MATHEMATIQUES AU CYCLE II

« De l’approche des quantités et des nombres à la connaissance des nombres entiers naturels. »

            

Objectif : Renforcer la cohérence de cet enseignement au cycle II

1- L'utilisation d'une même progression sur trois années dans le cycle 2 faciliterait la mise en place d'une pédagogie différenciée et permettrait une organisation pédagogique par cycle.

            2- L'harmonisation et la modification progressives des pratiques pédagogiques des maîtres pourraient être facilitées par des groupes d’auto formation en complémentarité avec une co-intervention dans la classe.

                        Les résultats montrent une mise en place par Les résultats montrent une mise en place par un un grand nombre d'enfants de stratégies de compensationgrand nombre d'enfants de stratégies de compensation qui leur permettent de "qui leur permettent de "feindre" un réel apprentissage feindre" un réel apprentissage pendant les deux premières annéespendant les deux premières années de leur cursus de leur cursus élémentaire et même au-delà.élémentaire et même au-delà.

            Un de ces comportements consiste en             Un de ces comportements consiste en un recours un recours quasi-exclusif à la pratique du comptage un à un qui se quasi-exclusif à la pratique du comptage un à un qui se trouve privilégié par rapport au calcultrouve privilégié par rapport au calcul, rendant ainsi la , rendant ainsi la charge cognitive des travaux numériques très importante et charge cognitive des travaux numériques très importante et donc la prise de sens plus difficile.donc la prise de sens plus difficile.

D'autre part, l'observation D'autre part, l'observation des pratiques pédagogiques des des pratiques pédagogiques des enseignants a mis en valeur l'absence de coordination au sein du enseignants a mis en valeur l'absence de coordination au sein du cycle 2cycle 2 et un certain dénuement de la part des professeurs des écoles et un certain dénuement de la part des professeurs des écoles face aux apprentissages numériques. face aux apprentissages numériques.

                    Tout se passe comme si chacun avait son programme à commencer Tout se passe comme si chacun avait son programme à commencer en début d'année et à suivre jusqu'à la fin sans tenir compte de ce qui en début d'année et à suivre jusqu'à la fin sans tenir compte de ce qui avait été fait les années précédentes et des différents acquis des élèves avait été fait les années précédentes et des différents acquis des élèves qui arrivent dans leur classe.qui arrivent dans leur classe.

Avant d’aller plus loin, quelques définition

NOMBRE : (nombre entier naturel) notion fondamentale des mathématiques qui permet de dénombrer, d’ordonner des collections d’objets ou de mesurer des grandeurs. Un nombre est représenté par une écriture qui utilise des symboles : les chiffres.

CHIFFRE : signe élémentaire permettant de construire l’écriture d’un nombre. (les chiffres sont aux nombres ce que les lettres sont aux mots)

COLLECTIONS EQUIPOTENTES OU DE MEME CARDINAL : deux collections sont dites équipotentes si l’on peut établir une correspondance « terme à terme » ou « un à un » entre elles deux. Chaque objet de la première collection peut être relié à un objet de la deuxième collection, et au terme de ce travail, il ne reste aucun objet isolé dans la deuxième collection. Les expressions suivantes sont alors synonymes : - les deux collections ont autant d’objet.- les deux collections ont le même CARDINAL.- si elles sont fines, les deux collections ont le même nombre d’éléments.

DENOMBRABLE : se dit d’un ensemble dont les éléments peuvent être numérotés à l’aide des entiers. (dénombrable ne signifie pas fini).

NUMERATION : c’est tout système qui permet de désigner les nombres. La numération fonctionne comme un langage avec un alphabet et une grammaire qui rendent possible de prévoir certaines propriétés ou relations entre nombres, en faisant l’économie d’avoir recours aux collections. Il existe des numérations orales et des numérations écrites. Attention : on parle de la numération romaine, à juste titre, mais aussi de la numération sanguine qui est de dénombrement (pour le comptage) de globules.

NUMERO, NUMEROTER, NUMEROTAGE : un numéro est un chiffre ou l’écriture d’un nombre qui indique la place d’une chose dans une série.

NUMEROLOGIE : art divinatoire cherchant à déterminer l’influence des nombres sur les évènements terrestres.

DENOMBREMENT : On dit qu’un sujet sait dénombrer une collection quand il sait lui attribuer le nom ou l’écriture de son cardinal (le nombre de ses éléments), par comptage, c’est-à-dire en ayant recours à la comptine : « un, deux, trois… »

CALCULER : c’est mettre en relation des quantités, directement à partir de leurs représentations numériques, sans passer par la réalisation physique de collections dont les éléments seraient décomptés.

ENUMERER : action de passer en revue une fois et une seule chaque élément d’une collection.

COMPTINE : suite de mots énoncés selon un ordre immuable. Il existe des comptines générales : « am, stram, gram, pic et pic et colegram, …. » et des comptines numériques parmi lesquelles la suite des nombres « un, deux, trois, quatre, … »

COMPTAGE : un des moyens de dénombrer une collection. Chaque objet de la collection doit être apparié à un mot de la « comptine numérique ».

1) Mettre en correspondance un à un chaque objet décompté avec un et un seul nom de nombre, ce qui suppose la maîtrise de l’énumération des objets.

2) Avoir mémorisé la comptine dans le bon ordre.3) Appréhender le dernier mot énoncé lors du comptage comme

désignant une propriété de la collection d’objets et non du dernier élément compté (principe cardinal Gelman 1983)

SITUATION FONDAMENTALE DU NOMBRE :

A) Situations où le nom du nombre est utilisé pour construire une collection

B) Situations où les noms de nombres sont utilisés pour comparer deux collections

C) Situation où le nom du nombre est utilisé pour désigner ou mémoriser une position dans une file.

Leur représentation par une situation générique :

- situation fondamentale du dénombrement : aspect cardinal

- situation générique du dénombrement : aspect ordinal

    Concevoir les quantités, c'est disposer d'un système Concevoir les quantités, c'est disposer d'un système symbolique pour communiquer sur une question du type : symbolique pour communiquer sur une question du type :

"Quelle est l'extension d'une collection ?""Quelle est l'extension d'une collection ?"

•                       Un enfant a donc une première conception Un enfant a donc une première conception des quantités, dès qu'il dispose d'un système des quantités, dès qu'il dispose d'un système symbolique qui lui permet de communiquer sur symbolique qui lui permet de communiquer sur l'extension des collections.l'extension des collections.

•                         Or, l'observation montre que l’enfant peut Or, l'observation montre que l’enfant peut concevoir des petites quantités (1, 2 et 3)  très concevoir des petites quantités (1, 2 et 3)  très tôt, soit avec les doigts ( "je veux comme ça de tôt, soit avec les doigts ( "je veux comme ça de gâteaux", en montrant deux doigts), soit par gâteaux", en montrant deux doigts), soit par comptage  (il fait une collection témoin), ce qui comptage  (il fait une collection témoin), ce qui est différent de l'utilisation d'un mot-nombre est différent de l'utilisation d'un mot-nombre unique.unique.

                  Il existe donc deux Il existe donc deux modes de représentation de la modes de représentation de la quantité : quantité :                  

                                                                         

• - la représentation analogique avec la - la représentation analogique avec la construction d'une collection-témoin.construction d'une collection-témoin.

                                                                      

• - la représentation  conventionnelle - la représentation  conventionnelle avec l'utilisation du symbole.avec l'utilisation du symbole.

Nous pouvons donc dire que calculer, c'est Nous pouvons donc dire que calculer, c'est mettre en relation des quantités à partir des mettre en relation des quantités à partir des seules représentations numériques sans seules représentations numériques sans utiliser les collections témoins.utiliser les collections témoins.

•                           Il est important de souligner que la Il est important de souligner que la pratique du "comptage-numérotage" peut pratique du "comptage-numérotage" peut constituer un obstacle à l'accès au nombre constituer un obstacle à l'accès au nombre par la difficulté de la double signification par la difficulté de la double signification (ordinal et cardinal) du dernier mot-(ordinal et cardinal) du dernier mot-nombre.                                                         nombre.                                                                                                        

•                         Le premier usage des mots-nombres Le premier usage des mots-nombres doit donc consister à dénommer des doit donc consister à dénommer des quantités.quantités.

La gestion des systèmes symboliques dans la La gestion des systèmes symboliques dans la progression pédagogique est très importante, car progression pédagogique est très importante, car ceux-ci peuvent être à l'origine de la mise en place ceux-ci peuvent être à l'origine de la mise en place des stratégies de compensation dont nous parlions des stratégies de compensation dont nous parlions plus haut s'ils sont abordés trop tôt en regard des plus haut s'ils sont abordés trop tôt en regard des compétences de l'enfant.compétences de l'enfant.

•                         En effet, ce système symbolique est En effet, ce système symbolique est par définition, systématique, conventionnel et par définition, systématique, conventionnel et arbitraire, et peut donc être un obstacle arbitraire, et peut donc être un obstacle possible aux apprentissages.possible aux apprentissages.

•                         Citons comme exemples l'utilisation Citons comme exemples l'utilisation

des signes arithmétiques comme =, +, -, dès des signes arithmétiques comme =, +, -, dès la maternelle ou l'alignement des chiffres en la maternelle ou l'alignement des chiffres en colonne au CP qui, certes facilite le travail, colonne au CP qui, certes facilite le travail, mais peut également se substituer à la mais peut également se substituer à la connaissance.connaissance.

La prévention, comme tout acte La prévention, comme tout acte pédagogique, doit être axé dans quatre pédagogique, doit être axé dans quatre

directions distinctes mais indissociables :directions distinctes mais indissociables :

                                                                    •     - le savoir (compétences, progression, ...)- le savoir (compétences, progression, ...)                                                                      • - les enseignants (pédagogie, - les enseignants (pédagogie,

conceptions, ...)conceptions, ...)

• - les enfants (évaluation, utilisation de - les enfants (évaluation, utilisation de l'erreur, ...)l'erreur, ...)

• - et les parents (information)- et les parents (information)

Comment envisager la mise en place de Comment envisager la mise en place de ces premiers apprentissages ces premiers apprentissages

numériques à l'école élémentairenumériques à l'école élémentaire ??

• La conception aujourd'hui privilégiée pour construire ces La conception aujourd'hui privilégiée pour construire ces premiers apprentissages s'appuie sur les travaux de premiers apprentissages s'appuie sur les travaux de recherche s'appuie sur le fait que les connaissances se recherche s'appuie sur le fait que les connaissances se construisent dans une dialectique "outil-objet" (Régine construisent dans une dialectique "outil-objet" (Régine Douady), c'est-à-dire qu'ils sont tantôt utilisés, sans que l'on Douady), c'est-à-dire qu'ils sont tantôt utilisés, sans que l'on se pose trop de questions à leur sujet, comme outil pour se pose trop de questions à leur sujet, comme outil pour résoudre des problèmes, tantôt étudiés en tant qu'objets résoudre des problèmes, tantôt étudiés en tant qu'objets mathématiques de manière à éclairer la manière dont on mathématiques de manière à éclairer la manière dont on les désigne (les désigne (numérationnumération), à mettre en évidence leurs ), à mettre en évidence leurs propriétés et leurs relations.propriétés et leurs relations.

• Dans un premier temps, on proposera donc aux élèves des Dans un premier temps, on proposera donc aux élèves des situations qui vont leur permettre de se servir des situations qui vont leur permettre de se servir des nombres :nombres :Cette partie est largement inspirée des ouvrages de la Cette partie est largement inspirée des ouvrages de la collection ERMELcollection ERMEL

1. Les situations qui 1. Les situations qui permettent de donner du permettent de donner du sens aux nombressens aux nombres• On peut proposer deux grands types de situations dans On peut proposer deux grands types de situations dans

lesquelles les élèves peuventlesquelles les élèves peuvent découvrir les fonctions du nombredécouvrir les fonctions du nombre : :

- les situations qui vont permettre aux élèves de découvrir - les situations qui vont permettre aux élèves de découvrir que le nombre peut être utilisé comme mémoire de la que le nombre peut être utilisé comme mémoire de la quantité ou de la position.quantité ou de la position.

- les situations qui vont permettre aux élèves d'- les situations qui vont permettre aux élèves d'anticiperanticiper le le résultat de certaines actions sur les quantités comme par résultat de certaines actions sur les quantités comme par exemple prévoir ce que deviennent des quantités quand exemple prévoir ce que deviennent des quantités quand elles subissent des transformations sans même réaliser ces elles subissent des transformations sans même réaliser ces dernières. dernières.

1. Les situations qui 1. Les situations qui permettent de donner du permettent de donner du sens aux nombressens aux nombresAu sein de ces deux classes de situations, on peut distinguer Au sein de ces deux classes de situations, on peut distinguer

plusieurs activités pouvant être proposées aux élèves des cycles 1 plusieurs activités pouvant être proposées aux élèves des cycles 1 et 2 et permettant aux élèves de : et 2 et permettant aux élèves de :

- construire une collection B ayant même nombre d'éléments qu'une construire une collection B ayant même nombre d'éléments qu'une collection A donnée, collection A donnée,

- - compléter une collection B de manière à ce qu'elle ait autant - compléter une collection B de manière à ce qu'elle ait autant d'éléments qu'une collection A donnée, d'éléments qu'une collection A donnée,

- - comparer deux collections A et B du point de vue de leur - comparer deux collections A et B du point de vue de leur quantité, quantité,

- - repérer une position dans une suite de cases, une liste,… - repérer une position dans une suite de cases, une liste,… - - trouver la quantité obtenue par la réunion de deux ou plusieurs - trouver la quantité obtenue par la réunion de deux ou plusieurs

collections, collections, - - trouver le point d'arrivée, la valeur d'un déplacement ou le point - trouver le point d'arrivée, la valeur d'un déplacement ou le point

de départ d'un pion qui se déplace sur une bande graduée, de départ d'un pion qui se déplace sur une bande graduée, - - partager une collection en parts égales - partager une collection en parts égales - - réaliser des échanges. - réaliser des échanges.

2. Les contextes dans 2. Les contextes dans lesquels sont utilisés les lesquels sont utilisés les nombresnombres• Karen Fuson (Chemin du nombre) distingue sept contextes Karen Fuson (Chemin du nombre) distingue sept contextes

qu'elle répartit en quatre classes :qu'elle répartit en quatre classes :

Les contextes mathématiques : Les contextes mathématiques : - le contexte le contexte cardinalcardinal où le mot nombre quantifie une où le mot nombre quantifie une

collection d'éléments discontinus (réponse à la question collection d'éléments discontinus (réponse à la question "Combien?") "Combien?")

- - le contexte - le contexte ordinalordinal où le mot nombre décrit l'ordre d'un où le mot nombre décrit l'ordre d'un élément dans une collection d'éléments ordonnés (réponse élément dans une collection d'éléments ordonnés (réponse à la question "où ?") à la question "où ?")

- - le contexte de la mesure où le mot-nombre indique le - le contexte de la mesure où le mot-nombre indique le nombre d'éléments nécessaires, pris pour unités, pour nombre d'éléments nécessaires, pris pour unités, pour "remplir" l'objet considéré : "tu as deux ans aujourd'hui". "remplir" l'objet considéré : "tu as deux ans aujourd'hui".

2. Les contextes dans 2. Les contextes dans lesquels sont utilisés les lesquels sont utilisés les nombresnombresLes contextes séquentiels Les contextes séquentiels - - le contexte de séquence où chaque mot est un - le contexte de séquence où chaque mot est un

élément d'une suite ordonnée sans référence à élément d'une suite ordonnée sans référence à une quelconque quantité ou même réalité, une quelconque quantité ou même réalité,

- - le contexte de - le contexte de dénombrementdénombrement dans lequel les dans lequel les mots-nombres, organisés en suite stable et mots-nombres, organisés en suite stable et conventionnelle, sont mis en conventionnelle, sont mis en correspondance terme à termecorrespondance terme à terme avec les éléments avec les éléments d'une collectiond'une collection- Le contexte symbolique où les mots-nombres - Le contexte symbolique où les mots-nombres servent à décoder une écriture chiffrée servent à décoder une écriture chiffrée - Le contexte non numérique où les mots nombres - Le contexte non numérique où les mots nombres servent à désigner des codes tels que les numéros servent à désigner des codes tels que les numéros de téléphone ou de bus… de téléphone ou de bus…

3. Le rôle du domaine 3. Le rôle du domaine numériquenumérique

La mise en place des activités dépend des La mise en place des activités dépend des compétences et des connaissances initiales compétences et des connaissances initiales des élèves et plus particulièrement du des élèves et plus particulièrement du domaine numérique choisi. domaine numérique choisi. Un enfant peut savoir résoudre tel problème Un enfant peut savoir résoudre tel problème dans un champ numérique donné, mais pas dans un champ numérique donné, mais pas tel autre ou peut ne pas savoir le résoudre tel autre ou peut ne pas savoir le résoudre dans un domaine numérique plus grand. dans un domaine numérique plus grand. On peut alors distinguer des domaines On peut alors distinguer des domaines numériques différents dont les frontières numériques différents dont les frontières peuvent être floues : (ERMEL GS et CP-peuvent être floues : (ERMEL GS et CP-Hatier) Hatier)

3. Le rôle du domaine 3. Le rôle du domaine numériquenumérique

- Le domaine des nombres visualisables- Le domaine des nombres visualisables

L'enfant utilise le recours très rapide au comptage L'enfant utilise le recours très rapide au comptage ou l’absence du recours au comptage pour ou l’absence du recours au comptage pour reconnaître les quantités composées jusqu'à 5 reconnaître les quantités composées jusqu'à 5 éléments. éléments. Dans ce domaine ,il est possible d'évoquer Dans ce domaine ,il est possible d'évoquer mentalement la collection d'éléments.. C'est dans mentalement la collection d'éléments.. C'est dans ce domaine que l'enfant va commencer à privilégier ce domaine que l'enfant va commencer à privilégier les procédures de "comptage mental" et plus tard les procédures de "comptage mental" et plus tard les procédures faisant appel à des résultats les procédures faisant appel à des résultats mémorisés. .C'est aussi le domaine des premières mémorisés. .C'est aussi le domaine des premières anticipations de résultats. anticipations de résultats.

3. Le rôle du domaine 3. Le rôle du domaine numériquenumérique

- Le domaine des nombres familiersLe domaine des nombres familiers

C'est en général le domaine de la récitation de la C'est en général le domaine de la récitation de la comptine (12,15.... selon les enfants). Dans ce comptine (12,15.... selon les enfants). Dans ce domaine, la comptine est en général bien domaine, la comptine est en général bien maîtrisée et le maîtrisée et le dénombrementdénombrement un à un est un à un est possible. C'est dans ce domaine que l'on va possible. C'est dans ce domaine que l'on va pouvoir proposer les premières activités pouvoir proposer les premières activités concernant le dénombrement. concernant le dénombrement. Dés la maternelle, il est possible d'amener les Dés la maternelle, il est possible d'amener les enfants à reconnaître globalement l'écriture enfants à reconnaître globalement l'écriture chiffrée de ces nombres. chiffrée de ces nombres.

3. Le rôle du domaine 3. Le rôle du domaine numériquenumérique

- Le domaine des nombres fréquentésLe domaine des nombres fréquentés

Ce sont les nombres de calendrier, le Ce sont les nombres de calendrier, le nombre d'enfants dans la classe. nombre d'enfants dans la classe. C'est dans ce domaine que les enfants vont C'est dans ce domaine que les enfants vont faire leurs premières constatations faire leurs premières constatations concernant les régularités de la suite écrite. concernant les régularités de la suite écrite. On va garder la trace de ce domaine On va garder la trace de ce domaine numérique sur une bande écrite, on la numérique sur une bande écrite, on la prolongera au fur et à mesure des prolongera au fur et à mesure des connaissances des enfants. connaissances des enfants.

3. Le rôle du domaine 3. Le rôle du domaine numériquenumérique- Le domaine des grands nombresLe domaine des grands nombres

Pour les enfants du début de cycle, ce sont parfois des nombres Pour les enfants du début de cycle, ce sont parfois des nombres magiques. Ils vont prendre conscience que l'on peut aller très loin magiques. Ils vont prendre conscience que l'on peut aller très loin pour compter. Pour les enfants de CP, ils seront le domaine du pour compter. Pour les enfants de CP, ils seront le domaine du dénombrement des grandes collections et donc de l'apprentissage dénombrement des grandes collections et donc de l'apprentissage des aspects groupements et échanges de la des aspects groupements et échanges de la numérationnumération. .

Selon les objectifs choisis, selon les situations, selon les Selon les objectifs choisis, selon les situations, selon les compétences des enfants, l'enseignant aura à choisir le domaine compétences des enfants, l'enseignant aura à choisir le domaine numérique. Il ne sera pas le même selon les différentes situations, numérique. Il ne sera pas le même selon les différentes situations, pour une même situation, pour des enfants différents. Sa pour une même situation, pour des enfants différents. Sa modification permettra de faire évoluer les procédures des enfants. modification permettra de faire évoluer les procédures des enfants.

Au début du CP, on pourra jouer sur ce champ numérique pour Au début du CP, on pourra jouer sur ce champ numérique pour proposer aux enfants des situations de dénombrement, de proposer aux enfants des situations de dénombrement, de comparaison, de création de collections mais aussi sur un champ comparaison, de création de collections mais aussi sur un champ numérique plus restreint, des situations d'anticipation permettant numérique plus restreint, des situations d'anticipation permettant d'aborder le calcul. Ensuite, on élargira le champ pour aborder la d'aborder le calcul. Ensuite, on élargira le champ pour aborder la numération et son aspect récursif.numération et son aspect récursif.

ConclusionConclusion

• L’enseignant pourra s’appuyer sur L’enseignant pourra s’appuyer sur les liens qui existent entre les les liens qui existent entre les différents points qu’il est nécessaire différents points qu’il est nécessaire de prendre en compte pour rendre de prendre en compte pour rendre cohérent l’apprentissage des cohérent l’apprentissage des nombres naturels à l’école nombres naturels à l’école élémentaire.élémentaire.