MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I2015)Nov4.pdf · numériques (e) Calculez Z e p xdx. Solution : On pose u = p x. Alors du = dx 2 p x ou dx = 2 p xdu = 2udu. En d’autres

MAT 1720 A :Calcul différentiel

et intégral I

Substitution(suite)

Intégration parparties

Quelles sont lesprochainesétapes ?FractionspartiellesMéthodesnumériques

MAT 1720 A : Calcul différentiel etintégral I

Paul-Eugène ParentDépartement de mathématiques et de statistique

Université d’Ottawa

le 4 novembre 2015


et intégral I

Substitution(suite)



Au menu aujourd’hui

1 Substitution (suite)

2 Intégration par parties

3 Quelles sont les prochaines étapes ?Fractions partiellesMéthodes numériques


et intégral I

Substitution(suite)



Exemples

(a) Calculez∫ 1

0

(2x − 1

)100dx .

Solution : Soit u = 2x − 1. Donc du2 = dx . De plus, lorsque

x = 0, on a u = −1 ; et lorsque x = 1, on a u = 1. Alors∫ 1

0

(2x − 1

)100dx =

12

∫ 1

−1u100du

=u101

2 · 101

∣∣∣1−1

=12

(1

101− (−1)101

101

)=

1101

.


et intégral I

Substitution(suite)



Compléter le carré

D’où vient la formule−b ±

√b2 − 4ac2a

des racines d’un

polynôme quadratique p(x) = ax2 + bx + c ? On supposeque a 6= 0. Alors

ax2 + bx + c = a

(x2 +

b

ax +

c

a

)= a

(x2 +

b

ax +

b2

4a2 −b2

4a2 +c

a

)= a

((x +

b

2a)2 − b2 − 4ac

4a2

).


et intégral I

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Donc, si ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, alors résoudre 0 = ax2 + bx + cest équivalent à ...(

x +b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

ou

x +b

2a= ±√b2 − 4ac

2a,

c’est-à-dire,

x =−b ±

√b2 − 4ac2a

.


et intégral I

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(b) Calculez∫

12x2 + x + 1

dx .

Solution : On a ∆ = 1− 4 · 2 · 1 = −7 < 0. Dans ce cas oncomplète le carré, c’est-à-dire,

2x2 + x + 1 = 2(x2 +

x

2+

12

)= 2

(x2 +

x

2+

116− 1

16+

12

)= 2

((x +

14

)2 +716

)=

78

(167

(x +14

)2 + 1)


et intégral I

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2x2 + x + 1 =78

((4x + 1√

7

)2

+ 1

).

Donc ∫1

2x2 + x + 1dx =

87

∫1(

4x+1√7

)2+ 1

dx .

Posons u =4x + 1√

7et√

74

du = dx .

∫1

2x2 + x + 1dx =

2√7

∫1

u2 + 1du.


et intégral I

Substitution(suite)



Conclusion :

∫1

2x2 + x + 1dx =

2√7

arctan(u) + C

=2√7

arctan(

4x + 1√7

)+ C .


et intégral I

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Intégration par parties

On se rappelle la formule de dérivation d’un produit :(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g ′(x). Donc∫ b

af ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)dx =

∫ b

a(f · g)′(x)dx

= f (x)g(x)∣∣ba

= f (b)g(b)− f (a)g(a).

On écrit de façon classique∫ b

af (x)g ′(x)dx = f (x)g(x)

∣∣ba−∫ b

af ′(x)g(x)dx .


et intégral I

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Si l’on pose

u = f (x) du = f ′(x)dx

etdv = g ′(x)dx v = g(x),

alors ∫ b

audv = uv

∣∣ba−∫ b

avdu.

C’est la formule d’intégration par parties.


et intégral I

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Exemples

(a) Calculez∫

ln(x)dx .

Solution : Soit u = ln(x) et dv = dx . Alors du =dx

xet

v = x ; on a donc∫ln(x)︸︷︷︸

u

dx︸︷︷︸dv

= ln(x)︸︷︷︸u

· x︸︷︷︸v

−∫

x︸︷︷︸v

· 1xdx︸︷︷︸du

= x ln(x)−∫

dx

= x ln(x)− x + C

= x(ln(x)− 1) + C .


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(b) Calculez∫

arctan(x)dx .

Solution : Soit u = arctan(x) et dv = dx . Alors du =dx

x2 + 1et v = x ; on a donc∫

arctan(x)dx = x arctan(x)−∫

x

x2 + 1dx .

On fait la substitution u = x2 + 1 et du2 = xdx . Alors∫

x

x2 + 1dx =

12

∫du

u=

ln |u|2

+ C

=ln(x2 + 1)

2+ C , où sont les | · | ?


et intégral I

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Conclusion :∫arctan(x)dx = x arctan(x)− ln(x2 + 1)

2+ C .


et intégral I

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(c) Calculez∫ π

0x sin(x)dx .

Solution : Soit u = x et dv = sin(x)dx . Alors du = dx etv = − cos(x), on a donc∫ π

0x sin(x)dx = −x cos(x)

∣∣π0 −

∫ π

0− cos(x)dx

= −π · (−1)− 0 + (sin(x))∣∣π0

= π.


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y = x sin(x)


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(d) Calculez I =

∫ π2

0ex cos(x)dx .

Solution : Soit u = cos(x) et dv = exdx . Alorsdu = − sin(x)dx et v = ex , on a donc∫ π

2

0ex cos(x)dx = ex cos(x)

∣∣π20 −

∫ π2

0ex(− sin(x))dx

= (0− 1) +

∫ π2

0ex sin(x)dx .

Soit u = sin(x) et dv = exdx . Alors du = cos(x)dx etv = ex , on a donc

I = −1 + (sin(x)ex)∣∣π20 −

∫ π2

0ex cos(x)dx︸︷︷︸

I

.


et intégral I

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Conclusion :2I = −1 + e

π2 ,

c’est-à-dire, ∫ π2

0ex cos(x)dx =

12

(eπ2 − 1).


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y = ex cos(x)


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(e) Calculez∫

e√xdx .

Solution : On pose u =√x . Alors du =

dx

2√x

ou

dx = 2√xdu = 2udu. En d’autres mots,∫

e√xdx = 2

∫ueudu.

A présent on procède avec l’intégration par parties,c’est-à-dire, soit w = u et dv = eudu. Alors dw = du etv = eu, on a donc∫

ueudu = ueu −∫

eudu = ueu − eu + C = eu(u − 1) + C .


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Conclusion :∫

e√xdx = 2e

√x(√x − 1) + C .


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(f) Calculez∫ 1

0x2e−xdx .

Solution : On intègre par parties, c’est-à-dire, soit u = x2 etdv = e−xdx . Alors du = 2xdx et v = −e−x , on a donc∫ 1

0x2e−xdx = x2(−e−x)|10 − 2

∫ 1

0x(−e−x)dx

= −e−1 + 2∫ 1

0xe−xdx .

On intègre par parties une seconde fois ...


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c’est-à-dire, soit u = x et dv = e−xdx . Alors du = dx etv = −e−x , on a donc∫ 1

0x2e−xdx = −e−1 + 2

(x(−e−x)|10 −

∫ 1

0(−e−x)dx

)︸︷︷︸∫ 1

0xe−xdx

= −e−1 + 2(−e−1) + 2(−e−x)|10= −3e−1 + 2(1− e−1)

= 2− 5e−1.


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(g) Calculez∫ 2

1

1x2

√1 +

1xdx .

Solution : On fait la substitution u = 1 +1x

. Alors

−du =1x2 dx . De plus, lorsque x = 1 alors u = 2, et lorsque

x = 2 alors u = 32 . Donc∫ 2

1

1x2

√1 +

1xdx = −

∫ 32

2

√udu =

∫ 2

32

√udu

=23u

32∣∣232

=23

(232 −

(32

) 32).


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Fractions partielles

Comment intégrer ∫ b

a

p(x)

q(x)dx?


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Méthodes numériques

Comment évaluer∫ b

axxdx ,

∫ b

ae−x

2dx or

∫ b

a

√1 + x3dx?

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