gaussien. On obtient les estimateurs de θ par:

Modèle BRM accéléré : Principe


méthodes

Les essais

accélérés

Notons θ vecteur des paramètres du modèle que l’on cherche à déterminer

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

19

Modèle BRM accéléré :

Application roulements à billes


méthodes

Les essais

accélérés

Paramètres de simulation

Charge P en daN Paramètre d’échelle en h Paramètre de forme

Conditions nominales 125 1635.86 1.5

Essai niveau 1 150 946.68 1.5

Essai niveau 2 175 596.16 1.5

Les connaissances a priori : Distribution normale

-Le paramètre C : N(400,5)

-Le paramètre v : N(1.5, 0.05)

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

20


Application sur roulements à billes


méthodes

Les essais

accélérés

Résultat de simulation BRM accéléré, censure 50%, n=10 par niveau de stress

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

21




méthodes

Les essais

accélérés


Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

22




méthodes

Les essais

accélérés


Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

23


méthodes

Les essais

accélérés

Essais accélérés avec réparation : Principe

Observation des temps de défaillance successive sur un système caractérisé par une

intensité de défaillance λ (t). Il est immédiatement réparé à l’occurrence d’une défaillance.

Processus de poisson homogène :

λ (t) constant;

Processus de poisson non homogène :

λ (t) fonction de t;

La vraisemblance :

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

24


méthodes

Les essais

accélérés

Essais accélérés avec réparation : Application au roulement à billes

Indice du

matériel

Les temps de défaillance (Ti) et les censures en gras Nombre de

défaillances

1 427. 0 1000 1

2 1000 0

3 518.9 590.8 1000 2

4 525.9 1000 1

5 224.8 1000 1

Indice du

matériel

Les temps de défaillance (Ti) et les censures en gras Nombre de

défaillances

1 244.5 648.1 1000 2

2 397.6 405.9 465.7 1000 3

3 481.1 1000 1

4 803.1 1000 1

5 356.4 372.9 763.2 914.1 930.3 1000 5

-Paramètre de forme estimé : v1= 1.1995 (au lieu de 1.5),

-Paramètre d’échelle estimé : η1= 1.0000e+003 (au lieu de 946.68).

-Paramètre de forme estimé : v2 = 1.5322 (au lieu de 1.5),

-Paramètre d’échelle estimé : η1 = 564.7446 (au lieu de 596.16).

Rappel

bibliographique

Conclusion &

Perspectives

Présentation

des apports

25


méthodes

Les essais

accélérés

Essais accélérés avec réparation : Application au roulement à billes

Valeurs asymptotiques obtenus avec 20 matériels et temps de censure

1000h par un modèle paramétrique de durée de vie accélérée :

(β1 = -2.8224 ; β0 = 20.9797 ; v =1.4861 ; η = 1.5743e+003) ,

β1 = -3.7066 ; β0 = 25.4804 ; η = 1.9656e+003.

En moyenne sur 50 simulations pour un échantillon de n=5 matériels à

chaque niveau de stress, date de censure de 1000h nous obtenons :

- β1 = -2.6882 ; β0 = 20.3416 ; η = 1.5753e+003.

une estimation satisfaisante

Estimateurs des paramètres du modèle :

IntroductionNotions de

fiabilité

Les essais en

fiabilité

Méthodologie

d’analyse

Conclusions &

perspectives

Présentation

des apports

26

Limite des méthodes du type fréquentiel les plus fréquemment utilisées

(Maximum de vraisemblance, Bootstrap),

La méthode Stochastic Expectation Maximisation (SEM) permet de remplacer les

censures par des temps de défaillance ce qui améliore l’estimation,

Les méthodes Bayesian Restoration Maximisation (BRM) et la méthode

bayésienne classique donnent de meilleures estimations,

Etude d’un modèle BRM accéléré : une estimation beaucoup plus centrée sur la

valeur théorique; une réponse à la censure,

Etude d’un modèle d’essais accélérés sur matériel réparable: permet d’approcher

de manière satisfaisante les valeurs théoriques avec peu de matériels (ou

prototypes) mis en essai; une réponse au problème de taille d’échantillon.

Conclusion


fiabilité

Les essais en

fiabilité

Méthodologie

d’analyse

Conclusions &

perspectives

Présentation

des apports

27

Mettre au point un critère d’acceptation dans les différents cas de

distribution des durées de vie prenant en compte un risque qui sera défini

a priori par l’analyste pour une meilleure prise de décision quant à

l’efficacité de chacune des méthodes d’estimation étudiées.

Une étude plus théorique sur les méthodes BRM et bayésienne afin

d’évaluer les avantages et les inconvénients de l’une par rapport à l’autre.

L’étude des deux modèles de durée de vie accélérée présentée en

dernier lieu qui est basé sur un modèle paramétrique peut être étendue à

des modèles à hasard proportionnel et semi-paramétrique.

Perspectives


fiabilité

Les essais en

fiabilité

Analyse de

l’existant

Analyse par

Simulation

Présentation

des apports

Par rapport à l’existant

L’estimation de la fiabilité dans le cas d’échantillons(n>50) fortement censurés a été

étudiée dans la thèse de Alin Gabriel MIHALACHE, « Modélisation et évaluation de la

fiabilité des systèmes mécatroniques : Application sur système embarqué, 2007 »

28

Notre apport à consister à une étude conjointe de cinq différentes méthodes(

fréquentielles, bayésiennes) sur trois lois de fiabilité (les plus usuelles) et ceci dans des

cas de très faible taille d’échantillon (jusqu’à n=3) et fortement censuré.

Des travaux ont été effectués sur des modèles de durée de vie fortement

censurées à l’instar des travaux de Mostafa BACHA, Gilles CELEUX, André LANNOY

(méthode BRM, EM, bayesienne, etc..)

Ce travail a tout d’abord permis de montrer la pertinence de la difficulté d’estimation

de fiabilité dans le contexte de très petits échantillons fortement censurés.


fiabilité

Les essais en

fiabilité

Analyse de

l’existant

Présentation

des apports

Publication envisagée

Le modèle BRM( Bayesian Restoration Maximisation) de durée de vie

accéléré proposé dans notre travail relève d’une originalité.

Elle pourra faire objet de publication.

29

Analyse par

Simulation

Références

bibliographiques

[1] Fabrice GUERIN, Estimation de la fiabilité par les essais, 2004, HDR, Université d’Angers.

[2] Sorin VOICULESCU, Fiabilité des systèmes embarqués, 2009, Thèse, Université d’Angers.

[3] Ouahiba, TEBBI Estimation des lois de fiabilité en mécanique par les essais accélérés, 2005,

Thèse, Université d’Angers.

[4] Rodrigue SOHOIN, Rapport Bibliographique, Master SDS 2013-2014, Université d’Angers

[5] Bryan Dodson ,Weibull Analysis, Amer Society for Quality, Pap/Dsk edition (December 1994). [6]

Fabrice GUERIN, M. Barreau, A. Charki, A. Todoskoff and S. Cloupet, Reliability of mechanical

components estimation using ALT models, June 2008, Article.

[7] Fabrice Guérin, Bernard Dumon, Pascal Lantieri ; Accelerated Life Testing on Reparaible Systems,

2004, Reliability and Maintainability, 2004 Annual Symposium - RAMS.

[8] Henri procaccia, Eric Ferton, Marc, Fiabilité et maintenance des matériels industriels réparables et

non réparables, Lavoisier, 2011.

[9] Efron, B.(1979). Bootstrap Methods: Another Look At the Jackknife, The Annals of Statistics 7.

[10] J.Diebolt, A Stochastic EM algorithm for approximating the maximum likelihood estimate, 1994,

Technical Report No 301, September 1994, Stanford University.

[11] G.Rouzet, Essais de conformité en fiabilité, les essais tronqués-censurés, RSA 1972.

[12] Alin Gabriel MIHALACHE, Modélisation et évaluation de la fiabilité des systèmes mécatroniques :

Application sur système embarqué, 2007, Thèse, Université d’Angers.

[13] Maurice SCHWOB et Guy PEYRACHE, Traité de fiabilité, 1969, Edition Masson.

[14] Mostafa BACHA, Gilles CELEUX, Bayesian Estimation of Weibull distribution in a highly censored

and small sample setting, Rapport de recherche No 2993, Octobre1996, INRIA.

[15] Henri Procaccia, Introduction à l’analyse probabiliste des risques industriels, Tec & Doc Lavoisier

(17 février 2009)

30

http://ieeexplore.ieee.org/xpl/mostRecentIssue.jsp?punumber=9034
















31

Estimation de la fiabilité par les essais dans un contexte de faible taille

d’ échantillon

Soutenance de stage

Master 2 Recherche Systèmes Dynamiques et Signaux (SDS)

Par :

Rodrigue SOHOIN

Encadrement :

M. Fabrice GUERIN

32

Méthodologie

d’analyse :

Paramètres de

simulation

Annexes

33

Etude de

l’ a priori

Méthodologie

d’analyse :

Paramètres de

simulation

Annexes

34

Méthodologie d’analyse : Méthode de comparaison Weibull(η,β) et Lognormalel(µ,σ)

Affectation de valeurs nulles aux estimateurs (MV) dans ces cas indéfinis.

Comparaisons sur base d’écarts observés sur les représentations graphiques des

estimateurs obtenus sur 100 répétitions de simulation.

Les résultats classent par ordre d’efficacité les méthodes d’estimation dans chacune

des configurations de taux de censure et de taille d’échantillons.

Les deux premiers rangs correspondent aux méthodes les plus recommandés.

Exemple : taille

d’échantillon

n=30 et taux de

censure=50%

Annexes

35


Cas d’une loi de distribution Weibull(η,β)

Paramètre

d’échelle

Annexes

36


Cas d’une loi de distribution Weibull(η,β)

Paramètre

de forme

Annexes

37


Cas d’une loi de distribution Lognormalel(µ,σ)

Moyenne

Annexes

38


Cas d’une loi de distribution Lognormalel(µ,σ)

Ecart-type

Annexes

Documents

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