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matematica per economisti Beatrice Venturi
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Facoltà di Economia
Equazioni differenziali e applicazioni economiche
LEZIONE 1prof. Beatrice Venturi
matematica per economisti Beatrice Venturi
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI E EQUAZIONI DIFFERENZIALI E
APPLICAZIONI ECONOMICHEAPPLICAZIONI ECONOMICHE
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LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL PRIMO ORDINE
DEFINIZIONE: Sia y = una funzione incognitax = variabile indipendentey' = derivata prima
0),(, yxyxF
Equazione differenziale ordinaria del prim'ordine.
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1.ESEMPI
)(xfdx
dy
)(tIdt
dK
ydx
dy
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5
Modello di crescita di Domar
sIdt
dII
sdt
dI 11
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Investimento e formazione di capitale
Formazione di capitale = processo per cui nuove quote di capitale si aggiungono ad uno stock precedente.
Saggio di formazione di capitale =
dt
tdK )(
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Legame tra capitale ed investimento netto
)(tK
)(tI
Capitale =
Investimento netto =
)()(
tIdt
tdK
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Legame tra capitale ed investimento netto
dttItdK
dttIdtdt
tdK
)()(
)()(
dttItK )()(
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9
Legame tra capitale ed investimento netto
ctdttdttItK 2
3
2
1
23)()(cKt )0(0
)0(2)( 2
3
KttK
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10
Legame tra capitale ed investimento netto
)()()()( aKbKtKdttI ba
b
a
1000)( tI
10001000)(1
0
1
0
dtdttI
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11
Legame tra capitale ed investimento netto
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CONCETTO DI SOLUZIONE
Risolvere un equazione differenziale significa trovare una funzione (soluzione) che renda l’espressione identicamente soddisfatta.
Trovare una soluzione delle equazione precedente,in genere, significa fare un’operazione di integrazione.
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La derivata ordine massimo della funzione incognita che compare
nell’equazione determina il grado dell’equazione differenziale.
ORDINE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE
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Dinamica del prezzo di equilibrio
Consideriamo una funzione domanda:
pQd
e una funzione offerta:
pQs
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Dinamica del prezzo di equilibrio
in condizioni di equilibrio risulta:
pp
)(
)(
p
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Dinamica del prezzo di equilibrio
)]()([ padt
dp
questa equazione rappresenta un’equazione differenziale del I ° ordine lineare non omogenea si mostra che la soluzione di questo modello è data da:
)()( apadt
dp
( )d s
dpa Q Q
dt
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Dinamica del prezzo di equilibrio
0)( padt
dp
dtap
dp)(
ctap )(ln
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Dinamica del prezzo di equilibrio
Soluzione particolare della non omogenea
taCetp )()(
Soluzione generale della omogenea
)(
)()(
tp
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Dinamica del prezzo di equilibrio
Soluzione =
)(
,))0(()(
akdove
pepptp kt
soluzione generale omogenea+
soluzione particolare non omogenea
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Stabilità dinamica dell’equilibrio
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI.
Un'equazione differenziale che presenta al secondo membro il prodotto di una funzione della sola y per una funzione della sola x si dice a variabili separabili.
ygxfy
Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente :
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cdxxfyg
dy
dxxfyg
dy
ygxfdx
dy
ygxfy
)()(
)()(
)()(
)()('
Il procedimento che consente di determinare la soluzione generale o integrale generale è il seguente
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Modello di crescita di Domar
La propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo
)(1
)(
1ts
Idt
dII
tsdt
dI
0)( Itsdt
dI
dttsCetI )()(
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INTEGRALE PARTICOLAREDEFINIZIONE: Si chiama integrale particolare o soluzione
particolare dell'equazione differenziale
0,, yyxF
xfy ogni funzione :
xy ottenuta dall’integrale generale
attribuendo un particolare valore.
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Così, ad esempio, data l'equazione differenziale
per determinare il suo integrale particolare le cui curve rappresentative passa per il punto: ;
3
1;4
P
02 xy
dxxdy
xdx
dy
xy
xy
2
2
2
2
'
0'
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26
213
213
63
3
641
3
64
3
13
4
3
1
3
3
3
3
xy
c
c
cx
y
dxxdy 2
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52.50-2.5-5
20
0
-20
-40
-60
x
y
x
y
213
3
x
y
Grafico della funzione
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Grafico soluzione caso: C₁= 0 y=(1/3)x³
52.50-2.5-5
40
20
0
-20
-40
x
y
x
y
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INTEGRALE SINGOLARE
Si chiama integrale singolare o di frontiera dell'equazione differenziale
yxfy ,ogni eventuale integrale la cui corrispondente curva risulti interamente giacente sulla frontiera.
La sua equazione non è ottenibile per alcun valore numerico attribuito alla costante c.
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Così, ad esempio, data l’equazione differenziale :
dxdyy
dxy
dy
ydx
dy
yy
2
1
2
2
2
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2
2
1
2
1
2
1
cxy
cxy
cxy
cxy
In base a questo esercizio osserviamo che y=0 è una soluzione dell'equazione differenziale, ma y=0 non può considerarsi un integrale particolare perché non si può dedurre per alcun valore di c dalla soluzione generale.Pertanto y=0 rappresenta un integrale singolare.
