Math Superieur

8/9/2019 Math Superieur

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1-Intgrale de Riemann

Le programme ne prcise pas si la dfinition de l'intgrale de Riemann doitfigurer dans le cours. Certains collgues commencent ce coursdirectement avec la dfinition de la primitive d'une fonction, et

Ainsi, le thorme fondamental de l'analyse, qui

tablit le lien entre l'intgration et la drivation, devient trivial.

A mon avis, ce cours est quand mme l'occasion ou jamais de dfinirl'intgrale de Riemann. Mme si on passe sur les dtails, on peut donnerles trois dfinitions de ce premier chapitre et voquer l'interprtationgomtrique qui est trs lie la dfinition des sommes de Darboux.

Subdivisions et sommes de Darboux

Dfinition Une subdivision d'ordre d'un intervalle est une partie

finie telle que

On notera l'ensemble des subdivisions de .

Exemple [subdivision quidistante] Lorsque avec , on

parle de la subdivision quidistante d'ordre de ; on la note parfois. Le nombre est le pas (uniforme) de cette subdivision.

Dfinition La somme de Darboux infrieure resp. suprieure de

relativement une subdivision sont dfiniespar

resp.

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Solution .

Remarque Lorsque pour , on dit que est plus fine que

. (C'est une relation d'ordre partiel sur .)

Fonctions Riemann-intgrables, intgrale de Riemann

Dfinition La fonction est Riemann-intgrable sur ssi les deuxnombres

concident ; ce nombre est alors appell l'intgrale de Riemann de sur

(ou de ), et not .

L'ensemble des fonctions Riemann-intgrables sur est not .

Remarque L'existence de et est vidente: il suffit de constater

que les ensembles et sont non-vides

(prendre ) et majors resp. minors d'aprs l'exercice

prcdent. On peut aussi montrer que et sont atteints lorsque

le pas de la subdivision, tend vers zro. La taille de ce pasinduit la structure d'une base de filtre sur , permettant de considrer

la limite de et en .

Remarque Revenir sur l'interprtation gomtrique de et , enconsidrant la limite de subdivisions de plus en plus fines.

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Remarque La ``variable d'intgration'' dans est une``variable muette'', elle peut tre remplace par n'importe quelle autrevariable (qui n'intervient pas dj ailleurs dans la mme formule).

Donnons encore une propsition d'ordre plutt technique, avant d'noncerune condition d'intgrabilit suffisante dans tous les cas que nous allonsrencontrer.

Proposition (Critre d'intgrabilit de Riemann.) Une fonction est

Riemann-intgrable sur ssi pour tout il existe une subdivision

telle que .

Dmonstration Par df. de et ,

et . Avec, il vient que

. Donc si

, on a la subdivision souhaite. Rciproquement,

si une telle subdivision existe pour tout , alors et concidentvidemment.

Thorme Toute fonction monotone ou continue sur un intervalle estRiemann-intgrable.

Dmonstration Si est monotone, le et est atteint au bord de

chaque sous-intervalle . On a donc

. Il suffit donc de choisir le pas de la subdivision assez petit,

, pour que ceci soit infrieur un donn, d'ol'intgrabilit d'aprs le critre de Riemann.Pour une fonction continue, la dmonstration est admise dans le cadre de

ce cours. A titre indicatif: est remplacer par

, o sont les points de l'intervalle ferm et born

en lesquels la fonction continue atteint son maximum et minimum. On

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utilise maintenant le fait qu'une fonction continue sur y est

uniformment continue , pour donn il existe (indpendant du

point ) tel que . Donc, pour , on a

. Ceci devient aussi petit que voulu, car on peutprendre des subdivisions quidistantes pour lesquelles

, il suffit donc de prendre assez petit.Pour montrer qu'une fonction continue est uniformment continue sur un

intervalle born , on peut utiliser que l'ensemble des boules ouvertes

telles que , est un recouvrement ouvert

de , dont on peut extraire un recouvrement fini d'aprs le thormede Heine-Borel. Le minimum de ces correspond au de l'uniformecontinuit (au pire pour au lieu de ).(Pour une dmonstration du thorme de Heine-Borel, voir ailleurs...)

Corollaire De mme, une fonction (borne!) continue sauf en un nombrefini de points, ou monotone sur chaque sous-intervalle d'une partition finie

de , est Riemann-intgrable . (On peut en effet utiliser l'additivit des

sommes de Darboux , pour

qui entrane celle de et de mme pour .)

Remarque [fonction de Dirichlet] La fonction de Dirichlet,

n'est pas Riemann-intgrable, car on a

En effet, sur chaque il existe un point irrationnel, donc

, mais aussi un point rationnel, d'o . Ainsi et

est somme des longeurs des sous-intervalles et donc gale .

Remarque Le pas uniforme des subdivisions quidistantes simplifiebeaucoup l'expression des sommes de Darboux (exercice!).

On peut montrer que pour , on a

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La rciproque est vraie si est continue.

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux ne sont pas trs utiles pour le calcul effectifd'une intgrale, par exemple l'aide d'un ordinateur, car il est en gnralassez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervalles. Onconsidre plutt

ou

Plus gnralement:

Dfinition Si vrifie , on appelle

une subdivision pointe et

la somme de Riemann associe la subdivision pointe . Si on pose

de plus , on a

c'est de l que vient la notation .

Thorme Si , alors les sommes de Riemann tendent

vers , independamment du choix des , lorsque la subdivisiondevient de plus en plus fine.

Dmonstration Par dfinition, il est vident que

. Soit et tel que .

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Alors on a aussi , quel que soit le choix des , et a

fortiori pour tout . D'o le rsultat.

Si est continue, atteint son minimum et maximum sur chaque

en un certain et . On obtient donc les sommes de Darbouxcomme cas particulier des sommes de Riemann, en associant chaque

des points tels que .

En particulier, lorsque la fonction est monotone, par exemple croissante,

sur un sous-intervalle , alors et . Les sommes de

Riemann et donnes en dbut de ce paragraphe concident donc avecles sommes de Darboux infrieure et suprieure pour une fonctioncroissante.

2-Proprits de l'intgrale de Riemann

Proposition Pour , on a

En particulier, on a

Dmonstration L'ingalit est consquence immdiate de la

dfinition de resp. . Pour montrer , il suffit de prendre

.

Thorme [de Chasles] Soit . Alors,

et on a la relation de Chasles :

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Dmonstration Pour tout , on a videmment

et . Ceci entrane

. Le mme s'applique . Ainsi l'intgrabilit sur

et implique celle sur , et la relation de Chasles.

Rciproquement, tout qui contient se dcompose en avec

, et on a les mmes relations pour les sommes de

Darboux. Pour passer et , on peut toujours supposer ,quitte l'ajouter, sans perte de gnralit. On en dduit le thorme.(Exercice: dtailler cette dmonstration.)

Dfinition Pour , on dfinit

et pour , .

Remarque Avec ces conventions, la relation de Chasles est valable quel

que soit l'ordre de (par exemple aussi pour ). C'est en effetla principale motivation pour ces dfinitions, ce qui laisse deviner l'utilitet importance de cette relation dans les applications.Il convient d'tre trs vigilant concernant cette gnralisation lorsqu'onutilise des ingalits (telles que celles de la Prop. ), qui ne sont

gnralement valables que pour .

Proposition est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel

des fonctions de dans , et , est une

forme linaire sur . Autrement dit, et surtout

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Et :

Dmonstration Les sommes de Darboux ne sont pas linaires (car etne sont pas additives). Passons donc par les sommes de Riemann, dont

la linarit, , est vidente, ce qui

donne, par passage la limite , le rsultat souhait. (Exercice:dtailler ceci...)

Proposition Pour , ( ), on a:

(1)

(2)

et (3)

Dmonstration (1): et .

(2): .

(3): on a , avec le (2) donc et .

Remarque La rciproque du (1) est videmment fausse,

n'implique pas . (Contre-exemple: sur .)

Remarque Dans le cas , , on a que est l'aire del'pigraphe

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Thorme [de la moyenne] Soit (fonction continue de

). Alors

Dmonstration tant continue, on a

D'aprs l'q. ,

D'aprs le thm. des valeurs intermdiaires appliqu (continue) entre

et , on a (ou ) tel que

3-Intgrale de Riemann et primitives

En principe il est possible de calculer des intgrales en utilisantsimplement la dfinition en terme des sommes de Darboux. Or, ceci est

gnralement assez lourd et difficile. De plus, ayant fait le calcul del'intgrale sur un intervalle, il faut le refaire pour chaque autre intervalle laquelle on s'intresse ( moins de pouvoir faire un changement devariables plus ou moins compliqu).

Exemple Calculer pour et , en utilisant des

subdivisions quidistantes de .

Solution Comme est une fonction croissante sur , elle est intgrableet les sommes de Darboux concident avec les sommes de Riemann

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Pour , cette somme est bien connue: , et donc

Pour , il faut utiliser , d'o

(Pour trouver la valeur de , on peut utiliser , et

observer que la pemire expression est la valeur de en . Enpermutant somme et drives, on calcule alors la drive de la somme

gomtrique gale , puis sa limite en .)

On voit que la mthode se gnralise n'importe quel , mais pour

les choses se compliquent. Aussi, pour calculer avec

, il faut faire des changements de variables pour se ramener aucas ci-dessus.

L'objet de ce chapitre est d'introduire la notion de primitive d'une fonction,qui permettra d'viter ce genre de calcul, en utilisant les conclusions duprsent et les mthodes des suivants chapitres.

Primitive d'une fonction continue

Soit et une fonction numrique dfinie sur .

Dfinition Une fonction est une primitive de dans ssiest drivable sur , et

dans .

Proposition Si et sont deux primitives de , alors est une

constante sur tout intervalle .

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Dmonstration Soit . On applique le thorme des accroissements

finis la fonction , drivable sur comme somme defonctions drivables. On a donc

Donc , ce qui est une constante, indpendante dequi peut parcourir l'ensemble des points de .

Remarque Le mot intervalle est essentiel dans cette proposition: si

est runion d'intervalles (ouverts) disjoints, peut tre diffrent surchacun des intervalles.

Existence d'une primitive

Thorme Toute fonction continue possde une primitive ,

donne par .

Dmonstration Vrifions que la fonction convient.D'abord, cette intgrale existe pour tout car continue sur

donc . Calculons

(relation de Chasles )

D'aprs le thm. de la moyenne , tel que

Donc

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(NB: Si ou on ne peut considrer que la limite gauche ou

droite, tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline4476# ou .)

Remarque Ce rsultat permet d'identifier l'intgration comme une anti-

diffrentiation ( une constante prs), puisque pour.

Intrt de la primitive

D'aprs le thm prcdent, est une primitive de , et

d'aprs la proposition , toute primitive de est gale , une

constante prs. Donc, si est une primitive quelconque de , alors

, et

en utilisant la relation de Chasles .

Ainsi, la connaissance d'une primitive quelconque d'une fonction sur

un ensemble permet de calculer l'intgrale de sur n'importe quel

intervalle , en appliquant la formule

Ainsi, bien que cela soit possible, on n'utilise dans la pratique quasiment

jamais la dfinition de l'intgrale de Riemann en terme de sommes deDarboux , pour la calculer. Sauf exceptions, on cherchera toujours une

primitive de par les mthodes qui seront dveloppes dans la suite, pourappliquer la formule ci-dessus.

4-Pratique du Calcul intgral

Nous allons ici aborder quelques mthodes pour calculer des primitivesd'une large classe de fonctions.

Intgrale indfinie

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Soit continue. On note l'une quelconque des primitives

de , dfinie une constante prs que l'on ajoute toujours explicitement.

Exemple . Ici, , on peut donc avoir des

constantes diffrentes sur et sur . Autrement dit, est unefonction constante sur chaque sous-intervalle de .

On dit que est l'intgrale indfinie de , alors ques'appelle intgrale dfinie.

Remarque On utilise la notion d'intgrale indfinie comme synonyme deprimitive. On pourrait faire une distinction plus rigoureuse en dfinissant

l'intgrale indfinie comme l'une quelconque des fonctions de la

forme , ou n'est pas spcifi. (C'est ainsi qu'on ladtermine et qu'on l'utilise, dans l'esprit du sous-chapitre qui prcde.)Les deux dfinitions sont quivalentes au dtail prs qu'on n'obtient alorspas toutes les primitives par les intgrales indfinies: en effet, enchangeant la borne infrieure on ne peut pas obtenir toutes les

constantes, si est born ou si les primitives de sont bornes, siest finie.

Primitives des fonctions usuelles

Par drivation, on vrifie aisment la validit des relations donnes dansle tableau . De mme, on vrifie par drivation (rgle de chane!) que

avec

Tableau: Primitives des fonctions usuelles

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Cette formule sera tudie plus en dtail dans le paragraphe . Ellepermet d'utiliser les formules lmentaires ci-dessus pour toute une classede fonctions lmentaires composes. Son application notamment au

cas (et donc ) est immdiate et donne:

Exercice Gnraliser le formulaire prcdent, en remplaant dans

l'intgrand par .

Intgration par parties

Proposition Pour , on a

ou encore, avec et en utilisant les intgrales dfinies:

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Dmonstration On a

D'o (en absorbant la constante d'intgration dans les intgrales

indfinies) la premire partie de la proposition. La deuxime parties'obtient en prenant la valeur en moins la valeur en .

Remarque Cette relation est souvent utilis pour diminuer

successivement le degr d'un polynme qui multiplie une fonction

que l'on sait intgrer.Elle sert aussi pour l'intgration des expressions faisant intervenir lesfonctions trigonometriques, o l'on retombe sur la fonction d'origine aprsdeux intgrations.

Exemple Calculons la primitive . On posera deux fois

successivement :

Exemple Calculons la primitive . On posera successivement

, puis :

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On met tous les dans le membre de gauche et obtient aprs divisionpar 2:

Formule de Taylor avec reste intgral

Comme application importante de l'intgration par parties, dmontrons leThorme [formule de Taylor avec reste intgral]

Pour et , on a

(4)

(Rappel: on note les fonctions fois continment drivables sur .)

Cette formule de Taylor avec reste intgral est historiquement la premireparmi les diffrentes formules de Taylor (cf. chap. , page ), trouve parMonsieur Brook Taylor (1685-1731).

Elle sert pour le calcul de dveloppements limits qui seront tudis auchapitre suivant. Elle donne une approximation polynmiale de la fonction

au voisinage de : en effet, si est proche de , alors les termes de la

forme deviennent trs petits, d'autant plus que est lev. Ledernier terme, appel reste intgral du dveloppement, tend encore

plus vite vers zro que (comme on le dmontre au chapitre ).

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Dmonstration Pour , la formule est vraie: en effet, elle s'crit dansce cas

ce qui exprime simplement le fait que est une primitive de , lorsque

.

Supposons maintenant ( ) vraie pour un certain , et que

admette une drive continue sur . Ainsi, les deux facteursdans le reste intgral vrifient les conditions suffisantes pour pouvoir faire

une intgration par partie, avec et

. Alors

La borne suprieure du crochet donne zro et pour la borne infrieure les

signes se compensent, on a donc

et en reportant ceci dans ( ), on trouve la formule au rang .

Changement de variable d'intgration

Proposition Soit continue et un diffomorphisme, une

bijection telle que et soient continment drivables. Dans ce cas,

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avec

Autrement dit, est une primitive de . En terme d'intgrales

dfinis, on a

Dmonstration Il faut et il suffit de montrer que a comme drive

. Or, d'aprs la rgle de chane, on a

Or, et (ce qui se montre en drivant

). Donc

Pour une intgrale dfinie, on a donc

ce qui revient au mme que la formule donne dans l'nonc avec

et .

Applications -- Disposition pratique:

Ce thorme permet de calculer si l'on sait calculer , ourciproquement. Il est la base de tout l'art de l'intgration , qui

consiste trouver les bons changements de variables .

Dans la pratique, on crit alors

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On crit symboliquement , et on substitue ces deux quationsdans l'intgrale en question:

Puis, ayant trouv la primitive du membre de droite, on retourne la

variable en substituant .

Exemple Calculons la primitive sur l'intervalle . Posons. C'est justifi car est une bijection diffrentiable

de sur , et la fonction rciproque est galementdrivable l'interieur de cette intervalle. D'o

N.B.: En terme des dfinitions de la proposition, on a travaill avec

plutt qu'avec ; c'est souvent plus ainsi qu'on procde dans la pratique.

Remarque Il faut s'assurer que la fonction est effectivement unebijection, gnralement en considrant ses proprits de monotonie. Dansle cas echant, il faut dcouper l'intervalle d'intgration en des sous-

intervalles sur lesquels est monotone.

Formule de la moyenne gnralise.

Comme application intressante des changements de variable,considrons le

Thorme [de la moyenne, gnralis.] Soient et sur ][a,b. Alors,

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Exercice Dmontrer ce thorme, en tudiant la fonction

pour justifier le changement de variable .

Solution: La fonction est bien dfinie ( intgrable car continue) et

drivable sur , avec sur . Donc est strictement

croissante sur ][a,b, et idem pour , qui est donc bijection de sur

. est drivable et . Ainsi on peut faire lechangement de variable pour passer de :

En utilisant le thorme de la moyenne pour ,

on a le rsultat cherch, avec (puisque ).

Intgration de fractions rationnelles: dcomposition enlments simples

Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour

toute fraction rationnelle , o sont de polynmes. Onprocde par tapes, en illustrant la thorie l'aide de l'exemple

La premire partie de ce chapitre est plutt algbrique: nous citons etutilisons ici plusieurs thormes importants d'algbre sans dmonstration,qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

Division euclidienne

1 tape: On utilise le

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Thorme [et dfinition: division euclidienne]

Soient , . Alors il existe un unique couple detel que

et

On dit que est le quotient et le reste de la division euclidienne depar .

Ainsi on peut crire

avec . Le polynme s'appelle partie entire de lafraction rationnelle.

Exemple On effectue la division euclidienne comme suit:

On a donc

Polynmes irreductibles

2 tape: On considre donc dornavant une fraction rationnelle

telle que . Pour procder, on pose

Dfinition Les polynmes irrductibles (sur ) sont les polynmes de

degr 1 et les polynmes de degr 2 sans racine relle ( avec

).Un polynme est unitaire ssi le coefficient du terme de plus haut degrest 1.

On se servira du

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Thorme Tout polynme de se dcompose de manire unique enun produit de la forme

c'est dire d'une constante qui est le coefficient du terme de plus haut

degr de , et de polynmes irrductibles unitaires: sont les racines

(distinctes) de , leurs multiplicits, et les facteurs de degr 2 sont

sans racine relle ( avec ).

On utilise cette dcomposition pour le polynme au dnominateur dela fraction rationnelle. On suppose de plus que le numrateur n'a pas defacteur commun avec le dnominateur, sinon on simplifie par ce facteurcommun.

Exemple Pour trouver la factorisation , on commence par chercherdes racines ``videntes'' en ttonnant (i.e. en essayant pour les valeurs

0, ,...). On trouve que et , donc

divise .

On effectue la division euclidienne

Or, , par consquent,

En effet, est un trinme du 2 degr discriminant ngatif.

Ples et lments simples

3 tape

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Dfinition On dit que , est une fraction rationnelleirrductible ssi les polynmes et sont sans facteur commun.On appelle ples de la fraction rationnelle irrductible les racines dupolynme .

Soit ladcomposition irrductible de .

On appelle lments simples de espce relatifs aux ples , lesfonctions rationnelles du type

o les sont des constantes relles.On appelle lments simples de espce relatifs aux polynmes

irrductibles , les fonctions rationnelles du type

o les sont des constantes relles.

Exemple Dcrire les lments simples de

lments simples de espce : le ple de multiplicit 2 2 lments simples :

ple de multiplicit 1 1 lments simple : .

lments simples de espce : 1 seul, associ au facteur

irreductible : .

Attention : il faut toujours d'abord s'assurer de la dcomposition complte

du dnominateur! Par exemple, aurait pu tre crit comme

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; ce qui ne permet pas de voir immdiatementles lments simples.

Thorme Soit une fct. rationnelle irrductible . Alors

1. Si , (div.euclidienne de par ), on a

dans .

2. se dcompose de manire unique comme somme de tous leslments simples relatifs :

Exercice Donner la structure de la dcomposition en lments simples de

.On a

(*)

NB: quand on ne demande que la structure de la dcomposition, on peut

laisser les indtermines.

Calcul des coefficients d'une dcomposition en lments simples

4 tape: (la plus dure...)

(a) : POUR LES PLES SIMPLES DE MULTIPLICIT 1

On multiplie l'q. (des) par , et on prend : dans le membre

de droite ne survit que , dont la valeur est donn par le membre de

gauche, avec (simplifi).

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Par exemple, appliquons ceci au calcul de : En multipliant (*) par

, on a

et en posant ,

(b) : LES COEFF. DES PLES DE MULTIPLICIT

Pour trouver le coefficient qui correspond un ple d'ordre , onmultiplie par , puis on prend : de manire analogue cequi prcde, on trouve le coeff. recherch.

Dans notre exemple, on dtermine ainsi en multipliant par :

et en prenant , .

(c) : LES COEFF. DES FACTEURS QUADRATIQUES

On peut appliquer la mme mthode, mais avec les racines complexes de

ces facteurs . Pour cel, on multiplie par le facteur

, puis on prend gal une des racines complexes du

facteur, pour trouver (avec la partie relle et imaginaire) les coeff. et

: Dans notre cas,

les racines sont donc les 2 racines 3 non-triviales de l'unit, .

(En effet, il convient de vrifier que est vraiment un ple en calculant

.)

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En multipliant (*) par

et en prenant , on trouve ainsi

ce qui donne (partie relle et imaginaire) les coefficients et aprs unpetit calcul. Cependant, ici ce calcul de nombres complexes est un peulourd et on utilisera plutt une autre mthode, par exemple celle deslimites.

(d) : LES AUTRES COEFF. DES PLES DE MULTIPLICIT

Ces coefficients peuvent aussi se calculer par la mthode du

changement de variable . Ceci nous ramne un ple en. Pour calculer les coefficients associs ce ple, on fait la division par les

autres facteurs de suivant les puissances croissantes en ,

l'ordre ; on s'arrte lorsque le reste ne contient que des termes dedegr suprieur ou gale , de faon pouvoir mettre en facteur .

Le quotient donne alors tous les coefficients associs au ple .

Exemple Dans notre exemple, le changement de variable est

, donc

On divise alors parsuivant les puissances croissantes, l'ordre 1:

D'o:

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En divisant par , on a donc

et on dduit du premier terme que et .

NB: cette mthode est surtout intressante s'il y a un ple de multiplicit

leve ( ) et peu d'autres facteurs dans , ou alors s'il s'agit ds ledbut d'un ple en (ce qui vite le changement de variable).

(e) : MTHODES GNRALES POUR LES COEFF. RESTANTS

(i) : mthode des limites

Cette mthode consiste multiplier d'abord par la plus basse puissancequi intervient dans la dcomposition en lments simples, et de prendre lalimite (o il suffit de garder les puissances les plus leves). Ainsi,on a dans le membre de droite la somme des coefficients quicorrespondent cette puissance, qui permet de dterminer un coefficienten terme des autres.

Exemple Dans notre exemple, on multiplie par , la limite donne alors

et donc .(ii) : mthode des valeurs particulires

Une autre mthode consiste simplement prendre des valeursparticulires pour (diffrents des ples) et ainsi d'avoir un systmed'quations qui permettra de dterminer les coefficients manquants.

Exemple Dans notre exemple, prenons :

et donc .

Remarque: dans le cas gnral, il faut ainsi crer un systme d'autantd'quations (indpendantes) qu'il reste de coefficients dterminer.

(iii) : par identification

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La mthode gnrique qui marche toujours mais qui n'est pas toujourspas la plus rapide, consiste rcrire la somme des lments simples sur

le dnominateur commun qui est , et d'identifier les coeff. des

mmes puissances de du membre de gauche (coefficients de ) et dumembre de droite (les multiplis par une partie des facteurs de

).

Ainsi on obtient un systme d'quations linaires dont la solution donneles coefficients (manquants).

Application au calcul de primitives

Avec la technique tudie dans ce chapitre, on peut intgrer toute fonction

rationnelle . En effet, on commence par simplifier par les

facteurs irrductibles de pour dsormais pouvoir supposer

irrductible. Ensuite, au cas ou , on effectue la divisioneuclidienne pour avoir

avec

Enfin, on dcompose en lments simples. On n'a donc plus qu'trouver les primitives pour les deux types d'lments simples,

etLa premire intgrale ne pose pas de problme, sa primitive est

si et siConsidrons donc le 2e type d'intgrale. On l'crit d'abord sous la forme

avec et . Ainsi, le premier terme est de la forme

, avec la primitive (resp. pour ).

Tout ce qui reste donc calculer est la primitive ( ).

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Pour ce faire, on se ramne par un changement de variable cette

intgrale avec et avec , en posant successivement ,

puis ).

Pour calculer , on pose , , .[justifier ce chgt de variable !]Alors

(rappel: ).

Pour , une primitive est . Sinon, on fait une intgration parpartie d'un facteur pour diminuer l'exposant de 2:

o la dernire ligne est obtenue en faisant passer toutes les

dans le membre de gauche puis en divisant par le coefficient . Avec

et , on a enfin

ce qui permet, avec , de calculer pour tout .

Remarque Dans la pratique, on effectue le changement de variables pour

passer de en une seule fois.

Exemple On crira par exemple

30


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avec .

Primitives des fonctions rationnelles de et

Dfinition On dit que est une fonction rationnelle de et s'il

existent des polynmes (en 2 variables) ( ,

idem pour ) tels que .

Exemple : ici, , .

Mthode d'intgration:On distingue 3 cas (aide mnmotechnique: la nouvelle variable est chaquefois invariante sous la transformation considre)

si , on pose (invariant, or )

si , on pose (invar., or )

si , on pose (invar., mais , chgt de

signe)

Exemple . On pose , , donc

on arrive ainsi une simple fraction rationnelle intgrer, et onsubstituera finalement dans le rsultat.

Autres fractions rationnelles

31


32/89

Dans les cas suivants, on peut encore se ramener la recherche d'uneprimitive d'une fraction rationnelle:

Thorme

a) :

on pose . Avec , ,on retrouve une fraction rationnelle en .

b) avec :on pose

et on retrouve encore une fraction rationnelle en .

c) :On transforme la racine en une des formes suivantes:

: on pose alors

: on pose alors : on pose alors ou

Dans chacun des cas, on retombe sur une fraction rationnelle d'un

des types qui prcdent (avec ou ).

Exemple : on a , on posera

donc , d'ou , et

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33/89

La notion de fonctions quivalentes devrait tre connue du cours

d'Analyse 1, sous la forme . On la rintroduit ici enutilisant la nouvelle notion de fonctions ngligeables, qui est trs utilenotamment dans le cadre des dveloppements limits.

Fonctions ngligeables

Dans ce qui suit, on considre des fonctions valeurs dans ,

dfinis sur un voisinage point d'un point , auvoisinage de sauf eventuellement en ce point mme. (On rappelle que

constitue une base de voisinages de ).

Pour ne pas trop alourdir les notations, on convient qu'une galit entrefonctions sous-entend la restriction l'intersection des domaines dedfinition.

Dfinition La fonction est dite ngligeable devant au voisinage de

, ss'il existe un voisinage point de et une fonction de limitenulle en , telle que (dans ). On crit

t.q. et

On appelle la notation de Landau et la notation de Hardy.

Exemple On a .Exemple La fonction nulle est ngligeable devant toute fonctionen tout point (prendre ). D'autre part,

(car )dans un voisinage de .

Remarque Alors que la notation de Hardy parat plus logique, on utilisedans la pratique plus souvent celle de Landau, car elle permet l'abus denotation trs pratique qui consiste crire

33


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au lieu de

Lorsqu'on utilise cette notation, chaque terme reprsente unefonction quelconque de , ngligeable devant , mais priori inconnue et

diffrente d'un ventuel autre terme .On prendra aussi garde de toujours prciser le point auquel la relation de

ngligence s'applique. Ainsi on peut avoir mais pourdiffrents.

Exemple Si est borne et tend vers l'infini, alors .

Exemple On a ssi (car alors ), et l'opposau voisinage de 0.

Exemple On a et pour tout .(Exercice: pourquoi?)

La proposition suivante permet de trouver autant d'exemples que l'onsouhaite:

Proposition Si la fonction est dfinie dans un voisinage point de ,

alors .

Dmonstration Exercice. (Il suffit d'utiliser ).

Remarque Le seul cas ou n'est pas dfini dans un voisinage de est

celui ou a une infinit de zros dans chaque voisinage ( aussi prs quel'on veut) de , par exemple pour .

Proposition La relation est transitive ,

et compatible avec la multiplication,

pour toutes fonctions .

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Dmonstration Exercice. (Il suffit de substituer , , etc.)

Remarque Attention: la relation n'est pas compatible avec l'addition!

Par exemple, et , mais .

Remarque Dans la pratique, on utilise donc la notation (voire )

pour reprsenter une fonction quelconque, priori inconnue, telle que

. On crit ainsi par exemple ,

...

Attention: Il convient de garder en mmoire que le symbolecorrespond, chaque fois qu'il apparat, une nouvelle (autre) fonction .

On a ainsi par exemple , mais

seulement .

Noter aussi que pour , ( ), mais malgr cette

galit, !

Fonctions quivalentes

Dfinition On dit que est quivalent au voisinage de ssi est

ngligeable devant ; on crit

Proposition Si est dfini dans un voisinage point de , alors

.

Dmonstration Exercice (utiliser la df. pour m.q. ).

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Remarque La prsente dfinition de fonctions quivalentes est donc plusgnrale que celle en terme de limite, car elle s'applique aussi dans les

cas ou n'est pas bien dfini, voir Rem. .

Proposition La relation est une relation d'quivalence , elle estreflexive ( ), symtrique ( ) et transitive:

et

Dmonstration Exercice (encore avec etc.).

Proposition [limites] Si , alors existe ssi existe, et si ellesexistent, ces deux limites sont gales.

Proposition [produit, quotient, puissance] On peut prendre le produit,quotient (lorsqu'il est dfini) et une puissance quelconque d'quivalences.

Dmonstration Exercice (avec etc.).

Remarque Dans le cas gnral, on ne peut additionner des quivalences:mais .

Proposition [compose] Soit et t.q. alors

.

Dmonstration exercice (comme avant, on trouve ).

Proposition [comment trouver des quivalents]

i) si

ii) , pour continue dans un voisinage(point) de .

Dmonstration D'aprs la dfinition, si , alors

, donc . Utilisons ceci avec la dfinition de la

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drive: , et en multipliant cette quivalence par , ilvient le (i).

Le (ii) est quivalent . Montrons que

. Soit donc ; on a . Or,

, donc et .

Dveloppements limits : dfinition et proprits

Les dveloppements limits consistent grosso modo trouver uneapproximation polynmiale une fonction plus complique, au voisinage

d'un point choisi. Ils ont de nombreuses applications dans d'autressciences (physique,...), mais aussi dans les mathmatiques elles-mmes,en particulier en analyse numrique.

D.L. d'ordre en

Dfinition On dit que admet un ssi il existe un polynme

et une fonction t.q.

et

On appelle alors la partie rgulire du DL, et le reste

d'ordre , que l'on note aussi .

Exemple [fondamental] ,

donc admet un de partie rgulire et dereste .

Remarque On permet le cas , mais les seuls cas utiles sont ceux ou

(adhrence de ), par exemple ou .

Remarque Il faut insister sur le fait qu'un dveloppement limit est unestricte galit mathmatique, il ne faut donc jamais oublier le reste en

faveur de la partie rgulire. D'ailleurs, dans certains cas le reste peuttre plus intressant que la partie rgulire.

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Remarque Comme la formule simplifie pour , on se ramne

souvent ce cas en considrant , en faisant un changement

de variables , puis un , dans lequel on resubstitue

finalement .

Corollaire(Consquences de la dfinition.) -- On se limite ici aux cas

ou est un intervalle, ventuellement priv du point .

Si admet un DL en , alors admet une limite en , gale

. Si , cela implique que est continue en . Sinon,

admet un prolongement par continuit en (en posant

), dont le DL concide avec celui de .

Si admet et , alors est drivable en et

.

Exemple Pour , , n'est pas dfinie en 0 mais

admet un (de partie rgulire nulle et avec ) et donc

une limite (nulle) et donc un prolongement par continuit en 0. Pour

, ce prolongement est drivable en 0 ( partie du corrolaire) (avec

), mais la drive n'est pas continue en 0 si : en effet

n'admet pas de limite en 0

pour .

Remarque L'exemple prcdent montre que mme si admet un DL unordre aussi lev qu'on veut, cela n'implique jamais que la drive soitcontinue, et donc encore moins que la fonction soit deux fois drivable!(Prendre arbitrairement grand dans l'exemple .)

Unicit du D.L.

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Lemme [troncature] Si admet un de partie rgulire , alors

admet , dont la partie rgulire sont les termes de

degr de .

Dmonstration Exercice facile: il suffit de montrer que les termes

avec peuvent s'crire comme reste d'ordre :

avec

Thorme [unicit] Si admet un DL , il est unique, et sont uniques.

Dmonstration (par recurrence). Pour , et

sont dtermins de faon unique. Supposons que le

de est unique, et que admet un ,

. D'aprs le Lemme qui prcde,

avec est

un de . D'aprs l'hypothse de rcurrence, ainsi que le

reste sont uniques. Or, . Ce coefficient, et

sont donc galement uniques.

Remarque Autre dmonstration: soit

, avec

et . En considrant de

l'quation prcdente, on a . Si , on peut alors soustraire

de cette quation, la diviser par (pour ), et on repart

du dbut avec une quation du mme type mais avec diminu d'un

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rang, de laquelle on dduit , etc... Quand enfin on arrive ,ayant identifi le terme constant et soustrait des deux membres,

l'quation devient , d'o galement l'unicit des restes.

Corollaire paire (par rapport au pt. ) pair,

.

Dmonstration paire , donc (en

comparant partie rgulire du de et de ).

Existence des D.L. -- Formules de Taylor

Dans ce paragraphe, on affirme l'existence du D.L. pour les fonctionssuffisament drivables, et on prcise en mme temps une expressionexplicite des coefficients de la partie rgulire en terme des drives de lafonction au point du D.L.

Thorme [de Taylor-Lagrange] Si est fois continment drivable

sur , alors admet un de partie rgulire

(de coefficient ), avec le reste de Lagrange d'ordre ,

Remarque A titre mnemotechnique, le reste d'ordre a donc la mme

expression qu'un terme d'ordre de la partie rgulire, sauf que lecoefficient n'est pas une constante dans la mesure ou le point ci-dessus dpend de .

Dmonstration Avec l'hypothse de ce thorme, nous avons djdmontr la formule de Taylor

40


41/89

avec le reste intgral d'ordre ,

dans le chapitre (page ), comme application de l'intgration par

parties . Pour que cette formule corresponde effectivement un D.L., ilfaut montrer que est ngligeable devant , lorsque .Pour cela, utilisons le thorme de la moyenne gnralise, avec

pour . Il existe donc tel que

Cette dernire intgrale vaut

d'o la formule du reste de Lagrange (avec ).

tant continue donc borne sur , on a que tend

vers zro, c'est dire .

Remarque On peut montrer que le thorme reste vrai sous la condition

moins forte que existe et soit fois drivable sur .Par exemple, , admet un de partie rgulire nulle et de

reste . La drive n'est pas dfinie en

0, mais le reste peut nanmoins s'exprimer comme avec .La formule avec reste intgral reste en effet vraie dans ces conditions,

mais le est en gnral une intgrale impropre, dfinie comme

, qui converge (C'est dire cette limite existe et elle

est finie), car la primitive s'exprime en termes de qui est continue parhypothse.

(Dans l'exemple prcdent, on a l'intgrale impropre qui

converge car la primitive admet une limite en 0.)

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Remarque Dans le cas particulier (mais frquent) o , et en posant

avec , la formule de Taylor-Lagrange s'appelle formule deMacLaurin:

Une autre version de la formule de Taylor, ncessitant une hypothsemoins forte, mais donnant un rsultat plus faible, est le

Thorme [Taylor-Young] Si existe, alors admet departie rgulire

Nous en admettons ici la dmonstration, on peut p.ex. consulter [Ramis &al, Cours de Math Sp, III] .

Application : D.L. de quelques fct lmentaires

En utilisant la formule de Taylor, on obtient les DL(0) des fonctions

lmentaires donns ci-dessous, o reprsenteune fonction inconnue de la forme , avec .

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Les fonctions et ont comme DL les termes en

puissances paires resp. impaires de , ce sont donc ceux de ,

mais avec des signes + partout. (En effet, et

.)

Oprations sur les D.L.

Combinaison linaire, produit et quotient de D.L.

Proposition Si admettent des de partie rgulire resp. ,alors et admettent des de partie rgulire

resp. des termes de degr de .

Si , admet un de partie rgulire obtenue par division

selon les puissances croissantes, l'ordre .

Dmonstration Il suffit de remplacer par leur D.L. et de dvelopperles expressions. (Exercice: dtailler ceci!)

Exemple Obtenir le de par division des de et .

Solution: on trouve

.

Intgration d'un D.L.

Proposition Si est drivable et admet un , de partie

rgulire , alors admet un de partie

rgulire .

Remarque On ne peut en gnral driver un DL, mme si drivable. Ex:

admet mais n'a pas de limite en 0 donc pas de DL aucun ordre.

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Compose de D.L.

Proposition Si admet un de partie rgulire et admet un

de partie rgulire , alors admet un de partiergulire obtenue par les termes de degr de (polynmecompos).

Exemple avec .

Application des D.L. : Etude locale d'une courbe

On considre dfinie sur admettant un de

partie rgulire , t.q. .

Alors la tangente la courbe de a pour quation ,

et la position de par rapport est donne par le signe de :

cas: pair.

le point est dit ordinaire

au dessus de , en-dessous de ,

Si extremum; dans ce cas: minimum et

convexe, et maximum et concave au voisinage de .

cas: impair.est un pt. d'inflexion, traverse en .

Convexit et concavit droite et gauche de selon le signe de

(cf. ci-dessus).

Exercice Faire un dessin reprsentatif pour chacun des 4 cas possibles (

pair/impair, et )

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D.L. en

Dfinition On dit que , (resp. ), admet un

(resp. ) ssi t.q.

(avec toujours une fonction de la forme , ).

Donc admet un ssi admet un ; c'est ainsi

qu'on dtermine dans la pratique les (mme si on n'crit pasexplicitement le changement de variables ).

Corollaire Si admet un , alors admet une limite finie en

(comme dans le cas d'un ).

Remarque Si s'crit comme diffrence de deux fonctions qui

n'admettent pas une limite finie, peut quand mme admettre unlorsque ces deux fonctions sont quivalentes en l'infini. Pour le trouver, onmet en facteur une fonction quivalente (gnralement une puissance de

), pour pouvoir faire un D.L. de l'autre facteur (diffrence de deux DL).Si suffissament de termes des deux DL s'anullent, il est possible que leproduit soit un D.L. au sens strict (sinon c'est un D.L. gnralis).

Exemple de : Sparment les deux

racines n'admettent pas de . Or, ,et en utilisant

on a

, En

dveloppant, on a , d'o le rsultat cherch.

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Application : tude d'une branche infinie en

Pour trouver l'asymptote (si elle existe) la courbe d'une fonction , on

cherche un de la fonction . Si ,

alors , donc la droite d'quation

est asymptote .

Remarque On peut renoncer l'introduction de la fonction , et faire le

directement partir de la fonction . Cependant, l'expression

n'est pas un au sens strict de ladfinition, cause du premier terme qui n'est pas un polynme en .

La position de par rapport au voisinage de l'infini se dduit du signe

de . Pour le connatre, on peut chercher le prochain terme

non-nul dans le de . Si avec ,

alors on a . Le signe de indique donc

la position de par rapport : pour , est au-dessus de au

voisinage de , sinon en-dessous. Le mme raisonnement s'applique au

voisinage de , en tenant compte du signe de : ici c'estqui indique si est au-dessus ou en-dessous de .

Si la courbe a une convexit ou concavit dfinie au voisinage de ,est convexe ssi elle est au-dessus de , sinon concave; c'est tout fait

analogue l'tude locale en un point , sauf que l'asymptote joue lerle de la tangente.

Notons que peut ne pas admettre de avec assez grand pourdterminer la position par rapport , comme c'est le cas pour

; ici on peut toutefois affirmer que est au-dessus de

.

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Sous-sections

Introduction -- dfinitions gnrales

Une quation diffrentielle (ED) d'ordre est une quation faisant

intervenir une fonction ainsi que ses drives jusqu' l'ordre . Parexemple, une telle quation pourrait tre

Dans le 2e exemple, il est sous-entendu que est fonction de , ou plutt

que signifie l'application : c'est en effet une galit entrefonctions.

Dfinition L'quation diffrentielle d'ordre la plus gnrale peuttoujours s'crire sous la forme

ou est une fonction de variables. Nous ne considrons que le cas

ou et sont valeurs dans . Une solution une telle quation

diffrentielle sur l'intervalle est une fonction (une fonction

qui est fois continment drivable) telle que pour tout , on

ait .Exercice Vrifier que

est une solution la 1e quation sur tout , pour tout

fix;

est une solution la 2e quation, sur , pour tout

.

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48/89

Remarque Pour des raisons qui seront dvelopps dans la suite, on ditaussi ``intgrer l'ED'' au lieu de ``trouver une solution l'ED''.

Dans ce chapitre, on donnera des mthodes pour trouver l'ensemble detoutes les solutions une certaine classe d'quations diffrentielles.

Equations diffrentielles du ordre

Dfinition Une quation diffrentielle est du 1er ordre si elle ne fait

intervenir que la premire drive .

Eq.diff. variables spares

Dfinition Une quation diffrentielle de 1er ordre est dite variables

spares si elle peut s'crire sous la forme

Une telle quation diffrentielle peut s'intgrer facilement: En effet, on

crit , puis, symboliquement,

(On crit ici explicitement la constante d'intgration arbitraire (quiest dj implicitement prsente dans les l'intgrales indfinies) pour nepas l'oublier.)

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives et de et de , et

ensuite d'exprimer en terme de (et de ):

C'est pour cette raison que l'on dit aussi intgrer pour rsoudre unequation diffrentielle.

Exemple Rsoudre sur l'quation diffrentielle

. On peut sparer les variables ( et ) en divisant

par , ce qui est permis ssi (car d'aprs l'nonc). On a

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avec , soit ( )

(On a simplifi en utilisant que .)En prenant l'exponentielle de cette equation, on a finalement

avec : en effet, le signe de tient compte des deux

possibilits pour , et on vrifie que est aussi solution

(mais pour laquelle le calcul prcdent, partir de la division par , n'estpas valable.)

Dtermination de la cte. d'intgration

La constante d'intgration est fixe lorsqu'on demande que pour un

donne, on ait une valeur donne de . (On parled'unproblme aux valeurs initiales.)

On arrive au mme rsultat en travaillant ds l'intgration de l'quationdiffrentielle avec des intgrales dfinis:

La fonction ainsi obtenue est directement telle que , sanspasser par la dtermination de la constante d'intgration.

Equations diffrentielles linaires

Dfinition Une quation diffrentielle d'ordre est linaire ssi elle est dela forme

avec

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Proposition L'application qui la fonction associe la nouvelle

fonction , est une application linaire .

Dmonstration En effet,

et pour tout ,

Dfinition L'quation diffrentielle

s'appelle quation homogne associe .

Proposition L'ensemble des solutions est le noyau de

l'application linaire , c'est donc un sous-espace vectoriel de .

L'ensemble des solutions est donn par

avec

les solutions sont de la forme , ou est une solution particulire

de , et parcourt toutes les solutions de l'quation homogne .

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Dmonstration La premire partie est vidente. En ce qui concerne la

partie, d'une part toute fonction de la fome est solution de : en

effet, . D'autre part, soient et

solutions , alors on peut voir comme la solution particulire et

toute autre solution vrifie ,

donc la diffrence est bien une solution , donc un

lment de .

Principe de superposition

Si , une solution particulire est donne par ,

o est une solution (pour ).

C'est une consquence directe (voire la dfinition) de la linarit del'oprateur .

On reviendra sur ce principe trs important (voire fondamentalnotamment en ce qui concerne les lois de la nature) dans les casparticuliers des quations diffrentielles linaires du 1er et du 2nd ordre.

Equations diffrentielles linaires du ordre

Dfinition Une quation diffrentielle linaire (EDL) du 1er ordre est unequation diffrentielle qui peut s'crire sous la forme

ou sont des fonctions continues sur un mme intervalle , et on

demandera .

A cette quation diffrentielle on peut associer la mme quation avec:

C'est l'quation homogne associe (EDL), ou quation sans second

membre. (On la note aussi ou .)

Structure de l'ens. de solutions

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52/89

Proposition L'ensemble des solutions est un sev. des fonctions

. L'ensemble des solutions (E) est obtenu en ajoutant toutes les

solutions de une solution particulire quelconque de .

Dmonstration On vrifie que la fonction nulle et fois une solution

sont toujours des solutions , donc c'est un s.e.v.

On vrifie que si on a deux solutions et , alors leur diffrence est

solution . Donc rciproquement on obtient tous les en ajoutant

un quelconque tous les

Rsolution de l'quation homogne associe

En effet, est une quation diffrentielle var.spares , en

l'crivant . En l'intgrant, on obtient

et avec

Solution particulire par variation de la constante

On cherche la solution particulire sous la forme , avec une

fonction dterminer (``variation de la constante''). On trouve que estsolution ssi

(on peut intger car c'est une compose de fct.continues , et on peut

oublier la constante car elle correspond une solution de ).Une solution particulire est donc

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53/89

et la solution gnrale est donc

Exemple Rsoudre sur l'quation diffrentielle

Solution: Rsolvons d'abord sur l'quation homogne

On obtient

La solution gnrale de est donc

(avec pour tenir compte des valeurs absolues, et tantsolution aussi).

Cherchons ensuite une solution particulire de sous la forme

(tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_inline2302# est ici unefonction continment drivable sur ).

On a alors ce qui donne dans (E):

et comme dans la thorie gnrale (et c'est toujours ainsi par

construction), il ne reste que le terme en , soit:

On intgre par partie, en posant

ce qui donne

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54/89

Sur , ; une solution particulire est donc obtenue pour ,

et la solution gnrale de est donn par

Remarque Si et sont deux solutions particulires , alors est

solution de , et la solution gnrale est

arbitraire

Changement de variable

De faon gnrale, pour rsoudre une quation diffrentielle du 1er ordre,il faut trouver un moyen d'arriver une quation diffrentielle variablesspares . La mthode de la variation de la constante est en effet unmoyen de passer de l'quation diffrentielle linaire inhomogne (qui n'estpas var.spares) une quation pour la nouvelle fonction

(o , solution homogne, est une fonction connue,

lorsqu'on a rsolu ) qui est en effet variables spares.C'est donc en fait un changement de variable qui fait passer de l'quation

pour une quation plus simple pour , que l'on sait intgrer, et dont la

solution permet de remonter .

De faon analogue, il existe souvent un changement de variable qui

permet de passer d'une quation diffrentielle quelconque pour unequation diffrentielle linaire pour une nouvelle fonction , que l'on sait

rsoudre, et qui permet ensuite de trouver .

Exemple L'quation de Bernoulli devient une

quation linaire ( ) pour .

L'quation de Ricatti admet la solution vidente

, et on trouve les autres solutions en posant ; ce qui donne en

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55/89

effet une quation linaire ( ) pour .(Exercice: resoudre ces deux quations diffrentielles.)

Equations diffrentielles linaires du ordre coefficients

constants

On s'intresse mainenant aux quations diffrentielles du 2e ordre, mais

seules aux EDL ou les coefficients sont des constantes relles.

Dfinitions

Dfinition Une EDL du ordre coeff. constants est une quationdiffrentielle de la forme

ou ( ), et ( ouvert de ). L'quation homogne (ousans second membre) associe est

D'aprs les rsultats gnraux on sait que l'ensemble des solutions

est un e.v., et que la solution gnrale est de la forme

(...).

Nous admettons les rsultats supplmentaires:

Proposition

Pour tout et , admet une unique solution telle que

, .

Les solutions sur forment un e.v. de dimension 2 (sur ), not

.

Si sont deux solutions indpendantes de ( libre dans

), alors est une base de , c'est dire

.

55


56/89

Pour , on dfinit le wronskien ,

Si pour un , alors pour tout , et c'est une CNS

pour que soit linairement indpendant et donc une base de.

Rsolution de l'quation homogne associe

On cherche la solution sous la forme , . On a donc et, donc devient .

Dfinition L'quation

se nomme quation caractristique de .

Proposition le signe de , on a les rsultats suivants:

:

admet 2 racines relles distinctes , et

est une base de .:

admet 1 racine double , et est une base

de .

:

admet 2 racines complexes conjugues et (

, ), et est une base de

.

56


57/89

Dans chacun des cas, la solution gnrale est donc

avec .

Dmonstration

:

Il est clair que sont solutions . Leur wronskien est gal

donc sont indpendants et base de .

:On vrifie que est solution de : ,

et donc

car en effet

(comme ).

Le wronskien est gal

donc sont indpendants et base de .

:On a

et donc

les coefficients tant la partie relle et imaginaire de . Le

calcul est identique pour .

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Le wronskien est gal

car , donc sont indpendants et base de .

Ainsi, on a dans tous les cas possibles.

>>>>>Solution particulire

On distingue encore 2 cas particuliers et une mthode gnrale:

ou et (un polynme).

On cherche la solution sous la forme , ou est un polynme.dont on peut prciser le degr:

- si n'est pas racine de , alors ;

- si est l'une des deux racines de , alors ;- si est racine double de , alors .

Remarques:

i) Cette mthode s'applique notamment pour , c--d. .

ii) On peut aussi chercher une solution sous la forme , o

est une fonction dterminer; en remplaant ceci dans , on

obtient une quation diffrentielle pour , de laquelle on tire (qui doittre gal , modulo les ctes d'intgration qui correspondent unesolution homogne). Ce procd est en fait quivalent la mthode dela variation de la constante.

o .

On distingue encore une fois deux cas :

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59/89

i) n'est pas racine de : Dans ce cas, les fonctions ,

ne sont pas solutions de . Une solution particulire de

sera de la forme , o les constantes sedterminent par identification.

ii) est racine de , donc les fonctions , sont

solutions de . Une solution particulire de sera de la forme

, o les constantes se dterminent paridentification.

principe de superposition:

Si , une solution particulire est donne par ,

o est une solution (pour ). (Consquence

de la linarit de .)

Exemple Rsoudre sur .

a) quation homogne: L'quation caractristique est . Lasolution gnrale de est donc .

b) solution particulire : convient.

c) solution particulire : En remplaant

dans l'quation, on trouve

, donc et .

d) conclusion: la solution gnrale est .

mthode de variation des constantes.

Soient et deux solutions indpendantes de . On cherche une

solution particulire de sous la forme , o et sont des

fonctions vrifiant . Ainsi, , et devient

(car pour ).

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Donc, sont solutions du systme

Ce systme se rsoud aisment, ce qui donne , puis parintgration.

Exemple Rsolvons . La solution de est

, (cf. exemple prcdent)

Cherchons une solution particulire. Les solutions , sont

indpendantes, en effet leur wronskien vaut . Cherchons une

solution sous la forme , avec .sont solutions

donc

avec les primitives

On a donc la solution particulire

et la solution gnrale en ajoutant .Le cours d'algbre linaire

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[et interprtation gomtrique]

Soit un sous-ensemble de .

Une fonction est appele application vectorielle valeurs dans.

Les deux fonctions et telles que

sont appeles les applications composantes de (ou: associes ) .

Le plan tant rapport un repre , on note le point dont les

coordonnes sont . Lorsque le paramtre parcourt , lepoint dcrit un sous-ensemble du plan, appel la courbe de (ou:

associe ) .Le systme d'quations

est appel une reprsentation paramtrique de .On dit alors que est une courbe paramtre.

Plan d'tude d'une courbe parametre

On procde en 6 tapes, prcises ci-dessous:

1) Prciser le domaine de dfinitionc'est dire l'ensemble des points en lesquel les deux applications

composantes et sont dfinis.2) Recherche de priodes et symtries

Si et , la fonction est -priodique: on peut alors restreindre l'tude l'intersection de avec unintervalle de longueur , et on obtient ainsi toute la courbe.Si est symtrique et on a une des symtries suivantes:

(i) et ( et fcts paires de ),

(ii) et ( impaire et paire),

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(iii) et ( paire et impaire),

(iv) et ( et impaires),

alors on restreint l'tude , et on obtient toute la courbe(i) qui est parcourue 2 fois

(ii) en compltant l'arc par une symtrie par rapport l'axe(iii) en compltant l'arc par une symtrie par rapport l'axe(iv) en compltant l'arc par une symtrie par rapport l'origine .3) Rechercher les eventuelles branches infinies:voir chapitre4) Faire un tableau de variations

pour et , en tudiant les signes de et .5) Etudier les points particulierstels que points stationnaires (= singuliers), points doubles: voir chapitre6) Tracer la courbeen s'aidant des rsultats prcdants, notamment en reportant aussi lespoints singuliers, tangentes et asymptotes.

Etude des branches infinies

Dfinition La courbe prsente une branche infinie (ou: un arc infini), siau moins une des coordonnes tend vers l'infini, pour , avec

.

Les cas suivants sont possibles:

et : admet la droite d'quationcomme asymptote verticale

et : admet la droite d'quationcomme asymptote horizontale

et : On tudie :

Si , alors admet une branche parabolique dans la direction

Si , alors admet une branche parabolique dans la direction

Si , on tudie la fonction :

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http://www.les-mathematiques.net/a/d/d/node3.php3http://www.les-mathematiques.net/a/d/d/node4.php3#pt-singulierhttp://www.les-mathematiques.net/a/d/d/node3.php3#arc-inf-chap


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Si alors admet la droite d'quation

comme asymptote, et la position de dpend du signe de .

(On peut utiliser un pour le trouver.)Si alors admet une branche parabolique dans la

direction de la droite d'quation .

Si n'admet pas de limite, on ne sait pas conclure.

Si n'admet pas de limite, on ne peut conclure sur la nature de l'arcinfini.

Etude de points particuliers

Dfinition On suppose que et sont drivables en .

Le vecteur est appel le vecteur drive de en . On

note aussi par .

Si , c'est dire , le point est dit point

ordinaire. La droite de vecteur directeur et passant par est

appele tangente en .Une reprsentation paramtrique de est donc donne par

et on peut en dduire facilement une quation de la forme (ou

si ) en exprimant dans la deuxime quation enterme de l'aide de la premire quation:

Si , c'est dire , alors le point est dit

stationnaire ou singulier.

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Or, sont colinaires , donc

Etudions le vecteur dans le repre . Si

et designent ses composantes dans cette base, on a les

quivalences (au voisinage de )

et

Selon la parit de et de , on a les rsultats suivants:

Dfinition

pair et impair: au voisinage de , et a le signe de :

traverse la tangente en , qui est un point de rebroussement deespce.

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http://www.les-mathematiques.net/a/d/d/node4.php3


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pair et pair: au voisinage de , et , indpendamment

du signe de : ne traverse pas la tangente ; est un point derebroussement de espce.

impair et pair: au voisinage de , change de signe et :

touche la tangente ; est appele ``mplat''.

impair et impair: au voisinage de , et changent de signe:

traverse la tangente en , qui est appel point d'inflexion.

Points doubles (ou multiples)

Dfinition S'il existe tels que , on dit que est unpoint double (ou multiple).

Pour trouver les points doubles, il faut donc rsoudre le systme

avec . (C'est en gnral un calcul assez lourd.)

Etude d'un exemple

Etudions la courbe dfinie par .

Domaine de dfinition: et sont dfinis sur

Recherche de symtries: il n'y a pas de symtries videntes. ( est pairemais n'a pas de parit dfinie.)Etude de branches infinies .

: On a et , il faut donc tudier , et

: La droite d'quation est asymptote lacourbe pour les deux arcs infinis .

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: On a et (selon la signe de ). On tudie

donc , on a donc deux branches parabolique de

direction entude du signe de et :

donc a le signe de et a le signe de :

tude en

est un point stationnaire .

Calculons les derives successives de et en pour connatre levecteur directeur de la tangente et la nature du point:

Donc admet une tangente en de vecteur

directeur .

(Son quation est donc .)

Nature du point:

est non colinaire , on est donc dans le

cas , le point est un pt de rebroussement de

espce.

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recherche de points doubles:

cherchons tel que ,

car . Donc

Le premier choix de signes est exclure car il correspond ,

soit . Donc sont les solutions , soit

et .

Le point double est donc .

Trac de la courbe: (cf. figure ci-dessous)

on reporte les asymptotes, le pt. stationnaire avec sa tangente. En partantde , au dessus de l'asymptote, on rejoint le pt. avec une

tangente horizontale, puis on repart pour vers ,

(brache parabolique de direction ) (pour ).

Pour au voisinage de , on vient de en-dessous de l'asymptote ,

et on rejoint le pt. singulier avec la tangente de vecteur directeur

, puis on repart de l'autre cot de cette tangente, en passant par le

pt. double (5,6), pour la branche parabolique de direction , quand

(pour ).

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Figure: Graphe de la courbe tudie, avec l'asymptote et le vecteurdirecteur de la tangente en le point de rebroussement.

Espaces vectoriels

Jusqu' la fin du lyce, les mathmatiques ( l'analyse comme la gomtrie) se pratiquent dans des espaces de dimension 2 ou 3 ( le plan ou l'espacephysique). Trs vite apparat la ncessit de travailler dans des espacesde dimension suprieure, ne serait-ce que pour modliser des problmesfaisant intervenir un nombre de variables plus grand que 2. Les espacesde dimension plus grande que 3 chappent totalement la perception.Mme si on peut, par projection sur et , entrevoir l'aspect d'objetsmathmatiques vivants dans ou plus, on ne peut les visualiser danstoute leur globalit. Aussi faut il un cadre thorique pour pouvoir aborderles dimensions plus grandes. La thorie des espaces vectoriels a pour

objet de fixer cette thorie.

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Dfinition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une

application . Par convention, si A et x B, on notera

.

Dfinition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe ablien . Soit

aussi :k E E une loi externe sur E ( on utilisera la conventiond'criture prcdente ). Le triplet (E,+,.) a une structure d'espacevectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si:

1 dsignant l'unit de la seconde loi de k et x E: 1.x=x.

E .

E .

E .k est appel le corps de base de l'espace vectoriel E.

Remarque Par abus d'criture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.).

Dfinition Soit k un corps. Un lment d'un k-espace vectoriel est appel

un vecteur.Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel . On note 0 leneutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre

de la loi . sur k. Soient v E et k. On a les proprits suivantes:

0v=0-1v=-v

Si v=0 et que 0 alors v=0.

Dmonstration

On a: v+0v=(1+0)v=v. En soustrayant v des deux cts de cette galit,on obtient 0v=0.0=0v=(1-1)v=1v+-1v=v+-1v. -1v est donc l'oppos de v. -1v est alorsgal -v.

Si =0 et que 0 alors existe dans k . On peut multiplier les deuxmembres de notre galit de dpart par . Cela donne v= .0=0.

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Dfinition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel . Soit V un sousensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si:

(V,+) est un sous groupe de (E,+) .

Si k et si x V alors x V.

Proposition Soit k un corps. Un sous espace vectoriel d'un k-espacevectoriel est un k-espace vectoriel.

Dmonstration Il suffit de vrifier les axiomes dfinissant les k-espacesvectoriels .

Proposition Soient k un corps, E un k espace vectoriel et V un sousensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si et seulement si

k, x,y V, V.

Dmonstration Le sens direct est vident. Pour la rciproque, il suffit devrifier les deux points de la proposition prcdente . Prenons, pour cela,

x V et k. Posons =- et y=x. Le vecteur , qui est lmentde V, est gale au vecteur x- x qui est gale au vecteur nul. On en

dduit que 0 V. D'autre part, en prenant cette fois ci =1, et =-1, on a

=1x-1y=x-y. Le premier vecteur de cette srie d'galit estlment de V, il en est alors de mme de x-y. Nous venons ainsi devrifier que (V,+) tait un sous groupe de (E,+). Terminons en

remarquant que si k =0 et que x,y V, alors le vecteur x+ y estlment de V. Mais il est gal x. Donc x est lment de V, cqfd.

Dans toute cette section, k dsigne un corps.

Dfinition Soit I un ensemble et soit A= une partie de k indicepar I. On dit que A est support fini si l'ensemble des lments i de I tels

que est non nul est de cardinal fini.

Dfinition Soit E un k-espace vectoriel . Soit A une partie de E. On

suppose que A= o I est un ensemble permettant d'indexer A.

On appelle combinaison linaire des lments de A tout lment de Edonn par

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o est une famille support fini de scalaires de k.

Remarque Comme la famille des est support fini , il n'y a pas deproblme de convergence de la somme prcdente.

Dfinition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel . Soit A un sousensemble de E. L'ensemble des combinaisons linaires des lments deA est un sous espace vectoriel de E appel sous espace vectoriel de Eengendr par A. On notera Vect(A) le sous espace vectoriel engendr par

A. De plus, si A= x ,...,x , on notera Vect(A)=.

Dmonstration Soient x et y deux lments de E qui s'crivent comme

combinaison linaire d'lments de A. Il existe donc des scalaires et

de k pour tout i I, tels que

Soient et k. Le vecteur x+ y s'crit

qui est encore une combinaison linaire d'lments de A. x+ y est donclment du sous espace vectoriel engendr par A et cela permet de

conclure.

Proposition Soit A une partie d'un k-espace vectoriel E. Le sous espacevectoriel engendr par A est le plus petit sous espace vectoriel de E quicontient A.

Dmonstration Tout sous espace vectoriel contenant A contient toutecombinaison linaire de vecteurs de A. Donc le sous espace vecorielengendr par A est inclu dans tout sous espace vectoriel contenant A.

Dfinition Soit E un k-espace vectoriel. Soit aussi V un sous espacevectoriel de E ( qui peut ventuellement tre gal E). Soient A une

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famille de vecteurs de V. Cette famille est une partie gnratrice de V ougnratrice dans V si l'espace vectoriel engendr par A est gal V, ouautrement dit si Vect(A)=V. On dit encore que A engendre V.

Dfinition Soit A une partie de E un espace vectoriel sur k. Indexons les

lments de A par l'ensemble I. A est appele partie libre de E ou familleindpendante de vecteurs de E si pour tout sous ensemble support fini

de k, l'galit

implique que .Dans le cas contraire la partie A est dite partie lie dans E ou familledpendante de vecteurs de E.

Proposition Si E est un k-espace vectoriel et que A est une partie liede vecteurs de E alors l'un des vecteurs de cette partie s'crit commecombinaison linaire des autres vecteurs de A.

Dmonstration Soit A la partie lie dans E considr et soit I un ensemble

permettant d'index cette partie. Posons A= . La partie A est lie

dans E. On peut donc trouver un sous ensemble de scalaire de knon tous nuls tels que

Soit i I tel que 0. L'galit prcdente peut se r-crire:

soit en multipliant droite et gauche par :

On a ainsi bien crit un des vecteurs de A comme combinaison linaire desautres vecteurs de A

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k dsigne un corps.

Dfinition Soit E un k-espace vectoriel. Soit I un ensemble et soit A=

une famille d'lments de E. Cette famille est une base de E sielle est la fois libre dans E et gnratrice de E tout entier . On notera

gnralement les bases sous la forme d'une suite de vecteurs: (x ) .

Dfinition Soit E un k-espace vectoriel . Soit I un ensemble. Une famille

est dite:

libre maximale dans E si elle est libre dans E et que pour tout vecteur y

de E diffrent de x i I, la famille est lie dans E.gnratrice minimale si elle engendre E tout entier et si, quand on laprive d'un de ses lments, elle n'engendre plus E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel . Soit I un ensemble et A=

une famille de vecteurs de E. On a quivalence entre:

A est une base de E.A est libre maximale dans E.A est gnratrice minimale dans E

Dmonstration Montrons 1 2: Soit A= une base de E. A estdonc libre et gnratrice dans E. Montrons qu'elle est libre maximale .Soit y un vecteur de E qui n'est pas lment de A. Comme A est une basede E, A engendre E et on peut toujours trouver une famille support fini

de scalaires de k tels que

La combinaison linaire est donc nulle alors que ses coefficients

ne le sont pas tous. Ceci implique que la famille dfinie par

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est lie et ce quelque soit y dans E. La famille n'est doncincluse dans aucune famille libre plus grande qu'elle mme. Elle est doncbien libre maximale.

Montrons maintenant la rciproque, c'est dire que 2 1. Soitune famille libre maximale dans E. Nous devons montrer qu'elle estgnratrice. C'est dire que si x est un vecteur de E, alors x s'crit

comme combinaison linaire des . Prenons donc un vecteur x de E.

Comme est libre maximale dans E, la famille estlie dans E. Cela signifie qu'il existe une famille support fini

de scalaires de k non tous nuls tels que

Si =0 alors cela implique que la famille n'est pas libre dans E.est donc inversible et on peut crire:

Comme x est quelconque dans E, la famille est bien gnratricedans E.

Montrons que 1 3. Soit A= une base de E. A est doncgnratrice. Montrons que A est gnratrice minimale. Supposons que ce

ne soit pas le cas. Il existe alors un vecteur x de A qui est combinaisonlinaire des autres lments de A. A ne peut alors tre libre. A est doncncessairement gnratrice minimale.

Montrons enfin que 3 1. Considrons une famille A= devecteurs de E. Supposons que cette famille est gnratrice minimale etmontrons que c'est une base de E. Il faut vrifier que A est une famille

libre. Si ce n'est pas le cas, il existe une famille support fini descalaires de k telle que

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Dmonstration Comme E est de dimension finie, il possde une famille

gnratrice finie A= . A tant de cardinal fini, on peut extraire deA la plus petite partie de A qui soit gnratrice de E. Nommons A' cettesous partie de A. A' est alors gnratrice minimale . C'est donc une base

de E. A' est clairement de cardinal fini.

Remarque On commence s'en douter: dans un espace vectoriel dedimension finie, toutes les bases ont mme cardinal. Ce cardinal seraappel la dimension de l'espace vectoriel. Le lemme qui suit a pour objetde prparer la dmonstration de cette proprit.

Lemme Soit E un espace vectoriel sur un corps k. Soient e ,...,e des

vecteurs de E formant une base de E. Soient aussi v ,...,v des

vecteurs de E. Supposons que m>n. Alors v ,...,v forme une famille liede vecteurs de E.

Dmonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la famille v

,...,v est libre dans E. Comme (e ) engendre E, on peut trouver

des coefficients k pour i=1,...,n tels que v = . v tant non

nul, on peut supposer, quitte re-indexer les differents termes de lasomme, que 0. On est alors en droit d'crire:

Soit encore:

Nous venons en fait de mettre e sous la forme e = o

k. Montrons par rcurrence que l=1,...,m k tels que e = v

+...+ v + . Cela revient montrer que e Vect(v ,...,v ,e

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,...,e ). Supposons cette proprit vraie l'ordre l et montrons la

l'ordre l+1. On sait que v mais i=1,...,l e . Autrement dit i=1,...,l e . On

peut donc trouver des coefficients ,..., tels que v =

. On peut de plus supposer que l'un des

coefficients ,..., est non nul. Si cela n'tait pas le cas alors la

famille v ,...,v serait lie dans E, ce qui est contraire notre

hypothse de rcurrence. Supposons, quitte re-indexer les e queest non nul. On a alors:

En multipliant chacun des membres de cette galit par , on obtient

une criture de e de la forme:

o est lment de k i=1,...,n. Ceci termine notre rcurrence. Mais

comme n>m, chaque e s'crit: e = o k i=1,...,n. On

dduit de cela que pour tout i=1,...,n, e . Mais comme

E=Vect(e ,...e ) , v est li la famille v i=1,...,n si p>n. Ce qui est

en contradiction avec notre hypothse de dpart et prouve la proposition.

On peut maintenant formuler et dmontrer le thorme fondamentalsuivant:

Thorme Soit k un corps et soit E un k-espace vectoriel . Si E est dedimension finie alors toutes les bases de E ont mme cardinale.

Dmonstration Comme E est de dimension fini, E possde au moins unebase. Supposons qu'il en existe deux et montrons qu'elles ont mme

cardinal.Soient e = (e ,...,e ) et f = (f ,...,f ) deux bases de E.Supposons que m>n. Comme e est une base de E, on peut appliquer le

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lemmme prcdent . Par consquent f est lie . Ceci est impossible car f

est une base de E. Donc m n. En faisant le mme raisonement en

permutant le rle de e et celui de f, on obtient n m. On est alors en droitd'crire: n=m.

Ce thorme dmontr, la dfinition suivante a un sens.

Dfinition Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k.Si E est rduit son lment nul alors on dit que la dimension de E est 0.Sinon, on appelle dimension de E et on note dim E, le cardinal d'une base

de E.

Le thorme suivant est aussi vrai pour un k-espace vectoriel dedimension infinie. La dmonstration cependant ncessite l'usage de

l'axiome de choix . Nous nous y intresserons dans le paragraphe``Espaces vectoriels de dimension infinie''.

Thorme de la base incomplte Soient k un corps et E un espace

vectoriel de dimension finie sur k. Soit n=dim E et soit e=(e ,...,e )une famille libre de E. On suppose que m


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Dfinition Soit E un k espace vectoriel et soit V un sous espace vectorielde E. Une base du sous espace vectoriel V est une base de V en tantqu'espace vectoriel.

Dfinition On dit qu'un sous espace vectoriel est de dimension finie si il

est engendr , en tant qu'espace vectoriel, par une famille de cardinalfini.

Remarquons que si un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel est dedimension finie alors ce sous espace possde des bases et que toutes cesbases ont mme cardinal.

Dfinition La dimension d'un sous espace vectoriel de dimension finie estle cardinal d'une base de ce sous espace vectoriel.

Dfinition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espacevectoriel E. On note V+V' l'ensemble somme de ces deux sous espacesvectoriels V et V':

Proposition Si V et V' sont deux sous espaces vectoriels du k-espace

vectoriel E alors V+V' est aussi un sous espace vectoriel de E.

Dmonstration C'est facile, il suffit de vrifier que si x et y sont lmentsde E alors il en est de mme de x-y .

Dfinition Soit E un k-espace vectoriel et soient V et V' deux sous espaces

vectoriels de E. On dit que V et V' sont en somme directe si V V'= .

On note V V' le sous espace somme de deux sous espacessupplmentaires.

Dfinition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espacevectoriel E. On suppose que V et V' sont en somme directe dans E et que

V V'=E alors V et V' sont dit supplmentaires dans E. V est unsupplmentaire de V' dans E.

Le thorme suivant est nonc et dmontr dans ce paragraphe dans lecadre de la dimension finie. Il est cependant encore vrai en dimensioninfinie mais la dmonstration ncessite l'utilisation de l'axiome de choix .Celle ci sera tablie dans le paragraphe ``espace vectoriel de dimensioninfinie''.

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