Mathématiques CST Les PROBABILITÉS conditionnelles

Mathématiques Mathématiques CSTCST

LesLes PROBABILITÉS PROBABILITÉS conditionnellesconditionnelles

Mathématiques Mathématiques CSTCST- Probabilités - Probabilités conditionnellesconditionnelles --

Définitions de baseDéfinitions de base

Expérience Expérience aléatoirealéatoire : : Expérience dont le résultat dépend du hasard Expérience dont le résultat dépend du hasard (ne peut être prédit avec certitude).(ne peut être prédit avec certitude).

UniversUnivers des possibles : des possibles : Ensemble formé de tous les résultats possibles Ensemble formé de tous les résultats possibles d’une expérience.d’une expérience.

Symbole : Symbole : (« oméga »)(« oméga »)

Ex. #1Ex. #1 : On lance un dé. : On lance un dé.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ex. #2Ex. #2 : On lance un dé suivi d’une pièce de monnaie. : On lance un dé suivi d’une pièce de monnaie.

= { (1, P) , (1, F) , (2, P), (2, F) , … , (6, P) , (6, F) }= { (1, P) , (1, F) , (2, P), (2, F) , … , (6, P) , (6, F) }

TYPESTYPES de probabilités de probabilités

Probabilité Probabilité THÉORIQUETHÉORIQUE : : Établie à la suite d’un raisonnement, sans avoir Établie à la suite d’un raisonnement, sans avoir besoin d’en faire l’expérience.besoin d’en faire l’expérience.

Probabilité Probabilité THÉORIQUETHÉORIQUE = = Nombre de résultats Nombre de résultats favorablesfavorables

Nombre de résultats Nombre de résultats possiblespossibles

Ex. Ex. :: On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ? On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 ?

PPTT(4) = (4) = 1 1

6 6


Probabilité Probabilité FRÉQUENTIELLEFRÉQUENTIELLE : :(ou (ou EXPÉRIMENTALEEXPÉRIMENTALE))

Obtenue suite à la répétition d’une Obtenue suite à la répétition d’une expérience.expérience.

Probabilité Probabilité FRÉQUENTIELLEFRÉQUENTIELLE = = Nombre de fois qu’un résultat s’est produit Nombre de fois qu’un résultat s’est produit

Nombre d’expériences réaliséesNombre d’expériences réalisées

Ex. Ex. ::

PPFF(1) = (1) =

2 2

6 6

On lance un dé à 6 reprises. On obtient le nombre « 1 » à 2 reprises. On lance un dé à 6 reprises. On obtient le nombre « 1 » à 2 reprises. Quelle est la probabilité fréquentielle d’obtenir 1 suite à cette Quelle est la probabilité fréquentielle d’obtenir 1 suite à cette expérience ?expérience ?

Lorsque l’expérience est effectuée un Lorsque l’expérience est effectuée un très grand nombre de foistrès grand nombre de fois, la probabilité , la probabilité fréquentiellefréquentielle tend à se rapprocher de la probabilité tend à se rapprocher de la probabilité théoriquethéorique..

Loi desLoi des grands nombres grands nombres

Ex. Ex. :: On lance une pièce de monnaie.On lance une pièce de monnaie.

Après Après 55 expériences : expériences : 33 piles et piles et 22 faces faces PPF F (pile) = (pile) = 3 / 5 3 / 5 = 0,6= 0,6




Probabilité Probabilité SUBJECTIVESUBJECTIVE : : Reflète Reflète l’avis d’une personnel’avis d’une personne sur la probabilité sur la probabilité qu’un événement se produise.qu’un événement se produise.

Ex. Ex. :: Les probabilités que les Les probabilités que les Canadiens de MontréalCanadiens de Montréal gagnent la coupe Stanley sont bonnes cette année !gagnent la coupe Stanley sont bonnes cette année !

Elle fait appel au Elle fait appel au jugementjugement et correspond à et correspond à une une évaluation personnelleévaluation personnelle basée à la fois sur basée à la fois sur des des connaissancesconnaissances et des et des opinionsopinions..

Il est Il est impossibleimpossible de calculer une probabilité de calculer une probabilité subjectivesubjective ou d’en faire ou d’en faire l’expériencel’expérience..


Résultats simplesRésultats simples

La probabilité d’un résultat « La probabilité d’un résultat « rr » est : » est :

P(P(rr) = ) = 00 Événement Événement impossibleimpossible

P(P(rr) = ) = pp avec p avec p [ 0, 1 ] [ 0, 1 ]

P(P(rr) = ) = 11 Événement Événement certaincertain

Si :Si :

P(P(rr) = ) = Nombre de Nombre de chanceschances d’obtenir le résultat souhaité d’obtenir le résultat souhaité

Nombre de résultats Nombre de résultats possiblespossibles de de

Ex. #1 Ex. #1 :: On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un On lance un dé. Quelle est la probabilité d’obtenir un 66 ? ?

P(P(66) = ) =

1 1

6 6 ≈ ≈ 0,170,17

Ex. #2 Ex. #2 :: Dans un jeu de 52 cartes, on pige 1 carte. Quelle est la probabilité Dans un jeu de 52 cartes, on pige 1 carte. Quelle est la probabilité

d’obtenir un d’obtenir un cœurcœur ouou une une dame de pique dame de pique ??

P(P( ouou DD) = ) = 13 13

52 52 ++

11

52 52 ==

1414

52 52 ≈ ≈ 0,270,27

Ex. #3 Ex. #3 :: Dans un jeu de 52 cartes, on pige 2 cartes. Quelle est la probabilité Dans un jeu de 52 cartes, on pige 2 cartes. Quelle est la probabilité

d’obtenir un d’obtenir un cœurcœur et et une une dame de pique dame de pique ((avecavec remise) remise) ??

P(P( etet DD) = ) = 13 13

52 52 xx

11

52 52 ==

1313

27042704≈ ≈ 0,00480,0048

Chances Chances POURPOUR et chances et chances CONTRESCONTRES

Chances Chances POUR POUR = = Nombre de chances de Nombre de chances de succèssuccès

Nombre de chances d’Nombre de chances d’échecéchec

Chances Chances CONTRE CONTRE = = Nombre de chances d’Nombre de chances d’échecéchec

Nombre de chances de Nombre de chances de succèssuccès

Ex. #1 Ex. #1 :: Denis et Paul essaient de deviner le poids des gens Denis et Paul essaient de deviner le poids des gens (à 5 lbs près)(à 5 lbs près). .

Denis a deviné juste 12 fois et s’est trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5 Denis a deviné juste 12 fois et s’est trompé 8 fois. Paul a deviné juste 5

fois et s’est trompé 15 fois.fois et s’est trompé 15 fois.

Chances Chances POURPOUR = =12 12

88

Quelles sont les « chances pour » que Denis devine juste pour la Quelles sont les « chances pour » que Denis devine juste pour la prochaine personne ?prochaine personne ?

Chances Chances CONTRECONTRE = =1515

55

Quelles sont les « chances contre » que Paul se trompe pour la prochaine Quelles sont les « chances contre » que Paul se trompe pour la prochaine personne ?personne ?

Ex. #2 Ex. #2 :: Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1. Quelle somme recevra-t-il Aux courses, un cheval est coté à 8 contre 1. Quelle somme recevra-t-il

si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ?si on mise 20 $ et que ce cheval gagne la course ?

Chances Chances CONTRECONTRE88

11==

xx

20 $20 $

xx == 160 $160 $

==pp

gg

NoteNote : : Aux courses, la cote Aux courses, la cote indique les indique les « chances « chances contres »contres »

Ex. #3 Ex. #3 :: Une équipe est favorite à 12 contre 7 pour l’emporter. Paul gage 10 $ Une équipe est favorite à 12 contre 7 pour l’emporter. Paul gage 10 $

que l’équipe va perdre. Combien recevra-t-il si l’équipe perd ?que l’équipe va perdre. Combien recevra-t-il si l’équipe perd ?

Chances Chances POURPOUR1212

77==

xx

10 $10 $xx == 17,14 $17,14 $==

gg

pp

On recevra On recevra 180 $180 $, car on , car on nous remet notre mise.nous remet notre mise.

Réponse :Réponse :

Paul recevra Paul recevra 27,14$27,14$, car on , car on lui remet sa mise.lui remet sa mise.



Résultats composésRésultats composés

Se produit lors d’une expérience à Se produit lors d’une expérience à plusieurs étapes plusieurs étapes (2 lancers de dé, (2 lancers de dé,

tirer 3 cartes, etc.)tirer 3 cartes, etc.)..

Mot clé :Mot clé :

La probabilité d’un résultat composé est égale au La probabilité d’un résultat composé est égale au produitproduit des des probabilités de chacune de ses composantes.probabilités de chacune de ses composantes.

ETET

Attention aux tirages Attention aux tirages AVECAVEC remise et remise et SANSSANS remise ! remise !

Ex. Ex. :: Dans un sac qui contient Dans un sac qui contient 55 boules boules ROUGESROUGES, , 33 boules boules BLEUESBLEUES et et 2 2 boulesboules

VERTESVERTES, on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la , on tire deux boules consécutives sans remise. Quelle est la

probabilité de piger probabilité de piger 22 boules boules BLEUESBLEUES ? ?

DépartDépart

ROUGEROUGE

5 / 105 / 10

BLEUEBLEUE3 / 103 / 10

VERTEVERTE

2 / 102 / 10

ROUGEROUGE

4 / 94 / 9


VERTEVERTE

2 / 92 / 9

ROUGEROUGE

5 / 95 / 9


VERTEVERTE

2 / 92 / 9

ROUGEROUGE

5 / 95 / 9


VERTEVERTE

1 / 91 / 9

P( P( RR , , RR ) = ) =

55

1010xx == ≈ ≈ 0,220,22

44

99

2020

9090

P( P( RR , , B B ) = ) =

55

1010xx == ≈ ≈ 0,170,17

33

99

1515

9090

P( P( RR , , VV ) = ) =

55

1010xx == ≈ ≈ 0,110,11

22

99

1010

9090

P( P( BB , , RR ) = ) =

33

1010xx == ≈ ≈ 0,170,17

55

99

1515

9090

P( P( BB , , B B ) = ) =

33

1010xx == ≈ ≈ 0,0670,067

22

99

66

9090

P( P( BB , , VV ) = ) =

33

1010xx == ≈ ≈ 0,0670,067

22

99

66

9090

P( P( VV , , RR ) = ) =

22

1010xx == ≈ ≈ 0,110,11

55

99

1010

9090

P( P( VV , , B B ) = ) =

22

1010xx == ≈ ≈ 0,0670,067

33

99

66

9090

P( P( VV , , VV ) = ) =

22

1010xx == ≈ ≈ 0,0220,022

11

99

22

9090

11erer TIRAGE TIRAGE 22ee TIRAGE TIRAGE


Diagramme de VennDiagramme de Venn

Sert à Sert à visualiservisualiser les les relationsrelations entre les événements. entre les événements.

Ex. Ex. :: Les Les 200 élèves200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a option. Il y a 6060 élèves inscrits en élèves inscrits en ArtArt. Il y a . Il y a 100100 élèves inscrits en élèves inscrits en BioBio. Il y a . Il y a 120120 élèves inscrits en élèves inscrits en ChimieChimie. Il y a Il y a 3030 élèves inscrits en élèves inscrits en Art et en BioArt et en Bio. Il y a . Il y a 6060 élèves inscrits en élèves inscrits en Bio et en ChimieBio et en Chimie. Il y a . Il y a 2020 élèves inscrits en élèves inscrits en Art et en Art et en ChimieChimie. Il y a . Il y a 2020 élèves inscrits en élèves inscrits en Art, en Bio et en ChimieArt, en Bio et en Chimie. Finalement, il y . Finalement, il y a a 1010 élèves inscrits à élèves inscrits à autre choseautre chose..

On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :On peut représenter cette situation en définissant les ensemble suivants :

= Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.= Élèves inscrits à 1 ou plusieurs cours à option.

A = Élèves inscrits en Art.A = Élèves inscrits en Art.

B = Élèves inscrits en Bio.B = Élèves inscrits en Bio.C = Élèves inscrits en Chimie.C = Élèves inscrits en Chimie.






(200)(200)

AA BB

CC

On commence par la On commence par la partie partie communecommune aux aux

troistrois ensembles ensembles

2020






(200)(200)

AA BB

CC

Ensuite, les parties Ensuite, les parties communescommunes à à deuxdeux

ensembles…ensembles…

2020

1010






(200)(200)

AA BB

CC



2020

1010

4040






(200)(200)

AA BB

CC



2020

1010

404000

Ex. Ex. :: Les Les 200 élèves200 élèves en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à en secondaire 5 peuvent s’inscrire à 1 ou plusieurs cours à option. Il y a option. Il y a 6060 élèves inscrits en élèves inscrits en ArtArt. Il y a . Il y a 100100 élèves inscrits en élèves inscrits en BioBio. Il y a . Il y a 120120 élèves inscrits en élèves inscrits en ChimieChimie. Il y a . Il y a 3030 élèves inscrits en élèves inscrits en Art et en BioArt et en Bio. Il y a . Il y a 6060 élèves inscrits en élèves inscrits en Bio et en ChimieBio et en Chimie. Il y a . Il y a 2020 élèves inscrits en élèves inscrits en Art et en Art et en ChimieChimie. Il y a . Il y a 2020 élèves inscrits en élèves inscrits en Art, en Bio et en ChimieArt, en Bio et en Chimie. Finalement, il y . Finalement, il y a a 1010 élèves inscrits à élèves inscrits à autre choseautre chose..





(200)(200)

AA BB

CC

Finalement, les Finalement, les ensemble seuls…ensemble seuls…

2020

1010

404000

3030 3030

6060 1010


ÉvénementsÉvénements

DÉFINITION :DÉFINITION : Sous-ensembleSous-ensemble de l’univers des possibles ( de l’univers des possibles () d’une ) d’une expérience aléatoire. expérience aléatoire.

Ex. Ex. : On lance un dé.: On lance un dé.

Événement AÉvénement A = Obtenir un nombre pair = Obtenir un nombre pair

Événement BÉvénement B = Obtenir un nombre premier = Obtenir un nombre premier

Événement C Événement C = Obtenir un nombre plus petit ou égal à 5. = Obtenir un nombre plus petit ou égal à 5.

ÉvénementsÉvénements COMPLÉMENTAIRES COMPLÉMENTAIRES

Lors d’un événement A, ce sont tous les éléments Lors d’un événement A, ce sont tous les éléments qui ne sont pas qui ne sont pas dans dans l’l’événements Aévénements A..

Ex. Ex. : On choisit un numéro parmi les nombres 1 à 20. : On choisit un numéro parmi les nombres 1 à 20.

Événement AÉvénement A = Obtenir un multiple de 4. = Obtenir un multiple de 4.

AA = {4, 8, 12, 16, 20} = {4, 8, 12, 16, 20}

A’A’ = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19}

P(P(AA) = ) = 5 5

2020==

1 1

44≈ ≈ 0,250,25

P(P(A’A’) = ) = 15 15

2020==

3 3

44≈ ≈ 0,750,75

P(A’) = 1 – P(A)P(A’) = 1 – P(A)

On peut donc calculer la probabilité d’un événement complémentaire avec On peut donc calculer la probabilité d’un événement complémentaire avec la la relationrelation suivante : suivante :

6060

100100

ÉvénementsÉvénements DISJOINTS DISJOINTS (ou incompatibles)(ou incompatibles)

Lorsque deux événements A et B Lorsque deux événements A et B ne peuvent ne peuvent avoir des éléments en avoir des éléments en communcommun..

Ex. Ex. : On interroge 100 personnes sur leur lieu de naissance.: On interroge 100 personnes sur leur lieu de naissance. = Le lieu de naissance de personnes nées dans un = Le lieu de naissance de personnes nées dans un hôpital.hôpital.AA = Les personnes nées en Suisse. = Les personnes nées en Suisse.

BB = Les personnes nées en France. = Les personnes nées en France.

Des 100 personnes, Des 100 personnes, 1010 dit être nées en dit être nées en SuisseSuisse, , 5050 en en FranceFrance et et 4040 dans un autre dans un autre pays.pays.

(100)(100)

AA BB

1010 5050

4040

Quelle est la probabilité qu’une personne soit née en Quelle est la probabilité qu’une personne soit née en SuisseSuisse ouou en en FranceFrance ? ?

P(P(AA U U BB) = ) = 1010

100100

= =

5050

100100

++

ÉvénementsÉvénements DISJOINTS DISJOINTS (ou incompatibles)(ou incompatibles)

Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :

P(A U B) = P(A) + P(B)P(A U B) = P(A) + P(B)

8080

100100

ÉvénementsÉvénements COMPATIBLES COMPATIBLES

Lorsque deux événements A et B Lorsque deux événements A et B peuventpeuvent avoir des éléments en commun avoir des éléments en commun..Ex. Ex. : On interroge 100 personnes sur les pays qu’ils ont visités en Europe durant leur : On interroge 100 personnes sur les pays qu’ils ont visités en Europe durant leur voyage.voyage.

= Les personnes qui ont voyagé en Europe.= Les personnes qui ont voyagé en Europe.

AA = Les personnes qui ont visité la Suisse. = Les personnes qui ont visité la Suisse.

BB = Les personnes qui ont visité la France. = Les personnes qui ont visité la France.

Des 100 personnes, Des 100 personnes, 40 40 ont visité uniquement la ont visité uniquement la SuisseSuisse, , 30 30 ont visité uniquement ont visité uniquement la la FranceFrance, , 1010 ont visité les deux pays et ont visité les deux pays et 20 20 ont visité d’autres pays.ont visité d’autres pays.

(100)(100)

AA BB

4040 3030

2020

Quelle est la probabilité qu’une personne ait visité la Quelle est la probabilité qu’une personne ait visité la SuisseSuisse ouou la la FranceFrance ? ?

P(P(AA U U BB) = ) = 5050

100100

= =

4040

100100

++

1010

1010

100100

––

ÉvénementsÉvénements COMPATIBLES COMPATIBLES

Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :Pour le calcul des probabilités, on obtient donc :

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B) B)


Espérance mathématiqueEspérance mathématique

DÉFINITION :DÉFINITION : C’est le C’est le gaingain (ou la perte) (ou la perte) moyenmoyen qu’on espère obtenir si qu’on espère obtenir si on répète une expérience un grand nombre de fois.on répète une expérience un grand nombre de fois.

Méthode de calcul Méthode de calcul ::

On On multipliemultiplie chacun des chacun des gainsgains ou des ou des pertespertes possibles par possibles par leur leur probabilitéprobabilité

On fait la On fait la sommesomme de tous les produits de tous les produits

Ex. #1 Ex. #1 :: On fait tourner la roue suivante :On fait tourner la roue suivante :

a)a) Quelle est l’Quelle est l’espérance mathématique espérance mathématique de cette situation ?de cette situation ?

10 $10 $

20 $20 $

5 $5 $

2 $2 $

2 $2 $

11

44((10 $10 $) )

++11

44((20 $20 $) )

++11

66((5 $5 $) ) ++EEMM = =

11

66((2 $2 $) ) ++

11

66((2 $2 $) )

EEMM = = 1010

44++

2020

44++

55

66++

22

66++

22

66

EEMM = = 2,52,5 ++ 55 ++ 0,830,83 ++ 0,330,33 ++ 0,330,33

EEMM = = 99

Conclusion :Conclusion : En moyenne, on devrait recevoir En moyenne, on devrait recevoir 9 $9 $ à chaque tour. à chaque tour.

Ex. #1 Ex. #1 :: On fait tourner la roue suivante :On fait tourner la roue suivante :

b) Maintenant, on paie b) Maintenant, on paie 7 $7 $ pour jouer à ce jeu. Êtes-vous intéressé à pour jouer à ce jeu. Êtes-vous intéressé à jouer ?jouer ?

10 $10 $

20 $20 $

5 $5 $

2 $2 $

2 $2 $

EEMM = = 99

Conclusion :Conclusion : On ne risque toujours rien de jouer à ce jeu, on devrait On ne risque toujours rien de jouer à ce jeu, on devrait même recevoir même recevoir 2 $2 $ à chaque tour. à chaque tour.

– – 77

EEMM = = 22

Lorsque le joueur paie pour jouer et qu’on ne spécifie pas qu’on lui Lorsque le joueur paie pour jouer et qu’on ne spécifie pas qu’on lui remet sa mise s’il gagne, alors on doit remet sa mise s’il gagne, alors on doit soustraire cette mise de son soustraire cette mise de son gaingain. Si on lui remet sa mise s’il gagne, alors le gain reste entier ; . Si on lui remet sa mise s’il gagne, alors le gain reste entier ; c’est comme s’il n’avait pas payé pour jouer.c’est comme s’il n’avait pas payé pour jouer.

ATTENTIONATTENTION ::

Ex. #2 Ex. #2 :: La probabilité de gagner La probabilité de gagner 10 $10 $ est de est de 0,050,05, la probabilité de gagner , la probabilité de gagner 5 $5 $ est est de de 0,20,2 et la probabilité de perdre et la probabilité de perdre 5 $5 $ est de est de 0,750,75. Quelle est l’espérance de . Quelle est l’espérance de gain de ce jeu ?gain de ce jeu ?

EEMM = = 0,05 (0,05 (10 $10 $)) ++

EEMM = = - 2,25- 2,25

Conclusion :Conclusion : En moyenne, on devrait perdre En moyenne, on devrait perdre 2,25 $2,25 $ à chaque fois à chaque fois qu’on joue à ce jeu. Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu !qu’on joue à ce jeu. Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu !

0,2 (0,2 (5 $5 $)) ++ 0,75 (0,75 (- 5 $- 5 $))

Jeu Jeu ÉQUITABLEÉQUITABLE

Un jeu est équitable si les deux joueurs ont Un jeu est équitable si les deux joueurs ont la même chance de gagnerla même chance de gagner..

Donc, l’Donc, l’espérance mathématique espérance mathématique doit être doit être nullenulle..

Ex. #1 Ex. #1 :: Retournons à notre exemple de la roue :Retournons à notre exemple de la roue :

Combien faudrait-il payer pour que ce jeu soit Combien faudrait-il payer pour que ce jeu soit équitableéquitable ? ?

10 $10 $

20 $20 $

5 $5 $

2 $2 $

2 $2 $

EEMM = = 99

Conclusion :Conclusion : En moyenne, on devrait payer En moyenne, on devrait payer 9 $9 $ à chaque fois qu’on à chaque fois qu’on tourne la roue.tourne la roue.

EEMM = = 99 – – 99

EEMM = = 00

88

Ex. #2 Ex. #2 :: Dans un bocal, il y a 8 boules identiques dont Dans un bocal, il y a 8 boules identiques dont 77 rougesrouges et et 1 verte1 verte. On tire au . On tire au hasard 1 boule. La seule façon de gagner est de tirer la boule hasard 1 boule. La seule façon de gagner est de tirer la boule verteverte. Il en . Il en coûte coûte 2 $2 $ pour jouer à ce jeu. Quel doit être le montant à gagner si on veut pour jouer à ce jeu. Quel doit être le montant à gagner si on veut que le jeu soit que le jeu soit équitableéquitable ? ? (on ne nous remet pas notre mise)(on ne nous remet pas notre mise)

Soit Soit GG, le montant du prix à gagner., le montant du prix à gagner.

11

88((GG – – 2 $2 $) ) ++

77

88((- 2 $- 2 $) ) EEMM = =

GG

88– – ––

1414

880 = 0 =

11

88((GG – 2 $) – 2 $) ++

77

88(- 2 $) (- 2 $) 0 = 0 =

22

88

GG – 16 – 160 = 0 =

0 = 0 = GG – 16 – 16

16 = 16 = GG

Conclusion :Conclusion : On doit gagner On doit gagner 16 $16 $ pour que ce jeu soit équitable. pour que ce jeu soit équitable.

Ex. #3 Ex. #3 ::Lors des 600 dernières parties de babyfoot, Martin a gagné à 200 reprises. Lors des 600 dernières parties de babyfoot, Martin a gagné à 200 reprises. François propose à Martin un petit pari. Il dit : « Si tu me bats 3 fois de suite, François propose à Martin un petit pari. Il dit : « Si tu me bats 3 fois de suite, je te donne 20 $, sinon, tu me donnes 1 $. ». Martin doit-il accepter ce pari ?je te donne 20 $, sinon, tu me donnes 1 $. ». Martin doit-il accepter ce pari ?

Calculons la Calculons la probabilité fréquentielle probabilité fréquentielle de gagner de Martin :de gagner de Martin :

PPFF = =

200 200

600 600 = =

11

33

Ses chances de gagner s’il joue trois fois de suite :Ses chances de gagner s’il joue trois fois de suite :

PPFF = =

11

33xx

11

33xx

11

33= =

11

2727

Calculons l’Calculons l’espérance mathématique espérance mathématique ::

11

2727((20 $20 $) ) ++

2626

2727((-- 1 $1 $) ) EEMM = =

2020

2727––

2626

2727EEMM = =

- 6- 6

2727EEMM = =

EEMM = - 0,22 = - 0,22

Conclusion :Conclusion : Martin doit refuser le pari.Martin doit refuser le pari.


Probabilités conditionnellesProbabilités conditionnelles

DÉFINITION :DÉFINITION : C’est la probabilité qu’un événement se réalise C’est la probabilité qu’un événement se réalise étant étant donnédonné qu’un autre événement s’est déjà réalisé. qu’un autre événement s’est déjà réalisé.

Ex. Ex. :: On a interrogé On a interrogé 100100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. personnes sur leurs activités de fin de semaine. 5050 personnes ont dit être allées au personnes ont dit être allées au cinémacinéma, , 4040 personnes ont joué au personnes ont joué au billardbillard, , 1010 d’entre elles ont dit être allées au d’entre elles ont dit être allées au cinéma et cinéma et avoir joué au avoir joué au billardbillard et et 2020 personnes ont fait personnes ont fait autre choseautre chose..

Diagramme de Diagramme de VENNVENN

Ex. Ex. :: On a interrogé On a interrogé 100100 personnes sur leurs activités de fin de semaine. personnes sur leurs activités de fin de semaine. 5050 personnes personnes ont dit être allées au ont dit être allées au cinémacinéma, , 4040 personnes ont joué au personnes ont joué au billardbillard, , 1010 d’entre elles d’entre elles ont dit être allées au ont dit être allées au cinéma et cinéma et avoir joué au avoir joué au billardbillard et et 2020 personnes ont fait personnes ont fait autre autre chosechose..


= Les activités de fin de semaine.= Les activités de fin de semaine.

CC = Les personnes qui ont été au cinéma. = Les personnes qui ont été au cinéma.

BB = Les personnes qui ont joué au billard. = Les personnes qui ont joué au billard.

(100)(100)

CC BB

4040 3030

2020

1010

a) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au a) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinémacinéma ? ?

P(P(CC) = ) = 50 50

100100==

1 1

22






(100)(100)

CC BB

4040 3030

2020

1010

b) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au b) Quelle est la probabilité de choisir une personne qui est allée au cinéma cinéma etet qui a joué au qui a joué au billardbillard ? ?

P(P(C C BB) = ) = 10 10

100100==

1 1

1010






(100)(100)

CC BB

4040 3030

2020

c) c) Sachant queSachant que la personne est allée au la personne est allée au cinémacinéma, quelle est la probabilité , quelle est la probabilité qu’elle ait aussi joué au qu’elle ait aussi joué au billardbillard ? ?

PPCC ((BB) = ) = 10 10

5050==

1 1

55

1010

PPCC ((BB) = ) = P(P(B B CC) )

P (P (CC) )






(100)(100)

CC BB

4040 3030

2020

d) d) Sachant queSachant que la personne est allée jouer au la personne est allée jouer au billardbillard, quelle est la probabilité , quelle est la probabilité qu’elle soit aussi allée au qu’elle soit aussi allée au cinéma cinéma ??

PPBB ((CC) = ) = 10 10

4040==

1 1

44

1010

PPBB ((CC) = ) = P(P(B B CC) )

P (P (BB) )






(100)(100)

CC BB

4040 3030

2020

d) d) Sachant queSachant que la personne est allée jouer au la personne est allée jouer au billardbillard, quelle est la probabilité , quelle est la probabilité qu’elle soit aussi allée au qu’elle soit aussi allée au cinéma cinéma ??

1010

Donc,Donc, PPBB ((CC) ≠ P) ≠ PCC ((BB) )

Ex. Ex. :: On a interrogé On a interrogé 100100 personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont personnes sur leurs loisirs préférés. Les données sont représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous.représentées dans le tableau à double entrée ci-dessous.

Tableau à Tableau à DOUBLE ENTRÉEDOUBLE ENTRÉE

= Les loisirs préférés de 100 personnes.= Les loisirs préférés de 100 personnes.

GG = La personne est un gars. = La personne est un gars.

SS = La personne pratique un sport. = La personne pratique un sport.

(100)(100)

GG SS

2020 3030

1010

4040

Pratique un Pratique un sportsport

Fait autre Fait autre chosechose TotalTotal

GarsGars 4040 2020 6060

FilleFille 3030 1010 4040

TotalTotal 7070 3030 100100

LoisirLoisirSexeSexe





GarsGars 4040 2020 6060


TotalTotal 7070 3030 100100


a) Quelle est la probabilité de choisir un a) Quelle est la probabilité de choisir un garsgars qui qui pratique un sport pratique un sport ??

P(P(G G S S) = ) = 40 40

100100==

2 2

55

b) Quelle est la probabilité de choisir quelqu’un qui b) Quelle est la probabilité de choisir quelqu’un qui fait autre chose fait autre chose ??

P(P(S’S’) = ) = 30 30

100100==

3 3

1010

c) Quelle est la probabilité de choisir une c) Quelle est la probabilité de choisir une fillefille ou quelqu’un qui ou quelqu’un qui pratique un pratique un sport sport ??

P(P(G’ G’ UU S S) = ) = 40 40

100100==

80 80

100100

++ (70 – 30) (70 – 30) ==

4 4

55





GarsGars 4040 2020 6060


TotalTotal 7070 3030 100100


d) Sachant que la personne choisit est un d) Sachant que la personne choisit est un garsgars, quelle est la probabilité qu’il , quelle est la probabilité qu’il pratique un sport pratique un sport ??

= =

40 40

6060==

2 2

33PPGG ((SS) = ) =

P(P(G G SS) ) P (P (GG) )

e) Sachant que la personne choisit e) Sachant que la personne choisit fait autre chosefait autre chose, quelle est la probabilité , quelle est la probabilité qu’elle soit une qu’elle soit une fillefille ? ?

= =

10 10

3030==

1 1

33PPS’S’ ((G’G’) = ) =

P(P(S’ S’ G’G’) ) P (P (S’S’) )

f) Sachant que la personne choisit f) Sachant que la personne choisit pratique un sportpratique un sport, quelle est la probabilité , quelle est la probabilité

qu’elle ne soit pas une qu’elle ne soit pas une fillefille ? ?

= =

40 40

7070==

4 4

77PPSS ((GG) = ) =

P(P(S S GG) )

P (P (SS) )

À partir du tableau à double entrée précédent, faisons un arbre des probabilités.À partir du tableau à double entrée précédent, faisons un arbre des probabilités.

ARBREARBRE des probabilités des probabilités



GarsGars 4040 2020 6060


TotalTotal 7070 3030 100100


DépartDépart

FF

40 / 10040 / 100

GG60 / 10060 / 100

AA10 / 4010 / 40

SS30 / 4030 / 40

AA20 / 6020 / 60

SS40 / 6040 / 60

DépartDépart

FF

40 / 10040 / 100

GG60 / 10060 / 100

AA10 / 4010 / 40

SS30 / 4030 / 40

AA20 / 6020 / 60

SS40 / 6040 / 60

a) Quelle est la probabilité de choisir un a) Quelle est la probabilité de choisir un garsgars qui qui pratique un sport pratique un sport ??

P(P(G G S S) = ) = 60 60

100100xx

40 40

6060==

4040

100100==

22

55

b) Sachant que la personne choisit est un b) Sachant que la personne choisit est un garsgars, quelle est la probabilité qu’il , quelle est la probabilité qu’il pratique un sport pratique un sport ??

= =

40 40

6060==

2 2

33PPGG ((SS) = ) =

P(P(G G SS) ) P (P (GG) )


Événements dépendants et indépendantsÉvénements dépendants et indépendants

DÉPENDANTSDÉPENDANTS : : Lorsque la réalisation d’un événement Lorsque la réalisation d’un événement influenceinfluence la la probabilité de réalisation d’un autre événement.probabilité de réalisation d’un autre événement.

PPAA ((BB) ≠ P() ≠ P(BB))

PPAA ((BB) = P() = P(BB))

INDÉPENDANTSINDÉPENDANTS : : Lorsque la réalisation d’un événement Lorsque la réalisation d’un événement n’influence pas n’influence pas la probabilité de réalisation d’un autre événement.la probabilité de réalisation d’un autre événement.

P(P(AA BB) = P() = P(AA) ) P( P(BB))

Ex. Ex. :: Une urne contient des billes bleues et des billes rouges. On tire deux billes Une urne contient des billes bleues et des billes rouges. On tire deux billes consécutives. On considère les événements suivants :consécutives. On considère les événements suivants :

Tirage SANS remise :Tirage SANS remise :

AA = Tirer une bille = Tirer une bille bleuebleue au au 11erer tirage.tirage.

BB = Tirer une bille = Tirer une bille bleuebleue au au 22ee tirage.tirage.

Les événements A et B sont Les événements A et B sont DÉPENDANTSDÉPENDANTS..

PPAA ((BB) ≠ P() ≠ P(BB))

Tirage AVEC remise :Tirage AVEC remise :

Les événements A et B sont Les événements A et B sont INDÉPENDANTSINDÉPENDANTS..

PPAA ((BB) = P() = P(BB))

Ex. Ex. :: On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :1 à 6. On considère les événements suivants :

AA = Obtenir un nombre = Obtenir un nombre pairpair..

BB = Obtenir un nombre = Obtenir un nombre impairimpair..

CC = Obtenir un = Obtenir un multiple de troismultiple de trois..

(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

Donc :Donc :

AA = {2, 4, 6} = {2, 4, 6}

BB = {1, 3, 5} = {1, 3, 5}

CC = {3, 6} = {3, 6}

44 55





(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

a) Les événements a) Les événements AA et et BB sont-ils sont-ils dépendantsdépendants ? ?

OUI.OUI.

P(P(A A B B) = 0 ) = 0

Réponse :Réponse :P(P(AA) ) P( P(BB) =) = ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 )

= 9 / 36 = 9 / 36 = 1 / 4 = 1 / 4

Donc P(Donc P(A A B B) ) P( P(AA) ) P( P(BB) )





(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

b) Les événements b) Les événements AA et et CC sont-ils sont-ils dépendantsdépendants ? ?

NON, ils sont NON, ils sont indépendantsindépendants..


P(P(A A C C) = 1 / 6 ) = 1 / 6

P(P(AA) ) P( P(CC) =) = ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( 2 / 6 ) ( 2 / 6 ) = 6 / 36 = 6 / 36 = 1 / 6 = 1 / 6

Donc P(Donc P(A A C C) = P() = P(AA) ) P( P(CC) )

Ex. Ex. ::




(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

c) Les événements c) Les événements BB et et CC sont-ils sont-ils dépendantsdépendants ? ?

NON, ils sont NON, ils sont indépendantsindépendants..


P(P(B B C C) = 1 / 6 ) = 1 / 6

P(P(BB) ) P( P(CC) =) = ( 3 / 6 ) ( 3 / 6 ) ( 2 / 6 ) ( 2 / 6 ) = 6 / 36 = 6 / 36 = 1 / 6 = 1 / 6

Donc P(Donc P(B B C C) = P() = P(BB) ) P( P(CC) )

On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de On tire une boule (sans remise) dans un sac qui contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :1 à 6. On considère les événements suivants :


Événements mutuellement exclusifsÉvénements mutuellement exclusifs

DÉFINITION :DÉFINITION : Lorsque deux événements Lorsque deux événements ne peuvent pasne peuvent pas se produire se produire en même tempsen même temps..

P(P(AA BB) = 0) = 0AA BB = =

Ex. Ex. :: On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements On lance un dé à 6 faces, numérotées de 1 à 6. On considère les événements suivants :suivants :




(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

a) Les événements a) Les événements AA et et BB peuvent-ils se produire en même temps ? peuvent-ils se produire en même temps ?

NON. Ils sont donc NON. Ils sont donc mutuellement mutuellement exclusifsexclusifs..

P(P(A A B B) = 0 ) = 0 Remarque :Remarque :Réponse :Réponse :





(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

b) Les événements b) Les événements AA et et CC peuvent-ils se produire en même temps ? peuvent-ils se produire en même temps ?

OUI. Ils sont donc OUI. Ils sont donc nonnon mutuellement mutuellement exclusifsexclusifs..

P(P(A A C C) ≠ 0 ) ≠ 0 Remarque :Remarque :Réponse :Réponse :





(6)(6)

AA BB22 11

3366

CC

44 55

c) Les événements c) Les événements BB et et CC peuvent-ils se produire en même temps ? peuvent-ils se produire en même temps ?

OUI. Ils sont donc OUI. Ils sont donc nonnon mutuellement mutuellement exclusifsexclusifs..

P(P(B B C C) ≠ 0 ) ≠ 0 Remarque :Remarque :Réponse :Réponse :

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Mathématiques CST Les PROBABILITÉS conditionnelles