Mathématiques CST MODULE 3 Transformations GÉOMÉTRIQUES dans le plan cartésien

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MODULE 3MODULE 3TransformationsTransformations

GÉOMÉTRIQUESGÉOMÉTRIQUES dans le dans le plan cartésienplan cartésien

Mathématiques Mathématiques CSTCST- Transformations - Transformations géométriquesgéométriques --

Translation

On note On note tt(a, b)(a, b) la translation qui applique un déplacement de : la translation qui applique un déplacement de :

aa unités horizontalement unités horizontalement

bb unités verticalement unités verticalement

Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + aa, y + , y + bb) pour ) pour une translation une translation tt(a, b)(a, b) . .

t t (a, b)(a, b) :: P (x, y) P (x, y) P’ (x P’ (x + a+ a, y, y + b + b) )

+ 2+ 2 11

11

Exemple #1 :Exemple #1 : tt(2. 5)(2. 5)

22 unités horizontalement unités horizontalement (vers la droite)(vers la droite)

55 unités verticalement unités verticalement (vers le haut)(vers le haut)

A (-5, -2)A (-5, -2)

+ 5+ 5

A’ (-3, 3)A’ (-3, 3)

+ 2+ 2

O (0, 0)O (0, 0)

+ 5+ 5

O’ (2, 5)O’ (2, 5)

O’ est l’image de O.O’ est l’image de O. O (0, 0) O (0, 0) O’ (0 O’ (0 + 2+ 2, 0, 0 + 5 + 5) ) O’ (2, 5) O’ (2, 5)

A’ est l’image de A.A’ est l’image de A. A (-5, -2) A (-5, -2) A’ (-5 A’ (-5 + 2+ 2, -2, -2 + 5 + 5) ) A’ (-3, 3) A’ (-3, 3)

11

11

Exemple #2 :Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation tt(-3, 2)(-3, 2) ? ?

A (-2, 4) A (-2, 4) A’ (-2 A’ (-2 – 3– 3, 4, 4 + 2 + 2) ) A’ (-5, 6) A’ (-5, 6) t t (-3, 2)(-3, 2) ::

A (-2, 4)A (-2, 4)

B (-2, -2)B (-2, -2) C (3, -2)C (3, -2)

B (-2, -2) B (-2, -2) B’ (-2 B’ (-2 – 3– 3, -2, -2 + 2 + 2) ) B’ (-5, 0) B’ (-5, 0)

C (3, -2) C (3, -2) C’ (3 C’ (3 – 3– 3, -2, -2 + 2 + 2) ) C’ (0, 0) C’ (0, 0)

- 3- 3

+ 2+ 2

A’ (-5, 6)A’ (-5, 6)

- 3- 3+ 2+ 2

B’ (-5, 0)B’ (-5, 0)

- 3- 3

+ 2+ 2

C’ (0, 0)C’ (0, 0)

Exemple #3 :Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une translation translation tt(7, -5)(7, -5) . .

A (3, 5) A (3, 5) A’ (3 A’ (3 + 7+ 7, 5, 5 – 5 – 5) ) A’ (10, 0) A’ (10, 0) t t (7, -5)(7, -5) ::

A (3, 5)A (3, 5)

D (-2, -2)D (-2, -2)

C (3, -4)C (3, -4)

B (4, 2) B (4, 2) B’ (4 B’ (4 + 7+ 7, 2, 2 – 5 – 5) ) B’ (11, -3)B’ (11, -3)

C (3, -4) C (3, -4) C’ (3 C’ (3 + 7+ 7, 4, 4 – 5 – 5) ) C’ (10, -9) C’ (10, -9)

+ 7+ 7

- 5- 5

A’ (10, 0)A’ (10, 0)

B’ (11, -3)B’ (11, -3)

C’ (10, -9)C’ (10, -9)

B (4, 2)B (4, 2)

D (-2, -2) D (-2, -2) D’ (-2 D’ (-2 + 7+ 7, -2, -2 – 5 – 5) ) D’ (5, -7) D’ (5, -7)

11

11

+ 7+ 7

- 5- 5

+ 7+ 7

- 5- 5

+ 7+ 7

- 5- 5

D’ (5, -7)D’ (5, -7)

11

11

Exemple #4 :Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation Le triangle A’B’C’ a subi une translation tt(-3, -2)(-3, -2). Quelles . Quelles

étaient les coordonnées du triangle ABC ?étaient les coordonnées du triangle ABC ?

A’ (-5, 2) A’ (-5, 2) A (-5 A (-5 + 3+ 3, 2, 2 + 2 + 2) ) A (-2, 4) A (-2, 4) tt-1-1(3, 2) (3, 2) ::

A’ (-5, 2)A’ (-5, 2)

B’ (-5, -4)B’ (-5, -4) C’ (0, -4)C’ (0, -4)

B’ (-5, -4) B’ (-5, -4) B (-5 B (-5 + 3+ 3, -4, -4 + 2 + 2) ) B (-2, -2) B (-2, -2)

C’ (0, -4) C’ (0, -4) C (0 C (0 + 3+ 3, -4, -4 + 2 + 2) ) C (3, -2) C (3, -2)

+ 3+ 3

+ 2+ 2

A (-2, 4)A (-2, 4)

+ 3+ 3 + 2+ 2

B (-2, -2)B (-2, -2)

+ 3+ 3 + 2+ 2C (3, -2)C (3, -2)


Réflexion (ou symétrie)

On note On note ssxx la réflexion par rapport à l’axe des la réflexion par rapport à l’axe des abscissesabscisses (ou « (ou « xx »). »).

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par ssxx devient P’ (x, - y). devient P’ (x, - y).

ssxx :: P (x, y) P (x, y) P’ (x, - y) P’ (x, - y)

11

11

Exemple :Exemple : ssxx

A (2, 3) A (2, 3) A’ (2, -3) A’ (2, -3) ssxx ::

A (2, 3)A (2, 3)

A’ (2, -3)A’ (2, -3)

On note On note ssyy la réflexion par rapport à l’axe des la réflexion par rapport à l’axe des ordonnéesordonnées (ou « (ou « yy »). »).

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par ssyy devient P’ (- x, y). devient P’ (- x, y).

ssyy :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, y) P’ (- x, y)

11

11

Exemple :Exemple : ssyy

A (2, 3) A (2, 3) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3) ssyy ::

A (2, 3)A (2, 3)A’ (-2, 3)A’ (-2, 3)

Exemple :Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une réflexion réflexion ssyy . .

11

11

A (-2, 6) A (-2, 6) A’ (2, 6) A’ (2, 6) ssyy ::

AA

B’B’

DD

CC

BB

B (2, 9) B (2, 9) B’ (-2, 9) B’ (-2, 9) C (6, 4) C (6, 4) C’ (-6, 4) C’ (-6, 4)

D (5, 1) D (5, 1) D’ (-5, 1) D’ (-5, 1)

A’A’

C’C’

D’D’


Homothétie

On note On note hh(O, k)(O, k) l’homothétie de centrée à l’origine l’homothétie de centrée à l’origine OO et de rapport et de rapport kk..

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par hh(O, k)(O, k) devient P’ devient P’

((kkx, x, kky).y).hh(O, k)(O, k) :: P (x, y) P (x, y) P’ (P’ (kkx, x, kky) y)

11

11

Exemple #1 :Exemple #1 :

A (2, 1) A (2, 1) A’ (A’ (22 xx 2, 2, 22 xx 1) 1) A’ (4, 2) A’ (4, 2) hh(O, 2)(O, 2) ::

B (2, 5) B (2, 5) B’ (B’ (2 x2 x 2, 2, 2 x2 x 5) 5) B’ (4, 10) B’ (4, 10)

C (4, 1) C (4, 1) C’ (C’ (2 x2 x 4, 4, 2 x2 x 1) 1) C’ (8, 2) C’ (8, 2)

Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie homothétie hh(O, 2)(O, 2) . .

AA

BB

CC

A’A’

B’B’

C’C’

11

11

Exemple #2 :Exemple #2 :

A (-8, -2) A (-8, -2) A’ (A’ (½½ xx -8, -8, ½½ xx -2) -2) A’ (-4, -1) A’ (-4, -1) hh(O, ½)(O, ½) ::

B (-2, 10) B (-2, 10) B’ (B’ (½ x½ x -2, -2, ½ x½ x 10) 10) B’ (-1, 5) B’ (-1, 5)

C (6, -6) C (6, -6) C’ (C’ (½ x½ x 6, 6, ½ x½ x -6) -6) C’ (3, -3) C’ (3, -3)

Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une homothétie homothétie hh(O, ½)(O, ½) . .

AA

BB

CC

A’A’

B’B’

C’C’


Compositions de transformationsOn utilise le symbole On utilise le symbole , qui se lit « , qui se lit « rondrond », pour lier une série de », pour lier une série de transformations consécutives.transformations consécutives.

On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.

Ex. :Ex. : ssxx h h(O, 2)(O, 2) t t(2, -5)(2, -5)

À l’objet initial, on applique :À l’objet initial, on applique : tt(2, -5)(2, -5)

hh(O, 2)(O, 2)

ssxx

22

22

AA

CC

Exemple :Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de transformations suivante :transformations suivante :

BB

hh(O, (O, ⅓⅓)) s syy t t(4, -7)(4, -7)

A (-10, 16) A (-10, 16) A’ (-10 A’ (-10 + 4+ 4, 16, 16 – 7 – 7) ) A’ (-6, 9) A’ (-6, 9)

t t (4, -7)(4, -7) ::

B (-7, 22) B (-7, 22) B’ (-7 B’ (-7 + 4+ 4, 22, 22 – 7 – 7) ) B’ (-3, 15)B’ (-3, 15)

C (-4, 19) C (-4, 19) C’ (-4 C’ (-4 + 4+ 4, 19, 19 – 7 – 7) ) C’ (0, 12) C’ (0, 12)

A’ (-6, 9) A’ (-6, 9) A’’ (6, 9) A’’ (6, 9)

ssyy ::

B’ (-3, 15) B’ (-3, 15) B’’ (3, 15) B’’ (3, 15)

C’ (0, 12) C’ (0, 12) C’’ (0, 12) C’’ (0, 12)

A’’ (6, 9) A’’ (6, 9) A’’’(A’’’(⅓⅓ xx 6, 6, ⅓⅓ xx 9) 9) A’’’ (2, 3) A’’’ (2, 3)

hh(O, (O, ⅓⅓)) ::

B’’ (3, 15) B’’ (3, 15) B’’’ (B’’’ (⅓ x⅓ x 3, 3, ⅓ x⅓ x 15) 15) B’’’ (1, 5) B’’’ (1, 5)

C’’ (0, 12) C’’ (0, 12) C’’’ (C’’’ (⅓ x⅓ x 0, 0, ⅓ x⅓ x 12) 12) C’’’ (0, 4) C’’’ (0, 4)

A’A’

C’C’

B’B’

A’’’A’’’C’’’C’’’

B’’’B’’’ A’’A’’

C’’C’’

B’’B’’


Dilatation ou contraction

DilatationDilatation : Figure : Figure étiréeétirée horizontalement ou verticalement. horizontalement ou verticalement.

Pour chaque point P (x, y) , l’image par une Pour chaque point P (x, y) , l’image par une contraction ou une dilatation devient P’ (contraction ou une dilatation devient P’ (aax, x, bby).y).

P (x, y) P (x, y) P’ (P’ (aax, x, bby) y)

Contraction Contraction : Figure : Figure rétrécierétrécie horizontalement ou verticalement. horizontalement ou verticalement.

où où aa ≠ 0 et ≠ 0 et bb ≠ 0. ≠ 0.

Si Si aa = = bb, alors on a une homothétie., alors on a une homothétie.

Exemple #1 :Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la règle de transformation suivante :règle de transformation suivante :

11

11AA

B’B’

DD

CC

BB

A’A’

C’C’

D’D’

(x, y)(x, y) (x, (x, 22y)y)

A (-4, 1) A (-4, 1) A’ (-4, A’ (-4, 22 xx 1) 1) A’ (-4, 2) A’ (-4, 2)

B (0, 4) B (0, 4) B’ (0, B’ (0, 2 x2 x 4) 4) B’ (0, 8) B’ (0, 8)

C (4, -1) C (4, -1) C’ (4, C’ (4, 2 x2 x -1) -1) C’ (4, -2) C’ (4, -2) D (3, -4) D (3, -4) D’ (3, D’ (3, 2 x2 x -4) -4) D’ (3, -8) D’ (3, -8)

C’est une C’est une dilatationdilatation verticaleverticale ! !

11

11

A (-8, -2) A (-8, -2) A’ (A’ (½½ xx -8, -2) -8, -2) A’ (-4, -2) A’ (-4, -2)

B (-2, 10) B (-2, 10) B’ (B’ (½ x½ x -2, 10) -2, 10) B’ (-1, 10) B’ (-1, 10)

C (6, -6) C (6, -6) C’ (C’ (½ x½ x 6, -6) 6, -6) C’ (3, -6) C’ (3, -6)

AA

CC

A’A’

B’B’

C’C’

Exemple #2 :Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle de transformation suivante :de transformation suivante : (x, y)(x, y) ((½½ x , y) x , y)

BB

C’est une C’est une contraction contraction horizontalehorizontale ! !


Rotations (autour de l’origine O)(autour de l’origine O)

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 90(O, 90oo)) devient P’ (- y, x).devient P’ (- y, x).

rr(O, 90(O, 90oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- y, x) P’ (- y, x)

Rotation de Rotation de 9090oo

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 180(O, 180oo)) devient P’ (- x, - y).devient P’ (- x, - y).

rr(O, 180(O, 180oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, - y) P’ (- x, - y)


Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 270(O, 270oo)) devient P’ (y, - x).devient P’ (y, - x).

rr(O, 270(O, 270oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (y, - x) P’ (y, - x)


11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CCA’A’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (-2, 3) A’ (-2, 3)

B (3, 10) B (3, 10) B’ (-10, 3) B’ (-10, 3)

C (7, 2) C (7, 2) C’ (-2, 7) C’ (-2, 7)

rr(O, 90(O, 90oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 90(O, 90oo)) devient P’ (- y, x).devient P’ (- y, x).

rr(O, 90(O, 90oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- y, x) P’ (- y, x)


rr(O, 90(O, 90oo)) ::

B’B’

C’C’

9090oo

A’A’

11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CC

rr(O, 180(O, 180oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 180(O, 180oo)) devient P’ (- x, - y).devient P’ (- x, - y).

rr(O, 180(O, 180oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (- x, - y) P’ (- x, - y)


B’B’

C’C’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (-3, -2) A’ (-3, -2)

B (3, 10) B (3, 10) B’ (-3, -10) B’ (-3, -10)

C (7, 2) C (7, 2) C’ (-7, -2) C’ (-7, -2)

rr(O, 180(O, 180oo)) ::

A’A’C’C’

B’B’

180180oo

A’A’

11

11

Exemple :Exemple :

AA

BB

CC

rr(O, 270(O, 270oo))

Pour chaque point P (x, y) , l’image par Pour chaque point P (x, y) , l’image par rr(O, 270(O, 270oo)) devient P’ (y, - x).devient P’ (y, - x).

rr(O, 270(O, 270oo)) :: P (x, y) P (x, y) P’ (y, - x) P’ (y, - x)


B’B’

C’C’

A (3, 2) A (3, 2) A’ (2, -3) A’ (2, -3)

B (3, 10) B (3, 10) B’ (10, -3) B’ (10, -3)

C (7, 2) C (7, 2) C’ (2, -7) C’ (2, -7)

rr(O, 270(O, 270oo)) ::

A’A’C’C’

B’B’

270270oo

A’A’

C’C’

B’B’


Isométries et similitudes

ISOMÉTRIESISOMÉTRIES

Conserve les distances. La figure reste inchangée Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles (angles et segments)et segments)..

TranslationsTranslations, , réflexionsréflexions, , rotationsrotations..

SIMILITUDESSIMILITUDES

La figure change de dimension. Seulement les angles La figure change de dimension. Seulement les angles restent inchangés.restent inchangés.

HomothétiesHomothéties

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