Matériaux Et Proprietés

Universite Pierre et Marie Curie

Licence de Mecanique

Notes de cours UV2

Materiaux et proprietes

Yves Berthaud

Janvier 2004

Ces notes sont destinees a` fournir un support pour un cours

materiaux dun volume horaire total (C + TD) de 20h. Le

public est celui detudiants en licence de Mecanique a` Paris 6.

Elles sont basees sur differents documents personnels (notes

de cours de DEA de M. Moranville Regourd et les ouvrages

cites en reference.

Notes de cours Materiaux Licence UPMC - 2004 - YB 1

2 Notes de cours Materiaux Licence UPMC - 2004 - YB

Chapitre 1

Structure, texture des materiauxet proprietes

Nous allons dans cette partie de cours nous interesser essentiellement a` la relation quiexiste entre les proprietes de la matie`re (a` lechelle microscopique) et celles courammentobservees a` lechelle du mecanicien des solides deformables. Cette presentation va ba-layer aussi bien les materiaux cristallins (metaux en general, certains polyme`res) que desmateriaux dits amorphes (certains polyme`res, verres). Les materiaux de construction sontdes syste`mes composites comprenant differents solides. Une analyse comple`te des solidespolyphases comprend la description de la structure cristalline des differentes phases et deleur texture.

Les structures cristallines sont construites a` partir dun ensemble didentites (atomes,ions, molecules) en position relativement fixe. En faisant une description statique parfaiteon ne prend pas en compte les defauts de larrangement qui sont fondamentaux dans lacomprehension de certaines proprietes (cohesion, durete, plasticite, conductibilite, cou-leur).

La texture inclut la taille, la forme, lorientation des cristaux ou des grains de chaquephase, les interfaces entre grains. La resistance mecanique, lelasticite dependent de latexture. Les interactions entre grains peuvent donner naissance a` des materiaux dont lesproprietes sont superieures a` celles des constituants pris separement.

1.1 Les etats de la matie`re

Trois etats sont couramment distingues, gazeux, liquide et solide. Prenons le cas dugaz rare argon (Ar).

1. A letat gazeux : la matie`re est diluee, desordonnee. A un instant donne les atomesdargon de diame`tre 0, 2nm se trouvent a` une vingtaine de diame`tre les uns desautres et se deplacent a` une vitesse de 100ms1.

2. A letat liquide : la matie`re est plus condensee. Les atomes sont a` 0, 4nm et sedeplacent a` une vitesse de 10ms1. On a deja` un ordre a` petite distance puisque lesatomes sont proches les uns des autres.

3. A letat solide : la matie`re est condensee et ordonnee. les atomes sont en contactles uns des autres et ranges periodiquement suivant un reseau tridimensionnel de


1. Structure, texture des materiaux et proprietes

symetrie cubique. Ils vibrent autour dune position moyenne mais ne changent qua-siment pas de position.

On va donc considerer maintenant deux etats ordonnes et desordonnes de la matie`re.

1.2 Letat ordonne : les solides cristallises

Les cristaux sont obtenus par solidification dun liquide, evaporation dune solutionou condensation dune vapeur. Ils se caracterisent par une transition brusque passantdun etat desordonne a` un etat ordonne. Ce sont des solides polyedriques dont la formecorrespond a` un des sept reseaux cristallins fondamentaux.

1.2.1 Cristal parfait

1.2.1.1 Reseaux cristallins

Un cristal est forme par la juxtaposition et lempilement de parallelepipe`des quel-conques dans lespace. Ce dernier est defini par ses vecteurs a, b et c formant des angles , et .On definit ainsi la maille elementaire. Sa repetition donne le cristal lorsqua` chaquenoeud est associe un (ou plusieurs) atomes. Un atome place en un noeud est caracterise parses coordonnees u, v, w nombres entiers (en fait il vibre autour de sa position moyenne).On peut distinguer a` partir des vecteurs de base et des angles sept syste`mes cristallinsdifferents. Si on ajoute des noeuds au centre des faces ou du parallelepipe`de on en obtient14 qui forment les reseaux de Bravais. Tout cristal peut etre decrit par lun de ces reseaux.

1.2.1.2 Disposition des atomes dans un reseau cristallin

En fait on peut avoir plusieurs configurations selon le nombre datomes disposes a`chaque noeud. Prenons lexemple du cristal cubique a` faces centrees (CC).

1. Un atome par noeud : cest le cas des metaux, du cuivre par exemple.

2. Deux atomes : cest le cas du chlorure de sodium.

3. Six atomes : on a la cristobalite.

1.2.1.3 Liaisons cristallines

Les materiaux sont constitues datomes lies entre eux par des forces electromagnetiquesqui naissent entre les electrons datomes voisins. Le rayon dun atome est de 107 a`106mm (soit de 0, 1 a` 1nm). Lattraction electro-statique entre les charges negatives deselectrons et positives des noyaux est responsable de la cohesion des atomes dans les cris-taux. Un atome est constitue dun noyau et de Z electrons repartis en differentes couchesK, L, M,... Le nombre delectrons est limite dans chaque couche : 2 dans la couche K,8 dans la couche L. Lenergie dun electron (i.e. lenergie necessaire pour larracher delatome) est forte dans la couche K pre`s du noyau (13, 6eV pour lhydroge`ne et 115600eVpour luranium). Un cristal nest stable que si son energie totale E est inferieure a` lenergietotale des atomes libres places a` linfini.. Les forces qui lient les atomes peuvent etre :

1. Des liaisons fortes (quelques eV ) a` distance courte (0, 05nm),


1.2. Letat ordonne : les solides cristallises

Figure 1.1 Quelques exemples dempilements atomiques (Dorlot, p. 57)

2. Des liaisons faibles (quelques 0, 01eV ) a` grande distance (0, 5nm)

Liaisons fortes

1. Liaison ionique : cette liaison seffectue par echange delectron entre deux atomes.Cette liaison est forte car elle sature la couche electronique exterieure des atomesqui deviennent des ions. On peut prendre lexemple du sodium Na et du chlore Clqui donnent le cristal Na+Cl. Cette liaison concerne essentiellement les atomes quiposse`dent beaucoup delectrons de valence (colonnes VIA et VIIA de la classification)et ceux qui en ont peu (colonnes IA et IIA). On peut donner comme exemple lesoxydes : magnesie, alumine... Cete liaison na pas de direction privilegiee.

2. Liaison covalente : elle concerne des materiaux tels que le diamant, la silice,le verre, le tungste`ne ... Elle consiste en la mise en commun delectrons de deuxatomes sur une meme orbite. En fait le plus souvent ceci permet de saturer la coucheelectronique exterieure. Cette liaison est dirigee, anisotrope.

3. Liaison metallique : cette liaison se caracterise par la mise en commun deselectrons de liaison qui ne sont plus localises entre les atomes (covalente) ou surun ion (ionique) mais qui sont repartis dans lensemble du reseau dions. On peutprendre lexemple du sodium qui a un electron de valence. Dans le cristal de sodiumchaque atome perd un electron de valence de telle sorte que ce cristal peut etrevu comme un ensemble dions Na+ baignant dans un nuage delectrons libres. Ontrouve ces elements dans les colonnes IA a` IIIA. En se deplacant vers la droite du



Figure 1.2 Liaison ionique (Ashby)

Figure 1.3 Liaison covalente (Ashby)

tableau on se rapproche de liaisons covalentes. Cette liaison de type ion-electron estsans direction privilegiee.

4. Liaison mixte : dans le cas de liaisons entre deux atomes identiques (hydroge`nepar exemple) on a une liaison covalente pure puisque les electrons de valence sontidentiquement attires par les noyaux. Il en est autrement dans le cas de liaison pourla molecule HCl car la difference du nombre de protons dans les noyaux deformele nuage electronique. La conclusion est la formation dun dipole. On peut ainsimontrer que la liaison dans le chlorure de sodium est mi covalente mi ionique (cf Desmateriaux, p. 39).

Liaisons faibles

Les liaisons fortes ne permettent pas dexpliquer la formation de materiaux tels que laglace, les polyme`res. Il faut rappeler que dans la plupart des materiaux a` liaison covalentele barycentre des charges positives nest pas confondu avec celui des charges negatives. Ilsensuit la formation dun dipole electrique.

1. Liaison de Van der Waals : cest lattraction entre ces dipoles qui en est res-ponsable. Une simple augmentation de la temperature (agitation thermique) suffit a`rompre ces liaisons (cest le cas de lazote liquide).

2. Dans le cas de la glace on la denomme liaison hydroge`ne car cest latome dhy-droge`ne qui est en cause. Ces liaisons se caracterisent par la temperature de fusionbasse (glace, polyme`res).

1.2.2 Analyse de la liaison Na+Cl

Dans lexemple du chlorure de sodium il faut fournir 5, 14 eV pour que lelectron soitarrache de latome de sodium (cest a` dire deplace a` linfini). Il en restitue 4, 02 eV lorsquil



Figure 1.4 Liaison de Van der Waals (Ashby)

est dans latome de chlore. La difference contribue a` lenergie de liaison de Na+Cl. Cesdeux atomes sont finalement soumis a` des efforts dattraction.electrostatique de la forme :

F = q2

40r2(1.1)

avec : q la charge de chaque ion, 0 la permitivite du vide (Fm1) et r la distance

entre les ions. Le potentiel dont derive cette force est :

U = q2

40r(1.2)

ce qui donne la courbe de la figure 1.2.2.

Figure 1.5 Energie pour NaCl (Quere)

Passage extrait de : Physique des materiaux, p. 21. Ce type de liaison a ete imagine parMadelung (1910) de la manie`re suivante : considerons une structure dite cubique a` face



centree (CFC). Dans cette structure chaque Cl est entoure de n1 Na+ a` une distance r1

puis de n2 Cl a` une distance r2 etc. Donc lenergie (attraction Coulombienne) vaut :

Ec = N

(n1 e

2

r1+ n2

e2

r2+ ...

)= N e

2

rM (1.3)

avec 2N le nombre dions du cristal, M la constante de Madelung. Pour Na+Cl ona M = 1, 7476, e = 4, 8 eV dou` Ec = 8, 94 eV.

Or si seule cette force existait il y aurait effondrement de la structure. On sait parailleurs que lenergie de liaison El de Na

+Cl vaut 7, 9 eV. Lenergie de liaison estlenergie necessaire pour dissocier le cristal en ions.Na+ et Cl. On constate que la contri-bution de lenergie electro-statique Ec est principale dans lenergie de liaison.

Ceci nous permettra donc dutiliser le mode`le electro-statique par la suite.

Remarque : il ne faut pas confondre El avec lenergie de cohesion Ecoh qui corresponda` une dissociation en atomes Na et Cl. La creation de Na+ a` partir de Na coute lenergiedionisation Ei et la creation de Cl

a` partir de Cl coute lenergie daffinite Ea. On peutetablir le bilan :

Ecoh = Ei + Ea + El = 5, 14 3, 71 + El = 6, 5 dou` El = 7, 9.Madelung a donc pour eviter cet effondrement imagine de manie`re phenomenologique

un terme de repulsion de la forme :

Er =B

rn(1.4)

Au bilan on se trouve de facon globale avec un terme dattraction Ec et un terme derepulsion Er. On a deux conditions :

1. Lenergie totale du syste`me est E = Ec + Er = N e2r M + Brn .

2. Lequilibre global du syste`me qui correspond a` une valeur r0 de la distance entreatomes est donne par : dE

dr= 0.

Application : dans le cas considere, connaissant la valeur de r0 (0, 281nm), on peuten deduire la valeur de lexposant n = Ec

EcEt= 8, 9. Cet exposant eleve indique que la

variation du terme de repulsion est forte.

Conclusion : on doit retenir que la forme generale du potentiel dinteractionpour tout type de liaison (forte ou faible) est :

U = Arm

+B

rn(1.5)

Le tableau suivant donne quelques exemples de materiaux avec lenergie de liaisonainsi que des grandeurs auxquelles nous allons nous interesser (Temperature de fusion,module delasticite, dilatation thermique, conductibilite electrique et ductilite) classeesfaible, moyen, fort (eleve). Tableau issu de Des Materiaux p. 42.



Liaison El (eV/at.) Tf E Cond. Duct.

Covalente Diamant (7) Fort F faible f fIonique NaCl (3, 3) F F f f f

Metallique Na (1, 1) ; Cu (3, 5) moyen m f-m m-F FV. d. Waals H2 (0, 01) ; Cl2 (0, 3) f f F m f-m

1.2.3 Consequences macroscopiques

Nous allons monter que les proprietes telles que fragilite, ductilite, elasticite, dilatationthermique se deduisent aisement de la nature des liaisons. Debutons par lelasticite qui afait lobjet detudes de`s le 17e sie`cle a` savoir :

1. Hooke (1635, 1703). Il a donne la relation de proportionnalite entre allongements etefforts appliques (application aux ressorts, lames minces),

2. Cauchy (1789, 1857) Notion de deformation dun milieu continu.

3. Thomas Young, physiologiste, physicien et linguiste anglais (1773-1829)lois de lelasticiteet concurrent de Champollion.

4. G. Lame (1795, 1870)dit LAME DE LA DROITIE`RE. On peut trouver diversescontributions dont : theorie mathematique de lelasticite.

La plupart des materiaux posse`de un domaine de lespace des contraintes (ou desdeformations) a` linterieur duquel une variation des sollicitations nentrane quune varia-tion reversible des deformations. On a a` linterieur de ce domaine un mouvement reversibledatomes soit regulie`rement disposes (cristal) soit organises dans des chanes moleculaires(polyme`res). Afin de comprendre lorigine de ce comportement il est fondamental detudiera` la fois les differents types de liaisons intera-tomiques et lorganisation de la matie`re, cesdeux points intervenant dans lelasticite macroscopique...

1.2.3.1 Module elastique selon le mode`le electro-statique

Si lon reprend lexpression du potentiel dinteraction on peut sinteresser au calcul dumodule delasticite en prenant comme exemple le chlorure de sodium. Dans une sectionunite (1m2) il y a 1

r20

atomes. Imaginons deux demi-cristaux face a` face separes de r

(different de la valeur a` lequilibre r0). Le syste`me etant hors de lequilibre une forceexterieure doit etre appliquee. Supposons quau voisinage de lequilibre existe une relationF = k(r r0) avec k la raideur. On a :

k =dF

dr=d2U

dr2(1.6)

Mais par definition en divisant leffort par la section unite on obtient la contraintemoyenne. Sachant quil y a 1

r20

liaisons dans cette section on a :

F = k(r r0) = F 1r20

= =k

r0

r r0r0

=k

r0 (1.7)

Cette expression fait apparatre a` la fois une contrainte et une deformation. Le termekr0

est donc homoge`ne au module recherche. Dans le cas du chlorure de sodium on peut le



calculer et on obtient (voir TD) :

K =k

r0=

q2

40r30(n 1) avec n = 0, 58 (1.8)

Ceci donne avec 0 = 8, 854102Fm1 une valeur de 38GPa qui est proche des resultats

experimentaux sur ce cristal.

Remarques :

1. Le module delasticite est lie a` la courbure du potentiel au voisinage de lequilibre.Cette dernie`re est en relation avec les exposants n et m du potentiel dinteraction.La connaissance des ces exposants donne immediatement une idee du type de com-portement elastique.

Figure 1.6 Modules (extrait de Dorlot)

2. On peut egalement affirmer que cette courbure sera dautant plus forte que le puitsde potentiel sera marque. Ce dernier est par ailleurs relie a` lenthalpie de sublimation.Il y a donc une relation entre ces quantites.

3. Ce calcul est une estimation qui ne tient pas compte de larrangement particulier desatomes. En particulier aucune information sur lanisotropie nest fournie ici. Nousreviendrons sur ce point plus loin.

4. Plus la temperature de vaporisation (ou aussi de fusion) est elevee, plus le modulede rigidite est grand.

Vous avez dans le tableau ci-dessous quelques ordres de grandeur (attention ce nesont que des ordres de grandeurs car il y a possibilite danisotropie parfois tre`s forte).



Liaison Exemple Tf (C) E (GPa) (106C1)

Covalente TiC 3180 315 7,4Ionique SiO2 1600 72 0,5

Metallique Mo 1535 210 11,8V. d. Waals Polyethyle`ne 115 0,2 210

1.2.3.2 Dilatation thermique selon le mode`le electro-statique

Nous navons jusquici pas pris en compte le terme denergie cinetique W lie a` lagi-tation thermique. On peut supposer quun atome vibre entre deux positions extremesdont la moyenne determine levolution des positions dequilibre avec la temperature. Ainsion comprend que la courbe U(r) netant pas symetrique (les coefficients m et n sontdifferents) on obtient une variation de la position dequilibre des atomes lorsque lon modi-fie la temperature. Cest lorigine de la dilatation thermique. Celle-ci sera plus importantepour un materiau possedant une faible energie de liaison a` lequilibre (propriete de lacourbe au voisinage de lequilibre). On sattend donc - selon ce mode`le - a` une correlationentre module delasticite et coefficient de dilatation thermique ce qui est bien verifie parlexperience.

Figure 1.7 Dilatation thermique (Dorlot)

1.2.3.3 Conductibilite electrique

Les cristaux covalents et ioniques sont isolants car tous les electrons sont lies a` unatome et ne peuvent pas se deplacer sous laction dun champ electrique exterieur. Parcontre les metaux qui posse`dent un nuage delectrons de valence peuvent se deplacer carils ne sont attaches a` aucun atome en particulier : un courant electrique traverse le metal.



1.2.3.4 Conclusions

On a utilise principalement le mode`le electro-statique pour notre raisonnement. Enreprenant les differents reseaux cristallins on peut aisement imaginer que les proprietes(elasticite, dilatation thermique,...) ne sont plus isotropes mais anisotropes. Les moduleselastiques correspondent a` un tenseur dordre quatre C alors que les coefficients de dila-tation sont des nombres appartenant a` un tenseur dordre deux . Un cristal tricliniquene posse`de aucun element de symetrie materielle : en consequence les tenseurs delasticiteet de dilatation thermique nen auront pas. Par contre un cristal monoclinique posse`deun plan de symetrie ; ceci impose que certains elements des tenseurs respectent cettesymetrie. La consequence est lapparition de zero dans les tenseurs ce qui reduit le nombrede constantes. On aboutit ainsi aux tableaux de repartition du nombre de constanteselastiques et de dilatation thermique classique.

On peut montrer que :

1. Lisotropie elastique constatee sur la plupart des materiaux est le resultat de lar-rangement aleatoire des cristaux au sein du poly-cristal.

2. Que dune facon generale les conditions de symetries materielles sont plus fortes surdes tenseurs dordre faible que dordre eleve. Cela sobserve sur le cristal cubiquequi posse`de 3 constantes elastiques (la plus faible anisotropie) alors quil est isotropethermiquement (1 constante).

1.3 Letat desordonne : les verres

Les verres ou corps amorphes ou solides non cristallins representent un etat exception-nel de la matie`re. Ils sont solides mais larrangement des atomes dans leur structure estcelui du liquide dont ils sont issus, par trempe. Les verres industriels sont essentiellementdes verres de silicates (70% SiO2, 20% Na2O, 10% CaO (% mol.)). Letat vitreux estmetastable. Les composes metalliques ne donnent pas (sauf par hyper trempe de couchesminces) de phase vitreuse. La figure ?? represente un meme compose sous forme cristallineet vitreuse.

1.4 Entre ordre et desordre

Entre letat ordonne des cristaux et desordonne des verres existent des structures(interessant un grand nombre datomes) qui se rapprochent de celle du cristal avec desecarts a` lordre importants, ou des structures apparemment desordonnees dans lesquelleson trouve un ordre a` moyenne distance. Ce sont les matie`res plastiques, les caoutchoucs,les textiles.

1.4.1 Polyme`res

Les polyme`res sont constitues de grosses molecules, chanes polymeriques (polyethyle`nepar exemple) formees par la repetition dun monome`re.(CH2 CH2 (ethyle`ne) parexemple). On peut voir alors cette chane comme sur la figure suivante (Verdu, p.59) etlelargir au cas des polyme`res constitues dimbrication de chanes differentes. On trouveaisement un million datomes dans des polyme`res qui ont des masses molaires de lordre


1.4. Entre ordre et desordre

de 105 a` 107g/mole. La molecule peut prendre plusieurs configurations comme une chanearticulee se repliant depliant. Elle est donc de longueur variable.

On a des polyme`res cristallises, amorphes et evidemment toutes les possibilites in-termediaires avec des polyme`res semi-cristallins (taux de cristallinite variable).

Figure 1.8 Structure amorphe et cristallisee

1.4.1.1 Polyme`res cristallises

A traiter.

1.4.1.2 Polyme`res amorphes

On a dans ce cas une structure desordonnee construite a` partir de longues chanes.Ces chanes peuvent se mouvoir, semmeler. On a comme element de base des atomes decarbone, dhydroge`ne, doxyge`ne de soufre, ... lies entre eux par des liaisons covalentes,ioniques et faibles. On a aussi bien du plexyglass, dur et fragile que du caoutchouc, mou,tre`s deformable.

1.4.2 Elasticite caoutchoutique (ou entropique)

Dans ce type de materiau on constate experimentalement que le comportement elastiquemacroscopique permet des elongations de lordre de 1000% avec une non linearite forte etune concavite vers le bas (en debut de courbe). Ceci signifie que le materiau a` tendance a` se raidir . (courbe p. 1945 Verdu).

On peut calculer le module elastique en considerant la structure particulie`re de lamatie`re : amorphe. Si dans le cas precedent des cristaux on a utilise lenergie dinterac-tion pour effectuer nos calculs, il faut prendre desormais considerer quune deformationappliquee a` une chane ne sollicitera que tre`s peu les liaisons inter-atomiques (sauf dans lecas tre`s particulier de leffet Mullins). Supposons quon applique une force F pour produireun allongement dl : le travail de deformation sexprime de manie`re generale par :

dW = dU TdS = Fdl = F = Ul T

T Sl T

(1.9)



Figure 1.9 Courbe de comportement typique dun caoutchouc (Verdu)

avec U lenergie interne et S lentropie.

Remarques :

1. Dans ce cas on ne sollicite que tre`s peu les liaisons internes de sorte que le premierterme (elasticite cristalline) reste negligeable devant le second (elasticite entropique).

2. Dans le cas des cristaux la deformation ne modifie pas ou peu lordre geometriqueet cest le second terme qui est negligeable.

Soit une chane OM. On sait calculer lentropie de configuration : a` lequilibre la chaneforme une pelote isotrope de rayon r20 = x

20 + y

20 + z

20 = 3x

20. Etudions une conformation

quelconque (le point M a des nouvelles coordonnees (x, y, z)). Si la chane est Gaussienne,la probabilite de presence de M dans un element de volume dxdydz est donnee par :

r = xyz = 0 exp

( 3r

2

2 < r20 >

)(1.10)

Or la loi de Boltzmann lie lentropie S dun syste`me a` sa probabilite dexistence :

S(r) = k lnr k constante de Bolztmann (1.11)

On aboutit tous calculs faits a` :

E =3RT

Mc(1.12)

avec Mc la masse molaire moyenne dune chane et R la constante des gaz parfaits.

1.5 Notion de limite delasticite

1.5.1 Mode`le electro-statique

Essayons de determiner a` partir du mode`le electro-statique la contrainte maximalesupportable par le reseau suppose parfait. Celle-ci correspond au point dinflexion de la


1.5. Notion de limite delasticite

courbe U(r) entre le point U(r0) et U(). On trouve donc (voir TD) pour un potentielU = q2

40r2+ B

rn:

= E

{(n+ 1

2

) 1n1

1}

(1.13)

On constate quavec n de lordre de 4 on trouve une contrainte de rupture de lordre dumodule delasticite ce qui nest pas observe sauf sur de minces filaments mono-cristallins.Dans la pratique les contraintes de rupture sont de lordre de E/1000. On peut donc endeduire que dautres mecanismes interviennent dans les materiaux a` la fois pour expliquerlexistence de deformations permanentes et des contraintes de ruptures.

1.5.2 Glissement cristallographique

Figure 1.10 Deformation elastique et plastique (Douin)

Lorsque lon observe un poly-cristal deforme plastiquement au microscope optique onobserve de nombreuses bandes elles memes constituees de fines lignes de glissement. Dansle cas dun mono cristal ce phenome`ne est plus marque puisque toutes les bandes deglissement sont paralle`les.

On peut alors supposer que la deformation plastique des metaux est due a` un glissementcristallographique des plans les uns par rapport aux autres. Soit une eprouvette de tractionmono-cristalline et un plan de glissement (voir figure 1.11). Il est logique de calculer lacontrainte de cisaillement qui agit dans ce plan pour une contrainte F/S de tractionappliquee. On trouve aisement :

=F

Scos cos (1.14)

Le terme cos cos est appele facteur de Schmid.

Calculons cette contrainte a` partir des caracteristiques du reseau atomique (voir TD).Pour cela on conside`re un reseau soumis a` une contrainte de cisaillement . Dans ce cas il ya glissement dune partie du reseau par rapport a` lautre dans la direction x. La periodicitedu reseau permet de supposer que la variation de la cission en fonction du deplacement x



Figure 1.11 Mono-cristal et crite`re de Schmidt

est sinusodale.

= th sin(2

x

b

)(1.15)

avec th la valeur de la cission theorique de glissement. En linearisant et en prenantun facteur de Schmid egal a` 0, 5 on aboutit a` une contrainte F/S egale a` environ E/10 cequi ne permet toujours pas dexpliquer les valeurs experimentales. Lobjet de la suite dece cours est darriver a` expliquer cette difference entre proprietes estimees et mesurees.

1.5.3 Defauts dans les materiaux

Nous allons dans ce passage nous interesser essentiellement aux materiaux cristallinspour lesquels lordre parfait nexiste pas. Certaines proprietes macroscopiques (modulesdelasticite, coefficient de dilatation, ...) qui resultent de moyenne spatiale sont peu af-fectees par ces imperfections ; ce nest pas le cas pour les phenome`nes de plasticite.

1.5.3.1 Defauts ponctuels

Lordre regulier dun cristal peut etre perturbe par la presence soit :

1. datomes interticiels (de meme nature que les atomes du cristal) qui creent uneforte distorsion du reseau,

2. datomes manquants (lacunes) dont le nombre est regit par une loi de typeArhenius dans les metaux. Ces lacunes jouent un role important dans les phenome`nesde diffusion,



Figure 1.12 Facteur de Schmid (Dorlot)

3. de solutions solides. Un corps pur pouvant dissoudre une certaine proportion dunautre corps, on trouve donc deux cas :

des atomes etrangers qui occupent des noeuds du maillage et conduisent a` unedistorsion et a` des modifications de proprietes electriques,

des atomes etrangers qui sont en insertion. Cest le cas du carbone dans le fer.

1.5.3.2 Defauts lineiques

Il sagit de dislocations dont lexistence a ete imagine par Voltera avant meme depouvoir en observer. Il existe deux types de dislocations : vis et coin.

Dislocation coin. Elle correspond a` linterruption dun plan atomique le long duneligne ce qui conduit a` une forte distorsion du reseau atomique avec des zones en tensionet dautres en compression. Une dislocation se caracterise par son vecteur de Burgers b.Celui dune dislocation coin est perpendiculaire a` la ligne de dislocation.

Dislocation vis. Dans ce cas on a un cisaillement du reseau qui donne un vecteur deBurgers paralle`le a` la ligne de dislocation.

Remarques : Ces defauts qui perturbent larrangement cristallin augmentent sonenergie totale puisquil y a distorsion du reseau. On peut montrer que lenergie associee a`chaque dislocation est de la forme (voir TD) :

W = b2/unite de longueur (1.16)

En consequence le materiau qui recherche a` minimiser son energie interne va donc pri-vilegier des dislocations dont le vecteur de Burgers est le plus court possible (soit la pluspetite distance inter-atomique en pratique). Dans une structure CFC on a la direction110 et une longueur (a2)/2 alors que pour une structure CC cest la direction 111



Figure 1.13 Dislocations observees au MET dans un echantillon de fer (Dorlot)

Figure 1.14 Dislocation coin et vecteur de Burgers(Dorlot)

avec une longueur associee (a3)/2.

Leur observation est possible au microscope electronique a` transmission. Les densitesvarient selon le traitement thermique (qui tend a` diminuer la densite de dislocations) etles sollicitations mecaniques.(qui laugmentent).

Materiau Metal recuit Metal ecroui

Densite de dislocation (cm/cm3) 106 1012

Remarque : On peut trouver lexpression (Friedel p. 54) de la contrainte cisaillementnecessaire au mouvement dune dislocation qui de proche en proche va cisailler le cristal.Elle est donnee pour une dislocation vis avec a un parame`tre de maille par :

= 2 exp(2a

b

)(1.17)



Figure 1.15 Dislocation vis (Dorlot)

Figure 1.16 Mecanisme de multiplication des dislocations (Dorlot)

Cette relation permet de constater que lordre de grandeur ainsi trouve est de /100a` /1000 pour la contrainte de cisaillement critique ce qui signifie que ce mecanisme estprobable pour expliquer la plasticite cristalline.

1.5.3.3 Defauts surfaciques

On trouve dans cette categorie les joints de grains et les macles.

1. Les joints de grains correspondent a` la limite entre les differents grains dunmateriau poly-cristallin. Les joints de grains ont une epaisseur de quelques couchesatomiques, sont des zones fortement distordues ce qui permet linsertion datomes.Si les grains sont systematiquement elastiquement anisotropes le poly-cristal peutetre isotrope en raison de lorientation aleatoire des orientations cristallines.

2. Les macles correspondent a` des defauts dans lordre dempilement des couchesdatomes. On peut donc trouver a` linterieur dun meme grain des traces de ma-clage.



Figure 1.17 Joint de grain (MET), (Quere)

Figure 1.18 Maclage, principe et observation (Dorlot)

1.5.3.4 Defauts volumiques

On a de tels defauts lorsquune partie du cristal est remplace par un autre materiau :inclusion ou precite. Ils jouent un role tre`s important pour la modification des proprietesdes materiaux (limite elastique).

1.5.4 Forces sexercant sur une dislocation

Soit un cristal depaisseur unite qui a subi un cisaillement donne par le vecteur b. Si ilfaut appliquer une force F pour obtenir ce cisaillement alors le travail effectue est FL. Silon sinteresse a` la dislocation, elle subi une contrainte de cisaillement ce qui donne uneffort L par epaisseur unite. Le travail de cette force est donc Lb ce qui signifie que :

F = b

La deformation plastique macroscopique nest rien dautre que la consequence du mou-vement dun grand nombre de dislocations.

1.5.5 Phenome`nes dinteraction

En fait lorsque lon observe la courbe de plasticite dun cristal dans lequel un seulsyste`me de glissement est active on obtient une courbe de type elasticite plasticite par-



faite. Si on sinteresse au meme cristal dans lequel plusieurs syste`mes de glissement sontactives alors il y a interaction entre eux et en resulte le phenome`ne de durcissement oudecrouissage comme le montrent les deux figures suivantes.

Dune facon generale le durcissement est une consequence dinteractions entre les dis-locations et des defauts qui peuvent etre :

1. des inclusions (figure 1.19)

Figure 1.19 Durcissement par precipites

2. des joints de grain,

3. les dislocations elles memes.

Figure 1.20 Augmentation de la densite de dislocations au cours dun essai de traction

1.5.6 Crite`res de plasticite

1.5.6.1 Materiaux metalliques

A lechelle macroscopique on traduit la transition entre comportement elastique etplastique par un crite`re de type Mises (pour les materiaux metalliques dans des conditions



Figure 1.21 Essai de traction

usuelles de pression hydro-statique). Ce dernier postule que lenergie elastique emmaga-sinee atteint une certaine valeur c alors il y a mouvement local des dislocations et apparitionde deformations plastiques. Ce crite`re secrit :

J2 c = 0

Figure 1.22 Crite`re de von Mises

avec J2 le deuxie`me invariant du tenseur deviateur des contraintes J2 =1

2

ijij . Il ne

fait intervenir que des termes denergie de distorsion. La partie hydro-statique de lenergieapportee nintervient pas ce qui est conforme au crite`re local de schmidt (voir TD). Il ala forme dun cylindre dans lespace des contraintes, de base circulaire.

Remarque : dautres crite`res existent de type Tresca qui sont des crite`res en contrainte.En fait il ny a que peu de difference entre Mises et Tresca.

1.5.6.2 Materiaux poreux

Dans le cas de materiaux poreux (sols, roches, beton, mousses...) il nest pas raison-nable dutiliser le crite`re de Mises car dautres mecanismes de ruine existent par croissance


1.6. Grandes classes de comportement

ou effondrement de cavites. Par ailleurs des interactions existent entre la plasticite clas-sique (du squelette) et levolution de la porosite. Il est donc logique de faire apparatre lepremier invariant du tenseur des contraintes dans le crite`re qui peut secrire ainsi (crite`rede Drucker Prager, 1952) :

J2 I1 c = 0

Ce crite`re transforme le cylindre en un cone. Son inconvenient est de ne pas decrireleffondrement de la matie`re sous de fortes pressions hydro-statiques puisque le crite`re estouvert dans ce domaine.

Figure 1.23 Crite`re de Mohr Coulomb

1.6 Grandes classes de comportement

Lobjectif de cette partie est de classer le comportement des materiaux en grandesclasses : elasticite - visco (thermo, hydro) elasticite - plasticite - visco-plasticite - en-dommagement afin de mettre en place les grandeurs importantes pour chaque type decomportement. On a vu que lelasticite macroscopique provient soit dune modificationde lenergie interne des materiaux cristallins soit de la modification de lentropie pour lesmateriaux amorphes.

1.6.1 Elasticite

Un materiau a un comportement elastique si et seulement si il y a reversibilite dela courbe contrainte deformation. Les principales caracteristiques dun comportementelastique sont :

1. Lineaire ou non. En fait tout depend des materiaux. Dans de nombreux cas, lalinearite est observee (metaux) a` temperature ambiante. Les elastome`res, les sols sontclairement des materiaux elastiques non lineaires.Dans ce cas il faut des fonctionspour decrire lelasticite (souvent des formes exponentielles ou puissance).



2. Isotropie. Dans ce cas le nombre des constantes (dans le cas lineaire) a` identifierest de 2 (module de compressibilite et de cisaillement). De nombreux materiauxcristallins obtenus par fonderie sont isotropes (aciers, alliages daluminium).

3. Anisotropie (hypothe`se de linearite pour simplifier). Le degre danisotropie estvariable. Il est faible pour des cristaux de symetrie cubique (3 constantes elastiques),eleve pour des cristaux tricliniques (aucune symetrie donc 21 constantes). On peutpour les materiaux distinguer les principaux cas suivants :

isotropie transverse (5 coefficients). Il y a un axe de symetrie (intersection de plansde symetrie). Dans ce cas on a isotropie dans le plan perpendiculaire a` laxe desymetrie.

orthotropie (9 coefficients). Cest le cas dun materiau possedant 3 plans de symetrieperpendiculaires. Le bois est localement orthotrope.

Les autres cas ne sont que de peu dinteret compte tenu du nombre de constantesa` identifier.

1.6.1.1 Identification

Pour mesurer les constantes elastiques on peut utiliser des methodes differentes :

1. Jauges de deformation. Ce sont des fils resistifs (le plus souvent ; parfois ils sontpiezo resistifs) colles sur la surface dont on veut mesurer les deformations. La va-riation de resistance du fil est proportionnelle a` lallongement. On a dans le cas den brins en paralle`le R = nl

Savec la resistivite du materiaux et S sa section. Si

on veut mesurer des deformations dans differentes directions il faut coller plusieursjauges.

Figure 1.24 Jauge de deformation (cours Challande UPMC)

2. Methode de vibration. Dans ce cas on utilise les relations entre des frequences deresonance et les caracteristiques elastiques du materiau. On fait souvent lhypothe`seque le coefficient de Poisson est connu et vaut 0, 3 pour les metaux.

3. Methode de propagation dondes ultra-sonores. La vitesse des ondes de vo-lume est une fonction des modules elastiques et de la masse volumique. Dans le casdun materiau isotrope on a deux ondes dites L (longitudinale) et T (transversale).

V 2L =E(1 )

(1 + )(1 2)V 2T =

E

2(1 + )



Lordre de grandeur des vitesses est 1500ms1 pour londe longitudinale dans leau,6000ms1 pour les autres materiaux et la moitie (en premie`re approximation) pourlonde de cisailleement. Si le materiau est anisotrope, des mesures dans differentesdirections permettent de calculer le tenseur complet (21 constantes, the`se M. FrancoisUPMC).

1.6.2 Thermo-elasticite

On a vu quune variation de temperature a pour consequence une dilatation thermique(via lagitation thermique). Il est alors aise de determiner le coefficient de dilatation quiprend les valeurs suivantes selon les materiaux :

Materiau (106C1)

Silice 5Verre 10Acier 5

Polyme`re 100

.

Remarques :

1. Ce coefficient ne demeure constant que dans une gamme de temperature pour la-quelle le materiau ne subit aucune transformation metallurgique. Dans les autres cas(changement de phase) il peut y avoir des changement brutaux.

2. Le beton arme est compose de deux materiaux tre`s differents : le beton et des arma-ture metalliques (acier). Neanmoins les coefficients de dilatation des deux materiauxsont les memes ce qui permet leur assemblage.

1.6.3 Hydro-elasticite

En fait pour la materiaux tels que le bois on sait quil existe un relation entre la teneuren eau et la geometrie. Ce phenome`ne est en tout point semblable a` la thermo-elasticite enremplacant la variable temperature par la variable humidite. Tous les materiaux poreuxpresentent ce meme caracte`re (betons, roches, bois, argiles, polyme`res...). Dans certains casles variations dimensionnelles peuvent etre spectaculaires : des argiles peuvent en presencedeau tripler leur volume apparent !

1.6.4 Visco-elasticite

Il sagit de la dependance des modules delasticite avec la vitesse de sollicitation quiconduit a` des courbes de comportement contrainte deformation dependantes du temps.Cest pour les polyme`res que ce point est particulie`rement important Pour les autresmateriaux il faut en general une temperature elevee pour lobtenir. On caracterise cephenome`ne par differents types dessais :

1. spectrometrie de frequence,

2. fluage,

3. relaxation.



1.6.4.1 Spectrometrie de frequence

Dans ce cas on cherche a` mesurer directement les caracteristiques elastiques par diversessais pour couvrir toute la gamme de frequence :

1. fluage pour des frequences nulles,

2. essais pendulaires pour des frequences faibles (Hz),

3. essais de vibrations de poutres, de plaques (kHz),

4. propagation dondes (MHz).

1.6.4.2 Fluage

Dans un essai de fluage on impose une contrainte constante et on observe levolutiondes deformations. On obtient le graphe suivant (Figure 1.25) :

Figure 1.25 Essais de Fluage (Dorlot)



1.6.4.3 Relaxation

Il sagit de lessai inverse du precedent. On deforme lechantillon et on observe larelaxation (diminution) des contraintes.

Remarque : Reprenons lexemple du beton arme precontraint. Le beton etant unmateriau ne resistant pas aux contrainte de traction, on place des armatures daciers quelon met en tension et qui par consequence compriment le beton. Au cours du temps il estnecessaire de venir tendre les aciers car la visco-elasticite (a` la fois de lacier et du beton)fait disparatre progressivement la pre-contrainte.

1.6.4.4 Mode`les rheologiques

Pour decrire ces phenome`nes il est commode dutiliser un assemblage de ressorts etamortisseurs. On a les arrangements simples suivants :

1. amortisseur et ressort en serie,

2. amortisseur et ressort en paralle`le,

3. ressort en serie avec un ressort et un amortisseur en paralle`le. Ce dernier mode`leest le plus simple qui permette une description realiste des essais de spectrometriefrequentielle (voir TD).

1.6.5 Elastoplasticite

Ce comportement est commun a` la plupart des materiaux metalliques aux polyme`res.

1. lelasticite lineaire ou non (comportement reversible),

2. suivie dun phase au cours de laquelle des transformations irreversibles naissent ausein du materiau (multiplication et interaction des dislocations). Dans cette secondephase il y a en raison des interactions entre dislocations et defauts du materiau unecrouissage (augmentation de la limite delasticite apparente du materiau).

3. Lors dune decharge on retrouve des deformations permanentes appelees deformationsplastiques. Une recharge permet de constater que le domaine delasticite a augmenteen raison de lecrouissage.

Remarque : La zone de transition entre elasticite et plasticite permet didentifierlevolution de la surface de charge (domaine delasticite) du materiau.

1.6.6 Grandeurs caracteristiques dun materiau elasto-plastique et methodesdessai

Un materiau elasto-plastique se caracterise par :

1. Son elasticite.

2. Son domaine delasticite initial (limite delasticite initiale). On mesure pour celade facon conventionnelle la contrainte seuil s determinee par lapparition dunedeformation plastique de 0, 2% pour les metaux.

3. Sa resistance contrainte maximale M et la deformation plastique associee M quelon deduit de la courbe effort deformation par la relation :

M =FMS

=F

S0 exp(M )



Remarques :

On fait dans ce calcul lhypothe`se dincompressibilite plastique et on neglige lesdeformations elastiques devant les deformations plastiques (voir TD).

On peut utiliser une autre methode beaucoup plus simple dite de durete ou din-dentation. On pose sur la surface du materiau une bille (ou un cone ou une pyra-mide selon les methodes) que lon enfonce en mesurant leffort. Des deformationsplastiques sont alors imposees localement ; elles donnent naissance a` une empreintespherique (cas de la bille). On realise de fait un essai de compression complexe. Lerapport de leffort a` la surface projetee de lempreinte (mesure sous microscope)donne une quantite appelee H (hardness durete) homoge`ne a` une contrainte quidans le cas des metaux donne

HB = 3l

La valeur l represente la limite delasticite actuelle et locale du materiau. HB estrelatif a` lessai de durete Brinnell (avec la bille de 10mm et des efforts de lordrede 1000N).

Figure 1.26 Correlation entre durete et contrainte limite

4. Sa ductilite qui caracterise son aptitude a` se deformer plastiquement sans se rompre.On mesure pour cela la deformation (appelee allongement A%) a` rupture La ductiliteest recherchee pour lemboutissage des toles par exemple.

5. La tenacite qui caracterise la resistance dun materiau a` la propagation brutale defissure.


1.7. Grandes classes dendommagement et de rupture

1.6.7 Quelques proprietes

Materiau Re (MPa) Rm (MPa) A%

Aluminium recuit 20 45 50Aluminium ecroui 100 120 7Al-7075 recuit 100 225 16

Al-7075 500 570 11Acier (0,55%C) 430 800 14Acier trempe 705 1000 8

1.7 Grandes classes dendommagement et de rupture

Les materiaux que ce soit des alliages metalliques, des ceramiques, des polyme`res ar-rivent tous a` un stade de rupture. Celle-ci est totalement conditionnee par les defauts quiexistent dans ces materiaux. On distingue selon les materiaux et les cas de chargementdes endommagements :

1. fragile. Dans ce cas lamorcage dune fissure prece`de de peu la rupture.

2. ductile. Il y a une phase assez longue de propagation de defauts.

3. de fluage. Il est regit par des mecanismes de diffusion.

4. de fatigue. Cest un cas particulier.

1.7.1 Endommagement fragile

Un materiau est dit fragile si lapparition dun defaut conduit rapidement a` la rupture.Cest le cas des ceramiques, des betons, des metaux dans certaines conditions. On peutetre tente dadopter un crite`re macroscopique de rupture fragile de type Rankine :

Si c alors rupture (1.18)

On peut raisonner en contrainte principale de traction par exemple.

Pour mesurer la tenacite qui caracterise ce phenome`ne on utilise lenergie requisepour entraner la rupture dun element de surface. Griffith (1930) a propose une theoriepermettant de decrire lexperience qui montre que pour des materiaux tels que les verres(donc exempts de plasticite) la contrainte de rupture est tre`s largement inferieure a` ce queprevoit un mode`le atomique. Il a observe que des fils de verre tre`s minces et frachementobtenus avaient une resistance experimentale a` la rupture proche de la valeur theoriquemais que rayes celle-ci sen eloignait.

1.7.1.1 Concentration de contrainte

Considerons une plaque infinie percee dun trou de rayon quelconque. On sait gracea` lelasticite lineaire que la contrainte locale de traction est 3 fois plus grande que lacontrainte appliquee a` linfini. Considerons un defaut geometrique a` la surface dun materiausoumis a` une contrainte nominale de traction nom. De la meme manie`re quen mecanique



des fluides, on imagine un flux des contraintes qui admet des concentrations au voisinagedu defaut. On peut montrer que :

= nom

(1 +

a

r

)(1.19)

avec a la profondeur de la fissure, r le rayon de courbure en pointe de fissure et la contrainte de traction en pointe de fissure. Le terme

(1 +

ar

)est appele facteur de

concentration de contrainte.

Exemple : dans le cas dune rayure dun millie`me de millime`tre ce facteur vaut 140pour un rayon de courbure donne par la distance inter-atomique (0, 2nm). La vitesse depropagation de cette fissure est alors donnee par la vitesse des ondes de Rayleigh soit 40%de la vitesse des ondes longitudinales environ (2000ms1).

1.7.1.2 Champ de contrainte en tete dune fissure

Dans ce cas dune plaque fissuree on peut montrer que le champ de contrainte admetune solution de type general :

K2r

f() (1.20)

expression donnee en coordonnees polaires dans laquelle K represente le facteur din-tensite des contraintes. Ceci signifie que les contraintes sont infinies dans le cas dune fissurede rayon de courbure nul en pointe. En fait dans la realite il existe une zone plastifiee enpointe de fissure.

1.7.1.3 Theorie de Griffith

Considerons un materiau fissure dans deux etats :

1. avec une fissure de longueur 2a,

2. avec une fissure de longueur 2(a+ da).

Lenergie elastique liberee par la propagation de da est donnee par :

Wel = a2 = a2

2

E(1.21)

La variation denergie en fonction de da est donnee par :

dWel = 2a2

Eda (1.22)

Mais pour que la propagation soit possible il faut donner lenergie necessaire a` larupture des liaisons atomiques. On note s lenergie de surface du materiau ce qui donne :

dWs = 4sda (1.23)

Au bilan la variation de lenergie potentielle du syste`me est donc :

dW = dWs dWel (1.24)


1.7. Grandes classes dendommagement et de rupture

Figure 1.27 Propagation de fissure (Dorlot)

Le crite`re de Griffith est que la fissure se propagera de da sous laction de la contrainteappliquee si la materiau peut tendre vers une energie potentielle plus faible (etat plusstable) ce qui sexprime par :

dW

da 0 (1.25)

Dou` en reprenant les expressions precedentes :

nom

2Esa

(1.26)

Exprimee en terme denergie la condition de Griffith peut sinterpreter comme suit : endessous de la valeur ac il ny a aucun risque alors que dans le cas contraire, lenergie libereeetant superieure a` lenergie necessaire pour creer de nouvelle surface il y a propagationinstable de la fissure.

Remarque : lexpression issue du crite`re de Griffith peut etre interpretee :

1. Soit comme un crite`re en contrainte et dans ce cas on retrouve un crite`re de typeRankine.

2. Soit comme un crite`re energetique en notant G la quantite 2s.

1.7.1.4 Tenacite

Sa mesure correspond a` la mesure de lenergie necessaire pour rompre un materiau.Son unite est le Jm2. On constate que selon le comportement ductile ou fragile cettequantite est tre`s variable et que cette notion de tenacite est differente de celle de rigiditeou de ductilite. On la mesure pratiquement grace au mouton de Charpy (1901) qui donnela resilience du materiau.

Remarque : si lon reprend lequation 1.26 en notant G = 2s alors la resiliencemesuree dans lessai Charpy est la quantite G qui est lenergie necessaire pour atteindrela rupture du materiau.

1.7.1.5 Methodes pour ameliorer la tenacite dun materiau

Le cas des materiaux fragiles (verres, betons) pose proble`me puisque lexistence dundefaut critique provoque la rupture brutale. Pour leviter on peut :



1. Mettre les defauts de surface (rayures) en compression par des traitements ther-miques.

2. Renforcer le materiau par des inclusions (granulats, fibres) qui constituent des obs-tacles a` la propagation et qui augmentent de fait lenergie de surface.

3. Utiliser la plasticite qui augmente cette energie et qui modifie la geometrie de lafissure.

1.7.2 Endommagement ductile

Pour des materiaux polycristallins on a vu que le premier stade de la deformationplastique saccompagne de mouvements irreversibles de dislocations. Ce nest quapre`savoir accumule de nombreuses dislocations quon voit apparatre des cavites ou des fissures.Dans le cas de materiaux contenant des inclusions (alliages metalliques ou composites) ilest courant que lendommagement samorce a` la surface des ces inclusions par decohesion.Il est egalement possible que ce soit la fragmentation de linclusion qui est a` lorigine dela degradation ulterieure du materiau.

1.7.3 Endommagement viscoplastique (de fluage)

Ce cas correspond dans la pratique a` des charges imposees et constantes dans le temps(aube de turbine en rotation pendant un vol davion, charges liees au poids dans le casdun pont, fluage des polyme`res). Pendant des durees tre`s longues ou a` des temperatureselevees des mecanismes de diffusion interviennent. Dans le cas des metaux on observe descourbes qui ont la forme suivante :

On remarque trois stades dit de fluage primaire qui concerne une toute petite partiede la vie du materiau, une phase de fluage secondaire au cours de laquelle la vitessede deformation est constante et une phase de fluage tertiaire qui conduit a` la rupture.Pendant cette dernie`re phase on constate une acceleration de la vitesse de deformation.

Selon la valeur de la contrainte imposee ou la temperature de lessai on constate uneactivation de ces phenome`nes ce qui permet decrire pour le fluage secondaire :

d

dt= Bn pour T = cste

d

dt= C exp

(QRT

)pour = cste

Si on combine ces deux equations on obtient leffet simultane des deux variables (loide Norton) :

d

dt= 0

( G

)nexp

(QRT

)(1.27)

Pendant le fluage secondaire les dislocations sous leffet de la contrainte et de latemperature saccumule aux joints de grains ce qui finit par creer des fissures (ou desporosites) intergranulaires qui conduisent a` la rupture. Cette rupture est appelee ruptureintergranulaire.


1.8. References

Remarque : Pour decrire le troisie`me stade du fluage on peut raisonner ainsi. Lasurface effective qui resiste est diminuee en raison de la presence de fissures ou porositeintergranulaires. Soit D le parame`tre dendommagement qui traduit cette porosite. Il esttel que :

1D = SS0

(1.28)

Si D vaut 0 le materiau est sain, si D vaut 1 alors il est totalement endommage doncrompu. Si on conside`re que dans les essais cest le plus souvent un effort qui est impose etnon une contrainte alors on peut ecrire :

d

dt= B

(F

S

)n= B

(

1D)n

(1.29)

Au debut du fluage tertiaire D vaut 0 et on retrouve la loi initiale, au cours du fluagetertiaire on a une evolution de lendommagement qui augmente la contrainte effective etpermet de decrire laugmentation de la vitesse de deformation.

1.8 References

1. Bailon J-P. et J.M. Dorlot, des materiaux, 3e edition, Presses internationales poly-techniques, 2000.

2. Douin, Mecanique des milieux continus, introduction a` la plasticite des materiaux,Diderot arts et sciences, 1997.

3. Quere, Physique des materiaux, Ellipses.

4. Verdu J., dans Introduction a` la mecanique des polyme`res, Gsell and J.M. Haudined., INP Lorraine, 1995.

5. Asbhy M.F. and D.R.H. Jones, materiaux, Dunod, 1991.

6. http ://gallica.bnf.fr/themes/SciXVIIII7.htm


Structure, texture des matriaux et propritsLes tats de la matireL'tat ordonn : les solides cristallissCristal parfaitAnalyse de la liaison Na+Cl-Consquences macroscopiques

L'tat dsordonn : les verresEntre ordre et dsordrePolymreslasticit caoutchoutique (ou entropique)

Notion de limite d'lasticitModle lectro-statiqueGlissement cristallographiqueDfauts dans les matriauxForces s'exerant sur une dislocationPhnomnes d'interactionCritres de plasticit

Grandes classes de comportementlasticitThermo-lasticitHydro-lasticitVisco-lasticitElastoplasticitGrandeurs caractristiques d'un matriau lasto-plastique et mthodes d'essaiQuelques proprits

Grandes classes d'endommagement et de ruptureEndommagement fragileEndommagement ductileEndommagement viscoplastique (de fluage)

Rfrences

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