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Mathmatiques financires (D. Bodin) -1

CH 1. LES INTERETS SIMPLES

X prte de l'argent Y pendant un temps dtermin. L'intrt constitue la rmun-ration du service rendu par X Y : c'est le loyer de l'argent prt.

LE CALCUL DE L'INTERET (I)

Paramtres Formule de calcul

Vot

n

m

j

la valeur place ou prte

le taux de l'intrt annuel pour 1

la dure de placement : - en annes

- en mois

- en jours

I = Vo x t x n

m/12

j/360 ou 365

E Le nombre de jours de placement est calcul : soit en dnombrant le nombre de jours rels chaque mois sur une anne de 365 j. ;

soit par mois de 30 jours sur une anne de 360 jours (simplification souvent utili-se dans les relations commerciales).

Exemple

La St ABC a effectu les placements ci-dessous.

Calculer l'intrt acquis et en dduire le taux moyen de placement (anne de 365 j.) ?

Nominal Taux Dure Intrt Vn5 000 5% 1 an 3 mois = 5 000 x 0.05 x (1+3/12) 312.50 5 312.50

4 000 6% 8 mois = 4 000 x 0.06 x 8/12 160.00 4 160.00

2 000 4% du 15/03 au 05/07 = 2 000 x 0.04 x 112/365 24.55 2 024.55

11 000 5.22% Taux moyen (t) (1) 497.05 11 497.05

(5.22%) (497.05) (11 497.05)

(1) = 5 000 x t x 1.25 + 4 000 x t x 8/12 + 2 000 x t x 112/365 = 497.05 t = 5.22%

LA VALEUR ACQUISE (Vn) ET LA VALEUR ACTUELLE (Vo)

Valeur actuelle Valeur acquise

++Vo Actualisation Capitalisation Vn

Domainesd'application

L'escompte des effets (3) Les dcisions financires (4)

Les placements < 1 an (1) Les comptes courants rmunrs (5)

Formulesde calcul

Vo = Vn - i Vn = V + i

Exemple : Calculer la valeur acquise des 3 placements prcdents ?


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L'ESCOMPTE DES EFFETS DE COMMERCE (E)

La technique de lescompte

Un effet de commerce (lettre de change, billet ordre ou warrant) constatel'engagement pris par un dbiteur de payer son crancier une date dtermine

une somme d'argent, montant de la dette qu'il a contracte.Si le crancier a besoin de cet argent avant l'chance stipule, il cdera l'effet decommerce, avec tous les droits qui s'y attachent, une banque, suivant la techniquede l'escompte : le banquier escompteur achte l'effet et se substitue au crancier ; ledbiteur paiera au banquier le montant de sa dette l'chance fixe. Le banquierverse par avance au crancier la somme qui lui est due, mais avec des intrts pourprix du service rendu.

Ce moyen de financement qui permet aux entreprises de disposer du montant deleurs crances avant leur chance constitue une mobilisation de crances.

Les agios d'escompteVendre un effet de commerce, cest le ngocier. L'acheter, c'est l'escompter.

Le total des intrts, frais et commissions perus par la banque en rmunrationdu crdit qu'elle consent constituent les agios. Les agios d'escompte comportentl'escompte proprement dit et des commissions :

1. L'escompte (E) : il se calcule comme lintrt mais partir de la valeur nominale(Vn) : valeur de leffet lchance.

2. Les commissions : Elles sont proportionnelles ou fixes et permettent la banque

de rcuprer ses frais et de se rtribuer les services qu'elle rend. Gnralement,sont perues :

une commission d'endos pour couvrir les frais d'endossement des effets : elle secalcule dans les mmes conditions que l'escompte (proportionnelle au temps) ;

une commission de service dont le montant par effet est fixe.

S'y ajoutent parfois des commissions spciales, telle la commission d'acceptationdont le montant est forfaitaire, en rmunration de l'envoi des effets l'acceptationdes tirs. Ces nombreuses commissions sont trs frquemment remplaces parune seule commission forfaitaire, variable selon les banques.

Les agios proportionnels au temps (escompte proprement dit et la commissiondendos) reprsentent la rmunration dune opration financire et sont, ce titre,exonrs de TVA. Seule la commission de service (rmunration du service com-mercial rendu par la banque) est assujettie la TVA.

Les commissions majorent le taux d'escompte et rendent l'opration coteuse, surtoutsi les effets sont de faible valeur nominale. En diminuant la valeur nominale du totaldes agios on obtient la valeur actuelle(Vo).


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -3Exemple

Le 10/11, la St ABC escompte un effet de 2 000 , chance le 31/12. Le 13/11, elle reoit le document ci-dessous.

CIO Compte : St ABC n 264015 Montants Calculs reconstituer

Effet n ..., chance le 31/12/N, nominal : 2 000.00 (anne de 360 j.)

- Escompte 7% - 19.44 = 2 000 x 0.07 x 50/360

- Commission dendos (proportionnelle au temps) 1% - 2.78 = 2 000 x 0.01 x 50/360

- Commission fixe TTC -4.00

Agios TTC dduire (dont TVA : 0.66 ) - 26.22 TVA = 4/1.196x0.196

Net votre crdit, le 13/11 (Nominal -Agios)

1 973.78

10/11 31/12 Escompter un effet consiste remettre++ un effet sa banque pour obtenir de laVo = 1 973.78 Vn = 2 000 trsorerie avant l'chance.

Le taux rel d'escompte

Cest le taux de revient pour lentreprise de lopration : taux descompte major desdiverses commissions. Il correspond au taux qui, appliqu la valeur nominale et au

temps, donne le total des agios HT = Vn x taux rel x n/360 = agios HT.ECalculer le taux rel d'escompte de lexemple prcdent ? (9.20%)

Agios HT = Vnx t x 50/360 (26.22 0;66) = 2 000 x t x 50/360t = 9.20%

L'ACTUALISATION ET LES DECISIONS FINANCIERES

La prise de dcision sur le plan financier (dcision de remplacement ou de choix entreplusieurs modes de rglement...) ncessite souvent de comparer plusieurs valeursmontaires exprimes des chances diffrentes. Cette comparaison se ralise parle calcul de la valeur actuelle de chaque valeur exprime dans le temps.

Le remplacement d'un mode de rglement

Exemple

La St ABC dispose d'un effet de 10 000 , chance le 30/11. Le 01/11, GRIMAUD,le tir, demande un talement de sa dette. La St ABC lui propose la cration de 2effets de montant identique, chance le 30/11 et le 31/12 (anne de 360 j.).

Dterminer la valeur nominale Vn de ces 2 effets (taux d'escompte 7%) ? (5 014.71)

01/11 30/11 31/12

+++

1. Avant 10 0002. Aprs Vn Vn

Le 01/11, il doit y avoir quivalence entre les 2 modes de rglement :

La valeur actuelle avant doit tre gale la valeur actuelle aprs.

10 000 - 10 000 x 0.07 x 29/360 = 2Vn -((Vn x 0.07 x 29/360) + (Vn x 0.07 x 59/360))


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -4 9 943.61 = 1.9829 Vn Vn = 5 014.71

Le choix entre plusieurs modes de rglement

Exemple

Le 30/09/N, en rglement de l'achat d'un matriel (valeur 10 000 HT), la St ABC a lechoix entre 3 modes de rglement :

1. soit au comptant sous escompte de 2% ; (9 800.00)2. soit avec une traite de 10 420 , chance 30/11 ; (10 298.43)3. soit avec 2 traites de 5 200 , chances 31/10 et 30/11. (10 309.00)

Quel est le rglement le plus avantageux (escompte 7% ; anne de360j.) ?(1, 2 puis3)

30/09 31/10 30/11

+++

1. 9 8002. 10 420

3. 5 200 5 200Le mode rglement le plus avantageux est celui pour lequel la valeur actuelle est laplus faible le 30/09 :

Vo1 = 9 800.00Vo2 = 10 420 - (10 420 x 0.07x 60/360) = 10 298.43Vo3 = (5 200 - 5 200 x 0.07 x 30/360) + (5 200 - 5 200 x 0.07 x 60/360) = 10 309.00

Le mode de rglement le plus avantageux est le 1, puis le 2 puis le 3.

LES COMPTES COURANTS REMUNERES

Ce sont des comptes pour lesquels les oprations crditrices (alimentant le compte)et les oprations dbitrices (les prlvements) portent intrts.

1. Les comptes courants ouverts dans les tablissements financiers

Leur tenue respecte certaines rgles (mthode hambourgeoise) :

les oprations sont classes par dates de valeur croissantes (1) ; les intrts sont calculs sur le temps de placement du solde du compte (nombre dejours de date de valeur sparant deux soldes) ; le taux d'intrt dpend du sens (dbiteur ou crditeur) du solde.

(1) Il faut en effet distinguer la date d'opration (date effective de ralisation de celle-ci) et la date de valeur (la date partir de laquelle on calcule l'intrt) :

Nature de l'opration Date de valeur

Crditrice Date d'opration majore d'un plusieurs jours de banque.

Dbitrice Date d'opration minore d'un plusieurs jours de banque.

Exemple : Faire l'exemple 1 page 4.

1. Les comptes courants d'associs

Ils se grent dans les mmes conditions que les prcdents.

Exemple : Faire l'exemple 2 page 4.

Applications


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -6Exemples sur les comptes courants rmunrs

1. Au cours du dernier trimestre de l'anne N, la St ABC a effectu les oprations suivantes sur un compte courant arrttrimestriel ouvert au CIO. Complter le compte tenu par la banque sachant qu'elle prend 2 jours de valeur sur les crditset en retient 1 sur les dbits (Calculs avec une anne de 365 jours).

CIO Commissions Taux d'intrtSt ABC de dcouvert TTC 0.80% sur le plus fort dcouvert crditeur 4.00%Compte 264015 de tenue de compte TTC 0.10% sur le total des oprations dbitrices dbiteur 15.00%Dates Libells Montants Soldes Dates de Jours Intrtsoprat. Dbit Crdit Dbit Crdit valeur Dbit Crdit

01/10 Solde crditeur 1 000.00 1 000.00 01/10

15/10 Dpt d'espces 800.0020/11 Domiciliation effets 3 000.0029/11 Virement reu 500.0015/12 Dpt par chque 600.00

21/12 Retrait espces 500.00

31/12 Situation fin de trimestre

2. Suite des difficults de trsorerie, la St ABC a ouvert un compte courant rmunr l'un de ses associs qui lui prtede l'argent au taux de 6%. Les intrts sont pris en compte en fin d'anne. Complter son compte pour l'anne N.Les dates de valeur correspondent aux dates de ralisation des oprations (Calculs avec une anne de 365 jours).

St ABC Compte courant : 4551 Associ XXX Taux d'intrt : 6.00%

Dates Libells Montants Soldes Dates de Jours Intrtsoprat. Dbit Crdit Dbit Crdit valeur 01/03 Son apport par chque 5 000.00 5 000.00 01/0330/06 Remboursement 2 000.0030/09 Remboursement 2 000.00

20/11 Son apport par chque 4 000.0031/12 Remboursement 2 000.00

31/12 Situation fin au 31/12/N


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CH 2. LES INTERETS COMPOSES

Exemple

Soit un placement de 10 000 5% pendant 3 ans :

H1 placement intrts simples H2placement intrts composs.

Calculer la valeur acquise Vn la fin de chaque priode ?

PriodeCapitaldbut

Intrtsproduits

Valeuracquise

H1 : intrts simples, 1 10 000.00 500.00 10 500.00

les intrts sont rembourss 2 10 000.00 500.00 11 000.00

la fin de chaque priode. 3 10 000.00 500.00 11 500.00

H2 : intrts composs, 1 10 000.00 500.00 10 500.00

les intrts sont capitaliss 2 10 500.00 525.00 11 025.00 la fin de chaque priode. 3 11 025.00 551.25 11 576.25

Comparer l'volution de la valeur acquise ?

Vo Conclusion :

11 500 La valeur acquise intrts simples est en

progression arithmtique de raison q = 500 = i

11 000 (Chaque terme est gal au prcdent + q).

10 500 La valeur acquise intrts composs est en

progression gomtrique de raison q =1.05=(1+t)10 000 (Chaque terme est gal au prcdent x q).

1 2 3 n

LA VALEUR ACQUISE (Vn) ET LA VALEUR ACTUELLE (Vo)

Soit : Vo = le capital initial ;Vi = la valeur acquise la fin de la priodei ;t = l'intrt de 1 pour une priode de capitalisation ;n = le nombre de priodes de capitalisation.

Priode Capital Intrts Valeur acquise en fin de priode

1 Vo Vot V1 = Vo + Vot = Vo(1+t)

2 Vo(1+t) Vo(1+t)t V2 = Vo(1+t) + Vo(1+t)t = Vo(1+t)2

3 Vo(1+t)2 Vo(1+t)2t V3 = Vo(1+t)2 + Vo(1+t)2t = Vo(1+t)3

... ... ... ...

n Vo(1+t)n-1 Vo(1+t)n-1t Vn = Vo(1+t)n

Formuled'actualisation Vo = Vn(1+t)-n

Formule decapitalisation Vn = Vo(1+t)n


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -8Exemple : Retrouver dans l'exemple prcdent le calcul de la valeur acquise la finde la 3 priode et le calcul de la valeur actuelle partir de la valeur prcdente (enutilisant les intrts composs).

V3 =10 000 (1.05)3 = 11 576.25 Vo= 11 576.25 (1.05)-3 = 10 000

LES CAS PARTICULIERS

La priode de capitalisation des intrts est diffrente d'un an

Le taux est en principe dfini pour une priode d'un an. Si la capitalisation desintrts se ralise sur une priode plus courte, il est ncessaire de convertir le tauxannuel. Il existe deux mthodes de conversion :

L'utilisation de taux proportionnels

Deux taux sont proportionnels si leur rapport est gal au rapport de leur priode decapitalisation respective (mthode utilise par les banques).

Exemple : Calculer les taux proportionnels ?

Taux annuel 7% 0.04x2 = 8% 0.025x4 = 10% 0.01x12 = 12%

Taux semestriel 0.07/2 = 3.5% 4% 0.025x2 = 5% 0.01x6 = 6%

Taux trimestriel 0.07/4 = 1.75% 0.04/2 = 2% 2.5% 0.01x3 = 3%

Taux mensuel 0.07/12 = 0.58% 0.04/6 = 0.67% 0.025/3 = 0.83% 1%

L'utilisation de taux quivalents

Deux taux sont quivalents si pour une mme dure de placement , ils conduisent une mme valeur acquise intrts composs (mthode plus prcise).

Exemple : Calculer les taux quivalents ?

Taux annuel 7% 1.042-1 = 8.16% 1.0254-1 = 10.38% 1.0112-1 = 12.68%

Taux semestriel 1.071/2-1 = 3.44% 4% 1.0252-1 = 5.06% 1.016-1 = 6.15%

Taux trimestriel 1.071/4-1 = 1.71% 1.041/2-1 = 1.98% 2.5% 1.013-1 = 3.03%

Taux mensuel 1.071/12-1 = 0.57% 1.041/6-1 = 0.66% 1.0251/3-1 = 0.83% 1.%


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La dure n'est pas gale un nombre entier de priodes

Exemple : Quelle est au bout de 3 ans et 7 mois la valeur acquise d'un placement de2 000 au taux annuel de 5% ?

Il y a deux mthodes de rsolution de ce type de problme :

1. Le calcul d'untaux proportionnel pour la dure infrieure la priode de capitali-

sation prvue. (2 382.78)

Vn = 2 000 (1.05)3 (1+0.05x7/12) = 2 382.78

2. Le calcul d'une priode de capitalisation proportionnelle pour la dure inf-rieure la priode de capitalisation prvue (mthode des taux quivalents).(2 382.09)

Vn = 2 000 (1.05)3+7/12 = 2 382.09

Cette 2ime mthode donne un rsultat plus prcis.

Les montants sont rguliers et de valeur constanteLorsque le montant des placements ou des versements sont rguliers (tous les ans,tous les trimestres, ou autre ...) et de valeur constante, le calcul de la valeur acquiseet de la valeur actuelle s'effectue diffremment (voir le ch.3 sur les annuits et le ch. 4sur les emprunts).

LES DECISIONS FINANCIERES A INTERETS COMPOSES

Pour prendre des dcisions financires, il est ncessaire d'actualiser au jour de laprise de dcision les valeurs montaires exprimes dans le temps (voir le ch.1 4).

A intrts composs, l'actualisation des donnes montaires est utilise dans les m-mes domaines qu' intrts simples (choix ou remplacement d'un mode de rgle-ment), mais elle permet aussi de mesurer la rentabilit et de dfinir des critres dechoix des investissements (voir le ch.5).

Applications


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CH 3. LES ANNUITES

On appelle annuits une suite de transactions effectues intervalles de tempsgaux (ou priodes).

Au sens strict, le terme correspond des transactions annuelles. Le terme adquatest fonction de leur priodicit : mensualits, trimestrialits, semestrialits).

Les annuits peuvent tre variables ou constantes et les transactions peuvent treeffectues en fin de priode (cas des remboursements d'emprunt) ou en dbut de

priode (cas des placements avec capitalisation des intrts).

LES ANNUITES VARIABLES

Soit une srie de n annuits variables (ai) de fin de priode :0 1 2 3 ... n-1 n

+++++++Priodesa1 a2 a3 ... an-1 an

Vn ?

Vo ?

Le calcul de la valeur acquise (Vn)

Vn = a1(1+t)n-1

+ a2(1+t)n-2

+ a3(1+t)n-3

+...+ an-1(1+t) + an Vn = ai(1+t)n-iLe calcul de la valeur actuelle (Vo)

Vo = a1(1+t)-1 + a2(1+t)-2 + a3(1+t)-3 + ... + an-1(1+t)-(n-1) + an(1+t)-n Vo = ai(1+t)-iExemple

La St ABC prvoit de raliser les surplus de trsorerie suivants :

2 000 fin N+1 ;

3 000 fin N+2 ; 5 000 fin N+3.

1. Calculer la valeur acquise en N+3 (placement au taux de 6%) ? (10 427.20)2. Calculer la valeur actuelle fin N (taux d'actualisation de 6%) ? (8 754.88)

Priode Flux de trsorerie Coefficients Valeur acquise Coefficients Valeur actuelle

1 2 000.00 (1.06)2 2 247.20 (1.06)-1 1 886.79

2 3 000.00 (1.06)1 3 180.00 (1.06)-2 2 669.99

3 5 000.00 5 000.00 (1.06)-3 4 198.10

10 000.00 10 427.20 8 754.88


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LES ANNUITES CONSTANTES DE FIN DE PERIODE

Soit une srie de n annuits constantes (a) de fin de priode :

0 1 2 3 ... n-1 n

+++++++Priodes

a a a ... a aVn ?

Vo ?


Annuits Dures Valeur acquise = Suite en progression gomtrique

1 n-1 a(1+t)n-1 Somme = u1(qn -1)/(q-1)

2 n-2 a(1+t)n-2 avec u1 = 1er terme et q = la raison = (1+t)

3 n-3 a(1+t)n-3V

n= a (1+t)n-1 = a (1+t)n-1

... ... ... (1+t) -1 t

n-1 1 a(1+t)

n 0 a u1

Le calcul de la valeur actuelle (Vo)

Annuits Dures Valeur actuelle = Suite en progression gomtrique

1 1 a(1+t)-1 Somme = u1(qn -1)/(q-1)

2 2 a(1+t)-2 avec u1 = 1er terme et q = la raison = (1+t)

3 3 a(1+t)-3Vo = a(1+t)-n (1+t)n-1 = a 1-(1+t)-n

... ... ... t t

n-1 n-1 a(1+t)-(n-1)

n n a(1+t)-n u1

Le calcul de l'annuit (a)

A partir de Vn Vn = a

(1+t)n-1

t a = Vnt .

(1+t)n-1

A partir de Vo Vo = a1-(1+t)-n

t a = Vo t .

1-(1+t)-n

Exemple : CalculerVn etVo pour les 2 sries de fin de priode suivantes (taux 8%) :

1. suite de 5 annuits de 1 000 ; (5 866.60, 3 992.71)2. suite de 24 mensualits de 500 ? (12 930.63, 11 087.00)

1. Vn = 1 000(1.085-1)/0.08 = 5 866.60 Vo =1 000(1-1.08-5)/0.08 = 3 992.71

2. Taux mensuel =1.081/12 -1 = 0.643%

Vn =500(1.0064324-1)/0.00643 = 12 930.63 Vo =500(1-1.00643-24)/0.00643 = 11 087.00


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LES ANNUITES CONSTANTES DE DEBUT DE PERIODE

Soit un placement de n annuits constantes (a) de dbut de priode :

0 1 2 3 ... n-1 n+++++++Priodes

a a a ... a a

Vn ?Vo ?


Annuits Dures Valeur acquise = Suite en progression gomtrique

1 n a(1+t)n Somme = u1(qn -1)/(q-1)

2 n-1 a(1+t)n-1 avec u1 = 1er terme et q = la raison = (1+t)

3 n-2 a(1+t)n-2Vn = a(1+t) (1+t)n-1 = a (1+t)n-1 (1+t)

... ... ... t t

n-1 2 a(1+t)2

n 1 a(1+t) u1 = Vn avec les annuits de fin de priode x (1+t)

Le calcul de la valeur actuelle (Vo)

Annuits Dures Valeur actuelle = Suite en progression gomtrique

1 0 a Somme = u1(qn -1)/(q-1)

2 1 a(1+t)-1 avec u1 = 1er terme et q = la raison = (1+t)

3 2 a(1+t)-2Vo = a(1+t)-n+1 (1+t)n-1 = a 1-(1+t)-n (1+t)

... ... ... t t

n-1 n-2 a(1+t)-(n-2)

n n-1 a(1+t)-(n-1) u1 = Vo avec les annuits de fin de priode x (1+t)

Le calcul de l'annuit (a)

A partir de Vn Vn = a(1+t)n-1

t

(1+t) a = Vn t .(1+t)

n

-1

(1+t)-1

A partir de Vo Vo = a1-(1+t)-n

t(1+t) a = Vo t .

1-(1+t)-n(1+t)-1

Exemple : CalculerVn etVo pour les 2 sries de dbut de priode suivantes (taux 8%) :

1. d'une suite de 5 annuits de 1 000 ; (6 335.93, 4 312.13)2. d'une suite de 24 mensualits de 500 ? (13 013.78, 11 158.29)

1. Vn= 1 000(1.08)(1.085-1)/0.08 = 6 335.93 Vo =1 000(1.08)(1-1.08-5)/0.08 = 4 312.13

2. Vn = 500(1.00643)(1.0064324-1)/0.00643 =

13 013.78

Vo = 500(1.00643)(1-1.00643-24)/0.00643 =

11 158.29


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EVALUATION A UNE PERIODE QUELCONQUE (VP)

Soit une srie de n annuits constantes de fin de priode :

0 1 2 3 ...p... n-1 n ...p'

+++++++++Priodes

a a a ...a... a aVo Vp ? Vn Vp' ?

Evaluation une priode p antrieure Vn Vp = Vo (1+t)p

Evaluation une priode p' postrieure Vn Vp' = Vo (1+t)p'

Exemple : Soit une suite de 5 annuits de 1 000 places en fin de priode 8%.Dterminer la valeur quivalente la fin de la priode 3 et 7 ? (5 029.67, 6 842.80)

V3

= 1 000 (1-1.08-5)/0.08 (1.08)3 = 5 029.67

V7 = 1 000 (1-1.08-5)/0.08 (1.08)7 = 6 842.80

LES SUITES D'ANNUITES EN PROGRESSION

Progression arithmtique Progression gomtrique

Valeur acquise (Vn)(a1 + r ) (1+t)n-1 - nr

t t ta1 (1+t)n-qn

(1+t)-q

Valeur actuelle (Vo)(a1 + r + nr) (1+t)-n - nr

t t t

a1 (1+t)n-qn (1+t)-n

(1+t)-q

avec a1 = premire annuitr = raison de la progression arithmtiqueq = raison de la progression gomtrique

ANNEXES :Les fonctions financires sous EXCEL

VA(taux;npm;vpm;vc;type) Valeur actuelle avec des paiements constants (Vo)

VC(taux;npm;vpm;va;type) Valeur acquise avec des paiements constants (Vn)

VPM(taux;npm;va;vc;type) Valeur d'un paiement (a)

TAUX(npm;vpm;va;vc;type;estimation) Intrt attendu de 1 F pour une priode (t)

NPM(taux;vpm;va;vc;type) Nombre de paiements (n)

INTPER(taux;priode;npm;va;vc;type) Intrts de la priode

PRINCPER(taux;priode;npm;va;vc;type) Amortissement du principal de la priode

VAN(taux;srie) Valeur actuelle avec des paiements variables (Vo)

TRI(srie;estimation) Taux de rentabilit interne (montants variables)

Priode N de la priode de paiement (de 1 npm)

Type (facultatif) Paiement dans la priode (0=fin, 1=dbut) (0 par dfaut)

Estimation (facultatif) Degr de prcision pour le calcul du taux (0.1 par dfaut)

E .Les paramtres en italiques (type, estimation) sont facultatifs ;.Paramtres souligns : prciser un paramtre sur deux ;.Inscrire la valeur dcaisse en ngatif (vmp, va ou vc).

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CH 4. LES EMPRUNTS

Il existe deux catgories d'emprunts : les emprunts indivis et les empruntsobligataires.

LES EMPRUNTS INDIVISCe sont les emprunts contracts auprs d'une seule personne (organisme financier).

Le remboursement se ralise par amortissements constants, par annuits constantesou in fine (en fin de priode). Il porte sur le capital, les intrts sur le d priode et enplus une assurance en garantie des paiements exprime en % du nominal.

Exemple :

Le 01.02.N, la St ABC a emprunt auprs du CIO 10 000 au taux de 5%remboursable sur 4 ans dater du 01.02.N+1 (assurance 0.40% du nominal) :

H1 Remboursement en 4 fractions gales (amortissements constants) ; H2Remboursement en 4 annuits constantes. H3 Remboursement in fine.

Le remboursement par amortissements constants

Calcul de l'amortissement constant :10 000/4 = 2 500.00

Tableau d'amortissement de l'emprunt

Priodes Restant ddbut (1)

Intrts(2)=(1)xt

Amortissements(3)

Annuits (4)hors assurance

Assurances(5)

Restant dFin (6)=(1-3)

1 10 000.00 500.00 2 500.00 3 000.00 40.00 7 500.00

2 7 500.00 375.00 2 500.00 2 875.00 40.00 5 000.00

3 5 000.00 250.00 2 500.00 2 750.00 40.00 2 500.00

4 2 500.00 125.00 2 500.00 2 625.00 40.00 0.00

Le remboursement par annuits constantes

Calcul de l'annuit constante (hors assurance) :10 000 (0.05/(1-1.05-4) = 2 820.12

(2 820.12)

Tableau d'amortissement de l'emprunt

PriodesRestant ddbut (1)

Intrts

(2)=(1)xt

Amortissements

(3)=(4-2)


Assurances

(5)


1 10 000.00 500.00 2 320.12 2 820.12 40.00 7 679.88

2 7 679.88 383.99 2 436.13 2 820.12 40.00 5 243.75

3 5 243.75 262.19 2 557.93 2 820.12 40.00 2 685.82

4 2 685.82 134.30 2 685.82 2 820.12 40.00 0.00

(1) Ajuster les rsultats de la dernire ligne pour terminer le plan d'amortissement.


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Le remboursement in fine

Le remboursement se ralise en une seule fois en fin de priode.

PriodesRestant ddbut (1)

Intrts

(2)=(1)xt

Amortissements

(3)


Assurances

(5)


1 10 000.00 500.00 500.00 40.00 10 000.002 10 000.00 500.00 500.00 40.00 10 000.00

3 10 000.00 500.00 500.00 40.00 10 000.00

4 10 000.00 500.00 10 000.00 10 500.00 40.00 0.00

Les relations entre les amortissements et l'annuit constante

Soit a = le montant de l'annuit Vi = le restant d la fin de la priode

Vo = le montant de l'emprunt Ai = l'amortissement pour la priode

t = l'intrt pour 1 pour une priode

PriodesRestant d

dbut priodeIntrts Amortissements Annuits

Restant dfin de priode

1 Vo Vot A1 = a - V0t a Vo(1+t) - a

2 Vo(1+t) - a Vo(1+t)t - at A2 = a - Vo(1+t)t + at

= a(1+t) - Vot(1+t)

= (a - V0t) (1+t)

= A1(1+t) E

3 A3 = A2(1+t) = A1(1+t)2

... ...

p Ap = A1(1+t)p-1

n An AntAn = A1(1+t)n-1 a = An(1+t) 0.00An = a/(1+t)

Exemple :Appliquer les relations ci-dessus l'exemple avec annuits constantes :

Calcul de An (dernier amortissement) (An) = a/(1+t) = 2 820.12/1.1 = 2 685.82

Calcul de A3 (3 amortissement) (A3) =A1(1+t)2 = 2 320.12(1.1)2 = 2 557.93

Le cot dun emprunt : le taux effectif global (TEG)

Le TEG est le taux de revient de lemprunt en prenant tous les frais (intrts, assu-rances et frais de dossier ventuels). Il correspond au taux qui permet davoir desdcaissements actualiss gaux au montant net peru sur lemprunt.

Exemple : Calculer le TEG dans l'exemple avec annuits constantes ? (5.644%)

Rsolution les fonctions dexcel :TAUX ( 4 ; - 2860.12 ; 10000 ; ; ; ) = 5.61%

Rsolution par interpolation linaire : 2 860.12(1-(1+t)-4)/t = Vo = 10 000.00

=> (1-(1+t)-4)/t = Vo / a = 3.4963568 => suite des calculs sur feuille spare t = 5.61%

LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES(hors programme : pour information)

Les amortissements sonten progression gomtrique

avec une raison q = (1+t)


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -17Les emprunts de montant trs lev sont souvent raliss auprs d'un grand nombrede prteurs. L'organisme emprunteur (Etat, collectivit publique, entreprise) met desobligations, de mme valeur nominale. Ces obligations sont places auprs des parti-culiers par l'intermdiaire des banques.

Les caractristiques d'une obligation

Une obligation est un titre de crance ngociable reprsentant une fraction d'un em-prunt long terme et donnant son possesseur le droit de percevoir annuellement unintrt et d'tre rembours de son titre l'chance.

La valeur d'une obligation

La valeur de l'obligation varie au cours de la vie de l'emprunt :

1. Les valeurs en dbut de contrat La valeur nominale est la valeur de base utilise pour le calcul de l'intrt d. Le prix d'mission correspond au prix dbourser pour se procurer une obliga-tion. Il est fix au pair (= la valeur nominale) ou au dessous du pair (< la valeur

nominale) pour rendre l'acquisition plus attractive.2. La valeur au cours de la vie de l'emprunt

Les obligations sont cotes en bourse. La cotation comprend deux parties :

la cotation de l'obligation proprement dite exprime en pourcentage de la valeurnominale au pied du coupon (intrt couru non compris) ;

la cotation du coupon couru correspondant aux intrts courus entre la dernirechance de rglement de ceux-ci et la priode de cotation.

Exemple : Un emprunt obligataire de 1 000 000 est mis le 14/06/N au tauxnominal de 7.50%, remboursable au pair in fine dans 5 ans le 14/06/N+5. L'obligation

a une valeur nominale de 1 000 et est mise 994.50 . Le rglement des intrtsse ralise le 14/06 de chaque anne. Le 04/08/N+2, la cotation en bourse est de102%.

Dterminer la valeur d'achat de l'obligation le 04/08/N+2 (anne de 360 j.) ? (1 030.56)

Cotation de l'obligation + Cotation du coupon couru = Valeur de l'obligation

1 000 x 102% + 1 000 x 0.075 x 50/360 = 1 030.56

3. En fin de contrat, le prix de remboursement est fix au pair (cas le plusfrquent) ou au dessus du pair pour amliorer le rendement (moins utilis).

La taux de rendement actuarielLe taux de rendement actuariel est le taux de rendement effectif d'une obligation. Ilcorrespond au taux annuel (t) qui, une date donne, galise ce taux et intrtscomposs, les valeurs actuelles des montants verser et des montants recevoir.

0 1 2 ... n-1 n

++++++Priodes Versement Vo Intrts perus I I I I I Remboursement Vr

t se calcule partir de l'quation suivante Vr(1+t)-n + I(1-(1+t)-n)/t -Vo = 0


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Mathmatiques financires (D. Bodin) -18Exemple : Reprendre l'exemple prcdent. Calculer le taux de rendement actuariel ?

(entre 7% et 8%) (Excel:7.79%)

0 1 2 3 4 5

++++++Priodes Dcaissement - 994.50

Intrts perus 75 75 75 75 75

Encaissement 1 000

Taux actuariel = Taux t pour lequel la valeur actuelle Vo des montants encaisss = lavaleur actuelle Vo des montants dcaisss.

75 (1-(1+t)-5/t) + 1 000 (1+t)-5 = 994.507% t% 8%

+++

32 0 -8.46

32 t =7% + 1% (32 /40.46) = 7.79%

40.46

Les mthodes de remboursement

1. Le remboursement "in fine"

Le remboursement des emprunts obligataires se ralise le plus souvent "in fine",c'est--dire, en bloc en fin de contrat.

La dmatrialisation des titres rend le remboursement par amortissementsconstants ou par annuits constantes difficile. Il est, en effet, ncessaire dans cecas de procder en fin de priode au tirage au sort des obligations amortir.

2. Le remboursement anticipL'metteur de l'emprunt peut prvoir une clause de remboursement anticip. Celle-ci peut s'avrer utile en cas de baisse des taux d'intrt.

3. Le remboursement en actions

Une socit mettrice d'un emprunt obligataire peut envisager son remboursementen fin de contrat par une augmentation de capital. Les actions mises sont alorsremises aux possesseurs des obligations. Le droit de crance initial est ainsi con-verti en un droit de proprit.

Exemple : Le tableau de remboursement de l'emprunt partir des donnes de la

page prcdente se prsente ainsi :Tableau d'amortissement de l'emprunt

PriodesRestant d

dbut de priodeIntrts Amortissements Annuits

Restant dfin de priode

N+1 1 000 000 75 000 75 000 1 000 000

N+2 1 000 000 75 000 75 000 1 000 000

N+3 1 000 000 75 000 75 000 1 000 000

N+4 1 000 000 75 000 75 000 1 000 000

N+5 1 000 000 75 000 1 000 000 1 075 000 0

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CH 5. LE CHOIX DES INVESTISSEMENTS

La dcision d'investir suscite plusieurs interrogations :

Comment dterminer si le projet est rentable ? Comment choisir entre plusieurs projets le plus rentable ou le moins coteux ? Comment choisir le mode de financement le moins cher ?

Pour y rpondre, il est ncessaire d'identifier les paramtres prendre en considra-tion et de dfinir des critres de comparaison entre les projets envisags.

LES PARAMETRES

Les paramtres lis un projet d'investissement

0 1 2 3 ... n-1 n+++++++Priodes

La dpense d'investissement Do Les recettes futures nettes R1 R2 R3 ... Rn-1 Rn La valeur rsiduelle Vr

Les paramtres lis un mode de financement

0 1 2 3 ... n-1 n

+++++++Priodes

L'apport initial Vo Les remboursements a1 a2 a3 ... an-1 an

Les donnes montaires prcdentes sont tales dans le temps. Pour les comparer,il faut les actualiser. Comment choisir le taux d'actualisation ?

Le taux d'actualisation (t)

Le taux d'actualisation correspond au taux de rmunration attendu pour 1 d'in-vestissement. Ce taux doit se situer :

au dessus du taux de rmunration d'un placement classique pour tenir compte durisque li la dcision d'investir ;

au moins gal au taux de rmunration des capitaux permanents dj utiliss dansl'entreprise (cot du capital) pour ne pas dtriorer sa rentabilit antrieure.


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LES CRITERES DE CHOIX

La valeur actuelle nette (VAN)

Elle correspond la valeur actualise des recettes et dpenses lies au projet pourun taux d'actualisation donn.

Si recettes irrgulires VAN = Ri(1+t)-i + Vr(1+t)-n - Do

Si recettes rgulires VAN = R (1-(1+t)-n)/t + Vr(1+t)-n - Do

L'indice de profitabilit (Ip = 1 + VAN / Do)

Cet indice mesure les recettes actualises gnres par un franc d'investissement.Ce critre est utile pour comparer des projets ayant des dpenses d'investissementdiffrentes.

Le taux de rentabilit interne (TRI)

C'est le taux (t) pour lequel la VAN est gale zro.

Si recettes irrgulires 0 = Ri(1+t)-i + Vr(1+t)-n - Do

Si recettes rgulires 0 = R (1-(1+t)-n)/t + Vr(1+t)-n - Do

Le dlai de rcupration du capital investi (DRCI)

Il correspond au temps mis pour rcuprer la dpense d'investissement actualiseavec les recettes futures actualises.

Si recettes irrgulires Temps pass pour que Ri(1+t)-i + Vr(1+t)-n = Do

Si recettes rgulires DRCI = R (1-(1+t)-n)/t + Vr(1+t)-n) / Do

L'UTILISATION ET LE CHOIX DU CRITERE

Les critres prcdents permettent de mesurer la rentabilit des investissements quiont des dures de vie identiques. Si les dpenses d'investissement sont trs diff-rentes d'un projet un autre, le choix doit se raliser partir d'un critre qui mesure larentabilit en valeur relative (Ip ou TRI).

Malgr ces prcautions, le projet choisir peut dans certaines circonstances varier

suivant le critre utilis (voir les applications).

Critres Analyse de la rentabilit Projet Domaine d'utilisation

- 0 + choisir

VAN < 0 = 0 > 0 VAN la + leve Projets d'importance similaire (*)

Ip < 1 = 1 > 1 Ip le + lev Projets d'importance diffrente

TRI (1) < Ta = Ta > Ta TRI le + lev Projets d'importance diffrente (*)

DRCI (2) > n = n < n DRCI le + faible Projets obsolescence rapide ou risqus

(*) ou pour slectionner le mode de financement le moins onreux.

(1) Ta = Taux d'actualisation attendu. (2) n = dure de vie du projet.

Applications

Documents

math fin.pdf