Mathmatique au secondaire Journe pdagogique commission 5
novembre 2010 Atelier Les Conjectures Lucie Morasse, conseillre
pdagogique
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? tes-vous laise avec les conjectures? Quest-ce que vous en
connaissez? quelle frquence vous les abordez? Comment les
enseignez-vous en classe? Y a-t-il des champs mathmatiques o vous
abordez davantage les conjectures? Discutons-en!
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Que souhaitez-vous retirer de latelier daujourdhui?.
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Horaire de latelier AM: Secondaires 1, 2 et 3 PM: Secondaires 4
et 5 1.Prsentations et mot de bienvenue 2.Partie thorique et
exemplification 3.Questions de conjectures dans les SA 4.Pause 5.O
trouver le matriel? 6.Cadres dvaluation: quand? 7.Document sur la
Progression des apprentissages 8.Rgulation des preuves de juin 2010
9.valuation de la rencontre
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Dployer un raisonnement mathmatique CD2 Les conjectures dans
les situations dapplication 1 Cest quoi? 2Comment? 3 En
pratique!
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Cest quoi? Mathmatique au secondaire 1
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Dfinition selon le PFEQ nonc que lon pense vrai; Relations,
noncs, opinions, conclusions, etc., implicites ou explicites, qui
ncessitent dtre dcouvertes, expliques, gnralises, prouves ou rfutes
laide de savoirs mathmatiques.
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mettre des conjectures Analyser les conditions dune situation
Organiser des lments choisis du niveau de concepts et processus
relatifs la situation Sapproprier ou noncer des conjectures adaptes
la situation Juger la pertinence de conjectures mises et retenir
les meilleures, au besoin Composante de la comptence travailler
dans la CD2. Cest llment renforcer auprs des lves en 2010- 2011. La
composante est au programme et elle est l pour y rester.
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1.Formuler une conjecture nest pas un critre dvaluation Cr.1:
Analyse adquate dune situation dapplication Cr.2: Choix des
concepts et des processus Cr.3: Application adquate des processus
retenus Cr.4: Justification correcte dactions ou dnoncs En CD2, les
lves travaillent seulement des situations de validation et daction
Que font-ils au primaire?
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Au premier cycle du secondaire, PFEQ mentionne: Que llve valide
une conjecture en recourant des raisonnements gnraux tels le
raisonnement par induction, par dduction, par analogie et des
raisonnements plus spcifiques lis aux champs mathmatiques.
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Quels sont ces champs? Les proportions Lalgbre La gomtrie
Larithmtique Les probabilits et les statistiques
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Quels sont les types de raisonnement? Inductif: Il amne llve
gnraliser partir de lobservation de cas particuliers. Dductif: Il
amne llve tirer une conclusion partir dnoncs considrs comme vrais.
Il englobe le raisonnement par labsurde et la disjonction de cas.
Analogique: Il amne llve percevoir des similitudes entre divers
objets mathmatiques.
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Llve peut aussi Recourir au raisonnement par rfutation laide
dun contre-exemple qui consiste invalider une conjecture mise sans
statuer sur ce qui est vrai.
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T (Roy, 2006)
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2 Comment? Mathmatique au secondaire
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Les 3 niveaux de conjectures 1.La conjecture est mise et on
doit la dmontrer. 2.La conjecture mise nest pas complte et on doit
la complter. 3.Tout est dcouvrir et on doit formuler une
conjecture.
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Comment reconnatre les tches de conjecture? Les 3 niveaux
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La conjecture est dj mise et on demande de la dmontrer Dans un
prisme, la somme du nombre de sommets et du nombre de faces est
suprieure de 2 au nombre d'artes . Dmontre, laide dexemples, que
cette conjecture est vraie.
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Dans le processus de validation de cette conjecture, supposons
que l'lve s'appuie sur plusieurs exemples pour tirer sa conclusion.
Il mettra la conjecture (nonc, affirmation) voulant que cette
relation est vraie pour tel prisme, vraie aussi pour l'autre, etc.,
donc vraie pour l'ensemble des prismes. Ces affirmations
(conjectures) peuvent apparatre au fur et mesure de la dmarche ou
tre groupes dans la conclusion. L'lve devra donc mettre d'autres
conjectures et s'appuyer sur elles pour taler son raisonnement.
Cependant les traces seront-elles disponibles? Il faut habituer
l'lve laisser des traces de sa dmarche.
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La conjecture mise nest pas complte et on demande de la
complter Il existe un type de solides pour lequel la somme du
nombre de sommets et du nombre de faces est suprieure de 2 au
nombre d'artes. Complte cette conjecture.
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La conclusion (ou la dmarche) devrait amener l'lve reformuler
une nouvelle conjecture en la prcisant (identifier les solides en
question). Ici le type de solides pour lequel la conjecture est
vraie est explorer. Llve aura noncer les conditions (type de
solides) qui font que la conjecture est vraie. Dans sa dmarche,
llve cherche des conjectures intermdiaires; il peut chercher tablir
la relation entre le nombre de faces jointes et le nombre d'artes
engendres, entre le nombre de faces et le nombre de sommets, etc.
Parfois il ne les formulera pas car il n'aboutira pas (il les a
rfutes en chemin). Lorsqu'il cherche une relation intermdiaire, il
conjecture sur son existence possible. La plupart des conjectures
restent implicites. Il faut quand mme russir en faire expliciter
quelques-unes si on veut observer la pense.
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Tout est dcouvrir, la conjecture mise nest pas complte (niveau
de complexit plus grand) et on demande de formuler la conjecture
Formule une conjecture dcrivant la relation qui existe entre le
nombre de sommets, le nombre de faces et le nombre d'artes d'un
solide.
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L'lve doit explorer les types de solides, noter les donnes
correspondant aux variables mentionnes, dgager les solides qui
montrent une rgularit dans les donnes, les regrouper et tablir la
relation. Finalement, il doit s'assurer par la suite qu'elle est
valable pour tout prisme et reformuler la conjecture en tenant
compte de ses dcouvertes et des faons de considrer tous les aspects
de la situation. Cest impossible tablir pour la sphre, possible
pour le prisme droit; pas possible pour le cne, la boule et le
cylindre, etc.
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3 En pratique! Situations de conjectures des preuves du
MELS
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Document de travail Recueil de situations de conjectures dans
les diffrents niveaux tirs dexemples et dpreuves prototypes du
MELS.
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La CD2 et les situations dapplication Sont-elles plus claires
pour vous? Vous sentez-vous mieux outills pour les aborder dans
votre enseignement? Est-ce que vous allez modifier votre faon de
les enseigner ? Aimeriez-vous approfondir certains aspects de cet
atelier ventuellement? Pour conclure ! Les conjectures
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Informations importantes Dpt du cadre dvaluation par le MELS:
29 octobre valuations de juin 2011: sec. 4 et 5 auront des CD1 et
des CD2 (prototype ou appoint) sec. 1 3: CD1, CD2 et CD3 (preuves
communes) Document sur la Progression des apprentissages Banque de
SA du GRMS Informations en maths: www.recitmst.qc.ca/mat2tic
www.recitmst.qc.ca/mat2tic Formations sur lvaluation: aprs les ftes
(fvrier-mars)
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Littrature du MELS: PFEQ Adapt du document Questions et rponses
sur le contenu de formation preuves prototypes preuves dappoint
Comit dcriture des chelles de niveaux de comptences en mathmatique,
MELS, 2006, cr par Patrick Roy, collaborateur Adaptation: Document
de Karine Roy, conseillre pdagogique la C.S. Cte-du-Sud, 2009
Sources dinformations
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Quel message voulez-vous diffuser ? valuation de la
rencontre
