Mathématiques - BTS Industriel

AbdelkAder beNHArI

Mathématiques - BTS Industriel

Nombres complexes,: Fonctions continues et réciproques, calcul intégral,Développement limité, Equations différentielles, Courbes planes,Pobabilités,Transformée de Laplace, : Suites, Séries numériques et séries de Fourier,Variables aléatoires discrètes, Variables aléatoires continues,Calcul matriciel,Exercices, Sujets de BTS, Corrigés de Quelques sujets.

Cours et exerices corrigés ainsi que plusieurs sujets et corrigés de BTS

Chapitre 1 : Nombres complexes 3 Chapitre 2 : Fonctions continues et réciproques 16 Chapitre 3 : calcul intégral 24 Chapitre 4 : DL 36 Chapitre 5 : Equations différentielles linéaires 41 Chapitre 6 : Courbes planes 45 Chapitre 8 : Probabilités 49 Chapitre 7 : Transformée de Laplace 56 Chapitre 4 : Suite 65 Chapitre 5 : Séries numériques et séries de Fourier 74 Chapitre 9 : Variables aléatoires discrètes 84 Chapitre 10 : Variables aléatoires continues 89 Chapitre 13 :Calcul matriciel 93 Exercices 101 PS : Pour les exercices proposés voir [1]

Sujets de BTS1 179

Corrigés de Quelques sujets 269

Bibliographie 335

A.BENHARI 2

Les nombres complexes Rappels :

• Soit z ∈ IC, on peut alors écrire z sous la forme z = a + ib ou z = a + jb où a et b sont des réels. En outre i et j sont tels que i² = j² = –1.

• IN ⊂ ZZ ⊂ IQ ⊂ IR ⊂ IC. • ICE

* = IC \ 0 . I. L’ensemble des nombres complexes A] Vocabulaire Définition : Soit z = a + ib a et b sont des réels. a = Re(z) est la partie réel du nombre complexe z. b = Im(z) est la partie imaginaire du nombre complexe z. Remarque : Si a = 0, alors on dit que z = ib est un imaginaire pur. Exemples : π est un réel, – 2i est un imaginaire pur et 1 + i est un nombre complexe quelconque. B] Opérations sur les nombres complexes Propriété : Soient z = a + ib et z’ = a’ + ib’ où a, b, a’ et b’ sont des réels. On a alors :

• z + z’ = ( a + a’ ) + i( b + b’ ) la somme • zz’ = ( aa’ – bb’) + i (ab’ + a’b) le produit

Exemples : Calculer ( 3 + i ) + ( 4 – 2i ) = 7 – i. ( 3 + i ) × ( 4 – 2i ) = 14 – 2i.

C] Le conjugué d’un nombre complexe 1) Définition et premières propriétés

Définition : Soit z = a + ib où a et b sont des réels. Le nombre complexe conjugué de z est le nombre complexe, noté z , a – ib. Ainsi z = a–ib. Exemples : Donner les conjugués de z1 = 3 + i , z2 = –3 + 2i, z 3 = 2i et z4 = –1. Propriété : Soit z = a + ib un nombre complexe. On a alors :

• z + z = 2a = 2 Re(z).

• z – z = 2i Im(z).

• z z = a² + b².

A.BENHARI 3

Démonstration : z + z = ( a + ib ) + ( a – ib ) = a + a = 2a = 2Re(z).

z – z = ( a + ib ) – ( a – ib ) = 2ib = 2i Im(z).

z z = ( a + ib ) (a – ib ) = a² – (ib)² = a² – (i)² b² = a² + b².

2) Conjugaison et opérations algébriques a) Conjugué d’une somme

Propriété : Soient z et z’ deux nombres complexes. On a : z + z’ E = z + z’ . Exemples : Calculer z1 + z2 , z1 + z3 .

b) Conjugué d’un produit Propriété : Soient z et z’ deux nombres complexes. On a : zz’ = z z’ . Démonstration : z = a + ib et z’ = a’ + ib’. z z’ = ( a – ib ) ( a’ – ib’ ) = ( aa’ – bb’ ) – i (ab’ + a’b ).

zz’ = ( aa’ – bb’ ) + i (ab’ + a’b ) = ( aa’ – bb’ ) – i (ab’ + a’b ).

Donc zz’ = z z’ . Exemples : Calculer z2z3 et z1z2 .

c) Conjugué de l’inverse d’un nombre complexe non nul Propriété : Soit z ∈ IC*.

On a :

1

z = 1z

.

Démonstration : Soit z ∈ IC*.

z × 1z = 1 ; donc

z × 1z = 1 car 1 = 1.

Avec le b), on a alors z × 1z = 1, Ainsi 1

z = 1z

1

.

Exemples : Calculer les nombres suivants en donnant le résultat sous la forme a + ib où a et b sont des

réels.z1

; 1z2

1 etz3

.

A.BENHARI 4

d) Conjugué d’un quotient

Propriété : Soient z ∈

EE A z’ A

A z A

.

Démonstration :

z’

z =

z’ × 1z = A z’ E A ×

1

z = A z’ E A × E 1A z A

=EE A z’ A

A z A

Exemple :

CalculerEE A z1 A

A z2 A

sous la forme a + ib où a et b sont des réels.

Exercices 1 et 5p20. Exercice 9p21. Exercice 21p23.

IC* et z’ ∈ IC.

On a :

z’

z =

II. Nombres complexes et l’interprétation géométrique On se place dans un repère orthogonormal ( O ; A

→

uE A ; A

→

vE A). A] Les définitions et opérations de base

1) Définitions Définition : L’image du nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a ;b). L’affixe du point M(a ;b) est le nombre complexe z = a + ib. Remarques : (O, A

→

uE A) est la droite des réels. (O, A

→

vE A) est la droite des imaginaires purs. Exemples : Compléter le tableau suivant :

Complexe Coordonnées du point image 1 – i A

B(3 ;2) C(0 ;1) 1 D

Définition : Le vecteur image du nombre complexe z = a + ib est le vecteur OM

= A

→

wE A = a A

→

uE A + b A

→

vE A. C’est à dire de coordonnées (a ;b). L’affixe du vecteur A

→

wE A(a ;b) est le nombre complexe z = a + ib. Exercice 4p20.

A.BENHARI 5

2) Opérations algébriques et interprétation géométrique a) La somme

Définition : Si z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 sont les affixes de M1 et M2 et si on note : A

→

OM1E A = A

→

w1E A et A

→

OM2E A = A

→

w2E A, alors z1 + z2 est l’affixe deA

→

w1E A + A

→

w2E A. Faire une figure. b) Le produit avec un réel Propriété : Si z1 = a1 + ib1 est l’affixe de M1 et si on note A

→

OM1E A = A

→

w1E A et si α ∈ IR, alors α z1 est l’affixe de αA

→

w1E A. Faire une figure. Corollaire : Soient z1 et z2 les affixes de A

→

w1E A et A

→

w2E A et α1 et α2 deux réels. α1z1 + α2z2 est l’affixe de α1 A

→w1EA + α2A

→w2EA. Cas particulier : Soient z1 et z2 les affixes de A

→

w1E A et A

→

w2E A. z2 – z1 est l’affixe de A

→

w2E A – A

→

wE A1 = A

→

M1M2E A. B] Le module d’un nombre complexe

1) Définition et 1ère propriétés Définition : Soit z = a + ib où a et b sont des réels. Le module de z, noté A zE A, est le nombre réel A zE A = A a² + b²E A ; souvent on le note A zE A = r = ρ. Exemples : Calculer les modules de z1, z2, z3 et z4. Propriétés : Soit z ∈ A ICEA tel que z = a + ib.

A zE A ≥ 0.

A zE A = 0 SSI z = 0.

• z A zE A = a² + b² = A zE A

2 .

u

v

O A(1)

B(i)

M(z = a + ib) •

A.BENHARI 6

• EA A z AE A = A zE A².

2) Interprétation géométrique

Définition : Soit z ∈ A ICEA d’image M. On a alors A zE A = OM = A|| AA

→

OMEAA|| A. Faire une figure. Définition : Soient z1 et z2 deux nombres complexes d’images M1 et M2. z1 – z2 = z2 – z1 = M1M2 = || →

M1M2 || Propriété : inégalité triangulaire Soient z1 et z2 deux nombres complexes. z1 + z2 ≤ z1 + z2

Faire une figure AC ≤ AB + BC Exercice 8p21. C] Argument d’un nombre complexe non nul

1) Définition Préambule : Soit z = a + ib ∈ IC*.

z = a² + b²

a

a² + b² + b

a² + b²

Définition : Un argument d’un nombre complexe non nul z = a + ib est un nombre réel θ tel que :

cos θ = a

a² + b²

sin θ = ba² + b²

Faire une figure représentant θ. Remarque : θ est toujours donné en radian et non en degré !!! Exemples :

Donner le module et un argument de z5 = 1 + i et z6 =E A 3A

2 + i2.

2) Forme trigonométrique et forme algébrique

a) Définition Définition : Soit z ∈ A ICEA

*. z = a + ib est la forme algébrique. z = A zE A A( )cos θ + i sin θ est la forme trigonométrique où z est le module de z et θ un argument de z.

b) Lien entre les deux formes Propriété : Forme algébrique vers forme trigonométrique : Soit z = a + ib ∈ IC*.

A.BENHARI 7

z = r = a² + b² et θ tel queEE

cos θ = a

A a² + b² = ar

sin θ = ba² + b²

= br

.

Forme trigonométrique vers forme algébrique : Soit r le module de z ∈ IC* et θ un argument de z.

a = r cos θ b = r sin θ E.

Exemples: Donner la forme algébrique des complexes suivants :

z1 = 4

cos π6 + i sin π6 et z2 = 2

cos

–π

3 + i sin

–π

3

Donner la forme trigonométrique des nombre complexes suivants :

z3 = i, z4 = 2 et z5 = E A 2A

2 + Ei A 2A

2

Exercices 2, 3 et 6p20. III. Nombre complexe et notation exponentielle A] Produit de nombres complexes Rappels : Soient a et b deux réels. cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b. sin ( a + b ) = cos a sin b + cos b sin a. Théorème : Soient z et z’ deux complexes non nuls. zz’ = z z’ et arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) + 2k π où k ∈ ZZ.

Remarques : Le module du produit est le produit des modules. Un argument du produit est la somme des arguments. Démonstration : z = r ( )cos θ + i sin θ . z’ = r ( )cos θ’ + i sin θ’ . Il est clair que zz’ = z z’ .

zz’ = rr’ [ ]( )cos θ cos θ’ – sin θ sin θ’ + i ( )cos θ sin θ’ + cos θ’ sin θ . zz’ = rr’ [ ]cos ( θ + θ’) + i sin ( θ + θ’) E . Propriété : Soient z ∈ IC et n ∈ IN. zn = zn ( ) cos nθ + i sin nθ . B] Notation exponentielle Propriété :

• Pour tout θ ∈ IR, on pose cos θ + i sin θ = eiθ. • Soit z ∈ IC* de module r et d’argument θ, z = r eiθ = r( )cos θ + i sin θ .

Propriété : Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls tels que :

A.BENHARI 8

z = r eiθ et z’ = r’ eiθ’. Ainsi en utilisant les règles sur les puissances on obtient zz’ = rr’ ei (θ + θ') ce qui corrobore ce qui précède !!!!! C] Conséquences

1) Module et argument de l’inverse d’un nombre complexe non nul Propriété : Soit z ∈ IC* tel que z = r eiθ. 1z = 1

z et arg( 1z ) = – arg(z) + 2k π, où k ∈ ZZ.

Remarques : Le module de l’inverse est l’inverse du module. Un argument de l’inverse est l’opposé de l’argument. Démonstration : Soit z = r eiθ.

On a :1z = 1r eiθ = 1r e–iθ .

Ainsi 1z = 1

r e–iθ = 1r × e–iθ = 1

r .

Et arg ( 1z) = – θ + 2k avec k ∈ ZZ.

2) Module et argument d’un quotient de deux complexes non nuls Propriété : Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls tels que : z = r eiθ et z’ = r’ eiθ’.

zz’ = EE

A z A

A z’ A

et arg( zz’ ) = arg(z) – arg(z’) + 2k π où k ∈ AZZ EA.

Remarques : Le module du quotient est le quotient des modules. Un argument du quotient est la différence des arguments. Propriété : Soient z1, z2 et z3 trois complexes distincts et M1, M2 et M3 leurs images.

arg( z3 – z1 z2 – z1

) est une mesure de l’angle orienté (A

→

M1M2E A ; A

→

M1M3EA).

Exercice 7p21. D] Formule de Moivre Propriété : Soit z ∈ A ICEA

* et n ∈ AZZ EA. A zn

E A = A zE A

n et arg(zn) = n arg(z) + 2k π où k ∈ AZZ EA. Formule de Moivre. Soit θ ∈ IR, A( )cos θ + i sin θ n = cos n θ + i sin n θ Exemples : Donner une autre expression de cos 2θ, sin 2θ, cos 3θ et sin 3θ.

A.BENHARI 9

E] Formule d’Euler Propriété : Formule d’Euler Soit θ ∈ IR.

cos θ = eiθ + e–iθ

2 et sin θ = eiθ – e–iθ

2i .

Exemples : Linéariser sin 3x et cos 3x. Exercices 10 et 11p21. Exercice 20p23. IV. Transformations géométriques et nombres complexes A] Transformation associée à f : z

E A le vecteur d’affixe z0. Soit M l’image de z et M’ l’image de f(z). La transformation géométrique associée à f est la translation de vecteur A

→

wE A. Exemples : Décrire les transformations suivantes :

→ z + z0 où z0 ∈ Définition : Soit

IC→

w

f1 : z → E

A z + 3i + 1 f2 : z → z + i Exercice 14p21.

B] Transformation associée à f : z

E

A k z où k ∈ IR* Définition : Soit M l’image de z et M’ l’image de f(z). La transformation géométrique associée à f est l’homothétie de centre O et de rapport k. Faire une figure. Exemple : Décrire la transformation suivante :

→ Définition : Soit M l’image de z et M’ l’image de f(z). La transformation géométrique associée à f est la symétrie orthogonale d’axe, l’axe des abscisses. Faire une figure. C] Transformation associée à f : z

z

→

f3 : z → E

A 2 z. D] Transformation associée à f : z A

→ eiαz où α ∈ IR Définition : Soit M l’image de z et M’ l’image de f(z). La transformation géométrique associée à f est la rotation de centre O et d’angle α. Faire une figure. Exemples : Décrire les transformations géométriques produites par : f4 : z → e –i

π

2 z.

A.BENHARI 10

f5 : z → eiπ z. Exercice 15p22. E] Transformation associée à f : z → az où a = ρ eiθ ≠ 0 Définition : Soit M l’image de z et M’ l’image de f(z). La transformation géométrique associée à f est la similitude de centre O, de rapport ρ et d’angle θ. Faire une figure. Exemple :

f6 : z → 2 e –i π

2 z. ( c’est la similitude de centre O, de rapport 2 et d’angle –π2).

Exercice 17p22.

F] Transformation associée à f : z → 1z 1) L’image d’une droite non perpendiculaire à l’axe des abscisses Propriété :

• L’image d’une droite non perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par O est une droite passant par O, mais privé de O.

• L’image d’une droite non perpendiculaire à l’axe des abscisses ne passant pas par O est un cercle.

Démonstration :

z’ = 1z SSI x’ + i y’ = 1 x + iy = x – iy

x2 + y2 SSI

x’ = x

x2 + y2

y’ = – y x2 + y2

.

On remarque que la transformation est involutive, c'est-à-dire que f ° f(z) = z, ainsi on obtient :

x = x'

x' 2 + y' 2

y = – y ' x' 2 + y' 2

avec x’ et y’ non nuls simultanément.

On cherche la transformation pour une droite D non perpendiculaire à l’axe des abscisses, donc elle s’écrit sous la forme ax + by + c = 0, où a et b ne sont pas simultanément nuls.

Ainsi on a :a x’ x‘ 2 + y‘ 2 + b –y ’

x‘ 2 + y‘ 2 + c = 0.

D’où ax’ – by’ + c ( )x’ 2 + y’ 2 = 0. On distingue alors deux cas. Si la droite passe par O, alors c = 0 et donc ax’ – by’ = 0 qui est l’équation d’une droite passant par O. Si la droite ne passe pas par O, alors c ≠ O et donc ax’ – by’ + c ( )x’ 2 + y’ 2 = ax’ – by’ + cx’ 2 + c y’ 2 = 0.

d’où x’ 2 + y’ 2 + ac x’ – bc y’ = 0.

Cette équation est celle d’un cercle.

A.BENHARI 11

Exemples : Donner les transformés par f des droites D1 d’équation y = 2x et D2 d’équation y = x + 3.

On pose z’ = 1 z.

Donc x’ + iy’ = 1 x + iy = x – i y

x2 + y2..

Ainsi on a

x’ = x

x2 + y2

y’ = – y x2 + y2

. Or comme l’application est involutive, on en déduit que

x = x'

x' 2 + y' 2

y = – y ' x' 2 + y' 2

avec x’ et y’ non simultanément nuls.

Traitons le cas de D1. On a que y = 2x.

Ainsi – y’ x’ 2 + y’ 2 = 2 x’

x’ 2 + y’ 2.

Or x’ et y’ ne sont pas nuls simultanément donc on simplifie par x’ 2 + y’ 2. On obtient alors –y’ = 2x’. Donc D’

1 est d’équation y’ = –2x’. Cependant comme x’ et y’ ne sont pas simultanément nuls, l’ensemble cherché est la droite D’

1\ O . Traitons le cas de D2.

On a que y = x + 3. Ainsi – y’ x’ 2 + y’ 2 = x’

x’ 2 + y’ 2 + 3.

Or x’ et y’ ne sont pas nuls simultanément donc on réduit au même dénominateur et on simplifie par x’ 2 + y’ 2. On obtient alors –y’ = x’ + 3 ( )x’ 2 + y’ 2 . D’où 3x’ 2 + 3 y’ 2 + x’ + y’ = 0.

Ainsi x’ 2 + 13 x’ + y’ 2 + 13 y’ = 0.

Donc

x’ + 16

2 – 136 +

y’ + 16

2 – 136 = 0.

Ainsi

x’ + 16

2 +

y’ + 16

2 = 236 = 1

18.

C’est l’équation du cercle C de centre Ω (–16 ; –1

6 ) et de rayon 118.

Cependant, comme x’ et y’ ne peuvent pas être simultanément nuls, l’ensemble cherché est le cercle C privé de 0.

2) L’image d’une droite perpendiculaire à l’axe des abscisses Propriété :

Soit une droite D d’équation x = k. Avec ce qui précède on a alors x’ x’ 2 + y’ 2 = k.

• Si k = 0, alors x’ = 0 et donc D’ est la droite D qui est aussi l’axe des ordonnées.

• Si k ≠ 0, alors le transformé de la droite est un cercle, centré sur l’axe des abscisses, passant par O, privé de O.

Exercice 31p26. Exercice 32p27. A.BENHARI 12

V. Lignes de niveau A] Définition Définition : Dans un repère orthonormal ( O ;

→

u ;→

v ), la ligne de niveau Nk d’une fonction f de IC dans IR, est l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) = k. B] Quelques exemples 1) Ligne de niveau f : z → Re(z) Propriété : Soit k ∈ IR. La ligne de niveau f(z) = k est la droite d’équation x = k. Faire une figure. Démonstration : Soit k ∈ IR. Soit z ∈ IC. On note z = x + iy. D’où f(z) = k = x. Donc x = k et y est quelconque. Ainsi on obtient bien la droite d’équation x = k.

2) Ligne de niveau f : z → Im(z) Propriété : Soit k ∈ IR. La ligne de niveau f(z) = k est la droite d’équation y = k. Faire une figure. Démonstration : Soit k ∈ IR. Soit z ∈ IC. On note z = x + iy. D’où f(z) = k = y . Donc y = k et x est quelconque. Ainsi on obtient bien la droite d’équation y = k. 3) Ligne de niveau f : z → z Propriété : Soit k ∈ IR.

• Si k > 0, alors la ligne de niveau f(z) = k est le cercle de centre O et de rayon k. • Si k = 0, alors la ligne de niveau f(z) = k est le point O. • Si k < 0, alors c’est l’ensemble vide.

Démonstration : Comme un module est toujours positif on en déduit que pour k < 0 le résultat est immédiat. Si k = 0 = z SSI z = O SSI l’ensemble est le point O. Si k > 0. z = x2 + y2 = k SSI k2 = x2 + y2 SSI il s’agit du cercle de centre O et de rayon k. 4) Ligne de niveau f : z → z – a Propriété : Soient k ∈ IR et A le point d’affixe a.

• Si k > 0, alors la ligne de niveau f(z) = k est le cercle de centre A et de rayon k. • Si k = 0, alors la ligne de niveau f(z) = k est le point A. • Si k < 0, alors c’est l’ensemble vide.

Faire une figure. Démonstration :

A.BENHARI 13

On fait subir une translation au préalable puis on applique le 3). 5) Ligne de niveau f : z → arg(z) Propriété : Soit k ∈ IR. La ligne de niveau est la demi droite d’origine O, O exclus, et d’angle polaire k. Faire une figure. Démonstration : On a f(z) = arg(z) = k SSI (

→

u ; →

OM) = k. Donc la ligne de niveau est la demi droite d’origine O, O exclus, et d’angle polaire k. 6) Ligne de niveau f : z → arg( z – a) Propriété : Soit k ∈ IR et A le point d’affixe a. La ligne de niveau est donc la demi droite d’origine A, A exclus, et d’angle polaire k. Faire une figure. Démonstration : On a f(z) = arg ( z – a ) = k SSI (

→

u ; →

AM ) = k SSI M est sur la demi droite d’origine A, A exclus, d’angle polaire k. VI. Résolution dans IC des équations du second degré à coefficients dans A] Equation du type z2 = a Propriété : Soit a = ρ ei θ un nombre complexe. L’équation z2 = a a pour solution :

IC

• Si a = 0, alors S = 0 .

• Si a ≠ 0, alors S = EE

A ρ A ei θ

2 , –A ρ A ei θ

2 .

Démonstration : On pose z = r eix pour z ≠ 0. * Si a = 0 , alors c’est clair.

* Si a ≠ 0, alors r2 e 2ix = z2 = a = ρ ei θ SSI EA

r2 = ρ 2x = θ + 2k π où k ∈ AZZ A

EA SSI EE

r = A ρ A

x = θ2 + k π où k ∈ AZZ A

SSI z1 = A ρE A ei θ

2 ou z2 = –A ρEA ei θ

2.

Exemple : Résoudre dans A ICEA l’équation suivante : z2 = 3 + 4i B] Equation az2 + bz + c =0 où a,b et c sont trois complexes et a ≠ 0 Théorème : L’équation az2 + bz + c = 0 admet deux solutions dans A ICEA. Méthode : On calcule ∆ le discriminant. ∆ = b2 – 4ac. On résout γ2 = ∆. On trouve donc deux valeurs de γ.

A.BENHARI 14

L’équation a donc deux solutions z1 = –b – γ 2a et z2 = –b + γ

2a .

Exemples : Résoudre les équations suivantes :

1) x2 – x + 1 = 0. 2) z2 + 2 A( )1 + i z – 5 ( )1 + 2i = 0

Pour le 1) On calcule le discriminant ∆ = ( )–1 2 – 4 × 1 × 1 = –3 = ( )3i 2.

Ainsi x1 = 1 – 3 1 + i 2 et x2 =

3i 2 .

Donc S =

1 – 3i

2 , 1 + 3i 2 .

Pour le 2) On calcule le discriminant ∆ = 4 ( )1 + i 2 – 4 × 1 × ( )–5 × ( )1 + 2i = 20 + 48i.

On résout γ2 = ( )x + iy 2 = 20 + 48i SSI x2 – y2 = 20 2xy = 48

On obtient alors x = 6 et y = 4. Or xy est positif donc x et y sont de même signe. Ainsi γ = 6 + 4i ou γ = –6 – 4i.

z1 = –2 ( )1 + i + 6 + 4i

2 = 2 + i et z2 = –2 ( )1 + i – 6 – 4i

2 = –4 – 3i.

Ainsi S = 2 + i , –4 – 3i . Exercice 12p21. Exercice 24p23. Exercice 26p24.

A.BENHARI 15

Fonctions d’une variable réelle I. Fonction continue sur un intervalle de IR A] Définition Définition :

• Une fonction f est dite continue en x0 SSI f est définie au voisinage de x0 et limx → x0

f(x) = f(x0).

• On dit que f est continue à droite en x0 si limx → x0+ f(x) = f(x0).

• On dit que f est continue à gauche en x0 si limx → x0 – f(x) = f(x0).

• On dit que f est continue en x0 SSI limx → x0+ f(x) = limx → x0 – f(x) = f(x0).

• On dit que f est continue sur I SSI elle est continue en tout point de I. Interprétation graphique : Cela signifie que l’on peut aller d’un point à un autre de la courbe Cf sans lever le crayon. Exemples : * La fonction inverse est continue sur IR+*, mais pas sur IR*. * La fonction d’Heaviside n’est pas continue en 0, mais seulement à droite en 0 ; sur le reste de IR elle est continue. B] Continuité et dérivabilité

1) Rappels Définition : On dit que f est dérivable en x0 et de dérivée f ‘(x0) si on a :

f ‘ (x0) = limx → x0

f(x) – f(x0) x – x0

= limh → 0

f(x0+h) – f(x0) h. .

Interprétation graphique : La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 a pour coefficient directeur en f ‘(x0). Faire un graphique. 2) Propriété Théorème : Toute fonction dérivable en x0 est continue en x0. Démonstration : ADMIS Remarque : La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables. ( Cf la fonction valeur absolue ). Exemples : Les fonctions avec des points anguleux et les fonctions a tangente verticale ( cf la fonction racine carrée en 0). Exercice 11 On considère la fonction f définie sur R , paire , périodique de période π , telle que :

( ) ¨0 ;2 2

f t t pour tπ π = ∈

A.BENHARI 16

a. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthnormal sur [ ];π π−

b. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et en 2π

Exercice 12 On considère la fonction f définie sur R, impaire, périodique de période 2, définie sur [ ]0 ; 1 par :

( ) ² 0 1(1) 0

f t t si tf

= ≤ < =

a. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormal sur [ ]5 ; 5− b. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en1

Exercice 14 Soit f la fonction définie sur R par : ( ) sin(2 )f x x=

a. Montrer que f est paire et périodique de période 2π

b. Etudier les variations de f c. Donner la représentation graphique de f sur [ ]; 2π π− d. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0

Exercice 16 Soit f la fonction numérique définie sur R par

( ) 1 1( ) ² 2 1

f x x pour xf x x x a x

= − ≤ = − + >

Déterminer la valeur de a pour que la fonction soit continue pour x = 1 Exercice 17 Après avoir précisé le (ou les ) intervalle (s) où la fonction est dérivable , déterminer dans chaque cas la fonction dérivée

5 4

5 2( ) ( ) 2 7 ( )4 ² 1

( ) cos(2 ) ( ) sin( ²) ( ) cos ²( )( ) ln(4 1) ( ) ( ) lnx

x xf x f x x f xx x

f x x f x x f x xf x x f x e f x x x x+

−= = + =

+ −= = =

= + = = −

Exercice 26

Soit la fonction numérique s définie par :

2

( ) 0 0 ;

( ) 1 0 1

( ) 3 (1 2 ) 1 2

( ) (1 2 ) 2

t

t

t

s t si t

s t t e si t

s t t e e si t

s t e e e si t

−

−

−

= <

= − + ≤ <

= − + + ≤ < = + − ≥

On rappelle que la notation ( )f a+ représente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs supérieures : ( ) lim ( )

t at a

f a f t+

→>

= . De même, ( ) lim ( )t at a

f a f t−

→<

= .

1. Calculer (1 )s + , (1 )s − , (2 )s + , (2 )s − . Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = 1 et t = 2?

A.BENHARI 17

2. a. Calculer '( )s t sur chacun des intervalles ] 0 ;1[ , ]1;2 [ et ] 2 ; [+∞ . b. Déterminer le signe de '( )s t sur l’intervalle : ] 0 ;1[ , ]1;2 [ et ] 2 ; [+∞ . c. Calculer la valeur exacte de (ln(1 2 ))s e+ . Déterminer lim ( )

ts t

→+∞ et dresser le tableau de

variation de la fonction s sur ] 0 ; [+∞ . 3. Calculer '(0 )s + , ' (1 )s + , ' (1 )s − , ' (2 )s + , ' (2 )s − .On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe Γ représentative de la fonction s 4. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( ); ;O i j

d’unités graphiques 5 cm

sur l’axe des abscisses et 20 cm sur l’axe des ordonnées. a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 210− près.

t 0,2 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5 ( )s t

b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe Γ représentative de la fonction s au points : 0 ; 1 et 2 . tracer alors la courbe Γ .

3) Différentielle d’une fonction Définition : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de IR contenant x0 ; on appelle différentielle de la fonction f en x0, la fonction linéaire : h → f ‘(x0)h. On note df(x0)(h) = f ‘ (x0) × h ou df = f ‘(x0)dx. Exemple : Soit f(x) = x3 + x + 2. Ainsi f ‘(x) = 3x2 + 1. Donc df = ( )3x2 + 1 dx. Ainsi en x0 = 2, on a df = 13 dx. Propriété : Les propriétés de la dérivée donnent des propriétés analogues pour la différentielle. Ainsi on a :

• d( )f+g = df + dg. • d( )fg = gdf + fdg.

• d

f

g = g'df – f 'dg g2 .

4) Image d’un intervalle par une fonction continue Théorème : L’image d’un intervalle I de IR par une fonction f continue est un intervalle J. I et J ne sont pas forcément de même nature, mais si I est fermé, alors J est aussi fermé. On peut aussi formuler cela de la manière suivante : Pour tout k ∈ J, il existe au moins un x tel que f(x) = k. Démonstration : ADMIS Faire une figure. Théorème : Théorème de la bijection

A.BENHARI 18

Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I de IR, alors f réalise une bijection de I sur J = f(I). On peut aussi formuler cela de la manière suivante : Pour tout k ∈ J, il existe un unique x ∈ I tel que f(x) = k. Démonstration : ADMIS Faire une figure. II. Fonction réciproque A] Définition Définition : Si f est une bijection de I sur J, alors il existe une unique fonction notée f –1 tel f °f

–1 = idJ et f –1 °f=idI. La fonction f–1 est appelée fonction réciproque de f. Exemples : * la fonction carrée sur IR+ et la fonction racine carrée sur IR+. * La fonction logarithme sur IR+* et la fonction exponentielle sur IR.

Exercice 18

Soit f la fonction définie sur \ 5fD R= par : 1( )5

xf xx

+=

−

Montrer que f est une bijection de fD sur une partie E de R que l’on déterminera .

Expliciter 1f − , fonction réciproque de f. Exercice 19 Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par :

( )ln

xf xx

= définie sur l’intervalle ] [1 ; + ∞

1. Etudier les variations de f sur l’intervalle ] [1 ; + ∞ 2. Tracer la courbe dans un repère orthonormal 3. On pose [ [;I e= + ∞ . Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on

déterminera. 4. Sur I, f admet une bijection réciproque 1f − . Tracer sa représentation graphique dans le

même repère que celle de la fonction f.

0 1

1

f(x)=x2

f (x)= x-1

1

e-1

-2

1

e

1e

-1-2

f (x)=e-1 x

f(x)=ln x

A.BENHARI 19

B] Propriétés Propriété : Les fonctions f et f –1 ont les mêmes variations. Représentation graphique : Dans un repère orthonormal les courbes Cf et Cf–1 sont symétrique par rapport à la première bissectrice d’équation y = x.

C] Fonctions réciproques des fonctions circulaires 1) Fonction ″ arcsinus ″

La fonction f x x( ) sin= est définie et dérivable sur IR. Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place

sur l’intervalle I = − +

π π2 2

; .

Ainsi sur cet intervalle f réalise une bijection de

– π2 , π2 sur

[ ]–1 , 1 .

Propriété : La fonction g x x( ) arcsin= est dérivable sur l’intervalle ]−1; 1 [

de dérivée arcsin'( )xx

=−

1

1 2 . Démonstration : ADMIS

Propriété : La fonction arcsin est strictement croissante sur [ − 1; 1 ]. . Exercice 32 Soit f la fonction définie sur [ ]1 ; 1− par :

( ) (2 1)arcsin( )f x x x= − 1. Calculer f’(x) pour ] [1 ; 1x ∈ − 2. Calculer f’’(x) et montrer que f’’(x) est du même signe que 2 ² 4x x− − + 3. Etudier le signe de f’’(x) sur l’intervalle [ ]1 ; 1− puis établir le tableau de variation de

f’. 4. En déduire qu’ilexiste un unique réel α tel que '( ) 0f α = . Donner une valeur

approchée de α à 110− près. 5. Donner le tableau de variation de f. On donnera une valeur approchée du minimum à

310− près.0

f(x)=sinx 1

−1

π2

π2

Définition : La fonction réciproque de la fonction sinus est la fonction arcsinus définie sur l’intervalle [ − 1; 1 ] par : sin y = x SSI y = arcsin x.

g(x)=arcsin x

1−1

π2

π2

A.BENHARI 20

6. Tracer la courbe dans un repère ( ; ; )O i j

( Unités 5cm sur l’axe des abscisses et 1cm sur l’axe des ordonnées . )

7. 2) Fonction ″ arccosinus ″

La fonction g(x) = cos x est définie et dérivable sur IR. Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur l’intervalle [ ]I = 0; π . La fonction g réalise alors une bijection de [ ]0,π sur [ − 1; 1 ].

Propriété : La fonction g x x( ) arccos= est dérivable sur l’intervalle ]−1; 1 [

et de dérivée 21

1)(arccos'x

x−

−=

.

Démonstration : ADMIS Propriété : La fonction arcos est strictement décroissante de [ ]–1,1 sur [ ]0, π . Propriété :

Pour tout x ∈[ ] –1,1 , on a arcsin x + arccos x = π2.

Démonstration : Posons f(x) = arcsin x + arccos x qui est définie et dérivable sur] –1 ; 1 [ ; comme somme de

deux fonctions définies et dérivables sur] –1 ; 1 [. Or f ‘ (x) = 1 1 – x2 1

–

1 – x2 = 0. Donc f

est une fonction constante sur ] –1 ; 1 [. Or f(0) = arccos 0 + arcsin 0 = π2 + 0 = π2.

Ainsi on conclut que f(x) = arcsin x + arccos x = π2.

f(x)=cos x1

−1

π2

π

Définition : La fonction réciproque de la fonction cosinus est la fonction arccosinus définie sur l’intervalle [ − 1; 1 ] par : yxxy cosarccos =⇔=

g(x)=arccos x

π2

.π

1− 1

A.BENHARI 21

3) Fonction ″ arctangente ″ La fonction h(x) = tan x est définie et dérivable sur IR / π

π2

+ ∈k k; Z .

Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur l’intervalle I = − +

π π2 2

;.

Propriété :

La fonction h(x) = arctan x est dérivable sur IR de dérivée ( )arctan ‘ x = 1 x2 + 1.

Propriété :

La fonction arctan est strictement croissante de IR sur

– π2,π2 .

Exercice 30p47.

π2

f(x)=tan x

π2

Définition : La fonction réciproque de la fonction tangente est la fonction arctangente définie sur IR par : yxxy tanarctan =⇔=

π2

g(x)=arctan x

π2

A.BENHARI 22

III. Fonction d’une variable réelle à valeurs complexes A] Définition Définition : Soient f et g deux fonctions de IR dans IR définies sur un intervalle I. On définit une fonction z de IR dans IC par z(t) = f(t) + i g(t) pour tout t ∈ I. La fonction z est une fonction de la variable réelle t à valeurs complexes. Exemple : z(t) = eit. Alors f(t) = cos t et g(t) sin t. B] Propriétés Propriété : Si f et g sont toutes les deux dérivables sur I, alors z est elle aussi dérivable sur I et z ‘(t) =f ‘(t) + ig‘(t). Démonstration : Evidente. Théorème : Soit a ∈ IC. Si f(t) = eat, alors f est dérivable sur IR et f ‘(t) = a eat pour tout t ∈ IR. TP : Décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles. Exercice 25p44.

Calcul intégral I. Notion de primitives A] Définition Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Une fonction F est appelée primitive de f si elle est définie et dérivable sur I et si pour tout x ∈ I, F’(x) = f(x). Autrement dit, une primitive de f est une fonction qui admet f comme dérivée. Exemples :

• f(x) = x2 + 1. F(x) = 13 x3 + x – 5 est une primitive de f sur IR.

• f(x) = 3x2. F(x) = – 3x est une primitive de f sur ] 0 ; +∞ [.

A.BENHARI 23

B] Théorèmes et propriétés Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I de IR admet une primitive sur I. Démonstration : ADMIS Propriété : Soient f une fonction continue sur un intervalle I de IR, F une primitive de f sur I. Alors x → F(x) + k, où k ∈ IR est aussi une primitive de f sur I. Démonstration : Comme f est continue sur I, elle admet au moins une primitive sur I d’après le théorème précédent. Soit F une primitive de f sur I. Alors G : x → F(x) + k, où k ∈ IR est aussi dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables. En outre G’(x) = F’(x) + 0 = f(x). Ainsi G est aussi une primitive de f sur I. Remarques :

• On dit aussi que deux primitives d’une même fonction sont égales à une constante prêt.

• Une fonction qui admet au moins une primitive en admet une infinité. Théorème d’unicité : Soient f une fonction continue sur I un intervalle de IR, x0 ∈ I et y0 ∈ IR. Alors il existe une unique primitive F de f telle que F(x0) = y0. Démonstration :

• unicité : On suppose qu’il existe deux primitives de f, F et G telles que F(x0) = G(x0) = y0.

On sait avec la propriété précédente qu’il existe k ∈IR tel que F(x) = G(x) + k pour tout x∈IR. Mais F(x0) = G(x0), donc k = 0. Ainsi F = G sur I.

• Existence : f est continue sur I, elle admet donc des primitives sur I. Soit G l’une d’entre elles.

Puisque G est définie sur I G(x0) existe. On pose alors F(x) = G(x) + y0 – G(x0). F est définie et dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables ; en outre pour tout x ∈ I, F’(x) = G’(x) = f(x). Ainsi F est une primitive de f sur I. De plus F(x0) = G(x0) + y0 – G(x0) = y0. D’où l’existence d’une primitive F de f sur I tel que F(x0) = y0.

• Conclusion : il existe bien une unique primitive de f sur I telle que F(x0) = y0. II. Détermination de primitives A] Propriété Propriété : Soient f et g deux fonctions dérivables sur I un intervalle de IR.

• Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.

• Si F est une primitive de f sur I et si k ∈ IR, alors kF est une primitive de kf sur I.

B] Primitives des fonctions usuelles La lecture du tableau des dérivées dans le sens f ’ vers f permet d’obtenir les primitives des fonctions usuelles. Soient a ∈ IR* et b ∈ IR. Dans ce qui suit C est une constante réelle ou complexe.

f est définie par sur Les primitives Fde f sont

A.BENHARI 24

définies par : f(x) = a IR F(x) = ax + C f(x) = x IR F(x) = 12 x2 + C

f(x) = xn; n ∈ ZZ \ –1 IR si n > 0. ] –∞ ; 0 [ ou ] 0 ; +∞[ si n < 0

et n ≠ –1.

F(x) = 1n+1xn+1 + C

f(x) = 1 x2

] –∞ ; 0 [ ou ] 0 ; +∞[ F(x) = – 1x + C

f(x) =E 1A x A

] 0 ; +∞[ F(x) = 2A x EA + C

f(x) = cos x IR F(x) = sin x + C f(x) = sin x IR F(x) = –cos x + C

f(x) = 1cos2 x = 1 + tan2 x ] –π

2 ; π2[ F(x) = tanx + C

f(x) = 1x IR+* ln x + C

f(x) = ex IR ex + C Exercice 1p86. C] Conséquences du théorème sur la dérivation d’une fonction composée On va en déduire un certain nombre de primitive par lecture inverse de la formule de dérivation d’une fonction composée. Soient a ∈ IR+* et b ∈ IR. C est encore une constante.

f est définie sur un intervalle I par Les primitives F de f sont définies sur I par f(x) = sin ( ax + b) F(x) = – 1a cos ( ax + b) + C

f(x) = cos ( ax + b) F(x) = 1a sin ( ax + b ) + C

f(x) = u’(x) u(x)n; n ∈ ZZ\ –1 F(x) = 1n+1 u(x)n+1 + C

f(x) = u’(x) u(x)2 F(x) = – 1

u(x) + C

f(x) =E u’(x) A u(x)

F(x) = 2 u(x) + C

Remarque : En physique on utilise souvent les deux premiers résultats de ce tableau. Conseil : Lorsque l’on a trouvé une primitive il est prudent de procéder à une vérification en la dérivant pour vérifier que l’on retrouve bien la fonction initiale !!! Exercices 2 et 3p86. III. Définition et premières propriétés de l’intégrale A] Définition Remarque : Soient F et G deux primitives de f sur I où f est une fonction continue sur I un intervalle de IR.

A.BENHARI 25

Soient a et b appartenant à I. Comme F et G sont deux primitives d’une même fonction sur un même intervalle I, il existe k∈IR tel que F = G + k. Ainsi F(b) – F(a) = ( )G(b) + k – ( )G(a) + k = G(b) – G(a). Donc le nombre F(b) – F(a) est indépendant de la primitive de f sur I que l’on choisit !!!! Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels appartenant à I. On appelle intégrale de a à b de f le nombre F(b) – F(a). Cela se note ⌡⌠a

b f(x)dx = [ ]F(x) ba = F(b) – F(a).

Remarques : • ⌡⌠a

b f(x)dx se lit « intégrale de a à b de f(x)dx » ou « somme de a à b de f ». • Dans la notation la lettre x peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre

excepté a, b et f. • Avant de calculer une intégrale, on doit souvent trouver une primitive.

Exemples :

⌡⌠1 2 x2dx =

1

3 x312 = 1323 – 1313 = 73.

⌡⌠

2

3 1x2dx =

–1

x 23 = –1

3 – –12 = 16.

B] Propriétés 1) 1ère conséquences :

Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels appartenant à I.

• ⌡⌠a a f(t)dt = 0.

• ⌡⌠a b f(x)dx = – ⌡⌠b

a f(x)dx. Démonstration : ⌡⌠a

a f(t)dt = F(a) – F(a) = 0.

⌡⌠a b f(x)dx = F(b) – F(a) = – ( )F(a) – F(b) = – ⌡⌠b

a f(x)dx. Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 3x2 – 2x + 3. Elle est définie et continue sur IR, il existe des primitives de f sur IR. Calculer J = ⌡⌠2

1 f(x)dx = [ ]x3 –x2 + 3x 21 = F(1) – F(2) = ( )1 – 1 + 3 – ( )8 – 4 + 6 = 3 – 10 = –

7.

2) Propriétés : Propriété : Soient f une fonction continue sur I un intervalle de IR et a ∈ I. La fonction G : x → ⌡⌠a

x f(t)dt est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a. La relation de Chasles : Propriété : Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR. Soient a, b et c trois réels appartenant à I. Alors on a : ⌡⌠a

b f(x)dx = ⌡⌠a c f(x)dx + ⌡⌠c

b f(x)dx. Démonstration : Comme f est continue sur I, notons F une de ses primitives. ⌡⌠a

b f(x)dx = F(b) – F(a) = ( )F(b) – F(c) + ( )F(c) – F(a) . ⌡⌠c

b f(x)dx + ⌡⌠a c f(x)dx = ⌡⌠a

c f(x)dx + ⌡⌠c b f(x)dx.

A.BENHARI 26

Remarque : Penser à la relation de Chasles avec les vecteurs. Les réels a, b et c sont dans un ordre quelconque. Linéarité de l’intégrale : Propriété : Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de IR et soient a et b deux réels appartenant à I et α ∈ IR. On a alors :

• ⌡⌠a b (αf)(x)dx = α ⌡⌠a

b f(x)dx . • ⌡⌠a

b (f+g)(x)dxE = ⌡⌠a b f(x)dx + ⌡⌠a

b g(x)dx. Démonstration : Soient F et G une primitive de f et g sur I. ⌡⌠a

b (αf)(x)dx E = ( )αF (b) – ( )αF (a) = α ( )F(b) – F(a) = α⌡⌠a b f(x)E Adx. Car αF est une primitive de

αf sur I. ⌡⌠a

b (f+g)(x)dxE = ( )F + G (b) – ( )F + G (a) = ( )F(b) – F(a) + ( )G(b) – G(a) = ⌡⌠a b f(x)dx +

⌡⌠a b g(x)dx.

Ordre et intégrale : Propriété : Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR tel que f ≥ 0. Soient a et b deux réels de I tels que a ≤ b. On a alors : ⌡⌠a

b f(x)dx ≥ 0. Démonstration : ADMIS Conséquences :

• Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de IR telles que f ≤ g. Soient a et b deux réels de I tels que a ≤ b. On a alors : ⌡⌠a

b f(x)dx ≤ ⌡⌠a b g(x)dx.

Démonstration : On utilise la propriété précédente avec h = g – f ≥ 0.

• Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ], alors ⌡⌠a

bf(x)dx ≤ ⌡⌠a b f(x) dx.

Démonstration : On applique la remarque précédente avec la double inégalité – f(x) ≤ f(x) ≤ f(x).

• Théorème : Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR telle que m ≤ f ≤ M. Soient a et b deux réels de I tels que a ≤ b. On a alors : m ( )b– a ≤ ⌡⌠a

b f(x)dx ≤ M ( )b – a . Démonstration : On utilise deux fois la première conséquence. Définition :

A.BENHARI 27

Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR. Soient a et b deux réels de I tels que

a<b. On appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel µ = 1 b – a⌡⌠a

b f(x)dx.

Exemple : Calculons l’intensité moyenne d’un courant alternatif pendant une période sachant que

l’intensité est définie par i(t) = I sin ωt et que la période est donnée par T = 2πω

.

Imoy = 1T ⌡⌠0 T Isin ωtdt = 1T

– I

ω cos ωt 0

T = – 1T × Iω

( )cos ωT – 1 ; mais ωT = 2π.

Ainsi Imoy = 0. Donc l’intensité moyenne sur une période est nulle.

Le faire aussi sur une demi période et obtenir Imoy = 2Iπ

.

• Valeur efficace d’une fonction Définition : Soit f une fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ]. La valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle est le réel fe défini par

feE= 1 b – a A⌡⌠a

b f2(x) Adx.

Exemple :

Le faire avec la fonction i(t) = Imax sin ( ωt) sur l’intervalle [ 0 ; πω

]. On retrouve que ie= E Imax

A 2A

.

• Inégalité des accroissements finis

Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, dont la dérivée f ’ est continue sur I et telle que, pour tout x de I, il existe un réel k tel que f ’(x) ≤ k, alors quelque soit les réels a et b de l’intervalle I on a f(b) – f(a) ≤ k A

b – aE A.

Démonstration : On a f ’(x) ≤ k, ainsi A⌡⌠a

b f ‘ (x)EA dx ≤ A⌡⌠a b f ‘(x)E A dx ≤ A⌡⌠a

b kEAdx.

Or A⌡⌠a b kE Adx = k A( )b – a .

Donc ⌡⌠a b f ‘ (x) dx ≤ k ( )b – a .

De même si b ≤ a on a ⌡⌠a b f ‘ (x) dx ≤ k ( )a – b .

Donc ⌡⌠a b f ‘ (x) dx ≤ k b – a .

Or ⌡⌠a b f ‘ (x) dx = f(b) – f(a) .

Donc f(b) – f(a) ≤ k b – a . Exercices 7 et 8p87. IV. Interprétation graphique de l’intégrale Préambule : L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ ci contre. Interprétation graphique : Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR telle que f ≥ 0 sur I. Soient a et b deux réels appartenant à I tels que a ≤ b.

A.BENHARI 28

On note D le domaine défini par la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites verticales x = a et x = b. (Faire une figure). Alors l’aire du domaine D, exprimée en unité d’aire, est :

A = ⌡⌠a b f(x)dx.

Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = –3x2 + 4. On considère sa courbe représentative dans le repère (O ;

→

i ; →

j ) tel que || →

i || = 1cm et || →

j || = 2cm. Calculer l’aire du domaine entre 0 et 1.

On constate que la fonction est positive sur [0 ;1] . L’aire A de ce domaine est donc donnée par ⌡⌠0

1 f(x)dx = [ ]–x3 + 4x 01 = –1 + 4 – 0 = 3 ua.

Or 1 ua = 1 × 2 = 2cm2. Ainsi l’aire est de 2 × 3 = 6 cm2. Propriété : Si la fonction est négative sur l’intervalle I, alors l’aire du domaine est donnée par

A = – ⌡⌠a b f(x)dx.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur [ – 2 ; –1] par f(x) = 1x3.

Donner l’aire du domaine sur cet intervalle lorsque l’on se place dans le repère (O, →

i ; →

j ) tel que || →

i || = 2 cm et || →

j || = 4 cm.

A.BENHARI 29

Ainsi 1 ua = 2 × 4 = 8 cm2

En outre ⌡⌠

–2

–1 1x3dx =

–1

2 1x2 –2

–1 = 12

– 1

(–1)2 –

– 1

(–2)2 =12

–1 + 14 = – 34 × 12 = – 38.

Ainsi A = 38 ua = 38 × 8 = 3 cm2.

Aire délimitée par deux courbes : Propriété : Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de IR telles que f ≤ g sur I. Soient a et b deux réels de I tels que a ≤ b. L’aire délimitée par le domaine D = (x ;y)/ a ≤ x ≤ b et f(x) ≤ y ≤ g(x) est, donnée en ua, A = EA⌡⌠a

b A( )f – g (x)dxE. Faire une figure. Exemple:

Soient f et g définies sur [ 1 ; 3] par f(x) = 1 x2 et g(x) = x2. On note Cf et Cg leurs courbes

représentatives. On se place dans un repère orthogonal tel que || →

i || = 1 cm et || →

j || = 3 cm.

A.BENHARI 30

Calculer l’aire comprise entre ces deux courbes entre 1 et 3. I = [1 ;3]. Sur I, g ≥ f.

On calcule donc EA⌡⌠1 3 A( )g – f (x)dx =

1x + 13 x3

13 =

13 + 13 33 –

11 + 13 13

=

13 + 9 –

1 + 13 = 28

3 + 43 = 243 = 8 ua

Ainsi l’aire du domaine est de 8 cm2 ; car 1 ua = 3cm2. V. Trucs et astuces pour le calcul d’intégrale Remarque : Pour calculer une intégrale il faut très souvent d’abord calculer une primitive en utilisant le tableau vu dans le paragraphe précédent. A] Pour les fonctions trigonométriques Pour les polynômes trigonométriques : Il faut souvent dans un premier temps linéariser ce polynôme trigonométrique. Exemple : A = ⌡

⌠0 π2 sin3 xdx.

sin3 x =

eix – e–ix

2i3 = – 1

8i ( )e3ix – 3e2ix e–ix + 3 eix e–2ix – e–3ix = – 18i ( )2i sin 3x – 6i sin x .

= – 14 sin 3x + 34 sin x.

Ainsi A =

1

12 cos 3x – 34 cos x 0π

2 = 0 –

1

12 – 34 = 812 = 23 ua.

Exercice 10p87. B] Quelques astuces Utilisation de la parité : Intégrale d’une fonction paire sur [ –a ;a] avec a > 0 : ⌡⌠–a

a f(x)dxE = 2 ⌡⌠0a f(x)dx.

Faire une figure. Intégrale d’une fonction impaire sur [ –a ;a] avec a > 0 : ⌡⌠–a

a f(x)dxE = 0. Faire une figure. Intégrale d’une fonction T-périodique sur [ a ; a + T ] : ⌡⌠a

a + T f(x)dx = ⌡⌠0 T f(x)dx.

Faire une figure. C] Intégration par parties Théorème : Soient u et v deux fonctions dérivables admettant des dérivées continues sur un intervalle I. Si a et b sont deux éléments de I, alors :

⌡⌠a b u(x)v ‘ (x) Edx = [ ]u(x) v(x) a

b – ⌡⌠ab u ‘ (x) v(x) dx.

Démonstration : On sait que :(uv) ‚ = u’v + v’ u. On intègre alors entre a et b.

A.BENHARI 31

Exemple : Calculer les intégrales suivantes par parties : I = ⌡

⌠0 π 4 x sin x dx.

J = ⌡⌠2 5 ln x dx

K = ⌡⌠

0 π2 ex sin x dx. ( c’est une double intégration par parties)

Insister sur la présentation qui doit être uniforme. Exercice 11p87. Exercice 20p89. Exercices 22 et 25p90. D] Intégration de x → eax f(x) où a ∈ IR* Théorème : Soit a ∈ IR*. Si P est un polynôme de degré n, alors une primitive de x → eax P(x) est x → eax Q(x), Q étant un polynôme de degré n. Exemple : Rechercher une primitive de h(x) = e2x ( )x2 + x + 1 . On procède par identification. Théorème : Si f(x) = c cos (ωx) + b sin (ωx), alors une primitive de x → eax f(x) est x → eax g(x) où g(x) = C cos (ωx) + B sin (ωx). Exemple : Rechercher une primitive de h(x) = e–x EEA( )cos( )3x + sin( )3x . On procède par identification pour trouver C et B. Exercice 6p86. E] Intégration par changement de variable 1) Propriété Propriété : Soit f une fonction continue sur [ a ; b ], soit F une primitive de f sur [ ]a,b et I = ⌡⌠a

b f(x) dx. Soit u une fonction dérivable, admettant une dérivée continue sur [ α ; β ], à valeur dans [ a ; b ] et telle que u(α)= a et u (β) = b. Alors ⌡⌠a

b f(x) dx = ⌡⌠α β F’[ ]u(x) u’(x) dx.

2) Exemples de changements de variables de type affine Changement u = ax + b

Calcul de I = ⌡⌠

0

1 12x+3 dx

On pose u = 2x + 3. Ainsi du = 2dx. D’où dx = 12du

Quand x = 0 alors u = 3 et lorsque x = 1 alors u = 5.

Ainsi I= ⌡⌠

3

5 1u × 12 × du = 12 [ ]ln u 3

5 = 12 ( )ln 5 – ln 3 = 12 ln

5

3 .

Exercice 13 et 14p88. Exercices 26 et 29p91. F] Intégration de fractions rationnelles Tout d’abord on décompose la fraction en éléments simples.

A.BENHARI 32

1) Les pôles sont simples Propriété : Soit A un réel non nul et a un réel.

Une primitive de x → A x – a est x → A ln x – a .

Exemple :

⌡⌠

–1

0 2x3 + x2 – 3x – 3

x2 + x – 2 dx=⌡⌠

–1

0 2x – 1 – 1

x – 1 + 3 x + 2dx =[ ]x2 – x – ln x – 1 + 3 ln x + 2 –

10

= –2 + 4 ln 2. 2) Les pôles sont multiples Propriété : Soit A un réel non nul et a un réel.

Une primitive de x → A ( )x – a n où n ≥ 2 est x → –1

n – 1 A ( )x – a n – 1, en particulier une

primitive de A ( )x – a 2 est – A

x – a .

Exemple :

I = ⌡⌠

2

3 x

2 + x – 1 x ( )x – 1 2 dx =E

⌡⌠

2

3 –1

x + 2 x – 1 + 1

A( )x – 1 2 dx.

=

– ln x + 2 ln x – 1 – 1

x – 1 23 = – ln 3 + 3 ln 2 + 12.

3) Les pôles sont de 2ème espèce Exemple :

I = ⌡⌠

0

1 2x2 + 5x + 7

( )x + 1 ( )x2 + 2x + 5 dx =

⌡⌠

0

1 1 x +1 + x + 2

x2 + 2x + 5 dx.

Le problème est de calculer ⌡⌠

0

1 x + 2 x2 + 2x + 5 dx.

1ère étape : On fait apparaître la dérivée de x2 + 2x + 5 soit 2x + 2 au numérateur.

Ainsi I = 12

⌡⌠

0

1 2x + 4 x2 + 2x + 5 dx = 1

2 ⌡⌠

0

1 ( )2x + 2 + 2

x2 + 2x + 5 dx = 12

⌡⌠

0

1 ( )2x + 2

x2 + 2x +5 dx + 12

⌡⌠

0

1 2x2 + 2x +5 dx = 12

⌡⌠

0

1 ( )2x + 2

x2 + 2x +5 dx + ⌡⌠

0

1 1 x2 + 2x +5 dx = J + K.

On a J = 12 ⌡⌠

0

1 ( )2x + 2

x2 + 2x +5 dx =

1

2 ln x2 + 2x + 5 01 = 12 ln 85.

2ème étape : Calcul de K. On cherche la forme canonique de x2 + 2x + 5.

x2 + 2x + 5 = ( )x + 1 2 + 4 = 4

( )x + 1 2

4 + 1 = 4

x + 1

22 + 1 .

On pose alors u = x + 1 2 . On a donc du = 12 dx, ainsi dx = 2du.

Lorsque x = 0, alors u = 12 et lorsque x = 1, alors u = 1.

A.BENHARI 33

Ainsi K = E ⌡⌠

12

1 2du4A( )1 + u2 = 12 [ ]arctan u 1

2

1 = 12

arctan 1 – arctan1

2 = π8 – 12 arctan 12.

Conclusion :

I = J + K = 12 ln 85 + π8 – 12 arctan 12.

Exercice 15p88. Exercice 35p93. VI. Intégrale d’une fonction à valeurs complexes A] Primitive Remarque : Soient F et G deux primitives de f et g sur I un intervalle de IR. Posons Z(x) = F(x) + i G(x). Alors z(x) = f(x) + i g(x) admet pour primitive Z sur I. En outre soient a et b deux réels de I, on a alors ⌡⌠a

b z(x)dx = [ ]Z(x) ab = Z(b) – Z(a).

Démonstration : On a : ⌡⌠a

b z(x) dx = ⌡⌠a b ( )f(x) + i g(x) dx = [ ]F(x) a

b + i [ ]G(x) ab.

= ( )F(b) – F(a) + i( )G(b) – G(a) . = ( )F(b) + i G(b) – ( )F(a) + iG(a) . = Z(b) – Z(a). B] Exemple de calcul d’intégrale de fonction à valeurs complexes Le but est ici de calculer les intégrales I = ⌡

⌠0 π2 ex cosx dx et J = ⌡

⌠0 π2 ex sin x dx en utilisant le A

qui précède. On remarque que I et J sont les parties réelle et imaginaire de ⌡⌠

0 π2 ex eix dx.

⌡⌠

0 π2 ex eix dx = ⌡

⌠0 π2 ex(1+i) dx =

ex(1+i)

1 + i 0π

2 = e(1+i)

π

2 – 1

1 + i = ie

π

2 – 1

1 + i = EEE

eπ

2 i – 1 A( )1 –i

( )1 + i ( )1 – i .

=

eπ

2 – 1 + i

e

π

2 + 1

2 = I + iJ.

Ainsi I = 12

e

π

2 – 1 et J = 12

e

π

2 + 1 .

Exercice 12p88. Exercice 32p92. référence Mathématiques BTS industriel spécialités du groupement A Nathan technique 2002

A.BENHARI 34

Développements limités, Majorations Tayloriennes

I. Objectifs On étudie le comportement au "voisinage de 0" d'une fonction. Pour cela on va remplacer la fonction par une fonction polynôme la meilleure possible. II. Majorations Tayloriennes

A] 1ère approche : Dérivabilité en a Définition : f est définie sur I contenant a. On dit f est dérivable en a∈ IR si et seulement si :

Ah

afhafh

=−+

→

)()(lim0 ou lim

x → a

f(x) – f(a) x – a = A.

Conséquence : f(a+h) = f(a) + Ah + h ε(h) avec lim

h → 0ε(h) = 0.

On note aussi cela de la manière suivante : f(x+a) = f(a) + Ax + ε(x) avec limx → 0

ε(x) = 0.

Remarque : Pour x voisin de 0 on a : f(x) ≈ f(0) + Ax. Localement on peut remplacer f par une fonction affine. Exemples usuels:

A.BENHARI 35

ln ( )x + 1 ≈ x pour x voisin de 0. exp x ≈ 1 + x pour x voisin de 0. sin x ≈ x pour x voisin de 0.

1 + x ≈ 1 + 12 x pour x voisin de 0.

Mais dès que la variable s'éloigne de 0, l'approximation devient fausse d'où l'idée de chercher à améliorer le procédé et d'avoir une idée sur l'erreur commise.

B] 2ème approche: Théorème des accroissements finis Propriétés : fonction à dérivée première bornée : Si f est dérivable sur I et f ' est bornée sur I. ( pour tout x de ; f '(x) < M), alors si x ∈ I et a ∈I on a : f(x) – f(a) ≤ M x – a. fonction à dérivée seconde bornée : Si f est deux fois dérivable sur I et f '' est bornée sur I .(Pour tout x de I f ‘’ (x) < M )

alors si x∈I et a ∈ I f(x) – f(a) – ( )x – a f’(a) ≤ M ( )x–a 2

2 .

Retour sur les exemples usuels :

21)('';1)(');ln()(

xxf

xxfxxf −===

.

On se place sur [0,9;1,1] : 11,12 < f ‘’(x) < 1

0,92. Ainsi f ‘’(x) < 1,25.

On en conclut que M ( )x–a 2

2 ≈ 0,061 < 0,07.

Donc, comme ln 1 = 0, ln ( )1+x ≈ x avec une erreur inférieure à 7%.

C] 3ème approche pour aller plus loin: fonction à dérivée d'ordre n+1 bornée Propriété : Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n + 1, sur I et si f(n+1) est bornée sur I ( c'est-à-dire que pour tout x de I f(n+1)(x) < M)

alors f(x) – f(a) – ( )x – a f ’(a) – ( )x – a 2

2 ! f ‘’(a) –… – ( )x – a n n ! f(n) (a) ≤ M x – an+1

( )n+1 !

appelée inégalité de Taylor ou majoration Taylorienne. Démonstration : ADMIS D] Formule de Mac-Laurin Propriété : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR contenant a et admettant des dérivées continues jusqu’à l’ordre n+1 ( On dit que f est de classe Cn+1 sur I ). Alors on a :

f(x) = f(a) + ( )x – a f ’(a) + ( )x – a 2

2 ! f ‘’(a) +… + ( )x – a n n ! f(n) (a) + ( )x – a n ε(x–a)

avec limx → a

ε(x – a ) = 0

Démonstration : On utilise la propriété du C] et le critère de d’Alembert.

A.BENHARI 36

III. Développements limités A] Définition et 1ère propriétés Définition : Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de IR contenant 0. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’il existe un polynôme Pn de degré inférieur ou égal à n tel que pour tout x ∈ I : f(x) = Pn(x) + xn ε(x) avec lim

x → 0 ;ε(x) = 0.

On dit que Pn(x) est la partie régulière du DL et xn ε(x) est le terme complémentaire ou le reste. Propriété : Si f admet un DL en 0 au moins à l’ordre 1, alors f est continue et dérivable en 0. Démonstration : On a immédiatement que lim

x → 0 f(x) = a0.

En outre on a aussi aisément que limx → 0

f(x) – a0 x = a1 ce qui montre bien que f est dérivable en

0 et que f ‘(0) = a1. Propriété : La partie régulière du DL en 0 d’une fonction paire ( respectivement impaire ) est un polynôme constitué de monômes de degré pair ( respectivement impair ). Démonstration : ADMIS Propriété : Soient n et p deux entiers naturels tel que p ≤ n. Si f admet un DL d’ordre n en 0, alors f admet un DL d’ordre p en 0. Démonstration : C’est immédiat, il s’agit d’une espèce de troncature.

B] Développements limités des fonctions usuelles On utilise à chaque fois la formule de Mac-Laurin ! 1) La fonction exponentielle Le développement limité de la fonction exponentielle au voisinage de 0 est :

ex = 1 + x + x2

2 ! + x3 3 ! + … + xn

n ! + xn ε(x) avec limx → 0

ε(x) = 0.

2) Les fonctions sinus et cosinus Le développement limité de la fonction sinus au voisinage de 0 est :

sin x = x – x3 3 ! + x5

5 ! + … + ( )–1 n x2n+1

( )2n+1 ! + x2n+1 ε(x) avec lim

x → 0 ε(x) = 0.

Le développement limité de la fonction cosinus au voisinage de 0 est :

cos x = 1 – x2

2 ! + x4 4 ! + … + ( )–1 n x2n

( )2n ! + x2n ε(x) avec lim

x → 0 ε(x) = 0.

3) Les fonction du type f : x → ( )1 + x α Le développement limité de cette fonction au voisinage de 0 est :

( )1 + x α = 1 + αx + α ( )α – 1

2 ! x2 + α ( )α – 1 ( )α – 2

3 ! x3 + … + α ( )α – 1 …. ( )α – n + 1

n ! xn +

xn ε(x) avec limx → 0

ε(x) = 0.

A.BENHARI 37

Cas particulier :

Pour α = – 1 on a ainsi : 11+x = 1 – x + x2 – x3 + x3 ε(x) avec lim

x → 0 ;ε(x) = 0.

IV. Propriétés algébriques A] Opérations algébriques sur les développements limités 1) Somme et produit de fonctions Propriété : Si les fonctions f et g admettent à l'ordre n, au point 0, des développements limités dont les parties régulières sont P(x) et Q(x) alors :

• f + g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est ( )P+ Q (x).

• f × g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie régulière est le polynôme déduit de ( )P×Q (x) en supprimant tous les termes de degré strictement supérieur à n.

Exercice 8p109. Exercice 10p110.

2) Produit par un réel k Propriété : Soit k un réel. Si f est une fonction définie sur I un intervalle de IR contenant 0 admet un développement limité d’ordre n de partie régulière P(x), alors la fonction kf admet un développement limité d’ordre n de partie régulière ( )kP (x). Démonstration : Il suffit d’écrire !!! 3) Quotient de deux fonctions Propriété : Si f et g sont deux fonctions admettant des développements limités au voisinage de 0 à l’ordre

n de partie régulières respectives P(x) et Q(x) et telle que g(0) ≠ 0, alors le quotient fg admet

un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0. La partie régulière de ce développement lest obtenue suivant les puissances croissantes de P(x) par Q(x). Exemple : Faire le DL de tan au voisinage de 0 à l’ordre 5. B] Autres opérations 1) Dérivation d’un développement limité Propriété : Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière P(x), alors f ‘ admet un développement limité à l’ordre ( )n – 1 au voisinage de 0 de partie régulière P ‘(x). Exemple :

Trouver le DL de x → 1 ( )1 + x 2 à l’ordre 3 en utilisant le DL à l’ordre 4 de x → 1

1 + x.

2) Intégration d’un développement limité Propriété :

A.BENHARI 38

Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière P(x), alors toute primitive F de f admet un développement limité à l’ordre ( )n+1 au voisinage de 0. En outre si f(x) = P(x) xn ε(x) avec lim

x → 0 ε(x) = 0, alors

F(x) = F(0) + ⌡⌠0 x P(t)dt + xn+1 ε(x). On intègre terme à terme la partie régulière et on ajoute

F(0) ! Exemple : Calculer le DL à l’ordre 5 au voisinage de 0 de la fonction x → ln ( )x+1 en utilisant le DL à

l’ordre 4 au voisinage de 0 de x → 1 x + 1.

Exercice 15p110. 3) Développement limité d’une fonction composée Propriété : Si f est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière P(x) et si g est une fonction admettant un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière Q(x), alors la fonction f ° g admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0. La partie régulière est obtenue en remplaçant dans P(x) chaque terme xi par ( )Q(x) i, puis on ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à n. Exemples :

* Faire le développement limité de x → ln ( )x+2 en utilisant la fonction x → 12+x.

* Faire le développement limité de x → 1 – sin x en utilisant la fonction sinus et la fonction x → 1 – x. Exercice 7p109. Exercices 9 et 12p110. Exercices 25 et 26p111. V. Utilisations des développements limités A] Détermination de limites Exemple 1 :

Déterminer la limite limx → 0

ex – 1 x .

Exemple 2 :


sin x x .

Exemple 3 :


1 – cos x x .

B] Etude locale d’une fonction Exemple :

Etudier sur IR+* la fonction f définie par x → x2 + 1 exp

– 1x .

Exercice 18p110. Exercices 22, 23, 24 et 28p111. Exercices 31 et 34p112.

A.BENHARI 39

Exercice 38p113. BIBLIOGRAPHIE Mathématiques BTS industriel spécialités du groupement A Nathan technique 2002

Equations différentielles linéaires (EDL) Exercices 1, 2, 3, 4 et 5p126. I. Equation Différentielle Linéaire du 1er ordre (EDL): a, b et c sont des fonctions continues sur un intervalle I où a ne s'annule pas. Les solutions sont les fonctions y, dérivables sur I, telles que, pour tout x de I, a(t)y’ + b(t)y = c(t).

A] Cas particulier : EDLH 0).(').( =+ yxbyxa ( Equation différentielle linéaire homogène, ou sans second membre ). Théorème : Les solutions de l'équation différentielle linéaire homogène 0).(').( =+ yxbyxa sont les fonctions définies sur I par )(.)( xGeCxy −= où C est une constante arbitraire et où G est une

primitive sur I de la fonction x → ab(x).

Exemple :

Résoudre sur IR l’équation différentielle y’ + 1x3 y = 0.

Avec le théorème on cherche tout d’abord une primitive de 1x3. On sait alors que G(x) = –12 1

x2.

Donc y(x) = C exp(–12 1

x2).

Exercices 6 et 7p126. Exercices 9 et 10p127.

B] Cas général a x y b x y c x( ). ' ( ). ( )+ = 1) Théorème Théorème : Les solutions de l'équation différentielle linéaire a x y b x y c x( ). ' ( ). ( )+ = s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre. 2) Méthode de variation des constantes ou de Lagrange Méthode: La solution générale de l'équation homogène 0).(').( =+ yxbyxa est )(.)( xGeCxy −= . On cherche une fonction x → z(x) telle que )(

1 ).()( xGexzxy −= soit solution de l'équation )().(').( xcyxbyxa =+ . Le but est alors de trouver une telle fonction z.

Exemple :

A.BENHARI 40

Résoudre l’équation différentielle ty’ – 2y = t3 et sur IR+*. Résolvons tout d’abord l’équation ty’ – 2y = 0 à l’aide du théorème précédent.

On a donc y = C exp ( )–G(t) où G(t) est une primitive de – 2t sur IR+*. Donc G(t) = –2ln t.

Ainsi y = C exp ( )2ln t = Ct2. Utilisons la méthode de variation de la constante.

Calculons tout d’abord y’ = C’(t) exp ( )2ln t + C(t) × 2t × exp ( )2ln t .

D’où ty’ – 2y = t ×

C’(t) exp ( )2ln t + C(t) × 2t × exp ( )2ln t – 2 C(t) exp ( )2ln t

= t C’(t) exp ( )2ln t = t C’(t) t2 = t3 et. Ainsi C’(t) = et. C’est pourquoi C(t) = et + k où k ∈ IR. Donc y = C(t) exp ( )2ln t = ( )et + k t2 où k ∈ IR.

3) Solutions particulières usuelles de l'équation différentielle linéaire y a y f x' . ( )+ = ( a ∈ IR )

Théorème : La solution générale de ay’ + by = c s’obtient en ajoutant la solution de l’EDLH et une solution particulière de EDL avec second membre. Exercice 11p127.

a) cas où f x( ) est un polynôme de degré n Propriété : si a = 0 alors une solution particulière est un polynôme de degré n+1. Si a ≠ 0 alors une solution particulière est un polynôme de degré n. Démonstration : ADMIS Exemple : Résoudre l’équation différentielle y’ – y = 2t – 1. On résout tout d’abord EDLH, on obtient alors y = Cet où C ∈ IR. Comme a ≠ 0, le polynôme est de degré 1. On pose P(t) = at + b. Ainsi P ‘ (t) = a. On réinjecte dans EDL. D’où a – at – b = 2t – 1. Ainsi par identification

–a = 2 a – b = –1 SSI

a = –2 b = –1.

Donc une solution particulière de cette équation est y = –2t – 1. C’est pourquoi la solution générale est y = Cet + ( )2t – 1 .

b) Cas où f(x) = A cos nx + B sin nx On cherche une solution particulière de la forme y = α cos nx + β sin nx. Exemple : Résoudre l’équation différentiel y’ – y = 2 cos x. On sait déjà que la solution à l’EDLH est y = Cet, où C ∈ IR, avec ce qui précède. Cherchons une solution particulière. Posons y = α cos x + β sin x. Ainsi y’ = – α sin x + β cos x. Donc y’ – y = ( )– α sin x + β cos x – ( )α cos x + β sin x = 2 cos x. On a donc par identification :

– α – β = 0 β – α = 2 SSI

α = – β –2 α = 2 SSI

Ainsi y = – cos x + sin x. α = –1 β = 1

A.BENHARI 41

Donc la solution générale est donc y = – cos x + sin x + Cet, où C ∈ IR. Exercice 12p127. Exercices 14 et 16p128. Exercices 28 et 31p131. II. Equation Différentielle du 2nd ordre ay’’ + by’ + cy = f Nous n'étudierons que les équations à coefficients constants )(.'.''. xfycybya =++ où a, b et c sont réels.

A] EDLH Forme générale 0.'.''. =++ ycybya Remarque : Si ϕ1 et ϕ2 sont deux solutions de (EDLH) alors, pour tout couple de réels ( k1 ; k2 ) , la fonction 2211 ϕϕϕ kk += est aussi une solution de (EDLH). Remarque : Si l'on trouve deux solutions ϕ1 et ϕ2 ( non colinéaires ) alors toute solution de (H) sera de la forme 2211 ϕϕϕ kk += .

1) Equation caractéristique Définition : L'équation a r b r c. .2 0+ + = s'appelle l'équation caractéristique de l'équation différentielle a y b y c y. ' ' . ' .+ + = 0 .

Exemple : L’équation caractéristique de y’’ – 4y’ + 3y = 0 est r2 – 4r + 3 = 0.

2) Résolution de l' EDLH : 0.'.''. =++ ycybya Théorème :

• Si ∆ > 0 , alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles r1 et r2. Les solutions de l'équation différentielles sont les fonctions xrxr ekekx .

2.

1 21 ..)( +=ϕ où k1 et k2 sont deux réels.

• Si ∆ = 0 , l'équation caractéristique admet une racine réelle double r. Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions xrexkkx .

21 )..()( +=ϕ où k1 et k2 sont deux réels.

• Si ∆ < 0 , alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes

conjuguées que l’on peut écrire sous la forme : βα ir +=1 et βα ir −=2 .

Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions )sincos()( 21 bxkxkex x += βϕ α,

où k1 et k2 sont deux réels. Démonstration : ADMIS. Exemple : Résoudre l’équation différentielle y’’ – 4y’ + 3y = 0. Résolvons tout d’abord l’équation caractéristique. On a r2 – 4r + 3 = 0. On calcule ∆ = 16 – 4 × 1 × 3 = 16 – 12 = 4. Ainsi on a deux racines réelles distinctes :

r1 = 4 – 2 2 = 1 et r2 = 4 + 2

2 = 3.

Donc d’après le théorème la solution de l’EDLH est y = k1 ex + k2 e3x. Exercices 17, 18 et 19p128.

A.BENHARI 42

B] Cas général )(.'.''. xfycybya =++ 1) Théorème Théorème : Les solutions de l'équation différentielle linéaire a y b y c y f x. ' ' . ' . ( )+ + = s'obtiennent en ajoutant à la solution générale de l'équation homogène une solution particulière de l'équation avec second membre. Démonstration : ADMIS Exercices 23 et 24p129.

2) Si f x( ) est un polynôme de degré n Propriété : Si f x( ) est un polynôme de degré n alors il existe une solution particulière sous la forme d'un polynôme p x( ) .

Si a b c≠ ≠ ≠0 0 0; ; alors le polynôme p est de degré n. Si a b c≠ ≠ =0 0 0; ; alors le polynôme p est de degré n + 1. Si a b c≠ = =0 0 0; ; alors le polynôme p est de degré n + 2.

Démonstration : ADMIS Exemple : Résoudre l’équation différentielle linéaire y’’ – 4y’ + 3y = 2x + 3. Avec la propriété On pose P(x) = ax + b. Ainsi P’(x) = a et P ‘’(x) = 0. Donc –4a + 3 ( )ax + b = 2x + 3. C’est pourquoi par identification on a :

3a = 2 –4a + 3b = 3 SSI

a = 23

3b = 3 + 4a = 3 + 83 = 173

SSI

a = 23

b = 179

.

Donc P(x) = 23x + 179 .

La solution générale est donc y = P(x) + ( )k1 ex + k2 e3x . Exercice 20p129.

3) Si f x( ) est de la forme xNxMxf .sin.cos)( ωω += Propriété : Si f x( ) est de la forme xNxMxf .sin.cos)( ωω += alors il existe une solution particulière sous la forme xBxAx .sin.cos)( ωωϕ += où A et B sont deux constantes à déterminer. Démonstration : ADMIS Exercice 22p129.

4) Si f x( ) est de la forme )(.)( xpexf mx= où p est un polynôme et m ∈ IR

Méthode :

A.BENHARI 43

On procède par identification avec un polynôme de même de degré que p. Exercice 21p129. Exercice 29p131.

Courbes planes I. Courbes planes planes définies par une représentation paramétrique A] Définition d’une courbe définie par une représentation paramétriques Définition : Soient f et g deux fonctions de IR dans IR définies sur un intervalle I. Si, à tout réel t de I, on

associe le couple ( )f(t) , g(t) , on définit alors une fonction F : I → IR2 t → ( )f(t),g(t) .

Soit, dans un plan rapporté à un repère (O ;→

u ;→

v ) le point M tel que →

OM = f(t)→

u +g(t)→

v . Lorsque t varie dans I, le point M décrit une courbe plane C. Les relations x = f(t) et y = g(t) constituent ce qu’on appelle une représentation paramétrique de C, t étant le paramètre. Remarque : En cinématique, la variable t représente le temps et la courbe C est la trajectoire du mobile. Exemple : Soit F(t) = ( )cost , sint . Il s’agit du cercle trigonométrique. B] Dérivée Propriété : Si f et g sont deux fonction dérivables sur I, alors F est dérivable sur I et F‘(t)=( )f’(t) ,g’(t) (). Démonstration : ADMIS Interprétation géométrique : Si ( )f ‘(t0) , g ‘(t0) ≠ ( )0,0 , alors la courbe admet au point de paramètre t0 une tangente. Le vecteur de coordonnées ( )f ‘(t0) , g ‘(t0) est appelé vecteur dérivé au point M(t0) et il est noté d

→

OMdt (t0). Ce vecteur est un vecteur directeur de la tangente.

C] Réduction de l’intervalle d’étude 1) Période Propriété : Si f et g sont périodiques et si elles ont une période communes T, alors les points M(t) et M(t+T) sont confondus. On obtient toute la courbe en prenant un intervalle d’amplitude T. Démonstration : Il suffit d’écrire.

A.BENHARI 44

2) Symétries éventuelles Propriété :

• Si f est paire et g aussi, alors M( –t) = M(t). • Si f est paire et g impaire, alors M( –t) est obtenu à partir de M(t) par symétrie

par rapport à l’axe des abscisses. • Si f est impaire et g est paire, alors M( –t) est obtenu à partir de M(t) par

symétrie rapport à l’axe des ordonnées. • Si f est impaire et g aussi, alors M( –t) est obtenu à partir de M(t) par symétrie

par rapport à O. On réduit donc l’intervalle d’étude de moitié. Faire un graphique. Démonstration : Il suffit d’écrire. D] Exemples Exemple 1 : Etude de la courbe définie paramétriquement par :

F(t) = x = f(t) = –6t3 + 6t2 y = g(t) = –6t2 + 6t pour tout t ∈ [ 0 ; 1 ].

Calcul des dérivées f et g : Les fonctions f et g sont dérivables sur [ 0 ; 1 ]. On a f ‘(t) = –18 t2 + 12t et g ‘(t) = –12t + 6. Ainsi f ‘(t) = 6t ( )–3t +2 et g ‘(t) = 6( )1 – 2t . On obtient donc le tableau de variations conjointes :

t 0 12 23 1

signe de f ‘(t) Variations de f

Variations de g

Signe de g ‘(t) Etude aux points remarquables : On observe les points où l’une des deux coordonnées du vecteurs dérivé s’annule.

Ainsi on a une tangente horizontale au point de coordonnées

3

4 , 32 .

En outre on a une tangente verticale au points de coordonnées

8

9 , 43 et ( )0, 0 .

Tracé de la courbe : A faire !!! Exemple 2 : Etude de la courbe définie paramétriquement par :

F(t) = x = f(t) = cos t y = g(t) = 2 sint pour tout t réel.

Périodicité :

A.BENHARI 45

Les fonctions f et g sont 2π périodiques. On peut donc réduire l’intervalle à [ ]–π ,π . Symétries éventuelles : La fonction f est paire et la fonction g est impaire. On obtient M(–t) en fonction de M(t) par symétrie par rapport à l’axe des abscisses. On réduit donc l’intervalle d’étude à [ ]0,π .

En outre f(π – t) = – f(t) et g(π – t ) = g(t). Ainsi on peut réduire l’intervalle d’étude à

0 , π2

en faisant une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Etude des variations : On sait que f et g sont dérivables et f ‘(t) = – sint et g ‘(t) = 2cos t. On dresse le tableau de variations conjointes :

t 0 π2

Signe de f ‘(t) Variations de f

Variations de g

Signe de g ‘(t) Etude aux points remarquables : La tangente au point ( )0,2 est horizontale et la tangente au point ( )–1 , 0 est verticale. Tracé de la courbe : Exercice 7p235. Exercice 9p236. Exercice 14p237. Exercice 16p238. Exercice 17p239. II. Courbes planes définies par une représentation

polaire t → ρ(t) eiθ(t) A] Remarque

On peut aussi se ramener au cas précédent en posant EEA

f(t) = ρ(t) cosA( )θ(t) g(t) = ρ(t) sin( )θ(t) .

Le repère orthonormal est obligatoire puisque ρ(t) est un module et θ(t) est un argument. B] Tangente en un point de la courbe Propriété : Si ρ et θ sont dérivables, alors C admet au point M0 d’affixe ρ(t0) e iθ(t0) une tangente D et un vecteur directeur de D dans le repère ( )M0,

→

u0 ,→

v0 a pour coordonnées ( )ρ ‘(t0), ρ(t0) θ ‘(t0) si ( )ρ ‘(t0), ρ(t0) θ ‘ (t0) ≠ ( )0,0 . Démonstration :

A.BENHARI 46

ADMIS Faire une figure. Comme il n’est pas facile de placer le vecteur directeur de la tangente, on détermine l’angle a que fait la tangente D avec la droite ( )OM0 en calculant tan a.

Or si ρ’t0) ≠ 0 on a : tan a = ρ(t0) θ ‘(t0) ρ’(t0)

.

C] Exemple

Soit la courbe définie par ρ(t) = 1

1+t2

θ(t) = –2 arctan tpour tout t ∈ IR+.

Calcul des dérivées : ρ et θ sont dérivables sur IR+.

Ainsi on a

ρ ‘(t) = –2t

( )1+t2 2

θ ‘(t) = –21+t2

.

Tableau de variations conjointes : t 0 +∞

Signe de ρ ‘(t) Variations de ρ

Variations de θ

Signe de θ ‘(t) Etude des points remarquables : Etude au point A( )1,0 . Etude au point O( )0,0 . Tracé de la courbe : Exercice 11p237. Exercices 19 et 20p240.

Probabilités I. Calcul de probabilité A] Langage des évènements Si nous connaissons les conditions d'une expérience sans pouvoir prévoir son résultat, nous sommes en présence d'une expérience aléatoire. Chaque résultat possible est une issue ou une éventualité. L'ensemble de toutes les éventualités de cette expérience aléatoire est l'univers des possibles Ω.

A.BENHARI 47

Toute partie de l'univers est un événement. Ω est l'événement certain ; ∅ est l'événement impossible. Un événement qui ne contient qu'une seule éventualité est un événement élémentaire. Exemple : On lance une fois un dé cubique usuel non truqué; Ω = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. A : "obtenir un nombre pair" est l'événement 2 ; 4 ; 6. B : "obtenir 5" est un événement élémentaire 5 . C : "obtenir un multiple de 3" est l'événement 3 ; 6. D : "obtenir un nombre impair" est l'événement 1 ; 3 ; 5. L'événement A ∩ C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à la fois à l'événement A et à l'événement C. Donc A ∩ C = 6. L'événement A ∪ C, c'est l'événement formé de tous les résultats favorables à l'un au moins des évènements A ou C. Donc A ∪ C = 2 ; 3 ; 4 ; 6. Deux évènements qui n'ont aucune éventualité commune sont des évènements incompatibles (ou disjoints). Si A ∩ B = ∅, alors les évènements A et B sont incompatibles. L'événement constitué de toutes les éventualités de Ω qui n'appartiennent pas à A est appelé l'événement contraire de A, noté A . A = 1, 3, 5 . Donc A et D sont des évènements contraires car A ∩ D = ∅ et A ∪ D = Ω. Un schéma important :

B] Calculs de probabilités

1) Définition Définition : On considère l'univers Ω lié à une expérience aléatoire. Définir une probabilité sur Ω, c'est associer à chaque événement un nombre de l'intervalle [0 ; 1] tel que : La somme des probabilités de tous les évènements élémentaires de l'univers est 1. la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des évènements

élémentaires qui le composent. Propriété : La probabilité de l'événement certain est 1 : p(Ω) = 1.

A ∪ B

Ω

A ∩ B A B

A

A.BENHARI 48

La probabilité de l'événement impossible est 0 : p(∅) = 0. Exemple : On reprend le dé de tout à l'heure.

p(A) = p(2 ; 4 ; 6) = p(2) + p(4) + p(6) = 16 + 16 + 16 = 36 = 12.

p(A ∩ C) = p(6) = 16.

2) Propriétés

Propriété : Pour tout évènement A,

p( A ) + p(A) = 1 ou p( A ) = 1 – p(A). Pour tous les évènements A et B : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B). Pour deux évènements A et B incompatibles :

p(A ∪ B) = p(A) + p(B). Remarque : Les évènements A ∩ B et A ∩ B sont incompatibles et leur réunion est B, d'où

p(B) = p(A ∩ B) + p( A ∩ B). 3) Cas d'équiprobabilité

Définition : Lors d'une expérience aléatoire, si tous les éléments élémentaires ont la même probabilité(c'est-à-dire tous les résultats ont la même chance d'apparaître), on dit qu'il y a équiprobabilité des résultats (l'exemple de tout à l'heure est un cas d'équiprobabilité). Ainsi, si l'univers Ω a n résultats possibles, alors chaque événement élémentaire a une

probabilité de 1n et pour un événement A ayant k résultats favorables, alors :

p(A) = kn.

Dans le cas d'équiprobabilité, la probabilité d'un évènement A de l'univers Ω est : Loi de Laplace

p(A) = nombre de résultats favorables à A nombre de résultats possibles de Ω.

Il y a équiprobabilité lorsqu'on a un dé bien équilibré, un jeu de cartes bien battu .... ou lorsque l'action s'effectue au hasard, en particulier lors du choix d'un individu dans un groupe. Exercices 1 et 4p323. Exercice 27p328.

C] Arbres pondérés Exemple :

Dans un lycée, 45 % des élèves sont des filles. Parmi les filles, 30 % sont internes et 70 % externes. Parmi les garçons, 60 % sont internes et 40 % sont externes.

A.BENHARI 49

Cette situation peut-être représentée par l'arbre pondéré ci-contre. On tire au hasard une fiche dans le fichier de tous les élèves du lycée. On admettra que : Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin. Ainsi la probabilité d’obtenir une fiche d'une fille externe est égale à :

0,45 × 0,7 = 0,315 Propriété : La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même nœud est égale à 1. Exercices 2 et 3p323.

A.BENHARI 50

II. Probabilités conditionnelles A] Exemple B] Définition Définition : Soit P une probabilité sur un univers Ω et B un évènement tel que P(B) ≠ 0. La probabilité de l’évènement A sachant que B est réalisé est notée P

EE PA( )A∩B A

PA( )B A

.

Remarque : Si PA( )AE A ≠ 0, on peut alors définir également PA( )B/AE A. En outre on a PA( )A∩BE A = PA( )A/BE A × PA( )BE A = PA( )B/AE A × PA( )AE A. Exercices 5, 6 et 7p324. Exercice 25p328. C] Evènements indépendants Définition : Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants si la réalisation de l’un n’agit pas sur la réalisation de l’autre, c'est-à-dire si PA( )A/BE A = PA( )AE A ou PA( )B/AE A = PA( )BE A. Autre Définition : Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants SSI PA( )A∩BE A = PA( )AE A×PA( )BE A. Démonstration : Deux évènements A et B de probabilités non nulles sont indépendants SSI PA( )A∩BE A = PA( )A/BE A × PA( )BE A = PA( )AE A × PA( )BE A car PA( )A/BE A = PA( )AE A. Exemple : On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On définit les évènements : A : « Tirer un roi ». B : « Tirer un cœur ». C : « Tirer un roi rouge ». L’évènement A∩B : « Tirer le roi de cœur ».

Ainsi PA( )A∩BE A = 132 ; PA( )AE A = 18 et PA( )BE A = 14. On constate donc que PA( )A∩BE A = PA( )AE A×PA( )BE A.

Donc les évènements A et B sont indépendants. L’évènement B∩C : « Tirer le roi de cœur ».

Ainsi PA( )B∩CE A = 132 ; PA( )BE A = 14 et PA( )CE A = 2

32 = 116.

C’est pourquoi PA( )BE A × PA( )CE A = 116 × 14 ≠ 1

32.

Exercices 11 et 12p325.

( )A/B ou PB( )A .

Elle est définie par P( )A∩B = P( )A/B × P( )B et donc on a P( )A/B =

A.BENHARI 51

III. Dénombrement A] Listes Définition : Une p-liste A( )ou un p-uplet E A d’un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de E distincts ou pas. Exemple : Soit E = A

a,b,c,d,eE A.

Alors A( )a,b,eE A, A( )a,e,eE A, A( )a,c,bE A et A( )e,d,b E A sont 4 3-uplets d’élément de E. Ainsi pour le 1er élément il y a 5 choix possibles, pour le 2ème élément il y a 5 choix possibles et pour le 3ème aussi. C’est pourquoi il y a 53 3-uplets possibles pour cet ensemble E. Propriété : Le nombre de p-liste d’un ensemble E à n éléments est np. Remarque : On utilise ce raisonnement essentiellement lorsqu’on effectue un tirage successif avec remise. B] Arrangements Définition : Un arrangement à p éléments d’un ensemble E à n éléments est une suite ordonnée de p éléments de E distincts. On a donc ici obligatoirement p ≤ n. Exemple : Soit E = A

a,b,c,d,eE A.

Alors A( )a,b,cE A, A( )a,c,bE A, A( )a,b,eE A et A( )b,c,dE A sont 4 arrangements à 3 éléments. Ces arrangements sont absolument tous différents. Ainsi pour le 1er élément il y a 5 choix possibles, pour le 2ème élément il y a 4 choix possibles et pour le 3ème il y a 3 choix possibles. C’est pourquoi il y a 5 × 4 × 3 ( =60 ) arrangements possibles pour cet ensemble E. Propriété : Le nombre d’arrangements à p éléments d’un ensemble E à n éléments est noté AA

pnEA et

AA

pnEA = n A( )n –1E A A( )n – 2E A × … × A( )n – p + 1E A.

Remarque : On note n ! = n × A( )n – 1E A × A( )n – 2E A × … × 2 × 1.

Ainsi AA

pn E A = E n !

A( )n – p !A

.

Remarque : On utilise ce type de raisonnement pour un tirage successif sans remise. Exercices 13 et 14p325. Exercices 17 et 18p326. C] Permutation Définition : Une permutation d’un ensemble E à n éléments est un arrangement à n éléments de E. On est dans un cas particulier des arrangements avec n = p. Exemple : Soit E = A

a,b,c,d,eE A.

Alors A( )a,b,d,c,eE A, A( )b,a,c,d,eE A et A( )e,d,b,a,cE A sont 3 permutations de l’ensemble E.

A.BENHARI 52

Ainsi pour le 1er élément on a 5 choix possible, pour le 2ème on a 4 choix possibles, … Donc on a 5 ! = 120 permutations possibles pour cet ensemble E. Propriété : Soit E un ensemble à n éléments. Il y a donc n ! permutations possibles. D] Combinaisons 1) Définition et 1ère propriété Définition : Soit E un ensemble à n éléments. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E à p éléments. Ici aussi, nous avons obligatoirement n ≥ p. Exemple : Soit E = A

a,b,c,d,eE A.

Alors A

a,b,cE A, A

a,e,cE A, A

b,e,dE A et A

a,c,dE A sont des combinaisons à 3 éléments de E. On

remarque que A

a,b,cE A et A

b,c,aE A sont les mêmes. On retient que l’ordre n’est pas important

contrairement au arrangements et aux permutations. Propriété : Le nombre de combinaisons de p éléments pris parmi n est noté CA

pnEA et

CA

pnEA = A

AA

pAEnEA

p ! E = E n ! p ! A( )n – p A !

.

Remarque : On utilise ce type de raisonnement pour un tirage simultané. Exercice 19p326. Exercice 21p327. 2) Propriété des CA

pnE

Propriété : • Pour tout n ≥ 1, on a : CA

0n E A = CA

nnEA = 1 et CA

1n E A = n.

• Pour tout p tel que 0 ≤ p ≤ n, on a : CA

pnEA = A

n-pnE A.

• Pour tout p tel que 1 ≤ p ≤ n, on a : CA

pnEA = CA

p-1n-1 EA + CA

pn-1 E A.

Démonstration : Il suffit d’écrire avec la définition. Triangle de Pascal : Il permet de calculer de proche en proche les CA

pn E A.

A faire Propriété : Formule du binôme de Newton Soit a et b deux nombres complexes. Soit n ∈ IN.

Alors on a : A( )a+bE A

n = EA ∑p=0

n CA

pnAan–p bp

EA .

Démonstration : On procède par récurrence sur n.

A.BENHARI 53

E] Bilan On peut résumer l’utilisation de ce que nous venons de voir dans le tableau suivant : Tirage Ordonnés Non ordonnés Sans remise AA

pn E CA

pn E

Avec remise np Exercices 23 et 24p327.

A.BENHARI 54

Transformation de Laplace I. Préliminaires A] Intégrales généralisées ou impropres Définition : Soit I(x) = A⌡⌠a

x f(t) EAdt , avec f une fonction continue sur [a ;+∞[ et x ∈ ] a ;+∞[. Si I(x) admet une limite finie lorsque x tend vers +∞, alors que l’intégrale A⌡⌠a

+∞ f(t)EAdt converge, et on pose A⌡⌠a

+∞ f(t)EA dt = limx → +∞

A⌡⌠a x f(t)E A dt.

Dans le cas contraire, on dit que A⌡⌠a +∞ f(t)E A dt diverge.

Remarque : Les propriétés de l’intégrale restent valables. Exemples : Dire si les intégrales suivantes convergent ou divergent :

* I = ⌡⌠

1

+∞ 1t dt.

* J = ⌡⌠

1

+∞ 1t2 dt.

B] Les fonctions causales 1) Définition d’une fonction causale Définition : Une fonction f ( ou un signal) de la variable réelle t est dite causale si pour tout t strictement négatif f(t) = 0. 2) Exemples de fonctions causales La fonction de Heaviside ou fonction échelon unité : La fonction de Heaviside ou fonction échelon unité, notée U, est définie sur IR par :

U(t) = A

0 si t < 0 1 si t ≥ 0EA.

Remarques : * La fonction U n’est pas continue en 0 ; elle est continue seulement à droite en 0. * On rend une fonction causale en la multipliant par cette fonction U. La fonction rampe unité : La fonction rampe unité est définie sur IR par :

f(t) = A

0 si t < 0 t si t ≥ 0 E

Remarque : f(t) = t U(t) est une autre façon d’obtenir la fonction rampe unité. La fonction retardée : Rappel : Si f est une fonction numérique, alors la fonction g définie par g : x A

→ E

A f(x+a) est dite en avance de a et la fonction h définie par h :x A

→ E

A h(x–a) est dite retardée de a. La courbe de g est obtenue par une translation de vecteur a A

→

uE A dans un repère (O ;A

→

uE A ; A

→

v E A).

A.BENHARI 55

Faire un graphe. Exemple : La fonction échelon retardé de 3 est définie par U(t–3). La fonction créneau Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b et k un réel. La fonction créneau est définie par f(t) = k A( )U(t–a) – U(t–b) .

Ainsi f(t) =

En effet on a : 0 si t < a k si a ≤ t < b 0 si t ≥ b

U(t–a) –U(t–b) f(t) t<a 0 0 0

t ∈ [a ;b[ 1 0 k t ∈ [b ;+∞[ 1 –1 0

II. Transformation de Laplace A] Définition Définition : La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction F de la variable réelle ou complexe p définie par F(p) = ( )Lf (p) = ⌡⌠0

+∞ f(t) e –pt dt. Remarque : F existe SSI ⌡⌠0

+∞ f(t) e –pt dt converge. B] Transformée de Laplace des fonctions usuelles 1) Transformée de Laplace de la fonction de Heaviside Propriété : La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a

( )LU (p) = 1p. On écrit généralement par abus de langage : L[ ]U(t) = 1p.

Démonstration : Calculer ⌡⌠0

+∞ U(t) e –pt dt = ⌡⌠0 +∞ e –pt dt.

2) Transformée de Laplace de la fonction rampe : t → t U(t) Propriété : Transformée de Laplace de la fonction rampe t → t U(t) est définie pour tout p > 0 et on a :

L( )tU(t) (p) = 1p2.

Démonstration : On pose I(x) = ⌡⌠0

x t e–tp dt pour tout x > 0.

Si p = 0, alors on a ⌡⌠0 x t dt = x

2

2 . Donc l’intégrale diverge.

Si p ≠ 0, alors on procède à l’aide d’une intégration par parties.

On pose g ‘ (t) = e –pt g(t) = –1p e –pt

h(t) = t h ‘(t) = 1.

Ainsi I(x) =

– 1

p t e –pt0x –

⌡⌠

0

x –1

p e –pt dt. = –1p x e –px + 1p

– 1p e –pt

0x

A.BENHARI 56

Donc I(x) = –1p x e –px – 1

p2 ( )e –px – 1 .

C’est pourquoi si p < 0 l’intégrale diverge et si p > 0 l’intégrale converge.

En outre pour p > 0, on a ⌡⌠0 +∞ t e –pt dt = 1

p2 .

3) Transformée de Laplace de t → tn U(t) pour n ∈ Propriété : Transformée de Laplace de t

IN

→ tn U(t) pour n ∈ IN est définie pour tout p > 0 et on a :

L[ ]tnU(t) (p) = n ! pn+1.

Démonstration : Il nous faut calculer ⌡⌠0

+∞ tn U(t) e –pt dt = ⌡⌠0 +∞ tn e –pt dt In.

Posons, pour tout x > 0 et tout n ∈ IN : In(x) = ⌡⌠0 x tn e –pt dt.

Si p = 0, alors In(x) = ⌡⌠0 x tn dt = 1

n+1 x.

Donc l’intégrale diverge. Si p ≠ 0. On pose alors In = ⌡⌠0

+∞ tn e –pt dt. Si p > 0, alors on constate que lim

x → +∞In(x) = In.

On sait déjà que I0 = 1p et I1 = 1p2.

On procède à l’aide d’une intégration par parties sur In(x).

On pose : g’(t) = e –pt g(t) = – 1p e –pt

Et h(t) = tn h’(t) =n tn–1

Ainsi In(x) = – 1p xn e –px + np ⌡⌠0x tn–1 e –pt dt = – 1p xn e –px + np In–1(x).

C’est pourquoi lorsque x tend vers +∞, on a : In = np In–1.

Ainsi I2 = 2p I1 = 2p3 ; I3 = 3p I2 = 3 × 2

p4 ; ... ; In = n × ... × 4 × 3 × 2 pn+1 .

En outre si p < 0, comme In(x) = – 1p xn e –px + np In–1(x), l’intégrale diverge !!!

4) Transformée de Laplace de t

E A(p) = 1p+a.

Démonstration : Il nous faut calculer A⌡⌠0

+∞ e –at e –ptEA dt = EA⌡⌠0

+∞ e – A

→ e –at U(t) avec a∈ Propriété :

Si Re(p) > Re(a), alors L

IC

[ ]e –at U(t)

( )a+p t dt.

Pour cela posons I(x) = ⌡⌠0 x e –( )a+p t dt.

Si p+a = 0, alors on I(x) = ⌡⌠0 x dt = x et donc l’intégrale diverge.

Si p+a ≠ 0, alors I(x) =

–

e –( )a+p t

a+p 0x = 1

p+a – 1p+a e –( )p+a x.

Ecrivons alors le nombre p+a sous forme algébrique. Ainsi on pose α = Re(p+a) et β = Im(p+a). Donc on a e –( )p+a x = e –αx e –iβ . Donc e –( )p+a x = e –αx.

A.BENHARI 57

Si α < 0, alors l’intégrale diverge.

Si α > 0, alors, comme limx → +∞

e –αx = 0, l’intégrale converge. En outre limx → +∞

I(x) = 1p+a.

Remarque : Dans la pratique et pour la suite on ne précise pas les valeurs de p pour lesquelles F(p) existe. C] Propriétés de la transformation de Laplace 1) La linéarité Théorème : Soient f et g deux fonctions dont les transformées de Laplace sont L[ ]f et L[ ]g et k un réel.

• L[ ]f+g = L[ ]f + L[ ]g . • L[ ]kf = k L[ ]f .

Démonstration : On utilise uniquement la linéarité de l’intégrale. Propriété :

Pour tout ω ∈ IR, on a L EA[ ]cosA( )ωt U(t) (p) = pp2+ω2 et L [ ]sin( )ωt U(t) (p) = ω

p2+ω2.

Démonstration : On utilise les formule d’Euler.

En effet cos ωt = eiωt + e–iωt

2 et sin ωt = eiωt – e–iωt

2i .

Ainsi L [ ]cos( )ωt U(t) (p) = ⌡⌠0 +∞ cos( )ωt U(t) e –pt dt.

= 12 ( )⌡⌠0 +∞ eiωt U(t) e –pt dt + ⌡⌠0

+∞ eiωt U(t) e –pt dt .

Ainsi L EA[ ]cosA( )ωt U(t) (p) = 12 ( )L[ ]eiωt U(t) + L[ ]e-iωt U(t) .

= 12

1

p+iω + 1 p – iω . Si p > Re(iω) et p > Re ( –iω).

Donc L EA[ ]cosA( )ωt U(t) (p) = pp2+ ω2 si p > 0.

On procède exactement de la même manière pour sinus. 2) Théorème du retard On regarde ce qui se passe si le signal au lieu de commencer à l’instant t = 0, commence à l’instant t = τ avec τ>0. Théorème du retard : Soit τ ∈ IR. Si F(p) = L[ ]f(t) (p), alors L[ ]f(t– τ)U(t–τ) (p) = e –τp F(p). Démonstration : On calcule L[ ]f(t– τ)U(t–τ) (p) = ⌡⌠0

+∞ f(t– τ) e –pt dt.

Posons I(x) = ⌡⌠0 x f(t– τ) e –pt dt pour tout x ∈ IR+*.

On a que f(t–τ)U(t–τ) = 0 pour t < τ. Donc I(x) = ⌡⌠τ

x f(t–τ) e –pt dt. On effectue alors le changement de variable y = t–τ, d’où dt = dy. C’est pourquoi I(x) = ⌡⌠0

x–τ f(y) e –py e–pτ dy. Donc I(x) = e–pτ ⌡⌠0

x–τ f(y) e–py dy.

A.BENHARI 58

Donc, en faisant tendre x vers +∞, on obtient L[ ]f(t– τ)U(t–τ) (p) = e –τp F(p). 3) Effet d’un changement d’échelle sur la variable Théorème : Soit α ∈IR*+.

Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p), alors L[ ]f(αt)U(t) (p) = 1α

F(pα

).

Démonstration : F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p) = ⌡⌠0

+∞ f(αt)U(t) e –pt dt.

On pose, pour tout x > 0, I(x) = ⌡⌠0 x f(αt) e –pt dt.

On effectue le changement de variable y = αt, d’où dy = αdt.

Ainsi I(x) = ⌡⌠

0

αx f(y) e –p

y

α dyα

.

On en déduit que I(x) = 1α

⌡⌠

0

αx f(y) e – py

α dy.

En faisant tendre x vers +∞, on en déduit que I(x) tend vers F(pα

).

C’est pourquoi on a bien : L[ ]f(αt)U(t) (p) = 1α

F(pα

).

4) Effet de la multiplication par e–at avec a ∈ IR Théorème : Soit a ∈IR. Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p), alors L[ ]f(t)e–atU(t) (p) = F(p+a). Démonstration : L[ ]f(t)e–atU(t) (p) = ⌡⌠0

+∞ f(t) e–at e–pt dt.

= ⌡⌠0 +∞ f(t) e–( )p+a t dt

= F(p+a). Exemple : 5) Transformée d’une dérivée Théorème : Soit f une fonction continue sur IR+*, dérivable par morceaux sur IR+* et dont la dérivée est continue par morceau sur IR+*. Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p), alors L[ ]f ‘ (t)U(t) (p) = pF(p) – f(0+). Remarque : On note f(0+) la limite à droite en 0 de f. Démonstration : On suppose que f est de classe C1 sur IR+*. L[ ]f ‘ (t)U(t) (p) = ⌡⌠0

+∞ f ‘(t) e –pt dt.

On pose pour tout x > 0, I(x) = ⌡⌠0 x f ‘(t) e –pt dt.

On procède à l’aide d’une intégration par parties : On pose g’(t) = f’(t) g(t) = f(t)

h(t) = e –pt h’(t) = –1p e–pt

Ainsi I(x) = [ ]f(t) e –pt0x + 1p ⌡⌠0

x f(t) e–pt dt = ( )f(x) e –px – f(0+) + 1p ⌡⌠0x f(t) e–pt dt.

A.BENHARI 59

On a limx → +∞

f(x) e–px = 0 car sinon on peut démontrer que ⌡⌠0+∞ f(x) e–px dx est divergente.

Ainsi limx → +∞

I(x) = 1p L[ ]f(t)U(t) (p) – f(0+).

Théorème : Soit f une fonction de classe C2 sur IR+* admettant une transformée de Laplace. Alors L[ ]f’’(t)U(t) (p) = p2F(p) – pf(0+) – f ‘(0+). Démonstration : On sait que f ‘’ = ( )f ‘ . Posons g = f’. Donc g est de classe C1 sur IR+*. On peut donc lui appliquer le théorème précédent. Ainsi L[ ]g’(t)U(t) (p) = pL[ ]g(t)U(t) (p) – g(0+). Or g’(t) = f ‘’(t) ; on peut alors écrire L[ ]f ‘’(t)U(t) (p) = pL[ ]f ’(t)U(t) (p) – f ’(0+). Mais p L[ ]f ’(t)U(t) (p) = p ( )pF(p) – f(0+) . Ainsi L[ ]f’’(t)U(t) (p) = p2F(p) – pf(0+) – f ‘(0+). 6) Dérivée d’une transformation de Laplace Théorème : Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p), alors F’(p) = L[ ]–tf(t)U(t) (p). Démonstration : ADMIS Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par t → t sint U(t).

L[ ]f(t) (p) = – L[ ]–t sint U(t) (p) = –

1

p2+1’ = 2p

( )p2+1 2. En effet L[ ]sintU(t) (p) = 1p2+1.

7) Transformée d’une intégrale Théorème : Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p) et si φ(t) = ⌡⌠0

t f(u)U(u) du,

Alors L[ ]φ(t) (p) = 1pF(p) pour p ≠ 0.

Démonstration : ADMIS 8) Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale Théorème : Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p) et si les fonctions considérées ont des limites dans les conditions indiquées, on a :

• Théorème de la valeur initiale : limp → +∞

pF(p) = limt → 0+

f(t).

• Théorème de la valeur finale : limp → 0+

pF(p) = limt → +∞

f(t).

Démonstration : ADMIS

A.BENHARI 60

III. Original d’une fonction A] Définition Définition : Si F(p) = L[ ]f(t)U(t) (p), on dit que f est l’original de F. On note f(t) = L–1[ ]F(p) . Remarque : On admet que si l’original existe, alors il est unique. B] Propriété Propriété : La transformation L–1 est linéaire. Démonstration : ADMIS C] Exemples Exemple 1 :

Calculer l’original de F(p) = 1 + 3 e–2p p2 + 2p + 2.

On a F(p) = 1( )p+1 2+1

+ 3 e–2p ( )p+1 2+1

.

On pose G(p) = 1( )p+1 2+1

.

Ainsi F(p) = G(p) + 3 e–2p G(p). Cherchons l’original de G. On a donc g(t) = sin t e–t U(t). On utilise la linéarité et le théorème du retard. On obtient alors L–1[ ]F(p) = g(t) + 3g( t – 2). Donc f(t) = ( )sin t e– t U(t) + 3 EEA( )sin ( )t –2 e–( )t–2 U(t–2) Remarque : On utilise souvent la décomposition en éléments simples. Exemple 2 :

Calculer l’original de F(p) = p3 + 2p + 1 p2( )p2+2

.

Décomposons cette fonction en éléments simples.

On obtient alors F(p) = 1p + 12p2 – 1

2( )p2+2.

Or on sait que L–1

1

p = U(t) et L–1

1

2p2 = 12 L–1

1

p2 = 12 t U(t).

Il reste à trouver l’original de 12( )p2+2

.

Or on sait que l’original de ωp2+ω2 est sin( )ωt U(t). Donc en prenant ω = 2, on trouve

L–1

2

p2+2 = sin( )2t U(t).

Donc L–1

1

2( )p2+2 = 1

2 2 × sin( )2t U(t).

A.BENHARI 61

Ainsi f(t) = U(t) + 12 t U(t) – E 12A 2A

× sin EA( )2t U(t).

Exemple 3 :

Calculer l’original de F(p) = 12p2 + p – 1.

On décompose F en éléments simples et on obtient F(p) = 13 –1p+1 + 13 1

p–12

.

On sait que L[ ]U(t) (p) = 1p, en outre F(p+a) = L[ ]f(t)e–atU(t) (p).

Ainsi L–1

1

p+1 = U(t) e–t et L–1

1

p–12

= e1

2tU(t).

Pour conclure on utilise la linéarité : f(t) = 13

–U(t)e–t + e

1

2t U(t) = 13

–e–t + e

1

2t U(t).

Exemple 4 :

Calculer l’original de F(p) = 14p2 + 16p + 17 = 14 × 1

( )p+2 2 + 14

.

Posons G(p) = 1

( )p+2 2 + 14

.

Or L–1EA[ ]sin A( )ωt U(t) = ω

p2 + ω2. On prend donc ω = 12.

Donc L–1

sin

1

2t U(t) =

12

p2+14

.

Il faut donc remplacer p par p+2, donc on multiplie g(t) par e–2t .

Donc f(t) = 14 × 2 × e–2t × sin

1

2t U(t) = 12× e–2t × sin

1

2t U(t).

IV. Applications de la transformation de Laplace A] Résolution d’équations différentielles Exemple : On cherche à résoudre l’équation différentielle s’(t) + s(t) = e(t), avec la condition initiale s(0+) = 0 et s est la fonction continue sur IR+* et dérivable par morceaux. En outre e est la fonction causale en créneau définie par e(t) = U(t) – U(t–1). Notons S la transformée de Laplace de s et E celle de e. On a donc L[ ]s’(t)+s(t) (p) = L[ ]e(t) (p). D’où L[ ]s’(t) (p) + L[ ]s(t) (p) = E(p). Ainsi pS(p) – s(0+) + S(p) = E(p). D’où pS(p) + S(p) = E(p).

Donc S(p) = 1p+1 E(p).

Or E(p) = L[ ]U(t) (p) –L[ ]U(t–1) (p) = 1p – 1pe–p d’après le théorème du retard.

Ainsi E(p) = 1p ( )1 – e–p .

A.BENHARI 62

Donc S(p) = E 1pA( )p+1

( )1 – e–p .

On cherche à présent l’original s de S.

S(p) = 1p( )p+1

– 1p( )p+1

e – p.

On décompose en éléments simples 1p( )p+1

.

Or 1p( )p+1

= 1p – 1p+1.

Mais L–1

1

p = U(t) et L–1

1

p+1 = e–tU(t).

Donc L–1

1

p( )p+1 = U(t) – e–tU(t).

En outre d’après le théorème du retard on a aussi L–1

1

p( )p+1 e–p = U(t–1) – e –(t–1) (t–1).

On conclut donc que s(t) = U(t) – e–tU(t) – U(t–1) + e –(t–1) U(t–1). Faire le graphique pour bien voir que la fonction est continue sur IR. B] Résolution de système d’équations différentielles Exemple :

Résoudre le système x’(t) = 2x(t) – y(t) y’(t) = x(t) + 2y(t) avec les conditions initiales

x(0+) = 1 y(0+) = 0.

On admet que x, y et leurs dérivées admettent des transformées de Laplace. On applique la transformation de Laplace au système et on obtient :

L[ ]x’ = L[ ]2x – y L[ ]y’ = L[ ]x+2y SSI

pX(p) – x(0+) = 2X(p) – Y(p) pY(p) – y(0+)= X(p) + 2Y(p) On résout alors le système en X(p) et

Y(p) pour obtenir X(p) = p – 2 ( )p – 2 2 + 1

et Y(p) = 1 ( )p–2 2+1

.

On sait que l’original de pp2 + ω2 est cos( )ωt U(t). On prend donc ω = 1. Ensuite on doit

remplacer p par p – 2. d’où x(t) = cost e2t U(t).

On sait aussi que l’original de ωp2 + ω2 est sin( )ωt U(t). On prend ω = 1. Ensuite on doit

remplacer p par p – 2, d’où y(t) = sint e2t U(t).

A.BENHARI 63

Les suites I. Notion de suite A] Définition d’une suite Faire des exemples Définition : Une suite u ou (un) est une fonction qui à tout entier n associe un nombre u(n), noté un. Remarque : u0 ou up est le terme initial de la suite suivant que la suite commence à 0 ou p. Vocabulaire : On dit que un est le terme général de la suite (un). n est l’indice de un. un+1 est le terme qui suit un. un–1 est le terme qui précède un. Exemples : u0 = 1, u1 = 3, u2 = 5, … v0 = – 1 , v1 = 1, v2 = – 1, v3 = 1,…. B] Mode de génération d’une suite et représentation graphique 1) Génération d’une suite Une suite est une liste de nombres, mais on peut parfois la définir à l’aide d’une formule. Voyons deux modes de génération.

• Formule explicite : un = f(n) quand le terme est fonction de l’indice. • Formule de récurrence : un+1 = f(un) lorsque le terme est fonction du terme précédent,

il faut alors aussi préciser le terme initial. Exemples :

• f(x) = 2x² – 1 et un = f(n). • vn + 1 = 2vn + 1 , v0 = – 1

2) Représentation graphique

Exemples : Représenter graphiquement les cinq premiers termes de (un) et (vn). Exercices 1, 2, 3 et 5p62. C] Sens de variation Définition : Soit (un) une suite. On dit que :

• (un) est croissante lorsque pour tout n, on a un+1 ≥ un ( ou un+1 – un ≥0). • (un) est décroissante lorsque pour tout n, on a un+1 ≤ un ( ou un+1 – un ≤ 0).

Exemples : • un = n², n ∈ IN.

• vn = 1n+1, n ∈ IN.

A.BENHARI 64

Méthodes : • Etudier le signe de un+1 – un. • Pour un suite du type un = f(n), on étudie les variations de f sur IR*,

• Si f est croissante sur IR+*, alors (un) est croissante. • Si f est décroissante sur IR+*, alors (un) est décroissante.

• Pour une suite dont tous les termes sont tous strictement positifs, on peut comparer un+1un

à 1 :

• Si un+1un

≥ 1, alors la suite est croissante.

• Si un+1un

≤ 1, alors la suite est décroissante.

Théorème : Si f est une fonction croissante (respectivement décroissante) sur IR+, alors la suite de terme général f(n) est croissante (respectivement décroissante). D] Suite majorée, minorée, bornée Définition :

• La suite ( )un est majorée, s’il existe un réel M tel que, pour tout n, un ≤ M. • La suite ( )un est minorée, s’il existe un réel m tel que, pour tout n, un ≥ m. • La suite ( )un est bornée, si elle est majorée et minorée.

Exemple :

* La suite définie par un = 11+n est minorée par 0.

* La suite définie par vn = 1 + 1n + 1 est majorée par 2.

II. Suite arithmétique A] Définition Faire des exemples. u0 u1 u2 u3 u4 un un+1 Définition : Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r appelé la raison. Donc pour tout n entier naturel on a un+1 = un + r Exemple : r = – 2 et u0 = 5 Méthode : Si la différence un+1 – un est une constante, alors la suite est arithmétique de raison cette constante. B] Formule explicite en fonction de n Explication : Traiter u0, u1, u2, u3, u4, pour faire deviner un = u0 + nr Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Alors un = u0 + n r Exemple : Donner le terme général de la suite de l’exemple précédent.

A.BENHARI 65

C] Sens de variation Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.

• Si r ≥ 0, alors (un) est croissante. • Si r ≤ 0, alors (un) est décroissante.

Démonstration : Soit n un entier naturel. Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. On sait que un+1 = un + r Donc un+1 – un = r ; C’est pourquoi si r ≥ 0 on a un+1 – un ≥ 0, donc (un) est croissante. C’est pourquoi si r ≤ 0 on a un+1 – un ≤ 0 donc (un) est décroissante. D] Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

1) Calcul de 1 + 2 + 3 + …+ n Propriété :

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n =E n A( )n + 1

2 .

Démonstration : A faire comme Gauss. Exemples : Calculer :

• S = 1 + 2 + 3 +…+ 500. • S’ = 1 + 2 + 3 +…+ 1 000.

2) Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

Propriété : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0.

S = u0 + u1 + u2 + …+ un = ( )n + 1 ( )u0 + un 2 .

= ( )nombre de termes + 1 × ( )premier + dernier terme 2 .

Démonstration : Soit (un) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Pour tout k entier naturel on a : uk = u0 + kr. Donc S = u0 + ( u0 + r) + (u0 + 2r) + … + (u0 + nr). D’où S = (n+1)u0 + r ( 1 + 2 + 3 + …+ n).

Donc S = (n+1)u0 + r n ( )n + 1

2 .

Ainsi S = (n+1) ( u0 + r n 2 ).

D’où S = EE A( )n + 1 ( )2u0 + r n

2 .

Or 2u0 + nr = u0 + u0 + nr = u0 + un car un = u0 + nr.

Ainsi S = EE A( )n + 1 ( )u0 + un

2 .

Exercice 7p62.

A.BENHARI 66

III. Suite géométrique A] Définition Faire des exemples. u0 u1 u2 u3 u4 un un+1 Définition : Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre non nul q appelé raison de la suite. Exemple : u0 = 2 et q = 3. B] Formule explicite Explication : Traiter avec u0, u1, u2, u3, u4, . Propriété : Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Pour tout n entier naturel on a : un = u0 qn. Exemples : Exprimer le terme général des suites suivantes :

• u0 = 2 et q = 5. • v0 = – 1 et q = 2. • w0 = 3 et q = 2.

C Sens de variations Propriété : Soit une suite géométrique de raison q.

• Si q > 1, alors la suite est croissante. • Si 0< q < 1, alors la suite est décroissante. • Sinon la suite n’est pas monotone.

D] Calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique 1) Calcul de 1 + q + q² + …+ qn Propriété : S = 1 + q + q² + …+ qn Si q = 1, alors S = n+1.

Si q ≠ 1, alors S = 1 – qn + 1 1 – q = 1 – raison nombre de terme + 1

1 – raison .

Démonstration : Si q = 1, alors S = 1 + 1 + 1 +...+ 1 = n+1. Si q ≠ 1 : Calculons S – qS = 1 – qn+1 = ( 1 – q ) S.

Donc S = 1 – qn + 1 1 – q .

Exemple : Calculer S = 1 + 2 + 2² + …+ 263.

A.BENHARI 67

2) Somme des premiers termes d’une suite géométrique Propriété : Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.

Si q ≠ 1, alors S = u0 + u1 + u2 + …+ un = u0 1 – qn + 1

1 – q = 1er terme × 1 – raison nombre de terme + 1 1 – raison .

Si q = 1, alors S = u0 (n+1). Démonstration : Si q ≠ 1 : S = u0 + u1 + u2 + .. + un. D’où S = u0 + u0 q + u0 q² + … + u0 qn. Donc S = u0 ( 1 + q + q² + … + qn ).

Ainsi S = u0 1 – qn + 1

1 – q .

Si q = 1 : S = u0 + u0 + u0 +… + u0 = (n+1) u0. Exercices 8 et 9p62. Exercice 11p63. IV. Limite de suites A] Limite des suites de terme générale n, n2, n3 et n Propriété :

limn → +∞

n = limn → +∞

n2 = limn → +∞

n3 = limn → +∞

n = +∞.

Exemples : Donner la limite des suites suivantes : un = n2 + n + 1. vn = n3 + n. Propriété : Les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites de fonctions sont aussi valables pour les suites.

B] Limite des suites de terme général 1n, 1n2,

1n3 et 1

n

limn → +∞

1

Propriété :

limn → +∞

1n = lim

n → +∞

1n2 = lim

n → +∞

1n3 =

n = 0.

Exemples : Donner les limites des suites suivantes :

un = 1n2 + 1n + 1 pour n ∈IN*.

vn = 1n3 + 1n pour n ∈IN*.

Propriété : Les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites de fonctions sont aussi valables pour les suites.

A.BENHARI 68

C] Limite des suites définies par un = f(n) où f est une fonction définie sur IR+ Théorème : Si f admet L comme limite en +∞, alors lim

n → +∞un = lim

n → +∞f(n) = L. On dit que un converge vers

L. Exemples : Donner les limites des suites suivantes :

un = n + 1 n2 + n +1.

vn = n3 – n + 2. Propriété : Les théorèmes vus dans le chapitre sur les limites de fonctions sont aussi valables pour les suites. D] Limite d’une suite géométrique Théorème : Soit q ∈ IR.

• Si q > 1, alors limn → +∞

qn = +∞.

• Si q = 1, alors limn → +∞

qn = 1.

• Si q<1, alors limn → +∞

qn = 0.

• Si q ≤ –1, alors la limite n’existe pas. E] Convergence des suites monotones Définition :

• Toute suite qui admet une limite finie est dite convergente. • Toute suite non convergente est dite divergente.

Exemples :

* La suite un définie par un = 1n+1 converge vers 0.

* La suite vn = ( )–1 n est divergente. Théorème :

• Toute suite croissante et majorée converge. • Toute suite décroissante et minorée converge.

F] Suites et relation d’ordre Théorème :

• Si ( )un et ( )vn sont deux suites telles qu’à partir d’un certain rang un ≥ vn et si limn → +∞

vn=+∞, alors limn → +∞

un = +∞.

• Si ( )un et ( )vn sont deux suites telles qu’à partir d’un certain rang un ≥ vn et si limn → +∞

vn=l, et limn → +∞

un = l’, alors l’ ≥ l.

A.BENHARI 69

• Si ( )un , ( )vn et ( )wn sont trois suites telles qu’à partir d’un certain rang un ≤ vn ≤ wn et si lim

n → +∞ un = lim

n → +∞ wn = l, alors lim

n → +∞ vn = l. C’est le théorème des gendarmes.

G] Opérations sur les suites convergentes Propriété : Soient ( )un et ( )vn deux suites convergeant respectivement vers l et l’. Soit k ∈ IR.

• La suite ( )kun converge vers kl. • La suite ( )un + vn converge vers l + l’. • La suite un ( )vn converge vers ll’. • Si en plus l’ ≠ 0 et si à partir d’un certain rang les vn ne sont pas nuls, alors la suite

un

vn converge vers l

l’.

V. Comparaison des suites A] Suites équivalentes Définition :

Les suites ( )un et ( )vn sont équivalentes SSI limx → n, +∞

un vn

= 1. On note un ~ vn.

Exemple :

un = n2 n3 + 1 et vn = 1

n + 1. Ces deux suites sont équivalentes.

B] Suite négligeable devant une autre Définition :

La suite ( )un est négligeable devant la suite ( )vn SSI limn → +∞

un vn

= 0.

Exemple :

La suite un = 1n2 + 1 et négligeable devant la suite vn = 1

n + 1.

C] Croissance comparée des suites ( )an ; ( )nα , ( )ln n 1) Comportement comparé des suites ( )ln n et ( )nα Propriété :

Si α > 0, alors limn → +∞

ln n nα = 0. Donc la suite ( )ln n est négligeable devant ( )nα .

2) Comportement comparé des suites ( )an et ( )nα Propriété :

Si a > 1 et si α > 0, alors limn → +∞

an

nα = +∞. Donc la suite ( )nα est négligeable devant la suite

( )an . 3) Comportement comparé des suites ( )an et ( )ln n Propriété :

A.BENHARI 70

Si a > 1, alors on a limn → +∞

ln n an = 0. Donc la suite ( )ln n est négligeable devant la suite ( )an .

Exercice 12p63. VI. Suites récurrentes linéaires A] Suite récurrentes linéaires d’ordre 1 1) Définition Définition : La suite ( )un est définie par une relation de récurrence linéaire d’ordre 1, si pour tout n ∈ IN on a un+1 = aun + b, avec a et b deux réels. Ces suites sont dites arithmético-géométriques. Remarques :

• Si b = 0, alors on a une suite géométrique de raison a. • Si a = 1, alors on a une suite arithmétique de raison b.

2) Méthode par récurrence Remarque : Le raisonnement par récurrence est constitué de deux étapes :

• On établit la propriété au rang p. Souvent p = 0. On initialise le raisonnement. • On suppose que pour tout n ( n ≥ p ), la propriété est vraie et on la démontre au rang

n + 1. Calcul de un en fonction de n : Observons les premiers termes : u1 = au0 + b. u2 = au1 + b = a( )au0 + b + b = a2u0 + b ( )1 + a . u3 = au2 + b = a ( )a2u0 + b ( )1 + a + b = a3u0 + b( )1 + a + a2 . On pense alors que un = an u0 + b( )1 + a + a2 + … + an–1 . Il reste alors à le démontrer par récurrence. On l’a déjà vérifié au rang n = 1. Supposons la propriété vraie jusqu’au rang n ≥ 1. Démontrer la propriété au rang n+1. un+1 = aun + b. On utilise alors l’hypothèse de récurrence un = an u0 + b( )1 + a + a2 + … + an–1 . Ainsi un+1 = a an u0 + ab ( )1 + a + a2 + … + an–1 + b. Donc un+1 = an+1 u0 + b( )1 + a + a2 + … + an . On a ainsi bien démontrée l’hypothèse au rang n+1. Donc pour tout n ∈ IN*, on a un = an u0 + b( )1 + a + a2 + … + an–1 . Cependant on reconnaît la somme d’une suite géométrique et donc 1 + a + a2 + … + an–1 = 1 – an 1 – a pour a ≠ 1. On obtient alors l’expression de un pour a ≠ 1, un = an u0 + b 1 – an

1 – a .

Propriété : Si a = 1, alors la suite est arithmétique.

Si a ≠ 1 et u0 = b 1 – a, alors la suite est stationnaire.

Si a ≠ 1 et u0 ≠b

1 – a, alors la suite converge vers b 1 – a si a<1 et elle diverge si a>1.

3) Méthode graphique

A.BENHARI 71

On se place dans un repère orthonormal et on construit la 1ère bissectrice ∆, d’équation y = x, et la droite D d’équation y = ax + b. Les droites ne sont pas parallèles et se coupent au point

d’abscisse b 1 – a.

Cette méthode permet de conjecturer sur la limite de cette suite. Exemple :

un+1 = 12 un – 3 et u0 = –1.

On conjecture que l = –6.

4) Utilisation d’une suite auxiliaire On va procéder à l’aide d’un exemple.

un+1 = 12 un – 3 et u0 = –1.

Avec ce qui précède, on suppose que l = –6. On pose alors vn = un + 6. Ainsi v0 = u0 + 6 = 5.

vn+1 = un+1 + 6 = 12 un – 3 + 6 = 12 un + 3= 12 ( )un + 6 = 12 vn.

Donc la suite ( )vn est géométrique de raison 12 et de premier terme 5. Ainsi limn → +∞

vn = 0 =

limn → +∞

un + 6. Donc limn → +∞

un = –6.

Exercice 14p63. Exercices 15 et 16p64. Exercice 22p65. B] Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 1) Définition Définition : La suite ( )un est définie par une relation de récurrence linéaire d’ordre 2, si pour tout n ∈ IN on a un+2 = Aun+1 + Bun, avec A et B deux réels non nuls. Définition : On appelle équation caractéristique de cette suite l’équation r2 – Ar – B = 0. On note ∆, le discriminant qui a pour valeur ∆ = A2 – 4B.

2) Théorème Théorème :

• Si ∆ > 0, alors l’équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r1 et r2 et un = C1 r1

n + C2 r2n, où C1 et C2 sont deux réels.

• Si ∆ = 0, alors l’équation caractéristique admet une solution double r et un = rn ( )C1n + C2 , où C1 et C2 sont deux réels. • Si ∆ < 0, alors l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjugués

reiθ et re–iθ et un = rn ( )C1 cos nθ + C2 sin nθ , où C1 et C2 sont deux réels. Démonstration : ADMIS Exemple : ( )un est définie par un+2 = 3un+1 – 2un et u0 = 1 et u1 = 2. Etudions l’équation caractéristique. r2 – 3r + 2 = 0.Les solutions de l’équation caractéristique sont 1 et 2. Ainsi d’après le théorème un = C1 1n + C2 2n. Donc un = C1 + C2 2n. Déterminons C1 et C2.

A.BENHARI 72

On a u0 = C1 + C2 = 1 et u1 = C1 + C2 2 = 2. On résout le système et on obtient C2 = 1 et C1 = 0. Donc un = 2n. Exercices 21, 17 et 19p64. VII. Utilisation des suites A] Résolution numérique d’équation f(x) = 0 1) La dichotomie Théorème : Si la fonction f est définie continue strictement monotone sur l’intervalle [ ]a , b et si le produit f(a) × f(b) est négatif, alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans [ ]a , b . Faire une figure. Démonstration : ADMIS La dichotomie : Définition : Dichotomie signifie « couper en deux ». Soit m le centre de l’intervalle [ ]a , b . Si f(a) f(m) < 0 alors α ∈ [ ]a , m sinon α ∈ [ ]m , b .

Soit [ ]a1 , b1 l’intervalle de longueur b – a 2 auquel appartient α.

On réitère le procédé sur [ ]a1 , b1 , on continue jusqu’à ce que la longueur de l’intervalle soit inférieur à la longueur de l’encadrement demandé pour α. Exemple : Soit f(x) = x2 – 2 sur [ ]0 , 2 . Donner une valeur approchée de 2 à 10–4. On constate bien que f est définie et continue sur [ ]0 , 2 . En outre f(0) f(2) = –2 × 2 = –4 < 0. Ainsi il existe bien une unique solution sur cet intervalle à l’équation f(x) = 0.

On a donc u1 = 1. f(1) = –1. Donc α ∈ [ ]1 , 2 . On pose u2 = 32.

On a f(32) = 14. Donc α ∈

1 , 32 . On pose u3 =

1 + 32

2 = 54.

On a f(54) = – 716. Donc α ∈

5

4 , 32 . On pose u4 =

54 + 32

2 = 118 .

On a f(118 ) = – 7

64. Donc α ∈

11

8 , 32 . On pose u5 =

118 + 32

2 = 23 16.

On continue ainsi. 2) Méthode de Newton Théorème : Soit f une fonction définie sur [ ]a , b , deux fois dérivable telle que f ‘ et f ‘’ soient continues et ne s’annulent par sur [ ]a , b . Si de plus f(a) × f(b) < 0, alors, en choisissant x0 ∈ [ ]a , b tel que

f(x0) × f ‘’ (x0) > 0, la suite ( )xn définie par x0 et xn+1 = xn – f(xn) f‘(xn)

converge vers l’unique

solution α dans [ ]a , b de l’équation f(x) = 0. Faire une figure. Exercices 26 et 27p66.

A.BENHARI 73

B] Calcul d’intégrale La méthode des rectangles. On suppose que f est une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle [ ]a , b .

On partage l’intervalle [ ]a , b en n intervalle de même longueur b – a n .

Soit i ∈ 1, …, n.

On pose a = x0 et b = xn et xi = in ( )b – a .

Faire une figure. On constate donc que : b – a

n f(xi–1) ≤ ⌡⌠xi–1 xi f(x)dx ≤ b – a

n f(xi).

On somme cela de 1 à n, d’où b – a n ∑

0

n–1 f(xi) ≤ ⌡⌠a

b f(x)dx ≤ b – a n ∑

1

n f(xi).

On obtient donc un encadrement d’amplitude b – a n ( )f(b) – f(a) .

Exemple :

Le faire avec ⌡⌠

1

2 1xdx avec une amplitude de 10–1. Il faut donc prendre n = 10.

A faire en DM le 24p65.

A.BENHARI 74

Séries numériques et séries de Fourier

I. Séries numériques A] Série numérique et convergence Donner des exemples de séries numériques qui convergent et d’autres qui divergent. Définition : Soit ( )un une suite numérique.

On pose SN = u0 + u1 + … + uN. On note cela SN = ∑0

N uk.

Si limN → +∞

SN existe et a une valeur finie S, on dit que la série ∑0

+∞ un de terme général un

converge vers S et on écrit alors ∑0

+∞ uk = S. S est appelée la somme de la série.

Sinon on dit qu’elle diverge. Exemples :

* Etudier la série 1 + 14 + 19 + …

On utilise l’intégrale de 1x2 sur [ ]1,n . ( On encadre sur chaque intervalle de longueur 1).

Faire une figure.

* Etudier la série 1 + 12 + 13 + …

On utilise l’intégrale de 1x sur [ ]1,n . ( On la minore sur chaque intervalle de longueur 1).

Faire une figure. Exercice 5p155. B] Séries géométriques Théorème :

La série trigonométrique ∑0

+∞ qn de raison q ≠ 0 converge SSI q < 1.

De plus si elle converge on a alors ∑0

+∞ qn = 1

1 – q.

Exemples :

* La série ∑0

+∞ 2n diverge.

* La série ∑0

+∞

1

2n converge vers 2.

A.BENHARI 75

Exercice 6p156. C] Convergence des séries à termes positifs 1) Critère de Riemann Théorème : Critère de Riemann

La série ∑1

+∞

1nα converge SSI α > 1.

Démonstration : ADMIS Exemples :

* La série ∑1

+∞

1n2 converge. Mais cela ne nous donne pas sa valeur car c’est

seulement un critère.

* La série ∑1

+∞

1n

diverge. Car 1n = n –

1

2.

2) Critère de comparaison

Théorème : Critère de comparaison Si, pour tout n, on a 0 ≤ un ≤ vn, alors :

• Si la série ∑0

+∞ un diverge, alors la série ∑

0

+∞ vn diverge.

• Si la série ∑0

+∞ vn converge, alors la série ∑

0

+∞ un converge.

Démonstration : ADMIS Exemple :

Etudier la série ∑0

+∞

1n3+1.

Exercice 25p158.

3) Critère d’équivalence Théorème : Critère d’équivalence

Si, pour tout n, on a 0 ≤ un et 0 ≤ vn et si les suites sont équivalentes, alors les séries ∑0

+∞ un et

∑0

+∞ vn sont de même nature.

Démonstration : ADMIS Exemples :

A.BENHARI 76

Etudier les séries ∑0

+∞

1n3+1 et ∑

0

+∞

1n+1

.

4) Règle de d’Alembert

Théorème : Règle de d’Alembert

Si, pour tout n, on a 0 ≤ un et si limn → +∞

;un+1un

= l alors :

• Si l < 1, alors la série ∑0

+∞ un converge.

• Si l > 1, alors la série ∑0

+∞ un diverge.

Démonstration : ADMIS Remarque : Si l = 1, alors on ne peut rien conclure. Exemple :


+∞

1n !.

Exercice 9p156. D] Convergence des séries de termes quelconques 1) L’absolu convergence Théorème :

Si la série ∑0

+∞ un converge, alors la série ∑

0

+∞ un converge.

On dit alors que la série converge absolument. Démonstration : ADMIS Exemple :


+∞

cos(nπ)n2 .

Exercices 8 et 10p156.

2) Les séries alternées Définition : Une série alternée est une série dont les termes sont alternativement positifs et négatifs. Exemple :

La série E ∑1

+∞

( )–1 n

n est une série alternée.

Théorème :

A.BENHARI 77

Si la série ∑0

+∞ un est alternée, si pour tout n, un+1 ≤ un et si lim

n → +∞ un = 0, alors la série

converge. Démonstration : ADMIS Exemple :


+∞

( )–1 n

n . Elle est convergente mais pas absolument convergente.

Exercices 1, 2 et 4p155. II. Séries de Fourier A] Introduction Définition : Une série de Fourier est une série dont le terme général est de la forme :

un = an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt .

Soit ∑0

+∞ ( )an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt = a0 + ∑

1

+∞ ( )an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt .

Théorème : Si une série de Fourier de terme général un = an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt converge vers f, alors

la fonction f est de période T = 2 π ω .

Démonstration : Immédiate en utilisant la série de Fourier. B] Calcul des coefficients 1) Calcul des an et des bn Définition :

a0 = 1T ⌡⌠α α+T f(t) dt = <f> qui est la valeur moyenne de f sur une période.

Pour tout n ∈ IN* : an = 2T ⌡⌠α α+T f(t) cos ( )ωnt dt et bn = 2T ⌡⌠α

α+T f(t) sin ( )nωt dt.

Les an et bn sont appelés coefficients de Fourier associés à f.

La série associée à f est : a0 + ∑1


Remarque :

La valeur de α n’a absolument aucune importance. Souvent on prend α = 0 ou α = –T2.

Exemple : 1) Tracer la fonction f qui est 2 π périodique et qui est définie par :

f (x) =E

π2 – x2 pour x ∈ A[ ]–π,π A

π2 pour x = π.

2) Calculer les coefficients de Fourier associés à f. Calculons tout d’abord a0.

A.BENHARI 78

On a a0= 12π

⌡⌠

–π

π π2 – t2 dt = 1

2π

1

2

πt – t

2

2 –π π = 14π

π2 – π

2

2 –

–π2 – π

2

2 = 14π

π2

2 + 3π2

2 =

14π

2π2 = π2.

Calculons à présent les an pour n ∈ AINEA

*.

an = 2 2π

EE ⌡⌠

–π

π 12 A( )π – t cos ( )nt dt.

On procède avec une intégration par parties et on obtient ainsi :

an = 1π

× 0 = 0.

Calculons à présent les bn pour tout n ∈ IN*.

bn = 22π

⌡⌠

–π

π 12 ( )π – t sin ( )nt dt = 1

π⌡⌠

–π

π 12 ( )π – t sin ( )nt dt.

On procède à l’aide d’une intégration par partie et on obtient ainsi :

bn = ( )–1 n

n .

La série de Fourier est donc S(t) = π2 + ∑1

+∞

( )–1 n

n sin ( )nt .

Traçons les premières approximations.

P2(t) = π2 + – sin t + sin ( )2t

2 .

P4(t) = π2 + – sin t + sin ( )2t

2 – sin ( )4t

4 .

P6(t) = π2 + – sin t +E sin A( )2t

2 – sin ( )4t

4 – sin ( )6t

6 + E sin A( )8t

8 .

A faire avec graphamatica! Propriété :

• Si f est paire, alors, pour tout n∈IN*, bn = 0. • Si f est impaire, alors, pour tout n ∈ IN, an = 0.

Démonstration : Immédiate avec les propriété de l’intégrale. Exercices 11, 12, 13 et 14p156-157.

2) Analyse spectrale Définition :

La série de Fourier associée à f peut s’écrire a0 + EA ∑1

+∞ An sin ( )nωt – φn avec An = an

2 + bn2.

a0 est la valeur moyenne de f sur une période et les termes suivants An sin ( )nωt – φn sont les harmoniques. Remarque : Le premier harmonique est parfois appelé fondamental. Définition :

A.BENHARI 79

Le spectre de fréquence est la représentation graphique par un diagramme en bâtons de la suite ( )An . Exemple : On reprend notre exemple initial.

A0= a0 = π2.

Soit n ∈ IN*.

An = an2 + bn

2 = 1n.

A tracer avec graphamtica !!! Exercices 19 et 21p157. Exercice 27p159. 3) Forme complexe Propriété :

La série de Fourier a0 + ∑1

+∞ ( )an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt , associée à une fonction f, peut

s’écrire ∑–∞

+∞ cn einωt avec cn = 1T ⌡⌠α

α+T f(t) e–inωt dt.

Les relations entre les coefficients complexes et les coefficients réels sont :

cn = an – ibn

2 pour n ≠ 0

c0 = a0

.

Démonstration : On utilise les formules d’Euler pour obtenir

an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt = an + i bn 2 e–inωt + an – ibn

2 einωt.

Pour tout n ≠ 0, on pose cn = an – ibn 2 .

On en déduit que c–n = an + i bn 2 car a–n = an et b–n = –bn en utilisant la définition des an et des

bn et les propriété de l’intégrale. Ainsi on obtient an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt E = c–n e–inωt + cn einωt. En posant a0= c0, on a finalement :

a0 + EEEA∑1

+∞ ( )an cos ( )nωt + bn sin ( )nωt = a0 + ∑

1

+∞ c–n e–inωt + cn einωt

E A.

= a0 + A ∑–∞

–1 cn einωt

E A + A ∑1

+∞ cn einωt

EA.

= A ∑–∞

+∞ cn einωt

E A.

Exemple : On reprend notre exemple initial. On utilise alors les résultats précédents et la propriété.

c0 = a0 = π2.

Pour tout n ∈ AZZ EA

*.

cn = an – ibn 2 = –E

i A( )–1 n

2n = i ( )–1 n+1

2n .

A.BENHARI 80

C] Convergence des séries de Fourier Le but est de savoir lorsque f est donnée s’il existe une série de Fourier associée à f qui converge vers f!!!! 1) Conditions de Dirichlet Définition : On dit qu’une fonction périodique f satisfait aux conditions de Dirichlet si

• Sauf en un nombre fini de points particuliers d’une période, f est continue, dérivable et sa dérivée f ‘ est continue.

• En ces points particuliers, f et f ‘ admettent des limites finies à gauche et à droite.

Exemple : Montrer que la fonction dont on se sert comme exemple satisfait aux conditions de Dirichlet. 2) Théorème de Dirichlet Théorème de Dirichlet : Si f est une fonction périodique satisfaisant aux conditions de Dirichlet, alors :

• Si f est continue en t, la série de Fourier associée à f converge vers f(t). • Aux points où f n’est pas continue en t, la série de Fourier associée à f converge

vers 12 ( )f(t+0) + f(t–0) .

Démonstration : ADMIS. Exercices 16 et 17p157. Exercice 26p158. Exercice 29p159. D] Formule de Parseval 1) Théorème Théorème : Soit f une fonction périodique et sa série de Fourier associée

a0 + EEEA∑1


On a : 1T ⌡⌠0 T [ ]f(t) 2 dt = a0

2 + 12 ∑1

+∞ ( )an

2 + bn2 . C’est la formule de Parseval.

Démonstration : ADMIS Remarque :

Pour la forme complexe la formule de Parseval devient 1T EA⌡⌠α α+T A[ ]f(t) A

2EAdt = A ∑

–∞

+∞ cn2.

2) Utilisation de la formule de Parseval On utilise souvent cette formule pour déterminer la somme de séries numériques. Exemple : La fonction initiale est bien continue, 2π périodique. Ainsi on peut appliquer la formule de Parseval.

Calculons tout d’abord 12π

⌡⌠

–π

π 14 ( )π – t 2 dt = 1

2π ⌡⌠

–π

π 14 ( )π2 – 2 π t + t2 dt.

= 18π

⌡⌠

–π

π

π2t –πt2 + 13 t3 dt = 1

8π

π3 – π3 + 13 π3 –

–π3 – π3 – 13π3 .

A.BENHARI 81

= 18π

1

3 π3 + 73 π3 = 18π

× 8π3

3 = π2

3 .

En outre a02 + 12 EA ∑

1

+∞ ( )an

2 + bn2 = π

2

4 + 12 ∑1

+∞

1n2.

Ainsi π2

4 + 12 ∑1

+∞

1n2 = π

2 3 .

Donc 12 ∑1

+∞

1n2 = π

2 3 – π

2

4 = π2

12.

Donc on peut conclure que ∑1

+∞

1n2 = 2 × π

2

12 = π2

6 .

3) Interprétation de la formule de Parseval Avec la partie sur l’analyse spectrale on en déduit que :

a0 + EA ∑1

+∞ An sin ( )nωt – φn = a0 + ∑

1


Calculons En la valeur efficace des harmoniques.

En2 = 1T ⌡⌠0

T [ ]An sin ( )nωt – φn2

Edt = An2

T EA⌡⌠0T sin2

A( )nωt – φn dt.

Or sin2 x = 12 ( )1 – cos 2x , donc En2 = An

2

2T EA⌡⌠0T 1 – cos A( )2nωt – 2φn dt.

Or d’une part ⌡⌠0

T dt = T,

et d’autre part ⌡⌠0 T cos ( )2nωt – 2φn dt = 1

2nω [ ]sin ( )2nωt – 2φn 0

T.

= 12nω

[ ]sin ( )2nωT – 2φn – sin ( )–2φn . Or T = 2πω

.

Donc EA⌡⌠0 T cos A( )2nωt – 2φn dt = 0 !

On en déduit donc que En2 = An

2

2 = an2 + bn

2 2 .

La formule s’interprète donc ainsi : Sur une période ( )Valeur efficace de f 2 = ( )valeur moyenne de f 2 + Σ ( )valeur efficaces des harmoniques 2. Exercices 23 et 24p158. Exercices 32 et 33p161.

A.BENHARI 82

Variables aléatoires discrètes I. Variable aléatoire et loi de probabilité

A] Définitions Définition : On considère l'univers Ω lié à une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire réelle (var) X sur Ω, c'est associer à chaque événement élémentaire un nombre réel. Définition : Lorsqu'à chaque valeur xi prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité pi (c'est-à-dire pi=p(X = xi)), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. Remarques : une variable aléatoire est souvent notée par une lettre majuscule X, Y, Z, ... Lorsque a1, a2, ...., an sont des valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X =

ai), l'événement "X prend la valeur ai" (pour i compris entre 1 et n). p1 + p2 + .... + pn = 1. On donne souvent la loi de probabilité sous la forme d'un tableau.

Exemple : Un sac contient 9 jetons, 3 rouges, 4 jaunes et 2 verts. Un joueur prend au hasard un jeton. Si le jeton est rouge, le joueur gagne 5 euros; s'il est jaune, il gagne 3 euros et s'il est vert il perd 2 euros. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque résultat, associe le gain ou la perte du joueur : X prend donc les valeurs : 5, 3 et –2. On a alors :

p(X = 5) = p(" rouge ") = 39 = 13.

p(X = 3) = p(" jaune ") = 49.

p(X = – 2) = p(" vert ") = 29.

On a bien sur : p(X = 5) + p(X = 3) + p(X = –2) = 1. Loi de probabilité de X : xi –2 3 5 pi= p( X=xi) 2

9 49 3

9

Avec ( ) 1ip X x= =∑

B] Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire Définition : L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre :

E(X) = p1 x1 + p2 x2 + ...... + pn xn = ∑i=1

n pixi.

Exercices 1, 5 et 7p341.

A.BENHARI 83

Exercice 9p342. Propriété : Soient a et b deux réels. Alors on a : E(aX+b) = aE(X) + b. Démonstration :

E(aX+b) = EA ∑i=1

n ( )axi+b pi = ∑

i=1

n axipi + ∑

i=1

n bpi = a ∑

i=1

n xipi + b ∑

i=1

n pi = aE(X) + b car ∑

i=1

n pi = 1 et

∑i=1

n xipi = E(X).

Définition : La variance de la variable aléatoire X est le nombre :

V(X) = (x1 – E(X))2p1 + (x2 – E(X))2p2 + ...... + (xn – E(X))2pn = EA ∑i=1

n ( )xi – E(X) 2pi.

Propriété : La variance est un réel positif. Définition : L'écart type est la racine carrée de la variance :

σ(X) = V(X). Exemple :

Pour la variable X liée au gain dans le jeu précédent, l'espérance mathématique est :

E(X) = 29 × (– 2) + 49 × 3 + 13 × 5 = 239 ≈ 2,56.

Sa variance est :

V(X) =

–2 – 23

92 × 29 +

3 – 23

92 × 49 +

5 – 23

92 × 13 ≈ 6,7.

et son écart type est donc σ(X) ≈ 2,6. L'espérance de gain de ce jeu est environ 2,56€ avec un écart type d'environ 2,6. Cela signifie que si un joueur joue un grand nombre de fois, il aura en moyenne un gain de 2,56 €. L'espérance E(X) est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire X, pondérées par leurs probabilités. L'écart type mesure la dispersion des valeurs de X autour de E(X). Ainsi plus l’écart type est important plus les valeurs sont dispersées. Propriété : On utilise souvent la formule suivante : V(X) = ( )p1x1

2 + p2x22 + … + pnxn

2 – ( )E(X) 2 = E(X2) – E(X)2. Démonstration : Si on veut!!! On développe, on réduit et on utilise que p1 + p2 + … + pn = 1 !! Cette formule évite les erreurs d’arrondis !! Propriété : Soient a et b deux réels. Alors on a : V(aX+b) = a2V(X). Démonstration :

V(aX+b)= EEEA ∑i=1

n [ ]( )axi+b – ( )aE(X)+b 2piE.

= EA∑1

n ( )axi –aE(X) 2piE.

A.BENHARI 84

= a2 EA∑i=1

n ( )xi – E(X) 2piE.

= a2V(X). II. Exemples de variables aléatoires discrètes A] Loi Bernoulli Définition : On considère une expérience qui n’a que deux issues possibles. Une des issues appelée succès et sa probabilité est p et l’autre est appelée échec et sa probabilité est q. Ainsi p + q = 1. Alors la variable aléatoire X, qui prend pour valeur 1 lorsque c’est un succès et 0, si c’est un échec est une var de Bernoulli de paramètre p. La loi de probabilité est donc :

xi 0 1 Total pi q p p+q =1

Propriété : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli. Alors E(X) = p et V(X) = pq. Démonstration : E(X) = 0 × q + 1 × p = p. V(X) = E(X2) – E(X)2 = ( )02 × q + 12 × p – p2. V(X) = p – p2 = p ( )1 – p = pq. Exemple : On lance un dé à 6 faces. Quelle est la probabilité de tirer un multiple de 3. B] Loi binomiale Définition : On considère une succession de n expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre p. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On le note B(n,p). Exemple : On lance n fois un dé à 6 faces. On dit que c’est un succès lorsque la face qui apparaît est un multiple de 3.

C’est bien n expériences aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre 13.

On pose X la var qui compte le nombre de fois où on a obtenu un multiple de 3. X suit donc

une loi binomiale de paramètre n et 13.

Propriété : Si une var X suit une loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout k entier naturel tel que : 0 ≤ k ≤ n on a : P(X=k) = Ck

n pk qn–k. Démonstration : ADMIS Exemple : Chercher la loi de probabilité de notre lancer de dé pour n = 4 ! Propriété :

A.BENHARI 85

Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors E(X) = np et σ(X) = npq Démonstration : ADMIS Exercices 11, 14, 16 et 18p343. Exercice 25p345. C] Loi de Poisson Exercice 4p341. Définition : Une var X suit la loi de Poisson de paramètre λ ( avec λ > 0 ) si pour tout k ∈ IN, sa loi de probabilité est donnée par :

P( )X=k = e–λ λk k ! .

La loi est notée P(λ). Propriété : Si X est une var qui suit une loi de Poisson de paramètre λ, alors E(X) = λ et σ(X) = λ. Démonstration : ADMIS Exercices 19 et 20p344. Exercice 30p347. D] Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Théorème : Si on pose np = m.

On a alors Ckn pk ( )1 – p n–k = Ck

n

m

nk

1 – mn

n–k , on démontre et on admet que

limn → +∞

Ckn

m

nk

1 – mn

n–k = e –m mk

k ! .

Démonstration : ADMIS ! Conditions d’application :

* Lorsque p est petit ( p ≤ 0,1), * et lorsque n est grand ( n ≥ 30), * et lorsque le produit np pas trop grand ( np ≤ 10 ), alors

on peut approcher les probabilité associées à la loi binomiale B(n,p) par celles obtenues avec la loi de Poisson P(np). Exemple : Une machine produit en moyenne 2% de pièces défectueuses. On prélève 50 pièces au hasard. On considère que le tirage est sans remise. Soit X la var qui compte le nombre de pièces

défectueuses. Ainsi X suit une loi binomiale B(50, 2100).

Ainsi : p = 0,02 ≤ 0,1 n = 50 ≥ 30, np = 1 ≤ 10. On peut donc approcher cette loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre λ = np = 1. Comparons les résultats pour mesurer l’approximation faite :

A.BENHARI 86

Nombre de pièces défectueuses Loi Binomiale Loi de Poisson

0 0,3642 0,3679 1 0,3716 0,3679 2 0,1858 0,1839 3 0,0607 0,0613 4 0,0145 0,0153 5 0,0027 0,0031 6 0 ;004 0,0005

Exercice 23p344. Exercice 34p348. Exercice 37p349. Exercice 39p350.

A.BENHARI 87

Variables aléatoires continues I. Variable aléatoire continue A] Introduction B] Fonction de répartition Définition : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle fonction de répartition de X, la fonction numérique F définie sur IR par : F(t) = P ( )X ≤ t . Propriété :

• F est une fonction croissante sur IR. • Pour tout t ∈ IR, on a : P ( )X > t = 1 – F(t). • Pour tout a et b réels tel que a < b, on a : P ( )a < X ≤ b = F(b) – F(a).

Remarques : * Cette notion de fonction de répartition est aussi valable pour les variables discrètes. Alors la fonction de répartition est une fonction en escalier. * Dans le cas d’une variable aléatoire continue la fonction de répartition est continue et lim

x → +∞ F(x) = 1 et lim

x → –∞F(x) = 0.

C] Densité de probabilité Définition : Une variable aléatoire continue X est définie par une fonction f, appelée densité de probabilité de la variable aléatoire continue X, qui est telle que :

• f est définie et positive sur IR. • ⌡⌠–∞

+∞ f(t) dt = 1. La loi de X est alors définie pour tout réel t par : P ( )X ≤ t = F(t) = ⌡⌠–∞

t f(x) dx. Remarque : La loi de X est définie à partir de la fonction de répartition. Propriétés :

• Pour tout a et b réels tels que a < b, on a : P ( )a < X ≤ b = P ( )X ≤ b – P ( )X ≤ a = F(b) – F(a).

• Pour t ∈ IR, on a P ( )X = t = 0 et donc : P( )a < X ≤ b = P( )a < X < b = P( )a ≤ X ≤ b . Exemple : Soit f la fonction définie sur IR par :

f(x) = 0 pour x < 0

12 e –1

2x pour x ≥ 0

Montrer que f est une densité de probabilité. f est définie sur IR et positive sur IR. Calculer ⌡⌠–∞

+∞ f(x) dx.

A.BENHARI 88

Soit a > 0. Calculer ⌡⌠

0

a 12 e –

1

2x dx, puis faire tendre a vers +∞.

D] Espérance et variance Définition : Dans le cas d’une variable aléatoire continue X, sous réserve que les intégrales généralisée existent on a : E(X) = ⌡⌠–∞

+∞ xf(x) dx et V(X) = ⌡⌠–∞ +∞ ( )E(X) – x 2 f(x) dx et σ(X) = V(X).

Exemple : Calculer l’espérance de la variable aléatoire continue précédente.

E(X) = ⌡⌠–∞ +∞ xf(x) dx =

⌡⌠

0

+∞ 12 xe –

1

2x dx.

Soit a > 0.

Pour calculer l’intégrale I(a) = ⌡⌠

0

a 12 xe –

1

2x dx on utilise une intégration par parties.

On a : u’(x) = e –1

2x u(x) = –2 e –

1

2x

v(x) = 12x v’(x) = 12

Donc I(a) =

1

2x × ( )–2 e –1

2x

0a –

⌡⌠

0

a – e –1

2x dx =

– e –

1

2a + 0 +

–2 e –

1

2x

0a

=

– e –

1

2a +

–2e –

1

2a + 2 = 2 – 3 e –

1

2a.

Or lima → +∞

e –1

2a = 0.

Ainsi ⌡⌠

0

+∞ 12 xe –

1

2x dx = 2.

Exercices 20 et 21p365. II. Loi normale ou loi de Laplace-Gauss A] Introduction B] Loi normale Définition : Une variable aléatoire continue X à valeur dans IR suit une loi normale de paramètre m et σ si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur IR par :

f(x) =E 1σA 2πA

exp

– ( x – m )2

2σ2 .

La loi de probabilité de la variable aléatoire réelle ( notée var) X est notée N(m,σ). Remarque : On peut vérifier que f est bien une densité de probabilité. En effet f est définie sur IR et y est positive. On admet que A⌡⌠–∞

+∞ exp( –x2)EA dx = A πE A.

A.BENHARI 89

CalculonsE ⌡⌠

–∞

+∞ 1

σA 2πA

exp

– ( x – m )2

2σ2 dx.

On pose le changement de variable t =E x – m A 2Aσ

. Ainsi dt =E 1A 2Aσ

dx ; c’est pourquoi dx = A 2EAσdt.

On obtient doncEEE ⌡⌠

–∞

+∞ 1σA 2πA

exp A( )–t2 2 1σdt =π

⌡⌠–∞ +∞ exp( –x2) dx = π × 1

π

1σ

= 1.

Ainsi la fonction f est bien une densité de probabilité. Etude de cette densité : Tout d’abord on constate que f( x + m ) = f( m – x). En outre l’ensemble de définition est symétrique par rapport à m. Donc la courbe représentative Cf de la fonction f est symétrique par rapport à la droite d’équation x = m.

De plus f(m) =2π

.

On a aussi limx → +∞

f(x) = 0.

La fonction f est dérivable sur IR et f ‘ (x) = 1σ 2π

– 1

2σ2 2 ( )x – m exp

– ( x – m )2

2σ2 .

On constate donc que le signe de f ‘ (x) ne dépend que du signe de x – m. On obtient donc le tableau de variations suivant :

x –∞ m +∞ f(x)

Tracer de cette densité : Le faire avec graphamatica ! C] Espérance mathématique et écart type Propriété : Si X suit une loi normal N(m ,σ), alors E(X) = m et V(X) = σ2 ; donc σ(X) = σ. Démonstration : Tout d’abord pour l’espérance.

E(X) = E ⌡⌠

–∞

+∞ 1σA 2πA

xexp

– ( x – m )2

2σ2 dx. On pose le changement de variable t = x – m σ .

Donc dt = dx σ , c’est pourquoi dx = σdt.

Ainsi E(X) = EE ⌡⌠

–∞

+∞ 1σA 2πA

A( )m + σt exp ( – t2

2) σdt.

= 12π

⌡⌠

–∞

+∞ m exp

– t

2

2 dt + σ2π

⌡⌠

–∞

+∞ t exp

–t2

2 dt. = mI + J.

On a vu précédemment que I = 1. En outre la fonction intégrée dans l’intégrale J est impaire, c’est pourquoi J = 0. Donc E(X) = m !!!

A.BENHARI 90

On procède de même par intégrations par parties successives pour la variance !!! D] Calculs pratiques 1) Propriété Définition : Soit X une var qui suit la loi N(0,1). On appelle cela la loi normale centrée réduite. Propriété :

Si la variable aléatoire X suit la loi normale N(m,σ), alors la var T = X – m σ suit la loi normale

centrée réduite. 2) Calcul de probabilité à l’aide de table Remarque : La fonction de répartition de la loi centrée réduite se note généralement Π. Les valeurs de Π(t) se lit dans une table ou dans la calculatrice. Calcul de probabilités :

• P ( )T ≤ a = Π(a). Faire une figure.

• P ( )T > a = 1 – Π(a). Faire une figure.

• P ( )a < T ≤ b = Π(b) – Π(a). Faire une figure.

• P ( )–a < T ≤ a = 2Π(a) – 1. Remarque : La table ne donne pas les valeurs de Π(t) pour les t négatifs, mais on utilise alors Π(–t)=1–Π(t). Exercices 4, 4, 5 et 6p362. Exercices 9, 12 et 13p363. Exercice 15p364. Exercice 22p365. Exercices 24 et 25p366. E] Approximation d’une loi binomiale par une loi normale Propriété : Pour n suffisamment grand, on peut remplacer les probabilités associées à la loi binomiale B(n,p) par celles de la loi normale N(m,σ) avec m = np et σ = npq. Démonstration : ADMIS Exemple :

Avec la loi B(50,12) on a P ( )X ≤ 20 ≈ 0,1013. m = np = 50 × 12 = 25 et σ = 50 × 12 × 12 =

252 . Donc on approxime cette loi avec la loi N(25 ,25

2 ).

On a alors ( )X ≤ 20 ≈ 0,0787. Exercices 30, 31 et 32p369.

A.BENHARI 91

Calcul matriciel I. Définition des matrices et des vecteurs A] Les matrices 1) Définition Définition : Une matrice de dimension n x p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice. Remarques :

• Il y a un ordre quand on donne la dimension de la matrice. • Il y a np coefficients.

2) Exemples

Exemples :

* A = E

1 π 2 – A 3A 0

4 i 2+3i 12 2 est une matrice 2 × 5 à coefficients complexes. Il y a

effectivement 10 coefficients. On dit que le coefficient de la 1ère ligne et de la 2ème colonne est π. On note cela a1,2 = π. On dit que le coefficient de la 2ème ligne et de la 1ère colonne est 4. On note cela a2,1 = 4.

* B = A

1 –4

–2 6 E A est une matrice 2 × 2. Lorsque la matrice possède autant de lignes que de colonnes on dit qu’elle est carrée. Si on note B cette matrice, alors b11 = et b12 = . Remarques : La matrice nulle de dimensions nxp est notée 0n,p et ne comporte que des 0. Exercice 2p253.

2) Egalité de matrices Définition : On dit que deux matrices sont égales quand elles ont mêmes dimensions ( ie qu’elles ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes) et qu’elles contiennent les mêmes nombres placés aux mêmes endroits. Exemples : * A et B ne peuvent pas être égales car elles n’ont pas la même dimension. * On remarque la dimension ne suffit pas. Exercices 3, 4 et 5p253. B] Les vecteurs

1) Définitions Définition :

A.BENHARI 92

• Une matrice à une seule ligne et p colonnes s’appelle un vecteur ligne de dimension p.

• Une matrice à une seule colonne et n lignes s’appelle un vecteur colonne de dimension n.

Remarque : Les vecteurs sont des matrices particulières qui ne possèdent qu’une ligne ou qu’une seule colonne. Exemples : Exemple des élèves : est un vecteur ligne de dimension 4. Exemples des élèves : est un vecteur colonne de dimension 2. Remarque : On définit de la même façon que pour les matrices l’égalité de vecteurs. II. Opérations sur les matrices A] Multiplication d’une matrice par un nombre réel 1) Définition Définition : On appelle produit d’une matrice par un nombre complexe la matrice obtenue en multipliant tous les coefficients par ce nombre. Exemples : * Reprenons notre matrice A. Calculons 2A.

Ainsi 2A =

2 2π 4 –2 3 0

8 2i 4+6i 1 4 .

Et 3iB =

3i –12i

–6i 18i .

* Une station service propose 2 types de carburants gazole et super. On a alors le tableau suivant représentant le volume vendu en litre.

Jour Super Gazole

Lundi 1 600 3 00 Mardi 1 800 2 500

Mercredi 1 700 3 200 Jeudi 800 1 800

Vendredi 2 00 2 800 Samedi 2 500 1 000

Dimanche 0 0 1 m3 = 1 000 litres Donner la matrice Q’ où la quantité des carburants vendue est en m3 et non en litre. Q’ = 0,001 Q 2) Théorème Théorème : Soient M et C deux matrices de dimensions nxp et a et b deux nombres complexes.

• 0 x M = 0n,p et 1 x M = M. • ( a + b ) M = aM + bM. • a ( M + C ) = aM + aC.

Démonstration : Il suffit de le faire pour un emplacement quelconque de la matrice. Faisons pour la 1ère ligne et la 1ère colonne.

1) 0 x m11 = 0 d’où 0n,p x M = 0n,p. 1 x m11 = m11 d’où 1 x M = M.

A.BENHARI 93

2) (a + b ) m11 = am11 + bm11 d’où ( a + b ) M = aM + bM. 3) a (m11 + c11 ) = am11 + bm11 d’où a(M + C ) = aM + aC.

Remarques : On appelle opposée d’une matrice M, la matrice ( – 1 ) M ; elle est notée – M. A – B = A + ( – B). M – M = 0n,p. B] Somme de deux matrices Définition : Soient A et B deux matrices de dimensions n × p. On définit la matrice somme par S = A + B.

• La matrice S est de dimension n × p. • et pour tout i ∈ 1,…,n et pour tout j ∈ 1,…,p on a si,j = ai,j + bi,j.

Remarque : On ne peut pas sommer deux matrices qui n’ont pas la même dimension. Exemples :

* Soit A’ =

1 0 –1 0 2

0 3 –i 0 3

Alors la somme A + A’ =

2 π 1 – 3 2

4 3+i 2+2i 12 5 .

* En outre A – A’ =

0 π 3 – 3 –2

4 i – 3 2+4i 12 –1 .

Propriété : Soient A, B et C trois matrices de dimensions n × p. Soient k et k’ deux nombres complexes. On a alors les assertions suivantes :

• A + B = B + A. ( la somme est commutative). • ( )A + B + C = A + ( )B + C . ( la somme est associative). • ( )kk’ A = k ( )k’A . • k ( )A + B = kA + kB. La loi × est distributive par rapport à la somme. • ( )k + k’ A = kA + k’A.

Démonstration : Il suffit de le faire sur un coefficient et d’utiliser les propriétés des nombres complexes. C] Multiplication de deux matrices de bonnes dimensions 1) Produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne de même dimension Définition :

On appelle produit du vecteur ligne(a1 an) par le vecteur colonne

b1

.

.bn

:

Le nombre a1b1 + a2b2 +…………….+anbn On l’écrit :

A.BENHARI 94

( )

b1

.

.bn

= a1b1 + a2b2 +…………….+anbn

Exemples : i) Avec les leurs.

ii) On reprend la station essence et on veut calculer la recette du mardi sachant que le prix du super est 1,23€ et celui du gazole est de 1,01€.

D’où

( )1 800, 2 500

1,23

1,01 =

2) Cas général : Définition : On appelle produit d’une matrice A de dimension n x p par une matrice B de dimension p x s la matrice AB de dimension n x s obtenue de la façon suivante : Le coefficient de la lème ligne et de la kème colonne est le produit du vecteur ligne l de A par le vecteur colonne k de B. Faire un dessin. Remarque : Si A est une matrice carrée on note A² = A x A. Exemples : Faire des exemples avec leurs matrices ! ATTENTION : AB ≠ BA et parfois cela n’a pas de sens. Théorème : Soient A, B, et C trois matrices dont les dimensions permettent les calculs suivants et k un réel.

• A(BC) = (AB)C = ABC. ( Associativité du produit ). • A ( B + C ) = AB + AC. ( Distributivité à gauche du produit par rapport à la

somme ). • ( A + B ) C = AC + BC. ( Distributivité à droite du produit par rapport à la

somme ). • ( k A ) B = A ( k B ) = k ( A B ) = k A B.

Démonstration : ADMIS Exercices 6, 7, 9, 10, 11, 12, 14 et 15p254. Exercice 20p255. Exercices 22, 25 et 27p256. Introduction en parlant de +, – x et … A.BENHARI 95

III. Inverse d’une matrice A] Définition Définition : La matrice unité d’ordre n est la matrice d’ordre n définie par :

• ai,j = 1 si i = j. • ai,j = 0, si i ≠ j.

Exemple :

I3 =

1 0 0

0 1 00 0 1

.

Remarque : Soit A une matrice de dimensions n x n, on a alors A x In = In x A = A. Le faire avec une matrice 2x2. Définition : Soit A une matrice carrée de dimensions n. On appelle inverse la matrice de A si elle existe la matrice B carrée de dimension n telle que AB = BA = In. On la note A-1.

Remarques : • Cette matrice n’existe pas toujours. • Pour obtenir cette matrice on peut utiliser la calculatrice.

B] Utilisation de l’inverse pour résoudre des systèmes d’équations Exemple :

On cherche à résoudre le système suivant : x + y + z = 1 x + 2y + z = 3 2x + y = 4

.

On pose alors la matrice A et le vecteur colonne B.

A =

1 1 1

1 2 12 1 0

et B =

1

34

.

On pose aussi X =

x

yz

.

Ainsi résoudre le système revient à résoudre AX = B. On cherche alors A-1 avec la calculatrice par exemple.

Ainsi

x

yz

= A-1B.

On a donc les solutions du système. Exercice 16p254. Exercice 28p256. Exercice 29p257.

A.BENHARI 96

IV. Utilisation du calcul matriciel A] Matrices associées à quelques transformation du plan Le plan complexe est rapporté à un repère (OEA

→

,EA

→

u A,E AA

→

vE A). 1) Rotation de centre O Propriété : Considérons la rotation de centre O et d’angle θ. On la note r θ. Soit M le point d’affixe z = x + iy. Si M’ = r θ(M) est d’affixe z’ = x’ +iy’, alors on a z’ = ei θ z. SSI z’ = A( )cos θ + i sin θ ( x + iy).

SSI x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ.

SSI

x’

y’ = R

x

y . En posant R =

cos θ –sin θ

sin θ cos θ .

2) Homothéties de centre O et de rapport k/ Propriété : En procédant de même on démontre alors que si M’ est le transformé de M par l’homothétie de centre O et de rapport k, alors on a :

x’

y’ = H

x

y . En posant H =k Id2. 3) Similitude de centre O, de rapport k et d’angle θ Propriété : En procédant de même on démontre alors que si M’ est le transformé de M par la similitude de centre O, d’angle θ et de rapport k, alors on a :

x’

y’ = S

x

y . En posant S =

k cos θ –k sin θ

k sin θ k cos θ .

Exercice 17p255. Exercice 30p257. B] Quadripôles électriques

1- Définition et représentation : Un quadripôle électrique est un circuit électrique qui admet deux bornes d’entrées et deux bornes de sorties (figure 1). En effet, nous utilisons la représentation de quadripôle pour tout circuit électrique ou électronique complexe. Les grandeurs électriques du quadripôle sont : Les courants, d’entrée et de sortie 21 , II et les tensions, d’entrée et de sortie 21 ,UU Les courants qui pénètrent dans le quadripôle sont par convention dans le sens positif.

Figure 1

Remarque : Si dans un quadripôle une borne d’entrée est liée à une borne de sortie ce dernier est dit tripôle électrique. (Un transistor par exemple)

2- Matrices représentatives des quadripôles Dans le cas d’un quadripôle linéaire les grandeurs d’entrée et de sortie peuvent êtres

A.BENHARI 97

exprimées sous plusieurs formes selon les cas : a- Matrice Impédance : Tels que :

=

2

1

2221

1211

2

1

II

ZZZZ

UU

2221

1211

ZZZZ

est la matrice impédance du quadripôle.

22211211 ,,, ZZZZ sont des impédances du quadripôle.

b- Matrice admittance : Tels que :

=

2

1

2221

1211

2

1

UU

AAAA

II

2221

1211

AAAA

est la matrice admittance du quadripôle.

22211211 ,,, AAAA sont des admittances du quadripôle.

b- Matrice de transfert : Tels que :

−

=

1

1

2221

1211

2

2

IU

TTTT

IU

2221

1211

TTTT

est la matrice de transfert du quadripôle.

22211211 ,,, TTTT sont des paramètres du quadripôle tels que : 11T et 22T sont des nombres, 12T est une impédance, 21T est une admittance.

c- Matrice hybride : Tels que :

=

2

1

2221

1211

2

1

UI

HHHH

IU

2221

1211

HHHH

est la matrice Hybride du quadripôle dont l’intérêt est primordiale pour l’étude

des transistors. 22211211 ,,, HHHH sont des paramètres du quadripôle tels que : 21H et 12H sont des nombres,

11T est une impédance, 22T est une admittance. 3- Associations de quadripôle :

a- association en cascade : Soit n quadripôles associées en cascade tel que les grandeurs de sortie du (i-1)ème sont les grandeurs d’entrée du ième. Voir figure 2

Figure 2

A.BENHARI 98

Dans ce cas d’associations il est plus commode d’utiliser les matrices de transfert des quadripôles pour alléger le calcul.

[ ]

−=

−

=

i

i

ii

i

ii

ii

i

i

IU

TI

UTTTT

IU

1

1

1

1

2221

12112

2

[ ]iT est la matrice de transfert du ième quadripôle.

[ ]

−=

−

−

−−

−

11

11

11

12

2

i

i

ii

i

IU

TIU

[ ]1−iT est la matrice de transfert du (i-1)ème quadripôle.

Avec

−=

−

−

i

i

i

i

IU

IU

1

11

2

12 , alors [ ] [ ] [ ][ ]

−=

=

−=

−

−

−−

−

11

11

112

12

1

12

2

i

i

iii

i

ii

i

ii

i

IU

TTIU

TI

UT

IU

, faisons le

même calcul pour tous les quadripôles en cascade, on obtient :

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

−=

−=

=

−=

∏

=−

−

−−

−

1

11

11

111

112

12

1

12

2I

UT

IU

TTIU

TI

UT

IU

niin

n

nnn

n

ni

n

nn

n

Remarque :

La [ ]∏=

1

niiT n’est pas commutative.

Exemple : Quadripôle en T Soit le circuit de la figure 3. En utilisant le raisonnement précédant on peut écrire :

[ ] [ ][ ][ ]

−=

−=

1

1123

1

12

2I

UTTT

IU

TIU

i

n

n

Avec : [ ]

=

101 1

1

ZT , [ ]

= 11

01

2

2Z

T ,

[ ]

=

101 3

3

ZT

Figure 3

Nous obtenons alors : [ ]

+

+++=

2

1

2

32

131

2

3

1

11

1

ZZ

Z

ZZ

ZZZ

ZZ

T

A.BENHARI 99

b- association en série : Soit l’association des quadripôles de la figure 4 : Les courants ‘entrée et de sorties restent les mêmes. Cependant, les tensions s’ajoutent. Dans ce cas d’association nous utilisons la matrice impédance pour alléger le calcul.

∑=

=n

i

nUUe

11 et ∑

=

=n

i

ns UU

12

Or [ ]

=

2

1

2

1

II

ZU

Uii

i

donc :

[ ]

=

=

∑∑== 2

1

112

1

II

ZU

UUU n

ii

n

ii

i

s

e ,

alors :

[ ] [ ]∑=

=n

iieq ZZ

1

Figure 4

C- association en parallèle : Dans le cas de l’association en parallèle, voir figure 5. Dans ce cas les tensions d’entrée et de sortie restent les mêmes et les courants s’additionnent, il est alors plus commode d’utiliser la matrice admittance pour alléger le calcul.

∑=

=n

i

nIIe

11 et ∑

=

=n

i

ns II

12

Or [ ]

=

2

1

2

1

UU

ZI

Iii

i

donc :

[ ]

=

=

∑∑== 2

1

112

1

UU

YI

III n

ii

n

ii

i

s

e ,

alors :

[ ] [ ]∑=

=n

iieq YY

1

Figure 5

A.BENHARI 100

BTS Groupement AFormulaire de mathematiques autorise.

Exercice 1 BTS, Groupement A1, 2010 3 pointsOn considere un systeme physique dont l’etat est modelise par la fonction y de la variable t, solution

de l’equation differentielle :y′′(t) + 4y(t) = 20 (1) .

1. Determiner la fonction constante h solution particuliere de l’equation differentielle (1).

2. Determiner la solution generale de l’equation differentielle (1).

3. En deduire l’expression de la fonction f solution de l’equation differentielle (1) qui verifie lesconditions f(0) = 0 et f ′(0) = 0.

Exercice 2 BTS, Groupement A1, 2007 8 pointsOn designe par i le nombre complexe de module 1 dont un argument est

π

2.

On considere un filtre dont la fonction de transfert T est definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

T (ω) =iωk

1 − iω

2

.

Le nombre k est un nombre reel strictement positif compris entre 0 et 1.En associant trois filtres identiques au precedent, on obtient un systeme dont la fonction de transfertH est definie sur ]0 ; +∞[ par :

H(ω) = (T (ω))3 .

1. On note r(ω) le module de H(ω). On a donc : r(ω) = |H(ω)|.

(a) Montrer que le module de T (ω) estkω

√

1 +ω2

4

.

(b) En deduire r(ω).

2. (a) Justifier qu’un argument de (iωk)3 est3π

2.

Justifier qu’un argument de 1 − iω

2est − arctan

(ω

2

)

.

En deduire qu’un argument de H(ω), notee ϕ(ω), est defini sur ]0 ; +∞[ par :

ϕ(ω) =3π

2+ 3 arctan

(ω

2

)

.

(b) On note ϕ′ la derivee de la fonction ϕ. Calculer ϕ′(ω) et determiner le signe de ϕ′.

(c) Determiner les limites de la fonction ϕ en 0 et +∞.

3. Dans le tableau ci-apres on donne les variations de la fonction r sur l’intervalle ]0 ; +∞[.Recopier et completer ce tableau en utilisant les resultats obtenus dans la question 2.

ωr′(ω)

r(ω)

ϕ(ω)

ϕ′(ω)

0 +∞

8k3

0

+

A.BENHARI 101

4. Dans cette derniere question, on se place dans le cas ou k = 0, 9.Lorsque ω decrit l’intervalle ]0 ; +∞[, le point d’affixe H(ω) decrit une courbe C.En annexe 1, a rendre avec la copie, la courbe C est tracee dans le plan complexe.On note ω0 la valeur de ω pour laquelle le module de H(ω) est egal a 1.

(a) Placer precisement le point M0 d’affixe H(ω0) sur le document reponse donne en an-nexe 1.

(b) Calculer une valeur arrondie a 10−2 pres du nombre ω0, puis de ϕ(ω0).

Exercice 3 BTS, Groupement A1, 2010 9 points

Specialites CIRA, Electrotechnique, Genie optique, Systemes electroniques, TPIL

Dans cet exercice, on se propose d’etudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et,

dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.

Dans cet exercice, on note τ une constante reelle appartenant a l’intervalle [0 ; 2π] et on considereles fonctions f et g definies sur l’ensemble IR des nombres reels, telles que :

• pour tout nombre reel t, f(t) = 1 ;• la fonction g est periodique de periode 2π et :

g(t) = 0 si 0 6 t < τ

g(t) = 1 si τ 6 t < 2π

Pour tout nombre reel t, on pose :

h(t) = f(t) − g(t)

La fonction h ainsi definie represente la perturbation du signal.

1. Les courbes representatives des fonctions f et g sont tracees sur le document reponse no 2.(figures 1 et 2).

Sur la figure 3 du document reponse no 2, tracer la representation graphique de la fonction h.

2. On admet que la fonction h est periodique de periode 2π.

Pour tout nombre reel t, on definit la serie de Fourier S(t) associee a la fonction h par

S(t) = a0 ++∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt))

(a) Determiner a0.

(b) Soit n un nombre entier superieur ou egal a 1.

Calculer∫

τ

0

cos(nt) dt

et en deduire que

an =1

nπsin(nτ).

(c) Montrer que pour tout nombre entier n superieur ou egal a 1,

bn =1

nπ(1 − cos(nτ)).

3. Soit n un nombre entier naturel. On associe a n le nombre reel An tel que :

A.BENHARI 102

• A0 = a0

• An =

√

a2n

+ b2n

2si n est un nombre entier superieur ou egal a 1.

Montrer que, pour tout entier n superieur ou egal a 1, on a :

An =1

nπ

√

1 − cos(nτ).

On suppose, pour toute la suite de l’exercice, que τ =π

4.

4. Completer le tableau du document reponse no 3 avec des valeurs approchees a 10−5 pres.

5. La valeur efficace heff de la fonction h est telle que :

h2eff =

1

2π

∫ 2π

0

[h(t)]2 dt.

(a) Calculer h2eff.

(b) Montrer que, pour tout τ ∈ [0 ; 2π], 0 6 1 − cos(nτ) 6 2, et en deduire que la serie

P =

+∞∑

n=0

A2n

converge.

(c) Calculer une valeur approchee a 10−4 pres du nombre reel P3 defini par P3 =3

∑

n=0

A2n.

(d) Calculer une valeur approchee a 10−2 pres du quotientP3

h2eff

.

Annexe 1Document reponse a rendre avec la copie

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

A.BENHARI 103

Document reponse no 2, a rendre avec la copie (exercice 1)

Figure 1 : courbe representative de f

1

−3π −2π −π π 2π 3π0

Figure 2 : courbe representative de g

1• • •

• • •−3π −2π −π π 2π 3π0

Figure 3 : courbe representative de h

1

−3π −2π −π π 2π 3π0


n 0 1 2 3 4 5 6 7An 0,125 00 0,172 27 0,138 63 0,083 18 0,053 05 0,024 61

n 8 9 10 11 12 13 14 15An 0,019 14 0,031 83 0,037 81 0,031 99 0,022 74 0,011 48

A.BENHARI 104

BTS Groupement AExercice 1 BTS, Groupement A1, 2010 3 points

y′′(t) + 4y(t) = 20 (1) .

1. Soit h(t) = k, k ∈ IR une fonction constante, alors h est solution de (1) si h′′(t) + 4h(t) =20 ⇐⇒ 4k = 20 ⇐⇒ k = 5.

Donc la fonction constante h(t) = 5 est une solution particuliere de (1).

2. L’equation caracteristique est : r2 +4 = 0 de discriminant ∆ = 02−4×1×4 = −16 = −42 > 0,et qui admet donc deux racines complexes conjuguees : r1 = 2j et r2 = −2j.

La solution generale s’ecrit donc, g(t) = A cos(2t) + Be sin(2t). ou A et B sont des nombresreels quelconques.

3. La solution de (1) s’ecrit donc f(t) = g(t) + h(t) = A cos(2t) + Be sin(2t) + 5.

De plus, f(0) = A + 5 = 0 et f ′(0) = 2B = 0, d’ou B = 0, et donc A = −5.

Ainsi f(t) = −5 cos(2t) + 5 = 5(1 − cos(4t)).


1. (a) |T (ω)| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

iωk

1 − iω

2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=|iωk|

∣

∣

∣1 − i

ω

2

∣

∣

∣

=ωk

√

12 +(ω

2

)2=

ωk√

1 +ω2

4

(b) r(ω) = |H(ω)| = |(T (ω))3| = |(T (ω))|3 =(ωk)3

(

1 +ω2

4

)3/2

2. (a) arg ((iωk)3) = 3 arg(iωk), or ω > 0 et k > 0, et donc, arg ((iωk)3) = 3π

2[2π].

Un argument θ de 1 − iω

2est tel que cos θ =

1√

12 +ω2

4

et sin θ =−

ω

2√

12 +ω2

4

.

Ainsi, tan θ =sin θ

cos θ=

−ω

21

= −ω

2, d’ou θ = arctan

(

−ω

2

)

= − arctan(ω

2

)

.

On a alors,

ϕ(ω) = arg(

(H(ω))3)

= 3 arg (H(ω)) = 3 arg

iωk

1 − iω

2

= 3(

arg (iωk) − arg(

1 − iω

2

))

= 3(π

2− θ

)

=3π

2− 3θ =

3π

2+ 3 arctan

(ω

2

)

(b) ϕ′(ω) = 0 + 3

1

2

1 +(ω

2

)2=

3

2

1

1 +(ω

2

)2

On a donc, pour tout ω > 0, ϕ′(ω) > 0.

(c) limx→0+

arctan(x) = 0, et donc, limω→0+

ϕ(ω) =3π

2+ 3 lim

ω→0+arctan

(ω

2

)

=3π

2

De meme, limx→+∞

arctan(x) =π

2, et donc, lim

ω→+∞

ϕ(ω) =3π

2+ 3

π

2= 3π.

A.BENHARI 105

3.

3π

2

3π

ω

r′(ω)

r(ω)

ϕ(ω)

ϕ′(ω)

0 +∞

8k3

0

+

+

4. Dans cette derniere question, on se place dans le cas ou k = 0, 9.

(a) Voir annexe 1.

(b) ω0 est tel que r(ω0) = |H(ω0)| = 1, soit,

r(ω0) =(ω0k)3

(

1 +ω2

0

4

)3/2= 1 ⇐⇒ (ω0k)3 =

(

1 +ω2

0

4

)3/2

⇐⇒ ω0k =

(

1 +ω2

0

4

)1/2

⇐⇒ (ω0k)2 = 1 +ω2

0

4⇐⇒

(

k2 −1

4

)

ω20 = 1

⇐⇒ ω0 =1

√

k2 −1

4

≃ 1, 34 car ω0 > 0

et,

ϕ(ω0) =3π

2+ 3 arctan

(ω0

2

)

≃ 6, 48 [2π] ≃ 6, 48 − 2π [2π] ≃ 0, 20 [2π]


1. h(t) = f(t) − g(t) =

1 si, 0 6 t 6 τ

0 si, τ 6 t 6 2π, voir la representation graphique sur le document

reponse 2.

2. (a) a0 =1

2π

∫ 2π

0

h(t) dt =1

2π

(∫ τ

0

1 dt +

∫ 2π

τ

0 dt

)

=1

2π

[

t]τ

0

=τ

2π

(b)∫ τ

0

cos(nt) dt =

[

1

nsin(nt)

]τ

0

=1

nsin(nτ)

Comme

an =2

T

∫ T

0

h(t) cos(nωt) dt

avec, T = 2π et ω =2π

T= 1, soit

an =1

π

∫ τ

0

cos(nt) dt =1

π

1

nsin(nτ) =

1

nπsin(nτ).

A.BENHARI 106

(c) Pour tout entier n,

bn =2

T

∫ T

0

h(t) sin(nωt) dt =1

π

∫ τ

0

sin(nt) dt =1

π

[

−1

ncos(nt)

]τ

0

=1


3. Pour tout entier n superieur ou egal a 1, on a :

A2n =

a2n + b2

n

2=

1

2

(

1

n2π2sin2(nτ) +

1

n2π2(1 − cos(nτ))2

)

=1

2n2π2

(

sin2(nτ) + 1 + cos2(nτ) − 2 cos(nτ))

or, pour tout x ∈ IR, cosx + sin2 x = 1, et donc,

A2n =

1

2n2π2(2 − 2 cos(nτ)) =

1

n2π2(1 − cos(nτ))

et donc,

An =1

nπ

√

1 − cos(nτ).


4.

4. Voir document reponse no 3.

5. (a) La valeur efficace heff de la fonction h est telle que :

h2eff =

1

2π

∫ 2π

0

[h(t)]2 dt =1

2π

∫ τ

0

1 dt =τ

2π=

1

8

(b) Pour tout τ ∈ [0; 2π], −1 6 cos(nτ) 6 1, et on a donc, −1 6 − cos(nτ) 6 1, d’ou,0 6 1 − cos(nτ) 6 2.

La serie P =

+∞∑

n=0

A2n, est une serie de terme general positif A2

n =1

n2π2(1 − cos(nτ)).

On a donc, d’apes l’encadrement precedent A2n 6

2

n2π2. Or, la serie de terme general

un =2

n2π2est une serie convergente (serie de Riemann

∑ 1

nαavec α = 1).

Ainsi, par comparaison de serie a termes positifs, la serie de terme general A2n est aussi

convergente.

(c) P3 =

3∑

n=0

A2n = A2

0 + A21 + A2

2 + A23 ≃ 0, 0764.

(d)P3

h2eff

≃ 0, 61.

A.BENHARI 107

Annexe 1

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

M0



1

−3π −2π −π π 2π 3π0


1• • •

• • •−3π −2π −π π 2π 3π0


1

−3π −2π −π π 2π 3π0

1•

• • •

• •


n 0 1 2 3 4 5 6 7An 0,125 00 0,172 27 0,159 15 0,138 63 0,112 54 0,083 18 0,053 05 0,024 61

n 8 9 10 11 12 13 14 15An 0 0,019 14 0,031 83 0,037 81 0,037 51 0,031 99 0,022 74 0,011 48

A.BENHARI 108

BTS Groupement A

Formulaire de mathematiques autorise.


On rappelle que la fonction echelon unite U est definie sur IR par :

U(t) = 0 si t < 0

U(t) = 1 si t > 0

Une fonction definie sur IR est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] −∞ ; 0[.

1. On considere la fonction causale e definie sur l’ensemble des nombres reels par :

e(t) = 4 [U(t) − U(t − 2)]

a. Tracer la representation graphique de la fonction e dans un repere orthonormal.

b. On note E la transformee de Laplace de la fonction e.Determiner E(p).

2. On considere la fonction s telle que

4s′(t) + s(t) = e(t) et s(0) = 0

On admet que la fonction s admet une transformee de Laplace, notee S.Demontrer que :

S(p) =1

p

(

p +1

4

)

(

1 − e−2p)

3. Determiner les reels a et b tels que :

1

p

(

p +1

4

) =a

p+

b

p +1

4

4. Completer le tableau ci-dessous dans lequel f represente la fonction causale associee a F :

F (p)1

p

1

pe−2p

1

p +1

4

1

p +1

4

e−2p

f(t) U(t)

5. a. Determiner s(t), t designant un nombre reel quelconque.

b. Verifier que :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = 4 − 4e−t

4 si 0 6 t < 2

s(t) = 4e−t

4

(

e1

2 − 1)

si t > 2

A.BENHARI 109

6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur l’intervalle [0 ; 2[.

b. Determiner limt→2t<2

s(t).

7. a. Determiner le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle [2 ; +∞[.

b. Determiner limt→+∞

s(t).

8. Tracer la courbe representative de la fonction s dans un repere orthonormal.

Exercice 2 BTS, Groupement A, 2005 9 points

1. Soit la fonction numerique g definie sur [0; π] par

g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t.

a. Montrer que g′(t) = 4 sin t cos3 t.

b. En deduire les variations de g sur [0; π].

2. Soit la fonction numerique f definie sur IR, paire, periodique de periode 1 telle que :

f(t) =1

2− τ si 0 6 t 6 τ

f(t) = −τ si τ < t 61

2

ou τest un nombre reel tel que 0 < τ <1

2

a. Uniquement dans cette question, on prendra τ =1

6.

Representer la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 1] dans un repere orthonormal.

b. On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet.Soit S le developpement en serie de Fourier associe a la fonction f .Montrer que :

S(t) =+∞∑

n=1

1

2nπsin(2nπτ) cos(2nπt)

3. On decide de ne conserver que les harmoniques de rang inferieur ou egal a 2.Soit la fonction numerique h definie sur R par :

h(t) =1

πsin(2πτ) cos(2πt) +

1

2πsin(4πτ) cos(4πt)

On designe par E2h le carre de la valeur efficace de h sur une periode.

a. A l’aide de la formule de Parseval, determiner E2h.

b. Montrer que E2h =

1

2π2g(2πτ).

4. Determiner la valeur de τ rendant E2h maximal.

A.BENHARI 110

Correction BTS Groupement A



1. a.e(t) = 4 [U(t) − U(t − 2)]

=

0 si t < 0

4 si 0 6 t < 2

0 si t > 2

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

−1

0

1

2

3

4

b. E(p) = 4

[

1

p−

e−2p

p

]

=4

p[1 − e−2p].

2. On considere la fonction s telle que

4s′(t) + s(t) = e(t) et s(0) = 0

On admet que la fonction s admet une transformee de Laplace, notee S.

En appliquant la transformee de Laplace a l’equation differentielle, on a :

4(

pS(p) − s(0+))

+ S(p) = E(p)

soit, comme s(0+) = 0,

4pS(p) + S(p) = (4p + 1) S(p) = E(p) ⇐⇒ S(p) =1

4p + 1E(p)

d’ou,

S(p) =1

4p + 1

4

p

(

1 − e−2p)

=1

p

(

p +1

4

)

(

1 − e−2p)

3.

1

p

(

p +1

4

) =a

p+

b

p +1

4

=(a + b)p + a

1

4

p

(

p +1

4

) ⇐⇒

a + b = 0a = 4

On a donc a = 4 et b = −4, et1

p

(

p +1

4

) =4

p−

4

p +1

4

4.

F (p)1

p

1

pe−2p 1

p +1

4

1

p +1

4

e−2p

f(t) U(t) U(t − 2) e−1

4tU(t) e−

1

4(t−2)U(t − 2)

A.BENHARI 111

5. a.

S(p) =1

p

(

p +1

4

) (1 − e−2p) =

4

p−

4

p +1

4

(1 − e−2p)

= 41

p− 4

1

pe−2p − 4

1

p +1

4

+ 41

p +1

4

e−2p

s(t) = 4U(t) − 4U(t − 2) − 4e−1

4tU(t) + 4e−

1

4(t−2)U(t − 2)

b. On a donc,• si t < 0, s(t) = 0

• si 0 6 t < 2, s(t) = 4 − 4e−1

4t

• si t > 2, s(t) = 4 − 4 − 4e−1

4t + 4e−

1

4(t−2) = 4e−

1

4t(

−1 + e1

2

)

c’est-a-dire :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = 4 − 4e−

t

4 si 0 6 t < 2

s(t) = 4e−

t

4

e

1

2 − 1

si t > 2

6. a. Sur l’intervalle [0 ; 2[, on a : s′(t) = 0 − 4 ×

(

−1

4

)

e−t

4 = e−t

4 > 0

On en deduit que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 2[.

b. limt→2−

s(t) = limt→2−

4 − 4e−

t

4

= 4 − 4e−1

2 .

7. a. Sur [2 ; +∞[, s′(t) = 4 ×

(

−1

4

)

e−1

4

(

e1

2 − 1)

= −e−1

4

(

e1

2 − 1)

.

Or, e1

2 > e0 = 1, d’ou, e1

2 − 1 > 0, on en deduit que s′(t) < 0 : et donc que

la fonction s est strictement decroissante sur [2 ; +∞[.

b. limt→+∞

e−t

4 = 0, d’ou, limt→+∞

s(t) = 0.

8.

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

0

1

2

3

4

A.BENHARI 112


1. Soit la fonction numerique g definie sur [0; π] par : g(t) = (1 + cos2 t) sin2 t.

a.g′(t) = (−2 sin t cos t) sin2 t + 2

(

1 + cos2 t)

sin t cos t

= −2 sin3 t cos t + 2 sin t cos t + 2 sin t cos3 t

= 2 sin t cos t(

− sin2 t + 1 + cos2 t)

or, cos2 t + sin2 t = 1 ⇐⇒ − sin2 t = cos2 t − 1, et donc,

g′(t) = 2 sin t cos t(

cos2 t − 1 + 1 + cos2 t)

= 4 sin t cos3 t

b. On peut alors dresser le tableau de variation de g sur [0; π] :

t 0 π2

π

sin t + | +cos t + 0| −cos3 t + 0| −g′(t) + 0| −

1g(t)

0 0

2. a. Pour τ =1

6, f est definie sur IR, paire, periodique de periode 1 telle que :

f(t) =1

2−

1

6=

1

3si 0 6 t 6

1

6

f(t) = −1

6si

1

66 t 6

1

2

13

-16

16

-16

12

-12

56

-56 1-1

b. On calcule les coefficients de Fourier de S, 1-periodique, donc de pulsation ω = 2π, et enutilisant la parite de S :

• a0 =2

T

∫ T/2

0

f(t) dt = 2

∫ 1/2

0

f(t) dt = 2

(

∫ τ

0

(

1

2− τ

)

dt +

∫ 1/2

τ

−τ dt

)

= 2

((

1

2− τ

)

τ − τ

(

1

2− τ

))

= 0

A.BENHARI 113

• an =2

T

∫ T/2

0

f(t) cos(nωt) dt = 2

(

(

1

2− τ

)∫ τ

0

cos(2πnt) dt − τ

∫ 1/2

τ

cos(2πnt) dt

)

= 2

(

(

1

2− τ

)[

1

2nπsin(2nπt)

]τ

0

− τ

[

1

2nπsin(2nπt)

]1/2

τ

)

= 2

(

1

2nπ

(

1

2− τ

)

sin(2nπτ) − τ1

2nπ(sin(nπ) − sin(2nπτ))

)

=2

2nπ

(

1

2sin(2nπτ)

)

=1

2nπsin(2nπτ)

• bn = 0 pour tout n > 1, car f est paire

On obtient donc la serie de Fourier :

S(t) = a0 +

+∞∑

n=1

an cos(2nπt) + bn sin(2nπt)

=

+∞∑

n=1

1

2nπsin(2nπτ) cos(2nπt)

Comme f satisfait aux conditions de Dirichlet, on sait de plus que pour tout t ou f est continue,S(t) = f(t).

3. On decide de ne conserver que les harmoniques de rang inferieur ou egal a 2.Soit la fonction numerique h definie sur R par :

h(t) =1

πsin(2πτ) cos(2πt) +

1

2πsin(4πτ) cos(4πt)

On designe par E2h le carre de la valeur efficace de h sur une periode.

a. D’apres la formule de Parseval, E2h = a2

0 +1

2[a2

1 + a22] =

1

2π2sin2(2πτ) +

1

8π2sin2(4πτ),

soit, E2h =

1

2π2

(

sin2(2πτ) +1

4sin2(4πτ)

)

b. On a : sin(4πτ) = 2 sin(2πτ) cos(2πτ), d’ou,

E2h =

1

2π2

(

sin2(2πτ) +1

4

(

22 sin2(2πτ) cos2(2πτ)

)

=1

2π2sin2(2πτ) (1 + cos2(2πτ))

et on a donc bien E2h =

1

2π2g(2πτ).

4. D’apres la premiere question, g(t) est maximale pour t =1

2.

g(2πτ), et donc E2h, est maximale lorsque 2πτ =

π

2, soit τ =

1

4.

A.BENHARI 114

BTS Groupement A


Exercice 1 BTS, Groupement A1, Nouvelle Caleadonie, 2006 10 points

On considere la fonction ϕ definie sur IR, 2π-periodique, et telle que :

ϕ(t) = t si 0 6 t < π

ϕ(t) = 0 si π 6 t < 2π

On note S(t) developpement de Fourier associe a la fonction ϕ ; les coefficients de Fourier associesa la fonction ϕ sont notes a0, an, bn ou n est un nombre entier naturel non nul.

1. Representer graphiquement la fonction ϕ sur l’intervalle [−2π ; 4π].

2. a. Calculer a0, la valeur moyenne de la fonction ϕ sur une periode.

b. On rappelle que pour une fonction f , periodique de periode T le carre de la valeur efficace

sur une periode est donne par : µ2eff =

1

T

∫ T

0

[f(t)]2 dt.

Montrer que µ2eff, le carre de la valeur efficace de la fonction sur une periode, est egal a

π2

6.

3. Montrer que. pour tout nombre entier n > 1, on a : an =1

πn2[cos(nπ) − 1].

On admet que, pour tout nombre entier n > 1, on a : bn = −

cos(nπ)

n.

4. On considere la fonction S3 definie sur IR par :

S3(t) = a0 +

3∑

n=1

[an cos(nt) + bn sin(nt)]

ou les nombres a0, an , bn sont les coefficients de Fourier associes a la fonction ϕ definieprecedemment.

a. Recopier et completer le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandes.

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

−

2

9π

1

3

b. Calculer la valeur exacte de S3

(π

4

)

puis donner la valeur approchee de ϕ(π

4

)

− S3

(π

4

)

arrondie a 10−2.

5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carre de la valeur efficace µ23 de

la fonction S3.

µ23 = a2

0 +1

2

[

a21 + b2

1 + a22 + b2

2 + a23 + b2

3

]

a. Calculer la valeur exacte de µ23.

b. Calculer la valeur approchee deµ2

3

µ2eff

arrondie a 10−2.

A.BENHARI 115


Dans ce probleme, on s’interesse a un filtre modelise mathematiquement par l’equation differentiellesuivante :

s′(t) + s(t) = e(t)s(0) = 0

La fonction e represente l’entree aux bornes du filtre et la fonction s la sortie.On admet que les fonctions e et s admettent des transformees de Laplace respectivement notees E

et S. La fonction de transfert H du filtre est definie par :

S(p) = H(p) × E(p).

On rappelle que la fonction echelon unite, notee U , est definie par :

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t > 0.

1. Montrer que : H(p) =1

p + 1.

2. La fonction e est definie par : e(t) = tU(t) − (t − 1)U(t − 1).

a. Representer graphiquement la fonction e.

b. Montrer que : E(p) =1

p2(1 − e−p).

c. En deduire S(p).

d. Determiner les nombres reels a, b et c tels que :

1

p2(p + 1)=

a

p+

b

p2+

c

p + 1

e. En deduire l’original s de S.

f. Verifier que :

s(t) = 0 si t < 0s(t) = t − 1 + e−t si 0 6 t < 1s(t) = 1 + (1 − e)e−t si 1 6 t

3. a. Comparer s (1−) et s (1+).

b. Calculer s′(t) et etudier son signe sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.

c. En deduire le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle ]0 : +∞[.

d. Determiner la limite de la fonction s en +∞.

e. Calculer la limite limp→0

(pS(p)). Quel resultat retrouve-t-on ?

A.BENHARI 116



1. ϕ est 2π-periodique avec :

ϕ(t) = t si 0 6 t < π

ϕ(t) = 0 si π 6 t < 2πO−2π −1π 1π 2π 3π 4π

π

2. a. a0 =1

T

∫ T

0

ϕ(t) dt =1

2π

∫ 2π

0

ϕ(t) dt =1

2π

∫ π

0

t dt =1

2π

[

1

2t2

]π

0

=π

4

b. µ2eff =

1

T

∫ T

0

[f(t)]2 dt =1

2π

∫ π

0

t2 dt =1

2π

[

1

3t3

]π

0

=π2

6

3. an =2

T

∫ T

0

ϕ(t) cos(nωt) dt avec T = 2π et ω =2π

T= 1, d’ou,

an =2

2π

∫ 2π

0

ϕ(t) cos(nt) dt =1

π

∫ π

0

t cos(nt) dt,

que l’on peut integrer par parties, en posant u = t, u′ = 1, et v′ = cos(nt), v =1

nsin(nt) :

an =1

π

(

[uv]π0 −

∫ π

0

u′v

)

=1

π

([

1

nt sin(nt)

]π

0

−1

n

∫ π

0

sin(nt) dt

)

=1

π

(

[0 − 0] −1

n

[

−1

ncos(nt)

]π

0

)

=1

πn2[cos(nπ) − 1]

4. a. a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

π

4−

2

π1 0 −

1

2−

2

9π

1

3

b. S3

(π

4

)

= a0 + a1 cos(π

4

)

+ b1 sin(π

4

)

+ a2 cos(π

2

)

+ b2 sin(π

2

)

+ a3 cos

(

3π

4

)

+ b3 sin

(

3π

4

)

=π

4−

2

π

√2

2+ 1

√2

2+ 0 −

1

21 +

2

9π

√2

2+

1

3

√2

2

=π

4−

1

2+

√2

2

(

−2

π+ 1 +

2

9π+

1

3

)

=π

4−

1

2+

√2

2

(

−16

9π+

4

3

)

puis, ϕ(π

4

)

− S3

(π

4

)

=π

4− S3

(π

4

)

=1

2−

√2

2

(

−16

9π+

4

3

)

≃ −0, 04 arrondie a 10−2.

5. a. µ23 = a2

0 +1

2

[

a21 + b2

1 + a22 + b2

2 + a23 + b2

3

]

=π2

42+

1

2

[

4

π2+ 1 + 0 +

1

4+

4

81π2+

1

9

]

=π2

16+

1

2

[

4 × 82

81π2+

49

36

]

b. On trouve, arrondies a 10−2, µ23 ≃ 1, 45 et µ2

eff =π2

6≃ 1, 64, d’ou

µ23

µ2eff

≃ 0, 88.


1. En appliquant la transformee de Laplace a l’equation differentielle, on obtient la relationalgebrique :

pS(p) − s(0+) + S(p) = E(p)

soit, puisque s(0) = 0, pS(p) + S(p) = S(p) (p + 1) = E(p) ⇐⇒ S(p) =1

p + 1E(p).

A.BENHARI 117

On en deduit donc que la fonction de transfert est : H(p) =1

p + 1.

2. La fonction e est definie par : e(t) = tU(t) − (t − 1)U(t − 1).

a. On a :

e(t) = 0 si t < 0

e(t) = t si 0 6 t < 1

e(t) = t − (t − 1) = 1 si t > 1 0 1

1

b. E(p) =1

p2− e−p

1

p2=

1

p2(1 − e−p).

c. On en deduit que S(p) =1

p + 1E(p) =

1

p2(p + 1)(1 − e−p).

d. 1

p2(p + 1)=

a

p+

b

p2+

c

p + 1=

ap(p + 1) + b(p + 1) + cp2

p2(p + 1)=

(a + c)p2 + (a + b)p + b

p2(p + 1)

d’ou, en identifiant : b = 1, a + b = 0 ⇐⇒ a = −1, et a + c = 0 ⇐⇒ c = 1, et donc,

1

p2(p + 1)= −

1

p+

1

p2+

1

p + 1

e. D’apres ce qui precede, S(p) =1

p2(p + 1)(1 − e−p) =

(

−1

p+

1

p2+

1

p + 1

)

(1 − e−p),

et donc, S(p) = −1

p+

1

p2+

1

p + 1+ e−p

1

p− e−p

1

p2− e−p

1

p + 1

ainsi, s(t) = −U(t) + tU(t) + e−tU(t) + U(t − 1) − (t − 1)U(t − 1) − e−(t−1)U(t − 1)

soit, s(t) =[

−1 + t + e−t]

U(t) +[

1 − (t − 1) − e−(t−1)]

U(t − 1)

f. On a alors, en temps :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = −1 + t + e−t si 0 6 t < 1

s(t) = −1 + t + e−t + 1 − (t − 1) − e−t(t−1)

= e−t + 1 − e−(t−1)

= 1 + e−t (1 − e) si 1 6 t

3. a. s(

1−)

= limt→1t<1

s(t) = limt→1t<1

(

−1 + t + e−t)

= e−1 =1

e

s(

1+)

= limt→1t>1

s(t) = limt→1t>1

(

1 + e−t (1 − e))

= 1 + e−1(1 − e) = 1 + e−1 − 1 = e−1 =1

e.

On a donc s(1−) = s(1+) : la fonction s est continue en 1.

b. Sur ]0 ; 1[ : s′(t) = 1−e−t = e−t (et − 1). Or, comme la fonction exponentielle est strictement

croissante, pour 0 < t < 1, e0 = 1 < et < e1 = e, et donc s est croissante.

Sur ]1 ; +∞[ : s′(t) = −e−t(1 − e). Or 1 − e < 0, et donc s′(t) < 0, d’ou s est decroissante.

c. On en deduit donc que s est croissante sur ]0 ; 1[ et decroissante sur ]1 ; +∞[.

d. Comme limt→+∞

e−t = 0, on a donc limt→+∞

s(t) = limt→+∞

(

1 + e−t (1 − e))

= 1.

e. pS(p) = p1

p2(p + 1)

(

1 − e−p)

=1

p(p + 1)

(

1 − e−p)

Or, e−p ∼p→0

1 − p et donc 1 − e−p ∼p→0

p, d’ou p S(p) ∼p→0

1

p(p + 1)p =

1

p + 1, et donc,

limp→0+

pS(p) = 1. On retrouve alors le theoreme de la valeur finale : limp→0+

pS(p) = limt→+∞

s(t) = 1

A.BENHARI 118

Devoir de mathematiques - BTSFormulaire de mathematiques autorise.

Exercice 1 Session 2010 10 points

On considere un systeme physique dont l’etat est modelise par la fonction y de la variable reelle t,solution de l’equation differentielle :

y′′(t) + 4y(t) = e(t) (1),

ou la fonction e represente une contrainte exterieure au systeme.

Partie A

Dans cette partie, on suppose que e(t) = 20 pour tout nombre reel t. L’equation differentielle (1)s’ecrit alors sous la forme :

y′′(t) + 4y(t) = 20 (2).

1. Determiner la fonction constante h solution particuliere de l’equation differentielle (2).


3. En deduire l’expression de la fonction f solution de l’equation differentielle (2) qui verifie lesconditions f(0) = 0 et f ′(0) = 0.

Partie B

Dans cette partie, on etudie un moyen d’amener le systeme vers un etat d’equilibre de maniere« lisse ».A cette fin on soumet le systeme a une contrainte exterieure modelisee par la fonction e definie par :

e(t) = 8tU(t) − 8(t − τ)U(t − 1).

ou τ designe un nombre reel strictement positif.On rappelle que la fonction echelon unite U est definie par :

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t > 0

.

Une fonction definie sur IR est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] −∞ ; 0[.On appelle g la fonction causale telle que :

g′′(t) + 4g(t) = e(t)

et verifiant :g(0) = 0 et g′(0) = 0.

On note G(p) la transformee de Laplace de la fonction g et E(p) la transformee de Laplace de lafonction e.

1. Exprimer E(p) en fonction de p et de τ .

2. En deduire que :

G(p) =8

p2 (p2 + 4)

(

1 − e−τp)

.

3. Determiner les constantes reelles A et B telles que :

8

p2 (p2 + 4)=

A

p2+

B

p2 + 4.

A.BENHARI 119

4. Determiner alors l’original de8

p2 (p2 + 4).

5. En deduire que, pour tout nombre t :

g(t) = g0(t) − g0(t − τ) avec g0(t) = (2t − sin(2t))U(t).

6. Montrer que pour t > τ , on a

g(t) = 2τ − sin(2t) + sin(2t − 2τ).

7. On suppose maintenant que τ = π.

(a) Simplifier l’expression de g(t) pour t > τ .

(b) La courbe representative de la fonction e, pour τ = π, est tracee sur la figure du documentreponse no 1.

Sur le meme graphique, tracer la courbe representative de la fonction g.


Les deux parties de cet exercice sont independantesLe but de la partie A est de calculer le developpement en serie de Fourier d’une fonction periodique,

puis de s’interesser a la valeur efficace de cette fonction sur une periode.

Dans la partie B, il s’agit de retrouver la representation graphique d’une fonction a partir de son

developpement en serie de Fourier puis de definir cette fonction.

Partie A

On considere la fonction f periodique, de periode 2, definie sur l’ensemble des nombres reels par :

f(t) = 0, 5t + 0, 5 si − 1 < t < 1f(1) = 0, 5

Le developpement en serie de Fourier de la fonction f s’ecrit :

S(t) = a0 +

+∞∑

n=1

(an cos(nωt) + bn sin(nωt)) .

1. Tracer la representation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4] en utilisant la figure2 du document reponse numero 2.

2. Demontrer que a0 =1

2.

3. (a) Preciser la valeur de la pulsation ω.

(b) En utilisant une integration par parties, calculer b1.

On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout nombre entier n superieur ou egal a 1 :

bn =(−1)n+1

nπ.

4. Soit g la fonction definie pour tout nombre reel t par g(t) = f(t) − 0, 5.

(a) Tracer la representation graphique de la fonction g sur la figure 3 du document reponsenumero 2.

(b) Quelle propriete de symetrie observe-t-on sur la representation graphique de la fonction g ?

(c) En comparant les coefficients de Fourier des fonctions f et g, montrer que an = 0 pourtout nombre entier n superieur ou egal a 1.

A.BENHARI 120

5. On rappelle que la valeur efficace de la fonction f sur une periode est le nombre reel positif,note feff, defini par :

f 2eff =

1

2

∫ 1

−1

[f(t)]2 dt.

Demontrer que f 2eff =

1

3.

6. On rappelle la formule de Parseval :

f 2eff = a2

0 +1

2

+∞∑

n=1

(

a2n + b2

n

)

.

On decide de calculer une valeur approchee, notee P , de f 2eff en se limitant aux cinq premiers

termes de la somme, c’est-a-dire :

P = a20 +

1

2

5∑

n=1

(

a2n + b2

n

)

.

(a) Calculer une valeur approchee a 10−3 pres de P , puis deP

f 2eff

.

(b) En deduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f 2eff par P .

Partie B

Soit h la fonction definie sur l’ensemble des nombres reels, periodique de periode 2, dont le developpementen serie de Fourier est :

Sh =π

2−

4

π

+∞∑

p=0

1

(2p + 1)2cos[(2p + 1)πt].

1. Determiner la parite de la fonction h.

2. En annexe sont proposees quatre representations graphiques.

Laquelle des quatre courbes proposees est la representation graphique de la fonction h surl’intervalle [−4 ; 4] ? Justifier le choix effectue.

3. Determiner h(t) pour tout nombre reel t appartenant a l’intervalle [0 ; 1].

A.BENHARI 121


2π

3π

4π

5π

6π

7π

8π

9π

10π

π

O−π

−2π

π 2π 3π

Document reponse no 2 a joindre avec la copie (exercice 2)

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 2 : representation graphique de la fonction f (a completer)

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 3 : representation graphique de la fonction g (a completer)

A.BENHARI 122

Annexe

1 2 3 4−1−2−3−4

Courbe 1

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 2

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 3

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 4

A.BENHARI 123

Correction du devoir de mathematiques - BTSExercice 1 Session 2010 10 points

On considere un systeme physique dont l’etat est modelise par la fonction y de la variable reelle t,solution de l’equation differentielle :

y′′(t) + 4y(t) = e(t) (1).

Partie A Dans cette partie, on suppose que e(t) = 20 pour tout nombre reel t. L’equationdifferentielle (1) s’ecrit alors sous la forme :

y′′(t) + 4y(t) = 20 (2).

1. Soit h(t) = k, k ∈ IR, alors h verifie l’equation differentielle (2) si et seulement si

h′′(t) + 4h(t) = 0 + 4k = 20 ⇐⇒ k = 5 .

La fonction constante h solution particuliere de l’equation differentielle (2) est donc h(t) = 5.

2. L’equation caracteristique de l’equation differentielle (2) est : r2 + 4 = 0 ⇐⇒ r2 = −4 quiadmet deux racines complexes r = ±2j.

Ainsi, la solution de l’equation (2) sans second membre est : A cos(2t) + B sin(2t), A ∈ IR etB ∈ IR, puis la solution generale est : y(t) = 5 + A cos(2t) + B sin(2t), A ∈ IR et B ∈ IR.

3. On cherche a determiner les constantes A et B : f(t) = 5 + A cos(2t) + B sin(2t), donc f(0) =5 + A = 0 ⇐⇒ A = −5, et f ′(0) = 2B = 0 ⇐⇒ B = 0.

La fonction f solution de l’equation differentielle (2) qui verifie les conditions f(0) = 0 etf ′(0) = 0 est donc f(t) = 5 − 5 cos(2t) = 5 (1 − cos(2t)).

Partie B On soumet le systeme a une contrainte exterieure modelisee par la fonction e definie par :

e(t) = 8tU(t) − 8(t − τ)U(t − 1).

On appelle g la fonction causale telle que : g′′(t)+4g(t) = e(t) et verifiant : g(0) = 0 et g′(0) = 0.

1. E(p) =8

p2− 8

e−τp

p2=

8

p2(1 − e−τp)

2. On a L (g′′(t)) = p2G(p) − pg(0+) − g′(0+) = p2G(p), d’ou l’equation dans le domaine deLaplace :

p2G(p) + 4G(p) = E(p) ⇐⇒ G(p) =1

p2 + 4E(p) =

8

p2(p2 + 4)

(

1 − e−τp)

3.A

p2+

B

p2 + 4=

(A + B)p2 + 4A

p2(p2 + 4)=

8

p2 (p2 + 4)⇐⇒

A + B = 04A = 8

⇐⇒

A = 2B = −2

Ainsi,8

p2 (p2 + 4)=

2

p2−

2

p2 + 4.

4. D’apres le calcul precedent, l’orignale de8

p2 (p2 + 4)=

2

p2−

2

p2 + 4est alors 2tU(t)−sin(2t)U(t).

5.

G(p) =8

p2(p2 + 4)

(

1 − e−τp)

=8

p2(p2 + 4)− e−τp 8

p2(p2 + 4)

et donc, g(t) = g0(t) − g0(t − τ) avec g0(t) = (2t − sin(2t))U(t).

6. Pour t > τ , on a

g(t) = g0(t)−g0(t−τ) = (2t−sin(2t))−(2(t−τ)−sin(2(t−τ))) = 2τ −2 sin(2t)+2 sin(2t−2τ)

A.BENHARI 124

7. On suppose maintenant que τ = π.

(a) Pour t > τ , on a :

g(t) = 2τ − 2 sin(2t) + 2 sin(2t − 2τ) = 2π − 2 sin(2t) + 2 sin(2t − 2π) = 2π

car, pour tout t ∈ IR, sin(t − 2π) = sin(t).

(b) • Pour t < 0, g(t) = 0.

• Pour 0 6 t < π, g(t) = g0(t) = 2t − sin(2t).

On a g′

0(t) = 2 − 2 cos(2t) = 2 (1 − cos(2t)) > 0 ; on en deduit que sur [0; π[, la fonction g

est croissante de g(0) = 0 a g(π) = 2π − sin(2π) = 2π.

• Pour t > π, g(t) = 2π.


2π

3π

4π

5π

6π

7π

8π

9π

10π

π

O−π

−2π

π 2π 3π

Cg

A.BENHARI 125


Partie A

1. Voir figure 1 du document reponse.

2. On a a0 =1

2

∫

1

−1

f(t) dt =1

2

∫

1

−1

0, 5(t + 1) dt =1

4

[

1

2t2 + t

]1

−1

=1

4× 2 =

1

2

3. (a) On a ω =2π

T=

2π

2= π

(b) On a, pour n = 1 :

b1 =2

T

∫

1

−1

f(t) sin(nωt) dt =2

2

∫

1

−1

0, 5(t + 1) sin(πt) dt

=1

2

∫

1

−1

(t + 1) sin(πt) dt

On procede a une integration par parties en posant

u(t) = t + 1

v′(t) = sin πt

u′(t) = 1

v(t) = −1

πcos πt

d’ou

∫

1

−1

(t + 1) sin(πt) dt =

[

−1

π(t + 1) cos πt

]1

−1

+1

π

∫

1

−1

cos πt dt

= −2

πcos π +

1

π2[sin πt]1

−1=

2

π

En remplacant, on obtient alors b1 =1

π.

4. (a) On a, pour tout nombre reel t ∈] − 1; 1[, g(t) = 0, 5t.

Pour la representation graphique, voir figure 2 du document reponse.

(b) Comme la fonction g est impaire, la courbe representative de la fonction g est symetriquepar rapport a l’origine du repere.

(c) La fonction g etant impaire, pour tout entier naturel n, les coefficients de Fourier an(g)sont nuls. Or, on a, pour n ≥ 1 :

an(g) =2

T

∫

1

−1

g(t) cos nπt dt =2

T

∫

1

−1

(f(t) − 0, 5) cos nπt dt

=2

T

∫

1

−1

f(t) cos nπt dt − 0, 5 ×2

T

∫

1

−1

cos nπt dt

= an(f) −1

T

[

1

nπsin(nπt)

]1

−1

= an(f)

D’ou, pour tout entier naturel n ≥ 1, an = 0.

5. On a f 2(t) =1

4(t + 1)2, d’ou

f 2

eff =1

2

∫

1

−1

(f(t))2dt =

1

8

∫

1

−1

(t + 1)2 dt =1

8

[

1

3(t + 1)3

]1

−1

=1

8×

1

3× 23 =

1

3

A.BENHARI 126

6. (a) On a P =1

4+

1

2π2

5∑

k=1

1

k2=

1

4+

1

2π2

5269

3600≈ 0, 324

d’ouP

f 2eff

≈ 0, 972

(b) L’erreur commise estf 2

eff − P

f 2eff

= 1 −P

f 2eff

≈ 0, 028 ≈ 2, 8%

Partie BRemarque : Cette question est mal posee, car il manque l’essentiel, a savoir que la fonction h

verifie les conditions de Dirichlet afin de s’assurer de la convergence de la serie de Fourier vers la

fonction h. Ici, nous allons donc supposer que c’est bien le cas...

1. La serie de Fourier ne comportant que des cosinus, par consequent, la fonction h est paire.

2. Grace a la parite de la fonction h, la courbe representative admet l’axe des ordonnees commeaxe de symetrie, par consequent, nous pouvons deja eliminer les courbes 1 et 4.

La fonction h est periodique de periode 2 donc nous pouvons maintenant eliminer la courbe 3qui represente une fonction periodique de periode 1.

3. Par lecture graphique, nous avons h(t) = πt sur l’intervalle [0; 1].

Grace a cette expression, nous avons donc que la fonction h est continue sur IR, de classe

C1 par morceaux, par consequent, a l’aide du theoreme de Dirichlet, la serie de Fourier de h

converge en tout point de IR vers la fonction h.

Document reponse numero 2 a joindre a la copie

0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Fig. 1 – representation graphique de la fonction f

0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Fig. 2 – representation graphique de la fonction g

A.BENHARI 127

Devoir de mathematiques - BTS



Le but de cet exercice est de determiner les premiers coefficients de Fourier et les principales har-

moniques d’un signal.

Partie A

Pour tout entier naturel n, on considere les integrales :

In =

∫ π

π

2

cos(nx) dx et Jn =

∫ π

2

0

x cos(nx) dx

1. Montrer que In = −1

nsin n

π

2.

2. A l’aide d’une integration par partie, montrer que : Jn =π

2nsin

(

nπ

2

)

+1

n2cos

(

nπ

2

)

−1

n2

3. Determiner I1, I2 et I3, puis J1, J2 et J3.

Partie B

Soit f la fonction numerique definie sur IR, paire, periodique de periode 2π, telle que :

si 0 6 t 6π

2, f(t) =

2E

πt

siπ

2< t 6 π, f(t) = E

ou E est un nombre reel donne, strictement positif.

1. Tracer, dans un repere orthogonal, la representation graphique de la fonction f sur l’intervalle[−π ; +π] (on prendra E = 2 uniquement pour construire la courbe representant f).

2. Soit a0 et pour tout entier naturel superieur ou egal a 1, an et bn les coefficients de Fourierassocies a f .

(a) Calculer a0.

(b) Pour tout n > 1, donner la valeur de bn.

(c) En utilisant la partie A, verifier que pour tout n > 1, an =2E

π2(2Jn + πIn).

Calculer a4k pour tout entier k > 1.

Partie C

1. Determiner les coefficients a1, a2, a3.

2. Calculer F 2, carre de la valeur efficace de la fonction f sur une periode.

On rappelle que dans le cas ou f est paire, periodique de periode T , on a :

F 2 =2

T

∫ T

2

0

f 2(t) dt

3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

F 2 = a2

0 ++∞∑

n=1

a2n + b2

n

2

Soit P le nombre defini par P = a20 +

1

2(a2

1 + a22 + a2

3).

Calculer P , puis donner la valeur decimale arrondie au millieme du rapportP

F 2.

Ce dernier resultat tres proche de 1, justifie que dans la pratique, on peut negliger les harmo-

niques d’ordre superieur a 3.

A.BENHARI 128


On s’interesse a un systeme entree-sortie susceptible d’etre controle.Dans la partie A, on etudie le systeme en l’absence de controle.Dans la partie B, on etudie le systeme soumis a un controle.Les parties A, B et C sont independantes dans leurs resolutions respectives.

Partie A

On considere l’equation differentielle (E1) suivante :

1

2y′(t) + y(t) = 10 − β (E1)

ou y designe une fonction derivable de la variable reelle t et β une constante reelle.

1. Montrer que la fonction h definie pour tout nombre reel t par h(t) = 10 − β est solution del’equation differentielle (E1).

2. Resoudre l’equation differentielle (E1).

3. Montrer que la fonction f , solution de l’equation differentielle (E1) et qui verifie f(0) = 10 estdefinie sur IR par f(t) = βe−2t + 10 − β.

4. Calculer limt→+∞

f(t) que l’on note f∞.

Partie B

On rappelle que la fonction echelon unite U est definie par :

U(t) = 0 si t < 0

U(t) = 1 si t ≥ 0

et qu’une fonction definie sur IR est dite causale si elle est nulle pour tout nombre reel strictementnegatif.

On considere la fonction causale g qui verifie la relation (E2) suivante :

1

2g′(t) + g(t) = 13

∫ t

0

[10U(u) − g(u)] du + (10 − β)U(t) (E2)

et la condition g(0) = 10.

On admet que la fonction g admet une transformee de Laplace notee G.

1. Montrer que la transformee de Laplace I de la fonction i definie par :

i(t) = 13

∫ t

0

[10U(u) − g(u)] du

est telle que

I(p) =130

p2− 13

G(p)

p.

Indication : On pourra utiliser la transformee de Laplace d’une integrale : L

(∫ t

0

f(t) dt

)

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), determinerune expression de G(p).

3. Verifier que G(p) =10

p−

2β

(p + 1)2 + 52.

A.BENHARI 129

4. Dans cette question, on va determiner limt→+∞

g(t), que l’on note g∞ et qui est la valeur finale du

signal represente par la fonction g.On rappelle que, d’apres le theoreme de la valeur finale, g∞ = lim

p→0+pG(p).

Determiner g∞.

5. (a) Determiner la transformee de Laplace de la fonction qui a tout nombre reel t associee−t sin(5t)U(t).

(b) En deduire l’expression de g(t).

Partie C

Dans cette partie, on prend β = 5.

En annexe 1, a rendre avec la copie, on a represente, sur l’intervalle [0 ; +∞[, les courbes Cf

et Cg representatives des fonctions f et g definies dans les parties A et B avec β = 5.

On admet ici que pour tout nombre reel t positif ou nul : f(t) = 5e−2t +5 et g(t) = 10−2e−t sin(5t).

On rappelle que f∞ et g∞ sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞.On a donc : f∞ = 5 et g∞ = 10.

1. (a) Verifier que pour tout nombre reel t positif ou nul on a :f(t) − f∞

f∞= e−2t.

(b) Soit t1 le nombre reel tel que :

f(t) − f∞

f∞6 0, 02 pour tout t ≥ t1.

Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approchee de t1 arrondie au dixieme.

2. Soit t2 le nombre reel tel que :

−0, 02 6g(t) − g∞

g∞6 0, 02 pour tout t > t2.

Graphiquement, determiner une valeur approchee de t2, arrondie au dixieme.

Dans ce probleme, on a etudie un systeme entree-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement,

puis dans la partie B controle par une commande integrale.

On a montre que grace a cette commande on peut stabiliser la sortie a la valeur 10 independamment

de la perturbation β, au prix d’une deterioration du temps de reponse du systeme et de l’apparition

d’oscillations amorties.

A.BENHARI 130

Annexe 1

Document reponse a rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1

1 2 3 4−1 0

A.BENHARI 131

Corrige du devoir de mathematiques - BTS


Partie A Pour tout entier naturel n, on considere les integrales :

In =

∫ π

π

2

cos(nx) dx et Jn =

∫ π

2

0

x cos(nx) dx

1.

In =

∫ π

π

2

cos(nx) dx =1

n

[

sin(nx)]π

π

2

=1

n

(

sin(nπ) − sin(nπ

2

))

or, pour tout entier n, sin(nπ) = 0, d’ou In = −1

nsin(

nπ

2

)

.

2. En integrant par parties, avec

u(x) = x

v′(x) = cos(nx), donc,

u′(x) = 1

v(x) =1

nsin(nx)

,

Jn =

∫ π

2

0

x cos(nx) dx =[x

nsin(nx)

]π

2

0

−1

n

∫ π

2

0

sin(nx) dx

=π

2nsin(nπ

2

)

− 0 +1

n2

[

cos(nx)]

π

2

0

=π

2nsin(nπ

2

)

+1

n2cos(nπ

2

)

−1

n2cos(0)

=π

2nsin(nπ

2

)

+1

n2cos(nπ

2

)

−1

n2, car cos(0) = 1

3. I1 = −1

1sin(

1π

2

)

= −1 ; I2 = −1

2sin(

2π

2

)

= 0 ; I3 = −1

3sin(

3π

2

)

=1

3

J1 =π

2sin(π

2

)

+1

12cos(π

2

)

−1

12=

π

2− 1

J2 = 0 −1

4−

1

4= −

1

2

J3 = −π

6+ 0 −

1

9= −

π

6−

1

9

Partie B

1. f est definie sur IR, paire, periodique de periode 2π, telleque :

si 0 6 t 6π

2, f(t) =

2E

πt

siπ

2< t 6 π, f(t) = E

0

E

π2

π-π2

-π

2. Soit a0 et pour tout entier naturel superieur ou egal a 1, an et bn les coefficients de Fourierassocies a f .

(a) Comme f est paire,

a0 =2

T

∫ T/2

0

f(t) dt =1

π

∫ π

0

f(t) dt =1

π

(

∫ π/2

0

2E

πt dt +

∫ π

π/2

E dt

)

=3E

4

(b) Comme f est paire, pour tout n > 1, bn = 0.

A.BENHARI 132

(c) Pour tout n > 1, et avec la pulsation ω =2π

T= 1,

an =4

T

∫ T/2

0

f(t) cos(nωt) dt =2

π

(

∫ π/2

0

2E

πt cos(nt) dt +

∫ π

π/2

E cos(nt) dt

)

=2

π

(

2E

πJn + EIn

)

=2E

π2(2Jn + πIn)

On a alors, pour tout entier k > 1, a4k =2E

π2(2J4k + πI4k).

De plus, d’apres la partie A,

J4k =π

2.4ksin

(

4kπ

2

)

+1

(4k)2cos

(

4kπ

2

)

−1

(4k)2= 0 +

1

16k2× 1 −

1

16k2= 0

et I4k = −1

4ksin(

4kπ

2

)

= 0 d’ou, pour tout entier k > 1, a4k = 0.

Partie C

1. a1 =2E

π2(2J1 + πI1) =

2E

π2

(

2(π

2− 1)

+ π × (−1))

= −4E

π2

a2 =2E

π2(2J2 + πI2) =

2E

π2

(

2

(

−1

2

)

+ π × 0

)

= −2E

π2

a3 =2E

π2(2J3 + πI3) =

2E

π2

(

2

(

−π

6−

1

9

)

+ π ×1

3

)

= −4E

9π2

2.

F 2 =2

T

∫ T

2

0

f 2(t) dt =1

π

∫ π/2

0

(

2E

πt

)2

dt +1

π

∫ π

π/2

E2 dt =4E2

π3

[t3

3

]π/2

0

+E2

π

π

2=

2E2

3

3.P = a2

0 +1

2(a2

1 + a22 + a2

3) =9E2

16+

1

2

[

16E2

π4+

4E2

π4+

16E2

81π4

]

=9E2

16+

10E2

π4+

8E2

81π4

≃ 0, 6666 E2

.

Comme F 2 =2E2

3, on obtient donc,

P

F 2≃ 0, 999.

Ce dernier resultat tres proche de 1, justifie que dans la pratique, on peut negliger les harmo-

niques d’ordre superieur a 3.


Partie A

On considere l’equation differentielle (E1) suivante :1

2y′(t) + y(t) = 10 − β (E1).

1. On a, pour tout reel t,1

2h′(t) + h(t) =

1

2× 0 + 10 − β = 10 − β, et ainsi la fonction h definie

par h(t) = 10 − β est bien solution de l’equation differentielle (E1).

2. L’equation homogene associee est :1

2y′(t) + y(t) = 0, et a pour solution y(t) = Ke−2t, ou K

est une constante reelle quelconque.

La solution generale s’ecrit alors f(t) = h(t) + Ke−2t = 10 − β + Ke−2t.

A.BENHARI 133

3. f(0) = 10 ⇐⇒ 10 − β + Ke−2×0 = 10 ⇐⇒ K = β, d’ou, f(t) = 10 − β + βe−2t.

Remarque : Comme la solution est donnee dans l’enonce, et que la question est ”verifier que. . .”,

on peut simplement se contenter dans cette question de verifier que cette expression verifie

f(0) = 10 et l’equation (E1).

4. f∞ = limt→+∞

f(t) = limt→+∞

(

10 − β + βe−2t)

= 10 − β car limX→+∞

e−X = 0.

Partie B

On considere la fonction causale g qui verifie la relation (E2) suivante :

1

2g′(t) + g(t) = 13

∫ t

0

[10U(u) − g(u)] du + (10 − β)U(t) (E2)

et la condition g(0) = 10.

1. i(t) = 130

∫ t

0

U(t) dt − 13

∫ t

0

g(u) du, d’ou, I(p) = 130U(p)

p− 13

G(p)

p, avec U(p) =

1

pla

transformee de Laplace de U(t).

Ainsi, I(p) =130

p2− 13

G(p)

p.

2. Dans le domaine de Laplace, l’equation E2 s’ecrit :

1

2(pG(p) − g(0)) + G(p) = I(p) + (10 − β)

1

p=

130

p2− 13

G(p)

p+ (10 − β)

1

p

d’ou,

G(p)

(

p

2+ 1 +

13

p

)

− 5 =130

p2+ (10 − β)

1

p

et donc,

G(p) =1

p

2+ 1 +

13

p

(

130

p2+ (10 − β)

1

p+ 5

)

=2p

p2 + 2p + 26

130 + p(10 − β) + 5p2

p2

= 2130 + p(10 − β) + 5p2

p(p2 + 2p + 26)

3. On a sous forme canonique : p2 + 2p + 26 = (p + 1)2 + 52, et

10

p−

2β

(p + 1)2 + 52=

10 (p2 + 2p + 26) − 2βp

p (p2 + 2p + 26)= 2

5p2 + 10p + 130 − βp

p (p2 + 2p + 26)= G(p).

4. g∞ = limp→0+

pG(p) = limp→0+

p

(

10

p−

2β

(p + 1)2 + 52

)

= limp→0+

(

10 −2βp

(p + 1)2 + 52

)

= 10

5. (a) La transformee de Laplace de la fonction definie par e−t sin(5t)U(t) est H(p+1), ou H(p)

est la transformee de Laplace de la fonction definie par sin(5t)U(t), soit H(p) =5

p2 + 52,

et donc la transformee de Laplace de la fonction e−t sin(5t)U(t) est5

(p + 1)2 + 52.

(b) On a donc, g(t) = 10U(t) −2β

5e−t sin(5t)U(t).

Partie C

Dans cette partie, on prend β = 5.

On admet ici que pour tout nombre reel t positif ou nul : f(t) = 5e−2t +5 et g(t) = 10−2e−t sin(5t).

On rappelle que f∞ et g∞ sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞. On a donc :f∞ = 5 et g∞ = 10.

A.BENHARI 134

1. (a) Pour tout nombre reel t positif ou nul on a :f(t) − f∞

f∞=

(5e−2t + 5) − 5

5= e−2t.

(b)f(t) − f∞

f∞6 0, 02 ⇐⇒ e−2t

6 0, 02 ⇐⇒ −2t 6 ln 0, 02 ⇐⇒ t >ln 0, 02

−2

Ainsi, t1 =ln 0, 02

−2≃ 1, 96

2. On cherche t2 tel que −2% 6g(t) − g∞

g∞6 2% ⇐⇒ −2%g∞ 6 g(t) − g∞ 6 2%g∞ soit enore

(1 − 2%)g∞ 6 g(t2) 6 (1 + 2%)g∞

c’est-a-dire9, 8 6 g(t2) 6 10, 2

Soit t2 le nombre reel tel que :

−0, 02 6g(t) − g∞

g∞6 0, 02 pour tout t > t2.

Graphiquement, une valeur approchee est t2 ≃ 2, 22

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1

1 2 3 4−1 t20

A.BENHARI 135




Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent etre traitees independamment l’une de l’autre.On s’interesse aux requetes recues par le serveur web d’une grande entreprise, provenant de clients

disperses sur le reseau Internet.La reception de trop nombreuses requetes est susceptible d’engendrer des problemes de surcharge du

serveur.

Partie A :

Dans cette partie, on s’interesse au nombre de requetes recues par le serveur, au cours de certainesdurees jugees critiques.On designe par τ un nombre reel strictement positif. On appelle X la variable aleatoire qui prend

pour valeurs le nombre de requetes recues par le serveur dans un intervalle de temps de duree τ

(exprimee en secondes). La variable aleatoire X suit une loi de Poisson de parametre λ = 500τ .

1. Dans cette question, on s’interesse au cas ou τ = 0, 01.

Determiner la probabilite que le serveur recoive au plus une requete au cours d’une duree τ de0,01 s.

En expliquant votre demarche, deterniner le plus petit entier naturel n0 tel que p (X > n0) < 0, 05.


On rappelle que la loi de Poisson de parametre λ = 100 peut etre approchee par la loi normalede moyenne µ = 100 et d’ecart type σ = 10.

En utilisant cette approximation, calculer :

(a) la probabilite P (X > 120) ;

(b) une valeur approchee du nombre reel positif a tel que P (100− a 6 X 6 100 + a) = 0, 99.

Partie B :

Dans cette partie, on considere :– d’une part, que la probabilite pour le serveur de connaıtre des dysfonctionnements importants

au cours d’une journee donnee est p = 0, 01 ;– d’autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de journees distinctes

constituent des evenements aleatoires independants.

1. On appelle Y la variable aleatoire correspondant au nombre de jours ou le serveur connaıt desdysfonctionnements importants au cours d’un mois de 30 jours.

(a) On admet que la variable aleatoire Y suit une loi binomiale.

Preciser les parametres de cette loi.

(b) Calculer, a 10−3 pres, la probabilite que le serveur connaisse au plus 2 jours de dysfonc-tionnements importants pendant un mois.

2. On appelle Z la variable aleatoire correspondant au nombre de jours ou le serveur connaıt desdysfonctionnements importants au cours d’une annee de 365 jours.

(a) Donner, sans justification, la loi de probabilite de la variable aleatoire Z.

(b) Donner l’esperance mathematique et l’ecart type de la variable aleatoire Z.

Partie C :

Dans cette partie. on s’interesse a la duree separant deux requetes successives recues par le serveur.On appelle T la variable aleatoire qui prend pour valeurs les durees (exprimees en secondes) separantl’arrivee de deux requetes successives sur le serveur.

A.BENHARI 136

1. On designe par t un nombre reel positif. La probabilite que T prenne une valeur inferieure ou

egale a t est donnee par : p(T 6 t) =

∫

t

0

500e−500x dx.

(a) Calculer P (T 6 t) en fonction de t.

(b) En deduire la valeur de t pour laquelle P (T 6 t) = 0, 95. On donnera la valeur exactepuis une valeur approchee au millieme de seconde.

2. (a) Calculer, a l’aide d’une integration par parties, l’integrale

I(t) =

∫

t

0

500xe−500x dx.

(b) Determiner la limite m de I(t) quand t tend vers +∞.

Le nombre m est l’esperance mathematique de la variable aleatoire T . Il represente laduree moyenne separant la reception de deux requetes successives.

Commentaire :Ce modele, tres simple, interesse les concepteurs de systemes d’information ou de telecommunicationcar il fournit des evaluations de certaines performances d’un systeme, en particulier au sens du”scenario du pire des cas”.

Exercice 2 10 points

Dans cet exercice, on etudie un systeme « entree-sortie » dont la sortie est modelisee par la fonctionvs solution de l’equation differentielle :

τv′

s(t) + vs(t) = ve(t) (1)

ou τ est une constante strictement positive et ve modelise l’etat impose en entree du systeme.La partie A propose de resoudre directement l’equation differentielle (1) pour une fonction ve parti-culiere.Dans la partie B, on se propose d’etudier la fonction de transfert du systeme dans le domaine deLaplace.Enin, la partie C a pour objectif de tracer le lieu de cette fonction de transfert (diagramme de Black).

Partie A :

Dans cette partie, on considere que ve(t) = 2 pour tout reel t. L’equation differentielle s’ecrit alors :

τv′

s(t) + vs(t) = 2 (2)

1. Determiner la fonction constante h solution de l’equation differentielle (2).


3. En deduire l’expression de la fonction vs solution de l’equation differentielle (2) et qui verifiela condition initiale vs(0) = 0.

4. On considere dans cette question que τ = 0, 5. Dresser le tableau de variation de la fonction vs

et tracer sa courbe representative.

Partie B :

On suppose que le systeme est initialement au repos (i.e. que vs est une fonction causale et quevs(0) = 0) et que les fonctions vs et ve admettent des transformees de Laplace, que l’on noterarespectivement Vs et Ve.

1. Appliquer la transformee de Laplace a l’equation differentielle (1).

2. En deduire l’expression de la fonction de transfert H(p) =Vs(p)

Ve(p).

A.BENHARI 137

3. On pose p = jω et s = τω.

Ecrire la fonction de transfert H(jω) sous la forme H(jω) = h(s) = x(s) + jy(s).

Partie C :

Soit (C) la courbe definie par la representation parametrique

x(s) =1

1 + s2

y(s) =−s

1 + s2

, s ∈ [0; +∞[.

1. Calculer x(0) et y(0), et determiner les limites des fonctions x et y en +∞.

2. Calculer les derivees des fonctions x et y, puis etablir le tableau des variations conjointes de x

et y.

3. On note A le point de la courbe lorsque s = 0, et B le point de la courbe lorsque s = 1.

Determiner les coordonnees des points A et B.

Preciser la direction de la tangente a la courbe (C) aux points A et B.

4. Tracer alors, en utilisant tous les resultats precedents, la courbe (C).

A.BENHARI 138

Corrige du devoir de mathematiques - BTS



Partie A :


On a ici λ = 500τ = 5. P (X 6 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = e−550

0!+ e−5

51

1!≃ 0, 04.

La probabilite que le serveur recoive au plus une requete au cours d’une duree τ de 0,01 s estenviron 0, 04.

P (X > n0) =+∞∑

k=n0+1

e−λ λk

k!. Or, pour λ = 500τ = 5, on a, d’apres la table donnant les

probabilites pour la loi de Poisson :

P (X > 14) = 0,P (X = 13) = 0, 001,P (X = 12) = 0, 003,P (X = 11) = 0, 008,P (X = 10) = 0, 018,P (X = 9) = 0, 036,

On a donc P (X > 9) = 0, 03 < 0, 05 tandis que P (X > 8) = 0, 086 > 0, 5.

Ainsi, le plus petit entier recherche est n0 = 9.

2. (a) P (X > 120) = P

(

X − 100

10> 2

)

, ou la variable aleatoireX − 100

10suit une loi normale

centree reduite. On trouve alors la probabilite recherchee dans la table de la loi normale :

P (X > 120) = P

(

X − 100

10> 2

)

= 1 − Π(2) ≃ 1 − 0, 9772 = 0, 0228

(b) P (100 − a 6 X 6 100 + a) = P

(

a

106

X − 100

106

a

10

)

= −1 + 2Π( a

10

)

= 0, 99.

On cherche donc a tel que Π( a

10

)

= 0, 995, soit, en utilisant la table de la loi normale :a

10≃ 2, 575 ⇐⇒ a ≃ 25, 75.

Partie B :

1. On appelle Y la variable aleatoire correspondant au nombre de jours ou le serveur connaıt desdysfonctionnements importants au cours d’un mois de 30 jours.

(a) Y suit une loi binomiale de parametres n = 30 et p = 0, 01.

(b) P (Y 6 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)

= C030p

0(1 − p)30 + C130p

1(1 − p)29 + C230p

2(1 − p)28

= 0, 9930 + 30 × 0, 01 × 0, 9929 +29 × 28

20, 012 × 0, 9928

≃ 0, 778

2. (a) de meme que la variable aleatoire Y , Z suit une loi binomiale, de parametres n = 365 etp = 0, 01.

(b) L’esperance mathematique de Z est np = 3, 65 et son ecart type σ =√

npq soitσ =

√365 × 0, 01 × 0, 99 ≃ 1, 90.

A.BENHARI 139

Partie C :

Dans cette partie. on s’interesse a la duree separant deux requetes successives recues par le serveur.On appelle T la variable aleatoire qui prend pour valeurs les durees (exprimees en secondes) separant

l’arrivee de deux requetes successives sur le serveur.

1. On designe par t un nombre reel positif. La probabilite que T prenne une valeur inferieure ou

egale a t est donnee par : p(T 6 t) =

∫ t

0

500e−500x dx.

(a) P (T 6 t) =

∫ t

0

500e−500x dx =[

−e−500x]t

0= −e−500t + 1

(b) P (T 6 t) = 0, 95 ⇐⇒ −e−500t + 1 = 0, 95 ⇐⇒ t =− ln 0, 05

500≃ 5, 991 10−3.

2. (a)

I(t) =

∫ t

0

500x e−500x dx =

∫ t

0

u(x) v′(x) dx

on integre par parties avec,

u(x) = x

v′(x) = 500e−500x ⇐⇒

u′(x) = 1v(x) = −e−500x

I(t) = [u(x) v(x)]t0−

∫ t

0

u′(x) v(x) dx

=[

−xe−500x]t

0−

∫ t

0

−e−500x dx

= −te−500t +

[−1

500e−500x

]t

0

= −te−500t − 1

500e−500t +

1

500

=1

500

(

−(500t + 1)e−500t + 1)

(b) Comme limt→+∞

e−500t = 0 et limt→+∞

te−500t = 0, on a donc, m = limt→+∞

I(t) =1

500,


Dans cet exercice, on etudie un systeme « entree-sortie » dont la sortie est modelisee par la fonction

vs solution de l’equation differentielle :

τv′

s(t) + vs(t) = ve(t) (1)

ou τ > 0 et ve modelise l’etat impose en entree du systeme.

Partie A :

Dans cette partie, on considere que ve(t) = 2 pour tout reel t. L’equation differentielle s’ecrit alors :

τv′

s(t) + vs(t) = 2 (2)

1. h(t) = k ∈ IR est solution de (2) si et seulement si τh′ + h = 2 ⇐⇒ 0 + k = 2 ⇐⇒ k = 2.

2. La solution de l’equation homogene τy′ + y = 0 est y(t) = Ke−t/τ , K ∈ IR.

La solution generale de l’equation differentielle est donc, vs(t) = 2 + Ke−t/τ .

3. vs(0) = 0 ⇐⇒ 2 + K = 1 ⇐⇒ K = −1, et donc, vs(t) = 2(

1 − e−t/τ)

.

4. On considere dans cette question que τ = 0, 5, et alors :vs(t) = 2 (1 − e−2t).On a donc, pour tout t ∈ IR, v′

s(t) = 4e−2t > 0 careu > 0 pour tout u ∈ IR.La fonction vs est donc strictement croissante sur IR+. 1 2 3 4

1

2

A.BENHARI 140

Partie B :

On suppose que les fonctions vs et ve admettent des transformees de Laplace, que l’on noterarespectivement Vs et Ve.

1. pVs(p) − vs(0) + Vs(p) = Ve(p), or vs(0) = 0, d’ou, Vs(p) (τp + 1) = Ve(p).

2. On en deduit la fonction de transfert : H(p) =Vs(p)

Ve(p)=

1

τp + 1.

3. H(jω) = h(s) =1

1 + js=

1 − js

1 + s2= x(s) + jy(s) avec

x(s) =1

1 + s2

y(s) =−s

1 + s2

Partie C :

1. x(0) = 1 et y(0) = 0.

Les fonctions x et y sont des fractions rationnelles, et donc, leur limite en +∞ est egale a celledu rapport de leurs termes de plus haut degre :

lims→+∞

x(s) = lims→+∞

1

s2= 0

lims→+∞

y(s) = lims→+∞

−s

s2= lim

s→+∞

−1

s= 0

2.

x′(s) =−2s

(1 + s2)2

y′(s) =−(1 + s2) + 2s2

(1 + s2)2=

s2 − 1

(1 + s2)2

d’ou,

s 0 1 +∞x′(s) 0 − 0

1x(s) 1

20

0 0y(s)

−1

2

y′(s) −1 − 0| + 0

3. Lorsque s = 0, x(0) = 1 et y(0) = 0, d’ou A(1; 0).Lorsque s = 1, x(1) = 1

2et y(1) = −1

2, d’ou B

(

1

2;−1

2

)

.

En A, x′(0) = 0 et y′(0) = −1 ; ainsi, la tangente en A

est verticale.En B, x′(1) 6= 0 et y′(1) = 0 ; ainsi la tangente en B esthorizontale.

4.

O

11

2

−1

2

A

B

A.BENHARI 141




Les questions 1, 2 et 3 peuvent etre traitees independamment l’une de l’autre.

Une entreprise fabrique des pieces. Ces pieces sont considerees comme conformes si leur longueurest comprise entre 79, 8 mm et 80, 2 mm.

1. On note L la variable aleatoire qui, a chaque piece fabriquee, associe sa longueur en mm.

On admet que la variable L suit une loi normale de moyenne 80 et d’ecart type 0, 0948.

On preleve une piece au hasard dans la production.

Determiner, en utilisant la table de la loi normale centree reduite, la probabilite que cette piecesoit conforme.

2. On admet que si on preleve, au hasard, une piece dans la production, la probabilite que cettepiece ne soit pas conforme, est p = 0, 035.

(a) On note X, la variable aleatoire representant le nombre de pieces defectueuses dans unlot de 100 pieces. Les pieces sont prelevees au hasard et le tirage est assimile a un tirageavec remise.

Justifier que X suit une loi binomiale de parametre n = 100 et p = 0, 035.

(b) Le tableau ci-dessous, donne la probabilite des evenements ”X = k” pour k variant de 0a 9, a l’exception de l’evenement ”X = 2”.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P (X = k) 0,0284 0,1029 0,2188 0,1924 0,1340 0,0770 0,0375 0,0158 0,0059

On considere les evenements :

A : « le nombre de pieces defectueuses du lot est egal a 2 » ;B : « le nombre de pieces defectueuses du lot est au moins egal a 2 ».

Calculer P (A) au dix millieme pres, puis P (B) au millieme pres.

(c) Un lot de 100 pieces est envoye a un client, le lot est accepte s’il contient au plus 4 piecesdefectueuses.

En utilisant le tableau ci-dessus, determiner au millieme pres, la probabilite que le clientrefuse ce lot.

(d) En utilisant le tableau ci-dessus, determiner la plus petite valeur entiere n telle que :

P (X > n) < 0, 03

3. L’entreprise souhaite ameliorer la qualite de la production. Pour cela on projette de changer leprocessus de fabrication des pieces.

On definit alors une nouvelle variable L1 qui a chaque piece a construire selon le nouveauprocessus associera sa longueur en mm.

La variable aleatoire L1 suit une loi normale de moyenne m = 80 et d’ecart type σ′.

Determiner σ′ pour que, en prenant une piece au hasard dans la future production, la probabilited’obtenir une piece conforme soit egale a 0, 99.


Les parties A et B sont independantes.

Partie A

Soient α et β deux nombres reels.Soit f une fonction periodique de periode 1, definie sur l’intervalle [0 ; 1[ par f(t) = αt + β.On appelle a0, an et bn les coefficients de Fourier associes a la fonction f .

A.BENHARI 142

1. Montrer que a0 =α

2+ β.

2. Montrer que bn = −α

nπpour tout nombre entier naturel n non nul.

On admet que an = 0 pour tout entier naturel n non nul.

3. On se propose de determiner les nombres reels α et β pour que le developpement S en serie de

Fourier de la fonction f soit defini pour tout nombre reel t par S(t) =

+∞∑

n=1

1

nsin(2nπt).

(a) Determiner les nombres reels α et β tels que a0 = 0 et bn =1

n.

En deduire l’expression de la fonction f .

(b) Representer la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 2] dans un repere orthogonal.

Partie B

On veut resoudre l’equation differentielle :

s”(t) + s(t) = f(t)

On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonction s en remplacant f(t) par lespremiers termes du developpement en serie de Fourier de la fonction f obtenus dans la partie A,c’est-a-dire par :

sin(2πt) +1

2sin(4πt)

Soit (E) l’equation differentielle :

s”(t) + s(t) = sin(2πt) +1

2sin(4πt)

1. Verifier que la fonction s1 definie pour tout nombre reel t par :

s1(t) =1

1 − 4π2sin(2πt) +

1

2(1 − 16π2)sin(4πt)

est solution de l’equation differentielle (E).

2. Resoudre l’equation differentielle (E).

Exercice 3 4 points

Soit C la courbe d’equation parametrique :

x(t) = (t + 1)e−t

y(t) = t2e−t

, t ∈ IR

1. Calculer les fonctions derivees x′ et y′ de x et y.

2. Dresser le tableau des variations conjointes de x et y.

3. Preciser les coordonnees du point A de la courbe de parametre t = 0, et le point B de la courbede parametre t = 2.

Preciser la tangente en B.

4. Determiner les coordonnees du point d’intersection de la courbe C avec l’axe des ordonnees.

5. Tracer la courbe C.

A.BENHARI 143

Correction du devoir de mathematiques - BTS


Une entreprise fabrique des pieces. Ces pieces sont considerees comme conformes si leur longueurest comprise entre 79, 8 mm et 80, 2 mm.

1. La probabilite qu’une piece soit conforme est :

P (79, 8 6 L 6 80, 2) = P

(

79, 8 − 80

0, 09486

L − 80

0, 09486

80, 2 − 80

0, 0948

)

= P

(

−2, 11 6L − 80

0, 09486 2, 11

)

= Π(2, 11) − Π(−2, 11) = 2Π(2, 11) − 1 ≃ 2 × 0, 9826 − 1 = 0, 9652

2. On admet que si on preleve, au hasard, une piece dans la production, la probabilite que cettepiece ne soit pas conforme, est p = 0, 035.

(a) On repete n = 100 tirages successifs d’une piece et la variable aleatoire X compte lenombre de pieces defectueuses. La probabilite qu’a un tirage la piece soit defectueuse estp = 0, 035. Ces tirages sont donc des experiences de Bernoulli, dont le succes est que lapiece soit defectueuse.

De plus ces tirages sont identiques (car on assimile les tirages a des tirages avec remise)et independants entre eux.

La variable aleatoire X suit donc une loi binomiale de parametre n = 100 et p = 0, 035.

(b) P (A) = P (X = 2) = C2100p

2(1 − p)98 =100 × 99

2× 0, 0352 × 0, 96598 ≃ 0, 1847

P (B) = P (X > 2) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1)) = 1 − (0, 0284 + 0, 1029) = 0, 869

(c) Le client refuse le lot avec la probabilite :

P (X > 4) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)) = 0, 273

(d) En utilisant le tableau ci-dessus, determiner la plus petite valeur entiere n telle que :

P (X > n) < 0, 03

P (X > n) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + · · ·+ P (X = n))

On a :

P (X > 6) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + · · ·+ P (X = 6)) = 0, 0618 > 0, 03

et

P (X > 7) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1) + · · ·+ P (X = 7)) = 0, 0243 < 0, 03

ainsi, la plus petite valeur de n est n = 7.

3. On doit avoir,

P (79, 8 6 L1 6 80, 2) = 0, 99 ⇐⇒ P

(

79, 8 − 80

σ′6

L1 − 80

σ′6

80, 2 − 80

σ′

)

= 0, 99

soit, 2Π

(

0, 2

σ′

)

− 1 = 0, 99 ⇐⇒ Π

(

0, 2

σ′

)

=1 + 0, 99

2= 0, 995

Or, d’apres la table de la loi normale centree reduite, Π(t) = 0, 995 ⇐⇒ t ≃ 2, 575, d’ou,0, 2

σ′= 2, 575 ⇐⇒ σ′ =

0, 2

2, 575≃ 0, 078.

A.BENHARI 144


Les parties A et B sont independantes.

Partie A

f est la fonction periodique de periode 1, definie sur l’intervalle [0 ; 1[ par f(t) = αt + β.

1. a0 =1

T

∫

T

0

f(t) dt =

∫

1

0

(αt + β) dt =

[

αt2

2+ βt

]1

0

=α

2+ β

2. On a T = 1, donc la pulsation ω =2π

T= 2π, et :

bn =2

T

∫

T

0

f(t) sin(nωt) dt = 2

∫

1

0

(αt + β) sin(2πnt) dt

= 2α

∫

1

0

t sin(2πnt) dt + 2β

∫

1

0

sin(2πnt) dt

On integre par parties la premiere integrale, avec

u = t

v′ = sin(2πnt)=⇒

u′ = 1

v = −1

2πncos(2πnt)

soit :∫

1

0

t sin(2πnt) dt =

[

−t

2πncos(2πnt)

]1

0

−

∫

1

0

−1

2πncos(2πnt) dt

= −1

2πncos(2πn) + 0 +

1

2πn

[

1

2πnsin(2πnt)

]1

0

= −1

2πncos(2πn) +

1

4π2n2(sin(2πn) − sin(0))

Or, pour tout entier n, cos(2πn) = cos(0) = 1 et sin(2πn) = sin(0) = 0, ainsi,

∫

1

0

t sin(2πnt) dt =−1

2πnDe plus,

∫

1

0

sin(2πnt) dt =

[

−1

2πncos(2πnt)

]1

0

= −1

2πn(cos(2πn) − cos(0)) = 0, car cos(2πn) = cos(0) = 1

Au total, on a donc :

bn = 2α

∫

1

0

t sin(2πnt) dt + 2β

∫

1

0

sin(2πnt) dt = 2α−1

2πn+ 2β × 0 = −

α

πn

3. On se propose de determiner les nombres reels α et β pour que le developpement S en serie de

Fourier de la fonction f soit defini pour tout nombre reel t par S(t) =

+∞∑

n=1

1

nsin(2nπt).

(a)

a0 = 0

bn =1

n

⇐⇒

α

2+ β = 0

−α

πn=

1

n

⇐⇒

β =π

2α = −π

On a alors, f(t) = −πt +π

2.

(b)

−2 −1 0 1 2

π

2

π

2

A.BENHARI 145

Partie B Soit (E) l’equation differentielle : s”(t) + s(t) = sin(2πt) +1

2sin(4πt).

1. On calcule les derivees premiere et deuxieme de s1 :

s′1(t) =2π

1 − 4π2cos(2πt) +

4π

2(1 − 16π2)cos(4πt)

s′′1(t) = −4π2

1 − 4π2sin(2πt) −

16π2

2(1 − 16π2)sin(4πt)

On a alors,

s′′1(t) + s1(t) = −4π2

1 − 4π2sin(2πt) −

16π2

2(1 − 16π2)sin(4πt) +

1

1 − 4π2sin(2πt) +

1

2(1 − 16π2)sin(4πt)

=1 − 4π2

1 − 4π2sin(2πt) +

1 − 16π2

2(1 − 16π2)sin(4πt)

= sin(2πt) +1

2sin(4πt)

La fonction s1 verifie donc bien l’equation differentielle (E).

2. L’equation homogene associee est : s′′(t) + s(t) = 0. Son equation caracteristique est : r2 + 1 =0 ⇐⇒ r = ±j.

La solution generale de cette equation homogene est donc : s2(t) = A sin(t) + B cos(t), A et B

etant deux constantes reelles quelconques.

La solution generale de l’equation differentielle est donc, y(t) = s1(t) + s2(t)

Exercice 3 4 points

Soit C la courbe d’equation parametrique :

x(t) = (t + 1)e−t

y(t) = t2e−t

1.

x′(t) = −te−t

y′(t) = te−t(2 − t)2.

x −∞ 0 2 +∞x′(t) + 0| − | −

1

x(t) ր 3e−2

4e−2

y(t) ց ր ց0

y′(t) − 0| + 0| −

3. Il y a deux points particuliers : en t = 0, A(1; 0).En t = 2, B(3e−2; 4e−2), soit environ, B(0, 41; 0, 54). De plus,x′(2) 6= 0 et y′(2) = 0 : la tangente en B est horizontale.

4. La courbe C coupe l’axe des ordonnees au point I tel quex(t) = 0 ⇐⇒ (t + 1)e−t = 0 ⇐⇒ t = −1, et donc,y(t) = y(−1) = e ≃ 2, 78.Les coordonnees du point d’intersection de la courbe avec l’axedes ordonnees sont donc I(0; e).

5.

O

1

2A

B

I

A.BENHARI 146


Exercice 1 - Session 2011 10 points

On considere un circuit compose d’une resistance et d’un condensateur represente par le schemaci-dessous.

R

Cv s

s represente la tension entre les bornes du condensateur lorsque le circuit est alimente par une sourcede tension v et parcouru par un courant i.Les fonctions s et v sont liees par l’equation differentielle suivante :

RCs′(t) + s(t) = v(t).(1)

De plus, on suppose que s(t) = 0, pour tout nombre reel t negatif ou nul.Pour tout l’exercice on considere que R = 250 · 103 Ω et C = 20 · 10−9 F.On rappelle que la fonction echelon unite U est definie par :

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t > 0.

Les parties A, B et C de l’exercice peuvent etre traitees independamment.

Partie A : QCM

Cette partie est un questionnaire a choix multiples constitue de quatre questions independantes.

Pour chaque question, quatre reponses sont proposees, une seule est exacte. Le candidat portera sur

la copie, sans justification, le numero de chaque question suivi de la reponse choisie.

Une bonne reponse rapporte 1 point, une reponse incorrecte ou l’absence de reponse n’enleve

pas de point.

1. La fonction f est un creneau represente par le schema suivant :

1

10

f(t) est defini par :

• 10U(t − 1) • 10 [U(t) − U(t − 1)]

• 10U(t) • U(t) − U(t − 1)

A.BENHARI 147

2. On note V et S les transformees de Laplace respectives des fonctions v et s.

On precise que s (0+) = 0. Les transformees de Laplace V et S sont telles que :

• S(p) =1

1 + 0, 005pV (p) • s(t) =

1

1 + 0, 005p2V (p)

• S(p) =0, 005

0, 005 + pV (p) • S(p) = (10, 005)V (p)

3. Dans cette question, on suppose que v(t) = 2 pour tout nombre reel t positif ou nul.

L’equation differentielle (1) s’ecrit alors :

0, 005s′(t) + s(t) = 2.

Pour tout nombre reel t positif ou nul, la solution generale s de l’equation differentielle (1) estdefinie, k etant une constante reelle, par :

• s(t) = ke−200t + 2t • s(t) = ke200t + 2

• s(t) = ke−200t + 2 • s(t) = ke−200t

Partie B : simulation numerique

Pour simuler le fonctionnement du circuit, on approche la tension d’entree v par un signal discretcausal x et la tension de sortie s par un signal discret causal y.Un pas de discretisation Te etant choisi, les signaux x et y verifient, pour tout nombre entier n,

l’equation :

0, 005y(n)− y(n − 1)

Te

+ y(n) = x(n). (2)

1. Dans toute la suite de l’exercice, on choisit Te = 0, 5 · 10−3 s.

Montrer que l’equation (2) s’ecrit alors :

11y(n) − 10y(n − 1) = x(n).

2. On suppose desormais que x(n) = 2e(n) ou e est l’echelon unite causal discret defini pare(n) = 1 pour tout entier naturel n.

(a) Montrer que la transformee en Z du signal discret y, notee Y (z), verifie :

Y (z)

z=

2

11×

z

(z − 1)

(

z −10

11

) .

(b) Verifier que :

Y (z) =2

11

11z

z − 1−

10z

z −10

11

.

(c) En deduire l’expression de Y (z) sous forme d’une somme.

3. (a) Exprimer y(n) en fonction de n, pour tout nombre entier naturel n.

(b) Calculer la limite de y(n) quand n tend vers +∞.

Partie C

On admet que y(n) = 2 − 2

(

10

11

)n+1

.

A.BENHARI 148

1. Completer le tableau de valeurs du signal numerique y figurant sur le document reponsenumero 1. Les resultats seront arrondis au centieme.

2. Representer graphiquement le signal numerique y sur la figure 1 du document reponse numero 1.

Exercice 2 - Session 2009, groupement A2 9 points

Le but de cet exercice est d’etablir, avec un minimum de calculs, le developpements en serie de

Fourier de fonctions periodiques rencontrees en electricite.

1. On considere un entier n strictement positif. Montrer que :

∫ 1

0

t cos(nπt) dt =cos(nπ) − 1

n2π2.

Pour la suite de l’exercice, on admet que :

∫ 1

0

sin(nπt) dt = −cos(nπ)

nπ.

2. On considere la fonction f definie sur IR, periodique de periode 2, telle que :

f(t) = t sur [0 ; 1[

f(t) = 0 sur [1 ; 2[.

(a) En utilisant le document reponse no 2, a rendre avec la copie, tracer la courbe Cf representativede la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4].

(b) On appelle Sf la serie de Fourier associee a la fonction f . On note

Sf (t) = a0 +

+∞∑

i=1

(an cos(nπt) + bn sin(nπt)).

Calculer a0.

Donner les valeurs des coefficients an et bn, et en deduire que :

Sf(t) =1

4+

+∞∑

n=1

(

cos(nπ) − 1

n2π2cos(nπt) −

cos(nπ)

nπsin(nπt)

)

.

(c) Calculer le carre de la valeur efficace de la fonction f , defini par

µ2eff = 1

2

∫

2

0

(f(t))2 dt.

(d) Recopier et completer, avec les valeurs exactes le tableau 1.

n 1 2 3an

bn

Tab. 1:

(e) Donner une valeur approchee a 10−3 pres du nombre reel A defini par :

A =

a20 +

1

2

3∑

n=1

(

a2n + b2

n

)

µ2eff

.

A.BENHARI 149

3. Soit g la fonction definie sur IR, periodique de periode 2, dont la courbe representative Cg esttracee sur l’intervalle [−4 ; 4] dans le document reponse no 2.

On admet que le developpement en serie de Fourier Sg associe a la fonction g, est defini parSg(t) = Sf(−t).

Justifier que :

Sg(t) =1

4+

+∞∑

n=1

(

cos(nπ) − 1

n2π2cos(nπt) +

cos(nπ)

nπsin(nπt)

)

.

4. Soit h et k les fonctions definies sur IR, periodiques de periode 2, telles que : h(t) = f(t) + g(t)et k(t) = f(t) − g(t) pour tout nombre t.

(a) Sur le document reponse no 3, a rendre avec la copie, tracer les courbes Ch et Ck representativesdes fonctions h et k sur l’intervalle [−4 ; 4].

(b) On admet que les developpements en serie de Fourier Sh et Sk associes respectivementaux fonctions h et k, sont definis par :

Sh(t) = Sf(t) + Sg(t) et Sk(t) = Sf(t) − Sg(t).

Determiner les coefficients de Fourier associes respectivement aux fonctions h et k.


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(n) 0,35 0,87 1,15 1,30

Tableau de valeurs de la suite y (a completer)

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

s

A.BENHARI 150


1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

(a) Representation de la fonction f

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

(b) Representation de la fonction g

A.BENHARI 151


1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

(a) Representation de la fonction h

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

(b) Representation de la fonction k

A.BENHARI 152

Correction du devoir de mathematiques - BTSExercice 1 - Session 2011 10 pointsLes fonctions s et v sont liees par l’equation differentielle suivante :

RCs′(t) + s(t) = v(t) (1)

De plus, on suppose que s(t) = 0, pour tout nombre reel t negatif ou nul.

Partie A : QCM

1. f(t) est defini par : f(t) = 10 [U(t) − U(t − 1)]

2. On note V et S les transformees de Laplace respectives des fonctions v et s.

On precise que s (0+) = 0. Les transformees de Laplace V et S sont telles que :

On applique la transformee de Laplace a l’equation differentielle :

RC(

pS(p) − s(0+))

+ S(p) = V (p)

or, s(0+) = 0 et RC = 5.10−3 = 0, 005, et donc,

S(p) =1

1 + 0, 005pV (p)

3. La solution de l’equation sans second membre 0, 005s′(t) + s(t) = 0 est

s1(t) = ke−t/0,005 = ke−200t .

De plus s2(t) = 2 est une solution particuliere de l’equation, et donc, au final, la solutiongenerale s’ecrit :

s(t) = s1(t) + s2(t) = ke−200t + 2 .

Partie B : simulation numerique

Pour simuler le fonctionnement du circuit, on approche la tension d’entree v par un signal discretcausal x et la tension de sortie s par un signal discret causal y.Un pas de discretisation Te etant choisi, les signaux x et y verifient, pour tout nombre entier n,

l’equation :

0, 005y(n)− y(n − 1)

Te+ y(n) = x(n). (2)

1. Dans toute la suite de l’exercice, on choisit Te = 0, 5.10−3 s.

L’equation s’ecrit(

0, 005

Te+ 1

)

y(n) − 0, 005

Tey(n − 1) = x(n)

soit, avec0, 005

Te= 10,

11y(n) − 10y(n − 1) = x(n).

2. On suppose desormais que x(n) = 2e(n) ou e est l’echelon unite causal discret defini pare(n) = 1 pour tout entier naturel n.

A.BENHARI 153

(a) Montrer que la transformee en Z du signal discret y, notee Y (z), verifie :

Y (z)

z=

2

11× z

(z − 1)

(

z − 10

11

) .

En appliquant la transformee en z a l’equation recurrente precedente, on obtient :

11Y (z) − 10z−1Y (z) = X(z) =z

z − 1⇐⇒ Y (z)

(

11 − 10

z

)

=z

z − 1⇐⇒ Y (z)

z=

(b) Verifier que :

Y (z) =2

11

11z

z − 1− 10z

z − 10

11

.

(c) En deduire l’expression de Y (z) sous forme d’une somme.

3. (a) Exprimer y(n) en fonction de n, pour tout nombre entier naturel n.

(b) Calculer la limite de y(n) quand n tend vers +∞.

Partie C

On admet que y(n) = 2 − 2

(

10

11

)n+1

.

1. Completer le tableau de valeurs du signal numerique y figurant sur le document reponsenumero 1. Les resultats seront arrondis au centieme.

2. Representer graphiquement le signal numerique y sur la figure 1 du document reponse numero 1.


Specialites CIRA, Electrotechnique, Genie optique, Systemes electroniques, TPIL

Dans cet exercice, on se propose d’etudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et,

dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre analogique.

Partie A

Dans cet exercice, on note τ une constante reelle appartenant a l’intervalle [0 ; 2π] et on considereles fonctions f et g definies sur l’ensemble IR des nombres reels, telles que :

• pour tout nombre reel t, f(t) = 1 ;• la fonction g est periodique de periode 2π et :

g(t) = 0 si 0 6 t < τ

g(t) = 1 si τ 6 t < 2π

Pour tout nombre reel t, on pose :

h(t) = f(t) − g(t)

La fonction h ainsi definie represente la perturbation du signal.

A.BENHARI 154

1. Les courbes representatives des fonctions f et g sont tracees sur le document reponse no 2.(figures 1 et 2).

Sur la figure 3 du document reponse no 2, tracer la representation graphique de la fonctionh.

2. On admet que la fonction h est periodique de periode 2π.

Pour tout nombre reel t, on definit la serie de Fourier S(t) associee a la fonction h par

S(t) = a0 ++∞∑

n=1

(an cos(nt) + bn sin(nt))

(a) Determiner a0.

(b) Soit n un nombre entier superieur ou egal a 1.

Calculer

∫ τ

0

cos(nt) dt

et en deduire que

an =1

nπsin(nτ).

(c) Montrer que pour tout nombre entier n superieur ou egal a 1,

bn =1


3. Soit n un nombre entier naturel. On associe a n le nombre reel An tel que :

• A0 = a0

• An =

√

a2n + b2

n

2si n est un nombre entier superieur ou egal a 1.

Montrer que, pour tout entier n superieur ou egal a 1, on a :

An =1

nπ

√

1 − cos(nτ).


4.

4. Completer le tableau 1 du document reponse no 3 avec des valeurs approchees a 10−5

pres.


h2eff =

1

2π

∫ 2π

0

[h(t)]2 dt.

(a) Calculer h2eff.

(b) Calculer une valeur approchee a 10−4 pres du nombre reel P defini par P =3

∑

n=0

A2n.

(c) Calculer une valeur approchee a 10−2 pres du quotientP

h2eff

.

Partie B

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument estπ

2.

A.BENHARI 155

On considere la fonction de transfert H definie, pour tout nombre complexe p different de −3

2par :

H(p) =3

2p + 3.

On definit la fonction r, pour tout nombre reel positif ω, par :

r(ω) = |H(jω)|.

Le but de cette partie est de determiner le spectre d’amplitude du signal, note k, obtenu en filtrantla perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert est H .

1. Montrer que r(ω) =3√

9 + 4ω2.

2. Pour tout nombre entier naturel n, on definit le nombre reel positif Bn par :

Bn = r(n) × An,

ou An est le nombre reel positif defini dans la question 3 de la partie A.

Completer le tableau 2 du document reponse no 3, avec des valeurs approchees a 10−5 pres.

Le spectre d’amplitude du signal filtre k est donne par la suite des nombres reels Bn.

3. La figure 4 sur le document reponse no 3 donne le spectre d’amplitude de la perturbationh, c’est-a-dire une representation graphique de la suite des nombres reels An.

Sur la figure 5 du document reponse no 3, on a commence de meme a representer la suitedes nombres reels Bn.

Completer cette representation graphique a l’aide du tableau de valeurs no 2 du documentreponse no 3.

4. Une valeur approchee a 10−4 pres du carre de la valeur efficace du signal k est k2eff ≈ 0,051 6.

(a) CaLculer une valeur approchee a 10−4 pres du nombre reel Q defini par Q =3

∑

n=0

B2n.

(b) Calculer une valeur approchee a 10−1 pres du quotientQ

k2eff

.

On a etudie le spectre de Fourier d’une perturbatıon d’un signal. On ne peut pas negliger les raies de

hautes frequences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante de l’energie de la perturbation

et les raies de hautes frequences de la perturbation filtree sont negligeables.

A.BENHARI 156


n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(n) 0,35 0,87 1,15 1,30

Tableau de valeurs de la suite y (a completer)

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

s

A.BENHARI 157



1

−3π −2π −π π 2π 3π0


1• • •

• • •−3π −2π −π π 2π 3π0


1

−3π −2π −π π 2π 3π0

A.BENHARI 158


Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7An 0,125 00 0,172 27 0,138 63 0,083 18 0,053 05 0,024 61

n 8 9 10 11 12 13 14 15An 0,019 14 0,031 83 0,037 81 0,031 99 0,022 74 0,011 48

Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7Bn 0,143 34 0,062 00 0,039 52 0,023 90 0,012 87 0,005 16

n 8 9 10 11 12 13 14 15Bn 0,000 00 0,003 15 0,004 72 0,005 11 0,003 87 0,002 42 0,001 14

Figure 4

0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figure 5

0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A.BENHARI 159

A.BENHARI 160

A.BENHARI 161

A.BENHARI 162

A.BENHARI 163

A.BENHARI 164

A.BENHARI 165

A.BENHARI 166

Correction du BTS de mathematiques - session 2012


Partie A

1. (a) La probabilite qu’une piece prelevee soit conforme est :

P (14, 3 6 X 6 15, 5) = P

(

14, 3 − 15

0, 356

X − 15

0, 356

15, 5 − 15

0, 35

)

≃ P

(

−2 6X − 15

0, 356 1, 43

)

≃ Π(1, 43) − Π(−2)≃ Π(1, 43) − (1 − Π(2))=≃ Π(1, 43) + Π(2) − 1 ≃ 0, 924 + 0, 977 − 1 ≃ 0, 901

(b)

P (15 − h 6 X 6 15 + h) = 0, 95 ⇐⇒ = P

( −h

0, 356

X − 15

0, 356

h

0, 35

)

= 2Π

(

h

0, 35

)

− 1 = 0, 95

⇐⇒ Π

(

h

0, 35

)

=0, 95 + 1

2= 0, 975

⇐⇒ h

0, 35= 1, 96 ⇐⇒ h ≃ 0, 686

(c) Il y a 95% de chances qu’une piece fabriquee avec cette machine reglee ainsi ait uneepaisseur qui s’ecarte de moins de h ≃ 0, 686 mm de la valeur moyenne m = 15 millimetressouhaitee.

2. On cherche l’ecart type σ tel que : P (14, 3 6 X 6 15, 5) = 90 % soit :

P

(

14, 3 − 14, 9

σ6

X − 14, 9

σ6

15, 5 − 14, 9

σ

)

= 0, 9 ⇐⇒ P

(

−0, 6

σ6

X − 14, 9

σ6

0, 6

σ

)

= 0, 9

⇐⇒ 2Π

(

0, 6

σ

)

− 1 = 0, 9

⇐⇒ Π

(

0, 6

σ

)

= 0, 95

⇐⇒ 0, 6

σ= 1, 65 ⇐⇒ σ =

0, 6

1, 65≃ 0, 36

Partie B

1. n = 50, et p = 1−90 % = 0, 1 : probabilite pour qu’une piece prise au hasard soit non conforme.

2. La probabilite pour qu’il y ait exactement 2 pieces non conformes est :

P (Y = 2) = C2

50× 0, 12 × 0, 948 ≃ 0, 08

3. (a) La probabilite P (Y = 0) doit etre la meme pour les deux lois. Ainsi,

P (Y = 0) = e−λ = 0, 950 ⇐⇒ λ = − ln(

0, 950)

= −50 ln(0, 9) ≃ 5, 27

(b) En utilisant la loi de Poisson, la probabilite que le lot contienne au plus deux pieces nonconformes est :

P (Y 6 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)

= e−5 + e−5 × (−5) +e−5 × (−5)2

2≃ 0, 06 = 60 %

Partie C

1. P(

A ∩ C)

= 40 % × 10 % = 4 % = 0, 04

A.BENHARI 167

xymaths.free.fr

2.

C C

A 0,36 0,04 0,4

A 0,58 0,02 0,6

0,94 0,06 1

3. PC (A) =P (A ∩ C

P (C)=

0, 36

0, 94≃ 0, 38

4. P (A) = 0, 4 6= PC(A) : les evenements A et C ne sont donc pas indepandants.


Partie A

1. (a)

0

10e

(b) E(p) = 10 × 1

p=

10

p

2. En appliquant la transformee de Laplace a (E), on obtient :

RC (pV (p) − v(0)) + V (p) = E(p) =10

p⇐⇒ V (p) (RCp + 1) =

10

p, car v(0) = 0

⇐⇒ V (p) =10

p(RCp + 1)

3. (a)

10

p− 10

p +1

RC

=

10

(

p +1

RC

)

− 10p

p

(

p +1

RC

) =

10

RC

p

(

p +1

RC

) =10

p (RCp + 1)= V (p)

(b) En appliquant alors la transformee de Laplace inverse, on obtient :

v(t) = 10U(t) − 10e−t

RC U(t) = 10(

1 − e−t

RC

)

U(t)

Partie B

1. T (ω) =R

R×

1

jRCω

1 +1

jRCω

=

1

jRCω

1 +1

jRCω

=1

11

jRCω

+ 1=

1

jRCω + 1=

1

jω

ω0

+ 1

2. On a : T (ω0) =1

1 + j, d’ou |T (ω0)| =

1

|1 + j| =1√2

et arg (T (ω0)) = − arg(1 + j) = −π

4

3. (a) |T (ω)| =1

√

1 +

(

ω

ω0

)2

(b) arg (T (ω)) = − arg

(

1 + jω

ω0

)

= − arctan

(

ω

ω0

)

A.BENHARI 168

xymaths.free.fr

4. On a vu au 2. que |T (ω0)| =1√2, et d’apres 3a |T (ω0)| =

1√1 + 12

=1√2.

De meme, au 2. arg(T (ω0)) = −π

4, et d’apres 3b arg(T (ω0)) = − arctan(1) = −π

4.

Les resultats de ces deux questions concordent bien.

5.

Gdb(ω0) =20

ln(10)ln (|T (ω0)|) =

20

ln(10)ln

1√2

= −10ln 2

ln 10≃ −3

6. (a) ϕ(ω0) = − arctan( ω0

500

)

= − arctan(1) = −π

4(b) Voir graphique.

(c) Le point M0 a pour abscisse ϕ(ω0) = ϕ(500) = −π

4≃ −0, 785.

L’ordonnee du point est alors graphiquement environ −3 (que l’on avait precedemmentpar le calcul : Gdb(500)) ≃ −3).

7. L’absisse du point M1 et inferieure a celle du point M0, et on a donc ϕ(ω) < ϕ(ω0), soit, commeϕ est strictement decroissante, ω > ω0 = 500.

−2.0 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1. −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4

−17

−16

−15

−14

−13

−12

−11

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

• M0

• M1

A.BENHARI 169

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BTS Groupement A


Exercice 1 6 points

Soit les nombres complexes a = 4 + 4j ; b = 3 −√

3j et z =a3

b4.

1. Donner le module et un argument de a et b.

2. Ecrire z sous forme exponentielle et trigonometrique.

3. Soit, dans un repere du plan complexe, les points A et B d’affixes a et b.

Calculer la distance AB.


On considere la fonction ϕ definie sur IR, 2-periodique, et telle que :

ϕ(t) = t si 0 6 t < 1

ϕ(t) = 1 si 1 6 t < 2π

On note S(t) le developpement de Fourier associe a la fonction ϕ ; les coefficients de Fourier associesa la fonction ϕ sont notes a0, an, bn ou n est un nombre entier naturel non nul.

1. Representer graphiquement la fonction ϕ sur l’intervalle [−4; 4].



sur une periode est donne par : µ2

eff=

1

T

∫

T

0

[f(t)]2 dt.

Calculer µeff, la valeur efficace de la fonction ϕ sur une periode.

3. Calculer les coefficients an de la serie de Fourier de ϕ.

On admet pour la suite que, pour tout n > 1, bn = 0.

4. Ecrire la serie de Fourier S associe a la fonction ϕ.

A-t-on, pour tout reel t, S(t) = ϕ(t) ?

A.BENHARI 170

BTS Groupement A


Exercice 1 6 points

Soit les nombres complexes a = 4 + 4j ; b = 3 −√

3j et z =a3

b4.

1. |a| =√

42 + 42 =√

2 × 42 = 4√

2

θa = arg(a) est tel que

cos(θa) =4

4√

2=

√2

2

sin(θa) =4

4√

2=

√2

2

et donc, θa =π

4[2π].

|b| =

√

32 +√

32

=√

12 = 2√

3

θb = arg(b) est tel que

cos(θb) =3

2√

3=

√3

2

sin(θb) =−√

3

2√

3= −1

2

et donc, θb = −π

6[2π].

2. On a donc, d’apres la question precedente, a = 4√

2ej π

4 et b = 2√

3e−j π

6 ,

d’ou z =a3

b4=

(4√

2ej π

4

)3

(2√

3e−j π

6

)4 =43√

23ej 3π

4

24√

34e−j 4π

6

=8√

2

9ej π

12 =8√

2

9

(

cos( π

12

)

+ j sin( π

12

))

3. Soit, dans un repere du plan complexe, les points A et B d’affixes a et b.

AB = |b − a| = | − 1 − j(√

3 + 4)| =

√

(−1)2 +(√

3 + 4)2

=√

20 + 8√

3 = 2√

5 + 2√

3.


1. ϕ est 2-periodique avec :

ϕ(t) = t si 0 6 t < 1

ϕ(t) = 1 si 1 6 t < 2πO−2 −1 1 2 3 4

1

2. a. a0 =1

T

∫ T

0

ϕ(t) dt =1

2

(∫ 1

0

t dt +

∫ 2

1

1 dt

)

=1

2

([1

2t2]1

0

+ [t]21

)

=1

2

(1

2− 0 + 2 − 1

)

=3

4

b. µ2eff =

1

T

∫ T

0

[ϕ(t)]2 dt =1

2

(∫ 1

0

t2 dt +

∫ 2

1

12 dt

)

=1

2

([1

3t3]1

0

+ [t]21

)

=1

2

(1

3− 0 + 2 − 1

)

=2

3

Ainsi, µeff =

√

2

3.

3. On a T = 2 d’ou ω =2π

T= π, et donc

an =2

T

∫ T

0

ϕ(t) cos (nωt) dt =

∫ 2

0

ϕ(t) cos (nπt) dt =

∫ 1

0

t cos(nπt) dt +

∫ 2

1

cos(nπt) dt

On integre la premiere integrale par partie, en posant u = t, donc u′ = 1, et v′ = cos(nπt) donc

v =1

nπsin(nπt) :

A.BENHARI 171

an =

[t

nπsin(nπt)

]1

0

− 1

nπ

∫ 1

0

sin(nπt) dt +

[1

nπsin(nπt)

]2

1

=1

nπsin(nπ)︸︷︷︸

=0

−0 − 1

nπ

[−1

nπcos(nπt)

]1

0

+1

nπsin(2nπ)︸︷︷︸

=0

− 1

nπsin(nπ)︸︷︷︸

=0

=1

n2π2(cos(nπ) − cos(0)) =

1

n2π2(cos(nπ) − 1)

4. S(t) = a0 +

+∞∑

n=1

an cos(nωt) + bn sin(nωt) =3

4+

+∞∑

n=1

1

n2π2(cos(nπ) − 1) cos (nπt)

ϕ est CM1 : continue et derivable par morceaux, et verifie donc les conditions de Dirichlet.Ainsi, pour tout t ou ϕ est continue on a S(t) = ϕ(t).

Par contre ϕ n’est pas continue en −2, 0, 2, . . .

En ces points t = 2k, k ∈ ZZ, on n’a pas S(t) = ϕ(t), mais S(t) =1

2(ϕ(t−) + ϕ(t+)) =

1

2.

A.BENHARI 172

BTS Groupement A


Exercice 1 6 points

Soit les nombres complexes a =√

3 − j ; b = 2 − 2j et z =a4

b3.

1. Donner le module et un argument de a, b, a4 et b3.

2. Calculer le module et un argument de z.


On considere la fonction ϕ definie sur IR, 2π-periodique, et telle que :

ϕ(t) = t si 0 6 t < π

ϕ(t) = 0 si π 6 t < 2π

On note S(t) developpement de Fourier associe a la fonction ϕ ; les coefficients de Fourier associesa la fonction ϕ sont notes a0, an, bn ou n est un nombre entier naturel non nul.

1. Representer graphiquement la fonction ϕ sur l’intervalle [−2π ; 4π].



sur une periode est donne par : µ2

eff=

1

T

∫

T

0

[f(t)]2 dt.

Montrer que µ2

eff, le carre de la valeur efficace de la fonction sur une periode, est egal a

π2

6.


πn2[cos(nπ) − 1].

On admet que, pour tout nombre entier n > 1, on a : bn = −cos(nπ)

n.

4. Recopier et completer le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandes.

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

−2

9π

1

3

5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carre de la valeur efficace µ2

3 dela fonction S3.

µ2

3 = a2

0 +1

2

[

a2

1 + b2

1 + a2

2 + b2

2 + a2

3 + b2

3

]

Calculer la valeur approchee deµ2

3

µ2

eff

arrondie a 10−2.

A.BENHARI 173


Exercice 1 6 points

Soit les nombres complexes a =√

3 − j ; b = 2 − 2j et z =a4

b3.

1. |a| = |√

3 − j| =

√√3

2

+ 12 = 2

arg(a) = θa avec cos θa =

√3

2et sin θa =

−1

2, d’ou θa = −π

6[2π]

|b| = |2 − 2j| =√

22 + 22 +√

8 = 2√

2

arg(b) = θb avec cos θb =2

2√

2=

1√2

=

√2

2et sin θb =

−2

2√

2=

−1√2

= −√

2

2d’ou θb = −π

4[2π]

|a4| = |a|4 = 24 = 16, arg (a4) = 4 arg(a) = 4 × −π

6= −2π

3

|b3| = |b|3 =(

2√

2)3

= 16√

2, arg (b3) = 3 arg(b) = 3 × −π

4= −3π

4

2. |z| =

∣

∣

∣

∣

a4

b3

∣

∣

∣

∣

=|a4||b3| =

16

16√

2=

1√2

=

√2

2

arg(z) = arg

(

a4

b3

)

= arg (a4) − arg (b3) = −2π

3−

(

−3π

4

)

=π

12


1. ϕ est 2π-periodique avec :

ϕ(t) = t si 0 6 t < π

ϕ(t) = 0 si π 6 t < 2πO−2π −1π 1π 2π 3π 4π

π

2. a. a0 =1

T

∫

T

0

ϕ(t) dt =1

2π

∫

2π

0

ϕ(t) dt =1

2π

∫

π

0

t dt =1

2π

[

1

2t2

]π

0

=π

4

b. µ2

eff=

1

T

∫

T

0

[f(t)]2 dt =1

2π

∫

π

0

t2 dt =1

2π

[

1

3t3

]π

0

=π2

6

3. an =2

T

∫

T

0

ϕ(t) cos(nωt) dt avec T = 2π et ω =2π

T= 1, d’ou,

an =2

2π

∫

2π

0

ϕ(t) cos(nt) dt =1

π

∫

π

0

t cos(nt) dt,

que l’on peut integrer par parties, en posant u = t, u′ = 1, et v′ = cos(nt), v =1

nsin(nt) :

an =1

π

(

[uv]π0−

∫

π

0

u′v

)

=1

π

([

1

nt sin(nt)

]π

0

− 1

n

∫

π

0

sin(nt) dt

)

=1

π

(

[0 − 0] − 1

n

[

−1

ncos(nt)

]π

0

)

=1

πn2[cos(nπ) − 1]

4. a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

π

4−2

π1 0 −1

2− 2

9π

1

3

5. µ2

3= a2

0+

1

2

[

a2

1+ b2

1+ a2

2+ b2

2+ a2

3+ b2

3

]

=π2

42+

1

2

[

4

π2+ 1 + 0 +

1

4+

4

81π2+

1

9

]

=π2

16+

1

2

[

4 × 82

81π2+

49

36

]

On trouve, arrondies a 10−2, µ2

3≃ 1, 45 et µ2

eff=

π2

6≃ 1, 64, d’ou

µ2

3

µ2

eff

≃ 0, 88.

A.BENHARI 174


Exercice 1 8 points

1. Determiner les transformees de Laplace F et G des fonctions f et g definies par :

f(t) = (cos 2t − 3 sin 4t)U(t) ; g(t) = cos(

t −π

6

)

U

(

t −π

6

)

2. Definir la fonction f representee graphiquement ci-contre en utilisant l’echelon unite U , et determinersa transformee de Laplace F (p).

−2 −1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2

3. Definir la fonction g representee graphiquement ci-contre en utilisant l’echelon unite U , et determinersa transformee de Laplace G(p).

−2 −1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2


Les deux parties de cet exercice sont independantesLe but de la partie A est de calculer le developpement en serie de Fourier d’une fonction periodique,

puis de s’interesser a la valeur efficace de cette fonction sur une periode.

Dans la partie B, il s’agit de retrouver la representation graphique d’une fonction a partir de son

developpement en serie de Fourier puis de definir cette fonction.

Partie AOn considere la fonction f periodique, de periode 2, definie sur l’ensemble des nombres reels par :

f(t) = 0, 5t + 0, 5 si − 1 < t < 1f(1) = 0, 5

Le developpement en serie de Fourier de la fonction f s’ecrit :

S(t) = a0 ++∞∑

n=1

(ancos(nωt) + b

nsin(nωt)) .

1. Tracer la representation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4] en utilisant la figure1 du document reponse numero 1.

2. Demontrer que a0 =1

2.

3. (a) Preciser la valeur de la pulsation ω.

(b) En utilisant une integration par parties, calculer b1.

On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout nombre entier n superieur ou egal a 1 :

bn

=(−1)n+1

nπ.

4. Soit g la fonction definie pour tout nombre reel t par g(t) = f(t) − 0, 5.

A.BENHARI 175

(a) Tracer la representation graphique de la fonction g sur la figure 3 du document reponsenumero 1.

(b) Quelle propriete de symetrie observe-t-on sur la representation graphique de la fonction g ?

(c) En comparant les coefficients de Fourier des fonctions f et g, montrer que an

= 0 pourtout nombre entier n superieur ou egal a 1.

5. On rappelle que la valeur efficace de la fonction f sur une periode est le nombre reel positif,note feff, defini par :

f 2eff =

1

2

∫ 1

−1

[f(t)]2 dt.

Demontrer que f 2eff =

1

3.

6. On rappelle la formule de Parseval : f 2eff = a2

0 +1

2

+∞∑

n=1

(

a2n

+ b2n

)

.

On decide de calculer une valeur approchee, notee P , de f 2eff en se limitant aux cinq premiers

termes de la somme, c’est-a-dire :

P = a20 +

1

2

5∑

n=1

(

a2n

+ b2n

)

.

(a) Calculer une valeur approchee a 10−3 pres de P , puis deP

f 2eff

.

(b) En deduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f 2eff par P .

Document reponse no 1 a joindre avec la copie (exercice 2)

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 2 : representation graphique de la fonction f (a completer)

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 3 : representation graphique de la fonction g (a completer)

A.BENHARI 176

Correction du devoir de mathematiques - BTS

Exercice 1 8 points

1. Determiner les transformees de Laplace F et G des fonctions f et g definies par :

f(t) = (cos 2t − 3 sin 4t)U(t) =⇒ F (p) =p

p2 + 22− 3

4

p2 + 42=

p

p2 + 4−

12

p2 + 16

g(t) = cos(

t −π

6

)

U

(

t −π

6

)

=⇒ G(p) = e−π

6p

p

p2 + 1

2. f est un creneau : f(t) = U(t) − U(t − 2).On a alors,

F (p) =1

p− e−2p 1

p=

1 − e−2p

p

−2 −1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2

3. En temps, on a f(t) =

0 si t 6 0t si 0 6 t 6 1−t + 2 si 1 6 t 6 30 si t > 3

soitf(t) = tU(t) − 2 (t − 1)U(t − 1) + (t − 2)U(t − 2)

−2 −1 0 1 2 3 4

−1

0

1

2

Ainsi, F (p) =1

p2− 2e−p

1

p2+ e−2p

1

p2=

1 − 2−p + e−2p

p2


Partie A

1. Voir figure 1 du document reponse.

2. On a a0 =1

2

∫

1

−1

f(t) dt =1

2

∫

1

−1

0, 5(t + 1) dt =1

4

[

1

2t2 + t

]1

−1

=1

4× 2 =

1

2

3. (a) On a ω =2π

T=

2π

2= π

(b) On a, pour n = 1 :

b1 =2

T

∫

1

−1

f(t) sin(nωt) dt =2

2

∫

1

−1

0, 5(t + 1) sin(πt) dt

=1

2

∫

1

−1

(t + 1) sin(πt) dt

On procede a une integration par parties en posant

u(t) = t + 1

v′(t) = sin πt

u′(t) = 1

v(t) = −1

πcos πt

d’ou∫

1

−1

(t + 1) sin(πt) dt =

[

−1

π(t + 1) cos πt

]1

−1

+1

π

∫

1

−1

cos πt dt

= −2

πcos π +

1

π2[sin πt]1

−1=

2

π

A.BENHARI 177

En remplacant, on obtient alors b1 =1

π.

4. (a) On a, pour tout nombre reel t ∈] − 1; 1[, g(t) = 0, 5t.

Pour la representation graphique, voir figure 2 du document reponse.

(b) Comme la fonction g est impaire, la courbe representative de la fonction g est symetriquepar rapport a l’origine du repere.

(c) La fonction g etant impaire, pour tout entier naturel n, les coefficients de Fourier an(g)sont nuls. Or, on a, pour n ≥ 1 :

an(g) =2

T

∫

1

−1

g(t) cos nπt dt =2

T

∫

1

−1


=2

T

∫

1

−1

f(t) cos nπt dt − 0, 5 ×2

T

∫

1

−1

cos nπt dt

= an(f) −1

T

[

1

nπsin(nπt)

]1

−1

= an(f)

D’ou, pour tout entier naturel n ≥ 1, an = 0.

5. On a f 2(t) =1

4(t + 1)2, d’ou

f 2

eff =1

2

∫

1

−1

(f(t))2dt =

1

8

∫

1

−1

(t + 1)2 dt =1

8

[

1

3(t + 1)3

]1

−1

=1

8×

1

3× 23 =

1

3

6. (a) On a P =1

4+

1

2π2

5∑

k=1

1

k2=

1

4+

1

2π2

5269

3600≈ 0, 324, d’ou

P

f 2

eff

≈ 0, 972

(b) L’erreur commise estf 2

eff − P

f 2

eff

= 1 −P

f 2

eff

≈ 0, 028 ≈ 2, 8%


0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Fig. 1 – representation graphique de la fonction f

0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Fig. 2 – representation graphique de la fonction g

A.BENHARI 178

Brevet de technicien supérieur

Le groupement A de 2001 à 2011

Métropole 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3

Métropole 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Métropole 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Métropole 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Métropole 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Métropole 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Métropole 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Métropole Techniques physiques 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Nouvelle-Calédonie octobre 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Métropole 2008 A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Métropole 2008 A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38


Métropole–Polynésie A1 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Métropole A2 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48


Métropole A1 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Métropole A2 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67


Métropole A1 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

Métropole A2 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .82

A.BENHARI 179

Brevet de technicien supérieur Mathématiques

A.BENHARI 180


BTS Groupement A session 2001

EXERCICE 1 12 points

Partie A

1. On a obtenu à l’aide d’une calculatrice :

∫π

0sin t ·cos t dt = 0 et

∫π

0sin t ·cos(2t) dt =−

2

3.

Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

2. On considère le signal, modélisé par la fonction réelle e, de période 2π, définiepar :

e(t) = sin t si t ∈ [0 ; π]e(t) = 0 si t ∈ ]π ; 2π[.

a. Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonc-tion e pour t variant dans l’intervalle [−2π ; 4π].

b. Calculer les coefficients de Fourier a0 , a1 et a2 de la fonction e. On ad-mettra dans la suite de l’exercice que les coefficients b1 et b2 valent :

b1 =1

2et b2 = 0.

3. a. Calculer le carré E 2 de la valeur efficace du signal e.

b. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

E 2 = a20 +

+∞∑

n=1

a2n +b2

n

2.

Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang1 et 2.

Soit P le nombre défini par : P = a20 +

1

2

(

a21 +b2

1 +a22 +b2

2

)

.

Calculer P , puis donner une approximation décimale à 10−3 près du rap-

portP

E 2.

La comparaison de E 2 et P justifie que, dans la pratique, on néglige les

harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.

Partie B

On se propose dans cette partie d’obtenir l’intensité i du courant dans le circuit ci-dessous lorsqu’il est alimenté par le signal d’entrée e défini dans la partie A.

C

R

e(t)

i (t)

A.BENHARI 181


L’équation permettant de trouver l’intensité du courant est, pour t ∈ [0 ; +∞[,

Ri (t)+1

C

∫t

0i (u) du = e(t) (1).

Pour déterminer la fonction i on remplace le signal d’entrée e par son développe-ment en série de Fourier tronqué à l’ordre 2. L’équation (1) devient alors :

Ri (t)+1

C

∫t

0i (u) du =

1

π+

1

2sin t −

2

3πcos(2t) (2).

On admet que l’intensité t du courant est une fonction dérivable sur [0 ; +∞[.

On suppose dans toute la suite de l’exercice que R = 5000Ω et C = 10−4 F.

1. Montrer que l’équation (2) peut alors se transformer et s’écrire :

di

dt(t)+2i (t)=

(

10−4)

cos t +(

4

15π·10−3

)

sin(2t)

t ∈ [0 ; +∞[(3).

2. Vérifier que la fonction i1 telle que i1(t)=(

4 ·10−5)

cos t+(

2 ·10−5)

sin t est unesolution particulière de l’équation différentielle

di

dt(t)+2i (t)=

(

10−4)

cos t

t ∈ [0 ; +∞[

3. Déterminer une solution particulière i2 de l’équation différentielle

di

dt(t)+2i (t)=

(

4

15π·10−3

)

sin(2t)

t ∈ [0 ; +∞[

4. Résoudre alors l’équation différentielle (3). En déduire la solution particulièrevérifiant la condition i (0) = 0.

EXERCICE 2 8 points

Le plan est rapporté à un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

.

On s’intéresse dans cet exercice à deux courbes de Bézier C1 et C2.C1 est définie par les quatre points de contrôle A0 (0 ; 3), A1(0 ; −2), A2(10 ; −2), A3(5 ; 3) ;C2 est définie par les trois points de contrôle A0(0 ; 3), T(0 ; 8), A3(5 ; 3).On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de contrôle Ai (06 i 6 n)est l’ensemble des points M(t) tels que :

−−−→OM (t) =

n∑

i=0Bi , n(t)

−−−→OAi où Bi , n(t)= Ci

n t i (1− t)n−i avec t ∈ [0 ; 1].

1. Construction de la courbe C1.

a. Développer, réduire et ordonner les polynômes Bi , 3(t), (06 i 6 3).

b. Montrer que les coordonnées du point M(t) de la courbe C1 sont :

x = f1(t) = 30t 2 −25t 3

y = g1(t) = 3−15t +15t 2 t ∈ [0 ; 1].

c. Étudier les variations de f1 et g1 et dresser le tableau des variations conjointesde ces deux fonctions.

A.BENHARI 182


d. Préciser les coordonnées des points de C1 à tangentes parallèles aux axesde coordonnées.

e. Montrer que la droite (A2A3) est tangente à C1 en A3.

f. Tracer, en exploitant les résultats précédents, la courbe C1 sur la feuilleannexe.

2. Étude géométrique de la courbe C2

La représentation paramétrique de la courbe C2 est :

x = f2(t) = 5t 2

y = g2(t) = 3+10t −10t 2

La courbe C2 est donnée sur la feuille annexe.

a. On définit, pour tout t ∈ [0 ; 1], les points N1(t) et N2(t) par :

−−−−−→ON1(t) = (1− t)

−−−→OA0 + t

−−→OT et

−−−−−→ON2(t) = (1− t)

−−→OT + t

−−−→OA3 .

Justifier que les points N1(t) et N2(t) appartiennent respectivement auxsegments [A0T] et [TA3].

b. Soit G(t) le point défini, pour tout t ∈ [0 ; 1], par

−−−−→OG(t) = (1− t)

−−−−−→ON1(t) + t

−−−−−→ON2(t) .

Montrer que G(t) appartient à C2 et que la droite (N1(t)N2(t)) est tan-gente à C2 en G(t).

c. Placer les points N1

(

1

5

)

, N2

(

1

5

)

et G

(

1

5

)

et la tangente à C2 en G

(

1

5

)

.

A.BENHARI 183


Feuille annexe à rendre avec la copie

10

A1 A2

x

y

A0 A3

T

1

1

C2

A.BENHARI 184


BTS Groupement A 2002


La fonction échelon unité U est définie par

U (t)= 0 si t < 0 et U (t) = 1 si t > 0.

On considère le système « entrée - sortie »représenté ci-dessous :

e(t) s(t)

On note s le signal de sortie associé au signal d’entrée e. Les fonctions s et e sontdes fonctions causales, c’est-à-dire qu’elles sont nulles pour t < 0. On admet que lesfonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S etE .La fonction de transfert H du système est définie par : S(p)= H(p)×E (p).On considère le signal d’entre e défini par :

e(t) = tU (t)−2U (t −1)− (t −2)U (t −2)

et la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par H(p) =1

p +1.

1. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal.

2. Pour p > 0, déterminer E (p).

3. Déterminer tes nombres réels A, B , et C tels que, pour tout p > 0, on ait :

1

p2(p +1)=

A

p2+

B

p+

C

p +1

On admet que :2

p(p +1)=

2

p−

2

p +1

4. a. Déterminer S(p) puis s(t).

b. En déduire que la fonction s est définie par :

s(t) = 0 si t < 0s(t) = t −1+e−t si 06 t < 1s(t) = t −3+e−t (1+2e) si 16 t < 2s(t) = e−t

(

1+2e−e2)

si t > 2

5. On rappelle que la notation f(

a+)

représente la limite de la fonction f lorsquela variable t tend vers a par valeurs supérieures : f

(

a+)

= limt→at>a

f (t). De même,

f (a−) = limt→at<a

f (t).

a. Calculer s(

1+)

, s (1−) , s(

2+)

, s (2−). Que peut-on en conclure pour lafonction s lorsque t = 1 et t = 2 ?

b. Calculer s′(t) sur chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 2[ et ]2 ; +∞[.

On admet que s′ est strictement positive sur ]0 ; 1[∪ ]2 ; +∞[.

Déterminer le signe de s′(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[.

c. Calculer la valeur exacte de s [ln(1+2e)]. Déterminer limt→+∞

s(t) et dresser

le tableau des variations de la fonction s sur ]0 ; +∞[.

A.BENHARI 185


d. Calculer s′(

1+)

, s′ (1−) , s′(

2+)

, s′ (2−). On admet que ces nombres sontrespectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite età gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe Γ représen-tative de la fonction s.

6. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal(

O,−→ı ,

−→

)

d’unités

graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonnées.

a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numé-riques seront données à 10−2 près.

t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5

s(t)

b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbeΓ représentativede la fonction s aux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbe Γ.

EXERCICE 2 8 points

On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d’en déterminerune solution particulière.

(S)

x′(t)+2y(t) = −2sin t (E1)2x(t)− y ′(t) = −2cos t (E2)

Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable réelle t , deux fois dérivables surR.

Partie A

1. Montrer en utilisant les équations (E1) et (E2) que la fonction x vérifie, pourtout t dans R, l’équation différentielle :

x′′(t)+4x(t) =−6cos t (E )

2. Résoudre sur R l’équation différentielle (E ). En déduire les solutions du sys-tème (S).

3. Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions ini-tiales x(0) =−1 et y(0) = 0.

Partie B

On considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique

x = f (t) = cos(2t)−2cos t

y = g (t) = sin(2t)−2sin t

où t est un réel appartenant à l’intervalle [−π ; +π].

1. Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculant f (−t) etg (−t).

2. a. Calculer f ′(t).

Montrer que : f ′(t) =−4sin

(

t

2

)

cos

(

3t

2

)

.

b. Établir le signe de f ′(t) sur l’intervalle [0 ; π].

3. On admet que g ′(t) =−4sin

(

t

2

)

sin

(

3t

2

)

et que le signe de g ′ est donné par le

tableau suivant :

A.BENHARI 186


t 0 2π3 π

Signe de g ′(t) 0 − 0 +

Dresser sur l’intervalle [0 ; π] le tableau des variations conjointes des fonctionsf et g .

4. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux points B ,

C et D de paramètre respectifs tB =π

3, tC =

2π

3et tD = π.

5. Le plan P est rapporté à un repère(

O,−→ı ,

−→

)

d’unité graphique 2 cm.

On admet que la tangente à la courbe (Γ) au point A de paramètre tA = 0 a

pour vecteur directeur−→i . Tracer les tangentes aux points A, B , C et D puis la

courbe (Γ).

A.BENHARI 187


BTS Groupement A 2003


Le but de cet exercice est de déterminer les premiers coefficients de Fourier et les prin-

cipales harmoniques d’un signal.

Partie A

Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales :

In =∫π

π2

cos(nx) dx et Jn =∫ π

2

0x cos(nx) dx

1. Montrer que In =−1

nsin n

π

2.

2. À l’aide d’une intégration par partie, montrer que

Jn =π

2nsin

(

nπ

2

)

+1

n2cos

(

nπ

2

)

−1

n2

3. Déterminer I1, I2 et I3, puis J1, J2 et J3.

Partie B

Soit f la fonction numérique définie sur R, paire, périodique de période 2π, telleque :

si 06 t 6 π2 , f (t)=

2E

πt

siπ

2< t 6π, f (t) = E

où E est un nombre réel donné, strictement positif.

1. Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonctionf sur l’intervalle [−π ; +π] (on prendra E = 2 uniquement pour construire lacourbe représentant f ).

2. Soit a0 et pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, an et bn les coefficientsde Fourier associés à f .

a. Calculer a0.

b. Pour tout n > 1, donner la valeur de bn .

c. En utilisant la partie A, vérifier que pour tout n > 1, an =2E

π2 (2Jn +πIn ).

Calculer a4k pour tout entier k > 1.

Partie C

1. Déterminer les coefficients a1, a2, a3.

2. Calculer F 2, carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période.

On rappelle que dans le cas où f est paire, périodique de période T , on a :

F 2 =2

T

∫ T2

0f 2(t) dt

3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

F 2 = a20 +

+∞∑

n=1

a2n +b2

n

2

Soit P le nombre défini par P = a20 +

1

2

(

a21 +a2

2 +a23

)

.

A.BENHARI 188


Calculer P , puis donner la valeur décimale arrondie au millième du rapportP

F 2.

Ce dernier résultat très proche de 1, justifie que dans la pratique, on peut négli-

ger les harmoniques d’ordre supérieur à 3.


On note j le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2.

On considère la fonction H définie, pour tout nombre complexe p distinct de 0 et de−1, par :

H(p) =1

p(p +1).

Dans toute la suite de l’exercice on prend p = jω, où ωdésigne un réel strictementpositif.

1. On note r (ω) le module du nombre complexe H(jω) et on considère la fonc-tion G définie, pour tout réel ω par :

G(ω) =20

ln 10ln r (ω).

a. Montrer que G(ω)=−20

ln 10ln

(

ωp

1+ω2)

.

b. Déterminer les limites de la fonction G en 0 et en +∞.

Montrer que la fonction G est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.

2. a. Montrer qu’un argument ϕ(ω) de H( jω) est :

ϕ(ω) =−π

2−arctanω

b. Étudier les variations de la fonction ϕ sur ]0 ; +∞[ (on précisera les li-mites en 0 et en +∞).

3. On considère la courbe C définie par la représentation paramétrique :

x(ω) =−π

2−arctanω

y(ω) =−20

ln 10ln

(

ωp

1+ω2) pour ω strictement positif.

a. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions x et y .

b. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des va-leurs décimales arrondies au centième) :

ω 0,5 0,7 0,786 0,9 1,5x(ω) −2,24y(ω) 0

c. Tracer la courbe C dans un repère orthogonal, on prendra pour unitésgraphiques 5 cm sur l’axe des ordonnées.

La courbe C correspond au diagramme de Black associé à la fonction de transfert H.

A.BENHARI 189


Brevet de technicien supérieurGroupement A session 2004

Exercice 1 8 points

Les questions 1,2 et 3 peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformessi leur longueur est comprise entre 79,8 mm et 80,2 mm.

1. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa lon-gueur en mm.

On admet que la variable L suit une loi normale de moyenne 80 et d’écart type0,0948.

On prélève une pièce au hasard dans la production.

Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la probabi-lité que cette pièce soit conforme.

2. On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la pro-babilité que cette pièce ne soit pas conforme, est p = 0,035.

a. On note X , la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défec-tueuses dans un lot de 100 pièces. Les pièces sont prélevées au hasard etle tirage est assimilé à un tirage avec remise.

Justifier que X suit une loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,035.

b. Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des évènements "X = k" pourk variant de 0 à 9, à l’exception de l’évènement "X = 2".

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P(X = k) 0,0284 0,1029 0,2188 0,1924 0,1340 0,0770 0,0375 0,0158 0,0059

On considère les évènements :

A : « le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à 2 » ;B : « le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à2 ».

Calculer P (A) au dix millième près, puis P (B) au millième près.

c. Un lot de 100 pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s’il contientau plus 4 pièces défectueuses.

En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la pro-babilité que le client refuse ce lot.

d. En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite valeur entièren telle que :

P (X > n) < 0,03

3. L’entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on pro-jette de changer le processus de fabrication des pièces.

On définit alors une nouvelle variable L1 qui à chaque pièce à construire selonle nouveau processus associera sa longueur en mm.

La variable aléatoire L1 suit une loi normale de moyenne m = 80 et d’écarttype σ′.

Déterminer σ′ pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future pro-duction, la probabilité d’obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99.

A.BENHARI 190


Exercice 1 8 pointsPour les spécialités Contrôle industriel et régulation automatique, électronique,Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire

Dans tout cet exercice, le nombre n est un entier relatif.La suite n 7→ e(n) représente l’échelon discrétisé causal défini par :

e(n) = 0 pour n < 0e(n) = 1 pour n > 0

On considère un filtre numérique dans lequel le signal d’entrée est n 7→ e(n) et lesignal de sortie est un signal discret causal noté n 7→ x(n).Ce filtre est régi par l’équation récurrente :

x(n)−2x(n−1) = e(n) (E )

Partie 1

Dans cette partie, on résout l’équation récurrente (E ) sans utilisation de la transfor-mation en Z .

1. a. Justifier que x(0) = 1.

b. Calculer x(1), x(2) et x(3).

2. Pour tout entier naturel n l’équation (E ) s’écrit :

x(n)−2x(n−1) = 1 (E )

a. On considère la suite y définie pour tout entier naturel n par :

y(n) = x(n)+1

Montrer que la suite y est une suite géométrique de raison 2.

Donner l’expression de y(n) en fonction de de l’entier naturel n.

b. En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de x(n). Vérifier quel’on retrouve les mêmes valeurs de x(0), x(1), x(2) et x(3) qu’à l’équation1.

Partie 2

Dans cette partie on résout l’équation récurrente (E ) en utilisant la transformationen Z .

1. On rappelle que x(0) = 1.

On se place dans le cas où n ≥ 1 et on admet que le signal n 7→ x(n), solutionde l’équation récurrente (E ), a une transformation en Z notée (Z x)(z).

a. Montrer que pour tout z différent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Z x)(z)=z2

(z −1)(z −2)

b. Montrer que pour tout z différent de 0, de 1 et de 2 on a :

(Z x)(z)

z=

−1

z −1+

2

z −2

c. En déduire par lecture inverse du dictionnaire d’images, le signal de sor-tie n 7→ x(n) pour n ≥ 1.

2. Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers n tels que−2 6 n 6 3, le signal de sortie n 7→ x(n). Prendre comme unités graphiques2 cm sur l’axe des abscisses et 0,5 cm sur l’axe des ordonnées.

A.BENHARI 191


Exercice 2 12 pointsPour toutes les spécialités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

e(t) s(t)

Dans le système représenté ci-dessus, e et s sont respectivement les signaux d’entréeet de sortie, causaux (nuls pour t négatif).On suppose que le système est régi par l’équation différentielle :

LCd2s

dt2(t)+RC

ds

dt(t)+ s(t)= e(t) (1)

L, R et C sont des constantes réelles strictement positives. De plus à l’instant initial :

s(0+) = 0 etds

dt(0+) = 0

Partie A

On suppose que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace notéesrespectivement E et S.

1. La fonction de transfert H du système est définie par S(p)= H(p)×E (p).

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équation(1), exprimer H(p) en fonction de L, R et C .

2. On suppose que e(t)=U (t −1)−U (t −2)

où U est la fonction échelon unité :

U (t)= 0 si t < 0U (t)= 1 si t ≥ 0

a. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère du plan.

b. Déterminer E (p).

3. Dans la suite de l’exercice, on considère que L = 2, R = 1000 et C = 2.10−6 .

a. Vérifier que H(p) =5002

(p +250)2 +(

250p

3)2

.

b. On admet que :

1

pH(p) =

1

p−

p +250

(p +250)2 +(

250p

3)2

−250

(p +250)2 +(

250p

3)2

Déterminer l’original h1 de la fonction p 7→1

pH(p).

Exprimer s(t) à l’aide de h1(t).

c. Donner l’expression de s(t) sur chacun des intervalles ]−∞,1[, [1,2[ et[2,+∞[.

Partie B

On rappelle que H(p) =5002

(p +250)2 +(

250p

3)2

.

1. On considère la fonction r définie pour tout réel ω> 0 par :

r (ω) = H(jω)

où j est le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2.

Montrer que r (ω)=5002

pω4 −5002ω2 +5004

.

A.BENHARI 192


2. On considère la fonction f définie pour tout réel ω> 0 par :

f (ω) =ω4 −5002ω2 +5004

Montrer que f ′(ω) = 4ω(

ω−250p

2)(

ω+250p

2)

.

3. Montrer que r ′(ω) est du signe de − f ′(ω).

4. En déduire que r (ω) est maximal pour une valeur deω0 de ω. Donner la valeurde ω0 et calculer r (ω0).

La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le système étudié en ré-

gime harmonique.

A.BENHARI 193


Brevet de technicien supérieurGroupement A session 2005

Exercice 1 9 points

Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL

1. Soit la fonction numérique g définie sur [0;π] par

g (t)= (1+cos2 t)sin2 t .

a. Montrer que g ′(t) = 4sin t cos3 t .

b. En déduire les variations de g sur [0 ; π].

2. Soit la fonction numérique f définie sur R, paire, périodique de période 1 telleque :

f (t) =1

2−τ si 06 t 6 τ

f (t) = −τ si τ6 t 61

2

où τest un nombre réel tel que 0 < τ<1

2

a. Uniquement dans cette question, on prendra τ=1

6.

Représenter la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 1] dans un repère ortho-normal.

b. On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet.Soit S le développement en série de Fourier associé à la fonction f .Montrer que :

S(t)=+∞∑

n=1

1

nπsin(2nπτ)cos(2nπt)

3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à 2.

Soit la fonction numérique h définie sur R par :

h(t) =1

πsin(2πτ)cos(2πt)+

1

2πsin(4πτ)cos(4πt)

On désigne par E 2h

le carré de la valeur efficace de h sur une période.

a. À l’aide de la formule de Parseval, déterminer E 2h

.

b. Montrer que E 2h=

1

2π2g (2πτ).

4. Déterminer la valeur de τ rendant E 2h

maximal.


Toutes spécialités

L’exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.

Partie A

Un embrayage vient appliquer, à l’instant t = 0, un couple résistant constant sur unmoteur dont la vitesse à vide est de 150 rad/s.On note ω(t), la vitesse de rotation du moteur à l’instant t .La fonction ω est solution de l’équation différentielle :

1

200y ′(t)+ y(t)= 146 (1)

où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive t .

A.BENHARI 194


1. a. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (1).

On cherchera une solution particulière constante.

b. Sachant que ω(0) = 150, montrer que ω(t) = 146+4e−200t pour tout t ∈[0 ; +∞[.

2. a. On note ω∞ = limt→+∞

ω(t). Déterminer la perte de vitesse ω(0)−ω∞. due

au couple résistant.

b. On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l’écart relatifω(t)−ω∞

ω∞est inférieur à 1 %.

Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse.

On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième.

Partie B

La vitesse du moteur étant stabilisée, on s’intéresse dans cette deuxième partie àl’effet d’une perturbation γ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur.On note f (t) la différence, à l’instant t , entre la vitesse perturbée du moteur et savitesse stabilisée.La fonction f est solution de l’équation différentielle :

1

200f ′(t)+ f (t) = γ(t) avec f (0+) = 0 (2)

On admet que la fonction f possède une transformée de Laplace notée F .La fonction γ est définie par :

γ(t)= K [U (t)−U (t −τ)]

où τ et K sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et U est lafonction échelon unité (U (t)= 0 si t < 0 et U (t)= 1 si t > 0 ).

1. a. Représenter la fonction γ pour τ= 0,005 et K = 0,2.

b. Déterminer, en fonction de τ et K , la transformée de LaplaceΓde la fonc-tion γ.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équationdifférentielle (2), déterminer F (p).

3. a. Déterminer les réels a et b tels que :

200

p(p +200)=

a

p+

b

p +200

pour tout réel p strictement positif.

b. En déduire l’original f de la fonction F . On vérifiera notamment que :

f (t) = K (1−e−200t ) si t ∈ [0 ; τ[f (t) = K (e200τ−1)e−200t si t ∈ [τ ; +∞[

c. Donner le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles[0 ; τ[ et [τ ; +∞[.

Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ces deux inter-valles.

d. Représenter la fonction f pour τ= 0,005 et K = 0,2.

On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions γ et f dans lemême repère.

A.BENHARI 195


Brevet de technicien supérieurGroupement A 2006


Le but de cet exercice est d’étudier quelques propriétés d’un filtre numérique N etde comparer des effets de ce filtre avec ceux d’un filtre analogique A.

Partie I

On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement néga-tif.

Soient x(n) et y(n) les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causauxreprésentant, respectivement, l’entrée et la sortie d’un filtre numérique N . Ce filtreest conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a :

y(n)− y(n−2) = 0,04 x(n−1).

1. On note Z x et Z y les transformées respectives des signaux causaux x et y .Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1 et 1, on a :

(

Z y)

(z)=0,04z

(z −1)(z +1)(Z x) (z)

2. On suppose que le signal d’entrée est l’échelon unité discret :

x(n) = e(n) avec e(n) =

0 si n < 01 si n ≥ 0

a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1 et 1, on a :

(

Z y)

(z)=0,04z2

(z −1)2(z +1)

b. Calculer les constantes réelles A, B et C telles que :

0,04z

(z −1)2(z +1)=

A

(z −1)2+

B

z −1+

C

z +1

c. En remarquant que :

(

Z y)

(z)

z=

0,04z

(z −1)2(z +1)

montrer que, pour tout entier n positif ou nul, on a :

y(n)= 0,02n+0,01(

1− (−1)n)

d. Déterminer y(2k) puis y(2k +1) pour tout nombre entier naturel k.

e. En déduire que pour tout nombre entier naturel k, on a : y(2k + 1) =y(2k +2).

f. Représenter graphiquement les termes du signal causal y lorsque le nombreentier n est compris entre −2 et 5.

A.BENHARI 196


Partie II

On rappelle que la fonction échelon unité, notée U , est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0

Soit la fonction f définie pour tout nombre réel t par :

f (t) = sin(20t)U (t)

On note F la transformée de Laplace de la fonction f . Le signal de sortie du filtreanalogique A est représenté par la fonction s dont la transformée de Laplace S esttelle que :

S(p)=F (p)

p

1. Justifier que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a :

s(t)=∫t

0f (u)du

2. En déduire que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a :

s(t)=1−cos(20t)

20

3. Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonc-tion s.

4. Tracer, sur le graphique du document réponse, l’allure de la courbe représen-tative de la fonction s.

Il n’est pas demandé d’étudier la fonction s.

La figure du document réponse montre une simulation du résultat obtenu ensortie du filtre numérique soumis à une version échantillonnée de la fonctionf , lorsque la période d’échantillonnnage est 0,02.

A.BENHARI 197


Document à rendre avec la copie

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

A.BENHARI 198


Exercice 1 - Spécialités électrotechnique, Génie optique, TPIL - (sur11 points)

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A

Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriquépeut présenter deux défauts que l’on appellera défaut a et défaut b.On prélève un appareil au hasard dans la production d’une journée.On note A l’évènement : « l’appareil présente le défaut a » et B l’évènement : « l’ap-pareil présente le défaut b ».Les probabilités des évènements A et B sont P (A)= 0,03 et P (B) = 0,02 ; on supposeque ces deux évènements sont indépendants.

1. Calculer la probabilité de l’évènement E1 : « l’appareil présente le défaut a etle défaut b ».

2. Calculer la probabilité de l’évènement E2 : « l’appareil est défectueux, c’est-à-dire qu’il présente au moins un des deux défauts ».

3. Calculer la probabilité de l’évènement E3 : « l’appareil ne présente aucun dé-faut ».

4. Sachant que l’appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu’il présenteles deux défauts ?

Le résultat sera arrondi au millième.

Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième.

Partie B

Les appareils sont conditionnés par lots de 100 pour l’expédition aux distributeursde pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de 100 appareils dans laproduction d’une journée. La production est suffisamment importante pour quel’on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 appareils.Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l’ap-pareil soit défectueux est 0,05.On considère la variable aléatoire X1 qui, à tout prélèvement de 100 appareils, asso-cie le nombre d’appareils défectueux.

1. a. Justifier que la variable aléatoire X1 suit une loi binomiale dont on pré-cisera les paramètres.

b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire X1.

2. On suppose que l’on peut approcher la loi de X1 par une loi de Poisson deparamètre λ.

a. On choisit λ= 5 ; justifier ce choix.

b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu’il y ait au plusdeux appareils défectueux dans un lot.

Partie C

Les appareils sont aussi conditionnés par lots de 800 pour l’expédition aux usinesde montage. On prélève au hasard un lot de 800 appareils. On considère la variablealéatoire X2 qui, à tout prélèvement de 800 appareils, associe le nombre d’appareilsdéfectueux. On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X2 par la loi nor-male de moyenne 40 et d’écart-type 6,2.

1. Déterminer la probabilité qu’il y ait au plus 50 appareils défectueux dans lelot.

2. Déterminer le réel x tel que P (X2 > x) = 0,01.En déduire, sans justification, le plus petit entier k tel que la probabilité que lelot comporte plus de k appareils défectueux soit inférieure à 0,01.

A.BENHARI 199


Exercice 2 - Toutes spécialités (sur 9 points)Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Soient α et β deux nombres réels.Soit f une fonction périodique de période 1, définie sur l’intervalle [0 ; 1[ par f (t) =αt +β.On appelle a0, an et bn les coefficients de Fourier associés à la fonction f .

1. Montrer que a0 =α

2+β.

2. Montrer que bn =−α

nπpour tout nombre entier naturel n non nul.

On admet que an = 0 pour tout entier naturel n non nul.

3. On se propose de déterminer les nombres réels α et β pour que le développe-ment S en série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout nombre réel t

par S(t)=+∞∑

n=1

1

nsin(2nπt).

a. Déterminer les nombres réels α et β tels que a0 = 0 et bn =1

n.

En déduire l’expression de la fonction f .

b. Représenter la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 2] dans un repère ortho-gonal.

Partie B

On veut résoudre l’équation différentielle :

s"(t)+ s(t) = f (t)

On admet que l’on obtient une bonne approximation de la fonction s en remplaçantf (t) par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonction f

obtenus dans la partie A, c’est-à-dire par :

sin(2πt)+1

2sin(4πt)

Soit (E) l’équation différentielle :

s"(t)+ s(t) = sin(2πt)+1

2sin(4πt)

1. Vérifier que la fonction s1 définie pour tout nombre réel t par :

s1(t) =1

1−4π2sin(2πt)+

1

2(1−16π2)sin(4πt)

est solution de l’équation différentielle (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E).

A.BENHARI 200

A.P

.M.E

.P.

Brevet de technicien supérieur session 2007Groupement A


On s’intéresse à un système entrée-sortie susceptible d’être contrôlé.Dans la partie A, on étudie le système en l’absence de contrôle.Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie A

On considère l’équation différentielle (E1) suivante :

1

2y ′(t)+ y(t)= 10−β (E1)

où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.

1. Montrer que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t) = 10−β estsolution de l’équation différentielle (E1).

2. Résoudre l’équation différentielle (E1).

3. Montrer que la fonction f , solution de l’équation différentielle (E1) et qui vé-rifie f (0) = 10 est définie sur R par f (t) =βe−2t +10−β.


f (t) que l’on note f∞.

Partie B

On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U (t)= 0 si t < 0

U (t)= 1 si t ≥ 0

et qu’une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombreréel strictement négatif.

On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E2) suivante :

1

2g ′(t)+ g (t)= 13

∫t

0[10U (u)− g (u)]du+ (10−β)U (t) (E2)

et la condition g (0)= 10.

On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.

1. Montrer que la transformée de Laplace I de la fonction i définie par :

i (t)= 13∫t

0[10U (u)− g (u)]du

est telle que

I (p) =130

p2−13

G(p)

p.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation(E2), déterminer une expression de G(p).

3. Vérifier que G(p)=10

p−

2β

(p +1)2 +52.

A.BENHARI 201


4. Dans cette question, on va déterminer limt→+∞

g (t), que l’on note g∞ et qui est

la valeur finale du signal représenté par la fonction g .On rappelle que, d’après le théorème de la valeur finale, g∞ = lim

p→0+pG(p).

Déterminer g∞.

5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombreréel t associe e−t sin(5t)U (t).

b. En déduire l’expression de g (t).

Partie C

Dans cette partie, on prend β= 5.

En annexe 1, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l’intervalle [0 ; +∞[, lescourbes C f et Cg représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et Bavec β= 5.On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul :f (t)= 5e−2t +5 et g (t)= 10−2e−t sin(5t).On rappelle que f∞ et g∞ sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞.On a donc : f∞ = 5 et g∞ = 10.

1. a. Vérifier que pour tout nombre réel t positif ou nul on a :f (t)− f∞

f∞= e−2t .

b. Soit t1 le nombre réel tel que :

f (t)− f∞f∞

6 0,02 pour tout t ≥ t1.

Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approchée de t1 arrondieau dixième.

2. Soit t2 le nombre réel tel que :

−0,02 6g (t)− g∞

g∞6 0,02 pour tout t > t2.

Graphiquement, déterminer une valeur approchée de t2, arrondie au dixième.

Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre detout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur10 indépendamment de la perturbation β, au prix d’une détérioration du temps deréponse du système et de l’apparition d’oscillations amorties.

Exercice 2 8 points

On désigne par j le nombre complexe de module 1 dont un argument estπ

2.

On considère un filtre dont la fonction de transfert T est définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par

T (ω) =−jωk

1− jω

2

.

Le nombre k est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et 1.En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont lafonction de transfert H est définie sur ]0 ; +∞[ par :

H(ω) = (T (ω))3 .

A.BENHARI 202


1. On note r (ω) le module de H(ω).On a donc : r (ω)= |H(ω)|.

a. Montrer que le module de T (ω) estkω

√

1+ω2

4

.

b. En déduire r (ω).

2. a. Justifier qu’un argument de (−jω)3 estπ

2.

Justifier qu’un argument de 1− jω

2est −arctan

(ω

2

)

.

En déduire qu’un argument de H(ω), notée ϕ(ω), est défini sur ]0 ; +∞[par :

ϕ(ω)=π

2+3arctan

(ω

2

)

.

b. On note ϕ′ la dérivée de la fonction ϕ. Calculer ϕ′(ω).

Déterminer le signe de ϕ′ sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

c. Déterminer les limites de la fonction ϕ en 0 et +∞.

3. Dans le tableau ci-après on donne les variations de la fonction r sur l’inter-valle ]0 ; +∞[.

Recopier et compléter ce tableau en utilisant les résultats obtenus dans laquestion 2.

ω

r ′(ω)

r (ω)

ϕ(ω)

ϕ′(ω)

0 +∞

8k3

0

+

4. Dans cette dernière question, on se place dans le cas où k = 0,9.

Lorsque ω décrit l’intervalle ]0 ; +∞[, le point d’affixe H(ω) décrit une courbeC .

En annexe 2, à rendre avec la copie, la courbe C est tracée dans le plan com-plexe.

On note ω0 la valeur de ω pour laquelle le module de H(ω) est égal à 1.

a. Placer précisément le point M0 d’affixe H(ω0) sur le document réponsedonné en annexe 2.

b. Calculer une valeur arrondie à 10−2 près du nombre ω0, puis de ϕ(ω0).

A.BENHARI 203


Annexe 1Document réponse à rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1

1 2 3 4−1 0

A.BENHARI 204



1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2

C

A.BENHARI 205

Brevet de technicien supérieur session 2007Groupement A1

Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire

A.P

.M.E

.P.


On s’intéresse à un système entrée-sortie susceptible d’être contrôlé.Dans la partie A, on étudie le système en l’absence de contrôle.Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle.Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie A

On considère l’équation différentielle (E1) suivante :

1

2y ′(t)+ y(t)= 10−β (E1)

où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.

1. Montrer que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t) = 10−β estsolution de l’équation différentielle (E1).

2. Résoudre l’équation différentielle (E1).

3. Montrer que la fonction f , solution de l’équation différentielle (E1) et qui vé-rifie f (0) = 10 est définie sur R par f (t) =βe−2t +10−β.


f (t) que l’on note f∞.

Partie B


U (t)= 0 si t < 0

U (t)= 1 si t ≥ 0

et qu’une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle pour tout nombreréel strictement négatif.

On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E2) suivante :

1

2g ′(t)+ g (t)= 13

∫t

0[10U (u)− g (u)]du+ (10−β)U (t) (E2)

et la condition g (0)= 10.

On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.

1. Montrer que la transformée de Laplace I de la fonction i définie par :

i (t)= 13∫t

0[10U (u)− g (u)]du

est telle que

I (p) =130

p2−13

G(p)

p.

2. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation(E2), déterminer une expression de G(p).

3. Vérifier que G(p)=10

p−

2β

(p +1)2 +52.

A.BENHARI 206


4. Dans cette question, on va déterminer limt→+∞

g (t), que l’on note g∞ et qui est

la valeur finale du signal représenté par la fonction g .On rappelle que, d’après le théorème de la valeur finale, g∞ = lim

p→0+pG(p).

Déterminer g∞.

5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombreréel t associe e−t sin(5t)U (t).

b. En déduire l’expression de g (t).

Partie C

Dans cette partie, on prend β= 5.

En annexe 1, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l’intervalle [0 ; +∞[, lescourbes C f et Cg représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et Bavec β= 5.On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul :f (t)= 5e−2t +5 et g (t)= 10−2e−t sin(5t).On rappelle que f∞ et g∞ sont les limites respectives des fonctions f et g en +∞.On a donc : f∞ = 5 et g∞ = 10.

1. a. Vérifier que pour tout nombre réel t positif ou nul on a :f (t)− f∞

f∞= e−2t .

b. Soit t1 le nombre réel tel que :

f (t)− f∞f∞

6 0,02 pour tout t ≥ t1.

Calculer la valeur exacte de t1, puis une valeur approchée de t1 arrondieau dixième.

2. Soit t2 le nombre réel tel que :

−0,02 6g (t)− g∞

g∞6 0,02 pour tout t > t2.

Graphiquement, déterminer une valeur approchée de t2, arrondie au dixième.

Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre detout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale.On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur10 indépendamment de la perturbation β, au prix d’une détérioration du temps deréponse du système et de l’apparition d’oscillations amorties.

Exercice 2 8 points

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.

Le fournisseur d’accès Internet Mathoile propose des abonnements comportant lafourniture d’un modem ADSL. On appelle p la proportion de modems défectueuxparmi ceux fournis aux clients.Dans tout l’exercice, on considère que p est aussi la probabilité pour un client donnéde recevoir un modem défectueux.Une association de consommateurs lance une enquête auprès des abonnés à sa re-vue pour estimer leur degré de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. Onappelle p ′ la proportion de modems défectueux parmi ceux qui ont été fournis auxabonnés à la revue, clients de Mathoile.

Partie A : estimation de p ′

Parmi les réponses à l’enquête reçues par l’association, 428 concernent des abon-nés, clients du fournisseur d’accès Mathoile. Sur ces 428 abonnés, 86 déclarent avoirreçu un modem défectueux.

A.BENHARI 207


1. On note fe la proportion de modems défectueux chez les abonnés, égalementclients de Mathoile, ayant répondu à l’enquête.

Donner la valeur exacte de fe , puis sa valeur arrondie au centième.

2. Soit F la variable aléatoire qui, à un lot de n modems, pris au hasard parmiceux fournis par Mathoile dans la population des abonnés à la revue, associela fréquence d’appareils défectueux.

On peut admettre, n étant assez grand, que la variable aléatoire F suit une loi

normale de moyenne p ′ et d’écart type σ=

√

p ′ (1−p ′)

n.

Dans cette situation, l’écart type σ de la variable aléatoire F peut être appro-

ché par

√

fe

(

1− fe

)

n.

Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : « le grand nombrede réponses reçues à notre enquête par les abonnés à notre revue, clients deMathoile, est un échantillon pris au hasard dans l’ensemble de nos abonnésqui ont reçu un modem Mathoile ». Dans cette hypothèse, déterminer un in-tervalle de confiance de p ′,avec un coefficient de confiance de 0,95.

Partie B : test de validité d’hypothèse

Le fournisseur d’accès Mathoile réfute que l’estimation de la proportion p ′ de mo-dems défectueux obtenue dans la partie A puisse s’appliquer à l’ensemble de sa pro-duction.Il considère en effet que l’échantillon des personnes qui ont répondu à l’enquêten’est pas représentatif de sa clientèle.Ce fournisseur contacte alors un organisme indépendant qui procède à son tour àune enquête en interrogeant 400 clients Mathoile choisis de manière aléatoire.

On appelle G la variable aléatoire qui, à un échantillon de 400 modems, associe lafréquence d’appareils défectueux dans cet échantillon. À partir de cette enquête, onsouhaite tester, au seuil de 5 %, l’hypothèse nulle H0 : « la probabilité p est égale à0,16 » contre l’hypothèse alternative H1 : « la probabilité p est inférieure à 0,16 ».

1. On peut supposer, sous l’hypothèse nulle, que G suit une loi normale de moyenne

0,16 et d’écart type s =√

0,16(1−0,16)

400.

Soit a le nombre réel tel que : p(G < 0,16−a) = 0,05.

Montrer qu’une valeur arrondie à 10−1 du nombre a est égale à 0,030.

2. Énoncer la règle de décision du test.

3. Sur 400 personnes interrogées, 48 déclarent avoir reçu un modem défectueux.Quelle est la conclusion du test ?

L’estimation de la partie A repose sur un échantillon non aléatoire et, sans doute, pas

représentatif des clients du fournisseur Mathoile.

En revanche, dans la partie B, la méthodologie de construction du test est acceptable.

A.BENHARI 208



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−1

1 2 3 4−1 0

A.BENHARI 209



1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4 5 6 7−1−2

C

A.BENHARI 210


Brevet de technicien supérieur session octobre 2006Groupement A Nouvelle–Calédonie

Exercice 1 8 pointsOn considère la fonction ϕ définie sur R, 2π-périodique, et telle que :

ϕ(t) = t si 06 t <π

ϕ(t) = 0 si π6 t < 2π

On note S(t) développement de Fourier associé à la fonction ϕ ; les coefficients deFourier associés à la fonction ϕ sont notés a0, an , bn où n est un nombre entiernaturel non nul.

1. Représenter graphiquement la fonction ϕ sur l’intervalle [−2π ; 4π].

2. a. Calculer a0, la valeur moyenne de la fonction ϕ sur une période.

b. On rappelle que pour une fonction f , périodique de période T le carré de

la valeur efficace sur une période est donné par : µ2eff =

1

T

∫T

0[ f (t)]2 dt .

Montrer que µ2eff le carré de la valeur efficace de la fonction sur une pé-

riode est égal àπ2

6.


πn2[cos(nπ)−1].

On admet que, pour tout nombre entier n > 1, on a : bn =−cos(nπ)

n.

4. On considère la fonction S3 définie sur R par :

S3(t)= a0 +3

∑

n=1[an cos(nt)+bn sin(nt)]

où les nombres a0 , an ,bn sont les coefficients de Fourier associes à la fonctionϕ définie précédemment.

a. Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficientsdemandés.

a0 a1 b1 a2 b2 a3 b3

−2

9π

1

3

b. Calculer la valeur exacte de S3

(π

4

)

puis donner la valeur approchée de

ϕ(π

4

)

−S3

(π

4

)

arrondie à 10−2.

5. On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeurefficace µ2

3 de la fonction S3.

µ23 = a2

0 +1

2

[

a21 +b2

1 +a22 +b2

2 +a23 +b2

3

]

a. Calculer la valeur exacte de µ23.

b. Calculer la valeur approchée deµ2

3

µ2eff

arrondie à 10−2.

Exercice 2 12 pointsDans ce problème, on s’intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l’équa-tion différentielle suivante :

A.BENHARI 211


s′(t)+ s(t) = e(t)s(0) = 0

La fonction e représente l’entrée aux bornes du filtre et la fonction s la sortie.On admet que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace respecti-vement notées E et S. La fonction de transfert H du filtre est définie par :

S(p)= H(p)×E (p).

On rappelle que la fonction échelon unité, notée U , est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0.

Partie A

1. Montrer que : H(p) =1

p +1.

2. La fonction e est définie par : e(t) = tU (t)− (t −1)U (t −1).

a. Représenter graphiquement la fonction e.

b. Montrer que : E (p)=1

p2 (1−e−p ).

c. En déduire S(p).

d. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :

1

p2(p +1)=

a

p+

b

p+

c

p +1

e. En déduire l’original s de S.

f. Vérifier que :

s(t) = 0 si t < 0s(t) = t −1+e−t si 06 t < 1s(t) = 1+ (1−e)e−t si 16 t

3. a. Comparer s (1−) et s(

1+)

.

b. Calculer s′(t) et étudier son signe sur les intervalles ]0 ; 1[ et ]1 ; +∞[.

c. En déduire le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle ]0 : +∞[.

d. Déterminer la limite de la fonction s en +∞.

Partie B

On note j le complexe de module 1 et d’argumentπ

2.

On prend p = jω où ω désigne un nombre réel positif. On a alors : H(jω) =1

1+ jω.

On munit le plan d’un repère orthonormal(

O,−→u ,

−→v

)

d’unité graphique 10 cm.

1. Montrer que l’ensemble (∆) des points m d’affixe z = 1+ jω lorsque ω décritl’intervalle [0 ; +∞[ est une demi-droite que l’on caractérisera.

2. Quel est l’ensemble (C ) des points M d’affixe Z =1

1+ jωlorsque ω décrit l’in-

tervalle [0 ; +∞[ ?

3. Représenter, dans le repère(

O,−→u ,

−→v

)

les ensembles (∆) et (C ).

A.BENHARI 212


Brevet de technicien supérieursession 2008 - groupement A (électrotechnique)


On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par :

U (t) = 0 si t < 0

U (t) = 1 si t > 0

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.

1. On considère la fonction causale e définie sur l’ensemble des nombres réelspar :

e(t) = 4[U (t)−U (t −2)]

a. Tracer la représentation graphique de la fonction e dans un repère or-thonormal.

b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e.Déterminer E (p).

2. On considère la fonction s telle que

4s′(t)+ s(t) = e(t) et s(0) = 0

On admet que la fonction s admet une transformée de Laplace, notée S.Démontrer que :

S(p)=1

p

(

p +1

4

)

(

1−e−2p)

3. Déterminer les réels a et b tels que :

1

p

(

p +1

4

) =a

p+

b

p +1

4

4. Compléter le tableau ci-dessous dans lequel f représente la fonction causaleassociée à F :

F (p)1

p

1

pe−2p 1

p +1

4

1

p +1

4

e−2p

f (t) U (t)

5. a. Déterminer s(t), t désignant un nombre réel quelconque.

b. Vérifier que :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = 4−4e−

t

4 si 06 t < 2

s(t) = 4e−

t

4

e

1

2 −1

si t > 2

6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur l’intervalle [0; 2[.

b. Déterminer limt→2t<2

s(t).

A.BENHARI 213


7. a. Déterminer le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle [2; +∞[.

b. Déterminer limt→+∞

s(t).

8. Tracer la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthonormal.

Exercice 2 9 points

Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par mor-ceaux.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0; 3[.On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que :

f (t) =

E × t si 06 t < 1

(3−E )t +2E −3 si 16 t < 2

3 si 26 t 65

2

Partie A :Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1. Préciser l’écriture de f (t) sur chacun des intervalles [0; 1[, [1; 2[ et

[

2;5

2

]

.

2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−5; 10].

Partie B :

Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeurde E n’est pas spécifiée.On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f .

On note S(t)= a0 ++∞∑

n=1

(

an cos

(

2nπ

5t

)

+bn sin

(

2nπ

5t

))

.

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a0 =

2E +3

5.

2. Déterminer bn pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

∫1

0t cos

(

2nπ

5t

)

dt =5

2nπsin

(

2nπ

5

)

+25

4n2π2

(

cos

(

2nπ

5

)

−1

)

.

b. On a calculé les intégrales∫2

1 f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt et∫

52

2 f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt .

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à1 :

∫

5

20

f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt =25

4n2π2

(

(2E −3)cos

(

2nπ

5

)

+ (3−E )cos

(

4nπ

5

)

−E

)

.

En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 :

an =5

n2π2

(

(2E −3)cos

(

2nπ

5

)

+ (3−E )cos

(

4nπ

5

)

−E

)

.

4. Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelleun l’har-monique de rang n.

On a alors

un (t) = an cos

(

2nπ

5t

)

+bn sin

(

2nπ

5t

)

pour tout nombre réel t .

A.BENHARI 214


a. Montrer qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre réel t .

b. On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 estnulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombreréel t .

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2 près, deE0.

Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinu-

soïdal redressé par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t)= u5(t) = 0 permettra :

s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple

s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes

s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang

impair d’ordre supérieur.

A.BENHARI 215


Brevet de technicien supérieursession 2008 - groupement A2


On considère un système analogique « entrée-sortie » dans lequel le signal d’entréeest représenté par une fonction e et celui de sortie par une fonction s.

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle surl’intervalle ]−∞ ; 0[.

Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu’elles admettent destransformées de Laplace notées respectivement E et S.

On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par :

U (t)= 0 si t < 0

U (t)= 1 si t ≥ 0

1. La fonction de transfert H du système est définie par S(p)= H(p)×E (p).

On suppose, dans le cadre de cette étude, que H(p)=1

1+2pet e(t) =U (t).

a. Déterminer S(p).

b. Déterminer les réels α et β tels que S(p)=α

p+

β

p +1

2

.

c. En déduire s(t).

2. On se propose d’approcher la fonction de transfert analogique H par la fonc-

tion de transfert numérique F telle que F (z)= H

(

101− z−1

1+ z−1

)

= H

(

10z −10

z +1

)

.

L’entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement pardeux signaux causaux discrets x et y , admettant des transformées en Z notéesrespectivement X et Y .

On se place toujours dans le cas où le signal d’entrée du système analogiqueest U (t).

Le signal d’entrée du système analogique est échantillonné au pas de 0,2.

Ainsi, le signal d’entrée x du système numérique est défini par x(n) =U (0,2n)pour tout nombre entier naturel n.

Les transformées en Z des signaux x et y vérifient Y (z)= F (z)×X (z).

a. Montrer que F (z)=z +1

21z −19.

b. Déterminer X (z).

c. Vérifier que Y (z)=z

z −1−

20

21

z

z −19

21

.

En déduire l’expression y(n), pour tout nombre entier naturel n.

3. Compléter, sur l’annexe, à rendre avec la copie, le tableau en donnant desvaleurs approchées à 10−3 près des résultats demandés.

La méthode utilisée dans l’exercice 1, pour discrétiser le système analogique, est sou-

vent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l’exemple étudié, nous ob-

servons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de

sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.

A.BENHARI 216



Spécialités électrotechnique et génie optique

On rappelle que la fonction échelon unité, notée U , est définie sur l’ensemble desnombres réels par

U (t)= 0 si t < 0

U (t)= 1 si t ≥ 0

Une fonction définie sur R est causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.


e(t) = 4[U (t)−U (t −2)]

a. Tracer la représentation graphique de la fonction e dans un repère or-thonormal.

b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e.Déterminer E (p).

2. On considère la fonction s telle que

4s′(t)+ s(t) = e(t) et s(0) = 0

On admet que la fonction s admet une transformée de Laplace, notée S.

Démontrer que :

S(p)=1

p

(

p +1

4

)

(

1−e−2p)

3. Déterminer les réels a et b tels que :

1

p

(

p +1

4

) =a

p+

b

p +1

4

4. Compléter le tableau ci-dessous dans lequel f représente la fonction causaleassociée à F :

F (p)1

p

1

pe−2p 1

p +1

4

1

p +1

4

e−2p

f (t) U (t)

5. a. Déterminer s(t), t désignant un nombre réel quelconque.

b. Vérifier que :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = 4−4e− t4 si 0 ≤ t < 2

s(t) = 4e−t4

(

e12 −1

)

si t ≥ 2

6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur l’intervalle [0 ; 2[.

b. Déterminer limt→2t<2

s(t).

7. a. Déterminer le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle [2 ; +∞[.

b. Déterminer limt→+∞

s(t).

8. Tracer la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthonormal.

A.BENHARI 217


Exercice 3 9 points

Dans ce problème, on approche un signal à l’aide d’une fonction affine par mor-ceaux.

On désigne par E un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 3[.On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que :

f (t)=

E × t si 0 ≤ t < 1

(3−E )t +2E −3 si 1 ≤ t < 2

3 si 2 ≤ t ≤5

2

Partie A :Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E = 2.

1. Préciser l’écriture de f (t) sur chacun des intervalles [0; 1[, [1; 2[ et[

2; 52

]

.

2. Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−5; 10].

Partie B :Dans cette partie, on se place dans le cas général, c’est-à-dire dans le cas où la valeurde E n’est pas spécifiée.On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f .


n=1

(

an cos

(

2nπ

5t

)

+bn sin

(

2nπ

5t

))

.

1. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a0 =

2E +3

5.

2. Déterminer bn pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

∫1

0t cos

(

2nπ

5t

)

dt =5

2nπsin

(

2nπ

5

)

+25

4n2π2

(

cos

(

2nπ

5

)

−1

)

.

b. On a calculé les intégrales∫2

1f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt et∫ 5

2

2f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt .

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à1 :

∫ 52

0f (t)cos

(

2nπ

5t

)

dt =25

4n2π2

(

(2E −3)cos

(

2nπ

5

)

+ (3−E )cos

(

4nπ

5

)

−E

)

.

En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 :

an =5

n2π2

(

(2E −3)cos

(

2nπ

5

)

+ (3−E )cos

(

4nπ

5

)

−E

)

.

4. Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 1, on appelle un l’har-monique de rang n.

On a alors un (t) = an cos

(

2nπ

5t

)

+bn sin

(

2nπ

5t

)

pour tout nombre réel t .

a. Montrer qu’au rang 5, u5(t) est nul pour tout nombre réel t .

b. On appelle E0 la valeur de E pour laquelle l’harmonique de rang 3 estnulle, c’est-à-dire la valeur de E telle que u3(t) est nul pour tout nombreréel t .

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10−2 près, deE0.

A.BENHARI 218


Dans ce problème, à l’aide d’un transformateur à diode, on approche un signal sinu-

soïdal redressé par une fonction affine par morceaux.

Un tel signal avec u3(t)= u5(t) = 0 permettra :

s’il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple

s’il est associé à un transformateur, d’éviter les pertes

s’il est associé à un filtre, d’éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair

d’ordre supérieur.

A.BENHARI 219


Annexeà rendre avec la copie

n y(n) t = 0,2n s(t)0 01 0,25 1

10 215 320 425 550 10

A.BENHARI 220


Brevet de technicien supérieurNouvelle–Calédonie novembre 2007 - groupement A

Exercice 1 9 pointsOn considère la fonction numérique paire, 2π-périodique, définie sur l’intervalle[0 ; π] par :

f (t) = cos(t) si 06 t <π

2f (1) = 0 si

π

26 t 6π

On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe representative de la fonc-tion cosinus sur l’intervalle [−π ; 3π].

1. Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonction f surl’intervalle [−π ; 3π].

2. On admet que la fonction f satisfait aux conditions d’application du théorèmede Dirichlet et, par conséquent qu’elle est décomposable en série de Fourier.

On note :

S(t)= a0 +∑

n>1[an cos(nt)+bn sin(nt)]

la série de Fourier associée à la fonction f .

a. Donner la valeur de bn pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1.

b. Calculer a0.

c. Calculer a1.

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

an =1

π

sin[

(n−1)π

2

]

n−1+

sin[

(n+1)π

2

]

n+1

3. On note S1(t) la série de Fourier associée à la fonction f tronquée au rang 1.

On a donc : S1(t)=1

π+

1

2cos t .

À partir de la courbe représentative de la fonction cosinus tracer sur le docu-ment réponse la courbe représentant la fonction S1 sur l’intervalle [−π ; 3π].

On laissera figurer les tracés intermédiaires.

Exercice 2 11 pointsDans cet exercice, on considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombresréels telle que :

f ′′(t)+6

5f ′(t)+ f (t) = 1 pour tout nombre réel t

f (0) = 0f ′(0) = 0

1. Dans cette question on détermine une expression de f (t).

a. Résoudre l’équation différentielle (E)

y ′′(t)+6

5y ′(t)+ y(t)= 0 (E)

dans laquelle y désigne une fonction de la variable réelle t .

A.BENHARI 221


b. En déduire que la fonction f est définie pour tout nombre réel t par :

f (t)= 1−e−35 t

[

cos

(

4

5t

)

+3

4sin

(

4

5t

)]

.

2. Dans cette question on détermine la limite de la fonction f au voisinage de+∞.

a. Justifier que, pour tout nombre réel t , on a :

−e−35 t6 e−

35 t cos

(

4

5t

)

6 e−35 t

b. En déduire que

limt→+∞

e−35 t cos

(

4

5t

)

= 0

c. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

3. a. Calculer f ′(t) pour tout nombre réel t .

b. Montrer que : f ′(t) = 0 équivaut à t =5kπ

4, où k désigne un nombre

entier relatif.

c. On note pour tout nombre entier relatif k, tk =5kπ

4et on pose

Dk =∣

∣ f (tk )−1∣

∣.

Montrer que : Dk = e−34 kπ.

Document-réponse à rendre avec la copie

1

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4

A.BENHARI 222


Brevet de technicien supérieurMétropole–Polynésie session 2009 - groupement A1

Exercice 1 9 points

Cet exercice se compose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment

l’une de l’autre.

On s’intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d’une grande entreprise, prove-

nant de clients dispersés sur le réseau Internet.

La réception de trop nombreuses requêtes est susceptible d’engendrer des problèmes

de surcharge du serveur.

Partie A :

Dans cette partie, on s’intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, aucours de certaines durées jugées critiques.On désigne par τ un nombre réel strictement positif. On appelle X la variable aléa-toire qui prend pour valeurs le nombre de requêtes reçues par le serveur dans unintervalle de temps de durée τ (exprimée en secondes). La variable aléatoire X suitune loi de Poisson de paramètre λ= 500τ.

1. Dans cette question, on s’intéresse au cas où τ= 0,01.

Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au coursd’une durée τ de 0,01 s.

En expliquant votre démarche, détenniner le plus petit entier naturel n0 telque p (X > n0) < 0,05.

Dans cette question, on s’intéresse au cas où τ= 0,2.

On rappelle que la loi de Poisson de paramètre λ = 100 peut être approchéepar la loi normale de moyenne µ= 100 et d’écart type σ= 10.

En utilisant cette approximation, calculer :

a. la probabilité P (X > 120) ;

b. une valeur approchée du nombre réel positif a tel que P (100− a 6 X 6

100+a) = 0,99.

Partie B :

Dans cette partie, on considère :– d’une part, que la probabilité pour le serveur de connaître des dysfonctionne-

ments importants au cours d’une journée donnée est p = 0,01 ;– d’autre part, que des dysfonctionnements importants survenant au cours de

journées distinctes constituent des évènements aléatoires indépendants.

1. On appelle Y la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où leserveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’un mois de30 jours.

a. On admet que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer, à 10−3 près, la probabilité que le serveur connaisse au plus 2jours de dysfonctionnements importants pendant un mois.

2. On appelle Z la variable aléatoire correspondant au nombre de jours où leserveur connaît des dysfonctionnements importants au cours d’une année de365 jours.

a. Donner, sans justification, la loi de probabilité de la variable aléatoire Z .

A.BENHARI 223


b. Donner l’espérance mathématique et l’écart type de la variable aléatoireZ .

Partie C :

Dans cette partie. on s’intéresse à la durée séparant deux requêtes successives re-çues par le serveur.On appelle T la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées ensecondes) séparant l’arrivée de deux requêtes successives sur le serveur.

1. On désigne par t un nombre réel positif. La probabilité que T prenne une va-

leur inférieure ou égale à t est donnée par : p(T 6 t)=∫t

0500e−500x dx.

a. Calculer P (T 6 t) en fonction de t .

b. En déduire la valeur de t pour laquelle P (T 6 t) = 0,95. On donnera lavaleur exacte puis une valeur approchée au millième de seconde.

2. a. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale

I (t) =∫t

0500xe−500x dx.

b. Déterminer la limite m de I (t) quand t tend vers +∞.

Le nombre m est l’espérance mathématique de la variable aléatoire T .Il représente la durée moyenne séparant la réception de deux requêtessuccessives.

Commentaire :

Ce modèle, très simple, intéresse les concepteurs de systèmes d’information ou de té-

lécommunication car il fournit des évaluations de certaines performances d’un sys-

tème, en particulier au sens du « scénario du pire des cas ».


Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».

La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité.

Les parties B et C permettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de

0,1 seconde.


U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0


Partie A :

On considère la fonction causale s1 telle que, pour tout nombre réel t :

s1(t)+∫t

0s1(u) du =U (t).

On note S1 la transformée de Laplace de la fonction s1.

1. Montrer que S1(p)=1

p +1.

2. En déduire s1(t) pour tout nombre réel t .

La courbe représentative de la fonction s1 est donnée par la figure 1 du docu-ment réponse.

A.BENHARI 224


Partie B :


s2(t)+∫t

0s2(u) du =U (t)−U (t −1).


1. Représenter graphiquement la fonction e2 définie sur l’ensemble des nombresréels par :

e2(t)=U (t)−U (t −1).

2. Déterminer S2(p).

3. a. En déduire s2(t) pour tout nombre réel t .

b. Justifier que :

s2(t) = 0 si t < 0s2(t) = e−t si 06 t 6 1s2(t) = −e−t (e−1) si t > 1

4. Établir le sens de variation de la fonction s2 sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

5. Calculer s2(

1+)

− s2 (1−).

6. On appelle C2 la courbe représentative de la fonction s2.

a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

t 1 1,1 1,5 2 2,5s2(t)

Les résultats seront donnés à 10−2 près.

b. Compléter le tracé de la courbe C2 sur la figure 2 du document réponse,à rendre avec la copie.

Partie C :


s3(t)+∫t

0s3(u) du =U (t)−U (t −1)+U (t −1,1).

1. Soit la fonction e3 définie sur l’ensemble des nombres réels par :e3(t) =U (t)−U (t −1)+U (t −1,1).

a. Montrer que e3(t) = e2(t) pour tout nombre réel t appartenant à l’inter-valle ]−∞ ; 1,1[.

b. Déterminer e3(t) pour t > 1,1.

c. Représenter graphiquement la fonction e3.

Pour la suite, on admet que :

s3(t) = s2(t) si t < 1,1s3(t) = e−t

(

1−e+e1,1)

si t > 1,1.

2. Établir le sens de variation de la fonction s3 sur l’intervalle ]1,1 ; +∞[.

3. Calculer s3(

1,1+)

− s3 (1,1−).



t 1,1 1,5 2 2,5s3(t)



A.BENHARI 225



Exercice 1 9 points

Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développement en

série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité.

1. On considère un entier n strictement positif. Montrer que :

∫1

0t cos(nπt) dt =

cos(nπ)−1

n2π2.

Pour la suite de l’exercice, on admet que :∫1

0sin(nπt) dt =−

cos(nπ)

nπ.

2. On considère la fonction f définie sur R, périodique de période 2, telle que :

f (t) = t sur [0 ; 1[

f (t) = 0 sur [1 ; 2[.

a. En utilisant le document réponse no 1, à rendre avec la copie, tracer lacourbe C f représentative de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4].

b. On appelle S f la série de Fourier associée à la fonction f . On note

S f (t)= a0 ++∞∑

i=1(an cos(nπt)+bn sin(nπt)).

Calculer a0.

Donner les valeurs des coefficients an et bn , et en déduire que :

S f (t) =1

4+

+∞∑

n=1

(

cos(nπ)−1

n2π2cos(nπt)−

cos(nπ)

nπsin(nπt)

)

.

c. Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction f , défini par

µ2eff =

12

∫2

0

(

f (t))2 dt .

d. Recopier et compléter, avec les valeurs exactes le tableau

n 1 2 3an

bn

e. Donner une valeur approchée à 10−3 près du nombre réel A défini par :

A =a2

0 +1

2

3∑

n=1

(

a2n +b2

n

)

µ2eff

.

3. Soit g la fonction définie sur R, périodique de période 2, dont la courbe re-présentative Cg est tracée sur l’intervalle [−4 ; 4] dans le document réponseno 1.

On admet que le développement en série de Fourier Sg associé à la fonctiong , est défini par Sg (t) = S f (−t).

Justifier que :

Sg (t)=1

4+

+∞∑

n=1

(

cos(nπ)−1

n2π2cos(nπt)+

cos(nπ)

nπsin(nπt)

)

.

A.BENHARI 226


4. Soit h et k les fonctions définies sur R, périodiques de période 2, telles que :h(t) = f (t)+ g (t) et k(t) = f (t)− g (t) pour tout nombre t .

a. Sur le document réponse no 1, à rendre avec la copie, tracer les courbesCh et Ck représentatives des fonctions h et k sur l’intervalle [−4 ; 4].

b. On admet que les développements en série de Fourier Sh et Sk associésrespectivement aux fonctions h et k, sont définis par :

Sh(t) = S f (t)+Sg (t) et Sk (t)= S f (t)−Sg (t).

Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonc-tions h et k.

Représentation de la fonction f

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Représentation de la fonction g

A.BENHARI 227


1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

A.BENHARI 228


Représentation de la fonction h

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Représentation de la fonction k

A.BENHARI 229


1

2

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5


Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».

La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité.

Les parties B et C permettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de

0,1 seconde.


U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0


Partie A :


s1(t)+∫t

0s1(u) du =U (t).

A.BENHARI 230



1. Montrer que S1(p)=1

p +1.

2. En déduire s1(t) pour tout nombre réel t .

La courbe représentative de la fonction s1 est donnée par la figure 1 du docu-ment réponse.

Partie B :


s2(t)+∫t

0s2(u) du =U (t)−U (t −1).


1. Représenter graphiquement la fonction e2 définie sur l’ensemble des nombresréels par :

e2(t)=U (t)−U (t −1).

2. Déterminer S2(p).

3. a. En déduire s2(t) pour tout nombre réel t .

b. Justifier que :

s2(t) = 0 si t < 0s2(t) = e−t si 06 t 6 1s2(t) = −e−t (e−1) si t > 1

4. Établir le sens de variation de la fonction s2 sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

5. Calculer s2(

1+)

− s2 (1−).



t 1 1,1 1,5 2 2,5s2(t)



Partie C :


s3(t)+∫t

0s3(u) du =U (t)−U (t −1)+U (t −1,1).

1. Soit la fonction e3 définie sur l’ensemble des nombres réels par :

e3(t) =U (t)−U (t −1)+U (t −1,1).

a. Montrer que e3(t) = e2(t) pour tout nombre réel t appartenant à l’inter-valle ]−∞ ; 1,1[.

b. Déterminer e3(t) pour t > 1,1.

c. Représenter graphiquement la fonction e3.


s3(t) = s2(t) si t < 1,1s3(t) = e−t

(

1−e+e1,1)

si t > 1,1.

A.BENHARI 231


2. Établir le sens de variation de la fonction s3 sur l’intervalle ]1,1 ; +∞[.

3. Calculer s3(

1,1+)

− s3 (1,1−).



t 1,1 1,5 2 2,5s3(t)



A.BENHARI 232


Document réponse no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)

Figure 1 : représentation de la fonction s1

1

−1

1 2

e−1

O


1

−1

1 2

e−1

O


1

−1

1 2

e−1

O

A.BENHARI 233


Brevet de technicien supérieurnovembre 2008 - groupement A Nouvelle-Calédonie


On désigne par α un nombre réel positif tel que 0 <α<π

2.

On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 2π, telle que :

f (t) = 1 si 06 t 6α

f (t) = 0 si α< t <π−α

f (t) = −1 si π−α6 t 6π

1. Dans cette question, le nombre réel α vautπ

3.

Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’in-tervalle [−2π ; 2π].

2. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f


n=1(an cos(nt)+bn sin(nt)).

Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier S

pour une valeur x quelconque du nombre réel α tel que 0 <α<π

2.

a. Calculer a0, valeur moyenne de la fonction f sur une période.

b. Déterminer bn , n désignant un nombre entier naturel strictement posi-tif.

c. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, ona :

an =2

nπ

[

1− (−1)n]

sin(nα).

3. Déterminer la valeur α0 de α pour laquelle on a3 = 0.

4. Pour toute la suite de l’exercice, on se place dans le cas où α=π

3.

Rappels :

Si h désigne une fonction périodique de période T , le carré de la valeur effi-cace H de la fonction h sur une période est :

H 2 =1

T

∫r+T

r[h(t)]2 dt .

r désignant un nombre réel quelconque.

Si les coefficients de Fourier de la fonction h sont a0, an et bn alors :

1

T

∫r+T

r[h(t)]2 dt = a2

0 ++∞∑

n=1

a2n +b2

n

2formule de Parseval

a. Calculer F 2, carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période.

b. On définit sur R la fonction g par :

g (t) = a0 +a1 cos(t)+b1 sin t +a2 cos(2t)+b2 sin(2t).

Montrer que g (t)=2p

3

πcos(t) pour tout nombre réel t .

c. Calculer G2, carré de la valeur efficace de la fonction g sur une période.

A.BENHARI 234


d. Donner une valeur approchée à 10−3 près du quotientG2

F 2.

Ce dernier résultat montre que la fonction g constitue une assez bonne

approximation de la fonction f .

Exercice 2 10 pointsOn s’intéresse à un système entrée-sortie.Dans les parties A et B, on étudie la réponse de ce système à deux entrées différentes.Les parties A et B sont indépendantes dans leurs résolutions respectives.

Partie AOn considère l’équation différentielle (E1) suivante :

y"(t)+4y(t) = 8 (E1)

où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t .

1. a. Donner la solution particulière constante de l’équation différentielle (E1).

b. Déterminer la solution générale de l’équation (E1).

2. a. Montrer que la fonction f , solution de l’équation différentielle (E1) et quivérifie f (0) = 0 et f ′(0) = 0 est définie sur R par :

f (t) = 2[1−cos(2t)].

b. La fonction f est périodique. En donner une période.

Préciser, sans justification, le maximum et le minimum de la fonction f .

c. Représenter la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2π].

Partie BOn rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (I ) = 1 si t > 0

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.On considère la fonction e définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

e(t) = 8

[

U (t)−U(

t −π

2

)

+U (t −π)−U

(

t −3π

2

)]

On considère la fonction causale g qui vérifie les conditions g (0) = 0 et g ′(0) = 0,ainsi que la relation (E2) suivante :

y"(t)+4y(t)= e(t) (E2)

On admet que la fonction g possède une transformée de Laplace notée G.

1. a. Représenter la fonction e sur l’intervalle [0 ; 2π].

b. On appelle E la transformée de Laplace de la fonction e.

Déterminer E (p).

2. a. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’équa-tion (E2), montrer que :

G(p)=8

p(

p2 +4)

(

1−e−p π2 +e−pπ−e−p 3π

2

)

.

A.BENHARI 235


b. Vérifier que la fonction h définie surR par h(t) = 2[1−cos(2t)]U (t) a pourtransformée de Laplace la fonction H définie par

H(p) =8

p(

p2 +4) .

c. Donner une expression de la fonction g , en utilisant éventuellement lafonction h.

3. a. On donne les expressions de g (t) sur les intervalles[π

2; π

[

et

[

3π

2; +∞

[

:

g (t) = −4cos(2t) si t ∈[π

2; π

[

g (t) = −8cos(2t) si t ∈[

3π

2; +∞

[

Donner des expressions similaires de g (t) pour les intervalles[

0 ;π

2

[

et[

π ;3π

2

[

.

b. On a représenté sur l’annexe, à rendre avec la copie la fonction g sur les

intervalles[π

2; π

[

et

[

3π

2; +∞

[

.

Compléter le graphique en traçant la représentation graphique de g sur

les intervalles[

0 ;π

2

[

et

[

π ;3π

2

[

.

A.BENHARI 236


Annexe

à rendre avec la copie

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

π2 π 3π

2 2πt

A.BENHARI 237




Dans cet exercice, on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un si-

gnal continu et, dans la partie B, la correction de cette perturbation par un filtre ana-

logique.

Partie A

Dans cet exercice, on note τ une constante réelle appartenant à l’intervalle [0 ; 2π] eton considère les fonctions f et g définies sur l’ensemble R des nombres réels, tellesque :

• pour tout nombre réel t , f (t)= 1 ;• la fonction g est périodique de période 2π et :

g (t) = 0 si 06 t < τ

g (t) = 1 si τ6 t < 2π

Pour tout nombre réel t , on pose :

h(t) = f (t)− g (t)

La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal.

1. Les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le documentréponse no 1. (figures 1 et 2).

Sur la figure 3 du document réponse no 1, tracer la représentation graphiquede la fonction h.

2. On admet que la fonction h est périodique de période 2π.

Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier S(t) associée à la fonc-tion h par

S(t)= a0 ++∞∑

n=1(an cos(nt)+bn sin(nt))

a. Déterminer a0.

b. Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.

Calculer

∫τ

0cos(nt) dt

et en déduire que

an =1

nπsin(nτ).

c. Montrer que pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1,

bn =1

nπ(1−cos(nτ)).

3. Soit n un nombre entier naturel. On associe à n le nombre réel An tel que :

• A0 = a0

• An =

√

a2n +b2

n

2si n est un nombre entier supérieur ou égal à 1.

A.BENHARI 238


Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a : An =1

nπ

p1−cos(nτ).

On suppose, pour toute la suite de l’exercice, que τ=π

4.

4. Compléter le tableau 1 du document réponse no 2 avec des valeurs appro-chées à 10−5 près.


h2eff =

1

2π

∫2π

0[h(t)]2 dt .

a. Calculer h2eff.

b. Calculer une valeur approchée à 10−4 près du nombre réel P défini par

P =3

∑

n=0A2

n .

c. Calculer une valeur approchée à 10−2 près du quotientP

h2eff

.

Partie B

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument estπ

2.

On considère la fonction de transfert H définie, pour tout nombre complexe p dif-

férent de −3

2par :

H(p) =3

2p +3.

On définit la fonction r , pour tout nombre réel positif ω, par :

r (ω)= |H(jω)|.

Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k,obtenu en filtrant la perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfertest H .

1. Montrer que r (ω)=3

p9+4ω2

.

2. Pour tout nombre entier naturel n, on définit le nombre réel positif Bn par :

Bn = r (n)× An ,

où An est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.

Compléter le tableau 2 du document réponse no 2, avec des valeurs appro-chées à 10−5 près.

Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réels

Bn .

3. La figure 4 sur le document réponse no 2 donne le spectre d’amplitude dela perturbation h, c’est-à-dire une représentation graphique de la suite desnombres réels An .

Sur la figure 5 du document réponse no 2, on a commencé de même à repré-senter la suite des nombres réels Bn .

Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs no 2du document réponse no 2.

A.BENHARI 239


4. Une valeur approchée à 10−4 près du carré de la valeur efficace du signal k estk2

eff ≈ 0,0516.

a. CaLculer une valeur approchée à 10−4 près du nombre réel Q défini par

Q =3

∑

n=0B2

n .

b. Calculer une valeur approchée à 10−1 près du quotientQ

k2eff

.

On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbatîon d’un signal. On ne peut pas négli-

ger les raies de hautes fréquences de ce spectre. Le filtrage dissipe une part importante

de l’énergie de la perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation fil-

trée sont négligeables.


On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de lavariable réelle t , solution de l’équation différentielle :

y ′′(t)+4y(t) = e(t) (1),

où la fonction e représente une contrainte extérieure au système.

Partie A

Dans cette partie, on suppose que e(t) = 20 pour tout nombre réel t . L’équation,différentielle(1) s’écrit alors sous la forme :

y ′′(t)+4y(t) = 20 (2).

1. Déterminer la fonction constante h solution particulière de L’équation diffé-rentielle (2).

2. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (2).

3. En déduire l’expression de la fonction f solution de l’équation différentielle(2) qui vérifie les conditions f (0) = 0 et f ′(0) = 0.

Partie B

Dqns cette partie, on étudie un moyen d’amener le système vers un état d’équilibrede manière « lisse ».À cette fin on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonc-tion e définie par :

e(t) = 8tU (t)−8(t −τ)U (t −1).

où τ désigne un nombre réel strictement positif.On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0

.

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.On appelle g la fonction causale telle que :

g ′′(t)+4g (t) = e(t)

et vérifiant :

g (0)= 0 et g ′(0) = 0.

On note G(p) la transformée de Laplace de la fonction g et E (p) la transformée deLaplace de la fonction e.

A.BENHARI 240


1. Exprimer E (p) en fonction de p et de τ.

2. En déduire que :

G(p)=8

p2(

p2 +4)

(

1−e−τp)

.

3. Déterminer les constantes réelles A et B telles que :

8

p2(

p2 +4) =

A

p2+

B

p2 +4.

4. Déterminer alors l’original de8

p2(

p2 +4) .

5. En déduire que, pour tout nombre t :

g (t)= g0(t)− g0(t −τ) avec g0(t)= (2t − sin(2t))U (t).

6. Montrer que pour t > τ, on a

g (t)= 2τ− sin(2t)+ sin(2t −2τ).

7. On suppose maintenant que τ=π.

a. Simplifier l’expression de g (t) pour t > τ.

b. La courbe représentative de la fonction e, pour τ = π, est tracée sur lafigure du document réponse no 3.

Sur le même graphique, tracer la coutbe représentative de la fonotion g .

A.BENHARI 241



Figure 1 : courbe représentative de f

1

−3π −2π −π π 2π 3π0

Figure 2 : courbe représentative de g

1• • •

• • •−3π −2π −π π 2π 3π0

Figure 3 : courbe représentative de h

1

−3π −2π −π π 2π 3π0

A.BENHARI 242



Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7An 0,125 00 0,172 27 0,138 63 0,083 18 0,053 05 0,024 61

n 8 9 10 11 12 13 14 15An 0,019 14 0,031 83 0,037 81 0,031 99 0,022 74 0,011 48

Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7Bn 0,143 34 0,062 00 0,039 52 0,023 90 0,012 87 0,005 16

n 8 9 10 11 12 13 14 15Bn 0,000 00 0,003 15 0,004 72 0,005 11 0,003 87 0,002 42 0,001 14

Figure 4

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figure 5

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A.BENHARI 243



2π

3π

4π

5π

6π

7π

8π

9π

10π

π

O−π

−2π

π 2π 3π

A.BENHARI 244




Le plan est rapporté à un repère orthonormal(

O,−→ı ,

−→

)

.

On rappelle qu’une courbe de Bézier associée à n +1 points de contrôle successifsAi , 06 i 6n, est l’ensemble des points M(t) tels que :

−−−−−→OM(t) =

n∑

i=0Bi ,n (t)

−−−→OAi où Bi ,n (t)= Ci

n t i (1− t)n−i avec t ∈ [0 ; 1].

Partie A

L’objectif de cette partie est d’étudier la courbe de Bézier C1 associée aux quatrepoints de contrôle successifs A(4 ; 0), 8(12 ; 6), R(0 ; 6) et 0(0 ; 0).

1. Développer, réduire et ordonner le polynôme B2, 3(t).

2. On admet que :B0,3(t) = −t 3 +3t 2 −3t +1B1,3(t) = 3t 3 −6t 2 +3t

B3,3(t) = t 3.

Montrer que les coordonnées du point M(t) de la courbe C1 sont :

x = f1(t)= 32t 3 −60t 2 +24t +4y = g1(t) =−18t 2 +18t

pourt ∈ [0 ; 1].

3. En utilisant la courbe C1 tracée sur le document réponse no 1, compléter letableau des variations conjointes des deux fonctions f1 et g1 figurant sur cemême document réponse.

4. Calculer la dérivée de la fonction g1.

En déduire la valeur t1 du paramètre t pour laquelle l’ordonnée du point M(t)est maximale.

5. Déterminer la valeur t0 du paramètre t pour laquelle l’abscisse du point M(t)est maximale.

6. Montrer que le vecteur−→AS est tangent à la courbe C1 au point A.

Partie B

On désigne par a un nombre réel.On souhaite compléter la figure du document réponse no 1 avec une courbe de Bé-zier C2 en respectant les contraintes suivantes :

• les points de contrôle successifs de la courbe de Bézier C2 sont O(0 ; 0), E(0 ; a),

F

(

4

3; −2

)

et A(4 ; 0) ;

• la courbe C2 passe par le point G

(

1 ; −3

2

)

pour la valeur1

2du paramètre t .

Sous ce système de contraintes, les courbes C1 et C2 ont des tangentes communesaux points A et O.

1. Dans les conditions énoncées ci -dessus ; la représentation paramétrique dela courbe C2 est de la forme :

x = f2(t)= 4t 2

y = g2(t)= 3(a +2)t 3 −6(a +1)t 2 +3att ∈ [0 ; 1].

Montrer que a =−2.

A.BENHARI 245


2. Pour chaque valeur de t , l’algorithme de construction par barycentres suc-cessifs (appelé algorithme de De Casteljau), permet de construire, le point deparamètre t de la courbe de Bézier.

Utiliser cet algorithme, pour la valeur1

2du paramètre t , pour retrouver gra-

phiquement la position du point G.

Laisser apparentes les étapes de la construction.

3. Tracer la courbe C2 sur le document réponse no 1.


On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de lavariable réelle t , solution de l’équation différentielle :

y ′′(t)+4y(t)= e(t) (1),


Partie A

Dans cette partie, on suppose que e(t) = 20 pour tout nombre réel t . L’équation dif-férentielle (1) s’écrit alors sous la forme :

y ′′(t)+4y(t) = 20 (2).

1. Déterminer la fonction constante h solution particulière de l’équation diffé-rentielle (2).

2. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (2).

En déduire l’expression de la fonction f solution de l’équation différentielle(2) qui vérifie les conditions f (0) = 0 et f ′(0) = 0.

Partie B

Dans cette partie, on étudie un moyen d’amener le système vers un état d’équilibrede manière « lisse ».À cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonc-tion e définie par :

e(t) = 8tU (t)−8(t −τ)U (t −τ),

où τ désigne un nombre réel strictement positif.On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0.

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.On appelle g la fonction causale telle que :

g ′′(t)+4g (t) = e(t)

et vérifiant :

g (0) = 0 et g ′(0) = 0.

On note G(p) la transformée de Laplace de la fonction g et E (P ) la transformée deLaplace de la fonction e.

1. Exprimer E (P ) en fonction de p et de τ.

A.BENHARI 246



G(p)=8

p2(

p2 +4)

(

1−e−τp)


8

p2(

p2 +4) =

A

p2+

B

p2 +4

4. Déterminer alors l’original de8

p2(

p2 +4)

5. En déduire que, pour tout nombre réel t :

g (t)= g0(t)− g0(t −τ) avec g0(t)= (2t − sin(2t))U (t).

6. Montrer que pour t > τ, on a :

g (t)= 2τ− sin(2t)+ si n(2t −2τ).

7. On suppose maintenant queτ=π.

a. Simplifier l’expression de g (t) pour t > τ.

b. La courbe représentative de la fonction e, pour τ = π, est tracée sur lafigure du document réponse no 2.

Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction g .

A.BENHARI 247



1

2

3

4

5

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1

C1

O

t 0 t0 t1 1

f ′1(t)

g ′1(t)

+ 0 − 0

f1(t)

g1(t)

A.BENHARI 248



-2π

-1π

0π

1π

2π

3π

4π

5π

6π

7π

8π

9π

10π

1π 2π 3π

A.BENHARI 249

Brevet de technicien supérieur Groupe A

Brevet de technicien supérieurnovembre 2009 - groupement A Nouvelle-Calédonie


Dans cet exercice, on s’intéresse à un système entrée-sortie.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A : étude du système pour une entrée nulle

On considère l’équation différentielle du second ordre suivante :

y ′′(t)+4y(t) = 0 (E1)

où y désigne une fonction de la variable t , deux fois dérivable sur R.

1. Donner la solution générale de l’équation différentielle (E1)

2. Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle (E1) qui vérifie :f (0) = 0 et f ′(0) = 2.

La représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2π] est donnéesur la feuille annexe.

Partie B : étude du système soumis à un contrôle

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]−∞ ; 0[.On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0


e(t)= 2U (t)−2U(

t −π

4

)

.

a. Construire la courbe représentative de la fonction e dans un repère or-thogonal.

b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E (p).

2. On considère la fonction causale s, telle que :

4∫t

0s(u) du+ s′(t)= e(t) et s

(

0+)

= 0.

On admet que la fonction s et sa dérivée possèdent chacune une transforméede Laplace.

On note S la transformée de Laplace de la fonction s.

a. Déterminer une expression de S(p).

b. En déduire une expression de s(t).

3. a. Vérifier que :

s(t) = 0 si t < 0

s(t) = sin(2t) si 06 t <π

4s(t) = sin(2t)− sin

(

2t −π

2

)

si t >π

4

b. Établir que : s

(

π−

4

)

= s

(

π+

4

)

.

A.BENHARI 250


c. Vérifier que pour tout nombre réel t supérieur ou égal àπ

4, on a :

s(t) =p

2cos[

2(

t −π

8

)]

.

d. Résoudre l’équation s(t) = 0 sur l’intervalle [0 ; 2π].

4. Tracer successivement sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, les courbesreprésentatives sur l’intervalle [0 ; 2π] des fonctions :

t 7−→ cos(2t), t 7−→ cos[

2(

t −π

8

)]

et t 7−→ s(t).

Exercice 2 9 points

Partie A :

Une entreprise fabrique des pièces en grande série.Une pièce est conforme si sa masse, en grammes, est comprise entre 7,495 et 7,505.L’entreprise dispose d’une machine de contrôle des pièces fabriquées.On prélève une pièce au hasard dans la production.On note C l’évènement : « la pièce est conforme ».On note A l’évènement : « la pièce est acceptée par la machine de contrôle ».Une étude statistique a été conduite, au terme de laquelle on a pu estimer que :

p(A)= 0,95, p(

C ∩ A)

= 0,01 et p(

C ∩ A)

= 0,005.

1. a. À l’aide d’une phrase, donner la signification des évènements C ∩ A etC ∩ A.

Ces deux évènements correspondent aux cas où la machine de contrôlecommet une erreur.

b. Calculer la probabilité que la machine de contrôle commette une erreur.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme, sachant qu’elle est refusée.

Partie B :

On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse d’une pièce engrammes.On admet que X suit une loi nonnale de moyenne 7,5 et d’écart type σ où σ désigneun nombre réel strictement positif.

1. Après une période de production, la machine de fabrication a subi un dérè-glement brutal.

L’écart type σ vaut alors 0,015.

On rappelle qu’une pièce est confonne si sa masse, en grammes, est compriseentre 7,495 et 7,505.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce soit conforme.

3. Calculer la valeur de σ pour laquelle la probabilité qu’une pièce soit conformeest égale à 0,99.

4. Dans cette question, on suppose queσ vaut 0,002 et qu’à la suite d’un nouveaudérèglement, la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 7,502 etd’écart type 0,002.

Calculer la probabilité qu’une pièce, choisie au hasard, soit conforme.

Partie C :

Les pièces acceptées par la machine de contrôle sont emballées par lots de 100. Onprélève au hasard un lot. La production est suffisamment importante pour que l’onassimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 pièces.

A.BENHARI 251


On considère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvement de 100 pièces, associele nombre de pièces non conformes.On admet que la probabilité qu’une pièce soit non conforme, sachant qu’elle a étéacceptée, est 0,005 3.

1. a. Justifier que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale dont on préci-sera les paramètres.

b. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y .

2. Calculer la probabilité qu’un lot ne contienne que des pièces conformes. Ondonnera une valeur approchée du résultat à 10−2 près.

A.BENHARI 252

Annexe à rendre avec la copie

y = f (t)

y = cos(2t)

1

y = cos[

2(

t −π

8

)]

1

y = s(t)

1

1

2

−1

π8

2π8

3π8

4π8

5π8

6π8

7π8 π 9π

810π

811π

812π

813π

814π

815π

8 2π

A.BENHARI 253



Spécialités :– Électrotechnique– Génie optique


Partie A

Une source émet un signal binaire composé de 0 et de 1. Lors du transport, le signalpeut être déformé. Un 0 peut être transformé en 1 avec une probabilité 0,1 et, demême, un 1 peut être transformé en 0 avec une probabilité 0,1.Pour toute la suite, dans une série de chiffres, on lit de gauche à droite, le premierchiffre envoyé étant donc celui écrit le plus à gauche.On envoie le signal 00.On admet que les erreurs de transmission sont des évènements aléatoires indépen-dants les uns des autres.On considère les évènements suivants :

• E1 : « les deux chiffres sont modifiés »• E2 : « le premier chiffre est modifié mais pas le deuxième »• E3 : « aucun chiffre n’est modifié »• E4 : « au moins un des chiffres est modifié »

Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera

sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie.

Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte ou l’absence de réponse

n’enlève pas de point.

1. La probabilité de l’évènement E1 est égale à :

• 0,01 • 0,99• 0,09 • 0,81

2. Si l’évènement E2 est réalisé, le signal reçu est :

• 00 • 01• 10 • 11


• 0,19 • 0,81• 0,09 • 0,90


• 0,01 • 0,99• 0,09 • 0,81


• 0,19 • 0,20• 0,11 • 0,91

Partie B

1. On considère l’expérience aléatoire consistant à émettre une chaîne consti-tuée de 10 fois le chiffre 1 et à observer la chaîne reçue. On appelle X la va-riable aléatoire qui, à chaque chaîne ainsi reçue, associe le nombre d’erreursde transmission, c’est-à-dire le nombre de 0 obtenus.

On rappelle que la probabilité qu’un chiffre soit mal transmis est 0,1.

A.BENHARI 254


a. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.

Préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer à 0,001 près la probabilité qu’il y ait exactement une erreur detransmission.

c. Montrer que la probabilité qu’il y ait au plus une erreur de transmissionest égale à 0,74 à 0,01 près.

2. Estimant que la qualité des transmissions n’est pas assez bonne, les techni-ciens procèdent à quelques réglages afin de réduire les « bruits » à l’originedes erreurs. La probabilité qu’un chiffre soit mal transmis devrait ainsi êtrefortement diminuée.

Effectivement, à l’issue des réglages, on constate que la proportion de chiffresmal transmis est égale à 0,002.

a. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de chiffres mal trans-mis dans une chaîne de 1 000 chiffres.

On considère que la variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de para-mètre λ.

Justifier que λ= 2.

b. Calculer à 0,001 près la probabilité qu’il y ait au moins une erreur detransmission parmi les 1 000 chiffres envoyés.

Partie C

La transmission des chiffres binaires est assurée par un signal électrique carré. Lesimpulsions supérieures à 2 volts représentent le chiffre 1, les autres le chiffre 0. Nepouvant affiner davantage leurs réglages, les techniciens admettent que les erreursde transmission restantes sont dues à un « bruit aléatoire ». Celui-ci est modélisé parun signal de tension aléatoire U , exprimée en volts. On admet que U suit une loinormale de moyenne 0 et d’écart type σ.

1. Pour envoyer les chiffres 1, on envoie des impulsions de 4 volts. Ces dernièressont modifiées par le bruit aléatoire. La tension reçue est ainsi égale à 4+U .

Dans cette question, on suppose que σ= 0,7.

a. Montrer que la probabilité que cette tension représente le chiffre 1 estégale à la probabilité que U soit supérieure à −2.

b. Calculer cette probabilité à 0,001 près.

2. Quelle condition doit-on imposer à l’écart type σ pour que la proportion d’er-reurs de transmission d’un chiffre 1 soit inférieure à 0,1 %, c’est-à-dire pourque :

p(U <−2) < 0,001?

Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou non aboutie

sera prise en compte.


Les deux parties de cet exercice sont indépendantesLe but de la partie A est de calculer le développement en série de Fourier d’une fonction

périodique, puis de s’intéresser à la valeur efficace de cette fonction sur une période.

Dans la partie B, il s’agit de retrouver la représentation graphique d’une fonction à

partir de son développement en série de Fourier puis de définir cette fonction.

Partie A

On considère la fonction f périodique, de période 2, définie sur l’ensemble desnombres réels par :

A.BENHARI 255


f (t) = 0,5t +0,5 si −1 < t < 1f (t) = 0,5.

Le développement en série de Fourier de la fonction f s’écrit :

S(t)= a0 ++∞∑

n=1(an cos(nωt)+bn sin(nωt)) .

1. Tracer la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 4] enutilisant la figure 2 du document réponse numéro 2.

2. Démontrer que a0 =1

2.

3. a. Préciser la valeur de la pulsation ω.

b. En utilisant une intégration par parties, calculer b1.

On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout nombre entier n supérieurou égal à 1 :

bn =(−1)n+1

nπ.

4. Soit g la fonction définie pour tout nombre réel t par g (t)= f (t)−0,5.

a. Tracer la représentation graphique de la fonction g sur la figure 3 du do-cument réponse numéro 2.

b. Quelle propriété de symétrie observe-t-on sur la représentation graphiquede la fonction g ?

c. En comparant les coefficients de Fourier des fonctions f et g , montrerque an = 0 pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1.

5. On rappelle que la valeur efficace de la fonction f sur une période est le nombreréel positif, noté feff, défini par :

f 2eff =

1

2

∫1

−1

[

f (t)]2 dt .

Démontrer que f 2eff =

1

3.

6. On rappelle la formule de Parseval :

f 2eff = a2

0 +1

2

+∞∑

n=1

(

a2n +b2

n

)

.

On décide de calculer une valeur approchée, notée P , de f 2eff en se limitant aux

cinq premiers termes de la somme, c’est-à-dire :

P = a20 +

1

2

5∑

n=1

(

a2n +b2

n

)

.

a. Calculer une valeur approchée à 10−3 près de P , puis deP

f 2eff

.

b. En déduire, en pourcentage, l’erreur commise quand on remplace f 2eff

par P .

Partie B

Soit h la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels, périodique de période2, dont le développement en série de Fourier est :

Sh =π

2−

4

π

+∞∑

p=0

1

(2p +1)2cos[(2p +1)πt ].

A.BENHARI 256


1. Déterminer la parité de la fonction h.

2. Sur l’annexe page 7 sont proposées quatre représentations graphiques.

Laquelle des quatre courbes proposées est la représentation graphique de lafonction h sur l’intervalle [−4 ; 4] ? Justifier le choix effectué.

3. Déterminer h(t) pour tout nombre réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1].

A.BENHARI 257


Annexe

1 2 3 4−1−2−3−4

Courbe 1

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 2

π2

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 3

2

1 2 3 4−1−2−3−4Courbe 4

A.BENHARI 258


Document réponse numéro 1 à joindre à la copie

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(n) 0,35 0,87 1,15 1,30

Tableau de valeurs de la suite y (à compléter)

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

s

A.BENHARI 259

Document réponse numéro 2 à joindre avec la copie

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 2 : représentation graphique de la fonction f (à compléter)

0,5

1,0

−0,5

−1,0

−1,5

1 2 3−1−2−3−4 O

Figure 3 : représentation graphique de la fonction g (à compléter)


Spécialités :– Contrôle industriel et régulation– Informatique et réseaux pour l’industrie et les services techniques– Systèmes électroniques– Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire


On considère un circuit composé d’une résistance et d’un condensateur représentépar le schéma ci-dessous.

A.BENHARI 260


R

Cv s

s représente la tension entre les bornes du condensateur lorsque le circuit est ali-menté par une source de tension v et parcouru par un courant i .Les fonctions s et v sont liées par l’équation différentielle suivante :

RC s′(t)+ s(t)= v(t). (1)

De plus, on suppose que s(t) = 0, pour tout nombre réel t négatif ou nul.Pour tout l’exercice on considère que R = 250 ·103

Ω et C = 20 ·10−9 F.On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par :

U (t) = 0 si t < 0U (t) = 1 si t > 0.

Les parties A, B et C de l’exercice peuvent être traitées indépendamment.

Partie A : QCM

Cette partie est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions in-

dépendantes. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, une seule est

exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de chaque ques-

tion suivi de la réponse choisie.

Une bonne réponse rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou l’absence de réponse

n’enlève pas de point.

1. La fonction f est un créneau représenté par le schéma suivant :

11

10

f (t) est défini par :

• 10U (t −1) • 10[U (t)−U (t −1)]• 10U (t) • U (t)−U (t −1)

2. On note V et S les transformées de Laplace respectives des fonctions v et s.

On précise que s(

0+)

= 0. Les transformées de Laplace V et S sont telles que :

• S(p)=1

1+0,005pV (p) • s(t) =

1

1+0,005p2V (p)

• S(p)=0,005

0,005+pV (p) • S(p)= (10,005)V (p)

A.BENHARI 261


3. Dans cette question, on suppose que v(t) = 2 pour tout nombre réel t positifou nul.

L’équation différentielle (1) s’écrit alors :

0,005s′(t)+ s(t) = 2.

Pour tout nombre réel t positif ou nul, la solution générale s de l’équationdifférentielle (1) est définie, k étant une constante réelle, par :

• s(t) = ke−200t +2t • s(t) = ke200t +2• s(t) = ke−200t +2 • s(t) = ke−200t

A.BENHARI 262

A.BENHARI 263

A.BENHARI 264

A.BENHARI 265

A.BENHARI 266

A.BENHARI 267

A.BENHARI 268

BTS groupe A session 2001

Exercice 1

Partie A

1. Calculons la première intégrale :

Z

0

sin t cos t dt =

Z

0

1

2sin 2t dt =

1

2

1

2cos 2t

0

= 1

4[cos 2 cos 0] = 0

et la seconde intégrale :Z

0

sin t cos 2t dt =

Z

0

1

2(sin 3t+ sint) dt

=

Z

0

1

2(sin 3t sin t) dt

=1

2

1

3cos 3t+ cos t

0

=1

2

1

3cos 3 + cos

1

3cos 0 + cos 0

=1

2

1

3 1

1

3+ 1

=1

2

2

3 2

= 1

2

4

3= 2

3

2. (a) La représentation graphique à l’allure suivante :

De plus T = 2 donc ! =2

T= 1.

A.BENHARI 269

(b) Calculons a0 :

a0 =1

T

Z a+T

a

e(t) dt =1

2

Z 2

0

e(t) dt

=1

2

Z

0

sin t dt puisque e(t) = 0 si t 2 [ ; 2]

=1

2[ cos t]0 = 1

2(cos cos 0) = 1

2(1 1) =

1

Calculons a1 :

a1 =2

T

Z a+T

a

e(t) cos!t dt =1

Z

0

sin t cos t dt =1

(0) = 0

Calculons a2 :

a2 =2

T

Z a+T

a

e(t) cos 2!t dt =1

Z

0

sin t cos 2t dt =1

2

3

= 2

3

On admet que b1 =1

2et b2 = 0.

3. (a) Calculons E2 si E est la valeur efficace de e :

E2 =1

T

Z a+T

a

[e(t)]2dt =

1

2

Z

0

sin2 t dt car e(t) = 0 si t 2 [ ; 2]

=1

2

Z

0

1

2(1 cos 2t) dt =

1

4

t 1

2sin 2t

0

=1

4

1

2sin 2

0

=

1

4

(b) D’après la formule de Bessel-Parseval on a :

E2 = a20 +

+1Xn=1

a2n + b2n2

Calculons P :

P = a20 +1

2

a21 + b21 + a22 + b22

=

1

2+

1

2

"02 +

1

2

2+

2

3

2+ 02

#

=1

2+

1

2

1

4+

4

92

=

1

2+

1

8+

2

92=

11

92+

1

8

doncP

E2=

1192 + 1

814

=44

92+

1

2 0:9953 donc la valeur approchée cherchée est 0:995.

A.BENHARI 270

Partie B

On a l’équation (2) :

Ri(t) +1

C

Z t

0

i(u)du =1

+

1

2sin t 2

3cos 2t (2)

avec R = 5000 et C = 104 F.

1. Dérivons les deux membres de l’équation (2) :

Ri0(t) +1

Ci(t) =

1

2cos t+

4

3sin 2t (3)

En effetZ t

0

i(u)du = [I(u)]u=tu=0 = I(t) I(0) où I est une primitive de i sur [0 ; +1[ ; donc la

dérivée de cette expression est [I(t) I(0)]0 = I 0(t) 0 car I(0) est une constante. Remplaçonsdans (3) :

5000di

dt(t) + 104 i(t) =

1

2cos t+

4

3sin 2t

Multiplions les deux membres par1

5000= 2 104 ; on obtient :

di

dt(t) + 2i(t) = 104 cos t+

8

3 104 sin 2t

= 104 cos t+8

30 103 sin 2t

= 104 cos t+4

15 103 sin 2t

2. On pose i1(t) = 4 105 cos t+ 2 105 sin t donc i01(t) = 4 105 sin t+ 2 105 cos tDonc :

di

dt(t) + 2i(t) = 4 105 sin t+ 2 105 cos t+ 8 105 cos t+ 4 105 sin t = 104 cos t donc

i1 est bien une solution particulière de l’équation différentielle donnée.

3. Je cherche une solution particulière i2, définie sur [0 ; +1[, de la forme : i2(t) = a cos 2t+ b sin 2toù a et b sont deux réels à déterminer. Calculons i02(t) :

i02(t) = 2a sin 2t+ 2b cos 2t

Donc :

di

dt(t) + 2i(t) = 2a sin 2t+ 2b cos 2t+ 2a cos 2t+ 2b sin 2t

= (2a+ 2b) cos 2t+ (2a+ 2b) sin 2t

qui doit être égal à4

15 103 sin 2t pour tout t 2 [0 ; +1[ ; donc je résous le système :

(2a+ 2b = 0

2a+ 2b =4

15 103

de la première équation je tire b = a que je porte dans la deuxième ; donc :

4a =4

15 103

d’où a = 1

15 103 et b = +

1

15 103

donc i2(t) = +1

15 103 [ cos 2t+ sin 2t] est une solution particulière de l’équation différentielle

donnée.

A.BENHARI 271

4. Résolvons l’équation différentielle suivante :

di

dt(t) + 2i(t) = 104 cos t+

4

15 103 sin 2t

(a) Résolution de l’équation sans second membre :

di

dt(t) + 2i(t) = 0

Cette équation est de la forme a(t) i0 + b(t) i = 0 avec a(t) = 1 et b(t) = 2 doncb(t)

a(t)= 2 et

G(t) = 2t donc la solution générale est de la forme :

i(t) = keG(t) = ke2t

(b) Des questions précédentes, il vient une solution particulière de l’équation complète :

i(t) = i1(t) + i2(t)

et donc la solution générale de l’équation différentielle donnée est :

i(t) = ke2t + i1(t) + i2(t)

(c) Calcul de k, sachant que i(0) = 0 :

i(0) = ke0 + i1(0) + i2(0)

= k + 4 105 + 1

15 103(1) = k + 4 105 103

15= 0

donc k =103

15 4 105

Et la solution générale est :

i(t) =

103

15 4 105

e2t + 4 105 cos t+ 2 105 sin t+

1

15 103 [ cos 2t+ sin 2t]

donc :

i(t) = 2 105 2 cos t+ sin t 2e2t+

103

15

cos 2t+ sin 2t+ e2t

A.BENHARI 272

Exercice 2 - 8 points

On note a f définie par f(m) =M avec Z =z

1 + z= 1 1

1 + zsi z 6= 1.

Partie A

1. L’ensemble D des points d’affixe z = 3

2+ iy avec y réel quelconque est la droite D d’équation

x = 3

2.

2. On note t1 définie par t1(m) = M1 avec z1 = z + 1 ; donc t1 est la translation de vecteur !u

10

et D1 est la droite d’équation x = 1

2.

3. On note t2 définie par t2(m) = M2 avec z2 =1

zet z 6= 0; donc t2 est l’inversion complexe et l’image

2 de D1 est le cercle :

– de centre (1 ; 0) car son affixe est z =1

2 12

= 1

– de rayon R =1

2 1

2

= 1

privé de O.

4. On note t3 définie par t3(m) = M3 avec z3 = z ; donc t3 est la symétrie centrale de centre O etl’image 3 de 2 par t3 est donc le cercle (privé de O) de centre 0(1 ; 0) et de rayon 1.

5. On a donc successivement :

z ! 1 + z ! 1

1 + z! 1

1 + z! 1 1

1 + z

c’est à dire :

m!M1 = t1(m)!M2 = t2(M1)!M3 = t3(M2)!M = t1(M3)

Donc l’ensemble cherché est l’image par t1 du cercle 3 ; c’est donc le cercle (privé de 0) decentre 00(2 ; 0) et de rayon 1.

6.

A.BENHARI 273

Partie B

1. On pose z = 3

2+ iy (y 2 R) et on remarque que Z =

z

1 + z=

3 2iy

1 2iy.

J’appelle '(y) = argZ = arg(3 2iy) arg(1 2iy).Je note 1 = arg(3 2iy) et 2 = arg(1 2iy) ; on a donc :

tan 1 =b

a=2y3

et, de la même façon tan 2 =2y1

donc1 = arctan

2y3

car 3 > 0 et 2 = arctan2y1 car 1 > 0

et, puisque arctan est impaire :

'(y) = 1 2 = arctan2y

3 ( arctan2y) = arctan 2y arctan

2y

3

2. Étudions les variations de la fonction ' sur R

* ' est bien définie sur R puisque arctan est définie sur R

* lim+1

' = 0 puisque

8><>:

limy!+1

arctan2y =

2

limy!+1

arctan2y

3=

2

* lim1

' = 0 puisque ' est impaire.

* Calculons la dérivée :

'0(y) =1

1 + (2y)2 2

1

1 +2y3

2 23=

2

1 + 4y2 2

3 1

1 + 4y2

9

=2

1 + 4y2 6

9 + 4y2

=12 16y2

(1 + 4y2)(9 + 4y2)=

4(3 4y2)

(1 + 4y2)(9 + 4y2)=

4(p3 2y)(

p3 + 2y)

(1 + 4y2)(9 + 4y2)

et '0(y) est du signe de 12 16y2, c’est à dire du signe de a = (16) = 16 > 0 entre lesracines, et négatif sinon ; le tableau de variation est le suivant :

y 1 p3

2+

p3

2+1

'0(y) 0 + 0 0 +'m

'(y) & % &'m 0

avec 'm = arctan

2

p3

2

! arctan

2

3

p3

2

!= arctan

p3 arctan

p3

3=

3

6=

6

3. L’argument '(y) est l’angle!u ;

!OM

; il est maximum si la droite OM est tangente au cercle ;

on a alors : sin'm =1

2d’où 'm =

6(puisque 'm <

2).

A.BENHARI 274

Groupement A - session 2002

Solutions proposées

Exercice 1

1.

t 0 1 2tU(t) 0 t t t

2U(t 1) 0 0 2 2(t 2)U(t 2) 0 0 0 t+ 2

e(t) 0 t t 2 0

1

1

1 2 t

e(t)

2. Si p > 0 :

E(p) =1

p2 2

1

pep 1

p2e2p

3. On réduit au même dénominateur ; il vient :

1

p2(p+ 1)=

A(p+ 1) +Bp(p+ 1) + Cp2

p2(p+ 1)=

(C +B)p2 + (A+B)p+A

p2(p+ 1)

Donc : 8<:

C +B = 0A+B = 0A = 1

Donc B = 1 et C = 1 ; finalement :

1

p2(p+ 1)=

1

p2 1

p+

1

p+ 1

4. Donc :

S(p) =1

p+ 1

1

p2 2

pep 1

p2e2p

=1

p2 1

p+

1

p+ 12

p 2

p+ 1

ep

1

p2 1

p+

1

p+ 1

e2p

Donc :

s(t) =t 1 + et

U(t)

2 2e(t1)

U(t 1)

t 2 1 + e(t2)

U(t 2)

=t 1 + et

U(t) 2 2et+1

U(t 1) t 3 + et+2

U(t 2)

A.BENHARI 275

Donc :

s(t) =

8>><>>:

0 + 0 + 0 = 0 si t < 0t 1 + et si 0 6 t < 1t 1 + et 2 + 2et+1 + 0 = t 3 + et(1 + 2e) si 1 6 t < 2t 3 + et(1 + 2e) t+ 3 et+2 = et

1 + 2e e2

si t > 2

5. 5.1 On a : s(1+) = 2 + e1(1 + 2e) = 2 + e1 + 2 = e1

s(1) = 1 1 + e1 = e1

donc s(1+) = s(1) ; on en déduit que s est continue en t = 1. De la même façon :

s(2+) = e21 + 2e e2

= e2 + 2e1 1

s(2) = 1 + e2(1 + 2e) = 1 + e2 + 2e1

donc s(2+) = s(2) ; on en déduit que s est continue en t = 2.

5.2 Dérivons :

s0(t) =

8<:

1 et si 0 < t < 11 et(1 + 2e) si 1 < t < 2et 1 + 2e e2

si t > 2

Étudions le signe de s0(t) si 1 < t < 2. Supposons que s0(t) > 0 ; on a alors :

1 et(1 + 2e) > 0

1 > et(1 + 2e)

1

1 + 2e> et

ln(1 + 2e) > tt > ln(1 + 2e)

On obtient d’une manière analogue que :

s0(t) 6 0 si t 6 ln(1 + 2e)

En résumé :

t 1 ln(1 + 2e) 2signe de s0(t) 0 +

5.3 Calculons s(ln(1 + 2e)) :

s(ln(1 + 2e) = ln(1 + 2e) 3 + e ln(1+2e)(1 + 2e)

= ln(1 + 2e) 3 +1

1 + 2e(1 + 2e) = ln(1 + 2e) 2

Calcul de la limite :lim

t!+1s(t) = lim

t!+1et(1 + 2e e2) = 0

Variations de s :

t 0 1 ln(1 + 2e) 2 +1s0(t) + jj 0 + +

e1 % 0s(t) % & %

0 ln(1 + 2e) 2 %5.4 On a :

s0(1+) = 1 e1(1 + 2e) = 1 e1 2 = 1 e1

s0(1) = 1 e1

A.BENHARI 276

donc s0(1+) 6= s0(1) par conséquent les deux demi-tangentes à droite et à gauche en t = 1ne sont pas alignées : la courbe admet un point anguleux ; la fonction s n’est pas dérivable ent = 1. En revanche :

s0(2+) = e2 1 + 2e e2= e2 2e1 + 1

s0(2) = 1 e2(1 + 2e) = 1 e2 2e1

donc s0(2+) = s0(2) : les deux demi-tangentes en t = 2 sont alignées ; la fonction s est déri-vable en t = 2.

5.5 Tableau de valeurs :

t 1 1; 2 1; 4 1; 6 2 2; 5 3 3; 5s(t) 0; 37 0; 14 0; 01 0; 10 0; 13 0; 08 0; 05 0; 03

6.

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

1 2 3 4 5

Exercice 2Partie A

1. Dérivons l’équation (E1) :x00 + 2y0 = 2 cos t (1)

De l’équation (E2), on tire :y0 = 2x+ 2 cos t

En remplaçant y0 dans l’équation (1), il vient :

x00 + 2(2x+ 2 cos t) = 2 cos t

x00 + 4x+ 4 cos t = 2 cos tx00 + 4x = 6 cos t

qui est l’équation différentielle (E).

2. L’équation sans second membre a pour équation caractéristique :

r2 + 4 = 0

dont les solutions sont :

r1 = 2i et r2 = 2i donc = <(r1) = 0 et = =(r1) = 2

Donc la solution générale de l’équation sans second membre est :

x = ( cost+ sint)et = cos(2t) + sin(2t)

Recherchons maintenant une solution particulière x de l’équation complète (E) sous la forme :

x = a cos t+ b sin t

A.BENHARI 277

donc x0 = a sin t+ b cos t et x00 = a cos t b sin t ; en remplaçant dans (E), il vient donc :

x00 + 4x = a cos t b sin t+ 4a cos t+ 4b sin t = 3a cos t+ 3b sin t

Il faut donc que :3a cos t+ 3b sin t = 6 cos t

Donc b = 0 et a = 2 conviennent ; par conséquent x = 2 cos t est une solution particulière del’équation complète (E).En conclusion, la solution générale de l’équation (E) est :

x = cos(2t) + sin(2t) 2 cos t (2)

Pour déterminer les solutions du système (S), il reste à calculer y ; on sait que, d’après (E1) :

y =1

2(x0 2 sin t)

On obtient donc, en remplaçant, à l’aide de l’équation (2) :

y =1

2((2 sin(2t) + 2 cos(2t) + 2 sin t) 2 sin t)

y =1

2(2 sin(2t) 2 cos(2t) 4 sin t)

y = cos(2t) + sin(2t) 2 sin t

On vérifie, sans difficulté, en remplaçant dans le système (S), que ces solutions conviennent.En conclusion, la solution de (S) est :

x = cos(2t) + sin(2t) 2 cos ty = cos(2t) + sin(2t) 2 sin t

3. Déterminons la solution particulière qui satisfait x(0) = 1 et y(0) = 0. Il vient donc :

x(0) = 2 = 1 donc = 1

ety(0) = = 0 donc = 0

Donc la solution particulière de (E) demandée est :

x = cos(2t) 2 cos ty = sin(2t) 2 sin t

Partie B

1. f(t) = f(t) car cos est pair ; g(t) = g(t) car sin est impair ; donc la courbe () admet l’axe desabscisses pour axe de symétrie.En effet : si le point M (f(t) ; g(t)) 2 () alors son symétrique par rapport à l’axe des abscissesN (f(t) ; g(t)) 2 ().

2. 2.1 Calculons f 0(t) :

f 0(t) = 2 sin(2t) + 2 sin t = 2(sin(2t) sin t)

= 2 2 sin

t

2

cos

3t

2

= 4 sin

t

2

cos

3t

2

2.2 Si 0 6 t 6 , on a :

– d’une part 0 6t

26

2donc sin

t

2

> 0

A.BENHARI 278

– d’autre part 0 63t

26

3

2donc il y a deux cas :

8>><>>:

si 0 63t

26

2alors cos

3t

2

> 0

si

26

3t

26

3

2alors cos

3t

2

6 0

En résumé :t 0

3

signe de f 0(t) 0 0 + 0

3. On admet que :

g0(t) = 4 sint

2

sin

3t

2

ainsi que :

t 02

3

Signe de g0(t) 0 0 +

donc le tableau conjoint sur [0 ; ] est :

t 0

3

2

3

f 0t) 0 0 + 01 3

f(t) & %3

2g0(t) 0 0 +

0 0&

g(t) p3

2%

&3p3

2

4. Calculons le vecteur tangent !V

f 0(t)g0(t)

dans les trois cas ci-dessous :

– si t =

3alors f 0

3

= 0 et g0

3

= 4 sin

6

sin2

6= 0 donc !VB est colinéaire à !j ;

– si t =2

3alors g0

2

3

= 0 et f 0

2

3

= 4 sin

3

cos 6= 0 donc !VC est colinéaire à !i ;

– si t = alors f 0 () = 0 et g0 () = 4 sin2

sin

3

2

6= 0 donc !VD est colinéaire à !j .

A.BENHARI 279

5.

-2

-1

0

1

2

-1 1 2 3

A.BENHARI 280

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A.BENHARI 281

0

0.5

1

1.5

2

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A.BENHARI 284

–20

–10

0

10

20

–4 –3 –2 –1

A.BENHARI 285

BTS Groupement ASession 2004

Exercice 1(8 points) pour les spécialitésElectrotechnique, Génie optique et IRIST

1. On sait que si la variableL suit N (m,σ) alors la variableT =L−m

σsuit N (1,0).

On prélève une pièce au hasard dans la production.La probabilité qu’elle soit conforme est donc :

P(79.8 < L < 80.2) = P(−2,11< T < 2,11) = 2P(T < 2,11)−1 = 0,965

2. On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la probabilité que cette pièce ne soitpas conforme, estp = 0,035.

(a) Extraire un lot de 100 pièces revient à répéter 100 fois le prélèvement d’une pièce. Cette pièce prélevéeest conforme avec une probabilitép= 0,035 ou non conforme avec une probabilitéq= 1− p= 0,965.L’assimilation du tirage à un tirage avec remise assure l’indépendance de ces épreuves.En conclusion, la variableX suit B(n, p) avecn = 100 etp = 0,035.

(b) La probabilitéP(A) est :

P(A) = P(X = 2) = C21000,03520,96598 = 0,1847

La probabilitéP(B) est :

P(B) = P(X ≥ 2) = 1−P(X = 0)−P(X = 1) = 0,869

(c) La probabilité que le client refuse le lot est :

P(X > 4) = 1−P(X ≤ 4) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X = 2)−P(X = 3)−P(X = 4) = 0,273

(d) Si on choisitn = 7 alors :

P(X > 7) = 1−P(X ≤ 7) = 0,0217< 0.03

Mais si on choisitn = 8 alors :

P(X > 8) = 1−P(X ≤ 8) = 0,0592≥ 0.03

doncn = 7.

3. La variableL1 suit N (80,σ′) donc la variableT =L1−80

σ′suit N (1,0). La probabilité cherchée est donc :

P(79,8 < L1 < 80,2) = P

(0,2σ′

< T <0,2σ′

)= 2P

(T <

0,2σ′

)−1 = 0,99

Donc :

P

(T <

0,2σ′

)= 0,995

d’où :0,2σ′

= 2.575 etσ′ = 0,0777

A.BENHARI 286

Exercice 1 (8 points) pour les spécialitésContrôle industriel et régulation automatique, Electronique,Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoirePartie 1

1. (a) On sait quex(n)−2x(n−1) = e(n) pour tout n entier relatif ; donc avecn = 0, on obtient :

x(0)−2x(−1) = e(0)

Puisque le signalx est causal on ax(−1) = 0 ; donc :

x(0) = e(0) = 1

(b) Avecn = 1, puisn = 2, puisn = 3 dans l’équation(E) on obtient :

x(1) = 1+2x(0) = 3 ; x(2) = 1+2x(1) = 7 ; x(3) = 1+2x(2) = 15

2. (a) Pour tout entier natureln, on ay(n) = x(n)+1 donc :

x(n) = y(n)−1 sin≥ 0 et x(n−1) = y(n−1)−1 sin≥ 1

Remplaçons dans(E) :y(n)−1−2 [y(n−1)−1] = 1 (E)

Après simplification, on obtienty(n)−2y(n−1) = 0 sin≥ 1. Donc :

y(n) = 2y(n−1) si n≥ 1

En conclusion,n est une suite géométrique de raisonq = 2 et de premier termey(0) = x(0)+1 = 2. L’expression dey(n) en fonction de l’entier natureln est donc :

y(n) = y(0)qn = 2 2n = 2n+1 si n≥ 0

(b) L’expression dex(n) est donc :

x(n) = y(n)−1 = 2n+1−1 sin≥ 0

On vérifie :

x(0) = 21−1 = 1 ; x(1) = 22−1 = 3 ; x(2) = 23−1 = 7 ; x(3) = 24−1 = 15

Partie 2

1. (a) On se place dans le cas oùn≥ 1 ; l’équation(E) est :

x(n)−2x(n−1) = e(n)

La transformation enZ de cette équation donne :

(Zx)(z)−2z−1(Zx)(z) =z

z−1

Donc, en factorisant :

(Zx)(z)[1− 2

z

]=

zz−1

On obtient finalement, siz 6= 0, z 6= 1 etz 6= 2 :

(Zx)(z) =z

z−1× 1

1− 2z

=z2

(z−1)(z−2)

A.BENHARI 287

(b) Donc, siz 6= 0, z 6= 1 etz 6= 2 on peut écrire :

(Zx)(z)z

=z

(z−1)(z−2)

Cette expression peut s’écrire sous la forme :

z(z−1)(z−2)

=A

z−1+

Bz−2

oùA etB sont deux réels à déterminer ; on peut écrire :

z(z−1)(z−2)

=A

z−1+

Bz−2

=A(z−2)+B(z−1)

(z−1)(z−2)=

z(A+B)−2A−Bz−1)(z−2)

On identifie les deux expressions :z= z(A+B)−2A−B

DoncA+B = 1 et−2A−B = 0 ; on en tireA =−1 etB = 2 ; donc :

(Zx)(z)z

=−1

z−1+

2z−2

(c) On en déduit donc :(Zx)(z) = (−1)

zz−1

+2z

z−2

Par lecture inverse du dictionnaire d’images, on obtient :

x(n) = (−1)×1+2×2n =−1+2n+1

2. Représentation graphique du signaln 7→ x(n) :

Exercice 2 (12 points) pour toutes les spécialitésPartie A

1. On sait ques(0+) = 0 etdsdt

(0+) = 0 ; on en déduit donc :

L(

d2sdt2 (t)

)= p2S(p) et L

(dsdt

(t))

= pS(p)

Donc l’équation devient :

(LCp2 +RCp+1)S(p) = E(p) doncS(p) =E(p)

LCp2 +RCp+1

et :

H(p) =S(p)E(p)

=1

LCp2 +RCp+1

A.BENHARI 288

2. (a) La courbe représentative de la fonctioneest :

(b) L’expression deE(p) est :

E(p) = L(e(t)) = L (U(t−1)−U(t−2)) =1p

[e−p−e−2p]

3. (a) On poseL = 2, R= 1000 etC = 2.10−6 ; doncH(p) est égal à :

H(p) =1

4.10−6p2 +2.10−3p+1=

0,25.106

p2 +500p+0,25.106 =5002

p2 +500p+62500+187500

On a bien :

H(p) =5002

(p+250)2 +(250√

3)2

(b) On admet que :

1p

H(p) =1p− p+250

(p+250)2 +(250√

3)2 −

250

(p+250)2 +(250√

3)2

Déterminons les originaux des trois termes ci-dessus :

Premier terme :L−1

[1p

]= U(t)

Deuxième terme :L−1

[p

p2 +(250√

3)2

]= cos

(250√

3t)

U(t)

doncL−1

[p+250

(p+250)2 +(250√

3)2

]= cos

(250√

3t)

e−250tU(t)

Troisième terme :L−1

[250√

3

p2 +(250√

3)2

]= sin

(250√

3t)

U(t)

doncL−1

[1√3

250√

3

(p+250)2 +(250√

3)2

]=

1√3

sin(250√

3t)

e−250tU(t)

Puis on ajoute les trois originaux :

L−1[

1p

H(p)]

= h1(t) =[1−cos

(250√

3t)

e−250t − 1√3

sin(

250√

3t)

e−250t]

U(t)

Exprimonss(t) à l’aide deh1(t) :

s(t) = L−1 [S(p)] = L−1 [H(p)E(p)]

= L−1[H(p)

1p

(e−p−e−2p)E(p)

]= L−1

[1p

H(p)e−p− 1p

H(p)e−2p]

= h1(t−1)−h1(t−2)

En conclusion, l’expression des(t) est :

s(t) =[1−cos

(250√

3(t−1))

e−250(t−1)− 1√3

sin(

250√

3(t−1))

e−250(t−1)]

U(t−1)...

... −[1−cos

(250√

3(t−2))

e−250(t−2)− 1√3

sin(

250√

3(t−2))

e−250(t−2)]

U(t−2)

A.BENHARI 289

En simplifiant :

s(t) = −[cos

(250√

3(t−1))

+1√3

sin(

250√

3(t−1))]

e−250(t−1)U(t−1)...

... +[cos

(250√

3(t−2))

+1√3

sin(

250√

3(t−2))]

e−250(t−2)U(t−2)

(c) Expression des(t) sur l’intervalle]−∞,1[ :

U(t−1) = 0 etU(t−2) = 0 doncs(t) = 0

Expression des(t) sur l’intervalle[1,2[ :

U(t−1) = 1 etU(t−2) = 0

doncs(t) =−[cos

(250√

3(t−1))+

1√3

sin(250√

3(t−1))]

e−250(t−1)

Expression des(t) sur l’intervalle[2,+∞[ :

U(t−1) = 1 etU(t−2) = 1

doncs(t) = −[cos

(250√

3(t−1))

+1√3

sin(

250√

3(t−1))]

e−250(t−1)...

... +[cos

(250√

3(t−2))

+1√3

sin(

250√

3(t−2))]

e−250(t−2)

Partie B

On rappelle queH(p) =5002

(p+250)2 +(250√

3)2 .

1. ∣∣ H( jω)∣∣ =

∣∣∣∣ 5002

( jω+250)2 +(250√

3)2

∣∣∣∣=

5002∣∣ −ω2 +2502 +500jω+3.2502∣∣

=5002∣∣ 4.2502−ω2 +500jω

∣∣=

5002√(5002−ω2)2 +(500ω)2

=5002

√ω4−2.5002ω2 +5004 +2 +5002ω2

=5002

√ω4−5002ω2 +5004

On considère la fonctionr définie pour tout réelω > 0 par :

r(ω) = H(jω)

2. On sait quef (ω) = ω4−5002ω2 +5004 ; calculonsf ′(ω) :

f ′(ω) = 4ω3−2×5002ω = 4ω(ω2−125000) = 4ω(

ω−250√

2)(

ω+250√

2)

3. On sait quer(ω) =5002√

f (ω); donc :

r ′(ω) =− 5002 f ′(ω)2 f (ω)

√f (ω)

doncr ′(ω) est bien du signe de− f ′(ω) car f (ω) > 0 et√

f (ω) > 0.

A.BENHARI 290

4. Les variations der sont :

ω 0 ω0 +∞r ′(ω) + 0 −

r(ω0)r(ω)

avecω0 = 250√

2. Donc

r(ω0) =5002√

(250√

2)4−5002(250√

2)2 +5004

=5002

√4.2504−4.2502.2502.2+5004

=5002

√4.2504−8.2504 +16.2504

=5002

√12.2504

=5002

√12 2502

=4√12

=4√

1212

=2√

33

A.BENHARI 291

Mathematiques

elements de correction du BTS 2005

Elle n’est pas officielle et peut comporter des coquilles.

EXERCICE 1

1) a)g′(t) = (0 + 2 cos t sin t) sin2 t + (1 + cos2 t)2 sin t cos t

= sin t cos t(2 sin2 t + 2 + 2 cos2 t) = 3 sin t cos3 t car cos2 t + sin2 t = 1

b) Sur [0;π] on a : sin t ≥ 0 donc le signe de g′(t) est le signe de cos t. C’est a dire :

sur[0;

π

2

], g′(t) ≥ 0 donc g est croissante.

sur[π2

;π], g′(t) ≤ 0 donc g est decroissante.

2) a)

b)On a : a0 = 2× 11

∫ 12

0

f(t)dt car f est une fonction paire.

a0 = 2× 11

(∫ τ

0

12− τ dt +

∫ 12

τ

−τ dt

)= 2× τ × (

12− τ) + 2× (

12− τ)×−τ = 0

Puis f etant paire, les coefficients bn sont tous nuls

Enfin, ω =2π

1= 2π donc pour n ∈ N∗ on a an = 2× 2

1

∫ 12

0

f(t) cos 2nπtdt

an = 2× 21

(∫ τ

0

(12− τ

)× cos 2nπtdt +

∫ 12

τ

(−τ)× cos 2nπt dt

)

an = 4

((12− τ)

[sin 2nπt

2nπ

]τ

0

− τ

[sin 2nπt

2nπ

] 12

τ

)

an =2

nπ((

12− τ)(sin 2nπτ − 0)− τ(0− sin 2nπ)) =

1nπ

sin 2nπτ

Finalement le developpement en serie de fourier de la fonction f est :

a0 +∞∑

n=1

an cos nωt + bn sinnωt =∞∑

n=1

1nπ

sin 2nπτ cos 2πnt

3)

a) La formule de Parseval donne : E2h = a2

0 +12

∞∑n=1

a2n + b2

n

donc ici : E2h =

12

2∑n=1

1n2π2

sin2 2nπτ =12(sin2 2πτ

π2+

sin2 4πτ

4π2) =

12(sin2 2πτ

π2+

4 sin2 2πτ cos2 2πτ

4π2)

E2h =

12π2

sin2 2πτ(1 + cos2 2πτ

)=

12π2

g(2πτ)

A.BENHARI 292

Mathematiques

D’apres ce qui precede, g(t) atteint un maximum pour t =π

2, la valeur E2

h sera maximale pour τ =14

CORRECTION DE L’EXERCICE 2

Partie A

1) a)

On resout l’equation homogene :1

200y′(t) + y(t) = 0

D’apres le formulaire, les solutions sont les y(t) = Ce−200t

Puis on cherche une solution constante. Si y(t) = cste alors sa derivee est nulle donc l’equationdifferentielle (1) devient : 0 + cste = 146, une solution de l’equation complete est donc y(t) = 146

Finalement toutes les solutions de l’equation complete sont les y(t) = Ce−200t+146 ou C est une constantereelle.

b) Sachant que ω est une solution de (1), on a : ω(t) = Ce−200t + 146 puis sachant que ω(0) = 0 on a :150 = C + 146 donc C = 4

Finalement, la solution de l’equation differentielle qui satisfait a la condition initiale est

ω(t) = 146 + 4e−200t

2) a)

ω∞ = limt7→+∞

ωt = 146 + 0 = 146 donc la difference ω(0)− ω∞ = 150− 146 = 4

b)

∣∣∣∣ω(t)− ω∞ω∞

∣∣∣∣ = 4e−200t

146

Resolvons4e−200t

146≤ 0, 01 on obtient : −200t ≤ `n

1, 464

donc t ≥ −1200

`n1, 46

4

Le temps de stabilisation est :−1200

`n1, 46

4≈ 0, 005 s

Partie B

1) a) Dessin

b) La transformee de Laplace de γ est Γ(p) =K

p(1− e−τp)

2) On applique la transformation de Laplace aux deux membres de l’egalite

A.BENHARI 293

Mathematiques

1200

pF (p) + F (p) =K

p(1− e−τp)

donc F (p) = Kp (1− e−τp)(1 + p

200 )−1 = K 200p(p+200) (1− e−τp)

3) a)

En multipliant par p et faisant tendre p vers 0, on obtient A = 1puis en multiplication par p + 200, et en faisant tendre p vers -200, on obtient B = −1

F (p) =(

1p− 1

p + 200

)K(1− e−τp)

b)

f(t) = K × (U(t)− e−200tU(t)− U(t− τ) + e−200(t−τ)U(t− τ))

car L−1

(1

p + a

)= e−atU(t) et L−1(F (p)e−ap) = F (t− a)U(t− a)

Si t ∈ [0, τ [ alors U(t) = 1 et U(t− τ) = 0 donc f(t) = K × (1− e−200t)Si t ∈ [τ ; +∞[ alors U(t) = 1 et U(t− τ) = 1 donc f(t) = K × (1− e−200t − 1 + e−200(t−τ))

f(t) = K × (−e−200t + e−200t × e200τ ) = K × e−200t(−1 + e200τ ) = K(e200τ − 1)e−200t

c)

Sur l’intervalle t ∈ [0, τ [ on a : f ′(t) = 200Ke−200t ≥ 0 donc la fonction f est croissante sur cet intervalle.Sur l’intervalle t ∈ [τ,+∞[ on a : f ′(t) = −200K

(e200τ − 1

)e−200t ≤ 0 donc la fonction f est decroissante

sur cet intervalle.

Limiteslim

t→+∞f(t) = 0 et lim

t→0f(t) = K

d) Dessin

A.BENHARI 294

Corrigé BTS 2006

Electrotechnique

Juin 2006

Exercice n°1 Partie A : Pour cette partie un tableau de Karnaugh ou un arbre facilite les calculs.

1) P(E1)=P(A.B)=0,03*0,02=0,0006 2) P(E2)=1-P(nonA.nonB)=1-0,97*0,98=0,0494 3) P(E3)=P(nonA.nonB)=0,97*0,98=0,9506 4) P(E1/E2)=0,0006/0,0494!0,0121 Partie B : Résultats au centième près.

1) Lot de 100 pièces p = 0,05 a. X1 suit une loi binomiale car le phénomène étudié ne présente que deux éventualités et le

tirage est considéré comme un tirage avec remise . Les paramètres sont n=100 et p=0,05 (voir P(E2) ).

b. E(X1)=np=5 2) On utilise une loi de Poisson.

a. On a n > 30 et np < 10 on peut donc approcher la loi binomiale par une loi de Poisson de paramètre λ = np = 5 (on conserve l'espérance mathématique).

b. P(X1 < 2) = P(X1=0)+ P(X1=1)+ P(X1=2) ! 0,007+0,034+0,084 ! 0,13 Partie C : X2 suit une loi normale de paramètre m = 40 et σ = 6,2

1) Le changement de variable est ici X2 40T6,2−=

Donc on peut écrire : P(X2 50) P(T 1,61) (1,61) 0,95≤ = ≤ = π !

2) On fait le calcul à l'envers x 40 x 40P(X2 x) P(T ) 1 P(T )

6,2 6,2x 40 x 401 ( ) 0,01 ( ) 0,99

6,2 6,2x 40or (2,33) 0,9901 donc on peut estimer que 2,33

6,2x 40 2,33*6,2 54,45

− −> = > = − <

− −− π = ⇔ π =

−π

+

! !

! !

A.BENHARI 295

1) 11 2

00 0

( )2 2ta t dt tα αα β β β

= + = + = +

∫

2) 1

0

1 1

0 0

1

20

2 ( )sin(2 ) ; 2

On effectue une IPP( ) '( )

1'( ) sin(2 ) ( ) cos(2 )2

( )2 cos(2 ) cos(2 )2 2

( )2 cos(2 ) si2 2 (2 )

n

n

n

b t nt dt

u t t u t

v t nt v t ntn

tb nt nt dtn n

b nn n n

α β π ω π

α β α

π ππ

α β απ ππ π

α β β αππ π π

= + =

= + =−= =

− + = +

− + = + +

∫

∫

[ ]1

0n(2 )

n

nt

bn

π

απ

= −

3)

a. Par identification bn donne α = -π puis a0 donne β = 2π

Donc on a ( )2

f t t ππ= − +

b. voir la représentation à la fin. Partie B

(E) 1"( ) ( ) sin(2 ) sin(4 )2

s t s t t tπ π+ = +

1) On dérive et on remplace dans ( E )

1 2 2

1 2 2

2 2

1 2 2

1 1

1 1( ) sin(2 ) sin(4 )1 4 2(1 16 )

2 2'( ) cos(2 ) cos(4 )1 4 1 16

4 8"( ) sin(2 ) sin(4 )1 4 (1 16 )

1"( ) ( ) sin(2 ) sin(4 )2

s t t t

s t t t

s t t t

s t s t t t

π ππ ππ ππ ππ ππ ππ ππ π

π π

= +− −

= +− −−= −− −

+ = +

1) Il ne reste plus qu’à résoudre l’équation homogène.

s "(t) + s(t) = 0 donne comme solution s(t) = αcos(t) + βsin(t) La solution générale est donc :

1( ) cos( ) sin( ) sin(2 ) sin(4 )2

s t t t t tα β π π= + + +

A.BENHARI 296

Exercice n°2

Partie A

Exercice n°1

Partie A

1) h est dérivable, h'(t) = 0 et l'équation (E1) est bien vérifiée par h donc h

est une solution particulière de (E1).

2) D'après le formulaire l'équation homogène a pour solution : 2ty(t) Ke−=

donc la solution générale de (E1) est : 2ty(t) Ke 10−= + − β

3) La fonction f est dérivable sur , elle a bien la forme trouvée à la question

précédente et on vérifie que f(0) = 10 donc cette fonction répond bien à la

question. 2tf (t) e 10−= β + − β

4) tlim f (t) 10 f∞→∞

= − β =

Partie B

1) On obtient immédiatement :

2

13 10 130 G(p)I(p) G(p) 13

p p pp

= − = −

2) En appliquant la transformée de Laplace l'équation (E2) devient :

( )

( )( )

2

2

2

2

2

1 130 G(p) 1pG(p) 10 G(p) 13 (10 )

2 p pp

1 G(p) 130 1pG(p) G(p) 13 5 (10 )

2 p pp

1 130p p 13 G(p) 5p 10

2 p

2 5p (10 )p 130G(p)

p p 2p 26

− + = − + − β

+ + = + + − β

+ + = + − β +

+ − β +=

+ +

3) On réduit au même dénominateur.

( )( )

( )( )

2 2

2 2

10 p 2p 26 2 p 2 5p (10 )p 130G(p)

p p 2p 26 p p 2p 26

+ + − β + + − β += =

+ + + +

4) On applique la formule donnée

2t p 0 p 0

2 plim g(t) lim pG(p) lim 10 10 g

p 2p 26+ + ∞→∞ → →

β= = − = =

+ +

5) D'après le formulaire

Lt

2

1e sin(5t) (t)

(p 1) 25

− →+ +

U

Donc

t2g(t) 10 e sin(5t) (t)

5

− = − β

U

Partie C

1) β = 5 2t

2tf (t) f 5ee

f 10 5

−−∞

∞

−= =

−

2t 1 1e 0,02 t ln(0,02) ln(50) 2.0 (1.956)

2 2

− ≤ ⇔ ≥ − =

2) Voir annexe 1 : t2 2.3

Exercice n°2

1)

2

3

3

2

j k kT( )

1 j 12 4

kr( ) T( )

14

− ω ωω = =

ω ω− +

ω ω = ω = ω +

2) a) 3 3 3 3( j k) j k donc arg(( j k) )2

π− ω = ω − ω =

Re(1 j ) 0 donc arg(1 j ) arctan( )2 2 2

ω ω ω− > − = −

A.BENHARI 297

Corrigé BTS 200 7

3 3( ) arg(( j k) ) arg((1 j ) ) 3 arctan( )2 2

( ) 3arctan( )2 2

π ω ϕ ω = − ω − − ω = − −

π ωϕ ω = +

b) 2 2

1

62'( ) 3 04

14

ϕ ω = = >ω + ω

+

c) 0

lim ( ) et lim ( ) 22ω→ ω→∞

πϕ ω = ϕ ω = π

3) Reste à ajouter les limites et que ϕ est croissante. (voir énoncé)

4) Voir annexe 2.

5)

2 2 2

2

0,9 4H( ) 1 1 4 3,24 1,786

2,241

4

0 1,34

( ) 3,34

ωω = ⇔ = ⇔ + ω = ω ⇔ ω =

ω+

ω > ω

ϕ ω

A.BENHARI 298

Exercice n° 1 (électrotechnique)

1) e(t) = 4[U(t) – U(t-2)]

a) voir figure 1 à la fin.

b) ( )2p1E(p) 1 e

p

−= −

2) On transforme l’équation :

( ) ( ) ( )2p 2p 2p

4pS(p) S(p) E(p)

4 4 1(4p 1)S(p) 1 e S(p) 1 e 1 e

1p p(4p 1)p(p )

4

− − −

+ =

+ = − ⇔ = − = −+ +

3) En utilisant la réduction au même dénominateur on trouve :

11 a(p ) bp

4

p 0 donne a 4

1p donne b 4

4

= + +

= =

= − = −

4) On recherche les originaux.

F(p) 1

p

2p1e

p

−

1

1p

4+

2p1e

1p

4

−

+

f(t) U(t) U(t – 2) t

4e (t)−

U t 2

4e (t 2)−

−

−U

5)

a) ( )1

t t 2

L2p 4 44 4

S(p) 1 e s(t) 4 1 e (t) 4 1 e (t 2)1p

p4

−−

− −−

= − − → = − − − − +

U U

b)

t

4

t t 2 t 1

4 4 4 2

Si t 0 (t) (t 2) 0 donc s(t) 0

Si 0 t 2 (t) 1 et (t 2) 0 donc s(t) 4 1 e

Si t 2 (t) (t 2) 1 donc s(t) 4 1 e 1 e 4e 1 e

−

−− − −

< = − = =

≤ < = − = = −

≥ = − = = − − − = − +

U U

U U

U U

6) a) Sur l’intervalle [0 ; 2[

t

4s '(t) e 0−

= > donc la fonction est croissante sur cet intervalle.

b)

1

2

t 2lim s(t) 4(1 e ) 1,574

−

−

→= −

A.BENHARI 299

Corrigé BTS 200 8

7) b) Sur l’intervalle [2 ; +∞[ on a

t 1

4 2s '(t) e e 1 0−

= − − <

donc la fonction est décroissante sur cet

intervalle.

b) tlims(t) 0→∞

=

8) voir figure 2.

Exercice n° 1 (électronique).

1) a)

11 1 2S(p)

11 2p pp p

2

= =+

+

b) On réduit au même dénominateur, en identifiant il vient

1 1(p ) p

2 2

p 0 donne 1 ;

1 1 1p donne 1 ainsi S(p)

12 pp

2

= α + + β

= α =

= − β = − = −

+

c) L'original est :

t

2s(t) 1 e (t)−

= −

U

2) a) Il suffit de remplacer.

10z 10 1 z 1F(z) H

10z 10z 1 z 1 2(10z 10)1 2

z 1

z 1F(z)

21z 19

− + = = = −+ + + − +

+

+=

−

b) On a immédiatement ( )z

X(z) Z (n)z 1

= =−

U

c) On effectue le produit F(z).X(z) et on vérifie en réduisant au même dénominateur.

z(z 1)Y(z)

(z 1)(21z 19)

z 20z z(21z 19) 20z(z 1) z(z 1)Y(z)

z 1 21z 19 (z 1)(21z 19) (z 1)(21z 19)

+=

− −

− − − += − = =

− − − − − −

En utilisant la décomposition on trouve : n

20 19y(n) 1

21 21

= −

3) Valeurs approchées à 10-3

des réponses :

A.BENHARI 300

n y(n) t=0,2n s(t)

0 0,048 0 0

1 0,138 0,2 0,095

5 0,423 1 0,393

10 0,650 2 0,632

15 0,788 3 0,777

20 0,871 4 0,865

25 0,922 5 0,918

50 0,994 10 0,993

Exercice n°2 (9 points)

Partie A :

1) On remplace E par 2 ce qui donne

f (t) 2t sur [0;1[

f (t) t 1 sur [1;2[

f (t) 3 sur [2; [

=

= + = +∞

2) Représentation : voir figure 3 à la fin.

Partie B :

1) Valeur moyenne.

[ ]

( )

1 2 5 / 2

0

0 1 2

1 22 2

5 / 2

0 2

0 1

0

0

2a Etdt [(3 E)t 2E 3]dt 3dt

5

2 Et ta (3 E) (2E 3)t 3 t

5 2 2

2 E 1 3a 2(3 E) 2(2E 3) (3 E) (2E 3)

5 2 2 2

2a E 3

5

= + − + − +

= + − + − +

= + − + − − − − − +

= +

∫ ∫ ∫

2) f est paire donc bn = 0.

3)

a) On effectue une intégration par partie.

11 1

00 0

1

2 2

0

u(t) t u '(t) 1

2n 5 2nv '(t) cos t v(t) sin t

5 2n 5

2n 5t 2n 5 2nt cos( t)dt sin t sin t dt

5 2n 5 2n 5

2n 5 2n 25 2nt cos( t)dt sin cos 1

5 2n 5 54n

= → =

π π = → =

π

π π π = − π π

π π π = + −

π π

∫ ∫

∫

A.BENHARI 301

b) On intègre sur une demi période car la fonction est paire : 5

2

n

0

n 2 2

4 2na f (t) cos t dt

5 5

5 2n 4na (2E 3) cos( ) (3 E)cos( ) E

5 5n

π =

π π = − + − −

π

∫

4) Comme la fonction est paire n n

2nu (t) a cos t

5

π =

a) Prenons n = 5

( )5 2 2

5 10 20 5a (2E 3) cos( ) (3 E)cos( ) E 2E 3 3 E E 0

5 525 25

π π = − + − − = − + − − =

π π

b) On recherche E tel que a3 = 0

6 12(2E 3)cos (3 E) cos E 0

5 5

2 2E 2cos( ) cos( ) 1 3cos( ) 3cos( ) 0

5 5 5 5

23cos( ) 3cos( )

5 5E2

2cos( ) cos( ) 15 5

E 1,15

π π − + − − =

π π π π − − − + + =

π π+

=π π

+ +

Figures

Fig 1

Fig 2

A.BENHARI 302

Fig 3

A.BENHARI 303

Exer i e 1. (9 points)Cet exer i e se ompose de trois parties qui peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.On s'intéresse aux requêtes reçues par le serveur web d'une grande entreprise, provenant de lients disperséssur le réseau Internet.La ré eption de trop nombreuses requêtes est sus eptible d'engendrer des problèmes de sur harge du serveur.Partie ADans ette partie, on s'intéresse au nombre de requêtes reçues par le serveur, au ours de ertaines duréesjugées ritiques.On désigne par τ un nombre réel stri tement positif. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeursle nombre de requêtes reçues par le serveur dans un intervalle de temps de durée τ (exprimée en se ondes).La variable X suit une loi de Poisson de paramètre λ = 500τ .1. Dans ette question, on s'intéresse au as où τ = 0,01.a) Déterminer la probabilité que le serveur reçoive au plus une requête au ours d'une durée τ de 0, 01s.On a λ = 500 × 0, 01 = 5.La probabilité que le serveur reçoive au plus une requête est égale à :P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1).En utilisant la table de la loi de Poisson de paramètre 5, on obtient :

P (X ≤ 1) = 0, 007 + 0, 034 = 0, 041b) En expliquant votre démar he, déterminer le plus petit entier naturel n0 tel que P (X > n0) < 0, 05.On additionne les premier nombres de la olonne λ = 5 du formulaire jusqu'à e qu'on dépasse0,95.On peut par exemple faire le tableau suivant :n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P (X = n) 0,007 0,0034 0,084 0,140 0,176 0,176 0,146 0,104= 0,065 0,036 0,018 0,008P (X ≤ n) 0,007 0,041 0,125 0,265 0,441 0,617 0,763 0,867 0,932 0,968 0,986 0,994On en déduit que le plus petit entier n0 tel que P (X > n0) < 0, 05 est n0 = 9.En eet P (X > 9) = 1 − P (X ≤ 9) = 1 − 0, 968 = 0, 032, mais P (X > 8) = 1 − P (X ≤ 8) =

1 − 0, 932 = 0, 068.2. Dans ette question, on s'intéresse au as où τ = 0,2.On rappelle que la loi de Poisson de Paramètre λ = 100 peut être appro hée par la loi normale demoyenne µ = 100 et d'é art type σ = 10.En utilisant ette approximation, al uler :a) la probabilité P (X > 120) ;On a bien λ = 500 × 0, 2 = 100Si on appro he la loi de Poisson de paramètre λ = 100 par la loi normale de moyenne µ = 100 etd'é art type σ = 10, on pose T =X − 100

10et T suit la loi normale entrée réduite N (0; 1).

A.BENHARI 304

Corrigé BTS 200 9

MATGRA1On a don :P (X > 120) = P

(

T >120 − 100

10

)

= P (T > 2) = 1 − P (T ≤ 2) = 1 − Π(2)Don P (X > 120) = 1 − 0, 9772 = 0, 0028.b) une valeur appro hée du nombre réel positif a tel que P (100 − a ≤ X ≤ 100 + a) = 0, 99.Ave le même hangement de variable, on a :P (100 − a ≤ X ≤ 100 + a) = P

(

100 − a − 100

10≤ T ≤

100 + a − 100

10

)

= P(

−a

10≤ T ≤

a

10

)On her he don a pour que l'on ait Π( a

10

)

−Π(

−a

10

)

= 0, 99. Or on sait que Π(−t) = 1−Π(t).Don on doit avoir 2Π( a

10

)

− 1 = 0, 99. Soit Π( a

10

)

=1, 99

2= 0, 995. En utilisant la table de laloi normale entrée réduite, on trouve a

10≈ 2, 575. Soit a ≈ 25, 75.Partie BDans ette partie, on onsidère :

• d'une part, que la propbabilité pour le serveur de onnaître des dysfon tionnements importants au oursd'une journée donnée est p = 0, 01 ;• d'autre part, que des dysfon tionnements importants survenant au ours de journées distin tes onsti-tuent des événements aléatoires iondépendants.1. On appelle Y la variable aléatoire orrespondant au nombre de jours où le serveur onnaît des dysfon -tionnements importants au ours d'un mois de 30 jours.a) On admet que la variable aléatoire Y suit une loi binomiale.Pré iser les paramètres de ette loi.La situation s'apparente à une suite de 30 epreuves de Bernoulli su essives, identique indépen-dante de paramètre p = 0, 01. On a don n = 30 et p = 0, 01.b) Cal uler, à 10−3 près, la probabilité que le serveur onnaisse au plus 2 jours de dysfon tionnementpendant un mois.La probabilité que le serveur onnaisse au plus 2 jours de dysfon tionnement pendant un moisest égale à P (Y ≤ 2) = P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2). En appliquant la formule du ours

P (Y = k) = Cknpkqn−k, on a don :

P (Y ≤ 2) = C0300, 0100, 9930 + C1

300, 0110, 9929 + C2300, 0120, 9928Don P (Y ≤ 2) = 0, 9972. On appelle Z la variable orrespndant au nombre de jours où le serveur onnaît des dysfon tionnementsimportants au ours d'une année de 365 jours.a) Donner, sans justi ation, la loi de probabilité de la variable aléatoire Z.

Z suit la loi binomiale B(365; 0, 01)b) Donner l'espéran e mathématique et l'é art type de la variable aléatoire Z.D'après le ours, on a E(Z) = 365 × 0, 01 = 3, 65 et σ(Z) =√

365 × 0, 01 × 0, 99 = 1, 9Partie CDans ette partie, on s'intéresse à la durée séparant deux requêtes su essives reçues par le serveur.On appelle T la variable aléatoire qui prend pour valeurs les durées (exprimées en se ondes) séparant l'arrivéede deux requêtes su essives sur le serveur.A.BENHARI 305

1. On désigne par t un nombre réel positif. La probabilité que T prenne une valeur inférieure ou égale à test donnée par : P (T ≤ t) =

∫ t

0500e−500xdx.a) Cal uler P (T ≤ t) en fon tion de t.

P (T ≤ t) =

∫ t

0500e−500xdx =

[

−e−500x]t

0= 1 − e−500t

P (T ≤ t) = 1 − e−500tb) En déduire la valeur de t pour laquelle P (T ≤ t) = 0, 95. on donnera la valeur exa te puis unevaleur appro hée au millième de se onde.P (T ≤ t) = 0, 95 ⇔ 1 − e−500t = 0, 95 ⇔ e−500t = 0, 05 ⇔ −500t = ln(0, 05).Or ln(0, 05) = − ln(20). Don P (T ≤ t) = 0, 95 ⇔ t =

ln(20)

500. Ou t ≈ 0, 0062. a) Cal uler, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale I(t) =

∫ t

0500xe−500xdx.On pose :

u(x) = x

v′(x) = 500e−500x On a alors

u′(x) = 1

v(x) = −e−500x

I(t) =

∫ t

0500xe−500xdx =

[

−xe−500x]t

0−

∫ t

0−e−500xdx =

[

−xe−500x]t

0−

[

1

500e−500x

]t

0

I(t) = −te−500t−

1

500

[

e−500t− 1

]b) Déterminer la limite m de I(t) quand t tend vers +∞.On sait que limt→+∞

e−500t = 0 et que limt→+∞

te−500t = 0.Don : m = limt→+∞

I(t) =1

500Le nombre m est l'espéran e mathématique de la variable aléatoire T . Il représente la durée moyenne séparantla ré eption de deux requêtes su essives.Commentaire :Ce modèle, très simple, intéresse les on epteurs de systèmes d'information ou de télé ommuni ation ar ilfournit des évaluations de ertaines performan es d'un système, en parti ulier au sens du "s énario du piredes as". Exer i e 2. (11 points)Dans et exer i e, on étudie un système entrée-sortie .La partie A permet de déterminer la réponse à l'é helon unité.Les parties B et permettent d'étudier les perturbations résultant d'une oupure de 0,1 se onde.On rappelle que la fon tion é helon unité u est dénie par :

U(t) = 0 si t < 0U(t) = 1 si t ≥ 0Une fon tion dénie sur R est dite ausale si elle est nulle sur l'intervalle ]−∞; 0[.Partie AOn onsidère la fon tion ausale s1 telle que, pour tout nombre réel t :

s1(t) +

∫ t

0s1(u)du = U(t).

A.BENHARI 306

On note S1 la transformée de Lapla e de la fon tion s1.1. Montrer que S1(p) =1

p + 1.En appliquant la transformation de Lapla e à l'équation diérentielle i-dessus et ompte-tenu despropriétés du ours, on obtient : S1(p) +

S1(p)

p= L (U(t)) =

1

pOn a don p + 1

pS1(p) =

1

p. Soit S1(p) =

1

p + 12. En déduire s1(t) pou rtout nombre réel t.on a don de manière évidente s1(t) = e−tU(t)La ourbe de la fon tion s1 est donnée par la gure 1 du do ument réponse.Partie BOn onsidère la fon tion ausale s2 telle que, pour tout nombre réel t :s2(t) +

∫ t

0s2(u)du = u(t) − U(t − 1)On note S2 la transformée de Lapla e de la fon tion s2.1. Représenter graphiquement la fon tion e2 dénie sur l'ensemble des nombres réels par :

e2(t) = U(t) − U(t − 1).Représentation graphique de e2 :1 20

1

−12. Déterminer S2(p).De la même façon que plus haut, on a : S2(p) +S2(p)

p= L (U(t)) − L (U(t − 1)) =

1

p−

1

pe−pOn a don p + 1

p=

1

p

(

1 − e−p). Soit S2(p) =

1

p + 1

(

1 − e−p).3. a) En déduire s2(t) pour tout nombre réel t.On en déduit : s2(t) = e−tU(t) − e−(t−1)U(t − 1)b) Justier que :

s2(t) = 0 si t < 0s2(t) = e−t si 0 ≤ t < 1s2(t) = −e−t(e − 1) si t ≥ 1On sait que :

A.BENHARI 307

• si t < 0, alors U(t) = U(t − 1) = 0 don s2(t) = 0

• si 0 ≤ t < 1, alors U(t) = 1 et U(t − 1) = 0, don s2(t) = e−t

• si t ≥ 1, alors U(t) = U(t − 1) = 1, don s2(t) = e−t− e−(t−1) = e−t

(

1 − e1) Don

s2(t) = −e−t (e − 1)4. Etablir le sens de variation de la fon tion s2 sur l'intervalle ]0; +∞[.La fon tion e−t est stristement dé roissante sur [0; +∞].Don s2(t) est stri tement dé roissante sur [0, 1[ et stri tement roissante sur [1; +∞[.5. Cal uler s2

(

1+)

− s2

(

1−).

s2

(

1+)

− s2

(

1−)

= −e−1(e − 1) − e−1. En simpliant on obtient s2

(

1+)

− s2

(

1−)

= −16. On appelle C2 la ourbe représentative de la fon tion s2.a) Reproduire et ompléter le tableau de valeurs i-dessous :t 1 1,1 1,5 2 2,5

s2(t) −0, 63 −0, 57 −0, 38 −0, 23 −0, 14Les résultats seront donnés à 10−2 près.b) Compléter le tra é de la ourbe C2 sur la gure 2 du do ument réponse, à rendre ave la opie.Voir annexe 2.Partie COn onsidère la fon tion ausale s3 telle que, pour tout nombre réel t :s3(t) +

∫ t

0s3(u)du = U(t) − U(t − 1) + U(t − 1, 1).1. Soit la fon tion e3 dénie sur l'ensemble des nombres réels par :

e3(t) = U(t) − U(t − 1) + U(t − 1, 1).a) Montrer que e3(t) = e2(t) pour tout nombre réel t appartenant à l'intervalle ]−∞; 1, 1[.• si t < 0, alors U(t) = U(t − 1) = U(t − 1, 1) = 0 don e3(t) = 0 = e2(t)

• si 0 ≤ t < 1, alors U(t) = 1 et U(t − 1) = U(t − 1, 1) = 0, don e3(t) = 1 = e2(t)

• si 1 ≤ t < 1, alors U(t) = U(t − 1) = 1 et U(t − 1, 1) = 0, don e3(t) = 0 = e2(t)b) Déterminer e3(t) pour t ≥ 1, 1.Si t ≥ 1, 1, alors U(t) = U(t − 1) = U(t − 1, 1) = 1, don e3(t) = 1 − 1 + 1 = 1 ) Représenter graphiquement la fon tion e3.Représentation graphique de e3 :1 20

1

−1

A.BENHARI 308


s3(t) = s2(t) si t < 1, 1

s3(t) = e−t(

1 − e + e1,1) si t ≥ 1, 12. Etablir le sens de variation de la fon tion s3 sur l'intervalle ]1, 1; +∞[.

1 − e + e1,1 > 0, don sur ]1, 1; +∞[, s3 a le même sens de variation que e−t.Don s3 est stri tement dé roissante sur ]1, 1; +∞[3. Cal uler s3

(

1, 1+)

− s3

(

1, 1−).

s3

(

1, 1+)

− s3

(

1, 1−)

= e−1,1(

1 − e + e1,1)

+ e−1,1(e − 1).En simpliant on obtient s3

(

1, 1+)

− s2

(

1, 1−)

= 14. On appelle C3 la ourbe représentative de la fon tion s3.a) Reproduire et ompléter le tableau de valeurs i-dessous :t 1,1 1,5 2 2,5

s3(t) 0, 43 0, 29 0, 17 0, 11Les résultats seront donnés à 10−2 près.b) Compléter le tra é de la ourbe C3 sur la gure 3 du do ument réponse, à rendre ave la opie.Voir annexe 3.

A.BENHARI 309

Do ument réponse, à rendre ave la opie (exer i e 2)Figure 1 : représentation graphique de la fon tion s1

1 20

e−1

1

−1Figure 2 : représentation graphique de la fon tion s2 à ompléter1 20

e−1

1

−1

e−1

− 1 Figure 3 : représentation graphique de la fon tion s3 à ompléter1 20 1, 1

e−1

1

−1

e−1

− 1

−e−1,1

(e − 1)

e−1,1

1 − e + e1,1

A.BENHARI 310

Exercice 1

Dans cet exercice , on se propose d’étudier dans la partie A une perturbation d’un signal continu et dans la

partie B , la correction de cette perturbation par un filtre analogique .

Partie A

Dans cet exercice , on note une constante réelle appartenant à l’intervalle [0;2 ] et on considère les

fonctions f et g , définies sur l’ensemble R des nombres réels , telles que :

Pour tout nombre réel t , ( ) 1f t

La fonction g est périodique de période 2 et :

( ) 0 0

( ) 1 2

g t si t

g t si t

Pour tout nombre réel t , on pose : ( ) ( ) ( )h t f t g t

La fonction h ainsi définie représente la perturbation du signal .

1. les courbes représentatives des fonctions f et g sont tracées sur le document réponse n°1.

( figure 1 et 2 ).

Sur la figure 3 du document réponse n°1, tracer la représentation graphique de la fonction h .

2. On admet que la fonction h est périodique de période 2 .

Pour tout nombre réel t , on définit la série de Fourier ( )S t associée à la fonction h par

0

1

( ) cos sinn n

n

S t a a nt b nt

a) Déterminer 0a .

b) Soit n un entier supérieur ou égal à 1

Calculer 0

cos nt dt

En déduire que 1

sinna nn

c) Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1,

1

1 cosnb ntn

.

3. Soit n un entier supérieur .On associe à n le nombre réel nA tel que :

0 0A a

2 2

2

n nn

a bA

si n est un entier supérieur ou égal à 1

Montrer que, pour tout nombre n entier supérieur ou égal à 1, on a 1

1 cosnA nn

.

On suppose pour toute la suite de l’exercice , que π

τ =4

4. Compléter le tableau 1 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 510 près.

5. La valeur efficace effh de la fonction h est telle que : 222

0

1( )

2effh h t dt

a) Calculer 2effh .

b) Calculer une valeur approchée à 410 près du nombre réel P défini par 3

2

0

n

n

P A

c) Calculer une valeur approchée à 210 près du quotient 2eff

P

h.

Partie B

On rappelle que j est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est 2

.

A.BENHARI 311

On considère la fonction de transfert H définie, pour tout nombre complexe p différent de 3

2 ,par :

3

( )2 3

H pp

.

On définit la fonction r , pour tout nombre réel positif par :

r H j .

Le but de cette partie est de déterminer le spectre d’amplitude du signal, noté k , obtenu en filtrant la

Perturbation h au moyen d’un filtre dont la fonction de transfert est H .

1. Montrer que 2

3

9 4r

.

2. Pour tout nombre entier naturel n , on définit le nombre réel positif nB par :

n nB r n A ,

Où nA est le nombre réel positif défini dans la question 3 de la partie A.

Compléter le tableau 2 du document réponse n°2, avec des valeurs approchées à 510 près.

Le spectre d’amplitude du signal filtré k est donné par la suite des nombres réels nB

3. La figure 4 sur le document réponse n°2 donne le spectre d’amplitude de la perturbation h

C’et-à-dire une représentation graphique de la suite des nombres réels nA

Sur la figure 5 du document réponse n°2, on a commencé de même à représenter la suite des nombres nB

Compléter cette représentation graphique à l’aide du tableau de valeurs n°2 du document réponse n°2.

4. Une valeur approchée à 410 près du carré de la valeur efficace du signal k est 2 0,0516effk

a) Calculer une valeur approchée à 410 près du nombre Q défini par 3

2

0

n

n

Q B

.

b) Calculer une valeur approchée à 210 près du quotient : 2eff

Q

k.

On a étudié le spectre de Fourier d’une perturbation d’un signal . On ne peut pas négliger les raies

de hautes fréquences de ce spectre . Le filtrage dissipe une part importante de l’énergie de la

perturbation et les raies de hautes fréquences de la perturbation filtrée sont négligeables

Exercice2

On considère un système physique dont l’état est modélisé par la fonction y de la variable réelle t ,

solution de l’équation différentielle :

"( ) 4 ( ) ( )y t y t e t (1)


Partie A

Dans cette partie , on suppose que ( ) 20e t

L’équation différentielle (1) s’écrit alors sous la forme :

"( ) 4 ( ) 20y t y t (2)

1. Déterminer la fonction constante h solution particulière de l’équation différentielle (2) .

2. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (2) .

3. En déduire l’expression de la fonction f solution de l’équation différentielle (2) qui vérifie les

conditions (0) 0f et '(0) 0f .

Partie B

Dans cette partie , on étudie un moyen d’amener le système vers un état d’équilibre de manière « lisse ».

A cette fin, on soumet le système à une contrainte extérieure modélisée par la fonction e définie par :

( ) 8 ( ) 8( ) ( )e t t t t t U U

Où désigne un nombre réel strictement positif.


A.BENHARI 312

( ) 0 0

( ) 1 0

t si t

t si t

U

U

Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ] ;0[ .

On appelle g la fonction causale telle que "( ) 4 ( ) ( )g t g t e t .

Et vérifiant :

(0) 0g et '(0) 0g .

On note ( )G p la transformée de Laplace de la fonction g et ( )E p la transformée de Laplace de

la fonction e .

1. Exprimer ( )E p en fonction de p et de .


2 2

8( ) 1

( 4)

pG p ep p

.


2 2 2 2

8

( 4) 4

A B

p p p p

.

4. Déterminer alors l’original de 2 2

8

( 4)p p .

5. En déduire que, pour tout nombre réel t :

0 0( ) ( ) ( )g t g t g t avec 0( ) 2 sin(2 ) ( )g t t t t U

6. Montrer que pour t , on a :

( ) 2 sin(2 ) sin(2 2 )g t t t .

7. On suppose maintenant

a) Simplifier l’expression de ( )g t pour t .

b) La courbe représentative de la fonction e , pour , est tracée sur la figure du document

réponse n°3.

Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction g

A.BENHARI 313

Document réponse n°1 , à rendre avec la copie (exercice 1)

Figure 1 : courbe représentative de la fonction f

2 3 4 5-1-2

-1

0 1

1

x

y

Figure 2 : courbe représentative de la fonction g

2 /3 4 /3 5 /3 2 7 /3 8 /3 3- /3-2 /3--4 /3-5 /3-2-7 /3 0 /3

1

x

y

Figure 3 : courbe représentative de la fonction h

2 3 4--2-3-4 0

1

x

y

A.BENHARI 314

Document réponse n°2 , à rendre avec la copie ( exercice1 )

Tableau 1 n 0 1 2 3 4 5 6 7

nA 0,12500 0,12727 0,13863 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nA 0,01914 0,03183 0,03781 0,03199 0,02274 0,01148

Tableau 2

n 0 1 2 3 4 5 6 7

nB 0,14334 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nB 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00367 0,00242 0,00114

Figure 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

-0,02-1 0

00,02

x

y

Figure 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

-1 0

00,02

x

y

A.BENHARI 315

Document réponse n°3 , à rendre avec la copie (exercice 2)

0 /4

x

y

A.BENHARI 316

Exercice 1

Partie A :

1. Pour tout nombre réel t , ( ) 1f t

La fonction g est périodique de période 2 et :

( ) 0 0

( ) 1 2

g t si t

g t si t

Donc pour tout nombre réel t , on pose : 1 0 1 0

( ) ( ) ( )1 1 0 2

si th t f t g t

si t

Courbe représentative de la fonction h

2 3 4--2-3-4 0

1

x

y

2. (a) On a

2 2

0 00 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 [ ]

2 2 2 2 2 2 2

Ta f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt dt t

T

(b) On a, pour 1n : 0

0

1 1cos( ) sin( ) sinnt dt nt n

n n

2

0 0 00

2 2 1 1( )cos( ) 1 cos( ) cos( ) cos( ) sin( )

2

1sin

T

n

n

a f t nt dt nt dt nt dt nt dt ntT n

a nn

c) On a, pour 1n :

2

0 0 00

2 2 1 1( )sin( ) 1 sin( ) 0 sin( ) sin( ) cos( )

2

1 1 1cos cos 0 1 cos( )

T

n

n

b f t nt dt nt dt nt dt nt dt ntT n

b n nn n n

3. À l’aide de la question précédente, on a : 0 02

A a

et pour 1n ,

22 222 2 2 2

2 22 2

sin ( ) 1 cos( )1 1 sin ( ) 1 2cos( ) cos( )

2 2 2

1 2 2cos( ) 11 cos( )

2 2

n n

n n

na b n n

n n

a b nn

n n

22 2

1 11 cos( ) 1 cos( )

2

n nn

a bA n n

n n

.

4.

DOCUMENT réponse 2 Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

nA 0,12500 0,12727 0,15915 0,13863 0,11254 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nA 0 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 0,03199 0,02274 0,01148

A.BENHARI 317

5.

a) 22 / 4 / 42 2

00 0

1 1 1 1 1( ) 1 0,125

2 2 2 2 4 8eff effh h t dt h dt t

.

b) 3

2 2 2 22 2 2 2 20 1 2 3

0

0,12727 0,138630,125 0,080,13863 984895n

n

P A A A A A

c) 2

0,08984895230,71879

0,125eff

P

h .

Partie B

3

( )2 3

H pp

.

On définit la fonction r , pour tout nombre réel positif par :

r H j .

1. Montrer que 2

3

9 4r

.

3

( )2 3

H jj

, donc 2

3 3 3( )

2 3 2 3 9 4H j

j j

2. Pour tout nombre entier naturel n , on définit le nombre réel positif nB par :

22

1 cos( )3 1 31 cos( )

9 49 4n n

nB r n A n

n n nn

,


n 0 1 2 3 4 5 6 7

nB 0,12500 0,14334 0,09549 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nB 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00465 0,00367 0,00242 0,00114

Voir figure

Voir figure

4. Une valeur approchée à 410 près du carré de la valeur efficace du signal k est 2 0,0516effk

a) Calculer une valeur approchée à 410 près du nombre Q défini par

3

2 2 2 22 2 2 2 20 1 2 3

0

0,14334 0,0,125 0,04909549 0,0620 1340n

n

Q B B B B B

.

b) Calculer une valeur approchée à 210 près du quotient : 2

0,04913369570,952

0,0516eff

Q

k .

Exercice 2

Partie A

1. la solution particulière est une fonction constante égale à ( )py t k qui vérifie "( ) 4 ( ) 20y t y t

4 20 5k k

2. "( ) 4 ( ) 0y t y t a pour équation caractéristique 2 4 0r qui a deux solutions imaginaires pures 2 j

Le formulaire indique comme solution de la forme ( ) cos sinty t e A t b

Ici on a : 0 et 2 . Les solutions de 0E sont de la forme ( ) cos(2 ) sin(2 )y t A t B t

et la solution homogène de "( ) 4 ( ) 0y t y t est ( ) cos(2 ) sin(2 )Hy t A t B t .

et par conséquent la solution générale de "( ) 4 ( ) 20y t y t est de la forme :

( ) 5 cos(2 ) sin(2 )f t A t B t

3. a Déterminer la fonction f solution de l’équation différentielle 1( )E qui vérifie : (0) 0f et '(0) 0f

(0) 0f signifie (0) 5 cos(0) sin(0) 5 0f A B A , donc 5A .

A.BENHARI 318

'( ) 2 sin(2 ) 2 cos(2 )f t A t B t , '(0) 2 sin(0) 2 cos(0) 2 0f A B B , donc 0B

la fonction f , solution de l’équation différentielle 1E est définie surR par : ( ) 5 1 cos(2 )f t t .

3. b ( ) 5 5cos 2 5 5cos 2 2 5 5cos 2 ( )f t t t t f t . Donc f est périodique

de période . De plus f est une fonction paire ( puisque cost t est paire )

et ( ) 5 5cos( 2 ) 5 5cos(2 ) ( )f t t t f t ) .

partie B

0 0

( ) 8 ( ) 8( ) ( ) 8 0

8

t

e t t t t t t t

t

U U

b. Dans le formulaire on lit ( ( ) ( 1)) ( ) pf t t F p e UL . 2

1( ( ))t t

pL U

2

8(8 ( )) 8 ( ( ))t t t t

p L LU U

2

8(8( ) ( )) pt t e

p

L U . La transformée de Laplace est linéaire .

on en déduit L’expression de E(p) et on a :

2 2 2

8 8 8( ) ( ( )) (8 ( ) 8( ) ( / 4)) 1p pE p e t t t t t e e

p p p

U UL L

2. a. On lit dans le formulaire : 2"( ) ( ) ( ) (0 ) '(0 )y t t p G p pg g L U .

Donc l’équation "( ) 4 ( ) ( )g t g t e t devient 2 ( ) (0 ) '(0 ) 4 ( ) ( )p G p pg g G p E p .

or (0 ) '(0 ) 0g g , donc on a 2( 4) ( ) ( )p G p E p , soit 2

( )( )

4

E pG p

p

donc

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 8 8 8 8( ) ( ) 1 1

4 4 4 4 4

p p pG p E p e e ep p p p p p p p p

2

2 22 2 2 2

482 2

44 4

A B p AA BA et B

p pp p p p

, donc

2 22 2

8 2 2

44 p pp p

b. On lit aussi dans le formulaire 2

1( ( ))t t

pUL et

2 2(sin( )t

p

L , donc

2 2 2

2 2(sin(2 )

2 4t

p p

L

1 1 1 10 0 2 2 2 2

2 2 2 2( ) ( ( )) 2 sin(2 ) ( )

4 4g t G p t t t

p p p p

UL L L L

Donc 0( ) 2 sin(2 ) ( )g t t t t U

on lit dans le formulaire : ( ( ) ( )) ( ) pg t t G p e UL , donc avec 2 2

(4

)2 2

G pp p

2 22 2

8 2 2

44

p p pe e ep pp p

.

2

1(( ) ( )) pt t e

p

UL et 2

2(sin 2

4

pt t ep

UL .

10 0( ) ( ) ( ) 2 sin(2 ) ( )pG p e g t t t t t U UL

Donc 1 1 1 10 0 0( ) ( ( )) ( ) 1 ( ) ( )p pg t G p G p e G p G p e L L L L .

Et finalement, pour tout réel t on a :

0 0( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin(2 ) ( ) 2 sin(2 ) ( )g t g t g t t t t t t t t U U U

6. Expression de ( )g t sur l’intervalle ] ;0[ : ( ) ( / 4) 0t t U U donc ( ) 0g t

Expression de ( )g t sur l’intervalle [0; [ : ( ) 1 ( ) 0t et t U U , donc ( ) 2 sin(2 )g t t t

A.BENHARI 319

Expression de ( )g t sur l’intervalle [ ; [ : ( ) 1 ( ) 1t et t U U , donc

( ) 2 sin(2 ) 2( ) sin 2( ) 2 sin(2 ) sin 2 2g t t t t t t t .

et enfin on a :

( ) 0 0

( ) 2 sin(2 ) 0

( ) 2 sin(2 ) sin(2 2 )

g t si t

g t t t si t

g t t t si t

.

7.voir figure ci-dessous

DOCUMENT réponse n°3 (Exercice 2)

0 /4 x

y

A.BENHARI 320

DOCUMENT réponse n° 2 Tableau 1

n 0 1 2 3 4 5 6 7

nA 0,12500 0,12727 0,15915 0,13863 0,11254 0,08318 0,5305 0,02461

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nA 0 0,01914 0,03183 0,03781 0,03751 0,03199 0,02274 0,01148

DOCUMENT réponse n°2 Figure 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

0,2

-0,02-1 0

00,02

x

y


n 0 1 2 3 4 5 6 7

nB 0,12500 0,14334 0,09549 0,06200 0,03952 0,02390 0,01287 0,00516

n 8 9 10 11 12 13 14 15

nB 0,00000 0,00315 0,00472 0,00511 0,00465 0,00367 0,00242 0,00114

Figure 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

-1 0

0

0,02

x

y

A.BENHARI 321

BTS Groupement A – Mathématiques

Éléments de correction

Session 2011

Exercice 1 :

Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL

Partie A : QCMLes bonnes réponses sont :1. f(t) = 10 (U (t) − U (t − 1))

2. S(p) =1

1 + 0, 005pV (p)

3. s(t) = ke−200t + 2Partie B : Simulation numérique

1. Comme Te = 0, 5.10−3 alors0, 005

Te

= 10, l’équation devient alors :

10 (y(n) − y(n − 1)) + y(n) = x(n)

⇐⇒ 11y(n) − 10y(n − 1) = x(n)

2. (a) On a, sachant que x(n) = 2e(n), en prenant la transformée en Z de l’équation précédente :

11Y (z) − 10 (Zy(n − 1)) (z) = 2 (Ze(n)) (z)

11Y (z) − 10z−1Y (z) = 2z

z − 1(

11 −10z

)

Y (z) =2z

z − 1

11(

z −1011

)

Y (z)z

=2z

z − 1

Y (z)z

=211

×2z

(z − 1)(

z −1011

)

(b) Une réduction au même dénominateur est nécessaire afin de montrer que

211

(

11z

z − 1−

10z

z −1011

)

=211

×z2

(z − 1)(

z −1011

) = Y (z)

(c) Par développement et simplification de l’expression précédente, on obtient :

Y (z) = 2 ×z

z − 1− 2 ×

1011

×z

z −1011

3. (a) Par lecture inverse de la table des transformées en Z, on obtient :

y(n) = 2e(n) − 2 ×1011

×

(

1011

)n

e(n)

= 2e(n) − 2 ×

(

1011

)n+1

e(n)

(b) Comme(

1011

)n+1

est une suite géométrique de raison1011

∈ ]−1 ; 1[ alors limn→+∞

(

1011

)n+1

= 0 d’où

limn→+∞

y(n) = 2

A.BENHARI 322

Partie C :

1. Voir table 1 du document réponse numéro 1.

2. Voir figure 1 du document réponse numéro 1.

A.BENHARI 323

Exercice 1 :

Spécialités Électrotechnique – Génie optique

Partie A :Les bonnes réponses sont :

1. La probabilité de l’événement E1 est égale 0, 01.

2. Si l’événement E2 est réalisé, le signal reçu est 10.

3. La probabilité de l’événement E2 est égale à 0, 09.



Partie B :

1. (a) X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 1.

(b) On demande p(X = 1), c’est-à-dire

p(X = 1) = C110 0, 11

× 0, 99

= 10 × 0, 11× 0, 99

= 0, 99

≈ 0, 387

(c) On demande p(X 6 1).

p(X 6 1) = p(X = 0) + p(X = 1)

= C010 0, 10

× 0, 910 + p(X = 1)

= 0, 910 + p(X = 1)

≈ 0, 736

≈ 0, 74 à 0, 01 près

2. (a) La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0, 002. Par conséquent,par approximation de cette loi binomiale par une loi de Poisson, l’espérance est conservée.Pour une loi binomiale, l’espérance est égale à np, qui est égale au paramètre λ de la loi de Poisson.On a alors ici : λ = 0, 002 × 1000 = 2.

(b) On demande p(Y > 1).

p(Y > 1) = 1 − p(Y = 0)

≈ 1 − 0, 135

≈ 0, 865 à 0, 001 près

Partie C :

1. (a) Pour avoir un chiffre 1, il faut que 4 + U > 2, c’est-à-dire U > −2.

(b) Comme U suit la loi normale N (0 ; 0, 7) alors T =U

0, 7suit N (0 ; 1).

p(U > −2) = p

(

T > −2

0, 7

)

= p(T > −2, 857)

= p(T 6 2, 857)

≈ 0, 998

2. Comme U suit la loi normale N (0 ; σ) alors T =U

σsuit N (0 ; 1).

A.BENHARI 324

On a

p(U < −2) = p

(

T < −2σ

)

= p

(

T >2σ

)

= 1 − p

(

T <2σ

)

Il faut alors résoudre l’inéquation

p(U < −2) < 0, 001

1 − p

(

T <2σ

)

< 0, 001

0, 999 < p

(

T <2σ

)

c’est-à-dire , d’après la table de la loi normale,

2σ

> 3, 1

σ 6 0, 645

A.BENHARI 325

Exercice 2 :

Toutes spécialités

Partie A :

1. Voir figure 2 du document réponse.

2. On a

a0 =12

∫ 1

−1

f(t) dt

=12

∫ 1

−1

0, 5(t − 1) dt

=14

[

12

t2 + t

]1

−1

=14

× 2

=12

3. (a) On a

ω =2π

T

=2π

2= π

(b) On a, pour n > 1 :

b1 =2T

∫ 1

−1

f(t) sin(nωt) dt

=22

∫ 1

−1

0, 5(t − 1) sin(πt) dt

=12

∫ 1

−1

(t − 1) sin(πt) dt

On procède à une intégration par parties en posant

u(t) = t + 1v′(t) = sin πt

u(t) = 1

v(t) = −1π

cos πt

d’où

∫ 1

−1

(t − 1) sin(πt) dt =[

−1π

(t + 1) cos πt

]1

−1

+1π

∫ 1

−1

cos πt dt

= −2π

cos π +1π2

[sin πt]1−1

=2π

En remplaçant, on obtient alors

b1 =1π

4. (a) On a, pour tout nombre réel t ∈ ]−1 ; 1[ , g(t) = 0, 5t.Pour la représentation graphique, voir figure 3 du document réponse.

(b) Comme la fonction g est impaire, la courbe représentative de la fonction g est symétrique par rapportà l’origine du repère.

A.BENHARI 326

(c) La fonction g étant impaire, pour tout entier naturel n, les coefficients de Fourier an(g) sont nuls.Or, on a, pour n > 1 :

an(g) =2T

∫ 1

−1

g(t) cos nπt dt

=2T

∫ 1

−1


=2T

∫ 1

−1

f(t) cos nπt dt − 0, 5 ×2T

∫ 1

−1

cos nπt dt

= an(f) −1T

[

1nπ

sin(nπt)]1

−1

= an(f)

D’où, pour tout entier naturel n > 1, an = 0.

5. On a f2(t) =14

(t + 1)2, d’où

f2eff =

12

∫ 1

−1

(f(t))2 dt

=18

∫ 1

−1

(t + 1)2 dt

=18

[

13

(t + 1)3

]1

−1

=18

×13

× 23

=13

6. (a) On a

P =14

+1

2π2

5∑

k=1

1k2

=14

+1

2π2

52693600

≈ 0, 324

D’où

P

f2eff

≈ 0, 972

(b) L’erreur commise est

f2eff − P

f2eff

= 1 −P

f2eff

≈ 0, 028

≈ 2, 8%

Partie B :Remarque : Cette question est mal posée, car il manque l’essentiel, à savoir que la fonction h vérifie les

conditions de Dirichlet afin de s’assurer de la convergence de la série de Fourier vers la fonction h régularisée.

Ici, nous allons donc supposer que c’est bien le cas...

1. La série de Fourier ne comportant que des cos, par conséquent, la fonction h est paire.

2. Grâce à la parité de la fonction h, la courbe représentative admet l’axe des ordonnées comme axe desymétrie, par conséquent, nous pouvons déjà éliminer les courbes 1 et 4.La fonction h est périodique de période 2 donc nous pouvons maintenant éliminer la courbe 3 qui représenteune fonction périodique de période 1.

A.BENHARI 327

3. Par lecture graphique, nous avons h(t) = πt sur l’intervalle [0 ; 1].Grâce à cette expression, nous avons donc que la fonction h est continue sur R, de classe C

1 par morceaux,

par conséquent, à l’aide du théorème de Dirichlet, la série de Fourier de h converge en tout point de Rvers la fonction h.

A.BENHARI 328

Document réponse numéro 1 à joindre avec la copie

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(n) 0, 18 0, 35 0, 50 0, 63 0, 76 0, 87 0, 97 1, 07 1, 15 1, 23 1, 30

Table 1 – Tableau de valeur de la suite y

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

s

0

Figure 1 – Signal numérique y

A.BENHARI 329

Document réponse numéro 2 à joindre à la copie

0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Figure 2 – représentation graphique de la fonction f

0.5

1.0

−0.5

−1.0

1 2 3 4−1−2−3−4

b b b b

0

Figure 3 – représentation graphique de la fonction g

A.BENHARI 330

mailto:[email protected]

BTS groupement A 2012

corrigé

Exercice 1

Partie A

1. X suit la loi N (15 ; 0, 35) donc X0 = X ! 150, 35 suit la loi normale centrée réduite N (0; 1).

a. On demande p(14, 3 ! X ! 15, 5)= p!! 0, 7

0, 35 ! X0 ! 0, 5

0, 35

"= p(!2 ! X0 ! 1.43). Ceci

est égal à !(1,43)+ !(2)!1 où ! désigne la fonction donnant les valeurs de la tabledu formulaire. Ainsi :p(14,3!X !15,5)=0,9772+0,9236!1=0,9008. Conclusion :

p(conforme) =0, 90.

b. On résoud :

p(15! h !X ! 15+h) =0, 95 " p

#!h0, 35

!X0 ! h0, 35

$=0, 95

" 2!

#h

0, 35

$! 1 = 0, 95

" !

#h

0, 35

$= 0, 975

" h0, 35

= 1, 96

" h =0, 686

À 10!2 près, cela donne h = 0, 69 .

c. X a 95% de chances d’être dans l’intervalle [14, 31; 15, 69].

2. On prend cette fois-ci X0 = X ! 14, 9

0, 35 et on demande

p(14, 3 !X ! 15, 5) =0, 9 " p

#!0, 6

"! X0 ! 0, 6

"

$=0, 90

" 2!

#0, 6"

$! 1 = 0, 90

" !

#0, 6"

$= 0, 95

" 0, 6"

# 1, 645"

" "# 0.364742

À 10!2 près, j’ai donc " =0, 07 .

Remarque * : j’ai pris la moyenne entre 1, 64 et 1, 65.

Partie B

1. On tire un nombre de pièces fixées à l’avance, et la probabilité d’avoir une pièce conformeest considérée comme étant la même pour chaque pièce tirée, donc Y suit une loi binomiale.Les paramètres sont B(50, 10%).

A.BENHARI 331

2. On demande p(Y = 2) =!50

2

"0, 9480, 12 = 0.078 d’où 0, 08 à 10!2près.

3. a) Le paramètre de la Poisson qui approche binomimale est l’espérance de cette dernière,c’est-à-dire qu’on peut approcher B(n, p) par P(n p) (pourvu que n soit assez grand et passez petit). Donc ici c’est bien P(50$ 0, 10=5) qui va nous servir d’approximation.

b) on demande p(Y !2)=0,007+0,034+0,084=0,125=12,5%. Donc avec l’approximationdemandée par l’énoncé : p(Y ! 2)# 0, 13 .

Remarque 1. On peut, par curiosité, regarder combien Poisson donne pour p(Y = 2) : latable donne 0,084 ce qui est e!ectivement proche du 0, 08 que nous avons trouvé.

Partie COn résume la situation à l’aide d’un arbre :

une pièce

P (A)= 0, 4 p(A )= 0, 6

pA(C) =0, 9 pA(C ) =0, 1 pA(C) = ? pA(C ) = ?

p(A%C)= 0, 36 p(A% C )= 0, 04 p(A %C)= ? p(A % C )= ?

1. On nous demande p(M1% C )=0, 1$0, 4=0, 04 obtenu en multipliant le long des branchesde l’arbre, ce qui revient à utiliser la formule p(M1% C )= p(M1)$ pM1(C ).

2.

C CA p(C %A)= 0, 36 p(C %A)= 0, 04 p(A)= 0, 4A p(C % A )= 0, 58 p(C % A )= 0, 02 p(A )= 0, 6

p(C)= 0, 94 p(C )= 0, 06 total= 1

3. On demande pC(A)= p(C #A)

p(C)= 0, 36

0, 94 =0, 38.

4. p(A)$ p(C)= 0, 4$ 0, 94=0, 376

p(A%C)=0,36 donc les événement ne sont pas indépendants : le fait d’utiliser telle ou tellemachine influe sur la conformité des pièces.

Exercice 2

Partie A

1. a) représentation de e(t) :

Figure 1. afonction e(t)= 10U(t)

A.BENHARI 332

b)Laplace de e(t): E(p)= 10p.

2. Si v(t)U(t) a pour Laplace V (p), alors v $(t)U(t) a pour Laplace p V (p) ! v(0+). Doncl’équation di!érentielle a pour transformée :

R C(pV (p)! v(0+))+ V (p) = 10p

" V (p)(R C p +1)= 10p

+R Cv(0+)

On suppose que v(0+), l’énoncé assimilant v(0)=0 et v(0+)=0 donc on arrive à la formuledemandée.

3. a) décomposition en éléments simples : l’énoncé vous donne la réponse, il su"t de vérifier.

10p

! 10p + 1

R C

= 10p+ 1

R C! p

p%p + 1

R C

&

= 101

R C

p%p + 1

R C

&

on multiplie par R C en haut et en bas :

= 10p(pR C + 1)

b) On doit trouver le Laplace inverse de p & 10p

! 10p +

1R C

. On applique les formules desdécalages :

• L!1!

10p

"= 10U(t)

• L!1

#10

p +1

R C

$= 10e!

t

RCU(t).

D’où : v(t) = 10!

1! e!t

RC

"U(t). On vérifie que v(0+) = 10$ (1! 1) = 0. La limite v(+')

vaut 10U(t) ce qui veut dire que le système se stabilise.

Partie B

1. On divise par R en haut et en bas :

T (#)=1

j R C !

1+ 1

j R C !

=!0

j !

1+ !0

j !

On multiplie par j w

w0:

T (#)= 11 + j !

!0

.

2. T (w0)= 1

1+ j= 1! j

2= 2

%

2e!j

!

4 module 2%

2et argument !"

4.

3. a) |T (#)|= 1

1+!

"

"0

"2' et b) arg(T (#))=!arg

!1 + j !

!0

"=!arctan

!!

!0

".

A.BENHARI 333

4. Question intéressante : on ne pense jamais assez à vérifier la concordance des résultats. Lesformules du 3) nous donneraient |T (#0)|= 1

2% , ce que nous avons trouvé (en e!et, 2

%

2= 1

2%

ce qu’un simple produit en croix montre), et arg(T (#0)) =!arctan (1)=!"

4.

5. Gdb(#0)= 20ln (10) ln

!1

2%

"= 20

ln (10) $%!1

2ln(2)

&=!10 ln (2)

ln (10) =!3.

6. Une remarque avant de commencer :

Remarque 2. On peut remarquer que Gdb(#) = !10ln (10) ln

!1 +

!!

!0

"2". Le gain est donc

toujours négatif puisque 1 +!

!

!0

"2> 1, ce que le graphique confirme.

a) !(#0) = !arctan (1) = !"

4donc b) M0

%!"

4# !0, 785, !3

&on retrouve graphiquement

l’ordonnée !3.

7. Je désigne par x(A) l’abscisse d’un point A. J’ peux alors écrire : x(M1) < x(M0) ce quisignifie !(#1) < !(#0) donc #1 >#0 d’où #1 > 500.

graphique de M0 :

Figure 2.

document réalisé avec TEXMACS

A.BENHARI 334

Bibliographie : [1] H. Collet, B. Girard, C. Perrier, BTS Industriels -Mathématiques, Editions NATHAN, 2002

[2] Patrick Leménicier, Véronique Chevrier, Stéphane Le Méteil, et al., BTS industriels –

Mathématiques, Collection: Hors collection, Dunod, 2010

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http://www.dunod.com/auteur/patrick-lemenicier

http://www.dunod.com/auteur/veronique-chevrier

http://www.dunod.com/auteur/stephane-le-meteil

http://www.dunod.com/collection/hors-collection/sciences-techniques-0

Documents

Mathématiques - BTS Industriel