Mathématiques 1res STI2DSTL

re STI2DSTL

Agns Excellent-Savart

Mathieu Hibou

Ccile Redon

ric Sorosina

Jean-Franois Libaut

Frdric Xerri

L i v r e d u p r o f e s s e u r

Ralisation : PAON

www.hachette-education.com

HACHETTE LIVRE 2011, 43 quai de Grenelle, 75905 Paris Cedex 15ISBN : 978-2-01-180856-1Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays.Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L. 122-4 et L. 122-5, dune part, que les copiesou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective , et, dautrepart, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproductionintgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite . Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre franais delexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionnepar les articles 425 et suivants du Code pnal.

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En complment

S o m m a i r e

Second degr1Trigonomtrie2Fonctions de rfrence3Fonction drive4

5

18

30

49

Applications de la drivation5Suites6Statistiques et probabilits7Produit scalaire8

61

76

90

103

Nombres complexes9 113

5Chapi t re 1 : Second degr

Second degr1C H A P I T R E

Trajectoire dune fuse exprimentale

O b j e c t i f : montrer lutilit de rsoudre une quation ou une inquation du second degr travers lamodlisation dune situation concrte.

Dans les parties et , on retrouve quelques quations dont la rsolution est tudie en Seconde, eton rpond ainsi quelques questions concernant la trajectoire de la fuse. Dans la partie , on constateque la rponse dautres questions sur cette trajectoire passe par la rsolution dquations ou dinqua-tions pour lesquelles une factorisation nest pas immdiate. On introduit ainsi la question de la rsolutionde toutes les quations de degr 2.

0,005x2 + 4x = x(0,005x + 4)0,005x2 + 4x = 0 x(0,005x + 4) = 0 x = 0 ou 0,005x + 4 = 0 x = 0 ou x = 800.

Les solutions sont 0 et 800. La fuse retombe sur le sol 800 mtres de son point de dcollage.

x2 800x + 160000 = x2 2 x 400 + 4002 = (x 400)2.0,005x2 + 4x = 800 0,005x2 + 4x 800 = 0 0,005(x2 800x + 160000) = 0 x2 800x + 160000 = 0 (x 400)2 = 0 x = 400.

La fuse se trouve 400 mtres de son point de dpart quand elle est la hauteur de 800 m.

Rsoudre lquation 0,005x2 + 4x = 900.Rsoudre linquation 0,005x2 + 4x > 1000.

Une mthode de rsolution dquations de degr 2 datant du IXe sicle

O b j e c t i f : mettre en uvre un algorithme de rsolution dquations de degr 2 et vrifier sa pertinence.

Dans la partie , on tudie un algorithme de rsolution des quations du second degr dans une traduc-tion du texte dAl-Khwarizmi. On utilise cet algorithme pour trouver une solution dune quation dans lapartie , puis, en utilisant les connaissances de Seconde sur la parabole, on constate que lalgorithmepropos ne permet pas dobtenir toutes les solutions. Cest loccasion de refaire le lien, dj vu enSeconde, et qui sera repris dans le cours, entre la rsolution des quations et la reprsentation graphique.

B

A c t i v i t 1

A

C

1A

2

3

1B

2

3

1C

2

A c t i v i t 2

A

B

Ac t iv i ts

6 Chapi t re 1 : Second degr

Dans la partie , on exploite le fait que la mthode dAl-Khwarizmi soit algorithmique. Cest loccasiondinsister auprs des lves sur le fait que la pense algorithmique est trs ancienne, quelle nest pasune consquence de linvention de linformatique comme ils pourraient le croire. Ici, on programme cetalgorithme, on peut alors le tester sur un grand nombre dexemples et ouvrir le dbat sur le nombre desolutions dune quation du second degr.

32 + 10 3 = 9 + 30 = 39 donc 3 est solution de lquation x2 + 10x = 39.

Ici, le nombre des racines est 8.

= 4 ; 42 = 16 ; 16 + 20 = 36 ; 36 = 6 ; 6 = 2 soit x = 2.

22 + 8 2 = 4 + 16 = 20 donc 2 est solution de lquation x2 + 8x = 20.Daprs le cours vu en Seconde, le sommet de la parabole dquation y = ax2 + bx + c a pour abscisse

x = et si a > 0, la fonction associe est dcroissante puis croissante.

Remarque : on peut rappeler aux lves les proprits de symtrie de la parabole, et ainsi les inciter choisir la fentre graphique, centre en 4, dans laquelle le point dabscisse 2 et son symtrique par rap-port 4, c'est--dire le point dabscisse 10, sont visibles ou laisser ttonner les lves, pourquils rendent apparente la deuxime solution, puis leur faire voquer les proprits de symtrie.

Il semble que lquation f (x) = 0 ait deux solutions. La mthode dAl-Khwarizmi ne donne quunedes solutions de lquation x2 + 8x = 20 soit f (x) = 0.

Demander m et p

x

Afficher xProgramme Algobox : ch1_act2.algOn trouve x = 2.La mthode dAl-Khwarizmi ne permet pas de trouver la deuxime solution de lquation.

Remarque : on peut faire observer aux lves que cette mthode ne sapplique pas toutes les quationsdu second degr : on na ici que des quations de la forme x2 + mx p = 0, o m et p sont deux nombrespositifs. On peut alors largir le dbat : toutes les quations du second degr ont-elles deux solutions,

A

B 1

82

82

2

3

b2a

x

f+ D

36

4 D

4

5

C 1

2

3

4

+ p m2m

22

5quation

x2 + 2x = 15

Solution obtenue avec la mthode dAl-Khwarizmi

Solution(s) obtenue(s) avec un logiciel de calcul formel

3 3 et 5x2 + 3x = 10 2 2 et 5x2 + 4x = 21 3 3 et 7

C


dont une positive? Les reprsentations graphiques tudies en Seconde permettent davoir une premirerponse cette question.

Allers et retours

O b j e c t i f : faire le lien entre les rsultats algbriques sur le second degr et la reprsentation graphiquedes fonctions polynmes de degr 2.Dans la partie , on rsout un certain nombre dquations et dinquations, en interprtant graphique-ment les rsultats.Dans la partie , on construit deux familles de paraboles (chacune ayant un coefficient que lon peutmodifier) et on observe leffet sur la reprsentation, et sur les solutions dquations ou dinquations, duchangement de lun de ces coefficients.

a. f (0) = 7. La parabole passe donc par le point de coordonnes (0 ; 7).b. f (7) = 67. La parabole passe donc par le point de coordonnes (7 ; 67).

a. D = 64. D > 0 donc lquation admet deux solutions : x1 = 7 et x2 = 1.La parabole coupe laxe des abscisses en deux points, les points dabscisses 7 et 1.La parabole passe donc par les points de coordonnes (7 ; 0) et (1 ; 0).b. x2 + 6x 7 = 19 x2 + 6x + 12 = 0. D = 12 ; D < 0 donc lquation na pas de solution relle.La parabole ne coupe donc pas la droite dquation y = 19.

La parabole se trouve au-dessus de laxe des abscisses lorsque x est dans ] ; 7[ ]1 ; +[, ellese trouve en dessous de laxe des abscisses lorsque x est dans ]7 ; 1[ et elle coupe laxe des abscissesaux points dabscisses 7 et 1.

(x + 3)2 16 = x2 + 6x + 9 16 = x2 + 6x 7 = f (x).Le sommet de la parabole a donc pour coordonnes (3 ; 16).

a. b. ch1_tp1.ggb. Graphiquement, il semble que c = 9. On vrifie que le discriminant delquation x2 + 6x + 9 = 0 est nul.c. En choisissant c > 9, on a :

a. b. Lorsque a = 0, la fonction h est une fonction affine. Sa courbe reprsentative est alors une droite.

Dans le tableau de signe dune fonction affine, il y a exactement un changement de signe alors quil y ena deux ou aucun pour une fonction polynme de degr 2.c. On choisit par exemple a = 1.Dans ce cas, h(x) = x2 + 6x 7. D = 8. D > 0 donc lquation h(x) = 0 admet deux solutions :

x1 = 3 + 2 et x2 = 3 2.

T ravaux P rat iques

T P 1

A

B

A 1

2

3 x + D 7 Dx2 + 6x 7 0

10+ +

4

B 1 2

x + D Dg(x) +

3

+ D7/6 D0 +

x

h(x)

x + D3 2 D x2 + 6x 7 0

3 + 20+


d. On choisit par exemple a = 2. Dans ce cas, h(x) = 2x2 + 6x 7. D = 20. D < 0 donc h(x) est tou-jours du signe de 2 cest--dire ngatif. On peut prolonger ce travail en faisant calculer le discriminant de lquation ax2 + 6x 7 = 0 en fonc-tion de a et en faisant chercher lintervalle des valeurs de a pour lesquelles linquation ax2 + 6x 7 0a un intervalle ferm de solutions.

La catapulte

O b j e c t i f : exprimenter, puis modliser une situation concrte laide doutils logiciels. Mobiliser lesrsultats sur le second degr dans le cadre de la rsolution dun problme.

Dans la premire question, on reprsente laide de GeoGebra la trajectoire du projectile et on dplacele rempart et la tour pour observer de quelle distance on doit tirer pour atteindre lobjectif : passer audessus du rempart et atteindre la tour (cette partie peut ne pas tre traite par les lves, on peut leurprsenter le fichier GeoGebra et leur faire simplement observer la situation, afin de faciliter la compr-hension et la mise en quation du problme).Dans la deuxime question, on traduit les conditions par deux inquations que lon rsout. On a alorsbesoin de dterminer les nombres solutions des deux inquations (intersection des ensembles de solutions).

a. x2 + x = x x + 1 . Lquation x2 + x = 0 a donc deux solutions : 0 et 160.

Rsoudre linquation x2 + x 0 revient chercher les valeurs de x pour lesquelles x2 + x

nest pas du signe de cest--dire entre les racines 0 et 160.

Lintervalle solution de linquation est [0 ; 160].b. c. d. ch1_tp2.ggb. Le segment [AB] reprsente le rempart.e. Il semble que pour d compris entre 23 et 30 ou entre 110 et 137, la pierre atteint la tour.

a. x2 + x > 20.

b. (x + 10)2 + (x + 10) 30 (x2 + 20x + 100) 0 x2 + x 0.

(On peut simplifier cette inquation x2 + 7x 165 0.)

c. x2 + x > 20 x2 + 160x 3200 > 0 : D = 12800. D > 0

donc lquation x2 + 160x 3200 = 0 admet deux solutions : x1 = 80 + 402 et x2 = 80 402.x2 + 160x 3200 est positif, cest--dire du signe contraire de 1 lintrieur des racines donc entre 80 402 et 80 + 402.

x2 + x 0 x2 + 140x 3300 0 : D = 6400. D > 0

donc lquation x2 + 140x 3300 = 0 admet deux solutions : x1 = 110 et x2 = 30.x2 + 140x 3300 est ngatif, cest--dire du signe de 1, lextrieur des racines donc lorsque x estinfrieur 30 ou suprieur 110.Pour que la pierre atteigne la tour, il faut que x soit la fois dans ] 80 402 ; 80 + 402[ et dans ] ; 30] [110 ; +[, cest--dire dans ] 80 402 ; 30] [110 ; 80 + 402[.Or, 80 402 23,4 et 80 + 402 136,6 donc on retrouve bien les rsultats obtenus laide de Geo-Gebra.

T P 2

1

2

1160

11601 2

1160

1160

1160

1160

1160

1160

1160

1160

78

1658

120

1160

1160

78

1658


a) (2x + 1)(x 3) = 2x 2 5x 3b) (3x + 1)2 = 9x 2 + 6x + 1c) (2x 5) = 4x 2 20x + 25d) (5x 3)(5x + 3) = 25x 2 9e) 2(2x + 3) = 8x 2 24x 18f) 3(x 5)(x + 2) = 3x 2 9x 30

a) x 2 3x = x (x 3)b) 25 16t 2 = (5 + 4t)(5 4t)c) 9x 2 12x + 4 = (3x 2)2d) 2t 2 + 4t + 2 = 2(t + 1)2

a)

b)

c)

d)

a)

c)

Le maximum de f sur 3 est 5.b) : x = 1.

a)

Exerc ices1

2

x

+2x 5 0

D + D52

3

x

+3x 1 0

D + D13

x

+4 5x 0

D + D45

x

+ 3x 00 D + D

4x

f+ D

5 1 D

O I

J2

1 3

2

45

3

6

d

e

2

x

f+ D

3

2 D5

Le minimum de f sur 3 est 3.b) : x = 2.

c)

a) D = 9 ; x1 = 1 et x2 = 2.

b) 7x2 + 9 = 0 x2 = donc lquation na

pas de solution relle.c) 3x2 5x = 0 x(3x 5) = 0 donc lquationadmet deux solutions : x1 = 0 et x2 = .

d) x2 x + = 0 x 2

= 0

donc lquation admet une solution : x = .

a) D = 24 ; x1 = 1 + 6 et x2 = 1 6.

b) D = 13 ; x1 = et x2 = .

c) D = 10,89 ; x1 = 1 et x2 = 2,3.d) D = 36 ; x1 = 1 et x2 = 5.

a) D = 47 donc lquation na pas de solu-tion relle.

b) D = 0 ; x = ou lquation se factorise :

(2t 1)2 = 0.c) D = 10,89 ;

x1 = = et x2 = = .

d) D = 16 ; x1 = et x2 = 1.

a) D = 100 ; x1 = 3 et x2 = 7.

b) D = ; x1 = 6 et x2 = 4.

c) D = 20,99 donc lquation na pas de solutionrelle.d) D = 32 ; x1 = 3 + 22 et x2 = 3 22.

OI

J2

1 3 2

4 5

2

4

3

3

de

2

9

97

53

245121

1625

45

14

85

10

1 + 132

1 132

11

12

220121

1011

110121

2011

13

12

254


a) D = 45 ; x1 = + 5 et x2 = 5.

b) D = 37 ; x1 = et x2 = .

c) D = ; x1 = et x2 = .

d) D = 61 ; x1 = et x2 = .

a) quation quivalente x 2 =

ou D = 60 ; x1 = et x2 = .

b) D = ; x1 = et x2 = .

c) Lquation est quivalente x 2

= 0

ou D = 0 ; x = .

d) D = 11 donc lquation na pas de solutionrelle.

a) quation quivalente 3x(4x + 1) = 0ou D = 9 ; x1 = 0 et x2 = .

b) D = 81 ; x1 = 2 et x2 = .

c) quation quivalente x 2 = ou D = 140donc lquation na pas de solution relle.d) D = 17 ; x1 = et x2 = .

a) D = 3 donc lquation na pas de solutionrelle.b) D = 2 ; x1 = 22 et x2 = 32.c) D = 0 ; x = 23.d) quation quivalente x 2 =

do x1 = et x2 =

ou D = 260,1 ; x1 = et x2 = .

1. ch1_ex17.alg

2. a) D = 64 ; x1 = 1 et x2 = .

b) D = 191 donc lquation na pas de solutionrelle.

32

72

32

72

5 3723

5 + 3723

167

32

1214

1 616

1 + 616

35

14

155

155

13

12

2536

215115

1514

15

75

5 174

5 + 174

16

28,92,25

171015

171015

260,14,5

260,14,5

1753

13 c) D = 0 ; x = .

1. D = 31 + 123 ;

x1 = ;

x2 = .

2. la calculatrice, on obtient des valeurs appro-ches des rsultats de la question 1.. 3. a) Oui.b) (33 + 2)2 = 27 + 123 + 4 = 31 + 123donc 31 + 123 = 33 + 2.

c) x1 = = 3 + 1 ;

x2 = = 23 1.

a) Pour x 1 et x 2, =

x 2 + 6x 9 = 0 ; D = 0 ; x = 3.b) On rsout x 2 2x + 1 = 0 (x 1)2 = 0 x = 1.

Pour x 1, = 3

x 2 + 9x 8 = 0. Cette dernire quation a deux solutions dans 3 :1 et 8. La solution de lquation propose est 8.

a) (x + 3)(4x2 3x 10)= 4x3 3x2 10x + 12x2 9x 30 = P(x).

b) P(x) = 0 x + 3 ou 4x2 3x 10 = 0 ;D = 169 ; x1 = 2 ; x2 = .

Les solutions sont 3 ; 2 et .

a) x4 6x2 + 8 = 0 (x2)2 6x2 + 8 = 0 X 2 6X + 8 = 0.b) D = 4 ; X 1 = 4 ; X 2 = 2.c) x1 = 2 ; x2 = 2 ; x3 = 2 ; x4 = 2.

a) X 2 + 4X 5 = 0 ; D = 36 ; X 1 = 1 ; X 2 = 5 ; x1 = 1 ; x2 = 1 .b) X 2 + X + 1 = 0 ; D = 3 ; donc lquation napas de solution relle.c) 4X 2 12X + 9 = 0 ; D = 0 ; X = x1 = ; x2 = .

3 + 31 + 1232

18

3 31 + 1232

3 + 33 + 22

3 33 22

2x + 3x 2

x + 3x 1

20

2x2 + 3x 5x2 2x + 1

22

54

54

23

24

32

32

32

32


a) ; pas de solution.

b) ; la deuxime quation a une

unique solution : x = ; on en dduit : y = .

a) 7(x 1)(x + 5).b) 2 x +

2.

c) 4 x x + = (2x 1)(2x + 5).

d) 8 t t + = 2(2t 3)(2t + 3).

a) 7(x + 3)2b) 6 t t + = (2t 3)(3t + 1).

c) Pas de factorisation en produit de facteurs dupremier degr.d) 3x(1 7x)

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

y = 2 2x3

x 12 2x3 2 = 16

512

13

28

2121

25212121

23212321

29

21312321

31x

+ 09x2 6x + 1 0

1 3

2 1 + 23

O +O

x

0+3x2 + 15x 42 +07 2O +O

x

0+3(x + 7)(2 x) +07 2O +O

x

+ 012 x2 + x 03 4O +O

32t

+ 04t 2 + 5t + 1 0

5 8

41 5 +8

41O +O

x

+3x2 + 2x + 7O +O

x = y 2y(y 2) = 3526

x

0 +2,25x2 9,3x + 9,61 +

3115

O +O

$

+ 0 0

3 2

$ 2 + $ +13

112

10 3 +2

10O +O

a) Pas de solution.

b) ; 1 .

c) ; ; + .

d) ; 2 .

a) ; .

b) {2}. c) ; [1; +[.d) Pas de solution.

1. ch1_ex36.alg2. a) 3x2 3x 6 > 0 sur ] ; 1[ ]2 ; +[,3x2 3x 6 = 0 en 1 et 2, 3x2 3x 6 < 0 sur[1 ; 2].b) Ensemble des solutions : 3.c) est strictement au-dessus de laxe des abs-cisses sur ]3; 1[ ; coupe laxe des abscissespour x = 3 et x = 1 ; est strictement en dessousde laxe des abscisses sur ] ; 3[ ]1 ; +[.

a)

b)

a)

b)

4

423334

3 + 35243

3 352

4133

3

37 + 6927 69

2435

4154

36

38

x

0

O + O

2x 3 + +

1032

1

+x2 + 9x + 10 +0 0 0+ + A(x)

t

O +O

8t 2 6t + 1

14

+ 0 +

+ 0 B(t)

0

03t 2 + t 2

12

39

x

0

O + O

2x2 3x + 5 +

152

3

++(x + 3)2 +00

0+

0 + A(x)

x

+

O +O

4x 9+

94

0 +

+B(x) 0x2 + 1


a) A(x) =

b) B(x) =

a) On fait un tableaude signes et on y lit lensemble des solutions : ; [2 ; +[.

b) Linquation est quivalente > 0.

On fait un tableau de signes et on y lit lensemble des solutions : ] ; 2[ ]3 ; +[.

a) On dveloppe et rduit (2 x)(2x2 + 6x + 4).b) On fait un tableau de signes et on y lit lensemble des solutions : ] ; 2[ ]1; 2[.

a) On dveloppe et rduit (x + 7)(2x2 + 4x 8).b) On fait un tableau de signes et on y lit lensemble des solutions : ]7 ; +[.

f3 ; f2 ; f4 ; f1 .f3 ; f2 ; f1 ; f4 .a) On dveloppe et rduit (x + 3)2 + 1.

b) Forme canonique : le sommet a pour coordonnes (3 ; 1).

x2 + 4x + 3(x + 2)240

x

0+ O + O

x2 + 4x + 3 +13 2

++(x + 2)2 +0 + 0

0

0+ +A(x)

2x2 + 4x + 1(x 1)2 1x

+ 02x2 + 4x + 1 0

2 2

6 2 + 62

O +O

+++(x 1)2 +0 ++ 00 + B(x)

413442

3x2 15x + 18x2 6x + 12

43

44

a) 2 0 2 1

b)

c)

> 0 < 0 > 0 = 0

x + D D

f (x) + 0 0 +

12

32

x + D D 1 3

f (x) 0 + 0 x + D D

f (x) x + D D

f (x) + 0 +

32

32

12

d) a > 0 a < 0 a < 0 a > 0

e) 1 2

f) c < 0 c < 0 c < 0 c > 0

46

a)a b c d1 0 2 2

b)

c)

= 0 < 0 > 0 > 0

x + D D

f (x) 0 2

12

12

d) a < 0 a > 0 a > 0 a < 0

e) 2 3

f) c < 0 c > 0 c < 0 c < 0

x + D D

f (x) +x + D D

f (x) + 0 0 +

32

12

x + D D 1 5

f (x) 0 + 0

47

dcba48

dcba49

51


Forme dveloppe : le point dintersection de avec laxe des ordonnes a pour coordonnes (0 ; 10).Forme canonique : est strictement au-dessus delaxe des abscisses.

a) On rsout lquation x2 + 2x 63 = 0 :deux solutions 7 et 9 ; deux points dintersec-tion : A(7 ; 0) et B(9 ; 0).b) S (1 ; 64).c) X

min = 10 ; Xmax = 10 ; Ymin = 65 ; Ymax = 5.d)

e) 6 et 8.

a) On rsout lquation x2 + 7x 30 = 0 :pas de solution. Il ny a pas de point dintersec-tion avec laxe des abscisses.

b) S ; .

c) Xmin = 0 ; Xmax = 7 ; Ymin = 40 ; Ymax = 15.

d)

e) 2 et 5.

1. xS = ;

f = a 2

+ b + c

= + c = ;

S ; .

2. a) ch1_ex54.algb) S (1 ; 3).

52

53

2714721

12b2a12b

2a1

b2a

54

b2a 2

b22a

b24a

1

D4a

2D4ab

2a

1. Ensemble des solutions : {1 ; 5}.2. a) b)

3. On affiche la reprsentation graphique de lafonction x 2x2 8x 10 et on cherche les abs-cisses des points dintersection de cette paraboleavec laxe des abscisses.

Ensemble des solutions : , .

On affiche la reprsentation graphique de la fonc-tion x x2 x et on cherche les abscisses

des points dintersection de cette parabole aveclaxe des abscisses.

1. On rsout 5x2 + x 0.

Ensemble des solutions : ] ; 1] ; +

2. a) b)

61213556

55

16

16

52

52

57

3123


3. On affiche la reprsentation graphique de lafonction x 5x2 + x et on cherche les abs-

cisses des points de cette parabole situs au-des-sus ou sur laxe des abscisses.

On rsout 2x2 + 12x 10 < 0. Ensemble des solutions : ] ; 1[ ]5 ; +[.

a) c = 6.b) Les solutions sont : 2 et 3.c) On crit f (x) = a(x 2)(x 3), on dveloppe eton utilise la valeur de c. On obtient f (x) = (x 2)(x 3).

a) c = 1.b) Les solutions sont : 2 et 1.c) On crit f (x) = a(x + 2)(x 1), on dveloppe eton utilise la valeur de c. On obtient f (x) = (x + 2)(x 1).

a) A = x.

b) La condition pose quivaut x2 + 8x 48 = 0,avec x [0 ; 8]. Cette quation a deux solutionsdans 3, 4 et 12, une seule solution dans [0 ; 8].Donc x = 4.

a) On a : AH = x. Le triangle ADH est rec-tangle et a un angle de 45, donc il est isocle,do DH = x.

58

59

60

12

P rob lmes

52

52

8 + x2

64

65

b) On a AB = CH = 7 x,

do ABCD = AH = x

= x 2 + 7x.

c) La condition pose quivaut x 2 + 7x 10 0, avec x [0 ; 7].

Lquation x 2 + 7x 10 = 0

a deux solutions dans 3, x1 = 7 29 etx2 = 7 +29 , lensemble des solutions de lin-quation est ] ; 7 29 ] [7 +29 ; +[. Ilfaut donc choisir x dans lintervalle [0 ; 7 29 ].

1. On a : f (x) = 250x2 + 2750x + 20000.Labscisse du sommet de la parabole reprsenta-tive de f est : = 5,5. Le coefficientde x2 est ngatif, donc f est strictement croissantesur ] ; 5,5] et strictement dcroissante sur[5,5 ; +[, donc admet un maximum atteint pourx = 5,5. Ce maximum est f (5,5) = 27562,5.2. a) Pour x baisses de 2,5, le prix de la place est :40 2,5 x, le nombre de spectateurs est500 + 100 x, donc le montant de la recette est(40 2,5x)(500 + 100x) = f (x).b) En utilisant les rsultats de la question 1., larecette est maximale pour x = 5,5, soit un prix desplaces de 26,25 . La recette est alors la valeurmaximum de f, soit 27562,5 .Comme on ne considre que des baisses multiplesde 2,5 , la recette est maximale pour x = 5 ou 6(cela donne la mme recette), cette recette maxi-male est alors 27500 . Lorganisateur peut doncfixer le prix de la place 27,5 ou 25 .

a) On cherche v 0 tel que v2 + v 32.

Lquation v2 + v 32 = 0 a deux solutions

et .

On en dduit que v2 + v 32 0

avec v 0, pour v 0 ;

La vitesse maximale pour que larrt se fasse enmoins de 32 m est :

12

14 x2

DC + AB2

12

12

66

27502 (250)

111

67

111

11 + 15292

11 15292

111

3 411 + 15292


v1 = 14,05 ms1, soit 51 kmh1.

b) Si le temps de raction du conducteur est 2 s,on rsout linquation v2 + 2v 32.

Les deux solutions de lquation v2 + 2v 32 = 0 sont :

11 1892 et 11 + 1892.

Avec le mme raisonnement que prcdemmenton obtient que larrt se fait sur moins de 32 mavec un temps de raction de 2 s, si la vitesse nedpasse pas 10,75 ms1, soit 39 kmh1.

1. a) Soit I le projet orthogonal de G sur(AB) : le triangle GBI est un triangle rectangleavec un angle de 45, donc cest un triangle rec-tangle isocle. On a donc BI = GI = AF = 1,8 eton en dduit que FG = AB + BI = 2,9. On en dduit laire de ABGF : = AF = 3,6.

b) = AD AF = 7,2.

2. a) En suivant le mme raisonnement quau 1. a)on obtient IJ = h + 1,1.T = AD AJ = 2,2h + h

2.

b) On cherche h [0 ; 1,8] tel que : h 2 + 2,2h 6 0.

Les valeurs exactes des solutions de lquationsont h 1 = 1,1 7,21 et h 2 = 1,1 + 7,21. Ilfaut donc remplir la benne une hauteur maxi-mum de h 2, soit moins de 1,59 m.

1. a) La moiti de laire de ABCD est 84.b) ch1_pb69.ggbc) Il semble que la solution est obtenue pourDE 3.2. a) AEFG = AE AG = (7 x)(24 x).b) On cherche x [0 ; 7] tel que :

(7 x)(24 x) = 84. Cette quation est quivalente x 2 31x + 84 = 0.Cette quation a deux solutions dans 3, 3 et 28. Ilfaut donc prendre x = 3.

1. a) et b) ch1_pb70.ggbc) Le point S semble dcrire une partie de para-bole. Lordonne de S est laire de MNPQ, ellesemble prendre pour valeur minimum 17, cettevaleur tant atteinte pour x = 3.

11 + 15292

111

111

12

12

68

AB + GF2

AB + GF2

AB + IJ2

69

70

d) Conjecture : laire de MNPQ est suprieure 25 cm2 lorsque x est compris entre 0 et 1 oulorsque x est gal 5. 2. a) Laire de ABCD est 35 ; on peut calculer lairede MNPQ en lui soustrayant les aires des quatretriangles rectangles MAQ, PDQ, PCN et BNM. On a : MNPQ = 35 2 2

= 2x2 12x + 35. b) La fonction polynme de degr 2 dfinie parf (x) = 2x2 12x + 35 admet un minimum enx = = 3, ce minimum est f (3) = 17. On retrouve bien le rsultat obtenu au 1. c). On rsout 2x2 12x + 35 25. Cette inquationa pour ensemble de solutions dans 3 : ] ; 1] [5 ; +[. Les solutions dans [0 ; 5]sont les nombres compris entre 0 et 1 et le nombre5. On retrouve bien le rsultat obtenu la ques-tion 1. d).

pour illustration ch1_pb71.ggbLaire totale est 7200 cm2. Laire de la partie vitre est = 60 120 2 120x 2x (60 2x) = 4x2 360x + 7200.On cherche x [0 ; 30] et vrifiant :

4x2 360x + 7200 0,8 7200. Cette inquation est quivalente :

4x2 360x + 1440 0, qui a pour ensemble de solutions dans 3 :

] ; 45 3185] [45 + 3185 ; +[.Il faut donc prendre x entre 0 et 45 3185, soitplus petit que environ 4,2.

a) Si on appelle x la longueur de ce ct, lhy-potnuse mesure alors x + 3 et lautre ct x 3.On cherche donc la ou les solutions strictementpositives de lquation (x + 3)2 = x 2 + (x 3)2.Cette quation quivaut x 2 12x = 0, quation quia deux solutions : 0 et 12. On prend donc x = 12. Letriangle a pour hypotnuse 15 et pour cts 12 et 9.b) Si on appelle x la longueur dun ct, lautrect a pour longueur 24 10 x = 14 x.On cherche donc les solutions comprises entre 0et 10 de lquation 100 = x 2 + (14 x)2.Cette quation est quivalente x 2 14x + 48 = 0,quation qui a deux solutions dans 3, 6 et 8. Si on prend x = 6, alors 14 x = 8, si on prendx = 8 alors 14 x = 6.Le triangle a donc pour hypotnuse 10, un ct delongueur 6 et lautre de longueur 8.

x(7 x)2

x(5 x)2

122 2

71

72


c) Si on appelle a et b les longueurs des deuxcts adjacents langle droit, on a le systme

systme quivalent

On rsout la premire quation du systme enposant A = a2. On obtient A = 81 ou A = 144.Le nombre a tant strictement positif, on a deuxsolutions pour a (9 ou 12) et pour chacune lavaleur correspondante pour b (12 ou 9). Les deuxcts adjacents langle droit de ce trianglemesurent 9 cm et 12 cm.

1. a) ch1_pb73.ggbb) Il semble quil y a deux positions de M quirpondent la question.2. a) x [0 ; 6] car M [DC].b) Le triangle ADM est rectangle en D, donc on aAM 2 = AD2 + DM 2 = 4 + x 2. Le triangle BCM estrectangle en C donc on a : BM 2 = BC 2 + CM 2 = 4 + (6 x)2 = x 2 12x + 40.c) Le triangle AMB est rectangle en M si et seule-ment si AB 2 = AM 2 + MB 2, ce qui quivaut 36 = x 2 + 4 + x 2 12x + 40, soit 2x 2 12x + 8 = 0.d) Lquation ci-dessus a deux solutions dans 3 :3 5 et 3 + 5 et ces deux solutions appartien-nent [0 ; 6].e) On en dduit quil y a bien deux positions de Mqui rpondent la question, dfinies par :

DM = 3 5 ou DM = 3 + 5 .

1. La fonction du second degr dfinie par

f (x) = x2 + x a un maximum atteint pour

x = = 20, ce maximum est f (20) = 10.

Le ballon atteint donc une hauteur de 10 m 20 mde son point de dpart.

2. On a f (25) = = 9,375. Mme si il saute, legardien ne pourra pas atteindre le ballon lorsquilpassera au dessus de lui.3. a) Lquation propose a deux solutions 0 et 40.Le ballon touche le sol 40 mtres de lendroit dutir.

a4 225a2 +11 664 = 0

b = 108a

.5

a2 + b2 = 152

12

ab = 54,5

73

140

74

12 1

40

758

b) Au vu du rsultat prcdent, le joueur marquele but.4. Le ballon peut tre intercept par un joueursitu une distance x du tireur si :

x2 + x 2,5.

Cette inquation a pour solutions dans 3 : ] ; 20 103] [20 + 103 ; +[. Le ballonpeut donc tre intercept par un joueur situ moins de 2,68 m du tireur ou entre 37,32 m dutireur et le but (distances arrondies 0,01 m).

1. a) h (1) = 16,6 et h (3) = 16,6. Aprs1 seconde, la fuse atteint 16,6 m, et elle repasse cette altitude aprs 3 secondes.b) h (0) = 1,6 donc la fuse est lance dune hau-teur de 1,6 mtres.c) On rsout lquation 5t 2 + 20t + 1,6 = 0.Cette quation a deux solutions dans 3 :2 1,23 et 2 + 1,23, dont une seule est posi-tive. La fuse atteint le sol aprs t 0 4,1 s.2. a) Le sommet de a pour coordonnes(2 ; 21,6). La micro-fuse atteint 21,6 m commehauteur maximale 2 secondes aprs son lance-ment.b)

c)

Graphiquement, on obtient pour (E1) : deux solu-tions environ gales 0 et 4 ; pour (E2), deuxsolutions environ gales 0,6 et 3,4 ; pour (E3),toutes les valeurs de t comprises entre 0,9 et 3,1.3. a) On rsout 5t 2 + 20t + 1,6 = 1,6 5t(t 4) : deux solutions 0 et 4. La micro fuse est la hauteur de 1,6 m linstant0 et aprs 4 secondes de vol.

140

75

t

h

t021,6

20

1,6 0

O I

A

BC

DE

J2 3 4

5

10

15

20d


b) On rsout 5t 2 + 20t + 1,6 = 12 5t 2 + 20t 10,4 = 0 : deux solutions 2 1,92 et 2 + 1,92. La micro fuse atteint lahauteur de 12 m aprs 0,6 s et 3,4 s de vol.4. On rsout linquation 5t 2 + 20t + 1,6 16,soit 5t 2 + 20t 14,4 0. Cette inquation apour ensemble de solution :

[2 1,12 ; 2 + 1,12]. La micro-fuse dpasse la hauteur de 16 m entreles instants 0,9 et 3,1.

a) p = 5t 21. b) p = 340 t2. c) t2 = 4,5 t1.d) Le nombre t1 est donc solution de lquation :5t 2 = 340(4,5 t) 5t 2 + 340 t 1530 = 0 t 2 + 68t 306 = 0.e) Cette quation a deux solutions dans 3 :

34 1462 et 34 + 1462, la deuxime seulement tant positive. On a donc t1 = 34 + 1462, et on en dduit :p = 5(34 + 1462)2. La profondeur du canyonest de 90 mtres, valeur arrondie au mtre prs.

2. La fonction t 1,82t 2 + 2,78t + 1 admetun minimum pour une valeur de t ngative. Lafonction D est donc croissante sur 3+.3. a) laide de la table de valeurs, on constateque tL est compris entre les instants 4 et 5.b)

c) laide de la fonction trace , on peut va-luer tL 4,4 (on peut confirmer cette valeur laide dun tableau de valeurs avec un pas de 0,1).d) On rsout lquation 1,82t 2 + 2,78t 48 = 0.Lquation a deux solutions dans 3, dont une

seule positive. tL = 4,428.

1. En utilisant le triangle OIJ rectangle en I,on a : R 2 = (R h)2 + 10, soit en dveloppanth2 2Rh + 100 = 0.2. Le discriminant de cette quation est D = 4R 2 400. Lquation a au moins une solu-tion relle si et seulement 4R 2 400 0. Cette ingalit est vrifie si et seulement si R ] ; 10] [10 ; +[. Avec la condition

76

77

2,78 + 35 7,16843,64

78

R 0, on a une solution au moins si et seulementsi R 10. Si R < 10, le diamtre de la bille eststrictement infrieur 20 cm, donc lempreinte nepeut pas avoir un diamtre de 20 cm.3. a) Si R 10, lquation a deux solutions(ventuellement confondues) : h = R + R 2 100ou h = R R 2 100. La bille senfonce duneprofondeur infrieure son rayon, donc on negarde que la deuxime solution :

h = R R 2 100.b) Pour une bille de rayon 13 cm, lempreinte aune profondeur de h = 13 69 4,7 cm.

1. = , do la relation propose.

2. On a le systme :

On en dduit que R1 est solution de lquation :R 2 90R 1800 = 0. Cette quation a deux solu-tions 30 et 60. Si R1 = 60, alors R 2 = 30, siR1 = 30, alors R 2 = 60.

1. a) On a i = = E .

b) Do P = E E

=

c) Si R = R alors P = Pmax

= = .

2. On veut : P Pmax

, soit ,

ou encore 8RR (R + R)2. On obtient linquation propose.b) Le discriminant de R2 6RR + R2 = 0 est :

D = ( 6R)2 4 R2 = 32R2.c) Le discriminant est strictement positif quel quesoit R , donc lquation a deux solutions :

R1 = = R(3 22)

ou R2 = = R(3 + 22).d) Linquation R2 6RR + R2 0 a pourensemble de solutions lintervalle [R1 ; R2]. Il fautdonc choisir R entre R(3 22) et R(3 + 22).e) On peut prendre R entre 13 et 437 ohms.

R1 + R2R1R2

1R

e

79

5

90 = R1 + R220 = R1

R1

R2+ R2

5R2 = 90 R190 20 = R1(90 R1).

1R + R

v

R80

E 2R(R + R)2

1R + R

RR + R

E 2

4RE 2R

(2R)2E 2

8RE 2R

(R + R)212

6R R322

6R + R322

18 Chapi t re 2 : Tr igonomt r ie

Trigonomtrie2C H A P I T R E

Enroulement sur le cercle trigonomtrique

Le but de cette activit est de ractiver lenroulement de la droite des rels sur le cercle trigonomtrique,vu en classe de Seconde, puis de faire dcouvrir aux lves de nouvelles notions trigonomtriques etquelques proprits affrentes : le radian (notion non exigible en Seconde), la mesure dun angle de vec-teurs et la mesure principale.

Longueur darc

A c t i v i t 1

A

Ac t iv i ts

$

Position de M

Longueur de larc IM

0 180

0 3

135 90 60

32

33

334

I

J

O I

J

O I

J

O I

J

O I

J

O

MM M

M M

A

Enroulement sur le cercle trigonomtriquech2_act1.ggb

a. IA = yA donc l I M = IA = yA.

b. l I M = = yA donc a = .

c. ch2_act1.ggbd. Le point M se dplace sur le cercle .

De mme, le point M se dplace sur le cercle .a. Si yA = 2p alors M = I : ce rsultat est pr-

visible car le cercle a un primtre de 2p.b. Les rponses sont identiques celles de laquestion a.

B

1

2

180yAp

a p180

3

4

4

a. Une infinit de positions de A semblent per-mettre dobtenir M = N. Chaque fois que M faitun tour complet du cercle, dans un sens ou danslautre, on ajoute ou on soustrait lordonne deA un nombre entier de fois le primtre du cercle,cest--dire k2p, avec k1. On a donc toutes lespositions de A qui correspondent yA + 2kp aveck1.b. En prenant yA = 2, on a : a1 = 2 ; a2 = 8,28 ;a3 = 14,57 et a4 = 4,28.

c. On vrifie alors que 1 ;

2 et 1.

a1 a22p

5

a1 a42p

a1 a32p

19Chapi t re 2 : Tr igonomt r ie

Symtrie par-ci, symtrie par-l

Le but de cette activit est de dcouvrir les proprits des sinus et cosinus des angles associs. Elle per-met aussi de poursuivre lassimilation du cosinus et sinus comme coordonnes dun point du cercle tri-gonomtrique et de montrer aux lves que ces formules se retrouvent facilement laide du cercle tri-gonomtrique.

a. ch2_act2.ggb b. A(cosa ; sina). a. B(cos(a ) ; sin(a )).

b. On conjecture que cos(a ) = cos(a ) et sin(a ) = sin(a ).c. Les points A et B sont symtriques par rapport laxe des abscisses donc leurs abscisses sont gales etleurs ordonnes sont opposes, do le rsultat.

a. D (cos(a + p) ; sin(a + p)).b. On conjecture que cos(a + p) = cos(a ) et sin(a + p) = sin(a ).c. Les points A et D sont symtriques par rapport lorigine du repre donc leurs abscisses sont opposeset leurs ordonnes sont aussi opposes, do le rsultat.

a. E(cos(p a ) ; sin(p a )).b. On conjecture que cos(p a ) = cos(a ) et sin(p a ) = sin(a ).c. Les points A et E sont symtriques par rapport laxe des ordonnes donc leurs abscisses sont opposeset leurs ordonnes sont gales, do le rsultat.On peut prolonger cette activit par un travail similaire avec a et + a , ou la reprendre aumoment o on tablit ces rsultats dans le cours.

quations trigonomtriques, pisode 1

Par une dmarche trs guide, on amne les lves sappuyer sur une lecture du cercle trigonomtriquepour rsoudre les quations de la forme cosx = a et sinx = a sur un intervalle de longueur 2p.

a. .

A c t i v i t 2

1

2

3

3

p2

p2


T P 1

p4

1

Ce rsultat tait prvisible car a2, a3 et a4 diffrentde a1 2kp prs, avec k1.

Mesure en radiansNon : un angle de vecteurs a une infinit de

mesures. La diffrence entre deux de ces mesuresest de la forme 2kp, avec k1.

On peut prendre pour mesures approches delangle ( OI ; OP) : 1,05 ; 7,33 et 5,23. laide du tableau de la partie , on peut

C

1

2

A

prendre pour mesures exactes en radians de cet

angle : , et .

a. .

b. ch2_act1.ggbUne mesure approche de langle ( OI ; OQ) estalors 0,72 radian. On peut vrifier par le calculque 7 = 0,72 2p ( 102 prs).

5p3

7p3

p3

p3

3


b.

c. ( OI , OM) = et ( OI , OM) = .

d. et .

a. ( OI , OM) = et ( OI , OM) = .

b. et .

a. .

b.

c. ( OI , OM) = et ( OI , OM) = .

De plus, cos( OI , OM) = cos =

et cos( OI , OM) = cos = .

d. et .

En procdant de mme quen , on obtient

et pour solutions de lquation cosx =

dans [0 ; 2p[.a. .

OI

JM

M

0,5

0,5 0,50,5

p4

p4

p4

p4

7p4

p4

2

7p4

p4p3

3

OI

JMM

M

0,5

0,5 0,50,5

2p3

2p3

12

2p3

122

2p31

2p3

2p3

5p6

34

32

7p6

p6

5

b.

c. ( OI , OM) = et ( OI , OM) = .

De plus, sin( OI , OM) = sin =

et sin( OI , OM) = sin = .

d. et .

et .

a. Il suffit de placer sur le cercle trigonom-trique le point M de coordonnes (0 ; 1) et de lirela ou les mesures de langle ( OI , OM) situedans lintervalle [0 ; 2p[ do = .

b. La construction du cosinus partir du cercletrigonomtrique assure que pour tout rel x,1 cosx 1 do = .

Garder le cap

Dans la partie , on tablit, partir dexempleset de reprsentations graphiques, le lien entrecoordonnes cartsiennes et coordonnes polaires.Dans la partie , on exploite ces relations dansle cas dune situation concrte.

Norme, angle et coordonnnesa. On a OM = 4 donc OK = 1 do lapparte-

nance de K au cercle trigonomtrique. On endduit que K a pour coordonnes :

cos120 = ; sin120 =

donc OK ; et OM (2 ; 23).

OI

J

M

MM

0,5

0,5 0,5

0,5

5p6

p6

322

p61322

5p61

5p6

p6

7p6

11p6

6

7

63p25

T P 2

A

B

A

232121

232121

1


b. En reprenant les mmes notations, K a pourcoordonnes (cos(50) ; sin(50)) donc OK (cos(50) ; sin(50)) et OM (4cos(50) ; 4sin(50)). Do une valeur approche 102 prs des coor-donnes de OM : 4cos(50) 2,57 et 4sin(50) 3,06.

a. OM = 5.b. Daprs le bilan, on a :

soit

c. On a : arccos 53,13

et arcsin 53,13.

On nobtient pas la mme valeur car, commecosq > 0 et sinq < 0, q ]90 ; 0[. Or, la touchearccos renvoie une mesure entre 0 et 180.d. q ]90 ; 0[ et donc q 53,13.

OM = 5.

Daprs le bilan, on a :

Comme cosq < 0 et sinq > 0, q ]90 ; 180[,do q 153,43.

OM = 2.

Daprs le bilan, on a :

Comme cosq < 0 et sinq < 0,q ]180 ; 90[, do q = 135.

3

4

2

O I

Ja = 120

M

K

2 3 434 2

23

4

23

4

5 5cosq = 35sinq = 4

5 cosq = 35

sinq = 45

.

1 2351 45 2

5 cosq = 25

sinq = 15

.

5 cosq = 12

= 22

sinq = 12

= 22

.

Dplacement dun navirea.

b. Graphiquement, on a : V

a 4,5 et ( OI , V

a ) 26.

c. Va (4 ; 2)

donc Va= 42 + (2)2 = 25 4,47.

De plus,

Comme cosq > 0 et sinq < 0, q ]90 ; 0[ etq 26,57.d. Pour compenser leffet du courant et faire routeau 90 avec une vitesse par rapport au fond de4 ms1, le capitaine doit mettre le cap au 116,57avec une vitesse davance denviron 4,47 ms1.

a. et b.

Le point M est le point du cercle de centre O et derayon 4, ayant la mme ordonne que K et situ gauche de la figure, vu la route prise par lebateau ; on a alors KM = Vf.c. Graphiquement, une mesure de ( OI , V

a ) est

150 et Vf 4,5.d. K a pour coordonnes (1 ; 2) donc lordonnede M, tant celle de K, est bien 2.

Daprs le bilan, sin(a ) = = = . Or cos(a ) < 0 donc a = 150.

2

B

1

O I

J

b = 26,5721 3 4

2

1

2

Ve

Vf

Va

5 cosq = 4

25=

25

sinq = 25

.

OI

J

a = 150

M K

2 3 434 2

23

4

2

3

4

Ve

Vf

Va

2OM

24

12


On en dduit que le navire a une vitesse davancede 4 ms1et met le cap au 240.e. On a cos(a ) = cos(150) =

donc xM = OM cos(a ) = 23.Do KM = xK xM = 1 + 23 4,46. On enconclut que le navire fait route au 270 unevitesse par rapport au fond denviron 4,46 ms1.

I est repr par p ; 3p ; p.

A est repr par ; ; .

B est repr par ; ; .


B est repr par ; ; .

Langle au sommet du dcagone rgulier est

= donc :


C est repr par ; ; .

F est repr par ; ; .

K est repr par ; ; .

A1 est repr par : ; ; ;

B1 est repr par : ; ; ;

32

Exerc ices2

3

5

7

2p3

4p3

4p3

10p3

7p6

7p5

2p10

p5

p5

p5

9p5

9p5

4p5

3p5

19p5

11p513p

516p

56p5

11p6

19p6

5p6

8p3

2p3p6

23p6

O I

J DC

BEA

0,5

0,5 0,5

0,5

p6

13p6

11p6

13p4

5p4

3p4


B2 est repr par : ; ; ;


B3 est repr par : ; ; .

a) a = + 2kp, k1

et b = + 2kp, k1.

b) Une mesure de ( OA, OB) est + = .

a) a = + 2kp, k1

et b = + 2kp, k1.

12

11

5p6

7p6

19p6

p4

9p4

7p4

p6

11p6

23p6

3p4

11p4

5p4

O I

J

B

B3

B1

B2

A A1

A2A3

0,5

0,5 0,5

0,5

9

O I

J M

N

P

0,5

0,5 0,5

0,5

10

OI

J

M

N

P

0,5

0,5 0,5

0,5

4p3

p4

2p3

p4

11p12

3p4

2p3


b) Une mesure de ( OA, OB) est + = .

a) a = + 2kp, k1 ;

b = + 2kp, k1 ; c = + 2kp, k1 ;

et d = + 2kp, k1.

b) ( OI, OA) : , et ;

( OI, OB) : , et ;

( OA, OD) : , et ;

et ( OC, OD) : , et .

a) b) c) d) p e)

a) b) c) d) e)

a) b) c) p

d) e) 0 f)

a) 150 = rad b) 65 = rad

c) 75 = rad.

a) rad = 112,5 b) rad = 225

c) rad = 170,5.

a) b) c) p

a) b) c) p

a) b) c)

= 2p ; = 2p ;

5p = 7p + 12p ; 0 = 2p ;

21

19

22

17

16

15

13

7p12

p3

p4

5p6

3p4

3p2

p3

5p6

7p6

17p6

17p6

7p6

3p4

5p4

13p4

p6

13p6

11p6

5p6

p3

2p3

p6

p3

p4

p2

7p12

5p6

p2

p3

2p3

2p3

5p6

13p36

5p12

5p8

5p4

18p19

324019

Mesure en degrs

Mesure en radians

135 120

0233233

734

334

315 120 0

24

25

26

27

p4

p6

p3p2

3p45p6

3p4

2p3

4p3

7p6

5p6

5p6

6p3

= 2p ; = + 4p = + 2p.

1. ch2_ex28_1.alg

a) k = 0, k = 2 et k = 3.b) Lalgorithme renvoie le nombre de tours decercle trigonomtrique ncessaires pour obtenir lamesure principale dun rel x.

c) ; et .

2. ch2_ex28_2.alga)

b) ; et .

On retrouve bien les rsultats de 1. c).

a) 0 b) p c) 0 d) pe) 0 si x > 0 et p si x < 0.

p2

6p4

28

8p3

4p3

2p3

2p5

2p3

17p19

17p19

2p3

2p5

29


ch2_ex30.ggb1. On conjecture que lensemble est le cercle dediamtre [AB] priv des points A et B.2. a) Le triangle AMB est rectangle en M et lespoints M appartiennent au cercle de diamtre [AB].b) Le triangle AMB est rectangle en Met ( MA, MB) a pour mesures possibles :

+ 2kp ou + 2kp, k1.

c) Lensemble est le cercle de diamtre [AB]priv des points A et B.

cos0 = 1 ; sin0 = 0 ; cos(5p) = 1 ; sin(5p) = 0 ; cos = ; sin = .

cos(7p) = 1 ; sin(7p) = 0 ; cos = 0 ; sin = 1 ;

cos = ; sin = .

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = .

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = .

cos = ; sin = .

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = .

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = ;

cos = ; sin = .

p2

p2

32

30

222

p41

222

p41

33

29p2129p21

222

5p41

222

5p41

122

7p61

322

7p6134

222

7p41

222

7p41

322

13p31

122

13p31

322

4p31

122

4p3135

122

11p61

322

11p61

222

5p41

222

5p41

322

16p31

122

16p3136

322

19p31

122

19p31

222

35p41

222

35p41

222

7p41

222

7p4137

322

2p31

122

2p31

122

37p61

322

37p61

cosa = cos = ;

sina = sin = ;

cosb = cos = ; sinb = sin = .

cosa = cos = ;

sina = sin = ;

cosb = cos = ; sinb = sin = ;

cosc = cos = ;

sinc = sin = ;

cosd = cos = 0 ; sind = sin = 1.

a) x = + 2kp, k1 ;

b) x = p + 2kp, k1 ;

c) x = + 2kp, k1 ;

d) x = + 2kp, k1.

a) x = + 2kp, k1 ;

b) x = + 2kp, k1 ;

c) x = + 2kp, k1 ;

d) x = + 2kp, k1.

sinx = 22.

cosx = 10.

En dveloppant chacune des deux identitsremarquables, on a : (sinx + cosx)2 + (sinx cosx)2 = 2(sin2x + cos2x)

= 2

a) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.b) Pour tout rel x, on a : (cosx + sinx + 1)2= cos2x + sin2x + 12 + 2cosx sinx + 2sinx + 2cosx.= 2(1 + cosx + sinx + cosx sinx).

122

4p3139322

4p31

222

p41

222

p41

222

3p4140222

3p41

322

p31

122

p31

322

7p61

122

7p61

2p212p21p6

42

3p4

2p3p2

43

p42p35p6

15

46

27

47

48

49


Pour tout rel x, on a : cos4x sin4x = (cos2x + sin2x)(cos2x sin2x) = cos2x sin2x.

a) cos( x) = 0,2 ; sin( x) = 0,46.b) cos(p x) = 0,2 ; sin(p x) = 0,46.c) cos(p + x) = 0,2 ; sin(p + x) = 0,46. d) cos x = 0,46 ; sin x = 0,2.

e) cos + x = 0,46 ; sin + x = 0,2.

a) cos( x) = 0,8 ; sin( x) = 0,6.b) cos(p x) = 0,8 ; sin(p x) = 0,6.c) cos(p + x) = 0,8 ; sin(p + x) = 0,6.d) cos x = 0,6 ; sin x = 0,8.

e) cos + x = 0,6 ; sin + x = 0,8.

a) sinx b) cosx c) cosx

a) sinx b) cosx c) cosx

a)

b)

a)

b)

a)

50

52

2p212p21

2p212p21

53

2p212p21

2p212p21

54

55

x

5x 23

sin(5x) 0 +

235

534

532

34

32

57

x

3x

cos (3x)

0

0

00 1+

332

32

36

32

x

0 3

33

x + 34

14

3

x + +3sin 3414

58

x

30

0 0 +

3632

332

1336

233

2cos2x + 36

2x + 3636

x

2x 23 233sin(2x)

0

0

3

3 3

3

000 00 ++

32

32

59

b)

a) x = ; x = .

b) x = . c) x = ; x = .

d) Pas de solution.a) x = p.

b) Pas de solution dans lintervalle.c) Pas de solution.

a) Lquation scrit encore sinx = sin + soit sinx = , donc,

avec x ]p ; p ], on a : x = et x = .b) Lquation scrit encore cosx = cos soit cosx = cos ,

donc, avec x ; , on a :

x = et x = .

c) Lquation scrit encore cos t = cos soit cos t = cos ,

donc, avec t [0 ; 2p[, on a : t = et t =.

a) x = ; x = .

b)

c) ; .

x

+

0

0

33

32

433

318

4cos3x + 33

3x + 3333

3p4

p4

61

4p7

3p7

p3

62

63

29p1412p2

p71

5p14

9p14

2p312p2

5p61

4p2p23

p3

p3

2p812p2

3p81

15p8

p8

p3

p3

64

O I

JC M

M

0,5

0,5 0,5

0,5

p3

p3

3p3p34


a) x = ; x = .

b)

c) p ; ; p .

a) p ; ; p .

b) 0 ; ; 2p .

c) ; ; .

a 2,7.

a 0,8.

a 197,5.

a) a 0,93. Les solutions de cosx = 0,6 dans[0 ; 2p[ sont a et 2p a.b) a 0,41. Les solutions de sinx = 0,4 dans]p ; p] sont a et a p .

a) X = et X = .

b) ; .

c) x = 0 et x = .

a) X = et X = .

b) ; .

c) x = et x = .

74

73

72

71

69

70

65

67

p4

3p4

O I

J

M

0,5

0,5 0,5

0,5M

p4

3p4

4 3 4 p4 43p4

4 4 3 4p43p4

3 4 3 35p67p6

4 3 4 p3 4p2

p3

p2

p3

p3

3 2p3 44p3

p3

p3

2p3

3 4p43p4

p6

5p6

1. X = 1 et X = .

2. Les quations (E1) et (E2) sont quivalentesavec le changement de variable X = cosx, do lersultat.3. a) x = 0.

b) x = et x = .

4. Les solutions dans [0 ; 2p[ de lquation (E2)sont 0 ; et .

a)

b) ; ; et .

a) ; ; et .

b) ; ; et .

1. a) Prestante = 100000

= 55200 W.b) Il sagit de rsoudre lquation P(x) = 55200avec x 0 ; . Do x

max 0,20 rad 11,5.

Remarque : En faisant le calcul directement endegrs ou en prenant 0,2038 rad, on trouve 11,7.On peut en profiter pour sensibiliser les lvessur le problme des arrondis intermdiaires.2. On reprend la dmarche de la question 1.. On trouve P

restante = 80800 W et x

max 0,63 rad 36,1.

(Avec un calcul direct en degrs : 36,3.)3. On dduit des deux applications numriquesprcdentes quil ny a pas proportionnalit.

1. a) M(cos t ; sin t) ; C (cos t ; 0) et S (0 ; sin t).On en dduit que le coefficient directeur de (OM)est .

b) La droite (OM) passant par O et de coefficientdirecteur a pour quation y = x.

81

P rob lmes

77

76

2p3

4p3

2p3

4p3

3p2

p3

2p3

4p3

5p3

p12

5p12

7p12

11p12

p4

3p4

5p4

7p4

100 36,4 8,4100

75 12

3p23

82

sin tcos t

sin tcos t

sin tcos t


On dtermine les coordonnes de T en rsolvant

le systme do T 1 ; .

c) IT = yT = .

2. a) OIM est isocle en O et

1 = = sin t.

b)3 = = .

c)2 = t 12

= t.

3. a) Pour tout rel t de 0 ; ,

sin t t do,

dune part sin t t et dautre part, avec cos t > 0

pour tout rel t de 0 ; , tcos t sin t.

b) Pour tout rel t de 0 ; , cos t > 0,86

do le rsultat.

1. a)

La mesure principale de ( OA, OB) est .

b) Le paralllogramme OABC a un angle droit ( BOA) et deux cts conscutifs de mme lon-gueur (OB et OA) : OABC est un carr.c) Daprs a) et b), ( OC, OA) a pour mesure

donc ( OI , OC) a pour mesure = .

2sin tcos t1y = sint

costx

x = 15sin tcos t

12

MC OI2

sin tcos t

12

IT OI2

12

12

3p23sin tcos t

12

12

12

3p23324

p63

OI

J A

C

B

0,4

0,4 0,4

0,4

0,8

0,8

0,8 1,40,8

83

p2

p4

p12

p4

p3

d) Le carr OABC a pour ct 1 donc OC = 2.

2. A ; et B ; .

On en dduit que les coordonnes de OC sont :

; .

3. On dduit du rappel du TP2 page 49 avec u = OC que :

2cos = et 2sin = ,

do le rsultat annonc. Les deux rsultats obte-nus sont bien en accord avec les valeurs fourniespar la calculatrice.

1.

2. a) Vr a pour coordonnes (30; 40) et V

r= 50.

b) On dduit du rappel du TP2 page 49 avec u = V

r que : 50cosa = 30 et 50sina = 40, do

a 53.3. a)

b) On note (0 ; a) les coordonnes de Vr. On a

alors Vn (30 ; a). De V

ncosb = xV

n, on tire

cosb = et de b [90 ; 180], on conclut

que b 139 au degr prs.

1 32 212 1 2

32

12

23 121 + 3

21

3 122

p121

1 + 322

p121

O

10

10

40

30

20

20 30

Ve

Vr

Vn

84

O

10

10 10

20

30

40

2030 20 30 V

e V

e

Vn

Vr

K

3040


ch2_pb85.ggb1. a) et b)

2. a) B(cos t ; sin t) et D(cos t ; sin t).b) On tire de AC = AB + AD et de A(0 ; 0) queC a pour coordonnes (2cos t ; 0).c) On a : xL = et yL = , do le

rsultat annonc sur les coordonnes de L. Deplus, pour tout rel t de [0 ; 2p],

xL2 + 4yL

2= cos2t + sin2t = 1.

d) Voir figure prcdente.

ch2_ex86.pdf

On applique le thorme de Thals dans le trian-

gle OAH : = do

= , donc OA = = 42 mm.

On applique alors respectivement le thorme dePythagore dans les triangles OAH et OAH pourobtenir OH = 2341 et OH = 8341 do HH = 6341 mm (on obtient la longueur dunpremier morceau de courroie). Dans le triangle OAH,

cos OAH = = = do, OAH tant un

angle aigu, OAH = arccos . En notant I lin-

tersection de [OA] avec le cercle de centre A et derayon AH, on a : lH I = 20arccos mm (on

obtient la longueur dun deuxime morceau decourroie).

86

xB + xC2

yB + yC2

49

OAOA

AHAH

OAOA + 126

14

1263

AHOA

2042

1021

1 1021 2

1 1021 2

At

0,5

0,51

1

0,5

0,5

1,51,5

B

J

I C

L

D

85 En notant I et I les deux points dintersection de(OA) avec le cercle de centre A et de rayon AH,en prenant I sur [OA], on a : OAH = OAH donc IAH = p OAH

on a : lH I = 80 p arccos mm (on obtientla longueur dun troisime morceau de courroie).On en dduit la longueur totale de la courroie :L = 2(HH + lH I + lH I) 595 mm.

ch2_ex87.ggba) Lquation VS[ = 0,6 VE peut scrire encorecosa = 0,6p 1 do, avec a appartenant [0 ; p], a 0,5rad.b) De mme, on a : cosa = 0,1p 1 et a 2,3rad.c) De mme, on a : cosa = 0,9p 1. Or, 0,9p 1 > 1, donc pas de solution.

1. On a : OI = do IB = r + .

2. a) On applique le prliminaire avec r = R et

q = do L = X + + R.

b) De mme, on a : l = X + + r.

c) On obtient par soustraction

L l = + R r

soit (L l) (R r) = ,

do sin1a22 = .3. a) appartient [0 ; 90] donc lquation

sin1a22 = k, avec k appartenant [0 ; 1], a uneunique solution.b)

donc la pice 1 est accepte mais les pices 2 et 3sont rejetes.

a

2R

sin1a22r

sin1a22

R r

sin1a22R r

sin1a22R r

(L l) (R r)a

2

87

rsinq

rsinq

88

Pice 1 44,968Pice 2

89,9

a

45,584 91,244,370 88,7Pice 3

a

2

1 1021 23 4


1.

Une mesure au rapporteur ou un travail laidedun logiciel de gomtrie dynamique donne unemesure dangle denviron 27. EDF appliquedonc un surplus de facturation car 27 > 21,8.2.

89

O

2

6 10

2

4

6

8

10

12

14

4

842

27,15 12 14

IF1

IM

IC1

U

O

2

6 10

2

4

6

8

10

12

14

4

6

842

21,89 12 14

IF2

IM

IC2

U

Un travail sur papier ou laide dun logiciel degomtrie dynamique donne IC2 6,7 A.3. a) On a : IM (IM cos40 ; IM sin40),IC2(0 ;IC2)et IF2(IF2cos21,8 ; IF2sin21,8).b) On en dduit que :IM + IC2 (IM cos40 ; IM sin40 +IC2)do les rsultats annoncs en galant avec lescoordonnes (IF2cos21,8 ; IF2sin21,8)de IF2.c) On dduit de b) que :IC2= 20sin40 sin21,8 6,7 A.

(On retrouve bien la valeur obtenue la question 2.)d) On a : C = =

do C 93 mF.

20cos40cos21,8

Ieff

2p fUeff

IC22p fU

eff

30 Chapi t re 3 : Fonct ions de r f rence

Fonctions de rfrence3

C H A P I T R E

Des mesures la modlisation

Lobjectif est de faire une conjecture sur une relationentre deux grandeurs en observant la reprsentationdun relev de valeurs, puis de tester et ventuellementde corriger la conjecture.

a. et b. Reprsentation ci-contre :

c. On peut faire la conjecture que R = , o k est uneconstante.

Des lves peuvent suggrer la relation R = ,

ils corrigeront deux mme la relation aprs la questionb.. Limportant dans cette question est quils com-

prennent pourquoi il est normal de calculer R P pourtrouver le lien entre les deux grandeurs.

a. Si on a une relation de la forme R = , alors on

doit avoir R P gal une constante.b.

On constate que le produit nest pas constant, mais toujours proche de 52800.c. Si on prend pour relation R = , toutes les valeurs de R du tableau sont les arrondis lentier

prs du rsultat obtenu par le calcul. On peut donc considrer cette relation comme correspondant aurelev de valeurs.d. Si on veut P = 30000, il faut choisir R = 18 si on arrondit lentier prs.

Ac t iv i ts

A c t i v i t 1

1

kP

1P

2

2kP

Position bouton 1P (en watts) 200R (en ohms) 264

2400132

360088

480066

51000

53

61200

44

71400

38

81600

33

91800

29

102000

26P R 52800 52800 52800 52800 53000 52800 53200 52800 52200 52000

52800P

200

406080

100120140160180200220240260

0 400 800 1200 1600 2000

31Chapi t re 3 : Fonct ions de r f rence

En observant sur le cercle trigonomtrique(pour faire faire cette observation aux lves, onpeut projeter en classe la figure du fichierch3_act2.ggb du disque) : a. Pour tous les rels a et b de [0 ; p], si a < b,alors cosa > cosb. On peut en dduire que la fonction cosinus estdcroissante sur [0 ; p].b. Voir reprsentation du cercle trigonomtriqueci-aprs.

Voir reprsentation de la courbe du cosinus ci-aprs.

a. Voir reprsentation du cercle trigonomtriqueci-aprs.Pour chacun de ces nombres, qui reprent despoints sur le cercle symtriques ceux reprsen-ts au a., les cosinus sont gaux aux cosinus desnombres reprsents au b..b. Voir reprsentation de la courbe du cosinus ci-aprs.c. La courbe G2 est symtrique de la courbe G1 parrapport laxe des ordonnes.

a. Les nombres , , , , , ,

et 2p sont reprsents respectivement par

les points S, R, Q, P, N, M, L et A.On a cos = cos = cos et on

peut crire des galits du mme type avec cha-cun des nombres de la question.b. Voir reprsentation de la courbe du cosinus ci-aprs.c. La courbe G3 est limage de G2 par la translation devecteur 2p i .d. et e. Voir reprsentation de la courbe du cosi-nus ci-aprs.

1A

2

3

4

1

7p6

5p4

5p3

11p6

4p3

3p2

7p4

1 2 1 5p6 2 15p6 2

7p6

Reprsentation cercle trigonomtrique :

Reprsentation de la fonction cosinus :

a. ch3_act2.ggbb. Le point P a pour coordonnes (cos(a) ; sin(a)).c. Le point P repasse 6 fois par chaque position :quand il est repr par le nombre a dans[6p ; 4p], il est galement repr par a + 2pqui appartient [4p ; 2p], par a + 4p dans[ 2p ; 0], par a + 6p dans [0 ; 2p], a + 8p dans[2p ; 4p] et a + 10p dans [4p ; 6p].

a. Le point N se dplace sur laxe des ordon-nes, sur le segment [KJ], o K(0 ; 1) et J(0 ; 1).En effet, son abscisse est nulle donc il est surlaxe des ordonnes et son ordonne est compriseentre 1 et 1 puisque cest le sinus dun nombrerel.

1B

2

OA

BC

L

DEFG

H

K

S

T

Q PR M

N

0,5

0,5 0,5

0,5

G1G2 G3

1

1

O 2p2p p p

3p2

3p2

p2

p2

2pi .

2pi .

Deux courbes point par point

Dans la partie , on fait tracer point par point et la main la courbe de la fonction cosinus partir delobservation des points du cercle trigonomtrique. On utilise alors les proprits du cosinus tudies auchapitre prcdent pour construire la courbe sur plusieurs priodes.Dans la partie , on fait le mme travail de lien entre le cercle et une courbe de fonction trigonom-trique, cette fois pour la fonction sinus et en utilisant un logiciel de gomtrie dynamique. Le logicielpermet dobtenir la courbe sur plusieurs priodes, et on retrouve alors sur la reprsentation les propri-ts du sinus tudies au chapitre prcdent.

A c t i v i t 2

A

B


b. Il parcourt deux fois le segment quand a variede 2p , donc 12 fois le segment quand a varie dans[6p ; 6p].

a. Labscisse du point M dcrit lintervalle[6p ; 6p] donc le point M ne repasse pas deuxfois par le mme point, par contre il reprend plu-sieurs fois la mme ordonne (12 fois, comme lepoint N).c. Le point M dcrit une partie de la courbe repr-sentative de la fonction sinus, puisque son ordon-ne est le sinus de son abscisse. Il dcrit la partiecorrespondant aux points dont labscisse appar-tient [6p ; 6p].

3

a. La courbe de la fonction sinus est compriseentre les deux droites ; pour tout a de 3, 1 sina 1.

a. Le point Q se dplace sur la courbe de lafonction sinus.

b. Le point Q a pour coordonnes ( a ; sina). Ilappartient la courbe car pour tout rel a,sin(a) = sina.

b. Le point R a pour coordonnes (a + 2p ; sina).Il appartient la courbe car pour tout rel a,sin(a + 2p) = sina.

6

4

5

Dune courbe lautre

Dans la partie : partir dune construction de courbes sur papier, puis de lobservations de nom-breuses courbes sur un logiciel de gomtrie dynamique, on conjecture, puis on admet, les transforma-tions qui permettent dobtenir la courbe dune fonction t u (t) + k, t u (t + l) et t | u (t) | partirde la courbe de u.Dans la partie : on applique les rsultats obtenus prcdemment une lecture graphique rapide uti-lisant la reconnaissance des courbes des fonctions de rfrence.Dans la partie : Dans le contexte de llectricit, on construit la courbe dune fonction partir de lacourbe de la fonction sinus en utilisant la mthode vue au SF6, puis on utilise les rsultats de la partie

pour construire la reprsentation graphique de deux autres fonctions.a.

b. Graphique ci-contre.c. On passe de 5 par la translation de vecteur 5 OJ.On passe de

2 par la translation de vecteur 2 OJ.d. et e. ch3_tp1A.ggbf. On peut faire la conjecture que lon obtient la courbe k en appliquant lacourbe la translation de vecteur k OJ.

a. Si x [l ; 6 l ], alors l x 6 l , donc l + l x + l 6 l + l, soit 0 x + l 6 et x + l [0 ; 6].b. On a : f (x + l) = (x + l)2 6(x + l) + 5.c. ch3_tp1A.ggbd. On passe de 2 par la translation de vecteur 2 OI .e. On passe de

4 par la translation de vecteur 4 OI .f. On peut faire la conjecture que lon obtient la courbe l en appliquant lacourbe la translation de vecteur l OI .

T P 1


A

B

C

A

x 1f (x ) 0g (x ) 5

2 32

3 41

4 32

505

6510

h (x ) 2

05103 5 6 5 2 3

1A

2

0

2

4

6

8

6

4

2

10

2 4 6

5

2


a. ch3_tp1A.ggb

b. Lorsque f (x) est positif, | f (x) | = f (x) : le pointde dabscisse x est alors aussi un point de V.Lorsque f (x) est ngatif, | f (x) | = f (x) : le pointde coordonnes (x ; f (x)), point de V dabscissex est alors le symtrique du point de dabscissex par rapport laxe des abscisses.

c. On peut faire la conjecture que la courbe V estobtenue en gardant la partie de situe au dessusde laxe des abscisses et en faisant subir la partiede situe en dessous de laxe des abscisses lasymtrie daxe (Ox).

Courbe 1 : On reconnat dans la courbe vertela courbe de la fonction carr : f (x) = x 2.On passe de f g par la translation de vecteur4 OJ.On en dduit que : g (x) = x 2 4.Courbe 2 : On reconnat dans la courbe verte la

courbe de la fonction inverse : f (x) = .

On passe de f g par la translation de vecteur3 OI .

On en dduit que : g (x) = f (x + 3) = .

Courbe 3 : On reconnat dans la courbe verte la courbe de la fonction affine dexpression : f (x) = 2x 4.On passe de f g en faisant subir la partie def situe sous laxe des abscisses la symtriedaxe (Ox) et en gardant la partie de f situe audessus de laxe des abscisses.On en dduit que : g (x) = | 2x 4 | . Courbe 4 : On reconnat dans la courbe verte la courbe de la fonction affine dexpression : f (x) = x + 1.On passe de f g par la translation de vecteur2 OI . On en dduit que : g (x) = f (x 2) = (x 2) + 1 = x + 3. Ce qui correspond au rsultat quon obtiendrait enlisant lquation de la droite rouge.OU : On passe de f g par la translation devecteur 2 OJ. On en dduit que : g (x) = f (x) + 2 = x + 1 + 2 = x + 3.Courbe 5 : On reconnat dans la courbe verte lacourbe de la fonction cosinus : f (x) = cosx.

3

B

1x

1x + 3

On passe de f g en faisant subir la partie def situe sous laxe des abscisses la symtriedaxe (Ox) et en gardant la partie de f situe audessus de laxe des abscisses.On en dduit que : g (x) = | cosx | .Courbe 6 : On reconnat dans la courbe verte lacourbe de la fonction sinus : f (x) = sinx. Onpasse de f g par la translation de vecteur OI . On en dduit que : g (x) = f (x 1) = sin(x 1).

a. On a i1(t) = 10sin(100p t). Cette fonctionest priodique de priode = 20103.

b. Si t [0 ; 20103], alors 100p t [0 ; 2p]. Sur lintervalle [0 ; 2p], la fonction sinus sannuleen 0, p et 2p. Donc i1(t) sannule pour 100p t = 0ou 100p t = p ou 100p t = 2p, soit

t = 0 ou t = = 10103 ou t = = 20103.

c. On tablit le tableau de variation de i1 sur[0 ; 20103] partir de celui de la fonction sinussur [0 ; 2p].On remplit dabord ce qui est sur fond gris, puison en dduit le reste.On utilise ensuite la premire et la dernire ligne.

d. Voir ci-aprs (courbe trait continu).a. i2(t) = 10sin 100p t +

= 10sin 100p t +

= 10sin[100p(t + 2,5103)] = i1(t + 2,5103).b. On passe de G1 G2 par la translation de vecteur2,5103 OI .c. Voir ci-aprs (courbe trait pointill).

a. i3(t) = 10sin 100p t

= 10sin 100p t

= i1(t 5103).b. On passe de G1 G3 par la translation de vecteur5103 OI .

C 1

3

2

2p100p

1100

2100

1003 t 0 032

332

sin(1003 t)10

1 1

t 0 20103151035103

10sin(1003 t)100

10 10

21 p4

1 p2 2

1 212003 4

3 1 1400 2 4


c. Voir reprsentation complte ci-aprs (courbetrait mixtiligne).

quations trigonomtriques,pisode 2

Dans le chapitre prcdent, on a rsolu des qua-tions du type cos t = a et sin t = a sur un inter-valle correspondant une priode. On tudie iciles mmes quations en cherchant toutes les solu-tions dans 3.On peut illustrer le travail en projetant le fichier

ch3_tp2_AB pour les parties et et lefichier ch3_tp2_C pour la partie .Dans la partie , on tudie le nombre de solu-tions de lquation suivant la valeur de a. Dans la partie , on rsout les quations du typecos t = a.

Dans la partie , on rsout les quations du typesin t = a.

Graphiquement, la courbe de la fonctioncosinus na aucun point dintersection avec unedroite dquation y = a si a est strictement inf-rieur 1 ou strictement suprieur 1. On a vu laproprit : pour tout rel t, 1 cos t 1.Donc, lquation cos t = a na pas de solutiondans ce cas.

a. On a vu dans le chapitre prcdent quelquation cos t = 1 a pour unique solution danslintervalle ]p ; p] le nombre t = 0, ce que lonretrouve par lecture graphique.De mme lquation cos t = 1 admet p pourunique solution dans lintervalle ]p ; p].

2

A 1

T P 2

G1G2 G310

10

O 0,0150,0050,015 0,005 0,010,01

0,0025i .

0,005i .

A

B

C

A B

C

b. Graphiquement, on constate que la droitedquation y = 1 a un point commun par priodeavec la courbe de la fonction cosinus. En utilisantcette priodicit, on en dduit que les solutions delquation cos t = 1 sont tous les nombres de laforme t = 0 + k 2p = k 2p, o k est un nombreentier quelconque.De mme les solutions de lquations cos t = 1sont tous les nombres de la forme t = p + k 2p,o k est un nombre entier quelconque.

a. On peut supposer quil y a une infinit desolutions.

b. On a vu dans le chapitre prcdent que lqua-tion cos t = a a deux solutions par priode, ce quicorrespond ce quon voit sur la reprsentationgraphique.

c. Il semble quon ait AD = BE = 2p, ce qui cor-respond la proprit : cos(t + 2p) = cos t.

Il y a deux points dintersection entre ladroite et la courbe sur lintervalle ]p ; p], doncdeux solutions.

a. Dans chacun de ces intervalles (qui corres-pondent chacun une priode de la fonction cosi-nus), on a deux solutions. Il en est de mme pourtout intervalle de la forme ]kp ; (k + 2)p] en rai-son de la priodicit de la fonction cosinus.

b. Le nombre xF + 2p est labscisse de H, xG + 2pest labscisse de K, xF 4p est labscisse de A,xG 4p est labscisse de B.Labscisse de D est xF 2p, celui de E est xG 2p,celui de L est xF + 4p, celui de M est xG + 4p.

c. Tous ces points ont la mme ordonne : .

On a de nouveau une illustration de la priodicitde la fonction cosinus.

d. Les solutions de lquation scrivent

soit xF + k 2p = + k 2p,

soit xG + k 2p = + k 2p,

o k est un nombre entier.

a. Les solutions de lquation cos t = dans

]p ; p] sont et .

3

1B

2

3

22

p4p4

12

2p3

2p3


b. Les solutions de lquation cos t = sur 3

sont tous les nombres de la forme + k 2p

ou de la forme + k 2p, o k est un nombre

entier.Lquation sin t = a deux solutions dans

]p ; p].a. Le point F a pour abscisse et le point G a

pour abscisse .

b. Les nombres + 4p, + 4p, 2p et

2p sont les abscisses respectives de L, M,

D et E.Les points A, B, H et K ont respectivement pourabscisses :

4p, 4p, + 2p et + 2p.

c. Les solutions dans 3 de lquation sin t =


ou + k 2p, o k est un nombre entier.

Les solutions dans 3 de lquation sin t =


ou + k 2p, o k est un nombre entier.

Lquation sin t = 1 a une unique solution

dans ]p ; p] : le nombre . Donc ses solutions

dans 3 sont tous les nombres de la forme

+ k 2p, o k est un nombre entier.

Pour tout rel t, sin t 1, donc lquation sin t = 7na pas de solution dans 3.

a) La fonction f est strictement croissante sur[2 ; 1], et sur [3 ; 4], strictement dcroissante sur[1 ; 3] et sur [4 ; 6].

4

3

2

C 1

2p3

2p3

12

12

p6

5p6p6

5p6

p6

5p6

p6

5p6

p6

5p6

p3

12p

65p6

32

2p3

p2

p2

Exerc ices1

b) La fonction f est strictement croissante sur[2 ; 1], donc f ( 1) < f (0).La fonction f est strictement dcroissante sur[4 ; 6], donc f (4,5) > f (5,5).c) Sur [ 2 ; 3, 5], f est ngative, nulle en 1 et en3,5. Sur ] 3,5 ; 6], f est strictement positive.d) Le minimum de f sur [2 ; 6] est 7, atteint en2. Le maximum de f sur [ 2 ; 3, 5] est 0 atteinten 1 et en 3,5.e)

a) On a par lecture graphique : f (2) 1 ;f (4) 0,2 ; f (0) 2 et f ( 4) 1,1.b) ( 2) a deux antcdents.c) Lquation f (x) = 0 a une unique solution x0,environ gale 0,3.Lquation f (x) = 1 semble avoir deux solu-tions : environ 0,2 et 5.d) En reprenant la solution x0 de lquationf (x) = 0, lensemble des solutions de linquationf (x) 0 est [5 ; x0].e) Le maximum de f sur [5 ; 5] est 1,5 et il estatteint pour x = 1.Le minimum de f sur [5 ; 5] est 2,6 et il estatteint pour x = 0,4.

a) On a par lecture graphique : f ( 4) 2,5 ;f ( 1) 0,5 ; f (0) 0 et f (4) 2,5.b) Lquation f (x) = 0 a cinq solutions qui sontx0 4,8 ; x 1 1,6 ; x2 0 ; x 3 1,6 etx 4 4,8.Lquation f (x) = 4 na pas de solution dans[5 ; 5].

2

3

1

2

3

4

5

2

6

1112 2 3 4 5 6

O

f


c) Linquation f (x) > 0 a pour ensemble desolutions ] x0 ; x 1[ ] x2 ; x 3[ ] x4 ; 5] en repre-nant les notations de la question b).

Pour chacune des droites on peut utiliser soitdeux points soit lordonne lorigine et le coef-ficient directeur.

f (x) = 3x + 1, g (x) = x et h (x) = 4.

g (x) = x + .

h (x) = x + .

a) x [1 ; 3[, f (x) = x + 2.b) x [3 ; 5[, f (x) = x 4.c) x [5 ; 8], f (x) = x .

a) t [0 ; 1[, u (t) = 2 t.b) t [1 ; 3[, u (t) = 2.c) t [3 ; 4], u (t) = 2 t + 8.

5

7

8

9

13

32

72

125

315

1 1O

2

45

5

76

23

2

3 4 5 6 75 4 3 2 1

f

g

h

i

O

2

1 6 3

21

43

5

76

21 3 45

f

11

12

32

12

13

a) Pas de solution : = .

b) Tous les rels sont solution : = 3.

c) Deux solutions : et : = ; .

d) = ] ; 5] [5 ; +[.a) = {3 ; 3}.

b) Les solutions sont les nombres a tels que a + 2 = 3 ou a + 2 = 3, soit = {5 ; 1}.

a) = ; .

b) Les solutions sont les nombres a tels que

a = ou a = , soit = {3 ; 4}.

1.

2. Graphiquement : x 0,5.3. Si x] ; 0[, alors |x | = x. Lquation scrit x = 3x 1. Cette quation na quune solution

dans 3, x = , solution positive, donc pas de

solution dans ] ; 0[.b) Si x[0 ; +[, alors |x | = x. Lquation scrit x = 3x 1. Cette quation na quune solution

dans 3, x = , solution positive, donc solution

dans [0 ; +[ de lquation |x | = 3x + 1.c) Lquation |x | = 3x + 1 a une unique solution

dans 3, x = .

1.

2. Graphiquement : lquation na pas de solution.

17

16

34

34 5 6

34

34

18

15

5 72 672

12

72

12

72

19

14

12

12

1

1

1

10,5f

a

1

1

2

1

f

a


3. a) Si x ] ; 0[, alors |x | = x. Lquationscrit x = x 2 + 1, quation du second degrayant un discriminant ngatif, donc pas de solu-tion dans 3.b) Si x[0 ; +[, alors |x | = x. Lquation scritx = x 2 + 1, quation du second degr ayant un dis-criminant ngatif, donc pas de solution dans 3.c) Lquation |x | = x 2 + 1 na pas de solutiondans 3.

a)

b) Pour x ; + ,

|2x + 1| = (2x + 1) = 2x 1.Pour x ; , |2x + 1| = 2x + 1.

c) Voir courbe ci-dessous pour les exercices 20et 21.

a)

b) Pour x ; , |3x 2| = 3x + 2.

Pour x ; + , |3x 2| = 3x 2.

c) Voir courbe ci-dessous pour les exercices 20et 21.

Pour tout rel t, on a :

g (t + p) = 3sin 2(t + p) +

= 3sin 2t + 2p +

= 3sin 2t +

= g (t).

21

20x

0 2x + 1 +

12

O +O

4 312

4 12 4

x

0 +3x 2

23

O +O

4 23 3

4 23 3

1

1

2

1 2

C

23

1 p3 2

1 p3 2

1 p3 2

Donc g est p-priodique. La reprsentation gra-phique de g est invariante par la translation devecteur p OI .

Pour tout nombre rel x, on a :

i(x + 6p) = sin + cos(2(x + 6p))

= sin + 2p + cos(2x + 12p)

= i(x).Donc g est 6p-priodique. La reprsentation gra-phique de g est invariante par la translation devecteur 6p OI .

Pour tout rel x, on a : f (x) = 2sin(5x) = 2sin(5x) = f (x).Donc f est impaire. Sa reprsentation graphiqueest symtrique par rapport lorigine du repre.

Pour tout rel x, on a : h (x) = 3(x)2 + |x | = 3x2 + |x | = h (x).Donc h est paire. Sa reprsentation graphique estsymtrique par rapport laxe des ordonnes.

On a par exemple : k (2) = 4 et k (2) = 0.Un contre exemple suffit pour prouver que k nestni paire (k (2) k (2)), ni impaire (k (2) k (2)).

a) f est impaire, sa courbe reprsentative estsymtrique par rapport lorigine du repre.b) g nest ni paire ni impaire.c) h nest ni paire ni impaire.

a) f est paire, sa courbe reprsentative estsymtrique par rapport laxe des ordonnes.b) g est impaire, sa courbe reprsentative estsymtrique par rapport lorigine du repre.c) h nest ni paire ni impaire.

27

28

26

24

1 x + 6p3 2

1 2x3

29

30

31

23456

J

IO 2 3 4 5 6

f


On a : = , donc on montre que cette

fonction est -priodique ; on peut restreindre

ltude lintervalle ; . Dautre part on

montre que cette fonction est paire, on peut donc

restreindre lintervalle dtude 0 ; .

Si x 0 ; , alors 4x [0 ; p]. On utilise le

cercle trigonomtrique pour tablir le tableau devariation :

On trace la reprsentation graphique sur 0 ; ,

puis par symtrie par rapport laxe des ordon-

nes, on complte la courbe sur ; ;

enfin, par des translations successives de vecteur

32

23 1

45

67

J

IO2

34

56

7

f

33

2

1

48

J

IO 2

2

4 86

f

p2

2p4

35

p2

4p4p43

4p43

4p43

x 0 34

1cos (4x)1

4x 0 3

33cos (4x)

3

p43

4p4p43

4

OI , on complte la courbe sur dautres

priodes.

Il sagit de la courbe reprsentative de lafonction t 2cos(p t).

Il sagit de la courbe reprsentative de la

fonction t sin t .

Il sagit de la courbe reprsentative de lafonction t 3cos(2p t).

Il sagit de la courbe reprsentative de la

fonction t 2sin t .

La courbe de g se dduit de celle de f par latranslation de vecteur p OI .La courbe de h se dduit de celle de g par la trans-

lation de vecteur OJ.

La courbe de g se dduit de celle de f par unetranslation de vecteur OI .

La courbe de h se dduit de celle de g par une

translation de vecteur OJ.

p2

O

3

12

1

32

p p

3p2

3p2

p2

p2

36

37

2p2138

39

2p3141

p4

42

O

1

1

2

p p

3p2

3p2

p2

p2

h

g f

p2

p3


La courbe de g se dduit de celle de f par unetranslation de vecteur 2 OI .La courbe de h se dduit de celle de g par unetranslation de vecteur 3 OJ.

Pour obtenir la courbe g on fait subir lapartie de f situe en dessous de laxe des abs-cisses une symtrie par rapport laxe des abs-cisses et on garde la partie de f situe au dessusde laxe des abscisses.

La courbe de g se dduit de celle de f par unesymtrie daxe (Ox).La courbe de h se dduit de celle de g par unetranslation de vecteur OJ.

45

44

43

O

1

1

2

p p

3p2

3p2

p2

p2

h

g f

O

2

2345

1

1234561 2 3 4 5 6

456

1

3h

g

f

O

1

1

p p

3p2

3p2

p2

p2

g

f

1. La fonction f est une fonction polynme dedegr 2. On a donc : a)

b) On rsout lquation 2x 2 + 4x 6 = 0 : deuxsolutions 3 et 1.

2. c) et a)

b)

f (x) = ; g (x) = ; h (x) = 3.

f (x) = ; g (x) = ; h (x) = + 1.

46

O

2

23

1123 1 2 3

45

1

3

hg

f

x

f+ D

8

1 D

x + D 3 D2x2 + 4x 6 0

10+ +

O

4

268

2124 3 1 2

810

2

6g

f

x

g

+ D

0

3 D

0

1 18

48

49

1x

1x 3

1x

1x )

1x )

1x) )


a) Pour tout rel t de 3, f (t + p) = 3cos(2(t + p)) = 3cos(2 t + 2p) = 3cos(2 t) = f (t).

b)

1. c) et 2. g (t) = 3cos 2 t + = f t + . On obtient la courbe de g en faisant subir celle

de f une translation de vecteur OI .

Pour tout rel t de 3,

f t + = sin 3 t +

= sin(3t + 2p) = f (t). b)

1. c) et 2. h (t) = sin 3 t = f t . On obtient la courbe de h en faisant subir celle


50

51

t 0 32

1cos (2 t )1 1

2 t 0 3 23

3

3cos (2 t )3

3 3

1 p8 2 1p8 21 2

p8

O

2

2

p p

3p2

3p2

p2

p2

g

f

1 2p3 234 1 21 2

2p3

34

32

11

t 0 36

332

32

233

sin(3 t )

3 t 0

00

23

sin(3 t )0

034

34 3

4

1221134 2p12

p12

p12

a) Pour tout t de 3, f ( t) = 4cos(4 t) = 4cos(4 t) = f (t).Pour tout t de 3,

f t + = 4cos 4 t + = 4cos(4 t + 2p) = f (t) .b)

1. c) et 2. g (t) = 4cos 4 t = f t . On obtient la courbe de g en faisant subir celle


On tudie les variations de la fonction f dfi-nie par f (x) = cos(4x). Cette fonction est paireet -priodique.

On peut donc ltudier sur 0 ; .

52

O

1

1

p p

3p2

3p2

p2

p2

h

f

1 2p2 1p2 21 2

t 0 34

1cos (4 t)1

4 t 0 3

444cos (4 t)

1 1 2 2 1 2p12p12

p12

53

O

4

4

3p4

3p4

p2

p4

p4

p2

g

f

p2

4p43


i(x) = cos 4 x + = f x + . On obtient la courbe de g en faisant subir celle


a) f (t) = 3cos t .

b) g (t) = 3sin t + .

c) On a sinx = cos x . Ici on peut crire :

g (t) = 3sin t +

= 3cos t +

= 3cos t +

= 3cos t

= f (t)f (t) = 2cos 4p t = 2sin 4p t

(on peut aussi crire f (t) = 2cos 4p t + ).

f (x) = cos px + ou

f (x) = cos px ou

f (x) = sin px .

x 0 34

1cos (4x)1

4x 0 3

1cos (4x)

1

2p12122p1211

p12

O

1

1

p p

3p2

3p2

p2

p2

i

f

54

55

56

1 p6 2p2

1 p2p3 2

1 p2 2

1 p2p3 2

1 p2 1p2

p3 2 2

1 p2p6 2

1 p2p6 2

1 2p3 2 1 2p6

1 2p31 p4 2

1 23p41 2p4

a) pas de solution

b) = + kp, k1 .

c) = + k2p ; + k2p, k1 .

d) = + k2p ; + k2p, k1 .

a) = + kp ; + kp, k1 .

b) = + k ; + k , k1 .

c) = + k2p, k1 .

a) = + k2p, k1 .

b) = + k ; + k , k1 .

c) = + kp ; + kp, k1 .

57

O

21

1 2 311

23

2

58

O

1

1 2 3123

1

O

0,5

1

0,5 1 1,50,5

59

61

6p25

65p65

62p32p35

65p12p12562

62p5p30

2p5

p305

6p35

6p3563

62p3p12

2p3

5p125

6p6p65

5p6


a) = ; ; ; ;

; ; ; .

b) = ; ; ; ; ;

; ; .

c) = ; ; ; .

d) = ; ; ; ; ;

; ; .

a) = ; ; ; ; ; .

b) = ; ; ; ; ;

; ; .

c) = ; ; ; .

d) = ; ; ; .

a) a 0,93 ; = {a + k2p ; a + k2p, k1}. b) a 0,41 ; = {a + k2p ; p a + k2p, k1}.

a) a 101,4 ; = {a + k360 ; a + k360, k1}. b) a 17,46 ; = {a + k360 ; 180 a + k360, k1}.

a) f 1(30) = 15 ; f 1(45) = 15 + 5 0,38 = 16,9 ; f 1(100) = 15 + 60 0,38 = 37,80.Pour x [0 ; 40], f 1(x) = 15 ; pour x > 40, f 1(x) = 15 + (x 40) 0,38.b) f 2(30) = 17 ; f 2(45) = 17 ; f 2(100) = 17 + 40 0,38 = 32,20.Pour x [0 ; 60], f 2(x) = 17 ; pour x > 60, f 2(x) = 17 + (x 60) 0,38.

66

65

19p6

7p6

5p6

17p6 6

5 7p4p4

9p4

17p4

5p4

3p4

11p4

19p4 6

5 4p310p

32p3

8p3 6

5 7p23p2p2

5p2

5p2p2

3p2

7p2 6

5 p611p

623p

65p6

7p6

19p6 6

5 17p65p6

7p6

19p6

7p6

5p6

17p6

29p6 6

5 3p411p

45p4

13p4 6

5 5p2p2

3p2

7p2 6

67

P rob lmes

13p6

p6

11p6

23p6564

71

c) f 3(30) = 22 ; f 3(45) = 22 ; f 3(100) = 22 + 10 0,38 = 25,80.Pour x [0 ; 90], f 3(x) = 22 ; pour x > 90, f 3(x) = 22 + (x 90) 0,38.d)

e) Au-del de 45 min util

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